数学文化 拓视野
2. [2021宜宾]在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”,类似现在我们熟悉的“进位制”.如图
所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一,根据图示可
知,孩子已经出生的天数是( )
A.27
B.42
C.55
D.210
答案
2.B 根据题意得,孩子已经出生的天数的五进制数为132,化为十进制数为132=1×5
2+3×5
1+2×5
0=42.
新定义试题 练迁移
3. [2021怀化]定义ab=2a+
1
?
,则方程3x=42的解为( )
A.x=
1
5
B.x=
2
5
C.x=
3
5
D.x=
4
5
答案
3.B 由新定义知方程3x=42可化为6+1
?
=8+1
2
,解得x=
2
5
,经检验,x=
2
5是原分式方程的解,故方程3x=42的解为x=
2
5
.
【注意】解分式方程要检验
新定义试题 练迁移
4. [2020十堰]对于实数m,n,定义运算m*n=(m+2)2
-2n.若2*a=4*(-3),则a= .
答案
4.-13 ∵m*n=(m+2)2
-2n,∴2*a=(2+2)2
-2a=16-2a,4*(-3)=(4+2)2
-2×(-3)=42.∵2*a=4*(-3),∴16-2a=42,解得a=-13.
新定义试题 练迁移
5. 课标新增[2022重庆A卷]若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的
两位数,则这个四位数M为“勾股和数”.
例如:M=2 543.∵3
2+42=25,∴2 543是“勾股和数”.
又如:M=4 325.∵5
2+22=29,29≠43,∴4 325不是“勾股和数”.
(1)判断2 022,5 055是否为“勾股和数”,并说明理由.
(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记G(M)=?+?
9
,P(M)=|10(?−?)+(?−?)|
3
.当
G(M),P(M)均是整数时,求出所有满足条件的M.
答案
5.【参考答案】(1)2 022不是“勾股和数”,5 055是“勾股和数”.
理由:∵2
2+22=8,8≠20,
∴2 022不是“勾股和数”.
∵5
2+52=50,
∴5 055是“勾股和数” .
新定义试题 练迁移
答案
(2)∵0≤c≤9,0≤d≤9,且c,d为整数,
∴0≤c+d≤18.
∵G(M)=?+?
9 是整数,
∴c+d=0或c+d=9或c+d=18.
①当c+d=0时,c=d=0,得c
2+d
2=0(舍去).
②当c+d=9时,
P(M)=|10(?−?)+(?−?)|
3
=
|10?+?−(10?+?)|
3
=
|?
2+?
2−(10?+?)|
3
=
|?
2+(9−?)
2−10?−9+?|
3
=|2?
2
3
-9c+24|.
∵P(M)是整数,
∴|
2?
2
3
-9c+24|是整数,
∴
2?
2
3 是整数,即c
2是3的倍数.
∵0≤c≤9,且c为整数,
新定义试题 练迁移
答案
∴c=0,3,6,9.
当c=0时,d=9,M=8 109;
当c=3时,d=6,M=4 536;
当c=6时,d=3,M=4 563;
当c=9时,d=0,M=8 190.
③当c+d=18时,c=d=9,得c
2+d
2=162>99(舍去).
综上,满足条件的M为4 536,4 563,8 109,8 190.
开放性试题 提思维
6. [2022永州]请写出一个比 5大且比10小的无理数: .
答案
6. ?(答案不唯一)
开放性试题 提思维
7. [2020山西]下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
?
2−9
?
2 + 6? + 9
−
2? + 1
2? + 6
=
(?+3)(?−3)
(?+3)
2 −
2?+1
2(?+3)
···········································································································第一步
=
?−3
?+3
−
2?+1
2(?+3)
····················································································································第二步
=
2(?−3)
2(?+3)
−
2?+1
2(?+3)
·················································································································第三步
=
2?−6−(2?+1)
2(?+3)
·····················································································································第四步
=
2?−6−2?+1
2(?+3)
·······················································································································第五步
=-
5
2?+6
. ····························································································································第六步
开放性试题 提思维
任务一:
填空:①以上化简步骤中,第 步是进行分式的通分,通分的依据
是 ;
②第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 .
任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果.
任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
答案
7.【参考答案】任务一:①三 分式的基本性质[或分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值
不变]
②五 括号前是“-”号,去掉括号后,括号里的第二项没有变号
任务二:-
7
2?+6
.
任务三:最后结果应化为最简分式或整式;约分、通分时,应根据分式的基本性质进行变形;分式化简不能与解分式方
程混淆等.(答案不唯一,写出一条即可)
阅读理解题 升素养
8. [2022广西北部湾经济区改编]阅读材料:
整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解:6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.
根据阅读材料,解决问题:
若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,求代数式4a
2+4ab+b
2+4a+2b-1的值.
答案
8.【参考答案】把x=2代入方程ax+b=3中,
得2a+b=3,
故原式=(2a+b)
2+2(2a+b)-1
=32+2×3-1
=14.
章节综合训练1 数与式
1. [2022河南]-
1
2的相反数是( )
A.1
2
B.2 C.-2 D.-
1
2
答案
1.A
2. [2021苏州]计算( 3)
2的结果是( )
A. 3 B.3 C.2 3 D.9
答案
2.B
3. [2021达州]如图,实数 2+1在数轴上的对应点可能是( )
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
答案
3.D 因为 2≈1.414,所以 2+1≈2.414,故选D.
【另解】因为1 < 2 < 2,所以2 < 2 + 1 < 3
4. [2022山西]粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2021年我国粮食总产量再创新高,达68 285万吨.该数据可用科学
记数法表示为( )
A.6.828 5×104 吨 B.68 285×104 吨
C.6.828 5×107 吨 D.6.828 5×108 吨
答案
4.D
5. [2022长沙]下列计算正确的是( )
A.a7÷a
5=a
2 B.5a-4a=1
C.3a
2·2a
3=6a
6 D.(a-b)
2=a
2
-b
2
答案
5.A 逐项分析如下.
选项 分析 正误
A a
7÷a
5=a
7-5=a
2 √
B 5a-4a=(5-4)a=a ✕
C 3a
2·2a
3=(3×2)·a
2+3=6a
5 ✕
D (a-b)
2=a
2
-2ab+b
2 ✕
6. [2021广东]若|a- 3|+ 9?
2−12?? + 4?
2=0,则ab=( )
A. 3 B.
9
2
C.4 3 D.9
答案
6.B 由题意得a- 3=0,9a
2
-12ab+4b
2=(3a-2b)
2=0,解得a= 3,b=
3 3
2
,故ab= 3 ×
3 3
2
=
9
2
.
【关键】绝对值和算术平方根的非负性
7. [2022河北]若x和y互为倒数,则(x+
1
?
)(2y1
?
)的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
7.B ∵x和y互为倒数,∴xy=1,∴(x+
1
?
)(2y1
?
)=2xy-1+2-
1
??
=2×1-1+2-1=2.
8. [2021大庆]已知b>a>0,则分式?
?与
?+1
?+1的大小关系是( )
A.?
?
<
?+1
?+1
B.
?
?
=
?+1
?+1
C.?
?
>
?+1
?+1
D.不能确定
答案
8.A (作差法)
?
?
−
?+1
?+1
=
?(?+1)−?(?+1)
?(?+1)
=
?−?
?(?+1)
,∵b>a>0,∴a-b<0,b(b+1)>0,∴
?−?
?(?+1)
<0,∴
a
b
−
a+1
b+1
<0,∴
a
b
<
a+1
b+1
.
一题多解
(特殊值法)令b=2,a=1,则
a
b
=
1
2
,
a+1
b+1
=
1+1
2+1
=
2
3
,∵
1
2
<
2
3
,∴
a
b
<
a+1
b+1
.
【点拨】同号两数相乘得正,异号两数相乘得负
9. [2021镇江]如图,小明在3×3的方格纸上写了九个式子(其中的n是正整数),每行的三个式子的和自上而下分别记为
A1
,A2
,A3
,每列的三个式子的和自左至右分别记为B1
,B2
,B3
,其中,值可以等于789的是( )
A.A1
B.B1
C.A2
D.B3
答案
9.B 由题意得,令A1=2n+1+2n+3+2n+5=789,整理得2
n=260,则n不是整数,故A1的值不可以等于789;令A2=2n+7+2n+9+
2
n+ 11=789,整理得2
n=254,则n不是整数,故A2的值不可以等于789;令B1=2n+1+2n+7+2n+13=789,整理得2
n=256=28
,则n
是整数,故B1的值可以等于789;令B3=2n+5+2n+11+2n+17=789,整理得2
n=252,则n不是整数,故B3的值不可以等于789.故
选B.
2
n+1 2
n+3 2
n+5 A1
2 A2
n+7 2
n+9 2
n+11
2 A3
n+13 2
n+15 2
n+17
B1 B2 B3
10. [2021鄂州]已知a1为实数,规定运算:a2=1-
1
?1
,a3=1-
1
?2
,a4=1-
1
?3
,a5=1-
1
?4
,……,an=1-
1
??−1
.按上述方法计算:当a1=3时,
a2 021的值等于( )
A.-
2
3
B.
1
3
C.-
1
2
D.
2
3
答案
10.D 由题意得,当a1=3时,a2=1-
1
?1
=1-
1
3
=
2
3
,a3=1-
1
?2
=1-
3
2
=-
1
2
,a4=1-
1
?3
=1-(-2)=3,∴a1
,a2
,a3
,…,an的值以3,2
3
,-
1
2为循环组.
∵2 021÷3=673……2,∴a2 021=
2
3
.
11. [2022北京]若 ?−8在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
答案
11.x≥8 由二次根式有意义的条件可知x-8≥0,解得x≥8.
12. [2022青岛改编]计算:( 27 − 12)×
1
3的结果是 .
答案
12.1 ( 27 − 12)×
1
3
= 27 ×
1
3
− 12 ×
1
3
= 9 − 4=3-2=1.
13. [2021广东]若x+
1
?
=
13
6 且0<x<1,则x
2
-
1
?
2= .
答案
13.-
??
??
∵x+
1
?
=
13
6
,∴(x1
?
)
2=(x+
1
?
)
2
-4x·
1
?
=(13
6
)
2
-4=25
36
.∵0<x<1,∴x<
1
x
,∴x1
x
<0,∴x1
x
=-
5
6
,∴x
2
-
1
?
2=(x+
1
?
)(x1
?
)=13
6
×(-
5
6
)=-
65
36
.
【关键】(?−?)
2 = (? + ?)
2−4??
14. 新情境·WIFI密码[2021自贡]如图,某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,思索了一会儿,
输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码是 .
答案
14.244872 根据题中前三个等式的规律可知密码的前两位是4×6=24,中间两位是8×6=48,最后两位是24+48=72,故
她输入的密码是244872.
15. [2022常德]计算:30
-(
1
2
)
-2
sin 30°+ 8cos 45°.
答案
15.【参考答案】
原式=1-4×
1
2
+2 2 ×
2
2
=1-2+2
=1.
16. [2022邵阳]先化简,再从-1,0,1, 3中选择一个合适的x值代入求值.
(
1
?+1
+
1
?
2−1
)÷
?
?−1
.
答案
16.【参考答案】
原式=
?−1+1
(?+1)(?−1)
·
?−1
?
=
1
?+1
.
易知x≠-1,0,1,∴x= 3,∴原式=
1
3+1
=
3−1
2
.
17. [2021广州]已知A=(?
?
−
?
?
)·3??
?−?
.
(1)化简A;
(2)若m+n-2 3=0,求A的值.
答案
17.【参考答案】
(1)A=
?2−?
2
??
·
3??
?−?
=
(?+?)(?−?)
??
·
3??
?−?
= 3(m+n)
= 3m+ 3n.
(2)∵m+n-2 3=0,∴m+n=2 3.
当m+n=2 3时,A= 3m+ 3n= 3(m+n)= 3×2 3=6.
18. [2020河北]有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a
2
,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的
结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图所示.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能否为负数,说明理由.
答案
18.【参考答案】
(1)A区显示的结果为25+a
2+a
2=25+2a
2
,
B区显示的结果为-16-3a-3a=-16-6a.
(2)从初始状态按4次后,A区显示的结果为25+4a
2
,
B区显示的结果为-16-12a,
25+4a
2+(-16-12a)=25+4a
2
-16-12a=4a
2
-12a+9.
这个和不能为负数.
理由:∵4a
2
-12a+9=(2a)
2
-2×(2a)×3+32=(2a-3)2≥0,
∴A,B两区代数式的和不能为负数.
