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101 数学加分宝题组 3 里程碑上的数

1.有一个两位数，个位数字和十位数字之和是 8，个位数字与十位数字互换后，新数比原数小18，求原数分析：设原来个位数字为 x，十位数字为 y,则原数表示为10y  x ,新数表示为10x y可得方程组为





   

 

x y y x

x y

10 18 10

8

【答案】53

2.两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数. 【答案】大数：45 小数：23







   

 

100 100 2178

68

x y y x

x y

3.一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是 1.这个两位数是多少？

【答案】56







   

   

10 5( ) 1

10 3( ) 23

x y x y

x y x y

4.一个两位数，个位数字比十位数字大 2，若把个位数字与十位数字对调，则新数比原数的2 倍少17，求原来的两位数. 【答案】35







   

 

x y y x

x y

2(10 ) 17 10

2

5.（黄岛期末）通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走 15 千米，则可提前24 分钟到达某地；如果每小时走 12 千米，则要迟到 15 分钟.设通讯员到达某地的路程是 x 千米，原定的时间为y 小时，则可列方程组为（ D ）

A. 







 

 

y

x

y

x

15

12

24

12

B. 





  

 

y

x

y

x

15

12

24

15

C. 







 

 

y

x

y

x

60

15

12

60

24

15

D. yxyx601512602415

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102 数学加分宝6.A、B 两地相距 80km,一艘船从 A 出发，顺水航行 4h 到 B，而从 B 出发逆水航行5h 到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度. 【答案】静水中的速度：18 水流速度：2

7.甲、乙两人从同一地点出发，同向而行.甲乘车，乙步行.若让乙先走 20 千米，则甲用1 小时能追上乙；若让乙先走 1 小时，则甲只需要 15 分钟便可追上乙，求甲、乙的速度. 【答案】甲：25 乙：5

8.甲乙两人的月收入之比为 5：4，月支出之比为 3：2，一个月两人各余 1500 元，求这两个人的月收入分别是多少元？

【答案】甲：3750 乙：3000

9.小明为了测得火车的长度和火车过桥的速度，在一铁路旁观察到火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间是 40 秒，已知桥长 1000 米，你能根据小明获得的数据求出火车的长度和速度吗？

【答案】火车的长度：200 速度：20

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103 数学加分宝随堂检测1.有一个两位数,它的两个数字之和为 11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比原数大63,设原两位数的个位数字为 x,十位数字为 y,则用代数式表示原两位数为10y x ,根据题意得方程组





   

 

x y y x

x y

10 63 10

11

. 2.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的 201 倍，若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小 1188，求这两个数.如果设甲数为 x,乙数为 y,则根据题意可得的方程组是





  

 

100 201 1188

100 201

y x y

x y y

. 3.有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个 0，则它与这个两位数的和是130，如果用这个两位数除以这个一位数，则商 6 余 2，那么这个两位数和一位数分别是多少？【答案】两位数：50 一位数：8

4.从甲地到乙地，需先走下坡路后走平路，某人骑自行车先以 20km/h 的速度走下坡路，又以15km/h的速度通过平路，到达乙地时共用了 1 小时 6 分钟，他回来时先以 12km/h 的速度通过平路，又以8km/h的速度走上坡路，回到甲地时共用了 1 小时 30 分，问甲乙两地相距多少千米？

【答案】平路 15，坡路 2 相距 17 千米.

5.小莹家离学校 1880m,其中有一段是上坡路，另一段是下坡路，她跑步去学校用了16min,已知小莹在上坡路上的平均速度是 4.8km/h,在下坡路上的平均速度是 12km/h，小莹上坡、下坡各用了多少时间？【答案】上坡：11 分钟 下坡：5 分钟

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104 数学加分宝6.甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，若同向跑步，则每隔 200 秒相遇一次，若反向跑步，则每隔 40 秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙两人的速度. 【答案】甲：6 乙：4

7.（市南期末）某景点的门票价格如表：

某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于 50 人，（2）班人数多于50人且少于 100 人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付 1118 元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费 816 元．

（1）两个班各有多少名学生？

（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？

【答案】（1）（1）班人数：49 （2）班人数 53

（2）（1）班节省 196 （2）班节省 106. 8.客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长 150 米，货车长 250 米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需 10 秒；如果客车从后面追货车，那么客车车头追货车车尾到客车车尾离开货车车头共需 1 分 40 秒，求两车的速度

【答案】客车速度：22 货车速度：18

9.甲、乙两人同时从相距 28km 的两地相向而行，经过 3h30min 相遇，若乙先出发2h，甲再出发，这样再经过 2h45min 两人相遇，求甲乙两人的速度. 【答案】甲：3 乙：5

购票人数/人 1-50 51-100 100 以上

每人门票价/元 12 10 8

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105 数学加分宝八上第 12 周秋季讲义5.6 二元一次方程与一次函数关系 5.7 求一次函数表达式题组 1 点与解的关系

1.二元一次方程 2x+y=3 有_无数__个解，以它的解为坐标的点都在一次函数y 2x3的图象上. 2.以二元一次方程 2x  y 1的解为坐标的点都在一次函数 y  2x 1 的图象上，以二元一次方程3x  2y  4 的解为坐标的点都在一次函数 2

2

3

y   x  的图象上.这两个方程的共同解在这两个一次函数的__交点__上.题组 2 交点

从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 1.已知直线l : y  3x  b 1 与直线 : 1 l2 y  kx  交于点（1，－2），那么方程组13kx yx yb的解是（A）A. 



  



2

1

y

x

B. 



 



2

1

y

x

C. 



  

 

2

1

y

x

D. 



 

 

2

1

y

x

2.直线 : 4 l1 y  x  与直线 3

3

4

: l2 y   x  相交于点（3，－1），则方程组







4943222yx

x y的解是（A）A. 



  



1

3

y

x

B. 



 

 

3

1

y

x

C. 



  

 

3

1

y

x

D. 



 



1

3

y

x

3.已知直线 y=2x 与 y= －x+b 的交点为（－1，a），则方程组







 

 

x y b

2x y 0

的解为（D ）A. 



 



2

1

y

x

B. 



 

 

2

1

y

x

C. 



  



2

1

y

x

D. 



  

 

2

1

y

x

4.如图，直线 : 2 l1 y  x  与直线相交于点 P（m，4），则方程组





   y kx b

y x 2

的解是42yx.

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106 数学加分宝5.已知





 



3

2

y

x

是方程组









  

 

2

2

5

x

y

x y

的解，一次函数 x  y  5 和 2

2  

x

y 的交点是（2,3）. 6.方程组







 

 

12

2 0

x y

y x

的解为





 



8

4

y

x ，则一次函数 y  2x 和 y 12  x 图象的交点坐标为（4,8）. 7.表 1、表 2 分别给出了两条直线 1 1 1

l : y  k x  b 与 2 2 2

l : y  k x  b 上部分点的横坐标x 和纵坐标y 的对应值.则方程组





  

 

2 2

1 1

y k x b

y k x b

的解是





  

 

3

2

y

x

.表 1 表2

8.若







 

 

2 2 3

2

x y

x y 没有解，则函数 y  2  x 与 y   x

2

3 的图象必定（ B ）A.重合 B.平行 C.相交 D.无法确定9.无论 m 取何数，直线 y=x+3m 与 y=－x+1 的交点不可能在第__三___象限. 10.一次函数 y=7－4x 和 y=1－x 的图象的交点坐标是_（2，－1）__,则方程组





147x y

x y的解为12yx__. 11.如图，已知两条直线 1 2

l ,l 的交点可看作是某方程组的解，则这个方程组为234323y xy x.

x －4 －3 －2 －1

y －9 －6 －3 0

x －4 －3 －2 －1

y －1 －2 －3 －4

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107 数学加分宝12.如图，点 A 的坐标可以看成是方程组





   

 

5

2 1

y x

y x

的解.

13.已知直线 1l :y= 1 1 2 2 2 k x  b 和直线l : y  k x  b

（1）当_ 1 2 k  k __时， 1l 与 2l 相交于一点. （2）当_ 1 2 1 2 k  k ,b  b __时， 1 2

l ∥l ,此时方程组__.

2 2

1 1 的解的情况是无解



  

 

y k x b

y k x b

（3）当 1 2 1 2 k  k ,b  b _时，l1与l2重合，此时方程组



  

 

2 2

1 1 y k x b

y k x b

的解的情况是无数个解

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108 数学加分宝题组 3 应用题中求函数关系式

1.（局属期末）甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660 米，二人同时出发，走了 24 分钟时，由于乙距离景点近，先到达等待甲，甲共走了 30 分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ D ）

A.甲的速度是 70 米/分 B.乙的速度是 60 米/分

C.甲距离景点 2100 米 D.乙距离景点 420 米

2.（市北期末）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以 96 m/ min 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留 2min 后沿原路以原速返回.设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为 1 S（m），小明爸爸与家之间的距高为2 S（m），图中折线OABD.线段 EF 分别表示 1 2 S , S 与t 之间的函数关系的图象：

（1）求 2 S 与t 之间的函数关系式；

（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？【答案】 1 S 2400 96t （） 2   （2）20，480

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109 数学加分宝3.（崂山期末）甲、乙两车从 A 城出发沿一条笔直公路匀速行驶至 B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离 y（km）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示. （1）A、B 两城相距 300 千米，乙车比甲车早到 1 小时. （2）甲车出发多长时间与乙车相遇？

（3）若两车相距不超过 20 千米时可以通过无线电互相通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长？

【答案】（2）2.5 （3）3－2=1

4.（市南期末）学农期间，甲、乙两班参加了植树活动.乙班先植树 30 棵，然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为 y甲 （棵），乙班植树的总量为 y乙 （棵）， y甲 、 y乙与甲班植树的时间x（时）之间的部分函数图象如图所示：

（1）当 0  x  6时，分别求 y甲 、 y乙 与 x 之间的函数关系式；

（2）若甲班植树 6 个小时后，该班仍保持原来的工作效率，乙班则通过增加人数提高了工作效率，这样又植树 2 小时后，两班植树的总量相差 20 棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵？【答案】（1） y  20x, y 10x  30 甲 乙 （2）25 或 45

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110 数学加分宝5.（市南期末）某景区门票价格 80 元/人.景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折；节假日期间，10 人以下（包括 10 人）不打折，10 人以上超过 10 人的部分打b 折.设游客为x人，门票费用为y 元，非节假日门票费用 1y （元）及节假日门票费用 2 y （元）与游客 x （人）之间的函数关系如图所示. （1） a  __6___ ，b  __8___ . （2）直接写出 1y 、 2 y 与 x 之间的函数关系式. （3）导游小王 6 月 10 日（非节假日）带 A 旅游团，6 月 20 日（端午节）带B 旅游团到该景区旅游，两团共计 50 人，两次共付门票费用 3040 元，求 A、B 两个旅游团各多少人？

【答案】（2）







 

 

 

64 160( 10)

80 (0 10) 48 1 2 x x

x x

y x y （3）A：20 人 B：30 人6.（市南期末）甲、乙两车从 A 地出发，匀速驶往 B 地，乙车出发 1 h 后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达 B 地并停留 30 分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇，图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离 y（km ）与甲车行驶的时间 x（h）的函数关系的图象，则其中正确的序号是①③④. ①甲车的速度是 100 km/ h ；②A，B 两地的距离是 360 km ；③乙车出发 4.5 h时甲车到达B地；④甲车出发

16

5

4 h最终与乙车相遇.

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111 数学加分宝A

1

l

P

B

2

l

y

O x

题组 4 纯函数中求函数关系式

1.（市北期末）已知,直线l : y 3x 2k 1   与直线l : y  x  k 2 交点 P 的纵坐标为5,直线1

l 与直线2l与y轴分别交于 A. B 两点. （1）求出 P 的横坐标及 k 的值； 【答案】3；2

（2）求△PAB 的面积. 【答案】9

（3）点 M 为直线 1

l 上的一个动点，当△MAB 的面积与△PAB 的面积之比为 2：3 时，求此时点M的坐标（2,2）或（－2，－10）.

2.（市北期末）如图，直线 y  kx  6与 x 轴 y 轴分别相交于点 E，F，点 E 的坐标(8，0)，点A的坐标为（6，0）.点 P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点 P 不与点 E，F 重合）. （1）求 k 的值；【答案】

4

3 

（2）在点 P 运动的过程中，求出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式；【答案】1849Sx（3）若△OPA 的面积为

8

27 ，求此时点 P 的坐标. 【答案】P（

8

9

2

13，）

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112 数学加分宝3.（市南期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线 4

3

4

y   x  交 x 轴、 y 轴分别交于点A、点B，直线CD 交 x 轴、 y 轴分别于点 D、点 C，交直线 AB 于点 E（点 E 不与点 B 重合），且△AOB≌△COD. （1）求直线 CD 的函数表达式；

（2）如图②，连接 OE，过点 O 作 OF⊥OE 交直线 CD 于点 F

①求证：OE=OF；②直接写出点 F 的坐标. （3）若点 P 是直线 CD 上一点，点 Q 是 x 轴上一点（点 Q 不与点 O 重合），当△DPQ和△COD全等时，直接写出点 P 的坐标. 【答案】（1）直线 CD 的解析式为 3

4

3

y  x  （2）①△BOE≌△DOF 可得OE=OF ②F( 2584, 2512)

（3）点 P 的坐标为( 5

36  ,− 5

12

)、(−8,−3)、(− 5

4

, 5

12

)

4.（局属期末）如图 1，将长方形 ABCD 置于平面直角坐标系中，其中 AD边在x 轴上，AB2，直线MN : y  x  4 沿 x 轴的负方向以每秒 1 个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为 m ，平移时间为t ， m 与t 的函数图象如图 2 所示．

（1）点 A 的坐标为______，矩形 ABCD 的面积为______；（2）求 a、b 的值；（3）在平移过程中，求直线 MN 扫过矩形 ABCD 的面积 S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）（1,0） 8 （2） a  2 2,b  9 （3）









   

(79)2659

2

1

2 8 5 7( 3) 352

1

0 0 32

2

t t t

t t

t t

t

S （）（）（）

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113 数学加分宝八上第 13 周秋季讲义第 6 章《数据的分析》题组 1 算术平均数

n

x x x x

x

    n 

.... 1 2 3

求算术平均数除了用总数除以数据个数外，还可以采取移多补少的方式求算术平均数. 1．（市北期末）一次物理考试中，九年（1）班和（2）班的学生数和平均分如下表所示，则两班这次物理考试平均成绩为( D )分．

A．80 B．82.5 C．85 D．82.6

2.下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85 分,则x=3.

3.在一次数学考试中，第一小组的 14 名同学的成绩与全班平均分的差是 2，3，－5，10，12，8，2，－1，－5，4，－10，－2，5，5（全班平均分是 83 分），则这个小组的平均成绩是85 分. 4.已知数据 n x , x , x .....x 1 2 3 的平均数为 a ,则 3, 3, 3...... 3 x1  x2  x3  xn  的平均数是a+3 . 5.如果数据 n x , x , x .....x 1 2 3 的平均数为 a ,则 n 2x ,2x ,2x .....2x 1 2 3 的平均数是 2a . 6. 已 知 数 据 1 2 3 10 x , x , x .....x 的 平 均 数 为 a , 则 , 11 12 13 14 15 30 x , x , x , x , x ......x 的平均数是b, 那么1 2 3 4 30 x , x , x , x ,......x 的平均数是

3

a  2b

. 7.对 20 名工人日产量进行统计，结果如下：有 2 人各完成 8 件，有 6 人各完成9 件，有8 人各完成10件，有 4 人各完成 11 件，那么平均每人日产量为__9.7____件. 8.八年级一班共有 4 个小组，每小组各有 8 人，一次数学测验中，这四个小组的平均分分别是82 分，86分，85 分和 83 分，则该班本次测试的平均分为__ 84 分____. 9.一个班 40 人，语文老师第一次统计这班的语文平均成绩为 80 分，在复查时发现漏记一个学生的成绩80分，则这个班学生的实际平均成绩为 82 .

分数 70 80 90 100

人数 1 3 x 1

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114 数学加分宝题组 2 加权平均数

在求平均数的时候如果每个数据的重要程度不同（即权不同）那么求平均数就要采取加权平均的方法. 1.（市北期末）某校体育期末考核“立定跳远”、“800 米”、“仰卧起坐”三项，并按3：5：2 的比重算出期末成绩.已知小林这三项的考试成绩分别为 80 分、90 分、100 分，则小林的体育期末成绩为___89_____分. 2.（局属期末）在某公司的面试中，昊辰的得分情况为：个人形象 85 分，工作能力90 分，交际能力85分，已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为 1:2:2.则昊辰的最终成绩是 87 分. 3.（市北期末）新学年，学校要选拔新的学生会主席.学校对入围的甲、乙两名候选人进行了三项测试成绩如下表所示，根据实际需要，规定能力、技能、学业三项测试得分按 5:3:2 的比例确定各人的测试成绩，得分高者被任命，此时___乙___将被任命为学生会主席.

4.（市南期末）某公司要招聘一名新的大学生，公司对入围的甲、乙两名候选人进行了三项测试，成绩如下表所示.根据实际需要，规定能力、技能、学业三项测试得分按 5:3:2 的比例确定个人的测试成绩.其中甲的分数是 84.9 ;乙的分数是 82.9 .得分最高者被录取，此时 甲 将被录取.

5.甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克 5 元，6 元，7 元，若将甲种糖 8kg ,乙种糖7kg,丙种糖5kg混合在一起，则售价应定为每千克_5.85__元. 6.某市广播电视局欲招聘一名播音员，对 A, B 两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示.根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按 3∶2 的比例计入两人的总成绩，那么__B___（填“ A ”或“ B ”）将被录用.

7.A 、B 两地相距 120km,一辆汽车以每小时 60 千米的速度由 A 到 B，又以每小时40km的速度返回，则这辆汽车往返一次的平均速度是____48_____km/h. 8.一辆汽车给山上部队送货，上山时每小时 30km,从原路返回时每小时 50km，求这辆汽车上山和下山的平均速度.【答案】37.5km/h

项目得分 能力 技能 学业

甲 82 70 98

乙 95 84 61

丙 87 80 77

得分 项目 能力 技能 学业甲 95 84 61

乙 87 80 77

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115 数学加分宝题组 3 中位数和众数

中位数：将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数.当数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数；当数据个数为奇数时，取中间的那个数.众数：在一组数据中，出现次数最多的数.在一组数据中众数可能不止 1 个. 1.（市南期末）若一组数据－4，－2，0，1，6，10，12，x 的平均数为 3，这组数据的中位数是（B）A.0 B.1 C.3.5 D.6

2.在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11 名同学成绩的（B）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差3.（李沧期末）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上 15 名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图，下列说法正确的是（ C ）

A．中位数是 3 本，众数是 2 本 B．众数是 1 本，平均数是2 本C．中位数是 2 本，众数是 2 本 D．中位数是 3 本，平均数是2.5 本4.某市 6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（D）A.10℃，8℃ B.21℃，21℃ C.21℃，21.5℃ D.21℃，22℃5.（李沧期末）某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下：则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼的时间的中位数和众数分别为（ D ）A.6 h ，7 h B.7 h ，7 h C.7 h ，6 h D.6 h，6 h6.（市南期末）小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：

成绩（环） 6 7 8 9 10

次数 1 3 2 3 1

关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ B ）

A．极差是 2 环 B．中位数是 8 环 C．众数是 9 环 D．平均数是9环7.（李沧期末）一组数据 1.5，1.75，1.7，1.5，1.7，1.6，1.7，1.6，1.8 的中位数是1.7 ，众数是1.7.

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116 数学加分宝题组 4 条形统计图、扇形统计图中求中位数众数平均数1.如图所示，是某篮球队队员年龄结构图，根据图中信息解答下列问题：

（1）该队队员年龄的平均数. （2）求该队队员年龄的众数和中位数.

【答案】（1）21 岁 （2）众数：21 岁 中位数：21 岁

2.在一次捐款活动中，某班 50 名同学人人拿出自己的零花钱，有捐 5 元，10 元，20 元的，还有捐50元和100 元的.如图所示的统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么该班同学平均每人捐款__31.2__元.（结果跟班级人数有关吗？）

3.某市教育部门为了了解七年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了该校7 年级全体学生参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解决下列问题.（1）求扇形统计图中 a 的值，并求该校七年级学生的总人数. （2）分别求出参加综合实践活动时间为 5 天，7 天的学生人数，并补全频数分布直方图. （3）求出扇形统计图中参加综合实践活动时间为 4 天的扇形的圆心角度数. （4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是什么?

（5）如果该市共有七年级学生 6000 人，请你估计参加综合实践活动时间不少于4 天的人数.

【答案】（1）a=25% 200 人 （2）5 天： 50 人 7 天：10 人 （3）108° （4）众数：4 天 中位数：4 天 （5）4500 人

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117 数学加分宝4.（市北期末）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：

根据图表提供的信息，回答下列下列问题：

（1）样本中，男生身高的众数在 B 组，中位数在 C 组；

（2）样本中，女生身高在 E 组的人数有 2 人；

（3）已知该校共有男生 400 人，女生 380 人，请估计身高在 160≤x＜170 之间的学生约有多少人？【答案】332 人

5．某学校为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：（1）校团委随机调查了多少学生? 请你补全条形统计图；

（2）被调查的学生每人一周零花钱的平均数额是多少元?

（3）全校 1000 名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，用于支援希望工程建设．请估算全校学生共捐款多少元?

【答案】（1）40 （2）33 元 （3）16500 元

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118 数学加分宝题组 5 数据的离散程度

极差：一组数据中最大值与最小值的差就是极差.方差： [( ) ( ) ... ( ) ] 1 2 2

2

2

1

2 x x x x x x

n

S       n  方差越小，数据越稳定.标准差：标准差是方差的算术平方根.用 S 表示. 1.在方差公式 [( 20) ( 20) ....( 20) ] 10

1 2

10

2

2

2

1

2 S  x   x   x  中，数字10和数字20分别表示的意义（C）A. 数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数 C.数据的个数和平均数D. 数据的方差和平均数2.（市北期末）一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）．组员日期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80

那么被遮盖的两个数据依次是（ B ）

A.80，2 B.78，2 C.80，1.5 D.78，23.学校篮球队队员的年龄分别是 17，15，17，16，15.其方差为 0.8，则三年后这五名队员年龄的方差（C）A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定4.（市北期末）数据 n x , x ,...x 1 2 的方差为 A,则数据3 1,3 1,...3 1 x1  x2  xn  的方差为（C）A. 3A B. 3A+1 C. 9A D. 9A+1

5.已知样本 1 2 3 a , a , a 的方差是

2

s ,则样本 1 2 3 3a ,3a ,3a 的方差是（ B ）

A. 3 2

s B. 9 2

s C. 2

s D. 2

s+3

6.（市北期末）若样本 x1，x2，x3……xa的平均数为 18，方差为 2，则对于样本x1+2，x2+2，x3+2，......xa+2，下列结论正确的是（ A ）

A.平均数为 20，方差为 2 B.平均数为 20，方差为4

C.平均数为 18，方差为 2 D.平均数为 18，方差为4

7（. 青大附期末）甲、乙两名射箭运动员在相同条件下练习射箭，每人射了 5 支箭，已知甲的平均数为x甲8环，方差为

2

s甲＝0.8；乙的成绩（单位：环）为：6，7，8，9，10．则乙的平均数为8 环，乙的方差为

2

s乙＝ 2 ，从这 5 支箭的成绩来看，水平更稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”）. 8.（李沧期末）“市运会”举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛．在选拔赛中，每人射击 10 次，计算他们 10 发成绩的平均数(环)及方差如下表．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是___丁___．

甲 乙 丙 丁

平均数 8.2 8.0 8.0 8.2

方差 2.1 1.8 1.6 1.4

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119 数学加分宝9.（李沧期末）某学习小组的 5 位成员在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为86，88，90，92，94，方差为 8

2 S  ，后来老师发现每人的成绩都少加了2分，每人补加 2分后，这5人新成绩的方差2S新=__8__. 10（. 市北期末） 2020 年，一场突如其来的疫情打乱了中国人回家团圆的脚步，但无数迎难而上、舍身战“疫”的英雄最让人难忘.某校举办题为“致敬最美逆行者”的演讲比赛，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图如图所示（学生成绩均为整数）：

（1）根据以上信息完成下表：

组别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差

甲 7 6.5 6 2.8

乙 7 7 7 1.8

（2）若学校准备选派其中一组参加区级比赛，你认为选派哪一组参赛更好？请结合以上数据进行分析说明. 【答案】乙参加比赛更好，从平均数来说，甲乙成绩一样好；从中位数和众数来说都是乙的成绩好，从方差来说，乙的方差较小，成绩更稳定，因此乙参赛更好. 11.（市北期末）某中学举行演讲比赛，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5 名选手参加复赛，两个班所选出的 5 名选手的复赛成绩（满分为 100 分）如图所示．

（1）根据上图填写下表；

平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差

九（1）班 85 85 85 70

九（2）班 85 80 100 160

（2）结合两班的复赛成绩分析哪个班级的复赛成绩较好；

【答案】从平均数来说，两个班成绩一样好，从众数来说，9（2）班成绩更好；从中位数来说，9（1）班成绩更好，从方差来说，9（1）班成绩更好

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120 数学加分宝随堂检测

1.（崂山期末）一次演讲比赛中，小明的成绩如下：演讲内容为 70 分，演讲能力为60 分，演讲效果为88分，如果演讲内容、演讲能力、演讲效果的成绩按 4：2：4 计算，则他的平均分为（B ）A.74.2 分 B.75.2 分 C.76.2 分 D.77.2 分2.为了判断甲乙两个小组学生英语口语测试成绩哪一组比较整齐，通常要知道两组成绩的( B)

A.平均数 B.方差 C.众数 D.频率分布3.样本 101，98，102，100，99 的方差是( D )

A. 2 B.0 C. 1 D. 2

4.已知样本 1 2 3 a , a , a 的方差是

2

s ,则样本 1 2 3 3a ,3a ,3a 的方差是（ B ）

A. 3 2

s B. 9 2

s C. 2

s D. 2

s+3

5.如果一组数据的方差是 2，那么这组数据都扩大 2 倍后所构成的新的数据的方差为（C）A. 16 B. 4 C. 8 D .2

6（. 市北期末）若样本 n x ，x ，x ，，x 1 2 3 的平均数为 10，方差为 4，则对于样本 3 333x1  ，x2 ，x3 ，，xn，下列结论正确的是（ D ）

A．平均数为 10，方差为 2 B．众数不变，方差为4

C．平均数为 7，方差为 2 D．中位数变小，方差不变7.某中学足球队的 18 名队员的年龄情况如表所示，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（B）A．15 岁，15 岁 B．15 岁，15.5 岁 C．15 岁，16 岁 D．16 岁，15岁8.实验中学规定学生学期的数学成绩满分为 120 分，其中平时成绩占 20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占 50%，王玲的三项成绩依次是 100 分，90 分，106 分那么王玲这学期的数学成绩为100分．9.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.3，9.9,9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数是 9.5____. 10.小明骑自行车的速度是 15km/h，步行的速度是 5km/h，

（1）如果小明先骑自行车 1h，然后又步行了 1h,那么他的平均速度是多少？（2）如果小明先骑自行车 2h,然后又步行了 3h,那么它的平均速度是多少？你能从权的角度来理解这样的平均速度吗？

【答案】（1）10km/h （2）9km/h

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121 数学加分宝课后作业1.若样本 1, 1,....... 1 x1  x2  xn  的平均数为 10，方差为 2，则对于样本 2, 2,.... 2x1 x2 xn ，下列结论正确的是（ C ）

A．平均数为 10，方差为 2 B．平均数为 11，方差为 3

C．平均数为 11，方差为 2 D．平均数为 12，方差为 4

2.每年的 4 月 23 日是“世界读书日”．某中学为了解八年级学生的读书情况，随机调查了50 名学生的读书册数，统计数据如表所示：

则这 50 名学生读书册数的众数和中位数分别是( A )

A．3 册，2 册 B．3 册，3 册 C．2 册，3 册 D．2 册，2 册3.某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：

经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识的是（C ）A.平均数 B 中位数 C.众数 D.平均数与众数

4.样本 18，12，16，10，14 的方差是__8__；标准差是____2 2_. 5.某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量 200 g ）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了 50 袋，测得它们的实际质量分析如下：

则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．6.（市北期末）车间有 20 名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表

求这一天 20 名工人生产零件的平均个数. 【答案】12 个

册数 0 1 2 3 4

人数 3 13 16 17 1

颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色

数量（件） 120 150 230 75 430

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122 数学加分宝7.（局属期末）程睿中学组织七、八年级学生参加垃圾分类知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，共分成4 组：A、80x85,B、85  x  90,C、90  x  95，D、95  x 100 ），下面给出了部分信息：七年级 10 名学生的竞赛成绩是，99，80，99，86、99，96，90、100，89,82

八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是:93，90，94.根据以上信息，解答下列问题:

（1）写出上速图表中 a = 40 ，b = 93.5 ,c= 99 . （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中 哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（一条理由即可）

【答案】八年级中位数大，8 年级的成绩好. （3）该校七、八年级共 800 人参加了此次竞赛活动，估计参加此次度赛活动成绩优秀（x 90）的学生人数是多少？

【答案】520 人

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123 数学加分宝第 14 周秋季讲义第七章平行线的证明题组 1 定义与命题

1.定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定. 2.命题：_判断__一件事情的句子，叫做命题.命题分为_真_命题和__假_命题.命题都由_条件_和__结论__两部分组成. 1.（市南期末）下列命题中，属于真命题的是（ D ）

A.三角形的一个外角大于内角 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.无理数与数轴上的点是一一对应的 D.对顶角相等

2.（市北期末）下列语句是命题的是（ C ）

A．量线段 AB 的长度 B．同位角相等，两直线平行吗?

C．直角三角形两个锐角互余 D．画线段 AB=CD

3.（李沧期末）下列四个命题中，真命题有（ A ）

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等 ②如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1＝∠2. ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果 0

2

x  ，那么 x 0．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个4.（李沧期末）下列命题是真命题的是（ D ）

A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B.两边一角对应相等的两个三角形全等C. 81的平方根是 9 D. x  2, y 1是方程 2x y 3的解5.（市北期末）把命题“直角三角形两锐角互余”改写成：如果 一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 . 6.（市北期末）命题：“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是一个三角形三个内角相等，结论是 这个三角形是等边三角形. 7.把下列命题改写成“如果.......,那么.......”的形式. （1）直角三角形的两锐角互余 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（3）对顶角相等 （4）两条直线相交只有一个交点

（5）等角的补角相等

【答案】（1）如果 一个三角形是直角三角形 ，那么它的两个锐角互余. （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. （3）如果两个角是对顶角，那么它们相等. （4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点. （5）如果两个角相等，那么它们的补角相等.

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124 数学加分宝题组 2 平行线的判定

1．如图，下列条件中，不能判断直线 a // b 的是（ B ）

A．1  3 B． 2  3 C． 4  5 D． 2  4 180

2．如图，点 E 在 AC 的延长线上，下列条件能判断 AB //CD 的是（ A ）① 1  2； ②3  4 ； ③ A  DCE ； ④ D  ABD180 ．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④

3．如图， AB  BC ， BC  CD ，EBC  BCF ，那么 ABE 与DCF的位置和大小关系是（B）A．是同位角且相等 B．不是同位角但相等 C．是同位角但不等 D．不是同位角也不等4.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,其依据是同位角相等，两直线平行．5．如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量 2 100 ，要使木条 a 与b 平行，则1的度数是_80°．

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125 数学加分宝6.长方形 ABCD 中，∠ADB=20°，现将这一长方形纸片沿 AF 折叠，若使 AB'∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF 应为_55°．

7.如图，平行线 AB、CD 被直线 AE 所截，若∠1=100°，则∠2=（ B ）

A. 70° B.80° C.90° D.110°

8.如图，已知点 E 在 BC 的延长线上，则下列条件中不能判断 AB∥CD 的是（D ）A. ∠B＝∠DCE B. ∠BAD+∠D＝180° C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3

9.如图，四边 ABCD 中，A  C  90，BE 平分 ABC ，DF 平分 ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．

【答案】BE∥DF，思路如下：四边形内角和=360°，可知∠ABC+∠ADC=180°，∴∠2+∠4=90°，∵∠CFD+∠4=90°，∴∠2=∠CFD，∴BE∥DF

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126 数学加分宝题组 3 平行线的性质

1.直线 a,b,c,d 的位置如图所示，如果 1  2， 3  43 ，那么4 等于（B ）A．130° B．137° C．140° D．143°

2.已知，如图， 1  2  3  55，则 4 的度数等于（ C ）

A．115° B．120° C．125° D．135°

3.如图，在 ABC 中，CD 平分 ACB ， 1  2  36，则 3 =__72°_.

4.如图，把一张长方形纸片沿 AB 折叠，已知 1  74 ，则 2 =__32°__．

5. 如图，直线 AB∥CD，一个含 60°角的直角三角板 EFG（∠E=60°）的直角顶点F 在直线AB上，斜边EG 与 AB 相交于点 H，CD 与 FG 相交于点 M．若∠AHG=50°，则∠FMD 等于（B ）A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°

6.如图所示，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C′处，折痕为EF，若∠EFC′=125°，那么∠AEB 的度数是 70° ．

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127 数学加分宝7.如图，已知 AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝__30___度．

8.如图，直线 AB∥CD,C  44，E 是直角，则∠1=__134°___.

9．（市南期末）如图，直线 m∥n ，1 120 ，2  95，则 3 4 35° ．10.（局属期末）如图，一张四边形纸片 ABCD，∠A=50°，∠A=50°，∠C=150°，若将其按照图2所示方式折叠后，恰好 MD'∥AB，ND'∥BC，则∠D=__80°___.题组 4 平行线的证明题（填写理由类）

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128 数学加分宝9.（市北期末）填空并在括号中填上每一步的依据

如图，已知，ADC  ABC ，BE、DF 分别平分 ABC 、ADC，且12，求证：AC.证明：∵BE 、 DF 分别平分 ABC 、ADC （已知）

  ABC

2

1

1 ，  ADC

2

1

3 （ 角平分线的定义 ）

∵ABC  ADC （已知）

1  3 （ 等量代换 ）

∵1  2 （已知）2  3（ 等量代换 ）

 AB // DC （ 内错角相等，两直线平行 ）

A  ADC =180，C   ABC=180（ 两直线平行，同旁内角互补）A  C （ 等角的补角相等 ）

10．（李沧期末）如图，已知 EF⊥BC，∠1=∠C，∠2+∠3=180°．试

说明直线 AD 与 BC 垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在

括号内填写理由）．

解：∵∠1=∠C，（ 已知 ）

∴_ GD___∥___AC____（ 同位角相等，两直线平行 ），

∴∠2=_∠DAC______ （ 两直线平行，内错角相等 ），

又∵∠2+∠3=180°，（ 已知 ）

∴∠3+__∠DAC____=180°．（ 等量代换 ）

∴_AD_∥ EF （ 同旁内角互补，两直线平行 ），

∴∠ADC=∠EFC，

∵EF⊥BC，（ 已知 ）

∴∠EFC=90°，∴∠ADC=90°，∴ AD⊥BC

11.（市北期末）如图,已知∠1+∠2=180∘ ，∠3=∠B，试判断 DE 和 BC 的位置关系，并对结论进行说理.求证：DE//BC.证明：∠1+∠2=180∘ (已知),∠1+∠4=180∘ (邻补角的定义)，

∴∠2=∠4（同角的补角相等）

∴_BD_∥___EF__( 内错角相等，两直线平行 )，

∴∠3+ ∠BDE =180°（ 两直线平行，同旁内角互补 )，

∵∠3=∠B(已知)，

∴∠B+ ∠BDE =180°(等量代换)，

∴ DE ∥ BC ( 同旁内角互补，两直线平行 ).

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129 数学加分宝第 15 周秋季讲义题组 1 平行线的证明大题

1.（李沧期末）如图所示，点 B、E 分别在 AC、DF 上，BD、CE 均与 AF 相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F. 【答案】先证明∠1=∠3 得 DB∥CE，然后得∠C=∠DBA，最后得出∠D=∠DBA，∴DF∥AC∴∠A=∠F. 2．（市南期末）如图，在 ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC上，连接DE、DF，G是DF上一点，连接 EG ,已知 1 2 180 ，B  3．

（1）求证： EG∥ AB ；

（2）请判断C 与AED 的大小关系，并说明理由．

A

D E

B

F

C

G

2

3

1

【答案】（1）根据同角的补角相等，可得∠2=∠DGE，∴EG∥AB （2）∠C=∠AED3.（市南期末）如图，∠BAP 与∠APD 互补，∠BAE=∠CPF．求证：∠E=∠F．A B

C

P

E

F

D

【答案】先由同角的补角相等可知∠BAP=∠APC，再根据等式性质可知，∠EAP=∠FPE∴AE∥FP.∴∠E=∠F

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130 数学加分宝4.（17 市南期末）如图,ABD 和BDC 的平分线交于点 E ， BE 交CD于F，1290.求证：（1） AB //CD ； （2）2  3  90. 【答案】（1）由∠1+∠2=90°，可知∠ABD+∠BDC=180°，∴ AB //CD（2）由∠1=∠3，可知 2  3  90

5．（青大附）已知：如图，ABC 中，E 为 BC 边上一点，过点 E 作 GE⊥ BC，交AB于点G，AD⊥BC于 D ，ADF  BGE .求证：BAC  DFC

C

A

F

E D

B

G

【答案】（1） 由GE ⊥ BC AD ⊥ BC 可知 GE∥AD ∴∠BGE=∠BAD 由ADFBGE可知∠BAD=∠ADF∴DF∥AB ∴BAC  DFC

6.（市南期末）已知：如图，直线 BD 分别交射线 AE、CF 于点 B、D，连接A、D 和B、C，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD 平分∠BDF.求证：（1）AD∥BC； （2）BC 平分∠DBE．【答案】（1）由同角的补角相等可知∠1=∠BDC，∴AE∥CF∴∠A+∠ADC=180°，∴∠C+∠ADC=180°∴AD∥BC

（2）由∠EBC=∠C=∠ADF，∠CBD=∠ADB，∠ADF=∠ADB 可知∠EBC=∠CBD，∴BC平分∠DBE．

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131 数学加分宝7.（市北期末）如图，已知：点 A、B、C 在一条直线上．

（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E 中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题:条件：_ ②③___； 结论：__①___．

（2）证明你所构建的是真命题．

8．（李沧期末）如图，直线 1

l ， 2

l 均被直线 3

l ， 4

l 所截，且 3

l 与 4

l 相交，给定以下三个条件：① 1 3

l  l ；②∠1=∠2；③∠2+∠3=90º．

请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明．【答案】已知：① ②

求证：③

证明：∵∠1=∠2，∴l1∥l2，∵l1⊥l3，∴l2⊥l3，∴∠3+∠4=90°，∵∠4=∠2，∴∠2+∠3=90°．9.（市南期末）如图，已知 BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3=180°. （1）请你判断∠1 与∠ABD 的数量关系，并说明理由；

（2）若∠1=70°，BC 平分∠ABD，试求∠ACF 的度数. 【答案】（1）∠1=∠ABD，证明略；（2）∠ACF=55°.

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132 数学加分宝10.（市南期末）已知：如图，线段 AC 和 BD 相交于点 O，E 是 CD 上一点，F 是OD 上一点，FE∥OC，且∠1＝∠A．（1）求证：AB∥DC；（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE 的度数．【答案】（1）∵EF//CO，∴∠1=∠C，又∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB//CD （2）95°

11.（局属期末）已知：如图，点C 在∠ AOB 的一边OA上，过点C的直线 DE∥OB,CF平分ACD .CG  CF 于 C. （1）若O  40，求ECF 的度数.（2）求证：CG平分OCD. （3）当∠O 为多少度时，CD平分OCF.并说明理由.

【答案】（1）110° （2）略 （3）∠O=60°

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133 数学加分宝题组 2 外角的性质

1.（市南期末）如图，下列说法中是错误的（ D ）

A．HEC  B B．B  ACB180 AC．B  ACB 180 D． B  ACD2.如图，∠A，∠DOE，∠BEC 的大小关系是（ B ）

A.∠A＞∠DOE＞∠BEC B.∠DOE＞∠BEC＞∠A C.∠DOE＞∠A＞∠BEC D.∠BEC＞∠DOE＞∠A3.如图，∠1=45°，∠3=105°，则∠2= 60° .

4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，沿 CD 折叠△CBD，使点 B 恰好落在边AC 上点E 处，若∠A＝25°，则∠ADE 40°

5.如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠DCB 互补，E 为 BC 延长线上的点，且，∠1＋∠2＋∠DCE=224°，则∠A 的度数是____112°____．

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134 数学加分宝6.（李沧期末）如图， AB  BC  CD  DE  EF  FG ，∠1=130°,则∠A= 10 度.

7.如图，△ABC 中，∠A=65°，点 D 在边 AC 上，连接 BD，作∠DCE=∠ABD=30°，则∠BEC=125°.

8.（市南期末）如图，AB∥CD，点 P 为 CD 上一点，∠EBA、∠EPC 的角平分线于点F，已知∠F=40°，则∠E= 80 度．

9.（李沧期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD 平分∠ADC；⑤∠BDC＝

2

1

∠BAC.其中正确的结论有①②③⑤.（把正确的结论序号填写在横线上）

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135 数学加分宝第 16 周秋季讲义题组 1 外角型探究

1.如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽力向球门 AB 冲近. （1）在 D 点的射门角度∠ADB 与 C 点的射门角度∠ACB 哪个大？请说明理由【答案】∠ADB>∠ACB

（2）若测得∠1=30°，∠2=20°，∠ACB=50°，请计算出球员在 D 点射门的角度∠ADB 是多少度？【答案】100° （3）通过上面的计算，你能得到关于∠1、∠2、∠ACB 与∠ADB 四个角之间的等量关系吗？直接写出这个结论.并利用这个结论，计算五角星中五个角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和. 【答案】∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° （4）请写出图中六个角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 之间的一个等量关系，并利用（3）中的结论进行证明. 【答案】∠D+∠F=∠A+∠B+∠C+∠E

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136 数学加分宝2. （市北期末）如图，将一张三角形的纸片 ABC ，分别进行以下操作和探究：（1）如图 1，将 ABC 沿直线 DE 折叠，使点 A 落在 AC 上的 A' 处，BDA' 与A有怎样的度数关系?说明理由；

（2）若按照图 2 所示折叠，那么BDA' ，CEA'和A 有怎样的度数关系?说明理由；（3）若按照图 3 所示折叠，则 BDA' ，CEA'和A 的度数关系是_________.（填空即可，无需说明理由）

（4）如图④，将四边形 ABCD 纸 片沿 EF 折叠，使点 B 落在四边形 EFCD 的内部时，∠DEA′+∠CFB′与∠A、∠B 之间的数量关系是___________．（直接写出结论）

【答案】(1) BDA' 与 A 的关系为： BDA' 2A

证明：∵ BDA' 是 ADA'的外角

∴BDA' A DEA' ∵ ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 A' 处

∴A  DA'E

∴BDA' 2A

(2) BDA' ，CEA'与A 的关系为： BDA'CEA' 2A

证明： 连接 AA' ∵ BDA' 是 ADA'的外角

∴BDA' DAA'DA' A

∵ CEA'是 AEA' 的外角

∴CEA' EAA'EA' A

∴BDA'CEA' DAA'DA' A EAA'EA' A  DAE  DA'E∵ ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 A' 处

∴DAE =DA'E

∴BDA'CEA' 2A

(3) BDA' ，CEA'与A 的关系为： BDA'CEA' 2A

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137 数学加分宝2.(1)如图 1,把△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A'处,请直接写出∠1＋∠2 与的∠A 的关系:

1 2  2A . (2)如图 2,把△ABC 分别沿 DE、FG 折叠,使点 A 落在点 A'处,使点 B 落在点 B'处,若∠1＋∠2＋∠3＋∠4=220°则∠C= 70° . (3) 如图 3,在锐角△ABC 中, BM  AC于点M ,CN  AB 于点 N,BM、CN 交于点H,把△ABC沿DE折叠使点 A 和点 H 重合,则BHC与1 2 的关系是 1 2  360- 2BHC.请说明理由. (4)如图 4,BH 平分ABC ,CH 平分ACB ,把△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 与点H 重合,若12100，求BHC 的度数. 【答案】（4）115°

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138 数学加分宝题组 2 角平分线型探究

1.（局属期末）已知△ ABC 中，∠ ABC 的 n等分线与ACB的n 等分线分别相交于1 2 3 1, , .... GGGGn，试猜想：BGn1C 与∠ A 的关系.（其中 n是不小于2的整数）

首先得到：当 A; 2

1

2 1 90 n  时，如图 ，BG1C     如图 2，BGC A32602

.....如图3，猜想. 180 1

1 A

n

n

n

BGn C 

    

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139 数学加分宝2.（市南期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成提出的问题.探 究 1: 如 图 1, 在 ABC 中 , O 是 ABC 与 ACB 的 平 分 线 BO和CO的交点. 通过分析发现BOC    A

2

1

90 .理由如下：

∵ BO 和CO 分别是ABC 和ACB 的平分线

∴  ABC

2

1

1 ,  ACB

2

1

2

∴    ABC  ACB 2

1

1 2

∵ABC  ACB 180  A

∴    ABC  ACB     A    A

2

1

180 90

2

1

2

1

1 2

∴ BOC   A    A









             

2

1

90

2

1

180 1 2 180 90

(1)探究 2：如图 2，O 是外角 DBC 与外角 ECB 的平分线 BO和CO的交点，则BOC与A有怎样的关系?请说明理由. BOC    A

2

1

90

(2)探究 3：如图 3 中，O 是ABC 与外角ACD 的平分线 BO和CO的交点,试分析BOC与A有怎样的关系? BOC  A

2

1

(直接写出结论)

(3)拓展：如图 4,在四边形 ABCD 中, O 是 ABC 与 DCB 的平分线 BO和CO的交点，则BOC与A D 有怎样的关系? BOC  A D 2

1

.(直接写出结论)

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140 数学加分宝3.（市北期末）如图 1，在△ABC 中，点 P 是内角∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，猜想∠P和∠A之间的数量关系，并证明你的猜想.猜想：P  A

2

1

证明：∵点 P 是内角∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线交点

∴PBC  ABC PCD  ACD

2

1

2

1 ，

∵∠ACD 是△ABC 的外角

∴∠ACD=∠A+∠ABC

∴ ACD  A ABC

2

1

2

1

2

1

∴PCD  A PBC

2

1

∵∠PCD 是△PBC 的外角

∴∠PCD=∠P+∠PBC

∴P  A

2

1

【迁移拓展】

如 图 2 ， 在 △ABC 中 ， 点 P 是 内 角 ∠ABC 和 外 角 ∠ACD 的n 等分线的交点，即ACD

n

ABC PCD

n

PBC     

1

, 1 ，试猜想∠P 与∠A 之间的数量关系，并证明你的猜想.猜想： A

n

P  

1

证明：

∵∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC

∴ ABC

n

A

n

ACD

n

    

1 1 1

∴ A PBC

n

PCD    1

∵∠PCD 是△PBC 的外角 ∴∠PCD=∠P+∠PBC ∴ An

P  1

【应用创新】

已知，如图 3，AD，BE 相交与点 C，∠ABC、∠CDE、∠ACE 的角平分线相交与点P，∠A=35°，∠E=25°，则∠BPD=____30°_____.

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141 数学加分宝4.（李沧期末）

问题探究一：

（1）已知：如图①，在 ABC 中，A  60，BP、CP 分别平分 ABC和ACB,则BPC的度数=120. （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？结合图①猜想：P 与A 的数量关系是P    A

2

1

90 ，并说明理由.问题探究二：

（1）已知：如图②，DBC 与ECB 分别是△ABC 的两个外角，且DBCECB210，则A的度数=___30°___.问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？结合图②猜想： DBCECB与A的数量关系是DBC  ECB 180  A，并说明理由.拓展与应用

（1）如图③，在四边形 ABCD 中，DP、CP 分别平分ABC和BCD,AB230，则P_115°. （2）如图④， 四边形 ABCD 中，F 为四边形 ABCD 的ABC的角平分线及外角DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设A ,D   ，则 F 

2

   180

.（用，表示）（3）如图⑤，BI 平分ABC ，CI 平分∠ACB，把△ABC 折叠，使点 A 与点I 重合，若12130，则BIC  122.5.

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142 数学加分宝5.（市南期末）已知△ABC，D 为△ABC 所在平面上一点，BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，（1）若 D 点是△ABC 中 BC 边上一点，如图 1 所示，判断∠P、∠A 之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论. （2）若 D 点是△ABC 中 AB 边上一点，如图 2 所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A 之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论. （3）若 D 点是△ABC 外任一点，如图 3 所示，判断∠D、∠P、∠A 之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论. （4）若 D 点是△ABC 内一点，如图 4 所示，判断∠D、∠P、∠A 之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）

（1）结论：∠P=90

0+ ∠A，证明∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠PBD= ∠ABD，∠PCD=∠ACD，又∵∠ABD+∠ACD=180

0－∠A，∠P=180

0－（∠PBD+∠ACD），

∴∠P=180

0－（ ∠ABD+ ∠ACD）=180

0－ （180

0－∠A），∴∠P=90

0+ ∠A…………………3分（2）结论 2∠BPC =∠BDC+∠BAC

证明∵CP 平分∠ACD，∴∠PCA=∠PCD，又∵∠BDC=∠BPC+∠PCD，∠BPC=∠PAC+∠PCA∴2∠BPC =∠BDC+∠BAC…………………6 分

（3）2∠BPC =∠BDC+∠BAC

∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠PBA=∠PBD，∠PCA=∠PCD，

又∵∠PED=∠PBD+∠D，∠PED=∠PCD+∠P，∴∠PBD+∠D =∠PCD+∠P

又∵∠PFC=∠PCA+∠A, ∠PFC=∠PBA+∠P，∴∠PCA+∠A =∠PBA+∠P

∴2∠P=∠D+∠A…………………9 分

（4）2∠P =∠D+∠A…………………12 分

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143 数学加分宝题组 3 “8”字型探究

1．如图 1，AD，BC 交于 O 点，根据“三角形内角和是 180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC=∠AOB ②∠D+∠C=∠A+∠B．

〖提出问题〗

分别作出∠BAD 和∠BCD 的平分线，两条角平分线交于点 E，如图（2），∠E 与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？

〖解决问题〗

为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究.已知∠BAD 的平分线与∠BCD 的平分线交于点 E. （1）如图（3），若 AB∥CD，∠D=30°，∠B=40°，则∠E= 35° ；

（2）如图（4），若 AB 不平行 CD，∠D=30°，∠B=50°，则∠E 的度数是多少呢？小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：

易证∠D+∠1＝∠E+∠3， ∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴ ∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，

∵ CE、AE 分别是∠BCD、∠BAD 的平分线，

∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4. ∴ 2∠E＝ ∠D+∠B _，

又∵ ∠D=30°，∠B=50°，

∴ ∠E＝___40___度. （3）在总结前两问的基础上，借助图（2）， 直接写出∠E 与∠D、∠B 之间的数量关系是：_∠E＝∠D+∠B. 〖类比应用〗

如图（5），∠BAD 的平分线 AE 与∠BCD 的平分线 CE 交于点 E．

已知：∠D＝m°、∠B=n°，（m＜n）求：∠E 的度数．

解：延长 BC 交 AD 于点 F，

∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，

∵CE 平分∠BCD，AE 平分∠BAD

∴∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，

∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，

∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－

1

2

∠BCD=∠B+∠BAE－

1

2

（∠B+∠BAD+∠D）=

1

2

（∠B－∠D），即∠AEC=

1

2

（m－n）

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144 数学加分宝3.（局属期末）【问题背景】

（1）如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D

【简单应用】

（2）如图 2，AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°求∠P 的度数(可直接使用问题（1）中的结论)

【问题探究】

（3）如图 3，直线 AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P 的度数为______. 【拓展延伸】

（4）在图 4 中，若设∠C= x ，∠B= y ，∠CAP= 3

1 ∠CAB，∠CDP= 3

1 ∠CDB，试问∠P 与∠C、∠B之间的数量关系为__________________(用 x 、 y 表示∠P)

（5）在图 5 中，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，猜想∠P 与∠B、∠D的关系，直接写出结论_________________________.

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145 数学加分宝3.（市南期末）直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，点 A 在直线 PQ 上运动，点B 在直线MN上运动. （1）如图 1，已知 AE、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，点 A、B 在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的度数. （2）如图 2，已知 AB 不平行 CD，AD、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD 的角平分线，点 A、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值. （3）如图 3，延长 BA 至 G，已知∠BAO、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在直线相交于E、F，在 AEF 中，如果有一个角是另一个角的 3 倍，试求 ABO 的度数. 【答案】解：（1）不变，135°（2）67.5° （3）45°或 60°

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146 数学加分宝4（. 1）如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D 四个角的数量关系是∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图 2，若∠BCD，∠ADE 的角平分线 CP，DP 交于点 P，求∠P 与∠A，∠B 之间的数量关系；【答案】2∠P=180°－∠A－∠B

（3）如图 3，CM，DN 分别平分∠BCD，∠ADE.当∠A+∠B=80°时，试求∠M+∠N 的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；

【答案】230° （4）如图 4，如果 MCD  BCD

3

1 ， ADE

3

1 NDE  ，当 A Bn 时，直接写出∠M+∠N的度数为

3

240

n

  .（结果用 n 表示）