该页无缩略图
96
6.现有A,B两种商品,买2件A 商品和1件B商品用了90元,买3件A 商品和2件B商品
用了160元.
(1)求A,B两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备用400元购买A,B 两种商品(400元恰好用完,两种商品都有),请问有
几种购买方案?
7.(2020·江西)放学后,小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通
笔记本,这种笔芯每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤要买3支笔芯,
2本笔记本需花费19元;小艺要买7支笔芯,1本笔记本需花费26元.
(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格;
(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自为要买的文具付
款后,只有小贤还剩2元钱.他们要怎样做才能既买到各自的文具,又都买到小工艺
品,请通过运算说明.
第八章 二元一次方程组
97
*8.4 三元一次方程组的解法
1.方程组中含有 未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是 ,并且一共
有 方程,像这样的方程组叫作三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的步骤:
(1)利用代入消元法或 消元法,把方程组中一个方程与另两个方程分别组成
,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;
(2)解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值;
(3)将求得的两个未知数的值代入 中的一个系数比较简单的方程,得到一个一元
一次方程;
(4)解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值;
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起.
1.下列方程组中,是三元一次方程组的是 ( )
A.
a=1
b=2
b-c=3
?
?
?
??
??
B.
x+y=2
y+z=1
z+c=3
?
?
?
??
??
C.
4x-3y=7
5x-2y=14
2x-y=4
?
?
?
??
??
D.
xy+z=3
x+yz=5
xy+y=7
?
?
?
??
??
2.观察方程组
5x+4y-3z=1
2x-2y+5z=11
7x+2z=6
?
?
?
??
??
的系数特征,若要使求解简便,消元的方法应选取 ( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
3.已知方程组
2x-y+z=-1, 3x+6y-z=16,
则x+y的值为 ( )
A.4 B.5 C.3 D.6
4.某商场推出A、B、C三种特价玩具,若购买A 种2件、B种1件、C种3件,共需24元;若购
买A 种3件、B种4件、C种2件,共需36元.那么小明购买A 种1件、B种1件、C种1件,
共需付款 ( )
A.11元 B.12元 C.13元 D.不能确定
5.对于方程组
x-y+z=-3, x+y-2z=9,
若消去z可得含x、y的方程是 .
98
6.已知方程组
x-y=5 4x-3y+k=0
的解也是方程3x-2y=0的解,则k= .
7.解三元一次方程组
(1)
x-y=-1,
y-z=-1,
x+y+z=6;
?
?
?
??
??
(2)
2x-y+z=2,
x-2y-z=7,
x+y-2z=7.
?
?
?
??
??
8.解方程组
2x-3y+2z=2 ①,
3x+4y-2z=5 ②,
4x+5y-4z=2 ③,
?
?
?
??
??
把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程
组
5x+y=7, 8x-y=6,
需要经历如下的步骤,请你选出正确的步骤 ( )
A.
①+② ①×2+③
B.
①+② ②×2-③
C.
①+② ①×2-③
D.
②×2-③ ①×2+③
9.在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=2;当x=-1时,y=0;当x=2时,y=12,则a+
b+c= ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
10.关于x,y的方程组
2x-y=3 2kx+(k+1)y=10
的解互为相反数,则k的值是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
11.如果方程组
x+y=8
y+z=6
z+x=4
?
?
?
??
??
的解使代数式kx+2y-z的值为10,那么k的值为 ( )
A.
1
3
B.3 C.-
1
3
D.-3
12.已知有理数x,y,z满足条件:|x-z-2|+|3x-6y-7|+(3y+3z-4)2=0,则xyz=
.
第八章 二元一次方程组
99
13.小明,小丽,小刚到同一个文具店买文具,小明买了2支钢笔,2本作业本,3个文件袋共花
了20元;小丽买了1支钢笔,2个文件袋共花了10元;那么小刚买了5支钢笔,4本作业
本,8个文件袋共花了 元.
14.对于有理数x,y定义新运算x*y=ax+by+c.其中a,b,c是常数,等式右边是通常的加
法与乘法运算.已知1*2=9,(-3)*3=6,0*1=2,求(-2)*5的值.
15.一个三位数的三个数字的和是17,百位数字与十位数字的和比个位数字大3,如果把个位
数字与百位数字的位置对调,那么所得的三位数比原数大495,求原来的三位数.
16.水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力
和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?
(2)为了节约运费,市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知
它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?
100
17.(2020·重庆)火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外
卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业
额之比为3∶5∶2.随着促进消费政策的出台,该火锅店老板预计7月份总营业额会增加,
其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的2
5
,则摆摊的营业额将达到7月份总营业额
的7
20
,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8∶5,则7月份外卖还需增加的营业额与7
月份总营业额之比是 .
第八章 二元一次方程组
101
章末小结
二
元
一
次
方
程
组
二元一次方程
定义:含有① 未知数,并且含有未知数的项的次数都是②
的方程
解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值
?
?
?
??
??
二元一次方程组
定义:有③ 未知数,含有每个未知数的项的次数都是④ ,
并且一共有两个方程
解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解
解法
代入法 加减法
应用:列二元一次方程组解决实际问题
?
?
?
?????
?????
三元一次方程组
定义:含有⑤ 未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是
⑥ ,并且一共有三个方程
解法:利用消元法解三元一次方程组
应用:列三元一次方程组解决实际问题
?
?
?
???
???
?
?
?
?????????
?????????
考点一 二元一次方程(组)的概念
1.方程(m2-9)x2+x-(m+3)y=0是关于x、y的二元一次方程,则m 的值为 ( )
A.±3 B.3 C.-3 D.9
2.若方程(2m-6)x|m-2| -(n+2)y|n+3| =16 是关于 x、y 的二元一次方程,则 m+n
= .
3.若方程组
x-(c+3)xy=3 xa-2-yb+3=4
是关于x,y的二元一次方程组,求代数式a+b+c的值.
考点二 二元一次方程组的解
4.如果方程组
x=2 ax+by=7
的解与方程组
y=3 bx+ay=8
的解相同,则a、b的值是 ( )
A.
a=2 b=1
B.
a=-2 b=1
C.
a=2 b=-1
D.
a=-2 b=-1
102
5.方程组
2x+y=□ x+y=3
的解为
x=2 y=△
,则被遮盖的两个数△,□分别为 ( )
A.1,2 B.1,3 C.1,5 D.2,4
6.若关于x、y的方程组
2x+3y=4 3x+2y=2m-3
的解满足x+y=
3
5
,则m= .
7.已知关于x,y的方程组
3x-5y=2a, x-2y=a-5,
①当a=5时,方程组的解是
x=10, y=20;
②当x,y的值
互为相反数时,a=20;③不存在一个实数a使得x=y;④若25a-y =2-3,则a=2.其中正确
的是 .(填序号)
8.在解方程组
ax+by=9 x-cy=-7
时,甲正确地解得
x=3, y=2,
乙把c写错而得到
x=6, y=1,
若两人的运算
过程均无错误,求a,b,c的值.
考点三 解二元一次方程组
9.对于数对(a,b)、(c,d),定义:当且仅当a=c且b=d时,(a,b)=(c,d);并定义其运算如下:
(a,b)※(c,d)=(ac-bd,ad+bc),如(1,2)※(3,4)=(1×3-2×4,1×4+2×3)=(-5,
10).若(x,y)※(1,-1)=(1,3),则xy 的值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知 3y+2x+2+(x+2y-5)2=0,则x+y= .
11.若2020xm+10y7-n和-2021yn-mx3n-m 是同类项,则m2-2mn+n2= .
12.解下列方程组:
(1)
4(x-y-1)=3(1-y)-2,
x
2
+
y
3
=2;
?
?
?
??
??
(2)
0.3x-1.5y
0.3
+
3y-2x
4
=6,
x
2
+
y-1
3
=24.
?
?
?
???
??
第八章 二元一次方程组
103
考点四 二元一次方程组的应用
13.为了鼓励市民节约用电,某市对居民用电实行“阶梯收费”(总电费=第一阶梯电费+第二
阶梯电费).规定:用电量不超过200度按第一阶梯电价收费,超过200度的部分按第二阶
梯电价收费.如图是张磊家2021年9月和10月所交电费的收据,则该市规定的第一阶梯
电价和第二阶梯电价分别为每度 ( )
A.0.5元、0.6元 B.0.4元、0.5元 C.0.3元、0.4元 D.0.6元、0.7元
14.已知:正方形ABCD 的面积为64,被分成四个相同的长方形和一个面积为
4的小正方形,则a,b的长分别是 ( )
A.a=3,b=5 B.a=5,b=3
C.a=6.5,b=1.5 D.a=1.5,b=6.5
15.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,
则自行车行驶3000km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮
胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km.
16.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的
1
3
,另一根露出水面的长度是它的1
5
.两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是
多少?
104
17.用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图2的竖式和横式两种无盖纸
盒,现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰
好将库存的纸板用完?
图1 图2
考点五 三元一次方程组
18.已知
x=1
y=2
z=3
?
?
?
??
??
是方程组
ax+by=2
by+cz=3
cx+az=7
?
?
?
??
??
的解,则a+b+c的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.以上答案都不对
19.满足2x-y=12-5m和x+3y=20-6m的x,y也满足3x+2y=23-2m,则m的值是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.
1
2
20.如图是一个正方体的平面展开图,若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等,则z+y
-x的值为 .
x+y
z-1 5-6x 7x+2y
3x+2 4x-3
21.一个三位数,如果把它的个位数字与百位数字交换位置,那么所得的新数比原数小99,且
各位数字之和为14,十位数字是个位数字与百位数字之和.这个三位数是 .
第九章 不等式与不等式组
105
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
1.用符号“<”或“>”表示 的式子,叫作不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示
的式子也是不等式.
2.使不等式成立的 的值叫作不等式的解.
3.一般的,一个含有未知数的不等式的所有的 ,组成这个不等式的解集.
4.不等式的解集的表示形式:
①代数表示:用不等式表示成x>a,x<a,x≥a,x≤a的形式即可;
②几何表示:将不等式的解集用数轴来表示,具体表示方法为:一定 ,若含边界点,
解集为实心点,若不含边界点,解集为空心圆圈;二定 ,对于方向而言,大于向右,
小于向左.
1.下列叙述:①a是非负数,则a≥0;②“a2 减去10不大于2”可表示为a2-10<2;③“x的倒
数超过10”可表示为1
x
>10;④“a,b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2>0.其中正确的
个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列数值中是不等式2x+1>7的解的是 ( )
A.-3 B.0 C.3 D.4
3.若3
2
是方程2x=3的唯一解,则x=
1
2
是不等式2x<3的 ( )
A.唯一解 B.一个解 C.解集 D.不是该不等式的解
4.如果某市2021年6月1日最高气温是33℃,最低气温是24℃,则当天该市气温t(℃)的变
化范围是 ( )
A.T>33 B.T≤33 C.24<T<33 D.24≤T≤33
5.无论x取什么数,下列不等式总成立的是 ( )
A.x+6>0 B.x+6<0 C.-(x-6)2<0 D.(x-6)2≥0
106
6.不等式x>1在数轴上表示为 ( )
A. B.
C. D.
7.直接写出下列不等式的解集:
(1)x-3>0的解集是 ;
(2)2x<12的解集是 ;
(3)x+2<4的解集是 .
8.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x<1; (2)x≤-3; (3)x>-1; (4)x≥-2.
9.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足 ( )
A.-8<x<8 B.x<-8或x>8
C.x<8 D.x>8
10.有下列四个结论,正确的是 ( )
①4是不等式x+3>6的解;②x>4是不等式x+3>6的解集;③3是不等式x+3≥6的
解;④x≥3是不等式x+3≥6的解集.
A.①② B.①②③ C.③④ D.①③④
11.下列不等式中,4,5,6都是它的解的不等式是 ( )
A.2x+1>10 B.2x+1≥9 C.x+5≤10 D.3-x>-2
12.一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示,这个不等式可能是 ( )
A.x-3<0 B.x-3≤0 C.x-3>0 D.x-3≥0
13.小亮从家到学校的路程为2400米,他早晨8时离开家,要在8时30分到8时50分之间到
学校,如果用x表示他的速度(单位:米/分),则x的取值范围为 .
第九章 不等式与不等式组
107
14.已知实数m,n的位置在数轴上如图所示,用不等号填空.
(1)n-m 0;(2)m+n 0;(3)m-n 0;
(4)n+1 0;(5)m·n 0;(6)m+1 0.
15.若x<3的所有解都能使不等式2x-1<m 成立,则m 的取值范围是 .
16.将下列不等式的解集在数轴上表示出来:
(1)a是正数;
(2)b是非负数;
(3)x大于-1且不超过4的数.
17.燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安
全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02m/s,人离开的速度为4m/s,导火线的长x(m)应
满足怎样的关系式?
18.在数轴上表示不等式-2≤x< 17和x的下列取值:-1,-2,-2.5,0,4,4
1
2
,并利用数
轴说明,x的这些取值中,哪些满足不等式-2≤x< 17,哪些不满足.
108
19.比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”).
(1)32+42 2×3×4;
(2)22+22 2×2×2;
(3)12+
3 4
2
2×1×
3
4
;
(4)(-2)2+52 2×(-2)×5;
(5) 1 2
2
+
2 3
2
2×
1
2
×
2
3
.
通过观察上面的算式,请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律.
20.(2020·株洲)下列哪个数是不等式2(x-1)+3<0的一个解? ( )
A.-3 B.-
1
2
C.
1
3
D.2
21.(2020·南宁)如图,在数轴上表示的x的取值范围是 .
第九章 不等式与不等式组
109
9.1.2 不等式的性质
不等式的性质1:不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
用式子表示:如果a>b,那么 .
不等式的性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
用式子表示:如果a>b,c>0,那么 .
不等式的性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
用式子表示:如果a>b,c<0,那么 .
1.如果m>n,那么下列结论错误的是 ( )
A.m+2>n+2 B.m-2>n-2 C.2m>2n D.-2m>-2n
2.由a>b得到am>bm 的条件是 ( )
A.m>0 B.m<0 C.m≥0 D.m≤0
3.不等式2x-6>0的解集是 ( )
A.x>1 B.x<-3 C.x>3 D.x<3
4.若x<y,且(a+5)x<(a+5)y,则a的取值范围是 ( )
A.a>-5 B.a>0 C.a<-5 D.a>5
5.在数轴上表示不等式x-1<0的解集正确的是 ( )
A B C D
6.已知a>b,则-4a+5 -4b+5.(填>、=或<)
7.等式(1-a)x>2可化为x<
2
1-a
,则a的取值范围是 .
8.根据不等式的性质把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式:
(1)x-3<5; (2)8x>7x+5; (3)1
7
x<-3; (4)-3x>36.
110
9.一列火车共有n节车厢,每节车厢有108个座位,春运期间的某天,这列火车上有m 位乘
客,其中有一些乘客没有座位,你能用不等式表示上述关系吗?
9.若x>y,则a2x与a2y的大小关系是 ( )
A.> B.< C.≥ D.无法确定
10.下列式子一定成立的是 ( )
A.若ac2=bc2 则a=b B.若ac>bc,则a>b
C.若a>b则ac2>bc2 D.若a<b,则 a
c2+1
<
b
c2+1
11.设a>b>0,c为常数,给出下列不等式①a-b>0;②ac>bc;③
1
a
<
1
b
;④b2>ab,其中正确
的不等式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图,已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C,则下列不等式中不正确的是
( )
A.c<b<a B.ac>ab C.cb>ab D.c+b<a+b
13.某商店分别购进单价为每斤a元的甲种糖果10斤,单价为每斤b元的乙种糖果20斤,商
店以每斤a+b
2
元的价格全部卖完后,为保证盈利,a与b要满足的关系是 ( )
A.a>b B.a<b C.a≤b D.a≥b
14.已知a<0,-1<b<0,那么将a,ab,ab2 从小到大依次排列的顺序是 .(用“<”连
接)
15.设a<0,且有|a|·x≤a,则|x+1|-|x-2|= .
第九章 不等式与不等式组
111
16.利用不等式性质求不等式解集,并把解集在数轴上表示.
(1)3x-1>4; (2)3x<5x-4;
(3)2
3
x+2≤1; (4)1-
1
2
x≤3.
17.已知关于x的不等式(m-1)x>6,两边同除以m-1,得x<
6
m-1
,试化简:|m-1|-|2-
m|.
18.已知二元一次方程组
3x-7y=-1 3x+7y=13
的解满足不等式ax+2y<10,求a的取值范围.
112
19.(1)①如果a-b<0,那么a b;②如果a-b=0,那么a b;③如果a-b>
0,那么a b;
(2)由(1)你能归纳出比较a与b大小的方法吗? 请用文字语言叙述出来.
(3)用(1)的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小? 如果能,请写出比较
过程.
20.(2020·贵港)如果a<b,c<0,那么下列不等式中不成立的是 ( )
A.a+c<b+c B.ac>bc C.ac+1>bc+1 D.ac2>bc2
21.(2020·宿迁)若a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.a>b+2 B.a+1>b+1 C.-a>-b D.|a|>|b|
22.(2020·安顺)已知a<b,下列式子不一定成立的是 ( )
A.a-1<b-1 B.-2a>-2b
C.
1
2
a+1<
1
2
b+1 D.ma>mb
第九章 不等式与不等式组
113
9.2 一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式
1.含有 个未知数,未知数的次数是 的不等式,叫作一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的步骤:
(1)去分母;(2) ;(3)移项;(4)合并同类项;(5) .
1.下列各式是一元一次不等式的是 ( )
A.
2
x
>1 B.-2x<0
C.2 x≠1 D.x+2y≤0
2.若(m-2)x2m+1-1>5是关于x的一元一次不等式,则该不等式的解集为 ( )
A.m=0 B.x<-3
C.x>-3 D.m≠2
3.下列解不等式2+x
3
>
2x-1
5
的过程中,出现错误的一步是 ( )
①去分母:5(x+2)>3(2x-1); ②去括号:5x+10>6x-3;
③移项:5x-6x>-10-3; ④系数化为1得:x>13.
A.① B.② C.③ D.④
4.不等式5x+1≥3x-1的解集在数轴上表示正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5.关于x的方程3x-2m=1的解为正数,则m 的取值范围是 ( )
A.m<-
1
2
B.m>-
1
2
C.m>
1
2
D.m<
1
2
6.不等式x-1≤2的非负整数解有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.不等式5x-3<3x+5的最大整数解是 .
8.已知关于x的不等式3m-mx
2
>
3
2
x-1无解,则m 的值为 .
114
9.解下列不等式:
(1)2(x+5)≤3(x-5); (2)x+3
5
<
2x-5
3
-1.
10.关于x的方程2x+3(m-1)=1+x的解是正数,那么m 的取值范围是 ( )
A.m>
4
3
B.m<-
4
3
C.m<
4
3
D.m≤
4
3
11.若不等式2x+5
3
-1≤2-x的解集中x 的每一个值,都能使关于x的不等式3(x-1)+5
>5x+2(m+x)成立,则m 的取值范围是 ( )
A.m>-
3
5
B.m<-
1
5
C.m<-
3
5
D.m>-
1
5
12.若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解,则m 的取值范围是 ( )
A.6≤m≤9 B.6<m<9 C.6<m≤9 D.6≤m<9
13.已知关于x的不等式3x-m+1>0的最小整数解为2,则实数m 的取值范围是 ( )
A.4≤m<7 B.4<m<7 C.4≤m≤7 D.4<m≤7
14.对于任何有理数a,b,c,d,规定
a b
c d
=ad-bc,若
2x 2
-1 -1
<8,那么x的取值范围是
( )
A.x<3 B.x>0 C.x>-3 D.-3<x<0
15.现规定一种运算:a※b=ab+a-b,其中a,b为常数,若(2※3)+(m※1)=6,则不等式
3x+2
2
<m 的解集是 ( )
A.x<-2 B.x<-1 C.x<0 D.x>2
16.已知3x+5≤6+2(x-2),则|x+1|最小值等于 .
17.若关于x、y 的二元一次方程组
x-3y=4m+3 x+5y=5
的解满足x+y≤0,则 m 的取值范围
是 .
18.已知|3a+5|+ a-2b+
5 2
2
=0,求关于x的不等式3ax1
2
(x+1)<-4b(x-2)的最小
非负整数解.
第九章 不等式与不等式组
115
19.阅读下面的材料:
对于实数a,b,我们定义符号 min{a,b}的意义为:当a<b时,min{a,b}=a;当a≥b时,
min{a,b}=b,如:min{4,-2}=-2,min{5,5}=5.
根据上面的材料回答下列问题:
(1)min{-1,3}= ;
(2)当 min
2x-3
2
,x+2 3 =
x+2
3
时,求x的取值范围.
20.已知关于y的方程4y+2m+1=2y+5的解是负数.
(1)求m 的取值范围;
(2)当m 取最小整数时,解关于x的不等式:x-1>
mx+1
2
21.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问
题的重要思想方法.例如,代数式|x-2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的
点之间的距离:因为|x+1|=|x-(-1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应
的点与-1所对应的点之间的距离.
(1)发现问题:代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少?
(2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数-1、2、x,AB=3.
∵|x+1|+|x-2|的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和,
∴当点P在线段AB 上时,PA+PB=3,当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时,PA+
PB>3.
116
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3.
(3)解决问题:
①|x-4|+|x+2|的最小值是 ;
②利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x-1|>4;
③当a为何值时,代数式|x+a|+|x-3|的最小值是2.
22.(2020·盘锦)不等式4x+1>x+7的解集在数轴上表示正确的是 ( )
A. B.
C. D.
23.(2020·株洲)在平面直角坐标系中,点A(a,2)在第二象限内,则a的取值可以是 ( )
A.1 B.-
3
2
C.
4
3
D.4或-4
24.(2020·天水)若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解,则a的取值范围为( )
A.-7<a<-4 B.-7≤a≤-4
C.-7≤a<-4 D.-7<a≤-4
25.(2020·绵阳)若不等式x+5
2
>-x7
2
的解都能使不等式(m-6)x<2m+1成立,则实数
m 的取值范围是 .
26.(2020·通辽)用※定义一种新运算:对于任意实数m 和n,规定m※n=m2n-mn-3n,
如:1※2=12×2-1×2-3×2=-6.
(1)求(-2)※ 3;
(2)若3※m≥-6,求m 的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.
第九章 不等式与不等式组
117
第2课时 一元一次不等式的应用
1.列不等式解应用题的一般步骤:
(1)弄清题意和题中的数量关系,用字母表示 ;
(2)找出能表示题目全部含义的一个 关系;
(3)根据这个不等关系列出需要的代数式,从而列出 ;
(4)解这个不等式,求出解集;
(5)写出符合实际题意的解(注意取值范围).
1.张老师每天从甲地到乙地锻炼身体,甲、乙两地相距1.4km.已知他步行的平均速度为
80m/min,跑步的平均速度为200m/min,若他要在不超过10min的时间内从甲地到达乙
地,至少需要跑步多少分钟? 设他需要跑步xmin,则列出的不等式为 ( )
A.200x+80(10-x)≥1400 B.80x+200(10-x)≤1400
C.200x+80(10-x)≥1.4 D.80x+200(10-x)≤1.4
2.小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元,每支签字笔2.2元,小明
买了7支签字笔,他最多还可以买的作业本个数为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.某品牌衬衫进价为120元,标价为240元,商家规定可以打折销售,但其利润率不能低于
20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折? ( )
A.8 B.6
C.7 D.9
4.小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板.三人的体重一共为168kg,爸爸坐在跷跷板的一端,体重只
有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地.那么小明的
体重可能是 ( )
歌神 KTV
包厢计费方案:
包厢每间每小时225元,
每人须另付入场费25元
???????????
人数计费方案:
每人欢唱3小时135元,
接着续唱每人每小时20元
A.27kg B.28kg
C.29kg D.30kg
5.图为歌神 KTV的两种计费方案说明.若嘉淇和朋友们打算
在此 KTV的一间包厢里连续欢唱6小时,经服务员试算后,
告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜,则他们
同一间包厢里欢唱的人数至少有 人.
118
6.新冠肺炎疫情发生以来,国家紧急调拨了大量物资驰援武汉,全国各地的民间组织也积极
捐赠,某市的民间组织捐赠了一批医用物资即将运往武汉,现有A、B 两种车型,A 种型的
载重量比B 种车型的载重量多5t,2辆A 种车型与4辆B种车型的总载重量为100t.
(1)求A、B两种车型的载重量分别是多少t?
(2)现有医用物资264t,计划用A、B 两种车型共15辆将这批医用物资一次性的运往武
汉,那么至少安排A 种车型多少辆?
7.某品牌智能手机的标价比成本价高a%,根据市场需求,该手机需降价x%,若不亏本,则x
应满足 ( )
A.x≤
a
100+a
B.x≤
a
100-a
C.x≤
100a
100+a
D.x≤
100a
100-a
8.某种出租车的收费标准是:起步价8元(即距离不超过3km,都付8元车费),超过3km以
后,每增加1km,加收1.2元(不足1km按1km计).若某人乘这种出租车从甲地到乙地
经过的路程是xkm,共付车费14元,那么x的最大值是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
9.某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a
个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个
零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a的值至少为 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
10.某大型超市从生产基地购进一批水果,运输过程中质量损失20%,假设不计超市其他费
用,如果超市要想至少获得20%的利润,那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高
.
第九章 不等式与不等式组
119
11.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化,已知甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵20元,且乙
种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵,购买两种树苗的总金额为9000元.
(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵?
(2)为保证绿化效果,社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵,总费用不超过230元,求可
能的购买方案?
12.甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每张椅子80
元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家:买一张桌子送三张椅子;乙厂家:桌
子和椅子全部按原价8折优惠.现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子,若购买的椅子
数为x张(x≥9).
(1)分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额;
(2)购买的椅子至少多少张时,到乙厂家购买更划算?
13.某商店A 型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A 型号笔记本电脑举行促销
活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售;方案二:若购买不超过5台,每台
按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从某商店购
买A 型号笔记本电脑x 台.
(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少? 最少费用是多少元?
(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.
120
14.(2020·宜宾)某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶6个,市场上有A 型和B 型两
种分类垃圾桶,A 型分类垃圾桶500元/个,B 型分类垃圾桶550元/个,总费用不超过
3100元,则不同的购买方式有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
15.(2020·攀枝花)世纪公园的门票是每人5元,一次购门票满40张,每张门票可少1元.若
少于40人时,一个团队至少要有 人进公园,买40张门票反而合算.
16.(2020·长沙)今年6月以来,我国多地遭遇强降雨,引发洪涝灾害,人民的生活受到了极
大的影响.“一方有难,八方支援”,某市筹集了大量的生活物资,用A,B 两种型号的货车,
分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下:
第一批 第二批
A型货车的辆数(单位:辆) 1 2
B型货车的辆数(单位:辆) 3 5
累计运输物资的吨数(单位:吨) 28 50
备注:第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资?
(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资,现已联系了3辆A 种型号货车.试问至少还需
联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地?
第九章 不等式与不等式组
121
9.3 一元一次不等式组
1.把关于同一个 的几个一元一次不等式合起来,就组成了一个一元一次不等式组.
2.一般地,几个不等式的解集的 ,叫作由它们所组成的不等式组的解集
3.解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的 ,再求出这些解集的
部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
4.列一元一次不等式组解应用题的一般步骤
(1)分析题意,找出不等关系;
(2)设未知数,列出不等式组;
(3)解不等式组;
(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;
(5)作答.
1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是 ( )
A.
x-2>0 x<-3
B.
x+1>0 y-1<0
C.
3x-2>0 (x-2)(x+3)>0
D.
3x>0
1
x
+1>0
?
?
?
??
??
2.不等式组
x-1<-3 2x+9≥3
的解集是 ( )
A.-3≤x<3 B.x>-2
C.-3≤x<-2 D.x≤-3
3.不等式组
x+1≥2 3(x-5)<-9
的解集在数轴上表示为 ( )
A. B.
C. D.
4.某商店甲商品的单价为8元,乙商品的单价为2元.已知购买乙商品的件数比购买甲商品
的件数的2倍少4件,如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32,且购买甲、乙两种商品
的总费用不超过148元.设购买甲商品x件,依题意可列不等式组得 ( )
A.
x+(2x-4)≥32 8x+2(2x-4)≥148
B.
x+(2x-4)>32 8x+2(2x-4)≥148
C.
x+(2x-4)≥32 8x+2(2x-4)≤148
D.
x+(2x-4)≤32 8x+2(2x-4)≤148
122
5.已知关于x的不等式组
x>a, x>b,
其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解
集为 .
6.不等式组
x+5>2 4-x≥3
的最小整数解是 .
7.解下列不等式组:
(1)
x-2≤2x, 2(x+1)+1>x;
(2)
2x+1<x,
1-x
3
≥1.
?
?
?
??
??
8.已知点P(2a+1,1-a)在第一象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
A. B.
C. D.
9.不等式组
5x+2>3(x-1)
1
2
x-1≤7-
3
2
x
?
?
?
??
??
的所有非负整数解的和是 ( )
A.10 B.7 C.6 D.0
10.不等式组
3x+a<0 2x+7>4x-1
的解集是x<1,则a的取值范围是 ( )
A.a=1 B.a=2 C.a=3 D.a=-3
11.若点P(3a-9,1-a)在第三象限内,且a为整数,则a的值是 .
12.把一些笔分给几名学生,如果每人分5支,那么余7支;如果前面的学生每人分6支,那么
最后一名学生能分到笔但分到的少于3支,则共有学生 .
13.解不等式组
5x-6≤2(x+3),
x
4
-1<
x-3
3
,
?
?
?
??
??
并把解集在数轴上表示出来.
第九章 不等式与不等式组
123
14.关于x的不等式组
2(x-1)-3(x+2)>-6
x+a
2
>1
?
?
?
??
??
恰有两个整数解,求a的取值范围.
15.某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,开展植树活动.如果每人种3棵,则剩86
棵;如果每人种5棵,则最后一人有树种但不足3棵.请问该班有多少学生? 本次一共种
植多少棵树?
16.2020年5月,全国“两会”召开以后,应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力,小丹准备
购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售.已知2台A 型风扇和5台B型风扇
进价共100元,3台A 型风扇和2台B型风扇进价共62元.
(1)求A 型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元?
(2)小丹准备购进这两种风扇共100台,根据市场调查发现,A 型风扇销售情况比B 型风
扇好,小丹准备多购进A 型风扇,但数量不超过B型风扇数量的3倍,购进A、B 两种
风扇的总金额不超过1170元.根据以上信息,小丹共有哪些进货方案?
17.(2020·德州)若关于x的不等式组
2-x
2
>
2x-4
3
-3x>-2x-a
?
?
?
??
??
的解集是x<2,则a的取值范围是
( )
A.a≥2 B.a<-2 C.a>2 D.a≤2
124
18.(2020·呼伦贝尔)不等式组
5x+2>3(x-1)
1
2
x-1≤7-
3
2
x
?
?
?
??
??
的非负整数解有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
19.(2020·潍坊)若关于x的不等式组
3x-5≥1 2x-a<8
有且只有3个整数解,则a的取值范围是
( )
A.0≤a≤2 B.0≤a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2
20.(2020·滨州)若关于x的不等式组
1
2
x-a>0
4-2x≥0
?
?
?
??
??
无解,则a的取值范围为 .
21.(2020·济南)解不等式组:
4(2x-1)≤3x+1 ①,
2x>
x-3
2
②,
?
?
?
??
??
并写出它的所有整数解.
22.(2020·湘潭)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋
养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》
(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本.已知购买2本《北上》和1本《牵风记》
需100元;购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同.
(1)求这两种书的单价;
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半,且购买两种书的总价不超过
1600元.请问有哪几种购买方案? 哪种购买方案的费用最低? 最低费用为多少元?
第九章 不等式与不等式组
125
章末小结
不
等
式
与
不
等
式
组
不等式
定义:用不等号表示不等关系的式子
不等式的解:使不等式成立的未知数的值
不等式的解集:一个含有未知数的不等式的① 组成这个不等式的解集
不等式的性质
性质1:如果a>b,那么②
性质2:如果a>b,c>0,那么③
性质3:如果a>b,c<0,那么④
?
?
?
??
??
?
?
?
?????
?????
一元一次不等式
定义:只含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式 解法步骤:去分母;⑤ ;移项;⑥ ;系数化为1
一元一次不等式组
定义:几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来
解法:(1)分别求出各个不等式的解集;(2)取各个不等式解集的
⑦
解集的确定:(1)数轴法:取公共部分;
(2)口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无处找
?
?
?
????
????
列不等式解应用题
?
?
?
??????????
??????????
考点一 不等式的性质
1.下列叙述不正确的是 ( )
A.若x<0,则x2>x B.如果a<-1,则a>-a
C.若 a
-3
<
a
-4
,则a>0 D.如果b>a>0,则1
a
<-
1
b
2.下列四个判断:①若ac2>bc2,则a>b;②若a>b,则a|c|>b|c|;③若a>b,则b
a
<1;④若a
>0,则b-a<b.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点二 解一元一次不等式
3.已知(a-2)2+|2a-3x-m|=0中,x是正数,则m 的取值范围是 ( )
A.m<2 B.m<3 C.m<4 D.m<5
4.已知y满足不等式1+y
2
-y>2+
2+y
3
,化简|y+1|+|2y-1|的结果是 ( )
A.-3y B.3y
C.y D.-y+2
126
5.下列不等式中,与不等式2x+3≤7有相同解集的是 ( )
A.1+
x-2
2
≥
x
3
B.
7x-2
2
-
x-2
3
≥2(x+1)
C.3x2(x-2)
3
≤6 D.1-
x-1
3
≤
1-x
2
6.已知m,n为常数,若mx+n>0的解集为x>
2
5
,则nx-m<0的解集是 .
7.关于x的方程3+k(x-2)-4x=k(x+3)的解为负数,则k的取值范围是 .
8.解不等式组:
5x<2(x-1)+8,
x-2
4
≤
2x-3
6
,
?
?
?
??
??
并把它的解集在数轴上表示出来.
9.求不等式0.4x-1
0.5
-
5-x
2
≤
0.03-0.02x
0.03
的非负整数解.
10.若关于x的方程2x-3m=2m-4x+4的解不小于7
8
-
1-m
3
,求m 的最小值.
第九章 不等式与不等式组
127
考点三 解一元一次不等式组
11.如果2m,m,1-m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,那么m 的取值范
围是 ( )
A.m>0 B.m>
1
2
C.m<0 D.0<m<
1
2
12.不等式组
2x-a<0 x+3>2x-1
的解集为所有负数,则a的取值范围是 ( )
A.a=0 B.a<8 C.a<6 D.a<4
13.已知关于x,y的方程组
3mx+2y=3 x-3my=9
的解为坐标的点(x,y)在第二象限.则符合条件的实
数m 的范围为 ( )
A.m>
1
9
B.m<-2 C.-2<m<
1
9
D.-
1
2
<m<9
14.若关于x的不等式组
x>m+2 -2x-1≥4m+1
无解,且关于x的一元一次方程x+m-2=2-x
有非负整数解,那么所有满足条件的整数m 的和为 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
15.若关于x的一元一次不等式组
x-a>0 1-x>x-1
无解,则a的取值范围是 .
16.若关 于 x 的 不 等 式 组
x+22
3
≥2-x
x<m
?
?
?
??
??
的 所 有 整 数 解 的 和 是 -9,则 m 的 取 值 范 围
是 .
17.解不等式组:
x
2
-
x
3
>-1,
2(x-3)-3(x-2)>-6.
?
?
?
??
??
128
18.求不等式组
3(x-1)+2<5x+3
x-1
2
+x≥3x-4
?
?
?
??
??
的解集并把解集在数轴上表示出来,最后求出不等式组
所有自然数解的和.
19.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式x-1
2
>
2x+1
3
-1,并且满足方程3(x+
a)+2-5a=0,求a的值.
考点四 不等式的实际应用
20.某城市平均每天产生生活垃圾700t,由甲、乙垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃
圾55t,需费用550元;乙厂每小时可处理垃圾45t,需费用495元.如果规定该城市每天
用于处理生活垃圾的费用不超过7260元,那么甲厂每天至少应处理垃圾 ( )
A.7h B.8h C.9h D.10h
21.某种袜子原零售价每双5元,凡购买2双以上(含两双),商场推出两种优惠销售办法:第
一种是“一双按原价,其余按原价七折优惠”,第二种是“全部按原价的八折优惠”,你在购
买相同数量的情况下要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多,最少需要购买袜子
( )
A.5双 B.4双 C.3双 D.2双
22.某次个人象棋赛规定:赢一局得2分,平一局得0分,负一局反扣1分,在12局比赛中,积
分超过15分就可以晋升下一轮比赛,小王进入了下一轮比赛,而且在全部12轮比赛中,
没有出现平局,问小王最多输 局比赛.
第九章 不等式与不等式组
129
23.按如图的程序进行运算,规定:当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算,若运算进行
4次才停止,则x的取值范围是 .
24.为了更好改善河流的水质,治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A,B 两种型号的
设备,其中每台的价格,月处理污水量如下表:经调查:购买一台A 型设备比购买一台B
型设备多2万元,购买2台A 型设备比购买3台B型设备少6万元.
A型 B型
价格(万元/台) a b
处理污水量(吨/月) 240 200
(1)求a,b的值;
(2)治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元,你认为该公司有哪几种购
买方案;
(3)在(2)的条件下,若每月要求处理污水量不低于2040吨,为了节约资金,请你为治污公
司设计一种最省钱的购买方案.
130
第十章 数据的收集、整理与描述
10.1 统计调查
第1课时 全面调查
1.我们把考察 的调查叫全面调查.
2.收集数据的方法:
(1)可以采用逐个询问或举手的方式;
(2)可以采用投票的方式;
(3)可以采用问卷调查的方式.
1.为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况,某
班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案:
方案一:在多家旅游公司随机调查400名导游;方案二:在恭王府景区随机调查400名游
客;方案三:在北京动物园景区随机调查400名游客;方案四:在上述四个景区各随机调查
400名游客.在这四种调查方案中,最合理的是 ( )
A.方案一 B.方案二
C.方案三 D.方案四
2.下列调查中,调查方式最适合普查(全面调查)的是 ( )
A.对全国初中学生视力情况的调查 B.对2021年央视春节联欢晚会收视率的调查
C.对一批飞机零部件的合格情况的调查 D.对我市居民节水意识的调查
3.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是 ( )
A.4:00气温最低,14:00气温最高 B.12:00气温为30℃
C.这一天温差为9℃ D.气温是24℃的为6:00和8:00
第十章 数据的收集、整理与描述
131
4.某学生某月有零花钱a元,其支出情况如图所示,那么下列说法不正确的是 ( )
A.该学生捐赠款为0.6a元 B.其他消费占10%
C.捐赠款是购书款的2倍 D.捐赠款所对应的圆心角为240°
(第4题图) (第5题图)
5.如图所示,反映的是九(1)班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图的一部分和圆形分布
图,下列说法:①九(1)班外出步行有8人;②在圆形统计图中,步行人数所占的圆心角度数
为82°;③九(1)班外出的学生共有40人;④若该校九年级外出的学生共有500人,那么估
计全年级外出骑车的人约有150人,其中正确的结论是 .
6.如下图1是我市某中学为地震灾区小伙伴“献爱心”自愿捐款情况制成的条形图,图2是该
中学学生人数比例分布图,该校共有学生1450人.
(1)八年级学生共捐款多少元?
(2)该校学生平均每人捐款多少元?
图1 图2
7.某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图.下
列说法正确的是 ( )
A.签约金额逐年增加
B.与上年相比,2021年的签约金额的增长量最多
C.签约金额的年增长速度最快的是2018年
D.2020年的签约金额比2019年降低22.98%
132
8.某学校为了解学生对某次大赛的了解程度,在全校1300名学生中随机抽取部分学生进行
了一次问卷调查,并根据收集到的信息进行了统计,绘制了下面两幅统计图.下列四个选
项,错误的是 ( )
A.抽取的学生人数为50人 B.“非常了解”的人数占抽取的学生人数的12%
C.a=72° D.全校“不了解”的人数估计有428人
(第8题图) (第9题图)
9.某校为了解学生最喜欢的球类运动情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生
只写一类最喜欢的球类运动.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
类别 A B C D E F
类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他
人数 10 4 6 2
那么,其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 .
10.某市一中学开通了空中教育互联网在线学习平台,为了了解学生使用情况,学校学生会干
部把该平台使用情况分为A(经常使用)、B(偶尔使用)、C(不使用)三种类型,并设计了调
查问卷,先后对该校七(1)班和七(2)班全体同学进行了问卷调查,并根据调查结果绘制成
如图所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题.
互联网平台使用情况折线图
互联网平台使用情况扇形图
(1)此次调查该校七(1)班 A 类型有 人,
七(2)班A 类型有 人;
(2)求此次该校被调查的总人数.
(3)求扇形统计图中代表C 类型的扇形的圆心角度
数,并补全折线统计图.
第十章 数据的收集、整理与描述
133
11.如图,某校根据学生的上学方式进行了一次调查,制成了如下的统计表.
上学的方式 步行 骑车 乘车 其他
人数 m n 105 70
百分比 a 35% 15% b
(1)表格中m= ,n= ,a= ,b= .
(2)根据调查的结果,将所有学生上学方式的情况绘制成扇形统计图.
(3)该校数学兴趣小组结合调查获取的信息,向学校提出了一些建议.如:骑车上学的学
生数约占全校的35%,建议学校合理安排自行车停车场地,请你结合上述统计的全过
程,再提出一条合理化建议.
12.(2020·安顺)2020年为阻击新冠疫情,某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况,以便有针
对性进行防疫,一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄(单位:岁)数据如下:62,63,75,
79,68,85,82,69,70.获得这组数据的方法是 ( )
A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量
13.(2020·日照)下列调查中,适宜采用全面调查的是 ( )
A.调查全国初中学生视力情况
B.了解某班同学“三级跳远”的成绩情况
C.调查某品牌汽车的抗撞击情况
D.调查2019年央视“主持人大赛”节目的收视率
134
14.(2020·娄底)我市开展“温馨家园,创文同行”活动,某初中学校倡议学生利用双休日进社
区参加义务劳动,为了了解同学们的劳动情况,学校随机调查了部分同学的劳动时间
t(h):A.0≤t≤0.5,B.0.5<t≤1,C.1<t≤1.5,D.t>1.5,将所得数据绘制成了如图不
完整的统计图:
(1)本次调查参加义务劳动的学生共 人,a= .
(2)补全条形统计图.
(3)扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是 度.
第十章 数据的收集、整理与描述
135
第2课时 抽样调查
1.从总体中只抽取一部分对象进行调查,然后根据调查数据推断 的情况,我们把这
种调查叫作抽样调查.
2.总体:所要考察的 称为总体.
个体:组成总体的 称为个体.
样本:从总体中抽取的那些 叫作总体的一个样本.
样本容量:样本中个体的 称为样本容量.样术容量只是数字,没有单位.
3.抽取样本的过程中,总体中的每一个个体都有 的机会被抽到,像这样的抽样方法
是一种简单随机抽样.
1.下列调查适合采用抽样调查的是 ( )
A.某公司招聘人员,对应聘人员进行面试
B.调查一批节能灯泡的使用寿命
C.为保证火箭的成功发射,对其零部件进行检查
D.对乘坐某次航班的乘客进行安全检查
2.为了解我校初二年级800名学生的体重情况,从中抽取了80名学生的体重,就这个问题来
说,下面说法正确的是 ( )
A.800名学生的体重是总体 B.800名学生是总体
C.每个学生是个体 D.80名学生是所抽取的一个样本
3.某校对学生“一周课外阅读时间”的情况进行随机抽样调查,调查
结果如统计图所示,若该校有2000名学生,则根据调查结果可估
算该校学生一周阅读时间不足3h的人数是 ( )
A.280人 B.400人
C.660人 D.680人
4.为了解2021届本科生的就业情况,某网站对2021届本科生的签约状况进行了网络调查,
至4月底,参与网络调查的12000人中,只有4320人已与用人单位签约.在这个调查中,样
本容量是 .
5.为了估计鱼塘中有多少条鱼,我们从鱼塘中捕捞200条鱼做上标记,然后放回水塘,带标记
的鱼完全混入鱼群后,再次捕捞上200条鱼,其中有标记的鱼有25条,则可估计鱼塘中约
有 条鱼.
136
6.为了解某校初二学生每周上网的时间,两位学生进行了抽样调查,小丽调查了初二电脑爱
好者中40名学生每周上网的时间:小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生,
调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各自样本数据,如表所示.
时间段(小时/周) 小丽抽样(人数) 小杰抽样(人数)
0~1 6 22
1~2 10 10
2~3 16 6
3~4 8 2
(1)你认为哪位同学抽取的样本不合理? 请说明理由.
(2)专家建议每周上网2h以上(含2h)的同学应适当减少上网的时间,估计该校全体初二
学生中有多少名同学应适当减少上网的时间?
7.某校团委为了解本校八年级500名学生平均每晚的睡眠时间,随机选择了该年级100名学
生进行调查.关于下列说法:
①本次调查方式属于抽样调查
②每个学生是个体
③100名学生是总体的一个样本
④总体是该校八年级500名学生平均每晚的睡眠时间
其中正确的是 ( )
A.①② B.①④
C.②③ D.②④
8.下列采用的调查方式中,不合适的是 ( )
A.了解一条河的水质,采用抽样调查
B.了解一批灯泡的使用寿命,采用全面调查
C.了解某市中学生睡眠时间,采用抽样调查
D.了解某班同学的数学成绩,采用全面调查
第十章 数据的收集、整理与描述
137
9.某学校在开展“节约每一滴水”的活动中,从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报
了各自家庭一个月的节水情况,将有关数据整理如下表所示
节水量(单位:t) 0.5 1 1.5 2
同学数(人) 2 3 4 1
请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是 ( )
A.400t B.500t C.600t D.700t
10.某校组织了主题为“经典诵读”的小视频征集活动,现从中随机抽取部分作品,按A、B、C、
D 四个等级进行评价,并根据结果绘制了如下两副不完整的统计图.若该校共征集到800
份作品,请估计等级为A 的作品约有 份.
11.某中学从学生兴趣出发,实施体育活动课走班制.为了了解学生最喜欢的一种球类运动,
以便合理安排活动场地,在全校至少喜欢一种球类(乒乓球、羽毛球、排球、篮球、足球)运
动的1200名学生中,随机抽取了若干名学生进行调查(每人只能在这五种球类运动中选
择一种),调查结果统计如下:
球类名称 乒乓球 羽毛球 排球 篮球 足球
人数 42 a 15 33 b
解答下列问题:
(1)这次抽样调查中的样本是 ;
(2)统计表中,a= ,b= ;
(3)试估计上述1200名学生中最喜欢乒乓球运动的人数.
138
12.为了考查某校学生的体重,对某班45名学生的体重记录如下(单位:kg):
48,48,42,50,61,44,43,51,46,46,51,46,50,45,52,54,51,57,55,48,49,48,53,48,56,
55,57,42,54,49,47,60,51,51,44,41,49,53,52,49,61,58,52,54,50
(1)这个问题中的总体、个体、样本、样本容量分别是多少?
(2)请用简单的随机抽样方法,将该班45名学生体重分别选取含有6名学生体重的两个
样本和含有15名学生体重的两个样本.
13.为迎接“全民阅读日”系列活动,某校围绕学生日人均阅读时间这一问题,对八年级学生进
行随机抽样调查.如图是根据调查结果绘制成的统计图(不完整),请你根据图中提供的信
息解答下列问题:
(1)本次共抽查了八年级学生 人;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,1~1.5h对应的圆心角是 度;
(4)根据本次抽样调查,估计全市50000名八年级学生日人均阅读时间状况,其中在0.5~
1.5h的有多少人?
各时间段人数所占的百分比
第十章 数据的收集、整理与描述
139
14.(2020·徐州)为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况,抽查了其中1500名学生
的体重进行统计分析,下列叙述正确的是 ( )
A.32000名学生是总体 B.每名学生是总体的一个个体
C.1500名学生的体重是总体的一个样本 D.以上调查是普查
15.(2020·上海)为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400
名学生,结 果 有 150 名 学 生 会 游 泳,那 么 估 计 该 区 会 游 泳 的 六 年 级 学 生 人 数 约
为 .
16.(2020·黔南州)勤劳是中华民族的传统美德,学校要求学生在家帮助父母做一些力所能
及的家务.在学期初,小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间,设
被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时,将做家务的总时间分为五个类别:
A(0≤x<10),B(10≤x<20),C(20≤x<30),D(30≤x<40),E(x≥40).并将调查结果
绘制了如图两幅不完整的统计图:
做家务总时间条形统计图 做家务总时间扇形统计图
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生;
(2)根据以上信息补全条形统计图;
(3)扇形统计图中m= ,类别D 所对应的扇形圆心角α的度数是 度;
(4)若该校七年级共有400名学生,根据抽样调查的结果,估计该校七年级有多少名学生
寒假在家做家务的总时间不低于20小时?
140
10.2 直方图
1.一般我们称落在不同小组中的数据 为该组的频数,频数与数据总数的比为
.频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量.公式: .
两个变形公式:
(1)频数=频率×数据总数;(2)数据总数=
频数
频率.
特别提示
(1)所有频数之和一定等于总数;
(2)所有频率之和一定等于1.
2.把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的 (组内数据的取值范围)称为
.
3.频数分布表:把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来,所得表格就是频数分布
表.频数分布表能清楚、确切地反映出一组数据的大小分布情况,将一批数据分组,一般数
据越多,分的组也越多,当数据在100个以内时,按数据的多少,常分成5~12组,在分组
时,要灵活确定组距,使所分组数合适,一般组数为 .
4.直方图是描述一组数据 的统计图.它反映数据的整体分布情况.频数分布直方图
是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小,小长方形的高是频数与组
距的 .
1.统计得到的一组数据有80个,其中最大值为139,最小值为48,取组距为10,则可分成 ( )
A.10组 B.9组 C.8组 D.7组
2.将50个数据分成五组,编成组号为①~⑤的五个组,频数分布如下表:
组号 ① ② ③ ④ ⑤
频数 12 4 16 10
则第3组的频数是 ( )
A.8 B.0.8 C.16 D.0.16
第十章 数据的收集、整理与描述
141
3.某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试,考试人数每班都为40人,每个班的考试
成绩分为A、B、C、D、E五个等级,绘制的统计图如图:
甲班数学成绩频数分布直方图 乙班数学成绩扇形统计图
根据以上统计图提供的信息,则D 等级这一组人数较多的班是 .
4.菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项,每4年评选一次,颁给有卓越贡献的年
轻数学家,被视为数学界的诺贝尔奖.下面的数据是从1936年至2014年45岁以下菲尔兹
奖得主获奖时的年龄(岁):
39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34
34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33
40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
请根据以上数据,解答以下问题:
(1)小彬按“组距为5”列出了如下的频数分布表,每组数据含最小值不含最大值,请将表中
空缺的部分补充完整,并补全频数分布直方图:
分组 频数
A:25~30
B:30~35 15
C:35~40 31
D:40~45
总 计 50
(2)在(1)的基础上,小彬又画出了如图所示的扇形统计图,图中B 组所对的圆心角的度数
为 ;
(3)根据(1)中的频数分布直方图试描述这50位菲尔兹奖得主获奖时的年龄的分布特征.
142
5.有40个数据,共分成6组,第1—4组的频数分别是10、5、7、6.第5组的占10%,则第6组
占 ( )
A.25% B.30%
C.15% D.20%
6.体育委员统计了七(1)班全体同学60秒跳绳的次数,并列出下面的频数分布表:
次数 60≤x<80 80≤x<100 100≤x<120120≤x<140 140≤x<160 160≤x<180 180≤x<200
频数 2 4 21 14 7 3 1
给出以下结论:①全班有52个学生;②组距是20;③组数是7;④跳绳次数在100≤x<140
范围的学生约占全班学生的67%.
其中正确结论的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间,并绘制了直方图.
①小文同学一共统计了60人;②每天微信阅读不足20分钟的人数有8人;③每天微信阅
读30—40分钟的人数最多;④每天微信阅读0—10分钟的人数最少;
根据图中信息,上述说法中正确的是 ( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.③④
(第7题图) (第9题图)
8.在频数分布直方图中,有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长
方形面积的和的1
4
,且数据有150个,则中间一组的频数为 .
9.某校九年级学生共300人,为了解这个年级学生的体能,从中随机抽取50名学生进行1分
钟的跳绳测试,结果统计的频率分布如图所示,其中从左至右前四个小长方形的高依次为
0.004、0.008、0.034、0.03,如果跳绳次数不少于135次为优秀,根据这次抽查的结果,估计
全年级达到跳绳优秀的人数为 .
第十章 数据的收集、整理与描述
143
10.文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚洲文明对
话大会”在北京成功举办,引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了了解10~60
岁年龄段市民对本次大会的关注程度,随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了
调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,
如下所示:
组别 年龄段 频数(人数)
第1组 10≤x<20 5
第2组 20≤x<30 a
第3组 30≤x<40 35
第4组 40≤x<50 20
第5组 50≤x<60 15
(1)请直接写出a= ,m= ,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角
是 度.
(2)请补全上面的频数分布直方图;
(3)假设该市现有10~60岁的市民300万人,问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数
约有多少?
144
11.如图是八年级(1)班学生绿色评价科学素养考试成绩(依次A、B、C、D 等级划分,且A 等
为成绩最好)的频数分布直方图和扇形统计图,请根据图中的信息回答下列问题:
(1)补全频数分布直方图;
(2)求C等所对应的扇形统计图的圆心角的度数;
(3)求该班学生共有多少人?
(4)如果科学素养成绩是B等及B 等以上的学生才能报名参加科学兴趣社团活动,请你
用该班学生的情况估计该校八年级360名学生中,有多少名学生有资格报名参加科
学兴趣社团活动?
八年级绿色评价等级频数分布直方图 八年级绿色评价等级扇形统计图
12.(2020·泰州)今年6月6日是第25个全国爱眼日,某校从
八年级随机抽取50名学生进行了视力调查,并根据视力值
绘制成统计图(如图),这50名学生视力的中位数所在范围
是 .
13.(2020·无锡)为了调查某市噪音污染情况,该市环保局抽样调查了若干个噪声测量点的
噪声声级,并根据A、B、C、D、E、F六个级别,绘制了两幅不完整的统计图:
某市抽测点噪声声级频数分布直方图 某市抽测点噪声声级频数分布扇形统计图
(1)此次抽样共调查了 个噪音测量点;
(2)请把这幅频数分布直方图补充完整;(画图后请标注相应数据)
(3)在扇形统计图中,噪声声级C所对应的圆心角的度数为 °.
第十章 数据的收集、整理与描述
145
10.3 课题学习 从数据谈节水
1.数据处理的一般过程:
(1)收集数据: 或 ;
(2)整理数据:通常整理为 ;
(3)描述数据:选用适当的 ;
(4)分析数据:根据统计图表,结合有关计算,进行数据分析;
(5)得出结论:根据数据分析的结果得出相关结论.
1.如图是某手机店2021年1—5月份手机销售额统计图.根据图中信息,可以判断相邻两个
月手机销售额变化最大的是 ( )
A.1—2月 B.2—3月 C.3—4月 D.4—5月
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2.为了解中学生获取信息的主要渠道,设置“A:报纸,B:电视,C:网络,D:身边的人,E:其他”
五个选项(五项中必选且只能选一项)的调查问卷,先随机抽取50名中学生进行该问卷调
查,根据调查的结果绘制条形图如图,该调查的方式和图中a的值分别是 ( )
A.抽样调查,24 B.普查,24
C.抽样调查,26 D.普查,26
3.某学校“你最喜爱的球类运动”调查中,随机调查了若干名学生(每个学生分别选了一项球
类运动),并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.已知其中最喜欢羽毛球的人数比
最喜欢乒乓球的人数少6人,则该校被调查的学生总人数为 名.
4.某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动,要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画
类、哲学故事类、环保类,学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计,并对
获取的数据进行了整理,根据整理结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.已知所统
计的数据中,捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同.请根据以上信息,解答下列
问题:
