101

3.如图，C，D 是线段 AB 上的两点，E 是 AC 的中点，F 是 BD 的中点，若 AB=m，CD=n，则线段EF的长为 .

4.如图， D 为线段 AC 的中点， BC AB

4

1  ， BD  9 ，则线段 AC的长为.

5.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图，已知线段 a、b ，

（1）画一条射线 AB

（2）在射线 AB 上作一条线段 AC，使 AC 等于 a  b .

6.已知线段 AB=60 cm，在直线 AB 上画线段 BC，使 BC=20 cm，点 D 是 AC 的中点，求CD的长度.7.如图，线段 AB 被点 C，D 分成 3:4:5 三部分，且 AC 的中点 M 和 DB 的中点N 之间的距离是40cm，求 AB 的长.

102

随堂检测1.下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示−1 的点距离是 3 的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线 AB 和射线 BA 是同一条射线；⑤若 AC＝BC，则点 C 是线段 AB 的中点；

其中错误的有（ ）

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个2.如图，以点 A，B，C，D，E 中两个点为端点的线段共有（ ）条. A.8 B.10 C.12 D.14

3.如图，点 A，B，C，D 是直线 l 上的四点，根据图形填空. （1） AB  BC  ；（2） AC   AD ；（3） BD CD ；（4）ADCD.4.如图，点 C 是线段 AB 上一点，且 AC<BC，M，N 分别是 AB 和 BC 的中点，AC=8，NB=9，则线段MN的长度为 .

5.已知点C 为 AB 上一点， AC 12cm ，CB AC

3

2  ， D、 E 分别为 AC、AB的中点，求DE的长．6.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知线段 a 、b 、 c （如图），请画线段 AB ，使 AB  a  b  c .（不要求写画法）

103

7.【问题提出】用若干个边长为 1 的小等边三角形拼成 n 层的大等边三角形，共需要多少个小等边三角形？共有线段多少条？

【问题探究】如图①，是一个边长为 1 的等边三角形，现在用若干个这样的等边三角形，再拼成更大的等边三角形. （1）用图①拼成两层的大等边三角形，如图②，从上往下，第一层有 1 个，第二层有2 个，共用了,1+2=3个图①的等边三角形，则长度为 1 的线段有 3×(1+2)条；还有边长为 2 的等边三角形1 个，则长度为2的线段有 3×1 条，所以共有线段 3×（1+2+1）=2×（1+2+3）=12 条. （2）用图①拼成三层的大等边三角形，如图③，从上往下，第一层有 1 个，第二层有2 个，第三层有3个，共用了 1+2+3=6 个图①的等边三角形，则长度为 1 的线段有 3×(1+2+3)条；还有边长为2 的等边三角形1+2=3个，则长度为 2 的线段有 3×(1+2)条；还有边长为 3 的等边三角形 1 个，则长度为3 的线段有3×1条，所以共有线段 3×（1+2+3+2+1）=3×（1+2+3+4）=30 条.

······ （3）用图①拼成四层的大等边三角形，共需要多少个图①三角形？共有线段多少条？请画出一个示意图，并写出探究过程；

（4）用图①拼成 20 层的大等边三角形，共用了 个图①的三角形，共有线段条. （5）用图①拼成 n 层的大等边三角形，共用了 个图①的三角形，共有线段条，其中边长为2 的等边三角形共有 个. 【拓展提升】如果用边长为 3 的小等边三角形拼成边长为 30 的大等边三角形，共需要个小等边三角形，共有线段 条.

104

105

七上第 10 周秋季讲义知识点 1 角的定义及表示方法

角 定义 图形 表示方法静态定义

由两条具有公共端点的

射线组成的图形叫做角.这两条射线叫做角的边，

公共端点是这个角的顶点

①用三个大写字母表示，如∠AOB 或∠BOA；②用一个大写字母表示，如∠O；③用一个希腊字母表示，如∠α；④用一个数字表示，如∠1动态定义

由一条射线绕着它的端点

旋转而成的图形叫做角

温馨提示

用三个大写字母表示角时，顶点字母一定要写在中间；用顶点字母表示角时，以该点为顶点的角只能是一个角例题

1.下列说法中，正确的是（ ）

A.两条射线所组成的图形叫做角 B.有公共点的两条射线叫做角C.一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D.一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角2.如图，下列说法中，错误的是（ ）

A.∠1 与∠AOB 表示同一个角 B.∠AOC 也可用∠O 来表示C.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D.∠β表示的是∠BOC

106

3.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形的是（）A. B. C. D.

4.观察下列图形，并阅读相关文字：

（1）图中从一个点出发作 3 条射线可构成 个角；

（2）图中从一个点出发作 4 条射线可构成 个角；

（3）从上面图形中的规律可知从一个点出发作 10 条射线可构成 个角；（4）若从一个顶点出发作 n 条射线，可构成多少个角呢？（用含 n 的式子表示）练习

1.下列关于平角、周角的说法中，正确的是（ ）

①平角是一条直线；②周角是一条射线；③反向延长射线 OA，就形成了一个平角；④由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而形成的图形叫做周角. A.①③ B.②④ C.①④ D.③④2.下列对于图形的描述中，正确的是（ ）

∠ABC ∠BOA 是周角 ∠AOB 平角 射线AB 是周角A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

107

3.如图，有下列说法：①∠ECG 和∠C 是同一个角；②∠OGF 和∠OGB 是同一个角；③∠DOF 和∠EOG 是同一个角；④∠ABC 和∠ACB 是同一个角.其中正确的有（ ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.（1）如图，从钝角∠AOC 的顶点引出 1 条射线，图中共有 个角；

（2）若从钝角∠AOC 的顶点引出 2 条射线，图中共有 个角；

（3）若从钝角∠AOC 的顶点引出 3 条射线，图中共有 个角；

（4）若从钝角∠AOC 的顶点引出 n 条射线，图中共有 个角；

108

知识点 2 特殊角及角的单位换算

分类 单位换算角的大小

锐角：大于 0°，小于 90°的角

直角：等于 90°的角

钝角：大于 90°，小于 180°的角

平角：等于 180°的角

周角：等于 360°的角

1 周角=2 平角

1 平角=2 直角

1 周角=4 直角

把 1°的角分成 60 等份，每份叫做1 分的角，记作1'把 1' 的角分成 60 等份，每份叫做1 秒的角，记作1''那么，1°=60 '，1' =60 ''温馨提示

① 由度化为分和由分化为秒要分别乘它们的进制 60，由秒化为分和由分化为度要分别除以它们的进制 60，即从大单位→小单位要乘进制、从小单位→大单位要除以进制② 在进行加法计算时，把度、分、秒对齐进行相减，先算秒，再算分，最后才算度，不够减的向前一位借位，借 1'当 60''，借 1°当 60'.例题

1.下列等式中，角度互化成立的是（ ）

A. 83.5  83 5'   B. 37 12' 36''  37.48

  C. 24 24' 24''  24.44

  D. 41.25 4115'  

2.分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数，填在钟表下方的横线上：巴黎时间 伦敦时间 北京时间 东京时间° ° ° °

109

3.学校早上 8：20 上第一节课，40 分钟后下课，求这节课中分针转动的角度.

4.魏老师去市场买菜，他发现如果把 5 kg 的菜放在秤上，指针盘上的指针转了180°. （1）如果把 0.5 kg 的菜放在秤上，求指针转过的角度；

（2）如果指针转了 270°，这些菜有多少千克？

练习

1.（1）把 26.19°转化为用度、分、秒表示为 ；

（2）把 33°14' 24''转化为用度表示为 .

2.当分针指向 12，时针这时恰好与分针成 120°的角，此时是（ ）

A.9 点钟 B.8 点钟 C.4 点钟 D.8 点钟或4 点钟3.下午 5:10 时，时针与分针所成的夹角为 度

4.当时间为下午 1 时 30 分，此刻时钟上时针与分针的夹角 (0 180) 是度.

5.同一天中，从 9：30 到 10：05，分针转了几度？时针转了几度？

6.某火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上 9 时 30 分，时针与分针所夹的角内有多少只小彩灯（包括分针处的彩灯）？

110

知识点 3 角的平分线

定义 图形 表示方法从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成

两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线

2212AOBAODBODAODBODAOB例题

1.如图所示，若有∠BAD=∠CAD，∠BCE=∠ACE，则下列结论中，错误的是（）A.AD 是∠BAC 的平分线 B.CE 是∠ACD 的平分线 C.∠BCE= 1

2

∠ACB D.CE 是∠ABC的平分线2.如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠BOD，若∠COB=35°，则∠AOD= .

3.如图，已知∠AOC : ∠BOC=1 : 4，OD 平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB 的度数.

111

4.如图，O 是直线上一点，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC. （1）你能求出∠MON 的度数吗？你能得出什么结论？

（2）如果∠AOM= 5117'  ，求∠BON 的度数.

练习

1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（ ）

①AD 平分∠BAE；②AF 平分∠EAC；③AE 平分∠DAF；④AF 平分∠BAC；⑤AE 平分∠BACA.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2.如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为 .

112

3.已知在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=60°. （1）∠COB= ；

（2）若 OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC，则∠DOE 的度数为 . （3）在（2）的条件下，将题目中的∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α < 45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程，若不能，请说明理由.

113

知识点 4 角的比较及角的和差倍分

比较角的大小

的方法

步骤 图形测量法 用量角器测量出它们的度数，再进行比较 略

叠合法

将两个角的顶点及一条边重合，另一条边

放在重合边的同侧就可以比较大小

温馨提示 锐角、直角、钝角三种角可以直接排出大小关系，锐角<直角<钝角角度的和差倍分 角度之间加减乘除的数量关系和 AOB  BOC  AOC差 AOC  BOC  AOB倍 AOC  3BOC

分

1

2

BOC  AOB

114

例题

1.若∠1=40.4°，∠2=40°4'，则∠1 与∠2 的关系是（ ）

A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定2.根据如图所示的图形填空：

（1）∠AOB=∠AOD+ = +∠BOC；

（2）∠BOD−∠BOC= .

3.如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=40°，则∠AOD= .

4.已知∠AOB=70°，以 O 为端点作射线 OC，使∠AOC=42°，则∠BOC 的度数为.

5.如图，AOC 和DOB 都是直角，如果AOB 152 ，那么DOC的度数为（）A. 38 B. 28 C. 58 D. 60

6.一长方形纸条，按如图所示的方向折叠 OG 为折痕，若量得AOB ＝110°，则BOG＝°．

115

练习

1.如图将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，那么下列各式中一定正确的是（）A．AOC  BOC B．COB  BODC．AOC  BOD D．AOD  C D2.一副三角板按如图方式摆放，且∠1 的度数比∠2 的度数小 30°，则∠1 的度数为°.

3.如图，将长方形纸片的一角折叠，使定点 A 落在 A'处，DE 为折痕，将∠BEA'对折，使得B'落在直线EA'上，得折痕 EG，若 EA'恰好平分∠DEB，则∠DEA'= °

4.如图，点 A、O、B 在一条直线上，∠AOE=∠COD，∠EOD=30°，OC 平分∠EOB，则∠BOC=.5.如图，∠AOC=∠BOD，∠AOD=120°，∠BOC=70°，求∠AOB 的度数.

116

知识点 5 多边形的有关定义

多边形 三角形 四边形 五边形 六边形  n边形图形 顶点数 3 4 5 6  n边数 3 4 5 6  n内角数 3 4 5 6  n过同一顶点的

对角线条数

0 1 2 3  n−3分成三角形个

数

1 2 3 4  n−2例题

1.一个四边形截去一个角后，可以变成（ ）

A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.以上都有可能2.从六边形的一个顶点出发，可以画出 x 条对角线，它们将六边形分成 y 个三角形，则x，y 的值分别为（）A.4，3 B.3，3 C.3，4 D.4，4

3.如图，用三种方法分割五边形.① ② ③（1）三种分割方法将多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？

（2）若是 n 边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数.

117

练习

1.下列说法不正确的是（ ）

A.正多边形的各边都相等 B.正多边形的各角都相等

C.各内角都相等的多边形不一定是正多边形 D.各边都相等的多边形是正多边形2.过多边形的一个顶点可以引 2020 条对角线，则这个多边形的边数是（ ）A.2020 B.2021 C.2022 D.2023

3.如图，把边长是 15 cm 的正三角形纸板，剪去三个小正三角形后，得到一个正六边形，则剪去的小正三角形的边长是 .

4.（1）如图，观察图形并填空：

一个四边形有 条对角线；一个五边形有 条对角线；

一个六边形有 条对角线；一个七边形有 条对角线；

（2）分析探究：

由 n 边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有 n 个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线；

（3）一个 n 边形有 条对角线，请你计算，当 n=12 时，十二边形的对角线的条数是.

118

知识点 6 圆的有关定义

圆 图形 圆弧 扇形圆心角在平面上，一条线

段 OA 绕着它固定

的一个端点 O 旋转

一周，另一个端点 A

形成的图形叫做

圆.固定的端点 O 称

为圆心，线段 OA

称为半径

圆上任意两点 A，B 间

的部分叫做圆弧，简

称弧，记作 AB ，读作

“圆弧 AB”或“弧 AB”由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的图形叫做扇形顶点在圆心的角叫做圆心角例题

1.下列说法正确的是（ ）

A.扇形是由弧、线段围成的多边形 B.弧是半圆 C.半圆是弧 D.过圆心的线段是直径2.下图中∠ACB 是圆心角的是（ ）

A. B. C. D.

3.将一个圆分割成五个小扇形，它们的圆心角的度数比为 1 : 2 : 3 : 4 : 5，则这五个小扇形中圆心角最大角的度数是 .

4.如图，在半径为 6 的 O 中，圆心角∠AOB=60°，则阴影部分的面积为 .

5.如图，直径为 2 的圆在直线 l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为 .

119

6.将一个半径为 10 cm 的圆分成 3 个扇形，其圆心角度数的比为 1 : 2 : 3. 求：（1）各个扇形的圆心角的度数；

（2）其中最小一个扇形的面积（结果保留π）.练习

1.下列条件中，能确定圆的是（ ）

A.以已知点 O 为圆心 B.以点 O 为圆心，2 cm 为半径C.以 2 cm 为半径 D.经过已知点 A，且半径为 2 cm

2.如图，扇形的半径为 6 cm，圆心角为 120°，则该扇形的面积为 cm2.

3.如图，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 90°，连接 AB，则图中阴影部分的面积是.

4.如图，建筑物旁边的空地上长满了青草，点 M 是 AB 边的中点，AB=10 m，点M 处拴着一只羊，绳长6m.（1）画图指出羊可以吃到草的范围；

（2）指出此范围的图形特征，并求出其面积.

120

随堂检测1.下列说法正确的是（ ）

A.若 AC=BC，则点 C 是线段 AB 的中点

B. 30.15  30 15'   C.如果经过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是八边形D.钟表上的时间是 11:10，此时时针与分针所成的夹角是 85° 2.钟表上 8 点 45 分时针与分针所成的角的度数是（ ）

A.15 度 B.7.5 度 C.12.5 度 D.30 度3.用一副三角板不能画出下列哪组角（ ）

A. 45，30，90 B. 75，15，135 C. 60，105，150 D. 45，80，120

4.当时钟指向上午 10 时 10 分，此时时针与分针夹角的度数是（ ）

A．135° B．120° C．115° D．100° 5.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC=（）A.30° B.45° C.50° D.60° 6.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角项点重合于点O，若AOB155 ，则COD（）A.155° B.65° C.45° D.25° 7．如图，OB 、OC 是 AOD 内部的任意两条射线，OM平分AOB，ON平分COD，若MON，BOC   ，则用代数式表示AOD =__________．

8.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，则AOCDOB____度.

121

9.如图①，已知线段 AB  20cm，CD  2cm ，线段CD 在线段 AB 上运动，E、F分别是AC、BD的中点.（1）若 AC  4cm ，则 EF  _________ cm . （2）当线段CD 在线段 AB 上运动时，试判断 EF 的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由. （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知COD在AOB内部转动，OE、OF分别平分AOC 和 BOD ， 若 AOB 142 ， COD  38 ， 则 EOF  _________. 由此，你猜想EOF、AOB 和COD 会有怎样的数量关系.（直接写出猜想即可）

122

10.如图，以直线 AB 上一点O 为端点作射线OC ，使 BOC  70 ，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注： DOE  90）

（1）如图①，若直角三角板 DOE 的一边OD 放在射线OB 上，求COE 度数．（ 2 ）如图②，将直角三角板 DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分BOE，求COD的度数．

（3）如图③，将直角三角板 DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在 BOC的内部，试猜想BOD和COE有怎样的数量关系？并说明理由．

123

七上第 11 周秋季讲义知识点 1 一元一次方程、方程的解等概念

名称 定义 形式 举例方程 含有未知数的等式 2 5 3 6 4 8 12 2 306

3 1 1 2 69x x x x yx x x y . y         ；；；；；一元一次方程

在一个方程中，只含有

一个未知数，而且方程

中的代数式都是整式，

未知数的指数都是 1，

这样的方程叫做一元

一次方程

标准形式：

ax  b  0其中a  0，a,b是已知数

最简形式：

ax  b其中a  0，a,b是已知数

2x40就是一元一次方程注意事项

一元一次方程的判断标准：（首先化简为标准形式或最简形式）①只含有一个未知数（系数不为零）；

②未知数的最高次数为 1；

③方程是整式方程

名称 定义 方程解的检验 举例方程的解

使方程左、右两边的值

相等的未知数的值，叫

做方程的解

要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边的值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是

x 2是一元一次方程x20的解解方程

求方程的解的过程叫

做解方程

例题

1.下列各式：

2 2 62x 1 5 4 8 12 5y 7 2x 3y 0 3x x 1 2x 3x 1 x 126y9.y①   ；②   ；③  ；④   ；⑤  ；⑥  ；⑦；⑧其中是方程的有（ ）

A.①②④⑤⑧ B.①②⑤⑦⑧ C.①④⑤⑦⑧ D.①③④⑤⑥⑦⑧2.下列方程中是一元一次方程的是（ ）

A. 5 0

5

 

x

B. 9

3

2 5 

x 

C. 5 6

2

y  y  D. 8x 9y 7

124

3.已知关于 x 的方程 

1 2 3 0

m m x

    是一元一次方程，则 m 的值是（ ）A.2 B.0 C.1 D.0 或2

4. x 1是关于 x 的方程 2x  a  0 的解，则 a 的值是（ ）

A.−2 B.2 C.−1 D.1

5.根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程. （1）一个数的 3 倍比它的 2 倍多 10，求这个数. （2）从 60 cm 长的木条上截去 2 段同样长的木条还剩下 10 cm 长的短木条，截去的木条每段长多少？（3）如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为 40 cm，栽种后每周长高约15 cm，大约几周后树苗长高到 1m？

练习

1.下列各式中，是一元一次方程的有（ ）

①

3 1

4 2

x  ；②3x  2 ；③

1 1 2

1

7 5 3

x

y    ；④ 2 1 7 y  2y ；

⑤3 x 1  3  3x  6 ；⑥

5

3 2

y

  ；⑦ 4t 1  23t 1 ；

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.下列方程中，解为 x  3的是（ ）

A. 2x  7 11 B. 5x  8  2x 1 C. 3x 1 D. x  3

3.如果 (a－1)x + 3＝－6

|a| 是关于 x 的一元一次方程，那么 a ＝ ；方程的解为x＝.

125

4.若方程   

2 m  2 x  m  2 x  6  0 是关于 x 的一元一次方程. （1）求 m 的值；

（2）求 2 m  3m  5 的值.

5.在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班的多 20%，乙班植树的株数比甲班的一半多10 株，设乙班植树 x 株. （1）列两个不同的含 x 的式子，分别表示甲班植树的株数；

（2）根据题意列出含有未知数 x 的方程；

（3）检验甲班、乙班植树的株数是不是分别为 30 株和 25 株.

126

知识点 2 等式的基本性质

名称 内容 符号表示 举例等式的基本性质

1.等式两边同时加（或

减）同一个代数式，所

得结果仍是等式

2.等式两边乘同一个

数（或除以同一个不为

0 的数），所得结果仍

是等式

若 x  y ，则 x±z  y±z （z 为代数式）；

cx  cy c为常数

 

x y

c

c c  为非零常数1.如果a3b3，那么ab2.如果3x3y，那么x y注意事项

等式的基本性质是等式恒等变形的重要依据

利用等式的基本性质 2 时，等式两边必须同时除以同一个不为0 的数例题

1.下列变形正确的是（ ）

①若 a=b ,则

3 3

a b  ； ②若 a=b ,则  3a+5= 3b+5 ；③若 2 2

ac =bc ，则 a=b ； ④若 = ( ≠ 0)

2 2 c

c

b

c

a ，则 a=b . A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④2.设 x，y，c 是有理数，下列判断错误的是（ ）

A.若 x  y ，则 x  c  y  c B.若 x  y ，则 xc  yc

C.若 x  y ，则

x y

c c  D.若 2 3

x y

c c  ，则 3x  2y

3.有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一种物体的质量都相等，现在左右手同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）A. B. C. D.

127

练习

1.下列变形中，错误的是（ ）

A.若 x  y ，则 xm  6  ym  6 B.若 a  b ，则 2 2 1 1

a b

t t 

 

C.若 x  3，则 2 x  3x D.若 mx  nx ，则 m  n

2.下列利用等式的基本性质解方程中，正确的是（ ）

A.由 x  5  6 ，得 x 1 B.由5x  6 ，得

5

6

x 

C.由 5x 10 ，得 x  2 D.由 x  3  4 ，得 x 1

3.a，b，c 三个物体的质量关系如图所示：

回答下列问题：

（1）a，b，c 三个物体就单个而言哪个质量更大？

（2）若天平一边放一些物体 a，另一边放一些物体 c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体 c？

128

知识点 3 解一元一次方程的基本步骤

名称 内容 依据解一元一次方程的基本步骤

移项 等式的基本性质1合并同类项 乘法分配律的逆向应用系数化为 1 等式的基本性质2注意事项

1.移项需要变号，不移动的项不变号. 习惯上将含有未知数的同类项移到等号左边，常数项移到等号右边

2.把方程bx  a 系数化为 1，方程两边应同时除以b（x的系数），而不是同时除以 a

例题

1.解下列方程时，既要合并含未知数的项，又要合并常数项的是（ ）

A. 3x  2x  5 B. x  2x 1 2 C. 2x  3x  1 D. 2x  6 2

2.把方程

2

3

3  x  的系数化为 1 的过程中，最恰当的叙述是（ ）

A.给方程两边同时乘−3 B.给方程两边同时除以

3

2 

C.给方程两边同时乘

3

2  D.给方程两边同时除以 3

3.如果 x  m 是关于 x 的方程

1

1

2

x  m  的解，那么 m 的值是（ ）

A.0 B.2 C.−2 D.−6

4.下列说法中，正确的是（ ）

A. 3x  5  2 可以由3x  2  5 移项得到 B.1 x  2x 1 移项后得11  2x x

C.由5x 16 得

16

5

x  这种变形也叫移项 D.1 7x  2  6x 移项后得1 2  7x 6x

练习

1.方程 4x  2  5 的解是 .

2.关于 x 的方程3x  6x  3 与 2mx  3m  1的解相同，则 m 的值为 .

3.若 2 1 6 2

m x y

  与

1 3 1 10 4 3

m n x y

 

 是同类项，则 m= ，n= .

129

知识点 4 利用去括号解一元一次方程

名称 去括号法则 表示方法 举例利用去括号解

一元一次方程

1.括号前面是正号，去掉括

号后各项的符号都不改变；

2.括号前面是负号，去掉括

号后各项的符号都要改变

3.去括号后再解方程

c a  b  ca  cb c a  b  ca  cb

解下列方程：5 x 1 1

解：去括号，得5x  5 1

移项，得5x 1 5

合并同类项，得5x  6

系数化为1，得6

5

x 注意事项

1.括号前是负号时，注意改变各项的符号

2.先去括号，再移项，最后进行合并同类项解方程

例题

1.方程 3  2 x  5  9 的解是（ ）

A. x  2 B. x  2 C. 2

3

x  D. x 1

2.若方程 4x  3 x 1  4 x  3 的解比关于 x 的方程 ax  5  3a 的解小 1，求a 的值.

3.解方程：

3 4 1 1 3

8 1

4 3 2 4 2

x x

   

       

   

130

练习

1.方程

1 1 1

1 1

2 3 4

x

  

     

   的解为（ ）

A.12 B.24 C.25 D.28

2.关于 x 的方程 4

2 3

x m

  x  与   1

16 6

2

x    的解相同，求 m 的值.

3.解方程：

（1）10x 1 50.2x 1 1 （2）   2

3 2 4

3

x x x

       

  （3）3 21222 34x

x         

131

知识点 5 解含分母的一元一次方程

名称 一般步骤 技巧提示 举例解含分母的

一元一次方程

去分母→去括号→

移项→合并同类项→

未知数的系数化为 1

去分母时，将含有分数的一元一

次方程“转化”成 x  a 的形式

解方程：  1 114207 4x x去分母，得4 x 147x20去括号，得4x 567x140移项，得3x84两边同除以3，得x28注意事项 方法、步骤可以灵活多样，基本思想是化“复杂”为“简单”例题

1.解方程

3 1 2 7

1

4 12

y  y 

  时，为了去分母，应将方程两边同乘（ ）

A.16 B.12 C.8 D.4

2.若关于 x 的一元一次方程

2 3

1

3 2

x  k x  k   的解是 x  1，则 k 的值是（ ）A.27 B.1 C. 13

11  D.0

3.已知方程

1 2 2 1 1

1

6 4 3  y y  y 

   与关于 y 的方程

6

3

3 6

y a a

y y 

   的解相同，求a 的值.

4.解方程：

（1）

2 2 1

1

2 3

x x

x  

   （2）

1 6 1 2 1 2 1

15 6 5 18  x  x x  x 

    （3）0 1 00100110 20063. x . x. x. . 

132

练习

1.解方程：

（1）

2 1

2

3 2

x   x    （2）

0 4 2 1 0 1 0 2

0 6

0 5 0 03

. x . . . x

.

. .  

  （3）10x 150.2x 112.如果方程

4 2

8

3 2

x  x 

   的解与关于 x 的方程 2ax  3a  5  5x 12a  20 的解相同，确定字母a的值.3.某同学在对方程

2 1

2

3 3

x  x  a   去分母时，方程右边的−2 没有乘 3，这时方程的解为x=2，试求a的值，并求出原方程正确的解.

4.已知方程 6  3 x 1  0 的解与关于 x 的方程 3 2 2

2

k x

k x



   的解互为相反数，求k 的值.

5.小马虎在做作业时，不小心把方程的一常数污染了，看不清楚了，被污染的方程是：xx21132■，怎么办？小马虎想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是 x 12 ，他很快补好了这个常数，请你把小马虎求常数的过程写出来.

133

随堂检测1.若 2 3 3 2 5

n x

   是关于 x 的一元一次方程，则 3

n  等于（ ）

A． 9 B． 6 C． 6 D．9

2.方程 2x 1  3 与方程 0

3

3

1 





a x 的解相同，则 a 的值为（ ）

A.3 B.2 C.1 D. 3

5

3.小红对小敏说：“我是 6 月份出生的，我年龄数的 2 倍加上 10，正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”则小红的年龄为（ ）

A.10 岁 B.11 岁 C.12 岁 D.13 岁4.解方程   1

5 1 2

2

x x x

       

  ，步骤如下：①去括号，得5x 1 x  2x 1；②移项，得5x2xx11；③合并同类项，得 2x  2 ；④系数化为 1，得 x 1.其中开始出错的一步是（）A.① B.② C.③ D.④5.已知方程3(x  2)  5x 与 4x  3(a  x)  6x  7(a  x) 有相同的解，则 a = ．6.观察下列按一定规律排列的 n 个数： 2,4,6,8,10,12,，若最后三个数之和是3000，则n= .7.观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17, 1,4,7,10,13,16,19,22,25,探究发现：第 1 个相同的数是 1，第 2 个相同的数是 7，，若第 n 个相同的数是103，则n= .8.已知方程  

1 2 16 0

m m x

    是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值及方程的解.

9.解方程：（1）

0 5 0 9 5 0 01 0 02

0 5 3 0 03

. x . x . . x

. .   

  （2）

3 4 1 1 38

4 3 2 4 2x x   

    

   

134

10.在解方程         1 1

3 2 2 2 2 2

3 2

x   x   x   x  时，可将 x  2，x  2 都看成整体进行移项、合并同类项，得     7 7

2 2

2 3

x   x  ，继续求解，这种方法叫做整体求解法.请用这种方法解方程：         3 1

5 4 6 1 2 1 4 6

4 4

x   x   x   x 

11.已知关于 x 的方程9x  3  kx 14 有整数解，求满足条件的整数 k.

12.已知方程 

1

2

2 3 5 0

a a b y y

     是关于 y 的一元一次方程. （1）求 a，b 的值；

（2）若 x  a 是方程

2 1 2

3

6 2 6

x x x m

x

  

    的解，求 a  b  b  m.

135

七上第 12 周秋季讲义知识点 1 等积变形问题

名称

用方程解决实际

问题的基本步骤

常用公式等积变形问题

1.理解题意

2.寻找等量关系

3.设未知数

4.列方程

5.解方程

6.验证解的合理

性

7.作答

1.长方形的周长 C  2a  ba为长，b为宽

2.圆的周长 C  2rr为圆的半径

3.圆的面积  

2 S=r r为圆的半径4.长方体的体积V  abc a为长，b为宽，c为高5.圆柱体的体积V =ShS为底面积，h为高

注意事项 列方程时注意单位统一

例题

1.在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个空的量筒中，如图所示，请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）

A. 8 6  5

2 2

   x     x  B.  5 2

6

2

8

2 2

  











    









  x  x

C.  5 2

6

2

8

2 2

  











    









  x  x D. 8 6  5

2 2

   x     x 

2.如图，用一块长 5cm、宽 2cm 的长方形纸板，和一块长 4cm、宽 1cm 的长方形纸板，与一块正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则拼成的大正方形的面积是cm2.

3.一个长方形的周长是 40 cm，若将长减少 8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为（ ）

A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

136

4.如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由.（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）

练习

1.有一个底面半径为 10 cm 、高为 30 cm 的圆柱形大杯中存满了水，把它里面的水倒入一个底面直径为10 cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满 12 杯，则小杯的高为（ ） cm. A.12 B.10 C.6 D.5

2.如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为 4 cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（ ）A.16 cm2 B.20 cm2 C.80 cm2 D.160 cm2

3.如图，10 块相同的长方形砖墙拼成一个长方形，设长方形墙砖的长为 x 厘米，则依题意列方程为______________________.

4.如图，一个酒瓶的容积为 500 毫升，瓶子内还剩有一些黄酒.当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12厘米；倒放时，空余部分的高度为 8 厘米，则瓶子的底面积为 平方厘米（1 毫升=1 立方厘米）.

137

知识点 2 打折销售问题

名称 常用公式 举例打折销售问题

1.利润=售价−成本价

2. = 100% 利润 利润率

成本

,利润=利润率成本3.当售价大于进价时，盈利；当售价小于进价时，亏损

4.商品的售价=标价×折扣=成本+成本×利润率

一件衬衫的进货价为60元，提高50%后标价为90 元，8 折优惠价为72 元，利润为12元，利润率为20%注意事项

根据题意寻找“等量关系”，同时解出方程后注意检验求出的值是不是方程的解，是否符合实际意义

例题

1.某种商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 10%，则这种商品每件的进价为（）A. 300 元 B.250 元 C.240 元 D. 200 元2.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25 元，而按原售价的九折出售，将盈利 20 元，则该商品的原售价为（ ）

A.230 元 B.250 元 C.270 元 D.300 元3.某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖出，得 1500 元，盈利 20%；乙种股票卖出，得1500元，但亏损 20%，该股民在这次交易中（ ）

A.盈利 125 元 B.亏损 125 元 C.不赔不赚 D.亏损625 元4.某水果店计划购进 A、B 两种水果，下表是 A、B 这两种水果的进货价格：水果品种 A B

进货价格（元/kg） 10 15

（1）若该水果店要花费 600 元同时购进两种水果共 50kg，则购进 A、B 两种水果各为多少kg？（2）若水果店将 A 种水果的售价定为 14 元/kg，要使购进的这批水果在完全售出后达到50%的利润率，B种水果的售价应该定为多少？

138

练习

1.某商店出售一种商品,下列四个方案中,最后价格最低的方案是( )

A.先提价 30%，再降价 30% B.先提价 20%，再降价 20%

C.先降价 20%，再提价 30% D.先降价 20%，再提价 20%

2.有两种消费券：A 券，满 60 元减 20 元，B 券，满 90 元减 30 元，即一次购物大于或等于60 元、90元，付款时分别减 20 元、30 元，小敏有一张 A 券，小聪有一张 B 券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元，则所购商品的标价是 元.

4.华联超市第一次用 7000 元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2 倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价−进价）

甲 乙进价（元/件） 20 30

售价（元/件） 25 40

（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍.超市将甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多 800 元.求第二次乙商品是按原价打几折销售的？

139

知识点 3 等量关系的确定

名称 等量关系的确定方法 举例等量关系的确定

列方程解应用题的关键是找出能够反

映题意的一个等量关系.对于复杂问题的等量关系可以采用列

表法分析数量之间的关系.一般可以从以下几个方面确定等量关

系：

（1）抓住问题中的关键词，确定等量

关系.如问题中的“和、差、倍”、“多、

少”、“快、慢”等都是确定等量关

系的关键词；

（2）利用公式或基本数量关系找等量

关系

（3）从变化的关系中寻找不变的量，

确定等量关系

刘成用 150 元买了甲、乙两种书共20本，甲种书单价10 元，乙种书单价5元，则刘成买了这两本书各多少本？分析：本题的两个等量关系是：甲种书款+乙种书款=150 元；甲种书的数量+乙种书的数量=20本.本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量.因此既可以设甲种书的数量为未知数，也可以设乙种书的数量为未知数.解：设刘成买了甲种书x 本，则买了乙种书（20−x）本.根据题意得， 

 

10 5 20 15010 100 5 1505 50

10

20 10 10

x x

x x

x

x

   



  本答：刘成买了甲、乙两种书各10本注意事项

根据题意寻找“等量关系”，同时解出方程后，注意检验求出的值是不是方程的解、是否符合实际意义.

140

例题

1.为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的标准如下表：

收费标准（注：水费按月结算）

每月用水量 单价：元/m3

不超过 8 m3（含 8 m3）的部分 2.8

超过 8 m3，不超过 12 m3（含 12 m3）的部分 3.6

超过 12 m3的部分 4.8

请根据上表的内容解答下列问题：

（1）若某户居民 11 月份用水 a m3（其中 8<a<12）,请用含 a 的代数式表示应收水费；（2）若某户居民 12 月份交水费 56 元，则用水量多少立方米？

2.为了节能减排，一废品收购站开展废纸收购业务.现已经收购废纸 52.5 吨.根据市场信息，将废纸直接销售，每吨可获利 100 元；如果对废纸进行粗加工，每天可加工 8 吨，每吨可获利1000 元；如果进行精加工，每天可加工 0.5 吨，每吨可获利 5000 元.由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30 天）内将这批废纸全部销售，为此研究了二种方案：

（1）方案一：将废纸全部粗加工后销售，则可获利_________元.方案二：30 天时间都进行精加工，没来得及加工的废纸，在市场上直接销售，则可获利________元.（2）是否存在第三种方案，将部分废纸精加工，其余废纸粗加工，并且恰好在30 天内完成？若存在，求销售后总共获利多少？若不存在，请说明理由.

141

3.某旅行社计划在暑假期间面向学生推出一日游活动.收费标准如下：

人数 m/人 0＜m≤100 100＜m≤200 m＞200收费标准/（元/人） 90 85 75

甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿报名参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的人数少于 100 人.经核算，若两校分别组团共需花费 20800 元，若两校联合组团只需花费18000元. （1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和是多少？

（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？

4.一位商人来到一座新城市，想租一套房子，A 家房东的条件是先交 2000 元，每月租金1200 元；B家房东的条件是每月租金 1400 元. （1）这位商人想在这座城市住半年，则租哪家的房子划算？

（2）如果这位商人想住一年，租哪家的房子划算？

（3）这位商人住多长时间时，租两家的房子租金一样？

142

练习

1.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表：住院医疗费（元） 报销率（%）不超过 500 元的部分 0

超过 500~1000 元的部分 60

超过 1000~3000 元的部分 80

··· ···某人住院治疗后得到保险公司报销金额是 1100 元，则此人住院的医疗费是（）A.1000 元 B.1250 元 C.1500 元 D.2000 元2.为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如下表：档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）第一档 小于或等于 200 0.55

第二档 大于 200 且小于 400 0.6

第三档 大于或等于 400 0.85

例如：一户居民七月份用电 420 度，则需交电费 420×0.85=357（元）

某户居民五、六月份共用电 500 度，交电费 290.5 元.已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于 400 度.该户居民五、六月份各用电多少度？

143

3.某同学在 A，B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同.英语学习机和书包单价之和是 452 元，且英语学习机的单价比书包单价的 4 倍少 8 元. （1）求该同学看中的英语学习机和书包的单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上超市促销，超市 A 所有商品打 7.5 折销售，超市B 全场购物每满100元返回购物券 30 元（不足 100 元不返券，购物券全场通用），如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，在哪一家购买更省钱？

4.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经过粗加工后销售，每吨利润可达4500 元；经过精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元.当地一家公司有这种蔬菜140 t，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 t；如果进行精加工，每天可加工6 t，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此公司制定了三种方案:

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

144

知识点 4 行程问题

名称 常用等量关系 解题关键行程问题

1.同向追及问题：

（1）同时不同地

甲（慢）路程+路程差=乙（快）路程

甲时间=乙时间

（2）同地不同时

甲（快）时间+时间差=乙（慢）时间

甲路程=乙路程

2.相向的相遇问题：

甲路程+乙路程=总路程

甲时间=乙时间

借助线段图分析数量关系注意事项 注意出发时间和地点

例题

1.甲、乙两人从 A 地出发前往 B 地，甲出发 2 小时后，乙开始出发，已知甲的速度是15km/ h，乙的速度是 60 km / h ，A、B 两地相距 100 km ，乙追上甲的地方离 B 地多远?

2.某人从家里骑自行车到学校.若每小时行 15 千米，可比预定时间早到 15 分钟；若每小时行9 千米，可比预定时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？

145

3.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了 1 小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行 2 千米，从家里到外婆家需要1小时 45 分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？

4.一列客车车长 200 米，一列货车车长 280 米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过 16 秒，已知客车与货车的速度之比是 3:2，问两车每秒各行驶多少米？5.甲、乙两人相距 5 千米，分别以 2 千米/时的速度相向而行，同时一只狗以12 千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程.

146

6.A、B 两地相距 150 千米.一辆汽车以每小时 50 千米的速度从 A 地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距 30 千米？7.甲、乙两人同时从相距 25 千米的 A 地去 B 地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3 倍，甲到达B地停留 40 分钟，然后从 B 地返回 A 地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3 小时，求两人的速度各是多少？

8.有甲、乙两艘船，现同时由 A 地顺流而下，乙船到 B 地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是 7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A，C两地之间的距离为 10 km.如果乙船由 A 地经过 B 地再到达 C 地共用了 4 h，问：乙船从B 地到达C地时，甲船距离B 地有多远？

147

练习

1.甲、乙两同学从学校到少年宫去，甲每小时走 4 千米，乙每小时走 6 千米，甲先出发半小时，结果还比乙晚到半小时，若设学校与少年宫的距离为 s 千米，则可列方程 .

2.目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式，元旦期间王老师驾汽车从青岛出发经高速公路到济南，期间用了 4.5 小时；返回时平均速度提高了 10 千米/时，比去时少用半小时回到青岛．求青岛与济南两地间的高速公路长多少千米？

3.A、B 两列火车长分别是 120m 和 144m，A 车比 B 车每秒多行 5m．

（1）两列相向行驶，从相遇到两车全部错开需 8 秒，问两车的速度各是多少？（2）在（1）的条件下，若同向行驶，A 车的车头从 B 车的车尾追及到 A 车全部超出B 车，需要多少秒？

148

4.甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为 24 千米．甲队步行速度为4 千米/时，乙队步行速度为 6 千米/时．甲队出发 1 小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为 10 千米/时．

（1）乙队追上甲队需要多长时间？

（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为 1 千米？5.某船从 A 码头顺流航行到 B 码头，然后逆流返行到C 码头，共行 20 小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为 2.5 千米/时，若 A 与C 的距离比 A 与 B 的距离短 40 千米，且点C在点A的下游，求 A 与 B 的距离.

149

6.甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动.若甲的速度是乙的速度的2 倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的 3 倍，则甲运动

3

2 周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速的 4 倍，则甲运动

4

3 周，甲、乙第一次相遇以此探究：正常走时的时钟，时针和分针从0 点（12点）同时出发，分针旋转多少周，时针和分针第一次相遇？

7.A、B 两地相距 64 千米，甲从 A 地出发，每小时行 14 千米，乙从 B 地出发，每小时行18 千米．（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？

（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距 16 千米？

（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲 10 千米?

150

随堂检测1.某车间有 62 名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12 个或乙种零件23个，若3个甲种零件和 2 个乙种零件配成一套，应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套？设应分配 x 人生产甲种零件，则根据题意可得的方程为（）A.12x  62(23  x) B. 312x  2 23(62  x) C. 212x  3 2（3 62  x）D. 2362x12x5

3

（）2.现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯长 30 米，可足够锻造直径为 0.4 米，长为3 米的圆柱形机轴根.3.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的

1

5 ，两根铁棒长度之和为 55 cm，此时木桶中的水的深度是.

4.一个长方形如图所示，恰好分成六个正方形，其中最小的正方形面积是 1 2

cm，求这个长方形的面积．5.利群开展了消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 600 元立减128 元（每次只能使用一张），某品牌电饭煲按进价提高 50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 568 元，求该电饭煲的进价.