94

6．已知 a 是一个自然数，A、B 是 1 至 9 中的数字，最简分数差 A B

a   0.3 3

222  ．请问：a 是多少？

7．把质数 373 按数位拆开（不改变各数之间的顺序），只能得到 3、7、37、73 这四个数，它们仍然

都是质数，请找出所有具有这种性质的质数．

8．在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得

计算结果等于 24. (1)1，4，5，6； (2)1，5，5，5； (3)3，3，7，7； (4)3，3，8，8.

9．把 1 至 6 填人下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立，请写出所

有的答案． 口．口×口．口=口．口

95

10．如图 13-2 所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得两

个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？

11．在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．花相似人不同

代表的六位数是多少？ 年年岁岁  花相似 年年  年年  人 不同

12．在图 13-3 所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．如果 CHINA

代表的五位数能被 24 整除，那么这个五位数是多少？

超越篇

1．两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，但计算结果都是

1360.实际上正确结果的个位不是 0，那么正确结果应该是多少？

96

2．用 0 至 9 这 10 个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？

3．已知 A 0.a13b

   是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小．那么这个分数是多少？

4．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一

个六位数，并且这两个数刚好包含数字 0 至 9 各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域

干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？

5．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这

个四位数是多少？

97

6．在图 134 所示算式的每个方框内填人一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立．

7．a、b、c 是三个互不相同的自然数，且满足abc× bca = 7bc × cba ，求三位数abc

8．已知算式abc× bca ×cab = 234235286 ，其中 a > b > c．后来发现右边的乘积的数字顺序出现错

误，但是知道个位的 6 是正确的，那么原式中的abc 是多少？

98

第 14 讲 行程问题五

内容概述

运动过程中，速度大小或方向有变化的行程问题．掌握分段计算和估算的方法，注意两个不同

运动过程之间的对比与计算．典型问题

提高篇

1．邮递员早晨 7 点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走 12 千米的上坡路，再走 6 千米

的下坡路．上坡的速度是 3 千米／时，下坡的速度是 6 千米／时，请问：

(1)邮递员去村里的平均速度是多少？(2)邮递员返回时的平均速度是多少？

(3)邮递员往返的平均速度是多少？

2．费叔叔开车回家，原计划按照 40 千米／时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只

有 30 千米／时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到家？

3．一辆汽车原计划 6 小时从 A 城到 B 城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了 30 分钟．如

果按照原定的时间到达 B 城，汽车在后一半路程的速度就应该提高 12 千米／时，那么 A、B 两城相

距多少千米？

99

4．甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛，两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度

为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次从后面追上乙时，甲的速度就减少 1 米／秒，而乙的

速度增加 0.5 米／秒，直到乙比甲快．请问：领先者到达终点时，另一人距终点多少米？

5．一个圆的周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每

秒钟分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米，在运动过程中它们不断地调头，如果把出发算作第零次调头，那

么相邻两次调头的时间间隔依次是 1 秒，3 秒，5 秒，…，即是一个由连续奇数组成的数列．问：两

只蚂蚁爬行了多长时间才能第一次相遇？

6．龟兔赛跑，全程 1.04 千米．兔子每小时跑 4 千米，乌龟每小时爬 0.6 千米．乌龟不停地爬，但兔

子却边跑边玩，兔子先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后玩

15 分钟……请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？

7．如图 14-1 所示，甲、乙两人绕着一个正方形的房子玩捉迷藏．正方形 ABCD 的边长为 24 米，甲、

乙都从 A 点出发逆时针行进，甲出发时，乙要靠在 A 点的墙壁上数 10 秒后再出发，已知甲每秒跑

4 米，乙每秒跑 6 米，且两人每到达一个顶点都需要休息 3 秒钟．请问：乙出发几秒后第一次追上

甲？

100

8．刘老师从家到单位时，前

3

1 的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前

8

5 的路程乘车，后

面的路程骑车．结果去单位的时间比回家的时间少 2 分钟．已知刘老师骑车每小时行 8 千米，乘车

每小时行 16 千米，请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？

9．甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，6 小时后在中点相遇；若甲每小时多走 4 千米，乙提前

1 小时出发，则仍在中点相遇．那么两地相距多少千米？

10．如图 14-2 所示，A 与 B、B 与 C 之间的公路长度相等，且每段公路上都有限速标志（单位：千

米／时）．甲货车从 A 出发，乙货车从 C 出发，并且两车在 A、C 之间往返行驶．结果当甲车到达 C

后再返回到 B 时，乙车刚好第一次到达 B．已知甲、乙两车在各段公路上均以所能达到的最快速度

行驶（不会超过车子本身的最高时速，也不能超过公路上的最高限速），且甲车的最高时速是乙车的

4 倍，那么甲车的最高时速是多少？

拓展篇

1．如图 14-3 所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行 50 厘米、

20 厘米、40 厘米．蚂蚁由 A 点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了

一周半，平均速度又是多少？

101

2．甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以 4 千米／时的速度走了路程的一半，又以 6 千米／时的速

度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以 4 千米／时的速度行进，另一半时间以 6 千米／

时的速度行进．问：甲、乙两班哪个班将获胜？

3．甲、乙两地相距 100 千米，小张先骑摩托车从甲地出发，1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发，丽

人同时到达乙地．摩托车开始速度是每小时 50 千米，中途减速后为每小时 40 千米．汽车速度是每

小时 80 千米，汽车曾在途中停驶 10 分钟．请问：小张驾驶的摩托车是在他出发多少小时后减速的？

4．男、女两名田径运动员在长 120 米的斜坡上练习跑步（如图 144 所示，坡顶为 A，坡底为剐．两

人同时从 A 点出发，在 A、B 之间不停地往返奔跑，已知男运动员上坡速度是每秒 3 米，下坡速度

是每秒 5 米，女运动员上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米．请问：两人第一次迎面相遇的

地点离 A 点多少米？第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米？

5．小明和小强从 400 米环形跑道的同一点出发，背向而行，当他们第 1 次相遇时，小明转身往回跑；

再次相遇时，小强转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小强两人交替调转方向．两人的速度

在运动过程中始终保持不变，小明每秒跑 3 米，小强每秒跑 5 米．试问：当他们第 99 次相遇时，相

遇点距离出发点多少米？

102

6．在一条南北走向的公路上有 A、B 两镇，A 镇在 B 镇北面 4.8 千米处．甲、乙两人分别同时从 A

镇、B 镇出发向南行走，甲的速度是每小时 9 千米，乙的速度是每小时 6 千米，甲在运动过程中始

终不改变方向，而乙向南走 3 分钟后，便转身往回走 2 分钟，接着按照先向南走 3 分钟，再向北走

2 分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距 B 镇多少千米？

7．如图 14-5 所示，正方形边长是 100 米，甲、乙两人同时从 A、B 沿图中所示的方向出发，甲每

分钟走 75 米，乙每分钟走 65 米，且两人每到达一个顶点都需要休息 2 分钟，求甲从出发到第一次

看见乙所用的时间．

8．甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，20 分钟后在某处相遇，如果甲每分钟多走 15

米，而乙比甲提前 2 分钟出发，则相遇时仍在此处．如果甲比乙晚 4 分钟出发，乙每分钟少走 25 米，

也能在此处相遇．那么 A、B 两地之间相距多少千米？

103

9．小明准时从家出发，以 3.6 千米／时的速度从家步行去学校，恰好提前 5 分钟到校．某天，当他

走了 1.2 千米，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课，后来算了一下，

如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早 15 分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步

的速度是每小时多少千米？

10．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，

乙车每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，

则相遇地点距 C 点 16 千米．请问：A、B 两地间的距离是多少千米？

11．李刚骑自行车从甲地到乙地，要先骑一段上坡路，再骑一段平坦路，他到乙地后，立即返回甲

地，来回共用了 3 小时．李刚在平坦路上比上坡路每小时多骑 6 千米，下坡路比平坦路每小时多骑

3 千米，还知道他在第 1 小时比第 2 小时少骑 5 千米，第 2 小时比第 3 小时少骑 3 千米．其中，第 2

小时骑了一段上坡路，又骑了一段平坦路，请问：

(1)李刚骑上坡路所用的时间是多少分钟？(2)李刚骑下坡路所用的时间是多少分钟？

(3)甲、乙两地之间的距离是多少千米？

104

12．如图 14-6 所示，有 4 个村镇 A、B、C、D，在连接它们的 3 段等长的公路 AB、BC、CD 上，

汽车行驶的最高时速限制分别是 60 千米／时、20 千米／时和 30 千米／时．一辆客车从 A 镇出发驶

向 D 镇，到达 D 镇后立即返回；一辆货车同时从 D 镇出发，驶向 B 镇．两车相遇在 C 镇，而当货

车到达 B 镇时，客车又回到了 C 镇，已知客车和货车在各段公路上均以其所能达到且被允许的最大

速度行驶，货车在与客车相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了套，求客车的最高时速．

超越篇

1．学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午

七点回到学校．已知他们的步行速度平地为 4 千米／时，上山为 3 千米／时，下山为 6 千米／时．请

问：同学们一共走了多少千米？

2．男、女两名运动员在长 350 米的斜坡 AB（A 为坡顶、B 为坡底）上跑步，二人同时从坡顶出发，

在 A、B 间往返奔跑，已知速度如图 14-7 所示，那么男运动员第二次追上女运动员的位置距坡顶多

少米？

105

3．甲、乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 l 小时出发，则在不到

中点 13 千米处与甲车相遇；如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，求甲车与

乙车的速度差．

4．如图 14-8，在一条马路边有 A、B、C、D 四个车站，甲、乙两辆相同的汽车分别从 A、D 两地

出发相向而行，在 BC 的中点相遇．已知它们在 AB、BC、CD 上的速度分别为 30 千米／时、40 千

米／时、50 千米／时．如果甲晚出发 1 小时，则它们将在 B 点相遇；如果乙在每一段上的速度都减

半，而甲的速度不变，它们的相遇地点离 B 点 65 千米，请求出 A，D 之间的距离．

5．如图 14-9，正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速

是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米，在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上一点 P，同时反向各

发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇，如果从 PC 的中点 M，同时反向各发出一辆汽车，它们将

在 AB 上一点Ⅳ相遇，问：AN 占 AB 的几分之几？

106

6．在 400 米环形跑道上进行 10000 米赛跑，乙始终保持一个固定的速度前进；甲刚开始的速度比乙

慢，但一直没有被乙追上．计时到 30 分 0 秒时甲开始加速并保持这个速度；36 分 0 秒时甲追上乙，

46 分 0 秒时甲再次追上乙，47 分 40 秒时甲到达终点．问：计时到几分几秒时乙到达终点？

7．圆形跑道的 40%是平路，60%则设置了跨栏（如图 14-10 中粗线部分）．甲、乙两人的平路速度

分别为 5 米／秒和 6 米／秒，跨栏速度分别为 4 米／秒和 3 米／秒．第一次两人从 A 点出发逆时针

跑，甲先跑了 5 秒钟，然后乙再出发．结果两人在跑第一圈的时候相遇了两次，且两次相遇的间隔

为 15 秒，问： (1)跑道总长为多少米？

(2)如果两人从 A 点出发顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候也相遇了两次，且两次相遇时间间隔

为 45 秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？

(3)如果两人从 A 点出发按顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候相遇两次，那么后跑的人最少晚出

发几秒钟？

8．如图 14-11 所示，正方形跑道的周长为 360 米，甲、乙两人同时从正方形跑道的 A 点出发，按顺

时针方向行进，甲的速度始终为 5 米／秒；乙最初的速度为 6 米／秒，第一次拐弯后速度减少≥，第

二次拐弯后速度增加丢，第三次拐弯后速度减少÷，第四次拐弯后速度增加÷…一如此下去．请问：

出发后多少秒甲、乙两人第 1 次相遇，相遇地点在何处？出发后多少秒他们第 100 次相遇，相遇地

点在何处？（注意：两人在一起即为相遇．）

107

第 15 讲 圆与扇形

内容概述

掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相

关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何

图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。典型问题

提高篇

1．已知一个扇形的圆心角为 120°，半径为 2，这个扇形的面积和周长各是多少？（л取 3.14）

2．已知一个扇形的面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60°，这个扇形的半径和周长各是多少？（л

取 3.14）

3．(1)根据图 15-1 所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取 3.14）

(2)如图 15.2，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点

是这些圆的圆心。如果圆周率л取 3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？

108

4．如图 15-3，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取 3.14）

5．如图 154，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取 3.14）

6．图 15-5 中甲区域比乙区域的面积大 57 平方厘米，且半圆的半径是 10 厘米．其中直角三角形竖

直的直角边的长度是多少？（л取 3.14）

109

7．求图 15-6 中阴影部分的面积．（л取 3.14）

8．如图 15-7，在 3×3 的方格表中，分别以 A、E 为圆心，3、2 为半径，画出圆心角都是 90°的两

段圆弧．图中阴影部分的面积是多少？（л取 3.14）

9．如图 15—8，在一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板中，裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：余

下的边角料的总面积是多少平方厘米？

10．一条直线上放着一个长和宽分别为 4 厘米和 3 厘米的长方形 I（图 15-9）．让这个长方形绕顶点

B 顺时针旋转 90 0 后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A 点到达 E 点的位置．求 A 点经过的

总路程的长度．（圆周率按 3 计算）

110

拓展篇

1．(1)已知一个扇形的半径为 2 厘米，弧长为 3.14，这个扇形的面积是多少？

(2)已知一个半圆形的面积是 56.52 平方厘米，求这个半圆形的周长．（л取 3.14）

2．如图 15-10，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取 3.14）

3．如图 15-11，直角三角形 ABC 的面积是 45，分别以曰、C 为圆心，3 为半径画圆．已知图中阴影

部分的面积是 35.58.请问：角 A 是多少度？（л取 3.14）

4．图 15-12 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．如图 15-13 所示，让 A 点不动，把整个半圆

逆时针转 60。，此时 B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（л取 3.14）

111

5．图 15-14 中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆

的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

6．图 15-15 中有一个等腰直角三角形 ABC，一个以 AB 为直径的半圆，和一个以 BC 为半

径的扇形．已知 AB =BC=10 厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（л取 3.14）

7．图 15-16 是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是 4．图中阴影

部分的面积是多少？（л取 3.14）

8．(1)如图 15-17，已知外面大圆的半径是 4，求正方形以及里面小圆的面积．（答案用л表示）

(2)已知图 t5-18 中正方形的边长为 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，

求图中阴影部分的面积．（答案用л表示）

112

9．图 15-19 中有一个矩形和两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形．请问：两个阴影部分的面积之差是

多少？（л取 3.14）

10．(1)根据图 15-20 中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取 3.14）

(2)如图 15-21，有七根直径为 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的

长度是多少厘米？（л取 3.14）

11．如图 15 -22，一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空

地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不

可逾越，小狗身长忽略不计，л取 3.14）

12．(1)图 15-23 中正方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到

原来位置时，扫过的面积有多大？（л取 3.14）

(2)图 15-24 中等边三角形的边长是 3 厘米，圆形的半径是 1 厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又

回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取 3.14）

113

超越篇

1．如图 15-25，边长为 4 的正方形中依次挖去了四个半圆．阴影部分的面积是多少？(答案用л表示）

2．如图 15-26，直角三角形的三条边长度为 6、8、10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面

积是多少？（答案用л表示）

3．图 15 -27 中是一个半径为 10 厘米，中心角为 135°（的扇形，D 点、E 是弧 BC 的三等分点，那

么阴影部分的面积为多少平方厘米？（л取 3.14）

4．如图 15-28 所示，有 7 个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的

面积是多少？

114

5．图 15-29 中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆的直径为

12 厘米，该零件的面积为多少平方厘米？（л取 3.14）

6．把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 90 度．如果它的直角边长为 10，求它的斜边扫过

的面积．（л取 3.14）

7．如图 15 -30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线

段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（л取 3.14）

8．一个等边三角形边长为 2 厘米，以它的每个顶点为圆心，边长为半径分别作一段弧形成一个曲边

三角形，如图 15-31.现在固定一个曲边三角形 A，用另一个曲边三角形 B 围绕着它滚动．那么 B 滚

动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？（л取 3.14）

115

第 16 讲 构造认证一

内容概述

各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手

寻找规律．本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法．典型问题

提高篇

1．如图 16-1，用 1×2 和 1×3 两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？

2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图 16-2 中一个皇后（图中五角星）就把

整个 3×3 的棋盘控制了．为了控制一个 4×4 的棋盘至少要放几个皇后？

3．图 16-3 中的左图为 15 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 5 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形

式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．

116

4．把 100 个橘子分装在 6 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6，应该如何装？

5．把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多

少条棱是白色的？

6．请在 9，8，…，3，2，l 的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能改变数的顺序），使得结果是

1．能否使得结果是 0 呢？

7．如图 16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇

数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由，

117

8．四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少

场．这四位同学回答分别比了 1、2、3、3 场．老师说：“你们肯定有人记错了．”请问：老师是怎么

知道的呢？

9．有四个算式：口+口=口，口－口=口，口×口=口，口÷口=口，如果每一个算式中都至少有 1 个

偶数和 1 个奇数，那么 12 个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这 12 个数中最少有多

少个偶数？最多有多少个偶数？

10．有 14 个孩子，依次给他们编号为 1，2，3，…，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩

子的编号是该组其它孩子的编号之和．

拓展篇

1．图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 7 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形

式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．

118

2．小明买来一个 1500 克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了 7 块，使得无论是 3 个人还是 5 个人平分，

都不必再分割蛋糕．这 7 块蛋糕的重量分别是多少？

3．有 4 颗外形完全相同的珍珠，其中 3 颗是真的，另 1 颗是假的，已知假珍珠比真的要轻，请问：

用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢？请设计出

方案.

4．图 16-7 中，左边是一把长为 6 厘米的直尺，其中已标出 2 条刻度线，用它可以一次量出从 1 至 6

厘米中任意整数厘米的长度．右图为一把长为 9 厘米的直尺，请你在上面只标出 3 条刻度线，使得

用这把直尺一次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度．

5．请将 8 个 1，8 个 0 填人图 16-8 的 16 个空格中，使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数．

6．有一列自然数，其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6，而任意 4 个相连的数之和都小于 8．这

个数列最多能有几项？

119

7．用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出 1000，例如 1111 - 111=1000.试用 8 个相

同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算 1000.

8．有 12 根小木棍，长度分别为 l，2，3，4，…，12 厘米．

(1)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；

(2)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．

9．(1)请在 l，2，3，…，19，20 的相邻两个数之间填入“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使得结

果是 0．

(2)能否在 1，2，3，…，20，21 的相邻两个数之间填人“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使得

结果是 0．

10．有 5 个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制，每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相

应灯泡的亮暗状态，能否经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗？

11．桌上放有 5 张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别写

上 l、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把 5 个和相乘．问：冬冬能否找到一种写法，

使得最后的乘积是奇数？为什么？

120

12．将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数和原

来的三位数之和能不能等于 9997 如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由．

超越篇

1．桌上放有 5 枚硬币，第一次翻动其中 l 枚，第二次翻动其中 2 枚，第三次翻动其中 3 枚，第四次

翻动其中 4 枚，第五次翻动其中 5 枚，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过

来？如果桌上放有 6 枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所

有的硬币都翻过来？

2．甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息．他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通

话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲，请你设计

一种方案，使得只需打电话 4 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．

3．天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放人物品和砝码，当天平平衡时，我们可以根据

砝码的重量来知道物品的重量．

(1)在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中．至少需要准备

多少个砝码，才能保证一次称出 l 至 20 克之间的任意整数克的物品？

(2)在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少需

要准备多少个砝码，才能保证一次称出 l 至 32 克之间的任意整数克的物品？

4．如图 16-9 所示，18 个孩子站在 24 个方格中，每格最多站 1 人，要使得每行每列站的孩子数都是

偶数．请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可）．

121

5．如图 16-10 所示，有 3 个 3x3 的方格表，每个都已经填入了 9 个整数．如果将表中同一行或同一

列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作，问：

(1)下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数？若有

请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；

(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则

说明理由．

6．(1)能否将 1、2、3、4、5 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？

(2)能否将 1、2、3、4、5、6、7 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？

7．旅店现在有 9 个单人间，10 名旅客可能人住．这 10 名旅客每次有 9 个人同时人住，管理员想事

先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪 9 个人人住，总能正好人住这 9 个房间，而且不用找别人借

钥匙，请问：最少需要多少把钥匙？

8．如图 16-11，在五角星图案中共有 10 个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的三角

形共有 10 个．现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的和

称为此三角形的“特征值”．请问：

(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；

(2)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被 3 整除．能则举出例子，不能请说明理

由．

122

第 17 讲 计算综合一

内容概述

了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化较复杂

的分数算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题．典型问题

提高篇

1．计算 (1)1 2  4  8 16  32  64 128  256;          256

1

128

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

(2)1

2．计算3 3 3 3 3 3 . 2 3 4 5 6     

3．计算   

 

2009 20092009 200920092009

1995 19951995 199519951995

4．计算       6

5

5

3

63

5

4

2

1

52

4

3

3

1

41

123

5．计算            2

1

100

4

1

9

3

1

8

2

1

7

4

1

6

3

1

5

2

1

4

4

1

3

3

1

2

2

1

1 

6．规定新运算“*”为：a*b=3 × a – 2 × b. （1）计算： ); 5

6

*

4

5

*( 3

4 （2）已知

5

6

) 4

5

*( *

3

4

x  ，求 x

7．图 17-1 中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：

2.75 是 2.5 和 3 的平均数，请问：第 100 行中的各数之和是多少？

8．有这样一列数，前两个数分别是 0 和 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：

0，l，l，2，3，5，8，13，21，34，…，请问：这个数列的第 1000 个数除以 8 所得的余数是多少？

124

9．观察下面的数阵：

根据前五行数所表达的规律，求：

(1)嚣这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？

(2)第 28 行第 19 个数是什么？

10．观察数列 ,，

4

1

, 4

2

, 4

3

, 4

4

, 4

3

, 4

2

, 4

1

, 3

1

, 3

2

, 3

3

, 3

2

, 3

1

, 2

1

, 2

2

, 2

1

, 1

1 求

(1)数列中第 150 项；(2)数列中前 300 项的和．

拓展篇

1．如图 17-2，有一个边长为 81 厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一份为边向外

作等边三角形，得到图 17-3.由图 17-3 通过同样方法又得到图 17-4.如果再由图 17-4 通过同样方法得

到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？

125

2．计算：(1)1 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 3 4 5 6 7                2 3 4 5 6 7 3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

(2)1

3．某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的 1.5

倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？

4．计算：          

        

2 3 4 4 | 6 8 200 300 400

1 2 3 2 4 6 100 200 300 



5．计算： ). 1999 1999 1998 1998

1999 1999 1

8

7

(9

8

7

9 2 2

2   

 

 

6．对于任意的两个自然数 a 和 b，规定新运算“ ”为：

ab  a(a 1)(a  2) (a  b 1).如果(x3)3 15600, 求 x 的值。

126

7．定义新运算 aΩb 为 a 与 b 之间(包含 a、b)所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7Ω

14=(7+9+11 +13) ÷4=10，18Ω10=(18+16+14+12+10) ÷ 5=14. (1)计算：10Ω19；

(2)在算式口Ω(19Ω99)= 80 的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？

8．1 至 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和是多少？

9．有一串数如下：1，2，4，7，11，16，…．它的规律是：由 1 开始，依次加 1，加 2，加 3，…，

逐个产生这串数，直到第 50 个数为止，求第 50 个数除以 3 的余数．

10．70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于与它相邻的两个数之和．这

一行最左边的几个数是这样的：0，l，3，8，21，…．请问：这列数中除以 6 余 l 的数有多少个？

127

11．观察数列

2008

2007

, 2008

2005

, , 10

1

; 8

7

, 8

5

, 8

3

, 8

1

, 6

5

, 6

3

, 6

1

, 4

3

, 4

1

, 2

1  的规律，问：

(1)数列中第 2008 项是什么？ (2)数列中前 2008 项的和是多少？

12．将从 1 开始的自然数按照如图 17-5 所示的规律排成数阵，数 1000 所在的行与列中分别有一个

最小的数，求这两个数的和．

超越篇

1．求所有分母为 360 的最简真分数的和．

2．有一种运算“*”，满足以下条件：

①2 * 3 = 5；②a * b = b * a；③a *（b + c）=a * b * c．（这里的“+”是通常的加号）请计算：8*9．

128

3．下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，… 试问：

(1)其中第 300 个数被 6 除余几？

(2)如果数列按第 n 组含有 n 个数的规律分组，成为： (1)， (3，4)，(7，11，18)，…，那么第

300 组内各数之和除以 6 的余数是多少？

4．如图 17-6 所示的三角形数阵中，从第 2 行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间

填入它们的和，请问：第 999 行各数之和被 7 除所得的余数是多少？

5．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 1；第二次，再将两个

半圆周分别分成两个

4

1 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的

2

1

；第三次，再将四个

4

1 圆周

分别分成两个

8

1 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的

3

1

；第四次，再将八个

8

1 圆周分别分

成两个

16

1 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的

4

1 ……如此进行了 100 次．请问：最后圆周

上的所有数之和是多少？

129

6．将非零自然数按照图 17-7 中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远不会出现，

请问：99 在数表中共出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？

7．请写出 5 个不同的最简分数，分子都是 2，而且这 5 个分数组成一个等差数列．

8．规定运算“Ω”对任意的 x、y、z 都满足 y Ω x = 5，x Ω (yΩz)=(xΩy) + z – 5，试求 2009Ω1949.

130

第 18 讲 应用题拓展

内容概述

掌握比的概念，从份数的角度理解量与量的比；学会计算简单的按比分配的问题；了解连比的

含义．简单的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论．典型问题

提高篇

1．水果店运来了西瓜和哈密瓜共 234 个，如果西瓜和哈密瓜的个数比为 5：4，那么水果店运来西

瓜和哈密瓜各多少个？

2．有 429 名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为 7：6．后来又有

一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为 11：10.请问：后来报名的女生有多少人？

3．松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘 7 颗松果，松鼠妈妈只能采摘 6 颗；

松鼠宝宝采得最慢，他每采摘 2 颗，松鼠妈妈已经采摘了 3 颗．一天下来，他们一共采摘了 340 颗

松果．试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？

4．育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆，第一批与第二批的人数比是 5:4，第二批与第三批

的人数比是 3：2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少 55 人．请问：育才小学五年级一共有

多少人？

131

5．小明将 100 枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2 倍也要多．请

问：第三堆最多有多少枚棋子？

6．博雅小学五年级有 200 人，在一次数学竞赛中，参赛人数的≥获得优胜奖，去获得鼓励奖，其余

的人没有得奖．试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？

7．甲、乙、丙三堆棋子总共有 100 多枚．先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆的棋子

数增加 1 倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加 2 倍；最后，从丙堆分

一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加 3 倍，此时甲、乙、丙三堆棋子数的比是 1：2：3．请

问：原来三堆棋子各有多少枚？

8．今年，爷爷的年龄是小明年龄的 6 倍．若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的 5 倍．再过若干年，

爷爷的年龄将是小明年龄的 4 倍．求爷爷今年的年龄．

9．甲、乙、丙三人各有一些书，甲、乙共有 54 本，乙、丙共有 79 本，已知三人中书最多的那个人

书的数量是书最少的人的 2 倍．请问：乙有多少本书？

132

10．龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过 24 度，就按每度 9 分钱收费；

如果超过 24 度，超出的部分按每度 2 角钱收费．这个月小宇家比小达家多交了 9 角 6 分钱的电费（用

电按整度计算）．问：小宇家和小达家各交了多少电费？

拓展篇

1．红旗小学共有师生 1081 人，其中老师与学生的人数之比为 2:45，男生与女生的人数之比为 5:4．请

问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？

2．小悦去商店买了 4 斤水果糖、2 斤奶糖和 3 斤巧克力糖，如果每块糖果的重量都相同，奶糖和巧

克力糖一共有 160 块，那么水果糖有多少块？

3．万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共 860 棵，其中柳树和杨树棵数的比为 3:4，杨

树与槐树棵数的比为 5：2．请问：这三种树各栽种了多少棵？

4．某厂一月份与二月份生产零件的个数比为 4:5．后来改进生产技术，三月份生产的零件个数与前

丽个月的总产量之比为 4:3，且三月份比二月份多生产了 1610 个零件．请问：这家工厂第一季度共

生产多少个零件？

133

5．有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人．如果把书全都分给第一组，一部分小

朋友每人能拿到 5 本，其他小朋友每人能拿到 4 本；如果把书全都分给第二组，一部分小朋友每人

能拿到 4 本，其他小朋友每人能拿到 3 本，问：两组一共有多少人？

6．若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同～些小学生参加数学竞赛，已知家长和

老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有 1 名男老师，问：在

这些人中，爸爸有多少人？

7．志远中学有三个年级，共 900 多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的

8

3 ，初三的学生恰

好占学生总数的

15

4 ，请问：志远中学初二有多少名学生？

8．把 100 个人分成四队，第一队人数是第二队人数的 1

3

1 倍，是第三队人数的 1

4

1 倍，求第四队的

人数．

9．甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数最多的人比最少的人多出 60 多枚棋子，甲先拿出自

己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的

3

1 平分给甲、丙，最后丙拿出自己的

4

1 平分给甲、乙．这

时三人的棋子数正好相同．请问：三个人一共有多少枚棋子？

134

10．有两堆石头，如果从第一堆中取出 20 块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的 2 倍；

如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的 6 倍．问：第一堆中最少

可能有多少块石头？

11．北京市出租车的起步价是 3 公里以内 10 元，3 公里后按每公里 2 元计费，当里程超过 15 公里

后，超出部分按每公里 3 元计费．小悦、冬冬两人都从游乐园分别坐出租车回家，小悦比冬冬多花

了 23 元，请问：小悦家距离游乐园最远是多少公里？（不足 1 公里按 1 公里计，假定两人回家一路

上没有红绿灯，也没有堵车）

12．团体游园购买公园门票的票价如图 18-1 所示．

今有甲、乙两个旅游团，如果分别购票，两团总计应付门票费 1142 元．如果合在一起作为一个团体

购票，应付门票费 864 元，问：这两个旅游团各有多少人？

超越篇

1．植物园里菊花与月季花的盆数之比是 3:4，兰花与郁金香的盆数之比是 5:6，菊花与郁金香的盆数

之比是 4：5．如果月季比兰花多 50 多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？

135

2．甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名．甲、乙的得分之和是 108 分，乙、丙的得分之和

是 149 分，丙、丁的得分之和是 121 分，并且知道其中第一名的得分是第三名的 2 倍，那么第二名

的得分是多少？

3．有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别是 99、113、

125、130、144.其中有两人没有一起称过，那么这两个人中较重的那个人的体重是多少千克？

4．有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可

以得到 7 张；如果每人分 8 张卡片，则还缺少 5 张．现在把所有卡片都分完，每人分到 60 张，而且

还多出 4 张．问：共有多少个小朋友？

5．某次考试共有 100 道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得 90 分、70 分、50

分，其中 3 个人都做出来的题叫作“容易题”，只有 1 个人做出来的题目叫作“较难题”，没人做出来

的题目叫作“特难题”，且“较难题”是“特难题”的 3 倍，又已知丙同学做出的题中超过 80%的是“容易

题”，但又不全是“容易题”，请问：“特难题”共有多少道？

136

6．中关村一小、中关村二小两校春游的人数都是 10 的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且

每辆车尽量坐满．现在知道，若两校都租用有 14 个座位的旅游车，则两校共需租用这种车 72 辆；

若两校都租用 19 个座位的旅游车，则中关村二小要比中关村一小多租用这种车 7 辆，问两校参加这

次春游的人数各是多少？

7．工地要用每根长 7.4 米的原材料做 100 套钢筋，每套 3 根，长度分别为 2.9 米、1．5 米、2.1 米．请

问：至少要用多少根原材料？

8．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，

它见别的猴子没来，便把桃子平分成 4 堆，发现余下 3 个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然

后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成 4 堆，

发现还是多出 3 个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外

两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少

有多少个？

137

第 19 讲 工程问题

内容概述

掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本“单位 1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工程、

效率变化、总量变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题．典型问题

提高篇

1．甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15 小时可以运完；如果只用乙车运，10 小时可以运

完．请问：

(1)如果两车一起运，多少小时可以运完？

(2)如果甲车从早上 8 点开始运煤，乙车下午 1 点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？

2．一项工作，甲单独做 20 天可以完成，乙单独做 30 天可以完成，现在两人合做，用 16 天就完成

了工作，已知在这 16 天中甲休息了 2 天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？

3．如果甲、乙两队合做一项工程，恰好 24 天完成；如果乙队先做 5 天，然后甲队来帮忙，又共同

做了 10 天后，全部工程才完成了一半，请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？

4．一项工程，甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 10 小时完成．如果按甲、乙、甲、乙……的顺

序交替工作，每人工作 1 小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？

138

5．有一批工人做某项工程，原计划 4 天完成．如果增加 6 人，只需要 3 天就能完成．现在人数不仅

没有增加，反而减少了 9 人，求完成这项工程需要的天数．

6．甲、乙两队分别在 A、B 两块地植树，B 地需要植树的数量是 A 地的两倍，已知甲队单独在 A

地植树需要 12 天完成，乙队单独在 B 地植树需要 30 天完成．现在甲、乙两队分别在 A、B 两地同

时开始，当甲队做完后便去 B 地和乙队共同工作．请问：两队要用多少天才能种完树？

7．一水池装有一个进水管和一个排水管．如果单开进水管，5 小时可将空池灌满；如果单开排水管，

7 小时可将整池水排完．现在先打开进水管，2 小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好

存有半池水？

8．蓄水池有甲、乙、丙三个进水管．如果想灌满整池水，单开甲管需 10 小时，单开乙管需 12 小时，

单开丙管需 15 小时．上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 2 点水池被灌满，

问：甲管在何时被关闭？

9．师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分配 3000 元报酬．如果按照原定计划，

师傅应该得到 1800 元，但开始工作前有一名徒弟生病住院，最后是师傅和另一名徒弟完成了所有工

作．如果两个徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得到多少元？

139

10．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共 1800 元，三人完成这项工程的具体情况是：

甲、乙两人合做 6 天完成了工程的

3

1

；因甲中途有事，由乙、丙合做 2 天，完成了余下工程的

4

1

；

之后三人合做 5 天完成了这项工程．如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？

拓展篇

1．一条公路，甲队单独修需 20 天完成，乙队单独修需 30 天完成，请问：

(1)如果甲、乙两队合做，共需要多少天完成？

(2)如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了 5 天才修完，那么乙队一共修

了多少天？

2．有一批资料需要复印，甲复印机单独复印要 11 小时，乙复印机单独复印要 13 小时．现在甲、乙

两台复印机同时工作，由于相互有些干扰，两台机器每小时共少印 28 张，结果用 6 小时 15 分钟印

完，请问：这批资料共有多少张？

3．有一条公路，甲队单独修需 20 天，乙队单独修需 30 天，丙队单独修需 40 天，现在让三个队合

修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了 12 天才把这条公路修完．请问：当甲队撤出后，乙、

丙两队又共同合修了多少天才完成？

140

4．甲、乙两人共同完成一件工作．如果甲、乙两人合做 2 天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时

间完成；如果甲单独做需要 18 天完成；如果乙单独做，则要超过规定时间 3 天才能完成．求完成这

件工作规定的天数．

5．一项工程，乙单独做要 14 天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做…

一两人这样轮流做，需要 9 天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做…一

两人这样轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？

6．甲、乙、丙三队要完成 A，B 两项工程．B 工程的工作量比 A 工程的工作量多

4

1 ，已知甲队单独

完成 A 工程要 40 天，乙、丙两队单独完成 B 工程分别需要 60 天、75 天．开始时甲队做 A 工程，

乙、丙两队共同做 B 工程；几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程，剩下乙队单独做 B 工程，结

果两个工程同时完成．请问：丙队与乙队合做了多少天？

7．俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草收割贮存起

来，冬季当作牲畜的饲料，大草地的面积恰好为小草地面积的 2 倍．这一年有一些割草人去草地割

草，上午他们都在大草地里干活，午后这些人平均分成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚

收工时（上、下午工作时间相同）恰好刚收割完；另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没

有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天．工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音

刚落，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？

141

8．蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 12 小时注满水，单开乙管需 18 小时注满水．现要求

10 小时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？

9．某水库建有 10 个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流人．为

了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开 1 个泄洪闸，30 小时水

位降至安全线；若打开 2 个泄洪闸，10 小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部队要求在 2.5 小时使

水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？

10．某水池的容积是 100 立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池

分别需要 10 小时和 15 小时，水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要 6

小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要 2 小时将水池中的水放完．问：水池中

原有水多少立方米？

11．画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样

多．如果开 3 个入场口，9 时 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 时 5 分就没有人排队．请

问：第一个观众到达的时间是 8 时多少分？

12．如图 19-1，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔 A 和 B，它

们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．如果打开 A 孔、关闭 B 孔，

经过 20 分钟可将水箱注满；如果关闭 A 孔，打开 B 孔，经过 22 分钟可将水箱注满，如果两个孔都

打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？

142

超越篇

1．甲工程队每工作 5 天必须休息 l 天，乙工程队每工作 6 天必须休息 2 天，一项工程，甲工程队单

独做需 62 天（含休息），乙工程队单独做需 51 天（含休息）．请问：甲、乙两队合作完成这项工程

需要多少天？

2．一水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 30 吨水时，水箱已满；如

果只打开乙、丙两管，乙管注入 40 吨水时，水箱才满，已知乙管每分钟注水量是甲管的 1.5 倍．请

问：该水箱注满时可容纳多少吨水？

3．甲、乙两人分别加工一批零件，甲用 A 机器需要 6 小时才能完成任务，用 B 机器效率降低 60%，

乙用 B 机器需要 10 小时才能完成任务，用 A 机器效率提高 20%．如果甲用 A 机器、乙用 B 机器同

时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务，求甲、乙完成任务所用的时间．

4．甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率的比进

行分配，但是若干天之后，甲队因为种种原因退出，把甲队剩下工程的

3

1 交给乙队完成，

3

2 交给丙

队完成．如果仍然要按时完成该工程，乙队就必须将工作效率提高 20%，丙队则必须提高 30%．问：

甲、乙、丙原来的工作效率之比是多少？如果工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到 2700 元，

乙队得到 6300 元，那么丙队可以得到多少元？

143

5．有一个长方体的容器，侧面有一个小洞，如果水面超过了小洞，那么容器内的水将会以一定的速

度向外流出，现在打开 1 个水龙头向容器内注水，注到一半的时候用了 80 分钟，又过了 100 分钟容

器内恰好注满水．已知水龙头注水的速度是小洞漏水速度的 1.5 倍．试问：如果用 2 个龙头一起向

容器内注水，需要多少分钟可以注满？

6．有甲、乙两个容积相同的空立方体水箱，在它们的侧面上分别有排水孔 A 和 B. A 孔和 B 孔与

底面的距离分别是水箱高度的

6

5 和

2

1 ，且在排水时速度相同．现在以相同的速度一起向两水箱注水，

并通过管道使 A 孔排出的水直接流入乙箱，这样经过 70 分钟后，甲、乙两水箱恰好同时被注满．试

问：如果以上述的速度向乙箱注水，乙箱从空到满需要多少分钟？

7．有一个正方体水箱，在某个侧面相同高度的地方开有 3 个大小相同的出水孔，用一个进水管给空

水箱灌水．如果 3 个出水孔全关闭，需要 30 分钟将水箱注满；如果打开 1 个出水孑 L，需要多用 2

分钟将水箱注满；如果打开 2 个出水孔，则需要 35 分钟将水箱注满．请问：当 3 个出水孔全开的时

候，多少分钟可以将水箱注满？

8．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成

6

5 时离去，

结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下

去，就会比计划推迟

3

10 天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前 6 天完成．已知乙的工作效率

是丙的 3 倍．请问：原计划工期是多少天？