考向1纯电阻电路中的功率

例1小明家的“迷你”电饭锅有加热和保温两挡，工作电路如图所示，其中 R_{2}=88 \Omega ，电饭锅在保温状态下的功率是加热状态下的 (3)/(7) ,下列说法正确的是

A.开关S闭合时电饭锅处于保温状态，S断开时 处于加热状态
B.加热挡的功率为500W
C.电阻 R_{1} 的阻值约为 117. 3 \Omega
D.电饭锅处于保温状态时电路中的电流为1.5A

考向2非纯电阻电路中的功率

例2某学习小组用如图所示电路研究小电动机的电流与电压关系.通过调节滑动变阻器 R 接人电路的阻值，测量得到下表记录的信息.若认为小电动机的电阻是不变的，则

A.小电动机的电阻大约为 10\ \Omega
B.当小电动机的电压为 2, 00 ~V~ 时，其发热功率为0.1W
C.当小电动机的电压为 2, 00 ~V~ 时，其电功率为0.3W
D.当小电动机的电压为3.5V时，其对外做功的功率为1.05W

题后感悟

分析非纯电阻电路的注意点

(1)在非纯电阻电路中，因为欧姆定律不再成立，所以 t既不能表示电功，也不能表示电热。(2)不要误认为含有电动机的电路一定是非纯电阻电路.
① 正常工作的电动机是非纯电阻元件；
⊚ 电动机因故障或其他原因不转动时，相当于一个纯电阻元件.

练1某电吹风简化电路如图所示，其主要部件为电动机M和电热丝，部分技术参数如下表，电吹风在 220 ~V~ 电压下工作.下列说法正确的是(

A.开关 S_{1,S_{2}} 都闭合时电吹风吹冷风 B.吹热风时通过电热丝的电流为4A C.吹热风时电热丝的功率为990W D.该电吹风中电动机的内电阻为 440\ \Omega

考点二 闭合电路的欧姆定律及电路的动态分析

考向1闭合电路的有关计算

例3电源、开关、小灯泡、电压表等连接成如图所示的电路，小灯泡上标有“0.6A1.5W"字样，电源的电动势为3V，电压表为理想电表、导线电阻不计.闭合开关，小灯泡恰好正常发光，则电源的内阻约为 (

A.\ 0.\ 30\ \Omega B.0.83Ω C.1.2 Ω D. 1. 5 Ω

听课笔记

考向2闭合电路的动态分析

1.程序法：“部分 \rightarrow 整体→部分”，即

2.“串反并同”法（适用于电源内阻不为零的电路）

(1)“串反”：是指某一电阻增大(或减小)时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小(或增大).
(2)“并同”：是指某一电阻增大(或减小)时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大(或减小).

3.极限法

由滑动变阻器滑片滑动引起电路变化的问题，可将滑动变阻器的滑片分别滑至两个极端，然后再讨论有关问题.

例4在如图所示的电路中，闭合开关S,当滑动变阻器的滑片P向下滑动时，V、A、V_{1},V_{2} 四个理想电表的示数都发生变化,电表的示数分别用 U,I,U_{1},U_{2} 表示，下列判断正确的是 ( ）

A. I 减小， U_{1} 增大
B. I 减小， U_{2} 减小
C.电压表 V_{2} 的示数与电流表A示数之比不变 D.电压表V的示数与电流表A示数之比变大

听课笔记练2 （含电容器电路的分析)如图所示,电源电动势 E 一定，内阻不计， R_{1},R_{2} 是定值电阻， R_{3} 是光敏电阻，其阻值随光照的增强而减小.开关S闭合，电路稳定后，电容器两板间的一带电液滴恰好能静止在 M 点.现增强照射电阻 R_{3} 的光照强度，则 （）

A.电容器的电容减小B. R_{2} 中有向右的电流C.液滴向下运动D. M 点的电势增大

考点三 闭合电路的功率和效率问题

1.电源的功率

(1)电源的总功率： P_{\mathbb{S}}=I E {=} I U_{y\uparrow}+I U_{\mathbb{M}} {=} P_{\mathbb{H}} 十P内·
(2)电源内部的功率: P_{\mathbb{M}}=I^{2}r=I U_{\mathbb{M}}=P_{\mathbb{M}} -\boldsymbol{P}_{iff}
(3)电源的输出功率： P_{\Downarrow}=I U=I E-I^{2}r=P_{\check{E}} 一P内·

2.电源的输出功率 P_{\sharp} 与外电阻 R 的函数关系对纯电阻外电路： P_{{iff}}={U}I=I^{2}R {=} (E^{2})/((R {+) r)^{2}}R {=} (E^{2}R)/((R-r)^{2)+4R r}= (E^{2})/(/{(R-r)^{2)}{R}+4r}, ，其图像如图所示.

(1)当 R “接近” r 时， P_{\downarrow\uparrow} 增大；当 R “远离” r 时，P_{iff} 减小.
（2）当 R=r 时，电源的输出功率最大，最大值P_{max}=(E^{2})/(4r).

3.电源的效率：n-P \eta={(P_{{ff}})/(P_{{g)}}}x100 %={(U)/(E)}x100 % 纯电阻外电路中n=Rr \eta={(R)/(R+r)}x100 %={(1)/(1+{/{r){R}}}}x100 % 可见，外电阻 R 越大,电源的效率 \eta 越高

例5如图所示，电源的电动势 S ErRo为 E=6 ~V~ ，内阻 r=1 \Omega ，保护电阻 R_{0}=4\ \Omega,a b 是一段粗细 P均匀且电阻率较大的电阻丝， a总阻值为 10\ \Omega ，长度 l = 1 ~m~ ，横截面积0.~2~{cm^{2}} .下列说法正确的是

A.当电阻丝接入电路的阻值为 1\ \Omega 时，电阻丝的功率最大
B.当电阻丝接人电路的阻值为4 \Omega 时，保护电阻的功率最大
C.电源效率的最小值为 80 %
D.电阻丝的电阻率为 1x10^{-4}\ \Omega*m

听课笔记练3如图所示，已知电源电动势 E=6 ~V~ ，内阻r=1~\Omega ，保护电阻 R_{0}=0.\ 5\ \Omega

(1)当电阻箱 R 读数为多少时，保护电阻 R_{0} 消耗的电功率最大，并求这个最大值.
(2)当电阻箱 R 读数为多少时，电阻箱 R 消耗的功率 P_{R} 最大，并求这个最大值.
(3)求电源的最大输出功率.
(4)若电阻箱 R 的最大值为 3\ \Omega,R_{0}=5\ \Omega ，当电阻箱 R 读数为多少时，电阻箱 R 的功率最大，并求这个最大值.

考点四 电源 U-I 图线的理解和应用

1.路端电压与负载的关系:U=IR=Rr· \mathbf{:}U=I R=(E)/(R+r)* R=(E)/(1+/{r){R}}, (1)当外电路短路时,即 R=0,则 I短= I_{H}=(E)/(r),U=0. (2）当 R 增大时， U 增大.当外电路断路时，即 R=∞\Omega ，则 I=0 ,U=E

2.闭合电路的路端电压 U 与电流

I 的关系

(1)关系式： U=E-I r (2)电源的 {\boldsymbol{U}}{\boldsymbol{-}}{\boldsymbol{I}} 图像如图所示.

例6如图甲是连接电动机的电路，闭合开关,在滑动变阻器的触头从一端滑到另一端的整个过程中，两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图乙所示，已知当电流小于0.2A时，电动机不会发生转动，若不考虑电表对电路的影响，则(

甲

乙

A.该电动机的内阻为 2 \Omega
B.该电路中电源的电动势为 3,4~V~
C.此电路中，电动机的最大输出功率为0.9W
D.若电动机能转动，需要调节滑动变阻器阻值小于 12\ \Omega

听课笔记

【教你解决问题】——审题读图

练4（2025·上海金山区模拟)如图所示，直线A 为电源a的路端电压与电流的关系图像；直线B 为电源 b 的路端电压与电流的关系图像；直线第十章电路及其应用电能能量守恒定律C 为一个电阻 R 两端的电压与电流的关系图像.如果将这个电阻 R 分别接到 a\ne b 两电源上,那么）

A. R 接到 a 电源上，电源的效率较高B. R 接到 b 电源上，电源的输出功率较大C. R 接到 \boldsymbol{a} 电源上，电源的输出功率较大D. R 接到 b 电源上，电阻的发热功率较高

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

电路故障检测方法

1.电路故障一般是短路或断路，其特点如下.

(1)短路状态的特点：有电流通过电路而两端电 压为零.
(2)断路状态的特点：电源路端电压不为零而电 流为零.

2.利用电流表、电压表判断电路故障的方法典例1如图所示，S闭合后，两个灯泡均发光，但过一段时间之后两灯都熄灭，电流表的示数为零.用电压表测 I_{2} 两端电压，电压表的示数近似于电源电压，该电路的故障可能是 (

A.电流表坏了或未接好B. I_{2} 的灯丝烧断或灯座与灯泡没接触C. L_{1} 和 I_{2} 的灯丝都被烧断D. L_{1} 的灯丝被烧断或没接好

听课笔记

典例2如图是“测量电源的电动势和内电阻”实验的电路图.小明在实验中，闭合开关后，发现无论怎么移动滑动变阻器的滑片，电压表有示数且不变，电流表始终没有示数.为查找故障，在其他连接不变的情况下，他将电压表连接 \boldsymbol{a} 位置的导线端分别试触 b\mathbin{\lrcorner}c\mathbin{\lrcorner}d 三个位置，发现试触 b . c 时，电压表有示数；试触 ^d 时，电压表没有示数.若电路中仅有一处故障，则 （）

A.导线 a b 断路 B.滑动变阻器短路C.导线 c d 短路 D.导线 c d 断路

听课笔记温馨提示：请完成课时分层精练(二十四)

专题强化十二电学实验必须熟练掌握的基本技能（含实验：长度的测量及其测量工具的选用）

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 长度测量工具的使用及读数

考向1游标卡尺的使用与读数

1.构造与功能

(1)内测量爪：用来测量槽的宽度和管的内径.(2)外测量爪：用来测量零件的厚度和管的外径.(3)深度尺：固定在游标尺上，用来测量槽、孔和筒的深度.
(4)紧固螺钉：读数时，为了防止游标尺移动，旋紧它可使游标尺固定在主尺上.

2.常见3种游标卡尺的精确度

3.读数

(1)若用 \boldsymbol{\mathscr{x}} 表示由主尺上读出的整毫米数， K 表示从游标尺上读出与主尺上某一刻线对齐的游标的格数，则记录结果表示为 (x+Kx 精确度) mm

(2)游标卡尺的读数，不需要往下一位估读，有效数字的末位与游标卡尺的精度保持一致.

例1如图所示的三把游标卡尺,它们的游标尺 从上至下分别为 9~\mm 长10等分、 19~\mm 长 20等分、 49 \mm 长50等分，它们的读数依次为 mm, mm, mm.

丙

题后感悟

游标卡尺读数时的“三看”

(2)第二看游标尺上的0刻度线位置，要区分零刻度线与游标尺的轮廓线，如图所示.

读数： 14, 55 \mm

(3)第三看游标尺的哪条刻度线与主尺上的刻度线对齐.

考向2螺旋测微器的使用与读数

1.构造：测砧 A 和固定刻度 S 固定在框架 F 上，旋钮 K 、微调旋钮 K^{\prime} 和可动刻度 H 、测微螺杆 P 连在一起,通过精密螺纹套在 S 上.

2.原理：测微螺杆 P 与固定刻度 S 之间的精密螺纹的螺距为 0, 5\mm ,即旋钮 K 每旋转一周， P 前进或后退 0,\;5\;\mm ，而可动刻度 H 上的刻度为50等份，每转动一小格， P 前进或后退 0.\ 01\ {mm,} 即螺旋测微器的精确度为 0.\:01\:\mm. 读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺.

3.读数

(1)测量时被测物体长度的整数毫米数由固定刻度读出，小数部分由可动刻度读出.
测量值（毫米） = 固定刻度数(毫米)(注意半毫米刻线是否露出) ^+ 可动刻度数（估读一位） x 0, 01 (毫米).

(2)螺旋测微器读数时必须估读到 0.\ 001\mm 这 一位上.

例2甲、乙、丙三个螺旋测微器的示数如图所示，其读数分别为 mm、 mm、mm.

听课笔记练1某同学利用三个不同规格的游标卡尺测量三个物体的长度，示数如图所示，则三个物体的长度分别为 mm、 mm、mm.

练2某同学用如图丁所示的螺旋测微器测量小球的直径时，他应先转动 使 F 靠近小球，再转动 使 F 夹住小球，直至听到棘轮发出声音为止，拨动 使 F 固定后读数(填仪器部件字母符号).正确操作后，螺旋测微器的示数如图戊所示，则小球的直径是 mm.

考点二 电流表、电压表的使用及读数

1.选择合适量程：测量时指针偏转角度要尽可能大，一般要求超过量程的

2.电表估读

(1)电流表的估读：3A量程的估读到最小分度的10,0.6 A 量程的估读到最小分度的(2)电压表的估读： 3 ~V~ 量程的估读到最小分度的(1)/(10) .1 V 量程的估读到最小分度的 (1)/(5)

示 V,图中表针指示的是例3 (1） ① 图甲所示的电流表使用0.6A量程时，对应刻度盘上每一小格代表 A,图中表针示数是 A；当使用3A量程时，对应刻度盘上每一小格代表 A,图中表针示数为 A.

⊚ 图乙所示的电压表使用较小量程时，每小格表示 V，图中指针的示数为 V.若使用的是较大量程，则这时表盘刻度每小格表(2)旋钮式电阻箱如图丙所示，电流从接线柱 A 流人，从 B 流出，则接人电路的电阻为 \Omega 今欲将接人电路的电阻改为 2 ~087~ \Omega ,最简单的

甲

乙

丙

操作方法是
若用两个这样的电阻箱，则可得到的电阻值范围
为

听课笔记练3某同学测量一个圆柱体的电阻率，需要测量圆柱体的尺寸和电阻.分别使用游标卡尺和螺旋测微器测量圆柱体的长度和直径，某次测量的示数如图甲和乙所示，长度为 mm，直径为 mm；

正确连接电路后，测得电压表、电流表示数如图所示，接3V量程时读数为 V,接0.6A量程时读数为 A.

考点三 测电阻的实验电路分析

考向1电流表的内、外接法

例＋某实验小组同学要测量阻值约为 350\ \Omega 的定值电阻 R_{x} ,现备有下列器材：

A.电流表A(量程为 0~10~mA ，内阻约为 100\ \Omega B.电压表V(量程为 0~3~V~ ,内阻约为 3~{k}\Omega C.滑动变阻器 R_{1} （阻值范围为 0~10 \Omega ，额定电 流为 2 ~A~, ；
D.定值电阻 R_{2} （阻值为 750\ \Omega. E.直流电源 E （电动势为 4,5 ~V~ ,内阻不计)；
F.开关S和导线若干.

(1)实验小组设计了如图甲、乙所示的两种测量电路，电阻的测量值可由 R_{x}=(U)/(I) 计算得出.式中U 与 I 分别为电压表和电流表的读数，则图（选填“甲”或“乙”)所示电路的测量值更接近待测电阻的真实值.

丙

(2)若采用(1)中所选电路进行测量，得到电压表和电流表的示数如图丙所示，则由此组数据可得待测电阻的测量值 R_{x}=\_\Omega ，若所用电压表和电流表的内阻分别按 3~k\Omega 和 100\ \Omega 进行计算,则由此可得待测电阻的真实值 R_{\sun}= \Omega (结果均保留三位有效数字).

听课笔记

考向2滑动变阻器的两种接法

(1)

滑动变阻器的两种接法

(2)滑动变阻器两种接法的选择
滑动变阻器的最大阻值和用电器的阻值差不多且不要求电压从零开始变化，通常情况下，由于限流式接法结构简单、耗能少，优先使用限流式接法.
滑动变阻器必须接成分压电路的几种情况：
① 要求电压表能从零开始读数，要求电压(电流）测量范围尽可能大；
⊚ 当待测电阻 R_{x}\ggR （滑动变阻器的最大阻值）时（限流式接法滑动变阻器几乎不起作用)；
③ 若采用限流式接法，电路中的最小电流仍超过电路中电表、电阻充许的最大电流.

例5为测量“ 12 ~V~ 5W"的小灯泡在不同电压下的功率，给定了以下器材：电源： 12 ~V~ ,内阻不计；电流表：量程为 0~0,~6~ A、 0~3 A,内阻约为0, 2 \Omega 电压表：量程为 0~3\;~V~, 0~15\;~V~ V，内阻约为15~k\Omega 滑动变阻器： 0~20~\Omega ,允许最大电流1A；开关一个，导线若干，实验要求加在小灯泡上的电压从零开始调节.

（1）以下四个电路图你认为最合适的是

考向3实验器材选择的技巧及实物图连接

1.实验器材选择的技巧

(1)电表的选择

(2)滑动变阻器：分压式接法选阻值小的且不超过其额定电流的滑动变阻器，限流式接法选最大阻值为待测电阻 2~3 倍的滑动变阻器.电流表半偏法测电阻，滑动变阻器选阻值大的.(3)定值电阻：若用于电表改装，阻值与改装后的量程匹配，若用于保护电路，应使电流表、电压表读数在满偏刻度的 /13 以上且不超过电流表、电压表量程.

2.实物图连接的注意事项

(1)画线连接各元件，一般先从电源正极开始，按照电路原理图依次到开关，再到滑动变阻器，按顺序以单线连接方式将主电路中串联的元件依次串联起来，再将要并联的元件并联到电路中去.
(2)连线时要将导线接在接线柱上，两条导线不能交叉.
(3)要注意电表的量程和正、负接线柱，要使电流从电表的正接线柱流人，从负接线柱流出.
(4)滑动变阻器的接法：限流法，导线分别连接到上、下各一个接线柱上（一上一下两个接线柱）；分压法，导线分别连接到上边一个接线柱和下边两个接线柱上(一上两下共三个接线柱).

例6请同学设计一个测量电阻的电路，待测电阻 R_{x} 阻值约为 15\ \Omega. 要求用 U_{-I} 图像来处理数据，滑动变阻器可在较大范围内调节.可供选择的器材如下：

A.电流表 A_{1} ,量程为 0~100~mA ,内阻 r_{Al} {=} 12\ \Omega B.电流表 A_{2} ,量程为 0~2~\mA ，内阻 r_{A2}= 200\ \Omega
C.电压表 V_{1} ,量程为 0~10\;~V~ ，内阻 r_{V1}\approx 15~{k}\Omega
D.电压表 V_{2} ，量程为 0~3~V~ ,内阻 r_{V2}{\approx}10~k\Omega E.保护电阻 R_{0} 约 20\ \Omega 1.旧以义阻八，取八阻旧1U山，映处也训为 1A；
G.电池组，电动势 12 ~V~ ，内阻很小；
H.开关及导线若干.

(1)电流表应选 ，电压表应选(填器材前面的字母序号).

(2)设计电路时，电流表应采用 （选填“内接"或“外接”法，滑动变阻器应采用

（选填“分压"或“限流")接法.根据所设计的实验电路，用笔画线代替导线连接实物图.

(3)若在所测量数据中选一组数据 U 、I及已知量计算 R_{x} ,则其表达式为 R_{x}= （用所给字母表示).

听课笔记练4某学习小组研究“不同的电阻测量方案对误差的影响”.

现有器材为：电源、电流表(量程为 0~0, 6 A)电压表（量程为 0~3 ~V~) 、待测定值电阻、滑动变阻器、电流传感器、电压传感器、开关、导线若干.

甲

乙

丙

实验步骤如下：

(1)用图甲和图乙电路分别测量待测电阻的阻值，请在图丙中按图甲用笔画线代替导线将电路补充完整；
(2)将图丙中滑动变阻器的滑片P滑到
端（填“ e ”或“ f^{\mathfrak{s}}) ,闭合开关，调节滑动变阻器，记录测量数据；
(3)根据测量数据在U-I坐标系中描点作图，得到图丁中的图线 a 和 b,a 图线是采用图
（选填“甲”或“乙”)电路测得的结果.
(4)为提高测量精度，在图甲电路中，用电流传感器代替电流表，电压传感器代替电压表，对同一电阻再次进行测量.得到对应的 U{-}I 图线 c ，拟合直线及表达式见图戊，认为其测量值等于真实值.
(5)相对误差反映测量的可信程度，相对误差公
式为 δ= 测量值一真实值 x100 % 由步骤(3)真实值
和(4)可得图线 a 的电阻相对误差为 δ^{=} %
(结果保留三位有效数字).

丁

戊

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

电流表的改装与校准

典例（2024·安徽卷)某实验小组要将电流表G（铭牌标示： I_{g}=500~\muA,R_{g}=800~\Omega) 改装成量程为 0~1~V~ 和 0~3~V~ 的电压表，并用标准电压表对其进行校准.选用合适的电源、滑动变阻器、电阻箱、开关和标准电压表等实验器材，按图甲所示连接电路，其中虚线框内为改装电路.

(1)开关 S_{1} 闭合前，滑片P应移动到 （选填“ M "或“N")端.

(3)当单刀双掷开关 S_{2} 与 \boldsymbol{a} 连接时，电流表G和标准电压表√的示数分别为 I ,U ,则电流表G的内阻可表示为 .（结果用 U,I R_{1} ,R_{2} 表示)

(4)校准电表时，发现改装后电压表的读数始终比标准电压表的读数偏大，经排查发现电流表G内阻的真实值与铭牌标示值有偏差，则只要即可(填标号).

A.增大电阻箱 R_{1} 的阻值B.减小电阻箱 R_{2} 的阻值C.将滑动变阻器的滑片P向 M 端滑动(5)校准完成后，开关 S_{2} 与 b 连接，电流表G的示数如图乙所示，此示数对应的改装电压表读数为 V(保留两位有效数字).

听课笔记

[试题立意］本题以对两量程电压表的改装和校准为素材，创设了科学探究问题情境.主要考查串、并联电路的基本原理及欧姆定律等知识点，重点考查理解能力和实验探究能力.

[关键能力] (1)理解能力(2)实验探究能力

[失分剖析］未能准确理解电压表改装的基本原理，实为串、并联电路基本规律的实际应用.

[考教衔接］该实验题是基于人教版教材必修第三册第70页“电压表和电流表的电路结构”及第71页第4题进行设计的.

实验八 导体电阻率的测量

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、实验思路与操作

注意事项

二、数据处理与分析

1.求 R_{x} 的两种方法

2.计算电阻率

1.先测直径，再连电路：为了方便，测量直径时应在金属导线连人电路之前测量.
2.电流表外接法：本实验中被测金属导线的阻值较小，故采用电流表外接法.
3.电流控制：电流不宜过大，通电时间不宜过长，以免金属导线温度过高，导致电阻率在实验过程中变大.

误差分析

1.偶然误差：金属导线的直径测量、长度测量、电流表和电压表的读数等会带来偶然误差.2.系统误差：（1)采用伏安法测量金属导线的电阻时，由于采用的是电流表外接法，测量值小于真实值，使电阻率的测量值偏小.(2)由于金属导线通电后会发热升温，使金属导线的电阻率变大，造成测量误差.

将记录的数据U、I、l、d 的值代入电阻率计算式p=R \rho=R_{x}\ {(S)/(l)}={(π d^{2}U)/(4l I)}

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 教材原型实验

考向1实验原理与实验操作

例1（2024·江苏卷）有一块长方体霍尔元件，长、宽、高分别为 a,b,c ，如图甲所示.为了测量该霍尔元件的电阻率，进行了如下操作.

(1)用多用电表测量电阻，沿ab方向测得的电阻为 10\ \Omega ，沿 b c 方向的电阻如图乙所示，由图读出沿 b c 方向的电阻为

丙

(2)某同学根据如图丙所示的电路图连接实物图 丁，请判断连接错误的区域是

甲

(3)测量 b c 方向的电阻时，手头有两个滑动变阻器，应选择

A.滑动变阻器：最大阻值为 5 \Omega ，允许通过的最大电流为1.0A
B.滑动变阻器：最大阻值为 500\ \Omega ，允许通过的最大电流为0.5A

(4)接通开关前，滑动变阻器滑片应放在(5)测量小电阻时，用微安表(量程为 0~100~\muA 内阻约为 4 \Omega ，测得电阻率为 1.\;15\;\Omega*~m~ ,测量大电阻时，用电流表（量程为 0~100~mA ，内阻约为 1\ \Omega, ，测得电阻率为 1.\;32\;\Omega*m ，小明说，沿 a b 方向的电阻小，所测量的误差小，请判断是否正确，并简述理由.

考向2实验数据处理

例2（2024·山东卷)某学习小组对两种型号铅笔芯的电阻率进行测量.实验器材如下：学生电源(输出电压为 0~16 ~V~) 滑动变阻器(最大阻值为 10\ \Omega ,标定电流为 2 rm{A}) 电压表V(量程为 0~3~V~ ,内阻未知)；电流表A（量程为 0~3 A,内阻未知）；待测铅笔芯 R(X 型号、Y型号);游标卡尺、螺旋测微器，开关S、单刀双掷开关K各一个，导线若干.

甲

回答以下问题：

(1)使用螺旋测微器测量铅笔芯直径，某次测量结果如图甲所示，该读数为 mm.(2)把待测铅笔芯接入图乙所示电路，闭合开关S后，将滑动变阻器滑片由最右端向左调节到合适位置，将单刀双掷开关K分别掷到1、2端，观察到电压表示数变化比电流表示数变化更明显，则测量铅笔芯电阻时应将K掷到 （选填“1”或“2”端。

(3)正确连接电路，得到Y型号铅笔芯 I_{}-U 图像如图丙所示，求得电阻 R_{Y}=\phantom{(\partial\Theta_{Y})/(\partial\Omega)}\Omega （保留三位有效数字)；采用同样方法得到X型号铅笔芯的电阻为 1, 70 \Omega

丙

(4)使用游标卡尺测得X、Y型号铅笔芯的长度分别为 40.\ 68\:\:mm_{\star}60.\ 78\:\:mm_{\star} 使用螺旋测微器测得X、Y型号铅笔芯直径近似相等，则X型号铅笔芯的电阻率 （选填“大于”或“小于")Y型号铅笔芯的电阻率.

听课笔记练1（2024·江西卷)某小组欲设计一种电热水器防触电装置，其原理是，当电热管漏电时，利用自来水自身的电阻，可使漏电电流降至人体安全电流以下.为此，需先测量水的电阻率，再进行合理设计.

(1)如图(a)所示，在绝缘长方体容器左、右两侧安装可移动的薄金属板电极，将自来水倒人其中，测得水的截面宽 d=0. 07rm{m} ,高 h=0.\;03~m~

(2)现有实验器材：电流表(量程为 0~300~\muA ，内阻 R_{{A}} {=} 2\ 500\ \Omega) 、电压表（量程为 0~3~V~ 或 0~ 15 ~V~ ,内阻未知)、直流电源（电动势为 3 ~V~ 、滑动变阻器、开关和导线.请在图（a)中画线完成电路实物图连接.

(3)连接好电路，测量 26~ °C 的水在不同长度 l 时的电阻值 R_{\it{x}} .将水温升到 65~°C ,重复测量.绘出26~perthousand 和 65~°C 水的 R_{x}–l 图线，分别如图(b)中甲、乙所示.

(4)若 R_{x}–l 图线的斜率为 k ,则水的电阻率表达式为 \rho^{=}. （用 k ,d ,h 表示).实验结果表明，温度 （选填“高"或“低")的水更容易导电.

(5)测出电阻率后，拟将一段塑料水管安装于热水器出水口作为防触电装置.为保证出水量不变，选用内直径为 8.\ 0x10^{-3}\ m 的水管.若人体的安全电流为 1.\ 0x{{10}^{-3}} A，热水器出水温度最高为 65~°C ，忽略其他电阻的影响（相当于热水器220~~V~ 的工作电压直接加在水管两端)，则该水管的长度至少应设计为 m.（保留两位有效数字)

考点二 拓展创新实验

1.实验目的变更

2.半偏法测电阻

探究导体电阻与其影响因素的定量关系，测量导线长度、横截面积、直径等.

2.实验方案创新

(1)应用等效替代法、半偏法、多用电表、电桥法、双电流表法、双电压表法等测量电阻.(2)可以多次改变金属丝接人电路的长度l，记录数据并绘制与L有关的图像，根据图像直接计算电阻率，进一步减小误差.

3.实验器材创新

(1)实验中若没有螺旋测微器测电阻丝的直径，可将电阻丝紧密地缠绕在圆柱形铅笔上 30~50 匝，测总长度，然后求出直径.
(2)把电压表、电流表更换为电压传感器、电流传感器.
(3)实验中需要电压表或电流表而题目给出的量程不合适或没有给出时，可巧妙应用电表的改装原理.

考向1测电阻方法上的改进

1.等效替代法测电阻

例3目前国际公认的酒驾标准是‘ {^{ O.\;2\ m g/m L<=slant}} 酒精气体浓度 <0.\;8~mg/mL^{\prime} ”,醉驾标准是“酒精气体浓度 >0.~8~ mg/mL^{\prime} .一兴趣小组现要组装一个酒精测试仪，它利用的是一种二氧化锡半导体型酒精气体传感器，此传感器的电阻 R_{x} 随酒精气体浓度的变化而变化，规律如图甲所示.提供的器材有：

A.二氧化锡半导体型酒精传感器 R_{x} ；
B.直流电源（电动势为 6 ~V~ ,内阻不计)；
C.电压表（量程为 3 ~V~ ，内阻非常大，作为浓度表使用)；
D.电阻箱（最大阻值为 999.\;9\;\Omega)
E.定值电阻 R_{1} （阻值为 20\ \Omega
F.定值电阻 R_{2} （阻值为 40\ \Omega ；
G.单刀双掷开关一个，导线若干.(1)图乙是酒精测试仪电路图.
(2)电路中 R 应选用定值电阻 （选填{\bf\nabla}^{\prime}R_{1} ”或“ 'R_{2} ”).
(3)为便于识别，按照下列步骤调节此测试仪.① 电路接通前，先将电阻箱调为 80, 0 \Omega ，然后开关向 （选填 \dot{\mathbf{\rho}}_{C} ”或“ A^{\ast} )端闭合，将电压表此时指针对应的刻度线标记为 mg/mL ② 逐渐减小电阻箱的阻值，电压表的示数不断变大，按照图甲数据将电压表上“电压”刻度线标为“酒精浓度”.当电阻箱调为 \Omega 时，电压表指针满偏，将电压表此时指针对应的刻度线标记为 mg/mL

③ 将开关向另一端闭合，测试仪即可正常使用.

听课笔记例4用半偏法测电流表G的内阻 R_{g} 的电路如图所示.待测电流表满偏电流I_{g} {=} 1 \mA ，内阻 100\ \Omega 左右，电源 A （电动势 E_{1} {=} 1.~5~V~ ,内阻很小),电源B （电动势 E_{2}=6.~0~V~ ,内阻很小)，电阻箱 R^{\prime} （电阻范围 0~300\;\Omega) ),滑动变阻器 R_{1}(0~2\ 000\ \Omega) ，滑动变阻器 R_{2}(0~10 \ 000 \ \Omega)

(1)本实验步骤如下：
① 按图连接好电路；
② 断开开关 S_{2} ，闭合开关 S_{1} ,调节滑动变阻器 R 的阻值，使电流表G指针满偏；
③ 保持开关 S_{1} 闭合，并保持 ，闭合开关S_{2} ,调节电阻箱 R^{\prime} 的阻值，使电流表G指针半偏；

第十章电路及其应用电能能量守恒定律\circledast 读出电阻箱 R^{\prime} 的阻值是 98, 5 \Omega ，则待测电流表的内阻是 \Omega

(2)为了尽可能减小实验误差，电路中电源应该 选择 （选填“ * A ”或“B"）；滑动变阻器 应该选择 （选填 {\bf\nabla}R_{1} ”或“ \mathbf{\nabla}R_{2} ”).

(3)用本方法测量的电流表内阻的测量值（选填“等于”“大于"或“小于”)真实值.听课笔记

考向2探究目的、原理思路的创新

例5（2024·湖南卷)某实验小组要探究一金属丝的阻值随气压变化的规律，搭建了如图甲所示的装置.电阻测量原理如图乙所示， E 是电源， \circled{v} 为电压表， \circledmathrm{A} 为电流表.

丙

(1)保持玻璃管内压强为1个标准大气压，电流表示数为 100\ mA ,电压表量程为 0~3~V~ ,表盘如图丙所示，示数为 V ,此时金属丝阻值的测量值 R 为 \Omega （保留三位有效数字）.(2)打开抽气泵，降低玻璃管内气压 \boldsymbol{\rho} ，保持电流 I 不变，读出电压表示数 U ，计算出对应的金属丝阻值.(3)根据测量数据绘制 R P 关系图线，如图丁所示.(4)如果玻璃管内气压是0.5个标准大气压，保持电流为 100 \mA ,电压表指针应该在图丙指针位置的 （选填“左”或“右”侧.(5)若电压表是非理想电压表，则金属丝电阻的测量值 （选填“大于”“小于”或“等于”)真实值.

听课笔记

实验九 测量电源的电动势和内阻

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、实验思路与操作

注意事项

思路：根据闭合电路欧姆定律E=U+I r ，改变外电路电阻R ，用电流表和电压表测出 U I 的两组数据，列出两个关于E,r 的方程，从而解出 E 和 r

二、数据处理及分析

1.计算法

(2)测量与记录：闭合开关，改变滑动变阻器的阻值，读出电压表的读数 U 和电流表的读数 I ，并填人事先绘制好的表格中.

{E=U+Ir E 由多组≥数据求
[E=U2+I2r U2-U 平均值I-12

2.图像法：描点画出电源的 U{-}I 图像 (1)连接电路：按实验电路图连接好电路.

(1)图线与纵轴的交点为 E ,图线与横轴的交点为短路电流 I_{H}=(E)/(r) (2)图线斜率的绝对值表示内阻,即 ).

(1)电池选取：应选用内阻较大的电池.
(2)实验操作：实验中不宜将电流调得过大，电表读数要快，每次读完数后立即断开开关.
(3)数据要求：要测出不少于6组的 (I,U) 数据，且变化范围要大些.

(4)合理选择标度：为使图线分布空间大，如图所示，纵坐标可以不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流.

误差分析

(1)用图像法求 E 和 r 时作图不准确.(2)由于电流表的分压或电压表的分流存在系统误差.

(3)本实验中测量结果是 E_{illj}< \DeltaE_{H} ,r_{iff}|\Delta<r_{iff}

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 教材原型实验

例 1 （2024·甘肃卷）精确测量干电池的电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响.可用器材有：电压表(量程为 0~

甲

1. 5~V~ ，内阻约为 1,5 k\Omega) 、电流表(量程 0~0, 6 A)、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干.某小组开展了以下实验.

(1)考虑电流表内阻影响① 用图甲所示电路测量电流表的内阻.从图乙电压表和电流表读数可得电流表内阻 R_{{A}} {=} \Omega (结果保留两位有效数字）.

② 用图丙所示电路测量干电池的电动势和内阻.电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分别用 U ,I ,r 和 R_{~A~} 表示.则干电池电动势E{=}U+ （用 I_{\star}r 和 R_{~A~} 表示).

③ 调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出图丁
所示的 U-I 图像.则待测干电池电动势 E= V（结果保留三位有效数字）、内阻 r= \Omega （结果保留一位小数）.

丙

(2)考虑电压表内阻影响该小组也尝试用图戊所示电路测量电压表内阻，但发现实验无法完成.原因是

戊

A.电路设计会损坏仪器B.滑动变阻器接法错误C.电压太大无法读数D.电流太小无法读数

听课笔记练1用如图甲、乙所示的两种方法测量某电源的电动势和内阻（约为 1 \Omega ).其中 R 为滑动变阻器，电流表的内阻约为 0.1\ \Omega ,电压表的内阻约为3~k\Omega

甲

乙

丙

(1)利用图甲实验电路测电源的电动势和内阻，所测得的实际是图丙中虚线框所示“等效电源”的电动势 E^{\prime} 和内阻 \boldsymbol{r^{\prime}} ，若电源的电动势为 E 、内阻为 r 、电流表内阻为 R_{A} ，则所测得的 E^{\prime}= r^{\prime}= .（请用 E,r,R_{A} 表示)

(2)某同学利用图像，分析甲、乙两种方法由于电表内阻引起的实验误差.在选项图中，实线是根据实验数据描点作图得到的 U{-}I 图像，虚线是该电源的路端电压 U 随电流 I 变化的 U{-}I 图像（没有电表内阻影响的理想情况).在选项图中，对应图乙电路分析的 {\boldsymbol{U}}{\boldsymbol{-}}{\boldsymbol{I}} 图像是 ，并据此分析可得电源电动势和内阻的真实值 E_{\vec{f},√(\vec{f)}} 与测量值 E_{iff,\parallel,\nu_{iff}} 的大小关系为 E_{iff} E_{iff} ,r_{iff} r_{i\parallel\parallel} （选填“ > = ”或“ <^{\bullet}) ：

(3)综合上述分析，为了减小由电表内阻引起的实验误差，本实验应选择图中的 (填“甲”或“乙”)。

考点二 拓展创新实验

1.实验目的变更：

测量电动势和内阻的同时，还测量定值电阻的阻值，或求解相对误差等.

2.实验器材创新：

利用定值电阻和电流表串联当电压表使用.

3.实验方案创新：

(1)应用闭合电路欧姆定律的其他表达式求电源的电动势和内阻，如安阻法、伏阻法等.

(2)利用 I2-I 图像 图像等处理数据.

考向1实验器材的创新

例2在“用DIS(数字化信息系统实验的简称)测电源的电动势和内阻"的实验中

(1)将待测蓄电池滑动变阻器、电流传感器、电压传感器、定值电阻（阻值未知）、电键及若干导线连接成电路如图甲所示.图中有一处连线错误，错误的连线是 （选填“AC”“DE"或"GI"），应将该段导线的 端改接到端（选填“A”“B”“C”“D”“E”“F”“G"“H"或“I").

(2)实验得到的 U-I 关系如图乙中的直线 I 所示，则蓄电池的电动势为 V，内电阻阻值为 \Omega 、（结果均保留两位有效数字)

(3)为了测量定值电阻的阻值，应将图甲中 A C 导线的 C 端连接到 D 端，所得到的 {\boldsymbol{U}}-{\boldsymbol{I}} 关系如图乙中的直线Ⅱ所示，则定值电阻的阻值为Ω.(结果保留两位有效数字）

听课笔记

考向2实验方案、思路的创新

例3（2025·湖北黄石测试)用一张锌片和一张铜片，中间夹一张浸过盐水的纸，并从锌片和铜片各引出一个电极，这样就组成了一个电池.为研究该电池组的特性，某同学进行了以下实验：

甲

乙

(1)将电池组按图甲所示接人电路，图中电流表 的量程为 10 rm{m A} ，内阻为 100\ \Omega

(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值，发现当 R= 100 \Omega 时，电流表的示数 I 如图乙所示，则 I= mA.

(3)反复调节电阻箱的阻值，读出多组电流表的示数I(算出 (1)/(I) 的值)和对应电阻箱的阻值 R ,并在图中描出了相应的数据点，请利用已描出的点绘出 (1)/(I){-}R 图线。

(4)由图绘出的 (1)/(I){-}R 图线可知，该电池组的电动势为 V,内电阻为 Ω.(结果均保留三位有效数字)

例4（2024·黑吉辽卷)某探究小组要测量电池的电动势和内阻.可利用的器材有：电压表、电阻丝、定值电阻（阻值为 R_{0} )、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干.他们设计了如图所示的实验电路原理图.

甲

乙

(1)实验步骤如下：
① 将电阻丝拉直固定，按照图甲连接电路，金属夹置于电阻丝的 （选填“A"或“B”端；⊚ 闭合开关S，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数 U ，断开开关S，记录金属夹与 B 端的距离 L
③ 多次重复步骤 ⊚ ,根据记录的若干组 U,L 的值,作出图丙中图线I；
\circledast 按照图乙将定值电阻接人电路，多次重复步骤⊚ ，再根据记录的若干组 U_{\star}L 的值，作出图丙中图线 \mathbb{I}

(2)由图线得出纵轴截距为 b ,则待测电池的电动 势 E=

(3)由图线求得I、Ⅱ的斜率分别为 k_{1},k_{2} ，若=n,则待测电池的内阻 r= （用 _n 和R_{0} 表示).

听课笔记

练2（2025·八省联考四川卷）某实验小组欲测量某化学电池的电动势，实验室提供器材如下：待测化学电池（电动势 1~1, 5 ~V~ ，内阻较小）；微安表(量程 100_{\ \muA}) ,内阻约 1 500 \Omega)
滑动变阻器 R_{0} （最大阻值 25\ \Omega
电阻箱 R_{1}(0~9 999 \Omega)

电阻箱 R_{2}(0~999.9~\Omega) 开关S、导线若干.

甲

乙

丙

(1)该小组设计的实验方案首先需要扩大微安表的量程.在测量微安表内阻时，该小组连接实验器材，如图甲所示闭合S前，滑动变阻器的滑片P 应置于 端（选填“a"或“b"）；闭合S，滑动P至某一位置后保持不动,调节电阻箱 R_{1} ，记录多组 R_{1} 的阻值和对应微安表示数，微安表示数用国际单位制表示为I后,绘制 Ri一云图 一图像，拟合直线，得出 R_{1}=0.\ 159x(1)/(I_{1)}-1619 一-1619,可知微安表内阻为 \Omega

(2)为将微安表量程扩大为 25 rm{m A} ，把微安表与电阻箱 R_{2} 并联，并调整 R_{2} 的阻值为 \Omega (结果保留一位小数）；

(3)微安表量程扩大后，按图乙所示电路图连接实验器材.保持电阻箱 （选填“ R_{1} ”或R_{2} ")的阻值不变，闭合S，调节电阻箱选填‘ ^{\small R_{1}} ”或“ R_{2} ")的阻值 R ，记录多组 R 和对应微安表示数，计算得出干路电流 I_{2} 后，作 R–(1)/(I_{2)} -一图像，如图丙所示可知化学电池的电动势为V(结果保留两位小数).

实验十 用多用电表测量电学中的物理量

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、欧姆表原理（多用电表测电阻原理）

欧姆表由电流表G、电池、调零电阻 R 和红、黑表笔组成.

甲

乙

丙

1. 红、黑表笔短接时， R_{x}=0 则 I_{g}=(E)/(R_{g)+R+r} 在满偏电流 I_{g} 处标“0”（图甲）

.红、黑表笔断开时， ,R_{x}{\rightarrow}∞ ，则 I {=} 0 ，在 I=0 处标“ ∞ ".（图

3.测电阻 R_{x} 时，则 I=(E)/(R_{g)+R+r+R_{x}}. （图丙）

二、多用电表的外部构造及功能

上半部分为表盘，表盘上有电流、电压、电阻等多种量程的刻度；下半部分为选择开关，它的四周刻有各种测量项目和量程.

注意事项

（1)区分“机械零点”与“欧姆零点”.机械零点是表盘刻度 侧的“0”位置，机械调零调节的是表盘下边中间的指针定位螺丝；欧姆零点是指刻度盘侧的“0”位置，欧姆调零调节的是欧姆调零旋钮.

(2)使用前要机械调零.

(3)两表笔在使用时，电流总是“红进”“黑出”

(4)选择开关的功能区域， 要分清是测电压、电流还是 电阻，还要分清是交流还是 直流.

(5)电压、电流挡为量程范 围挡，欧姆挡为倍率挡.

(6)刻度线有三条：上为电阻专用，中间为电流、电压直流、交流共用，下为电压交流 2, 5 ~V~ 专用.

(7)使用完毕，选择开关置于“OFF"挡或交流电压最高挡，长期不用应取出电池.

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 多用电表的原理与读数

例1（多用电表的原理)图甲为某多用电表的原理图.图中 E 是电池： * R_{1},R_{2},R_{3},R_{4} 和 R_{5} 是定值电阻， R_{6} 是可变电阻，已知 R_{3}<R_{4} ，表头G的满偏电流为 250~\muA ，内阻为 1\ 200\ \Omega. 图中S为转换开关， A 端和 B 端分别与两表笔相连，该多用电表共有5个挡位，分别是直流电压 1\ ~V~ 挡和5V挡，直流电流 1 rm{m A} 挡和 2, 5 \mA 挡，欧姆 x 100\ \Omega 挡.

甲

(1)图甲中的 B 端与 (选填“红"或“黑”)表笔相连接；

(2)某次测量时该多用电表指针位置如图乙所示，若此时B端是与“5"相连的，则读数为Ω(结果保留两位有效数字)；

(3)根据题给条件可得： R_{1}+R_{2}= Ω, R_{4}=\_\Omega.

听课笔记练1（2025·江苏淮安测试)某兴趣小组自制了一个多量程的欧姆表，其电路图如图甲所示.其中电池的电动势 E=1, 5 ~V~ ,内阻可忽略不计；表头G量程 I_{g} {=} 60~\muA ,内阻 R_{g} {=} 2~k\Omega ,表头的表盘如图乙所示.

甲

乙

(1)开关 S_{1} 拨至“ x1 ~k~ "挡，将滑动变阻器 R_{0} 滑 片调到最上端.

(2)将红、黑表笔短接，此时表头的读数如图乙所示，该读数为 \muA. .由此可知，滑动变阻器 R_{0} 的最大阻值为 kQ(结果保留两位有效数字).

(3)调节滑动变阻器 R_{0} 的滑片位置，使电流表指 针满偏.

(4)将被测电阻 R_{x} 接在红、黑表笔之间，此时电 表指针指向 20\;\Delta_{\mu}A 处,则该被测电阻的阻值为 \mathbf{k}\Omega (结果保留两位有效数字).

(5)根据上述原理，将表头的电流刻度改成与之相对应的电阻值刻度，即做成一个欧姆表.

考点二 多用电表的使用

考向1多用电表测电压

1.将功能选择开关旋到直流电压挡.

2.根据待测电压的估计值选择量程.如果难以估测待测电压值，应按照从大到小的顺序，先将选择开关旋到最大量程上试测，然后根据测量出的数值，重新确定适当的量程再进行测量.

3.测量时，用红、黑测试笔使多用电表跟小灯泡L并联，注意使电流从“ ^+ "插孔流人多用电表，从“一"插孔流出多用电表，检查无误后再闭合开关S，如图所示

4.读数

如果所读表盘的最小刻度为1、0.1、0.001等，读数时应估读到最小刻度的下一位；若表盘的最小刻度为0.2、0.02、0.5、0.05等，读数时只读到与最小刻度位数相同即可.

例 2 在“多用电表的使用”实验中，

图1

(1)如图1所示，为一正在测量中的多用电表表
盘.如果用电阻挡“ x~100 ”测量，则读数为\Omega ；如果用“直流5V"挡测量，则读数为V.

(2)甲同学利用多用电表测量电阻.他用电阻挡x100 "测量时发现指针偏转角度过小，为了得到比较准确的测量结果，请从下列选项中挑出合理的步骤，操作顺序为 （填写选项前的字母).

A.将选择开关旋转到电阻挡“ x1 ~k~ ”的位置B.将选择开关旋转到电阻挡“ x10 "的位置

C.将两表笔分别与被测电阻的两根引线相接完成测量
D.将两表笔短接，调节欧姆调零旋钮使指针指向0 \Omega

(3)乙同学利用多用电表测量图示电路中小灯泡正常工作时的有关物理量.以下操作正确的是

图2

图3

A.将选择开关旋转到合适的电压挡，闭合开关，利用图2的电路测量小灯泡两端的电压
B.将选择开关旋转到合适的电阻挡，闭合开关，利用图2的电路测量小灯泡的电阻
C.将选择开关旋转到合适的电流挡，闭合开关，利用图3的电路测量通过小灯泡的电流
D.将选择开关旋转到合适的电流挡，把图3中红、黑表笔接人电路的位置互换，闭合开关，测量通过小灯泡的电流

听课笔记

3.需要注意多用电表直流电流挡是毫安挡，不能测量比较大的电流.

例3 在练习使用多用电表的实验中，某同学连接的电路如图所示.

(1)若旋转选择开关使其尖端对准直流电流挡，闭合开关S，此时测得的是通过 的电流；

考向2多用电表测量电流

1.多用电表直流电流挡与电流表原理相同，测量时 应使电表与待测电阻串联.

2.红表笔插人“ ^+ "插孔，黑表笔插入“－”插孔.测量时，使电流从红表笔流人（即红表笔接与电源的正极相接的一端），从黑表笔流出（即黑表笔接与电源负极相接的一端），如图所示.

测量直流电流

听课笔记

考向3用多用电表测电阻

1.选挡：选择倍率时，应使指针尽可能指在中央刻度线附近，否则换挡.指针偏转角较小时，被测量的电阻阻值很大，应换倍率更大的挡位；指针偏转角很大时，被测量的电阻阻值很小，应换倍率较小的挡位.

2.欧姆调零：每次换挡必须重新进行欧姆调零.将红、黑表笔短接，调节欧姆调零旋钮，使指针指在表盘右端电阻零刻度处.

3.测量：被测电阻要与电源等其他元件分离，不能用双手同时接触表笔的金属杆.

4.读数：指针的示数一般读取两位有效数字，指针的示数要乘以倍率.

例4某学生用多用电表测电阻.使用的实验器材有多用电表、电压表、滑动变阻器及若干导线.

(1)先将多用电表挡位调到电阻“ x100 "挡，再将红表笔和黑表笔 ，调整 ,使指针指向‘ \bullet \Omega^{\bullet} ：

(2)再将调节好的多用电表红表笔和图甲中的（选填“1"或“2"）端相连，黑表笔连接另
一端.将滑动变阻器的滑片滑到适当位置，欧姆
表的读数如图乙所示，则被测电阻为k\Omega

(3)图甲中的电压表有两个量程( \mathit{\Delta}^{~ ~}(0~3~V~ ,内阻为 R_{1} 0~15 ~V~ ,内阻为 R_{2} ),则 R_{1} （选填 “>"”“="或“<”)R2.

听课笔记

第十章电路及其应用电能能量守恒定律(2)好坏判断：当多用电表的红、黑表笔分别接触二极管的两极对调检测时：
① 一次示数较小，对调后示数较大,则可判断二极管是好的；
⊚ 一次示数较小，对调后示数也较小，则可判断二极管是击穿的；
③ 一次示数很大，对调后示数也很大，则可判断二极管是断路的.

听课笔记

例5（2025·四川宜宾测试)钱华同学的爸爸是电气工程师，钱华经常看到爸爸用多用电表进行一些测量.钱华在高中物理课堂上学习了多用电表的用法之后，爸爸给他出了一道题目，让他通过测量找到发光二极管的负极.

(1)钱华同学做了如下两步具体的操作：第一，将多用电表选择开关旋转到电阻挡的“ x1 ”挡，经过 之后，他把红表笔接在二极管的短管脚上，把黑表笔接在二极管的长管脚上，发现二极管发出了耀眼的白光；然后他将两表笔的位置互换以后，发现二极管不发光.这说明二极管的负极是 （选填“长管脚”或“短管脚"）所连接的一极.

(2)钱华同学的好奇心一下子就被激发起来了，他琢磨了一下，然后又依次用多用电表电阻挡的x1 "挡、 x10 ”挡、“ x100 ”挡、“ x1 ~k~ "挡分别进行了二极管导通状态的准确的测量（多用电表内部电源电动势不变），他发现二极管发光的亮度越来越 （选填“大”或“小”），请帮助他分析一下具体的原因.

考向4用多用电表检测二极管

将多用电表的选择开关拨到欧姆挡并进行欧姆 调零，然后将红、黑表笔接到二极管的两极上.

(1)极性判断：当黑表笔接二极管“正”极，红表笔 接“负”极时，电阻示数较小，反之电阻示数很大， 由此可判断出二极管的正、负极.

磁场 安培力与洛伦兹力

常考热点

创新考点

2024·浙江1月第20题，考查带电粒子在组合场中的运动（综合光学中的知识和反射一一新考法)

2024·甘肃第15题，考查带电粒子在叠加场中运动（实际情境质谱仪）

2024·北京第20题，考查带电粒子在电磁场中运动（实际情境霍尔推进器）

2026年命题预测

命题形式：电磁学与国家高新科技结合问题在近几年高考试题中层出不穷，一方面与真实情景联系，另一方面增进学生的民族自豪感.在选择题和计算题中都有考查，常以“图形 ^+ 文字”形式出现.以选择题的形式出现时，难度中等，以计算题的形式出现时，难度一般偏大.

必考热点：安培力的方向和大小计算，带电粒子在直线边界磁场、圆形边界磁场、三角形边界磁场、正多边形边界磁场中运动是高考中命题的热点.

热点情境：“组合场”“叠加场”等学习探索情境；粒子加速、粒子控制、等离子发动机等科技应用情景.

创新考法：“磁约束装置”“太空粒子探测器”“粒子流扩大技术”等生产生活实践问题情境，对考生提取信息的能力和模型建构能力的要求比较高.

第1讲磁场及其对通电导线的作用

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、磁场、磁感应强度

1.磁场的基本特性：磁场对处于其中的磁体、通电导体和运动电荷有 的作用.

2.磁感应强度

(1)物理意义：描述磁场的 和

(2)大小： B= (通电导线垂直于磁场).

(3)方向：小磁针静止时 的指向.

(4)单位：

考教衔接

1.【链接·人教版选择性必修第二册P21第4题】

(2023·江苏卷，2)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B.L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中.已知ab边长为2l，与磁场方向垂直， b c 边长为l，与磁场方向平

3.匀强磁场

(1)定义：磁感应强度的大小 、方向 的 磁场. (2)特点：磁感线疏密程度 、方向相同.

二、磁感线、通电直导线和通电线圈周围磁场的方向

1.磁感线及其特点

(1)磁感线：在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的方向都跟这点磁感应强度的方向一致.(2)特点：磁感线较 ，表示磁场较强

2.电流的磁场

三、安培力的大小和方向

1.安培力的大小

(1)磁场方向和电流的方向垂直时： F=B I l (2)磁场方向和电流的方向平行时： F=0

2.安培力的方向(由左手定则判断)

伸出左手，使拇指与其余四个手指并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向的方向，这时 所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向.

四、磁通量

1.定义

在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，有！个与磁场方向垂直的平面，面积为S，把的乘积叫作穿过面积 S 的磁通量，简称磁通，用字母 \boldsymbol{\Phi} 表示。

2.定义式： \varPhi{=}

3.单位：韦伯，简称 ，符号为 Wb.1\;Wb{=1\;T* m^{2}}

B{=}(\phi)/(S) 的单位面积的磁通量.

行.该导线受到的安培力为

A.0 B.IIB C.211B D.√51LB

2.【链接·人教版选择性必修第二册P21第4题.2024年甘肃卷第4题、2023年江苏卷第2题都考查过用相同的物理思维来解决相似的物理情境】（多选）（2024·福建卷，6)如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为 r 的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为 B ，方向垂直纸面向外，铜环两端 a ,b 处于同一水平线.若环中通有大小为 I 、方向从 \boldsymbol{a} 到 b 的电流，细绳处于绷直状态，则 （）

A.两根细绳拉力均比未通电流时的大B.两根细绳拉力均比未通电流时的小C.铜环所受安培力大小为2rIBD.铜环所受安培力大小为 π r I B

感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 安培定则、磁场叠加

1.地磁场

(1)地磁场的N极在地理南极附近，地磁场的S极在地理北极附近，磁感线分布如图所示.

听课笔记

(2)地磁场B的水平分量（ \boldsymbol{*}\boldsymbol{B}_{x} )总是从地理南极指向北极，而竖直分量 (B_{y} )在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下，在赤道处的地磁场沿水平方向，指向地理北极.

2.电流的磁场

3.磁场的叠加

(1)磁感应强度为矢量，合成与分解遵循平行四边形定则.
(2)两个电流附近磁场的磁感应强度是由两个电流分别独立存在时产生的磁场在该处的磁感应强度叠加而成的.

例1如图所示,直导线 A B 、螺线管 E 、电磁体 D 三者相距较远，其磁场互不影响，当开关 S 闭合后，则小磁针北极N(黑色一端)指示磁场方向正确的是

A.a B.b C.c D. d例2 (多选)如图，某科技小组要探究长直导线周围磁场分布情况，将长直导线沿南北方向水平放置，在导线正下方的 P 处放置一枚可自由转动的小磁针.当导线中通以恒定电流后，小磁针N极向纸外偏转，测得小磁针静止时N极偏离南北方向的角度为 {{60}°} .已知实验所在处地磁场水平分量大小恒为 B_{0} ,则下列判断正确的是（）

A.导线中的电流方向由北向南
B.电流在 P 处产生的磁场方向就是小磁针静止时N极所指的方向
C.电流在导线正下方 P 处产生的磁场的磁感应强度大小为B
D.导线正下方 P 处磁场的磁感应强度大小为 2B_{0}

练1（2024·浙江卷1月）磁电式电表原理示意图如图所示，两磁极装有极靴，极靴中间还有一个用软铁制成的圆柱.极靴与圆柱间的磁场都沿半径方向，两者之间有可转动的线圈. a,b,c 和 ^{d} 为磁场中的四个点.下列说法正确的是 （）

A.图示左侧通电导线受到的安培力向下 B. a,b 两点的磁感应强度相同 C.圆柱内的磁感应强度处处为零 D. c ,d 两点的磁感应强度大小相等

考点二 安培力的分析与计算

1.安培力公式： F=I\iota B sin θ ,其中 θ 为 B 与 I 之间的夹角.

2.应用公式 F=I\iota B 时的注意点

(1)B 与 I 垂直.

① 公式 F=I\iota B 中 l 指的是“有效长度”.当 B 与I垂直时， F 最大， F=I/B ；当 B 与 I 平行时，F=0

⊚ 弯曲导线的有效长度 l 等于导线在垂直磁场平面内两端点所连线段的长度（如图所示），相应的电流方向由始端流向末端.

③ 闭合线圈通电后，在匀强磁场中所受安培力的矢量和为零.

考向1安培力方向的判断

例3（2024·贵州卷）如图，两根相互平行的长 直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面 内，导线框的对称轴与两长直导线间的距离相 等.已知左、右两长直导线中分别通有方向相反 的恒定电流 I_{1},I_{2} ，且 I_{1}>I_{2} ,则当导线框中通有 顺时针方向的电流时，导线框所受安培力的合力 方向 ( ）

A.竖直向上 B.竖直向下 C.水平向左 D.水平向右

考向2安培力大小的计算

例4如图所示，半径为 r 粗细均匀的金属圆环放在绝缘水平面上，虚线MN左侧有垂直于水平面向下的匀强磁场工,右侧有垂直于水平面向上的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为 B ,M N 与圆环的直径重合， P Q 是圆环垂直MN的直径，将 P_{\star}Q 两端接人电路，从 P 点流人的电流大小为 I ,圆环保持静止不动，则下列判断正确的是 ( ）

A.整个圆环受到的安培力为0
B.整个圆环受到的安培力大小为 \scriptstyle{√(2)}B I r
C.MN左侧半圆环受到的安培力大小为 (√(2))/(2)B I r
D.MN左侧半圆环受到的安培力大小为 B I r
听课笔记

练2(多选)三根电流强度相同的通电长直导线L_{1} ,L_{2} ,L_{3} 沿着正方体的三条边 A_{1}D_{1}\dots B_{1}C_{1} BC放置，电流方向如图所示，此时正方体几何中心O 点处的磁感应强度大小为 B_{0} .现将沿 B C 边放置的导线 L_{3} 撤去，下列说法正确的是（）

A. L_{1} 所受磁场作用力的方向沿 A B 方向
B. L_{2} 所受磁场作用力的方向沿 A B 方向
C O 点处的磁感应强度大小为 (2)/(3)B_{0} ,方向沿 A A_{1} 方向
D. O 点处的磁感应强度大小为 √(2)B_{0} ，方向沿BA方向

考点三 安培力作用下的平衡及加速问题

考向1安培力作用下的平衡问题

例5（2025·八省联考河南卷)无限长平行直导线 a,b 每单位长度之间都通过相同的绝缘轻弹簧连接.如图，若 b 水平固定，将 a 悬挂在弹簧下端，平衡时弹簧的伸长量为 \Delta{l} ;再在两导线内通人大小均为 I 的电流，方向相反，平衡时弹簧又伸长了 \Delta{l} .若 a 水平固定，将 b 悬挂在弹簧下端，两导线内通人大小均为2I的电流，方向相同，平衡后弹簧的伸长量恰为 2\Delta l ，已知通电无限长直导线在其周围产生磁场的磁感应强度大小与导线中电流大小成正比，与距导线的距离成反比.则 a,b 单位长度的质量比 m_{a}:m_{b} 为 （）

A.1 : 6 B. 1 : 4
C.1:2 D.1 : 1

听课笔记例6如图所示，质量为 m 、长为 L 的导体棒电阻为 2R ,初始时静止于光滑的水平轨道上，电源电动势为 E ，内阻不计.匀强磁场的磁感应强度为B ，其方向与轨道平面成 θ 角斜向上方，开关闭合后导体棒开始运动，则 ）

考向2安培力作用下的加速问题

C.开关闭合瞬间导体棒 MN 所受安培力为BD.开关闭合瞬间导体棒MN所受安培力为BEL sin0

听课笔记

题后感悟

安培力作用下的平衡或加速问题的解题思路

(1)选定研究对象.(2)受力分析，变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，安培力的方向 \boldsymbol{F}_{\sun}\perp\boldsymbol{B}_{\setminus}\boldsymbol{F}_{\widehat{X}}\perp\boldsymbol{I} ，如图所示。

A.导体棒向左运动B.开关闭合瞬间导体棒 M N 的加速度为 (B E L)/(2m R) (3)应用共点力的平衡条件或牛顿第二定律或动能定理列方程解题.

练3（2024·重庆卷)小明设计了如图所示的方案，探究金属杆

在磁场中的运动情况，质量分别为 2m ,m 的金属杆 P 、Q用两根不可伸长的导线相连，形成闭合回路，两根导线的间距和 P 、Q的长度均为 L .仅在 Q 的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场. Q 在垂直于磁场方向的竖直面内向上运动， P_{\star}Q 始终保持水平，不计空气阻力、摩擦和导线质量，忽略回路电流产生的磁场.重力加速度大小为 _{g} ，当 P 匀速下降时，求

(1)P所受单根导线拉力的大小；

(2)Q中电流的大小.

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

安培力作用下导体运动的判定方法

典例1如图所示，一光滑绝缘的圆柱体固定在水平面上.导体棒 A B 可绕过其中点的转轴在圆柱体的上表面内自由转动，导体棒 C D 固定在圆柱体的下底面.开始时，两棒相互垂直并静止，两棒中点 O_{1} .O_{2} 连线与圆柱体的中轴线重合.现对两棒同时通人图示方向（A到 B ,C 到 D )的电流.下列说法正确的是 ( ）

听课笔记典例2如图所示，一平行于光滑斜面的轻弹簧一端固定于斜面上，一端拉住条形磁体，条形磁体处于静止状态，磁体中垂面上放置一通电导线，导线中电流方向垂直纸面向里且缓慢增大，下列说法正确的是 (

A.弹簧弹力逐渐变小B.弹簧弹力先减小后增大C.磁体对斜面的压力逐渐变小D.磁体对斜面的压力逐渐变大听课笔记

A.通电后， A B 棒仍将保持静止
B.通电后， A B 棒将逆时针转动(俯视)
C.通电后， A B 棒将顺时针转动(俯视)
D.通电瞬间,线段 O_{1}O_{2} 上存在磁感应强度为零的位置

第 2讲磁场对运动电荷的作用力

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、洛伦兹力的大小和方向

1.定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦 兹力.

2.大小

(1)\boldsymbol{v}//B 时， F=
(2)\boldsymbol{v}\bot\boldsymbol{B} 时， F=
( 3 ) v 与 B 的夹角为 θ 时， F=q v B\sinθ

3.左手定则——判定洛伦兹力的方向伸开左手，使与其余四个手指垂！直，并且都与手掌在 平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指！指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的 在磁场中所受洛伦兹力的方向.

提升点洛伦兹力方向的特点： F\perp B ,F\perp v ，即F 垂直于 B 和 \tau 决定的平面.

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1.若 v//B ,粒子不受洛伦兹力，在磁场中做运动.

2.若 \smash{\upsilon\perp B} ，带电粒子在匀强磁场中做 运动.

3.轨道半径和周期公式 (\boldsymbol{v}\bot\boldsymbol{B}) (1)由 q v B{=} ,得r= r= (2)由 T=(2π r)/(v) 及 r=(m v)/(q B) m得T=

考教衔接

【2024年湖北卷第7题的创设情境在2023年全国甲卷第20题、2021年全国乙卷第16题也出现过】(2024·湖北卷，7)如图所示，·在以 O 点为圆心、半径为 R 的圆形区域内有垂直于纸面，向里的匀强磁场，磁感应强度。

大小为B.圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场.一质量为 m 、电荷量为q(q>0) 的带电粒子沿直径 A C 方向从 A 点射入圆形区域.不计重力，下列说法正确的是（）

A.粒子的运动轨迹可能经过 O 点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由 A 点沿 A C 方向射入圆形区域的最小时间间隔为 (7π m)/(3q B)
D.若粒子从 A 点射入到从 C 点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为V3gBR

感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 对洛伦兹力的理解和应用

1.洛伦兹力的特点

2.洛伦兹力与电场力的比较

(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷.
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.(4)洛伦兹力永不做功.

随手记练1如图所示， M,N 为两根垂直纸面的平行长直导线， O 为 M ,N 连线中点，一电子沿过 O 点垂直纸面的直线向外射出，当两根导线同时通有如图方向电流时，该电子将

A.向上偏转 B.向下偏转C.向左偏转 D.向右偏转练2如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是

A.小球刚进人磁场时受到的洛伦兹力水平向右B.小球运动过程中的速度不变C.小球运动过程中的加速度保持不变D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功

考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动

1.圆心的确定方法

2.半径的计算方法

由半径公式 R=(m v)/(q B) 或数学知识(勾股定理、三角函数等)来计算.

3.时间的计算方法

由 \displaystyle t=(θ)/(2π)T T或t=来计算.

考向1直线边界磁场

直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)

例1如图,在边界MN上方足够大的空间内存在垂直纸面向外的匀强磁场.

两粒子 ~\stackrel{.1{.1}H} 核与 \ _{1}^{2}H 核同时从 M N 上 P 点以相同的动能沿纸面飞人磁场，又同时从另一位置Q（图中未画出)飞出磁场.不计粒子重力及二者间的相互作用.二者在 P 点处速度方向间的夹角为（）

A. 30° B. 45° C.60° D.90°

考向2平行边界磁场

平行边界存在临界条件(如图所示)

例2（2025·安徽合肥测试）如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子 \boldsymbol{a} 和 b 依次从 O 点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出,带电粒子 a 和 b 射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为 30° 和 {60}° ,不计粒子的重力，下列判断正确的是

A.粒子 a 带负电，粒子 b 带正电B.粒子 \boldsymbol{a} 和 b 在磁场中运动的半径之比为 1:{√(3)} C.粒子 a 和 b 在磁场中运动的速率之比为 {√(3)}:1 D.粒子 a 和 b 在磁场中运动的时间之比为 1:2 听课笔记

考向3三角形、四边形边界磁场

1.三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同，运动半径不同，出射点的位置也不同.

2.四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不同的粒子轨迹；粒子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹.

例3 如图所示，在直角三角形abc区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外， \angle a=30° ：一质

子 \mathbf{\Sigma}_{1}^{1}\operatorname{H} 以 {\boldsymbol{v}}_{0} 的速度沿平行于 a b 的方向从 O 点射人三角形区域，经时间 t 从 O N 的中点 M 离开磁场，若一 \upalpha 粒子 _2^{4H e} 以 v_{0} 的速度从 O 点沿相同的方向射人，则 \upalpha 粒子在磁场中的运动时间为（）

(√(3)t)/(2) B.t C.√3t D.2t

听课笔记

考向4圆形边界磁场

甲

乙

(1)若粒子射入磁场时速度方向与人射点对应半径夹角为 θ ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为 θ ，如图甲所示.(2)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射人磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场（或者说粒子射出磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心），如图乙所示.

例4如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的 A 点沿半径方向射人一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中

A.运动时间均相等B.速率越大的质子运动时间越长C.轨迹半径越大的质子运动时间越短D.轨迹半径越大的质子向心加速度越小练3（2024·海南卷)如图,在 x O y 坐标系中有三个区域，圆形区域I分别与 _{x} 轴和 _y 轴相切于P 点和 S 点.半圆形区域Ⅱ的半径是区域I半径的2倍.区域I、Ⅱ的圆心 O_{1} .O_{2} 连线与 \mathscr{x} 轴平行，半圆与圆相切于 Q 点， Q F 垂直于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴，半圆的直径 M N 所在的直线右侧为区域 \mathbb{II} .区域I、Ⅱ分别有磁感应强度大小为 B、 的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外.区域工下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为 m 、电荷量为 q 的粒子由电场加速到 \upsilon_{0} .改变发射器的位置，使带电粒子在 O F 范围内都沿着 _y 轴正方向以相同的速度 {\boldsymbol{v}}_{0} 沿纸面射人区域I.已知某粒子从 P 点射人区域I,并从 Q 点射人区域Ⅱ(不计粒子的重力和粒子之间的影响)

(1)求加速电场两板间的电压 U 和区域I的半径 R (2)在能射人区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短,求该粒子在区域I和区域Ⅱ中运动的总时间 t
(3)在区域Ⅲ加人匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为 B ,方向垂直纸面向里，电场强度的大小 E=B\tau_{0} ，方向沿 \boldsymbol{x} 轴正方向.此后，粒子源中某粒子经区域I、Ⅱ射人区域Ⅲ，进人区域Ⅲ时速度方向与 _y 轴负方向成 74° 角.当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到 _y 轴的距离(sin 37°=,si \sin 53°{=}{(4)/(5)} ).

考点三 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题

1.解答带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题的方法技巧

2.磁场区域面积的极值

若磁场边界为圆形时，连接入射点和出射点的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积.

例5存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为 B,O o 点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子.已知带电粒子的质量为 m ，电荷量为 +q ，速率均\displaystyle v=(q B d)/(2m) O N 长为 d 且 \angle O N M=30° ,忽略粒子的重力及相互间的作用力.下列说法正确的是( ）

A.自 M N 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.自 M N 边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C.MN 边上有粒子到达区域的长度为
D.ON边上有粒子到达区域的长度为d

【教你解决问题】

第一步→选取带电粒子为研究对象，建构匀速圆周运动模型根据“同圆中圆心角小的所对的弦短”，确定最短
第二步的弦和最长的弦根据“运动时间与圆心角的关系”，求解最短的时
第三步间和最长的时间
（第四步→画出临界轨迹，求解粒子到达区域的长度

听课笔记例6（2025·重庆主城区模拟)如图所示，半径为 R 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度 B ，一比荷为 (q)/(m) 的带正电粒子,从圆形磁场边界上的 A 点以 v_{0}=(R q B)/(m) RqB的速度垂直直径 M N 射人磁场，恰好从 N 点射出，且\angle A O N=120° ,下列说法正确的是 ）

A.粒子在磁场中运动的时间为 t=(π m)/(3q B)
B.粒子从 N 点射出方向竖直向下
C.若粒子改为从圆形磁场边界上的 C 点以相同的速度入射，一定从 N 点射出
D.若要实现带电粒子从 A 点人射，从 N 点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 S=V3mR2

听课笔记

题后感悟

解决临界问题的一般解题流程

练4固定在光滑刚性绝缘正三角形框内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B ，长为 L 的 C D 边上一点 P 开有一个小孔，且 C P=(1)/(4)L 礼，如图所示.质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子以某一初速度从 P 点沿纸面垂直于 C D 边射人磁场后，与正三角形的每条边都发生多次碰撞，再从 P 点垂直于 C D 边离开磁场.粒子在每次碰撞前、后瞬间速度大小相等，方向相反，电荷量不变，不计重力，则粒子初速度的最大值为 ( ）

A. (q B L)/(4m) B. qBL C. gBL (q B L)/(2m) D. 4gBL m

练5真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为 a 和 3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为 \boldsymbol{v} 的电子从圆心沿半径方向进人磁场.已知电子质量为 m ,电荷量为 e ，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为 （）

A. 3mv 2ae B. mu ae C. 3mv 4ae D. 3mu 5ae

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

带电粒子在磁场中运动多解问题

典例1如图所示，直线MN与水平方向成 {{60}°} 角， M N 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于 M N 上的 \boldsymbol{a} 点，能水平向右发射不同速率、质量为 m (重力不计）、电荷量为 q .q{>}0 的同种粒子，所有粒子均能经过 M N 上的b 点从左侧磁场进入右侧磁场，已知 a b=L ，则粒子的速度可能是 （）

听课笔记典例2（多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直 O Q 方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计.为把这束负离子约束在 O P 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场.已知 O,A 两点间的距离为 s ,负离子的比荷为 (q)/(m) ,速率为 v,O P 与 O Q 间的夹角为 30° ,则所加匀强磁场的磁感应强度 B 的大小和方向可能是

A. B{>}(m v)/(3q s) ,垂直纸面向里B. B{>}(m v)/(q s) ,垂直纸面向里C. B{>}(m v)/(q s) ,垂直纸面向外D. B{>}(3m v)/(q s) 3m,垂直纸面向外听课笔记

专题强化十三 带电粒子在匀强磁场中运动的“动态圆”模型

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

模型一 “放缩圆”模型

听课笔记例1如图所示，磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中 b c 段是半径为 R 的四分之一圆弧，a b,c d 的延长线通过圆弧的圆心， O b 长为 R .一束质量为 m 、电荷量为 q 的粒子，在纸面内以不同的速率从 O 点垂直 a b 射人磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中 M N 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力.则下列分析中正确的是 ）

A.粒子带负电
B.从 M 点射出的粒子的速率一定大于从 N 点射出的粒子的速率
C.从 M 点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从 N 点射出的粒子在磁场中运动的时间
D.所有粒子所用时间最短为 (2π m)/(3q B)
练1如图所示，在矩形区域abcO（
内存在一个垂直于纸面向外、磁感
应强度大小为 B 的匀强磁场， {\cal O}a^{ o^{\prime}}
边长为 √(3)L,a b 边长为 L .现从 O 点沿着 O b 方向
垂直磁场射入各种速率的带正电粒子，已知粒子
的质量为 m 、电荷量为 q （粒子所受重力及粒子间
的相互作用忽略不计)，求：

(1)垂直 a b 边射出磁场的粒子的速率 V (2)粒子在磁场中运动的最长时间 t_{m}

模型二 “旋转圆”模型

例2如图所示，半径为 R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场， P 为磁场边界上的一点，大量相同的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从 P 点射人磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于 P Q 圆弧上，且 Q 点为最远点.已知 P Q 圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为 （）

师说．高三总复习物理

(3)/(4)π R^{2} (3π-2)R2 B. 4
((3π^{+}2)R^{2})/(4)

听课笔记练2如图所示，在直角坐标系 x O y 第一象限内_{x} 轴上方存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场,在 y 轴上 S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为 m 、电荷量均为 q 的同种带电粒子,所有粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点.已知粒子带负电， \overline{{O P}}=√(3) \overline{{O S}}=√(3)d ，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则 ( ）

A.粒子的速度大小为d
B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.从 \boldsymbol{x} 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 9:2
D.沿平行 _{x} 轴正方向射人的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为

模型三 “平移圆”模型

例3某种离子诊断测量简化装置如图所示.竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地. a,b,c 三束宽度不计、间距相等的带正电的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 E H 水平射人磁场， b 束中的离子在磁场中沿半径为 R 的四分之一圆弧运动后从下边界 H G 竖直向下射出，并打在探测板的右边缘 D 点.已知每束每秒射入磁场的离子数均为 N ，离子束间的距离均为 0, 6R ，探测板 C D 的宽度为 0, 5R ,离子质量均为 m ，电荷量均为 q ,不计重力及离子间的相互作用.

C—D

(1)求离子速度 \boldsymbol{v} 的大小及 c 束中的离子射出磁场边界 H G 时与 H 点的距离 s

(2)求探测到三束离子时探测板与边界 H G 的最大距离Lmax；

(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量 F 与板到H G 距离 L 的关系。
试答

练3如图所示，在 x O y 平面直角坐标系内， O A 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的夹角为 37°,O A 足够长， O A 与 \boldsymbol{x} 轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B=(m v_{0})/(3q L_{0)} m，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为 {{\upsilon}_{0}} ,方向垂直于 O A 的带电粒子,带电粒子的质量为 m ,电荷量为 +q(q>0) ，则带电粒子能打到 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴距坐标原点最远位置的横坐标为

A. 3L_{0} B. 4L_{0}
C. 5L_{0} D. 6L_{0}

模型四 “磁发散”与“磁聚焦”模型

例4（多选）（2025·山东模拟预测)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展.如图，宽度为 r_{0} 的带正电粒子流水平向右射人半径为 r_{0} 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B_{0} ，这些带电粒子都将从磁场圆上 O 点进人正方形区域，正方形过 O 点的一边与半径为 r_{0} 的磁场圆相切.在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到 O 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为 2r_{0} ，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（）

A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B_{0} ,方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为 2 ( π {-} 2)r_{0}^{2}
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为 (π^{-}2)/(2)r_{0}^{2}
听课笔记

练4带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一.磁聚焦原理如图，真空中半径为 r 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场.一束宽度为 2r 沿 _{x} 轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点 O. 已知电子的质量为 m 、电荷量为 e 、进人磁场的速度为 \boldsymbol{v} ，不计电子重力及电子间的相互作用,则磁感应强度的大小为（）

A (m v)/(2e r) B (√(2)m v)/(2e r) C (m v)/(e r) D. (2m v)/(e r)

专题强化十四 带电粒子在组合场中的运动

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 带电粒子在两类组合场中的运动

1.组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠.

2.分析带电粒子在组合场中运动的方法

3.“电偏转”与“磁偏转”的比较

考向1先电场后磁场

例1 (多选)如图所示,在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上方第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场， _x 轴下方存在沿 y 轴正方向的匀强电场. a,b 两个重力不计的带电粒子分别从电场中的同一点 P 由静止释放后，经电场加速从 M 点射入磁场并在磁场中发生偏转.最后从 _y 轴离开磁场时，速度大小分别为 \upsilon_{1} 和 \upsilon_{2}*\upsilon_{1} 的方向与 y 轴垂直， v_{2} 的方向与 _y 轴正方向成 {{60}°} 角. a ,b 两粒子在磁场中运动的时间分别为 t_{1} 和 t_{2} ,则以下比值正确的是 ）

听课笔记

考向2先磁场后电场

例2（2024·黑吉辽卷，节选）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度.简化模型如图：I、Ⅱ区宽度均为 L ,存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ区为电场区；各区边界均垂直于 x 轴， O 为坐标原点.甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为 +q(q>0) 、质量均为m 的粒子.如图，甲、乙平行于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴向右运动，先后射人I区时速度大小分别为 和v.甲到 P点时,乙刚好射人 I 区.乙经过 I 区的速度偏转角为 {30}° 甲到 O 点时，乙恰好到 P 点.已知Ⅲ区存在沿 +x 方向的匀强电场,电场强度大小 E_{0}= (9m v_{0}^{2})/(4π q L) 不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场.

(1)求磁感应强度的大小 B
(2)求Ⅲ区宽度 ^{d}
试答

考向3交变电磁场

例3（2024·广东卷）如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示峰值为 U_{0} 、周期为 t_{0} 的交变电压.金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B .一带电粒子在 t=0 时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t_{0} 时刻从下板左端边缘位置水平向右进人金属板间的电场内，在 \scriptstyle t = 2t_{0} 时刻第一次离开金属板间的电场，水平向右进入磁场，并在 t=3t_{0} 时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场.已知金属板的板长是板间距离的 (π)/(3) 倍，粒子质量为 m ,忽略粒子所受的重力和场的边缘效应.

(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量 q (2)求金属板的板间距离 D 和带电粒子在 t=t_{0} 时刻的速度大小 \boldsymbol{v}
(3)求从 t=0 时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功 W
试答

题后感悟

解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路

先读图→看清并明白场的分布情况和变化情况受力分析→分析粒子在不同变化场区的受力情况（过程分析→分析粒子在不同时间内的运动情况建模 →粒子在不同运动阶段，各有怎样的运动模型（找衔接点→找出衔接相邻两个过程的物理量选规律）→联立不同阶段的方程求解

练1如图所示,在平面直角坐标系 x O y 的第一象限内存在一半径为 R ，分别与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴 \mathbf{\nabla},y 轴相切的圆形边界，圆形边界内和第三、第四象限内均存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内存在平行于 _y 轴方向的匀强电场(在图中未标出).现将一群质量均为 m 、电荷量均为 q(q) 0)的带电粒子从切点 S 以同一速率 v_{0}\left(v_{0}\right) 大小未知)与x轴正方向成θ角(≤0<) <)射人第一象限,其中垂直于 \boldsymbol{x} 轴人射的粒子刚好垂直 y 轴经过P 点，与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴正方向成 -角度入射的粒子经过第二象限的电场后从 \boldsymbol{x} 轴上的 Q 点射入第三象限，其中 \boldsymbol{\O}_{α} 距离为 R. 在 \boldsymbol{x} 轴正方向上有一块收集板M N ，不计粒子重力及粒子间的相互作用.

(1)求粒子人射速度大小 \upsilon_{0} ：
(2)求电场强度 E 的方向（“ _y 轴负方向”或“ _y 轴正方向")和大小.
(3)若收集所有粒子，则收集板长度至少要多长.

考点二 STSE中的组合场模型

1.质谱仪

(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁 场和照相底片等构成.

(2)原理：粒子由静止被加速电场加速， q U=
{(1)/(2)}m v^{2}.
粒子在磁场中做匀速圆周运动,有 q v B=m {(v^{2})/(r)}
由以上两式可得 r={(1)/(B)} √((2m U)/(q)) m={(q r^{2}B^{2})/(2U)}
(q)/(m){=}(2U)/(B^{2)r^{2}}.

2.回旋加速器

(1)构造：如图所示， D_{1} D_{2} 是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源,D形盒处于匀强磁场中.

(接交流电源U)

(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由 q v B= (m v^{2})/(R) ,得Ekm E_{km}={(q^{2}B^{2}R^{2})/(2m)} ，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度 B 和D形盒半径 R 决定，与加速电压无关.

例4（2024·甘肃卷）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示.I为粒子加速器，加速电压为 U ；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 E_{1} ，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为 B_{1} ，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为 B_{2} ，方向垂直纸面向里.从 S 点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由 O 点进人偏转分离器做圆周运动，最后打到照相底片的 P 点处，运动轨迹如图中虚线所示，

(1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷.
(2)求 O 点到 P 点的距离.
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为 E_{2} (E_{2} 略大于 E_{1} )，方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的 O^{'} 点上.求粒子打在O^{'} 点时，粒子的速度大小.
试答

例5如图所示为回旋加速器的示意图，两D形盒所在区域加匀强磁场，狭缝间接有交变电压(电压的大小恒定),将粒子由 A 点静止释放，经回旋加速器加速后，粒子最终从

D形盒的出口引出.已知D形盒的半径为 R ，粒子的质量和电荷量分别为 m_{rm{\tiny{"}}q} ,磁感应强度大小为 B ,加速电压为 U （不计粒子在电场中的运动时间），粒子在回旋加速器中运动的时间为(

听课笔记

练2某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图.回旋加速器的核心部分为D形盒，D形盒装在真空容器中，整个装置放在电磁体两极之间的磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒盒面垂直.两盒间狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计.质子从粒子源 A 处进人加速电场的初速度不计，从静止开始加速到出口处所需的总时间为 t ，已知磁场的磁感应强度为 B ,质子质量为 m 、电荷量为 + q ,加速器接一定频率高频交流电源，其电压为 U ，不考虑相对论效应和重力作用，求：

(1)质子第1次经过狭缝被加速后进人D形盒运动轨道的半径 r_{1}

(2)质子第1次和第3次经过狭缝进人D形盒位置间的距离；

( 3 )D 形盒半径 R

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

带电粒子在立体空间中的偏转

1.空间想象：分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。

2.分阶段，找关联：带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题.

典例（2024·湖南卷）如图,有一内半径为 2r 长为 L 的圆筒，左右端面圆心 O^{\prime},O 处各开有一小孔.以 O 点为坐标原点，取 O^{\prime}O 方向为 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴正方向建立 O x y z 坐标系.在筒内 x{<=slant}0 区域有一勺强磁场，磁感应强度大小为 B ，方向沿 _{\mathscr{x}} 轴正方向；筒外 x>=0 区域有一匀强电场，场强大小为 E 方向沿 y 轴正方向.一电子枪在 \boldsymbol{O}^{\prime} 处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在 x O y 平面内，且在 x 轴正方向的分速度大小均为 v_{0} .已知电子的质量为 m 、电量为 e ，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力.

(1)若所有电子均能经过 O 点进人电场，求磁感应强度 B 的最小值；

(2)取(1)问中最小的磁感应强度 B ，若进入磁场中电子的速度方向与 x 轴正方向最大夹角为 θ

求tan θ 的绝对值；

(3)取(1)问中最小的磁感应强度 B ，求电子在电场中运动时沿 _y 轴正方向的最大位移.

试答

[试题立意］本题以圆筒形匀强磁场与匀强电场构成组合场为素材，创设了带电粒子在磁场中的螺旋线运动与在匀强电场中的斜抛运动的科学探究问题情境.主要考查带电粒子在磁场、电场中运动的极值与临界问题，重点考查推理与论证能力.

[关键能力］推理论证能力

第(1)问,将电子在磁场内的运动进行分解

第(2)问

第(3)问，电子在电场中做斜抛运动，当运动到轨迹的最高点时，电子在 _y 轴正方向有最大位移

随手记

专题强化十五 带电粒子在叠加场中的运动

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 带电粒子在叠加场中的运动

“三步法”解决叠加场问题

例1（多选）（2024·安徽卷)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为 E ，磁感应强度大小为B.一质量为 m 的带电油滴 \boldsymbol{a} 在纸面内做半径为 R 的圆周运动，轨迹如图所示.当 a 运动到最低点 P 时，瞬间分成两个小油滴工、Ⅱ，二者带电量、质量均相同．BI在 P 点时与 a 的速度x方向相同，并做半径为3R 的圆周运动，轨迹如 x 图所示，Ⅱ的轨迹未画

出.已知重力加速度大小为 _{g} ，不计空气浮力与阻力以及工、Ⅱ分开后的相互作用.下列说法正确的是 (

A.油滴 a 带负电,所带电荷量的大小为 (m g)/(E)
B.油滴α做圆周运动的速度大小为"R
C.小油滴I做圆周运动的速度大小为3gBR, ，周期为4πEgB
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
听课笔记

例2如图,两个定值电阻的阻值分别为 R_{1} 和R_{2} ,直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为 ^{d} ，板长为 √(3)d ，极板间存在方向水平向里的匀强磁场.质量为 m 、带电量为 +q 的小球以初速度 \boldsymbol{v} 沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器.此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为_{g} ，忽略空气阻力.

试答

(1)求直流电源的电动势 E_{0}
(2)求两极板间磁场的磁感应强度 B
(3)在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球
离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小
值 E^{\prime}

【教你解决问题】

第(1)问：通过小球在叠加场中做圆周运动的条件进行分析.

第(2)问：分析小球在两极板间的圆周运动.

第(3)问：确定电场强度的最小值.

试答

练1（2024·贵州卷)如图，边长为 L 的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为 E 、方向竖直向下且与 a b 边平行的匀强电场 e f 右边有一半径为 {(√(3))/(3)}L 且与 e f 相切的圆形区域，切点为 e f 的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场.一带电粒子从 b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进人cdef区域，并沿直线通过该区域后进人圆形区域.所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力.求：

(1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小；(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进人圆形区域时速度方向的夹角.

考点二 STSE中的叠加场模型

考向1速度选择器

1.工作原理：平行板中匀强电场 E 和匀强磁场 B 互相垂直. E 与 B 的方向要匹配，带电粒子由左向右通过速度选择器，有如图甲、乙两种方向组合，带电粒子沿直线匀速通过速度选择器时有 q v B{=}q E

2.选择速度： v=(E)/(B)

注意：(1)只能选择粒子的速度,不能选择粒子的电性、电荷量、质量.(2)具有单一方向性：在图甲、乙中粒子只有从左侧射人才可能做匀速直线运动，从右侧射人则不能.

例3（多选)（2024·湖北 M- N卷)磁流体发电机的原理如 ×图所示,MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直 P Q于纸面向里.等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压.不计粒子的重力及粒子之间的相互作用.下列说法正确的是 (）

A.极板MN是发电机的正极
B.仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
C.仅增大等离子体的喷人速率，极板间的电压增大
D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密 度，极板间的电压增大

听课笔记

考向2磁流体发电机

例4第十四届夏季达沃斯论坛发布2023年度突破性技术榜单,列出最有潜力对世界产生积极影响的十大技术，这些新技术的应用正在给我们的生活带来潜移默化的改变.磁流体发电技术是目前世界上正在研究的新兴技术.如图所示是磁流体发电机示意图，相距为 d 的平行金属板 A\land B 之间的磁场可看作匀强磁场，磁感应强度大小为 B ，等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)以速度 \upsilon 垂直于 B 且平行于板面的方向进人磁场.金属板 A ,B 和等离子体整体可以看作一个直流电源.将金属板 A ,B 与电阻 R 相连，当发电机稳定发电时，假设两板间磁流体的等效电阻为 r ，则 A ,B 两金属板间的电势差为 （）

Bdu ;(3B d v)/(2(R+r))R A. R H R+r 2BduR D. 25BduR R+r

听课笔记

考向3电磁流量计

例5某学校安装了反渗透RO膜过滤净水器，经过过滤净化的直饮水进人了教室.净水器如果有反渗透 R O 膜组件，会产生一部分无法过滤的自来水，称为“废水”，或称“尾水”.“尾水”中含有较多矿物质及其他无法透过反渗透 R O 膜的成分，不能直接饮用，但可以浇花、拖地.该学校的物理兴趣小组为了测量直饮水供水处“尾水"的流量，将“尾水”接上电磁流量计，如图所示.已知流量计水管直径为 d ，垂直水管向里的匀强磁场磁感应强度大小为 B ，稳定后 M,N 两点之间电压为 U .则

A. M 点的电势低于 N 点的电势
B.“尾水"中离子所受洛伦兹力方向由 M 指向 N
C.“尾水"的流速为 (U d)/(B)
D.“尾水"的流量为 (U d)/(4π B)

听课笔记

考向4霍尔元件

例6把用金属导体制成的霍尔元件接入如图电路中，把电压表接在霍尔元件 a,b 极上，调节滑动变阻器使输人电流为 I （导体中可自由移动的是电子），又从左向右加垂直于板面的磁感应强度为 B 的匀强磁场，当电场力等于洛伦兹力时，电压表测出的霍尔电压为 U_{H} .下列判断正确的是 ( ）

A. a 极的电势高于 b 极的电势
B.只增大 B 的强度，则 U_{H} 跟着增大
C.只改变 I 的强度，则 U_{H} 跟 I 的平方成正比
D.同时改变B、I的方向，电压表指针会偏向另一边

听课笔记练2（2024·北京卷)我国“天宫"空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道.图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区

域)的示意图.放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d.阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进人.稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场,电场强度和磁感应强度大小分别为 E 和 B_{1} 还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等.放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为 R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注人的氙原子碰撞并使其电离.每个氙离子的质量为 M 、电荷量为 +e ，初速度近似为零.氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和.
已知电子的质量为 m 、电荷量为 -e ；对于氙离子，仅考虑电场的作用.
(1)求氙离子在放电室内运动的加速度大小 \boldsymbol{a} (2)求径向磁场的磁感应强度大小 B_{2}
(3)设被电离的氙原子数和进人放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为 _n ，求此霍尔推进器获得的推力大小 F

试答

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

学科探究问题情境

典例（2024·山东卷，节选)如图所示，在 O x y 坐标系 x>0 ,y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场.磁场中放置一长度为 L 的挡板，其两端分别位于 x ,y 轴上 M,N 两点， \angle O M N=60° ,挡板上有一小孔 K 位于 M N 中点. \triangle{O M N} 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场.位于 _y 轴左侧的粒子发生器在 \scriptstyle0 < y < L的范围内可以产生质量为m、电荷量为+q的无初速度的粒子.粒子发生器与 _y 轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进人磁场.挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力.

(1)求使粒子垂直挡板射入小孔 K 的加速电压U。；

(2)调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向.

试答

[试题立意］本题以带电粒子在电场与磁场的组合场、叠加场中运动为素材，创设了科学探究问题情境.主要考查圆周运动半径的极值问题、带电粒子在电场中的运动、带电粒子在匀强磁场中的运动等知识点，重点考查模型建构能力和推理论证能力.

[关键能力］（1)模型建构能力(2)推理论证能力

第十二章

电磁感应

常考热点

2026年命题预测

命题形式：联系实际情境或学习探索情境，以选择题、计算题形式出现的可能性较大，难度中等偏难.

必考热点：结合图像考查受力分析、电路分析、功能关系及电荷量、动量等是命题的热点.

热点情境：“发动机”“电磁枪”“电磁撬”等生活实际、前沿科技.

创新考点

2024·浙江1月第21题，考查电磁感应中的平衡、 .x{-}t 图像（生产科技、并跨学科跨模块一—以扫描隧道显微镜减振器为情境).

2024·北京卷第20题，考查单棒在平行金属导轨上平动切割磁感线问题（实际情境一一以电磁枪命题情境).

2024年广东第4题，考查法拉第电磁感应定律(生活实际情境一—电磁俘能器).

创新考法：跨学科、跨模块融合考查；依据教材中的某个素材，多考点融合创新设新的问题，开拓学生思维.联系教材中实际情景问题.结合前沿科学考查.

第1讲电磁感应现象楞次定律

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、电磁感应现象

考教衔接

1.电磁感应现象：当穿过闭合导体回路的 发生变化时，闭合导体回路中就产生感应电流.

2.产生感应电流的条件(1)导体回路(2)穿过导体回路的 发生变化.

1.【链接·人教版选择性必修第二册P29第1题】（2024·北京卷）如图所示，线圈 M 和线圈 P 绕在同一个铁芯上.下列说法正确的是 ( ）

A.闭合开关瞬间，线圈 M 和线圈 P 相互吸引

二、楞次定律

1.楞次定律：感应电流具有这样的 ，即感应电流的磁场总要 引起感应电流的的变化.

2.楞次定律中“阻碍"的含义

感应电流的磁场阻碍引起感应电流的磁场谁阻碍谁（原磁场）的磁通量的变化阻碍的是磁通量的变化，而不是阻碍磁通量阻碍什么本身当磁通量增加时，感应电流的磁场方向与原磁场的方向相反；当磁通量减少时，感应电如何阻碍流的磁场方向与原磁场的方向相同，即“增反减同”阻碍并不是阻止，只是延缓了磁通量的变化，阻碍效果 这种变化将继续进行

3.右手定则

伸开右手，使与其余四个手指垂
直，并且都与手掌在
让磁感线从掌心—，并使拇指指向的方向，这时四指所指的方
向就是 的方向.

B.闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0 C.断开开关瞬间，流过电流表的电流方向为由 \boldsymbol{a} 到 b D.断开开关瞬间，线圈 P 中感应电流的磁场方 向向左

感悟思考

2.【链接·人教版选择性必修第二册P37“思考与讨论”】

（多选）(2024·山东卷）如图所示，两条相同的半圆弧形光滑金属导轨固定在水平桌面上，其所在平面竖直且平行，导轨最高点到水平桌面的距离等于半径，最低点的连线 \boldsymbol{α} 与导轨所在竖直面垂直.空间充满竖直向下的匀强磁场(图中未画出)，导轨左端由导线连接.现将具有一定质量和电阻的金属棒MN平行 \boldsymbol{α} 放置在导轨图示位置，由静止释放.MIN运动过程中始终平行于 \boldsymbol{α} 且与两导轨接触良好，不考虑自感影响，下列说法正确的是 （）

A.MN最终一定静止于 O O^{\prime} 位置
B.MN运动过程中安培力始终做负功
C.从释放到第一次到达 O O^{'} 位置过程中， M N 的速率一直在增大
D.从释放到第一次到达 O O^{'} 位置过程中， M N 中电流方向由 M 到 N

感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 感应电流方向的判断

考向1感应电流有无的判断

例1下列关于甲、乙、丙、丁四幅图的说法,正确的是

A.图甲中，当两导体棒以相同的速度在导轨上匀速向右运动时，导体棒中能产生感应电流
B.图乙中，当导体棒 a b 在匀强磁场中以恒定的角速度转动时，导体棒中能产生感应电流
C.图丙中，当闭合圆环导体(水平放置)某一直径正上方的直导线中通有恒定电流时，闭合圆环

导体中能产生感应电流D.图丁中,当滑动变阻器的滑片 P 向右滑动时，不闭合的导体环中能产生感应电流

听课笔记

题后感悟

判断感应电流有无的方法

考向2应用楞次定律判断感应电流的方向

例2如图所示，在绝缘的水平面上,有闭合的两个线圈 a ,b ，线圈 a 处在匀强磁场中，线圈 b 位于右侧无磁场区域，现将线圈 \boldsymbol{a} 从磁场中匀速拉出，线圈 a ,b 中产生的感应电流方向分别是( ）

A.顺时针,顺时针 B.顺时针,逆时针 C.逆时针,顺时针 D.逆时针,逆时针

听课笔记

考向3应用右手定则判断感应电流的方向

例3下列图中表示闭合电路中的一部分导体 a b 在磁场中做切割磁感线运动的情境，导体 a b 上的感应电流方向为 a\tob 的是 (

听课笔记

题后感悟

判断感应电流方向的两种方法

(1)用楞次定律判断

(2)用右手定则判断
该方法适用于部分导体切割磁感线，判断时应注意掌心、四指、拇指的方向.

练1纸面内有 U 形金属导轨， A B 部分是直导线(如图所示).虚线范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场.AB右侧有圆线圈 C ，为了使 C 中产生顺时针方向的感应电流，紧贴导轨的金属棒 M N 在磁场里的运动情况是 (

A.向右匀速运动 B.向左匀速运动C.向右加速运动 D.向右减速运动

考点二 “三定则、一定律"的应用

1.“三定则、一定律”的比较

2.“三定则、一定律”的联系

(1)应用楞次定律时，一般要用到安培定则.(2)判断感应电流所受安培力方向的“两法”：① 先用右手定则确定电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向.

⊚ 直接应用楞次定律的推论确定——“来拒去留”“增缩减扩”等.

考向1楞次定律、安培定则及左手定则的综合应用

例4（2023·海南卷)汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈abcd，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视)方向电流,当汽车经过线圈时

A.线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B.汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为abcd
C.汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为abcd
D.汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同

听课笔记

考向2“二次感应"问题例5（多选)如图所示，水平放置的两条光滑轨道上有可自由移动的金属棒PQ、M N ,M N 的左边有一闭合电路，当PQ在一外力的作用下运动时，MN由静止开始向右运动，则PQ所做的运动可能是(

A.向右加速运动 B.向左加速运动C.向右减速运动 D.向左减速运动听课笔记练2如图所示，矩形金属线框abcd置于光滑的绝缘水平面上，直导线MN与 c d 平行放置且固定在水平面上，直导线 M N 与电源、滑动变阻器 R 开关 S 构成闭合回路.闭合开关S,将滑动变阻器的滑片从 e 端移到 f 端的过程中

A.线框abcd中有沿 a\tob\toc\tod\toa 方向的感应电流，在水平面上静止不动
B.线框abcd中有沿 a\tod\toc\tob\toa 方向的感应电流，沿水平面向右运动
C.线框abcd中有沿 a\tob\toc\tod\toa 方向的感应电流，沿水平面向右运动
D.线框abcd中有沿 a\tod\toc\tob\toa 方向的感应电流，在水平面上静止不动

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

楞次定律的推广应用

楞次定律中“阻碍”的含义可以推广为感应电流的效果总是阻碍引起感应电流的原因.具体表现常见如下几种形式：

(1)“来拒去留”— 阻碍相对运动（2）“增缩减扩” 使回路面积有缩小或扩大的趋势典例1 （阻碍相对运动-“来拒去留”如图所示，右端为N极的磁体置于粗糙水平桌面上并与轻质弹簧相连，弹簧一端固定在竖直墙面上，当弹簧处于原长时，磁体的中心恰好是接有一盏小灯泡的竖直固定线圈的圆心.用力将磁体向右拉到某一位置，撤去作用力后磁体穿过线圈来回振动，有关这个振动过程，以下说法正确的是 (

A.灯泡的亮暗不会发生变化
B.磁体接近线圈时，线圈对磁体产生排斥力
C.从左往右看线圈中的电流一直沿逆时针方向
D.若忽略摩擦力和空气阻力，磁体振动的幅度不会减小

听课笔记

典例2（使回路面积有变化趋势——“增缩减扩”)(多选)如图，圆环形导体线圈 \boldsymbol{a} 平放在水平桌面上,在 a 的正上方固定一竖直螺线管 b ,二者直径相同、轴线重合，螺线管与电源、滑动变阻器连接成如图所示的电路.若将滑动变阻器的滑片 P 向上滑动，下列说法正确的是 (

A.线圈 a 中将产生顺时针方向(俯视)的感应电流
B.穿过线圈 \boldsymbol{a} 的磁通量变大
C.线圈 a 有扩张的趋势
D.线圈 a 对水平桌面的压力大于自身重力

听课笔记

第2讲法拉第电磁感应定律自感现象

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、法拉第电磁感应定律

1.感应电动势：在 现象中产生的电动势.产生感应电动势的那部分导体就相当于

2.法拉第电磁感应定律

(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的 成正比.
(2)公式： E= .=n B\;(\Delta S)/(\Delta t)=n\;(\Delta B)/(\Delta t)S s,其中n为线圈的匝数.

3.导线切割磁感线的情形

(1)若 B ,l ,v 相互垂直，则 E= (2)若导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁场方向的夹角为 θ ,则 E{=} B l v\sinθ,

二、自感和涡流电磁阻尼与电磁驱动

1.自感现象

(1)概念：当一个线圈中的电流变化时，它所产生的的磁场在线圈本身激发出 ，这种现象称为自感。

考教衔接

(2)自感电动势 —→满足法拉第电磁感应定律
① 定义：由于自感而产生的感应电动势叫作
⊚ 表达式： E=
(3)自感系数 L
① 相关因素：与线圈的 、形状、匝数，以及是否有铁芯等因素有关.
⊚ 单位：享利(H)， 1\ mH= H {,}1_{\mu}H=10^{-6}\ H.

2.涡流

当线圈中的电流发生变化时，在它附近的另一个线圈中可能会产生感应电流，这种电流，看起来就像水中的漩涡，所以把它叫作涡电流，简称涡流.

3.电磁阻尼和电磁驱动

1.【链接·人教版选择性必修第二册P46第6题两题创设情境、题图及思维方法十分相似.】

（2024·甘肃卷）如图,相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为 R 的电阻相连，处在磁感应强度大小为 B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为 L 的导体棒 a b 沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为 \upsilon_{\ast} ，则导体棒 a b 所受的安培力为 （）

A. B²d²,方向向左B. B²d²,方向向右C. BL²,方向向左D. B²L²,方向向右

2.【链接·人教版选择性必修第二册P36图2.3-3】

（2024·甘肃卷）工业上常利用感应电炉冶炼合金，装置如图所示.当线圈中通有交变电流时，下列说法正确的是

A.金属中产生恒定感应电流
B.金属中产生交变感应电流
C.若线圈匝数增加，则金属中感应电流减小
D.若线圈匝数增加，则金属中感应电流不变

感悟思考