!\"#$%\&'( 周期变化 ! !\"# 任意角 $ !\"# 弧度制 # !\"\" ! 综合过关 % !\"% 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 \& !\"' 单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数定义 \& !\"' 单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 \& !\"' 诱导公式与对称 !( !\"\& 诱导公式与旋转 !( !\"\& 综合过关 !) !%( 正弦函数 余弦函数的图象与性质再认识 !\" !%! 正弦函数的图象与性质再认识 !\" !%! 余弦函数的图象与性质再认识 !' !%) 函数 的性质与图象 $( !%\" 正切函数 $# !%\& 正切函数的定义 $# !%\& 正切函数的诱导公式 $# !%\& 正切函数的图象与性质 $\" !%\& ! 综合过关 $\& !'! 专题 三角函数的图象与性质 )! !'# 三角函数的简单应用 )$ !'# 综合专练 )# !'\" 突破高考 )% !'% 第一章综合测试 )\& !'' !)#$*+,-./01 从位移 速度 力到向量 #! !'* 位移 速度 力与向量的概念 #! !'* 向量的基本关系 #! !'* 从位移的合成到向量的加减法 ## !\&( 向量的加法 ## !\&( 向量的减法 #\" !\&( 从速度的倍数到向量的数乘 #' !\&! 平面向量基本定理及坐标表示 #* !\&) 平面向量基本定理 #* !\&) 平面向量及运算的坐标表示 \"! !\&# ! 综合过关 \") !\&\" 从力的做功到向量的数量积 \"\" !\&' 向量的数量积 \"\" !\&' 向量数量积的坐标表示 \"' !\&\& 利用数量积计算长度与角度 \"' !\&\&

平面向量的应用 \"* !*( 余弦定理与正弦定理 \"* !*( 第 课时 余弦定理 \"* !*( 第 课时 正弦定理 %! !*$ 平面向量在几何 物理中的应用举例 %) !*) ! 综合过关 %\" !*\" 专题 正弦定理 余弦定理的应用 %' !*' 综合专练 %* !*\& 突破高考 '! !** 第二章综合测试 ') $(! 第一 二章滚动测试 '\" $($ !%#$(23456 ) 建筑物高度的测量 '\& $(# 测量和自选建模作业的汇报交流 '\& $(# 第一 三章滚动测试 \&! $(\" !7#$%\&89:; 同角三角函数的基本关系 \&# $(' 两角和与差的三角函数公式 \&% $(\& 两角和与差的余弦公式及其应用 \&% $(\& 两角和与差的正弦 正切公式及其应用 \&' $(* 三角函数的叠加及其应用 \&\& $!( 积化和差与和差化积公式 \&* $!! 二倍角的三角函数公式 *! $!$ ! 综合过关 *# $!# 综合专练 *% $!% 突破高考 *' $!' 第四章综合测试 !(( $!\& 第一 四章滚动测试 !($ $$( !<#$=$( 复数的概念及其几何意义 !(# $$! 复数的概念 !(# $$! 复数的几何意义 !(\" $$$ 复数的四则运算 !(% $$$ 复数的加法与减法 !(% $$$ 复数的乘法与除法 !(' $$) 复数乘法几何意义初探 !(' $$) 与 综合过关 !(* $$# 复数的三角表示 !!! $$\" 综合专练 !!$ $$% 突破高考 !!# $$' 第五章综合测试 !!\" $$' 第一 五章滚动测试 !!' $$\&

!\"#$%\&'()* 基本立体图形 !\"# \"$# 构成空间几何体的基本元素 !\"# \"$# 简单多面体 棱柱 棱锥和棱台 !\"# \"$# 简单旋转体 球 圆柱 圆锥与圆台 !\"! \"$# 直观图 !\"$ \"$! 与 综合过关 !\"% \"$\" 空间点 直线 平面之间的位置关系 !\"\& \"$$ 空间图形基本位置关系的认识 !\"\& \"$$ 刻画空间点 线 面位置关系的公理 !\"' \"$$ 平行关系 !\"( \"$% 直线与平面平行 !\"( \"$% 平面与平面平行 !$# \"$) 垂直关系 !$\" \"$\& 直线与平面垂直 !$\" \"$\& 平面与平面垂直 !$$ \"$\& ! 综合过关 !$\& \"$' 简单几何体的再认识 !%# \"$( 柱 锥 台的侧面展开与面积 !%# \"$( 柱 锥 台的体积 !%# \"$( 球的表面积和体积 !%! \"%# 综合过关 !%$ \"%\" 专题 空间几何体的体积及其应用 !%) \"%$ 综合专练 !%\& \"%% 突破高考 !%* \"%) 第六章综合测试 !%( \"%\& 模块综合测试 !)\" \"%'

!第一章!三角函数! ! '!某广场从左向右依次挂着一 排 小彩 灯 每两盏蓝灯之 间 按 \"!\"#$ 顺序有红灯 黄灯 绿 灯 各 一 盏!若 左 边 第 一 盏 灯 是 蓝 灯 周期现象的定义理解 那 么 第 ,\& 盏 灯 是 ! ! '(红 灯 )(蓝 灯 *(黄 灯 +(绿 灯 !! %\&%\& 山东日 照 高 一 上 检 测 多 选 下 列 变 化 中 是 周 期 (!把扑克牌按照红桃%张 梅花/张 方 块 \" 张 黑 桃 % 张 的 现象的是 ! ! 顺 序 连 续 排 列 着 则 第 10 张 牌 的 花 色 是 ! '( 春 去 春 又 回 )! %\&%\& 江西师 大 附 中 高 一 上 周 测 已 知 地 球 的 自 转 周 期 )(钟 表 的 分 针 每 小 时 转 一 圈 约为%$小时 其绕太阳的公转周 期 约 为 /0#天!木 星 的 自 *(天 干 地 支 表 示 年 月 日 的 时 间 顺 序 转 周 期 约 为 \"\& 小 时 公 转 周 期 约 为 \"% 年 ! +(某 同 学 每 天 上 学 的 时 间 \" 如 果 地 球 自 转 # 周 那 么 木 星 自 转 周 \"! 下列现象是周期现象的是 ! ! % 如 果 在 木 星 上 生 活 \"\& 年 那 么 等 于 在 地 球 上 生 活 ! 日 出 日 落 \" 潮 汐 # 海 啸 $ 地 震 ! 年! '!(!!!\"! ! ! ! ! ! ! ! !)!(!!!\"!#! ! !*! 如 图 \"\"/ 所 示 的 是 一 个 单 摆 振 动 图 象 根 据 *(! \" $ +(# $ 图 象 回 答 下 面 问 题 #! %\&%\& 河南安 源 一 中 高 一 上 周 测 若 近 似 认 为 月 球 绕 地 球公转与地球绕太阳公转的轨 道在 同一 平面 内 且 均 为 正 圆 又知这两种转动同向 如 图 \"\"\" 所 示 月 相 变 化 的 周 期为%,!#天 下图是相继两次 满月 时 月 地 日 相 对 位 置 的示意图 !则月球绕地球一周所用的时间 # 为 !! 图 \"\"/ \" 单 摆 的 振 动 是 周 期 现 象 吗 % 若 是 周 期 现 象 其 振 动 的 周 期 是 多 少 / 单 摆 离 开 平 衡 位 置 的 最 大 距 离 是 多 少 '(%$!#天 图 \"\"\" +(%$天 )(%,!#天 *(%-!#天 应用周期规律解释实际问题 $! %\&%\& 福 建 福 安 一 中 高 一 月 考 如 图 \"\"%所示 一个质 点 在 平 衡 位 置 $ 点 附 近摆动 如果不计阻力 可 将 此 摆 动 看 作 图 \"\"% !!! %\&%\& 陕 西 镇 安 中 学 高 一 上 周 测 %\&%\& 年 # 月 \" 日 是 星 期 五 则 %\&%\& 年 \"\& 月 \" 日 是 星 期 几 周期运动 若 质 点 从 $ 点 开 始 向 左 摆 动 时开始 计 时 且 周 期 为 \". 则 质 点 第 # ! ! 次经过$ 点所需要的时间为 '(\"!#. )(%. *(%!#. +(/. %! %\&%\& 江苏无锡一中高一月 考 按 照规 定 奥 运 会 每 $ 年 举行一次!%\&\&-年夏季 奥 运 会 在 北 京 举 办 那 么 下 列 年 份 中不举办夏季奥运会的应该是 ! ! '(%\&\"% )(%\&\"0 *(%\&%1 +(%\&%- \&! %\&%\& 陕西镇安中学高一月 考 如 果今 天 是星 期 五 那 么 #- 天 后 的 那 一 天 是 星 期 ! ! '(五 )(六 *(日 +(一 !!

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! \" \"!\"#$ 角的终边对称问题 )! %\&%\& 四川江阴中学高一上周测 若角% 和角\& 的终边关 任意角的概念 于/ 轴对称'则角% 可以用角\& 表示为 !! ! \" !! %\&%\& 山东日照 高 一 上 检 测 射 线 $% 绕 端 点$ 逆 时 针 '(**/0\&2)\&!*\& \" )(**/0\&2(\&!*\& \" 旋转\"%\&2到达 $\& 位置'由 $\& 位置顺时针旋转 %1\&2到 达 *(**\"-\&2)\&!*\& \" +(**\"-\&2(\&!*\& \" $' 位置'则#%$' 等于 !! ! \" !*! %\&%\& 山西康杰中学高一上 月 考 角% 与 角\& 的 终 边 关 '!(!\"#!\&2! ! ! ! ! ! ! ! !)!(!(\"!#\&!2! ! 于. 轴对称'则% 与\& 的关系为 !! ! \" '(%)\&+**/0\&2'*\& *(/,\&2 +((/,\&2 )(%)\&+**/0\&2)\"-\&2'*\& \"! 易错题 某 人 从 家 步 行 到 学 校'一 般 需 要 \"\& 分 钟'则 \"\& *(%(\&+**/0\&2)\"-\&2'*\& 分钟钟表的分针走过的角度是 !! ! \" '(/\&2 )((/\&2 +(%(\&+**/0\&2'*\& *(0\&2 +((0\&2 !!! %\&%\& 河北石家庄二中高一上月考 %+**/0\&2)''\&+0* /0\&2('!*'0\& \"'则角%与\&的终边的位置关系是 !!!\" #! %\&%\& 山东烟 台 一 中 高 一 上 周 测 小 明 今 天 做 数 学 练 习 '(重 合 )(关 于 原 点 对 称 恰好用了\"\&\&分钟'则经过这\"\&\&分钟 分 针 转 过 的 角 度 是 *(关于/ 轴对称 +(关于. 轴对称 ! !\"! %\&%\& 黑龙江大庆实验中学 高 一 上 期 中 已 知' 为 小 于 终边相同的角 /0\&2的 正 角'这 个 角 的 $ 倍 与 这 个 角 的 终 边 关 于 / 轴 对 $! 多 选 下 列 各 角 中 '与 0\&2角 终 边 相 同 的 角 是 !! ! \" 称 '那 么'+ ! '((/\&\&2 )((0\&2 区域角 *($%\&2 +(\"/-\&2 !#! %\&%\& 吉林梅河口博 文 学 校 高 一 上 月 考 如 图 \"\"$ 所 示'终边落在阴影部分!含边界\"的角的集合是 !!!\" %! %\&%\& 河南开封二中检测 把 (\"$-#2转化为%)**/0\&2 '(+%'($#2$%$\"%\&2, )(+%'\"%\&2$%$/\"#2, !\&2$%%/0\&2'*\& \"的 形 式 是 !! ! \" *(+%'**/0\&2($#2$%$**/0\&2)\"%\&2'*\& , +(+%'**/0\&2)\"%\&2$%$**/0\&2)/\"#2'*\& , '($#2($3/0\&2 )(($#2($3/0\&2 *(($#2(#3/0\&2 +(/\"#2(#3/0\&2 \&! %\&%\& 山 东 烟 台 高 一 上 统 考 设 %+ +%'%+$#2)** /0\&2'*\& ,'\&+ +%'%+%%#2)**/0\&2'*\& ,''+ +%'%+ $#2)**\"-\&2'*\& ,',+ +%'%+ (\"/#2)**/0\&2'*\& ,' -+ +%'%+$#2)**/0\&2或%+%%#2)**/0\&2'*\& ,'则 相 等的集合为 ! '! %\&%\& 福建泉州一中高一上月考 与 %\&\"-2终边 相同的 最 小正角是 '与 %\&\"-2终 边 相 同 且 绝 对 值 最 小 的 角 是! !! (! %\&%\& 江 西 吉 水 一 中 高 一 上 月 考 写 出 终 边 落 在 直 线 .+ 图 \"\"$ 图 \"\"# 槡// 上的角的集合! !$!已知角% 的终边在图\"\"#中阴影所表示的范围内!不包 括 边 界 \"'那 么%\& ! !%! %\&%\& 山东枣庄高一上联考 易 错 题 已 知 角% 的 终 边 在图\"\"0中阴影表示的范 围 内!不 包 括 边 界\"'那 么 角% 的集合是 ! 图 \"\"0 !\"

!第一章!三角函数! !\&!在平面直角坐 标 系 中'画 出 下 列 集 合 所 表 示 的 角 的 终 边 !)! %\&%\& 湖南长沙雅礼中学高一上周测 若( 是第二 象 限 所 在 区 域 !用 阴 影 表 示 \"! !\"\"+%'**/0\&2$%$\"/#2)**/0\&2'*\& ,\& 角 '则 ( 和 ,\&2(( 都 不 是 !! ! \" !%\"+%'**\"-\&2$%$\"/#2)**\"-\&2'*\& ,! % '(第 一 象 限 角 )(第 二 象 限 角 *(第 三 象 限 角 +(第 四 象 限 角 \"*! %\&%\& 湖 北 武 汉 高 一 上 期 末 联 考 在 \&2)/0\&2范 围 内( 与 (\"\&\&\&2角 终 边 相 同 的 最 小 正 角 是 '是 第 象限角! \"!!已知角%% 的终边在/ 轴 的 上 方'那 么% 是 第 象 限角! \"\"! %\&%\& 西 北 师 大 附 中 高 一 上 月 考 已 知%+ (\",\"\&2! !\"\"将% 写成\&)**/0\&2!*\& '\&2$\&%/0\&2\"的 形 式'并 指出% 所在象限\& !%\"求''使'与% 终边相同'且(1%\&2$'%\&2! !'! %\&%\& 广 西 百 色 中 学 高 一 上 周 测 如 图 \"\"1 所示! !\"\"分别写出终边落在 $%'$\& 位置上的角的集合\& !%\"写 出 终 边 落 在 阴 影 部 分 !包 括 边 界 \"的 角 的 集 合 ! \"#! %\&%\& 北 京 人 大 附 中 高 一 上 周 测 !\"\"我 们 知 道 若%+ \"$\&2'(%%\&2时 '其 终 边相 同 '均 为 第 二 象 限 角 '则 % 是 % 图 \"\"1 第几象限角) !%\"若% 为 第二 象 限角 '则 % 是 第 几象 限角 ) % 判断角的终边所在的象限 !(! 多选 若% 为第二象 限 角'则**\"-\&2)%!*\& \"的 终 边 所在的象限是 !! ! \" '(第 一 象 限 )(第 二 象 限 *(第 三 象 限 +(第 四 象 限 !#

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! )*+ !# 弧度制表示特征角 !! ! \" \"!\"## '!终边在第三象限的角平分线上的角% 的集合为 弧度制的概念 + ,'(% %+%*!)/$!!*\& \" + ,)(% %+%*!) #$!!*\& \" !! %\&%\& 山东日照一中高一 上月 考 多选 下列 说 法 中'错 误的是 !! ! \" '!(!一!弧!度!是!一!度!的!圆!心!角!所!对!的!弧! ! ! + ,*(% ! )(一 弧 度 是 长 度 为 半 径 的 弧 %+%*!( $ !*\& \" *(一 弧 度 是 一 度 的 弧 与 一 度 的 角 之 和 + ,+(% %+*!) $/!!*\& \" +(一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角'它是角 的 (! %\&%\& 河 北 邯 郸 一 中 高 一 下 月 考 (%\",%!的 终 边 所 在 的 象 一种度量单位 \"! %\&%\& 湖南株洲一中高一上 周测 下 列 各种说 法 中'错 误 限是 !! ! \" 的是 !! ! \" '(第 一 象 限 )(第 二 象 限 '(#度 $与 #弧 度 $是 度 量 角 的 两 种 不 同 的 度 量 单 位 *(第 三 象 限 +(第 四 象 限 的/\"0\&'\"456 的 角 角的\" )! %\&%\& 浙 江 镇 海 中 学 月 考 下 列 各 对 角 中 终 边 相 同 的 是 %! )(\"2的 角是 周角 是周 !! ! \" *(根据弧度的定义'\"-\&2的角一定等于 !456的角 '(%! 和 ( ! )%*!!*\& \" +(不论是用角度制还是用弧度制度量角'它们都 与圆的 半 % 径长短有关 )(( ! 和%%! / / #! %\&%\& 广西师大附中高一上 月考 将 表 的分 针 拨 慢 \"\& 分 *((1,!和\"\",! +((%\&,!和\"%,%! 钟 '则 分 针 转 过 的 角 的 弧 度 数 是 ! 角度与弧度的互化 $! %\&%\& 江 西 九 江 一 中 高 一 上 月 考 把 (\"\"%#2化 成%)%*! !*! %\&%\& 黑龙江哈尔滨三中高 一 下 月 考 若 角' 的 终 边 与 !\&$%%%!'*\& \"的 形 式 是 !! ! \" -!的 终 边 相同 '则 在-\&'%!\"内 终 边 与 角 ' 的 终 边 相 同 的 # $ '(( ! (0! )(1$!(0! 角是 ! $ !!!已 知%+\"0,\&2! +(1$!(-! *(( ! (-! !\"\"把% 写成%*!)\&!其 中*\& \"'\&\&-\&'%!\"的 形 式 为% $ +\& %! %\&%\& 宁夏石 嘴 山 三 中 高 一 下 期 中 下 列 转 化 结 果 错 误 的是 !! ! \" !%\"求''使'与% 的终边相同'且'\&!($!'(%!\"'则'+ 度 是/! ! - '(012/\&1化 成弧 !\"! %\&%\& 湖南长 郡 中 学 高 一 上 月 考 易 错 题 !\"\"/\&\&2化 )((\"\&/!化 成 度 是 (0\&\&2 为弧度是 \& *((\"#\&2化 成 弧 度 是 (10! !%\"(#0!化 为 度 是 \& !/\"终 边 落 在 如 图 \"\"- 所 示 的 阴 影 部 分 !包 括 边 界 \"的 角 +(\"!%化 成 度 是 \"#2 %的集合是 ! \&! %\&%\& 河南信阳一中 二中等 校 高一 下 期中联考 下 列 各 式不正确的是 !! ! \" '((%\"\&2+ (10! )($\&#2+,$! *(//#2+%\"/%! +(1\&#2+$\"1%! 图 \"\"- !$

!第一章!三角函数! !#! %\&%\& 陕西榆林一中 高 一下 月考 利用 弧 度 制 !(! %\&%\& 广 东 顺 德 一 中 高 一 下 期 中 已 知 扇 形 的 周 长 为 09:'面 积 为 %9:%'求 扇 形 圆 心 角 的 弧 度 数 ! 写出角 的 终 边 在 图 中 !如 图 \"\", 所 示 和 如 图 \"\"\"\& 所 示 \"阴 影 区 域 内 !包 括 边 界 \"的 角 的 集 合 ! !\"\" ! ! !%\" 图 \"\", 图 \"\"\"\& !)!!\"\"已 知扇 形 $%\& 的 圆心 角 为%!'半 径 为 0'求 扇 形 弧 长 / 及所含弓形的面积! !%\"已知扇形周长 为 %\&9:'当 扇 形 的 圆 心 角 为 多 大 时 它 扇形的弧长及面积公式 有最大面积) !$! %\&%\& 福建三明三地三校高一上期末联考 已知%弧度的圆 心角所对的弦长为%'那么这个圆心角所对的弧长是 !!!\" '(% )(.78% *(.78%\" +(%.78\" !%! %\&%\& 河 南 名 校 联 盟 调 研 考 试 高 一 下 三 联 半 径 为 %9:'圆 心 角 为%!的 扇形 面积 为 !! ! \" / '(/! 9:% )(%/!9:% *($/!9:% +(-/!9:% !\&! %\&%\& 安徽怀远一中 蒙城一中 淮南一中 颍上一中 涡阳 一中五校高三联考 .掷铁饼者/取材于希腊的现实生活中的 体育竞技活动'刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最 具有表现力的瞬间!如图\"\"\"\"所示'现在把掷铁饼者张开 \"*!单位圆上两个动点 2'3 同 时 从 点4!\"'\&\"出 发'沿 圆 周 的双臂近似看成一张拉满弦的#弓$'掷铁饼者的手臂长约为 运 动 '点 2 按! 4561.的 速 度 逆 时 针 方 向 旋 转'点 3 按 0 ! 米'肩宽约为 ! 米'#弓$所在圆的半径约为\"!%#米'你估测 $ - ! / 4561.的 速 度 顺 时 针 方 向 旋 转 '试 求 它 们 出 发 后 第 一 一下掷铁饼者 双 手 之 间 的 距 离 约 为 !参 考 数 据(槡%(\"!$\"$' 次相遇时各自转过的弧度! 槡/(\"!1/%\" !! ! \" '(\"!\&\"%米 )(\"!10-米 *(%!\&$/米 +(%!,$#米 !!!! 图 \"\"\"\" 图 \"\"\"% !'! %\&%\& 山东德州高一上期末 如图\"\"\"%所示'点 %'\&' ' 是圆$ 上 的 点 '且 %\&+$'#%'\&+ ! '则 劣 弧%0\&的 长 0 为! !%

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! !!,!# ./01 角度制与弧度制混用致误 \"!\"#0 #!求 图 \"\"\"/ 中 阴 影 区 域 所 表 示 的 角 的 集 合 !含 边 界 \"! 在直角坐标系内讨论角 !! %\&%\& 河 南 郑 州 一 中 高 一 上 检 测 与 (%0#2终 边 相 同 的 角 为 !!!\" '!(!,#2! ! ! !)!(!(,!#2! ! !*!(-!#2! ! ! !+((-#2 \"! %\&%\& 湖南永州 三 中 高 一 上 月 考 已 知 角%'\& 的 终 边 相 同 '则%(\& 的 终 边 在 ! 图 \"\"\"/ #! %\&%\& 江西赣州八中期中 已 知 点 4!\&'(\"\"在 角% 的 终 边上'则所有角% 组成的集合5+ ! 弧度制下扇形面积 弧长公式中角度使 用角度制致误 几种范围角的表示法 $! %\&%\& 河 南 商 丘 二 中 高 一 上 期 末 给 出 下 列 四 个 命 题( $!用/\&9: 长 的 铁 丝 围 成 一 个 扇 形'应 怎 样 设 计'才 能 使 扇 !(\"#2是第四 象 限 角\&\"\"-#2是 第 三 象 限 角\&#$1#2是 第 形的面积最大) 最大面积是多少) 二象限角\&$(/#\&2是 第 一 象 限 角!其 中 正 确 命 题 的 个 数 是 !!!\" '(\" )(% *(/ +($ %! %\&%\& 湖南永州一中高一上期中 下 列 说法(! 相 差 /0\&2 整数倍的两个 角'其 终 边 不 一 定 相 同\&\" +%'% 是 锐 角,) +\&'\&2$\&%,\&2,\&# 小 于 ,\&2的 角 不 一 定 是 锐 角\&$ 锐 角 都 是第一象限的 角!其 中 正 确 的 说 法 是 !填 上 所 有 正 确 的 序 号 \"! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 建 议 用 时 $# 分 钟 \" !\"#0 \&! %\&%\& 山东烟台一中高一下 期中 下 列 命题(! 第 一 象 限 的角 一 定 为 正 角\&\" 第 一 象 限 的 角 小 于 第 二 象 限 的 角\& !! %\&%\& 河北石 家 庄 二 中 高 一 上 周 测 改 编 多 选 下 列 命 #相等的角终边一定相同\&$若,\&2$%$\"-\&2'则% 是第二 题错误的是 !! ! \" 象 限 角 !其 中 正 确 的 是 ! '(终边相同的角一定相等 )(第一象限角都是锐角 *(锐角都是第一象限角 +(小于,\&2的角都是锐角 \"!\"#0 \"! %\&%\& 宁 夏 固原 一中 高一 上 期 末 把 \" 化 成 小 数 '小 数 点 1 把关于. 轴对称片面认为关于. 轴的正 半轴对称 后 第 %\& 位 是 !! ! \" '(\" )(% *($ +(- #! %\&%\& 广 西 百 色 高 一 上 期 末 联 考 已 知 集 合 4 + !!已知%'\& 角 的 终 边 关 于 . 轴 对 称'则 % 与\& 的 关 系 为 + ,% %+*%!!*\& \" '则下列集合与集合4 相等的是 !!!\" ! + ,'(% ! 混淆半角 倍角范围致错 %+*!) % !*\& \" )(+%'%+*!!*\& \", \"!!\"\"已 知% 为第 三象 限 角 '判 断 % '%% 的终 边 所在 位置 \& + ,*(% ! % %+%*!) % !*\& \" !%\"若%+($'判断% 是第几象限角! + ,+(% ! %+*!或%+*!) % !*\& \" $! %\&%\& 吉 林 长 春 二 中 月 考 给 出 下 列 四 个 命 题 (! (1#2角 是 第 四 象 限 角 \&\"%%#2角 是 第 三 象 限 角 \&#$-\&2角 是 第 二 象 限角\&$(/\"#2角是第一象限角!其中真命题有 !!!\" '(\"个 )(%个 *(/个 +($个 %!时钟的分针在\"点到/点%\&分 这 段时 间里转 过 的 弧 度 数 为 !!!\" '(\"/$! )((\"/$! *(\"1-! +((\"1-! !\&

!第一章!三角函数! \&! %\&%\& 河南南阳一中高一上周测 若% 是 第 三 象 限 角'则 !%! %\&%\& 河南南阳六校高一下联 考 已 知扇形 的 圆 心 角 为 %'所 在 圆 的 半 径 为7! %是 !! ! \" !\"\"若%+\"%\&2'7+0'求 扇 形 的 弧 长 ! % !%\"若扇形的周长为 %$'当% 为 多 少 弧 度 时'该 扇 形 面 积 5 最大) 并求出最大面积! '(第 一 或 第 三 象 限 角 )(第 二 或 第 三 象 限 角 *(第 一 或 第 三 象 限 角 +(第 二 或 第 四 象 限 角 '! %\&%\& 河北邯 郸 一 中 高 一 上 月 考 易 错 题 一 个 半 径 为 6 的扇形'它的周长是$6'则这个扇形所含弓形的面积是 !! ! \" '(!%;.78\"9<.\"\"6% )(6%.78\"9<.\" *(6% +(6%(6%.78\"9<.\" (! %\&%\& 山东六 地 部 分 学 校 高 三 线 上 联 考 .九 章 算 术/是 我国古代数学名 著'其 中 有 这 样 一 个 问 题(#今 有 宛 田'下 周三十步'径十 六 步'问 为 田 几 何)$意 思 说(现 有 扇 形 田' 弧长三十步'直 径 十 六 步'则 面 积 是 多 少) 书 中 给 出 计 算 方法(以径乘周'四而一'即扇形 的面积 等 于直 径 乘 以 弧 长 再除以$!在此问题中'扇形的圆心角的弧度数是 !!!\" '(\"$# )(\"-# *(\"$# +!\"%\& )! %\&%\& 四川雅安中学月考 集合 %++%'%+**,\&2(/02' *\& ,'\& + +\&' ( \"-\&2%\& % \"-\&2,'则 % * \& + ! !*!一个质点'在平衡位置 $ 点附近振动' 如果不 考 虑 阻 力'可 将 此 振 动 看 作 周 期运动'如图\"\"\"$所示'从 $ 点开始 计时'质点向左 运 动 第 一 次 到 达 2 点 !\&! %\&%\& 山西平遥一 中 高 一 上 月 考 如 图 \"\"\"0 所 示'一 只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一 个 单位 圆!半 径为 \"的 圆\"上 用了\&!/.'又 经 过 \&(%.第 二 次 通 过 爬动'两只蚂蚁均从 点 %!\"'\&\"同 时 逆 时 针 匀 速 爬 动'红 蚂蚁每秒爬过% 角'黑蚂蚁每 秒 爬 过\& 角!其 中 \&2%%%\& 2 点'则半周期为 \&质 点 第 三 图 \"\"\"$ %\"-\&2\"'如果两只蚂蚁 都 在 第 \"$.时 回 到 % 点'并 且 在 第 %.时 均 位 于 第 二 象 限 '求%'\& 的 值 ! 次通过 2 点'还 要 经 过 的 时 间 可 能 是 .! !!! %\&%\& 山东德州一中月考 若%+\"0,\&2'角'与% 终边相 同 '且 (/0\&2%'%/0\&2'则'+ ! !\"! %\&%\& 河北衡水枣强中学高一 上月 考 圆 的一 段 弧 长 等 于该圆外切正三 角 形 的 边 长'则 这 段 弧 所 对 圆 心 角 的 弧 度数是 ! !#!若 角% 的 终 边与 角 ! 的终 边 关 于 直 线 .+/ 对 称 '且%\& 0 !($!'$!\"'则% 的值为 ! !$! %\&%\& 广西北海模拟 如 图 \"\"\"# 所 示'游 乐 场 中 的 摩 图 \"\"\"0 天轮匀速旋转'每转一 圈 需 要 \"% 分 钟'其 中 心 $ 距 离 地 面$\&!#米'半径 $\& 米!如 果 你 从 最 低 处 登 上 摩 天 轮'那 么你与地面的距 离 将 随 时 间 的 变 化 而 变 化'以 你 登 上 摩 天 轮 的 时 刻 开 始 计 时 '请 解 答 下 列 问 题 ( !\"\"你与地面的距离随时间 的 变化 而 变化'这 个 现 象 是 周 期现象吗) !%\"转 四 圈 需 要 多 少 时 间 ) !/\"你 第 四 次 距 地 面 最 高 需 要 多 少 时 间 ) !$\"转 0\& 分 钟 时 '你 距 离 地 面 是 多 少 ) 图 \"\"\"# !'

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! !$ 23456734589:;<=> ! ! \"#$%\&'()*+,-./+,-01 ! ! \"#$%*+,-./+,-)2345 '! %\&%\& 江西丰城 一 中 高 一 上 周 测 已 知 角% 的 终 边 在 直 \"!\"#1 线.+%/ 上'求角% 的正弦值和余弦值! 任意角的正弦 余弦函数 !! %\&%\& 河南郑州 外 国 语 学 校 高 一 下 月 考 若 角% 的 终 边 ! \"过点 \" '槡/ '则9<.% 的值为 !! ! \" %% '!(!\"%! ! ! !)!(!槡%/! ! !!!!! !! !+(槡// *(槡/ \"! %\&%\& 河 南 长 垣 十 中 高 一 下 期 中 角 % 的 终 边 经 过 点 !%'(\"\"'则.78%)9<.% 的值为 !! ! \" '((/#槡# )(/#槡# *((槡## +(槡## #! %\&%\& 安 徽 合 肥 九 中 高 一 上 期 中 角 % 的 终 边 经 过 点 4!(8'$\"且 9<.%+ ( / '则8 的值 为 !! ! \" 判断三角函数值的符号问题 # '(/ )((/ *(9/ +(# (!若% 是第二象限角'则点 4!.78%'9<.%\"在 !! ! \" $! %\&%\& 四川蓉城 名 校 联 盟 高 一 上 期 中 联 考 设% 是 第 二 '(第 一 象 限 )(第 二 象 限 象限角'4!/'$\"为其终边上的一点'且9<.%+ \"#/'则.78% *(第 三 象 限 +(第 四 象 限 等于 !! ! \" )! %\&%\& 山 东 济 宁 一 中 高 一 上 期 末 已 知 9<.'*.78'%\&' '($# / *(/# $ 那 么 角' 是 !! ! \" # # )(( +(( '(第 一 或 第 二 象 限 角 %! %\&%\& 四川德阳 中 学 高 一 月 考 若 点 4!%0'(/0\"!0% )(第 二 或 第 三 象 限 角 \&\"在角% 的终边上'则.78%+ '9<.%+ ! *(第 二 或 第 四 象 限 角 \&!已知 角' 的 终 边 上 有 一 点 2 !/'0\"'且 .78')9<.'+ +(第 一 或 第 四 象 限 角 ( \" '求 0 的值 ! !*! %\&%\& 黑龙江 铁 人 中 学 高 一 上 期 末 下 面 $ 个 实 数 中' # 最小的数是 !! ! \" '(.78\" )(.78% *(.78/ +(.78$ !!! %\&%\& 安徽安庆高一上联 考改 编 多 选 下 列 说 法 正 确 的是 !! ! \" '(.78\"#02+\& )(9<.\"0#!%\& *(9<.%+\& ! \"+(.78 (\"/$! %\& !\"! %\&%\& 湖 北 荆 门 高 一 下 统 测 .78\";9<.% \&! !填#+$#%$或#+$\" 正弦函数 余弦函数的定义域与值域问题 !#!函 数 .+%=9\"<./的 定 义 域 为 ! !$! %\&%\& 江西九江高一上联考 函数.+>8.78/ 的定义域 为! !(

!第一章!三角函数! !%!求 下 列 函 数 的 定 义 域 ! 正弦 余弦函数周期性问题 !\"\".+$;9<./\& !%\".+ 槡%.78/)\"! !'! %\&%\& 陕西西安一中高一上月考 .78$\&#2的值为 !!!\" '((槡%% )(槡%% *((槡%/ +(槡%/ !(!函数.+%;.78/ 的最小正周期为 ! !)! %\&%\& 陕 西 榆 林 中 学 高 二 下 月 考 若%+ ! )%*!!*\& 0 \"'则9<./%+ ! \"*!.78$%\&29<.1#\&2).78!(0,\&2\"9<.!(00\&2\"+ ! 正弦 余弦函数的单调性问题 \"!! %\&%\& 四川绵阳高二下诊断 函数.+9<./ 的 一个单调递增区间为 !! ! \" ! \"'(( ! '! )(!\&'!\" % % ! '/! %% ! \"*( +(!!'%!\" !\"\"! %\&%\& 安徽合肥高 三 质 检 函 数 .+9<./ ( ! $/$ / \"#! 的单调递增区间为 '值 域 为 ! 0 \"#!求 下 列 函 数 的 单 调 区 间 ! !\&! %\&%\& 陕西汉中高一下联考 易错题 !\"\"求.+ /\"9<./' !\"\".+.78/'/\&-(!'!2\& !%\".+9<./'/\&-(!'!2! ! '/! 的最大值\& %$ - 2/\& !%\"求 .+ !.78/(%\"%)\" 的 值 域 \& !/\"求 .+0.78/):!0,\&\"的 值 域 ! !)

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! ! ! 6789%:; ! ! 6789%<= \"!\"#- 利用诱导公式化简 ! \"(! %\&%\& 福建 数 ! 泉州 模 拟 设 函 ;!/\"+.78 /) $ ) 利用诱导公式求值 ! \"9<.!'则 !! ! \" %\&%\& 湖 北 黄 冈 中 学 高 一 上 月 考 .78\"10!的 /( $ !! ! \" !! ! \"'(;!/\"+(; ! 值是 /) % '!(!(!%\"! ! !)!(!%\"! ! ! !*!(!(!槡%/! ! !+(槡%/ ! \")(;!/\"+; ! (/) % ! \"\"! %\&%\& 广 东 湛 江 高 一 下 线 上 联 考 已 知 .78 #$!)% + ! \"*(;!/\"*;! /) % +\" /$!(% ! \"+(;!/\"+(; ! ! \"槡/'则 的值为 !! ! \" (/) % % .78 '(\"% \" *(槡%/ +((槡%/ )! %\&%\& 湖 北 宜 昌 高 一 上 联 考 化 简 ( % )(( ! !\" \".78!'(.7#8!\"'9<(./%!(.%!78(!'('9(<.!!\"-!('\"+ #! %\&%\& 广东 汕 头高 一下 月 考 若 9<.!!)%\"+ ( \" '/%!% ! % %%%!'则 .78!%!)%\"等 于 !! ! \" !*!若'.78!$!(%\"'+.78!!)%\"'则 角 % 的 取 值 范 围 是 '(\"% )(9槡%/ *(槡%/ +((槡%/ ! ! \"$! %\&%\& 云 南 昆 明 高 一 上 联 考 已 知 ! \" '则 ! \"!!!化简(9.7<8.!!'/!((#!'\"\"*9.<7.8!'%!((/!'\"*.798<.!(!-'!(($'!\"\"! .78 %( 0 + / ! \"9<. ! 的值为 !! ! \" %) / '((%/槡/ )(%/槡/ *(/\" +(( \" / %!.78/\"#2(9<.\"/#2)%.78#1\&2的 值 是 ! ! \"\&! %\&%\& 安 徽 安 庆 高 一 联 考 若 .78 %)\"!% + \" '则 / ! \"9<.%)1\"%! + ! '!已 知 .78!!)%\"+ ( \" !计 算( / ! \"!\"\"9<.%(/%! \& ! \" ! \"!\"!化简(9<. /*/)\"!)% )9<. /*/(\"!(% '其中*\& ! ! \"!%\".78 ! % )% ! !!*

!第一章!三角函数! 利用诱导公式证明三角关系式 !\&! ! \" %\&%\& 福 建 福 州 高 一 上 质 检 设 .78 %)-1! !#!求 证.78!(%(9%<!.\"!9\"<\&.!!)(%!\".(7%8\"%9<.!!)%\"+ (9<\".%! '求 证.78 \"#1!)% )/9<.%(\"/1! .78 %\&1!(% (9<.%)%%1! ! \" !! \"\" !! \"\"+<9<.%)-1! + <<))\"/! !$!已知 %'\&'' 为 -%\&' 的 三 个 内 角'求 证 9<.!%%)\&) ! ! ! ! ! ! ! ! ! 建 议 用 时 $# 分 钟 \" !\"#, '\"+ (9<.%! !! %\&%\& 山西太原 外 国 语 学 校 月 考 如 果 角% 的 终 边 过 点 4!(%.78/\&2'%9<./\&2\"'那么.78% 等于 !! ! \" '(%\" )(( \" *(槡%/ +((槡// % \"! %\&%\& 陕 西 铜 川 高 一 上 联 考 已 知 .78\"\&2+*'则 9<.0%\&2 的值等于 !! ! \" '(* )((* *(9* +(不 能 确 定 #! %\&%\& 湖南常德高一上 联 考 已 知 9<.!1#2)%\" + \" '则 .78!%(\"#2\")9<.!\"\&#2(%\"的 值 是 !! ! \" / '(\"/ )(%/ *(( \" +(( % / / !! \"\" !! \"\" ! \" ! \"!%!求 ! .78 %*%)\"!(% *9<. %*%)\"!)% $! %\&%\& 湖 北 荆 门 高 一 下 联 考 若 .78!!)%\")9<. % )% *' %*%)/!)% *9<. %*%(\"!(% 证 对 任 意 的 整 数 +(0'则9<. /%!(% )%.78!%!(%\"的值为 !! ! \" .78 + (\"! '((%/0 )(%/0 *((/%0 +(/%0 %! 多 选 下 列三 角函 数中 '与.78 ! 数 值 相同 的是 !! ! \" / ! \" ! \"'(.78 :!)$/! ':\& ! ':\& )(9<. %:!) 0 ! \" - 2*(.78 ! ! %:!) / ':\& +(9<. !%:)\"\"!( 0 ':\& \&! %\&%\& 湖南湘潭高一上期末 若角%'\&'' 是-%\&' 的三 个 内 角 '则 下 列 等 式 中 一 定 成 立 的 是 !! ! \" '(9<.!%)\&\"+9<.' )(.78!%)\&\"+ (.78' *(9<.%%)'+.78\& +(.78\&%)'+9<.%% '! %\&%\& 陕西榆林二中高一月考 已知函数;!/\"+9<./% ' 则下列等式成立的是 !! ! \" '(;!%!(/\"+;!/\" )(;!%!)/\"+;!/\" *(;!(/\"+ (;!/\" +(;!(/\"+;!/\" !!!

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! (!若 4!($'/\"是 角% 终 边 上 一 点 '则9<.!%(/!\"*.78!(%\" !$! %\&%\& 江 西 上 饶 广 丰 一 中 高 一 上 月 考 已 知 ;!%\"+ .78%!!(%\" ! \".78!%(/!\"9<.!%!(%\".78 (%)/%! 的值为 ! ! 9<.!(!(%\".78!(!(%\" )! %\&%\& 四 川 达 州 高 一 上 期 末 已 知 ; !/ \"+ !\"\"化 简 ;!%\"\& + ! \" ! \".;78!/!(/\"!/\"(%\"\&!\"/'+\&\"'则;(\"0\" \"\" ); 0 + ! !%\"若%+ (/\"/!'求 ;!%\"的 值 \& !*! %\&%\& 四川成都高一月考 若'9<.%'+9<.!!)%\"'则 角 \" !'/%! ! \" - 2!/\"若9<.! # %的集合为 ! (%( % + '%\& '求 ;!%\"的 值 ! ! \"!!!若;!.78/\"+9<.\"1/'则; \" 的值为 ! % !\"! %\&%\& 湖北宜昌高一联考 已知角% 终边经过点4!($' !! \"\" ! \"/\"'求99<<..\"%!\"%!)(%%..7788!(,%!!()%%\"的值! !!%! %\&%\& 陕西咸阳高一联考 是 否 存 在 角%'\&'%\& ( ! ' % \" ! \"! ! % % /.78!/!(%\"+槡%9<. (\& ' '\&\& !\&'!\"'使 等 式. 同 0槡/9<.!(%\"+ (槡%9<.!!)\&\" !#!化 简 求 值 ! 时 成 立 !若 存 在 '求 出%'\& 的 值 \&若 不 存 在 '说 明 理 由 !!注 ( !\"\"9<. #! )9<.%#!)9<./#!)9<.$#!\& 对任意角% 有.78%%)9<.%%+\"成立\" ! \" ! \"!%\".78 %:!(%/! *9<. :!)$/! !:\& \"! !!\"

!第一章!三角函数! !$ ./01 \"!\"0\& 忽略字母范围致错 任意角的三角函数的定义理解 \"!已知角% 的终边经过4!($<'/<\"!<,\&\"'求.78%'9<.%' ?58%'9<?% 的值! !!如图 \"\"\"1 所 示'在 平 面 直 角 坐 标 系 /$. 中'角% 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 %'点 % 的 纵 坐 标 为 $ '则 9<.% 的 值 # 为 !!!\" '(#$ !! ! !! ! !)(( $ # 图 \"\"\"1 *(/# ! !! !! ! !+(( / # \"! %\&%\& 福建福州高二上质检 已知% 是第二象限角'4!/' 忽略角的终边的位置致误 槡#\"为其终边上一点'且9<.%+槡$%/'则/ 的值为 !!!\" #!若%'\&的终边关于. 轴对称'则下列等式成立的是 !!!\" '!(!槡/! ! ! !)!(!9!槡/! ! !*!(!(!槡%! ! !+((槡/ #!已知角' 的 顶 点 为 坐 标 原 点'始 边 为 / 轴 的 非 负 半 轴'若 '(.78%+.78\& )(9<.%+9<.\& *(?58%+?58\& +(.78%+ (.78\& 4!$'.\"是角'终边上一点'且.78'+(%#槡#'则.+ ! 扩大角的范围致误 $!在平面直角坐标系/$. 中'角% 与角\& 均以$/ 为始边'它 $!已知9<.!#\&-2(%\"+\"\"%/'则9<.!%\"%2)%\"+ ! 们的 终边 关 于. 轴 对称 !若.78%+ \" '则.78\&+ ! / ! ! ! ! ! ! ! ! ! 建 议 用 时 ## 分 钟 \" !\"0\& 诱导公式的应用 %! %\&%\& 陕 西 榆 林 中 学 高 三 月 考 已 知 %+.78.!*78!%)%\") !! %\&%\& 甘 肃 兰 州 诊 断 如 果 % 的 终 边 过 点 4 !%.78/\&2' (%9<./\&2\"'那么.78% 的值等于 !! ! \" 9<.9!*<.!%)%\"!*\& \"'则 % 的值构成的集合是 !! ! \" '(%\" )(( \" *((槡%/ +((槡// % '(+\"'(\"'%'(%, )(+(\"'\", \"! %\&%\& 浙江湖州期 末 点 4 从 点!\"'\&\"出 发'沿 单 位 圆 顺 *(+%'(%, +(+\"'(\"'\&'%'(%, 时针 方向 运 动#!弧 长 到达 = 点 '则 = 点 的坐 标是 !! ! \" 0 \&! %\&%\& 黑 龙 江 哈 尔 滨 六 中 高 一 下 期 中 -%\&' 中'若 ! \"'( ! \")( .78!%)\&\".78!%(\&\"+.78%''则-%\&' 是 !! ! \" ( \" '槡/ ( \" '(槡/ % % % % '(锐 角 三 角 形 )(直 角 三 角 形 ! \"*( \" ! \"+( (槡/'\" *(钝 角 三 角 形 +(等 腰 三 角 形 (%槡/'( % %% '!9<.\"2)9<.%2)9<./2)3)9<.\"1,2)9<.\"-\&2+ ! #!如果点 4!.78')9<.''.78'9<.'\"位于第二象限'那么角' \"!\"0\& 的终边在 !! ! \" '(第 一 象 限 )(第 二 象 限 对角的范围压缩不到位致错 *(第 三 象 限 +(第 四 象 限 ! \"$! %\&%\& 河南 郑 州 高 一 联 考 已 知 ! \" '则 知.78'% / '9<.'% $ .78 %( $ + / !!已 # # '试 确 定' 是 第几 象 限角 + +( ! ! \"9<.! 的值等于 !! ! \" $ )% '(( \" )(/\" *((%/槡% +(%/槡% / %! %\&%\& 安徽皖南八校高二联考改编 多选 在-%\&' 中' 下列式子为常数的是 !! ! \" '(.78!%)\&\").78' )(9<.!%)\&\")9<.' *(.78!%%)%\&\").78%' +(9<.!%%)%\&\")9<.%' !!#

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! \&! %\&%\& 湖南怀化高一上期末 点4 从!\"'\&\"出发'沿单位圆逆 !(!已 知9<.\&+ / '且 %(\&+ ! )%*!!*\& \"'能 否 求 出 # % 时针方向运动%/!弧长到达= 点'则= 点的坐标为 !! ! \" 9<.!%%(/\&\"的 值'若 能'请 求 出 它 的 值\&若 不 能'请 说 明 ! \"'( \" '槡/ ! \")( \" 理由! ( % % (%槡/'( % ! \"*( \" ! \"+( (槡/'\" ( % '(槡/ %% % '! %\&%\& 湖 南 湘 潭 高 一 联 考 设 ' 是 第 三 象 限 角'且 9<.'% + (9<.'% '则' 是 !! ! \" % '(第 一 象 限 角 )(第 二 象 限 角 *(第 三 象 限 角 +(第 四 象 限 角 (!如图\"\"\"-所示'圆 $ 与/ 轴 的 正 半 轴的交点为 %'点 \&'' 在 圆 $ 上'且 ! \"\& $ '( / '点 ' 在 第 一 象 限' # # ! \"#%$'+%'\&'+\"'则 9<. #0!(% 等 !)!已 知 9<.%%\&'.78%+\&! 于 !! ! \" !\"\"求角% 的集合\& $ / 图 \"\"\"- !%\"求 角% 的 终边 所在 的象 限\& # # % '(( )(( *(/# +(#$ !/\"试判断.78%% '9<.%% 的符号! )! 多 选 下 列 命 题 不 正 确 的 是 !! ! \" '(若 9<.'%\&'则' 是 第 二 或 第 三 象 限 角 )(若%+\&'则9<.%%9<.\& *(若.78%+.78\&'则% 与\& 是终边相同的角 +(% 是第三象限角1.78%9<.%+\& !*! %\&%\& 湖南衡阳高一下联考 若角% 的终边与 直 线.+ // 重合且 .78%%\&'又 4!0':\"是 角% 终 边 上 一 点'且 '$4'+ 槡\"\&'则 0(:+ ! !!!已知角% 的终边经过点!/<(,'<)%\"'且 9<.%$\&'.78% +\&'则实数< 的取值范围是 ! !\"! %\&%\& 山东青岛 一 中 高 一 下 月 考 在 单 位 圆 中'角% 的 - '\"# \"1 \"1 ! \"终 边 与 单 位 圆 交 于 点 4 '则 .78 !!(%\"+ \"*! 易错题 !\"\"已知函数.+<9<./)8 的最大值 是 \&'最 小 ! \"'9<. ! 值 是 ($'求<'8 的 值 \& %) % + ! - 2!%\"求.+(%.78/'/\& (\"0!'$/! 的最大值与最小值! ! \"!#! %\&%\& 山东枣 庄 模 拟 已 知 9<. ! +<!'<'$\"\"' 0 (' ! \" ! \"则9<. #0!)' ).78 %/!(' 的值是 ! !$!函数.+ 槡%.78/(\"的定义域为 ! !%! %\&%\& 湖 北 宜 昌 高 一 调 研 函 数 .+'..7788//')'99<<..//'( %'.78/9<./'的 值 域 是 ! .78/9<./ !\&!化 简 9<.%9!<:.!%)-!/%:\"*).\"78\"!%(!:/!2(/\"!: \& \"的 结 果 为 ! !'! %\&%\& 四 川 成 都 高 三 诊 断 在 直 角 坐 标 系 /$. 中'已知任意角'以坐标原点$ 为顶点'以/ 轴的非负半 轴为始边'若其 终 边 经 过 点 4!/\&'.\&\"'且'$4'+7!7+ \&\"'定义(.79<.'+.\&7(/\&'称 #.79<.'$为 #' 的 正 余 弦 函 ! \"数$'若.79<.'+\&'则.78 ! %'( / + ! !!$

!第一章!三角函数! !% 2345?73458@AB=>CDE ! ! *+,-)>?%45@AB \"!\"0\" 与正弦函数有关的定义域 值域问题 正弦函数图象的应用 !(! %\&%\& 广 西 柳 州 高 一 联 考 函 数 .+%.78/)\"! $/$ $ !! 多 选 用 五 点 法 画 .+.78/'/\& -\&'%!2的 图 象 时 '下 列 点 \"/! 的值域是 !! ! \" $ 属于五个关键点中的点的是 !! ! \" '(-\"=槡/'/2 )(-\"=槡%'/2 ! \" ! \"'!(!0!!'\"! !+(!%!'\&\" % !)!(!%!!'!\"! !*!(!!!!'\&!\"! *(-\";槡%'\"=槡%2 +(-(\"'/2 \"! %\&%\& 广 东 东 莞 中 学 高 一 上 月 考 函 数.+ (.78/'/\& )!函 数 .+'.78/'的 值 域 是 ! !- 2('/! 的 简 图 是 图 \"\"\", 中 的 !! ! \" !*!函 数 .+>@!/;$.78%/\"的 定 义 域 是 ! % % !!! %\&%\& 湖北宜昌高一联考 设函数.+.78/ 的定义域为 - 2-<'82'值 域 为 (\"'\"% '则 以 下 四 个 结 论 正 确 的 是 ! !8(< 的 最小 值 为%!\& / \"8(< 的 最大 值 为$!\& / #< 不可能等于%*!( 0!!*\& \"\& $8不可能等于%*!( 0!!*\& \"! !\"!求 函 数 ;!/\"+>@.78/)槡\"0;/%的 定 义 域 ! 图 \"\"\", #!在同一平面直角坐标系 内'函 数.+.78/'/\&-\&'%!2与. +.78/'/\& -%!'$!2的 图 象 !! ! \" '(重 合 )(形 状 相 同 '位 置 不 同 *(关于. 轴对称 +(形 状 不 同 '位 置 不 同 $! %\&%\& 广西柳州高一下联考 .+\"=.78/'/\& -\&'%!2的 图 象 与 直 线 .+% 的 交 点 的 个 数 是 !! ! \" '(\& )(\" *(% +(/ - 2%!函数.+.78/'/\&( ! '! 的图象与函数.+/ 的图象 % % 交点个数是 ! \&! 原 创 题 用 五 点 法 画 .+.78/'/\& -\&'%!2的 简 图 时 '所 描 的五个点的横坐标的和是 '最 高 点 与 最 低 点 的 纵 坐标之和为 ! '!用五点法作函数.+%= \"%.78/'/\&-\&'%!2的图象! !!%

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! \"*! 利 用 三 角 函 数 的 单 调 性'比 较 下 列 各 组 数 的 !#!求 下 列 函 数 的 值 域 ! 大小! !\"\".+/;%.78%/\&! !! !%\".+'.78/').78/\& !\"\".78\",02与9<.\"#02\& !/\".+.78%/).78/)\"\&! !$\".+..7788//)(%\"! !%\".78\"'.78%'.78/! 正弦函数的周期性与奇偶性 !$! %\&%\& 四 川 资 阳 高 一 上 期 末 函 数 ;!/\"+%'.78/'的 最 小正周期为 !! ! \" \"!!!\"\"求 函 数 .+ (.78/)/ 的 单 调 区 间 \& !%\"求函数.+><@%\".78/ 的单调递增区间! '!%! )!/%! *!! +!%! !%! %\&%\& 湖南衡阳高一下联 考改 编 多选 下列 函 数 中 不 是奇函数的是 !! ! \" '(.+ ('.78/' )(.+.78!('/'\" *(.+.78'/' +(.+/.78'/' !\&!下 列 函 数 具 有 奇 偶 性 的 是 !! ! \" '(.+.78/!/+\&\" )(.+%.78/!/%\&\" *(.+.78/\" !/,\&\" +(.+ 槡%.78/ 正弦函数的单调性及其应用 - 2!'!!.+.78/ 在 ! %*!( % '%*! !*\& \"上是增 加 的'\".+ .78/ 在第一象限内是增加的'则以上两种说法 !!!\" '(均 正 确 )(! 正 确 %\" 不 正 确 *(\" 正 确 %! 不 正 确 +(都 不 正 确 !(!函 数 .+'.78/'的 一 个 单 调 递 增 区 间 是 !! ! \" ! \"'( ! '/! $$ ( ! '! ! \")( $ $ ! \"*(!'/%! ! \"+(/%!'%! !)! %\&%\& 陕 西 榆 林 二 中 高 一 下 月 考 设 <+9<.%,2'8+ .78\"$$2'>+.78#\&2'则<'8'> 的 大 小 关 系 为 ! !!\&

!第一章!三角函数! ! ! /+,-)>?%45@AB %!画 出 .+9<./!/\& \"的 简 图 '并 根 据 图 象 写 出 ( \"!\"0/ !\"\".2 \" 时/ 的集 合\& % 余弦函数的图象及应用 !%\"( \" $.$槡%/时 / 的 集合 ! !! %\&%\& 山 东 临 沂 一 中 高 一 下 月 考 多 选 对 于 余 弦 函 数 . % +9<./ 的图象'有以下描述'其中正确的描述有 !!!\" '(将 -\&'%!2内 的 图 象 向 左 %向 右 无 限 延 展 )(与.+.78/ 的图象形状完全一样'只是位置不同 *(与/ 轴有无数个交点 +(关于. 轴对称 \"! %\&%\& 江 西 南 城 一 中 高 一 上 周 测 函 数 .+9<.!(/\"'/\& -\&'%!2的 简 图 是 图 \"\"%\& 中 的 !! ! \" 余弦函数的性质及应用 \&! %\&%\& 湖南雅礼中学 高 一 上 段 测 函 数 .+'9<./'的 一 个单调递减区间是 !! ! \" !'!! ! !)!(!$!!'!$/!!! - 2 - 2'!(!(!$!$ ! ! !! 图 \"\"%\& - 2*(!'%/! - 2+( /%!'%! #! 多 选 关 于 函 数 ; !/\"+ \"=9<. /'/ \& '! %\&%\& 陕西汉中中学高一上月 考 下列函 数 中'不 是 周 期 ! \"! / '%! 的图象与直线.+?!?为 常 数\"的 交 点 情 况'下 列 函数的是 !! ! \" 说法正确的是 !! ! \" '(.+'9<./' )(.+9<.'/' '(当?%\& 或?2% 时 '有 \& 个 交 点 *(.+'.78/' +(.+.78'/' / (! %\&%\& 河北冀 州 中 学 高 一 下 月 考 将 下 列 各 式 按 大 小 顺 % )(当?+\&或 $?%% 时 '有 \" 个交 点 序 排 列 '其 中 正 确 的 是 !! ! \" *(当 \&%?$ / 时 '有 % 个交 点 '(9<.\&%9<.%\" %9<.\"%9<. ! %9<.! % 0 +(当 \&%?%% 时 '有 % 个 交 点 )(9<.\&%9<.!%9<.\"% %9<. ! %9<.\" 0 $!作出函数.+\"; \"/9<./ 在-(%!'%!2上的图象! *(9<.\&+9<.%\" +9<.\"+9<. ! +9<.! 0 +(9<.\&+9<.%\" +9<. ! +9<.\"+9<.! 0 )!函数.+9<./ 在区间-(!'<2上 是 递 增 的'则< 的 取 值 范 围是 ! !*! %\&%\& 山东淄博 一 中 高 一 上 检 测 若 9<./+/%00()\"%'且 /\& '则 0 的取值范围是 ! !!! %\&%\& 江西宁都中学高一上月考 函数.+><@%\"9<./ 的 单调递增区间是 ! !\"! %\&%\& 浙 江 嘉 兴 二 中 高 一 上 月 考 已 知 函 数 .+<( - 289<./的值域为 ( \" '/ '则<8+ ! % % !!'

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! !#!已 知 ;!/\"+%=9<./! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 建 议 用 时 $# 分 钟 \" !\"0$ !\"\"判 断 函 数 的 奇 偶 性 \& !%\"求 函 数 的 单 调 区 间 \& ! \"!! %\&%\& 四 ! !/\"求 函 数 的 最 小 正 周 期 ! 川泸 州 高一 联考 函 数 .+9<. /) % !/\& \" 是 !!!\" '(奇 函 数 )(偶 函 数 *(非 奇 非 偶 函 数 +(无 法 确 定 \"! %\&%\& 湖南 怀 化 高 一 联 考 设 2 和 0 分 别 是 函 数.+ /\".78/(\"的最大值和最小值'则 2)0 等于 !! ! \" '(/% )(( % *(( $ +((% / / #! %\&%\& 江西南丰一中高一上月考 方程'/'+ 9<./ 在!(@')@\"内 !! ! \" '(没 有 根 )(有 且 仅 有 一 个 根 *(有 且 仅 有 两 个 根 +(有 无 穷 多 个 根 !$! %\&%\& 广东深圳中学 高 一下 月考 求下 列 函 数 $! %\&%\& 湖南湘潭一中高一上月考 方 程.78/+\"/\&的 根 的 的定义域! 个数是 !! ! \" !\"\".+ 槡9<.!.78/\"\& '(1 )(- *(, +(\"\& !%\".+ 槡\";%9<./)>@!%.78/(\"\"! %! 多 选 下 列 关 系 式 中 不 正 确 的 是 !! ! \" '(.78\"\"2%9<.\"\&2%.78\"0-2 )(.78\"0-2%.78\"\"2%9<.\"\&2 *(.78\"\"2%.78\"0-2%9<.\"\&2 +(.78\"0-2%9<.\"\&2%.78\"\"2 !! ! \" \&!设 函 数 ;!/\"+.78'/''则 ;!/\" - 2'(在区间 /%!'01! 上是减函数 )(是 周 期 为 %! 的 周 期 函 数 - 2*(在区间 ( ! '\& 上为增函数 % +(对 称 中 心 为 !*!'\&\"'*\& '! %\&%\& 陕 西 榆 林 中 学 高 一 月 考 函 数 .+9<./)'9<./'' !%! %\&%\& 陕西咸阳高一上 月 考 求 函 数.+9<.%/)%9<./ /\& -\&'%!2的 大 致 图 象 为 图 \"\"%\" 中 的 !! ! \" - 2(%'/\&(! '%! 的值域! / / 图 \"\"%\" (! %\&%\& 江 西 师 大 附 中 高 一 上 月 考 若 函 数 .+%9<./!\&$ /$%!\"的图象和直 线.+%围 成 一 个 封 闭 的 平 面 图 形'则 这个封闭图形的面积是 !! ! \" '($ )(- *(%! +($! !!(

!第一章!三角函数! )!函数 .+ 槡(%.78/的 定 义 域 是 '单 调 !#!已 知 函 数 ;!/\"+'.78/(<''<\& ! !\"\"试 讨 论 函 数 ;!/\"的 奇 偶 性 \& 递减区间是 ! !%\"求当;!/\"取得最大值时'自变量/ 的取值范围! !*! %\&%\& 江西 九 江 高 一 联 考 函 数 ;!/\"+%.78%/)%.78/ \" '0#! - 2(% ! '/\& 0 的值域是 ! !!!不 求 值 '比 较 下 列 各 组 中 两 个 三 角 函 数 值 的 大 小 ! !\"\".78%\"#-!与.78\"/,!\& ! \" ! \"!%\".78 (#1$! 与.78 (0-/! ! ! \"!$!函 \" < ! 数 ;!/\"+ % ( $ )<9<./(9<.%/ \&$/$ % 的最大 !\"! %\&%\& 福 建 闽 侯 六 中 高 一 月 考 函 数 ;!/\"+%.78/) 值为%'求实数< 的值! '.78/''/\&-\&'%!2的 图 象 与 直 线.+0)\" 有 且 仅 有 两 个交点'求 0 的范围! !!)

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! !\& 45.+%.78!F/)(\"8=>B@A ! \"图象'需 将 ! \"!\"0# 函 数 .+.78 /( 0 的图象 !! ! \" 用 五点法 作函数.+%.78 */)( 的图象 '(纵 坐 标 变 为 原 来 的 / 倍 '横 坐 标 不 变 )(横 坐 标 变 为 原 来 的 / 倍 '纵 坐 标 不 变 !! %\&%\& 湖 北 武 汉 汉 口 北 高 中 高 一 上 期 末 已 知 *(横 坐标 变为 原来 的 \" '纵 坐 标不 变 / ! \"函 ! 数.+%.78 /( / ! +(纵 坐标 变为 原 来的 \" '横 坐 标 不变 / !\"\"用 五 点 法 画 出 该 函 数 在 区 间 -\&'%!2内 的 简 图 \& ! \"$! %\&%\& 安徽蚌埠高三质 ! / !%\"结 合 所 画 图 象 '指 出 函 数 在 -\&'%!2上 的 单 调 区 间 ! 检 为 了 得到 函 数 .+.78 %/( ! \"的图象'只需把函数.+.78 ! 的图象 !! ! \" %/) 0 '(向 左 平移 ! 个 单位 长 度 $ )(向 右 平移 ! 个 单位 长度 $ *(向 左 平 移 ! 个单 位长 度 % +(向 右平 移 ! 个单 位长 度 % \"! %\&%\& 四 川 成 都 七 中 高 三 上 段 测 已 知 函 数 ;!/\"+ %! %\&%\& 安徽合肥高三质检 给 出几 种变 换(! 横 坐 标 伸 长 ! \"/.78/) ! )/! 到原来 的 % 倍 '纵 坐标 不变 \&\" 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 \" '纵 % 0 % !\"\"用 五 点 法 在 图 \"\"%% 中 画 出 它 在 一 个 周 期 内 的 闭 区 间 坐标 不变 \&# 向 左平 移 ! 个 单 位 长 度 \&$ 向 右 平 移 ! 个 单 / / 上的图象\& !%\"指 出 ;!/\"的 振 幅 %初 相 '并 求 出 对 称 中 心 ! 位长 度 \&+ 向 左 平移 ! 个 单 位 长 度 \&, 向 右 平 移 ! 个 单 位 0 0 ! \"长度 ! 的 !则 由 函 数 .+.78/ 的 图 象 得 到.+.78 %/) / 图 象 '可 以 实 施 的 方 案 是 !! ! \" '!(!!!3!#! !)!(!\"!3!#! !*!(!\"!3!$! !+(\" 3 + \&! %\&%\& 广 东 中 山 一 中 高 一 下 段 考 多 选 有 下 列四种变换方式'其中能将正弦函数.+.78/ 的图象变为 图 \"\"%% ! \".+.78 ! 的图象的是 !! ! \" %/) $ '(横 坐 标变 为 原来 的 \" '再 向 左平 移 ! 个单 位长 度 % $ )(横 坐 标变 为原 来 的 \" '再 向左 平 移 ! 个单 位长 度 % - *(向 左平 移 ! 个单 位 长度 '再 将横 坐 标变 为原 来的 \" $ % +(向 左平 移 ! 个 单位 长度 '再 将 横坐 标变 为原 来的 \" - % ! \"'! %\&%\& 江 ! 苏 涟水 一中 高一 上 月 考 函 数 .+.78 %/) / 的图象是 由 .+.78%/ 的 图 象 向 !选 填 #左 $或 #右 $\"平 移 个单位长度得到的! 三角函数图象的变换 (! %\&%\& 重 庆 育 才 中 学 高 一 下 入 学 考 试 已 知 函 数 .+ ! \"#! %\&%\& 安 了 到 函 ! 的 ;!/\"的 图 象 上 的 每 个 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 / 倍 '横 坐 徽安 庆模 拟 为 得 数 0 .+.78 //( 标伸长到原来的%倍'然后把所得的图象沿 / 轴向左平移 !\"*

!第一章!三角函数! ! 个单 位 长度 '这 样得 到的 曲 线 和 .+%.78/ 的 图象 相 同' ! \"+.78 ! 的单调递减区间是 !! ! \" 0 (%/) 0 则 已 知 函 数 .+;!/\"的 解 析 式 为 ! - 2'( ( ! )%*!'/! )%*! '*\& 0 )! %\&%\& 江西宜春奉新一中 高一 下月 考 !\"\"利用#五 点 法$ )%*!'#0!)%*! \"%/) !- 2)( '*\& ! \"在图\"\"%/中画出函数.+.78 ! 在长度为一 0 0 - 2*(! 个周期的闭区间的简图\& ( 0 )*!'/! )*! '*\& !%\"说 明 该 函 数 图 象 可 由 .+.78/!/\& \"的 图 象 经 过 怎 样 )*!'#0!)*! 平移和伸缩变换得到的! !- 2+( '*\& 0 !$! %\&%\& 陕 西 宝 鸡 高 一 上 期 末 若 函 数 ;!/\"+.78*/!*+ - 2 - 2\&\"在区间 \&'/! 上 单 调 递 增'在 区 间 ! '! 上单调递 /% 减'则* 等于 !! ! \" '(/ )(% *(%/ +(%/ 图 \"\"%/ ! \"! \"!%!设函 ! ! / % 数.+\";/.78 %/) 其 中( $/$\& '当/+ 时 '函 数 的 最 大 值 为 $! ! \"!\&!关数 ! 于函 ;!/\"+$.78 %/) / !/\& \"有 下 列 命 题'其 中正确的是 !!填 序 号 \" ! \"!.+;!/\"的 ! 表达 式 可改 写 为 .+$9<. %/( 0 \& \".+;!/\"是 以 %! 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 \& ! \"#.+;!/\"的图象关于点 ( ! '\& 对称\& 0 $.+;!/\"的 图象 关 于直 线 /+ ! 对 称! 0 确定三角函数的解析式 三角函数的性质及应用 !'!已 知 函 数;!/\"的 部 分 图 象 如 图\"\"%$ 所 示 '则;!/\"的 解 !!*! %\&%\& 江西抚州一中高一上周测 函数.+.78 (%/) 析式可能为 !! ! \" ! \" ! \"'(;!/\"+%9<./ ! ! % ( / )(;!/\"+槡%9<. $/) $ \"! 的相位和初相分别是 !! ! \" ! \" ! \"*(;!/\"+%.78/! ! % 0 +(;!/\"+%.78 $ / ( $/) '((%/) ! '! )(%/( ! '( ! / / / / *(%/)%/!'%/! +(%/)%/!'/! !!!! %\&%\& 北 京 四 中 高 一 下 线 上 测 试 函 数 .+9<. %/) \"! 的图象的一个对称中心是 !! ! \" 图 \"\"%$ 图 \"\"%# / ! \"'(#0!'\" ! \")(! !(! %\&%\& 黑龙江大庆四中高 一上 月 考改 编 多 选 已 知 函 / '(\" 数.+%.78!*/)(\")\& 的一部分图象如图\"\"%#所示' ! \"*(\"!%'\& ! \"+(%!$'\& 如果 %+\&'*+\&'( % ! '则 !! ! \" % !!\"! %\&%\& 江西吉安 高 一 上 期 末 已 知 函 数 ;!/\"+.78 */ '(%+% )(*+\" *((+ ! +(\&+$ 0 \") ! !*+\&\"的最小正周期为 !'则该函数的图象 !!!\" !!)! %\&%\& 河南焦作模 拟 函 数 .+%.78!*/)(\" %+\&'* / ! \"'(关于点 ! '\& 对称 )(关 于 直 线 /+ ! 对 称 \"+\&'/%!%(%%! 的最 小 值 是 (/'最 小 正 周 期 为 ! '且 它 / $ / ! \"*(关于点 ! '\& 对称 +(关 于 直线 ! 对称 ! \"的 图 象 经 过 点 / $ /+ / \&'( % '则 这 个 函 数 的 解 析 式 是 !#! %\&%\& 山东济宁一中高 一 下 线 上 测 试 易 错 题 函 数. ! !\"!

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! \"*! %\&%\& 湖 北 荆 门 高 三 模 拟 已 知 函 数 .+.78!*/)(\" $! %\&%\& 湖 南 湘 潭 模 拟 已 知 函 数 ;!/\"+.78!*/)(\"!*+ ! \"*+\&'\&%($ ! '且 此 函 数 的 图 象 如 图 \"\"%0 所 示 '则 ! \"\&\"的部分图象如图\"\"%-所示'则; ! 等于 !! ! \" % % 点 !*'(\"的 坐 标 是 ! 图 \"\"%- 图 \"\"%0 '((槡%/ )((槡%% *(槡%/ +(槡%% ! \"%! 多 ! ! \"\"!!函 ! 选 记 函数 ;!/\"+.78 %/( / 的图象为 A'则下列结 数 .+%.78!*/)(\" %+\&'*+\&''('% % 的图象的 一 部 分 如 图 \"\"%1 所 示 '求 此 函 数 的 解 析 式 ! 论正确的是 !! ! \" '(函数;!/\"的最小正周期为 ! - 2)(函数;!/\"在区间 (\"!%'#\"%! 上单调递增 *(直线/+(\"!%是图象 A 的一条对称轴 +(将 函 数 .+.78%/ 图 象 上 的 所 有 点 向 右 平 移 ! 个 单 位 / 图 \"\"%1 长度'得到图象 A \&! %\&%\& 安徽蚌埠高三质检 函 数 ;!/\"+.78%/ 的 图 象 是 由函数B!/\"+9<.!%/((\"!\&$($!\"图 象 上 的 所 有 点 向 右平 移 ! 个单 位 长度 后得 到的 '则 下 列 是 函 数 .+B!/\"的 0 图象的对称轴方程的为 !! ! \" '(/+\"!% )(/+ ! 0 *(/+ ! +(/+\& / ! ! ! ! ! ! ! ! ! 建 议 用 时 ## 分 钟 \" !\"00 !'! %\&%\& 湖 南 永州 模 拟 将 函 数;!/\"+.78!%/)'\" ( ! % % !! %\&%\& 湖 南衡 阳模 拟 最 小正 周期 是%!'初 相 是 ! 的 函 数 / 0 \"'%! 图 象 上 的 所 有 点 向 右 平 移(!(+\"\"个 单 位 长 度 后 表达式可能是 !! ! \" % ! \"'(.+.78 ! ! \")(.+.78 / ! 得到函数B!/\"的 图 象'若 ;!/\"'B!/\"的 图 象 都 经 过 点 //) 0 / ) 0 ! \"*(.+.78 / ! ! \"+(.+.78 ! ! \"4 \&'槡%/ '则( 的值可以是 !! ! \" / 0 0 ( //( \"! %\&%\& 湖南湘潭模 拟 将 函 数.+.78/ 图 象 上 的 所 有 点 '(#/! )(#0! 向左平移 !个单位长度'再将图象上所有 点的 横坐 标伸 长 *(%! +(0! / 到 原 来 的 % 倍 !纵 坐 标 不 变 \"'则 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 (! %\&%\& 江 西 九 江 模 拟 函 数 !! ! \" ;!/\"+9<.!*/)(\"的 部 分 图 象如图\"\"%, 所 示'则 ;!/\" ! \"'(.+.78 / ) ! ! \")(.+.78 / ) ! % / % 0 ! \"*(.+.78 ! ! \"+(.+.78 ! 的单调递减区间为 !!!\" %/) / %/( / ! \"'(*!( \" / #! %\&%\& 河 南 郑 州 高 一 上 期 末 将 函 数 ;!/\"+.78*/!其 中 $ '*!) $ '*\& ! ! \")(%*!( \" / 图 \"\"%, $ $ '%*!) $ '*\& *+\&\"图 象上 的所 有 点 向 右 平 移 个 单 位 长 度 '所 得 图 象 ! \"经过点 /$!'\& '则* 的最小值是 ! \"!!!\" \" / *(*( $ '*) $ '*\& '(\"/ *(#/ ! \"+(%*( \" / )(\" +(% $ '%*) $ '*\& !\"\"

!第一章!三角函数! )! %\&%\& 山东泰安高一下线 !$!已知 函 数 .+%.78!*/)(\"!%+\&'*+\&\"的 图 象 过 点 上质检 多 选 函 数 ;!/\"+%.78!*/ ! \"4 \"!%'\& '图 象 与 4 点 最 近 的 一 个 最 高 点 的 坐 标 为 ! \")(\"*+\&'( ! ! 的部分图 % %(% % '#! \"!! / 象如图\"\"/\&所示'则下列说法错误 !\"\"求 函 数 的 解 析 式 \& 的是 !! ! \" 图 \"\"/\& !%\"指 出 函 数 的 增 区 间 \& ! \"'(;!/\"的图象关于点 ! '\& 对称 !/\"求使.$\&的/ 的取值范围! / )(将 ;!/\"图 象上 的所 有点 向左 平 移 ! 个单 位 长 度 可 以 得 / 到 .+.78%/的 图 象 ! \"*(函数;!/\"在区间 (\"!%'\& 上单调递减 +(;!/\"的 图 象 关 于 直 线 /+\"\"\"%!对 称 !*! %\&%\& 江苏苏州苏苑高级中学 高一 上 月考 要 得 到 函 数 ! \".+.78/ 需 函 数 ! 图象上的 的图 象 '只 将 .+9<. /( / 所有点向 平移 个单位长度! !!!! %\&%\& 辽 宁 锦 州 模 拟 设 函 数.+.78!*/)(\"*+\&'( ! \"\"\&( ! '! 的最小正周 期 为 !'且 其 图 象 关 于 直 线 / !%! %\&%\& 河 南 驻 马 店 高 一 下 期 末 已 知 函 数 ;!/\"+ % % ! \"+\"!%对称'则 在 下 面 四 个 结 论(! 图 象 关 于 点 ! '\& 对 ! \"%9<.!*/)(\")\& %+\&'*+\&'( % ! 的部分图象如 $ % ! \" - 2称\&\"图象关于点 图 \"\"/\" 所 示 ! ! '\& 对 称 \&# 在 \&'0! 上是增函数\& / !\"\"求 ;!/\"的 解 析 式 及 对 称 中 心 的 坐 标 \& - 2$在 ( ! '\& 上 是 增 函 数!所 有 正 确 结 论 的 序 号 为 !%\"先 将 ;!/\"的 图 象 纵 坐 标 缩 短 到 原 来 的 \" '再 向 右 平 0 % ! 移 ! 个单 位长 度 '最 后将 图象 向 上平 移 \" 个 单 位 长 度 !\"! %\&%\& 浙江杭州高一下线上质检 设函数;!/\"+%.78!*/) 0 ! '/! \"% $ - 2(\"!%'*'(是常数'%+\&'*+\&\"!若;!/\"在区间 - 2后得到B!/\"的 图 象'求 函 数 .+B!/\"在 ! '! 上 上 0% ! \" ! \" ! \"具有单调性'且;! %! ! '则 ;!/\"的 最 的单调增区间和最值! % +; / +(; 0 小正周期为 ! !#! %\&%\& 陕西西 安 六 校 高 一 上 联 考 节 选 已 知 函 数 ;!/\" +.78!*/)(\"!*+\&'\&$($!\"是 上的偶 函 数'其 图 象 ! \" - 2关于点 2 /$!'\& 对称'且在区间 \&'%! 上是单调函数' 求( 和* 的值! 图 \"\"/\" !\"#

!数学 必修 第二册 !!新课标\"北师#! 第一章!三角函数 +#,#-!( '!\&%,6!\&%.\&6!提示\"\&)%,6#02)6('-\&%,6#所以与\&)%,6终边 相 同 的 ! ! 周 期 变 化 帮 练 基 础 最小正角为\&%,6!又\&)%,6#02)6(2- )\&%.\&6*#所 以 绝 对 值 最 小 的 !!\"#$!提示\"每隔一年#春天就重复一次#因此 $春 去 春 又 回%是 周 期 现 角 为 \&%.\&6!( 象\&分针每隔一小时转一 圈#是 周 期 现 象\&天 干 地 支 表 示 年'月'日 是 (!解\"方法一\"直线0#槡0/ 的倾斜角是2)6#所以在)6$02)6上终边落在 周期现象\&该同学上学时间不固定#并不是每 隔 $一 段 时 间%就 会 重 复 该 直 线 上 的 角 是2)6#\&.)6#因 此 所 有 与2)6角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 是1 #,####)+02)6%2)6#)\" -\&所有与\&.)6角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 是 一 次 #因 此 不 是 周 期 现 象 !( $!\"!提 示 \"海 啸 和 地 震 的 发 生 时 间 没 有 规 律 性 #故 不 是 周 期 现 象 !( 2# ,# ##)+02)6%\&.)6#)\" -!于是#终边落在直 线0#槡0/上 的 角的集合为1$2#,####)+02)6%2)6#)\" -$ ,####)+02)6% 素养点评 !本题主要考查对周期现象的概念的理解$通过理 解 概 \&.)6#)\" -#,####\&)+%,)6%2)6#)\" -$,####)\&)%%*+%,)6% 念体现了数学抽象的核心素养!要 注 意 周 期 现 象 的 两 大 特 征%! 经 过 相 同 的 间 隔 \&\" 出 现 的 现 象 是 重 复 的 ! 2)6#)\" -#,####)+%,)6%2)6#)\" -!方 法 二\"直 线 0#槡0/ 的 倾 斜角 是2)6#终 边 落 在 该 直 线 上 的 任 一 角 与2)6角 相 差%,)6角 的 整 数 %!# #!$!提 示\"若 质 点 从 \" 点 开 始 向 左 摆 动#则 在 % 个 周 期 内 \& 次 经 过 \" 倍 #所 以 终 边 落 在 该 直 线 上 的 任 一 角##均 可 表 示 为##2)6%)+%,)6 点#所以'次经过 \" 点需要\&!'个周期#又因为周期 为 %(#所 以 需 要 ))\" *#所以 终 边 落 在 直 线 0#槡0/ 上 的 角 的 集 合 为 ,####)+%,)6 \&!'(!( %2)6#)\" -! \"!$!提 示 \"\&)\&*+\&)),-./.-0#显 然 不 是 . 的 倍 数 !( 规律总结 !求解终边在某条直线上角的集合的思路%!若 所 求 角% \&!$!提示\"因为每星期含有*天#而 ',+*/,-\&#即 ', 天 后 是 , 个 星 的终边在射线上$则集合的形式为'%#%#)\"02)6%#$)\" (!\" 若 所 期 后 的 第 \& 天 #即 星 期 日 !( 求 角% 的 终 边 在 某 条 直 线 上 $则 集 合 的 形 式 为 '%#%#)\"%,)6%#$)\" '!\"!提示\"按顺序每. 盏 灯 又 重 复 前 面 的 顺 序#是 周 期 现 象!又 1)+. (!特别地$终边在直 线 0# \&/ 上 的 角 的 集 合 为 '%#%#%0'6%)\" /\&\&-\&#所 以 第 1) 盏 灯 是 红 灯 !( %,)6$)\" (\&终边在直线0#/ 上的角的集合为'%#%#.'6%)\"%,)6$ (!梅花!提示\"\&张红桃#0张梅花#%张方块#\& 张 黑 桃 按 顺 序 排 列#每 隔 )\" (! , 张 又 重 复 出 现 #又 *2+,/1-.#所 以 第 *2 张 是 梅 花 !( )!#!提示\"因为角# 和角% 的终边关于/ 轴对称#所以#%%#)+02)6)) \" *#所 以##)+02)6\&%))\" *!( )!)%*%\&! )\&*%\&)!提 示 \")%*'/\&%.)#%\&\&)\&*%)/%%\&#%\&)!( !*!#!提示\"3角# 与 角% 的 终 边 关 于0 轴 对 称#'%#%,)6\&#%)+ !*!解\")%*观察图象可知图象从$#)!,(开始重 复#所 以 单 摆 的 振 动 是 02)6#)\" #即#%%#)+02)6%%,)6#)\" !( !!!$!提示\"因为# 与\& 的终边相同#% 与 \&\& 的 终 边 相 同#且\& 与 \&\& 的 周期现象!!)\&*振动的周期为)!,(!! )0*由 图 象 知 最 高 点 和 最 低 终边关于/ 轴对称#所以# 与% 的终边关于/ 轴对称!( 点偏离$轴的距离相等且等于)!'34#所以单摆 离 开 平 衡 位 置 的 最 !$!*\&6#%..6#\&%26#\&,,6!提示\"依题意#可 知 角 .\& 与 角 \&\& 终 边 相 同#故 大 距 离 是)!'34! .\&#\&\&%)+02)6))\" *#故\&#)+*\&6))\" *!又 )6%\&%02)6#故 令)#%#\&#0#.#得\&#*\&6#%..6#\&%26#\&,,6!( 素养点评 !本题通过建立数学中的周期模型来解决物理问 题$充 !%!$!提示\"由图象可知阴影部分的一周 内 的 角 从 \&.'6增 加 到 %\&)6#然 分体现了数学建模的核心素养$同时借助图象体现了直观想象 的 核 后再加上 周 角 的 整 数 倍#即 得 到 ,##)+02)6\&.'6\&#\&)+02)6% 心素养! %\&)6#)\" -!( !#!,##)+%,)6\&2)6%#%)+%,)6%.'6#)\" -!提 示\"角# 的 终 边 在 图 中 !!!解\"\&)\&)年'#*#,这几个月份都是0%天#2#1月份各 0) 天#从 \&)\&) 阴影所表示的范围为,##)+%,)6\&2)6%#%)+%,)6%.'6#)\" -!( !\"!,##)+%,)6%.'6%#%)+%,)6%%0'6#)\" -!提 示 \"当 角 的 终 边 在 第 年 ' 月 % 日 到 \&)\&) 年 %) 月 % 日 共 有 %'0 天 #因 为 每 星 期 有 * 天 #故 一'第三象限角平分线 上 时##%#)+02)6%.'6##\&#)+02)6%%,)6 %.'6#而#%#\&)+%,)6%.'6##\&#)\&)%%*+%,)6%.'6#)\" #'#%# 由%'0+\&\&/*5%知#从\&)\&)年'月%日再过%'.天恰 好 与 ' 月 % #\&表示为##4+%,)6%.'6#4\" #同 理 角 的 终 边 在 第 二'第 四 象 限 角平分线 上 时#%#4+%,)6%%0'6#4\" !' 角# 的 集 合 为 ,##)+ 日相同都是星期五#这一天是公历\&)\&)年%)月\&日#故 \&)\&) 年 %) %,)6%.'6%#%)+%,)6%%0'6#)\" -!( 易错点津 !区域角的表示是在有限 制 条 件 的 角 的 基 础 上 进 行 的$ 月%日是星期四! 解题的关键 是 找 出 终 边 落 在 区 域 边 界 上 的 角!要 注 意 以 下 三 点% ! ! 任 意 角 !区域边界线是实线还是虚线\&\" 角 的 旋 转 方 向\&' 一 般 地$角# 的 终边在两个对顶阴影区域内!不 包 括 边 界#时$角 可 表 示 为 ))\"%,)6 帮 练 基 础 %\&%%#%)\"%,)6%\&\&$)\" *!\&%%\&\&#的 形 式 ! !!#!提 示 \"根 据 题 意 得 %\&)6% )\&\&*)6*# \&%')6!( !\&!解 \")%*如 图 % 所 示 !! )\&*如 图 \& 所 示 ! $!7!提示\"因为分 针 是 按 顺 时 针 方 向 旋 转 的#所 以 分 针 走 过 的 角 是 负 ! 角 #又 经 过 了 %) 分 钟 #故 分 针 走 过 的 角 度 是 \&2)6!( 易错点津 !对旋转 形 成 的 角 的 概 念 理 解 不 清 致 错$解 答 易 出 现 选 $ 的错误答案$导致出现这种错误的原因是忽略了分针的旋转方向! %!\&2))6!提示\"首先注意到时针按 顺 时 针 方 向 转 动#转 过 的 角 是 负 角! %))分 钟 即 等 于 ' 小 时#时 针 走 过 % 小 时 分 针 恰 好 转 一 圈#即 转 了 0 \&02)6!' \&02)6( ' # \&2))6!( 0 #!\"$!提示\"与2)6角终边相同的角##)+02)6%2)6#)\" #令)# \&%# 则## \&0))6\&当)#% 时 ###.\&)6!( \"!7!提 示 \"\&%.,'6#0%'6\&'/02)6!( 规律方法 !终边相同的角有无数多个$它 们 相 差 02)6的 整 数 倍$在 求终边相同的角的问题中$关键是找到一个 与 其 终 边 相 同 的 一 角 !一 般 找 )6$02)6的 角 #$然 后 用 符 号 语 言 表 示 出 来 ! 图% 图\& \&!*#+#,#-!提示\"从各角的集 合 的$几 何 意 义%考 虑#集 合 . 是 在/ 轴正半轴的基础上逆时针转过.'6得到的#即角 的 终 边 为 第 一 象 限 角 !'!解\")%*终 边 落 在 \". 位 置 上 的 角 的 集 合 为 ,####1)6%.'6%)+ 02)6#)\" -#,####%0'6%)+02)6#)\" -\&终 边 落 在 \"* 位 置 上 的 平分线#同理可得集合 * 中的角的终边为第 三 象 限 角 平 分 线#集 合 , 角的集合为,####\&0)6%)+02)6#)\" -!!)\&*由题 干 图 可 知 阴 影 部分)包括边界*的角的集合是由所有介于!\&0)6#%0'6(之 间 的 角 及 中角的终边为第一'第三象限角平分线#集合 + 中角的终边为第 三 象 限角平分线#集合 - 中 角 的 终 边 为 第 一'第 三 象 限 角 平 分 线#故 *# !!\"#

!参考答案与提示! 终 边 与 它 们 相 同 的 角 组 成 的 集 合 #故 该 区 域 可 表 示 为 ,##\&0)6%)+ \&%)0 (%, )6#\&2))6#正 确\&对 于 $#\&%')6# \&%')/%, )# \&'2 # 02)6\& \&%0'6%)+02)6#)\" -! 错误\&对于 7#% \&#% \&(%, )6#%'6#正确!( \&!$!提 示\"\&\&%)6# \&\&%)/%, )# \&*2 #\" 正 确\&.)'6#.)'/%, )# 素养点评 !直观想象是借助 几 何 直 观 和 空 间 想 象 感 知 事 物 的 形 1. ## 正确\&00'6#00'/%, )#20*2 #$ 错误\&*)'6#*)'/%, )#.%*\& #7 态与变化$理解和解决数学问 题 的 素 养!本 题 通 过 观 察 角 的 终 边 所 正 确 !( 在的直线 位 置 确 定 区 域 角 的 范 围$充 分 体 现 了 直 观 想 象 的 核 心 素养! !(!#7!提示\"当) 为偶数时#设)#\&4#4\" #则)+%,)6%##4+02)6% # 为第二象限角\&当) 为 奇 数 时#设)#\&4%%#4\" #则)+%,)6%# #4+02)6%%,)6%# 为第四象限角!( '!#!提 示 \"先 在!)#\& *内 找 到 第 三 象 限 角 平 分 线 所 对 应 的 角 为' #再 . 方法技巧 !判定给定角是第几象限角 主 要 有 两 种 方 法%一 是 在 直 加 上 \& 的 整 数 倍 #即##\&) %'. ))\" *!( 角坐标系内作出该角$根据图形直观求解$二 是 将 角 转 化 到 )6\&#% 02)6范围内!利用图形判断时$依据 的 还 是 终 边 相 同 的 角 的 思 想!为 (!7!提示\"\&\&%1\& #\&\& \&'%\& !因 为 \&'%\& 是 第 四 象 限 角#所 以 \&\&%1\& 的 终 边 所 在 的 象 限 是 第 四 象 限 !( 什么转化到)6\&#%02)6范 围 内 就 可 以 判 定 呢+ 那 是 因 为 )6\&#% 02)6范围内的角与坐标系中的射线 可 以 建 立 一 一 对 应 关 系$也 就 是 说在直 角 坐 标 系 内$在 )6\&#%02)6范 围 内 没 有 两 个 角 终 边 是 相 )!$!提示\"3\& 1* #\&\& %%1% #'\& *1 与%1% 终边相同!( 同的! !)!#!提示\"3( 是第二象限 角#')+02)6%1)6%(%)+02)6%%,)6#) !*!\&' 或1%) 或*' 或%%1) !提 示 \"\&#,' %\&) ))\" *#' \& #\&' %)\& )) . ( ( \" #')+%,)6%.'6% \& %)+%,)6%1)6#)\" #即 \& 是 第 一 或 第 \" *!)#) 时 #\& #\&' \&)#% 时 #\& #1%) \&)#\& 时 #\& #*' \&)#0 . . . 三象限角#而\&( 显然是第三象限角#'1)6\&( 是第四象限角!( $*!,)6!一!提示\"\&%)))6# \&0/02)6%,)6#' 与 \&%)))6角 终 边 相 同 时 #\& #%%1) !( . 的 最 小 正 角 是 ,)6#为 第 一 象 限 角 !( !!!)%*./\& %\&%', !)\&*\&%.,* !提 示\")%*由 已 知##%21)6#%..)6% $!!一 或 第 三 !提 示 \"由 题 意 知)+02)6%\&#%%,)6%)+02)6))\" *#故 )+%,)6%#%1)6%)+%,)6))\" *#按 照) 的 奇 偶 性 进 行 讨 论!当) \&')6#, %\&%', #所以##./\& %\&%', \&)\&*依 题 意#有\&#\&) %\&%', #\&4)4\" *时#4+02)6%#%1)6%4+02)6)4\" *#'# 是 第 一 象 限 角 \&当)#\&4%%)4\" *时 #%,)6%4+02)6%#%\&*)6%4+02)6)4\" ))\" *#由\&\" )\&. #\&\& *#得 \&. %\&) %\&%', % \&\& !又)\" #所 *#'# 是第三象限角!故# 是第一或第三象限角!( 以)# \&\&#所 以\&# \&%.*, !( $$!解\")%*\&%1%)6#\&2/02)6%\&')6#因为\&')6角 为 第 三 象 限 角#所 以 \&%1%)6角 的 终 边 在 第 三 象 限 !! )\&*令\&#\&')6%)+02)6))\" *#当 , -!$!)%*'0 ! )\&*\&%')6! )0* # 0. -\&) \&#\&'. -\&) #)\" !提 示\" )#\&%时#\&# \&%%)6#当)# \&\& 时#\&# \&.*)6!所 以\& 为 \&%%)6或 \&.*)6! )%*0))6#0))/%, )#'0 !)\&*\& 2' #\&'2 (%, )6# \&%')6!)0*先 $%!解 \")%*若##%.)6#则 # #*)6为 第 一 象 限 角 !若## \&\&\&)6#则 # # ,求出边界 角#再 用 集 合 表 示#可 得 # 0. %\&) \&#\&'. %\&) # \& \& \&%%)6#为第三象限角!!)\&*3# 为 第 二 象 限 角#即 1)6%)+02)6% #%%,)6%)+02)6))\" *#'.'6%)+%,)6% # %1)6%)+%,)6))\" -)\" !( \& *#当)#\&4)4\" *时 #有 .'6%4+02)6% # %1)6%4+02)6#可 知 易错点津 !!%#在 角 的 同 一 表 达 式 中 不 能 将 弧 度 制 与 角 度 制 混 \& 用 !!\&#用 弧 度 制 表 示 区 域 角 时 $需 注 意 角 度 与 弧 度 的 换 算 ! # 为 第 一 象 限角 \&当)#\&4%%)4\" *时 #有 \&\&'6%4+02)6% # % \& \& !%!解\")%*\&%')6#\&'2 #%')6#'2 #用 弧 度 制 表 示 终 边 在 图 中 阴 影 区 \&*)6%4+02)6#可知 # 为第三象限角!综上##\& 为第一或第三象限角! \& , -域内的 角 的 集 合 为 \&'2 %\&) \&/\& ' %\&) #)\" # / 2 !! 4 疑 难 突 破 ! 确 定 角 !4\" ' #的 终 边 所 在 象 限 %! 分 类 讨 论 法 % 利用已知条件写出角# 的范围$由 此 确 定 # 的范 围 $再 讨论) 的取 )\&*.'6# \& #\&\&'6#'. #用 弧 度 制 表 示 终 边 在 图 中 阴 影 区 域 内 的 4 . , - ,角的集合为 / '. %\&) \& 值即可!\"等分象限法%将各个象限4 等分$从 第 一 象 限 离 / 轴 最 近 . -\&) \&/\& \& -\&) #)\" $ / 的区域开始按逆时针方向依次 重 复 标 注 %$\&$0$.$直 到 将 所 有 区 域 - , -/\&0\& %\&) #)\" . \& 标完为止!如果角# 的终边在第 几 象 限$那 么 # 的终边就在直角坐 # / -) \&/\& -) #)\" ! 4 标系中标号为几的区域内! 素养点评 !本题给出区域角的图形$要求写 出 相 应 角 的 集 合$求 解的关键是根据图形 求 出 区 域 角 的 边 界 线 对 应 的 角$这 充 分 体 现 ! ! 弧 度 制 了直观想象的核心素养! 帮 练 基 础 !!\"#$!提示\"我们把长度等于半径长的弧 所 对 的 圆 心 角 叫 作 一 弧 度 的 名师点评 !!%#先 将 角 度 转 化 为 弧 度$再 按 逆 时 针 方 向 写 出 角 的 范围即可!!\&#阴影区域由两部分组成$要注 意 合 并!!0#当 两 区 域 的 角#据此定义可知只有 7 正确!( 边界!包括 边 界#互 为 反 向 延 长 线 时$只 用 一 个 式 子 )) %#\&/\&) %%*!)\" #就 可 以 表 示 ! 易错点津 !因为弧 度 是 一 个 全 新 的 概 念$所 以 认 识 它 和 解 决 相 关 !#!$!提 示 \"6#(;<%%#'7####6#(;<\&%!( 问题都不要脱离这个定义进行! $!7!提示\"$度%与 $弧 度%是 度 量 角 的 两 种 不 同 的 单 位#\" 正 确\&易 知 # 正确\&由弧 度 制 规 定 知 89:#%,)6#$ 正 确\&角 的 大 小 只 与 弧 长 与 半 !\"!$!提示\"因为7#6+##\&/\&0 #.0 )34*#所 以 扇 形 的 面 积 为 1# 径的比值有关#与圆的半径无关#7 错误!( %!0 !提 示 \"一 个 周角 是 \& #因 此 分 针 %) 分 钟 转 过 的 角 的 弧 度 数 为%) %\&76# % (.0 (\&+.0 )34\&*!( 2) \& (\& # !( !\&!#!提 示 \"$弓 %所 在 弧 长7# % % #', #其 所 对 圆 心 角 ## 0 . . , #!7!提 示 \"\&%%\&'6# \&%..)6%0%'6# \&, %*. !( ' \"!$!提 示\"对 于 \"#2*60)5#2*!'/%, )#0, #正 确\&对 于 ##\&%)0 # , # #两 手 之 间 的 距 离 8#槡\&(%!\&'(%!*2,)米 *!( ' \& . !!\"\"

!数学 必修 第二册 !!新课标\"北师#! !'!.0 !提 示 \"连 接 .\"#\"*!因 为 ).,*# #所 以 ).\"*# #所 以 %) ))\" *#即#%%# %\&) ))\" *!( 2 0 \& *.\"* 为 等 边 三 角形 #故 圆 \" 的 半 径6#.*#.#劣 弧..*的 长 为 易错点津 !!%#若#$%角的终边关于/ 轴对称$则# 与% 的关系为# 0 %%#\&) !)\" #!!\&#若#$%角的终边在同一条直线上$则# 与% 的 关 (.+.0 !( 系 为%##%) !)\" #! !(!解 \"设 扇 形 的 弧 长 为734#它 所 在 圆 的 半 径 为634#圆 心 角 为#))%# $!解 \")%*因 为#是 第 三 象 限 角 #即 \&) % %#%\&) % \&0 #)\" #所 以 ,7%\&6#2# %\& *#由题意得-+%\&76#\&!消去7得6\&\&06%\&+)#解 得6#% 或6 ) % % # %) % .0 #)\" #.) %\& %\&#%.) %0 #)\" #当 ) \& \& 7 . 7 \& 为偶 数 时 ## 为第 二 象 限 角 #当 ) 为 奇 数 时 ## 为 第 四 象 限 角 #故 6 % 6 \& \& \& #\&!当6#% 时 #7#.### # #.\&当6#\& 时 #7#\&### # #%!故 扇 形 的 圆 心 角 为 % 弧 度 或 . 弧 度 ! # 的 终 边 在 第 二 或 第 四 象 限 !而 \&# 的 终 边 落 在 第 一 '第 二 象 限 或 0 \& !)!解\")%*弧长7##6# \&0 (2+. #3\".#\"*#2#'.*#2槡0#圆 心 轴 的 非 负 半 轴 上 !! )\&*因 为 \&0\& % \&.% 5 #所 以 # 为 第 二 象 限角! 到 .* 的 距 离 为8#0!'1弓 形 #1扇 \&1*.*\" # % ( 0\& (2\&\& % 形 \& \& $# (2槡0(0+%\& \&1槡0!!)\&*设 扇 形 圆 心 角 为##半 径 为 9#扇 形 面 易 错点 津 !# 分 别 为 第 一 ,第 二 象 限 角 时 \& 均 为 第 一 ,第 三 象 限 积为1#则#9%\&9#\&)!'##\&)95\&9#'1# \&%#9\&#%)9\&9\&#\&' 角 $# 分 别为 第 三 ,第 四 象 限 角 时 $# 均 为 第 二 ,第 四 象 限 角 $但 是 它 \& \&)9\&'*\&#'当 9#'34 时#1 有最大值\&'34\&#此时##\&! 们在以象限角平分线为界的不同区域! $*!解\"设从点 : 出发后#$(时 ;#< 第一次 相 遇#则 有 2 $% 0 $#\& # %!解 \"因 为 \&\&0 #.0 \&\& #所 以 角 \&\&0 与 角.0 的 终 边 相 同 #所 以 图 中 阴 , -影区域所表示的角的集合为 解 得$#.#故 点 ; 转过的弧度为 (.+ \& #点 < 转 过的 弧 度为 # %\&) \&#\&.0 %\&) #)\" ! 2 0 . ) *\& #\& .0 ! 易错点津 !在解题 时 角 度 制 与 弧 度 制 不 能 混 用$一 道 题 特 别 是 一 0 /. 个式子不能同时出现角度与弧度$要么都 用 角 度 表 示$要 么 都 用 弧 度 ! ! ! 综 合 过 关 表示! 帮 练 疑 难 #!解 \"方 法 一 \"设 扇 形 的 半 径 为634#弧 长 为734#扇 形 的 面 积 为134\&! !!\"!提 示 \"\&\&2'6# \&02)6%1'6#故 \&\&2'6与 1'6终 边 相 同 !( 则7%\&6#0)#即7#0)5\&6!! ! 将 ! 式 代入 1# %\&76#得 1# % )0) $!/ 轴的非 负 半 轴 上 !提 示\"3##% 的 终 边 相 同#'##%%)(02)6))\" \& *!'#\&%#)(02)6))\" *!'#\&% 的 终 边 落 在/ 轴 的 非 负 半 轴 6\&%\&' \& %\&\&.'!所 %'时 上 !( ) *5\&6*+6# \&6\&%%'6# \& \& %!,####\&*)6%)(02)6#)\" -!提 示\"3 点 :))#\&%*在 0 轴 的 非 正 半 以 当 6# #扇 形 轴上#在)6$02)6内满足条件的角为 \&*)6#' 所 有 角# 的 集 合 为 ,### #\&*)6%)(02)6#)\" -!( 面积最大#且最 大 面 积 为\&\&.'34\&!此 时 圆 心 角\&#0)%5'%'#\&!方 法 疑难突破 !角的顶点在原点$始边在/ 轴的 非 负 半 轴 上$角 的 终 边 \& 在第几象限$就称这个角是第几象限角!或 说 这 个 角 属 于 第 几 象 限#! 它的前提是角的顶点为原点$角的始边为/ 轴 的 非 负 半 轴!否 则 不 能 二\"设扇形的半径为634#圆心 角 为\&))%\&%\& *#则 弧 长 为6+\&!由 如此判断某角为第几象限角!若角的终边 落 在 坐 标 轴 上$就 说 这 个 角 不属于任何象限! 题 意 #得 \&6%6+\&#0)#即 6#\&0-)\&!所 以 1# \&%\&+6\& # % + #!7!提示\"!\"显然正确\&又 .*'6#02)6%%%'6#\&0')6# \&02)6%%)6# \& 故 ' ) 也 正 确 !( 疑难突破 !几种范 围 角 的 表 示 方 法%)第 一 象 限 角 *可 表 示 为 '\&#) \&\&0%)\&.\&+%\&.#\&\&%.'.)\&\&%.!整理#得 1\&\&% ).1\&.')*+\&%.1#)!\" ! \"02)6%\&%)\"02)6%1)6$)\" (\&)小 于 1)6的 角 *可 表 示 为 '\&#\&% 1)6(! 由12)及 *3)知502))1%\&)\&'))3)#所 以 1\&\&\&.'#即 扇 形 的 最 \"!\" ' ) !提 示 \" 大面积为\&\&.'34\&#将1#\&\&.'代 入 \" 式#解 得\&#\&#所 以6#%\&'!答\" 当 扇 形 的 半径为%\&' 34#圆心角为\&弧度时#扇 形 面 积 最 大#最 大 面 积 为 序号 正误 原因 \&\&.'34\&! 易错点津 !涉及最大!小#值问题时$通常 先 建 立 函 数 关 系$再 应 用 终边相同的 两 个 角 一 定 相 差 02)6的 整 函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值! ! . 数倍#反之也成立 帮 练 速 度 !!\"#7!提示\"对于 \"#如\&2)6和 0))6是 终 边 相 同 的 角#但 它 们 并 不 相 # 是锐角#即)6%#%1)6#故 等#'排除 \"\&对于 ##01)6是 第 一 象 限 角#可 它 不 是 锐 角#' 排 除 #\& \" / ,##)6%#%1)6-0,%#)6\&%%1)6- 比如 \&0)6或 )6的 角#小 于1)6#但 它 们 都 不 是 锐 角#排 除 7=只 有 $ 负角和零角 都 小 于 1)6#但 它 们 都 不 是 ' / 锐角 正 确 !( $!$!提 示 \"% ++ 数 点 后 $%.\&,'*%呈 周 期 性 变 化 #且 周 期 为 * #)!%.\&,'*#小 2!3\&)+0/2-\&#' 第 \&) 位 为 .!( 锐角# 满足)6%#%1)6#显 然 是 第 一 象 %!7!提示\"##)\& #)\" #由)#)#%#\&#0#.//知角的终边在坐标轴 上! ) / 限角 !( \&!'!提示\"!0)6\&02)6#\&00)6是第一象 限 的 角#但 它 是 负 角#因 此 ! 而##) % #)\" 表 示 角 的 终 边 在 0 轴 上 \&##) #)\" 表 示 角 的 \& 是错误的\&\"由于角的概 念 的 推 广#第 一'第 二 象 限 的 角 不 再 局 限 于 终 边在 轴 上 \&##\&) % #)\" 表 示 角的 终 边 在0 轴正 半 轴 上 !( )6$02)6的角#像01)6是第一象限角#%\&)6是第二 象 限 角#显 然 01)61 / \& %\&)6#所以\"也是错误的\&' 由 于 角 的 顶 点 是 原 点#始 边 与 / 轴 的 非 #!7!提示\"\&*'6角是 第 四 象 限 角\&\&\&'6角 是 第 三 象 限 角\&.,)6#02)6% 负半轴重合#所以相等 的 角 终 边 一 定 相 同#因 此 ' 是 正 确 的\&) 由 于 %\&)6是第二象限角\&\&0%'6#\&02)6%.'6是 第 一 象 限 角#故 ! \" ' ) 1)6#%,)6都 不 是 象 限 角 #因 此 ) 是 错 误 的 !( 全 正 确 !( 帮 练 易 错 \"!#!提示\"显 然 分 针 在 % 点 到 0 点 \&) 分 这 段 时 间 里#顺 时 针 转 过 了 两 !!#%%# %\&) ))\" *!提示\"3##%角的终边关于0 轴 对 称#'#\&%%# 周 又一 周 的 % #用 弧 度 制 表 示就 是 \&. \& % (\& # \&%0. !( 0 0 !!\"\&

!参考答案与提示! \&!7!提示\"3# 是 第 三 象 限 角#')+02)6%%,)6%#%)+02)6%\&*)6#) $!7!提示\"根据三角函数定义#/#\&#0#\&%#6# 槡\&\&%)\&%*\&#槡'#则 \" !')+%,)6%1)6% # %)+%,)6%%0'6#)\" !当 ) 为 偶 数 时 ## (;<## 0 # \& % #3>(## / # \& #所 以 (;<#%3>(## \& %% \&# \& \& 6 槡' 6 槡' 槡' 槡' 是 第 二象 限 角 \&当) 为 奇 数 时 ## 是 第 四象 限 角 !( %# 槡''!( \& 槡' '!7!提示\"设 弧 长 为7#则7%\&9#.9#'7#\&9#'1扇形 # %\&79#9\&! %!\"!提 示 \"36# 槡>\&%%2#'3>(## \&6># \&> #\& 0 #'>#0!( 槡>\&%%2 ' 3 圆 心 角#### 7 #\&#'1三 角 # % +\&9+(;<%+93>(%+9\&(;<% 9 形 \& #!\"!提示\"因为#:\"## 槡/\&%.\&)\" 为 坐 标 原 点*#所 以 3>(## %'/# +3>(%#'1弓形 #1扇形 \&1三角形 #9\&\&9\&(;<%3>(%!( (!$!提 示\"由 扇 形 的 弧长公 式 #可 得扇形的 圆 心 角 ## 7 # 0) # / #解得/#0 或 /# \&0#又 因 为# 是 第 二 象 限 角#所 以 /# 6 , 槡/\&%.\& %')弧 度*!( \&0##:\"##'#所 以 (;<## . !( . ' )!,\&%\&26#\&026#'.6#%..6-!提 示\"当 )# \&% 时### \&%\&26\&当 )#) \"!0%槡0%0! \&\&%槡0%0!提 示\"如 图 0 所 示#点 时###\&026\&当 )#% 时###'.6\&当 )#\& 时###%..6!'.4*# ,\&%\&26#\&026#'.6#%..6-!( :)\&=#\&0=*)= %)*在 第 二 象 限#且 6# !*!)!,(!%!.!提示\"质点从 \" 点向左运动#\"5; 用了)!0(#;5.5 \& 槡%0=#故 有 (;<## \&0= # \&0= # ; 用了)!\&(#由于 ;5\" 与\"5; 用时相同#因此质点运动 半 周 期 6 \& 槡%0= #)!\&-)!0/\&+)!,)(*#从而 当 质 点 第 三 次 经 过 ; 点 时 用 时 应 为 0%槡0%0#3>(##\&6=# \&= # \&\&%槡0%0!( ; 5\"5*5\"5;#所用时间为)!0/\&-)!,+%!.)(*!( \& 槡%0= !!!\&%%)6或\&')6!提示\"3##%21)6#./02)6%\&')6#'\&#)+02)6%\&')6#) 易错点 津 ! 用 定 义 法 求 三 角 函 数 值 要 注 图0 \" #3\&02)6%\&%02)6#')#\&%或)!'\&#\&%%)6或\&')6!( 意的两个问题%!已知 角# 终 边 上 一 点 : 的 !$!\&槡0!提示\"设圆半径为 9#则圆的外切正三角形的边长为\&槡09#'7 坐标$若点的坐标是由字母给出的$一定 要 注 意 点 的 位 置 或 对 字 母 的 #\&槡09#' 圆 心 角\&# 7 #\&9槡09#\&槡0!( 符号进行讨论!\"已知角# 的终边所 在 的 直 线 方 程$由 于 角# 的 终 边 9 也是以原点为顶点的一 条 射 线$因 此 对 终 边 是 直 线 的 上 半 部 分 还 是 !%!\&%%0 #\&'0 #0 #* !提 示 \"设 角 的 终 边 为 射 线 \".#\". 关 于 直 下 半 部 分 要 分 清 $否 则 要 分 情 况 讨 论 ! 0 2 \&!解\"6# 槡0\&%=\& # 槡=\&%1#依 题 意 (;<\&# = #3>(\&# 线0#/ 对 称 的 射 线 为 \"*#则 以 \"* 为 终 边 的 角 的 集 合 为 槡=\&%1 , -# )\&. #. *#' 0 #' =% 0 #\& % =%0 # \& % #解 得 ##\&) % 0 #)\" !3#\" \&. %\&) % 0 % 槡=\&%1 槡=\&%1 槡=\&%1 ' !即 槡=\&%1 ' . #' \& %0 %)% %2%!3)\" #')# \&\&#\&%#)#%#'# 的 值 为 或 1 #经 检 验 知 1 不 合 题 意 #舍 去 !故 2 . . =# \&. =# \& =# \& =# \&%%0 #\&'0 #0 #*0 !( \&.! !#!解\")%*是周期现象#周期%\& 分 钟0圈!! )\&*转 四 圈 需 要 时 间 为 ./ '!解\"设直线上任意一点 :)?#\&?*#?2)#则6# 槡?\&%)\&?*\& #槡'#?#! %\&+.,)分 钟 *!! )0*第% 次 距 离 地 面 最 高 需2 分 钟 #而 周 期 是%\& 分 钟#所以第四次距地面 最 高 需 %\&/0-2+.\&)分 钟 *!! ).*因 为 2) 当?1) 时 #(;<## \&? # 槡\&'#\&'槡'#3>(##槡'?#?## %# 槡''!当 ? ?%\&+'#所以转2)分 钟 时 你 距 离 地 面 与 开 始 时 刻 距 离 地 面 相 同# 槡'#?# 槡' 即 .)!'5.)+)!')米 *! %) 时 #(;<## \&? # \& \&# \&\&'槡'#3>(##槡'?#?## \&%# \& 槡''! 槡'#?# 槡' 槡' !\"!解 \")%*3##%\&)6#%\&)/%, )#\&0 #6#2#'7##+6#\&0 (2+. ! 方法技巧 !已知角# 的终边所在直线$求# 的正弦函数值及余弦函 )\&*设扇形的弧长为7#则7%\&6#\&.#即7#\&.5\&6))%6%%\&*#扇 形 数值时$常用的解题方法有以下两种%!%#先 利 用 直 线 与 单 位 圆 相 交$ \&%7+6# % 求出交点坐标$然后利用 正,余 弦 函 数 的 定 义 求 出 相 应 三 角 函 数 值! \& 的 面 积 1# )\&.5\&6*6# \&6\& %%\&6# \& )6\&2*\& %02# !\&#注意到角的终边为射线$所以可取射 线 上 任 意 一 点 坐 标 !?$>#$则 '当且仅当6#2时#1 有 最 大 值 02#此 时7#\&.5\&/2+%\&#'## 对应角的正弦值(;<## > $余 弦 值 3>(## ? !这 里 的 槡?\&%>\& 槡?\&%>\& 7 #%2\&#\&! 6 !?$>#可 以 都 是 确 定 的 常 数 $也 可 以 是 坐 标 中 含 有 参 数 的 形 式 ! 疑难突破 !扇形的 弧 长 公 式 和 面 积 公 式 实 质 上 可 看 作 是 两 个 量 (!7!提示\"3# 是 第 二 象 限 角#'3>(#%)#(;<#1)!' 点 : 在 第 四 象 之间的函数关系$因此$经常出现以这 两 个 公 式 为 纽 带 的 函 数 问 题$ 限 !( 涉及函数解析式的建立和函数最值的求 解$即 最 终 利 用 函 数 思 想 去 规律方法 !已知角# 的大小判断(;<#$3>(# 的符号的步骤% 解决问题! !%#把# 化为%%)(02)6!)6\&%%02)6$)\" #或%%\&) !)\&%%\& $) !\&!解\"根据题意可知%.##%.%均为02)6的整数倍#故可设%.##=+02)6#= \" #\&!\&#根据!%#确 定 角# 的 终 边 所 在 的 象 限\&!0#根 据 角# 的 终 边 \" #%.%#4+02)6#4\" #从 而可 知## = +%,)6#%# 4 +%,)6#=#4\" 所在的象限确定(;<#$3>(# 的符号! * * , ,)!$!提 示\"由 题 意 知 (;<\&3>(\&%)#则 (;<\&1)#或 (;<\&%)#由 !又由两只蚂蚁在第\&(时 均 位 于 第 二 象 限#则 \&##\&% 均 在 第 二 象 限! 3>(\&%) 3>(\&1)! 又)6%#%%%%,)6#')6%\&#%\&%%02)6#因此\&##\&%均为钝角#即1)6%\&# , ,(;<\&1)#知角\&是第二象限角\&由 (;<\&%)#知角\&是第 四 象 限 角! %\&%%%,)6!于是.'6%#%1)6#.'6%%%1)6!'.'6% = +%,)6%1)6#.'6% 3>(\&%) 3>(\&1) * 综 上 所 述 #角\& 是 第 二 或 第 四 象 限 角 !( 4 * * #* * * +%,)6%1)6#即 . %=% \& . %4% \& !又 3#%%#'=%4#从 而 !*!7!提 示 \"因 为 )%%% %\&%0% %.%0\& #所 以 (;<%1)#(;<\&1 \& 02) '.) ) * ) *可得 =#\&#4#0!即## * * )#(;<01)#(;<.%)#所 以 最 小 的 数 是 (;<.!( 6#%# 6! ! ! 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 概 念 及 其 性 质 !!!\"#!提示\"%'26是第二象限的角#有(;<%'261)#故 \" 正 确\&%2' #\& ! ! 单 位 圆 与 任 意 角 的 正 弦 函 数 余 弦 函 数 定 义 %2' 是第三象限的角#有3>(%2' %)#故 # 正 确\&\&89: 是 第 二 象 限 ! ! 单 位 圆 与 正 弦 函 数 余 弦 函 数 的 基 本 性 质 帮 练 基 础 的 角#因此3>(\&%)#故 $ 错误\&\&%0. #\&. %0. 是第二象限的角# ) *!!\"!提示\"易知点 % % #槡0 在 单 位 圆 上 #故 3>(## \& !( ) *应有(;< \&%0. 1)#故 7 错误!( \&\& !!\"'

!数学 必修 第二册 !!新课标\"北师#! !$!1!提示\"3%89:('*!06#\&89:(%%.!26#'% 弧 度 角 在 第 一 象 限#\& ) * ! ) *( ) *$!7!提 示\"(;< 0. 5# #(;< \& 0. 5# # 弧 度 角 在 第 二 象 限 #'(;<%1)#3>(\&%)!'(;<%53>(\&1)!( #(;< . %# !%! !提示\"由\&-3>(/2)知3>(/2 \&\&#由 3>(/\"!\&%#%(#故 定 义 ) *\&(;< '. -# #\&槡\&0!( 域为 !( !#!)\&) #\&) % *))\" *!提 示\"由 题 意 知 (;</1)!又 0#(;</ 在 !)# 方法技巧 !已知角 . 的三角函数值$求角* 的三角函数值$当不能 将 .$* 均转化为与另一角# 有关 的 三 角 函 数 时$可 考 虑 采 用 整 体 处 \& (内 #(;</1) 满 足 )%/% #' 定 义 域 为 )\&) #\&) % *))\" *!( !\"!解\")%*由0#.53>(/ 知定义域为 !!)\&*由题意知\&(;</%%3)# 理 法 !观 察 已 知 角 . 与 所 求 角* 的 和 或 差 . @*$是 否 会 等 于 $ $ \& ! (即 % 在 一 周 期 #0 内 满 足 上 述 条 件 的 角 为 /\" (;</3 \& \& \& \& \& \&0 $\& 等$如可以的话$可把求 角 * 的 三 角 函 数 值 直 接 转 化 为 角 . ! ( !\& #* #\&) % 2 2 #由 此 可 以 得 到 函 数 的 定 义 域 为 \&) \& 2 的三角函数值! (* ))\" *! %!7!提 示 \"由 3>() %#*# \& % #得 3>(## % #3 \& %#%\& #'## \& \& 0 2 规律方法 !利用单位圆与正弦函数,余弦 函 数 的 基 本 性 质 可 求 一 0' !故 (;<)\& %#*#(;<##(;< '0 # \&(;< # \& 槡\&0!( 些复合函数的定义域 与 单 调 区 间$正 弦 函 数,余 弦 函 数 的 定 义 域 是 0 ) * ! ) *( ) *#!7!提示 研究其他一切性质的前提$要树立定义域 优 先 的 意 识!求 正 弦 函 数, \"3>( #% 0 #3>( \& - #\& 2 # \&(;< #\& 2 # 余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式! % 0 ! ( ! (!\&!解\")%*结合单位圆 知0# %03>(/ 在 \& !( #0 上 0\" \& 槡\&\&#) ! \&. \"!\&%!提 示\"原 式 #(;<)02)6\&.'6*\&3>()%,)6\&.'6*%\&(;<)02)6% 故 最 大 值 为 )#即 049@# %03>( #)!! )\&*设$#(;</#则 有 0# )$ \&%)6*#\&(;<.'6%3>(.'6%\&(;<)%,)6%0)6*#\&\&(;<0)6# \&\&/ % \& \& \&\&*\&%%#$\"!\&%#%(#'当$# \&% 时#0# )$\&\&*\&%% 取 得 最 大 值 # \&%!( %)\&当$#%时#0#)$\&\&*\&%%取 得 最 小 值 \&#'0# )(;</\&\&*\&%% ) * ! ) *( ) *\&!\&% 0 #%*%\& #%% \& # \&(;< #%% \& 的 值域为!\&#%)(!!)0*3(;</\"!\&%#%(#且 =2)#'当 =1)时#0 !提 示 \"3>( #3>( \& - #=(;</%4 的值域是!4\&=#4%=(\&当 =%) 时#0#=(;</%4 的 % 0 值域是!4%=#4\&=(!综上可知#函数0#=(;</%4)=2)*的 值 域 # \& !( 是!4\&#=##4%#=#(! ) *'!解\"3(;<) %#*# % #'(;<## % !)%*3>( #\&0\& 易错点津 !对于!\&#$在换元 时 要 注 意$#(;</ 的 范 围 不 是 \&对 \&(;<## \& 0 0 # 于!0#$要注意分 =1)$=%)这两种情形讨论求解! ) * ) *3>( 0\& 5# % 0 \& !'!#!提示\"(;<.)'6#(;<)02)6%.'6*#(;<.'6# 槡\&\&!( # \&(;<## \& !! )\&*(;< %# #3>(##3>(\&##% !(!\& !提示\"0#(;</ 的最小正周期 为 \& #故0#\&5(;</ 的 最 小 正 周 5(;<\&##%5 % # , !3(;<## % #'# 为 第 一 或 第 二 象 限 角 !! 当# 1 1 0 期 为 \& !( ) *为第一象限角 时#(;< #3>(##\&0槡\&!\" 当# 为 第 二 象 限 角 \& ) * ) *!)!)!提示\"3>(0##3>(0 #)!( -# 2 \& \& -\&) #3>( -2) #3>( ) *时#(;< #3>(## \&\&0槡\&! $*!%!提 示 \"原 式 #(;<)02)6%2)6*3>()*\&)6%0)6*%(;<)\&*\&)6%0)6* \& -# 3>()\&*\&)6%2)6*#(;<2)63>(0)6%(;<0)63>(2)6# 槡\&0( 槡\&0% % ( ! ) *( ) * )(!#!提 示\"A)/*#3>( \& \& \& 5 /% . %3>( /\& . #3>( . % #%!( * ) * ) * ) * ) */ #A # \& %3>( /\& . #\&3>( /\& . /% \& #\&3>( /% . $!!7 ) * ) * ) * )A 素养点评 !利用单位圆有助于理解记忆正弦,余弦函数的单 调 区 \&/% \& #\&3>( \&/% . #\&3>( /\& . #'A)/*#A \&/ 间$特 别 注 意 不 连 贯 的 单 调 区 间 不 能 并$体 现 了 直 观 想 象 的 核 心 *% !( 素养! \& ! ( ! ( ! ($$! \& 0 #) ! \& 槡\&0#% !提示\"30#3>(/ 在 区 间 \& 0 #) 上单 疑难突破 !若两个角之和或之 差 为 的整 数 倍 $则 这两 个 角之 间 \& ! (调递增#在区间 )#'2 上单调递减#'当/#) 时#049@#%#当 /# 的三角函数值可利用诱导公式进行互化! ) *) *)!(;< \& !提 #04;<#3>('2 # 槡\&0#'0#3>(/ \&/\&'2 (;<)\&\& *3>( \& -\& 3>()\&\&* ' 时 \& \& 0 的值域是 示\" 原 式 # # ) *2 \& (;< 5\& !\&(;<)\&% *( ! (\&槡\&0#% !( \&(;<\&3>)(\&\&((;;<<\&\&*3>(\&#(;<\&!( ! ($%!解\")%*0#(;</ 在/\"!\& # (上的单调递增区间为 # \& \& \& # !*!,##\&) \& \&#\&\&) #)\" -!提 示\"因 为#(;<). \&#*##(;<) %#*# 则#(;<### \&(;<##所 以 (;<#\&)#所 以 \&) \& \&#\&\&) ))\" *!( ! ( ! (单调递减 区 间 为 # !! )\&*0#3>(/ 在 / \" \& #\& \& \& # \&3(>;(<)) ' \&\&\&\&** + \&(;<(;)<0 \&\&\&* + 3>(\& \&(;<). %\&* !\& # (上 的 单 调 递 增 区 间 为 !\& #)(#单 调 递 减 区 间 为 !)# (! !!!解 \"原 式 # # ! ! 诱 导 公 式 与 对 称 \&(;<!. %) \&\&*(+ \&(;< !\&( ;<%\&) \&\&*(+ \&3>(;(<\&\&# \&(;<) \&\&* ! ! 诱 导 公 式 与 旋 转 \&3>(\& \&3>(\& 帮 练 基 础 + \&(;(<;<) \&\&\&*+ \&3>(;(<\&\&# \&(;<\&+ (;<\& + \&3>(;(<\&\&#%! \&3>(\& \&(;<\& ) * ) *!!#!提示\"(;<%*2 #(;< #(;< # % !( 规律方法 !所谓化简$就是使 表 达 式 经 过 某 种 变 形$使 结 果 尽 可 0 \& 2 #(;< \& 2 2 \& 能的简单$也就是项 数 尽 可 能 的 少$次 数 尽 可 能 的 低$函 数 的 种 类 素养点评 !利用诱导公式求给定角的三角函数值的基本思 路 是% 尽 可 能 的 少$分 母 中 尽 量 不 含 三 角 函 数 符 号$能 求 值 的 一 定 要 任意负角 的 三 角 函 数 5 任 意 正 角 的 三 角 函 数 5)6到 02)6的 角 的 三 角函数5锐角三角函数5求值!这种转化充分体现了化未知为 已 知 求值! 的 数 学 思 想 $同 时 体 现 了 逻 辑 推 理 与 数 学 运 算 的 核 心 素 养 ! ) * ! ) *( )!$!解\"3>( ) % ) \& 0 5# #3>( \&) \& ) % 0 -# #3>( 0 !!\"(

!参考答案与提示! * ) * ) * )%# ) *#!$!提示\"3(;<) %#*%3>( # \&(;<#\&(;<## \&=#'(;<# #所 以 原 式 #3>( ) % 0 -# %3>( ) \& 0 \&# #\&3>( ) \& -# = 0\& 5# ) *# \& * ) *% !故 3>( %\&(;<)\& \&#*# \&(;<#\&\&(;<## \&0(;<## 0 %# !当 )#\&4)4\" *时#原 式 #\&3>( \&4 % 0 -# # ) * !\&3>( )\&4%%* % \& 0\&=!( 0 -# \&当)#\&4%%)4\" *时#原 式 #\&3>( 0 ,(;<.0 #4 为偶数# 4 %.0 # +-\&(;<.0 #4 为奇数 # ( ) *%# ! ) *\"!#$ !提 示\" \" 中#(;< # \&\&3>( 0 -# ) * 难点突 本 题 掘 到 了 一 个 隐 条 破 ! 挖 含 件 ) % 0 %# % ) * ),\&(;< #4 为 偶 数 # 0 数 \& # + 中 #3>( \&4 % #3>( #(;< \& ) *) \& -(;< 2 2 \& 0 5# #\&) )\" 从而先利用 诱 导 公 式 对 题 目 化 简 然 后 #4 为奇 0 再讨论)的奇偶情况! * ) * ) \&7 0 0 0 2 3>(#(;<# #(;< \&$ 中#(;< \&4 % #(;< 中 #3>( \&4 % \& \&(;<)#%\& *3>() %#*)\&3>(#* !%! 证 明\" 左 边 # # * ) * # \&3>( 2(;< !( 2 2 0 2 \&(;<#)3\&>(3>#((;#<*#)\&3>(#*# \&3>%(## 右 边 #所 以 原 等 式 成 立 ! #3>( \& 规律方法 !利用诱导公式证明等式问题 关键在于公式 的 灵 活 \&!7!提示\"3.%*%,# #'.%*# \&,#'3>().%**# \&3>(,# 应用 其证明的常用方法 有 ! 从 一 边 开 始 使 得 它 等 于 另 一 边 (;<).%**#(;<,#故 \"## 错!3.%,# \&*#'.\&%,# \&\&*# 一般由繁到 简!\" 左 右 归 一 法 即 证 明 左 右 两 边 都 等 于 同 一 个 ) *'3>(.\&%,#3>( * * #故 错 %,# \&.# \& \& \& 式子! 5 #(;< $ !3* !#!证明\"3.#*#, 为*.*, 的三个内角#'.%*%,# #'3>()\&.% ) *'(;<*\&%,#(;< 5 . #3>( . #故 7 正确 !( *%,*#3>().%.%*%,*#3>() %.*# \&3>(.!'3>()\&.%* \& \& \& %,*# \&3>(.! ) *'!7!提 / / / 不 示 \"3A)/*#3>( \& #'A)\&/*#3>( \& \& #3>( \& #'$ (;<) % 5#3>( ) % -# ) *对\&又A)\& \&/*#3>(\& \&\&/#3>( / / \&A)/*# \& 3>( ) \& \& 5# \& \& ) * ) *!\"!证明\"左边# !!当) 为 偶 数 时# \& # \&3>( # ) * ) *(;< ) %0\& -# \& ) *'\" 不对\&3A)\& %/*#3>(\& \&%/#3>( / # \&3>( / % \& \& )) ** )) **设) # \&4 )4 \" 2 \& \& (;< 5# 3>( -# A)/*#'# 不对!( *#' 左 边 # 0\& -# # \& (;< 3>( \& 5# (!\& . !提 示 \"3:)\&.#0*在 角# 的终 边 上 #'#\":##'#'(;<## 0 # 0 ' ) * ) *3>(#)\&(;<#* # \&3>3(>(##))\&\&(;(<;<##**# \&%!\" 当 ) 为 奇 \&(;< -# 3>( -# 3>(## \& . !' 原 式 # \&3>(#(;+<\&)#\&(;<#*#3(;><(### \& . !( \& \& ' 0 ) * ) * ) *)!\&\&!提 示\"A 数 时 #设)#\&4%%)4\" *#同 理 可 得 左 边 # \&%!综 上 #原 等 式 成 立 ! \&%2% #(;< \&%2% #(;< # % #A %% # 2 \& 2 ) * ) *!\&! 证 明\" 3 (;< #%,* # ?3>( #%,* # ' 左 边 # ) * ) * ) * ) *A ' ' \&%+A \& % \&\&+(;< \& \&\&+ 5 \& #'A \&%2% 2 2 2 ) * ) *(;< %,* -# %03>( #%,* 50 ! ) *( ! ) *((;< . \& ,* -# \&3>( \& % #%,* # ) *%A %% # % \& ' # \&\&!( 2 \& \& \&#\&\&) %0\& #)\" , -!*!# !提 示\"因 为#3>(###3>() % \&03>( #%,* \&) % \& \&3>( #%,* ) * ) * ) * ) *\&(;< ,* -# \&03>( #%,* ) * ) * ) * ) *\&(;< ,* -# \&3>( #%,* # \&?3>( #%,* #*#\&3>(##所以#3>(###\&3>(##所以 3>(#\&)#所 以 角# 的 集 合 \&?3>( #%,* , -为 # \&) % \&#\&\&) %0\& #)\" !( \& #??%%%0# 右 边 !' 原 等 式 得 证 ! !!!@ 槡0!提 示 \"由 (;</# % #得 /#\&) % 或 /#\&) %'2 ))\" *! \& \& 2 方法总结 !利用诱导公式证明条件 等 式 的 方 法 ! 代 入 法 从 被 \&) %'2 #(;<'2 #'A % 证等式一边推 向 另 一 边 的 时 候 将 条 件 代 入 推 出 被 证 式 的 另 一 ) * ) * ) *3(;< \& \&) % 2 #(;< 2 #(;< # 边!\"推出法 直接将条件等式变形 变 形 为 被 证 的 等 式!证 明 条 件 ) * ) * ) *A #3>(%*2 #3>( \& %'2 #3>('2 #3>( 等 式 不 论 使 用 哪 种 方 法 都 要 盯 住 目 标 据 果 变 形 ! (;< 2 \& 2 # 素养点评 !对于条件等式的 证 明 要 特 别 注 意 已 知 条 件 的 灵 活 ) * ) * )\&3>( 运用 往往是将所证明 的 等 式 某 一 边 适 当 变 形 配 凑 成 含 已 知 条 # \& 槡0#或 A % #A (;<'2 #3>(,'2 #3>( %. % 件的代数式 再将已知 条 件 代 入 进 行 转 化 体 现 了 逻 辑 推 理 的 核 2 \& \& 心素养! * ) * % #@ 槡\&0!( \& 2 #3>( # 槡\&0!即A 2 帮 练 综 合 !$!解\"3角 # 终 边 经 过 点 : )\&.#0*#'(;<## 0 #3>(## \& . # ' ' !!$!提示\"由题意得 :)\&%#槡0*#它 与 原 点 的 距 离6# 槡)\&%*\&%)槡0*\& )) ** ) *'33>>((%%\&\& -5## #\&#'(;<## 槡\&0!( (;<)\& \&#* \&\&((;;<<##3(;><(### \& 0 ! (;< 1\& -# # . $!#!提 示 \"3>(2\&)6#3>()02)6%\&2)6*#3>(\&2)6#3>()%,)6%,)6*# \&3>(,)6# \&(;<%)6# \&)!( !%!解 \")%*3>( %3>(\&' %3>(0' %3>(.' #3>( %3>(\&' % ' ' %!7!提 示\"(;<)#\&%'6*%3>()%)'6\&#*#(;< !)*'6%#*\&1)6(% ) * ) *3>( \&\&' %3>(\&' \&3>(\&' \&3>( 3>(!%,)6\&)*'6%#*(# \&(;< !1)6\& )*'6%#*(\&3>()*'6%#*# %3>( \& ' #3>( ' ' \&3>()*'6%#*\&3>()*'6%#*# \&\&3>()*'6%#*# \& \& !( ) * ) *#)!!)\&*! 当 4 为 奇 数 时#原 式 #(;< \&\&0 + \&3>(.0 # 0 素养点评 !本题为知式求值问题 运用诱导公式将所求角转 化 为 ) * ) *(;< 槡0 % 已 知 角 是 求 解 的 关 键 这 种 转 化 体 现 了 逻 辑 推 理 的 核 心 素 养 ! \& 0 +3>( % 0 # \&(;< 0 +3>( 0 # \& \& ( \& # !!\")

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! ) *\&槡.0\&\"当4 为偶数时#原式 # \&(;<\&0 +3>(.0 # \&(;< **#(;<\&,#'(;<,(;<).\&**#(;<\&,#3(;<,2)#'(;<).\&**# \& 0 (;<,!又3.#*#, 是三角形内角#'.\&*#,#.#*%,# \&.6. ) *+3>( #(;< +3>( # 槡.0! # #' *.*, 是 直 角 三 角形 !( % 0 0 0 \& ) *!#!解\")%*A)#*# )\&(;<)#\&*3+>(3>#(*#++(;)<\&#3>(#*#\&3>(#!!)\&*A \&0%0 疑难突破 !在三角形中 若3>(.#3>(* 或 (;<.#(;<* 则 一 定 有 .#*! ) * ) *#\&3>( \&0%0 #\&3>( \&2/\& %'0 \&3>('0 # '!\&%!提示\"3>(%*16#3>()%,)6\&%6*# \&3>(%6#3>(%*,6#3>()%,)6\& 0 # \&3>( # \&6*#\&3>(\&6//3>(1%6#3>()%,)6\&,16*# \&3>(,16#' 原 式 # ) * ) *\&% % % )3>(%6%3>(%*16*%)3>(\&6%3>(%*,6*% / % )3>(,16%3>(1%6*% \& \& ' \& ' !!)0*33>( \&#\& # #'3>( #% # !'(;<# 3>(1)6%3>(%,)6#3>(1)6%3>(%,)6#)- )\&%*# \&%!( % #0\& #'3>(## \&\&'槡2!'A)#*# \&3>(##\&'槡2! 疑难突破 !注意整 体 思 想 在 这 类 求 值 问 题 中 的 应 用 即 不 分 别 求 ! (# ' \& !由#\" 出各个三角函数的值 而是通过寻找规 律 将 有 关 联 的 三 角 函 数 式 组 ,!\"!解\"由 条 件#得 (;<##槡\&(;<%#! ! !\&% \"\&#得 (;<\&#%03>(\&# 合 在 一 块 相 加 再 利 用 诱 导 公 式 整 体 求 解 ! 槡03>(##槡\&3>(%!\" 帮 练 易 错 #\&#' 又 因 为(;<\&#%3>(\&##%#) 由 得 (;<\&## % #即(;<# !!解 \"3(;< \& # 0 1)#3>( \& # \& . %)#' \& 是 第 二象 限 角 #又 由 \& \& ' \& ' \& ! ! ' ) 槡\&#因 (;< \& # 0 % 槡\&\&#(;<0. 知 \&) %0. % \& %\&) % #)\" #则 .) % \& \& ' \& ) *# # #所 以## 或 !当## @ 为#\" \& \& \& . ## \& . . 时#代入\"得 3>(%# 槡\&0#又%\" ))# *#所 以%# #代 入 ! 可 知 符 0\& %\&%.) %\& #)\" #故\& 是 第 四 象 限 角 ! 2 易错点津 !导 出 \& 是 第 二 象 限 角 是 正 确 的 由 (;< \& # 0 1) \& \& ' 合 !当## 时 #代 入 得 槡\&0#又%\" ))# *#所 以%# # \& . \" 3>(%# 2 \& . \& 0 \& . \& ' 即 可 确 定 而 题 中 \& ' 3>( \& ' 不 仅 3>( # \& %) (;< # #\& 代 入 !可 知 不 符 合 !综 上所 述 #存 在## #%# 满 足 条 件 ! 给出了符号 而且给出了具体的函数值 通过其值可进一步确定 \& 的 . 2 \& ! ! 综 合 过 关 \& \& 帮 练 疑 难 大 小 即 可 进 一 步缩 小 所 在 区 间 ! !!7!提 示 \"因 为 点 . 的 纵 坐 标0. # . #且 点 . 在 第 二 象 限 #又 因 为 圆 $!解 \"若?1)#则6#'?#且 角# 在 第 二象 限 #'(;<##'0??# 0 #3>(## ' ' \" 为 单 位 圆 #所 以 . 点 横 坐 标 /. # \& 0 #由 三 角 函 数 的 定 义 可 得 \&'?.?# \& . #B9<## \&0?.?# \& 0 #3>B## \&0?.?# \& . #若 ?%)#则6 ' ' . 0 3>(## \& 0 !( #\&'?#且 角# 在 第 四 象 限 #'(;<## \&0?'?# \& 0 #3>(## \&\&'.??# ' ' 疑难突破 !若角# 的终边与单位圆交于一点: B C 则 (;<##C . #B9<## \&0?.?# \& 0 #3>B## \&0?.?# \& . ! ' . 0 3>(##B! 易错点津 ! % 给出角的终边上一点 的 坐 标 求 角 的 某 个 三 角 函 数 / /# 槡.\&/#'/#) $!7!提 示 \"33>(## 6 # 槡/\&%' 或 \&)/\& %'*#%2# 值常 用 定 义 求 解! \& 本 题 由 于 所 给 字 母? 的 符 号 不 确 定 故 要 对 ? 的正负进行讨论! '/#)或/\&#0#'/#))3# 是 第 二 象 限 角#' 舍 去*或 /#槡0)舍 %!\"!提示\"设角# 终 边 上 一 点 : )/#0*#则 点 : 关 于0 轴 对 称 的 点 为 去 *或 /# \&槡0!( :5)\&/#0*#且点 : 与点:5到原点的距离相等#设为6#则(;<##(;<% 疑难突破 ! % 若角# 的终边经过一点: / 0 且6##\":# \" 为 # 0 !( 6 坐 标 原点 则 0 3>(## / ! \& 注 意 方 程 思 想 的 合 理 应 用 (;<## 6 6 易错点津 !三角函 数 的 实 质 是 由 角 到 值 在 看 角 的 过 程 中 一 定 要 在解方程时还要注意结合角所在的象限舍去不合题意的解! 注意角的终边位置 它的 终 边 所 落 位 置 最 终 决 定 三 角 函 数 值 的 正 负 0 \&\&'槡'#所 问题! 槡.\&%0\& %!\&,!提 示 \"因 为 (;<\&# # 以 0%)#且 0\& #2.#所 #!%%0\&!提 示 \"因 为 3>()'),6\&#*#3>()02)6%%.,6\&#*#3>()%.,6\&#*# 以 0# \&,!( %\&#所 以 3>()\&%\&6%#*#3>()02)6%#\&%.,6*#3>()#\&%.,6*# %0 疑难突破 ! 本 题 要 注 意 隐 含 条 件 0%) 从 而 舍 去 0#, 这 一 个 增根! 3>()%.,6\&#*#%%0\&!( #!0% !提示\"当角# 的终边在第一 象 限 时#取 角# 终 边 上 一 点 :%)\&槡\&# 易错点津 !运用诱 导 公 式 解 决 给 值 求 值 问 题 角 处 理 的 时 候 当 锐 %*#其 关 于 0 轴 的 对 称 点 )\&\&槡\&#%*在 角% 的 终 边 上#此 时 (;<%# 角 处 理 不 涉 及 角 的 大 小 尽 管 角 的 范 围 发 生 变 化 但 不 影 响 求 值 ! % \&当 角# 的 终 边 在 第 二 象 限 时 #取 角# 终 边 上 一 点 :\&)\&\&槡\&#%*# 帮 练 速 度 0 !!$!提示\"3:)%#\&槡0*#'6# 槡%\&%)\&槡0*\&#\&#'(;<##\& 槡\&0!( 其 关于 0 轴 的 对称 点 )\&槡\&#%*在 角% 的 终 边 上 #此 时 (;<%# % !综 上 0 ) * ) *$!$!提示\"根据题意可得/D#3>( \&'2 # \& 槡\&0#0D #(;< \&'2 # 可 得 (;<%# % !( 0 ) *\& % 疑难突破 !本题要注意分角# 的 终 边 在 第 一 象 限 和 第 二 象 限 两 种 \& !则 D 点 的 坐 标 是 \&\&槡0#\& % !( \& 情况讨论!事实上 某角的正弦值或余弦值只 要 不 取 ) 或 A% 这 个 角 ,%!$!提 示 \"由 题 意 知 (;<\&%3>(\&%)#且 (;<\&3>(\&1)#' (;<\&%)# 都 有 两 种 可 能 即 终 边 分 别 落 在 两 个 不 同 的 象 限 ! 3>(\&%)# \"!$!提示\") 为偶数时#.#((;;<<##%33>>((###\&\&) 为 奇 数 时#.# \&(;(<;<##% ' 角\& 的 终 边 在 第 三 象 限 !( ) * ! ) *( ) *#!\"!提 示\"3>( \&3>3(>(###\&\&!则 . 的值构成的集合为,\&#\&\&-!( . -# #(;< \& 5 . -# #(;< . 5# # 疑难突破 !利用诱 导 公 式 求 值 或 化 简 时 一 般 地 若 式 子 中 含 有 参 ) *\&(;< #\& % !( #\& . 0 数 则 将 该 参 数 分 为 奇 数 和 偶 数 两 种 情 况 讨 论 求 解 ! \"!#$!提示\"对 于 \"#(;<).%**%(;<,#\&(;<,#不 为 常 数\&对 于 ## \&!#!提示\".%*%,# #'(;<).%**#(;<,#又 3(;<).%**(;<).\& 3>().%**%3>(,# \&3>(,%3>(,#)#为 常 数\&对 于 $#(;<)\&.% !!\&*

!参考答案与提示! \&**%(;<\&,#(;< !\&).%**(%(;<\&,#(;< !\&) \&,*(%(;<\&,# ) * )上#所以当\&#\&) % . #)\" 时 #(;< \&\&\& 0 #(;< .) % \& \& (;<)\& 5\&,*%(;<\&,#\&(;<\&,%(;<\&,#)#为常数\&对于 7#3>()\&. %\&**%3>(\&,#3>( !\&).%**(%3>(\&,#3>( !\&) \&,*(%3>(\&, * ) * 0 #3>()\& \&\&,*%3>(\&,#3>(\&,%3>(\&,#\&3>(\&,#不 为 常 数 !( #3>( # % \&当 \&#\&) % '. #)\" 时 #(;< \&\&\& # 0 \& 0 为\& #由 .) %'\& 5 % % \&!\"!提 示 \"点 : 旋 转 的 弧 度 数 也 0 三 角 函 数 定 义 可 知 D 点 的 坐 ) * ) *(;< \& \& !( 0 #3>( 0 # !综 上 #(;< \&\&\& 0 # 标)/#0*满 足 /#3>(\&0 # \& % #0#(;<\&0 # 槡\&0!( 素养点评 !本题求解的关键是读懂新定义的含义$再利用所 获 取 \& 的 新 信 息 去 解 决 问 题 $这 个 解 题 过 程 体 现 了 数 学 抽 象 的 核 心 素 养 ! '!#!提 示 \"由\& 是 第 三 象 限角 #知 \& 为 第 二 或 第 四 象限 角 #3 3>( \& !(!解 \"3>()\&#\&0%*#3>( !\&)#\&%*\&%(#3>() %.) \&%*#3>() \&%* \& \& # \&3>( \& #'3>( \& \&)!综 上 可 知 \& 为 第二 象 限 角 !( # \&3>(%# \& 0 ! \& \& \& ' (!#!提示\"由已知可得 \"*#%#即圆 \" 的半径为%#又因为 *,#%#所 以 !)!解\")%*33>(#%)#'角# 的 终 边 可 能 位 于 第 二 或 第 三 象 限 或/ 轴 ) * ! ) *(*\"*, 是等边三角形#所以3>( '2 5# 的负半轴上!3(;<#1)#'角#的终边可能位于第一或第二象限或0 轴 \& 0 #3>( - 5# # ,正半轴上#'角#的终边只能位于第二象限!故角#的集合为 # \& % ) *\&(;< # \&#(;<)*\".## \& 0 !( 0 5# ' -\&) %#% %\&) #)\" )!\"#$7!提 示 \"当\&#\&) % ))\" *时 #3>(\&# \&%%)#此 时\& 不 是 象 限 !! )\&*由 )%*知 \& %\&) %#% %\&) ))\" 角#\" 错\&由于0#3>(/ 在 上不是减函数#因此由#1%得不出3>(# *#' %) % # % %) ))\" *!当 )#\&4))\" *时 # %\&4 %3>(%#如##)#%#\&\& 满足#1%#但 3>()+3>()\&\& *## 错\&若# . \& \& . # #%#'2 满 足 (;<##(;<%#但##% 的 终 边 不 相 同 #$ 错 \&# 是 第 三 % # % %\&4 )4\" *#' # 是 第 一 象 限 角 \&当 )#\&4%%)4\" * 2 \& \& \& 象限角#则(;<#%)#3>(#%)#'(;<#3>(#1)#反之推不出#7 错!( 时 #'. %\&4 % # %0\& %\&4 )4\" *#' # 是 第 三 象 限 角 !即 # 的 \& \& \& !*!\&!提示\"30#0/#(;<#%)#'点 :)=#4*位 于 0#0/ 在 第 三 象 限 的 图象上#且 =%)#4%)#4#0=!3#\":## 槡=\&%4\& # 槡%)#=## 终 边 落 在 第 一 象 限 或 第 三 象 限 !! )0*由 )\&*可 知 当 # 是 第 一 象 限 \& \& 槡%)=# 槡%)#'=#\&%#4#\&0#故 =\&4#\&!( 角 时 #(;< # 1)#3>( # 1)\&当 # 是 第 三 象 限 角 时 #(;< # %)# \& \& \& \& !!!)\&\&#0(!提示\"33>(#\&)#(;<#1)#'角# 的 终 边 落 在 第 二 象 限 或 ,0 轴的正半轴上!' 0?\&1\&)# \&\&%?\&0!( 3>( # %)! ?%\&1)# ' \& ?%>#)# 解 ?#\&# 当 \&?%>#\&.# >#\&\&# !$!%'*!\&%'*!提示\"由 题 意#(;<##%'*#所 以 (;<) \&#*#(;<##%'*# , ,$*!解\")%*当 得 # ?1) 时# ? %) 时 ) *3>( # \&%'*!( , ,\&?%>#)#解得 ?#\&\&#'?#\&#>#\&\&或?#># \&\&!!)\&*当 / #% \& >#\&\&! ?%>#\&.# ) * ! ) *( )!%!)!提示\"由题意知3>( '2 -\& #3>( \& 时 #049@#%#当 时 #04;<# 2 5\& # \&3>( 2 # \& 2 /# \& \&\&! * ) * ! ) *( ) *\&\& 易错点津 !在第!%#小题中$需对? 分类讨论! #\&?!(;< \&0 5\& #(;< \& - 2 5\& #3>( 2 5\& # ! ! 正 弦 函 数 余 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 再 认 识 ) * ) *?#'3>( '2 -\& %(;< \&0 5\& #)!( ! ! 正 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 再 认 识 #\&) %'2 帮 练 基 础 ! (!#! ))\" *!提 示\" \&) % 2 #% 2\& ) *!!#$7!提示\"易知 不 是 关 键 点 !( 3\&(;</\&%3)#'(;</3 % !由 单 位 规律总结 !五点法 画 0#(;</$/\" -)$\& .的 图 象 时$所 选 择 的 五 \& $! $)#$ 0\& $\&% 圆画出/ 满 足 条 件 的 终 边 范 围 )如 图 . ) * ) *个点是!)$)#$ $% $!\& $)#! \& !所示 的 阴 影 部 分 *!'/\" \&) % # $!7!提示\"0#\&(;</ 的 图 象 可 看 作 是 正 弦 曲 线 沿/ 轴 翻 折%,)6得 到 2 的#对照各选项#只有 7 符合!( (\&) %'2 ))\" *!( 图. %!#!提示\"根据正弦曲 线 的 作 法 可 知 函 数 0#(;</#/\" !)#\& (与 0# (;</#/\" !\& #. (的 图 象 只 是 位 置 不 同 #形 状 相 同 !( !\"!,\&.#)#\&-!提示\"由(;</2)#3>(/2)知/ 的终边不能落在坐标轴 #!#!提 示 \"由 %-(;</#\&#得 (;</#%#3/\" !)#\& (#' 当 /# 时 # 上#当/ 为第一象限角时#(;</1)#3>(/1)#(;</3>(/1)#0#)\& \& 当/ 为第二象限角时#(;</1)#3>(/%)#(;</3>(/%)#0#\&\&当 / 为第三象限角时#(;</%)#3>(/%)#(;</3>(/1)#0#\&.\&当/ 为 (;</#%!( 第四象限角时#(;</%)#3>(/1)#(;</3>(/%)#0#\&!故 函 数0# 素养点评 !对于直线与曲线的交点问题$有时可转化为方程 的 解 #((;;<<//#%#33>>((//#\&\&#((;;<<//33>>((//#的 值 域 为 ,\&.#)#\&-!( 的问题$再通过解方程求出交 点 坐 标$这 种 解 题 方 法 体 现 了 数 学 运 !\&!(;<\& / !提 示\"当 4 为 偶 数#即 4 # \&) )) \" *时#原 式 # 算的核心素养! 3>(3\&>)(\&)\& !)%\&//*\&)+%(;<%\&* )\&\&) /\&(/*#3>(3\&/>(+\&)( ;<\&\&/)\&*/*#3>(\&/)\&+3>)(\&/(;<*\&/*\& #(;<\& /\&当 4 为 奇 数#即 4 # \&) % % )) \" *时#原 式 # \"!%!提 示 \"在 同 一 坐 标 系 内 画 出 图 象 #如 图 ' 所 示 !( 3>(\&!)3\&>)(%\&,%!\&* /%)/\&)(+%(%;<*%\&!%)\&( )\&%/%*- \&/(# 3>(\&!\&3)> (%\&!\&) /%)/\&)*%(+%(*; <%\&!\&) ) \&%/*) (\&/*(# 图' 3>(\&) 3%>(/\&*)+ (\&;</\&*) \&/*# )\&)3\&>(3>/(*/\&(;*<\&\&/#(;<\&/!综 上 得 原 式 # (;<\&/!( #) #)*# 0\& #\&% ) * ) *\&!' !)!提示\"所描五个点为))#)*# #% #)\& # \& !'!\&% !提示\"因为(;3>(\&#)#所以0)#/)#所 以\& 的 终 边 在 直 线0#/ )*#横 坐 标 和 为 )- % %0\& %\& #' #最 高 点 与 最 低 点 的 纵 坐 标 \& !!\&!

!数学 必修 第二册 ! 新课标 北师 ! 之 和 为 %- )\&%*#)!( 方法总结 !求定义 域 时 常 利 用 数 形 结 合 根 据 正 弦 曲 线 写 出 相 '!解 \"列 表 如 下 \" 应 方 程 或 不 等 式 组 !注 意 灵 活 选 择 一 个 周 期 的 图 象 ! / ) 0 \& !%!解\")%*3\&%\&(;<\&/\&%#'%\&0\&'#'函数0#05\&(;<\&/ 的值域是 \& \& !%#'(!!)\&*当 (;</3) 时 ##(;</##(;</\&当 (;</%) 时 ##(;</## (;</ ) % ) \&% ) ,\&(;</#' 原 式 可 化 为 0# \&(;</)(;</3)*#由 \&%\&(;</\&%#知 ))(;</%)*! \&- \&%(;</ ' 0 )\&0\&\&#'函数0##(;</#%(;</ 的 值 域 是 !)#\&(!! )0*设$# \& \& \& \& \& ) *(;</#则$\"!\&%#%(#'0#$\&%$%%+ % \& 0 !函 数 图 象 关 \& . $% % 描 点 作 图 #如 图 2 所 示 ! % % 0 \& \& . 于直 线$# \& 对称 #' 当$# \& 时 #函 数 取 得 最 小 值 \&当$#% 时 #函 数 取 得 最 大 值 0#' 0 \&0\&0#' 函 数 0#(;<\&/%(;</%% 的 . ! (值域是 0 #0 !! ).*方 法 一\"0#((;;<<//%\&%\&#(;<(;<//%%%%50#%5 . 0 #当 (;</#% 时 #049@# \& % #由 题 易 得 该 函 数 的 值 域 为 (;</%% \& ) (\& % !方 法 二 \"由 0#((;;<<//\&%\&%#得 )(;</%%*0#(;</\&\&# E #\& \& 图2 即 )%50*(;</#0%\&#显 然02%#'(;</#0%5%0\&#3 \&%%(;</\&%# \&/\&0. ) ('+-,00%%55%%00\&\&1\&%\&#%#解得 ) *(!#!提示\")%*画出函数0#\&(;</%% 的图象如图*所 0\& \& % #即 值 域 为 \& E #\& % ! . \& \& 示 #当 /# 或 /#0. 时 #函 数 取 最 小 值 #为 %-槡\&\&当 /# 时 #函 . \& 方法总结 !求 正 弦 型 函 数 的 值 域 或 最 值 的 常 见 类 型 及 解 法 数 取 最 大 值 #为 0!( % 0#?(;</%>型 主要利用0#(;</ 的 有 界 性 先 求 出 0#(;</ 的值域 此时要注意题中所给 的 / 的 范 围 再 将 (;</ 看 作 一 个 整 图* 体 视为$ 利用一次函数0#?$%>的单调性 求 解! \& 0#F?((;;<<//%%8> 型 !反解出(;</ 得到(;</#A 0 再根据\&%\&(;</\&% 列 出 不 )!!)#%(!提 示 \"作 出 函 数 0##(;</#的 图 象 )图 象 略 *可 知 !( 等式5%\&A 0 \&% 此 不 等 式 的 解 集 即 为 此 函 数 的 值 域 或 最 值! \"利 用分离常数法 化为只有分母含有(;</ 的函数 然后利用(;</ ) *!*! #)\" !提 示\"根 据 题 意 得 05.(;<\&/1)#解 得 的有界性 求得值域或 最 值! 0 0#?(;<\&/%>(;</%F 型 ! 令$# ) \& 0 #) % 0 (;</ 换元将所给三角 函 数 转 化 为 二 次 函 数 并 通 过 配 方 法 求 值 域 或最值!\"也可将(;</ 视作 一 个 整 体 将 函 数 式 看 作 关 于 (;</ 的 ) *\&槡\&0%(;</%槡\&0#'/\" #)\" !( 二 次 函 数 再 通 过 配 方 求 值 域 或 最 值 ! ) \& 0 #) % 0 !#!$!提示\"函数A)/*#\&#(;</#的 图 象 可 看 作 是 0#\&(;</ 的 图 象 保 留/ 轴上方部分#将/ 轴下方部分的图象 沿/ 轴 向 上 翻 折%,)6得 到 )!!!! 的#故A)/*#\&#(;</#的最小正周期是 0#\&(;</ 的 最 小 正 周 期 \& \" '!提 示 \"如 图 , 所 示 #>\&? 的 最 大 值 为. 如?# \&*2 #># 的一半#即函数A)/*#\&#(;</#的最小正周期为 !( 0 !\"!\"#$!提示\"利用定义#显 然 0#/(;<#/#是 奇 函 数#而 \"#$ 选 项 中 的 函 数 都 是 偶 函 数 !( * \&在>\&? 取 最 大 值 的 情 况 下#固 定 左 )或 右 *端 点#移 动 右 )或 !\&!$!提示\"对于选项 \"#定 义 域 为 ))#% E *#函 数 图 象 不 关 于 原 点 对 称!对于选项 ##定义 域 为 )\& E#)*#函 数 图 象 也 不 关 于 原 点 对 称! 2 对于选项 $#定 义 域 为 )\& E#)*$ ))#% E *关 于 原 点 对 称#并 且 左*端点#必须保证取\&%的最小 值 点 在 !?#>(内#所 以>\&? 的 最 小 值 为\&0 #> 可 能等 于 \&) \& ))\" *!若 ?#\&) \& ))\" *#则 由 ) *A)\&/*#(;< \& % # \&(;< % # \&A)/*#所 以 为 奇 函 数 !对 于 选 2 2 / / 图 象 可知 函 数 的 最 大 值为 % 的 情况 下 #最 小 值 不 可 能 为 \&%!所 以? 项 7#定义域不关于原点对称#故不具有奇偶性!( \& !'!#!提示\"单调性是 针 对 某 个 取 值 区 间 而 言 的#所 以 ! 正 确\&\" 不 正 不 可 能等 于 \&) \& ))\" *!( 确#因 为 在 第 一 象 限#即 使 是 终 边 相 同 的 角#它 们 也 相 差 \& 的 整 2 数 倍 !( !(!$!提示\"画出0##(;</#的 图 象 即 可 解决!如图%)所示#借 助 图 象 不 难 看 出 $ 符合题意!( !)!>%F%?!提 示 \"?#3>(\&16#(;<2%6#> #(;<%..6#(;<026#F#(;<')6#由 正 图, 弦 函 数 的 单 调 性 可 知 (;< 026% (;</1)# 即 (;<')6%(;<2%6#即>%F%?!( 图 %) %25/\&3)# , ,!$!解\"由题意#/ 满 足 不 等 式 组 (;</1)# 作 出 0# 规律方法 !用正弦函数的单调性来 比 较 大 小 时 应 先 将 异 名 化 同 \&.\&/\&.# 名 再将不是同一单调 区 间 的 角 用 诱 导 公 式 转 化 到 同 一 单 调 区 间 (;</ 的图象#如图1所示!结合图象可得/\"!\&.#\& *$))# *! 再利用单调性来比较大小! $*!解\")%*(;<%126#(;<)%,)6%%26*# \&(;<%26#3>(%'26#3>()%,)6\& \&.6*# \&3>(\&.6# \&(;<226#3)6%%26%226%1)6#'(;<%26% (;<226!从而\&(;<%261 \&(;<226#即 (;<%12613>(%'26!! )\&*3% % %\&%0% #(;<) \&\&*#(;<\&#(;<) \&0*#(;<0!)% \&0%%% \& ) * \&\&% 图1 且 0#(;</ 在 )#\& 上 递 增#'(;<) \&0*%(;<%% \& !!\&$

!参考答案与提示! (;<) \&\&*#即 (;<0%(;<%%(;<\&! 规 律 方 法 ! )五 点 法 *画 函 数 图 象 的 三 个 步 骤 ! 素养点评 !本题将比较大小转化为正弦函数的单调性$体现 了 逻 辑推理的核心素养! $!!解\")%*30#\&(;</%0与 0#(;</ 的 增 减 性 相 反!而 0#(;</ 的 ! (单调递增 区 间 是 ))\" *#单 调 递 减 区 间 是 \&) \& \& #\&) % \& #\&) %0\& ! (\&) % ))\" *!'函 数 0# \&(;</%0 的 单 调 递 增 \& ! ( !区间是 \&) % #\&) %0\& ))\" *#单 调 递 减 区 间 为 \&) \& # \& \& (\&) % ))\" *!! )\&*由 (;</1) 得 \&) %/%\&) % #)\" #3) \"!解\"用 $五 点 法 %作 出 0 #3>(/ 的 简 图!如 图 %0 所 示!)%*过 \& ) *)#\&% 点作/ 轴的平行线#从图象中看出在!\& # (区 间 内 与 余 弦 % % \& %%#' 函 数 0#C>D%(;</ 的 单 调 递 增 区 间 即 为B#(;</ 的 单 #% # #% % \& \& 0\& \& ) *) *曲线交于 \& #在 !\& # (区 间 内#03 时 #/ 0 调 递 减 区 间 !'\&) % \& \&/%\&) % #)\" !故 函 数 0#C>D%(;</ , -的集合为 / !当 /\" 时 #若 % #则 / 的 集 合 \& \& 0 \&/\& 0 \& 03 ! *的单调递增区间为 ))\" *! \&) % \& #\&) % , - ) *)为 / % \& 0 -\&) \&/\& 0 -\&) #)\" !! )\&*过 )#\& \& # )# 方 法 总 结 ! 求 正 弦 型 函 数 单 调 区 间 的 方 法 %! 求 函 数0#?(;</% *槡0 点分别作/ 轴的平行 线#从 图 象 中 看 出 它 们 分 别 与 余 弦 曲 线 交 >!?2)#的单调区间$一般先写出正弦函数0#(;</ 的 单 调 区 间$类 比可得出待求函数的单调区间!若?%)$要注意单调区间的变 化$切 \& 忌将增区间与减区间混淆!\"对于和0#(;</ 有关的 复 合 函 数 的 单 调性问题$常利用换元法 将 其 转 化 为 两 个 函 数$再 利 用 这 两 个 函 数 \&\&0 -\&) #\& % \&0 -\&) #\& % ) * ) *于 \& \& #) \" 和 #) \" # ) * ) *\& 的 单 调 性 进 行 判 断 $此 时 遵 循 )同 增 异 减 *的 原 则 ! %\&) #槡\&0 #)\" # -\&) #槡\&0 #)\" #那 么 曲 线 上 夹 在 2 2 ! ! 余 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 再 认 识 帮 练 基 础 对 应两 直 线 之 间 的 点 的横 坐 标 的 集 合 即 为 所 求 #即 当 \& % \&0\& 槡0 \& \& !!#$7!提示\"余弦函数0#3>(/ 的 图 象#是 将 !)#\& (内 的 图 象 向 左' 向右无限$重复%得 到 的#是 $重 复%不 是 延 展#因 为 延 展 可 能 是 拉 伸# ,时/ 的集合 为 / \&\&0 %\&) \&/\& \& %\&) 或 %\&) \&/\& 2 2 不 符 合 #故 \" 选 项 错 误 !正 弦 函 数 0#(;</ 的 图 象向 左 平移 个单 -\&0 %\&) #)\" ! \& 位 #会 与 0#3>(/ 的 图 象 重 合 #故 # 选 项 正 确 !当 /#) % ))\" * \& 时#0#3>(/#)#故余弦函数0#3>(/ 图象与/ 轴 有 无 数 个 交 点#故 $ 选项正确!余 弦 函 数 0#3>(/ 是 偶 函 数#图 象 关 于 0 轴 对 称#故 7 选 项 正 确 !( $!#!提示\"由0#3>()\&/*#3>(/ 知其图象和0#3>(/ 的图象相同!( %!\"#!提 示\"据 函 数 的 解 析 式 画 出 函 数 的 图 象#如图%%所 示!对 于 选 项 \"\"当$%) 或$ 3\&时#有) 个 交 点#故 正 确!对 于 选 项 #\" 当$#) 或 0 \&$%\& 时 #有 % 个 交 点 #故 正 图 %0 \& 确!对于 选 项 $\"当$# 0 时 #只 有 一 个 交 \&!$!提示\"作出 函 数 0##3>(/#的 图 象 )图 略*#由 图 象 可 知 \"## 都 不 \& 是单调区间#7 为单调递增区间#$ 为单调递减区间!( 点 #故 错误 !对 于 选 项 7\"当 0 \&$%\& 时 #只 '!7!提示\"画出0#(;<#/#的图象)图略*#易知 7 选项不是周期函数!( \& ! ( ! ((!7!提示\"在 )#\& % 有 一 个 交 点 #故 错 误 !( 图 %% 上 #)% \& % %%#又 余 弦 函 数 在 )#\& 上单 2 素养点评 !本题为函数的图象的应用$利用函数的图象求参 数 的 调 递 减 #所 以 3>()13>( % 13>( 13>(%1)!又 3>( %)#所 以 取 值 范 围 $体 现 了 直 观 想 象 的 核 心 素 养 ! \& 2 #!解 \"! 列 表 \" 3>()13>( % 13>( 13>(%13>( !( \& 2 0 )!)\& #)(!提示\"30#3>(/ 在!\& #)(上是递增的#在!)# (上 是 递 减 \& \& / ) \& 的 #' 只 有 \& %?\&) 时 #满 足 已 知 条 件 #'?\" )\& #)(!( ! *!*!)\& E#\&0($ \& % #% E !提 示\"3 \&=\&% ##3>(/#\&%# ' 0=%\& 0#3>(/ % ) \&% ) % '#\&=\&%#\&#0=%\&#!')\&=\&%*\&\&)0=%\&*\&!'=\& \&0 或 =3 ! *\& % % 0#%5 %03>(/ \& % . % \& ' !'=\")\& E #\&0($ \& ' #% E !( 0 0 0 ! * )!!! \"作出0#%5 %03>(/ 在/\" !)#\& (上 的 图 象!由 于 该 函 数 为 偶 函 \&) #\&) % \& ))\" *!提 示\"由 题 知 3>(/1)#/\" \&) \& \& # 数#作关于0 轴对称的图象!从而得 出 0#%5 %03>(/在/\" !\&\& # \& (上 的 图 象 !如 图 %\& 所 示 ! *\&) % #)\" !又令$#3>(/#0#C>D%$#则$#3>(/ 的 减 区 间 即 \& \& ! *为0#C>D%3>(/ 的 增 区 间!' 单 调 递 增 区 间 是 )) \& \& \&) #\&) % \" *!( !$!@ % !提 示 \"3 函 数 0#?\&>3>(/ 的 最 大 值 是 0 #最 小 值 是 \& % ! \& \& \& 当>1) 时 #由 题 意 ,?%># 0 # ,?# % # % !当 >%) \& '+ \& ?># \& 得+ % 图 %\& -?\&># \& \& # ->#%# !!\&%

!数学 必修 第二册 !!新课标\"北师#! 时 #由 题意 ,?\&># 0 # ,?# % # \& % !综 上 所 述 #?># 素养点评 !对于方程A!/##G!/#的 解 的 个 数 问 题$常 利 用 数 形 得+ \& '+ \& ?># \& 结合$转化为求函数0#A!/#与0#G!/#的 图 象 的 交 点 个 数 问 题$ % 这种解题策略体现了逻辑推理和直观想象的核心素养! -?%># \& \& # ->#\&%# #!\"!提示\"在同一坐标 系 内 画 出 0#%/)和 0#(;</ 的 图 象 如 图 %2 所 示 #根 据 图 象 可 知 方 程 有 * 个 根 !( @ % !( \& 图 %2 \"!\"#7!提 示 \"3(;<%2,6#(;<)%,)6\&%\&6*#(;<%\&6#3>(%)6#(;<)1)6\& !%!解\")%*3A)/*#\&-3>(/ 的定义域为 且 A)\&/*#A)/*#' 函 数 %)6*#(;<,)6!由正弦函数 的 单 调 性 得 (;<%%6%(;<%\&6%(;<,)6#即 A)/*#\&-3>(/ 为偶函数!!)\&*30#3>(/ 在 !\&) \& #\&) ())\" (;<%%6%(;<%2,6%3>(%)6!( *上是增加的#在!\&) #\&) % ())\" *上是减 少 的#'0#\&-3>(/ ! (\&!\"!提示\"由图%*易知A)/*在 \&0 #2* 上是减函数!( 的 单 调 递 增 区 间 为 !\&) \& #\&) ())\" *#单 调 递 减 区 间 为 !\&) #\&) 图 %* % ())\" *!!)0*由0#3>(/ 的周期性知A)/*#\&-3>(/ 的最小 '!7!提示\"由题意可得0#+,-\&)3#>(\& /%#)/\&%/\&0\& \& !或 0\& \&/\&\& #显然只有 7 正 周 期 为 \& ! 符 合 !( (!7!提 示 \"作 出 函 数 0#\&3>(/))\&/\&\& *的 图 象 #函 数0#\&3>(/))\& 方法技巧 !对于余弦函数的性质$要 善 于 结 合 余 弦 函 数 图 象 并 类 /\&\& *的图象与直线0#\&围成的平面图形为如图%, 所 示 的 阴 影 部 比正弦函数的相关性质进行记忆$其解 题 的 规 律 方 法 与 正 弦 函 数 的 分!利用图象的对称性可 知 该 平 面 图 形 的 面 积 等 于 矩 形 \".*, 的 面 积 !3#\".##\&##\",##\& #'1阴影部分 #1矩形\".*, #\&/\& #. !( 对应性质的解题方法一致! !#!解\")%*要使0# 槡3>()(;</*有意义#需有3>()(;</*3)#又3\&%\& (;</\&%#而 0#3>(/ 在 !\&%#%(上 满 足3>(/1)#'/\" !'0# 槡3>()(;</*的 定 义 域 为 !! )\&*要 使 函 数 有 意 义#只 要 ,%\&(5;<\&3/>\&(%/13))##即,+-3(;><(//1\& % # 图 %. 所 示 #3>(/\& % 的解 集 为 \& 如 \& % ! \& , - ,/ ' % 0 %\&) \&/\& 0 %\&) #)\" !(;</1 \& 的解 集为 / - , 2 %\&) %/%'2 %\&) #)\" !它 们 的 交 集 为 / %\&) \&/ 0 -%'2 %\&) #)\" 即为函数的定义域! 图 %. 素养点评 !对于与正弦函数或余弦函数有关的定义域问题$常 转 化为三角不等式求解$再作出 正 弦 或 余 弦 函 数 的 图 象$通 过 观 察 图 象 直 观 求 解 $这 个 过 程 体 现 了 直 观 想 象 的 核 心 素 养 ! ! (!\"!解\"令$#3>(/!3/\" \& #\& #' \& % \&$\&%#' 原 函 数 可 化 0 0 \& 为 0#$\&%\&$\&\&+ )$%%*\&\&0!3 \& % \&$\&%#' 当$# \& % 时 #04;< 图 %, \& \& 疑难突破 !考虑到 余 弦 函 数 图 象 的 对 称 性$故 可 通 过 割 补 法 转 化 为 规 则 图 形 $再 求 其 面 积 ! ) *# % \& 5%.%\&当$#% 时 #049@#%!' 原 函 数 的 值 域 是 \& \& -% \&0+ ! ()!!\&) \& #\&) ())\" *! ))\" *!提 示 \"3 \&\&(;</3 ! (\&%.%#% ! \&) \& \& #\&) 方 法 总 结 ! 与 正 弦 函 数 ,余 弦 函 数 有 关 的 函 数 值 域 求 法 %! 利 用 0 )#'(;</\&)#'\&) \& \&/\&\&) #)\" #即 函 数 的 定 义 域 是 !\&) \& #(;</$0#3>(/ 的 有 界 性!\" 利 用 0#(;</$0#3>(/ 的 单 调 性! '通过换元转化为二次函数! #\&) ())\" *!30# 槡\&\&(;</与0#(;</ 的 单 调 性 相 反#' 函 数 帮 练 综 合 ! (的单调递减区间为 ))\" *!( \&) \& \& #\&) #' % 22 \& ! ( ! (!*!%#\&* #' ) *!!\"!提示\"0#3>( # \&(;</!( !提 示 \"令$#(;</#3/\" \&(;</\&%#即 \& /% \& ) *% % % \&%#'%\&0\& * \& \& \& \& % % \&$\&%!'0#\&$\&%\&$\& #\& $% #' 函 0 0 $!7!提 示 \"3; # \&%#=# \& \&%#'; %=# \&\&!( %!$!提示\"在同一坐标系中作函数0##/#及 函 数 0#3>(/ 的 图 象#如 ! (数A)/*的值域为 %#*\& !( 图 %' 所 示 !发 现 有 \& 个 交 点 #所 以 方 程#/##3>(/有 \& 个 根 !( ) *!!!解\")%*因 为 %\&%', %%01 %0\& #且 0#(;</ 在 #0\& 上 单 调 递 ) * ) *减#所以(;<\&%', 1(;<%01 !!)\&*(;< \&'*. #(;< \&'*2 % *\& ) * ) * ) *#(;< \&, % \&* #(;< \& #(;< \&2,0 #(;< \&, % # * , ) *(;< \& , #因 为 \& 1 * 1 , 1)#且 0#(;</ 在 )#\& 上单调递 \&* 1(;< \&'*. \&2,0 #所) * ) *增 图 %' 以 (;< , #即 (;< 1(;< ! !!\&#

!参考答案与提示! ,!$!解 \"A)/*#\&(;</%#(;</## 0(;</#/\"!)# (#作 出 图 象 分 析#由 (;</#/\"! #\& (! 有且仅有两个交点#可得)%=%%%0 或 5%%=%%%)#即 \&%%= %\&或5\&%=%\&%#即 = 的范围为,=#\&\&%=%\&且 =2\&%-! !%!解\")%*当?#)时#A)/*是 偶 函 数\&当?2) 时#A)/*是 非 奇 非 偶 函 数!!)\&*当?1)且(;</#\&%时#A)/*取得最大值#这时/ 的取值 , -范围为 \&当?%)且(;</#%时#A)/*取 得 / /#\&) \& \& #)\" , -最大值#这时/ 的取值范 围 为 \&当?#) 且 / /#\&) % \& #)\" 图 \&) ,(;</# @% 时#A)/*取 得 最 大 值#这 时 / 的 取 值 范 围 为 / )\&*由 函 数 解 析 式易 知 振 幅 .#0#初 相 (# #由 / % #) ))\" 2 \& 2 ) * *#得 ))\" *为 函 数 A)/* -/#) % /#\&) \& 0 ))\" *#即 点 \&) \& 0 #0 \& #)\" ! 图象的对称中心! !#!解 \"令$#3>(/#由 )\&/\& #知 )\&3>(/\&%#即$\" !)#%(!所 以 原 ) *%!$!提示\"只需将函数0#(;< 的图象上所有点的横坐标变为 \& /\& 2 ) *函数可以转化为0# % ? ? \& %?.\& % ) *原来的 % \&$\&%?$% \& \& . # \& $\& \& % \& 0 #纵 坐 标 不 变 #便 得 到 函 数 0#(;< 0/\& 2 的 图 象 !( ? ? % ? ) * !) *( ) *#!#!提示\"0#(;< \& . #$\" !)#%(!! 当 \& \&)#即 ?\&) 时 #当$#) 时 #049@# \& \& . \&/% 2 #(;< \& /%% \& #0#(;< \&/\& # 0 #\&#解 得?# \&2!\" 当 )% ? %%#即 )%?%\& 时 #当$# ? 时 #049@ !) *( ) *(;< 的图象向右平移 个 \& \& \& /\& 2 #所以将 0#(;< \&/% 2 . #?.\& % % \& ? #\&#解 得?#0 或?# \&\&#全 舍 去 !' 当 ? 3%#即 ? ) *单位长度得到0#(;< 的 图 象 !( \& . \& \&/\& 0 3\&时 #当$#%时 #049@# \&%-?% % \& ? #\&#解 得 ?#%0)!综 上 ) *\"!7!提示\"0#(;</ 的图象7\"50#(;<\&/ 的图象7,50#(;< \& . 0 \&/% 所 述 #?# \&2 或%0)! 的 图 象 !( ! ! 函 数 0#.(;< +/%( 的 性 质 与 图 象 \&!#$!提 示\"对于 \"#横坐标 变为原 来的 % 得0#(;<\&/ 的图象 #向左 平 移 \& 帮 练 基 础 !) *( ) * . \& . 个单位长度得0#(;< \& /% #(;< \&/% #3>(\&/ 的 图 0 0 !!解 \")%*令 H#/\& #则 /#H% #列 表 如 下 \" % \& 象 #可知 \" 错误 \&对于 ##横坐 标变为 原来的 得0#(;<\&/ 的图 象 #向 H#/\& \& ) 0 ' !) *( ) *左平移 0 0 \& \&0 , 个 单 位 长 度 得 0#(;< \& /% , #(;< \&/% . 的图 ) *象#可知#正确\&对于 的 ' . %% $#向左平移 . 个单位长度得0#(;< /% . / ) 0 2 0 2 \& ) *图 % 的图象#可知 $ 正确\& 象#横坐标变 为原来 的 \& 得0#(;< \&/% . 0 \&槡0 ) \& ) \&\& \&槡0 ) *对于 的 图 象#横 坐 标 变 7#向左平移 , 个 单 位 长 度 得 0#(;< /% , ) *描点画图得函数0#\&(;< ) *为原来的 % 的图象#可知 7 错误!( /\& 0 在 区 间 !)#\& (内 的 简 图#如 图 %1 \& 得0#(;< \&/% , 所示! 素养点评 !本题考查三角函数图象的变换 通过探究变换的 方 式 体现了逻辑推理的核心素养! '!左 ! )答 案不 唯 一*!提 示 \"0#(;<\&/ 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 2 2 !) *( ) *度得到函数0#(;< 的 图 象 !( \& /% 2 #(;< \&/% 0 0\&(;< ) *(!A)/*# !提 示\"方 法 一\"设 A)/*#.(;<)+/%(*!将 \&/\& 2 A)/*图 象 上 的 每 个 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 0 倍#得 0 # 图 %1 0.(;<)+/%(*#再将图象上所有点的横坐 标 伸 长 到 原 来 的 \& 倍#得 0 %\&+/%( ! ()\&*由)%*中图象可 知#函 数 在 区 间 !)#\& (上 的 增 区 间 为 )#'2 和 ) *#0.(;< 的 图 象 #再 把 图 象 沿 / 轴 向 左 平 移 个 单 位 长 2 ! ) * ( ) *度#得0#0.(;< ' #%% %\&+ %\&+/%% \&+%( 的 22 2 ! ( ! (%%2 #\& #减区间为 ! /% %( #0.(;< 素养点评 !本题考查利用五点作图法画三角函数的图象 同 时 通 )图象#此时得到的曲 线 和 0#\&(;</ 的 图 象 相 同#即 0.(;< %\&+/% 过 图 象 直 观 判 断 其 单 调 性 体 现 了 直 观 想 象 的 核 心 素 养 ! *% \&+%( $!解 \")%*列 表 如 下 \" #\&(;</#解 得 .# \& #+#\&#(# \& #所 以 函 数 0#A)/* 0 2 0\&(;< \& ' , %% ) *的解析式为A)/*# !方法二\"0#\&(;</ 的 图 象 沿/ / \& 0 0 0 00 \&/\& 2 ) *轴向右平移 的 图 象#再 将 2 个 单 位 长 度 得 到 函 数 0#\&(;< /\& 2 / % ) 0 \& ) *图象上每个点的横坐标缩短为原来的 % \& 2 \& \& \& #得 函 数 0#\&(;< \&/\& 2 )的图象#最后将每个点的纵坐标缩短到原来的 % A)/* 0 2 0 ) 0 0 #得函数0# 0\&(;< \&/ 根 据 上 表 #画 出 图 象 如 图 \&) 所 示 ! * ) *\& 的图象#所以A)/*# 0\&(;< \&/\& !( 2 2 !!\&\"

!数学 必修 第二册 !!新课标\"北师#! 方法总结 !由函数A!/##.(;<!+/%(#的图象变换到0#(;</ 的 ) *0(;< 取 得 最 大 值 .!( 图象$求A!/#的解析式是一种常 见 题 型!求 解 方 法 有 二%一 是 直 接 变 \&/% 0 换\&二是逆向变换$即由0#(;</ 的 图 象 变 换 到A!/##.(;<!+/% ) * ) *!\&!! ' !提 示\"因 为 A)/*#.(;< \&/% 0 #.3>( 2 5\&/ # (#$需 指 出 的 是 $方 法 一 和 方 法 二 变 换 的 方 向 刚 好 相 反 ! )!解 \")%*先 列 表 #后 描 点 #并 画 图 #如 图 \&% 所 示 ! ) * ) *.3>( #)#故 \&/\& 2 #所 以 ! 正 确 #易 得 \" ) 不 正 确 #而A \& 2 %\&/% ) 0 \& ) *\& 2 \& \& 2 #) 是 0#A)/*图 象 的 对 称 中 心 #' 正 确 !( \& ' , %% / \& 0 0 0 00 2 #'0 \&\&0 # #知 . !'!\"!提 示 \"由 图 象 知 #.#\&#排 除 选项 #!由 2# 0 ) % ) \&% ) . #3\&+ #. #'+# % \& #排 除 选项 7!把 /#)#0#% 代 入 选 项 \"'选 项 $ 中检验#知选项 $ 错误!( .%*#.#解 得 .#\&#函 数 的 最 小 正 周 期 .\&*#)# *#\&# , ,!(!\"$!提示\"由题 意 可 得 '%\& 5 #\&+ #+#\&#当 ) *为 (.+ #即 /# 时 取 得 最 大 值 #即 2 2 ) *(;< #%#\&/ %(#\&) % ))\" *#3 # 图 \&% \&/ 2 -( 2 \& ( % \& )\&*方 法一 \"把 0#(;</ 的 图 象 上 的 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 长 度 # '(# !( 2 2 ) *得到0#(;< 的图象#再把所得 图 象 上 每 个 点 的 横 坐 标 都 伸 ) *!)!0#0(;< 2/%%%2 !提 示 \"由 已 知 得 .#0#2# #\&+ #故 +#2! /% 2 0 \&%/% ) *'0#0(;<)2/%(*!把 0 0 ) *长到原来的 \& 倍)纵 坐 标 不 变*#得 到 0#(;< 的 图 象!方 )#\& \& 代 入 得 0(;<(# \& \& #(;<(# 2 法二\"把0#(;</ 图象上每个点的横坐标都伸长到原来 的 \& 倍)纵 坐 % !又0\& %(%\& #'(#%%2 #'0#0(;< 2/%%%2 ) *\&\& !( 标不变*#得到0#(;< %\&/的 图 象!再 把 所 得 图 象 上 的 所 有 点 向 左 平 ) *$*!\&#. !提 示 \"3 2 #*, \&0, # #'2# #由 2#\&+ )+1)*得 ) * ) *移 \& \& 个 单 位 长度 #得 到 0#(;< % /% #即 0#(;< \&%/% 0 \& 0 2 \&/0, %(# 得(# ) *+#\&!由 !' 点)+#(*的 坐标 为 \&#. !( . 的图象! 易错点津 !由0#(;</ 的图象$通过变换得 到0#.(;<!+/%(#的 ) *$!!解\"方法 一\")逐 一 定 参 法*由 图 象 知 .#0#2#'2 \& \& # # 图象时$可以先相位变换$后周期变换$也 可 以 先 周 期 变 换$后 相 位 变 2 换!两种变换的顺序不同$变换的量也有所不同$前 者 平 移#(#个 单 位 ) *'+#\&2 #\&#'0#0(;<)\&/%(*!3 点 \& #) 在函数图象上# 2 ( 长度$而后者则 平 移 + 个 单 位 长 度!不 论 哪 一 种 变 换$都 是 对 字 ) *')+0(;< (\&-(#) ))\" *#解 得 2 2 0 \& /\&-( !' \& (# 母/ 而言的$即看)变量*变化多少$而不是)角*变化多少! ) *%) ))\" *!3#(#% ) * ! ) *( )!*!$!提示\"30#(;< #'(# !'0#0(;< \&/% !方 法 二\" \&\&/% 0 #(;< \& \&\&/% 0 #(;< \&/ \& 0 0 '2 #) # *%\&0 #'相位和初相分别为\&/%\&0 #\&0 !( ) * ) *)待定系 数 法*由 图 象 知 .#0!3 图 象 过 点 #) 和 0 !!!$!提示\"由于对称中心是使函数值为零的点#可排除 \"###当/#% \& ) *'+-,' 02 ++--((## \&# #解 ,+#\&# 得-+(# !'0#0(;< \&/% 0 !方 法 三 )图 象 ) *时 0 \&/% \&- 0 #0#3>( #3>( \& #)!( 方法技巧 !对于 函 数 0#.3>(!+/%(#的 性 质 问 题$常 与 余 弦 函 ) *变换法*\"由 .#0#2# #点 \& #) 在 函 数 图 象 上#可 知 函 数 图 数0#3>(/ 类比求得! 2 )!$!\"!提示\"3最小 正 周 期 2#\&+ # #'+#\&#则 A)/*#(;< \&/% 象 由 0#0(;<\&/ 的 图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 长 度 所 得 #所 2 ) * ) *以0#0(;<\& /% 2 #即 0#0(;< \&/% 0 ! * ) * 0 !当 /# 时 #(;< \&0 - #)#' 该 函 数 的 图 象 关 于 点 规 律 方 法 ! 三 角 函 数 中 系 数 的 确 定 方 法 % 0 0 ) * #) 对 称 !( 给出0#.(;<!+/%(#的图象的一部分$确定 .$+$( 的方法% 0 !%#第一零点法%如果从图象可直接确定 . 和+$则 选 取)第 一 零 点* ) * ) *!%!$!提示\"由题 意 可 知 0#(;< #故 问 !即)五点法*作图中的第一个点#的数据代入)+/%(#)*!要 注 意 正 \&\&/% 2 # \&(;< \&/\& 2 确 判 断 哪 一 点 是 )第 一 零 点 *#求 得 (!!\&#特 殊 值 法 %通 过 若 干 特 殊 点 代入函数解析式$可以 求 得 相 关 待 定 系 数 .$+$(!这 里 需 要 注 意 的 ) *题转化为求函数A)/*#(;< 的 单 调 递 增 区 间!令 \&) \& 是$要认清所选择的点属于五个点中的 哪 一 点$并 能 正 确 代 入 列 式! \&/\& 2 \&\&/\& \&\&) % ))\" *#得 ) \& \&/\&) % ))\" *! !0#图象变换法%运用逆向思维的 方 法$先 确 定 函 数 的 基 本 解 析 式 0 \& 2 \& 2 0 #.(;<+/$再 根 据 图 象 平 移 规 律 确 定 相 关 的 参 数 ! ! (故该函数的单调递减区间是 ))\" *!( ) \& 2 #) % 0 帮 练 综 合 易错点津 !对于函数0#.(;<!+/%(#的 单 调 区 间$可 以 利 用 解 !!\"!提 示 \"3 函 数 0#.(;<)+/%(*).1)#+1)*的 最 小 正 周 期 为\& # 不等式的方法 求 出$但 需 注 意 三 点%!%#把 )+/%(*作 为 一 个 整 体! 0 !\&#若+%)$则要先把/ 的系数 化 为 正!!0#. 的 正 负 影 响 函 数 的 单 初 相为 #'+#0#(# !( 调性! 2 2 !#!7!提 示 \"由 题 意 知 函 数 在 /# 处 取 得 最 大 值 %#所 以 %+(;<+0 # $!\"!提 示 \"将 0#(;</ 图 象 上 的 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 长 度 #得 到 0 0 0 ) *0#(;< 的 图 象#再 将 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 所 以 +# \& !( /% 0 !\"!\&'%\& !提 示 \"由 \& \&/\&) 知 5\&0 \&\&/% \& #当 \&/% # ) *\&倍)纵坐标不变*#得到0#(;< / - 的 图 象 !( \& 0 0 0 \& 0 #即 /# \&'%\& 时 #0#(;< ) *\& 取 得 最 小 值 \&%#故 0#%5 %!7!提 示 \"函 数A)/*#(;<+/)其 中+1)*图 象 上 的 所 有点 向 右 平 移 . \& \&/% 0 !!\&\&

!参考答案与提示! ! ) *(个单位长度#得 到 函 数 A)/*#(;< )其 中 +1)*的 图 素养点评 !本题为三角函数的图象与性质的综合应用 首先 利 用 + /\& . 图象直观确定函数的解析式 再 通 过 解 析 式 研 究 其 性 质 这 充 分 体 ) *象#将 0. #) 代入得)+(;<+\& #故+ 的最小值是\&!( 现了直观想象的核心素养! % 2 # 0. \& '%\& # #'2 # \&0 !' \&+ # \&0 #即 ) * !!*!右 ! #!#!提 示 \"3 \& 0 +#0! 2 )答 案 不 唯 一 *!提 示\"0 #3>( /\& 0 #(;< \& % ) * )又 0 ) *( ) * ) */\& 30/'%\& %(# %\&) ))\" *#'( 可 取 \& !'A #(;< \& #(;< /% #所 以 由 0#(;< /% 图象上的所有 . \& 0 2 2 * ) *%( #(;< 0\& 5 #(;<'. #\& 槡\&\&!( 点 向右 平 移 2 个 单 位 长 度 得到 0#(;</ 的 图 象 !( . \"!\"#$!提示\"函 数 A)/*的 最 小 正 周 期 为\&\& # #故 \" 选 项 正 确!由 !!!\" )!提 示 \"32# #'+#\&!又 \&/% \&%(#) % ))\" *#'(# \& \&% \&%) \&/\&'%\& % ) * )) % # \& \& %\&) \&\&/\& 0 \& \& %\&) ))\" *#解 得 0 ))\" *!3(\" \& \& \& #'(# 0 #'0#(;< \&/% ! () ))\" *#所以函数A)/*在区间 \&% \&#'%\& 上单调递增#故 #选项 * !由 正 弦 函 数 的 图 象 及 性 质 可 知 \" ) 正 确 !( 0 ) * !) * ( ) *正确!因为A \&% \& #(;< \& \&% \& 0 #(;< # \&%# ! (!$! !提示\"3A)/*在区间 2 \& \& \& # 上 具有 单 调 性#' \& 3 \& # 2\& \& 2 所以直线 /# \& 是 图 象 I 的 一 条 对 称 轴 #故 $ 选 项 正 确 !0# ) * ) *'23\&0 !3A \& #'A)/*的 一 条 对 称 轴 为 /# %\& \& #A 0 ! )(;<\&/图象上的所有点向 右 平 移 \&-\&0 #*%\& !又 0 个 单 位 长 度 得 到 0#(;< \& /\& ) * ) * \& #'A)/*的 一 个 对 称 中 心 *( ) * 3A \& # \&A 2 0 #(;< \&/\&\&0 #故 7 选项错误!( - \& \& 2 \&!\"!提示\"函数G)/*#3>()\&/\&(*))\&(\& *图 象 上 的 所 有 点 向 右 平 的 横 坐 标 为 # #' %.2#*%\& \& # #'2# !( 0 0 . !) * ( )移 个 单 位 长 度 后 得 到 0#3>( \& /\& \&( #3>( \&/\& \& !%!解\"3A)/*在 上是偶函数#'当/#)时#A)/*取 得 最 大 值 或 最 小 2 2 0 * ) *( 值 #即 (;<(# @%#得(#) % \& #)\" #又 )\&(\& #'(# \& !由 图 0 0 #根据题意可 得 3>( \&/\& 5( #(;<\&/#所 以 %(#\&) % 0. #) 0. +% #)#解 得 +# 0.)\& ) * ) *象关于 ; 对 称 可 知 (;< \& \& 2 2 #)\" #所 以 (#\&) % #)\" #又 )\&(\& #所 以 (# #所 以 ! (\& 上 是 单 调 函 数 #'23 #即\&+ 3 #'+ 0 ) *G)/*#3>( #)\" !又 A)/*在 )#\& 2 2 \&/\& #由 \&/\& #) #)\" #得 G)/*图 象 的 对 称 轴 方 程 为 /#)\& %% \&#)\" #当)#) 时 #对 称 轴 方 程 是 /#% \&!( \&\&#又 +1)#' 当 )#% 时 #+# \& \&当 )#\& 时 #+#\&! 0 '!#!提 示 \"将 函 数 A)/*图 象 上 的 所 有 点 向 右 平 移()(1%*个 单 位 长 度 # ) *!#!解\")%*3图象最高点的 坐 标 为 #' #'.#'!3 2 # \&% \& 0 . 0 #'2# #'+#\&2 #\&#'0#'(;<)\&/%(*#代 ,(;<\&# 槡0# ) *# 入 点 #' # 得+ \& . 0 得G)/*#(;< !\&)/\&(*%\&(的 图 象 #由 题 意 解 ) *得(;< \&0 -( #%#'\&0 %(#\&) % -(;<)\&\&\&(*# 槡0# \& #)\" !令 )#)#则 (# \& ) *\& )\&*3 数 增 区 足 得\&# #(# \&) 或 \& \&) ))\" *#结 合 选 项 得(#'2 !( 2 #'0#'(;< \&/\& 2 !! 函 的 间 满 \&) \& \& 0 2 ) *(!7!提示\"由图象知#函数A)/*的最小正周期 2# ' 5 % (\&+\&# \&\&/\& \&\&) % ))\" *#'\&) \& \&\&/\&\&) %\&0 ))\" *# . . 2 \& 0 ) *所以+# #又 % !') \& 为 . #) 可以看作是余弦曲线与平衡位置的第一个交 2 \&/\&) % 0 ))\" *#' 函 数 的 增 区 间 ) \& 2 #) % ) *点#所以3>( #)#. %(# #解 得 (# #所 以 A)/*# ( ) * . -( \& . 2 \&)#'\&) \& \&\&/\& 2 0 ))\" *!!)0*3'(;< \&/\& \&\&) ) *3>( #所 以 由 \&) % /% %\&) % #)\" #解 得 \&)\& % ))\" *#') \&'%\& \&/\&) %% \&))\" *! /% . . . )%/%\&)% 0 以 单 % ,!\"!解 \")%*由 图 象 可 知 .%*#%# 解 \&%#2\& . #)\" #所 函 数 A)/*的 调 递 减 区 间 为 \&)\& . #\&) \&.%*# \&0# 得 .#\&#*# # + # *% 0 #)\" !( ) ** %\&\& 6+#\&#所以A)/*#\&3>()\&/%(*\&%#把 点 % \&#% 代 入 得 . . '%\& - # #+#\& #\&#\&/'%\& %(#\&) % ) *3>( ) *)!\"#$!提示 0 2 #%#即 2 %(#\&) #)\" #又 因 为 \& #所 以(# \"2# ( 0 -( ( % # ) *\& \& \& 0 0 2 2 2 \& ) *\& #)\" #又 \& %(% #'(# \& #'A)/*#\&(;< \&/\& #即 A)/*#\&3>( \&/\& \&%!令 \&/\& # %) #)\" # \&0 5 ) * ) *A %)\& #)\" #故 -)\& #\&% 0 #\&(;< 0 #槡0#\" 错 误\&将 A)/*图 象 上 的 所 有 点 向 ) *解得 所 求 对 称 中 心 坐 标 为 #) /# 0 0 ! ) *左平移 个 单 位 长 度 所 得 函 数 解 析 式 为 % #得 0 0#\&(;< \& /% 0 \& \" !! )\&*A )/*的 图 象 纵 坐 标缩 短 到 原 来 的 \& 到 0# ) * !)3>( % 0 0 2 \& 2 ( ) * ) *0 #\&(;< \&/% ## 错 误\&当 /\" \&% \&#) 时 #\&/ \& \" \&/\& \& #再 向 右 平 移 个 单 位长 度 #得 到 0#3>( \& / ) * ! (\& #\& # #函 数 A)/*应 为 增 函 数#$ 错 误\&由 * ( ) *\& \& % % #(;<\&/\& % 的 图 象 #再 \& 0 8 \& \& \& 2 \& 2 \& #3>( \&/\& \& \& \& \& \&/\& #) % ))\" *得 /#)\& %'%\& #)\" #当)#% 时 #直 线 /# 将 图象 向 上 平 移 %个 单 位 长 度 #得 到 G)/*#(;<\&/% % 的 图 象 #由 0 \& \& %% 是 A)/*图 象的 一 条 对 称 轴 #7 正 确 !( \& %\&) \&\&/\& %\&) #)\" #解 得 \& %) \&/\& %) #) %\& \& \& . . !!\&'