144
第 20 讲 直线形计算三
内容概述
学习直线形中的各类比例关系，重点是与三角形相关的、与平行线相关的比例关系；学习勾股
定理并能简单运用．典型问题
提高篇
1．如图 20-1，在三角形 ABC 中，AD 的长度是 AB 的
4
3 ，AE 的长度是 AC 的
3
2 ．请问：三角形
AED 的面积是三角形 ABC 面积的几分之几？
2．如图 20-2, AC 的长度是 AD 的
5
4 ，且三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的一半．请问：AE
是 AB 的几分之几？
3．如图 20—3，深 20 厘米的长方形水箱装满水放在平台上．
(1)当水箱像图 20-4 这样倾斜，水箱中水流出
5
1 ，这时 AB 长多少厘米？
(2)如图 20—5，当水箱这样倾斜到 AB 的长度为 8 厘米后，再把水箱放平，如图 20-6，这时水箱中
水的深度是多少厘米？
145
4．如图 20 一 7，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成 4 个部分．三角形 AOB
的面积是 2 平方千米，三角 BOC 形的面积是 3 平方千米，三角形 COD 的面积是 l 平方千米，如果
公园由大小为 6.9 平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？
5．如图 20.8，在梯形 ABCD 中，三角形 ABO 的面积是 6 平方厘米，且 BC 的长是 AD 的 2 倍，请
问：梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？
6．如图 20—9，已知平行四边形 ABCD 的面积为 72，E 点是 BC 上靠近日点的三等分点，求图中阴
影部分的面积．
7．图 20-10 中的两个正方形的边长分别为 6 分米和 8 分米，求阴影部分的面积．
8．如图 20-11，梯形 ABCD 的对角线相互垂直．三角形 AOB 的面积是 12，OD 的长是 4，求 OC 的
长．
146
9．在图 20-12 中，正方形 ABCD 的边长为 5 厘米，且三角形 CEF 的面积比三角形 ADF 的面积大 5
平方厘米，求 CE 的长．
10．如图 20-13，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）．
拓展篇
1．如图 20-14，已知 三角形 的面积
三角形 的面积 试求
ABC
DEF
, 5
1
, 4
1
, 3
1 AE AC CD BC BF AB 的值？
2．如图 20-15，已知长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 2，三角形 ACF 的面积是 4．请
问：三角形 ABC 的面积是多少？
3．如图 20-16，3 个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为 6，求三角形 ABC 的面积．
147
4．图 20-17 中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个
小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积．
5．图 20-18 中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 D，如果三角形 ABD 的面积是 30 平方厘米，
三角形 ABC 的面积是 48 平方厘米，三角形 BCD 的面积是 50 平方厘米．请问：三角形 BOC 的面积
是多少？
6．如图 20-19，梯形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 60 平方米，AC 的长是 AE 的 4 倍，梯形 ABCD
的面积是多少平方米？
7．如图 20 -20 所示，梯形 ABCD 的面积是 36，下底长是上底长的 2 倍，阴影三角形
的面积是多少？
8．如图 20-21，边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．
148
9．如图 20 -22，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，已知正方形 AB-CD 的面积为
60 平方厘米，求阴影部分的面积．
10．如图 20-23 所示，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8
厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，求 CF 的长．
11．如图 20 -24，已知 D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，三角形 ABC 由①至⑤这 5 部分组成，其
中①的面积比④多 6 平方厘米．请问：三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？
12．根据图 20 -25 中所给的条件，求梯形 ABCD 的面积．
超越篇
1．在图 20-26 中， 1, OAB ABC BCD CDE DEF S S S S S 请问：S△CDF是多少？
149
2．如图 20 -27，ABCDEF 为正六边形．G、H、I、J、K、L 分别为 AB、BC、CD、DE、EF、FA 边
上的三等分点，形成了正六边形 GHIJKL.请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？
3．如图 20-28，等腰直角三角形 ABC 的面积是 8，AE= CF，四边形 BEOF 的面积比三角形 AOC 的
面积大 4，求 AE 的长．
4．如图 20 -29，ABCD 是正方形，AE= DF =4，已知三角形 AEG 与三角形 DEF 的面积比为 2:3，求
三角形 EFG 的面积．
5．如图 20 -30，正方形 ABCD 的面积为 1，BF=2FC，求阴影四边形 FHJG 的面积．
6．如图 20-31，四边形 BCDE 是正方形，三角形 ABC 是直角三角形．若 AB 长 3 厘米，AC 长 4 厘
米，试求 j 角形 ABE 的面积．
150
7．如图 20-32，一个长方形被分为面积比为 5：6：7：8：9 的 A、B、C、D、E 五块，其中 A 和 B
是长方形，且 A 的长等于 B 的周长的一半．请问：A、B、C、D、E 的周长比为多少？
8．如图 20-33，三角形 ABC 为等腰直角三角形，C 为直角顶点，尸、Q 为 AB 边上的两点，又已知
AP 长度为 3，BQ 长度为 4，二 PCQ= 45 0，那么 PQ 的长度是多少？
151
第 21 讲 数字问题
内容概述
各种与数字有关的数字谜问题．学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论
知识．典型问题
提高篇
1．一个两位数等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数．
2．今年是 2008 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”．请问：小王
今年多大？
3．用 3 个不同的数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求 6 个三位数中最小
的一个．
4．有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一
个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为 3600，求原
来的两位数．
152
5．有 A、B 两个整数，A 的各位数字之和为 35，B 的各位数字之和为 26，且两数相加时进位三次，
求 A+B 的各位数字之和．
6．有些三位数，如果它本身增加 3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字
之和的
3
1 ，求所有这样的三位数．
7．一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位
数比原来的五位数小 71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？
8．有一个四位数 2M9N ，它是由 M 个 2 的积与 N 个 9 的积相乘得到的，求这个四位数．
9．如果
3
1233 3
n个
是 27 的倍数，那么 n 最小是几？
153
10．从 1 至 9 这 9 个数中选出 8 个不同的数字，组成能被 24 整除的八位数．试问：在这样的八位数
中，最大的和最小的分别是多少？
拓展篇
1．在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数比原数大 8 倍，求这个两位数．
2．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的
平方．请问：这个和是多少？
3．有一个三位数是 8 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰
好是 1111.请问：原来的三位数是多少？
4．在等式“学习习好勤动 ×5=勤动动脑学习 ×8”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字
表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
5．在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的 9 倍，在这样
的三位数中最小的是多少？最大的是多少？
154
6．用 5、7、2、0、8 这 5 个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是 66663，这
两个数中较大的一个可能是多少？
7．有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 7 的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？
8．记号 n!表示前 n 个正整数相乘，并且规定 0 ！=l，例如：4!=1 x2x3x4.每一个三位数 abc 都有一
个“对应数”：a！+ b! + c!，例如：254 的对应数是 2 !+5 !+4 !=146.请问：对应数与自身相同的三位
数是什么？
9．如果修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，那么修改后的这个数是多少？
10．如果
2
22 2
n个
是 1998 的倍数，那么 n 最小是多少？
11．1 至 9 这 9 个数字，按图 21-1 所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按
顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 l 和 7 之间剪开，得到的两个数是 193426857 和
758624391）．如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘
积是多少？
155
12．各位数字互不相同的八位数中，能被 72 整除的数最小是多少？最大是多少?
超越篇
1．用 3 个不同的数字可以组成 6 个三位数，已知其中的 5 个的和是 3194，求剩下的那个数是多少．
2．一个数是它的数字和的 88 倍，求所有满足条件的正整数．
3．两个自然数，差是 98，各自的各位数字之和都能被 19 整除．试问：满足要求的最小的一对数之
和是多少？
4．如果1333 32
3
n个
是 756 的倍数，那么 n 最小是多少？
156
5．包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“十全数”．求满足以下条件的所有的十全数：
①它的千位是 7；
②从左往右数，它的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能
被 3 整除……前十位组成的十位数能被 10 整除．
6．由 8 个不同的数字组成的八位数中，能被 396 整除的数最大是多少？最小是多少？
7．最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是 11 的倍数？请举例．
8．用 0 至 9 这 10 个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平
方数，
157
第 22 讲 牛吃草问题与钟表问题
内容概述
牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于
草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将指针成角度问题
转化为指针间的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关
系．典型问题
提高篇
1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃完了；如
果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完．请问：
(1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？
2．学校有一片均匀生长的草地，可以供 18 头牛吃 40 天，或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天，如果
1 头牛每天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量．请问：这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃，刚
好 16 天吃完？
3．一片均匀生长的草地，如果有 15 头牛吃草，那么 8 天可以把草全部吃完；如果起初这 15 头牛在
草地上吃了 2 天后，又来了 2 头牛，则总共 7 天就可以把草吃完．如果起初这 15 头牛吃了 2 天后，
又来了 5 头牛，再过多少天可以把草吃完？
158
4．有一座时钟现在显示上午 10 点整，问：
(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
5．小悦早上 6 点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小
悦到达学校的时间是几点几分？
6．阿奇在 9 点与 10 点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解
完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？
7．下午 6 点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为
110°．在新间联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是 110°．那么动画
片一共放了多少分钟？
8．在早晨 6 点到 7 点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻
是 6 点多少分？
159
9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午 12 点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟
走到下午 1 点时，手表显示的时间是 1 点 5 分．请问：
(1)当闹钟显示当天下午 5 点的时候，手表显示的时间是几点几分？
(2)当手表显示当天下午 6 点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？
10．一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟，现在将两个钟同
时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 9 点整时，慢钟恰好显示 8 点整．请问：这个时候的
标准时间是多少？
拓展篇
1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养 18 头牛，那么 10 天能把草吃完；如果
只放养 24 头牛，那么 7 天就把草吃完了，请问：
(1)如果放养 32 头牛，多少天可以把草吃完？(2)要放养多少头牛，才能恰好 14 天把草吃完？
2．进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，
如果有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天．如果有 20 只羊，这片
牧场可以吃多少天？
160
3．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水
量相同．如果打开 24 根进水管，5 分钟能注满水池；如果打开 12 根进水管，8 分钟能注满水池；如
果打开 8 根进水管，多少分钟能将水池注满？
4．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷．如果第一块草地可
以供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天，那么第三块草地可以供多少头牛吃 80 天？
5．一个时钟现在显示的时间是 3 点整，请问：(1)多少分钟后，时针与分针第一次重合？
(2)再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？
6．在 9 点 23 分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第
一次垂直？
7．小悦晚上去超市买东西，到的时候是 7 点 24 分，买完出来的时候仍然是 7 点多，且分针和时针
所夹的角度与到超市时相同，请问：小悦出来的时候是 7 点几分？买东西一共花了多少分钟？
161
8．图 22-1 中是一个特殊的钟，分针每 80 分钟走一圈，分针走 8 圈时针就走一圈，从分针与时针重
合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？
9．小明上了一节课，时间不到 l 小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请
问：这一堂课上了多少分钟？
10．在早晨 6 点到 7 点之间有一个时刻，钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央，请问：这时
是 6 点几分？
11．(1)小悦的闹钟比标准时间每小时快 3 分钟．一天晚上 11 点，小悦把钟校准，并把闹铃定在第二
天早上 6 点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？
(2)阿奇的手表比标准时间每小时慢 4 分钟．一天早上 8 点，阿奇将表校准，试问：当这只表指向下
午 3 点的时候，标准时间是几点几分？
162
12．如图 22.2 所示，某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜 10 小时，每小时 100 分钟．当这
只钟显示 5 点时，实际上是中午 12 点．问：当这只钟第一次显示 6 点 75 分时，实际上是什么时间？
超越篇
1．第一、二、三号牧场的面积依次为 3 公顷、5 公顷、7 公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生
长得一样快．有两群牛，第一群牛 2 天将一号牧场的草吃完，又用 5 天将二号牧场的草吃完．在这
7 天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有 15 头，那么第二群牛有多少头？
2．钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况．请问：
(1)距 5 点最近的“时针与分针重合”的时刻是几点几分？
(2)距 5 点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是几点几分？
3．现在的时间在 10 点与 11 点之间，如果在 6 分钟后表的分针的位置恰好与 3 分钟前时针的位置方
向相反，那么现在的时间是几点几分？
163
4．某工厂的一只不准的时钟需要 69 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次，工人每天的正常
工作时间是 8 小时，在此期间内，每工作一小时付给工资 4 元，如果超出规定时间就算加班，加班
每小时付给工资 6 元．如果一个工人照此钟工作 8 小时，他实际上应得到工资多少元？
5．有两只旧钟，分别对它们进行观测，发现一只钟的分针与时针重合一次用 64 分钟，另一只钟的
分针与时针重合一次用 66 分钟，现在把两只钟都在标准时间 0:00 校准．试问：当它们再次出现在
钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定都指向 12 点），是几天几小时几分钟之后？
6．费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走 30 秒，但闹钟却比
标准时间每小时慢 30 秒．在今天中午 12 点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天中午 12 点时，
费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？
7．如图 22—3 所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始是
均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃
掉了）．老农先带着一群牛在 1 号草地上吃草，两天后把 1 号草地上的草全部吃完（这期间其他草地
的草正常生长）．之后他让一半牛在 2 号草地上吃草，另一半在 3 号草地上吃草，结果又过了 6 天，
这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把
3
1 的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在 4 号草
地上，最后发现两块草地上的草同时吃完，如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这
些草需要多少天？
164
8．有一只表没有秒针，而且时针和分针无法辨别，在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确
的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确的时间，请问：从中午 12 时到夜里 12 时这
段时间会遇到多少次无法判断的情况？
165
第 23 讲 计数综合二
内容概述
涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，
并注意结合题目的具体形式．典型问题
提高篇
1．同时能被 6、7、8、9 整除的四位数有多少个？
2．从 1，2，3，…，9 这 9 个数中选出 2 个数，请问：
(1)要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？
(2)要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？
3．在所有由 1、3、5、7、9 中的 3 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 3 的倍数？
4．用 0 至 5 这 6 个数字可以组成多少个能被 5 整除且各位数字互不相同的五位数？
166
5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？
6．如果称能被 8 整除或者含有数字 8 的自然数为“吉利数”，那么在 l 至 200 这 200 个自然数中有
多少个“吉利数”？
7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：
1331，7，202，66 都是回文数，而 220 则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有
多少个？其中第 1997 个“回文数”是什么？
8．一个四位数 ABCD，它与逆序数 DCBA 之和的末两位为 56，这样的四位数 ABCD 有多少个？
9．把 2005、2006、2007、2008、2009 这 5 个数分别填人图 23-1 的东、南、西、北、中 5 个方格内，
使横、竖 3 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？
167
10．从 1 至 7 中选出 6 个数字填入图 23.2 的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，
右边的数字比左边大．请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？
拓展篇
1．分子小于 6，分母小于 20 的最简真分数共有多少个？
2．从 l、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问：
(1)要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？
(2)要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？
3．小明的衣服口袋中有 10 张卡片，分别写着 1，2，3，…，10.现从中拿出两张卡片，使得卡片上
两个数的乘积能被 6 整除，这样的选法共有多少种？（注：9 不能颠倒当作 6 来使用，6 也不能颠倒
当作 9 来使用）
4．六位数 123475 能被 11 整除，如果将这个六位数的 6 个数字重新排列，还能排出多少个能被 1 1
整除的六位数？
168
5．三个 2，两个 1 和一个 0 可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和．
6．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排
成一行：1234，1235，1236，…，6789.请问：此列数中的第 100 个数是多少？
7．有一些三位数的相邻两位数字为 2 和 3，例如 132、235 等等，这样的三位数一共有多少个？
8．在图 23—3 的方框内填入 3、4、5、6 中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的九个数字之
和是多少？一共有多少种填法？
9．在 1000，1001，…，2000 这 1001 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时
不进位？
169
10．将 1 至 7 分别填入图 234 中的 7 个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种
不同的填法？
11．在图 23。5 的空格内各填人一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的
数比上面的数大，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 23—6 就是一种填法，请问：一共有多
少种不同的填法？
12．将数字 1 至 7 分别填入图 23—7 的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比
下面的大，请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？
超越篇
1．甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本．问：
(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？
2．一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6:2430，那么从 5 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数
字都不相同的时刻一共有多少个？
170
3．各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？
4．从 1，2，3，…，9 中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是 3 的倍数，共有多少
种选法？
5．从 0 至 9 这 10 个数字中选出 7 个填入图 23-8 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？
6．从 l 至 9 这 9 个数字中选出 6 个不同的数填在图 23-9 的 6 个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内的
数字之和都是质数，请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的 6 个数字相同，只是排列次序不
同，都算同一种选法．）
7．在 3×3 方格表内填人数字 1 至 9，使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多
少种不同的填法？
8．含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？
171
第 24 讲 抽屉原理二
内容概述
抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和
设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子．典型问题
提高篇
1．将 60 个红球、8 个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？
2．17 名同学参加一次考试，考试题是 3 道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次
写上了 3 道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？
3．任意写一个由数字 1、2 组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，
请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．
4．将 1 至 6 这 6 个自然数随意填在图 2，4-1 的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和
不小于 8。
172
5．从 l，2，3，…，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数，请说明：
(1)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50；(2)在这 51 个数中，一定有两个数差 1．
6．从 1，2，3，…，21 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于
47
7．从 1 至 11 这 11 个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为 127
8．(1)任给 4 个自然数，请说明：一定有两个数的差是 3 的倍数；
(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是 7 的倍数？
9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字
相同的两位数．
10．在一个边长为 2 厘米的等边三角形内（包括边界）选出 5 个点，请证明：一定有两个点之间的
距离不大于 1．
173
超越篇
1．如图 24—2，将 2 行 5 列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染
色方式是一样的．
2．任意写一个由数字 l、2、3 组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三
位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等．
3．27 只小猴分 140 颗花生，每只小猴最少分 1 颗，最多分 9 颗，请问：其中至少有几只小猴分到
的花生颗数一样多？
4．能否在 4×4 方格表的每个格子中填 l、2、3 中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角
线上的和互不相同？
5．从 l 至 99 这 99 个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于 1007 最
多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 5？
6．如果在 1，2，…，n 中任取 19 个数，都可以保证其中必有两个数的差是 6，那么 n 最大是多少？
174
7．从 1 至 50 这 50 个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？
8．从 1 至 30 这 30 个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除．请问：最多
能取出多少个数？
9．请说明：任意 5 个数中必有 3 个数的和是 3 的倍数．
10．任选 7 个不同的数，请说明：其中必有 2 个数的和或者差是 10 的倍数。
11．有 9 个人，每人至少与另外 5 个人互相认识．试证明：可以从中找到 3 个人，他们彼此相互认
识．
12．(1)在一个边长为 1 的正方形里放/23 个点，以这 3 个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？
(2)在一个边长为 1 的正方形中随意放入 9 个点，这 9 个点任何三点不共线，请说明：这 9 个点
中一定有 3 个点构成的三角形面积不超过
8
1 ．
175
拓展篇
1．从 l 至 12 这 12 个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的
倍数？
2．(1)请说明：在任意的 68 个自然数中，必有两个数的差是 67 的倍数；
(2)请说明：在 1，11，111，1111，…，这一列数中必有一个是 67 的倍数．
3．求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a、b、c、d、e、f，使得
(a – b)×(c – d)×(e – f)是 105 的倍数．
4．从 l 至 25 这 25 个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于
另两个不同数的乘积．
5．25 名男生与 25 名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生．
176
6．时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，…，11，12 这 12 个数，在其上任意做 n 个 120°的
扇形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好
取出 3 个，这 3 个扇形能覆盖整个钟面的全部 12 个数，求 n 的最小值．
7．(1)将一个 5×5 的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，
四个顶点处的四个方格同色；
(2)将一个 4×19 的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，
四个顶点处的四个方格同色．
8．从 1 至 2000 这 2000 个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于 4 也不等于 7?
177
参考答案
第 1 讲：分数计算与比较大小
提高篇
1. （1）6；（2）
200
89 。
2. 11
3
7 。
3. 1.
4. 45.
5. 9
5
11109 .
6. 156
43
; 2 112
4
3
1 399 .
7. 126
125
.
8. 19
15
19
14
23
14
23
13
24
13
.
9. 79
20
320
79
; 2
40
9
13
3
1 .
10. 88887
44443
22221
11110
; 2
1995
1994
99
98
1 .拓展篇：
1.33.
2. 3
1
1 .
3. 7
4
.
4. 52.
5. 3
1
21 .
6. 1.
7. . 4018020
1
, 1
2004
2003
2005
2005
2004
2006 差为 .
8. 213. 240
239
1 ；
178
9. . 28
9
22
7
; 4
17
16
35
33
; 3
41
12
27
8
; 2
19
8
7
3
1
10. . 23
15
19
12
33
20
101
60
17
10
; 2
24
13
59
31
35
18
1
11. . 20062
20052
20062006
20052005
; 2
56790
12346
56789
12345
1
12. . 99999
2222
999999
22222
; 3
9999
22222
99999
222222
2
999
222
99999
22222
1 ；
超越篇：
1. . 19
18
250
2. . 847
848
3. . 3
1
3
4. . 2
1
22
5. A<B.
6. A>B>C.
7. 6.
8. . 210
169
78
第 2 讲：整除
提高篇
1. （1）能被 2 整除的有：14，80，152，650，434，9064；
能被 4 整除的有：80，152，9064；
能被 8 整除的有：80，152，9064. （2）能被 5 整除的有：35，80，650，4375，24125；
179
能被 25 整除的有：650，4375，24125；
能被 125 整除的有：4375，24125.
2. 能被 3 整除的有：387，228，975，525，882，837；
能被 9 整除的有：387，882，837；
能同时被 2 和 3 整除的有：228，882.
3. （1）2，5 或 8；（2）0，2，4，6 或 8；（3）2 或 8.
4. 5.
5. 2190，2490，2790，2295，2595，2895.
6. 6842，6644，6446，6248.
7. 10.
8. 12345608，12341648，12348688.
9. 9846.
10. （1）209；（2）319.拓展篇：
1. （1）能被 4 整除的有：3568，5880，6512，864；
能被 8 整除的有：3568，5880，6512，864. （2）能被 25 整除的有：8875，93625；
能被 125 整除的有：8875，93625. （3）能被 3 整除的有：23487，6765，5880，198954，864；
能被 9 整除的有：198954，864. （4）能被 11 整除的有：6765，6512，407.
2.21.
180
3.31075.
4.67680，67185.
5.120087.
6.65241.
7.6.
8.5.
9.768768.
10.使百位与个位的和为 10.
11. 6 个。
12. 20999.超越篇：
1.10395.
2.80.
3.117.81 元；127.50 元。
4. 撕成了这样的三节：2，3456，7.
5. 10，20，25，50.
6. 53.
7. 117935.
8. 527725.
181
第 3 讲：质数与合数
提高篇
1. （1）3，13 或 5，11；（2）2，23；（3）不存在。
2. 90 至 96 这 7 个数。
3. 5，17，29，41，53.
4. （1）2
5×5；（2）2×13×23；（3）211 是质数。
5. 3，4 和 7.
6. 共 8 个：11，22，33，55，66，10，15，30.
7. 102.
8. 5，14，24 和 99 是一组；2，27，55 和 56 是一组。
9. 3 个。
10.2 个。
拓展篇
1.11，13，17，31，37，71，73，79，97.
2.4 个；如 1 至 9，2 至 10，3 至 11，5 至 13，11 至 19.
3.（1）35；（2）2，7，31.
4.（1）360=2
3×3
2×5；（2）539=7
2×11；
（3）373 是质数；（4）12660=2
2×3×5×211.
5. . 28
5
6. 1035.
7. 丙．
8. 20.
182
9. （1）7 个；（2）30 个。
10. 55.
11. 42，84.
12. （1）135；（2）3 个。
超越篇
1.5 个。
2.6 个；如 2，5，89，41，3，67.
3.2，5，7.
4，甲 24 环，乙 28 环。
5，16：14，15：13，11：1.
6，10 个。
7，50！。
8，72.第 4 讲：包含与排除
提高篇
1.11 景。
2.25 人。
3.人。
4.9 道。
5. （1）43；（2）58.
183
6. 8 人。
7. 117 人。
8. （1）9 种；（2）3 种。
9. 13 名。
10. 15 人。
拓展篇
1.14 人。
2.13 人。
3.33 个。
4.55 人。
5.74 只。
6.96 支。
7.59 难。
8.400 人。
9.21 人。
10.33 本。
11.15 人。
11. （1）17 个；（2）32 个。
超越篇
1.20 只。
2.3 幅。
3.40 人。
184
4. 妈妈和冬冬的合影多；多 8 张。
5. 最多 100%；最少 70%。
6. 44 人。
7. （1）15 盒；（2）27 盆。
8. 139 段。
第 5 讲：分数与循环小数
提高篇
1. （1）0.75，1.625，0.52；（2） ， ， ；
0.2 0.27 0.12
（3） ， ， ；
0.83 0.227 0.07 （4）
0.285714，0.230769，0.108
2. . 18
7
45
4
3
99
35
99
1
2
9
4
9
1
1 ，； ， ； ，
3. . 495
61
333
41
33
4
9
7， ， ，
4. 10.6 21 31.6 40.356 50.354. ； ； ； ；
5. . 3
2
1
6.10.65；20.75. 7.1.27. 8.
0.3853
9.111.
10.2.
185
拓展篇
1. 0.375 0.83 4.8 0.285714 0.769230. ， ， ， ，
2.
. 52
19
6
135
22
3
303
41
33
16， ， ，
20.085714 2 0.378 0.083916. 150
17
101
1
1111
11
, 11
3
308
84
, 77
15
, 17
2
. 125
27
625
135
32
3
192
18
50
31
4
3
3. 1
， ，
是纯循环小数； 是混循环小数；
， ， ， 是有限小数
4. 10.78；20.3567；31.35；41. 5. 22.4. 11
1
1 4 ；
6. . 8325
298
2
11
9
1 1 ；
7.
0.6
3
2 或者 . 8. 1.8782106. 9. a 1,n 2002或者a 2,n 2001. 10. 0.401689. 11. （1）9；（2）9.
12.
. 11
4
96
超越篇
1.9.
2.1，3，3.
186
3. 0.8981 0.3361. 最大 ；最小
4.
0.213804597 6
5. 最多 6 位；最少 2 位。
6. 160.
7. . 675
2
8. 8.第 6 讲：和差倍分问题
提高篇
1.225 枚。
2.360 瓶。
3.300 个。
4.480 台。
5.120 个。
6.252 人。
7. 乙桶多； . 79
30
8. 900 平方米。
9. 55 本。
10. 120 名。
拓展篇
187
1. 第 9 个。
2. 170 人。
3. 120 分。
4. 680 块。
5. 18000 张。
6. 3 升。
7. 168 个。
8. 700 顶。
9. 45 厘米。
10. 56 张。
11. 56 个。
12. 厘米。
11
5
3
超越篇
1.1500 本。
2.86 人。
3. . 9
4
4.A,B,C,D,E 车间原来分别有 11，38，33，32，36 人。
5. . 12
5
6. 还能烧 小时， 还能烧 小时。
6
5
5
12
7 A 9 B
7.短蜡烛 0.8 小时，长蜡烛 8 小时。
8.850 元。
188
第 7 讲：行程问题四
提高篇
1.2.5 小时。
2.27 千米/时；3 千米/时。
3.48 小时。
4.48 千米/时； 小时。
11
4
1
5.25 千米。
6.15 分钟；6 分钟。
7.280 米；20 分钟。
8.200 米。
9. 第 7 次。
10. 660 米。
拓展篇
1.6 小时。
2.8 小时。
3.72 千米；90 千米。
4.24 天。
5.2100 千米。
6.50 米/分。
7.25 秒；4 次。
8.140 米/分；160 米。
9.32 米。
189
10.480 米。
11.3 分钟。
12.6 秒。
超越篇
1.10 分钟。
2.0.375 千米/时。
3.6 千米/时。
4. 甲 20 分钟，乙 30 分钟。
5. 20 米/秒。
6. 2947.5 平方米。
7. 2 千米。
8. 5 次。
第 8 讲：直线形计算二
提高篇
1.30 平方厘米。
2.20 平方米.
3.27 平方厘米.
4.16 平方厘米.
5.60 平方厘米；160 平方厘米.
190
6.10.
7.40 平方厘米.
8.6.
9.49 平方厘米.
10.72 平方厘米.拓展篇
1.8 平方米，10 平方米，24 平方米，30 平方米
2.30 平方厘米.
3.25 平方厘米.
4. . 7
1
5. 1.5 倍。
6. 22 平方厘米.
7. . 3
2
8. 11 平方厘米.
9. 8；18.
10. 5.8 厘米.
11. （1）49 平方厘米；（2）100 平方厘米.
12. 7.5 厘米.超越篇
1.100 厘米.
2.25 平方厘米.
3.2.75 厘米.
191
4.6 平方厘米.
5.121 平方厘米。
6.35 厘米.
7. . 307
107
8. 0.5
第 9 讲：比较与估算
提高篇
10.67. 9.517. 8.1110;85.38. 7.0.546. 6. 5. . 4.12
3.7. 2.0.51.
. 23
31
; 3 1.34 7
7
3
; 2 0.4 23
19
7
1. 1 0.375
�
C B A D E
个。
拓展篇
192
种。
④；
5.4
. 8
5
4.
. 40
31
3.
. 273
37
2.3
. 2008
1949
; 3 0.97
37
15
; 2 0.409
19
3
1. 1 0.135
11.11.24 11.29. 10.17
9. 11111 2 111108. 8.3. 7.1. 6.49.或
种。
；
超越篇
1.0.
2.99.
3. ，理由略。
30
29
4.22.54.
5.12.
6.3 位。
7. 第一个比第二个大。
193
8. 2 个；8.6 29. 第 10 讲：几何计数
提高篇
1.10 条；60 厘米。
2. （1）30 个；（2）27 个；（3）22 个。
3. 6 个。
4. 12 个；32 个。
5. 30 个。
6. 70 条；60 个。
7. 20.
8. 48 个。
9. 200 个。
10. 14 个。
拓展篇
1.48 个。
2.35 个；29 个；47 个。
3.85 个。
4.17 个。
5.30 个。
6. （1）450 个；（2）144 个。
