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（2023-2024 海淀九上期中）★★★☆

26．已知二次函数 y＝

1

2

x

2＋bx＋1．

（1）若 b＝－1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；

（2）若对于任意的 0≤x≤2，都有 y≥－1，求 b 的取值范围．

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吴老师图解

（1）x=1，

1

2

.

思路&图解

1）由题知抛物线的解析式为 y＝

1

2

x

2－x＋1，

2）易求得对称轴为 x=－

2

b

a

=－

1

1

2

2

−



=1，

3）将 x=1 代入解析式得 y=

1

2

×1－1+1=

1

2

，即函数的最小值为

1

2

.

∴综上所述：对称轴为 x=1，最小值为

1

2

.

（2）b≥－2.

思路一：顶点轨迹

分析

【1】“定调”

抛物线开口向上，大小固定！无需对开口方向进行分类讨论！

【2】“五大步”

对称轴 x=－b

顶点（有轨迹） （－b，－

1

2

b

2+1）→y=－

1

2

x

2+1

y

轴交点以及对称点 （0，1），（－2b，1）

x

轴交点 ——

“支撑点” （0，1）

【3】综合分析

如图，二次函数图像的顶点在轨迹 y=－

1

2

x

2+1（一个新抛物线）上运动，且开口向上大

小固定，过定点（0，1），故只需保证原二次函数图像在 0≤x≤2 之间的部分，一直在直线

y=－1 的上方即可（备注：可以在 y=－1 上）！

x

y

×

y = 1

O

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思路&图解

如图，

1）易求得抛物线的顶点为（－b，－

1

2

b

2+1），故顶点在 y=－

1

2

x

2+1 上，

2）点 M（2，1）恰好在 y=－

1

2

x

2+1 上（提示：任意 0≤x≤2，都有 y≥－1），

3）由题知抛物线的顶点应在点 M 上或点 M 的左侧，即－b≤2，

∴b≥－2.

备注：要是顶点的轨迹不过点（2，－1）呢？本题还是比较特殊的！

思路二：区间最值

思路&图解

1）由题知，当 0≤x≤2 时，ymin≥－1，

2）如图，

①若 2≤－b（b≤－2），则当 x=2 时，ymin=2b+3，

由题知 2b+3≥－1，解得 b≥－2，

∴b=－2，

②若－b≤0（b≥0），则当 x=0 时，ymin=1，显然，1＞－1，

∴b≥0 恒成立，

③若 0＜－b＜2（－2＜b＜0），则当 x=－b 时，ymin=－

1

2

b

2+1，

令－

1

2

b

2+1≥－1，解得－2≤b≤2，

∴－2＜b＜0.

∴综上所述：b≥－2.

x

y

y = 1

O M

x= b

0

2

x= b

0

2

x= b

0

2