凤台 2023最新版 宁海中学校本教材 省心备考方案领航者 南方凤凰台 艺考之路 南方凤凰台 ○主审宏业红锦 ⊙主编南方清平 化课快速提 艺专之路 学 为艺考生私家定制 立足基础聚焦重点 细设专题点点突破 拉开差距赢在中档 者心3每一课 数学 东 南大学出版 园东南大学出版甜

2023最新版 省心备考方案领航者 南方凤凰台 艺若之路 文化课快速提今 ○主编南方清平 ⊙副主编吴建宗 ○编委殷宏春张进居加颖 张绍宏徐华 吴群英李军文朱肖红刘海燕 数学 6G 东南大学出版社 SOUTHEAST UNIVERSITY PRESS ·南京·

目灵 CONTENTS 掌握几个“黄金学习法则”，让二轮备考更有效 高考心理：考前如何缓解焦虑 三角函数和平面向量 题 第1讲三角函数化简与求值…。 …书P1练P☐ 目标1给值求值 目标2给值求角 第2讲三角函数的图象与性质 ………书P3练P 目标1单调性与最值 目标2由图象求解析式 目标3图象变换 第3讲解三角形(1)一正、余弦定理的简单应用 书P7练P☐ 目标1正、余弦定理的直接应用 目标2三角函数与解三角形 第4讲解三角形(2)一与中线、角平分线、垂线相关 ………书P10练P☐ 目标1与中线有关的解三角形问题 目标2与角平分线有关的解三角形问题 目标3与高线有关的解三角形问题 第5讲解三角形（3)一多三角形问题…书P13练P☐ 目标1将四边形切割成多个三角形 目标2将三角形切割成多个三角形 第6讲平面向量… 书P16练P☐ 目标1平面向量的线性运算（基本定理）目标2平面向量的数量积 拉开差距一赢在中档题之高考微切口…书P练P☐ 微切口1三角函数中ω的取值范围问题… 书P18练P 探究1已知函数y=Asin(wx十p)在给定区间上的单调性，求w的取值范围 探究2三角函数的最值与ω的关系 探究3已知三角函数的零，点个数问题求ω的取值范围 微切口2研究三角形中对边对角模型…书P19练P☐ 探究1已知一边和对角求周长范围（或最值） 探究2已知一边和对角求面积范围（或最值） 微切口3以三角为载体的情境题（以练代讲) … 练P☐ 微切口4三角形中的结构不良问题（以练代讲)………………练P☐ 专 数 列 第7讲等差数列与等比数列的基本量运算 …………………………书P21练P☐ 目标1基本量的计算 目标2性质的应用 第8讲数列的递推关系及等差、等比数列的判定…书23练P☐ 目标1由Sm与am的递推关系求通项公式目标2运用累加或累乘法求数列的通项 数学1

南方凤凰台者？每一课 目标3构造等差、等比数列研究通项 第9讲数列求和(1)一分组求和法与错位相减法 书P25练P☐ 目标1分组求和法 目标2错位相减法 第10讲数列求和(2)一裂项相消法 书P27练P 目标1等差型 目标2指数型 目标3根式型 拉开差距一赢在中档题之高考微切口… 书P练P 微切口5数列的奇、偶项问题… 书P30练P 探究1直接已知奇偶项的通项公式 探究2已知连续两项和或积的形式 探究3通项含有（一1）”型 微切口6以数列为载体的情境题（以练代讲）…练P☐ 微切口7数列中的结构不良问题（以练代讲）…练P☐ 立体几何 题 第11讲简单组合体的表面积与体积… 书P32练P 三 目标1多面体的表面积与体积 目标2旋转体的表面积与体积 第I2讲立体几何中的位置关系的证明…书P35练P☐ 目标1立体几何中位置关系的判断 目标2立体几何中位置关系的证明 第13讲立体几何中的计算问题(1)一线线角与线面角 书P38练P☐ 目标1综合法 目标2向量法 第14讲立体几何中的计算问题(2)一二面角… 书P41练P 目标1求二面角 目标2已知二面角求参数 第15讲立体几何中的计算问题（3)一距离… 书P44练P 目标1等积法 目标2向量法 拉开差距一赢在中档题之高考微切口… 书P练P 微切口8空间几何体的外接球…书P47练P 探究1长方体模型（补形） 探究2直棱柱模型 探究3侧棱与底面垂直的棱锥 微切口9以立体几何为载体的情境题（以练代讲）…………………练P☐ 专题 统计与概率 第16讲排列组合与二项式定理… 书P49练P 四 目标1排列组合 目标2二项式定理 2数学

目录 CONTENTS 第17讲统计初步 书P52练P 目标1特征值 目标2统计图表 第18讲成对数据的统计分析…。 书P56练P☐ 目标1回归分析 目标2独立性检验 第19讲互斥、对立、独立事件与古典概型、条件概率 ……书P61练P☐ 目标1古典概型 目标2相互独立事件与互斥事件 目标3条件概率及其性质 第20讲一般离散型随机变量的分布列、正态分布… 书P64练P☐ 目标1一般离散型随机变量的分布列 目标2正态分布 第21讲二项分布和超几何分布 ……… 书P67练P 目标1二项分布 目标2超几何分布 拉开差距一赢在中档题之高考微切口 书P练P 微切口10非线性回归模型 书P70练P 探究1指数模型 探究2对数模型 探究3二次模型 微切口11实际生产生活中的预测与决策问题（以练代讲) ……………练P 解析几何 第22讲直线与圆 …书P73练P 五 目标1圆的方程 目标2直线、圆的位置关系 第23讲圆锥曲线的基本量…书P76练P☐ 目标1圆锥曲线的方程 目标2圆锥曲线的性质 第24讲直线与圆锥曲线 ………………………………………书P79练P☐ 目标1弦长问题 目标2中点弦问题 目标3抛物线的焦点弦 第25讲圆锥曲线中的综合问题…书P82练P☐ 目标1定点问题 目标2定值问题 目标3最值与范围问题 拉开差距一赢在中档题之高考微切口 书P练P☐ 微切口12离心率的计算………………………………… 书P85练P☐ 探究1求离心率的值 探究2求离心率的取值范围 微切口13圆锥曲线中的三角形面积问题…………………… 书P86练P☐ 探究1直接利用底与高计算 探究2拆分成两个三角形计算 数学3

南方凤凰台者？每一课 专 不等式、函数与导数 第26讲不等式… …………书P88练P☐ 六 目标1不等式的性质 目标2基本不等式 目标3二次不等式 第27讲函数的图象与性质 书P91练P 目标1函数的性质 目标2函数图象的识别 目标3函数图象与性质的综合应用 第28讲利用导数研究函数的性质（1)一单调性、极值与最值…书94练P☐ 目标1导数与函数的单调性 目标2函数的极值与最值 第29讲利用导数研究函数的性质(2)一恒成立与能成立 ………书P96练P☐ 目标1分离变量法 目标2双变量问题f(x1)≥g(x2) 第30讲利用导数研究函数的性质(3)一零点问题…书98练P☐ 目标1零点个数的判定 目标2由零点个数求参数 拉开差距一赢在中档题之高考微切口 ……………书P练P 微切口14切线与公切线… …… 书P101练P☐ 探究1求函数在某点处的切线 探究2求函数在某点处的切线 探究3两曲线的公切线 微切口15指、对、幂比较大小 书P102练P 探究1借助临界值比较 探究2差比法与商比法 探究3构造函数：血工型函数 微切口16抽象函数的性质… 书P103练P☐ 探究1抽象函数的单调性 探究2抽象函数的奇偶性、周期性、对称性综合 微切口17以指、对数运算为载体的情境题（以练代讲)……………………练P☐ 温馨提示 附：答案与解析 ①答案与解析一导学案 ②答案与解析二配套热练 配套教学资源 ①教师用书②可编辑PPT③习题word版 4数学

掌握几个“黄金学习法则” 让二轮备考更有效 一、知能整合，完善知识体系 一轮学习阶段虽已将必备的知识点、考点进行了详细复习，但要想进一步提升能力，还需要结合题型 及命题规律进行知能整合，理解知识与能力之间的内在逻辑和综合运用规律，进而对应考的必备知识加以 深刻理解，以达到灵活运用之目的。 整合，是一个自主构建的过程。要基于自己的学习情况，查缺补漏，构建出对知识更深一层的理獬， 构建层次清晰的知识体系，不仅能促进深度理解，还能使解题更快、更准、更稳。因为，整合意味着将零散 的知识重组，内化为“自己的”有效认知体系。 二、易错辨析，准确把握细节 对于知识，还是需要从“是什么”和“不是什么”两个方向准确理解。考生的“专不专业”，就体现 在是否具备辨析出重要内容的能力。面对考卷，“非专业”考生对于重要信息，往往一扫而过，“不留 一片云彩”。 对比，能够帮助考生认识到原先不留意、容易被忽视的细节，提升对“特征”的感受力和敏感度，全 面提升学习的“战斗力”。如易混易错的概念，通过对比，能更好地理解相似题型，以及提高在解题过程 中灵活运用方法的意识等。 把每个细节都看透并不是一件容易的事情，因而，要想突出细节差异，训练辨别能力，最显著的方法 就是提升考生注意细节的精度 三、追根求源，反馈、反思、提升 如果只顾着“刷题”而无视反馈，就好比盲目射箭而不知箭落何处。这种“练”怎能让人进步？道理 都懂，但很多考生还是不愿面对自己的“错误”，懒得探究“为什么”犯错。“题海”只能“熟能生‘固’”， 只有加上反馈，才是“熟能生‘巧’”。 有效反馈，核心在于找到错误的源头。正如国际象棋的人工智能(AI),该程序不断试图从自己的错误 中学习。一旦输掉一局，程序就会追根溯源，回顾之前所有步骤，看看到底是哪步错棋导致最终的败局。 要想找到错误的源头，就需要辨识出导致不理想结果的具体条件、行为或想法。当然，出现的问题“千 百怪”，找到“原因”后，还需教师通过指导来配合、补充。 四、睡上一觉，巩固每一天的记忆 科学研究表明，睡眠能够帮助寻找信息中所蕴含的规律。同时，睡眠还能帮助人把短期记忆固化为 长期记忆，并将学习内容与自身知识融为一体。选择午后打盹儿或是保持规律的睡眠作息，可以促进对白 天所学内容的记忆，还能帮助人们从自身的经历中发现规律。 睡眠不足，长期缺觉会对思考敏锐度、记忆力和心理状态产生显著的负面影响，使学习效率下降。因 此，要学好，先睡饱。 “南方凤凰台”数学学科组

高考心理：考前如何缓解焦虑 面临高考，无论备考多么充分，要祛除考前焦虑情绪几乎是不现实的。而且焦虑是正常的，适度的焦虑反而 能帮助自己主动安排学习计划。但过度的焦虑会成为烦躁，这个时候，我们就需要听听心理老师的意见，敢面 对，善调解。 凡事预则立，不预则废 人的心理焦虑、恐慌多数情况是源于对要面对的事物没有十足的把握，即不自信。鉴于此，要客观冷静地分 析自己的强势和弱势，尤其是偏科学科，对照着考情，进行一一梳理，查缺补漏，将知识点强化、细化、条理化，在 心理构建一个整体、全面的知识网络，这样就可以做到“仓中有粮，心里不慌”。 客观剖析，接纳自己 高考既考知识技能，也考心理素养。为避免负面或焦虑情绪的产生，就要用客观的目标引领自己，激发学习 的斗志。而目标的制定，是鉴于自己的具体情况而定的，既不能好高骛远，用过高或不现实的期望徒增心理“挫 败感”，也不要妄自菲薄，过分怀疑自己的努力和能力。“人知人者智，自知者明”，接纳“不完美”的自己，心理上 才会笃定，临考处乱不惊。 静心自守，严格自律 人须经过历练，才能成熟。学习亦如此，知识的积累、思维的锤炼，能力的提升都是应对高考的关键。然而， 当心理出现过度焦虑，心神不宁时，再怎么埋头苦学，也是徒增焦虑，无助于心理的调适。彷徨、怀疑、失望、恐惧 甚至忧心忡仲，怎样地“努力”也不能解脱心理的失调，这时候，可以试着“静坐”来获取平和。 “静坐”并非单是一种自我催眠状态中去忘记痛苦，而是训练你自己会如何清楚的界定对一切事物的观念。 具体的方法，是使心灵集中于所焦虑的对象，使头脑冷静，心灵休息，排除任何现实世界中的情绪干扰，如妒忌、 虚荣、自大、自卑等，以使心理上的直觉主宰情意，在静定澄澈中获取心理上的平衡。获得像佛家所言戒、定、慧 三学中的“定”和“慧”。 独学而无友，孤陋而寡闻 学习中难免会遇到一些问题，应该多向老师请教，多与别人沟通学习。同样的道理，当心理上遇到困惑，也 应该向老师或同学、朋友敞开心扉，这时候，你或许会发现，你并不是孤立的，不是一个人遇到这些情况。抱团取 暖，共同去直面这些问题，就会多一份勇气、多一份笃定、多一分力量。 “南方凤凰台”考试研究院

专题一三角函数和平面向量 第1讲三角函数化简与求值 回归教材 自主练，激活思维 激活思维 1.已知es(-a)=sine,则1ama等于( 要点梳理 A./3 B.C. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3 3 D.3 sin(a±β)= 2.已知tana=2,则nmg十cos2e的值为( cos(a干B)= \"sin 2a+cos2a tan(a士B)= A. c D. (e士Be9均不为灰x十k∈Z。 3.(2022·新高考Ⅱ卷)设角a,3满足sin(a+B)+ 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 cos(a+8)=22cos(a+F）sin3则 () sin 2a= A.tan(a+8)=1 B.tan(a+B)=-1 cos 2a= C.tan(a-B)=1 D.tan(a-B)=-1 cos2a= sin2a= 4已知casa 5,sin(g-a)=-0 10,a,B均 tan 2a= a,2a均不 为锐角，则角3的大小为 A.是 B哥 c n. 为x十受，∈Z), 3.辅助角公式：asin x+bcos x 5.(2022·浙江卷)若3sina-sin3=√10，a十 其中tang= b 日=7则sima ,c0s23= 举题固法 抓关键，破难提能 分类解析 ,则cos(2x-)等于 日标给值求值 7 例1(1)(2022·武汉一模)设sim(需-x)= 4 D.15 4

(2)(2022·泉阳期宋)已知1am(号-君) (2)(2022·张家口期末)（多选）设sin0· 2.则co(0)等于 coscc 20∈(0，)，则0 等于 () AB-C A B.g c是 D 变式(1)(2022·茂名一模)设sin15°cos15°· s。-mu=日期w(2a+120)等于 课堂评价 ( ) 1.(2022·江苏楼拉)已知sin(9)-方则 D.-ig cos(0+3)等于 ( (2)(2022·荷田二模)已知c0s(至-a)= 3 ,则sin2a等于 ( 2.(2022·常州期中)在△ABC中，若tanA+ A器 7 B.25 7 C.一25 n tanB+√2=√2 tan Atan B,则tan2C等于 () A.-2√2 B.2√2 目标2给值求角 C.-2√3 D.2√3 1 1 例2(1)已知tana-3,tan9=-7,且 a,3∈(0，π)，则2a-3等于 ( 3已知aB都是锐角，且na=手.oa(a+9 5 A至 13 C.3x (1)求sin2a,cos2a的值； 4 (2)求sinB的值. (2)已知a,3∈(0，π)且tana= 2,COS B= 0,则。+月等于 √10 ( ) A.开 B c 变式(1)(2022·滨海模拟)设cos(α一3)= 5,cos2a=10 10a∈(0，)，8∈(0，x),且 a<3,则a十B等于 ( A. B C. D 2

第2讲 三角函数的图象与性质 回归教材 自主练，激活思维 激活思维 3.(202·江苏模拟)将函数y=tan(ox-》 1.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin3x 的图象，只要把函数y=2sin(3x十)图象 (w>0)的图象分别向左、向右各平移个单 位长度后，所得的两个图象的对称中心重 上所有的点 ( 合，则ω的最小值为 () A向左平移答个单位长度 A. B.2 C.3 D.6 B向右平移智个单位长度 4.将函数f)=2cos受(sin号+cas学） C向左平移晋个单位长度 1。>0)的图象向有平移名个单位长度后， D.向右平移元个单位长度 得到函数y=g(x)的图象.若y=g（x)在 2.(2022·北京卷)已知函数f(x)=c0s2x [-至0]上为增函数，则m的最大值为 sinx,则 ( ( Af(x)在(-受-君)上单调递减 A.1 R司 C.2 B.f(x)在(-工，)上单调递增 412 5.(2022·南通模拟)已知f(x)=2sin(wx十 p),试写出一个满足条件①②③的w= C.f(x)在(0，)上单调递诚 )在 )上单调递增 ①w>1;②f(g)=2:③f(x)=0. 要点梳理 1.正弦、余弦、正切函数的性质 解析式 y=sin x y-cos x y=tan x 图象 7新7 定义域 R R 3

(续表) 解析式 y=sin x y=cos x y=tan x 值域 [-1,1] [-1,1] R 零点 x=kπ，k∈Z 2=x十受，k∈7 x=kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z (分+em,0）,k∈Z (经)ez 对称轴 x=Rx十，及∈Z x=kπ，k∈Z 无 周期性 T=2π T=2π T=π 增区间 [2x-2x+]k∈7 [(2k-1)π，2kπ]，k∈Z 减区间 3π7 2k+2,2k+ 2 ,k∈Z [2kπ，(2k+1)π]，k∈Z 无 2.由y=sinx的图象得到y=Asin(wx+p) (9>0)或向右(9<0)平移 个单位 的图象主要有下列两种方法： 长度 相位变换 周期变换 3.常用结论： y=sin x y=sin(x+o) (1)对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相 振幅变换 y=Asin(ux+p） y sin(ax+o 邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离 是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之 或 间的距离是 个周期.②正切曲线 周期变换 相位变换 y=sin x y-sin wx 相邻两对称中心之间的距离是 振幅变换 周期. -Asin(wx+o) y=sin(ox++o) (2)奇偶性：若函数f(x)=Asin(ωx十p) 说明：前一种方法第一步相位变换是向 (A≠0，ω≠0)，则：①函数f(x)为偶函数的 左(p>0)或向右(9<0)平移 个单 充要条件是 ;②函数f(x) 位长度，后一种方法第二步相位变换是向左 为奇函数的充要条件是 笙题固法 抓关键，破难提能 分类解析 A.(o,) B.(受x) 日标单调性与最值 例1(1)(2021·新高考I卷)下列区间中， c.(x,》 n.(2x 函数f()=7sin(x-君)的单调增区间是 (2)设函数f(x)=cos4x-2√3 sin xcos x一 sin'x.

①求函数f(x)的最小正周期及单调增 目标2由图象求解析式 区间； 例2(1)(2020·全国I卷)设函数f(x)= ②当x∈[·]时，求fx)的最值及取得 cos(ox十)在[一，]上的大致图象如图 最值时x的值. 所示，则f(x)的最小正周期为 () y 4πO (例2(1) A. 10π c晋 (2)(2022·南京模拟)已知函数f(x)= sin(ou+g)(w>0,g<罗），若f(x)≤ f()对任意实数x都成立f(-)=0,且 函数)在区间(-子，)上单调，则g的 值为 A B.g c. 变式（多选）已知函数f(x)=Asin(wx十p) 变式(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)= (A>0,m>0,0<9<),给出以下四个结 sin(wx+- )在区间(0，x)上恰有三个极值 论为甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图 点、两个零点，则ω的取值范围是 () 象的两条对称轴之间距离的最小值为π；丙： 该函数的图象关于点(，0)对称：丁：该函 A[59 号 数图象可以由y=sin2x-cos2x的图象平 cs别 n 移得到.其中有且只有一个是错误的，那么下 列说法正确的是 ( (2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)= A函数-)是偶函数 cos(ωx十9)（ω>0,0<p<π）的最小正周期 为T,若f(T)=号x=号为f()的零点， 3 B.φ的值可唯一确定 C.函数f(x)的最小值点为2kπ十T(k∈Z) 则w的最小值为 6 D.函数f(x)在区间[若，]上是单调的 5

日标3图象变换 3.已知函数f(x)=√2(sin'wx一coswx)十 例3(2022·南通模拟)已知函数f(x)= 2√2 sin wx cos wx(w>0)的最小正周期为元. cos(ox-)(a<0)的图象向右平移平个单 (1)求w的值： 位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数 (2)将函数f(x)的图象先向左平移个单 g(x)的图象关于y轴对称，则ω的最大值为 位长度，然后向上平移1个单位长度，得到 函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[0，b] (b>0)上至少含有4个零点，求b的最小值. 变式将函数y=sin(2x十9)的图象向右平移 a个单位长度后所得函数的图象关于原点对 称，向左平移a个单位长度后所得函数的图 象关于y轴对称，设0≤g≤a>0,则g等 于 A B号 c D.交 4 课堂评价 1.(2022·全国甲卷)将函数f(x)= sin(ox+)(w>0)的图象向左平移5个单 位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称， 则ω的最小值是 () 1 c 1 D.2 2.(2022·连云港二模)（多选）设函数f(x)= 3cos乞sin亏60s乞则 A.函数∫(x)的最小正周期为4π 且点-经，受)是两数fU)调象的一个对 称中心 C将函数f(x)的图象向左平移个单位K 度后得到的函数图象关于y轴对称 D.函数f(x)在区间(-石，0)上单调递减 —6

第3讲解三角形(1)一正、余弦定理的简单应用 回归教材 自主练，激活思维 激活思维 论正确的是 1.在△ABC中，已知a=√2，b=√3，B=60°， A.sin C6 3 Ba= 那么角A等于 ( ) D.S△ABC=2√2 A.135°B.90° C.45° D.309 C.a=c 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 要点梳理 a,b,c,若2√3 acos C-3 bcos C=3 ccos B, 则角C的大小为 1.正弦定理： u (R为三角形外接圆的半径). A.8 B. c. 变形：a= b=c= 3.在△ABC中，若sinA=sinB+sin Bsin C+ sin A= sin B sinC,则角A等于 ( sin C= A.135°B.120°C.459 D.609 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 2.余弦定理：a2= ,b2= a,b,c,asin A-bsin B=4csin C, ,c2= cosA=、1 4则2等于 变形：c0sA= ,cos B= cos C= A.6B.5 C.4D.3 5.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 3.三角形面积公式：S= 为abc,若c- 2b=3,B=2C,则下列结 笙题固法 抓关键，破难提能 分类解析 (2)求证：2a2=b2十c2. 目标正、余弦定理的直接应用 例1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A B)=sin Bsin(C-A). (1)若A=2B,求角C的大小；

变式(2022·北京卷)在△ABC中，sin2C= 目标2三角函数与解三角形 √3sinC. 1 例2已知函数f(x)=2cosx-sin cos一 (1)求角C的大小； 1 (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求 2sin'z. △ABC的周长. (1)求f(x)的最小正周期及单调减区间； (2)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为 06,若/号)=一要C边上的中线 AD=√2，求b2十c2的最大值. 8

变式已知函数f(x)=sin(x+石)十sin(x 2.(2022·上饶二模)已知△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,cosB= 石)-2cos2 2x∈R 3(a+c)(sin A-sin C)=6(sin A- (1)求函数f(x)的值域； sinB),则边长c的值为 (2)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B, 3.(2022·菏泽二模)在△ABC中，角A,B,C C的对边，若a=2且f(A)=0,△ABC的 的对边分别为a,b,c,且a=5,b=6. 面积为√3，求△ABC的周长. I)若c0sB=-求角A的大小： (2)若△ABC的面积S=15V7, 4,求c. 课堂评价 1.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,且(a+b):(a+c):(b+c)= 9：10:11,则下列结论正确的是() A.sin A sin B:sin C=3:4:5 B.△ABC是锐角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为6y —9

第4讲解三角形(2)一与中线、角平分线、垂线相关 回归教材 自主练，激活思维 激活思维 2.角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,角A, 1 1.在△ABC中，设CosA=8,AB=4,AC B,C所对的边分别为a,b,c. 2,则角A的角平分线AD的长为( (1)利用角度的倍数关系：∠BAC= A.2√2B.23C.2 2∠BAD=2∠CAD; D.1 (2)内角平分线定理：若AD为△ABC的内 角∠BAC的平分线，则A5=BD」 ACCD,该结论也 2.在△ABC中，已知a=c=4,b=2,则BC边 上中线AM的长为 可以由两三角形面积之比得证，即§△D S△ACD AB BD ACCD 3.在△ABC中，已知AB=46 3,cos B=6 , AC边上的中线BD=√5，则边长BC (3)等面积法：由S△ABD十S△ACD=S△ABC, 2bccos2 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 得AD= b+c （角平分线长公式）. a,b,c,D是AB的中点，若CD=1,且（a )sin A=(c)(sin C-sin B), 3.垂线 △ABC面积的最大值是 (1)设h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上 的高，则h1:h2:h=1::1=1 a b c sin A 要点梳理 1 1 1.中线 sin B'sin Ci (1)中线长定理：在△ABC中，设AD是边 (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的 BC上的中线，则AB?+AC2=2(BD2十 高，需要求出面积和相应底边的长度； AD2); 高线的两个作用：①产生直角三角形；②与 (2)向量法：由A市=(A店+AC),知A市 三角形的面积相关. 402+c2+2hosA. —10

竿题固法 抓关键，破难提能 分类解析 日标2与角平分线有关的解三角形问题 日标与中线有关的解三角形问题 例2在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 例1(2022·郑州一模)设△ABC的内角A, a,b,c,bsin B+csin C=asin A-bsin C. (1)求角A的大小； B,C的对边分别为a,b,c,且cosB= √6 6 (2)若点D在BC上，且AD为∠BAC的平 =4√6 C= 3· 分线AC=1,mC-写求AD的长 10 (1)若△ABC的面积为3，求a; (2)若AC边上的中线BD=√5，求sinA 的值. 变式(2022·常德一模)在①cos2A=cos(B十 变式在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 C),②a sin C=√3 ccos A这两个条件中任选 一个作为已知条件，并解答问题， a,b,c,已知cosB=-号 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, (1)若bsin B-asin A=2 csin C,求g的值； b,c, (1)求角A的大小； (2)若∠ABC的平分线交AC于点D,且 (2)若b=2,c=4,求△ABC的BC边上的 BD=1,求4a+c的最小值， 中线AD的长. -11

目标3与高线有关的解三角形问题 2.(2022·江苏模拟)在△ABC中，角A,B,C 例3已知△ABC的内角A,B,C所对的边分 所对的边分别为a,b,c,且A=至，b=2c. 别为a,b,c,且√3 a cos C=(2b-√3c)cosA. 若M是BC的中点，且csin∠MAC=1,则 (1)求角A的大小； △ACM的面积为 (2)若b=23,BC边上的高为3，求c. 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知a=√2，b=√5，c=1. (1)求sinA,sinB,sinC中的最大值； (2)求AC边上的中线长. 课堂评价 1.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分 线分对边所得的两条线段和这个角的两边 对应成比例.请你认真思考，用三角形内角 平分线定理解决下列问题：在△ABC中，已 知AD为∠BAC的平分线，AB=3,AC= 4,BC=5,则AD等于 () A号&号c52D9 7 —12—

第5讲解三角形(3)一多三角形问题 回归教材 自主练，激活思维 激活思维 A.150 n mile B.140 n mile C.130 n mile D.120 n mile 1.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC 边上的一点，AD=5,AC=7,DC=3,则AB 4.在圆内接四边形ABCD中，已知AB=7,BC= 的长为 24.CD=20∠ADC=则BD= 要点梳理 (第1题) A.55B.5v6C.5y D心6 1.多三角形问题 2 2 多三角形问题是指将一个三角形或者一个 四边形切割成若干个三角形，试题重点考察 2.如图所示是公元前约400年古希腊数学家泰特 学生对正、余弦定理的掌握情况和转化与划 托斯用来构造无理数2，√3，√5，…的图形之 归能力. 一，此图形中∠BAD的余弦值是 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公 共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形 特征，利用方程的思想及正、余弦定理与三 角函数公式结合，才能得到问题的解答. (第2题) 2.求解多个三角形问题的解题思路 A.45 B.4+ (1)求解多个三角形的计算问题，关键是梳 6 6 理条件和所求问题的类型. C.23-6 D.23+6 (2)第一步：把所提供的平面图形拆分成若 6 6 干个三角形，将数据化归到多个三角形中； 第二步：在各个三角形中利用正弦定理、余 3.如图，一艘海轮从海岛A出发，沿北偏东75° 弦定理和三角形面积公式解三角形； 的方向航行100 n mile后到达海岛B,然后 第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉 从海岛B出发，沿北偏东15°方向航行 使用公共条件； 60 n mile后到达海岛C,则海岛A与海岛C 第四步：结合三角恒等变换公式进行化简. 之间的距离为 (第3题》 —13

题固法 抓关键，破难提能 分类解析 目标2将三角形切割成多个三角形 例2在△ABC中，角A,B,C的对边分别是 日标将四边形切割成多个三角形 a,b,c,且满足(a一b)(sinA十sinB)= 例1(2022·新乡二模)如图，在平面四边形 c (sin A-sin C),c=4. ABCD中，已知BC=2,cos∠BCD=- 3 (1)若b=6,求sinA的值； (1)若∠CBD=45°，求BD的长； (2)如图，若D,E在线段BC上，且BD= 2)若m∠ACD=日.且AB=4,求AC DE=EC,AE=2√3BD,求AD的长. 的长 D (例2) (例1) 变式(2022·连云港二模)如图，在平面四边 变式1 如图，在△ABC中，AC=2,A=于， 形ABCD中，已知∠CAD=∠BAC=60°， 点D在线段AB上. ∠DCB=150°，BD=√/13，BC=2. (1)求△DCB的面积； 1)若sin∠CDA-22,求D的长： (2)求AC的长. (2)若AD=2DB,sin∠ACD=√7sin∠BCD, 求CB的长. (变式) (变式1) 14

变式2如图，在一条海防警戒线上的点A,2.如图，为了测量A,B处岛屿的距离，小明在 B,C处各有一个水声监测点，B,C两点到 D处观测，A,B分别在D处的北偏西15°、 点A的距离分别为20km和50km.某时 北偏东45°方向，再往正东方向行驶40 n mile 刻，B收到发自静止目标P的一个声波信 至C处，观测B在C处的正北方向，A在C 号，8s后A,C同时接收到该声波信号，已 处的北偏西60°方向，则A,B两处岛屿间的 知声波在水中的传播速度是1.5km/s. 距离为 () (1)设A到P的距离为xkm,用x表示B, C到目标P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线AC的距 D 离.（结果精确到0.01) (第2题) A.20√6 n mile B.40√6 n mile C.20(13)n mile D.40 n mile (变式2) 3.(2022·武汉二模)如图，在平面四边形 ABCD中，已知AB⊥AD,AB=1,AD= √3，BC=√2， (I)若CD=2,求sin∠ADC的值； (2)若∠C=不，求四边形ABCD的面积. (第3题) 课堂评价 1.如图，在平面四边形ABCD中，若AD=√2， CD=2,D-cosB=,则AABC的面 积的最大值为 (第1题) —15

第6讲平面向量 回归教材 自主练，激活思维 激活思维 A.-6B.-5C.5 D.6 1.下列选项正确的是 5.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余 A.单位向量都相等 B.若a与b都是单位向量，则a·b=1 弦值为3，且1a=1,b|=3,则(2a+b)· C.0·a=0 b= D.若a·b=0,则a=0 要点梳理 2.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在 边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则 1.两个向量平行的充要条件：设a=（x1,y1), CB等于 ) b=(x2,y2),b≠0，则a∥b台 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 2.两个非零向量垂直的充要条件：设Q=(x1, y1),b=(x2,y2),则a⊥b台→ 3.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足a|= 1,|b|=√3，a-2b|=3,则a·b等于 3.两个向量的数量积：设a=（x1,y1),b= ( (x2y2),则a·b= A.-2B.-1C.1 D.2 (其中0为向量a,b的夹角). 4.投影向量：向量在向量b上的投影向量为 4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知a=(3,4),b= (1,0),c=a+tb,(a,c)=(b,c〉，则t等于 la cos 0e= =a·b,Ib1 b·b 笙题固法 抓关键，破难提能 分类解析 m0范.0瓜=n0若m-则u等于(） 目标平面向量的线性运算（基本定理）》 B 例1(1)(2022·如皋联考)已知M,N分别 是△ABC的边AB,AC的中点，点P在线段 MN上，且MP=2PN,若AP=xAB+ (例1(2)) yAC,则x十y= (2)如图，已知OC=2OP,AB=2AC,OM= A.3 R号 c D. 8 6

变式在平行四边形ABCD中，E,F分别是 BC,CD的中点，DE交AF于点H,记AB, 课堂评价 BC分别为a,b,则AH等于 () 1.在△ABC中，若AB·BC+AB2=0,则BC Aa-b 2 4 B.5a+5b 在BA上的投影向量为 （) 5 ca+b 4」 D. 4 A.BAB2A店C.ACD. 2.(2022·江苏二模)已知a,b为单位向量，若 目标2平面向量的数量积 |a-2b|=√5，则a+2b|等于() 例2(1)（多选）设向量a,b满足|a|=|b|= A.√3B.√5C.√7D.5 1,b一2a=√5，则以下结论正确的是() A.a⊥b B.a+b|=2 C.|a-b|=√2 3.(2022·邵阳一模)在△ABC中，若边a,b,c对 D.a与b的夹角为60° 应的角分别为A,B,C,且c=√3 asin C-ccos A. (1)求角A的大小； (2)若c=3,b=1,BD=2DC,求AD的 长度 (2)已知△ABC是边长为2的正三角形，M为 △ABC所在平面内的一点，且(AB·A)· (AC·A=2,则AM长度的最小值为() D.√6 变式若两个非零向量a,b满足|a十b|= a一b|=2|a,则向量a+b与a的夹角为 () AB经C晋 D. —17—

微切口1研究三角函数中w的取值范围 探究]已知函数y=Asin(awx十p)在给定区 A(3,4]B.(9,3]C.(3]D.(34 间上的单调性，求ω的取值范围 探究3已知三角函数的零点个数问题求ω的 例1若函数f(x)=-sinr(w>0)在区间[子， 取值范围 ]上单调递减，则。的取值范围是( 例3 已知函数f(x)=4sin(2wa-牙) A[o,][】c[j[ 2(w>0)在[0，π]内有且仅有两个零点，则w 的取值范围是 () 变式已知函数f(x)=sin wx十cos wx(w> A哈到 B[e-2) 0)在(2，)上单调递减，则ω的取值范围是 c( D.[ A[分] B[g别 变式 （2022·南京二模)（多选）设函数 c.(0.] f(x)=2sim(ux十)，w>0,下列说法正确 D.(0,2] 的是 探究2三角函数的最值与ω的关系 例2(2022·衡阳一模)已知函数f(x) A当w=2时f(:)的图象关于直线x- cos(ur-君)(w>0),若fx)≤fT)对任意的 对称 实数x都成立，则ω的最小值为 B.当w=2时，f(x)在[0，]上是增函数 变式设函数f(x)=sin(ox十开)(u>0)在 C.若f(x)在[0，π]上的最小值为一2，则w (受，)内恰有两个最小值点，则。的取值 的取伯范闲为[名+】 D.若f(x)在[一π，0]上恰有2个零点，则ω 范围是 的取值范围为w≥[子十) 总结提升 1.已知函数y=Asin(ωx十o)在给定区间上的单调性，求w的取值范围：①由题意可知区间[x1,x2]的长度 1 不大于滨函数最小正周期的一半，即一1≤T一云，可得0<≤ -;②以单调递增为例，利用 [a1十9ar十g][一乏+2张x,受+2](k∈Z,解得m的取值范国：③结合第一步求出的。的取值 范围对进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围 2.已知三角函数的零，点个数问题求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个 零点，需要确定含有飞个零，点的区间长度，一般和周期相关.若区间上至多含有k个零点，需要确定包含 k十1个零点的区间长度的最小值：

微切口2研究三角形中对边对角模型 探究]已知一边和对角求周长范围（或最值） 变式(2022·淮安模考)在△ABC中，a,b,c 例1在△ABC中，已知角A,B,C所对的边 分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A= 分别为a,b,c,且tanC= sin A+sin B (26+c)sin B+(2c+6)sin C. cos A+cos B' (1)求角A的大小； (1)求角C的大小； (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的 (2)若c=2,求a十b的取值范围. 形状； (3)若a=2,求△ABC周长的最大值 -19

探究2已知一边和对角求面积范围（或最值） 变式在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对 例2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 边分别为a,b,c,且cosB十3sinB=2, 为a,b,c,且2cosC(a cos B+bcos A)=c. cos B cos C 2sin A (1)求角C的大小； b √3sinC (2)若c=√7，求△ABC面积的最大值. (1)求角B的大小和边长b的值； (2)求△ABC面积的取值范围. 总结提升 技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） a+b 利用基本不等式Va6≤2，再结合余弦定理求周长的取值范国：利用V6≤ 告成a2十6≥2ab,再5合 面积公式求面积的取值范围； 技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形） 利用正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,代入周长（边长)、公式面积公式并化角，再结合辅助角公式，根据 角的取值范围，求周长（边长）、面积的取值范围. 20