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（2023 石景山一模）★★★
27．在△ABC 中，∠ACB＝90
，CA＝CB，点 D 为射线 CA 上一点，过点 D 作 DE//CB 且
DE＝CB（点 E 在点 D 的右侧），射线 ED 交射线 BA 于点 F，点 H 是 AF 的中点，连接 HC，
HE ．
（1）如图 1，当点 D 在线段 CA 上时，判断线段 HE 与 HC 的数量关系及位置关系；
（2）当点 D 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2．用等式表示线段 CB，CD，CH
之间的数量关系，并证明．
图 1 图 2
H
F
E
A
C B
D
A
C B
D
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吴老师图解
（1）
HE HC = ， HE HC.
思路&图解
法 1：
如图，连接
BE ， DH ，
1）
ADF
是等腰直角三角形，四边形
CBED
是矩形，
2）
BEF ， DHF ， DHA
是等腰直角三角形，
3）易证
HFE HDC
（SAS，提示：
DC EB EF = = ，135 135 =
），
HE HC =
，进一步可证得
HE HC.
法 2：
如图，连接
BE ， DH ，
与【法 1】同理，易证
AHC DHE
（SAS，提
示：
AD CD DF EF + = +
），
HE HC = ， HE HC.
（2）
2 2 2 CB CD CH + = 2 .
思路&图解
如图，连接
BE ， DH ，CE ，与（1）同理，先证得
HE HC = ， HE HC
（还是 2 种证
法），再利用勾股定理得
2 2 2 2 CB CD CH CH + = = ( 2 ) 2 .
H
F
E
A
C B
D
H
F
E
A
C B
D
H
F
E
A
C B
D
H
F
E
A
C B
D
H
F E
A
C B
D
H
F E
A
C B
D
