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1 数学加分宝8 上第 1 周秋季讲义(教师版)【知识梳理】1.勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .字母表示: 若斜边的长度用 c 表示,两条直角边分别用 a、b 表示,则 2 2 2
a b c .注意:①勾股定理成立的前提是 直角 三角形;②要分清楚三条边哪个是直角边,哪个是斜边;2.勾股定理逆定理:如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.判断一个三角形是否为直角三角形的方法是(1)边:三边满足 2 2 2 a b c
(2)角:最大角为 90°(或最大角等于两个小角的和)
3.勾股数: 满足
2 2 2 a b c 的三个正整数,叫做勾股数.常见勾股数:
①3,4,5 ② 5,12,13 ③ 7,24,25 ④ 9,40,41 ⑤8,15,17题组 1 利用面积探索勾股定理
1.求下列字母所代表的数. 【答案】A=400+225=625 B=225-81=144 A=400-64=336 4142552 2
x ,x2.如图中字母 A 所代表的正方形的边长为( B )
A.4 B.8 C.16 D.64
3.如图,图中所有三角形是直角三角形,所有四边形是正方形, 1 S =9, 3 S =144,4 S=169,则2 S=16.第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
4.在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,其余四个正方形的面积分别是 S1,S2,S3,S4,则 S1+S2+S3+S4=_______4______. 5.(26 中期中)如图,以直角三角形 a,b, c 为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足 1 2 3 S S S 图形个数有 4 个.
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2 数学加分宝题组 2 已知两边关系求第三边
勾股定理的常见变形:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a c b ;b c a ;c a b ;a c b ;b c a. 1.Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a,b,c . (1)若 a 12,b 5 ,则 c 13 . (2)若 c 41,b 40 ,则 a 9 . (3)若 a : b 3: 4 ,c 20 ,则 a 12 ,b 16 . 2.(市南期中)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,周长为 90,斜边与一条直角边之比为13:5,则这个三角形三边长分别为( C )
A.5,4,3 B.13,12,5 C.39,36,15 D.26,24,10
3.(市北期中)在 Rt△ABC 中, C=90°,周长为 60,斜边与一条直角边长度之比为5:3,则这个三角形三边长分别是 25,20,15 . 4.一个直角三角形的斜边长比一直角边长大 2,另一直角边长为 6,则直角三角形的斜边长为10 . 5.已知一个直角三角形的木板,三边的平方和为 1800,则斜边的长为 30 . 6.已知直角三角形面积为 4,两直角边的比为 1:2,则它的斜边的平方为 5 . 7.在直角三角形中,两条直角边长为 n
2-1 和 2n ,则斜边长为 n
2+1 .题组 3 勾股定理分类讨论
1.(市北期中)在△ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,则△ABC 的周长是42 或32 . 2.直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边的平方为 25 或 7 . 3.一直角三角形的两边长是 6 和 8,则第三条边上的高为 4.8 或 6 . 4.(市北期中) ABC 中,AB=15cm,AC=13cm,高 AD=12cm, ABC的周长是42 或32 cm. 5.(市北期中)直角三角形的两条边分别是 3 和 4,则它的最长边的长度是___5 或4____.
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3 数学加分宝题组 4 求面积
1.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm,则 Rt△ABC 的面积是24 cm2
. 2.一个三角形三边长为 15,20,25,则其面积为 150 . 3.斜边长为 17 厘米,一条直角边为 15 厘米的直角三角形的面积为 60 平方厘米. 4.以面积为 9m2的正方形的对角线为边做一个正方形,其面积为 18m2
. 5.(26 中期中)斜边的边长为 17cm,一条直角边长为 8cm 的直角三角形的面积是60cm2
. 6.如图,半圆的面积是 8π .
7.如图,一块直角三角形地被 BD 分成两块,其中斜边 AB 长为 13 米,一条直角边BC 长为5 米,∠BDC=45°,要在△ABD 内种草皮,已知这种草皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要多少元?8.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽 4 米,高 3 米,长 20 米,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.解: 100( ) 2 S矩形ABDE AB BD m
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4 数学加分宝题组 5 小应用题
1.在△ABC 中,∠C=90°,BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从 C 点出发,以每分钟20cm的速度沿CA→AB→BC 的路径再回到 C 点,需要的时间是 12 分钟. 2.如图,校园内有两棵树,相距 12 米,一棵树高 13 米,另一棵树高 8 米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,至少要飞多少米?
【答案】AC=13(米)
3.秋千拉绳长 3 米,静止时踩板离地面 0.5 米,某小朋友荡秋千时,水平方向荡出2.4 米,此时秋千离地面多少米?
【答案】如图, 3 2.4 1.8 1.8 3.5 1.8 1.7
2 2 2 2 2 2 OC OB BC ,OC ,CG 4.如图,甲乙两船从海口 A 同时出发,甲船以 12 海里/时的速度向北偏东 40°航行,乙船向南偏东50°航行,航行 3 小时后,甲船到达 C 岛,乙船到达 B 岛,若 BC 两岛相距 60 海里,则乙船的速度是16 海里/小时.
5.如图,一次台风过后,一棵大树被风从离地面 2.8 米处吹断,倒下的树的顶端砸到了离树根9.6 米处的一辆自行车,这课大树被吹倒前至少有多高?
【答案】12.8 米
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5 数学加分宝题组 6 等腰三角形
1.等腰三角形腰为 5,底为 8,则这个三角形的面积是 12 . 2.等腰三角形一条腰长为 39,底边长为 30,则底边上的高为 36 . 3.等腰三角形面积为 12,底边上的高为 4,则腰长为 5 . 4.(李沧期中)等腰三角形的周长是 16,底边长是 6,则它的面积是 _12__. 5.(市南东片)若等腰三角形的一边长是 3,另一边长为 6,则它的周长是(C )A.9 B.12 C.15 D.12 或15
6.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高,并按顺序记录下数据,量完后,不小心与其他数据记混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据是②.(填序号)①13,10,10 ②13,10,12 ③13,12,12 ④13,10,11
题组 7 斜边高
1.直角三角形两条直角边分别为 5cm、12cm,斜边上的高是 cm13
60
. 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点 C 到 AB 的距离是 7.2 . 3.直角三角形两条直角边分别为 8cm、15cm,斜边上的高是 cm17
120
. 4.如图,在△ABC 中,有一 P 在直线 AC 上移动,若 AB=AC=5,BC=6,则BP 的最小值为4.8.
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6 数学加分宝题组 8 勾股定理的验证
1.验证勾股定理:
①如图,用四个相同的直角三角形构成如图所示的正方形.你能验证勾股定理吗?2 2 2
2 2
2
2
2
1
( ) 4
4
a b c
a b
a b ab
S S S
S c
小正方形 大正方形 三角形
小正方形
②如图,用四个相同的直角三角形构成如图所示的正方形.你能验证勾股定理吗?2 2 2
2 2
2
2
2
1
( ) 4
4
a b c
a b
b a ab
S S S
S c
大正方形 小正方形 三角形
大正方形
③如图,用两个完全相同的直角三角形构成如图所示的梯形.你能验证勾股定理吗?2 2 2
2 2
2 2
2
( ) 2
(2 ) 2
1
2
1
2
1
2 2
( ) 2
1
( ) ( ) 2
1
a b c
a b ab c
S S S ab c ab c
S a b a b a b
ABE AED
梯形
梯形
2.用如图 1 所示的 4 个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼,摆一摆,可以摆成如图2 所示的正方形,你能利用这个图形验证勾股定理吗?
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7 数学加分宝题组 9 判断一个三角形是直角三角形
1.(李沧期中)下列各组数中,能作为直角三角形三边长的是( C )
A. 2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7
2.(青附期中)分别以下列六组数为一个三角形的边长:①6,8,10 ② 2 ,5,7③1,2,3;④9,40,41 ⑤
2
1
,5
2
1
,4
2
1
3 ⑥ 2 2 2 3 ,4 ,5 . 其中能构成直角三角形的有( B )组. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.(市南期中)在下列四组线段中,能组成直角三角形的是( D )
A.4,5,6 B.5,6,10 C.5,8,12 D. 3, 3, 64.(局属期中)下列四组数据中,能作为直角三角形三边长的是( C )
A. 6, 8, 10 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.9,40,41 D. 513, 5
12
, 5
6
5.(51 期中)下列能构成直角三角形三边长的是( C )
①2、3、4 ②3、4、5 ③15、20、25 ④7、24、25
A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个
6.(局属期中)下列各组数是勾股数的一组是( A )
A.7,24,25 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.1.5,2,2.5 D. 3, 4, 77.(市北期中)下列条件中,可以使 ABC 是直角三角形的,有( C )
① 5
1
4
1
3
1
a ,b ,c ;② a 3,b 2,c 5 ;③∠A=48°,∠B=42°;④AB=AC,∠B=45°. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个8.(市北期中)根据下列所给条件,能判定一个三角形是直角三角形的有(B )①三条边的边长之比是1: 2 : 3 ②三个内角的度数之比是1:1: 2
③三条边的边长分别是
5
1
4
1
3
1,, ④三条边的边长分别是 2,3,5A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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8 数学加分宝题组 10 判断一个三角形不是直角三角形
1.(市南东片)以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是( B )
A.3,4,5 B.8,12,13 C.1,1, 2 D. 2, 3, 52.(市南中片)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( A )
A.2,6,7 B.6,8,10, C.7,24,25 D.9,12,15
3.(26 中期中)以下列长度的线段为边不能构成直角三角形的是( D )A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.6,24,25
4.(李沧期中)木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具,那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是( D )
A.3,4,5 B. 6,8,10 C.5,12,13 D.13,16,185.(李沧期中)木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具,那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是( A )
A. 8,15,18 B. 6,8,10 C. 5,12,13 D. 3,4,5
6.(26 中期中)下列各组数中,不能构成直角三角形的一组是( D )
A.1,2, 5 B.1,2, 3 C.3,4,5 D. 6,8,127.(育才期中)下列四组数中,不能构成直角三角形边长的一组是( B )A.0.3,0.4,0.5 B.1,2,3 C.1, 2 , 3 D.5,12,13
题组 11 格点图判断
1.(市北期中)如图是一个 66 的网格,在△ABC,△ ABC,△ ABC三个三角形中,有(B)个直角三角形. A.3 B.2 C.1 D.0
2.如图,在正方形网格图中标有 AB,CD,EF,GH 四条线段,其中能够成一个直角三角形三边的线段是(B)A. CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CF,EF D.GH,AB,CD
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9 数学加分宝题组 12 勾股定理逆定理的应用
1.(51 中期中)如图,点 E 在正方形 ABCD 内,满足 AEB 90, AE6, BE8, 则阴影部分的面积是76 .
2.(李沧期中)我市某中学有一块四边形的空地 ABCD ,如图所示,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠ o A 90 , AB 3m , DA 4m , BC 12m,CD13m. (1)求出空地 ABCD 的面积. 36
2 m
(2)若每种植1平方米草皮需要 200 元,问总共需投入多少元?
【答案】7200 元
3.(李沧期中)如图,已知CD 6,AD 8,ADC 90,BC 24 , AB 26 .求图中阴影部分面积. 【答案】96
4.(李沧期中)如图所示的一块地,ADC 90 , AD 12m,CD 9m,AB39m,BC36m,求这块地的面积. 【答案】216
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10 数学加分宝5(. 51 期中)实验中学有一块四边形的空地 ABCD ,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量AD=8米,CD =6 米,ADC =90 , AB =26 米, BC =24 米,若每平方米草皮需要300 元,学校需要投入多少资金买草皮?
【答案】96*300=28800
6.某住宅小区有一块草坪如图,已知 AB=3 米,BC=4 米,CD=12 米,DA=13 米,且AB⊥BC.求草坪面积. 【答案】36m2
7.(市南期末)某小区有一块四边形空地,如图所示∠ABC=90°,AB=20 米,BC=15 米,CD=7 米,AD=24米.则该四边形空地的面积为多少?
【答案】234m2
题组 13 勾股定理逆定理的应用
1.下列数组中一定不是勾股数的是( C )
A.3k,4k,5k(k 为整数) B.5,12,13 C.0.7,2.4,2.5 D.9,12,15
2.下列数据中是勾股数的有( B )组
(1)3,5,7 (2)5,15,17 (3)1.5,2,2.5 (4)7,24,25 (5)10,24,26
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下面各组数据:
①7,24,25; ②8,15,19; ③0.6,0.8,1.0;④3n,4n,5n ( n>1,且为自然数),勾股数有___2__组.
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11 数学加分宝课堂检测
1.如图,字母 B 所代表的正方形的面积为 144 ;边长为 12 .2.(青大附期中)如图所示,在四边形 ABCD 中,AB BC,AC CD,以CD 为直径作半圆O,AB=4cm,BC=3cm,AD=13cm.则图中阴影部分的面积是 18π .
3.如图,某宾馆在重新装修后,准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价18元,主楼梯道宽 2 米,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要___252___元.
4.(李沧期中)一个直角三角形的两边长分别为 5 和 12,则第三边的长的平方为169 或119. 5.如图,已知直角三角形两直角边 BC 和 AC 的长分别为 6cm 和 8cm,那么斜边上的高CD是____4.8cm____.
6.如图,有两棵树,一棵高 10 米,另一颗高 4 米,两树相距 8 米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 10 米.
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12 数学加分宝7.如图,△ABC 中,AB=20cm,AC=20cm,BC 边上的高 AD=12cm,求 BC 的长. 【答案】32cm
8.如图,求等腰△ ABC 的面积. 【答案】12cm2
9.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8 米处,已知旗杆原来长是 16 米,请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂. 【答案】6m
10.(26 中期中)在公路 AB 旁有一座山,现 C 处需要爆破,已知点 C 与公路上的停靠站A的距离是700米,与公路上另一停靠站 B 的距离为 2400 米,且 CA 垂直 CB,为了安全起见,爆破点C 周围半径680米范围内不得进入,请问在爆破时,公路 AB 段是否因有危险而需要暂时封锁?
【答案】672<680 有危险
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13 数学加分宝课后作业1.根据下列条件,能判定一个三角形是直角三角形的是( B )
A.三条边的边长之比是 1:2:3 B.三个内角的度数比是 1:1:2
C.三条边的边长分别是
5
1
4
1
3
1,, D.三条边的边长分别是 12,15,20
2.适合下列条件的三角形中,是直角三角形的是( C )
(1) 5
1
, 4
1
, 3
1
a b c (2)∠A=32°,∠B=58° (3)a=7,b=24,c=25
(4)a:b:c=1:1:2 (5) 2 2 2 b a c (6)a=0.3 b=0.4 c=0.5
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
3.(市南中片)下列条件中,不能判断这个三角形是直角三角形的是( C )A.三个角满足关系∠B+∠C=∠A B.三条边满足关系 2 2 2
a b c
C.三个角的比为 3:4:5 D.三条边的比为 3:4:5
4.(青大附)在△ ABC 中,给出以下 4 个条件:
①C 90 ②A B C ③ a : b : c 3: 4 : 5 ④∠ A:B:C=3:4:5
从中任取一个条件,可以判定出△ ABC 是直角三角形的有_①②③____.(填序号)
5.(李沧期中)下列三角形是直角三角形的是( D )
A. B. C. D. 6.若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,满足| 50 | 32 ( 40) 0
2
a b a b c ,则△ABC是(C)A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.下列三角形中,为直角三角形的是( D )
A.三个角的比值为1: 2 : 2 B.三角形三边长分别为 2 2 2 3 ,4 ,5
C.三角形一边等于另一边的一半 D.三角形三边长分别为7,24,25
8.下列数据:①8、15、17;②1.5、2.0、2.5;③12、15、20;④ 5
1
4
1
3
1、、;⑤2 2 2 5 、12、13;⑥1.8、8、8.2. (1)其中能作为直角三角形三边长的有 ①②⑥ .(填序号)
(2)其中是勾股数的有 ① .(填序号)
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14 数学加分宝9.(局属期末)如图所示,某开发区有一块四边形的空地 ABCD,现计划在空地上种植草皮,经测量A 90 ,AB 30cm, AD 40cm,BC 120cm,CD 130cm, 。 若植每平方米草皮需要100 元,问将这块空地植满草皮,开发区需要投入多少元?
【答案】 3600m , 2 S 花费 360000 元
10.(市南期中)如图,有一块地(图中阴影部分),AD 8m,CD 6m,ADC90,AB26m,BC 24m ,求这块地的面积. 【答案】96m
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15 数学加分宝8 上第 2 周秋季讲义(教师版)题组 1 求高的解答题
1.(26 中期中)在公路 AB 旁有一座山,现 C 处需要爆破,已知点 C 与公路上的停靠站A 的距离是700米,与公路上另一停靠站 B 的距离为2400 米,且 CA 垂直 CB,为了安全起见,爆破点C 周围半径680米范围内不得进入,请问在爆破时,公路 AB 段是否因有危险而需要暂时封锁?
答案:过 C 作 CD⊥AB 于 D,易求 AB=2500 米
用等面积法求 CD=672 米<680 米,故有危险需要暂时封锁.
2.如图,某沿海开放城市 A 接到台风警报,在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向 D 移动,已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B 点移动到D点?如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险,正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤退才可脱离危险?
【答案】4h 2.5h
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16 数学加分宝题组 2 滑梯、旗杆类
1.如图,一架梯子 AB 长 25 米,斜靠在一面墙上,梯子底端 B 离墙 7 米. (1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了 4 米,那么梯子底部在水平方向滑动了 4 米吗?请说明理由.解:(1)这架梯字的顶端 A 距地面有 24m 高; (2)梯子的底端在水平方向滑动了8m2.如图是一个滑梯的示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高CE=DB=3m,CD=1m,求滑道 AC 的长.解:5m. 3.如图,教学楼走廊左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7m,顶端距离地面 2.4m.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2m,求教学楼走廊的宽度.答案:2.2 米
4.如图,小亮将升起的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面 2m,请你求出旗杆的高度.(滑轮上方的部分忽略不计)【答案】17 米
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17 数学加分宝题组 3 斜坡类
1.如图所示,OA OB,OA=45 cm ,OB=15 cm ,一个机器人在 B 处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点 O,机器人立即从 B 处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球,在点C处截住了小球,求机器人行走的路程 BC.解: 25cm
2.由于大风,山坡上的一棵树甲被从点 A 处拦腰折断,如图所示,其树恰好落在另一棵树乙的根部C处,已知 AB=4 米,BC=13 米,两棵树的株距(两棵树的水平距离)为 12 米,请你运用所学的知识求这棵树原来的高度.答案: 19 米
3.如图,铁路上 A,B 两点相距 25 km ,C,D 为两村庄,DA 垂直 AB 于点A,CB 垂直AB于点B,已知DA=15 km ,CB=10 km ,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得,两村到收购站的距离相等,则收购站 E 应建在离 A 点多远处?
答案:10km
4.一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题:
“小溪边长着两棵棕榈树,恰好隔岸相望.一棵树高是 30 肘尺(肘尺是古代的长度单位),另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远?
【答案】20
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18 数学加分宝题组 4 超速、台风问题
1.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/ h.如图,一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处,过了2s测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了么?
答案: BC 40m ,小汽车的速度是v 40 2 20m / s 72km / h72km / h 70km / h,所以超速了
2.“交通管理条例第三十五条”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直到行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50 米处,过了4 秒后,测得小汽车与车速检测仪间距离为 130 米,这辆小汽车超速了吗?
【答案】108>70 超了
3.2022 年 7 月 23 日,气象局测得台风“韦森特”的台风中心运动路线为直线AB,距台风中心100千米范围内是受台风影响的区域,台风中心的运动速度为 240 千米/时,已知香港距直线AB 的最短距离为80千米,(1)香港会不会受到“韦森特”的影响?
(2)若香港会受影响,求影响的时间为多长?
【答案】解:(1)会,80<100 (2)EF=120,120÷240=0.5(小时)
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19 数学加分宝题组 5 桥洞问题
1.一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状为如图所示的某工厂,厂门上部为半圆形,下部为长方形,已知长方形的宽为 2 米,高为 2.3 米,半圆形的直径与门的宽相等.问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】 2 2 2 CD OD CO ∴ 0.6
2 2 CD CO DO ∴CH=2.3+0.6=2.9m>2.5m∴可以通过2.一辆装满货物的卡车,高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进上边是半圆,下边是长方形的桥洞,如图所示,已知半圆的直径为 2 米,长方形的另一边长是 2.3 米. (1)此卡车是否能通过桥洞?试说明你的理由. (2)为了适应车流量的增加,先把桥洞改为双行道,要使宽为 1.2 米,高为2.8 米的卡车能安全通过,那么此桥洞的宽至少增加到多少?
【答案】解:(1)同上题能通过, 2.3 0.6 2.9 2.5 ,∴这辆卡车能通过. (2)如图:根据题意可以知道:CG BE 2.8米, EC OF BG1.2 米, EFAD2.3米,BF0.5米∴ 1.2 0.5 1.69
2 2 2 2 2 OB OF BF OB 1.3 米,OA 1.3米,∴桥洞的宽至少增加到1.322.6(米)3.如图,已知一辆装满货物的卡车高 3.5 米,宽 1.2 米,要通过双向车道的桥洞,桥洞长方形部分BC为6.8米,DC 为 2 米(两车道之间有 0.8 米的隔离带),这辆卡车能否安全经过桥洞?说明理由.
解:GF 3,GE 5>3.5,能
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20 数学加分宝题组 6 三角形折叠
1.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边 AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC 折叠,使它落在斜边AB上,恰与 AE 重合,则 CD 等于 3 cm .
2.如图,直角△ ABD 中,∠ A=90°,AB=2cm,AD=4cm,将此三角形折叠,使点B 与点D重合,折痕为EO,则△ EOD 的面积为_____ 4
5
_____ 2
cm .
3.如图,有一块直角三角形纸片,直角边 AC 6cm , BC 8cm,现将直角边AC 沿直线AD折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,则 CD 等于 3cm .
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21 数学加分宝题组 7 长方形折叠
1.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线 BD 折叠,那么图中阴影部分的面积是____ 16
75
____.
2.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,在 CD 上任取一点 E,连接 BE,将△BCE 沿BE折叠,使点C恰好落在 AD 边上的点 F 处,则 CE 的长为 3
5
.
3.如图所示,折叠长方形的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,如果 AB8cm,BC10cm,(1)求 BF 的长;(2)求 EC 的长.答案:(1)6cm (2)3cm
4.如图,在长方形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,把长方形 ABCD 沿直线 DE 折叠,点A落在边BC上的点F 处.若 AE=5,BF=3.(1)求 AB 的长; 9 (2)求△CDF 的面积. 54
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22 数学加分宝题组 8 台阶类
1.如图,有一个三级台阶,它的每一级的长,宽,高分别为 16,3,1,点 A 和点B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶表面爬到 B 点的最短路程是20 .
2.如图,一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为 20、3、2,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是25 .
3.如图,在一个长方形草坪 ABCD 上,放着一根长方体的木块,已知 AD=6,AB=5,该木块的较长的边与 AD 平行,横截面是边长为 1 的正方形,一只蚂蚁从点 A 爬过木块到达 C 处需要走的最短路程的平方是85 .
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23 数学加分宝题组 9 最短距离(长方体)
1.如图,长方形的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 距离 C 点 5cm,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是 25 cm.
2.如图是由 5 个边长是 1 的正方形组成的图形,则
2 BA1
2 , 2 BA5
26 ;当有n个正方形时,则
2 BAn n
2+1 .
3.一只蜘蛛在一个长方体的一个顶点 A 处,一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B 处.如图,已知长方体长 6cm ,宽 3cm ,高 5cm .蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方体的表面向上爬行,它要从A点爬到B点,最短距离__10__ cm .
4.如图,长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm,高为 6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要 10 cm. 5.如图,一个长方体透明玻璃鱼缸,长 AD=80 cm ,高 AB=60 cm,水深 AE=40 cm,在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,点 G 在水面线 EF 上,且 EG=60 cm ,已知蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬到鱼缸内的G 处吃面包屑,蚂蚁爬行的最短路程为 100 cm .
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24 数学加分宝题组 10 最短距离(圆柱体)
1.如图,有一圆柱,其高为12cm,它的底面半径为3cm ,在圆柱下底面 A处有一只蚂蚁,它想得到上面B处的食物,则蚂蚁经过的最短路程为 15 cm ( 取3).
2.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周到达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为 3 尺,有葛藤自点 A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达B 处,则问题中葛藤的最短长度是 25 尺.
3.如图,圆柱形玻璃杯高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的 A 处,则蚂蚁到蜂蜜的最短距离为15 cm.
4.如图,有一圆柱,其高为12cm,它的底面半径为 3cm,在圆柱下底面 A 处有一只蚂蚁,它想得到上面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为 15 cm(π取 3).
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25 数学加分宝课堂检测
1.如图,点 A 是正方体左侧面的中心,点 B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一只蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程的平方是 10 .
2.如图所示,折叠长方形一边 AD ,点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知 BC10厘米,AB8厘米,则EF的长是____5____.
3.如图,将长方形 ABCD 的长 AD 沿 AE 折叠,使点 D 落在 BC 上的 F 处,若AB=5,AD=13,则线段DE 的长为 2.6 .
4.在△ABC 中,BC=10 cm ,AC=24 cm ,AB=26 cm ,CD⊥AB 于点 D,则CD= cm13120. 5.如图,已知等腰△ABC 中,AB=AC,BC=20cm,D 是边 AB 上一点,且CD=16cm,BD=12cm,(1)求 AD 的长;(2)求△ABC 中 BC 边上的高. 【答案】(1)
3
14
cm; (2)
3
40
cm
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26 数学加分宝课后作业
1.如图,一根长度为 50 cm 的木棒的两端系着一根长度为 70 cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子拉直,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长?【答案】30 和 40 或
7
370
7
120 和
2.2022 年第二季度,我市遭遇大干旱,为了抗旱保收,即墨某镇准备开采地下水,经探测C出地下有水,为此 C 处需要爆破,已知 C 处与公路上的停靠站 A 的距离是 300 m,与公路是另一停靠站B的距离为400 m ,且CA CB ,如图所示,为了安全,爆破点C 周围 250 m的范围内禁止进入.问:在进行爆破时,公路 AB 是否有危险,是否需要暂时封锁?
【答案】240<250 需封锁
3.根据道路交通管理条例的规定,在某段笔直的公路 l 上行驶的车辆,限速 12 米/秒.已知测速点M到测速区间的端点 A,B 的距离分别为 50 米、34 米,M 距公路 l 的距离(即 MN 的长)为30 米.现测得一辆汽车从A到 B 所用的时间为 5 秒,通过计算判断此车是否超速.解: 在 中, , , 米,在 中, , , 米, (米),汽车从 A 到 B 的平均速度为 (米/秒), 米/秒 米/秒, 此车没有超速.
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27 数学加分宝8 上第 3 周秋季讲义(教师版)【知识梳理】题组 1 认识无理数
知识点:无限不循环小数称为无理数.我们十分熟悉的圆周率 3.14159265也是一个无限不循环小数,因此它是无理数.再如,0.585885888588885……(相邻的 5 之间 8 的个数逐次加1),也是无理数.无理数类型总结:①根号开不尽的数;②无限不循环小数;③含有 的式子1.边长为 1 的等边三角形的高为( B )
A.分数 B.无理数 C.整数 D.有理数
2.长、宽分别是 6 cm 、3 cm ,它的对角线的长的值是一个( D )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.无限不循环小数
3.若 8
2
x ,则 x 不是 分数, 不是 整数, 不是 有理数.(填“是”或“不是”)4.如图,面积分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的正方形,边长是无理数的正方形有6 个. ……题组 2 无理数与有理数的分类
1.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
3.14,
3
4 ,0.·5
·7,0.101001000100001……(相邻的两个 1 之间 0 的个数逐次加1),0.458,,722有理数:_3.14,
3
4 ,0.·5
·7,0.458,
7
22
______无理数:_0.101001000100001……(相邻的两个 1 之间 0 的个数逐次加 1),______. 2.在下列各数
7
25 、2 、0.·3
·1、0.121221222122221……(两个 1 之间依此多 1 个2)、32、0、|−8|、−3.1415926中:
有理数有___ 7
25 、0.·3
·1、
3
2 ,0,|−8|、−3.1415926____________________无理数有___ 2 、0.121221222122221……(两个 1 之间依此多 1 个 2)____正数有_____ 7
25 、 2 、0.·3
·1、0.121221222122221……(两个 1 之间依此多1 个2)、|−8|_____负数有_____ 3
2 、−3.1415926____________
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28 数学加分宝题组3 算术平方根
一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x
2=a ,那么这个正数 x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“ 根号 a ”.特别地,我们规定 0 的算术平方根是 0,即0 0. 1.求下列各数的算术平方根. (1)9 (2) 2 ( 7) (3) 81 (4) 121
25 (5) 9
7
1 (6)6 10算术平方根:3,7,3, 11
5 , 3
4 , 3 10
2.下列说法正确的是( C )
A.4 是 2 的算术平方根 B.-2 是-4 的算术平方根C.2 是(-2)2的算术平方根 D.8 的算术平方根是 4
3.一个数的算术平方根是它本身,则这个数为( D )
A.-1,0,1 B.1 C.-1 和 1 D.0 和1
4.下列说法:①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是正数;③a
2 的算术平方根是a;④ 2 ( 4) 的算术平方根是 4 ;⑤算术平方根不可能是负数;⑥0 和 1 的算术平方根是其本身.其中正确的有( B )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5. 16 的算术平方根是___2_ ; 9
1 的算术平方根是
3
1
;
2 3 的算术平方根是___3____.题组4 化简求值
1.求下列各式的值. ① 1.44 ② 6 10
③
64
9 ④0.01=1.2 3 10
8
3 =-0.1
2.求下列各式的值. ① 49 ②
196
25 ③ 0.09 ④64=7 = 14
5
=0.3 =-8
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29 数学加分宝题组 5 平方根
一般地,如果一个数 x 的平方等于 a ,即 x a
2 ,那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根(也叫做二次方根),记作“ a ”.求一个数的平方根的运算叫做 开平方 ,其中 a 叫做被开方数.一个正数有 2 个平方根,0 只有 1 个平方根,负数 没有 平方根. 1.判断下列各数是否有平方根,如果有,求出其平方根,如果没有,说明理由. (1)169 (2)-2 (3)0 (4)(—1)² (5)3 (6)2516【答案】
54(1)有,13 (2)无 (3)有,0 (4)有,1 (5)有,3(6)有,2.一个数的平方根是它本身,则这个数为( D )
A.-1,0,1 B.1 C. 1和 1 D.0
3.下列说法:①6 是 36 的平方根;②-36 的平方根是-6;③36 的平方根是±36;④36 的平方根是6.其中正确的个数( A )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4. 9 的平方根是( C )
A.3 B. 3 C. 3 D. 35. 81的平方根为 ±3 , 16 的平方根为 ±2 ,若 2x+1 的平方根是±5,则x= 12 .题组 6 算术平方根与平方根的综合(删减)1. 9
4 的平方根是
3
2
,算术平方根是
3
2
;
2.4 的平方根是 ±2 ,算术平方根是 2 ; 4 的平方根是 ± 2 算术平方根是2. 3.16 的平方根是 ±4 ,算术平方根是 4 ; 16 的平方根是 ±2 ,算术平方根是2 . 4.196 的平方根是 ±14 ,算术平方根是 14 ; 196 的算术平方根是_ 14 __,平方根是14. 5.若 x 是 256 的算术平方根,则 x 的平方根是 ±4 .
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30 数学加分宝题组 7 正数的平方根互为相反数
一个正数有 2 个平方根,它们互为相反数
1.若一个正数的平方根是 a+2 和 4-3a,则 a= 3 ,这个正数是 25 . 2.若一个正数的平方根是 x-6 和 4+x,则 x= 1 ,这个正数是 25 . 3.若 2m-4 与 3m-1 是同一个数的平方根,则 m 的值是 -3 或 1 . 4.3b-1 和 b+5 是正数 a 的两个平方根,则 a= 16 . 5.若 2x-16 和 4+x 是同一个数的平方根,则 x= 4 或 20 ,这个正数是 64 或576 .题组 8 被开方数的非负性
被开方数具有非负性,即 a 中,a≥0.若 a a ,则 a=0;若 a和a都有意义,则a=01.下列各式正确的是( D )
A. 25 5 B. 25 5 C. ( 5) 5
2 D. ( 5) 5
2
2.下列各式中无意义的是( B )
A. 3 B. 3 C. 2 ( 5) D. 2 5
3.若 4a 1 有意义,则 a 能取的最小整数是( A )
A. 0 B.1 C. 1 D. 4
4.(市北期中)式子 x 5 在实数范围内有意义,则实数 x 应满足的条件是 x≥5 . 5.若 x,y 为实数,且 1 2 0
2 x y ,则 x+y= 3 . 6.若 x,y 为实数,且 2 ( 3) 0
2 x y x y ,则 x+y= 1 . 7.(市南期中)x,y 为实数,且| x 2 | y 3 0,则
2022 (x y) 1 . 8.(市南期中)若| x 1| y 3 0 ,求 x
y= -1 、 . 9.已知 y 1 2x 2x 1 2,求 xy 的算术平方根. 【答案】 2 1
2
1
x ,y ,xy
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31 数学加分宝题组 9 a a
2
1.求下列各式的值. ① 2 ( 49) ② 2
196
25 ( )③ 2 (0.09)④2(64)【答案】49
196
25
0.09 64
2.求下列各式的值. ① 2 ( 3) ② 2
5
1 ( )③ 2 (7.3)④2(6)【答案】3
5
1
7.3 6
题组 10
, 0
0 0
, 0
2
<
,
>
a a
a
a a
a a
1.计算: 2 2 = 2 , 2 5 = 5 , 2 ) 3
2
( = 3
2
. 2.计算: 2 (2) = 2 , 2 (5) = 5 , 2 ) 3
2
( = 3
2
. 3.计算:
2 3 3 ,
2 0 0 ,
2
5
1 ()5
1 ,
4.若 x>4,则化简 2 2 (x 4) (1 x) 的结果是 -3 . 5.已知 0<a<1,则 2 2 (a 1) (a 1) 的值是 2 . 6.化简计算
① 2 (3 ) ; ② (a 1)(2
a<1); ③ 2 ( 2) 2 ( x)x
3 1 a x 2
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32 数学加分宝题组 11 对立方根的理解
一般地,如果一个 数 x的 立方 等于 a ,即 x a
3 ,那么这个数x 就叫做a 的立方根.用根号表示一个数 a 的立方根为 3 a ,读作 三次根号 a .立方根的性质:正数的立方根是 正数 ,0 的立方根是 0 ,负数的立方根是负数. 1.判断正误
(1)立方根等于本身的数只有 0 (×)(2)互为相反数的两数立方根也互为相反数 (√)(3)只有非负数才有立方根 (×)(4)负数的立方根一定小于负数本身 (×)2.下列说法中正确的是 ①⑦ . ①1 的立方根是 1; ②-1 是 1 的立方根; ③ 2 是 2 的立方根; ④3 是-27 的立方根;⑤-64 的立方根是 4; ⑥343 的立方根是±7; ⑦
1
27
的立方根是
1
3 ; ⑧116的立方根是14;3.下列说法中正确的是( D )
A.-4 没有立方根 B.1 的立方根是±1 C. 36
1 的立方根是
6
1
D.-5 的立方根是354.下列说法中,正确的是( D )
A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数
B.一个有理数的立方根,不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1.题组 12 求立方根
1.求下列各数的立方根.(注意格式)
(1)0.001 (2)
216
125 (3)343 (4)−9
【答案】0.1
6
5 7 3 92.求下列各式的值. (1) 3 8 (2)3 0.064 (3) 3
125
8 (4)( 3 9)
3 =−2 =0.4
5
2 =9
3.8 的立方根是 2 ;-0.064 的立方根是 -0.4 . 4. 3 64 = 4 ;
3 64 = -4 ;-27 的立方根是 -3__. 5. 3 64 的平方根是 ±2 ;立方根等于本身的数是 ±1,0 ;
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33 数学加分宝题组 13 解方程(平方和立方)
1.解方程
(1)
4
1
25
2
x 0 (2) 1 1
2
x (3)812503 x10
1
x x 0或- 2
25x (4)
4
2 25
x (5)
4
2 9
x (6)2 82
x 2
5
x
2
3
x x 22.解方程
(1) 49
9
4 2
x (2)3 2 9
2
x (3)2 1252
x 2
21
x x 1 3, 2x1 x2 (4) (2 3) 54
4
1 3 x (5) 0
12
1
3 2
2 x (6)225003 x2
3
x
6
13
6
11
x 或 x=5
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34 数学加分宝随堂检测1.在下列实数-7, 2
,3.1415,3.010101…(相邻两个 1 之间有 1 个 0), 7
22 ,32.0123456…(小数部分由相继的整数组成)中是无理数的是( B )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.算术平方根等于它本身的数是 1 和 0 . 25 的算术平方根是 5 . 3. 64 的立方根是 2 ,-
8
27 的立方根为 2
3 .若 x 5 ,则2
x 的值是5 . 4.若 a 和 a 都有意义,则 a 的值是 0 . 5.已知 a 2 b 3 0 ,则
2
a b 25 . 6.10-2的平方根是 ±0.1 ;
0 5 的平方根是 ±1 ;
2 18 的平方根是±18 . 7.若 a-1 和 5-2a 是同一个数的平方根,则 a= 2 或 4 ,这个数是 1 或9 . 8.若一个正数的平方根是 2a-1 和-a+2,则 a= −1 ,这个正数是 9 . 9.当 a>4 时,化简 2 (4 a) 的结果为 a−4 . 10.解方程. ① 2 8
2
x ②3 1 48
2 (x ) ③2 25003 x x 2 x=3 或-5 x=5
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35 数学加分宝课后作业1.下列各数中,有 2 个无理数,0.246, 6π,—24.1010010001… (两个 1 之间依次多1 个0),0,131112.若-4 是 a 的一个平方根, 2 ( 9) 的平方根是 b,则 a b 19或13 . 3.算术平方根是 3
7 的数是 9
49
;0.49 的算术平方根是 0.7 . 4.一个正数 a 的算术平方根减去 1 等于 3,则 a 16 . 5.若 4, 9
2 2
a b ,且 ab 0 ,则 a b 的值为 ±5 . 6. 3 27 =___3_____,
3
3 8 ____8____. 7.求下列各数的算术平方根. ①900 ②1 ③ 64
49 ④14 ⑤0.49 ⑥
2 16 ⑦4 10
【答案】①30 ②1 ③ 8
7 ④ 14 ⑤0.7 ⑥16 ⑦ 2 10
8.求下列各数的平方根. ①64 ② 121
49 ③0.0004 ④
2 25 ⑤11 ⑥0.49
【答案】①±8 ② 11
7 ③ 0.02 ④±25 ⑤ 11 ⑥ 0.7
9.下列各数:3.14159,4.212121......,π,
7
22 ,1.010010001......,中,
有理数有___3.14159,4.212121......,
7
22
____________________无理数有___π,1.010010001......____正数有____3.14159,4.212121......,π,
7
22 ,1.010010001......____
10.解方程
(1)3 2 9
2
x (2)2 1 25
2
x
x 1 3, 2 x1 x2
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36 数学加分宝8 上第 4 周秋季讲义——第2 章后3 节(教师版)几个常见近似值 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.449, 7 2.646, 103.162题组 1 估算
1.若 k 90 k 1( k 是整数),则 k ( D )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.黄金分割数
2
5 1 是一个很奇妙的数.请你估算 5 1的值( B )
A.在 1.1 和 1.2 之间 B.在 1.2 和 1.3 之间 C.在 1.3 和 1.4 之间 D.在1.4 和1.5 之间3.估计3 11 1的值( B )
A.在 7 和 8 之间 B.在 8 和 9 之间 C.在 9 和 10 之间 D.在10 和11 之间4.(市南中片)估计 7 2的值( D )
A.在 1 和 2 之间 B 在 2 和 3 之间 C.在 3 和 4 之间 D.在4 和5 之间5.(51 中期中)满足 2 x 3 的整数 x 是 -1,0,1 . 6.满足 2 x 10 的整数 x 有 5 个.题组 2 整数与小数部分
1.设 a 是 2的整数部分,b 是 2的小数部分,则 a= 1 ,b= 2-1 ,a-b= 2-2 . 2. 4 5 的整数部分是 1 ,小数部分是 3 5 . 3. 10 1的整数部分是 2 ,小数部分是 10 3 . 4.a 是5 11 的小数部分,b 是5 11 的小数部分,则 a+b= 1 . 5.若 7 a b ,其中 a 是正整数,0<b<1,则 a= 2 ,b= 7 2 .
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37 数学加分宝题组 3 比较大小
无理数比较大小,可先比较两个数的平方或立方,或者通过作差法来比较.方法 1 估算法
1.(1)
2
2 1
2
3 1 > ; (2)
2
3 - 1
<
2
1
; (3)351>31. 2.(1)
2
1
<
2
5 1
; (2) __ _1
2
7 1
; (3)-5 <3523.写出 6 , 2 , 3的大小顺序. 【答案】 2> 6> 3
方法 2 两边同时平方、立方
4.(1) 10 __>___ 3; (2)
4
3
__ _
3
2 >; (3)2 3<325.(1)3 2 > 2 3 ; (2) 3 25 < 5; (3)65<566.(1)3 < 10 ; (2) 2 11 > 3 5 (3)70___43 >方法 3 同时六次方
7.(1) 3 3 __>___ 5 ; (2) 3 7 __>___ 14 ; (3)8>329方法 4 数形结合
8.(局属期中)为了比较 5 1与 10 的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中C=90
,BC=3,D 在 BC 上且 BD=AC=1.通过计算可得 5 1 > 10 (填“>”或“<”或“=”).题组 4 实数的概念及分类
①概念:有理数和无理数统称为实数,即实数可以分为有理数和无理数. ②小数的分类:有限小数,无限循环小数和无限不循环小数。其中有限小数和无限循环小数又叫分数,所以所有的分数都叫小数,但是所有的小数不都是分数。
③实数的分类:
负无理数
正无理数 无理数
负分数
正分数 分数
负整数
正整数
整数
有理数
实数
0
④无理数和有理数一样,也有正负之分,所以实数还可以按照正负分为:正实数、0、负实数.
辨析:
1.无理数都是实数 (√ )2.分数都是小数 (√ )3.小数都是分数 (×)4.整数也是分数 (×)
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38 数学加分宝1.(市北期中)在①
2
②0.4583③
2.7 ④3.14⑤ 3 4 ⑥-23.101010101…(相邻两个1 之间有一个0),这个实数中是无理数的有 ①⑤ (填写序号). 2.把下列各数填入相应的集合内:
−9.9, 160 ,
2
2 , 7
22 ,3 9 , 3 3
( 2) ,0.710101…(每两个 1 之间有一个0),−3.2,2,38,0.·1
·5,
64
9 ,0, 6 ,| 9 | 3 无理数集合{ 160 ,
2
2 , 3 9 , 2
, 6 ,| 9 | 3 }
负实数集合{ -9.9 ,
2
2 , 7
22 , 3 3
( 2) ,-3.2, 3 8 , 6 }
分数集合{ -9.9, 7
22 ,0.710101…(每两个 1 之间有一个 0),-3.2,0.·1
·5,649}
3.把下列数填入相应的横线上:0.313113111311113,1.1010010001……(每相邻的两个1 之间依次多一个0),−0.505, 3 , 2 3 ,
2
, 3 27 ,0 , 3 2 8 ,0.3
·2,
2
1 ,
3
4
(1)整 数:___ 2 3 , 3 27 ,0 , 3 2 8 ___________________. (2)分 数:___0.313113111311113,−0.505,0.3
·2,
3
4 ______. (3)正 数:___0.313113111311113,1.1010010001……(每相邻的两个 1 之间依次多一个0),3,2,3 2 8 ,0.3
·2,
2
1
____. (4)负 数:__−0.505, 2 3 , 3 27 ,
3
4 _____. (5)有理数:__0.313113111311113,−0.505, 2 3 , 3 27 ,0 ,3 2 8 ,0.3
·2,34___. (6)无理数:__1.1010010001……(每相邻的两个 1 之间依次多一个 0),3,2,21___.
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39 数学加分宝题组 5 实数的性质
在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.例如: 2 和 2 互为相反数, 3 5 和 3 5
1
互为倒数,| 3 | 3 ,| | . 1.求出下列各数的倒数、相反数和绝对值
(1) 3 64 ( 4 4
4
1 ,,) (2) 13 ( 13 13
13
1 , ,)2. 3
125
64 的倒数是______ 4
5 _______; 2 的倒数是____ 2
1
_____. 3.(李沧期中)下列各组数中互为相反数的是( B )
A. 2与 3 8 B. 2与
2 2 C. 2与
2
1 D.2 与 24. 2 3 的相反数是___ 3 2 ____,绝对值是_____ 3 2 ____.题组 6 利用勾股定理在数轴上确定无理数的位置1.在数轴上作出表示 10 的点. 【提示】 2 2 10 1 3
2.在数轴上作出表示1 5 的点. 【提示】从 1 起始
3.在数轴上作出表示 3 的点. 【提示】 2 2 3 2 1
4.在数轴上作出表示 15 -2 的点. 【提示】 2 2 15 4 1 ,从-2 起始
5.在数轴上作出表示 7 的点. 【提示】 2 2 7 4 3
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40 数学加分宝题组 7 实数与数轴上的点的关系
实数与数轴上的点一一对应;在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 1.(李沧期中)实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,化简 2
a b b 的结果是a . 2.(市北期中)实数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示,化简 a abcb2 2 ( ) =-c. 3. 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=1,AB 在数轴上,若以点 A 为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M,则点 M 表示的数为_____ 10 1______________. 4.如下图 AB AC ,则数轴上点 C 所表示的数为_______ 5 1____________.
5.如图,数轴上 A,B 两点分别表示 3 和3 ,点 B 关于点 A 的对称点为点 C,则点C 表示的数是__ 233__. 6.(26 中期中)如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为-1 和 3 ,点 B 关于点A 的对称点为C,则点C所表示的数为___ 2 3 ______. 7.(李沧期中)在如图所示的数轴上,点 B 与点 C 关于点 A 对称,A,B 两点对应的实数分别为2和1,则点 C 所对应的的实数是 2 2 1 .
8.(市北期中)实数 a 在数轴上的位置如图所示,则 a , a , a
1 , 2
a 的大小关系是(C)A. 1 2
a
a
a a B. 1 2
a a
a a C. a a a
a
1 2 D. a a aa
1 2
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41 数学加分宝题组 8 整数化简
1.一般地,形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式. a 叫做被开方数. 2.最简二次根式:一般地,被开方数不含 分母 ,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式. (1) 32 4 2 (2) 40 =2 10 (3) 72 6 2 (4)90310(5) 96 4 6 (6) 108 6 3 (7) 128 =8 2 (8)15056题组 9 分子是 1,分母不含平方数
(1)
5
1
5
5 (2)
7
1
7
7 (3)
3
1
3
3 (4)2122(5)
6
1
6
6 (6)
10
1
10
10 (7)
30
1
30
30 (8)4214242题组 10 分子是 1,分母含平方数
(1)
8
1
= 4
2 (2)
12
1
6
3 (3)
18
1
6
2 (4)32182(5)
48
1
= 12
3 (6)
50
1
10
2 (7)
72
1
12
2 (8)9013010
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42 数学加分宝题组 11 分子分母不含平方数
(1)
6
3
2 (2)
5
3
5
15 (3)
13
3
13
39 (4)3236(5)
2
3
2
6 (6)
10
7
10
70 (7)
6
11
6
66 (8)310330题组 12 分子不含平方数,分母含平方数
(1)
9
5
3
5 (2)
16
7
4
7 (3)
36
11
6
11 (4)2513513(5)
8
5
4
10 (6)
12
11
6
33 (7)
18
7
6
14 (8)12522510
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43 数学加分宝题组 13 分子含平方数,分母没有平方数
(1)
3
4
3
2 3 (2)
2
9
2
3 2 (3)
5
16
5
4 5 (4)725757(5)
3
20
3
2 15 (6)
2
45
2
3 10 (7)
7
12
7
2 21 (8)5485415题组 14 分子分母都含平方数
(1)
4
45
2
3 5 (2)
49
12
7
2 3 (3)
8
25
4
5 2 (4)121216113(5)
10
3 2
50
9 (6)
27
20
7
2 3 (7)
8
45
4
3 10 (8)121256515
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44 数学加分宝题组 15 小数类化简
(1) 0.04 =0.2 (2) 0.16 =0.4 (3) 1.2
5
30 (4)1.526(5) 1.8
5
3 5 (6) 2.5
2
10 (7) 2.8
5
70 (8)3.2545题组 16 分子没有根号,分母有根号
(1)
2
1
2
2 (2)
8
2
2
2 (3)
3
12 2
3 (4)204525(5)
2 6
3
4
6 (6)
3 2
2
3
2 (7)
2 3
5
6
5 3 (8)334943
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45 数学加分宝题组 17 二次根式的加减
二次根式也可以进行加减运算,以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应当将这些项合并. (1) 48 3 3 3 (2) 32 2 2 2 2 (3)
3
1
27 33
10 (4)317523313(5)
10
1
5
2
10
10 (6)
3
1
12 3 3
3
4 (7) 2 75 8277322题组 18 二次根式乘法运算
乘法法则: a b ab (a≥0,b≥0)
(1)3 2 2 3 6 6 (2) 3 12
3
1
2 12(3)
3
2
2
2
3
5 45 15 30 (4)(12)(22)2(5)2 2 5 5 10 10(6) 4 12
2
1
3 12 6 (7)
3
2
2
3
2
4 27 16 2(8)(13)(23)31
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46 数学加分宝题组 19 利用乘法公式进行二次根式计算
平方差公式: a b a ba b
2 2 完全平方公式:
2 2 2
a 2ab b a b ,2 2 2a 2abbab. (1)
2021 2020 5 2 5 2 (2)
2
2 5 (3) 2
2 2+3 3 (4)21212 5 2 9 4 5 35 12 6 1(5)
2 5 2 2 5 (6)
2
3 3 3 3 (7)
2 18 72 (8) 5 21121122 70 20 10 36 18 2 45题组 20 二次根式除法运算
除法法则:
b
a
b
a (a≥0,b>0). (1) 48 3 4 (2)
3
12 2 (3)
5
2
5
10 (4)612113(5) 30 6 5 (6)
12
24 2 (7)
7
3
7
21 (8)83322(9)
20
8
5
10 (10)
5
8
5
2 10 (11)
3
15 5 (12)204523
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47 数学加分宝题组 21 二次根式乘除法混合运算
(1)
24
12 6
3 (2)
2
6 3
3 (3)
6
18 2 6 (4)327333(5)
12 8
2
4 3 (6)
2
10 5 5 (7)
8
12 6 3 (8)3122763题组 22 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算要注意运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如有括号,先算括号里面的. (1)
3
27 12 (2) 3 6
3
4 ( ) (3)361(24)=1 5 2 2611(4) 2
5
20 5
(5)
5
1
3 20 45 2 (6) 48)2331(3 122=1 = 5
5
13
= 3
14
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48 数学加分宝随堂检测
1.下列说法错误的是( C )
A.所有的无理数都是实数 B.实数包括正实数、0、负实数
C.正数和分数统称为实数 D.实数与数轴上的点一一对应
2.下列说法正确的是( D )
A.无限小数是无理数 B.用根号表示的数是无理数
C.无理数是开方开不尽的数 D.无理数包括正无理数和负无理数
3.如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为 3 和−1,点 B 关于点 A 的对称点为C,则点C=____ 2 3 1_______. 4.下列说法正确的是 ⑤⑦ . ①0 是最小的实数;②0 的相反数、倒数、绝对值都是 0;③正数、负数统称为有理数;④无理数就是带根号的数;⑤无理数都是无限小数;⑥无限小数都是无理数;⑦无理数的相反数还是无理数;⑧任何一个实数都可以用分数表示. 5.作图题.在数轴上作出 10 对应的点. 6.化简计算
(1)
13
3
13
39 (2)
16
1
5
4
9 (3) 3
3
1
12 231(4) 2 ( 5 1) 6 2 5 (5)( 12 6 6) ( 3) 6 2 2
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49 数学加分宝课后作业(1) 18 3 2 (2)
2
1
2
2 (3)3123273143(4) 2 (2 2 3 3) (5)
2 ) 5
1
( 5 (6)511031227 35 12 6
5
16 5 25(7) (2 3 3 2)(2 3 3 2) (8) 2
2 3
48 27
(9)212590100 6
2
3 2225(10) 108 12
2
49
(11) 2 (2 3 1)(12)2239829()2 4 3
2
7 13 4 3
3
10
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50 数学加分宝3.1-3.2 确定位置 平面直角坐标系
知识点 1 确定位置的方法
1.平面内,确定点的位置一般需要两个数据. 2.确定位置的方法:①行列定位法;②极坐标定位法;③区域定位法;④经纬定位法;⑤平面直角坐标题组 1 确定位置的方法
1.(李沧期中)钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土,在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图,下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是( D )
A.北纬 2540 ~ 26 B.福建的正东方向
C.距温州市约 356 千米 D.北纬 2540 ~ 26 、东经123 ~12434 2.(市北期中)在电影院中,如果把“5 排 8 座”记为(5,8),那么(4,3)表示4 排3 座. 3.(市北期中)在电影票上,将“7 排 6 号”表示为(7,6),那么“5 排 4 号”应该表示为(5,4). 4.(市南期中)若用(6,5)表示六排五座,那么十排二十座可表示为 (10,20).知识点 2 平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系的概念:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置和铅直位置,取向 上 和向 右 为正方向.其中水平的数轴称为x 轴或横轴,铅直的数轴称为 y 轴或 纵 轴.横轴和纵轴统称 坐标轴 ;公共的原点O 称为直角坐标系的原点. 2.点的坐标的表示:在平面直角坐标系中,要想表示一个点的位置,就要用它的“坐标”来表示.如图,对于平面内任意一点 P,过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作 垂线,垂足在x 轴、y 轴上对应的数 a,b 分别叫做点 P 的 横坐标 、 纵坐标 ;有序数对( a,b )叫做点P 的坐标.题组 2 写出点的坐标
1.如图,写出所有点的坐标.略
2.下列说法正确的是( B )
A.(2,3)和(3,2)表示的位置相同 B.(2,3)和(3,2)是表示不同位置的两个有序数对C.(2,2)和(2,2)表示两个不同的位置 D.(m,n)和(n,m)表示的位置不同