数学·人教河北专用·七年级下册 分层练透教材 多重拓展培优

第五章　相交线与平行线

5.1　相交线 课时1　相交线

过基础 教材必备知识精练

过基础·教材必备知识精练 知识点1 邻补角的定义与性质 1. [2021广东珠海香洲区期末]下列图形中,∠1与∠2互为邻补角的是 (　　) 答案 1.D

过基础·教材必备知识精练 知识点1 邻补角的定义与性质 2. 如图,直线AB,CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角为　　　　,若∠1∶ ∠2=2∶ 3,则∠1的度数为　　　　.  答案 2.∠2和∠4　72°　由题图,可知∠1的邻补角为∠2和∠4.因为∠1和∠2互为邻补角,所以∠1+∠2=180°,又 ∠1∶ ∠2=2∶ 3,所以∠1=180°×25=72°.

过基础·教材必备知识精练 知识点2 对顶角的定义与性质 3. [教材P7习题5.1T1变式][2021河北张家口期末]下列四个图形中,∠1与∠2互为对顶角的是 (　　) 答案 3.C

过基础·教材必备知识精练 知识点2 对顶角的定义与性质 4. [2021河北石家庄长安区期末]如图,直线a,b相交于点O,将半圆形量角器的圆心与点O重合,发现表示60°的刻度与直 线a重合,表示138°的刻度与直线b重合,则∠1的度数为　　　　.  答案 4.78°　根据量角器的刻度显示及对顶角相等,可得∠1=138°-60°=78°.

过基础·教材必备知识精练 知识点2 对顶角的定义与性质 5. [2021河北张家口期中]如图,已知AB,CD,EF相交于点O,∠1=35°,∠2=35°,则∠3的度数是　　　　.  答案 5.110°　因为∠1=35°,∠2=35°,所以∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-35°-35°=110°,又∠3与∠BOC是对顶角,所以 ∠3=∠BOC=110°.

过基础·教材必备知识精练 知识点3 邻补角与对顶角的综合应用 6. 张小泉剪刀是中国手工业的传统名牌,近代,张小泉剪刀在南洋劝业会、巴拿马万国博览会等国际赛会上屡获殊荣. 如图1是张小泉剪刀,把它抽象为图2所示,如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度数是 (　　) A.150° B.120° C.60° D.30° 答案 6.A　根据对顶角的性质,可得∠1=∠2.因为∠1+∠2=60°,所以∠1=∠2=30°,所以∠3=180°-30°=150°.

过基础·教材必备知识精练 知识点3 邻补角与对顶角的综合应用 7. [2021河北保定模拟]如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,如果∠AOD=104°,那么∠BOM的度数是 (　　) A.38° B.104° C.140° D.142° 答案 7.D　解法一　因为∠AOD=104°,所以∠AOC=180°-104°=76°,∠BOC=∠AOD=104°.因为射线OM平分∠AOC,所以 ∠COM=21∠AOC=38°,所以∠BOM=∠BOC+∠COM=104°+38°=142°. 解法二　因为∠AOD=104°,所以∠AOC=180°-104°=76°.因为射线OM平分∠AOC,所以∠AOM=21∠AOC=38°,所以 ∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°.

过基础·教材必备知识精练 知识点3 邻补角与对顶角的综合应用 8. [教材P8习题5.1T2变式]如图,直线AB,CD,EF相交于点O. (1)写出∠COE的邻补角; (2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角; (3)如果∠BOD=60°,∠BOF=90°,求∠AOF和∠FOC的度数. 答案 8.解:(1)∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD. (2)∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF. (3)因为∠BOF=90°, 所以∠AOF=180°-∠BOF=90°. 因为∠BOD=60°,所以∠AOC=∠BOD=60°, 所以∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°.

过能力 学科关键能力构建

过能力·学科关键能力构建 1. [教材P3练习变式][2021湖北恩施州期末]如图,取两根木条a,b,将它们钉在一起,得到一个相交线的模型.转动木条,当 ∠1增大2°时,下列说法正确的是 (　　) A.∠2增大2° B.∠3减小2° C.∠4减小2° D.∠4减小1° 答案 1.C　因为∠1与∠3是对顶角,所以∠1=∠3,所以当∠1增大2°时,∠3增大2°.因为∠1与∠2是邻补角,∠1与∠4是邻补角, 所以∠1+∠2=180°,∠1+∠4=180°,所以当∠1增大2°时,∠2减小2°,∠4减小2°.故A,B,D错误,C正确.

过能力·学科关键能力构建 2. [2020河北邯郸育华中学月考]如图,直线AB,CD相交于点O,OE在∠BOC内部,若∠2-∠1=15°,∠3=130°,则∠2的度数 是 (　　) A.37.5° B.50° C.65° D.70° 答案 2.C　因为∠3=130°,所以∠1=180°-130°=50°.因为∠2-∠1=15°,所以∠2=50°+15°=65°.

过能力·学科关键能力构建 3. 如图,∠AOB与∠BOC是一对邻补角,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内部,并且∠BOE=21∠COE,∠DOA=30°,则∠COE 的度数是　　　　.  答案 3.80°　因为OD平分∠AOB,∠DOA=30°,所以∠AOB=2∠DOA =60°,又∠AOB与∠BOC是一对邻补角,所以 ∠BOC=180°-60°=120°.因为∠BOE=21∠COE,所以∠BOE∶ ∠COE=1∶ 2,所以∠COE=1+22×120°=80°.

过能力·学科关键能力构建 4. 如图是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图,在不能进入塔内测量的情况下,请你利用学过的知识设计出 测量古塔外墙底部的∠ABC度数的方案. 答案 4.解:方案一　①延长AB到E,如图1;②量出∠CBE的度数;③∠ABC=180°-∠CBE. 方案二　①延长AB到E,延长CB到F,如图2;②量出∠EBF的度数;③∠ABC=∠EBF. (选择其中一种方案即可)

过能力·学科关键能力构建 5. [2021河北保定期末]如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠BOC=75°,ON将∠AOD分成两个角,∠AON∶ ∠NOD=2∶ 3. (1)求∠AON的度数; (2)若OM平分∠BON,则OB是∠COM的平分线吗?请说明理由.

过能力·学科关键能力构建 答案 5.解:(1)因为∠AON∶ ∠NOD=2∶ 3, 所以可设∠AON=2x,∠NOD=3x, 所以∠AOD=5x. 因为∠BOC=75°,所以∠AOD=5x=75°, 解得x=15°,所以∠AON=30°. (2)OB是∠COM的平分线.理由如下: 因为∠AON=30°, 所以∠BON=180°-∠AON=150°. 因为OM平分∠BON,所以∠BOM=75°, 因为∠BOC=75°,所以∠BOM=∠BOC, 所以OB是∠COM的平分线.

过能力·学科关键能力构建 6. 观察下列图中的各个角,寻找对顶角(不含平角): (1)如图1所示,两条直线AB与CD相交于一点形成　　　　对对顶角; (2)如图2所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点形成　　　　对对顶角; (3)如图3所示,四条直线AB,CD,EF,GH相交于一点形成　　　　对对顶角; (4)探究(1)~(3)中直线条数与对顶角对数之间的关系,若有n(n≥2且n为整数)条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?

过能力·学科关键能力构建 答案 6.解:(1)2 (2)6 直线AB与CD相交形成2对对顶角,直线AB与EF相交形成2对对顶角,直线CD与EF相交形成2对对顶角,故共有6对对顶 角. (3)12 直线AB与CD相交形成2对对顶角,直线AB与EF相交形成2对对顶角,直线AB与GH相交形成2对对顶角,直线CD与EF相 交形成2对对顶角,直线CD与GH相交形成2对对顶角,直线EF与GH相交形成2对对顶角,故共有12对对顶角. (4)根据(1)~(3)中的结论,可知n条直线相交于一点可形成n(n-1)对对顶角.

课时2　 垂线

过基础 教材必备知识精练

过基础·教材必备知识精练 知识点1 垂直的定义 1. 如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数为 (　　) A.35° B.45° C.55° D.70° 答案 1.C　因为OA⊥OB,所以∠1+∠2=90°,又∠1=35°,所以∠2=90°-∠1=55°.

过基础·教材必备知识精练 知识点1 垂直的定义 2. [2021河北石家庄桥西区期末]如图,直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB,则∠CEF与∠BED的关系是 (　　) A.互余 B.相等 C.对顶角 D.互补 答案 2.A　因为EF⊥AB,所以∠BEF=90°,所以∠CEF+∠BED=90°,所以∠CEF与∠BED互余.

过基础·教材必备知识精练 知识点1 垂直的定义 3. [2021北京中考]如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为 (　　) A.30° B.40° C.50° D.60° 答案 3.A　因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°,所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°.因为OC⊥OD,所以 ∠COD=90°,所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-60°=30°.

过基础·教材必备知识精练 知识点1 垂直的定义 4. [2021河北沧州期中]如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,垂足为O. (1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数; (2)若∠AOD=4∠1,求∠AOC和∠MOD的度数.

过基础·教材必备知识精练 答案 4.解:(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°, 即∠AOC+∠1=90°. 因为∠1=∠2, 所以∠AOC+∠2=90°,即∠NOC=90°, 所以∠NOD=180°-∠NOC=180°-90°=90°. (2)由(1)知∠AOC+∠1=90°, 所以∠AOC=90°-∠1. 因为∠AOC+∠AOD=180°,∠AOD=4∠1, 所以90°-∠1+4∠1=180°,解得∠1=30°, 所以∠AOC=90°-∠1=90°-30°=60°, ∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.

过基础·教材必备知识精练 知识点2 垂线的画法 5. [2021河北衡水月考]下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD,三角尺操作正确的是 (　　) 答案 5.D

过基础·教材必备知识精练 知识点2 垂线的画法 6. 根据下列要求画图. (1)如图1,过点P画AB的垂线; (2)如图2,过点P画OA,OB的垂线; (3)如图3,过点A画BC的垂线. 答案 6.解:(1)如图1所示. (2)如图2所示. (3)如图3所示.

过基础·教材必备知识精练 知识点3 垂线的性质 7. [教材P8习题5.1T4变式][2021河北邢台期末]在一张透明的纸上画一条直线l,在l外任取一点Q,并折出过点Q且与l垂 直的直线,这样的直线能折出 (　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案 7.B　根据垂线的性质,可知这样的直线只能折出1条.

过基础·教材必备知识精练 知识点3 垂线的性质 8. [教材P9习题5.1T12变式][2021河北唐山开平区一模]如图,如果直线AB⊥直线l,直线BC⊥直线l,那么AB与BC重合, 其理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案 8.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

过能力 学科关键能力构建

过能力·学科关键能力构建 1. [2021河北唐山丰润区一模]如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF,则∠GEB的度数为 (　　) A.10° B.20° C.30° D.40° 答案 1.B　因为∠FEA=40°,GE⊥EF,所以∠CEF=180°-∠FEA=180°-40°=140°,∠CEG=180°-∠FEA-∠GEF=180°-40°- 90°=50°.因为射线EB平分∠CEF,所以∠CEB=21∠CEF=21×140°=70°,所以∠GEB=∠CEB-∠CEG=70°-50°=20°.

过能力·学科关键能力构建 2. [2020北京海淀区期末]已知OA⊥OC,∠AOB∶ ∠BOC=1∶ 4,则∠BOC的度数为 (　　) A.54° B.54°或120° C.72° 或120° D.54°或72° 答案 2.C　因为OA⊥OC,所以∠AOC=90°.如图1,因为∠AOB∶ ∠BOC=1∶ 4,所以∠BOC=45∠AOC=72°;如图2,因为 ∠AOB∶ ∠BOC=1∶ 4,所以∠BOC∶ ∠AOC=4∶ 3,所以∠BOC=43∠AOC=120°.综上所述,∠BOC的度数为72°或120°.

过能力·学科关键能力构建 3. [2021河北沧州期末]如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,∠BOD∶ ∠COM=1∶ 3,则∠AOD的度数为　　　　.  答案 3.157.5°　因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°,所以∠BOD+∠COM=90°.因为∠BOD∶ ∠COM=1∶ 3,所以∠BOD= 1+1 3×90°=22.5°,所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-22.5°=157.5°.

过能力·学科关键能力构建 4. [2021浙江衢州期末]如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥OF,且OA平分∠COE. (1)若∠DOE=50°,求∠BOF的度数; (2)设∠DOE=α,∠BOF=β,请判断α与β之间的数量关系,并说明理由. 答案 4.解:(1)因为∠DOE=50°, 所以∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°. 因为OA平分∠COE,所以∠AOE=21∠COE=65°. 因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°, 所以∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°.

过能力·学科关键能力构建 (2)α=2β.理由如下: 因为∠DOE=α, 所以∠COE=180°-∠DOE=180°-α. 因为OA平分∠COE, 所以∠AOE=21∠COE=90°-21α. 因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°, 所以∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-(90°-21α)-90°=21α, 所以12α=β. 故α与β之间的数量关系是α=2β.

过能力·学科关键能力构建 5. 易错题[2021安徽六安期末]如图,已知直线AB,CD相交于点O,且OE⊥AB. (1)过点O画CD的垂线MN; (2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外),且∠AOC=34°,求∠EOF的度数.