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（2022 朝阳二模）★★★☆
27．在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，点 M 在 AB 上，点 N 在 DC 上，且 MN⊥DE，
垂足为点 F．
（1）如图 1，当点 N 与点 C 重合时，求证：MN＝DE；
（2）将图 1 中的 MN 向上平移，使得 F 为 DE 的中点，此时 MN 与 AC 相交于点 H，
①依题意补全图 2；
②用等式表示线段 MH，HF，FN 之间的数量关系，并证明．
图 1 图 2
(N)
F
M
A D
B E C
A D
B E C
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吴老师图解
（1）
思路&图解
如图，
1）∠ =∠ = °−∠ 1 3 90 2，
2）△MBN END ≌△ （ASA 或 AAS），
∴ MN DE = .
（三垂直模型）
（2）①如图 2-1.
思路&图解
图 2-1 图 2-2
（2）② MH NF HF + = .
分析
如图 2-2，通过观察或测量，同学们不难猜到结论： MH NF HF + = ！
那么如何证明呢？同学们在想证明的同时，不要忘了已知条件：（2）中多了个 DE 的中
点 F ，（1）的结论是 MN DE = ，而本身 MN DE ⊥ ，
假设我们的猜想是正确的，那就意味着 HF 是线段 MN 长度的一半，即 1
2
HF DE = ，
也就是说，我们证出 1
2
HF DE = 就可以了，这时把注意力放到点 F 上，吴老师给出以下
2 个思路：
①连接 DH ， EH ，由垂直平分线知 DH EH = ，只需证明∠ =° DHE 90 ，再利用斜边中
线定理即可证得结论，
②连接CF ，利用斜边中线定理知 1
2
CF DE = ，故只需证明△HFC 是等腰直角三角形...
(N)
3
2
1
F
M
A D
B E C
H
N
M
F
A D
B E C
H
N
M
F
A D
B E C
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思路一：证明∠ =° DHE 90
思路&图解
法 1：
如图，连接 DH ， EH ， BH ，
1）由垂直平分线知 DH EH = ，
2）由正方形的对称性知 DH BH = ，∠ =∠ 1 CDH ，
∴ BH EH = ，即∠ =∠ =∠ 1 2 CDH ，
3）∠ +∠ =∠ +∠ = ° CDH CEH CEH 2 180 ，即∠ =° DHE 90 （对角互补），
4）由斜边中线定理知 1 1
2 2
HF DE MN = = ，
∴ MH NF HF + = .
法 2：
如图，连接 DH ， EH ，作 HP BC ⊥ ， HQ CD ⊥ ，
1）由正方形知∠ =∠ 1 2 ，则 HP HQ = ，且∠ =° PHQ 90 ，
2）由垂直平分线知 DH EH = ，
3）易证△HPE HQD ≌△ （HL），则∠ =∠ 3 4 ，
4）∠ =∠ +∠ =∠ +∠ = ° DHE EHQ EHQ 4 3 90 ，
5）由斜边中线定理知 1 1
2 2
HF DE MN = = ，
∴ MH NF HF + = .
1 2
H
N
M
F
A D
B E C
1
2
P
H Q
N
M
F
A D
B E C
3
4
P
H Q
N
M
F
A D
B E C
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思路二：证明△HFC 是等腰三角形
思路&图解
如图，连接CF ，设∠ =∠ = 1 2 α ，
1）∠ = °+ 3 45 α ，
2）∠ =∠ = °−∠ = °+ 5 3 180 4 45 α （对角互补），
3）由斜边中线定理知 1
2
CF DE EF = = ，则∠ =∠ = °+ FCE 5 45 α ，
∴ ∠ = =∠ 6 2 α ，即 1 1
2 2
HF CF DE MN = = = ，
∴ MH NF HF + = .
6
4 5
3
2
1
45°
α
45°
H
N
M
F
A D
B E C
