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（2023 大兴一模——相关三角形）★★★★☆

28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于△ABC 与⊙O，给出如下定义：若△ABC 的一个顶点

在⊙O 上，除这个顶点外△ABC 与⊙O 存在且仅存在一个公共点，则称△ABC 为⊙O 的“相关

三角形”．

（1）如图 1，⊙O 的半径为 1，点 C（2，0），△AOC 为⊙O 的“相关三角形”．

在点 P1（0，1），P2，（

1

2

，

3

2

）P3（1，1）这三个点中，点 A 可以与点____重合；

图 1 图 2

（2）如图 2，⊙O 的半径为 1，点 A（0，2），点 B 是 x 轴上的一动点，且点 B 的横坐标

B

x

的取值范围是

−

1<xB<1，点 C 在第一象限，若△ABC 为直角三角形，且△ABC 为

⊙O 的“相关三角形”．求点 C 的横坐标 xC的取值范围；

（3）⊙O 的半径为 r，直线

y x = − + 3 3

与⊙O 在第一象限的交点为 A，点 C（2，0），

若平面直角坐标系 xOy 中存在点 B（点 B 在 x 轴下方），使得△ABC 为等腰直角三角

形，且△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．直接写出 r 的取值范围.

相似题：2019-2020 海淀九上期中（直角点）、2022 西城一模（点 A 关联三角形）

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吴老师图解

（1）

P2

.

思路&图解

图 1 图 2 图 3

1）图 1，除顶点外，还有 2 个公共点，故不符合题意，

2）图 2，除顶点外，只有一个公共点（此时

2  =  CP O 90

），符合题意，

3）图 3，没有顶点在

O

上，故不符合题意！



点

A

可以与点

P2

重合.

（2）

3 3

5 2 C  x .

分析

首先，满足直角三角形，

如图，若

ABC

是直角三角形，则点

C

在：射线

1

l 、 2

l 、 3

l 、 4

l

以及以

AB

为直径的

T

上，注意不包括点

A

和

B

（构不成三角形），

其次，点

A

和点

B

都不在

O

上，故点

C

必须得在圆上，且还要在第一象限，即上述 4

条射线和

T

与

O

要在第一象限内有交点，

当

1 0 B −  x

时，显然，只有半圆

T

与

O

的交点

能够满足上述条件，

当

0 1 B   x

时（右图），半圆

T

和

4

l

与

O

在第一

象限有交点！

最后，我们只需要讨论在这 2 种情况下，

ABC

与

O

的公共点的个数就 ok 啦…

x

y

P1

O C x

y

P2

O C x

y

P3

O C

x

y

l2

l1

l3

l4

T

A

B

x

y

l2

l1

l3

l4

C

T

A

B

x

y

l2

l1

l3

l4

C1

C2

T

A

B

3/6

分析

如图，当

1 0 B −  x

时，已知

 =  ACB 90

，则

   ACO 90

，说明边

AC

与

O

没有公共

点（除点

C

外），故只有

AB

边与

O

有 1 个公共点，符合题意！

如图，当

0 1 B   x

时，同理，两个图中的

ACO

都小于

90

，说明

AC

边与

O

一定有

公共点（除点

C

外），且

AB

边与

O

也有公共点，故不符合题意！

综上，点

B

只能在

1 0 B −  x

上活动…

思路&图解

临界状态 1：

如图，此时

1 B

x =− ，

1）由【分析】知点

C

是

T

和

O

的交

点，故

 =  =  ACB DCB 90 ，



点

A ，C ， D

共线，

2）由题知

tan 2  = ，

3）设

HD x = ，

则

OH x = −1 ，CH x = 2 ，

4）在

Rt COH

中，有

2 2 2 (1 ) (2 ) 1 − + = x x

，解得

2

5

x = ，



3

5

C

x OH = = .

x

y

C

A

B O

x

y

C1

A

O B

x

y

l4

C2

A

O B

x

y

α

H D

C

T

A

B O

4/6

思路&图解

临界状态 2：

如图，此时

0 B

x = ，

1）由题知

1

sin

2

 =

，即

 =  30 ，

2）

 =  COH 30

3）利用三角函数得

3

2

OH = ，



3

2

C

x OH = = .



综上所述：

3 3

5 2 C  x .

（3）

3

1

2

r .

分析

与（2）一样，条件一个一个叠加考虑，别一上来就想那么多！

对于点

A

，我们得先保证

O

和直线有交点，然后再保证这个交点

A

在第一象限，再结

合等腰三角形的条件确定点

B ，最后才去考虑

ABC

与

O

公共点的事…

如图，若点

A

在第一象限，则需保证

OH r OG 

，即

3

3

2

r  *，

如图，随便找一点

A

，若

ABC

是等腰直角三角形，则这样的点

B

有 6 个！

x

y

α

H

C

A

O(B)

x

y

H

A

G

O C

x

y

B2

B1

B3

A

O C

5/6

分析

下面来分析

ABC

与

O

公共点的个数：

在上一个图中，点

B1， B2， B3

在

x

轴的下方，那我们重点研究这 3 个点！

在

3

3

2

r 

条件下，点

B1， B2， B3

中始终存在一个点

B

，使得

AB

边或

BC

边与

O

存在公共点（备注：这个地方用理论说明极其繁琐，建议用 2 个临界位置作图，直观看出结

论！本质上

B

的轨迹是一条线段，可以利用“瓜豆原理”或“三垂直模型+设点坐标”解

释），下面给出 2 个临界位置的图像~

所以，要想符合题意，只需保证

AC

边与

O

除点

A

外没有其他公共点即可！

…

与（2）类似，我们需要保证

  OAC 90

！

…

显然，

 =  OAC 90

是临界状态，问题是那时的点

A

在哪呢？

如图，若

 =  OAC 90

，则点

A

在以

OC

为直径的

T

上（定弦定角），由于

T

的半径

为 1，故此时

r OT = =1，

所以，当

  OAC 90

时，有

r 1*，

综上，

3

1

2

r .

x

y

A

O C x

y

A

O C

x

y

A

T

C

O

x

y

A

T

O C

6/6

思路&图解

图 3-1 图 3-2

根据【分析】，

1）图 3-1， O

与直线

y x = − + 3 3

相切，此时

3

2

r = ，

2）图 3-2， O

过以

OC

为直径的圆与直线

y x = − + 3 3

的交点，此时

r =1.



综上所示：

3

1

2

r .

x

y

A

O C

x

y

A

O C