该页无缩略图
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第一课时 探索勾股定理
考点集训/夯实基础
1. B 提示：这种阅读器屏幕的对角线长
的平方为 162
+122
=400，则对角线长为
20 cm，20×10÷25.4≈8（英寸）.
2. A
3. 76 提示：∵ 在 Rt△AEB 中，∠AEB=
90°，AE =6，BE =8，∴ 由勾股定 理 得
AB2
=AE2
+BE2
=62
+82
=100，即 AB=10，
∴ 正方形的面积是 10×10=100，
∵△AEB 的面积是 1
2 AE×BE= 1
2 ×6×
8=24，∴ 阴影部分的面积是 100-24=76.
4. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=15，AD=12，AC=13，
∴BD2
=AB2
-AD2
=152
-122
=81，
CD2
=AC2
-AD2
=132
-122
=25，
∴BD=9，CD=5，
∴BC=BD+CD=9+5=14.
5. 解：（1）左边正方形的面积=100+125=
225；
（2）根据勾股定理可得 x2
+152
=172
，解
得 x=8；
（3）正方形的面积=132
-122
=25.
6. 7.5 或 6 提示：①若 3 和 5 分别是直
角三角形的两条直角边长，则该三角
形的面积为 1
2 ×3×5=7.5；②若 5 为直
角三角形的斜边长，则另一直角边长的
平方为 52
-32
=16=42
，∴ 另一直角边长为
4，则该三角形的面积为 1
2 ×3×4=6.
综合检测/巩固排查
7. A 8. B 9. A
10. D 提示：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=
90°，∴AC2
=AB2
-BC2
，又 ∵S 圆环=S 大圆S 小圆=π·AB2
-π·BC2
=π·（AB2
-BC2
）=
π·AC2
，∴ 只需测量线段 AC 的长度
即可计算出圆环的面积．
11. 4.8 提示：如图，过点 A 作 AD⊥BC
于点 D，根据垂线段最短，得到 BP⊥
AC 时，BP 最短，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD= 1
2 BC=3，∴ 在 Rt△ABD 中，
AD2=AB2
-BD2
=52
-32
=16，∴ AD=4，又
∵S △ABC= 1
2 BC·AD= 1
2 BP·AC，∴BP=
BC·AD
AC = 6×4
5 =4.8．
C
P
A
B D
12. 解：设 AD=x，则 AC=32-x，
∵AD⊥BC 于点 D，
∴△ADC 和△ADB 都是直角三角形，
∵CD=16，∴x2
+162
=（32-x）2
，
解得 x=12，∴AD=12，
在 Rt △ABD 中 ，AB2 =BD2 +AD2 =52 +
122
=169=132
，∴AB=13.
13. C 提示：设直角三角形的斜边长为
c，较长直角边长为 b，较短直角边长
为 a，由勾股定理，得 c2=a2+b2
，∴c2-
b2
=a2
.阴影部分的面积=c2
-b2
-a（c-b）=
a2
-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形
重叠部分的宽=a-（c-b）=a+b-c，长=
a，则较小两个正方形重叠部分的面
积=a（a+b-c），∴ 知道题图中阴影部
分的面积，则一定能求出较小两个正
方形重叠部分的面积.
14. 3
创新应用/核心素养
15. D 提示：如图，设第一个直角三角
形的三条边长分别是 a，b，c．根据勾
股定理，得 a2
+b2
=c2
，即 S 正方形 A+S 正方形 B=
S 正方形 C=1．同理，S 正方形 D+S 正方形 E=S 正方形 A，
S 正方形 F+S 正方形 G=S 正方形 B，
∴S 正方形 A+S 正方形 B+S 正方形 C+S 正方形 D+
S 正方形 E+S 正方形 F+S 正方形 G=3S 正方形 C=
3，即“生长”了 2 次后，形成的图形中
所有的正方形的面积和是 3，∴“生长”
了 2 019 次后形成的图形中所有的
正方形的面积和是 2 019+1=2 020．
1 C
c
a b
B
G
F
A
E
D
第二课时 验证勾股定理及其计算
考点集训/夯实基础
1. D 提示：由 S△EDA+S△CDE+S△CEB=
S 四边形 ABCD，
可知 1
2 ab+ 1
2 c2
+ 1
2 ab= 1
2
（a+b）2
，
∴c2
+2ab=a2
+2ab+b2
，整理得 a2
+b2
=c2
，
∴ 证明中用到的面积相等关系是
S△EDA+S△CDE+S△CEB=S 四边形 ABCD．
2. D 提示：由题意可知：中间小正方形
的边长为 a-b，∵ 每一个直角三角形
的面积为： 1
2 ab= 1
2 ×8=4，∴S 大正方形=
4× 1
2 ab+（a-b）2
=25，∴（a-b）2
=25-
16=9，∴a-b=3.
3. C 提示：∵ 山坡 AB 的高 BC=5 m，
水平距离 AC=12 m，∴AB2
=BC2
+AC2
=
169，∴AB=13 m，∵ 每隔 0.65 m 栽一
棵树，∴13÷0.65=20，20+1=21（棵），即
从上到下共栽 21 棵．
4. 5 提示：如图，∠AOB=90°，OA=4 km，
OB=3 km，∴AB2
=AO2
+BO2
=25，
∴AB=5 km.
O A
B
东
北
5. 6 提示：设木杆断裂处离地面 x m，
由勾股定理得，x2
+82
=（16-x）2
，解得
x=6．即木杆断裂处离地面 6 m.
6. 10 提示：（14×14-2×2）÷8=24，
24×4+2×2=100，
∴ 正方形 EFGH 的边长为 10．
综合检测/巩固排查
7. A 提示：∵ 勾 a=6，弦 c=10，
∴ 股 b2
=102
-62
=64=82
，
∴b=8，∴ 小正方形的边长=8-6=2，
∴ 小正方形的面积=22
=4.
8. A 提示：设梯脚与墙脚距离为 x m，
根据题意，得 x2+2.42=2.52
，解得 x=
0.7，即梯脚与墙脚距离应为 0.7 m．
9. D 提示：A，B，C 都可以利用图形面
积得出 a，b，c 的关系，即可证明勾股
定理，故 A，B，C 选项不符合题意；
D.不能利用图形面积证明勾股定理，
故此选项符合题意．
10. A 提示：∵ 车宽 2.4 m，∴ 欲通过隧
道，只要比较距隧道中线 1.2 m 处的
高度与车高．在 Rt△OCD 中，OD=
1.2 m，OC=2 m，由勾股定理可得CD2
+
OD2=OC2
，即 CD2+1.22=22
，解得 CD=
1.6 m，CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1（m），
∴ 卡车的外形高必须低于 4.1 m．
11. 3 提示：设 AE 的长为 x，则 AC=AE+
CE=x+1，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌
△BFO，∴AF=AE=x，BF=BD=2，
∴AB=2+x，∵AC2
+BC2
=AB2
，
∴（x+1）2
+32
=（x+2）2
，∴x=3，
即 AE 的长为 3.
12. 9 提示：在 Rt△ABC 中，∵∠CAB=
90°，BC=17 m，AC=8 m，∴ AB2=BC2
-
AC2
=225=152
，∴AB=15 m，
由题意可知，CD=17-1×7=10（m），
∴AD2
=CD2
-AC2
=100-64=36=62
，
∴AD=6 m，
∴BD=AB-AD=15-6=9（m），
即船向岸边移动了 9 m.
13. 解：∵ 在Rt△AMN中，AM=50，MN=30，
∴AN2
=AM2
-MN2
=502
-302
=1 600=402
，
∴AN=40 m.
∵ 在 Rt△MNB 中，BM=34，MN=30，
∴BN2
=BM2
-MN2
=342
-302
=256=162
，
∴BN=16 m，
∴AB=AN+NB=40+16=56（m），
∴ 汽车从 A 到 B 的平均速度为 56÷
5=11.2（m/s），∵11.2 m/s=40.32 km/h＜
60 km/h，∴ 此车没有超速.
14. B
15. 5 提示：设杯子内木筷的长度为l1，
由题意可得，l1
2
=122
+92
=225=152
，
∴l1=15，则木筷露在杯子外面的长度为
20-15=5（cm）．
创新应用/核心素养
16. 101 提示：设 OA=OB=AD=BC=r，
如图，过 D 作 DE⊥AB 于点 E，
则 DE=10，OE= 1
2 CD=1，AE=r-1．
在 Rt△ADE 中，AE2
+DE2
=AD2
，
即（r-1）2
+102
=r
2
，解得 2r=101．故门的
宽度（两扇门的和）AB 为 101 寸．
E O A B
D C
1.2 一定是直角三角形吗
考点集训/夯实基础
1. B
2. A 提示：∵（a+b）（a-b）=c2
，∴a2
-b2
=
c2
，即 c2
+b2
=a2
，故此三角形是直角三
角形，a 为直角三角形的斜边，
∴∠A 为直角．
3. 直角 提示：由勾股定理得，AC2
=22
+
32
=13，AB2=62+42
=52，BC2
=82+12
=65，
∴AC2
+AB2
=BC2
，∴△ABC 是直角三角形．
4. ①③ 提示：①∵0.32
+0.42
=0.52
，
∴ 能作为直角三角形的三边长；
②∵82
+92
≠102
，∴ 不能作为直角三角
形的三边长；
③∵72
+242
=252
，∴ 能作为直角三角形
的三边长；
④∵ 1
44 (2
+ 1
45 52
≠ 1
43 52
，
∴ 不能作为直角三角形的三边长.
5. 解：这个零件符合要求，理由如下：
在题图上连接 AC．
∵∠ADC=90°，AD=6，CD=8，
∴AC2
=AD2
+CD2
=100，
∵AB=24，BC=26，
∴AC2
+AB2
=100+242
=676=262
=BC2
，
∴△ABC 是直角三角形，
∴∠BAC=90°，这个零件符合要求．
6. B
7. 20 提示：∵25＞15，∴ 当 25 最大时，
x2
=252
-152
=400，∴x=20；当 x 最大时，
x2
=252
+152
=850，此时 x 不是正整数，
此种情况不存在，∴x=20.
8. 解：∵k 是正整数，
∴3k，4k，5k 都是正整数，
∵（3k）2
+（4k）2
=（5k）2
，
∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；
∵a，b，c 是一组勾股数，且 k 是正整数，
∴ak，bk，ck 是三个正整数，且 a2
+b2
=c2
，
∵（ak）2+（bk）2=a2
k2
+b2
k2=（a2+b2
）k2=
c2
k2
=（ck）2
，∴ak，bk，ck（k 是正整数）
是一组勾股数．
9. D 提示：∵（a-b）（a2
-b2
-c2
）=0，
∴a-b=0 或 a2
-b2
-c2
=0，
∴a=b 或 a2
=b2
+c2
，
∴△ABC 的形状为等腰三角形或直
角三角形．
综合检测/巩固排查
10. C 11. A 12. 41
13. 解：（1）∠D 是直角．
理由：在题图上连接 AC，∵∠B=90°，
AB=20，BC=15，
∴AC2
=AB2
+BC2
=400+225=625，
∵AD=24，CD=7，
∴AD2
+CD2
=242
+72
=625，
∴AC2
=AD2
+CD2
，∴△ADC 是直角三角
形，且∠D 是直角；
（2）∵S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ADC，
∴S 四边 形 ABCD= 1
2 AB·BC+ 1
2 AD·CD=
1
2 ×20×15+ 1
2 ×24×7=234.
14.（1）解：答案不唯一，如：（6，8，10），
（9，12，15）；
（2）证明：∵x=2n，y=n2
-1，z=n2
+1，
∴x2
+y2
=（2n）2
+（n2
-1）2
=4n2
+n4
-2n2
+1=
n4
+2n2
+1=（n2
+1）2
=z2
，
∴x，y，z 为勾股数.
15. B 提示：如图所示，由题意可知，
AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∵42 +32 =52
，∴AC2 +BC2 =AB2
，∴ △ABC
是直角三角形，且∠ACB=90°.
B M N A
C
16. 45 提示：如图，延长 AP 交格点于
D，连接 BD，则由勾股定理知，PD2=
BD2 =12 +22 =5，PB2 =12 +32 =10，∴PD2 +
DB2
=PB2
，∴∠PDB=90°，且 PD=DB，
∴∠DPB=45°.
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.
B
P
A
D
17. 证明：∵ a
a-b+c =
1
2
（ａ＋ｂ＋ｃ）
c，
∴ac= 1
2 （a+b+c）（a-b+c）= 1
2 ［（a2+
2ac+c2
）-b2
］，∴2ac=a2
+2ac+c2
-b2
，
∴a2
+c2
=b2
，∴△ABC 是直角三角形.
创新应用/核心素养
18. 解：（1）180 １８１ 提示：观察得给
出的勾股数中，第三个数与第二个数
的差是 1，即 c-b=1，∴c=b+1，
∵a=19，a2
+b2
=c2
，
∴192
+b2
=（b+1）2
，∴b=180，∴c=181；
（2）通过观察知 c-b=1，
∵（2n+1）2
+b2
=c2
，∴c2
-b2
=（2n+1）2
，
（b+c）（c-b）=（2n+1）2
，
∴b+c=（2n+1）2
，又 ∵c=b+1，
∴2b+1=（2n+1）2
，
∴b=2n2
+2n，c=2n2
+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2
+2n，2n2
+2n+1
为一组勾股数，
当 2n+1=15 时，n=7，112-111=1，
但 2n2
+2n=112≠111，
∴15，111，112 不是一组勾股数．
1.3 勾股定理的应用
考点集训/夯实基础
1. C 提示：如图所示，将正方体的右侧
面展开，一只蚂蚁从 A 点出发，沿着
161 162
全优课堂·数学·八年级上册（BSD）·答案全解
正方体的侧面爬行，经过 PB 上一点，
爬行到 C 点，若此蚂蚁所爬行的路线
最短，那么 P，Q，R，S 四个点中，它最
有可能经过的点是 R 点．
C
B
A P
Q
R
S
D C′
2. 13 提示：将三棱柱沿 AA′展开，其
展开图如图，则 AA′
2
=52
+（３×４）2
=169=
132
，∴AA′=13，即这圈金属丝的长度至
少为 13 cm．
A
A′
3. 解：如图，三级台阶平面展开图为长
方形，长为 20 dm，宽为（2 +3）×3 =
15（dm），则蚂蚁沿台阶面爬行到点
B，最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 最短路
程为 x dm，由勾股定理得 x2
=202
+152
，
解得 x=25，∴ 蚂蚁沿着台阶面爬行到
点 B 的最短路程为 25 dm.
A
B
3
2
3
2
3
2
20
4. D 5. A
6. 2.5 提示：如图，AC2
=AB2
+BC2
=22
+
1.52
，即 AC=2.5 m，即能通过门框的
木板最大的长度为 2.5 m.
2 m
1.5 m
A
B C
D
7. 20 cm 提示：如图 1，
A M B
E F
N
H G
图 1
∵AB =18 cm，BC =GF =12 cm，BF =
10 cm，AM=6 cm，点 N 是 FG 的中点，
∴BM=18-6=12（cm），FN= 1
2 GF=6 cm，
∴BN=10+6=16（cm），
∴MN2
=122
+162
=400=202
，∴MN=20 cm；
如图 2，∵AB=18 cm，BC=GF=12 cm，
BF =10 cm，∴PM =18 -6 +6 =18（cm），
NP=10 cm，∴MN2
=182
+102
＝424，
∵400＜424，∴ 蚂蚁沿长方体表面爬到
点 N 处的最短距离为 20 cm．
图 2
G
A M B P C
E F N
综合检测/巩固排查
8. A 9. B 10. A
11. 20 提示：把圆柱侧面展开，展开图
如图所示．在 Rt△ABC 中，∠ABC=
90°，AB=6，BC 为底面周长的一半，即
BC= 16
π ×π× 1
2 =8，所以 AC2=BC2+
AB2
=82
+62
=100，即 AC=10，∴ 从 C 点
爬到 A 点，然后再沿另一面爬回 C
点，小虫爬行的最短路程为 2AC=20.
C B C′
A
12. 解：（1）根据题意可得 OA=15，ABOB=5，
由勾股定理得 OA2
+OB2
=AB2
，即 152
+
OB2
=（5+OB）2
，解得 OB=20.
即这个云梯的底端离墙 20 m 远；
（2）由（1）可得：AB=20+5=25，
根据题意可得：CO=15-8=7，CD=AB=
25，由勾股定理得 OC2
+OD2
=CD2
，
即 OD2
＝CD2
-OC2
＝252
-72
＝576，
∴OD=24，∴BD=OD-OB=24-20=4.即
梯子的底部在水平方向滑动了 4 m.
13. x2
+32
=（10-x）2
创新应用/核心素养
14. 30π 提示：圆柱体的展开图如图所
示，最短路线是 AC→CD→DB，即在
圆柱体的展开图长方形中，将长方形
平均分成 3 个小长方形，A 沿着 3 个
长方形的对角线运动到 B 的路线最
短.∵ 圆柱底面半径为 4，∴ 大长方形
的宽为 2π×4=8π，∵ 圆柱高为 18π，
∴小长方形的宽是 18π÷3=6π，根据
勾股定理得 AC2 =CD2 =DB2 =（６π）2 +
（８π）2 =100π2
，∴AC =10π，∴AC +CD +
DB=30π．
B
D
C
A 8π
6π 10π
10π 6π
6π 10π
专题集训 勾股定理——图形
展开与折叠中的应用
1. B 提示：由折叠可知，AB=CD=C′D，
∠A=∠C=∠C′=90°，
又 ∵∠AEB=∠C′ED，
∴△ABE≌△C′DE（AAS），∴BE=DE，
设 BE=DE=x，则 AE=AD-DE=12-x，
在 Rt△ABE 中，AB=6，根据勾股定理
得，AB2
+AE2
=BE2
，即 62
+（12-x）2
=x2
，
解得 x= 15
2 ，∴S△BED= 1
2 ×DE×AB= 1
2 ×
15
2 ×6=22.5.
2. 解：∵∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，
∴BC2
=AB2
-AC2
=52
-32
=16，∴BC=4 cm，
由折叠的性质得：AD=AC=3 cm，
∠ADE=∠C=90°，DE=CE，
∴∠BDE=90°，BD=AB-AD=2 cm，
设 CE=x，则 DE=x，BE=4-x，
在 Rt△BDE 中，
由勾股定理得：22
+x2
=（4-x）2
，
解得 x= 3
2 ，∴CE= 3
2 cm.
３.（1）证明：由折叠的性质，得∠BEF =
∠DEF，
∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BFE=∠BEF，∴BE=BF；
（2）解：如图，设 AE=x，则 BE=DE=8-x，
在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 x2
+
42
=（8-x）2
，解得 x=3，∴BE=BF=5.
作 EG⊥BF 于点 G，则 EG=4，BG=AE=
3.∴FG=５－３＝2，∴EF2
＝EＧ2
＋ＦＧ2
=16+4=
20，△BEF 的面积= 1
2 ×BF×EG= 1
2 ×
5×4=10．
E A
B C
D
F
C′
G
4. 解：（1）在 Rt△ABC 中，AC2=AB2+
BC2
=100，∴AC=10；
（2）根据题意得 AF=AD=BC=8，DE=
EF，CF=AC-AF=10-8=2．设 DE=x，则
CE=CD-DE=6-x，EF=DE=x．
在 Rt△CEF 中，EF2
+CF2
=CE2
，即 x2
+
4=（6-x）2
，解得 x= 8
3 ，∴DE= 8
3 .
5. 解：（1）证明：由折叠可知，∠MDA=
∠A，∠NDB=∠B，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，
∴∠MDA+∠NDB=90°，
∴∠MDN=90°；
（2）由（1）知∠MDN=90°．
题图上，连接 MN，设 DN=BN=x，则
CN=8-x，
∵AM=MD=2，∴MC=6-2=4，
在 Rt△MDN 和 Rt△CMN 中，
根据勾股定理，得 CM2
+CN2
=MN2
，
DM2
+DN2
=MN2
．
∴42
+（8-x）2
=22
+x2
，解得 x= 19
4 ，
即 DN= 19
4 ．
6. 解：（1）3 提示：如图 1，在 Rt△ABC
中，AB2
=AC2
+CB2
=100，∴AB=10 cm．
由折叠的性质，可知 DC′⊥AB，DC′=
DC．∵S△ACD+S△ADB=S△ABC，
∴ 1
2 AC·CD+ 1
2 AB·C′D＝ 1
2 AC·CB，
即 1
2 ×6×CD+ 1
2 ×10×C′D＝ 1
2 ×6×8．
又 ∵CD=C′D，∴3CD+5CD=24，
∴CD=3 cm；
A
B C D
图 １
C′
（2）AM2
+BN2
=MN2
．
证明：如图 2，过点 B 作 BP∥AC 交
MH 的延长线于点 P，连接 NP．
∵BP∥AC，∴∠A=∠PBH，
∵ 点 H 是 AB 的中点，∴AH=BH.
在△AMH 和△BPH 中，
∠A＝∠PBH，
AH＝BH， P∠AHM＝∠BHP，
∴△AMH≌△BPH（ASA）．
∴AM=BP，MH=PH．由折叠的性质可
知，∠MHN=∠C=90°，∴NH⊥MP，
又 ∵NH=NH，
∴Rt△NHM≌Rt△NHP（HL），
∴MN=NP，∵BP∥AC，∠C=90°，
∴∠NBP=90°，
∴BP2
+BN2
=NP2
，∴AM2
+BN2
=MN2
．
H
A
B C N
M
图 ２
P
7. 10 提示：将正方体木箱的上面展开，
如图所示，则 PQ 的长度就是蚂蚁爬
行的最短路程.∵PB=AB=6，AQ=2，
∴BQ=6+2=8，在 Rt△PBQ 中，PQ2=
PB2
+BQ2
＝62
+82
=100，∴PQ=10，即蚂蚁
爬行的最短路程是 10．
P B
A
Q
8. 13
9. 2.6 提示：由题意可知，如图，将木
块展开，长相当于 AB+2 个正方形的
边长，
∴ 长为 2+0.2×2=2.4（m），宽为 1 m．
∴AC2
=2.42
+12
=6.76，即 AC=2.6 m，
因此，最短路程为 2.6 m．
N A B
D C
E
M F
10. 解：如图，沿圆柱侧面展开成长方形
MNQP，过点 B 作 BC⊥MN 于点 C，连
接 AB，则线段 AB 的长度即为最短
距离．在 Rt△ACB 中，AC=MN-ANCM=19-1.5-1.5=16（cm），BC 是上底
面周长的一半，即 BC=30 cm．由勾股定
理，得 AB2
=AC2
+BC2
=162
+302
=1 156=
342
，∴AB=34 cm．故蜘蛛爬行的最短
路线的长度为 34 cm.
N Q
A
M P
C B
第二章 实 数
2.1 认识无理数
考点集训/夯实基础
1. D
2. 不是 提示：设长方形的对角线长为
x，根据勾股定理得 x2
=102
+52
=125，x
既不是整数也不是分数，所以 x 不是
有理数.
3. AB 提示：根据勾股定理得 AB2
=22
+
12
=5，所以 AB 不是长度是有理数的
线段；CD2=32+42=25，即 CD=5，所以
CD 是长度是有理数的线段.
4. C 提示：∵4＜5＜9，x2
=5（x＞0），∴2＜x＜3.
5. B 提示：∵a2
＜11＜b2
，且 a，b 为两个
连续的正整数，
又 ∵32
＜11＜42
，∴a=3，b=4，∴a+b=7．
6.（1）不是 （2）3 （3）3.2
提示：（1）由圆的面积公式可得 πx2
=
10π，∴x2
=10.
∵ 没有一个整数或分数的平方等于
10，∴x 既不是整数也不是分数，∴x 不
是有理数；
（2）由（1）知 x2
=10.
∵32
=9＜10，42
=16＞10，∴3＜x＜4.
∴x 的整数部分是 3；
（3）∵3.12 =9.61 ＜10，3.22 =10.24 ＞10，
∴3.1＜x＜3.2.又 ∵3.162
=9.985 6＜10，
3.172
=10.048 9＞10，∴3.16＜x＜3.17，
∴ 将 x 精确到 0.1 是 3.2.
7. B
8. 解：有理数集合中填入：- 11
12 ，3，
3.256 256，0，-0.4，0.12５
·；
无理数集合中填入：
π
4 ，0.232 232 223…（相邻两个 3 之
间依次多一个 2）.
9. A
综合检测/巩固排查
10. D 11. B 12. B 13. C
14. π（答案不唯一）
15. 解：有理数：- 223
59 ，3.2５
·，0.57，
-212.202 020…（相邻两个 2 之间有
一个 0）；
无理数： 3π
4 ，
52.123 456 789 101 112 13…，
6.010 100 100 01…（相邻两个 1 之
间依次多一个 0）.
16. D
17. C 提示：由勾股定理得，OB2
=OA2
+
AB2
=22
+32
=13，∵9＜13＜16，∴3＜OB＜4，
∵ 点 P 在数轴正半轴上，∴ 点 P 所表
示的数在 3 和 4 之间．
创新应用/核心素养
18. 解：（1）x 不是有理数.
理由：∵x2
=2，没有一个整数或分数的
平方等于 2，∴x 既不是整数也不是分
数，∴x 不是有理数；
163 164
（2）∵1.42
=1.96＜2，1.52
=2.25＞2，∴1.4＜
x＜1.5.又 ∵1.412
=1.988 1＜2，1.422
=
2.016 4 ＞2，∴1.41 ＜x ＜1.42，∴ 将 x 精
确到 0.1 是 1.4.
2.2 平 方 根
第一课时 算术平方根
考点集训/夯实基础
1. C ２. Ａ 3. C
4. B 提示：∵ 一个正数的平方等于 4，
∴ 这个正数是 2，2 的算术平方根是
姨2 .
5. 4 6. 11
7. x2 姨 +1 提示：∵ 一个自然数的算术
平方根是 x，∴ 这个自然数是 x2
，
∴ 相邻的下一个自然数为：x2
+1，x2
+1
的算术平方根是 x2 姨 +1 .
8. 解：（1）因为 2
\"7 #2
= 4
49 ，所以 4
49 的
算术平方根是 2
7 ，即 4
姨 49 = 2
7 ；
（2）因为（7-3
）2
=（-7）-6
，所以（-7）-6 的
算术平方根是 7-3
，即姨（-7）-6 =7-3
.
9. 解：（1）姨1.44 =1.2；
（2）-姨225 =-15.
10. 解：小龙房间地面的面积为 100×
50×50=250 000（cm2
），因为小龙的房
间地面是正方形，所以该地面正方形
的边长为姨250 000 cm=500 cm=5 m.
11. B 提示：姨25 =5，5 的算术平方根
是姨5 .
综合检测/巩固排查
12. C 13. Ｄ
14. Ｂ 提示：０.４９ 的算术平方根为 ０.７，
则 ０.４９ 的算术平方根的相反数为－０.７．
15. B 提示：因为正方体有 6 个面，设其
棱长为 a，则 S=6a2
，可得 6a2
=12，a2
=
2，∵2 的算术平方根为姨2 ，
则 a=姨2 dm.
16. C 提示：根据题意可知 a+1=0，b1=0，解得 a=-1，b=1，所以（ab）2 021=
（-1）2 021
=-1.
17. Ｂ 18. 16 19. ３ 20. 姨13
21. 解：（1）姨0.81 =0.9；
（2）- 25
姨 16 =- 5
4 .
22. 解：（1）因为 142
=196，所以 196 的算
术平方根是 14，即姨196 =14；
（2）（-8）2
=64，因为 82
=64，所以（-8）2
的算术平方根是 8，即姨（-8）2 =8.
23. 解：∵2a+1 的算术平方根是 0，
∴2a+1=02
=0，解得 a=- 1
2 .
∵b-a 的算术平方根是 1
2 ，
∴b-a= 1
\"2 22
= 1
4 ，即 b+ 1
2 = 1
4 ，
解得 b =- 1
4 ，∴ 1
2 ab = 1
2 × - 1 22 2×
- 1 \"4 2＝ 1
16 ， 1
16 的算术平方根是 1
4 ，
即 1
2 ab 的算术平方根是 1
4 .
24. 解：（1）将 d=8 代入公式 t
2
＝ d2
900 ，得
t
2
= 16
225 ，所以 t= 4
15 ，即这场雷雨大
约能持续 4
15 h；
（2）根据 t
2
＝ d2
900 得 d2
=900t
2
，将 t=2代
入 d2
=900t
2
，得 d2
=3 600，所以 d=60，
即这场雷雨区域的直径大约是 60 km.
25. B 26. B 27． A 28. 2 29. 姨3
创新应用/核心素养
30. 111 111 111
第二课时 平 方 根
考点集训/夯实基础
1. D 2. D
3. C 提示：∵x2
=4，∴x 是 4 的平方根，4
的平方根是±2，∴x=-2 或 2.
4. -3 9 提示：∵3 是 m 的一个平方
根，∴m 的另一个平方根是-3，m=32
=9.
5. A 提示：当 a= 1
2 时，1-2a=0，0 的平
方根是 0，故 a 可以取 1
2 ；当 a=1，2，
π 时，1-2a＜0，没有平方根，故 a 不可
以取 1，2，π.
6. C 提示：∵ 一个正数的平方根为2x+1
和 x-7，∴2x+1+x-7=0，解得 x=2，∴2x+
1=5，（2x+1）2
=52
=25，即这个正数为25.
7. ±姨10 正、负根号 １０ ２ （正）２
8. 平方根 负的平方根 正的平方根
（或算术平方根）
9. B 提示：- 姨9 的意义是 9 的负的
平方根，∵（-3）2
=9，∴-姨9 =-3.
10. B 提示：正确的是①④.
11. 解：（1）因为 2.22
=4.84，所以这个正
数是 2.2；
（2）因为 - 12 \"13 22
= 144
169 ，所以这个负
数是- 12
13 ；
（3）因为（±0.05）2
=0.002 5，所以这个
数是 0.05 或-0.05.
12. 7 7 13. A
14. B 提示：∵ a 姨 2 = a =3，∴a=±3.
15. 解：（1）姨（-5）2 =5；
（2）（姨13 ）2
=13；
（3）姨（3-π）2 =π-3；
（4） - x \"姨 9 22
= x
9 .
16. C 提示：A.-4 没有算术平方根，2
是 4 的算术平方根，故错误；B.4 是 16
的算术平方根，故错误；C.-6 是（-6）2
的一个平方根，故正确；D.1 的平方根
是±1，故错误.
综合检测/巩固排查
17. B 18. Ｃ
19. Ｄ 提示：∵姨ａ ＝３，姨ｂ ＝２，∴ａ＝９，
ｂ＝４，∴ａｂ＝９×４＝３６，
∵（±６）２
＝３６，∴ａｂ 的平方根为±６．
20. C 提示：∵（x-1）2
=4 成立，
∴x-1=±2，解得 x=3 或 x=-1．
21. Ａ 提示：因为 姨０.０９ ＝０.３，所以①
错误；因为 １ ７
姨 ９ ＝ １６
姨 ９ ＝ ４
３ ，所以
②错误；因为-32
=-9，负数没有平方
根，所以③错误；因为姨（－５）２ ＝姨２５ ＝
５，所以姨（－５）２ 的算术平方根是姨５ ，
所以④错误；因为 １ １３
３６ = 49
３６ ， ± ７ \"６ 2２
＝
４９
３６ ，所以± ７
６ 是 １ １３
３６ 的平方根，所以
⑤正确，只有 １ 个正确.
22. D 23. C
24. B 提示：∵姨a-3 + b-4 ＝0，
∴a-3=0，b-4=0，∴a=3，b=4，
∴ a
b = 3
4 ， 3
4 的平方根± 3
姨 4 .
25. B 提示：∵a2
=4，b2
=9，
∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，
∴a=2，b=-3 或 a=-2，b=3，
∴a-b=2-（-3）=5 或 a-b=-2-3=-5．
26. ±3 27. ± 3
2
28. ６２５ 提示：因为姨ａ 的平方根为±５，
所以姨ａ ＝（±５）２
＝２５，所以 ａ＝２５２
＝６２５.
29. ３ 提示：∵ 一个正数的两个平方根
分别是 ２ａ－３ 和 ａ－６，∴２ａ－３＋ａ－６＝０，
整理得 ３ａ＝９，解得 ａ＝３．
30. 1 提示：∵x2
=4，y2
=9，∴x=±2，y=±3，
又 ∵x＜0，y＞0，∴x=-2，y=3，∴x+y=-2+
3=1．
31. 0 提示：因为 m 和 n 是同一个数的
平方根，且 m≠n，所以 m=-n，即 m+
n=0，所以（m+n）2 020
=0.
32. ±3 提示：∵姨x-1 + y+2 =0，
∴x-1=0，y+2=0，∴x=1，y=-2，
∴x2
-4y=1+8=9，9 的平方根为±3.
33. 解：（1）∵（±１8）２
＝324，
∴324 的平方根是±18；
（2） －1 15
49 ＝ 64
49 ，∵ ± 8 27 2２
＝ 64
49 ，
∴ －1 15
49 的平方根是± 8
7 ；
（3）（－５）２
＝２５，∵（±５）２
＝２５，
∴（－５）２ 的平方根是±５；
（4）∵（±104
）2
=108
，
∴108 的平方根是±104
.
34. 解：（1）姨（-8）2 = -8 =8；
（2）（姨8 ）2
=8；
（3）１２ １
４ ＝ ４９
４ ，因为 ± ７ 2２ 2２
＝ ４９
４ ，
所以 ± １２ １
姨 ４ ＝± ７
２ ；
（4）（－０.１）２
＝０.０１，因为 ０.１２
＝０.０１，所
以 －姨（－０.１）２ ＝－０.１.
35. 解：当 x=50，y=48 时，姨（x+y）（x-y）=
姨（50+48）×（50-48）=姨196 = 14 姨 2 =
14.
36. 解：（1）因为 x2
=16，所以 x=±姨16 =
±4；
（2）因为 9x2
=25，所以 x2= 25
9 ，所以
x=± 25
姨 9 =± 5
3 .
37. 解：（1）∵m+3 和 2m-15 是同一个正
数的平方根，∴ 这两个数互为相反数．
∴（m+3）+（2m-15）=0，解得 m=4．
∴ 这个正数是（m+3）2
=49；
（2）姨m+5 =姨9 =3，3 的平方根是
±姨3 .
38. 解：∵姨25 =x，姨y =2，z 是 9 的算
术平方根，∴x=5，y=22
=4，z=姨9 =3，
∴2x+y-z=2×5+4-3=11，11 的平方根
是±姨11 ．
39. 解：（1）∵ a =6，b2
=16，
∴a=±6，b=±4.
①当 a=6，b=4 时，a+b=10， 其平方根
是± 姨10 ；②当 a=6，b=-4 时，a+b=
2，其平方根是± 姨2 ；③当 a =-6，
b =4 时，a+b=-2，没有平方根；④当
a=-6，b=-4 时，a+b=-10，没有平方根；
（2）由数轴可得 a＜0＜b，∴a-b＜0，
∴ a 姨 2 - b 姨 2 +姨（a-b）2 = a - b +
a-b =-a-b+b-a=-2a．
40. B
41. D 提示：∵8xmy 与 6x3
yn 的和是单项
式，∴m=3，n=1，∴（m+n）3
=（3+1）3
=64，64
的平方根为±8．
42. C 提示：∵ 方程（x-5）2
=19 的两根
分别为 a 和 b，∴a-5 和 b-5 是 19 的
两个平方根，且互为相反数，
∵a＞b，∴a-5 是 19 的算术平方根.
43. 2 提示：∵ 一个正数的平方根分别
是 x+1 和 x-5，∴x+1+x-5=0，解得 x=2.
创新应用/核心素养
44. 解：（1）0.1 10；
（2）规律：被开方数的小数点向左或
向右每移动 2 位，开方后所得的正的
（算术）平方根相应地也向左或向右
移动 1 位；
（3）①17.32 0.173 2； ②560．
2.3 立 方 根
考点集训/夯实基础
1. C 提示：姨64 =8，8 的立方根是 2.
2. D 提示：A.如果一个数的立方根是
这个数本身，那么这个数可能是 0 或
1 或-1，故错误；B.一个数的立方根可
能是正数、负数或 0，故错误；C.负数
有立方根，故错误.
3. - 1
64 4. 0
5. 8 提示：∵ 一个数的立方根是 4，
∴ 这个数是 43
=64，姨64 =8.
6. Ｂ 提示:已知 ａ 的平方根是±８，则 ａ＝
６４， 64 3
姨 ＝４.
7. 解：（1）∵（-0.5）3
=-0.125，
∴-0.125 的立方根是-0.5；
（2）∵ 3
25 23
= 27
125 ，
∴ 27
125 的立方根是 3
5 ；
（3）0 的立方根是 0；
（4）4 17
27 = 125
27 ，∵ 5
23 23
= 125
27 ，
∴4 17
27 的立方根是 5
3 .
8. C 提示： 83 3
姨 =8，8 的立方根是 2.
9. C 提示：∵x2
=（-5）2
，（ y 3
姨 ）3
=-5，
∴x=±5，y=-5，
∴x+y=5-5=0 或 x+y=-5-5=-10.
10. 解：（1）（ 0.001 3
姨 ）3
=0.001；
（2）（ -136 3
姨 ）3
=-136；
（3） -2 10
27
3
姨 = - 64
27
3
姨 ，
因为 - 4 23 23
=- 64
27 ，
所以 - 64
27
3
姨 =- 4
3 ，即 -2 10
27
3
姨 =－ 4
3 ；
（4）因为（-100）3
=-106
，所以 -106 3
姨 =
-100.
11. C
综合检测/巩固排查
12. Ｂ 提示:∵ ｘ 3
姨 ＋ y 3
姨 ＝０，
∴ ｘ 3
姨 ＝－ y 3
姨 ，
∴ｘ＝－ｙ，即 ｘ，ｙ 互为相反数.
13. A
14. B 提示：∵a2
=16， -b 3
姨 =-2，
∴a=±姨16 =±4，-b=（-2）3
=-8，∴b=8，
∴a+b=4+8=12 或 a+b=-4+8=4．
15. －０.００８
16. －２ 或－６ 提示:－６４ 的立方根是－４，
姨16 ＝４，４ 的平方根是±２，－４＋２＝－２，
－４＋（－２）＝－６，∴－６４ 的立方根与姨16
的平方根之和是－２ 或－６.
17. ２∶３ 提示:∵ ３ａ-１ 3
姨 与 １-２ｂ 3
姨 互
为相反数，∴（３ａ－１）＋（１－２ｂ）＝０，∴３ａ＝
２ｂ，∴ａ∶ｂ＝２∶３.
18. 解：（1） （-6）3 3
姨 =-6；
（2） 0.729 3
姨 =0.9；
（3） ±125 3
姨 =±5；
（4） -3 3
8
3
姨 = - 27
8
3
姨 =- 3
2 .
19. 解：（1） -2 93
125
３
姨 = - 343
125
３
姨 =- 7
5 ；
（2）- - 1
512
３
姨 =- - 1 28 2= 1
8 ；
（3） 27×106 ３
姨 = 27 000 000 ３
姨 =300；
（4）（ 8 ３
姨 ）2
=22
=4.
20. 解：（1）∵2x+10 的立方根是 3，2x+y+
1 的算术平方根是 5，
∴2x+10=33
=27，2x+y+1=52
=25，
∴2x=17，y=7，
∴2x-3y+18=17-3×7+18=14，14 的立
方根为 14 3
姨 ，即 2x-3y+18 的立方根
为 14 3
姨 ；
（2）∵ 姨2a+b 与 姨c-b 的值互为相
反数， 1-3b 3
姨 与 b+1 3
姨 的值互为相
反数，∴2a+b=0，c-b=0，1-3b+b+1=0，
解得 a=- 1
2 ，b=1，c=1.
21. 解：设截去的每个小正方体的棱长
是 x cm，
根据题意，得 1 000-8x3
=488，
∴8x3
=512，∴x= 512
8
3
姨 =4，即截去的
每个小正方体的棱长是 4 cm．
22. A 23. D
创新应用/核心素养
24. 解：（1）0.01 0.1 1 10 100；
165 166
（2）一个数的小数点每向右（或向左）
移动三位，则这个数的立方根的小数
点就向右（或向左）移动一位；
（3）由 12 3
姨 =b 得 m= 0.012 3
姨 =0.1b，
n= 12 000 3
姨 =10b.
专题集训一 平方根和立方根
1. C 2. A 3. B
4. D 提示：∵姨x+y-1 +（y+2）2
=0，∴x+
y-1=0，y+2=0，∴x=3，y=-2，∴x-y=3+
2=5.
5. 144 提示：∵ 一个正数 a 的平方根
是 5x+18 与 6-x，∴5x+18+6-x=0，解
得 x=-6，∴a=［6-（-6）］2
=144．
6. 解：（1）因为 52
=25=（-5）2
，所以姨（-5）2 =
5，则-姨（-5）2 =-5；（2）因为（-4）3
=
-64 =-26
，所以 -26 3
姨 =-4；（3）因为
5
22 #3
= 125
8 ，所以- 125
8
3
姨 =- 5
2 ；
（4）因为（-0.04）3
=-0.000 064，所以
- -0.000 064 3
姨 =-（-0.04）=0.04.
7. 解：（1）（2x-1）2
=25，∴2x-1=±5，
∴x1=3，x2=-2；
（2）3（x-4）3
=-375，
∴（x-4）3
=-125，∴x-4=-5，∴x=-1．
8. 解：∵ 有理数 a+b 的平方根是±4，有
理数 1
3 a 的立方根是-2，∴a+b=（±4）2
=
16， 1
3 a=（-2）3
=-8，∴a=-24，b=40，
∴- 1
6 a+ 3
2 b=- 1
6 ×（-24）+ 3
2 ×40=
64，64 的立方根是 4.
9. 解：（1）∵4 是 3a-2 的算术平方根，
∴3a-2=16，∴a=6，
∵2-15a-b 的立方根是-5，
∴2-15a-b=-125，即 2-15×6-b=-125，
∴b=37；
（2）2b-a-4=2×37-6-4=64，64 的平方
根为±8，∴2b-a-4 的平方根为±8.
10. 解：小伟所糊盒子的棱长为 96
姨 6 =
4（cm），体积为 43
=64（cm3
）．
∴ 小宇所糊盒子的体积为 64+279=
343（cm3
），棱长为 343 3
姨 =7（cm），表
面积为 6×72
=294（cm2
）.
2.4 估 算
考点集训/夯实基础
1. C 提示：∵25＜29＜36，∴5＜姨29 ＜6.
2. B 提示：正方形的边长为姨15 ，
∵9＜15＜16，∴3＜姨15 ＜4，即正方形的
边长大小在 3 与 4 之间.
3. C
4. B 提示：∵49＜55＜64，∴7＜ 姨55 ＜8，
∴ 这个物体的高度在 7 cm 到 8 cm
之间，可能是粉笔盒.
5. 5 提示：∵8 ＜17 ＜27，∴2 ＜ 17 3
姨 ＜3，
∴-3＜- 17 3
姨 ＜-2，同理可得 2＜ 10 3
姨
＜3，∴ 大于- 17 3
姨 且小于 10 3
姨 的整
数有-2，-1，0，1，2，共 5 个.
6. 解 ：（1）∵123 =1 728 ＜2 000 ＜2 197 =
133
，∴12 ＜ 2 000 3
姨 ＜13，又 ∵12.53 =
1 953.125，12.63
=2 000.376，
1 953.125＜2 000＜2 000.376，
∴12.5＜ 2 000 3
姨 ＜12.6，
∴ 2 000 3
姨 ≈13；
（2）∵9 ＜12.5 ＜16，∴3 ＜ 姨12.5 ＜4， 又
∵3.52=12.25＜12.5＜12.96=3.62
，∴3.5＜
姨12.5 ＜3.6，
又 ∵3.532=12.460 9＜12.5＜12.531 6=
3.542
，∴3.53＜姨12.5 ＜3.54，
∴姨12.5 ≈3.5.
7. D 8. C
9. 解：（1）∵13.5＞12.25=3.52
，
∴姨13.5 ＞3.5；
（2）∵ 姨13 ＜4，∴ 姨13 -3 ＜4 -3， 即
姨13 -3＜1，∴ 姨13 -3
8 ＜ 1
8 .
10. 解：因为 9＜14＜16，所以 3＜姨14 ＜4，
因为 26＜27，所以 26 3
姨 ＜ 27 3
姨 ，即
26 3
姨 ＜3，所以姨14 ＞ 26 3
姨 .
综合检测/巩固排查
11. C 12. B 13. D 14. D
15. A 提示：∵2＜姨5 ＜3，∴4＜2+姨5 ＜
5，∴a=4，b=2+姨5 -4=姨5 -2．
16.（1）50.4 （2）4
17.（1）＜ （2）＞ （3）＜
提示：（1）∵35＜36，∴姨35 ＜6；
（2）∵25＜27，∴-25＞-27，∴ -25 3
姨 ＞-3；
（3）∵姨3 ＜姨4 =2，∴姨3 -1＜1，
∴ 姨3 -1
3 ＜ 1
3 .
18. 9 提示：∵25＜28＜36，∴5＜姨28 ＜6，
∴ 姨28 的 整 数 部 分 a =5；∵64 ＜99 ＜
125，∴4＜ 99 3
姨 ＜5，∴ 99 3
姨 的整数部
分 b=4，∴a+b=5+4=9.
19. -1，0，1 提示：∵1＜姨2 ＜2，1＜姨3
＜2，∴-2＜- 姨2 ＜-1，∴ 满足- 姨2 ＜
x＜姨3 的整数 x 有-1，0，1．
20. 解：设长方形的长 DC=x cm，
则宽 AD= 2
3 x cm．
由题意，得 x·2
3 x=300，即 x2
=450，
∵x＞0，∴x＝姨450 ，∴DC=姨450 cm，
∵ 圆的面积为 147 cm2
，设圆的半径
为 r cm，
则 πr
2
=147，解得 r=7，
∴ 两个圆的直径总长为 7×4=28（cm）．
∵450＜784，∴姨450 ＜28，
∴ 不能并排裁出两个面积均为 147 cm2
的圆．
21. 解：（1）因为 289＜305＜324，而 172=
289，182
=324，所以 17＜姨305 ＜18，因
为302.76＜305＜306.25，而17.42
=302.76，
17.52
=306.25，所以 17.4＜姨305 ＜17.5，
又因为 17.462=304.851 6，17.472=
305.200 9，所以 17.46＜姨305 ＜17.47，
所以姨305 ≈17.5；
（2）因为 3 375＜3 840＜4 096，而 153
=
3 375，163
=4 096，所以 15＜ 3 840 3
姨
＜16.又因为 15.63
=3 796.416，15.73=
3 869.893，所以 15.6＜ 3 840 3
姨 ＜15.7，
所以 3 840 3
姨 ≈16.
22. B 提示：∵9＜15＜16，∴3＜姨15 ＜4.
23. 3 提示：∵4＜6＜9，∴2＜姨6 ＜3，∴1＜
姨6 -1＜2，∴x=1，y=2，∴x+y=3.
24. ＞ 提示：∵32
=9，9＞5，∴3＞姨5 .
创新应用/核心素养
25. 解：n，理由： n2 姨 +n ＞ n 姨 2 且 n2 姨 +n
＜姨（n+1）2 ，即 n＜ n2 姨 +n ＜n+1，所以
n2 姨 +n 的整数部分为 n.
2.5 用计算器开方
综合检测/巩固排查
1. A 提示：用计算器求得 123.456 3
姨 ≈
4.979.
2. B 提示：在计算器上依次按键转化
的算式是 姨16 -7=，计算可得结果
为-3．
3. D
4. 0.464 提示：姨13 -3.142≈0.464.
5. < 提示：由计算器算出 11 3
姨 ≈2.224，
姨5 ≈2.236，则可知 11 3
姨 ＜姨5 ．
6. 解：（1）- 3 3
姨 ≈-1.442；
（2） 7 姨 3 ≈18.520；
（3） 4
99 &2 3
姨 ≈0.582；
（4）± 3 1
姨 3 ≈±1.826.
7. 解：（1）利用计算器计算可得姨6 ≈
2.45， 17 3
姨 ≈2.57，∴姨6 ＜ 17 3
姨 ；
（2）利用计算器计算可得 姨5 +1
2≈
1.618 033 989， 1
5 +姨2 ≈
1.614 213 562，∴ 姨5 +1
2 ＞ 1
5 +姨2 .
8. 解：（1）由 V= 1
6 πd3 得，d3
= 6V
π ，
将 d 开立方得 d= 6V
π
3
姨 ；
（2）将 V=110 cm3 代入 d= 6V
π
3
姨 ，
得 d= 6×110
3.14
3
姨 ≈5.9（cm）．
9. 3
创新应用/核心素养
10. 解：（１）①姨11-2 =姨9 =3；
②姨1 111-22 =姨1 089 =33；
③姨111 111-222 =333；
④姨11 111 111-2 222 =3 333；
（2）原式=33…3（3 有 2 010 个）.
2.6 实 数
考点集训/夯实基础
1. C 提示：∵ 姨2 是一个开方开不尽
的数，即姨2 是一个无理数，∴ 姨2
2
是一个无理数，不是分数．
２. Ｃ 提示：Ａ.实数分为正实数、负实数
和 ０，故选项错误；Ｂ.姨９ ＝３，是有理
数，故选项错误；Ｄ.０ 不是无理数，故
选项错误．
3. 解：根据概念可分类如下：
（1）有理数集合：
-7.5，5， 4
5 ， 64 3
姨 ，-0.25，4.２
·１
· ， ，０，…(；
（2）无理数集合：
，姨12 ， 7
姨 19 ， π
3 ，０.７１７ 117 111 7…
（相邻两个 7 之间依次多个 1），… ，；
（3）正实数集合：
，姨12 ，5， 7
姨 19 ， 4
5 ， 64 3
姨 ，π
3 ，4.２
·１
·，
０.７１７ 117 111 7…（相邻两个 7 之间依次
多个 1），… ，；
（4）负实数集合： ，-7.5，-0.25，…(.
4. C 提示： 8 3
姨 =2，2 的倒数是 1
2 .
5. A
6. Ａ 提示:Ａ.乘积为 １，故 Ａ 正确；
Ｂ.姨３ -姨２ 的绝对值是姨３ -姨２ ，
故 Ｂ 错误；Ｃ.姨３ -姨２ 的相反数是
姨２ -姨3 ，故 Ｃ 错误；Ｄ.姨３ +姨２ 的
绝对值等于姨３ +姨２ ，故 Ｄ 错误.
7. ±姨7 8. －２
9. 解：（1）姨13 的相反数是-姨13 ，倒
数是 1
姨13 ，绝对值是姨13 ；
（2）-姨6 的相反数是 姨6 ，倒数是
- 1
姨6 ，绝对值是姨6 ；
（3）2-π 的相反数是 π-2，倒数是
1
2-π ，绝对值是 π-2；
（4） 8
27
3
姨 = 2
3 ， 2
3 的相反数是- 2
3 ，
倒数是 3
2 ，绝对值是 2
3 .
10. C 提示：原式= 1
3 - 1
3 =0.
11. １０ 提示：原式＝５＋２＋３＝１０.
12. 解：（1）4姨26 -5姨26 =（4-5）姨26 =
-姨26 ；
（2）姨13 × 姨26 × 1
姨13 = 姨13 ×
1
姨13 ×姨26 =1×姨26 =姨26 ；
（3）原式＝2＋2－1＝3；
（4）原式＝2＋4＋姨2 －1＝5＋姨2 .
13. B 提示：如图，∵ 正方形的边长为 1，
∴ 根据勾股定理，AP2
=AB2
=12
+12
=2，
∴AP=姨2 ，∴ 点 P 表示的数是姨2 +1．
0 1 2 P
B
A
14. ｎ－ｍ
15. 解：如图，根据勾股定理，作出以 2
和 3 为直角边长的直角三角形，则其
斜边的长是姨13 ；再以原点为圆心，
以 姨13 为半径画弧，与数轴的正半
轴的交点 A 即为所求．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 A4 5
16. 5 3 6 1 提示：根据有理数和无
理数的定义可知，有理数有：5，0.8，
1.727 272…，0， 姨0.16 ，共 5 个；无
理数有：-π，姨2 ， 1
3
3
姨 ，共 3 个；正实
数有：5，0.8，姨2 ，1.727 272…， 1
3
3
姨 ，
姨0.16 ，共 6 个；负实数有：-π，共 1 个.
综合检测/巩固排查
17. D 18. D
19. C 提示：∵4＜5＜9，∴2＜姨5 ＜3，
∴2-1＜姨5 -1＜3-1，即 1＜姨5 -1＜2，
∴ 姨5 -1 在数轴上对应的点可能是
点 C．
20. Ａ 提示：∵ ａ －姨２ ＝０，
∴ ａ ＝姨２ ，则 ａ＝±姨２ ．
21. C 提示：由数轴上点的位置，得
a＜-4＜b＜0＜c＜1＜d．A.a＜-4，故 A 不符
合题意；B.bd＜0，故 B 不符合题意；
C. ａ ＞4= d ，故 C 符合题意；D.b+
c＜0，故 D 不符合题意.
22. 2-姨3
23. 姨3 -a 提示：∵a＜0，∴a- 姨3 ＜0，
则 a-姨3 =-（a-姨3 ）=姨3 -a.
24. -6＜0＜姨5 ＜π 提示：姨5 <3，π≈
3.14，∴-6＜0＜姨5 ＜π．
25. 姨７ 提 示 ：∵ －２ ＜－ 姨３ ＜－１，２ ＜
姨７ ＜3，３＜ 姨１１ ＜４，墨迹覆盖的范
围是 １ ～３，∴ 能被墨迹覆盖的数是
姨７ ．
26. π-1 提示：∵ 圆的直径为 1，∴ 圆
的周长为 π，∴ 点 A′所表示的数为
π-1.
27. 解：（1）0，姨（-5）2 ， -125 3
姨 ；
（2） 5
3 ， 姨0.25 ，0. ３
·，0， 姨（-5）2 ，
5
11 ， -125 3
姨 ；
（3）姨8 ，-3.030 030 003…（相邻两个
3 之间依次多个 0），π；
（4）-3.030 030 003…（相邻两个 3 之间
依次多个 0）， -125 3
姨 .
28. 解：（１）－ １
姨７
的倒数是－ 姨７ ，相
反数是 １
姨７，绝对值是 １
姨７
；
（２） ８１
姨 １ ６００ ＝ ９
４０ ，它的倒数是 ４０
９ ，
相反数是－ ９
４０ ，绝对值是 ９
４０ .
29. 解：如图，根据勾股定理，作出以 1
和 4 为直角边长的直角三角形，则其
斜边的长是姨17 ；再以原点为圆心，
以 姨17 为半径画弧，与数轴的正半
轴的交点 A 即为所求．
-1 0 1 2 3 4 A 5 6
30. 解：（１）原式＝（6-2）姨５ =４姨５ ；
（２）原式＝ １
２ ＋４－ １
４ ＝ １７
４ .
31. 解：（1）5 姨5
提示：正方形 ABCD 的面积=AB2
=12
+
22
=5，边长 AB=姨5 ；
167 168
（2）面积为8的正方形的边长= 22
+2 姨 2 =
姨8 ，面积为 8 的正方形如图所示．
32. D 提示：由数轴可得：-2＜a＜-1，0＜
b＜1，∴a＜b，故 A 错误； a ＞ b ，故
B 错误；a+b＜0，故 C 错误； a
b ＜0，故
D 正确.
33. 姨3 ，π， 4 3
姨 提示： 姨25 =5，是
有理数，故无理数有姨3 ，π， 4 3
姨 .
34. 解：原式=-1+姨2 -1+2=姨2 .
创新应用/核心素养
35. C 提示：∵（3-mi）2
=32
-2×3×mi+
（mi）2
=9-6mi+m2
i
2
=9+m2
i
2
-6mi=9-m2
-
6mi，∴ 复数（3-mi）2 的实部是 9-m2
，
虚部是-6m，∴-6m=12，∴m=-2，
∴9-m2
=9-（-2）2
=9-4=5．
专题集训二 实数与数轴
1. D 2. B 3. D 4. π 5. 2-姨2
6. -3b 提示：根据数轴可知 b＜a＜0，所
以 a+2b＜0，a-b＞0，则 姨（a+2b）2 +
a-b =-（a +2b）+（a -b）=-a -2b +a -
b=-3b．
7. C
8. ＞ 提示：∵a 的对应点在原点左边，b
的对应点在原点右边，∴a＜0＜b，∵a 的
对应点到原点的距离比 b 的对应点到
原点的距离小，∴ a ＜ b ，∴a+b＞0．
9. 解：（1）在数轴上表示各数如图所示；
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
C B D A
（2）-2 1
2 ＜-1＜姨3 ＜3；
（3）D．
10. 解：（1）①2 的平方根是±姨2 ；
②-27 的立方根是-3；
③姨16 =4，4 的算术平方根是 2；
（2）如图：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -姨2 姨2 2
（3）-3＜-姨2 ＜姨2 ＜2．
阶段小测
（2.1、2.2、2.3、2.4、2.5、2.6）
1. B 2. D 3. B 4. D 5. B 6. A
7. D 提示：由题意得，a-2=0，b+ 1
2 =0，
解得 a=2，b=- 1
2 ，所以，原式=22 020
×
- 1 22 #2 021=22 020× - 1 22 22 020× - 1 22 2=
2× - 1 2 22 2'2 020
× - 1 22 #=- 1
2 ．
8. C
9. C 提示：∵1＜姨3 ＜2，5＜5.2＜6，
∴A，B 两点之间的点表示的整数有
2，3，4，5，共有 4 个.
10. C 提 示 ：121 第 1 次
姨121 =11
第 2 次
姨11 =3 第 3 次
姨3 =1，
∴ 对 121 只需进行 3 次操作后变为1.
11. 3-姨5 3-姨5 1
6
12. 3.87
13. 2 提示：∵ 某正数的两个平方根分
别是 a+3 和 2a-15，
∴a+3+2a-15=0，∴a=4，
∵b 的立方根是-2，∴b=（-2）3
=-8，
∴3a+b=4，4 的算术平方根是 2.
14. 3
7 提示：∵6*3= 姨6+3
6-3 =1，∴8*1=
姨8+1
8-1 = 3
7 ，即 8*（6*3）= 3
7 .
15. 解：整数：-5， 125 3
姨 ，0；
分数： - 3
2 ， 22
7 ，-1.732；
无理数：-π
2 ，姨27 ，0.101 001 000 1…
（相邻两个 1 之间依次多个 0）.
16. 解：（1）化简得（x-1）2
=4，开方得 x1=2 或 x-1=-2，解得 x=3 或 x=-1；
（2）化简得（x +3）3=27，x +3 =3，解得
x=0．
17. 解：按从小到大的顺序排列为-π＜
-27 3
姨 ＜ 姨0.36 ＜ 2
3 ＜ 姨2 ＜ 3
2 ＜
姨3 ．
18. 解：（1）原式= 2
3 + 1
3 - 5
4 - 3
4 =1-
2=-1；
（2）原式=9-3+ 2
3 = 20
3 ．
19. 解：（1）这个正方形鱼池的边长不是
有理数.
理由：设正方形鱼池的边长为 x m，
根据题意得 x2=200，∵x 既不是整数
也不是分数，∴x 不是有理数，即这个
正方形鱼池的边长不是有理数；
（2）∵x2
=200，∴x=姨200 ，
∵196＜200＜225，∴14＜姨200 ＜15，
∵14.12
=198.81＜200＜201.64=14.22
，
∴14.1＜姨200 ＜14.2，
∴姨200 ≈14，即鱼池的边长精确到
1 m 为 14 m.
20. 解：（1）∵4 ＜8 ＜9，∴2 ＜ 姨8 ＜3，∴3 ＜
姨8 +1＜4，又 ∵姨8 +1 在两个连续的
自然数 a 和 a+1 之间，∴a=3，
又 ∵1 是 b 的一个平方根，∴b=12
=1；
（2）由（1）知，a=3，b=1.
∴a+b=3+1=4，4 的算术平方根是 2．
∵4＜5，∴2＜姨5 .
21. 解：∵AB=AC，∴姨2 -1=1-x，∴x=2-
姨2 ，∴ x-2 = 2-姨2 -2 =姨2 .
22. 解：（1）∵ 大正方形的面积等于两个
小正方形的面积之和，∴ 大正方形的
面积是 32
+32
=18（cm2
）；
（2）∵ 大正方形的面积是 32
+32
=18（cm2
），
∴ 大正方形的边长为姨18 cm，∵16＜
18 ＜25，∴ 姨16 ＜ 姨18 ＜ 姨25 ∴4 ＜
姨18 ＜5，即大正方形的边长在整数
4 和 5 之间.
2.7 二次根式
第一课时 二次根式
考点集训/夯实基础
1. C 提示：A．当 x=0 时，-x-2=-2，
姨-x-2 不是二次根式；B．当 x＜0 时，
姨x 不是二次根式；C．不论 x 取何
值，x2
+2＞0 都成立，所以 x2 姨 +2 一定
是二次根式；D．当 x=0 时，x2
-2=-2，
x2 姨 -2 不是二次根式.
2. B 提示：③⑤⑥是二次根式，①中缺
少条件 x≥0；②为三次根式；④中根
号下为-5，不符合条件.
3. ①② 提示：①因为 m2
≥0，所以 m2
+
1＞0，所以 m2 姨 +1 是二次根式；
②因为 a2
≥0，所以 a 姨 2 是二次根式；
③④不能保证被开方数恒为非负数，
故不是二次根式.
4. A 提示：由二次根式有意义可知，
xy2
≥0，又 ∵xy＜0，∴x＞0，y＜0，
∴ xy 姨 2 =-y姨x .
5. 解：（1）姨36×81 = 姨36 × 姨81 =6×
9=54；
（2）姨16×5 =姨16 ×姨5 =4姨5 ；
（3） 2
姨 9 = 姨2
姨9 = 姨2
3 ；
（4）姨（-144）×（-169）=姨144×169 =
姨144 ×姨169 =12×13=156.
6. D 7. ①
8. 解：（1）是最简二次根式；（2）不是最
简二次根式， 姨24 = 姨4×6 = 姨4 ×
姨6 =2 姨6 ；
（3）不是最简二次根式， 姨27ab =
姨9×3ab =3姨3ab ；
（4）是最简二次根式；
（5）不是最简二次根式， 2 1
姨 12 =
25
姨 12 = 25×3
姨 12×3 = 姨25×3
姨36 = 5姨3
6 .
9. 解： -9
姨 -25 = 9
姨 25 = 姨9
姨25 = 3
5 .
综合检测/巩固排查
10. B
11. D 提示：依题意有 2x
y
≥0 且 y≠
0，即 xy≥0 且 y≠0，所以 x≥0，y＞0
或 x≤0，y＜0．
12. D 提示：原式= 14
姨 3 ＝ 42
姨 3×3 ＝
姨42
3 ．
13. Ｂ 提示：∵b＞0，-a3
b≥0，∴a≤0，
∴ 原式 = a 姨 2
·（-ab） = a 姨-ab =
-a姨-ab .
14. 2姨ｘ ５ｘ２
３ｙ
15. 姨20（答案不唯一，只要化简后被
开方数是 5 的二次根式均正确）
16. 1 提示：只有姨13 是最简二次根式．
17. 10姨5 提示：根据勾股定理得斜边
长为 102
+20 姨 2 = 姨500 = 姨5×100 =
姨5 ×姨100 =10姨5（cm）.
18. 解：（1）姨（-16）×（-49）=姨16×49 =
姨16 ×姨49 =4×7=28；
（2）姨225×3 =姨225 ×姨3 =15姨3 ；
（3）姨125 = 姨25×5 = 姨25 × 姨5 =
5姨5 ；
（4） 7
姨 11 = 7×11
姨 11×11 = 姨7×11
姨11×11 =
姨77
11 .
19. 解：3姨2 提示：姨18 = 姨9×2 =
姨9 ×姨2 =3姨2 .
验证：题中左图大正方形的面积是 18，
∴ 边长为 姨18 ，题中右图小正方形
的面积是 2，∴ 边长为姨2 ，
∵ 由题图可知大正方形的边长是小
正方形边长的 3 倍，∴姨18 =3姨2 .
20. D 提示：由题意可知，m+2≥0，m1≠0，∴m≥-2 且 m≠1.
21. B
创新应用/核心素养
22. 解：（1）姨9+4姨5 =姨4+5+4姨5
= 22 姨 +2×2×姨5 +（姨5 ）2
=姨（2+姨5 ）2 =2+姨5 ；
（2）姨18-2姨77 =姨11+7-2姨77
= （姨11 ）2 姨 -2×姨11 ×姨7 +（姨7 ）2
=姨（姨11 -姨7 ）2 =姨11 -姨7 .
第二课时 二次根式的四则运算
考点集训/夯实基础
1. B 提 示 ：3 姨6 ×2 姨2 =3 ×2 ×
姨6×2 =6姨12 =12姨3 .
2. C 提示：原式= x3
9 姨 ÷x = x2
姨 9 = x
3 .
3. 姨6 提 示 ：∵ 长 方 形 的 面 积 是
姨30 m2
，宽是 姨5 m，∴ 它的长是
姨30 ÷姨5 =姨30÷5 =姨6（m）．
4.（1）6姨2 （２） 姨10
5
5. C 提示：姨8 +姨18 =2姨2 +3姨2 =
5姨2 .
6.（1）3姨2
2 （2）5姨x
2
提示：（1）原式=姨2 + 姨2
2 = 3姨2
2 ；
（2）原式=3姨x -姨x
2 = 5姨x
2 ．
7. 解：（1）不正确，因为 2姨6 与 2姨5
的被开方数不相同，不能合并；（2）不
正确，因为 3姨7 -姨7 =（3-1）×姨7 =
2 姨7 ≠2；（3）不正确，因为把 8 +
姨2 当成 8×姨2 计算，所以错误，并
且 8+姨2 ＜8姨2 .
8. D 提示：A．姨2 与姨3 的被开方数
不同，不能合并，故错误；B． 姨4 -
姨2 =2 - 姨2 ，故错误；C.3 姨2 -
姨2 =2 姨2 ≠3，故错误；D. 姨2 -
1
姨 2 =姨2 -姨2
2 = 姨2
2 ，故正确.
综合检测/巩固排查
9. B 10. B
11. C 提示：∵m= -姨3 2 3 2×（-2姨21 ）=
2 姨7 = 姨28 ，5.22 =27.04，5.32 =
28.09，∴5.2＜m＜5.3．
12. D 提 示 ： -姨3 2 3 2+ -姨3 2 3 2=
- 2 姨3
3 ， -姨3 2 3 2- -姨3 2 3 2=0，
-姨3 2 3 2× -姨3 2 3 2= 1
3 ， -姨3 2 3 2÷
-姨3 2 3 2=1，故在□中填上一个运
算符号，使计算结果最大，这个运算
符号应填：÷．
13.A 提示：姨8 =2姨2 ，6 1
姨 2 =3姨2 ，
当 3姨2 为底边长时，三角形的周长
为 2 姨2 +2 姨2 +3 姨2 =7 姨2 ；当
3 姨2 为腰长时，三角形的周长为
2 姨2 +3姨2 +3姨2 =8姨2 .
14.姨30
10 3姨3
15. ５ 提示：∵ 最简二次根式 姨3a-8
与 姨17-2a 可以合并计算，∴３ａ-８＝
１７-２ａ，解得 ａ＝５．
16. 姨3 提示：原式=3姨3 -2姨3 =
姨3 .
17. 姨5 提示：这个直角三角形的面积
为 1
2 ×姨2 × 姨10 = 1
2 × 姨20 = 1
2 ×
2姨5 =姨5（cm2
）.
18. 17
3 提示：原式=2 姨3 +3 姨3 +
2
3 姨3 = 17
3 姨3 ，∴a+b 的值为 17
3 .
19 . 解 ：（1） 姨72 + 姨16
姨8 = 姨72
姨8 +
姨16
姨8 = 72
姨 8 + 16
姨 8 =姨9 +姨2 =
3+姨2 ；
（2）姨8 -2 1
姨 2 =2姨2 -姨2 =姨2 ；
（3） 8
姨 27 2 -5姨6 2×姨6 = 8
姨 27 ×
姨6 -5 姨6 × 姨6 = 16
姨 9 -30= 4
3 -
30=- 86
3 ；
（4）（2 姨3 +3 姨2 ）2 =（2 姨3 ）2 +
12 姨6 +（3 姨2 ）2
=12+12 姨6 +18=
30+12姨6 ；
（5）（6+姨7 ）（姨7 -3）=6姨7 -18+
7-3姨7 =-11+3姨7 .
20. 解：由题图可知 AB2
=12
+22
=5，
∴AB=姨5 ，
BC2
=22
+42
=20，∴BC=2姨5 ，
AC2
=32
+42
=25，∴AC=5，∴△ABC 的周
长=姨5 +2姨5 +5=3姨5 +5.
又 ∵AB2
+BC2
=AC2
，∴∠ABC=90°，
∴S△ABC= 1
2
·AB·BC= 1
2 ×姨5 ×2姨5 =5.
21. B
22. D 提示：（2+ 姨3 ）（2- 姨3 ）=4-
169 170
3=1，1 是有理数.
23. D 24. 姨5 25. 0
创新应用/核心素养
26. 解：（1）-1 -3+姨2 ； 提示：由题
意 得 ，2 -3 =-1，2 -（5 - 姨2 ）=2 -5 +
姨2 =-3+姨2 ，∴3 与-1 是关于 1 的
平衡数，5-姨2 与-3+姨2 是关于 1
的平衡数；
（2）不是．理由：∵（m + 姨3 ）×（1 -
姨3 ）= m - 姨3 m + 姨3 - 3 = - 5 +
3姨3 ，∴m-姨3 m=-2+2姨3 ，即 m（1-
姨3 ）=-2（1- 姨3 ），∴m=-2，∴（m+
姨3 ）+（5- 姨3 ）=（-2+ 姨3 ）+（5-
姨3 ）=3≠2，∴-2+ 姨3 与 5- 姨3
不是关于 1 的平衡数.
第三课时 二次根式的混合运算
考点集训/夯实基础
1. A 提示：原式=姨3 -姨3 +3=3．
2. D 提示：∵a = 姨2 -1，b = 姨2 +1，
∴a2
-b2
=（a+b）（a-b）=（姨2 -1+ 姨2
+1）（姨2 -1-姨2 -1）=2姨2 ×（-2）=
-4姨2 ．
3. 2 提示：（9 姨2 -5 姨2 ）÷2 姨2 =
4姨2 ÷2姨2 =2.
4. 6姨15
5 提示：原式= 姨3 × 姨5 +
3
姨 5 =姨15 + 姨15
5 = 6姨15
5 .
5. 解：（1）原式= 2姨2
2 +6姨2 - 4姨2
4 =
姨2 +6姨2 -姨2 =6姨2 ；
（2）原式＝（9 姨2 + 姨2 -2 姨2 ）÷
4 姨2 =8姨2 ÷4姨2 =2.
6. 解：原式=姨6 +姨2 +3姨2 -姨3
3 =
姨6 +4姨2 -姨3
3 .
综合检测/巩固排查
7. D 8. Ｃ 9. Ｄ
10. B 提示：（x-1）（y+1）=xy+（x-y）-
1=姨2 +（姨2 -1）-1=2姨2 -2.
11. B 提 示 ：∵3 ＞2，∴3 ※ 2 = 姨３ -
姨2 ，∵8＜12，∴8※12=姨8 +姨12 =
2×（姨2 +姨３ ），∴（3※2）×（8※12）=
（姨３ -姨2 ）×2×（姨2 +姨３ ）=2．
12. 2 姨2 提示：原式= 姨2 + 姨2 =
2 姨2 ．
13 . － ６ 提示： 姨３ （姨２ － 姨３ ）－
姨２４ － 姨6 －３ ＝ 姨６ －３－２ 姨６ －
（３－姨６ ）＝－６．
14. 12 提示：∵x=-2姨3 ，∴x2
+2x+4姨3 =
（-2 姨3 ）2 +2 ×（-2 姨3 ）+4 姨3 =
12-4姨3 +4姨3 =12．
15. 2x2
y2
姨2x
提示：原式= （2x2
y 姨 2
）2
·（2x）=
（2x2
y 姨 2
）2 ·姨2x =2x2
y2
姨2x .
16. 解：（1）原式＝（２０ 姨3 -１８ 姨3 ＋
４ 姨15 ）÷ 姨3 ＝２０-１８＋４ 姨5 ＝２ ＋
４ 姨5 ；
（2）原式＝ 3
2姨 姨3 -2姨6 -姨6 %×
2姨3 ＝9-１２姨2 -6姨2 ＝9-１８姨2 .
17. 解：（1）③；
（2）正确的解题过程为
原式=2姨6×3 - 24
姨 3
=2姨18 -姨8
=6姨2 -2姨2
=4姨2 ．
18. 解：∵a= 1
姨5 -2 = 1×（姨5 +2）
（姨5 -2）（姨5 +2）
=
姨5 +2，
b = 1
姨5 +2 = 1×（姨5 -2）
（姨5 +2）（姨5 -2） =
姨5 -2，
∴ 原式= （姨5 +2）2
+（姨5 -2）2 姨 +7 =
姨9+4姨5 +9-4姨5 +7 =姨25 =5．
19. 2 姨3 -3 提示： 姨24 - 姨8
姨2 -
（姨3 ）0
= 姨24
姨2 -姨8
姨2 -1= 24
姨 2 -
8
姨 2 -1=姨12 -姨4 -1=2 姨3 -2-
1=2姨3 -3.
20. 解：（1）原式=3+4-4 姨3 +2 姨3 +
6× 姨3
3 =3+4-4姨3 +2姨3 +2姨3 =7；
（2）原式= 1 + 姨3 - 姨2 - 2 姨3 +
姨2 =1-姨3 .
创新应用/核心素养
21． D
提示：设 x=姨6-3姨3 -姨6+3姨3 ，
易知姨6-3姨3 ＜姨6+3姨3 ，∴x＜0，
由 x2
=6-3姨3 -
2姨（6-3姨3 ）（6+3姨3 ）+6+3姨3 =
12-2×3=6，得 x=-姨6 ，
又 ∵ 姨3 -姨2
姨3 +姨2 =
（姨3 -姨2 ）（姨3 -姨2 ）
（姨3 +姨2 ）（姨3 -姨2 ）
=
5-2姨6 ，
∴ 原式=5-2姨6 -姨6 =5-3姨6 .
专题集训三 二次根式及其运算
1. D 2. A 3. B
4. A 提示：由实数 a 在数轴上的对应
点的位置可得，5＜ａ＜１０，所以 ａ－４＞０，
ａ－１１＜０，则 姨（ａ-４）２ ＋ 姨（ａ-１１）２ ＝
a-4+11-a=7．
5. 解：（1）原式=-2姨2 ÷姨6 × 2姨3
3 =
-2
姨3 × 2姨3
3 =- 4
3 ；
（2）原式= 1
2 ×（３－２ 姨3 ＋１）＋ 姨2 +
１ ＋ 姨3 － 姨2 ＝２ － 姨3 ＋ 姨2 +１ ＋
姨3 －姨2 ＝３.
6. 解：原式=a2-3-a2+6a=6a-3，当 a=
姨5 + 1
2 时，原式=6a-3=6姨5 +3-3=
6姨5 ．
7. 解：由题意得：c＜b＜0＜a，且 a = b ，
则 a+b=0，c-a＜0，b-c＞0，则原式=a0+a-c+b-c=2a+b-2c．
8. 解：（1）4 - 姨3 提示：由已知可
得，（-2）×（-1）+2=4，
∴ 点 A′表示的数 x=4.
（姨3 +2-2）÷（-1）=-姨3 ，
∴ 点 B 表示的数 y=-姨3 ；
（2）当 x = 4 ， y = - 姨3 时 ， 1
姨 x -
y+ 1 姨 2 %= 1
姨 4 - -姨3 + 1 姨 2 %= 1
2 +
姨3 - 1
2 =姨3 .
第三章 位置与坐标
3.1 确定位置
考点集训/夯实基础
1. B 2. C
3.（4，7） 提示：由题图可知，B 点位于
第 4 列第 7 行，所以可表示为（4，7）.
4. 解：（1）有体训基地、网球场，要明确
这些设施相对于学校的位置，还需要
这些设施与学校的距离；
（2）百花苑离学校最近，在学校南偏
西 30°的方向上，这一方向上还有黄
海饭店；
（3）需要方位角和距离．
5.（1，6） D
综合检测/巩固排查
6. C
7. A 提示：由题图可得，A（30°，5）.
8. A 提示：距离小白最近的有共享单
车停放点的区域是标有 F 的行，标有
6 的列，即 F6.
9.（-5，3）
10. 解：（1）花坛位于校门的正东方向，
到校门的图上距离为 3 cm，实际距
离为 300 m；
（2）花坛的北偏东 45°方向上有图书馆；
（3）花坛（4，5），图书馆（6，7），游泳馆
（10，9），电影院（11，7），教学楼（8，4），
旱冰场（10，1）.
11. 解：（1）图中商场在小明家北偏西
30°方向，距离 2.5 cm 的位置；学校在
小明家北偏东 45°方向，距离 2 cm 的
位置；公园在小明家南偏东 60°方向，
距离 2 cm 的位置；停车场在小明家
南偏东 60°方向，距离 4 cm 的位置；
（2）∵ 学校距离小明家 400 m，且 OA=
2 cm，∴ 图中 1 cm 表示实际 200 m，
∴ 商场距离小明家 2.5×200=500（m），
停车场距离小明家 4×200=800（m）；
（3）300÷200=1.5（cm），书店的位置如
图所示.
商场 B
60° O
A
小明家
公园
C
D
停车场
东
北
学校
30° 45°
书店 30°
创新应用/核心素养
12.（5，3）或（1，7） 提示：白棋已经有
三 颗 在 一 条 直 线 上 ，∴ 甲 必 须 在
（5，3）或（1，7）位置上落子，才不会让
乙马上获胜．
3.2 平面直角坐标系
第一课时 平面直角坐标系的
有关概念
考点集训/夯实基础
1. 互相垂直 数轴
2. B 提示：A 图中两条数轴不是互相
垂直的；C 图中的 x 轴正方向标示不
对；D 图中没有标示正方向；B 图符
合平面直角坐标系的概念.
3.（1）二 （2）y 轴 （3）负半轴 （4）四
4. A 5. B
6. B 提示：到 y 轴的距离是点的横坐
标的绝对值，到 x 轴的距离是点的纵
坐标的绝对值，又因为点 P 位于 y
轴 左方，x 轴上方，则 P 点横坐标小
于 0，纵坐标大于 0，所以点 P 的坐
标为（-3，4）.
7.（7，-7）或 7
3 ， 7 姨 3 %
提示：∵ 点 P（2-a，2a+3）到两坐标轴
的距离相等，
∴2-a=2a+3 或 2-a=-（2a+3），
解得 a=- 1
3 或 a=-5，
当 a=-5 时，2-a=7，2a+3=-7，即点 P
的坐标为（7，-7）；
当 a=- 1
3 时，2-a= 7
3 ，2a+3= 7
3 ，即点
P 的坐标为 7
3 ， 7 姨 3 %.
8. 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；
校门 旗杆
教学楼
图书馆
实验楼
x
y
O
3
-2
（2）（0，0） （-4，0） （-5，3） （-1，2）；
（3）实验楼的位置如上图所示.
9. A
综合检测/巩固排查
10. C
11. B 提示：∵ 点 P 到 x 轴的距离为 5，
∴ 点 P 的纵坐标是 5 或-5，∵ 点 P 的
横坐标是-3，∴ 点 P 的坐标是（-3，5）
或（-3，-5）．
12. B 提示：根据点 A，B 的坐标建立平
面直角坐标系如下图，则点 C 的坐标
是（3，-2）．
A
B
C
O
y
x
13. 2 3 姨13
14. 解：（1）这个多边形各个顶点的坐标
分别为：A（-2，0），B（0，-3），C（3，-3），
D（4，0），E（3，3），F（0，3）；
（2）四边形 NMGH 如图所示，面积
是：8×6- 1
2 ×4×2- 1
2 ×4×3- 1
2 ×5×1-
1
2 ×5×4=48-4-6-2.5-10=25.5（. 过程
不唯一）
y
x
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
F E
A D
B C
M
N
H
G
O
15. 解：（1）画出平面直角坐标系如图
所示；
体育场 市场
文化馆
宾馆
火车站
医院
超市
B C
O
y
x
A
（2）体育场（-2，5），市场（6，5），超市
（4，-1）；（3）A，B，C 的位置如上图所示.
16.（-2，3） 17. 4
创新应用/核心素养
18. 解：如图，设 M（x，y），由“实际距离”
的定义可知，点 M 只能在 ECFG 区域
内，∴-1＜x＜5，-5＜y＜1，又 ∵M 到 A，
B，C 的“实际距离” 相等，∴ x-3 +
y-1 = x-5 + y+3 = x+1 + y+5 ，
∴ x-3 +1-y=5-x+ y+3 =x+1+y+5，
要将 x-3 与 y+3 中绝对值去掉，
需要判断 x 在 3 的左侧或右侧，以及
y 在-3 的上侧或下侧，将长方形ECFG
分割为 4 部分，若要使 M 到 A，B，C的
“实际距离”相等，由图可知 M 只能
在长方形 AENK 中，故 x＜3，y＞-3，则
方程可变为：3-x+1-y=5-x+y+3=x+
1+y+5，解得 x=1，y=-2，则 M（1，-2）.
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y
E A
B
M K
C
N
G
F
171 172
第二课时 平面直角坐标系中点的
坐标特点
考点集训/夯实基础
1. A
2. C 提示：不属于任何象限的点有
（1，0），（0，-2），（0，0），共 3 个.
3. B 提示：∵ 点 P（1-3m，2m）的横坐
标与纵坐标互为相反数，∴2m=-（1-
3m），解得 m = 1 ，∴ 点 P 的坐标是
（-2，2），∴ 点 P 在第二象限.
4. B 提示：A．若点 A 在 y 轴上，则 a+
1=0，解得 a=-1，故错误；B．若点 A 在
第一、三象限平分线上，则 a+1=3-a，
解得 a=1，故正确；C．若点 A 到 x 轴
的距离是 3，则 3-a =3，解得 a=6 或
0，故错误；D．当 a=-2 时，a+1=-1，3-a=
5，点（-1，5）在第二象限，故错误.
5. x＞0
6. ０ ３ 提示：点 Ｐ（２ｎ－３，２ｎ）在 ｘ 轴
上，可知纵坐标 ２ｎ＝０，解得 ｎ＝０；因为
点 Ｎ（３－ａ，７－ａ）在 ｙ 轴上，可知横坐
标 ３－ａ＝０，解得 ａ＝３.
7. 解：作图如下；
-1O 1 2 3 4 5 x
y
A B
D C
-2 -1
6
5
4
3
2
1
-3 6
（1）CD x 纵坐标为 0
（2）横 y 提示：A，D 两点的横坐标
相等，线段 AD 平行于 y 轴；
（3）平行 提示：线段 AB 与 CD 的位
置关系是平行；
（4）描出的图形是直角梯形，它的面
积是： 1
２（AB+CD）·AD= 1
２ ×（4+7）×
3=16.5.
8. B 提示：∵ab＜0，∴a，b 异号，∵a-b＜
0，∴a ＜b，∴a ＜0，b ＞0，∴ 点（a，b）在第
二象限.
综合检测/巩固排查
9. C 10. D
11. A 提示：在 x 轴上，所有点的纵坐
标都为 0，∴ 点 B 的纵坐标为 0，∵ 点
A 的横坐标为-2，∴ 点 B 的横坐标也
为-2，∴ 点 B 的坐标为（-2，0）.
12. A 提示：∵ 点 B 的坐标为（3，-4），
且直线 AB 平行于 y 轴，∴A，B 两点
的横坐标相等，即点 A 横坐标为 3，
故符合要求的点只有（3，-2）．
13.（-2，2）
14.一 提示：∵ 代数式姨a + 1
姨ab
有
意义，∴a≥0 且 ab＞0，解得 a＞0 且 b＞
0，∴ 直角坐标系中点 A（a，b）的位置
在第一象限．
15. 解：（1）∵ 点 M 在 x 轴上，∴2m+3=0，
解得 m=-1.5；
（2）∵ 点 M 在过点 N（-5，4），且与 y
轴平行的直线上，∴m=-5，∴2m+3=-7，
∴ 点 M 的坐标为（-5，-7）；
（3）∵ 点 M 在第一、三象限的平分线
上，∴m=2m+3，解得 m=-3.
16. 解：（1）由图形得，A（-2，3），B（-4，-2），
C（4，-2），D（2，3）；
（2）由（1）知：A 与 D，B 与 C 的纵坐
标相同；线段 AD∥x 轴；线段 BC∥x
轴；线段 AD∥线段 BC．
17. D 18. C
19.（1，-2）（答案不唯一）
创新应用/核心素养
20. 解：（1）因为点 A（-2，6）的“1
2 级关
联 点 ” 是 点 A1 ， 所 以 A1 的 坐 标 为
-2× 1
2 +6，-2+ 1
2 × ×6 &，即 A（1 5，1）；
（2）点 M（m-1，2m）的“-3 级关联点”
为 M′［-3（m-1）+2m，m-1+（-3）×
2m］，即 M（′ 3-m，-5m-1），
∵M′位于 y 轴上，
∴3-m=0，解得 m=3，∴-5m-1=-16，
∴ 点 M（′ 0，-16）．
第三课时 建立适当的坐标系描述
图形的位置
考点集训/夯实基础
1. A 提示：如图所示，体育场的位置可
表示为（-1，-1）．
东山公园
孔庙
体育场
y
O x 2
2
2. D 提示：因为 E 点的坐标是（-2，3），
则原点在 E 点右边 2 个单位长度，下
方 3 个单位长度处，即 D 点的位置．
3. - 3
2 ， 3姨3 × 2 & 提示：如图，过点 A
作 AC⊥OB 于点 C，∵△AOB 是等边
三角形，OB=3，∴OC=BC= 1
2 OB= 3
2 ，
在 Rt △AOC 中 ，∵OA =3，OC = 3
2 ，
∴AC = OA2
-OC 姨 2 = 32
- 3
×2 &2
姨 =
3姨3
2 ，∴A - 3
2 ， 3姨3 × 2 &．
A
B O
y
C x
4. 解：（1）所建立的平面直角坐标系如
图所示；（2）点 B 和点 C 的坐标分别
为（-3，-1），（1，1）；
（3）点 D 的位置如图所示.
A
C
B
y
x
1
O 1
D
5. A 提示：由小军和小华的坐标可建
立如图所示的平面直角坐标系，则小
华的位置可表示为（-2，-3）.
小军
小刚
小华
y
O x
综合检测/巩固排查
6. D 提示：如图，点 A 的坐标是（2，2），
根据勾股定理可得：OA=2姨2 ，
①若 AP1=P1O，可得 P（1 2，0）；
②若 AO=AP2，可得 P（2 4，0）；
③若 AO=OP3，可得 P（3 2姨2 ，0）.
∴A，B，C 正确，D 错误但符合题意．
-1 1 2 3 4 O x
y
2
1
A
P P2 3 P1
7.（2，-1） 提示：因为 A（-2，1）和
B（-2，-3），可得直角坐标系如图所
示，所以可得点 C 的坐标为（2，-1）.
A
B
C
y
O x
1
-2
8.（4，0）或（4，4）或（0，4）
提示：如图，∵△ABO 与△ABP 全等，
∴①OA=AP1，点 P1 的坐标为（4，0）；
②OA=BP2 ，点 P2 的坐标为（0，4）；
③OA=BP3，点 P3 的坐标为（4，4）．
-2-1 1 2 3 4 -1
-2
4
3
2
1
x
y
O
A P1
B P3
P2
9. 解：如图所示，以 B 为坐标原点，BC
所在直线为 x 轴，过点 B 且垂直于 x
轴的直线为 y 轴建立平面直角坐标
系，则 A（-2，3），B（0，0），C（4，0），
D（6，1），E（5，3），F（3，2），G（1，5）．
（答案不唯一）
G
A
B C
D
E
F
x
y
10. 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；
E F
D C B A
10
18
O 4 x
y
（2）各点的坐标分别为 B（5 ， 2），
C（-5，2），D（-9，0），E（-5， -2），
F（5，-2）.
11. C 提示：如图，过点 C 作 CD⊥y 轴
于点 D，∴CD=50÷2 -16 =9，OA=ODAD=40-30=10，∴ 点 P（9，10）.
y
O x
D C
A
P
创新应用/核心素养
12. 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；
北
音乐台
牡丹亭
中心广场
望春亭
游乐园
南门
y
O x
（2）中心广场（0，0），音乐台（0，400），
望春亭（-200，-100），
南门（100，-600），
游乐园（200，-400）．
3.3 轴对称与坐标变化
考点集训/夯实基础
1. C 提示：由点 A（a，1）与点 B（-2，b）
关于 x 轴对称，得 a=-2，b=-1，
点（-2，-1）在第三象限．
2. A 提示：根据轴对称的性质，知横坐
标不变，纵坐标都乘-1，即横坐标相
同，纵坐标互为相反数，则所得图形
与原图形关于 x 轴对称.
3. -2 提示：由已知得点 A 的横坐标为
2，点 C 与点 A 关于 y 轴对称，则点 C
的横坐标为-2.
4. 解：（1）如图，四边形A1B1C1D1即为所求；
（2）如图，四边形 A2B2C2D2 即为所求.
O
B
A
D
C
y
B1 x
D1 C1
A1
A2
B2
D2
C2
5. 解：（1）依次连接各点得到的图案如
图所示；
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y
A D
B C
（2）横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，
所得各点的坐标依次是（0 ， - 4），
（1，0），（3，0），（4，-4），依次连接这些
点，所得图案如上图所示，它与原图
案关于 x 轴对称.
6. B 提示：∵ 点 P（-1-2a，5）关于 x 轴
的对称点的坐标是（-1-2a，-5），点
Q（3，b）关于 y 轴的对称点的坐标是
（-3，b），∴-1-2a=-3，b=-5，∴a=1，
∴ 点 A 的坐标是（1，-5），∴ 点 A 关
于 x 轴对称的点的坐标为（1，5）.
综合检测/巩固排查
7. C 提示：∵ 点 P（2a-1，3）关于 y 轴
对称的点为 Q（3，b），∴2a-1=-3，b=3，
解得 a=-1，∴ 点 M（-1，3），∴ 点 M 关
于 x 轴对称的点的坐标为（-1，-3）．
8. A 提示：由题意可知，点 A 的坐标
为（b，a），点 B 的坐标为（b，-a），
∴A，B 两点原来的位置关系是关于 x
轴对称.
9. A 提示：由 A 点坐标得 C（-3，1），由
翻折得 C′与 C 关于 y 轴对称，所以
C′的坐标是（3，1）．
10. B 提示：当以点 B 为原点时，
A（-1，-1），C（1，-1），则点 A 和点 C
关于 y 轴对称，符合条件.
11.（-2，3） 提示：点 A（2，-3）关于 x
轴的对称点是 A′（2，3），点 A′（2，3）
关于 y 轴的对称点是 A（″ -2，3）.
12. 解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所
求，A（1 3，2），B（1 1，4），C（1 0，2）；
（2）关于 x 轴对称 提示：如图所示，
△A2B2C2 与△ABC 关于 x 轴对称.
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5x
y
A
B
C
B1
A1
C1
A2
B2
C2
13. 解：（1）△A1B1C1 如图所示，点 C1 的
坐标是（4，1）；
（2）△A2B2C2 如图所示，点 C2 的坐标
是（-4，1）.
y
O C x
A B
A1 B1
C1
B2 A2
C2
173 174
14. A
15. B 提示：∵ 点 A（m，2）与点 B（3，n）
关于 y 轴对称，∴m=-3，n=2．
16. 4 提示：∵ 点 M（a，b）与点 N（3，-1）
关于 x 轴对称，∴a=3，b=1，则 a+b=3+
1=4．
专题集训 坐标与几何图形
面积问题
1. C 提示：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于
点 E，则 S 四边 形 ABCD=S△OCD+S 梯 形 ODAE+
S△ABE= 1
2 ×1×1+ 1
2 ×（1+2）×2+ 1
2 ×1×
2=4.5．
-1 O 3
1
y A（2，2）
x
D C
E
B
2. 7.5 提示：根据题意可得：△OAB 的
面积= 1
２ ×3×5=7.5．
3. 解：（1）△AEC，△BCD 如图所示；
O x
y
-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 -1
-2
-3
-4
-5
-6
6
5
4
3
2
1
C
A
D
B
E
（2）12 提示：由图可得，△AEC 中，
∠ACE=90°，EC=6，AC=4，
∴S△AEC= 1
2 ×6×4=12.
4. 解：（1）如图，建立平面直角坐标系，
则点 A 坐标为（3，5）；
A
B
C
y
O x
1
1
（2）S△ABC=5×5- 1
２ ×1×5- 1
２ ×3×4- 1
２ ×
5×2= 23
２ ．
5.（3，0）或（9，0）
6. 解：（1）△ABC 如图所示，△ABC 的面
积是 3×4- 1
2 ×1×2- 1
2 ×2×4- 1
2 ×2×
3=4；（2）（-4，3）；（3）∵ 点 P 为 x 轴上
一 点 ， △ABP 的 面 积 为 4，AO =1，
∴BP=8，∴ 点 P 的横坐标为 2+8=10
或 2-8=-6，∴ 点 P 的坐标为（10，0）
或（-6，0）．
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y
C
A
B
7. 解：（1）如图，S△AOB= 1
２ ×2×3=3；
O x
y
-5-4-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
A
B
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
（2）①若点 C 在 y 轴上，设点 C（0，
t），∵△ABC 的面积为 6，∴ 1
２ × t-3 ×
2=6，解得 t=9 或 t=-3．∴ 点 C 的坐标
为（0，-3）或（0，9）；
②若点 C 在 x 轴上，设点 C（m，0），则
1
２ × m+2 ×3=6，解得 m=2 或 m=-6，
∴ 点 C 的坐标为（2，0）或（-6，0）.
综上，点 C 的坐标为（0，-3）或（0，9）
或（2，0）或（-6，0）.
第四章 一次函数
4.1 函 数
考点集训/夯实基础
1. D 2． D
3. 4 提示：由题意，得当 y=3 时，x=1或
x=5，所以有效时长是 5-1=4（h）．
4.（1）该剧院观众席的座位数 排数；
（2）y 增加 3；（3）y=3x+47.
5. C 提示：由题意知，x-2≥0 且 x-3≠
0，解得 x≥2 且 x≠3，所以 x 的取值
范围是 x≥2 且 x≠3.
6. 解：（1）当 x=300 时，y=1.5×300=450；
（2）根据题意可知，y=1.5x（x 为非负
整数）.
7. B
综合检测/巩固排查
8. C 提示：A，B，D 中，对于 x 的每一个
值，y 都有两个值与它对应，故 y 都不
是 x 的函数；C 中，对于 x 的每一个
值，y 都有唯一的值与它对应，故 y 是
x 的函数.
9. C 提示： 每件商品的实际售价为
150×0.8=120（元），所以 y 与 x 之间
的关系式为 y=120x．
10. C 提示：A.在这个变化过程中，气
温是自变量，声速是自变量的函数，正
确，不合题意；B.声速随气温的升高
而增大，正确，不合题意；C.声速 v 与
气温 T 的关系式为 v=330+ 6
10 T= 3
5 T+
330，错误，符合题意；D.气温每升高
10 ℃，声速增加 6 m/s，正确，不合
题意．
11. x≥1 且 x≠2
12． 2 提示：因为 x＝3＞1，所以将 x＝3
代入 y＝－x＋5，得 y＝－3＋5＝2．
13. 47 提示：根据函数图象的纵坐标，
可得 1 kg 内（含 1 kg）22 元，超过 1
kg 部分每增加 0.5 kg 范围内，邮件
快递费增加 5 元．所以当 t=3.2 时，P=
42+5=47，故质量为 3.2 kg 的邮件快
递费为 47 元.
14. 解：（1）这个图象反映了水深和时间
之间的关系；
（2）填表如下：
t/时 3 6 9 12
h/m 7 5 3 5
（3）确定；
（4）根据函数的定义判断，水深 h 可
以看成时间 t 的函数.
15. D 提示：根据题意得，x-2≠0 且 x+
1≥0，解得 x≥-1 且 x≠2．
创新应用/核心素养
16. 3 提示：由图象可得，“龟兔再次赛
跑”的路程为 1 000 m，故①正确；兔
子和乌龟不是同时从起点出发的，乌
龟先出发，故②错误；乌龟在途中休
息了 40-30=10（min），故③正确；兔
子比乌龟早 60-50=10（min）到达目
的地，故④正确，所以正确的有 3 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考点集训/夯实基础
1. B ２. ２ ｙ＝２ｘ ≠０
3. y=2.5x-0.5 一次 提示：因为第一
年先植树 2 万亩，以后每年都种 2.5
万亩，所以植树的总面积 y（万亩）与
时间 x（年）的函数关系式是 y =2 +
2.5（x-1）=2.5x-0.5，它是一次函数.
4. 解：（1）因为离地面距离每升高 1 km，
气温下降 6 ℃，所以该地空中气温 T
（℃）与高度 h（km）之间的函数表达
式为 T=24-6h，T 是 h 的一次函数；
（2）当 h=3 时，T=24-6×3=6（℃），
即距地面 3 km 处的气温 T 为 6 ℃；
（3）当 T=-6 ℃时，-6=24-6h，解得 h=5，
即距地面的高度 h 为 5 km．
5. B 提示：因为函数 y=（m-1）x2- m +3
是关于 x 的一次函数，所以 2- m =
1，m-1≠0．解得 m=-1．
综合检测/巩固排查
6. B 7. C 8. Ｃ
9. Ｄ 提示：一次函数 Ｔ＝１０- d
150 可以
写成 T＝- 1
150 ｄ＋１０，因此 ｋ＝－ 1
150 .
10. m≠1 提示：因为 y=mx-x+3 是一
次函数，y=mx-x+3=（m-1）x+3，所以
m-1≠0，即 m≠1.
11. ｙ＝８.２ｘ 提示：售出 １ 个，售价为
（８＋０.２）元；售出 ２ 个，售价为（２×８＋
２×０.２）元；售出 ３ 个，售价为（３×８＋３×
０.２）元……售出 ｘ 个，售价为（ｘ×８＋
ｘ×０.２）元．依题意有 ｙ＝ｘ×８＋ｘ×０.２＝
８.２ｘ． 故 ｙ 与 ｘ 之间的函数关系式是
ｙ＝８.２ｘ．
１2. 解：（１）根据一次函数的定义，得 ２－
ｍ ＝１，解得 ｍ＝±１，又因为 ｍ＋１≠０，
即 ｍ≠－１，所以当 ｍ＝１，ｎ 为任意实
数时，这个函数是一次函数；
（２）根据正比例函数的定义，得 ２－
ｍ ＝１，ｎ＋４＝０，解得 ｍ＝±１，ｎ＝－４，又
因为 ｍ＋１≠０，即 ｍ≠－１，所以当 ｍ＝
１，ｎ＝－４ 时，这个函数是正比例函数．
13. 解：（1）y=60x，是一次函数，也是正
比例函数；
（2）y=πx2
，不是一次函数，也不是正
比例函数；
（3）y=50+2x，是一次函数，不是正比
例函数.
14. 解：（1）由题意可知，y1=30x+200，y2=
40x；
（2）x=18 时，y1=30x+200=30×18+200=
740，即按方式一小亮游泳的总花费
为 740 元；
（3）x=24 时，y1=30x+200=30×24+200=
920，y2=40x=40×24=960，920＜960，故
小亮选择方式一付费更合算；
（4）当 y1=y2 时，30x+200=40x，解得 x=
20，即小亮一年内来此游泳馆 20 次，
按方式一和方式二所付费用相同.
15. A
16. 解：（1）根据题意，得
①当 0≤x≤5 时，y=20x；
②当 x＞5 时，y=20×0.8（x-5）+20×5=
16x+20；
（2）把 x=30 代入 y=16x+20，得 y=16×
30+20=500.所以一次购买玉米种子
30 kg，需付款 500 元.
创新应用/核心素养
17. 二 提示：因为“关联数”为［3，m2］的一次函数是正比例函数，所以 y=
3x+m-2 是正比例函数，所以 m-2=0，
解得 m=2，则 1-m=-1，1+m=3，故点
（1-m，1+m）在第二象限．
4.3 一次函数的图象
第一课时 正比例函数的
图象及性质
考点集训/夯实基础
1. B 提示：正比例函数的图象是一条
经过原点的直线，只有 B 项符合题意.
2. B 提示：当 x=2 时，y= 1
2 ×2=1，所以
点（2，1）在正比例函数 y= 1
2 x 的图
象上．
3. 解：列表如下：
x 0 1
y=2x 0 2
y=-2x 0 -2
y= 5
3 x 0 5
3
在同一直角坐标系内分别描点、连
线，图象如下图所示.
-3 -2 -1 1 2 3 x
3
2
1
-1
-2
-3
y=2x
y= 5
3 x
y=-2x
y
O
4. D 提示：正比例的图象是一条直线，
故 A 正确；因为当 x= 1
m2 时，y=-1，所
以该函数图象过点 1
m2 - ，-1 (，故 B
正确；C.因为 k=-m2
＜0，所以 y 随着 x
减少而增大，且函数图象经过第二、
四象限，故 C 正确，D 错误．
5.（1）增大 y=4x （2）减小 y=-4x
6. 1 提示：因为 k>0，所以 y 随 x 的值
增大而增大，所以当 x=4 时，y 最小，
最小为 1.
7. 解：（1）m=0；（答案不唯一）
（2）m=-3；（答案不唯一）
（3）m=- 1
2 .
8. B 提示：根据三个函数图象所在象
限可得 a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越
陡， k 越大，可得 b＞c，所以 a＜c＜b.
综合检测/巩固排查
9. A 10. B 11. B
12. C 提示：A．图象经过原点，错误；
B．y 随 x 的增大而减小，错误；C.图象
经过第二、四象限，正确；D．当 x= 1
3
时，y=-1，错误.
13. B 提示：把 x=m，y=4 代入 y=mx 中，
可得 4=m2
，解得 m=±2，因为 y 的值
随 x 值的增大而减小，
所以 m＜0，所以 m=-2.
14. y=-2x 提示：因为直线 l 过原点，
所以可设函数表达式为 y=kx，因为图
象经过点（-姨2 ，姨8 ），所以姨8 =
-姨2 k，解得 k=-2，所以函数表达式
为 y=-2x．
15. y=x 或 y=-x 提示：因为点 A（m，n）
在直线 y=kx（k≠0）上，当-1≤m≤1
时， -1≤n≤1，所以点（-1， -1）或
（-1，1）在直线上，所以 k=1 或-1，所
以 y=x 或 y=-x.
16. 解：（1） 2
3 提示：因为正方形边长
为 2，所以 AB=2，在直线 y=2x 中，当
y=2 时，x=1，所以 OA=1，OD=1+2=3，
所以 C（3，2），将（3，2）代入 y=kx，得
2=3k，解得 k= 2
3 ；
（2）k 的值不会发生变化.
理由： 因 为 正 方 形 边 长 为 a， 所 以
AB=a，在直线 y=2x 中，当 y=a 时，x=
a
2 ，所以 OA= a
2 ，OD= a
2 +a= 3
2 a，所
以 C 3
2- a，a ，，将 3
2， a，a ，代入 y =
kx，得 a=k× 3
2 a，k= 2
3 ，所以 k 的值
不会发生变化．
17. 解：（1）列表如下：
x 0 1
y=5x 0 5
175 176
描点、连线如下图所示；
y
x
5
4
3
2
1
-1
-2
y=5x
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4
（2）列表如下：
x 0 1
y=- 5
2 x 0 - 5
2
描点、连线如下图所示.
y
x
3
2
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=- 5
2 x
O
18. A 提示：因为正比例函数 y=-2x 的
图象经过点 P（a-1，4），所以 4=-2（a1），解得 a=-1．
19．一、三 提示：因为 k=5＞0，所以函
数 y=5x 的图象经过第一、三象限.
创新应用/核心素养
20. C 提示：由题意可知，
y=2鄢x= 2x（x＞0）， ）-2x（x≤0），
所以当 x＞0 时，图象是函数 y=2x 的
图象中 y 轴右侧的部分；x≤0 时，图
象是函数 y=-2x 的图象中 y 轴左侧
的部分.
第二课时 一次函数的图象及性质
考点集训/夯实基础
1. D 2. Ｂ
3. 解：经过点（0，2）和（2，0）画函数 y=
-x+2 的图象，经过点（0，2）和（-1，0）
画函数 y=2x+2 的图象，如图所示.它
们的共同之处：都是一条直线且都经
过 y 轴上的点（0，2）.
x
y
O
2
2
y=2x+2
y=-x+2
4. Ａ 提示：把直线 ｙ＝ｘ 向上平移一个
单位长度后，其直线解析式为 ｙ＝ｘ＋１．
5. 3x 上
6. ２ 提示：直线 ｙ＝－３ｘ 向上平移 ５ 个
单位长度可得直线 ｙ＝－３ｘ＋５，所以
ｋ＝－３，ｂ＝５，所以 ｋ＋ｂ＝－３＋５＝２．
7. 解：画出图象如下.
y
O x
y=-x
y=-x-3
y=-x+2
2
2
8. A 提示：因为 k=-1＜0，所以 y 随 x
的增大而减小，因为 1＜2，所以 m＞n．
9. B 提示：因为一次函数 y=kx+b，y 随
x 的增大而减小，且 b＜0，所以 k＜0，
b＜0，所以该函数图象经过第二、三、
四象限，符合题意的是 B 选项中的图象.
10. B 提示：在一次函数 y=- 1
2 x+2 中，
k=- 1
2 ＜0， 所以 y 随 x 的增大而减小.
又 1≤x≤4，所以当 x =1 时，y 取最
大值，最大值为- 1
2 ×1+2= 3
2 ．
11. 解：当 y=5 时，4x+3=5，解得 x= 1
2 ；
9x-2=5，解得 x= 7
9 ，所以当 x 从 0 开
始增大时，函数 y=4x+3 的值先达到5.
当 y=19 时，4x+3=19，解得 x=4；
9x-2=19，解得 x= 7
3 ，
所以当 x 从 0 开始增大时，函数 y=9x2 的值先达到 19.
这说明了一次函数 y=kx+b（k＞0）中，
k 的值越大，y 的值增长得越快.
12. 解：（1）因为该一次函数的图象与 y
轴的交点坐标是（0，-5），所以 n-4=
-5，解得 n=-1；
（2）m=0 或 m=1；（答案不唯一）
（3）当 n-4=0，6+3m≠0，即 n=4，m≠
-2 时，函数的图象过原点；
（4）当 m＝ 1
3 ，n=5 时，一次函数的表
达式为 y=7x+1．当 x=0 时，y=1；当 y=
7x+1=0 时，x＝- 1
7 ．所以图象与 x 轴
交点坐标为 - 1
7 ， ，0 &，与 y 轴交点坐
标为（0，1）．
13. 解：因为该函数图象不经过第二象限，
所以该函数图象可能经过第一、三象
限或第一、三、四象限.①若该函数图
象经过第一、三象限，则 n=0，m＞0；
②若该函数图象经过第一、三、四象限，
则 m＞0，n＜0. 综上，m＞0，n≤0 时，函
数 y=mx+n 的图象不经过第二象限.
综合检测/巩固排查
14. A 提示：因为正比例函数 y=kx（k≠
0）的函数值 y 随 x 的增大而减小，
∴k＜0，因为一次函数 y=x+k 的一次
项系数大于 0，常数项小于 0，所以一
次函数 y=x+k 的图象经过第一、三、
四象限．
15. D 提示：一次函数 y=kx+b 的图象
沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后，得
到图象的关系式是 y=kx+b+3=2x+2，
所以 k=2，b=-1，所以 y=2x-1.
16. C 提示：A.当 x=1 时，y=2-4=-2≠
2，图象不经过点（1，2），故错误；B.与
x 轴的交点坐标为（2，0），故错误；
C.因为 k=2＞0，b=-4＜0，所以图象经过
第一、三、四象限，故正确；D.∵ 两函
数表达式中 k 值不相等，故 y=2x-4不
能由函数 y=-2x 的图象平移得到，故
错误．
17． Ｂ 提示：当自变量由 ０ 增加到 ３时，
函数值相应地由 １ 增加到 １０，增加了
10-1=9.
18. D 提示：观察函数图象可知：a＞0，
b＜0，所以 a-b＞0，当 x=1 时，y=a+b＞
0，所以 姨（a-b）2 - a+b =（a-b）-
（a+b）=-2b．
19. A
20. ＜ 提示：因为一次函数 y=x-1 中k=
1，所以 y 随 x 值的增大而增大，又因
为 x1＜x2，所以 y1＜y2．
21． 三 提示：点 Ｐ（ａ，ｂ）在第二象限
内，则 ａ＜０，ｂ＞０，则直线 y=ax+b 经过
第一、二、四象限，不经过第三象限．
22. 4 提示：将直线 y=x+b 沿 y 轴向下
平移 3 个单位长度，得直线 y=x+b-3．
因为点 A（-1，2）关于 y 轴的对称点
是点（1，2），所以把（1，2）代入 y=x+
b-3，得 1+b-3=2，解得 b=4．
23． ①②④譽訛
24. ±姨2 提示：若两直线平行，则自
变量 x 的系数相等，即 m2
-4=-2，m1≠-3，解得 m=±姨2 .
25. 36 提示：因为一次函数 y=x+6 的
图象经过点 P（a，b）和 Q（c，d），所以
b=a+6，d=c+6，所以 a-b=-6，c-d=-6，
所以 a（c-d）-b（c-d）=（c-d）（a-b）=
（-6）×（-6）=36．
26. 解：（1）（-6，0） （0，4） 提示：把 x=
0 代入 y= 2
3 x+4，得 y=4，即点 B 的坐
标为（0，4）；把 y=0 代入 y= 2
3 x+4，得
2
3 x+4=0，解得 x=-6，即点 A 的坐标
为（-6，0）；
（2）S△AOB= 1
2 ×6×4=12，即△AOB 的面
积为 12.
27. C
28． D 提示：由图象可知，一次函数的
图象过第一、二、四象限，所以 k-2＜
0，所以 k＜2．
29. A 提示：当 x=0 时，y=x+2=0+2=2，
所以一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴
的交点坐标为（0，2）．
30. D 提示：平移后所得直线的解析式
为 y=x+3，把 x=2 代入解析式，得 y=
x+3=5，所以点（2，5）在该平移后的直
线上.
31. A 32. y=3x+2 33. ＜
创新应用/核心素养
34. 解：（1）①3x- 3
2 ；② 5
2 -x；
提示：当 x≥1 时，2x-2≥0，y= 2x-2 +
x+ 1
2 =2x-2+x+ 1
2 =3x- 3
2 ；
当 x＜1 时，2x-2＜0，y= 2x-2 +x+ 1
2 =
2-2x+x+ 1
2 = 5
2 -x；
（2）如图所示；
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
y
O
y= 2x-2 +x+ 1
2
（3）当 x≥1 时，y 随 x 增大而增大．
（答案不唯一）
阶段小测（4.1、4.2、4.3）
1. D 2. D 3. D 4. B 5. D 6. D
7. B 提示：由题意，得 y=20-5x，20÷5=
4（h），所以 0≤x≤4，所以 y =20 -5x
的图象是一条线段，因为 k=-5＜0，所
以 y 随 x 的增大而减小，只有 B 符合.
8. B 提示：当 y=0，即 2x+4=0 时，x=-2，
所 以 点 A 的 坐 标 为（-2，0）． 因 为
△OAC 是以 OA 为边的等边三角形，
所以点 C 的坐标为（-1，- 姨3 ）．当
x=-1 时，y=2x+4=2，所以点 C′的坐标
为（-1，2），所以 m=2-（-姨3 ）=2+姨3 ．
9. 2（答案不唯一，k＜ 5
2 即可）
提示：因为一次函数 y=（2k-5）x+2 中
y 随 x 的增大而减小，所以 2k-5＜0，
k＜ 5
2 ，所以 k=2 满足条件.
10. 1 提示：根据题意得 AB=AC=姨2 ，
令 x=0，则 y=b，所以点 B 的坐标为
（0，b），OB=b，令 y=0，则 x=-b，所以
点 A 的 坐 标 为（-b，0），OA =b， 在
Rt△AOB 中，AB2
=OA2
+OB2
，即（姨2 ）2
=
b2
+b2
，解得 b=±1，因为 b＞0，所以 b=1.
11. 150 提示：由图象可知，t=2 时，S=
1 200-（1 650-1 200）÷（5-4）×（4-2）=
300，即工作 2 h，绿化组完成绿化面
积 300 m2
，所以该绿化组提高工作效
率前每小时完成的绿化面积是 300
2 =
150（m2
）.
12. 解：（1）气温 声速 气温 声速
气温；（2）3 331+ 3
5 T；
（3）把 T=30 代入 V=331+ 3
5 T，得 v=
349，所以发生打雷的地方距小明大
约有 349×6=2 094（m）.
13. 解：（1）令 y=0，则 x=3，令 x=0，则 y=3，
所以图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分
别为（3，0），（0，3）；
（2）此函数的图象如图；
O x
y
y=-x+3
1
1
（3）当 x=2 时，y=-2+3=1≠5，所以点
（2，5）不在该函数的图象上.
14. 解：（1）因为函数 y=（m+1）x+（m2
-1）
是正比例函数，所以 m+1≠0 且 m2
-
1=0．解得 m=1；
（2）根据一次函数的定义可知：m+
1≠0，所以 m≠-1.
15. 解：（1）在 y=2x+3 中，令 x=0，得 y=3；
令 y=2x+3=0，解得 x=- 3
2 ，所以点 A
- 3
2 ， ，0 &，点 B（0，3），所以 S△AOB= 1
2 ×
3 × - 3
2 = 9
4 ；
（2）把 l1：y=2x+3 向下平移 1 个单位
长度后得 l2：y=2x+2；
（3）直线 l2：y=2x+2 与x 轴、y 轴的交
点分别为 C（-1，0），D（0，2），所以
S△CBD= 1
2 × -1 × 3-2 = 1
2 .
16. 解：（1）y1=8x，y2=4x+120；
（2）依题意得 y1=y2，即 8x=4x+120，
解得 x=30，∴ 购买仪器 30 件时，两种
方案所需的费用相同；
（3）当 x=50 时，y1=8×50=400，
y2=4×50+120=320，∵y1＞y2，
∴ 若学校需要仪器 50 件时，采用方
案二便宜．
4.4 一次函数的应用
第一课时 确定一次函数表达式
考点集训/夯实基础
1. B 2. A
3. - 1
4 提示：因为正比例函数 y=kx，
当 x=-2 时，y=-1，所以-1=-2k，解得
k= 1
2 ，所以正比例函数的解析式为
y = 1
2 x ，所以当 x = - 1
2 时， y = 1
2 ×
- 1 ，2 &=- 1
4 ．
4. 解：设直线 l 的表达式为 y=kx，
根据题意，得 1=-2k，解得 k=- 1
2 ，
所以直线 l 的解析式为 y=- 1
2 x.
因为当 x=-6 时，y=- 1
2 ×（-6）=3≠-3，
当 x=4 时，y=- 1
2 ×4=-2，
所以点 A（-6，-3）不在该函数的图象
上，点 B（4，-2）在该函数的图象上.
5. D 提示：根据题意得-2姨3 +b=姨3 ，
解得 b=3姨3 .
6. D 提示：因为一次函数 y=kx+b 的图
象与直线 y=-x+1 平行，所以 k=-1，
因为一次函数图象过点（8，2），所以
2=-8+b，解得 b=10，所以一次函数解
析式为 y=-x+10．
7. 解：（1）因为一次函数 y=kx+b 的图象
经过 A（2，4），B（0，2）两点，
所以 2k+b＝4，b＝2，解得 k＝1，b＝2，所
以此一次函数的表达式为 y=x+2；
（2）因为当 y=x+2=0 时，解得 x=-2，
所以点 C（-2，0），所以 OC=2，又因为
点 A（2，4），所以点 A 到直线 OC 的
距离为 4，所以 S△AOC= 1
2 OC×4= 1
2 ×
2×4=4．
8. A 提示：因为 y 与（x-2）成正比例，
177 178
所以设 y=k（x-2），由题意得，-2=k（1-
2），解得 k=2，所以 y=2x -4，当 x =3
时，y=2×3-4=2.
综合检测/巩固排查
9. B
10. C 提示：设一次函数表达式为 y=kx+
b，把（0，3）代入得 b=3，当 y=0 时，
kx+3=0，解得 x=- 3
k ，则直线与 x 轴
的交点坐标为 - 3
k ， ，0 \"，因为一次函
数的图象与两坐标轴所围成的三角
形的面积为 3，所以 1
2 × - 3
k ×3=3，
解得 k=±1.5，所以一次函数解析式为
y=1.5x+3 或 y=-1.5x+3．
11． Ｄ 提示：由图象可得直线 ｍ 经过
点（０，－２）和点（１，０），将两点坐标代
入函数解析式 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，可得 ｂ＝－２，ｋ＋
ｂ＝０，解得 k=2.
12. B 提示：由题意得：点 P 关于 y 轴
的对称点的坐标为（2，4），代入 y=x+
b，得 2+b=4，解得 b=2．
13. -1 提示：设该正比例函数的解析
式为 y=kx（k≠0），则 k=-2，所以 y=-2x，
根据题意得-2a=2，解得 a=-1.
14. y=-3x+5 提示：设所求一次函数的
解析式为 y=kx+b，因为函数的图象
与直线 y=-3x+1 平行，所以 k=-3，又因
为函数图象过点（2，-1），所以-1=-3×
2+b，解得 b=5，所以一次函数的解析
式为 y=-3x+5.
15. 解：（1）根据题意可设 y=kx+b（k≠0），
因为当 x=0 时，y=25，所以 b=25，所
以 y=kx+25，因为当 x=2 时，y=15，所
以 2k+25=15，解得 k=-5.所以 y 与 x
之间的关系式为 y=-5x+25；
（2）当 y=0 时，-5x+25=0，解得 x=5，
所以经过 5 h 可以把水池的水排完．
16. 解：（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b，
因为直线 l 过点 C（2，2），B（0，4），
所以 2＝2k+b，b＝4，解得 k＝-1，b＝4，
所以直线 l 的表达式为 y=-x+4；
（2）令 y=-x+4=0，解得 x=4，
所以点 A（4，0），所以 S△AOB= 1
2 ×AO×
BO= 1
2 ×4×4=8；
（3）因为 OA=4，OB=4，
所以 AB= OA2
+OB 姨 2 =4姨2 ，
若 AB=AP，则在点 A 左边，OP=4姨2 -
4，在点 A 右边，OP=4姨2 +4，
所以点 P 坐标为（4 姨2 +4，0）或
（4-4姨2 ，0）；
若 BP=AB=4姨2 ，则点 P（-4，0）；
若 AP=BP，则点 P 坐标为（0，0）.
综上，点 P 的坐标为（4姨2 +4，0）或
（4-4姨2 ，0）或（-4，0）或（0，0）.
17. C 提示：设该正比例函数的表达式
为 y=kx（k≠0），因为正比例函数的
图象经过点（2，-1），所以-1=2k，解得
k=- 1
2 ，所以这个正比例函数的关系
式是 y=- 1
2 x．
18. C 提示：将（-2，0），（0，1）代入，得
-2k+b＝0，b＝1，解得 k＝ 1
2 ，b＝1，所以
y= 1
2 x+1，将点 A（3，m）代入，得 3
2 +
1=m，即 m= 5
2 .
创新应用/核心素养
19. B 提示：如图，由正方形的对称性
可知，在直线 CD 和直线 CE 之间的直
线（如图），两侧的格点数相同，所以
直线 y=-k（x+1）在直线 CD 和直线
CE 之间，当直线 y =-k（x +1）过 点
E（-3，3）时，3=2k，解得 k= 3
2 ，当直线
y=-k（x+1）过点 D（-3，4）时，4=2k，解
得 k=2，所以 3
2 ＜k＜2，只有 B 符合题意.
B
A
y
O x
D
E
C
第二课时 借助单个一次函数图象
解决问题
考点集训/夯实基础
1. A 提示：因为 CD∥x 轴，所以从第
50 天开始植物的高度不变，故①正
确；设线段 AC 的表达式为 y=kx+b（k≠
0），由函数图象可知，点 A（0，6），
B（30，12）在函数图象上，所以 b＝6，
把（30，12）代入 y=kx+6，得 30k+6 =
12，解得 k＝ 1
5 ，所以线段 AC 的表达
式为 y= 1
5 x+6，故②正确；当 x=40时，
y= 1
5 ×40+6=14，即第 40 天，该植物
的高度为 14 cm，故③正 确 ； 当 x=
50 时，y= 1
5 ×50+6=16，该植物最高为
16 cm，故④错误．综上所述，正确的
是①②③．
2.（1）1 000 （2）5 （3）200
（4）手机每天消耗的电量 手机电板
的最大带电量 （5）4 提示：（1）根据
函数图象可知 y 的最大值是 1 000
毫安，所以此种手机的电板最大带电
量是 1 000 毫安；（2）当 y=0 时，对应
的 x=5，所以此种手机在充满电时最
多可供手机消耗 5 天；（3）此种手机
每天消耗电量为（1 000 -600）÷2 =
200（毫安）；（4）图象过点（0，1 000）
和点（2，600），则 b=1 000，2k+b=600，
解得 k=-200，所以图象对应的一次
函数关系式为 y=-200x+1 000，所以 k
的实际意义是手机每天消耗电量，b
的实际意义是手机电板的最大带电
量；（5）当 y=200 时，-200x+1 000=200，
解得 x=4，所以在手机充满电后，使
用 4 天后，手机会发出提示音.
3. C 提示：直线 y=ax+b 过点 B（-2，0），
所以方程 ax+b=0 的解是 x=-2.
4.（3，0） 提示：因为一元一次方程 axb=0 的解 x=3，所以函数 y=ax-b 的图
象与 x 轴的交点坐标为（3，0）.
5. x=-3 提示：方程 ax=-b 可变形为 ax+
b=0，因为直线 y=ax+b（a≠0）经过点
A（-3，0），所以方程 ax+b=0 的解是
x=-3．
综合检测/巩固排查
6. C 7. C
8. B 提示：每分钟的进水量为 20÷4=5
（L），每分钟的出水量为 5-（30-20）÷
（12-4）=3.75（L）．
9. 5 提示：设一次函数的解析式为 y=
kx +b， 将（0，1），（2，5）代 入 ， 得 b ＝
1，2k+b＝5，解得 k＝2，所以函数解析
式为 y=2x+1，当 y=11 时，2x+1=11，
解得 x=5，所以至少需要 5 s 能把小
水杯注满．
10. 解：（1）由题图知，当 x=0 时，y=40，
即盒内原来有 40 元钱；
（2）由题图知，当 y=200 时，x=8，即该
同学经过 8 个月能存够 200 元；
（3）由图象可设一次函数关系式为
y=kx+b，将（0，40），（8，200）代入得，
b=40，8k+b=200，解得 k=20，所以一
次函数关系式为 y=20x+40，当 y=140
时，20x+40=140，解得 x=5，即该同学
经过 5 个月能存够 140 元；
（4）k 的实际意义是每个月存入的钱
数，b 的实际意义是储蓄盒内原来的
钱数.
11. A
12. 解：（1）设该一次函数解析式为 y=kx+
b，根据图象可得，点（0，60），（150，45）
在函数图象上，所以 b=60，将（150，45）
代入 y=kx+60 中，得 150k+60＝45，解
得 k＝- 1
10 ，所以该一次函数表达式
为 y=- 1
10 x+60；
（2）当 y=- 1
10 x+60=8 时，解得 x=520．
即行驶 520 km 时，油箱中的剩余油量
为 8 L．
530-520=10（km），油箱中的剩余油
量为 8 L 时，距离加油站 10 km．所以
在开往该加油站的途中，汽车开始
提示加油，这时离加油站的路程是
10 km.
创新应用/核心素养
13. 解：（1）设 PQ 的解析式为 y=kx+b，
由图象可知，（0，30）， 1
2， ，20 \"在函
数图象上，所以 b＝30， 1
2 k+30＝20，解
得 k ＝-20，所以 y =-20x +30．当 y =0
时，-20x+30=0，解得 x=1.5，所以点 Q
（1.5，0）．点 Q 的实际意义：甲、乙两
人分别从 A，B 两地同时出发后，经
过 1.5 h 两人相遇；
（2）由题意和图象得甲到达 B 地，用
时 2.5 h，所以甲的速度为 30÷2.5＝
12（km/h）.设乙的速度为 a km/h，由Q
点的坐标和实际意义可得 1.5（12+a）=
30，解得 a=8，所以乙的速度为 8 km/h.
第三课时 借助两个一次函数图象
解决问题
考点集训/夯实基础
1. A 提示：由图象可知，当 x＜10 时，
y2＞y1；当 x=10 时，y2=y1；当 x＞10 时，
y1＞y2，所以当 x=12＞10 时，y1＞y2.
2.（1）2 提示：慢车比快车早出发 2 h；
（2）4 276 提示：快车出发 6-2=
4（h）后追上慢车，此时它们离 A 地
276 km；
（3）4 提示：快车比慢车早 18-14=
4（h）到达 B 地；
（4）69 46 提示：快车的速度是828÷
（14-2）=69（km/h），慢车的速度是
828÷18=46（km/h）.
3. 解：（1）从图象上可以看出：当 x＜16
时，y 国有＜y 个体；当 x=16 时，y 国有=y 个体；
当 x＞16 时，y 国有＞y 个体．所以若该公司
每月业务量小于 1 600 千米时，应选
用国有公司的车；若每月业务量等于
1 600 千米时，选用国有和个体公司的
车都一样；若每月的业务量大于 1 600
千米时，应选用个体出租公司的车；
（2）当 x=16 时，y 国有=y 个体=1 760 元，
所以两图象交点的坐标为（16，1 760），
两图象交点坐标的实际意义是当行
驶 1 600 千米时，国有公司和个体出
租车公司租车费用相同，均为 1 760 元.
4. 3
2 提示：设 s 甲 =kt，因为图象过
（2，4），所以 2k=4，解得 k=2，所以
s 甲=2t．设 s 乙=mt+n，因为图象过（2，4），
（0，3）两点，所以 n=3，2m+3=4，解得
m= 1
2 ，所以 s 乙= 1
2 t+3，当 t=3 时，
s 甲-s 乙=6- 9
2 = 3
2 ，即他们之间的距
离为 3
2 km.
综合检测/巩固排查
5. A 提示：通过观察图象可知，当所挂
物体质量均为 2 kg 时，y1＞y2.
6. 2
3 或 4
3 提示：由题图可知，小聪的
速度为 36 ÷3 =12（km/h），小明的速
度为 36÷（3-2）=36（km/h），设小明出
发 x h 时两车相距 8 km，则小聪出发
的时间为（x+2） h，根据题意得：12（x+
2）-36x=8 或 36x-12（x+2）=8，解得
x= 2
3 或 x= 4
3 ， 4
3 ×36=48＜50，所以出
发 2
3 h 或 4
3 h 时，行进中的两车相距
8 km．
7. 解：（1）当 x≥0.5 时，把（1，0.5）代入
y=x+b 得 b=-0.5；
（2）由（1）知手机支付的表达式为 y=
x-0.5，设会员卡支付对应的函数表达
式为 y=ax，则 0.75=a×1，得 a=0.75，
即会员卡支付对应的函数表达式为
y=0.75x，令 0.75x=x-0.5，得 x=2.
答：当 0＜x＜2 时，李老师选择手机支
付比较合算；当 x=2 时，李老师选择
两种支付方式一样；当 x＞2 时，李老
师选择会员卡支付比较合算．
8. 解：（1）由函数图象可设 y 甲=k1x，因
为点（5，100）在函数图象上，所以 5k1=
100，解得 k1=20，所以 y 甲=20x.设 y 乙=
k2x+b，因为点（0，100）和（20，300）在
函数图象上，所以 b=100，20k2+100=
300，解得 k2=10，所以 y 乙=10x+100；
（2）10 提示：当甲、乙两种消费卡所
需费用相同时，y 甲=y 乙，即 20x=10x+
100，解得 x=10；
（3）当 y 甲=20x=260 时，解得 x=13，当
y 乙 =10x+100=260 时，解得 x=16，因
为 13＜16，所以选择乙种消费卡入园
次数更多.
创新应用/核心素养
9.（32，4 800） 提示：由题意可知，良
马 s 关于 t 的函数表达式为 s1=240（t12），驽马 s 关于 t 的函数表达式为
s2=150t，当 s1=s2 时，150t=240（t-12），
解得 t=32，则 150t=150×32=4 800，
即点 P 的坐标为（32，4 800）.
专题集训 函数图象信息题
1. A 2. B
3. C 提示：由图象可知，西瓜降价前的
价格为 80÷40=2（元/千克），西瓜降价
后的价格为 2×0.75=1.5（元/千克），故
A 错误；因为 2-1.5=0.5（元），所以降
价前的单价比降价后的单价多 0.5
元，故 D 错误；李叔叔一共进了：40+
110-80
1.5 =60（千克）西瓜，故 B 错误；
售完西瓜后李叔叔获得的总利润为
110-1.1×60=44（元），故 C 正确.
4. D 提示：由图象可知，乙比甲提前：
40 -28 =12（min）到达培训中心，故
①错误；甲的平均速度为 10÷ 40
60 =
15（km/h），故②正确；乙的平均速度
为 10÷ 28-18
60 =60（km/h），设甲、乙
相遇时，甲走了 x min，则 15× x
60 =60×
x-18
60 ，解得 x=24，则甲、乙相遇时，
乙走了 60× 24-18
60 =6（km），故③正
确；乙出发 24-18=6（min）后追上甲，
故④正确.
5. 解：动点 P 在 BC 上运动时，对应的时
间为0 到 4 s，所以 BC=2×4=8（cm）；
a= 1
2 ×BC×AB= 1
2 ×8×6=24．
由题图可得：CD=（6-4）×2=4（cm），
DE=2×（9-6）=6（cm），
则 AF =BC+DE=8 +6 =14（cm），又由
AB=6 cm，所以动点 P 共运动了 BC+
CD+DE+EF+AF=BC+DE+AF+AB=8+
6+14+6=34（cm），
其速度是 2 cm/s，则 b= 34
2 =17，
所以 BC 长为 8 cm，a 为 24，b 为 17.
179 180
期中复习专题集训
专题集训一 勾股定理——
图形构造问题、分类讨论
1. B 2. C 3. 8
4. 5姨13
13 提示：由图知，△ABC 是等
腰三角形，如图，过点 C 作 CD⊥AB
于点 D，
C
A
B
D
因为 AB=AC= 22
+3 姨 2 =姨13 ，
BC= 12
+1 姨 2 =姨2 ，所以 BC 边上的
高= （姨13 ）2
-姨2 22 %2
姨 = 5姨2
2 ，
设 CD = h ， 所 以 S △ ABC = 1
2 × 姨2 ×
5姨2
2 = 1
2 ×姨13 h，解得 h= 5姨13
13 ．
5. D 提示：已知半圆的面积为 8π，所
以半圆的直径为 2· 16π
姨 π =8，即直
角三角形的斜边长为 8，设两个正方
形的边长分别为 x，y，则根据勾股定
理得：x2
+y2
=82
=64，即两个正方形面
积的和为 64．
6. D 提示：S 阴影= 1
2 AC2
+ 1
2 BC2
+ 1
2 AB2
=
1
2 （AB2+AC2+BC2
），因为 AB2=AC2+
BC2=52
=25，所以 AB2
+AC2
+BC2
=25+
25=50，所以 S 阴影= 1
2 ×50=25．
7. 1
22 %4 或 1 2 16 % 提示：因为正方形
ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直
角三角形，
所以 DE2
+CE2
=CD2
，DE=CE，
所以 S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=12
=
1，S2= 1
2 S1= 1
2 ，S3= 1
2 S2= 1
4 ，S4= 1
2 S3=
1
8……所以 Sn= 1
22 %n-1
，当 n=5 时，
S5= 1
22 %5-1
= 1
22 %4
= 1
16 ．
8. D 提示：①如图 １，顶角的顶点是正
方形的顶点，AC=AB=5，由勾股定理，
得 BC= AB2
+AC 姨 2 = 52
+5 姨 2 =5姨2 ；
C A
B
A
B
C
D
图 １ 图 2
②如图 ２，顶角的顶点在正方形的边
上，因为 AB=BC=5，所以 BD=3．
在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得 CD=
BC2
-BD 姨 2 =4．在 Rt△ACD 中，由勾
股定理，得 AC= AD2
+CD 姨 2 = 82
+4 姨 2 =
4姨5 .综上所述，等腰三角形的底边
长是 5姨2 或 4姨5 .
9. 4 或姨34 提示：当 3 和 5 都是直角
边长时，第三条边长为 32
+5 姨 2 =姨34 ；
当 5 是 斜 边 长 时 ， 第 三 条 边 长 为
52
-3 姨 2 =4.
10. 32 或 42 提示：如图 1，当 CD 在
△ABC 内部时，因为 AC=15，BC=13，
AB 边 上 的 高 CD = 12 ， 所 以 AD =
AC2
-CD 姨 2 = 152
-12 姨 2 =9，BD =
BC2
-CD 姨 2 = 132
-12 姨 2 =5，AB=AD+
BD=9+5=14，此时，△ABC 的周长=
14+13+15=42；
如图 2，当 CD 在△ABC 外部时，AB=
AD-BD=9-5=4，此时，△ABC 的周
长=4+13+15=32.综上所述，△ABC
的周长为 32 或 42．
D A B
C
A B
C
D
图 1 图 2
专题集训二 与二次根式有关的
规律问题
1. B 提示：根据题意可知，第奇数个数
据符号为正，第偶数个数据符号为
负，第 n 个数据的被开方数为 5（n1），所以第 101 个数据的符号为正，
被开方数是 5×100=500，所以第 101
个数据应是姨500 =10姨5 ．
2. B 提示：通过观察发现，每三个数一
循环，1，姨2 ，姨3 ，且第 n 排有 n个
数，因为（1+2+3+4+5+6+7）÷3=9……1，
所以（7，7）表示的数是 1，所以（8，1）
表示的数是姨2 ，（8，2）表示的数是
姨3 ，因为（1+2+3+…+2 014）÷3 =
676 368……1，所以（2 014，2 014）
表示的数是 1，所以姨3 ×1=姨3 ．
3. n2 姨 -1 =姨n-1 ×姨n+1（n≥1）
提示：观察已知式子可得规律： n2 姨 -1 =
姨n-1 ×姨n+1（n≥1）．
4. 55…5
n 个
提示：通过观察可知，根号下
有几个 3 或几个 4，结果中就有几个 5.
5. 解：（1）①原式=姨9 =3；
②原式=姨225 =15；
③原式=姨1 225 =35；
④原式=姨3 969 =63；
（2）第⑤个二次根式为 1012
-20 姨 2 =
99；
（3）第 n 个二次根式为
［（2ｎ）２
＋１］２ 姨 -（4ｎ）２ ．化简，
［（2ｎ）２
＋１］２ 姨 -（4ｎ）２ =
（４ｎ２
＋１）２ 姨 -（4ｎ）２ ＝
（４ｎ２
-４ｎ＋１）（４ｎ２ 姨 ＋４ｎ＋１） ＝
（２ｎ-１）（２ 姨 ２ｎ＋１）２ ＝（２ｎ－１）（２ｎ＋１）．
6. 解：（1）1 1
20
提示： 1+ 1
42 + 1
5 姨 2 =1+ 1
4 - 1
5 =1 1
20 ；
（2） 1+ 1
n2 + 1
姨 （n+1）2 =1+ 1
n - 1
n+1 =
1+ 1
n（n+1）；
（3） 50
49 + 1
姨 64 = 1+ 1
72 + 1
8 姨 2 =1+ 1
7 -
1
8 =1 1
56 .
专题集训三 新函数的探究
及新定义问题
1. 解：（1）3
2 ；
（2）该函数的图象如图所示；
y
-4-3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
O
（3）当 x=2 时所对应的点如图所示，
m 大约为 2.6；
（4）函数的性质：当 0＜x＜1 时，y 随 x
的增大而减小（． 答案不唯一）
2. 解：（1）x≠2；
（2）当 x=7 时，y= 6
25 ，所以 m= 6
25 ；
（3）该函数的图象如图所示；
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x
y
-1
-2
（4）函数图象关于直线 x=2 对称（. 答
案不唯一）
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
考点集训/夯实基础
1. B 2. Ｃ
3. ｋ≠１ 提示：根据定义可知 ｘ 的系数
不等于 ０，所以 ｋ－１≠０，所以 ｋ≠１.
4. 解：设此超市购进 A 型商品 x 件、B
型商品 y 件，依题意列方程组得
x+y＝60， 024x+36y＝1 680.
5. B 提示：∵ x＝6， 0y＝-2 是方程 mx-10=3y
的一个解，∴6m-10=-6，解得 m= 2
3 .
6. B 提示：将各组解分别代入方程组中，
只有 B 能满足方程组中的两个方程.
7. Ｄ 提示：将 ｘ＝１， 0ｙ＝１ 代入 ３ｘ－ｙ＝ｍ， 0ｘ＋ｍｙ＝ｎ，
得
３×１－１＝ｍ， 0１＋ｍ×１＝ｎ，
故 ｍ＝２，ｎ＝３，故 ｍ-ｎ =
２－３ ＝１.
8. 解：设 5 人一组的有 x 组，6 人一组的
有 y 组，根据题意可得 5x+6y=40，当
x=2 时，y=5 或 x=8，y=0.
9. 解：由题意得，2m-6≠0， m-2 =1，
n-2≠0，n2
-3=1，解得 m=1， 0n=-2.
综合检测/巩固排查
１0. Ｂ 11. D
12. B 提示：把 ｘ＝2， 0ｙ＝1 代入方程 2x+ay=
5，得 2×2+a=5，解得 a=1.
13. A 提示：根据题意，将 x=1 代入 x+
y=3，解得 y=2，将 x=1， 0y=2 代入 x+py=0，
得 1+2p=0，解得 p=- 1
2 .
14. B 提示：设毽子能买 x 个，跳绳能
买 y 根，根据题意可得 3x+5y=35，
∵x，y 都是正整数，∴x=5 时，y=4；x=
10 时，y=1；∴ 购买方案有 2 种．
15. -1 提示：根据题意，得 m-2 020=
1，n-1≠0， n =1，解得 m=2 021，
n=-1，∴nm=（-1）2 021
=-1.
16.（1）（2）（4） （2）（3）（5） （2）
17. 解：将 x=2， 0y=1 代入 2x+（m-1）y=2， 0nx+y=1 中，
得 4+m-1=2， 02n+1=1，解得 m=-1， 0n=0，
故（m+n）2 022
=（-1）2 022
=1.
18. 解：设购买笔记本 a 本，中性笔 b支，
则 2a+b=15，且 a，b 为正整数，
当 a=1 时，b=13；当 a=2 时，b=11；
当 a=3 时，b=9；当 a=4 时，b=7；
当 a=5 时，b=5；当 a=6 时，b=3；
当 a=7 时，b=1．故有 7 种购买方案.
19. B 提示：设一等奖 x 个，二等奖 y个，
根据题意，得 6x+4y=34，使方程成立
的正整数解有 x＝1， 0y＝7，
x＝3， 0y＝4，
x＝5， 0y＝1，共 3
组，∴ 方案一共有 3 种.
20. 1
创新应用/核心素养
21. D 提示：根据“每人出 9 钱，会多出
11 钱”可列方程 9x-11＝y，根据“每人
出 6 钱，又差 16 钱”可列方程 6x+16＝
y，故可列方程组 9x-11＝y， 06x+16＝y.
5.2 求解二元一次方程组
第一课时 代入消元法
考点集训/夯实基础
1. B 2. D
3. A 提示： 9x+4y＝1①， 0x+6y＝-11②，
由方程②，得 x=-11-6y③.
把③代入①，得 9（-11-6y）+4y＝1，
解得 y=-2，把 y=-2 代入③，得 x=1，
故 2×1+2k=10，解得 k=4.
4.（1）填写如下：
3x-2y=13
2x+y=4 y=_______ y=___
3x-2（_______）=13 x=__
变形
代入 解得
-2x+4
-2x+4
-2
3
（2）代入消元法
5. 解：（１） ｘ＝ｙ＋１①， 0２ｘ＋ｙ＝８②，
把①代入②，得
２（ｙ＋１）＋ｙ＝８，解得 ｙ＝２.
再把 ｙ＝２ 代入①，得 ｘ＝３.
∴ 方程组的解为 ｘ＝３， 0ｙ＝２；
（２） ３ｘ＋４ｙ＝１９①， 0ｘ－ｙ＝４②，由②，得 ｘ＝４＋ｙ③.
把③代入①，得 ３（４＋ｙ）＋４ｙ＝１９，解得
ｙ＝１．把 ｙ＝１ 代入③，得 ｘ＝４＋１＝５．
∴ 方程组的解为 ｘ＝５， 0ｙ＝１；
（３） ｘ＝ ８＋７ｙ
２ ①，
0３ｘ－８ｙ＝1０②，
把①代入②，得 3×
８＋７ｙ
２ -8y=10，解得 ｙ＝－ ４
５ .把 ｙ=- ４
５
代入①解得 ｘ＝ ６
５ .
∴ 方程组的解为
ｘ＝ ６
５ ，
ｙ＝－ ４
５
５
,
,
,,
+
,
,
,,
-
；
（４） 3x-2y＝42①， 0２ｘ＋ｙ＝１４②，由②，得 ｙ＝１４－２ｘ③.
将③代入①，得 3x-2（14-2x）=42，解
得 ｘ＝１０.将 ｘ＝１０ 代入③中，得 ｙ＝－６.
∴ 方程组的解为 ｘ＝１０， 0ｙ＝－６.
6. 解： 3x-y＝2①， 09x+8y＝17②，
由①，得 y=3x-2③，
把③代入②，得 9x+8（3x-2）=17，解
得 x=1.把 x=1 代入③，得 y=1.所以原
方程组的解是 x=1， 0y=1.
综合检测/巩固排查
7. C 8. D 9. Ｄ
10. D 提示：将 x=1， 0y=-1 代入 mx+2y=n， 04x-ny=2m-1
中，得 m-2=n， 04+n=2m-1，
解得 m=3， 0n=1.
11. B 提示： 2x+3y＝7①， 05x-y＝9②，由②，得 y=
5x-9③，把③代入①得，2x+3（5x-9）=
7，解得 x=2，把 x=2 代入③得，y=1，
把 x=2，y=1 代入 3x+my=8 得，6+m=
8，解得 m=2．
12. 5 提示：把 x=y+5 代入 2x-y=5，可
得 2y+10-y=5，解得 y=-5.
把 y=-5 代入 x=y+5 可得 x=0.方程组
的解为 x=0， 0y=-5，
因为 x=y+5， 02x-y=5 的解满
足方程 x+y+a=0，则 0+（-5）+a=0，a=5.
13. 解：（1）把②代入①得，2x-3（2x+3）=
7，-4x=16，解得 x=-4.把 x=-4 代入
②，得 y=2×（-4）+3=-5.所以原方程
组的解为 x=-4， 0y=-5；
（2） 2x+3y=-1①， 04x-y=5②，由②，得 y=4x-5③.
把③代入①，得 2x+3（4x-5）=-1，解
得 x=1.把 x=1 代入③，得 y=-1.所以
原方程组的解为 ｘ＝１， 0ｙ＝-1.
１4. 解：把 ｘ＝１， 0ｙ＝２ 代入原方程组得
181 182
