第一章 勾股定理

1.1 探索勾股定理

第一课时 探索勾股定理

考点集训/夯实基础

1. B 提示：这种阅读器屏幕的对角线长

的平方为 162

+122

=400，则对角线长为

20 cm，20×10÷25.4≈8（英寸）.

2. A

3. 76 提示：∵ 在 Rt△AEB 中，∠AEB=

90°，AE =6，BE =8，∴ 由勾股定 理 得

AB2

=AE2

+BE2

=62

+82

=100，即 AB=10，

∴ 正方形的面积是 10×10=100，

∵△AEB 的面积是 1

2 AE×BE= 1

2 ×6×

8=24，∴ 阴影部分的面积是 100-24=76.

4. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵AB=15，AD=12，AC=13，

∴BD2

=AB2

-AD2

=152

-122

=81，

CD2

=AC2

-AD2

=132

-122

=25，

∴BD=9，CD=5，

∴BC=BD+CD=9+5=14.

5. 解：（1）左边正方形的面积=100+125=

225；

（2）根据勾股定理可得 x2

+152

=172

，解

得 x=8；

（3）正方形的面积=132

-122

=25.

6. 7.5 或 6 提示：①若 3 和 5 分别是直

角三角形的两条直角边长，则该三角

形的面积为 1

2 ×3×5=7.5；②若 5 为直

角三角形的斜边长，则另一直角边长的

平方为 52

-32

=16=42

，∴ 另一直角边长为

4，则该三角形的面积为 1

2 ×3×4=6.

综合检测/巩固排查

7. A 8. B 9. A

10. D 提示：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=

90°，∴AC2

=AB2

-BC2

，又 ∵S 圆环=S 大圆S 小圆=π·AB2

-π·BC2

=π·（AB2

-BC2

）=

π·AC2

，∴ 只需测量线段 AC 的长度

即可计算出圆环的面积．

11. 4.8 提示：如图，过点 A 作 AD⊥BC

于点 D，根据垂线段最短，得到 BP⊥

AC 时，BP 最短，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD= 1

2 BC=3，∴ 在 Rt△ABD 中，

AD2=AB2

-BD2

=52

-32

=16，∴ AD=4，又

∵S △ABC= 1

2 BC·AD= 1

2 BP·AC，∴BP=

BC·AD

AC = 6×4

5 =4.8．

C

P

A

B D

12. 解：设 AD=x，则 AC=32-x，

∵AD⊥BC 于点 D，

∴△ADC 和△ADB 都是直角三角形，

∵CD=16，∴x2

+162

=（32-x）2

，

解得 x=12，∴AD=12，

在 Rt △ABD 中 ，AB2 =BD2 +AD2 =52 +

122

=169=132

，∴AB=13.

13. C 提示：设直角三角形的斜边长为

c，较长直角边长为 b，较短直角边长

为 a，由勾股定理，得 c2=a2+b2

，∴c2-

b2

=a2

.阴影部分的面积=c2

-b2

-a（c-b）=

a2

-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形

重叠部分的宽=a-（c-b）=a+b-c，长=

a，则较小两个正方形重叠部分的面

积=a（a+b-c），∴ 知道题图中阴影部

分的面积，则一定能求出较小两个正

方形重叠部分的面积.

14. 3

创新应用/核心素养

15. D 提示：如图，设第一个直角三角

形的三条边长分别是 a，b，c．根据勾

股定理，得 a2

+b2

=c2

，即 S 正方形 A+S 正方形 B=

S 正方形 C=1．同理，S 正方形 D+S 正方形 E=S 正方形 A，

S 正方形 F+S 正方形 G=S 正方形 B，

∴S 正方形 A+S 正方形 B+S 正方形 C+S 正方形 D+

S 正方形 E+S 正方形 F+S 正方形 G=3S 正方形 C=

3，即“生长”了 2 次后，形成的图形中

所有的正方形的面积和是 3，∴“生长”

了 2 019 次后形成的图形中所有的

正方形的面积和是 2 019+1=2 020．

1 C

c

a b

B

G

F

A

E

D

第二课时 验证勾股定理及其计算

考点集训/夯实基础

1. D 提示：由 S△EDA+S△CDE+S△CEB=

S 四边形 ABCD，

可知 1

2 ab+ 1

2 c2

+ 1

2 ab= 1

2

（a+b）2

，

∴c2

+2ab=a2

+2ab+b2

，整理得 a2

+b2

=c2

，

∴ 证明中用到的面积相等关系是

S△EDA+S△CDE+S△CEB=S 四边形 ABCD．

2. D 提示：由题意可知：中间小正方形

的边长为 a-b，∵ 每一个直角三角形

的面积为： 1

2 ab= 1

2 ×8=4，∴S 大正方形=

4× 1

2 ab+（a-b）2

=25，∴（a-b）2

=25-

16=9，∴a-b=3.

3. C 提示：∵ 山坡 AB 的高 BC=5 m，

水平距离 AC=12 m，∴AB2

=BC2

+AC2

=

169，∴AB=13 m，∵ 每隔 0.65 m 栽一

棵树，∴13÷0.65=20，20+1=21（棵），即

从上到下共栽 21 棵．

4. 5 提示：如图，∠AOB=90°，OA=4 km，

OB=3 km，∴AB2

=AO2

+BO2

=25，

∴AB=5 km.

O A

B

东

北

5. 6 提示：设木杆断裂处离地面 x m，

由勾股定理得，x2

+82

=（16-x）2

，解得

x=6．即木杆断裂处离地面 6 m.

6. 10 提示：（14×14-2×2）÷8=24，

24×4+2×2=100，

∴ 正方形 EFGH 的边长为 10．

综合检测/巩固排查

7. A 提示：∵ 勾 a=6，弦 c=10，

∴ 股 b2

=102

-62

=64=82

，

∴b=8，∴ 小正方形的边长=8-6=2，

∴ 小正方形的面积=22

=4.

8. A 提示：设梯脚与墙脚距离为 x m，

根据题意，得 x2+2.42=2.52

，解得 x=

0.7，即梯脚与墙脚距离应为 0.7 m．

9. D 提示：A，B，C 都可以利用图形面

积得出 a，b，c 的关系，即可证明勾股

定理，故 A，B，C 选项不符合题意；

D.不能利用图形面积证明勾股定理，

故此选项符合题意．

10. A 提示：∵ 车宽 2.4 m，∴ 欲通过隧

道，只要比较距隧道中线 1.2 m 处的

高度与车高．在 Rt△OCD 中，OD=

1.2 m，OC=2 m，由勾股定理可得CD2

+

OD2=OC2

，即 CD2+1.22=22

，解得 CD=

1.6 m，CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1（m），

∴ 卡车的外形高必须低于 4.1 m．

11. 3 提示：设 AE 的长为 x，则 AC=AE+

CE=x+1，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌

△BFO，∴AF=AE=x，BF=BD=2，

∴AB=2+x，∵AC2

+BC2

=AB2

，

∴（x+1）2

+32

=（x+2）2

，∴x=3，

即 AE 的长为 3.

12. 9 提示：在 Rt△ABC 中，∵∠CAB=

90°，BC=17 m，AC=8 m，∴ AB2=BC2

-

AC2

=225=152

，∴AB=15 m，

由题意可知，CD=17-1×7=10（m），

∴AD2

=CD2

-AC2

=100-64=36=62

，

∴AD=6 m，

∴BD=AB-AD=15-6=9（m），

即船向岸边移动了 9 m.

13. 解：∵ 在Rt△AMN中，AM=50，MN=30，

∴AN2

=AM2

-MN2

=502

-302

=1 600=402

，

∴AN=40 m.

∵ 在 Rt△MNB 中，BM=34，MN=30，

∴BN2

=BM2

-MN2

=342

-302

=256=162

，

∴BN=16 m，

∴AB=AN+NB=40+16=56（m），

∴ 汽车从 A 到 B 的平均速度为 56÷

5=11.2（m/s），∵11.2 m/s=40.32 km/h＜

60 km/h，∴ 此车没有超速.

14. B

15. 5 提示：设杯子内木筷的长度为l1，

由题意可得，l1

2

=122

+92

=225=152

，

∴l1=15，则木筷露在杯子外面的长度为

20-15=5（cm）．

创新应用/核心素养

16. 101 提示：设 OA=OB=AD=BC=r，

如图，过 D 作 DE⊥AB 于点 E，

则 DE=10，OE= 1

2 CD=1，AE=r-1．

在 Rt△ADE 中，AE2

+DE2

=AD2

，

即（r-1）2

+102

=r

2

，解得 2r=101．故门的

宽度（两扇门的和）AB 为 101 寸．

E O A B

D C

1.2 一定是直角三角形吗

考点集训/夯实基础

1. B

2. A 提示：∵（a+b）（a-b）=c2

，∴a2

-b2

=

c2

，即 c2

+b2

=a2

，故此三角形是直角三

角形，a 为直角三角形的斜边，

∴∠A 为直角．

3. 直角 提示：由勾股定理得，AC2

=22

+

32

=13，AB2=62+42

=52，BC2

=82+12

=65，

∴AC2

+AB2

=BC2

，∴△ABC 是直角三角形．

4. ①③ 提示：①∵0.32

+0.42

=0.52

，

∴ 能作为直角三角形的三边长；

②∵82

+92

≠102

，∴ 不能作为直角三角

形的三边长；

③∵72

+242

=252

，∴ 能作为直角三角形

的三边长；

④∵ 1

44 (2

+ 1

45 52

≠ 1

43 52

，

∴ 不能作为直角三角形的三边长.

5. 解：这个零件符合要求，理由如下：

在题图上连接 AC．

∵∠ADC=90°，AD=6，CD=8，

∴AC2

=AD2

+CD2

=100，

∵AB=24，BC=26，

∴AC2

+AB2

=100+242

=676=262

=BC2

，

∴△ABC 是直角三角形，

∴∠BAC=90°，这个零件符合要求．

6. B

7. 20 提示：∵25＞15，∴ 当 25 最大时，

x2

=252

-152

=400，∴x=20；当 x 最大时，

x2

=252

+152

=850，此时 x 不是正整数，

此种情况不存在，∴x=20.

8. 解：∵k 是正整数，

∴3k，4k，5k 都是正整数，

∵（3k）2

+（4k）2

=（5k）2

，

∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；

∵a，b，c 是一组勾股数，且 k 是正整数，

∴ak，bk，ck 是三个正整数，且 a2

+b2

=c2

，

∵（ak）2+（bk）2=a2

k2

+b2

k2=（a2+b2

）k2=

c2

k2

=（ck）2

，∴ak，bk，ck（k 是正整数）

是一组勾股数．

9. D 提示：∵（a-b）（a2

-b2

-c2

）=0，

∴a-b=0 或 a2

-b2

-c2

=0，

∴a=b 或 a2

=b2

+c2

，

∴△ABC 的形状为等腰三角形或直

角三角形．

综合检测/巩固排查

10. C 11. A 12. 41

13. 解：（1）∠D 是直角．

理由：在题图上连接 AC，∵∠B=90°，

AB=20，BC=15，

∴AC2

=AB2

+BC2

=400+225=625，

∵AD=24，CD=7，

∴AD2

+CD2

=242

+72

=625，

∴AC2

=AD2

+CD2

，∴△ADC 是直角三角

形，且∠D 是直角；

（2）∵S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ADC，

∴S 四边 形 ABCD= 1

2 AB·BC+ 1

2 AD·CD=

1

2 ×20×15+ 1

2 ×24×7=234.

14.（1）解：答案不唯一，如：（6，8，10），

（9，12，15）；

（2）证明：∵x=2n，y=n2

-1，z=n2

+1，

∴x2

+y2

=（2n）2

+（n2

-1）2

=4n2

+n4

-2n2

+1=

n4

+2n2

+1=（n2

+1）2

=z2

，

∴x，y，z 为勾股数.

15. B 提示：如图所示，由题意可知，

AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，

∵42 +32 =52

，∴AC2 +BC2 =AB2

，∴ △ABC

是直角三角形，且∠ACB=90°.

B M N A

C

16. 45 提示：如图，延长 AP 交格点于

D，连接 BD，则由勾股定理知，PD2=

BD2 =12 +22 =5，PB2 =12 +32 =10，∴PD2 +

DB2

=PB2

，∴∠PDB=90°，且 PD=DB，

∴∠DPB=45°.

∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.

B

P

A

D

17. 证明：∵ a

a-b+c =

1

2

（ａ＋ｂ＋ｃ）

c，

∴ac= 1

2 （a+b+c）（a-b+c）= 1

2 ［（a2+

2ac+c2

）-b2

］，∴2ac=a2

+2ac+c2

-b2

，

∴a2

+c2

=b2

，∴△ABC 是直角三角形.

创新应用/核心素养

18. 解：（1）180 １８１ 提示：观察得给

出的勾股数中，第三个数与第二个数

的差是 1，即 c-b=1，∴c=b+1，

∵a=19，a2

+b2

=c2

，

∴192

+b2

=（b+1）2

，∴b=180，∴c=181；

（2）通过观察知 c-b=1，

∵（2n+1）2

+b2

=c2

，∴c2

-b2

=（2n+1）2

，

（b+c）（c-b）=（2n+1）2

，

∴b+c=（2n+1）2

，又 ∵c=b+1，

∴2b+1=（2n+1）2

，

∴b=2n2

+2n，c=2n2

+2n+1；

（3）由（2）知，2n+1，2n2

+2n，2n2

+2n+1

为一组勾股数，

当 2n+1=15 时，n=7，112-111=1，

但 2n2

+2n=112≠111，

∴15，111，112 不是一组勾股数．

1.3 勾股定理的应用

考点集训/夯实基础

1. C 提示：如图所示，将正方体的右侧

面展开，一只蚂蚁从 A 点出发，沿着

161 162

全优课堂·数学·八年级上册（BSD）·答案全解

正方体的侧面爬行，经过 PB 上一点，

爬行到 C 点，若此蚂蚁所爬行的路线

最短，那么 P，Q，R，S 四个点中，它最

有可能经过的点是 R 点．

C

B

A P

Q

R

S

D C′

2. 13 提示：将三棱柱沿 AA′展开，其

展开图如图，则 AA′

2

=52

+（３×４）2

=169=

132

，∴AA′=13，即这圈金属丝的长度至

少为 13 cm．

A

A′

3. 解：如图，三级台阶平面展开图为长

方形，长为 20 dm，宽为（2 +3）×3 =

15（dm），则蚂蚁沿台阶面爬行到点

B，最短路程是此长方形的对角线长．

设蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 最短路

程为 x dm，由勾股定理得 x2

=202

+152

，

解得 x=25，∴ 蚂蚁沿着台阶面爬行到

点 B 的最短路程为 25 dm.

A

B

3

2

3

2

3

2

20

4. D 5. A

6. 2.5 提示：如图，AC2

=AB2

+BC2

=22

+

1.52

，即 AC=2.5 m，即能通过门框的

木板最大的长度为 2.5 m.

2 m

1.5 m

A

B C

D

7. 20 cm 提示：如图 1，

A M B

E F

N

H G

图 1

∵AB =18 cm，BC =GF =12 cm，BF =

10 cm，AM=6 cm，点 N 是 FG 的中点，

∴BM=18-6=12（cm），FN= 1

2 GF=6 cm，

∴BN=10+6=16（cm），

∴MN2

=122

+162

=400=202

，∴MN=20 cm；

如图 2，∵AB=18 cm，BC=GF=12 cm，

BF =10 cm，∴PM =18 -6 +6 =18（cm），

NP=10 cm，∴MN2

=182

+102

＝424，

∵400＜424，∴ 蚂蚁沿长方体表面爬到

点 N 处的最短距离为 20 cm．

图 2

G

A M B P C

E F N

综合检测/巩固排查

8. A 9. B 10. A

11. 20 提示：把圆柱侧面展开，展开图

如图所示．在 Rt△ABC 中，∠ABC=

90°，AB=6，BC 为底面周长的一半，即

BC= 16

π ×π× 1

2 =8，所以 AC2=BC2+

AB2

=82

+62

=100，即 AC=10，∴ 从 C 点

爬到 A 点，然后再沿另一面爬回 C

点，小虫爬行的最短路程为 2AC=20.

C B C′

A

12. 解：（1）根据题意可得 OA=15，ABOB=5，

由勾股定理得 OA2

+OB2

=AB2

，即 152

+

OB2

=（5+OB）2

，解得 OB=20.

即这个云梯的底端离墙 20 m 远；

（2）由（1）可得：AB=20+5=25，

根据题意可得：CO=15-8=7，CD=AB=

25，由勾股定理得 OC2

+OD2

=CD2

，

即 OD2

＝CD2

-OC2

＝252

-72

＝576，

∴OD=24，∴BD=OD-OB=24-20=4.即

梯子的底部在水平方向滑动了 4 m.

13. x2

+32

=（10-x）2

创新应用/核心素养

14. 30π 提示：圆柱体的展开图如图所

示，最短路线是 AC→CD→DB，即在

圆柱体的展开图长方形中，将长方形

平均分成 3 个小长方形，A 沿着 3 个

长方形的对角线运动到 B 的路线最

短.∵ 圆柱底面半径为 4，∴ 大长方形

的宽为 2π×4=8π，∵ 圆柱高为 18π，

∴小长方形的宽是 18π÷3=6π，根据

勾股定理得 AC2 =CD2 =DB2 =（６π）2 +

（８π）2 =100π2

，∴AC =10π，∴AC +CD +

DB=30π．

B

D

C

A 8π

6π 10π

10π 6π

6π 10π

专题集训 勾股定理——图形

展开与折叠中的应用

1. B 提示：由折叠可知，AB=CD=C′D，

∠A=∠C=∠C′=90°，

又 ∵∠AEB=∠C′ED，

∴△ABE≌△C′DE（AAS），∴BE=DE，

设 BE=DE=x，则 AE=AD-DE=12-x，

在 Rt△ABE 中，AB=6，根据勾股定理

得，AB2

+AE2

=BE2

，即 62

+（12-x）2

=x2

，

解得 x= 15

2 ，∴S△BED= 1

2 ×DE×AB= 1

2 ×

15

2 ×6=22.5.

2. 解：∵∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，

∴BC2

=AB2

-AC2

=52

-32

=16，∴BC=4 cm，

由折叠的性质得：AD=AC=3 cm，

∠ADE=∠C=90°，DE=CE，

∴∠BDE=90°，BD=AB-AD=2 cm，

设 CE=x，则 DE=x，BE=4-x，

在 Rt△BDE 中，

由勾股定理得：22

+x2

=（4-x）2

，

解得 x= 3

2 ，∴CE= 3

2 cm.

３.（1）证明：由折叠的性质，得∠BEF =

∠DEF，

∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，

∴∠BFE=∠BEF，∴BE=BF；

（2）解：如图，设 AE=x，则 BE=DE=8-x，

在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 x2

+

42

=（8-x）2

，解得 x=3，∴BE=BF=5.

作 EG⊥BF 于点 G，则 EG=4，BG=AE=

3.∴FG=５－３＝2，∴EF2

＝EＧ2

＋ＦＧ2

=16+4=

20，△BEF 的面积= 1

2 ×BF×EG= 1

2 ×

5×4=10．

E A

B C

D

F

C′

G

4. 解：（1）在 Rt△ABC 中，AC2=AB2+

BC2

=100，∴AC=10；

（2）根据题意得 AF=AD=BC=8，DE=

EF，CF=AC-AF=10-8=2．设 DE=x，则

CE=CD-DE=6-x，EF=DE=x．

在 Rt△CEF 中，EF2

+CF2

=CE2

，即 x2

+

4=（6-x）2

，解得 x= 8

3 ，∴DE= 8

3 .

5. 解：（1）证明：由折叠可知，∠MDA=

∠A，∠NDB=∠B，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

∴∠MDA+∠NDB=90°，

∴∠MDN=90°；

（2）由（1）知∠MDN=90°．

题图上，连接 MN，设 DN=BN=x，则

CN=8-x，

∵AM=MD=2，∴MC=6-2=4，

在 Rt△MDN 和 Rt△CMN 中，

根据勾股定理，得 CM2

+CN2

=MN2

，

DM2

+DN2

=MN2

．

∴42

+（8-x）2

=22

+x2

，解得 x= 19

4 ，

即 DN= 19

4 ．

6. 解：（1）3 提示：如图 1，在 Rt△ABC

中，AB2

=AC2

+CB2

=100，∴AB=10 cm．

由折叠的性质，可知 DC′⊥AB，DC′=

DC．∵S△ACD+S△ADB=S△ABC，

∴ 1

2 AC·CD+ 1

2 AB·C′D＝ 1

2 AC·CB，

即 1

2 ×6×CD+ 1

2 ×10×C′D＝ 1

2 ×6×8．

又 ∵CD=C′D，∴3CD+5CD=24，

∴CD=3 cm；

A

B C D

图 １

C′

（2）AM2

+BN2

=MN2

．

证明：如图 2，过点 B 作 BP∥AC 交

MH 的延长线于点 P，连接 NP．

∵BP∥AC，∴∠A=∠PBH，

∵ 点 H 是 AB 的中点，∴AH=BH.

在△AMH 和△BPH 中，

∠A＝∠PBH，

AH＝BH， P∠AHM＝∠BHP，

∴△AMH≌△BPH（ASA）．

∴AM=BP，MH=PH．由折叠的性质可

知，∠MHN=∠C=90°，∴NH⊥MP，

又 ∵NH=NH，

∴Rt△NHM≌Rt△NHP（HL），

∴MN=NP，∵BP∥AC，∠C=90°，

∴∠NBP=90°，

∴BP2

+BN2

=NP2

，∴AM2

+BN2

=MN2

．

H

A

B C N

M

图 ２

P

7. 10 提示：将正方体木箱的上面展开，

如图所示，则 PQ 的长度就是蚂蚁爬

行的最短路程.∵PB=AB=6，AQ=2，

∴BQ=6+2=8，在 Rt△PBQ 中，PQ2=

PB2

+BQ2

＝62

+82

=100，∴PQ=10，即蚂蚁

爬行的最短路程是 10．

P B

A

Q

8. 13

9. 2.6 提示：由题意可知，如图，将木

块展开，长相当于 AB+2 个正方形的

边长，

∴ 长为 2+0.2×2=2.4（m），宽为 1 m．

∴AC2

=2.42

+12

=6.76，即 AC=2.6 m，

因此，最短路程为 2.6 m．

N A B

D C

E

M F

10. 解：如图，沿圆柱侧面展开成长方形

MNQP，过点 B 作 BC⊥MN 于点 C，连

接 AB，则线段 AB 的长度即为最短

距离．在 Rt△ACB 中，AC=MN-ANCM=19-1.5-1.5=16（cm），BC 是上底

面周长的一半，即 BC=30 cm．由勾股定

理，得 AB2

=AC2

+BC2

=162

+302

=1 156=

342

，∴AB=34 cm．故蜘蛛爬行的最短

路线的长度为 34 cm.

N Q

A

M P

C B

第二章 实 数

2.1 认识无理数

考点集训/夯实基础

1. D

2. 不是 提示：设长方形的对角线长为

x，根据勾股定理得 x2

=102

+52

=125，x

既不是整数也不是分数，所以 x 不是

有理数.

3. AB 提示：根据勾股定理得 AB2

=22

+

12

=5，所以 AB 不是长度是有理数的

线段；CD2=32+42=25，即 CD=5，所以

CD 是长度是有理数的线段.

4. C 提示：∵4＜5＜9，x2

=5（x＞0），∴2＜x＜3.

5. B 提示：∵a2

＜11＜b2

，且 a，b 为两个

连续的正整数，

又 ∵32

＜11＜42

，∴a=3，b=4，∴a+b=7．

6.（1）不是 （2）3 （3）3.2

提示：（1）由圆的面积公式可得 πx2

=

10π，∴x2

=10.

∵ 没有一个整数或分数的平方等于

10，∴x 既不是整数也不是分数，∴x 不

是有理数；

（2）由（1）知 x2

=10.

∵32

=9＜10，42

=16＞10，∴3＜x＜4.

∴x 的整数部分是 3；

（3）∵3.12 =9.61 ＜10，3.22 =10.24 ＞10，

∴3.1＜x＜3.2.又 ∵3.162

=9.985 6＜10，

3.172

=10.048 9＞10，∴3.16＜x＜3.17，

∴ 将 x 精确到 0.1 是 3.2.

7. B

8. 解：有理数集合中填入：- 11

12 ，3，

3.256 256，0，-0.4，0.12５

·；

无理数集合中填入：

π

4 ，0.232 232 223…（相邻两个 3 之

间依次多一个 2）.

9. A

综合检测/巩固排查

10. D 11. B 12. B 13. C

14. π（答案不唯一）

15. 解：有理数：- 223

59 ，3.2５

·，0.57，

-212.202 020…（相邻两个 2 之间有

一个 0）；

无理数： 3π

4 ，

52.123 456 789 101 112 13…，

6.010 100 100 01…（相邻两个 1 之

间依次多一个 0）.

16. D

17. C 提示：由勾股定理得，OB2

=OA2

+

AB2

=22

+32

=13，∵9＜13＜16，∴3＜OB＜4，

∵ 点 P 在数轴正半轴上，∴ 点 P 所表

示的数在 3 和 4 之间．

创新应用/核心素养

18. 解：（1）x 不是有理数.

理由：∵x2

=2，没有一个整数或分数的

平方等于 2，∴x 既不是整数也不是分

数，∴x 不是有理数；

163 164

（2）∵1.42

=1.96＜2，1.52

=2.25＞2，∴1.4＜

x＜1.5.又 ∵1.412

=1.988 1＜2，1.422

=

2.016 4 ＞2，∴1.41 ＜x ＜1.42，∴ 将 x 精

确到 0.1 是 1.4.

2.2 平 方 根

第一课时 算术平方根

考点集训/夯实基础

1. C ２. Ａ 3. C

4. B 提示：∵ 一个正数的平方等于 4，

∴ 这个正数是 2，2 的算术平方根是

姨2 .

5. 4 6. 11

7. x2 姨 +1 提示：∵ 一个自然数的算术

平方根是 x，∴ 这个自然数是 x2

，

∴ 相邻的下一个自然数为：x2

+1，x2

+1

的算术平方根是 x2 姨 +1 .

8. 解：（1）因为 2

\"7 #2

= 4

49 ，所以 4

49 的

算术平方根是 2

7 ，即 4

姨 49 = 2

7 ；

（2）因为（7-3

）2

=（-7）-6

，所以（-7）-6 的

算术平方根是 7-3

，即姨（-7）-6 =7-3

.

9. 解：（1）姨1.44 =1.2；

（2）-姨225 =-15.

10. 解：小龙房间地面的面积为 100×

50×50=250 000（cm2

），因为小龙的房

间地面是正方形，所以该地面正方形

的边长为姨250 000 cm=500 cm=5 m.

11. B 提示：姨25 =5，5 的算术平方根

是姨5 .

综合检测/巩固排查

12. C 13. Ｄ

14. Ｂ 提示：０.４９ 的算术平方根为 ０.７，

则 ０.４９ 的算术平方根的相反数为－０.７．

15. B 提示：因为正方体有 6 个面，设其

棱长为 a，则 S=6a2

，可得 6a2

=12，a2

=

2，∵2 的算术平方根为姨2 ，

则 a=姨2 dm.

16. C 提示：根据题意可知 a+1=0，b1=0，解得 a=-1，b=1，所以（ab）2 021=

（-1）2 021

=-1.

17. Ｂ 18. 16 19. ３ 20. 姨13

21. 解：（1）姨0.81 =0.9；

（2）- 25

姨 16 =- 5

4 .

22. 解：（1）因为 142

=196，所以 196 的算

术平方根是 14，即姨196 =14；

（2）（-8）2

=64，因为 82

=64，所以（-8）2

的算术平方根是 8，即姨（-8）2 =8.

23. 解：∵2a+1 的算术平方根是 0，

∴2a+1=02

=0，解得 a=- 1

2 .

∵b-a 的算术平方根是 1

2 ，

∴b-a= 1

\"2 22

= 1

4 ，即 b+ 1

2 = 1

4 ，

解得 b =- 1

4 ，∴ 1

2 ab = 1

2 × - 1 22 2×

- 1 \"4 2＝ 1

16 ， 1

16 的算术平方根是 1

4 ，

即 1

2 ab 的算术平方根是 1

4 .

24. 解：（1）将 d=8 代入公式 t

2

＝ d2

900 ，得

t

2

= 16

225 ，所以 t= 4

15 ，即这场雷雨大

约能持续 4

15 h；

（2）根据 t

2

＝ d2

900 得 d2

=900t

2

，将 t=2代

入 d2

=900t

2

，得 d2

=3 600，所以 d=60，

即这场雷雨区域的直径大约是 60 km.

25. B 26. B 27． A 28. 2 29. 姨3

创新应用/核心素养

30. 111 111 111

第二课时 平 方 根

考点集训/夯实基础

1. D 2. D

3. C 提示：∵x2

=4，∴x 是 4 的平方根，4

的平方根是±2，∴x=-2 或 2.

4. -3 9 提示：∵3 是 m 的一个平方

根，∴m 的另一个平方根是-3，m=32

=9.

5. A 提示：当 a= 1

2 时，1-2a=0，0 的平

方根是 0，故 a 可以取 1

2 ；当 a=1，2，

π 时，1-2a＜0，没有平方根，故 a 不可

以取 1，2，π.

6. C 提示：∵ 一个正数的平方根为2x+1

和 x-7，∴2x+1+x-7=0，解得 x=2，∴2x+

1=5，（2x+1）2

=52

=25，即这个正数为25.

7. ±姨10 正、负根号 １０ ２ （正）２

8. 平方根 负的平方根 正的平方根

（或算术平方根）

9. B 提示：- 姨9 的意义是 9 的负的

平方根，∵（-3）2

=9，∴-姨9 =-3.

10. B 提示：正确的是①④.

11. 解：（1）因为 2.22

=4.84，所以这个正

数是 2.2；

（2）因为 - 12 \"13 22

= 144

169 ，所以这个负

数是- 12

13 ；

（3）因为（±0.05）2

=0.002 5，所以这个

数是 0.05 或-0.05.

12. 7 7 13. A

14. B 提示：∵ a 姨 2 = a =3，∴a=±3.

15. 解：（1）姨（-5）2 =5；

（2）（姨13 ）2

=13；

（3）姨（3-π）2 =π-3；

（4） - x \"姨 9 22

= x

9 .

16. C 提示：A.-4 没有算术平方根，2

是 4 的算术平方根，故错误；B.4 是 16

的算术平方根，故错误；C.-6 是（-6）2

的一个平方根，故正确；D.1 的平方根

是±1，故错误.

综合检测/巩固排查

17. B 18. Ｃ

19. Ｄ 提示：∵姨ａ ＝３，姨ｂ ＝２，∴ａ＝９，

ｂ＝４，∴ａｂ＝９×４＝３６，

∵（±６）２

＝３６，∴ａｂ 的平方根为±６．

20. C 提示：∵（x-1）2

=4 成立，

∴x-1=±2，解得 x=3 或 x=-1．

21. Ａ 提示：因为 姨０.０９ ＝０.３，所以①

错误；因为 １ ７

姨 ９ ＝ １６

姨 ９ ＝ ４

３ ，所以

②错误；因为-32

=-9，负数没有平方

根，所以③错误；因为姨（－５）２ ＝姨２５ ＝

５，所以姨（－５）２ 的算术平方根是姨５ ，

所以④错误；因为 １ １３

３６ = 49

３６ ， ± ７ \"６ 2２

＝

４９

３６ ，所以± ７

６ 是 １ １３

３６ 的平方根，所以

⑤正确，只有 １ 个正确.

22. D 23. C

24. B 提示：∵姨a-3 + b-4 ＝0，

∴a-3=0，b-4=0，∴a=3，b=4，

∴ a

b = 3

4 ， 3

4 的平方根± 3

姨 4 .

25. B 提示：∵a2

=4，b2

=9，

∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，

∴a=2，b=-3 或 a=-2，b=3，

∴a-b=2-（-3）=5 或 a-b=-2-3=-5．

26. ±3 27. ± 3

2

28. ６２５ 提示：因为姨ａ 的平方根为±５，

所以姨ａ ＝（±５）２

＝２５，所以 ａ＝２５２

＝６２５.

29. ３ 提示：∵ 一个正数的两个平方根

分别是 ２ａ－３ 和 ａ－６，∴２ａ－３＋ａ－６＝０，

整理得 ３ａ＝９，解得 ａ＝３．

30. 1 提示：∵x2

=4，y2

=9，∴x=±2，y=±3，

又 ∵x＜0，y＞0，∴x=-2，y=3，∴x+y=-2+

3=1．

31. 0 提示：因为 m 和 n 是同一个数的

平方根，且 m≠n，所以 m=-n，即 m+

n=0，所以（m+n）2 020

=0.

32. ±3 提示：∵姨x-1 + y+2 =0，

∴x-1=0，y+2=0，∴x=1，y=-2，

∴x2

-4y=1+8=9，9 的平方根为±3.

33. 解：（1）∵（±１8）２

＝324，

∴324 的平方根是±18；

（2） －1 15

49 ＝ 64

49 ，∵ ± 8 27 2２

＝ 64

49 ，

∴ －1 15

49 的平方根是± 8

7 ；

（3）（－５）２

＝２５，∵（±５）２

＝２５，

∴（－５）２ 的平方根是±５；

（4）∵（±104

）2

=108

，

∴108 的平方根是±104

.

34. 解：（1）姨（-8）2 = -8 =8；

（2）（姨8 ）2

=8；

（3）１２ １

４ ＝ ４９

４ ，因为 ± ７ 2２ 2２

＝ ４９

４ ，

所以 ± １２ １

姨 ４ ＝± ７

２ ；

（4）（－０.１）２

＝０.０１，因为 ０.１２

＝０.０１，所

以 －姨（－０.１）２ ＝－０.１.

35. 解：当 x=50，y=48 时，姨（x+y）（x-y）=

姨（50+48）×（50-48）=姨196 = 14 姨 2 =

14.

36. 解：（1）因为 x2

=16，所以 x=±姨16 =

±4；

（2）因为 9x2

=25，所以 x2= 25

9 ，所以

x=± 25

姨 9 =± 5

3 .

37. 解：（1）∵m+3 和 2m-15 是同一个正

数的平方根，∴ 这两个数互为相反数．

∴（m+3）+（2m-15）=0，解得 m=4．

∴ 这个正数是（m+3）2

=49；

（2）姨m+5 =姨9 =3，3 的平方根是

±姨3 .

38. 解：∵姨25 =x，姨y =2，z 是 9 的算

术平方根，∴x=5，y=22

=4，z=姨9 =3，

∴2x+y-z=2×5+4-3=11，11 的平方根

是±姨11 ．

39. 解：（1）∵ a =6，b2

=16，

∴a=±6，b=±4.

①当 a=6，b=4 时，a+b=10， 其平方根

是± 姨10 ；②当 a=6，b=-4 时，a+b=

2，其平方根是± 姨2 ；③当 a =-6，

b =4 时，a+b=-2，没有平方根；④当

a=-6，b=-4 时，a+b=-10，没有平方根；

（2）由数轴可得 a＜0＜b，∴a-b＜0，

∴ a 姨 2 - b 姨 2 +姨（a-b）2 = a - b +

a-b =-a-b+b-a=-2a．

40. B

41. D 提示：∵8xmy 与 6x3

yn 的和是单项

式，∴m=3，n=1，∴（m+n）3

=（3+1）3

=64，64

的平方根为±8．

42. C 提示：∵ 方程（x-5）2

=19 的两根

分别为 a 和 b，∴a-5 和 b-5 是 19 的

两个平方根，且互为相反数，

∵a＞b，∴a-5 是 19 的算术平方根.

43. 2 提示：∵ 一个正数的平方根分别

是 x+1 和 x-5，∴x+1+x-5=0，解得 x=2.

创新应用/核心素养

44. 解：（1）0.1 10；

（2）规律：被开方数的小数点向左或

向右每移动 2 位，开方后所得的正的

（算术）平方根相应地也向左或向右

移动 1 位；

（3）①17.32 0.173 2； ②560．

2.3 立 方 根

考点集训/夯实基础

1. C 提示：姨64 =8，8 的立方根是 2.

2. D 提示：A.如果一个数的立方根是

这个数本身，那么这个数可能是 0 或

1 或-1，故错误；B.一个数的立方根可

能是正数、负数或 0，故错误；C.负数

有立方根，故错误.

3. - 1

64 4. 0

5. 8 提示：∵ 一个数的立方根是 4，

∴ 这个数是 43

=64，姨64 =8.

6. Ｂ 提示:已知 ａ 的平方根是±８，则 ａ＝

６４， 64 3

姨 ＝４.

7. 解：（1）∵（-0.5）3

=-0.125，

∴-0.125 的立方根是-0.5；

（2）∵ 3

25 23

= 27

125 ，

∴ 27

125 的立方根是 3

5 ；

（3）0 的立方根是 0；

（4）4 17

27 = 125

27 ，∵ 5

23 23

= 125

27 ，

∴4 17

27 的立方根是 5

3 .

8. C 提示： 83 3

姨 =8，8 的立方根是 2.

9. C 提示：∵x2

=（-5）2

，（ y 3

姨 ）3

=-5，

∴x=±5，y=-5，

∴x+y=5-5=0 或 x+y=-5-5=-10.

10. 解：（1）（ 0.001 3

姨 ）3

=0.001；

（2）（ -136 3

姨 ）3

=-136；

（3） -2 10

27

3

姨 = - 64

27

3

姨 ，

因为 - 4 23 23

=- 64

27 ，

所以 - 64

27

3

姨 =- 4

3 ，即 -2 10

27

3

姨 =－ 4

3 ；

（4）因为（-100）3

=-106

，所以 -106 3

姨 =

-100.

11. C

综合检测/巩固排查

12. Ｂ 提示:∵ ｘ 3

姨 ＋ y 3

姨 ＝０，

∴ ｘ 3

姨 ＝－ y 3

姨 ，

∴ｘ＝－ｙ，即 ｘ，ｙ 互为相反数.

13. A

14. B 提示：∵a2

=16， -b 3

姨 =-2，

∴a=±姨16 =±4，-b=（-2）3

=-8，∴b=8，

∴a+b=4+8=12 或 a+b=-4+8=4．

15. －０.００８

16. －２ 或－６ 提示:－６４ 的立方根是－４，

姨16 ＝４，４ 的平方根是±２，－４＋２＝－２，

－４＋（－２）＝－６，∴－６４ 的立方根与姨16

的平方根之和是－２ 或－６.

17. ２∶３ 提示:∵ ３ａ-１ 3

姨 与 １-２ｂ 3

姨 互

为相反数，∴（３ａ－１）＋（１－２ｂ）＝０，∴３ａ＝

２ｂ，∴ａ∶ｂ＝２∶３.

18. 解：（1） （-6）3 3

姨 =-6；

（2） 0.729 3

姨 =0.9；

（3） ±125 3

姨 =±5；

（4） -3 3

8

3

姨 = - 27

8

3

姨 =- 3

2 .

19. 解：（1） -2 93

125

３

姨 = - 343

125

３

姨 =- 7

5 ；

（2）- - 1

512

３

姨 =- - 1 28 2= 1

8 ；

（3） 27×106 ３

姨 = 27 000 000 ３

姨 =300；

（4）（ 8 ３

姨 ）2

=22

=4.

20. 解：（1）∵2x+10 的立方根是 3，2x+y+

1 的算术平方根是 5，

∴2x+10=33

=27，2x+y+1=52

=25，

∴2x=17，y=7，

∴2x-3y+18=17-3×7+18=14，14 的立

方根为 14 3

姨 ，即 2x-3y+18 的立方根

为 14 3

姨 ；

（2）∵ 姨2a+b 与 姨c-b 的值互为相

反数， 1-3b 3

姨 与 b+1 3

姨 的值互为相

反数，∴2a+b=0，c-b=0，1-3b+b+1=0，

解得 a=- 1

2 ，b=1，c=1.

21. 解：设截去的每个小正方体的棱长

是 x cm，

根据题意，得 1 000-8x3

=488，

∴8x3

=512，∴x= 512

8

3

姨 =4，即截去的

每个小正方体的棱长是 4 cm．

22. A 23. D

创新应用/核心素养

24. 解：（1）0.01 0.1 1 10 100；

165 166

（2）一个数的小数点每向右（或向左）

移动三位，则这个数的立方根的小数

点就向右（或向左）移动一位；

（3）由 12 3

姨 =b 得 m= 0.012 3

姨 =0.1b，

n= 12 000 3

姨 =10b.

专题集训一 平方根和立方根

1. C 2. A 3. B

4. D 提示：∵姨x+y-1 +（y+2）2

=0，∴x+

y-1=0，y+2=0，∴x=3，y=-2，∴x-y=3+

2=5.

5. 144 提示：∵ 一个正数 a 的平方根

是 5x+18 与 6-x，∴5x+18+6-x=0，解

得 x=-6，∴a=［6-（-6）］2

=144．

6. 解：（1）因为 52

=25=（-5）2

，所以姨（-5）2 =

5，则-姨（-5）2 =-5；（2）因为（-4）3

=

-64 =-26

，所以 -26 3

姨 =-4；（3）因为

5

22 #3

= 125

8 ，所以- 125

8

3

姨 =- 5

2 ；

（4）因为（-0.04）3

=-0.000 064，所以

- -0.000 064 3

姨 =-（-0.04）=0.04.

7. 解：（1）（2x-1）2

=25，∴2x-1=±5，

∴x1=3，x2=-2；

（2）3（x-4）3

=-375，

∴（x-4）3

=-125，∴x-4=-5，∴x=-1．

8. 解：∵ 有理数 a+b 的平方根是±4，有

理数 1

3 a 的立方根是-2，∴a+b=（±4）2

=

16， 1

3 a=（-2）3

=-8，∴a=-24，b=40，

∴- 1

6 a+ 3

2 b=- 1

6 ×（-24）+ 3

2 ×40=

64，64 的立方根是 4.

9. 解：（1）∵4 是 3a-2 的算术平方根，

∴3a-2=16，∴a=6，

∵2-15a-b 的立方根是-5，

∴2-15a-b=-125，即 2-15×6-b=-125，

∴b=37；

（2）2b-a-4=2×37-6-4=64，64 的平方

根为±8，∴2b-a-4 的平方根为±8.

10. 解：小伟所糊盒子的棱长为 96

姨 6 =

4（cm），体积为 43

=64（cm3

）．

∴ 小宇所糊盒子的体积为 64+279=

343（cm3

），棱长为 343 3

姨 =7（cm），表

面积为 6×72

=294（cm2

）.

2.4 估 算

考点集训/夯实基础

1. C 提示：∵25＜29＜36，∴5＜姨29 ＜6.

2. B 提示：正方形的边长为姨15 ，

∵9＜15＜16，∴3＜姨15 ＜4，即正方形的

边长大小在 3 与 4 之间.

3. C

4. B 提示：∵49＜55＜64，∴7＜ 姨55 ＜8，

∴ 这个物体的高度在 7 cm 到 8 cm

之间，可能是粉笔盒.

5. 5 提示：∵8 ＜17 ＜27，∴2 ＜ 17 3

姨 ＜3，

∴-3＜- 17 3

姨 ＜-2，同理可得 2＜ 10 3

姨

＜3，∴ 大于- 17 3

姨 且小于 10 3

姨 的整

数有-2，-1，0，1，2，共 5 个.

6. 解 ：（1）∵123 =1 728 ＜2 000 ＜2 197 =

133

，∴12 ＜ 2 000 3

姨 ＜13，又 ∵12.53 =

1 953.125，12.63

=2 000.376，

1 953.125＜2 000＜2 000.376，

∴12.5＜ 2 000 3

姨 ＜12.6，

∴ 2 000 3

姨 ≈13；

（2）∵9 ＜12.5 ＜16，∴3 ＜ 姨12.5 ＜4， 又

∵3.52=12.25＜12.5＜12.96=3.62

，∴3.5＜

姨12.5 ＜3.6，

又 ∵3.532=12.460 9＜12.5＜12.531 6=

3.542

，∴3.53＜姨12.5 ＜3.54，

∴姨12.5 ≈3.5.

7. D 8. C

9. 解：（1）∵13.5＞12.25=3.52

，

∴姨13.5 ＞3.5；

（2）∵ 姨13 ＜4，∴ 姨13 -3 ＜4 -3， 即

姨13 -3＜1，∴ 姨13 -3

8 ＜ 1

8 .

10. 解：因为 9＜14＜16，所以 3＜姨14 ＜4，

因为 26＜27，所以 26 3

姨 ＜ 27 3

姨 ，即

26 3

姨 ＜3，所以姨14 ＞ 26 3

姨 .

综合检测/巩固排查

11. C 12. B 13. D 14. D

15. A 提示：∵2＜姨5 ＜3，∴4＜2+姨5 ＜

5，∴a=4，b=2+姨5 -4=姨5 -2．

16.（1）50.4 （2）4

17.（1）＜ （2）＞ （3）＜

提示：（1）∵35＜36，∴姨35 ＜6；

（2）∵25＜27，∴-25＞-27，∴ -25 3

姨 ＞-3；

（3）∵姨3 ＜姨4 =2，∴姨3 -1＜1，

∴ 姨3 -1

3 ＜ 1

3 .

18. 9 提示：∵25＜28＜36，∴5＜姨28 ＜6，

∴ 姨28 的 整 数 部 分 a =5；∵64 ＜99 ＜

125，∴4＜ 99 3

姨 ＜5，∴ 99 3

姨 的整数部

分 b=4，∴a+b=5+4=9.

19. -1，0，1 提示：∵1＜姨2 ＜2，1＜姨3

＜2，∴-2＜- 姨2 ＜-1，∴ 满足- 姨2 ＜

x＜姨3 的整数 x 有-1，0，1．

20. 解：设长方形的长 DC=x cm，

则宽 AD= 2

3 x cm．

由题意，得 x·2

3 x=300，即 x2

=450，

∵x＞0，∴x＝姨450 ，∴DC=姨450 cm，

∵ 圆的面积为 147 cm2

，设圆的半径

为 r cm，

则 πr

2

=147，解得 r=7，

∴ 两个圆的直径总长为 7×4=28（cm）．

∵450＜784，∴姨450 ＜28，

∴ 不能并排裁出两个面积均为 147 cm2

的圆．

21. 解：（1）因为 289＜305＜324，而 172=

289，182

=324，所以 17＜姨305 ＜18，因

为302.76＜305＜306.25，而17.42

=302.76，

17.52

=306.25，所以 17.4＜姨305 ＜17.5，

又因为 17.462=304.851 6，17.472=

305.200 9，所以 17.46＜姨305 ＜17.47，

所以姨305 ≈17.5；

（2）因为 3 375＜3 840＜4 096，而 153

=

3 375，163

=4 096，所以 15＜ 3 840 3

姨

＜16.又因为 15.63

=3 796.416，15.73=

3 869.893，所以 15.6＜ 3 840 3

姨 ＜15.7，

所以 3 840 3

姨 ≈16.

22. B 提示：∵9＜15＜16，∴3＜姨15 ＜4.

23. 3 提示：∵4＜6＜9，∴2＜姨6 ＜3，∴1＜

姨6 -1＜2，∴x=1，y=2，∴x+y=3.

24. ＞ 提示：∵32

=9，9＞5，∴3＞姨5 .

创新应用/核心素养

25. 解：n，理由： n2 姨 +n ＞ n 姨 2 且 n2 姨 +n

＜姨（n+1）2 ，即 n＜ n2 姨 +n ＜n+1，所以

n2 姨 +n 的整数部分为 n.

2.5 用计算器开方

综合检测/巩固排查

1. A 提示：用计算器求得 123.456 3

姨 ≈

4.979.

2. B 提示：在计算器上依次按键转化

的算式是 姨16 -7=，计算可得结果

为-3．

3. D

4. 0.464 提示：姨13 -3.142≈0.464.

5. < 提示：由计算器算出 11 3

姨 ≈2.224，

姨5 ≈2.236，则可知 11 3

姨 ＜姨5 ．

6. 解：（1）- 3 3

姨 ≈-1.442；

（2） 7 姨 3 ≈18.520；

（3） 4

99 &2 3

姨 ≈0.582；

（4）± 3 1

姨 3 ≈±1.826.

7. 解：（1）利用计算器计算可得姨6 ≈

2.45， 17 3

姨 ≈2.57，∴姨6 ＜ 17 3

姨 ；

（2）利用计算器计算可得 姨5 +1

2≈

1.618 033 989， 1

5 +姨2 ≈

1.614 213 562，∴ 姨5 +1

2 ＞ 1

5 +姨2 .

8. 解：（1）由 V= 1

6 πd3 得，d3

= 6V

π ，

将 d 开立方得 d= 6V

π

3

姨 ；

（2）将 V=110 cm3 代入 d= 6V

π

3

姨 ，

得 d= 6×110

3.14

3

姨 ≈5.9（cm）．

9. 3

创新应用/核心素养

10. 解：（１）①姨11-2 =姨9 =3；

②姨1 111-22 =姨1 089 =33；

③姨111 111-222 =333；

④姨11 111 111-2 222 =3 333；

（2）原式=33…3（3 有 2 010 个）.

2.6 实 数

考点集训/夯实基础

1. C 提示：∵ 姨2 是一个开方开不尽

的数，即姨2 是一个无理数，∴ 姨2

2

是一个无理数，不是分数．

２. Ｃ 提示：Ａ.实数分为正实数、负实数

和 ０，故选项错误；Ｂ.姨９ ＝３，是有理

数，故选项错误；Ｄ.０ 不是无理数，故

选项错误．

3. 解：根据概念可分类如下：

（1）有理数集合：

-7.5，5， 4

5 ， 64 3

姨 ，-0.25，4.２

·１

· ， ，０，…(；

（2）无理数集合：

，姨12 ， 7

姨 19 ， π

3 ，０.７１７ 117 111 7…

（相邻两个 7 之间依次多个 1），… ，；

（3）正实数集合：

，姨12 ，5， 7

姨 19 ， 4

5 ， 64 3

姨 ，π

3 ，4.２

·１

·，

０.７１７ 117 111 7…（相邻两个 7 之间依次

多个 1），… ，；

（4）负实数集合： ，-7.5，-0.25，…(.

4. C 提示： 8 3

姨 =2，2 的倒数是 1

2 .

5. A

6. Ａ 提示:Ａ.乘积为 １，故 Ａ 正确；

Ｂ.姨３ -姨２ 的绝对值是姨３ -姨２ ，

故 Ｂ 错误；Ｃ.姨３ -姨２ 的相反数是

姨２ -姨3 ，故 Ｃ 错误；Ｄ.姨３ +姨２ 的

绝对值等于姨３ +姨２ ，故 Ｄ 错误.

7. ±姨7 8. －２

9. 解：（1）姨13 的相反数是-姨13 ，倒

数是 1

姨13 ，绝对值是姨13 ；

（2）-姨6 的相反数是 姨6 ，倒数是

- 1

姨6 ，绝对值是姨6 ；

（3）2-π 的相反数是 π-2，倒数是

1

2-π ，绝对值是 π-2；

（4） 8

27

3

姨 = 2

3 ， 2

3 的相反数是- 2

3 ，

倒数是 3

2 ，绝对值是 2

3 .

10. C 提示：原式= 1

3 - 1

3 =0.

11. １０ 提示：原式＝５＋２＋３＝１０.

12. 解：（1）4姨26 -5姨26 =（4-5）姨26 =

-姨26 ；

（2）姨13 × 姨26 × 1

姨13 = 姨13 ×

1

姨13 ×姨26 =1×姨26 =姨26 ；

（3）原式＝2＋2－1＝3；

（4）原式＝2＋4＋姨2 －1＝5＋姨2 .

13. B 提示：如图，∵ 正方形的边长为 1，

∴ 根据勾股定理，AP2

=AB2

=12

+12

=2，

∴AP=姨2 ，∴ 点 P 表示的数是姨2 +1．

0 1 2 P

B

A

14. ｎ－ｍ

15. 解：如图，根据勾股定理，作出以 2

和 3 为直角边长的直角三角形，则其

斜边的长是姨13 ；再以原点为圆心，

以 姨13 为半径画弧，与数轴的正半

轴的交点 A 即为所求．

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 A4 5

16. 5 3 6 1 提示：根据有理数和无

理数的定义可知，有理数有：5，0.8，

1.727 272…，0， 姨0.16 ，共 5 个；无

理数有：-π，姨2 ， 1

3

3

姨 ，共 3 个；正实

数有：5，0.8，姨2 ，1.727 272…， 1

3

3

姨 ，

姨0.16 ，共 6 个；负实数有：-π，共 1 个.

综合检测/巩固排查

17. D 18. D

19. C 提示：∵4＜5＜9，∴2＜姨5 ＜3，

∴2-1＜姨5 -1＜3-1，即 1＜姨5 -1＜2，

∴ 姨5 -1 在数轴上对应的点可能是

点 C．

20. Ａ 提示：∵ ａ －姨２ ＝０，

∴ ａ ＝姨２ ，则 ａ＝±姨２ ．

21. C 提示：由数轴上点的位置，得

a＜-4＜b＜0＜c＜1＜d．A.a＜-4，故 A 不符

合题意；B.bd＜0，故 B 不符合题意；

C. ａ ＞4= d ，故 C 符合题意；D.b+

c＜0，故 D 不符合题意.

22. 2-姨3

23. 姨3 -a 提示：∵a＜0，∴a- 姨3 ＜0，

则 a-姨3 =-（a-姨3 ）=姨3 -a.

24. -6＜0＜姨5 ＜π 提示：姨5 <3，π≈

3.14，∴-6＜0＜姨5 ＜π．

25. 姨７ 提 示 ：∵ －２ ＜－ 姨３ ＜－１，２ ＜

姨７ ＜3，３＜ 姨１１ ＜４，墨迹覆盖的范

围是 １ ～３，∴ 能被墨迹覆盖的数是

姨７ ．

26. π-1 提示：∵ 圆的直径为 1，∴ 圆

的周长为 π，∴ 点 A′所表示的数为

π-1.

27. 解：（1）0，姨（-5）2 ， -125 3

姨 ；

（2） 5

3 ， 姨0.25 ，0. ３

·，0， 姨（-5）2 ，

5

11 ， -125 3

姨 ；

（3）姨8 ，-3.030 030 003…（相邻两个

3 之间依次多个 0），π；

（4）-3.030 030 003…（相邻两个 3 之间

依次多个 0）， -125 3

姨 .

28. 解：（１）－ １

姨７

的倒数是－ 姨７ ，相

反数是 １

姨７，绝对值是 １

姨７

；

（２） ８１

姨 １ ６００ ＝ ９

４０ ，它的倒数是 ４０

９ ，

相反数是－ ９

４０ ，绝对值是 ９

４０ .

29. 解：如图，根据勾股定理，作出以 1

和 4 为直角边长的直角三角形，则其

斜边的长是姨17 ；再以原点为圆心，

以 姨17 为半径画弧，与数轴的正半

轴的交点 A 即为所求．

-1 0 1 2 3 4 A 5 6

30. 解：（１）原式＝（6-2）姨５ =４姨５ ；

（２）原式＝ １

２ ＋４－ １

４ ＝ １７

４ .

31. 解：（1）5 姨5

提示：正方形 ABCD 的面积=AB2

=12

+

22

=5，边长 AB=姨5 ；

167 168

（2）面积为8的正方形的边长= 22

+2 姨 2 =

姨8 ，面积为 8 的正方形如图所示．

32. D 提示：由数轴可得：-2＜a＜-1，0＜

b＜1，∴a＜b，故 A 错误； a ＞ b ，故

B 错误；a+b＜0，故 C 错误； a

b ＜0，故

D 正确.

33. 姨3 ，π， 4 3

姨 提示： 姨25 =5，是

有理数，故无理数有姨3 ，π， 4 3

姨 .

34. 解：原式=-1+姨2 -1+2=姨2 .

创新应用/核心素养

35. C 提示：∵（3-mi）2

=32

-2×3×mi+

（mi）2

=9-6mi+m2

i

2

=9+m2

i

2

-6mi=9-m2

-

6mi，∴ 复数（3-mi）2 的实部是 9-m2

，

虚部是-6m，∴-6m=12，∴m=-2，

∴9-m2

=9-（-2）2

=9-4=5．

专题集训二 实数与数轴

1. D 2. B 3. D 4. π 5. 2-姨2

6. -3b 提示：根据数轴可知 b＜a＜0，所

以 a+2b＜0，a-b＞0，则 姨（a+2b）2 +

a-b =-（a +2b）+（a -b）=-a -2b +a -

b=-3b．

7. C

8. ＞ 提示：∵a 的对应点在原点左边，b

的对应点在原点右边，∴a＜0＜b，∵a 的

对应点到原点的距离比 b 的对应点到

原点的距离小，∴ a ＜ b ，∴a+b＞0．

9. 解：（1）在数轴上表示各数如图所示；

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

C B D A

（2）-2 1

2 ＜-1＜姨3 ＜3；

（3）D．

10. 解：（1）①2 的平方根是±姨2 ；

②-27 的立方根是-3；

③姨16 =4，4 的算术平方根是 2；

（2）如图：

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -姨2 姨2 2

（3）-3＜-姨2 ＜姨2 ＜2．

阶段小测

（2.1、2.2、2.3、2.4、2.5、2.6）

1. B 2. D 3. B 4. D 5. B 6. A

7. D 提示：由题意得，a-2=0，b+ 1

2 =0，

解得 a=2，b=- 1

2 ，所以，原式=22 020

×

- 1 22 #2 021=22 020× - 1 22 22 020× - 1 22 2=

2× - 1 2 22 2'2 020

× - 1 22 #=- 1

2 ．

8. C

9. C 提示：∵1＜姨3 ＜2，5＜5.2＜6，

∴A，B 两点之间的点表示的整数有

2，3，4，5，共有 4 个.

10. C 提 示 ：121 第 1 次

姨121 =11

第 2 次

姨11 =3 第 3 次

姨3 =1，

∴ 对 121 只需进行 3 次操作后变为1.

11. 3-姨5 3-姨5 1

6

12. 3.87

13. 2 提示：∵ 某正数的两个平方根分

别是 a+3 和 2a-15，

∴a+3+2a-15=0，∴a=4，

∵b 的立方根是-2，∴b=（-2）3

=-8，

∴3a+b=4，4 的算术平方根是 2.

14. 3

7 提示：∵6*3= 姨6+3

6-3 =1，∴8*1=

姨8+1

8-1 = 3

7 ，即 8*（6*3）= 3

7 .

15. 解：整数：-5， 125 3

姨 ，0；

分数： - 3

2 ， 22

7 ，-1.732；

无理数：-π

2 ，姨27 ，0.101 001 000 1…

（相邻两个 1 之间依次多个 0）.

16. 解：（1）化简得（x-1）2

=4，开方得 x1=2 或 x-1=-2，解得 x=3 或 x=-1；

（2）化简得（x +3）3=27，x +3 =3，解得

x=0．

17. 解：按从小到大的顺序排列为-π＜

-27 3

姨 ＜ 姨0.36 ＜ 2

3 ＜ 姨2 ＜ 3

2 ＜

姨3 ．

18. 解：（1）原式= 2

3 + 1

3 - 5

4 - 3

4 =1-

2=-1；

（2）原式=9-3+ 2

3 = 20

3 ．

19. 解：（1）这个正方形鱼池的边长不是

有理数.

理由：设正方形鱼池的边长为 x m，

根据题意得 x2=200，∵x 既不是整数

也不是分数，∴x 不是有理数，即这个

正方形鱼池的边长不是有理数；

（2）∵x2

=200，∴x=姨200 ，

∵196＜200＜225，∴14＜姨200 ＜15，

∵14.12

=198.81＜200＜201.64=14.22

，

∴14.1＜姨200 ＜14.2，

∴姨200 ≈14，即鱼池的边长精确到

1 m 为 14 m.

20. 解：（1）∵4 ＜8 ＜9，∴2 ＜ 姨8 ＜3，∴3 ＜

姨8 +1＜4，又 ∵姨8 +1 在两个连续的

自然数 a 和 a+1 之间，∴a=3，

又 ∵1 是 b 的一个平方根，∴b=12

=1；

（2）由（1）知，a=3，b=1.

∴a+b=3+1=4，4 的算术平方根是 2．

∵4＜5，∴2＜姨5 .

21. 解：∵AB=AC，∴姨2 -1=1-x，∴x=2-

姨2 ，∴ x-2 = 2-姨2 -2 =姨2 .

22. 解：（1）∵ 大正方形的面积等于两个

小正方形的面积之和，∴ 大正方形的

面积是 32

+32

=18（cm2

）；

（2）∵ 大正方形的面积是 32

+32

=18（cm2

），

∴ 大正方形的边长为姨18 cm，∵16＜

18 ＜25，∴ 姨16 ＜ 姨18 ＜ 姨25 ∴4 ＜

姨18 ＜5，即大正方形的边长在整数

4 和 5 之间.

2.7 二次根式

第一课时 二次根式

考点集训/夯实基础

1. C 提示：A．当 x=0 时，-x-2=-2，

姨-x-2 不是二次根式；B．当 x＜0 时，

姨x 不是二次根式；C．不论 x 取何

值，x2

+2＞0 都成立，所以 x2 姨 +2 一定

是二次根式；D．当 x=0 时，x2

-2=-2，

x2 姨 -2 不是二次根式.

2. B 提示：③⑤⑥是二次根式，①中缺

少条件 x≥0；②为三次根式；④中根

号下为-5，不符合条件.

3. ①② 提示：①因为 m2

≥0，所以 m2

+

1＞0，所以 m2 姨 +1 是二次根式；

②因为 a2

≥0，所以 a 姨 2 是二次根式；

③④不能保证被开方数恒为非负数，

故不是二次根式.

4. A 提示：由二次根式有意义可知，

xy2

≥0，又 ∵xy＜0，∴x＞0，y＜0，

∴ xy 姨 2 =-y姨x .

5. 解：（1）姨36×81 = 姨36 × 姨81 =6×

9=54；

（2）姨16×5 =姨16 ×姨5 =4姨5 ；

（3） 2

姨 9 = 姨2

姨9 = 姨2

3 ；

（4）姨（-144）×（-169）=姨144×169 =

姨144 ×姨169 =12×13=156.

6. D 7. ①

8. 解：（1）是最简二次根式；（2）不是最

简二次根式， 姨24 = 姨4×6 = 姨4 ×

姨6 =2 姨6 ；

（3）不是最简二次根式， 姨27ab =

姨9×3ab =3姨3ab ；

（4）是最简二次根式；

（5）不是最简二次根式， 2 1

姨 12 =

25

姨 12 = 25×3

姨 12×3 = 姨25×3

姨36 = 5姨3

6 .

9. 解： -9

姨 -25 = 9

姨 25 = 姨9

姨25 = 3

5 .

综合检测/巩固排查

10. B

11. D 提示：依题意有 2x

y

≥0 且 y≠

0，即 xy≥0 且 y≠0，所以 x≥0，y＞0

或 x≤0，y＜0．

12. D 提示：原式= 14

姨 3 ＝ 42

姨 3×3 ＝

姨42

3 ．

13. Ｂ 提示：∵b＞0，-a3

b≥0，∴a≤0，

∴ 原式 = a 姨 2

·（-ab） = a 姨-ab =

-a姨-ab .

14. 2姨ｘ ５ｘ２

３ｙ

15. 姨20（答案不唯一，只要化简后被

开方数是 5 的二次根式均正确）

16. 1 提示：只有姨13 是最简二次根式．

17. 10姨5 提示：根据勾股定理得斜边

长为 102

+20 姨 2 = 姨500 = 姨5×100 =

姨5 ×姨100 =10姨5（cm）.

18. 解：（1）姨（-16）×（-49）=姨16×49 =

姨16 ×姨49 =4×7=28；

（2）姨225×3 =姨225 ×姨3 =15姨3 ；

（3）姨125 = 姨25×5 = 姨25 × 姨5 =

5姨5 ；

（4） 7

姨 11 = 7×11

姨 11×11 = 姨7×11

姨11×11 =

姨77

11 .

19. 解：3姨2 提示：姨18 = 姨9×2 =

姨9 ×姨2 =3姨2 .

验证：题中左图大正方形的面积是 18，

∴ 边长为 姨18 ，题中右图小正方形

的面积是 2，∴ 边长为姨2 ，

∵ 由题图可知大正方形的边长是小

正方形边长的 3 倍，∴姨18 =3姨2 .

20. D 提示：由题意可知，m+2≥0，m1≠0，∴m≥-2 且 m≠1.

21. B

创新应用/核心素养

22. 解：（1）姨9+4姨5 =姨4+5+4姨5

= 22 姨 +2×2×姨5 +（姨5 ）2

=姨（2+姨5 ）2 =2+姨5 ；

（2）姨18-2姨77 =姨11+7-2姨77

= （姨11 ）2 姨 -2×姨11 ×姨7 +（姨7 ）2

=姨（姨11 -姨7 ）2 =姨11 -姨7 .

第二课时 二次根式的四则运算

考点集训/夯实基础

1. B 提 示 ：3 姨6 ×2 姨2 =3 ×2 ×

姨6×2 =6姨12 =12姨3 .

2. C 提示：原式= x3

9 姨 ÷x = x2

姨 9 = x

3 .

3. 姨6 提 示 ：∵ 长 方 形 的 面 积 是

姨30 m2

，宽是 姨5 m，∴ 它的长是

姨30 ÷姨5 =姨30÷5 =姨6（m）．

4.（1）6姨2 （２） 姨10

5

5. C 提示：姨8 +姨18 =2姨2 +3姨2 =

5姨2 .

6.（1）3姨2

2 （2）5姨x

2

提示：（1）原式=姨2 + 姨2

2 = 3姨2

2 ；

（2）原式=3姨x -姨x

2 = 5姨x

2 ．

7. 解：（1）不正确，因为 2姨6 与 2姨5

的被开方数不相同，不能合并；（2）不

正确，因为 3姨7 -姨7 =（3-1）×姨7 =

2 姨7 ≠2；（3）不正确，因为把 8 +

姨2 当成 8×姨2 计算，所以错误，并

且 8+姨2 ＜8姨2 .

8. D 提示：A．姨2 与姨3 的被开方数

不同，不能合并，故错误；B． 姨4 -

姨2 =2 - 姨2 ，故错误；C.3 姨2 -

姨2 =2 姨2 ≠3，故错误；D. 姨2 -

1

姨 2 =姨2 -姨2

2 = 姨2

2 ，故正确.

综合检测/巩固排查

9. B 10. B

11. C 提示：∵m= -姨3 2 3 2×（-2姨21 ）=

2 姨7 = 姨28 ，5.22 =27.04，5.32 =

28.09，∴5.2＜m＜5.3．

12. D 提 示 ： -姨3 2 3 2+ -姨3 2 3 2=

- 2 姨3

3 ， -姨3 2 3 2- -姨3 2 3 2=0，

-姨3 2 3 2× -姨3 2 3 2= 1

3 ， -姨3 2 3 2÷

-姨3 2 3 2=1，故在□中填上一个运

算符号，使计算结果最大，这个运算

符号应填：÷．

13.A 提示：姨8 =2姨2 ，6 1

姨 2 =3姨2 ，

当 3姨2 为底边长时，三角形的周长

为 2 姨2 +2 姨2 +3 姨2 =7 姨2 ；当

3 姨2 为腰长时，三角形的周长为

2 姨2 +3姨2 +3姨2 =8姨2 .

14.姨30

10 3姨3

15. ５ 提示：∵ 最简二次根式 姨3a-8

与 姨17-2a 可以合并计算，∴３ａ-８＝

１７-２ａ，解得 ａ＝５．

16. 姨3 提示：原式=3姨3 -2姨3 =

姨3 .

17. 姨5 提示：这个直角三角形的面积

为 1

2 ×姨2 × 姨10 = 1

2 × 姨20 = 1

2 ×

2姨5 =姨5（cm2

）.

18. 17

3 提示：原式=2 姨3 +3 姨3 +

2

3 姨3 = 17

3 姨3 ，∴a+b 的值为 17

3 .

19 . 解 ：（1） 姨72 + 姨16

姨8 = 姨72

姨8 +

姨16

姨8 = 72

姨 8 + 16

姨 8 =姨9 +姨2 =

3+姨2 ；

（2）姨8 -2 1

姨 2 =2姨2 -姨2 =姨2 ；

（3） 8

姨 27 2 -5姨6 2×姨6 = 8

姨 27 ×

姨6 -5 姨6 × 姨6 = 16

姨 9 -30= 4

3 -

30=- 86

3 ；

（4）（2 姨3 +3 姨2 ）2 =（2 姨3 ）2 +

12 姨6 +（3 姨2 ）2

=12+12 姨6 +18=

30+12姨6 ；

（5）（6+姨7 ）（姨7 -3）=6姨7 -18+

7-3姨7 =-11+3姨7 .

20. 解：由题图可知 AB2

=12

+22

=5，

∴AB=姨5 ，

BC2

=22

+42

=20，∴BC=2姨5 ，

AC2

=32

+42

=25，∴AC=5，∴△ABC 的周

长=姨5 +2姨5 +5=3姨5 +5.

又 ∵AB2

+BC2

=AC2

，∴∠ABC=90°，

∴S△ABC= 1

2

·AB·BC= 1

2 ×姨5 ×2姨5 =5.

21. B

22. D 提示：（2+ 姨3 ）（2- 姨3 ）=4-

169 170

3=1，1 是有理数.

23. D 24. 姨5 25. 0

创新应用/核心素养

26. 解：（1）-1 -3+姨2 ； 提示：由题

意 得 ，2 -3 =-1，2 -（5 - 姨2 ）=2 -5 +

姨2 =-3+姨2 ，∴3 与-1 是关于 1 的

平衡数，5-姨2 与-3+姨2 是关于 1

的平衡数；

（2）不是．理由：∵（m + 姨3 ）×（1 -

姨3 ）= m - 姨3 m + 姨3 - 3 = - 5 +

3姨3 ，∴m-姨3 m=-2+2姨3 ，即 m（1-

姨3 ）=-2（1- 姨3 ），∴m=-2，∴（m+

姨3 ）+（5- 姨3 ）=（-2+ 姨3 ）+（5-

姨3 ）=3≠2，∴-2+ 姨3 与 5- 姨3

不是关于 1 的平衡数.

第三课时 二次根式的混合运算

考点集训/夯实基础

1. A 提示：原式=姨3 -姨3 +3=3．

2. D 提示：∵a = 姨2 -1，b = 姨2 +1，

∴a2

-b2

=（a+b）（a-b）=（姨2 -1+ 姨2

+1）（姨2 -1-姨2 -1）=2姨2 ×（-2）=

-4姨2 ．

3. 2 提示：（9 姨2 -5 姨2 ）÷2 姨2 =

4姨2 ÷2姨2 =2.

4. 6姨15

5 提示：原式= 姨3 × 姨5 +

3

姨 5 =姨15 + 姨15

5 = 6姨15

5 .

5. 解：（1）原式= 2姨2

2 +6姨2 - 4姨2

4 =

姨2 +6姨2 -姨2 =6姨2 ；

（2）原式＝（9 姨2 + 姨2 -2 姨2 ）÷

4 姨2 =8姨2 ÷4姨2 =2.

6. 解：原式=姨6 +姨2 +3姨2 -姨3

3 =

姨6 +4姨2 -姨3

3 .

综合检测/巩固排查

7. D 8. Ｃ 9. Ｄ

10. B 提示：（x-1）（y+1）=xy+（x-y）-

1=姨2 +（姨2 -1）-1=2姨2 -2.

11. B 提 示 ：∵3 ＞2，∴3 ※ 2 = 姨３ -

姨2 ，∵8＜12，∴8※12=姨8 +姨12 =

2×（姨2 +姨３ ），∴（3※2）×（8※12）=

（姨３ -姨2 ）×2×（姨2 +姨３ ）=2．

12. 2 姨2 提示：原式= 姨2 + 姨2 =

2 姨2 ．

13 . － ６ 提示： 姨３ （姨２ － 姨３ ）－

姨２４ － 姨6 －３ ＝ 姨６ －３－２ 姨６ －

（３－姨６ ）＝－６．

14. 12 提示：∵x=-2姨3 ，∴x2

+2x+4姨3 =

（-2 姨3 ）2 +2 ×（-2 姨3 ）+4 姨3 =

12-4姨3 +4姨3 =12．

15. 2x2

y2

姨2x

提示：原式= （2x2

y 姨 2

）2

·（2x）=

（2x2

y 姨 2

）2 ·姨2x =2x2

y2

姨2x .

16. 解：（1）原式＝（２０ 姨3 -１８ 姨3 ＋

４ 姨15 ）÷ 姨3 ＝２０-１８＋４ 姨5 ＝２ ＋

４ 姨5 ；

（2）原式＝ 3

2姨 姨3 -2姨6 -姨6 %×

2姨3 ＝9-１２姨2 -6姨2 ＝9-１８姨2 .

17. 解：（1）③；

（2）正确的解题过程为

原式=2姨6×3 - 24

姨 3

=2姨18 -姨8

=6姨2 -2姨2

=4姨2 ．

18. 解：∵a= 1

姨5 -2 = 1×（姨5 +2）

（姨5 -2）（姨5 +2）

=

姨5 +2，

b = 1

姨5 +2 = 1×（姨5 -2）

（姨5 +2）（姨5 -2） =

姨5 -2，

∴ 原式= （姨5 +2）2

+（姨5 -2）2 姨 +7 =

姨9+4姨5 +9-4姨5 +7 =姨25 =5．

19. 2 姨3 -3 提示： 姨24 - 姨8

姨2 -

（姨3 ）0

= 姨24

姨2 -姨8

姨2 -1= 24

姨 2 -

8

姨 2 -1=姨12 -姨4 -1=2 姨3 -2-

1=2姨3 -3.

20. 解：（1）原式=3+4-4 姨3 +2 姨3 +

6× 姨3

3 =3+4-4姨3 +2姨3 +2姨3 =7；

（2）原式= 1 + 姨3 - 姨2 - 2 姨3 +

姨2 =1-姨3 .

创新应用/核心素养

21． D

提示：设 x=姨6-3姨3 -姨6+3姨3 ，

易知姨6-3姨3 ＜姨6+3姨3 ，∴x＜0，

由 x2

=6-3姨3 -

2姨（6-3姨3 ）（6+3姨3 ）+6+3姨3 =

12-2×3=6，得 x=-姨6 ，

又 ∵ 姨3 -姨2

姨3 +姨2 =

（姨3 -姨2 ）（姨3 -姨2 ）

（姨3 +姨2 ）（姨3 -姨2 ）

=

5-2姨6 ，

∴ 原式=5-2姨6 -姨6 =5-3姨6 .

专题集训三 二次根式及其运算

1. D 2. A 3. B

4. A 提示：由实数 a 在数轴上的对应

点的位置可得，5＜ａ＜１０，所以 ａ－４＞０，

ａ－１１＜０，则 姨（ａ-４）２ ＋ 姨（ａ-１１）２ ＝

a-4+11-a=7．

5. 解：（1）原式=-2姨2 ÷姨6 × 2姨3

3 =

-2

姨3 × 2姨3

3 =- 4

3 ；

（2）原式= 1

2 ×（３－２ 姨3 ＋１）＋ 姨2 +

１ ＋ 姨3 － 姨2 ＝２ － 姨3 ＋ 姨2 +１ ＋

姨3 －姨2 ＝３.

6. 解：原式=a2-3-a2+6a=6a-3，当 a=

姨5 + 1

2 时，原式=6a-3=6姨5 +3-3=

6姨5 ．

7. 解：由题意得：c＜b＜0＜a，且 a = b ，

则 a+b=0，c-a＜0，b-c＞0，则原式=a0+a-c+b-c=2a+b-2c．

8. 解：（1）4 - 姨3 提示：由已知可

得，（-2）×（-1）+2=4，

∴ 点 A′表示的数 x=4.

（姨3 +2-2）÷（-1）=-姨3 ，

∴ 点 B 表示的数 y=-姨3 ；

（2）当 x = 4 ， y = - 姨3 时 ， 1

姨 x -

y+ 1 姨 2 %= 1

姨 4 - -姨3 + 1 姨 2 %= 1

2 +

姨3 - 1

2 =姨3 .

第三章 位置与坐标

3.1 确定位置

考点集训/夯实基础

1. B 2. C

3.（4，7） 提示：由题图可知，B 点位于

第 4 列第 7 行，所以可表示为（4，7）.

4. 解：（1）有体训基地、网球场，要明确

这些设施相对于学校的位置，还需要

这些设施与学校的距离；

（2）百花苑离学校最近，在学校南偏

西 30°的方向上，这一方向上还有黄

海饭店；

（3）需要方位角和距离．

5.（1，6） D

综合检测/巩固排查

6. C

7. A 提示：由题图可得，A（30°，5）.

8. A 提示：距离小白最近的有共享单

车停放点的区域是标有 F 的行，标有

6 的列，即 F6.

9.（-5，3）

10. 解：（1）花坛位于校门的正东方向，

到校门的图上距离为 3 cm，实际距

离为 300 m；

（2）花坛的北偏东 45°方向上有图书馆；

（3）花坛（4，5），图书馆（6，7），游泳馆

（10，9），电影院（11，7），教学楼（8，4），

旱冰场（10，1）.

11. 解：（1）图中商场在小明家北偏西

30°方向，距离 2.5 cm 的位置；学校在

小明家北偏东 45°方向，距离 2 cm 的

位置；公园在小明家南偏东 60°方向，

距离 2 cm 的位置；停车场在小明家

南偏东 60°方向，距离 4 cm 的位置；

（2）∵ 学校距离小明家 400 m，且 OA=

2 cm，∴ 图中 1 cm 表示实际 200 m，

∴ 商场距离小明家 2.5×200=500（m），

停车场距离小明家 4×200=800（m）；

（3）300÷200=1.5（cm），书店的位置如

图所示.

商场 B

60° O

A

小明家

公园

C

D

停车场

东

北

学校

30° 45°

书店 30°

创新应用/核心素养

12.（5，3）或（1，7） 提示：白棋已经有

三 颗 在 一 条 直 线 上 ，∴ 甲 必 须 在

（5，3）或（1，7）位置上落子，才不会让

乙马上获胜．

3.2 平面直角坐标系

第一课时 平面直角坐标系的

有关概念

考点集训/夯实基础

1. 互相垂直 数轴

2. B 提示：A 图中两条数轴不是互相

垂直的；C 图中的 x 轴正方向标示不

对；D 图中没有标示正方向；B 图符

合平面直角坐标系的概念.

3.（1）二 （2）y 轴 （3）负半轴 （4）四

4. A 5. B

6. B 提示：到 y 轴的距离是点的横坐

标的绝对值，到 x 轴的距离是点的纵

坐标的绝对值，又因为点 P 位于 y

轴 左方，x 轴上方，则 P 点横坐标小

于 0，纵坐标大于 0，所以点 P 的坐

标为（-3，4）.

7.（7，-7）或 7

3 ， 7 姨 3 %

提示：∵ 点 P（2-a，2a+3）到两坐标轴

的距离相等，

∴2-a=2a+3 或 2-a=-（2a+3），

解得 a=- 1

3 或 a=-5，

当 a=-5 时，2-a=7，2a+3=-7，即点 P

的坐标为（7，-7）；

当 a=- 1

3 时，2-a= 7

3 ，2a+3= 7

3 ，即点

P 的坐标为 7

3 ， 7 姨 3 %.

8. 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；

校门 旗杆

教学楼

图书馆

实验楼

x

y

O

3

-2

（2）（0，0） （-4，0） （-5，3） （-1，2）；

（3）实验楼的位置如上图所示.

9. A

综合检测/巩固排查

10. C

11. B 提示：∵ 点 P 到 x 轴的距离为 5，

∴ 点 P 的纵坐标是 5 或-5，∵ 点 P 的

横坐标是-3，∴ 点 P 的坐标是（-3，5）

或（-3，-5）．

12. B 提示：根据点 A，B 的坐标建立平

面直角坐标系如下图，则点 C 的坐标

是（3，-2）．

A

B

C

O

y

x

13. 2 3 姨13

14. 解：（1）这个多边形各个顶点的坐标

分别为：A（-2，0），B（0，-3），C（3，-3），

D（4，0），E（3，3），F（0，3）；

（2）四边形 NMGH 如图所示，面积

是：8×6- 1

2 ×4×2- 1

2 ×4×3- 1

2 ×5×1-

1

2 ×5×4=48-4-6-2.5-10=25.5（. 过程

不唯一）

y

x

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

F E

A D

B C

M

N

H

G

O

15. 解：（1）画出平面直角坐标系如图

所示；

体育场 市场

文化馆

宾馆

火车站

医院

超市

B C

O

y

x

A

（2）体育场（-2，5），市场（6，5），超市

（4，-1）；（3）A，B，C 的位置如上图所示.

16.（-2，3） 17. 4

创新应用/核心素养

18. 解：如图，设 M（x，y），由“实际距离”

的定义可知，点 M 只能在 ECFG 区域

内，∴-1＜x＜5，-5＜y＜1，又 ∵M 到 A，

B，C 的“实际距离” 相等，∴ x-3 +

y-1 = x-5 + y+3 = x+1 + y+5 ，

∴ x-3 +1-y=5-x+ y+3 =x+1+y+5，

要将 x-3 与 y+3 中绝对值去掉，

需要判断 x 在 3 的左侧或右侧，以及

y 在-3 的上侧或下侧，将长方形ECFG

分割为 4 部分，若要使 M 到 A，B，C的

“实际距离”相等，由图可知 M 只能

在长方形 AENK 中，故 x＜3，y＞-3，则

方程可变为：3-x+1-y=5-x+y+3=x+

1+y+5，解得 x=1，y=-2，则 M（1，-2）.

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x

y

E A

B

M K

C

N

G

F

171 172

第二课时 平面直角坐标系中点的

坐标特点

考点集训/夯实基础

1. A

2. C 提示：不属于任何象限的点有

（1，0），（0，-2），（0，0），共 3 个.

3. B 提示：∵ 点 P（1-3m，2m）的横坐

标与纵坐标互为相反数，∴2m=-（1-

3m），解得 m = 1 ，∴ 点 P 的坐标是

（-2，2），∴ 点 P 在第二象限.

4. B 提示：A．若点 A 在 y 轴上，则 a+

1=0，解得 a=-1，故错误；B．若点 A 在

第一、三象限平分线上，则 a+1=3-a，

解得 a=1，故正确；C．若点 A 到 x 轴

的距离是 3，则 3-a =3，解得 a=6 或

0，故错误；D．当 a=-2 时，a+1=-1，3-a=

5，点（-1，5）在第二象限，故错误.

5. x＞0

6. ０ ３ 提示：点 Ｐ（２ｎ－３，２ｎ）在 ｘ 轴

上，可知纵坐标 ２ｎ＝０，解得 ｎ＝０；因为

点 Ｎ（３－ａ，７－ａ）在 ｙ 轴上，可知横坐

标 ３－ａ＝０，解得 ａ＝３.

7. 解：作图如下；

-1O 1 2 3 4 5 x

y

A B

D C

-2 -1

6

5

4

3

2

1

-3 6

（1）CD x 纵坐标为 0

（2）横 y 提示：A，D 两点的横坐标

相等，线段 AD 平行于 y 轴；

（3）平行 提示：线段 AB 与 CD 的位

置关系是平行；

（4）描出的图形是直角梯形，它的面

积是： 1

２（AB+CD）·AD= 1

２ ×（4+7）×

3=16.5.

8. B 提示：∵ab＜0，∴a，b 异号，∵a-b＜

0，∴a ＜b，∴a ＜0，b ＞0，∴ 点（a，b）在第

二象限.

综合检测/巩固排查

9. C 10. D

11. A 提示：在 x 轴上，所有点的纵坐

标都为 0，∴ 点 B 的纵坐标为 0，∵ 点

A 的横坐标为-2，∴ 点 B 的横坐标也

为-2，∴ 点 B 的坐标为（-2，0）.

12. A 提示：∵ 点 B 的坐标为（3，-4），

且直线 AB 平行于 y 轴，∴A，B 两点

的横坐标相等，即点 A 横坐标为 3，

故符合要求的点只有（3，-2）．

13.（-2，2）

14.一 提示：∵ 代数式姨a + 1

姨ab

有

意义，∴a≥0 且 ab＞0，解得 a＞0 且 b＞

0，∴ 直角坐标系中点 A（a，b）的位置

在第一象限．

15. 解：（1）∵ 点 M 在 x 轴上，∴2m+3=0，

解得 m=-1.5；

（2）∵ 点 M 在过点 N（-5，4），且与 y

轴平行的直线上，∴m=-5，∴2m+3=-7，

∴ 点 M 的坐标为（-5，-7）；

（3）∵ 点 M 在第一、三象限的平分线

上，∴m=2m+3，解得 m=-3.

16. 解：（1）由图形得，A（-2，3），B（-4，-2），

C（4，-2），D（2，3）；

（2）由（1）知：A 与 D，B 与 C 的纵坐

标相同；线段 AD∥x 轴；线段 BC∥x

轴；线段 AD∥线段 BC．

17. D 18. C

19.（1，-2）（答案不唯一）

创新应用/核心素养

20. 解：（1）因为点 A（-2，6）的“1

2 级关

联 点 ” 是 点 A1 ， 所 以 A1 的 坐 标 为

-2× 1

2 +6，-2+ 1

2 × ×6 &，即 A（1 5，1）；

（2）点 M（m-1，2m）的“-3 级关联点”

为 M′［-3（m-1）+2m，m-1+（-3）×

2m］，即 M（′ 3-m，-5m-1），

∵M′位于 y 轴上，

∴3-m=0，解得 m=3，∴-5m-1=-16，

∴ 点 M（′ 0，-16）．

第三课时 建立适当的坐标系描述

图形的位置

考点集训/夯实基础

1. A 提示：如图所示，体育场的位置可

表示为（-1，-1）．

东山公园

孔庙

体育场

y

O x 2

2

2. D 提示：因为 E 点的坐标是（-2，3），

则原点在 E 点右边 2 个单位长度，下

方 3 个单位长度处，即 D 点的位置．

3. - 3

2 ， 3姨3 × 2 & 提示：如图，过点 A

作 AC⊥OB 于点 C，∵△AOB 是等边

三角形，OB=3，∴OC=BC= 1

2 OB= 3

2 ，

在 Rt △AOC 中 ，∵OA =3，OC = 3

2 ，

∴AC = OA2

-OC 姨 2 = 32

- 3

×2 &2

姨 =

3姨3

2 ，∴A - 3

2 ， 3姨3 × 2 &．

A

B O

y

C x

4. 解：（1）所建立的平面直角坐标系如

图所示；（2）点 B 和点 C 的坐标分别

为（-3，-1），（1，1）；

（3）点 D 的位置如图所示.

A

C

B

y

x

1

O 1

D

5. A 提示：由小军和小华的坐标可建

立如图所示的平面直角坐标系，则小

华的位置可表示为（-2，-3）.

小军

小刚

小华

y

O x

综合检测/巩固排查

6. D 提示：如图，点 A 的坐标是（2，2），

根据勾股定理可得：OA=2姨2 ，

①若 AP1=P1O，可得 P（1 2，0）；

②若 AO=AP2，可得 P（2 4，0）；

③若 AO=OP3，可得 P（3 2姨2 ，0）.

∴A，B，C 正确，D 错误但符合题意．

-1 1 2 3 4 O x

y

2

1

A

P P2 3 P1

7.（2，-1） 提示：因为 A（-2，1）和

B（-2，-3），可得直角坐标系如图所

示，所以可得点 C 的坐标为（2，-1）.

A

B

C

y

O x

1

-2

8.（4，0）或（4，4）或（0，4）

提示：如图，∵△ABO 与△ABP 全等，

∴①OA=AP1，点 P1 的坐标为（4，0）；

②OA=BP2 ，点 P2 的坐标为（0，4）；

③OA=BP3，点 P3 的坐标为（4，4）．

-2-1 1 2 3 4 -1

-2

4

3

2

1

x

y

O

A P1

B P3

P2

9. 解：如图所示，以 B 为坐标原点，BC

所在直线为 x 轴，过点 B 且垂直于 x

轴的直线为 y 轴建立平面直角坐标

系，则 A（-2，3），B（0，0），C（4，0），

D（6，1），E（5，3），F（3，2），G（1，5）．

（答案不唯一）

G

A

B C

D

E

F

x

y

10. 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；

E F

D C B A

10

18

O 4 x

y

（2）各点的坐标分别为 B（5 ， 2），

C（-5，2），D（-9，0），E（-5， -2），

F（5，-2）.

11. C 提示：如图，过点 C 作 CD⊥y 轴

于点 D，∴CD=50÷2 -16 =9，OA=ODAD=40-30=10，∴ 点 P（9，10）.

y

O x

D C

A

P

创新应用/核心素养

12. 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；

北

音乐台

牡丹亭

中心广场

望春亭

游乐园

南门

y

O x

（2）中心广场（0，0），音乐台（0，400），

望春亭（-200，-100），

南门（100，-600），

游乐园（200，-400）．

3.3 轴对称与坐标变化

考点集训/夯实基础

1. C 提示：由点 A（a，1）与点 B（-2，b）

关于 x 轴对称，得 a=-2，b=-1，

点（-2，-1）在第三象限．

2. A 提示：根据轴对称的性质，知横坐

标不变，纵坐标都乘-1，即横坐标相

同，纵坐标互为相反数，则所得图形

与原图形关于 x 轴对称.

3. -2 提示：由已知得点 A 的横坐标为

2，点 C 与点 A 关于 y 轴对称，则点 C

的横坐标为-2.

4. 解：（1）如图，四边形A1B1C1D1即为所求；

（2）如图，四边形 A2B2C2D2 即为所求.

O

B

A

D

C

y

B1 x

D1 C1

A1

A2

B2

D2

C2

5. 解：（1）依次连接各点得到的图案如

图所示；

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x

y

A D

B C

（2）横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，

所得各点的坐标依次是（0 ， - 4），

（1，0），（3，0），（4，-4），依次连接这些

点，所得图案如上图所示，它与原图

案关于 x 轴对称.

6. B 提示：∵ 点 P（-1-2a，5）关于 x 轴

的对称点的坐标是（-1-2a，-5），点

Q（3，b）关于 y 轴的对称点的坐标是

（-3，b），∴-1-2a=-3，b=-5，∴a=1，

∴ 点 A 的坐标是（1，-5），∴ 点 A 关

于 x 轴对称的点的坐标为（1，5）.

综合检测/巩固排查

7. C 提示：∵ 点 P（2a-1，3）关于 y 轴

对称的点为 Q（3，b），∴2a-1=-3，b=3，

解得 a=-1，∴ 点 M（-1，3），∴ 点 M 关

于 x 轴对称的点的坐标为（-1，-3）．

8. A 提示：由题意可知，点 A 的坐标

为（b，a），点 B 的坐标为（b，-a），

∴A，B 两点原来的位置关系是关于 x

轴对称.

9. A 提示：由 A 点坐标得 C（-3，1），由

翻折得 C′与 C 关于 y 轴对称，所以

C′的坐标是（3，1）．

10. B 提示：当以点 B 为原点时，

A（-1，-1），C（1，-1），则点 A 和点 C

关于 y 轴对称，符合条件.

11.（-2，3） 提示：点 A（2，-3）关于 x

轴的对称点是 A′（2，3），点 A′（2，3）

关于 y 轴的对称点是 A（″ -2，3）.

12. 解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所

求，A（1 3，2），B（1 1，4），C（1 0，2）；

（2）关于 x 轴对称 提示：如图所示，

△A2B2C2 与△ABC 关于 x 轴对称.

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5x

y

A

B

C

B1

A1

C1

A2

B2

C2

13. 解：（1）△A1B1C1 如图所示，点 C1 的

坐标是（4，1）；

（2）△A2B2C2 如图所示，点 C2 的坐标

是（-4，1）.

y

O C x

A B

A1 B1

C1

B2 A2

C2

173 174

14. A

15. B 提示：∵ 点 A（m，2）与点 B（3，n）

关于 y 轴对称，∴m=-3，n=2．

16. 4 提示：∵ 点 M（a，b）与点 N（3，-1）

关于 x 轴对称，∴a=3，b=1，则 a+b=3+

1=4．

专题集训 坐标与几何图形

面积问题

1. C 提示：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于

点 E，则 S 四边 形 ABCD=S△OCD+S 梯 形 ODAE+

S△ABE= 1

2 ×1×1+ 1

2 ×（1+2）×2+ 1

2 ×1×

2=4.5．

-1 O 3

1

y A（2，2）

x

D C

E

B

2. 7.5 提示：根据题意可得：△OAB 的

面积= 1

２ ×3×5=7.5．

3. 解：（1）△AEC，△BCD 如图所示；

O x

y

-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 -1

-2

-3

-4

-5

-6

6

5

4

3

2

1

C

A

D

B

E

（2）12 提示：由图可得，△AEC 中，

∠ACE=90°，EC=6，AC=4，

∴S△AEC= 1

2 ×6×4=12.

4. 解：（1）如图，建立平面直角坐标系，

则点 A 坐标为（3，5）；

A

B

C

y

O x

1

1

（2）S△ABC=5×5- 1

２ ×1×5- 1

２ ×3×4- 1

２ ×

5×2= 23

２ ．

5.（3，0）或（9，0）

6. 解：（1）△ABC 如图所示，△ABC 的面

积是 3×4- 1

2 ×1×2- 1

2 ×2×4- 1

2 ×2×

3=4；（2）（-4，3）；（3）∵ 点 P 为 x 轴上

一 点 ， △ABP 的 面 积 为 4，AO =1，

∴BP=8，∴ 点 P 的横坐标为 2+8=10

或 2-8=-6，∴ 点 P 的坐标为（10，0）

或（-6，0）．

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x

y

C

A

B

7. 解：（1）如图，S△AOB= 1

２ ×2×3=3；

O x

y

-5-4-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

A

B

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

（2）①若点 C 在 y 轴上，设点 C（0，

t），∵△ABC 的面积为 6，∴ 1

２ × t-3 ×

2=6，解得 t=9 或 t=-3．∴ 点 C 的坐标

为（0，-3）或（0，9）；

②若点 C 在 x 轴上，设点 C（m，0），则

1

２ × m+2 ×3=6，解得 m=2 或 m=-6，

∴ 点 C 的坐标为（2，0）或（-6，0）.

综上，点 C 的坐标为（0，-3）或（0，9）

或（2，0）或（-6，0）.

第四章 一次函数

4.1 函 数

考点集训/夯实基础

1. D 2． D

3. 4 提示：由题意，得当 y=3 时，x=1或

x=5，所以有效时长是 5-1=4（h）．

4.（1）该剧院观众席的座位数 排数；

（2）y 增加 3；（3）y=3x+47.

5. C 提示：由题意知，x-2≥0 且 x-3≠

0，解得 x≥2 且 x≠3，所以 x 的取值

范围是 x≥2 且 x≠3.

6. 解：（1）当 x=300 时，y=1.5×300=450；

（2）根据题意可知，y=1.5x（x 为非负

整数）.

7. B

综合检测/巩固排查

8. C 提示：A，B，D 中，对于 x 的每一个

值，y 都有两个值与它对应，故 y 都不

是 x 的函数；C 中，对于 x 的每一个

值，y 都有唯一的值与它对应，故 y 是

x 的函数.

9. C 提示： 每件商品的实际售价为

150×0.8=120（元），所以 y 与 x 之间

的关系式为 y=120x．

10. C 提示：A.在这个变化过程中，气

温是自变量，声速是自变量的函数，正

确，不合题意；B.声速随气温的升高

而增大，正确，不合题意；C.声速 v 与

气温 T 的关系式为 v=330+ 6

10 T= 3

5 T+

330，错误，符合题意；D.气温每升高

10 ℃，声速增加 6 m/s，正确，不合

题意．

11. x≥1 且 x≠2

12． 2 提示：因为 x＝3＞1，所以将 x＝3

代入 y＝－x＋5，得 y＝－3＋5＝2．

13. 47 提示：根据函数图象的纵坐标，

可得 1 kg 内（含 1 kg）22 元，超过 1

kg 部分每增加 0.5 kg 范围内，邮件

快递费增加 5 元．所以当 t=3.2 时，P=

42+5=47，故质量为 3.2 kg 的邮件快

递费为 47 元.

14. 解：（1）这个图象反映了水深和时间

之间的关系；

（2）填表如下：

t/时 3 6 9 12

h/m 7 5 3 5

（3）确定；

（4）根据函数的定义判断，水深 h 可

以看成时间 t 的函数.

15. D 提示：根据题意得，x-2≠0 且 x+

1≥0，解得 x≥-1 且 x≠2．

创新应用/核心素养

16. 3 提示：由图象可得，“龟兔再次赛

跑”的路程为 1 000 m，故①正确；兔

子和乌龟不是同时从起点出发的，乌

龟先出发，故②错误；乌龟在途中休

息了 40-30=10（min），故③正确；兔

子比乌龟早 60-50=10（min）到达目

的地，故④正确，所以正确的有 3 个.

4.2 一次函数与正比例函数

考点集训/夯实基础

1. B ２. ２ ｙ＝２ｘ ≠０

3. y=2.5x-0.5 一次 提示：因为第一

年先植树 2 万亩，以后每年都种 2.5

万亩，所以植树的总面积 y（万亩）与

时间 x（年）的函数关系式是 y =2 +

2.5（x-1）=2.5x-0.5，它是一次函数.

4. 解：（1）因为离地面距离每升高 1 km，

气温下降 6 ℃，所以该地空中气温 T

（℃）与高度 h（km）之间的函数表达

式为 T=24-6h，T 是 h 的一次函数；

（2）当 h=3 时，T=24-6×3=6（℃），

即距地面 3 km 处的气温 T 为 6 ℃；

（3）当 T=-6 ℃时，-6=24-6h，解得 h=5，

即距地面的高度 h 为 5 km．

5. B 提示：因为函数 y=（m-1）x2- m +3

是关于 x 的一次函数，所以 2- m =

1，m-1≠0．解得 m=-1．

综合检测/巩固排查

6. B 7. C 8. Ｃ

9. Ｄ 提示：一次函数 Ｔ＝１０- d

150 可以

写成 T＝- 1

150 ｄ＋１０，因此 ｋ＝－ 1

150 .

10. m≠1 提示：因为 y=mx-x+3 是一

次函数，y=mx-x+3=（m-1）x+3，所以

m-1≠0，即 m≠1.

11. ｙ＝８.２ｘ 提示：售出 １ 个，售价为

（８＋０.２）元；售出 ２ 个，售价为（２×８＋

２×０.２）元；售出 ３ 个，售价为（３×８＋３×

０.２）元……售出 ｘ 个，售价为（ｘ×８＋

ｘ×０.２）元．依题意有 ｙ＝ｘ×８＋ｘ×０.２＝

８.２ｘ． 故 ｙ 与 ｘ 之间的函数关系式是

ｙ＝８.２ｘ．

１2. 解：（１）根据一次函数的定义，得 ２－

ｍ ＝１，解得 ｍ＝±１，又因为 ｍ＋１≠０，

即 ｍ≠－１，所以当 ｍ＝１，ｎ 为任意实

数时，这个函数是一次函数；

（２）根据正比例函数的定义，得 ２－

ｍ ＝１，ｎ＋４＝０，解得 ｍ＝±１，ｎ＝－４，又

因为 ｍ＋１≠０，即 ｍ≠－１，所以当 ｍ＝

１，ｎ＝－４ 时，这个函数是正比例函数．

13. 解：（1）y=60x，是一次函数，也是正

比例函数；

（2）y=πx2

，不是一次函数，也不是正

比例函数；

（3）y=50+2x，是一次函数，不是正比

例函数.

14. 解：（1）由题意可知，y1=30x+200，y2=

40x；

（2）x=18 时，y1=30x+200=30×18+200=

740，即按方式一小亮游泳的总花费

为 740 元；

（3）x=24 时，y1=30x+200=30×24+200=

920，y2=40x=40×24=960，920＜960，故

小亮选择方式一付费更合算；

（4）当 y1=y2 时，30x+200=40x，解得 x=

20，即小亮一年内来此游泳馆 20 次，

按方式一和方式二所付费用相同.

15. A

16. 解：（1）根据题意，得

①当 0≤x≤5 时，y=20x；

②当 x＞5 时，y=20×0.8（x-5）+20×5=

16x+20；

（2）把 x=30 代入 y=16x+20，得 y=16×

30+20=500.所以一次购买玉米种子

30 kg，需付款 500 元.

创新应用/核心素养

17. 二 提示：因为“关联数”为［3，m2］的一次函数是正比例函数，所以 y=

3x+m-2 是正比例函数，所以 m-2=0，

解得 m=2，则 1-m=-1，1+m=3，故点

（1-m，1+m）在第二象限．

4.3 一次函数的图象

第一课时 正比例函数的

图象及性质

考点集训/夯实基础

1. B 提示：正比例函数的图象是一条

经过原点的直线，只有 B 项符合题意.

2. B 提示：当 x=2 时，y= 1

2 ×2=1，所以

点（2，1）在正比例函数 y= 1

2 x 的图

象上．

3. 解：列表如下：

x 0 1

y=2x 0 2

y=-2x 0 -2

y= 5

3 x 0 5

3

在同一直角坐标系内分别描点、连

线，图象如下图所示.

-3 -2 -1 1 2 3 x

3

2

1

-1

-2

-3

y=2x

y= 5

3 x

y=-2x

y

O

4. D 提示：正比例的图象是一条直线，

故 A 正确；因为当 x= 1

m2 时，y=-1，所

以该函数图象过点 1

m2 - ，-1 (，故 B

正确；C.因为 k=-m2

＜0，所以 y 随着 x

减少而增大，且函数图象经过第二、

四象限，故 C 正确，D 错误．

5.（1）增大 y=4x （2）减小 y=-4x

6. 1 提示：因为 k>0，所以 y 随 x 的值

增大而增大，所以当 x=4 时，y 最小，

最小为 1.

7. 解：（1）m=0；（答案不唯一）

（2）m=-3；（答案不唯一）

（3）m=- 1

2 .

8. B 提示：根据三个函数图象所在象

限可得 a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越

陡， k 越大，可得 b＞c，所以 a＜c＜b.

综合检测/巩固排查

9. A 10. B 11. B

12. C 提示：A．图象经过原点，错误；

B．y 随 x 的增大而减小，错误；C.图象

经过第二、四象限，正确；D．当 x= 1

3

时，y=-1，错误.

13. B 提示：把 x=m，y=4 代入 y=mx 中，

可得 4=m2

，解得 m=±2，因为 y 的值

随 x 值的增大而减小，

所以 m＜0，所以 m=-2.

14. y=-2x 提示：因为直线 l 过原点，

所以可设函数表达式为 y=kx，因为图

象经过点（-姨2 ，姨8 ），所以姨8 =

-姨2 k，解得 k=-2，所以函数表达式

为 y=-2x．

15. y=x 或 y=-x 提示：因为点 A（m，n）

在直线 y=kx（k≠0）上，当-1≤m≤1

时， -1≤n≤1，所以点（-1， -1）或

（-1，1）在直线上，所以 k=1 或-1，所

以 y=x 或 y=-x.

16. 解：（1） 2

3 提示：因为正方形边长

为 2，所以 AB=2，在直线 y=2x 中，当

y=2 时，x=1，所以 OA=1，OD=1+2=3，

所以 C（3，2），将（3，2）代入 y=kx，得

2=3k，解得 k= 2

3 ；

（2）k 的值不会发生变化.

理由： 因 为 正 方 形 边 长 为 a， 所 以

AB=a，在直线 y=2x 中，当 y=a 时，x=

a

2 ，所以 OA= a

2 ，OD= a

2 +a= 3

2 a，所

以 C 3

2- a，a ，，将 3

2， a，a ，代入 y =

kx，得 a=k× 3

2 a，k= 2

3 ，所以 k 的值

不会发生变化．

17. 解：（1）列表如下：

x 0 1

y=5x 0 5

175 176

描点、连线如下图所示；

y

x

5

4

3

2

1

-1

-2

y=5x

-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4

（2）列表如下：

x 0 1

y=- 5

2 x 0 - 5

2

描点、连线如下图所示.

y

x

3

2

1

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y=- 5

2 x

O

18. A 提示：因为正比例函数 y=-2x 的

图象经过点 P（a-1，4），所以 4=-2（a1），解得 a=-1．

19．一、三 提示：因为 k=5＞0，所以函

数 y=5x 的图象经过第一、三象限.

创新应用/核心素养

20. C 提示：由题意可知，

y=2鄢x= 2x（x＞0）， ）-2x（x≤0），

所以当 x＞0 时，图象是函数 y=2x 的

图象中 y 轴右侧的部分；x≤0 时，图

象是函数 y=-2x 的图象中 y 轴左侧

的部分.

第二课时 一次函数的图象及性质

考点集训/夯实基础

1. D 2. Ｂ

3. 解：经过点（0，2）和（2，0）画函数 y=

-x+2 的图象，经过点（0，2）和（-1，0）

画函数 y=2x+2 的图象，如图所示.它

们的共同之处：都是一条直线且都经

过 y 轴上的点（0，2）.

x

y

O

2

2

y=2x+2

y=-x+2

4. Ａ 提示：把直线 ｙ＝ｘ 向上平移一个

单位长度后，其直线解析式为 ｙ＝ｘ＋１．

5. 3x 上

6. ２ 提示：直线 ｙ＝－３ｘ 向上平移 ５ 个

单位长度可得直线 ｙ＝－３ｘ＋５，所以

ｋ＝－３，ｂ＝５，所以 ｋ＋ｂ＝－３＋５＝２．

7. 解：画出图象如下.

y

O x

y=-x

y=-x-3

y=-x+2

2

2

8. A 提示：因为 k=-1＜0，所以 y 随 x

的增大而减小，因为 1＜2，所以 m＞n．

9. B 提示：因为一次函数 y=kx+b，y 随

x 的增大而减小，且 b＜0，所以 k＜0，

b＜0，所以该函数图象经过第二、三、

四象限，符合题意的是 B 选项中的图象.

10. B 提示：在一次函数 y=- 1

2 x+2 中，

k=- 1

2 ＜0， 所以 y 随 x 的增大而减小.

又 1≤x≤4，所以当 x =1 时，y 取最

大值，最大值为- 1

2 ×1+2= 3

2 ．

11. 解：当 y=5 时，4x+3=5，解得 x= 1

2 ；

9x-2=5，解得 x= 7

9 ，所以当 x 从 0 开

始增大时，函数 y=4x+3 的值先达到5.

当 y=19 时，4x+3=19，解得 x=4；

9x-2=19，解得 x= 7

3 ，

所以当 x 从 0 开始增大时，函数 y=9x2 的值先达到 19.

这说明了一次函数 y=kx+b（k＞0）中，

k 的值越大，y 的值增长得越快.

12. 解：（1）因为该一次函数的图象与 y

轴的交点坐标是（0，-5），所以 n-4=

-5，解得 n=-1；

（2）m=0 或 m=1；（答案不唯一）

（3）当 n-4=0，6+3m≠0，即 n=4，m≠

-2 时，函数的图象过原点；

（4）当 m＝ 1

3 ，n=5 时，一次函数的表

达式为 y=7x+1．当 x=0 时，y=1；当 y=

7x+1=0 时，x＝- 1

7 ．所以图象与 x 轴

交点坐标为 - 1

7 ， ，0 &，与 y 轴交点坐

标为（0，1）．

13. 解：因为该函数图象不经过第二象限，

所以该函数图象可能经过第一、三象

限或第一、三、四象限.①若该函数图

象经过第一、三象限，则 n=0，m＞0；

②若该函数图象经过第一、三、四象限，

则 m＞0，n＜0. 综上，m＞0，n≤0 时，函

数 y=mx+n 的图象不经过第二象限.

综合检测/巩固排查

14. A 提示：因为正比例函数 y=kx（k≠

0）的函数值 y 随 x 的增大而减小，

∴k＜0，因为一次函数 y=x+k 的一次

项系数大于 0，常数项小于 0，所以一

次函数 y=x+k 的图象经过第一、三、

四象限．

15. D 提示：一次函数 y=kx+b 的图象

沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后，得

到图象的关系式是 y=kx+b+3=2x+2，

所以 k=2，b=-1，所以 y=2x-1.

16. C 提示：A.当 x=1 时，y=2-4=-2≠

2，图象不经过点（1，2），故错误；B.与

x 轴的交点坐标为（2，0），故错误；

C.因为 k=2＞0，b=-4＜0，所以图象经过

第一、三、四象限，故正确；D.∵ 两函

数表达式中 k 值不相等，故 y=2x-4不

能由函数 y=-2x 的图象平移得到，故

错误．

17． Ｂ 提示：当自变量由 ０ 增加到 ３时，

函数值相应地由 １ 增加到 １０，增加了

10-1=9.

18. D 提示：观察函数图象可知：a＞0，

b＜0，所以 a-b＞0，当 x=1 时，y=a+b＞

0，所以 姨（a-b）2 - a+b =（a-b）-

（a+b）=-2b．

19. A

20. ＜ 提示：因为一次函数 y=x-1 中k=

1，所以 y 随 x 值的增大而增大，又因

为 x1＜x2，所以 y1＜y2．

21． 三 提示：点 Ｐ（ａ，ｂ）在第二象限

内，则 ａ＜０，ｂ＞０，则直线 y=ax+b 经过

第一、二、四象限，不经过第三象限．

22. 4 提示：将直线 y=x+b 沿 y 轴向下

平移 3 个单位长度，得直线 y=x+b-3．

因为点 A（-1，2）关于 y 轴的对称点

是点（1，2），所以把（1，2）代入 y=x+

b-3，得 1+b-3=2，解得 b=4．

23． ①②④譽訛

24. ±姨2 提示：若两直线平行，则自

变量 x 的系数相等，即 m2

-4=-2，m1≠-3，解得 m=±姨2 .

25. 36 提示：因为一次函数 y=x+6 的

图象经过点 P（a，b）和 Q（c，d），所以

b=a+6，d=c+6，所以 a-b=-6，c-d=-6，

所以 a（c-d）-b（c-d）=（c-d）（a-b）=

（-6）×（-6）=36．

26. 解：（1）（-6，0） （0，4） 提示：把 x=

0 代入 y= 2

3 x+4，得 y=4，即点 B 的坐

标为（0，4）；把 y=0 代入 y= 2

3 x+4，得

2

3 x+4=0，解得 x=-6，即点 A 的坐标

为（-6，0）；

（2）S△AOB= 1

2 ×6×4=12，即△AOB 的面

积为 12.

27. C

28． D 提示：由图象可知，一次函数的

图象过第一、二、四象限，所以 k-2＜

0，所以 k＜2．

29. A 提示：当 x=0 时，y=x+2=0+2=2，

所以一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴

的交点坐标为（0，2）．

30. D 提示：平移后所得直线的解析式

为 y=x+3，把 x=2 代入解析式，得 y=

x+3=5，所以点（2，5）在该平移后的直

线上.

31. A 32. y=3x+2 33. ＜

创新应用/核心素养

34. 解：（1）①3x- 3

2 ；② 5

2 -x；

提示：当 x≥1 时，2x-2≥0，y= 2x-2 +

x+ 1

2 =2x-2+x+ 1

2 =3x- 3

2 ；

当 x＜1 时，2x-2＜0，y= 2x-2 +x+ 1

2 =

2-2x+x+ 1

2 = 5

2 -x；

（2）如图所示；

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

y

O

y= 2x-2 +x+ 1

2

（3）当 x≥1 时，y 随 x 增大而增大．

（答案不唯一）

阶段小测（4.1、4.2、4.3）

1. D 2. D 3. D 4. B 5. D 6. D

7. B 提示：由题意，得 y=20-5x，20÷5=

4（h），所以 0≤x≤4，所以 y =20 -5x

的图象是一条线段，因为 k=-5＜0，所

以 y 随 x 的增大而减小，只有 B 符合.

8. B 提示：当 y=0，即 2x+4=0 时，x=-2，

所 以 点 A 的 坐 标 为（-2，0）． 因 为

△OAC 是以 OA 为边的等边三角形，

所以点 C 的坐标为（-1，- 姨3 ）．当

x=-1 时，y=2x+4=2，所以点 C′的坐标

为（-1，2），所以 m=2-（-姨3 ）=2+姨3 ．

9. 2（答案不唯一，k＜ 5

2 即可）

提示：因为一次函数 y=（2k-5）x+2 中

y 随 x 的增大而减小，所以 2k-5＜0，

k＜ 5

2 ，所以 k=2 满足条件.

10. 1 提示：根据题意得 AB=AC=姨2 ，

令 x=0，则 y=b，所以点 B 的坐标为

（0，b），OB=b，令 y=0，则 x=-b，所以

点 A 的 坐 标 为（-b，0），OA =b， 在

Rt△AOB 中，AB2

=OA2

+OB2

，即（姨2 ）2

=

b2

+b2

，解得 b=±1，因为 b＞0，所以 b=1.

11. 150 提示：由图象可知，t=2 时，S=

1 200-（1 650-1 200）÷（5-4）×（4-2）=

300，即工作 2 h，绿化组完成绿化面

积 300 m2

，所以该绿化组提高工作效

率前每小时完成的绿化面积是 300

2 =

150（m2

）.

12. 解：（1）气温 声速 气温 声速

气温；（2）3 331+ 3

5 T；

（3）把 T=30 代入 V=331+ 3

5 T，得 v=

349，所以发生打雷的地方距小明大

约有 349×6=2 094（m）.

13. 解：（1）令 y=0，则 x=3，令 x=0，则 y=3，

所以图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分

别为（3，0），（0，3）；

（2）此函数的图象如图；

O x

y

y=-x+3

1

1

（3）当 x=2 时，y=-2+3=1≠5，所以点

（2，5）不在该函数的图象上.

14. 解：（1）因为函数 y=（m+1）x+（m2

-1）

是正比例函数，所以 m+1≠0 且 m2

-

1=0．解得 m=1；

（2）根据一次函数的定义可知：m+

1≠0，所以 m≠-1.

15. 解：（1）在 y=2x+3 中，令 x=0，得 y=3；

令 y=2x+3=0，解得 x=- 3

2 ，所以点 A

- 3

2 ， ，0 &，点 B（0，3），所以 S△AOB= 1

2 ×

3 × - 3

2 = 9

4 ；

（2）把 l1：y=2x+3 向下平移 1 个单位

长度后得 l2：y=2x+2；

（3）直线 l2：y=2x+2 与x 轴、y 轴的交

点分别为 C（-1，0），D（0，2），所以

S△CBD= 1

2 × -1 × 3-2 = 1

2 .

16. 解：（1）y1=8x，y2=4x+120；

（2）依题意得 y1=y2，即 8x=4x+120，

解得 x=30，∴ 购买仪器 30 件时，两种

方案所需的费用相同；

（3）当 x=50 时，y1=8×50=400，

y2=4×50+120=320，∵y1＞y2，

∴ 若学校需要仪器 50 件时，采用方

案二便宜．

4.4 一次函数的应用

第一课时 确定一次函数表达式

考点集训/夯实基础

1. B 2. A

3. - 1

4 提示：因为正比例函数 y=kx，

当 x=-2 时，y=-1，所以-1=-2k，解得

k= 1

2 ，所以正比例函数的解析式为

y = 1

2 x ，所以当 x = - 1

2 时， y = 1

2 ×

- 1 ，2 &=- 1

4 ．

4. 解：设直线 l 的表达式为 y=kx，

根据题意，得 1=-2k，解得 k=- 1

2 ，

所以直线 l 的解析式为 y=- 1

2 x.

因为当 x=-6 时，y=- 1

2 ×（-6）=3≠-3，

当 x=4 时，y=- 1

2 ×4=-2，

所以点 A（-6，-3）不在该函数的图象

上，点 B（4，-2）在该函数的图象上.

5. D 提示：根据题意得-2姨3 +b=姨3 ，

解得 b=3姨3 .

6. D 提示：因为一次函数 y=kx+b 的图

象与直线 y=-x+1 平行，所以 k=-1，

因为一次函数图象过点（8，2），所以

2=-8+b，解得 b=10，所以一次函数解

析式为 y=-x+10．

7. 解：（1）因为一次函数 y=kx+b 的图象

经过 A（2，4），B（0，2）两点，

所以 2k+b＝4，b＝2，解得 k＝1，b＝2，所

以此一次函数的表达式为 y=x+2；

（2）因为当 y=x+2=0 时，解得 x=-2，

所以点 C（-2，0），所以 OC=2，又因为

点 A（2，4），所以点 A 到直线 OC 的

距离为 4，所以 S△AOC= 1

2 OC×4= 1

2 ×

2×4=4．

8. A 提示：因为 y 与（x-2）成正比例，

177 178

所以设 y=k（x-2），由题意得，-2=k（1-

2），解得 k=2，所以 y=2x -4，当 x =3

时，y=2×3-4=2.

综合检测/巩固排查

9. B

10. C 提示：设一次函数表达式为 y=kx+

b，把（0，3）代入得 b=3，当 y=0 时，

kx+3=0，解得 x=- 3

k ，则直线与 x 轴

的交点坐标为 - 3

k ， ，0 \"，因为一次函

数的图象与两坐标轴所围成的三角

形的面积为 3，所以 1

2 × - 3

k ×3=3，

解得 k=±1.5，所以一次函数解析式为

y=1.5x+3 或 y=-1.5x+3．

11． Ｄ 提示：由图象可得直线 ｍ 经过

点（０，－２）和点（１，０），将两点坐标代

入函数解析式 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，可得 ｂ＝－２，ｋ＋

ｂ＝０，解得 k=2.

12. B 提示：由题意得：点 P 关于 y 轴

的对称点的坐标为（2，4），代入 y=x+

b，得 2+b=4，解得 b=2．

13. -1 提示：设该正比例函数的解析

式为 y=kx（k≠0），则 k=-2，所以 y=-2x，

根据题意得-2a=2，解得 a=-1.

14. y=-3x+5 提示：设所求一次函数的

解析式为 y=kx+b，因为函数的图象

与直线 y=-3x+1 平行，所以 k=-3，又因

为函数图象过点（2，-1），所以-1=-3×

2+b，解得 b=5，所以一次函数的解析

式为 y=-3x+5.

15. 解：（1）根据题意可设 y=kx+b（k≠0），

因为当 x=0 时，y=25，所以 b=25，所

以 y=kx+25，因为当 x=2 时，y=15，所

以 2k+25=15，解得 k=-5.所以 y 与 x

之间的关系式为 y=-5x+25；

（2）当 y=0 时，-5x+25=0，解得 x=5，

所以经过 5 h 可以把水池的水排完．

16. 解：（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b，

因为直线 l 过点 C（2，2），B（0，4），

所以 2＝2k+b，b＝4，解得 k＝-1，b＝4，

所以直线 l 的表达式为 y=-x+4；

（2）令 y=-x+4=0，解得 x=4，

所以点 A（4，0），所以 S△AOB= 1

2 ×AO×

BO= 1

2 ×4×4=8；

（3）因为 OA=4，OB=4，

所以 AB= OA2

+OB 姨 2 =4姨2 ，

若 AB=AP，则在点 A 左边，OP=4姨2 -

4，在点 A 右边，OP=4姨2 +4，

所以点 P 坐标为（4 姨2 +4，0）或

（4-4姨2 ，0）；

若 BP=AB=4姨2 ，则点 P（-4，0）；

若 AP=BP，则点 P 坐标为（0，0）.

综上，点 P 的坐标为（4姨2 +4，0）或

（4-4姨2 ，0）或（-4，0）或（0，0）.

17. C 提示：设该正比例函数的表达式

为 y=kx（k≠0），因为正比例函数的

图象经过点（2，-1），所以-1=2k，解得

k=- 1

2 ，所以这个正比例函数的关系

式是 y=- 1

2 x．

18. C 提示：将（-2，0），（0，1）代入，得

-2k+b＝0，b＝1，解得 k＝ 1

2 ，b＝1，所以

y= 1

2 x+1，将点 A（3，m）代入，得 3

2 +

1=m，即 m= 5

2 .

创新应用/核心素养

19. B 提示：如图，由正方形的对称性

可知，在直线 CD 和直线 CE 之间的直

线（如图），两侧的格点数相同，所以

直线 y=-k（x+1）在直线 CD 和直线

CE 之间，当直线 y =-k（x +1）过 点

E（-3，3）时，3=2k，解得 k= 3

2 ，当直线

y=-k（x+1）过点 D（-3，4）时，4=2k，解

得 k=2，所以 3

2 ＜k＜2，只有 B 符合题意.

B

A

y

O x

D

E

C

第二课时 借助单个一次函数图象

解决问题

考点集训/夯实基础

1. A 提示：因为 CD∥x 轴，所以从第

50 天开始植物的高度不变，故①正

确；设线段 AC 的表达式为 y=kx+b（k≠

0），由函数图象可知，点 A（0，6），

B（30，12）在函数图象上，所以 b＝6，

把（30，12）代入 y=kx+6，得 30k+6 =

12，解得 k＝ 1

5 ，所以线段 AC 的表达

式为 y= 1

5 x+6，故②正确；当 x=40时，

y= 1

5 ×40+6=14，即第 40 天，该植物

的高度为 14 cm，故③正 确 ； 当 x=

50 时，y= 1

5 ×50+6=16，该植物最高为

16 cm，故④错误．综上所述，正确的

是①②③．

2.（1）1 000 （2）5 （3）200

（4）手机每天消耗的电量 手机电板

的最大带电量 （5）4 提示：（1）根据

函数图象可知 y 的最大值是 1 000

毫安，所以此种手机的电板最大带电

量是 1 000 毫安；（2）当 y=0 时，对应

的 x=5，所以此种手机在充满电时最

多可供手机消耗 5 天；（3）此种手机

每天消耗电量为（1 000 -600）÷2 =

200（毫安）；（4）图象过点（0，1 000）

和点（2，600），则 b=1 000，2k+b=600，

解得 k=-200，所以图象对应的一次

函数关系式为 y=-200x+1 000，所以 k

的实际意义是手机每天消耗电量，b

的实际意义是手机电板的最大带电

量；（5）当 y=200 时，-200x+1 000=200，

解得 x=4，所以在手机充满电后，使

用 4 天后，手机会发出提示音.

3. C 提示：直线 y=ax+b 过点 B（-2，0），

所以方程 ax+b=0 的解是 x=-2.

4.（3，0） 提示：因为一元一次方程 axb=0 的解 x=3，所以函数 y=ax-b 的图

象与 x 轴的交点坐标为（3，0）.

5. x=-3 提示：方程 ax=-b 可变形为 ax+

b=0，因为直线 y=ax+b（a≠0）经过点

A（-3，0），所以方程 ax+b=0 的解是

x=-3．

综合检测/巩固排查

6. C 7. C

8. B 提示：每分钟的进水量为 20÷4=5

（L），每分钟的出水量为 5-（30-20）÷

（12-4）=3.75（L）．

9. 5 提示：设一次函数的解析式为 y=

kx +b， 将（0，1），（2，5）代 入 ， 得 b ＝

1，2k+b＝5，解得 k＝2，所以函数解析

式为 y=2x+1，当 y=11 时，2x+1=11，

解得 x=5，所以至少需要 5 s 能把小

水杯注满．

10. 解：（1）由题图知，当 x=0 时，y=40，

即盒内原来有 40 元钱；

（2）由题图知，当 y=200 时，x=8，即该

同学经过 8 个月能存够 200 元；

（3）由图象可设一次函数关系式为

y=kx+b，将（0，40），（8，200）代入得，

b=40，8k+b=200，解得 k=20，所以一

次函数关系式为 y=20x+40，当 y=140

时，20x+40=140，解得 x=5，即该同学

经过 5 个月能存够 140 元；

（4）k 的实际意义是每个月存入的钱

数，b 的实际意义是储蓄盒内原来的

钱数.

11. A

12. 解：（1）设该一次函数解析式为 y=kx+

b，根据图象可得，点（0，60），（150，45）

在函数图象上，所以 b=60，将（150，45）

代入 y=kx+60 中，得 150k+60＝45，解

得 k＝- 1

10 ，所以该一次函数表达式

为 y=- 1

10 x+60；

（2）当 y=- 1

10 x+60=8 时，解得 x=520．

即行驶 520 km 时，油箱中的剩余油量

为 8 L．

530-520=10（km），油箱中的剩余油

量为 8 L 时，距离加油站 10 km．所以

在开往该加油站的途中，汽车开始

提示加油，这时离加油站的路程是

10 km.

创新应用/核心素养

13. 解：（1）设 PQ 的解析式为 y=kx+b，

由图象可知，（0，30）， 1

2， ，20 \"在函

数图象上，所以 b＝30， 1

2 k+30＝20，解

得 k ＝-20，所以 y =-20x +30．当 y =0

时，-20x+30=0，解得 x=1.5，所以点 Q

（1.5，0）．点 Q 的实际意义：甲、乙两

人分别从 A，B 两地同时出发后，经

过 1.5 h 两人相遇；

（2）由题意和图象得甲到达 B 地，用

时 2.5 h，所以甲的速度为 30÷2.5＝

12（km/h）.设乙的速度为 a km/h，由Q

点的坐标和实际意义可得 1.5（12+a）=

30，解得 a=8，所以乙的速度为 8 km/h.

第三课时 借助两个一次函数图象

解决问题

考点集训/夯实基础

1. A 提示：由图象可知，当 x＜10 时，

y2＞y1；当 x=10 时，y2=y1；当 x＞10 时，

y1＞y2，所以当 x=12＞10 时，y1＞y2.

2.（1）2 提示：慢车比快车早出发 2 h；

（2）4 276 提示：快车出发 6-2=

4（h）后追上慢车，此时它们离 A 地

276 km；

（3）4 提示：快车比慢车早 18-14=

4（h）到达 B 地；

（4）69 46 提示：快车的速度是828÷

（14-2）=69（km/h），慢车的速度是

828÷18=46（km/h）.

3. 解：（1）从图象上可以看出：当 x＜16

时，y 国有＜y 个体；当 x=16 时，y 国有=y 个体；

当 x＞16 时，y 国有＞y 个体．所以若该公司

每月业务量小于 1 600 千米时，应选

用国有公司的车；若每月业务量等于

1 600 千米时，选用国有和个体公司的

车都一样；若每月的业务量大于 1 600

千米时，应选用个体出租公司的车；

（2）当 x=16 时，y 国有=y 个体=1 760 元，

所以两图象交点的坐标为（16，1 760），

两图象交点坐标的实际意义是当行

驶 1 600 千米时，国有公司和个体出

租车公司租车费用相同，均为 1 760 元.

4. 3

2 提示：设 s 甲 =kt，因为图象过

（2，4），所以 2k=4，解得 k=2，所以

s 甲=2t．设 s 乙=mt+n，因为图象过（2，4），

（0，3）两点，所以 n=3，2m+3=4，解得

m= 1

2 ，所以 s 乙= 1

2 t+3，当 t=3 时，

s 甲-s 乙=6- 9

2 = 3

2 ，即他们之间的距

离为 3

2 km.

综合检测/巩固排查

5. A 提示：通过观察图象可知，当所挂

物体质量均为 2 kg 时，y1＞y2.

6. 2

3 或 4

3 提示：由题图可知，小聪的

速度为 36 ÷3 =12（km/h），小明的速

度为 36÷（3-2）=36（km/h），设小明出

发 x h 时两车相距 8 km，则小聪出发

的时间为（x+2） h，根据题意得：12（x+

2）-36x=8 或 36x-12（x+2）=8，解得

x= 2

3 或 x= 4

3 ， 4

3 ×36=48＜50，所以出

发 2

3 h 或 4

3 h 时，行进中的两车相距

8 km．

7. 解：（1）当 x≥0.5 时，把（1，0.5）代入

y=x+b 得 b=-0.5；

（2）由（1）知手机支付的表达式为 y=

x-0.5，设会员卡支付对应的函数表达

式为 y=ax，则 0.75=a×1，得 a=0.75，

即会员卡支付对应的函数表达式为

y=0.75x，令 0.75x=x-0.5，得 x=2.

答：当 0＜x＜2 时，李老师选择手机支

付比较合算；当 x=2 时，李老师选择

两种支付方式一样；当 x＞2 时，李老

师选择会员卡支付比较合算．

8. 解：（1）由函数图象可设 y 甲=k1x，因

为点（5，100）在函数图象上，所以 5k1=

100，解得 k1=20，所以 y 甲=20x.设 y 乙=

k2x+b，因为点（0，100）和（20，300）在

函数图象上，所以 b=100，20k2+100=

300，解得 k2=10，所以 y 乙=10x+100；

（2）10 提示：当甲、乙两种消费卡所

需费用相同时，y 甲=y 乙，即 20x=10x+

100，解得 x=10；

（3）当 y 甲=20x=260 时，解得 x=13，当

y 乙 =10x+100=260 时，解得 x=16，因

为 13＜16，所以选择乙种消费卡入园

次数更多.

创新应用/核心素养

9.（32，4 800） 提示：由题意可知，良

马 s 关于 t 的函数表达式为 s1=240（t12），驽马 s 关于 t 的函数表达式为

s2=150t，当 s1=s2 时，150t=240（t-12），

解得 t=32，则 150t=150×32=4 800，

即点 P 的坐标为（32，4 800）.

专题集训 函数图象信息题

1. A 2. B

3. C 提示：由图象可知，西瓜降价前的

价格为 80÷40=2（元/千克），西瓜降价

后的价格为 2×0.75=1.5（元/千克），故

A 错误；因为 2-1.5=0.5（元），所以降

价前的单价比降价后的单价多 0.5

元，故 D 错误；李叔叔一共进了：40+

110-80

1.5 =60（千克）西瓜，故 B 错误；

售完西瓜后李叔叔获得的总利润为

110-1.1×60=44（元），故 C 正确.

4. D 提示：由图象可知，乙比甲提前：

40 -28 =12（min）到达培训中心，故

①错误；甲的平均速度为 10÷ 40

60 =

15（km/h），故②正确；乙的平均速度

为 10÷ 28-18

60 =60（km/h），设甲、乙

相遇时，甲走了 x min，则 15× x

60 =60×

x-18

60 ，解得 x=24，则甲、乙相遇时，

乙走了 60× 24-18

60 =6（km），故③正

确；乙出发 24-18=6（min）后追上甲，

故④正确.

5. 解：动点 P 在 BC 上运动时，对应的时

间为0 到 4 s，所以 BC=2×4=8（cm）；

a= 1

2 ×BC×AB= 1

2 ×8×6=24．

由题图可得：CD=（6-4）×2=4（cm），

DE=2×（9-6）=6（cm），

则 AF =BC+DE=8 +6 =14（cm），又由

AB=6 cm，所以动点 P 共运动了 BC+

CD+DE+EF+AF=BC+DE+AF+AB=8+

6+14+6=34（cm），

其速度是 2 cm/s，则 b= 34

2 =17，

所以 BC 长为 8 cm，a 为 24，b 为 17.

179 180

期中复习专题集训

专题集训一 勾股定理——

图形构造问题、分类讨论

1. B 2. C 3. 8

4. 5姨13

13 提示：由图知，△ABC 是等

腰三角形，如图，过点 C 作 CD⊥AB

于点 D，

C

A

B

D

因为 AB=AC= 22

+3 姨 2 =姨13 ，

BC= 12

+1 姨 2 =姨2 ，所以 BC 边上的

高= （姨13 ）2

-姨2 22 %2

姨 = 5姨2

2 ，

设 CD = h ， 所 以 S △ ABC = 1

2 × 姨2 ×

5姨2

2 = 1

2 ×姨13 h，解得 h= 5姨13

13 ．

5. D 提示：已知半圆的面积为 8π，所

以半圆的直径为 2· 16π

姨 π =8，即直

角三角形的斜边长为 8，设两个正方

形的边长分别为 x，y，则根据勾股定

理得：x2

+y2

=82

=64，即两个正方形面

积的和为 64．

6. D 提示：S 阴影= 1

2 AC2

+ 1

2 BC2

+ 1

2 AB2

=

1

2 （AB2+AC2+BC2

），因为 AB2=AC2+

BC2=52

=25，所以 AB2

+AC2

+BC2

=25+

25=50，所以 S 阴影= 1

2 ×50=25．

7. 1

22 %4 或 1 2 16 % 提示：因为正方形

ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直

角三角形，

所以 DE2

+CE2

=CD2

，DE=CE，

所以 S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=12

=

1，S2= 1

2 S1= 1

2 ，S3= 1

2 S2= 1

4 ，S4= 1

2 S3=

1

8……所以 Sn= 1

22 %n-1

，当 n=5 时，

S5= 1

22 %5-1

= 1

22 %4

= 1

16 ．

8. D 提示：①如图 １，顶角的顶点是正

方形的顶点，AC=AB=5，由勾股定理，

得 BC= AB2

+AC 姨 2 = 52

+5 姨 2 =5姨2 ；

C A

B

A

B

C

D

图 １ 图 2

②如图 ２，顶角的顶点在正方形的边

上，因为 AB=BC=5，所以 BD=3．

在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得 CD=

BC2

-BD 姨 2 =4．在 Rt△ACD 中，由勾

股定理，得 AC= AD2

+CD 姨 2 = 82

+4 姨 2 =

4姨5 .综上所述，等腰三角形的底边

长是 5姨2 或 4姨5 .

9. 4 或姨34 提示：当 3 和 5 都是直角

边长时，第三条边长为 32

+5 姨 2 =姨34 ；

当 5 是 斜 边 长 时 ， 第 三 条 边 长 为

52

-3 姨 2 =4.

10. 32 或 42 提示：如图 1，当 CD 在

△ABC 内部时，因为 AC=15，BC=13，

AB 边 上 的 高 CD = 12 ， 所 以 AD =

AC2

-CD 姨 2 = 152

-12 姨 2 =9，BD =

BC2

-CD 姨 2 = 132

-12 姨 2 =5，AB=AD+

BD=9+5=14，此时，△ABC 的周长=

14+13+15=42；

如图 2，当 CD 在△ABC 外部时，AB=

AD-BD=9-5=4，此时，△ABC 的周

长=4+13+15=32.综上所述，△ABC

的周长为 32 或 42．

D A B

C

A B

C

D

图 1 图 2

专题集训二 与二次根式有关的

规律问题

1. B 提示：根据题意可知，第奇数个数

据符号为正，第偶数个数据符号为

负，第 n 个数据的被开方数为 5（n1），所以第 101 个数据的符号为正，

被开方数是 5×100=500，所以第 101

个数据应是姨500 =10姨5 ．

2. B 提示：通过观察发现，每三个数一

循环，1，姨2 ，姨3 ，且第 n 排有 n个

数，因为（1+2+3+4+5+6+7）÷3=9……1，

所以（7，7）表示的数是 1，所以（8，1）

表示的数是姨2 ，（8，2）表示的数是

姨3 ，因为（1+2+3+…+2 014）÷3 =

676 368……1，所以（2 014，2 014）

表示的数是 1，所以姨3 ×1=姨3 ．

3. n2 姨 -1 =姨n-1 ×姨n+1（n≥1）

提示：观察已知式子可得规律： n2 姨 -1 =

姨n-1 ×姨n+1（n≥1）．

4. 55…5

n 个

提示：通过观察可知，根号下

有几个 3 或几个 4，结果中就有几个 5.

5. 解：（1）①原式=姨9 =3；

②原式=姨225 =15；

③原式=姨1 225 =35；

④原式=姨3 969 =63；

（2）第⑤个二次根式为 1012

-20 姨 2 =

99；

（3）第 n 个二次根式为

［（2ｎ）２

＋１］２ 姨 -（4ｎ）２ ．化简，

［（2ｎ）２

＋１］２ 姨 -（4ｎ）２ =

（４ｎ２

＋１）２ 姨 -（4ｎ）２ ＝

（４ｎ２

-４ｎ＋１）（４ｎ２ 姨 ＋４ｎ＋１） ＝

（２ｎ-１）（２ 姨 ２ｎ＋１）２ ＝（２ｎ－１）（２ｎ＋１）．

6. 解：（1）1 1

20

提示： 1+ 1

42 + 1

5 姨 2 =1+ 1

4 - 1

5 =1 1

20 ；

（2） 1+ 1

n2 + 1

姨 （n+1）2 =1+ 1

n - 1

n+1 =

1+ 1

n（n+1）；

（3） 50

49 + 1

姨 64 = 1+ 1

72 + 1

8 姨 2 =1+ 1

7 -

1

8 =1 1

56 .

专题集训三 新函数的探究

及新定义问题

1. 解：（1）3

2 ；

（2）该函数的图象如图所示；

y

-4-3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

O

（3）当 x=2 时所对应的点如图所示，

m 大约为 2.6；

（4）函数的性质：当 0＜x＜1 时，y 随 x

的增大而减小（． 答案不唯一）

2. 解：（1）x≠2；

（2）当 x=7 时，y= 6

25 ，所以 m= 6

25 ；

（3）该函数的图象如图所示；

7

6

5

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x

y

-1

-2

（4）函数图象关于直线 x=2 对称（. 答

案不唯一）

第五章 二元一次方程组

5.1 认识二元一次方程组

考点集训/夯实基础

1. B 2. Ｃ

3. ｋ≠１ 提示：根据定义可知 ｘ 的系数

不等于 ０，所以 ｋ－１≠０，所以 ｋ≠１.

4. 解：设此超市购进 A 型商品 x 件、B

型商品 y 件，依题意列方程组得

x+y＝60， 024x+36y＝1 680.

5. B 提示：∵ x＝6， 0y＝-2 是方程 mx-10=3y

的一个解，∴6m-10=-6，解得 m= 2

3 .

6. B 提示：将各组解分别代入方程组中，

只有 B 能满足方程组中的两个方程.

7. Ｄ 提示：将 ｘ＝１， 0ｙ＝１ 代入 ３ｘ－ｙ＝ｍ， 0ｘ＋ｍｙ＝ｎ，

得

３×１－１＝ｍ， 0１＋ｍ×１＝ｎ，

故 ｍ＝２，ｎ＝３，故 ｍ-ｎ =

２－３ ＝１.

8. 解：设 5 人一组的有 x 组，6 人一组的

有 y 组，根据题意可得 5x+6y=40，当

x=2 时，y=5 或 x=8，y=0.

9. 解：由题意得，2m-6≠0， m-2 =1，

n-2≠0，n2

-3=1，解得 m=1， 0n=-2.

综合检测/巩固排查

１0. Ｂ 11. D

12. B 提示：把 ｘ＝2， 0ｙ＝1 代入方程 2x+ay=

5，得 2×2+a=5，解得 a=1.

13. A 提示：根据题意，将 x=1 代入 x+

y=3，解得 y=2，将 x=1， 0y=2 代入 x+py=0，

得 1+2p=0，解得 p=- 1

2 .

14. B 提示：设毽子能买 x 个，跳绳能

买 y 根，根据题意可得 3x+5y=35，

∵x，y 都是正整数，∴x=5 时，y=4；x=

10 时，y=1；∴ 购买方案有 2 种．

15. -1 提示：根据题意，得 m-2 020=

1，n-1≠0， n =1，解得 m=2 021，

n=-1，∴nm=（-1）2 021

=-1.

16.（1）（2）（4） （2）（3）（5） （2）

17. 解：将 x=2， 0y=1 代入 2x+（m-1）y=2， 0nx+y=1 中，

得 4+m-1=2， 02n+1=1，解得 m=-1， 0n=0，

故（m+n）2 022

=（-1）2 022

=1.

18. 解：设购买笔记本 a 本，中性笔 b支，

则 2a+b=15，且 a，b 为正整数，

当 a=1 时，b=13；当 a=2 时，b=11；

当 a=3 时，b=9；当 a=4 时，b=7；

当 a=5 时，b=5；当 a=6 时，b=3；

当 a=7 时，b=1．故有 7 种购买方案.

19. B 提示：设一等奖 x 个，二等奖 y个，

根据题意，得 6x+4y=34，使方程成立

的正整数解有 x＝1， 0y＝7，

x＝3， 0y＝4，

x＝5， 0y＝1，共 3

组，∴ 方案一共有 3 种.

20. 1

创新应用/核心素养

21. D 提示：根据“每人出 9 钱，会多出

11 钱”可列方程 9x-11＝y，根据“每人

出 6 钱，又差 16 钱”可列方程 6x+16＝

y，故可列方程组 9x-11＝y， 06x+16＝y.

5.2 求解二元一次方程组

第一课时 代入消元法

考点集训/夯实基础

1. B 2. D

3. A 提示： 9x+4y＝1①， 0x+6y＝-11②，

由方程②，得 x=-11-6y③.

把③代入①，得 9（-11-6y）+4y＝1，

解得 y=-2，把 y=-2 代入③，得 x=1，

故 2×1+2k=10，解得 k=4.

4.（1）填写如下：

3x-2y=13

2x+y=4 y=_______ y=___

3x-2（_______）=13 x=__

变形

代入 解得

-2x+4

-2x+4

-2

3

（2）代入消元法

5. 解：（１） ｘ＝ｙ＋１①， 0２ｘ＋ｙ＝８②，

把①代入②，得

２（ｙ＋１）＋ｙ＝８，解得 ｙ＝２.

再把 ｙ＝２ 代入①，得 ｘ＝３.

∴ 方程组的解为 ｘ＝３， 0ｙ＝２；

（２） ３ｘ＋４ｙ＝１９①， 0ｘ－ｙ＝４②，由②，得 ｘ＝４＋ｙ③.

把③代入①，得 ３（４＋ｙ）＋４ｙ＝１９，解得

ｙ＝１．把 ｙ＝１ 代入③，得 ｘ＝４＋１＝５．

∴ 方程组的解为 ｘ＝５， 0ｙ＝１；

（３） ｘ＝ ８＋７ｙ

２ ①，

0３ｘ－８ｙ＝1０②，

把①代入②，得 3×

８＋７ｙ

２ -8y=10，解得 ｙ＝－ ４

５ .把 ｙ=- ４

５

代入①解得 ｘ＝ ６

５ .

∴ 方程组的解为

ｘ＝ ６

５ ，

ｙ＝－ ４

５

５

,

,

,,

+

,

,

,,

-

；

（４） 3x-2y＝42①， 0２ｘ＋ｙ＝１４②，由②，得 ｙ＝１４－２ｘ③.

将③代入①，得 3x-2（14-2x）=42，解

得 ｘ＝１０.将 ｘ＝１０ 代入③中，得 ｙ＝－６.

∴ 方程组的解为 ｘ＝１０， 0ｙ＝－６.

6. 解： 3x-y＝2①， 09x+8y＝17②，

由①，得 y=3x-2③，

把③代入②，得 9x+8（3x-2）=17，解

得 x=1.把 x=1 代入③，得 y=1.所以原

方程组的解是 x=1， 0y=1.

综合检测/巩固排查

7. C 8. D 9. Ｄ

10. D 提示：将 x=1， 0y=-1 代入 mx+2y=n， 04x-ny=2m-1

中，得 m-2=n， 04+n=2m-1，

解得 m=3， 0n=1.

11. B 提示： 2x+3y＝7①， 05x-y＝9②，由②，得 y=

5x-9③，把③代入①得，2x+3（5x-9）=

7，解得 x=2，把 x=2 代入③得，y=1，

把 x=2，y=1 代入 3x+my=8 得，6+m=

8，解得 m=2．

12. 5 提示：把 x=y+5 代入 2x-y=5，可

得 2y+10-y=5，解得 y=-5.

把 y=-5 代入 x=y+5 可得 x=0.方程组

的解为 x=0， 0y=-5，

因为 x=y+5， 02x-y=5 的解满

足方程 x+y+a=0，则 0+（-5）+a=0，a=5.

13. 解：（1）把②代入①得，2x-3（2x+3）=

7，-4x=16，解得 x=-4.把 x=-4 代入

②，得 y=2×（-4）+3=-5.所以原方程

组的解为 x=-4， 0y=-5；

（2） 2x+3y=-1①， 04x-y=5②，由②，得 y=4x-5③.

把③代入①，得 2x+3（4x-5）=-1，解

得 x=1.把 x=1 代入③，得 y=-1.所以

原方程组的解为 ｘ＝１， 0ｙ＝-1.

１4. 解：把 ｘ＝１， 0ｙ＝２ 代入原方程组得

181 182