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江海名师 新高考课时练

数学 选择性必修第一册 3版

《江海名师新高考》编写组 编

江海名师 新高考课时练

数学 选择性必修第一册 3版

《江海名师新高考》编写组编

图书在版编目(CIP)数据

江海名师新高考课时练．数学选择性必修第一册/《江海名师新高考》编写组编.一3版.一南京：江苏凤凰美术出版社，2025.6

责任编辑李凡伟责任设计编辑责炜责任校对 曹玄麒责任监印于磊

书名江海名师新高考课时练.数学选择性必修第一册
编者 《江海名师新高考》编写组
出版发行江苏凤凰美术出版社(南京湖南路1号邮编210009)
印 刷
开 本 890\mmx1240\mm 1/16
印 张26
版 次2024年6月第3版2025年6月第2次印刷
标准书号
估 价99.80元

编者的话

本书依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下称新课标）要求编写，与时俱进、全面对接新课程、新高考，着重体现基础性、思维性，与《普通高中教科书数学选择性必修第一册》(苏教版)配套使用，以提升学生的关键能力和数学素养，是一套集教、学案于一体的精品教辅资料。

本书力求体现“低起点、小坡度、目标准、路子正”的编写特色，低起点，就是面向全体学生，贴近学生认知实际，根据学生学习新知识的特点，选题针对性强；小坡度，就是针对不同学校、不同班级的学生实际，例题与习题难度有一定的梯度，让不同层次的学生都能学有所得；目标准，就是瞄准新高考，对不同教学内容有相应的难度要求，例题讲解力求通性通法，体现一般解题规律，让学生学有所悟，切实减轻学生的学习负担，更好地提高本书的教学效益；路子正，就是严格遵循课程标准要求，知识内容不超纲，不出现偏题、难题、怪题，注意知识之间的前后联系，适当滚动提高，拓展适度。

本书每课时设置【课标要求】课本新知】辨析诊断】例题精析】随堂练习】课后检测【午练半小时】等栏目，让学生在明确课标要求的前提下，帮助学生梳理新知，检验自学效果，让学生更好地辨析理解数学知识.

【课标要求】一—让学生明确本节内容的新课标要求，包含的知识点；技能、方法；能力、素养等具体要求，让学习目标清晰.

【课本新知】——以表格化、填空式呈现，帮助学生在自主学习课本知识的基础上对所学内容进行知识梳理，培养学生的自学能力.

【辨析诊断】——针对核心概念，选择典型问题对易错、易混知识进行辨析，加深对概念内涵和外延的理解，同时检测预习效果.

【例题精析】一一精选典型例题，借助思维导图，让解题思路可视化.总结提炼思想方法，让学生做一题通一类，领悟一类问题的通性通法.通过变式演练及时巩固知识方法的灵活应用，拓展探究深化学生数学思维能力的培养，提升数学核心素养.

【随堂练习】—随堂练习对应本节核心内容，回应典型例题的知识点与方法，在课堂上及时反馈学生的学习效果，提高课堂教学的达成度.

【课后检测】一一本节的配套练习，单独成册，方便师生使用，精选基础题、中档题以及少数提高题，分两个层级（A组一一夯实四基，B组一一强化四能），以满足不同生源学校，检测提升教与学的效果。

——30分钟的同步微练习，利用零碎时间，夯实基础，提【检测卷】一一每章或全册内容学习结束的配套检测，通过对各个章节的知识点进行检测，及时了解对知识点的掌握情况，发现薄弱环节，同时帮助建立知识体系，形成完整的知识框架.

本书由江苏省南通地区高品质示范高中、四星级重点高中的一线名师、备课组长和教研员联合编写，助力新课程教与学（标注 /ideontimes 号的课时为补充拓展内容，请根据学生实际选用），在使用过程中，恳请广大师生多提宝贵意见，以便修订时进一步完善.

目 录

第一章直线与方程

1.1 直线的斜率与倾斜角
1.2 直线的方程···· 5
第1课时直线的点斜式方程 5
第2 课时直线的两点式方程 8
第3课时直线的一般式方程 11
1.3两条直线的平行与垂直 14
第1课时两条直线平行 14
第2课时两条直线垂直 17
1. 4 两条直线的交点 20
1.5 平面上的距离 23
第1课时平面上两点间的距离 23
第 2课时点到直线的距离 25
第3课时两平行直线间的距离 28
￥微专题1对称问题 30
章末复习课直线与方程 33

第二章圆与方程 38

2.1圆的方程 38
第1课时圆的标准方程 38
第2课时圆的一般方程 41
2.2直线与圆的位置关系 45
2.3圆与圆的位置关系 48
/ideontimes 微专题2圆的切线与切点弦问题 51
/ideontimes 微专题3与圆有关的最值(范围)问题 54
×微专题4圆的综合问题(隐性轨迹、定点、定值问题) 57
章末复习课圆与方程… 60
第三章圆锥曲线与方程 63
3.1椭圆 63
第1课时椭圆的标准方程 63
第2课时椭圆的几何性质 67
第3课时直线与椭圆的位置关系 71
3.2双曲线 75
第1课时双曲线的标准方程 75
第2课时双曲线的几何性质 79
第 3课时直线与双曲线的位置关系 82
3.3抛物线 85
第1课时抛物线的标准方程 85
第2课时抛物线的几何性质 89
第 3课时直线与抛物线的位置关系 92
微专题5椭圆和双曲线的离心率问题 96
/ideontimes 微专题6最值范围问题 99
/ideontimes 微专题7定点、定值问题 101
章末复习课圆锥曲线与方程 104

第四章数列 108

4.1数列数列的概念及通项公式 ·108
4.2等差数列 111
第1课时等差数列的概念·…· 111
第2 课时等差数列的通项公式 114
第3课时等差数列的前 n 项和公式 118
第 4课时等差数列的性质…·· 123
4.3等比数列 126
第1课时等比数列的概念· 126
第2 课时等比数列的通项公式 129
第3课时等比数列的前 n 项和公式·…· 132
第 4 课时等比数列项的性质及前 n 项和的性质 135
微专题8函数视角下的等差、等比数列 138
/ideontimes 微专题9构造等差数列、等比数列求通项公式 142
/ideontimes 微专题10 数列求和(1)- 分组并项、裂项相消 145
/ideontimes 微专题11数列求和(2) 错位相减、放缩求和 148
\ast4,4 数学归纳法· 151
第1课时数学归纳法 151
第2课时数学归纳法的综合应用 154
章末复习课数列 158

第五章导数及其应用 161

5.1导数的概念 161

第1课时平均变化率 161
第 2 课时瞬时变化率 165
第3课时导数的概念及其几何意义 168

5.2导数的运算 171

第1课时基本初等函数的导数·… 171
第2课时函数的和、差、积、商的导数 174
第3课时简单复合函数的导数·…· 177

5.3导数在研究函数中的应用 180

第1课时导数在研究函数中的应用- 单调性 180
第2课时导数研究含参函数的单调性 184
第3课时极大值与极小值··· 187
第4课时 最大值与最小值·… 191
第5课时导数的实际应用 194

注：带￥的课时属于补充或拓展内容，请根据实际需求选用.

第一章 直线与方程

1.1 直线的斜率与倾斜角

课标要求

1.了解直线的斜率和倾斜角的概念，理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性，了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.

2.掌握用代数方法解决几何问题的技能，掌握数形结合、分类讨论的方法.

3.感悟倾斜角与斜率的关系，体会数形结 合的思想.

引入(链接教材)

在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用“坡度”来刻画，如图，坡角为 α ，高度为 h 宽度为l,则坡度I=

可以看出，如果斜坡的高度与宽度的比值越大，那么坡度就越大，斜坡越陡.

在平面直角坐标系中，我们可以采用类似的方法来刻画直线的倾斜程度.

新知学习

直线的斜率

【知识梳理】

对于直线 l 上的任意两点 P~(~x_{1}, y_{1}~)~ ，Q(x_{2},y_{2}) ,如果 x_{1}\neq x_{2} ,那么直线 l 的斜率为

易错警示：

（1）如果 x_{1}=x_{2} ，那么直线 l 的斜率

（2）对于与 _{x} 轴不垂直的直线 l ，它的斜率也可以看作 纵坐标的增量 =(\Delta y)/(\Delta x) 横坐标的增量

（3）对于一条与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴不垂直的直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的.

例1（链接教材)如图所示,直线 l_{rm{1}},l_{rm{2}},l_{rm{3}} 都经过点 P\left(3,2\right) ，又 l_{1}, l_{2} , l_{3} 分别经过点Q_{1}(-2,-1) ,Q_{2}(4,-2) ,Q_{3}(-3,2)

（1）试计算直线 l_{rm{1}},l_{rm{2}},l_{rm{3}} 的斜率；
（2）若点 Q(a ,3) 在直线 l_{rm{1}} 上，求 a 的值.

思维导图：

首先判断两点横坐标是否相等，相等则斜率不存在

提炼小结：

（1）若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.

（2）由例题中图可以看出： ① 当直线的斜率为正时 \left( l_{ 1}\right) )，直线从左下方向右上方倾斜；② 当直线的斜率为负时 \left( l_{ 2} \right) ，直线从左上方向右下方倾斜； ③ 当直线的斜率为0时 \left(l_{3}\right) ，直线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴平行或重合.

变式演练 （1）（链接教材)若直线 l 经过点(3,2)且斜率为 (3)/(4) ,则下列点在直线 l 上的为

A.(7,-5) B.(7,5) C.(-5,7) D.(5,7)

（2）经过下列各组中的两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.

① A ( 2 ,3 ) ,B ( 4 ,5 ) O\;C(-2,3) ,D\left(2,-1\right); \odot P (-3,1) ,Q(-3,10) ; ④ A(a,2),B(3,6).

二 直线的倾斜角

【知识梳理】

在平面直角坐标系中,对于一条的直线，把 _{x} 轴绕着 按 方向旋转到 时所转过的 称为这条直线的倾斜角.

规定：与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴平行或者重合的直线的倾斜角为

易错警示：

（1）由定义可知，直线的倾斜角 α 的取值范围是

（2）直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

例2（1）直线 x=1 和直线 {y=1} 的倾斜角分别是

A．不存在， 0° B. 0°,90°
C. {90}°,{0}°
D. 90°,180° (2）（多选题)设直线 l 过坐标原点，它的倾
斜角为 α ,如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋
转 45° ，得到直线 l_{rm{1}} ,那么 l_{1} 的倾斜角可能为( ）A. α+45°
B. α-135°
C. 135°-α
D. α-45°

思维导图：

提炼小结：

（1）解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.（2）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意，画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.

变式演练（1）（多选题）下列命题中，正确的有

（2）求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围，

A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为一 30° C.倾斜角为 0° 的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为 α ，则s in\ α\in(0 ,1)

（2）已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30° ,则直线 l 的倾斜角为

三斜率和倾斜角的应用

【知识梳理】

当直线与 \boldsymbol{x} 轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角 α 之间满足

易错警示：

（1）当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角；当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角；当直线的倾斜角为0时，直线的斜率为0；当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在.

（2）当直线的倾斜角为锐角时，倾斜角越大，直线越 ，相应的斜率随倾斜角的增大而 ；当直线的倾斜角为钝角时，倾斜角越大，直线越 ,斜率随倾斜角的增大而 .不难发现，直线越陡，直线斜率的绝对值

例3已知有 A ( - 3 ,4 ) ,B ( 3 ,2 ) 两点，过 点 P\left(1,0\right) 的直线 l 与线段 A B 有公共点.

（1）若直线 l 的斜率存在,求直线 l 的斜率k 的取值范围；

思维导图：

提炼小结：

（1）由倾斜角（或范围)求斜率(或范围）,利用定义式 k=tan~α\left(α\neq90°\right) 解决.

（2）由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k=(y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2}) 求解。

（3）涉及直线与线段有交点问题，常利用数形结合及公式求解.

变式演练 已知有 \displaystyle A\left( 3 ,3 \right),B\left( - 4 ,2 \right), C(0,-2) 三点.

（1）求直线 A B 和 A C 的斜率；

（2）若点 D 在线段 B C （包括端点）上移动，求直线 A D 的斜率的取值范围.

随堂练习

1．如果过 P\left(-2,m\right),Q\left(m ,4\right) 两点的直线的斜率为1,那么实数 m 的值是

A. 1
B.4
C.1或3
D.1或4

2.直线 l 过原点（0,0），且不过第三象限，那么 l 的倾斜角 α 的取值范围是

A. \left[0°,90°\right]
B. \left[90°,180°\right]
C. [90°,180°) 或 α=0° D. \left[90°,135°\right]

3.若过 A\left(m ,3\right),B\left(1,2\right) 两点的直线的倾 斜角为 45° ，则 m=

A.2B.1C。 -1 D. -2

4．（多选题)下列命题中,正确的有（

A.若 α 是直线 l 的倾斜角，则 0°{<=slant}α{<}180° B.若 k 是直线的斜率，则 k\in\mathbf{R} C.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角D.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

5.已知 m>=1 ，则过点 A\left(m,3\right) 与点 B\left(1\right. ，2)的直线的倾斜角 α 的取值范围是

1.2直线的方程

第1课时 直线的点斜式方程

课标要求

1.熟记直线的点斜式方程和斜截式方程，会用这两种方程解决简单问题.2.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程.3.运用直线的点斜式方程，探索推导直线的斜截式方程，感受直线的斜截式方程与一次函数的关系，领悟数学运算的核心素养.

引入(链接教材)

直线 l 斜率为一2，且过定点 A ( -1 ,3 ) ，动点 P\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) 的坐标满足什么关系？

新知学习

求直线的点斜式方程

【知识梳理】

我们把方程 称为过点P_{~0~}(x_{~0~},y_{~0~}) ,斜率为 k 的直线 l 的方程.

方程 y-y_{~0~}{=}k\left(x-x_{~0~}\right) 由直线上一个定点(x_{~0~},y_{~0~}) 及该直线的斜率 k 确定，我们把它叫作直线的 ,简称点斜式.

易错警示：

（1）点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.

（2）当直线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴平行或重合时，方程可简
写为 .特别地， \boldsymbol{x} 轴的方程是;当直线与 _y 轴平行或重合时，不能
应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地， y 轴的方程是

例1（链接教材)写出下列直线的点斜式方程：

（1）过点 A\left(1,-1\right) ,斜率为2；（2）过点 B\left(2,-{√(2)}\right) )，倾斜角为 30° （3）过点 C\left(0,3\right) ，倾斜角为 0° （4）过点 D(-1,-2) ，倾斜角为 120°

提炼小结：

（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点 (\boldsymbol{x}_{0} y_{~0~})\rightarrow 定斜率 k\rightarrow 写出方程 y-y_{\mathit{0}} {=} k ( x {-} x_{\mathit{0}} )

（2）注意：点斜式方程 y-y_{~0~}=k ( x-x_{~0~}) 可表示过点 P\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}\right) 的所有直线，但 {\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{x}}_{0} 除外.

变式演练（1）直线 l 的点斜式方程为 y- 2=k\left(x+1\right) ，则直线 l 过定点 ;若点(2，－1)在直线 l 上，则 k=

(2）过点（3,1)的直线 l 的倾斜角是直线 y=√(3) x+1 的倾斜角的2倍,则直线 l 的点斜式 方程为

二直线的斜截式方程

【知识梳理】

1．直线与 y 轴的交点 ( 0 ,b ) 的叫作直线 l 在 y 轴上的截距.

2.把方程 叫作直线的 斜截式方程，简称斜截式.

易错警示：

（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在 y 轴上的截距.

（2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在 _{\mathscr{x}} 轴上的截距和在 y 轴上的截距

例2（1）直线的点斜式方程为 y-3= 2(x+1) ,则直线的斜截式方程为

A. y=2x+5
B. y=2x+4
C. y=3x+5
D. y=3x+4

（2）（多选题）直线的斜截式方程为 y=1 3x-1 ,则直线的点斜式方程可以为 (

A. y+1=3x
B. y-2=3(x-1)
C. y-1=3x
D. y+4=3(x+1)

提炼小结：

（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在。

（2）直线的斜截式方程 y=k x+b 中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.

思维导图：

（2）某条直线过点 A ( 0 ,2 ) 和点 B\left(2,-2\right) ，则直线的斜截式方程为

三点斜式方程的简单应用

变式演练（1）直线 y=3x-√(3) 在 y 轴上的截距为

例3已知直线 l 过点 P\left(1,2\right) ，且与 _{x} 轴正半轴和 _y 轴正半轴分别交于点 A , B .若\triangle A O B 的面积为4，求直线 l 的点斜式方程.

提炼小结：

已知过一点求直线方程，设方程时注意讨论斜率是否存在，设出方程后求出直线与坐标轴的交点坐标，然后求出直角三角形的直角边长，此时应注意截距化距离时要加绝对值，然后根据已知面积建立关于斜率的方程，进而求出斜率，从而求出直线方程.

变式演练已知直线 l 过点 P\left(1,2\right) ，且与_{\mathscr{x}} 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于点 A ,B 求\triangle A O B 面积的最小值，及当面积最小时，直线的斜截式方程.

随堂练习

1．已知直线的方程是 y+2 {=} -x-1 ，则下列说法正确的是

A.直线经过点 (-1,2) ,斜率为一1
B.直线经过点 ( 2 ,-1) ,斜率为一1
C.直线经过点 (-1,-2) ，斜率为一1
D．直线经过点 (-2,-1) ,斜率为1

2.直线 y=√(3)\left(x-√(3) \right) 的斜率与在 y 轴上的截距分别是

A. √(3)\ ,√(3)
B. {√(3)}*-3
C. √(3)*3
D. -{√(3)} ,-3

3.（多选题）下列说法正确的有

A.若直线 y=k x+b 过第一、二、四象限，则点 ( k ,b ) 在第三象限B.直线 y=a.x-3a+2 过定点(3，2)C.过点 ( 2 ,-1 ) ，且斜率为 -{√(3)} 的直线的点斜式方程为 y+1=-√(3)\left(x-2\right) D.斜率为一2，且在 _y 轴上的截距为3的直线的方程为 y=-2x±3

4.直线 l 在 _y 轴上的截距为2，且倾斜角α=60° ，则直线 l 的斜截式方程为

5.写出满足“过点 A ( - 5 ,2 ) ，且在 _{x} 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍"的一条直线的点斜式方程：

第 2课时 直线的两点式方程

课标要求

1．了解直线的两点式及截距式方程的形式特征及适用范围.

2.能准确地写出直线的两点式方程，能通过对两点的特殊化，得到直线的截距式方程，能完成直线两点式方程与截距式方程的相互转化，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养.

3.经历用两点坐标计算直线斜率，并套用直线点斜式方程得到直线的两点式方程的过程，知道直线的两点式方程是点斜式方程的变式，发展学生的直观想象及逻辑推理核心素养.

引入(链接教材)

上一节学过在已知一点坐标和斜率的条件下可以求出该直线的方程，那么已知直线上两点坐标可以求出这条直线方程吗？

设直线 l 经过两点 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),P_{2}\left(x_{2},z_{3}\right) y_{2} ),如何建立直线 l 的方程呢？

新知学习

直线的两点式方程

【知识梳理】

经过两点 P_{1}(x_{1},y_{1}) ,P_{2}(x_{2},y_{2}) （其中 x_{rm{l}} \neq x_{2} ,y_{1}\neq y_{2} ) 的直线方程我们把它叫作直线的两点式方程，简称两点式.

易错警示：

（1）当经过两点 (x_{1},y_{1}) ,(x_{2},y_{2}) 的直线斜率不存在( \chi_{rm{l}}=x_{rm{2}} )或斜率为 0 ( y_{1}=y_{2} ）时，不能用两点式方程表示.

（2）两点式方程与这两个点的顺序

（3）方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率

例1（链接教材）（1）已知△ABC的三个顶点 \boldsymbol{A}\left(-5,0\right),\boldsymbol{B}\left(3,-3\right),\boldsymbol{C}\left(0,2\right) ，分别求这个三角形三边所在直线的方程.

（2）过点 A\left( 1,0 \right),B\left( 1,1 \right) 的直线方程是

提炼小结：

利用两点式求直线的方程，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.

在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.

变式演练求过点 \boldsymbol{A}\left( 1 ,0 \right),\boldsymbol{B}\left( m ,1 \right) 的直 线方程.

二直线的截距式方程

【知识梳理】

我们把方程 {(x)/(a)}+{(y)/(b)}=1 叫作直线的截距式方程，简称截距式.直线在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上的截距是；直线在 y 轴上的截距是

易错警示：

（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.

（2）如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代人截距式求直线的方程，与坐标轴平行和 的直线都不能用截距式表示.

例2求过点 A ( 5,2 ) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

思维导图：

提炼小结：

求直线方程一般用待定系数法，在设截距式方程时，注意直线是否过坐标原点，设点斜式方程时，注意讨论斜率是否存在；设出方程后，代人已知条件，建立关于所设参数的方程，解方程求出所设参数，即可求出所求的直线方程.

变式演练求过点 A ( 5 ,2 ) ，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的2倍的直线方程.

三直线方程的应用

例3已知直线 l 过点 M( 2 ,1 ) ，且分别与\mathscr{x} 轴的正半轴 *\boldsymbol{y} 轴的正半轴交于 A ,B 两点， O 为坐标原点，求当 \triangle A O B 的面积最小时，直线 l 的方程.

拓展探究1．在例3条件下，求当 O A+ OB取得最小值时，直线L的方程.

2.在例3条件下，求当 M A* M B 取得最小值时，直线 l 的方程.

随堂练习

1.过 A\left(x_{1} ,y_{1}\right),B\left(x_{2} ,y_{2}\right) 两点的直线方程一定可以写成

A (y-y_{1})/(y_{2)-y_{1}}{=}(x-x_{1})/(x_{2)-x_{1}} y-y_{1}=(y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x-x_{1}) C. x-x_{1}=(x_{2}-x_{1})/(y_{2)-y_{1}}(y-y_{1}) D. (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})

2.在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴、 y 轴上的截距分别是一3,4的直线方程为

A. {(x)/(-3)}+{(y)/(4)}=1
B. (x)/(3)+(y)/(-4)=1
C. {(x)/(-3)}-{(y)/(4)}=1
D. (x)/(4)+(y)/(-3)=1

3.已知直线 l 的两点式方程为 (y-0)/(-3-0)= (x-5)/(3-5) ,则 l 的斜率为

A. -{(3)/(8)}
B. (3)/(8)
C. -{(3)/(2)}
D. (3)/(2)

4.（多选题)过点 A\left(4,1\right) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为

A. x+y=5
B. x-y=5
C. x-4y=0
D. x+4y=0

5.已知直线 x+y-k=0 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则实数 k 的取值范围是

第3 课时 直线的一般式方程

课标要求

1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.2．会进行直线方程的五种形式间的转化.

引入(链接教材)

前几节里我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，这些方程都是二元一次方程吗？直线方程和二元一次方程有什么关系呢？本节课我们就来研究这个问题.

新知学习

直线的一般式方程

【知识梳理】

我们把关于 x* y 的二元一次方程 A x+ B y+C {=} 0 （其中 A ,B )叫作直线的一般式方程，简称一般式.

易错警示：

（1）直线一般式方程的结构特征

① 方程是关于 x* y 的

⊚ 方程中等号的左侧自左向右一般按 _{x} y ，常数的先后顺序排列.

③_{x} 的系数一般不为

（2）当直线方程 A x+B y+C=0 的系数A ,B ,C 满足下列条件时，直线 A x+B y+C {=} 0 有如下性质

① 当 A\neq0 ,B\neq0 时，直线与两条坐标轴都

⊚ 当 A\neq0,B=0,C\neq0 时，直线与轴平行，与 轴垂直；

③ 当 A=0 , B\ne0 , C\ne0 时，直线与轴平行，与 轴垂直；

\circledast 当 A=0 , B\ne0 , C=0 时，直线与

轴重合；

\circled{5} 当 A\neq0,B=0,C=0 时，直线与轴重合.

例1 (链接教材)直线 l:3x+5y-15=0 的斜率为 ，在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上的截距为，在 y 轴上的截距为

例2（1）斜率是 √(3) ,且过点 A\:( 5 ,3 ) 的直线的一般式方程为

（2）过 A\left(-1,5\right),B\left(2,-1\right) 两点的直线的一般式方程为

提炼小结：

求直线一般式方程的策略：① 设出一般式方程，再运用待定系数法求出系数 A ,B ,C ⊚ 根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.

变式演练根据下列各条件，写出直线的方程，并化成一般式.

① 斜率是 -{(1)/(2)} ,且过点 A\left(8,-6\right) 的直线方程为

⊚ 在 _{\mathscr{x}} 轴和 y 轴上的截距分别是 (3)/(2) 和一3的直线方程为

③ 过点 P_{1}(3,-2),P_{2}(5,-4) 的直线方程为

二直线的一般式方程的应用

例3（1）已知直线 A x+B y+C=0 (A B{>}0 ,B C{>}0) ，则该直线不过

A.第一象限B.第二象限C．第三象限D.第四象限

（2）（链接教材）设直线 l 的方程为 ( m^{ 2}- 2m-3)x+(2m^{2}+m-1)y=2m-6. 根据下面条件，分别确定 m 的值：

① 在 \boldsymbol{x} 轴上的截距是一3；

② 的斜率是一1.

例4已知直线 l:5a x-5y-a+3=0.

（1）求证：不论 a 为何值，直线 l 总过第一象限；

（2）若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围.

提炼小结：

含参直线方程的研究策略

（1）若方程 A x+B y+C=0 表示直线，则须满足 A ,B 不全为0.

（2）令 x=0 可得在 _y 轴上的截距，令 y=0 可得在 \mathscr{x} 轴上的截距.若确定直线斜率存在,可将一般式化为斜截式.

（3）解分式方程要注意验根.

变式演练（1）若直线 l:a x+y-2 {=} 0 在_{x} 轴和 _y 轴上的截距相等,则 a=

（2）若直线 ( 2m^{2}-5m+2 ) x - ( m^{2} - 4)y+5m=0 的倾斜角是 45° ，则实数 _m 的值是

变式演练直线 l 的方程为 (a+1)x+y+ \vdots 2-a=0(a\in\mathbf{R}).

（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 \boldsymbol{a} 的值；

（2）若 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围.

随堂练习

1．在平面直角坐标系中,直线 x+{√(3)} y- 3=0 的倾斜角是

A. 30° B. {{60}°}
C. 150° D. 120°

2．若直线 (m^{2}-3m+2) x+(m-2) y - 2m+5=0 的斜率 k=1 ，则实数 m 的值为

A.0 B.1
C. 2 D.3

3．（多选题)已知三条直线 x+y=0 ,x- y=0 ,x+a y=3 可围成一个三角形，则实数 a 的值可以是 (

A. -1 B.1
C. 2 D.-2

4.若直线 l 过点 A\left( 2 ,0 \right),B\left( 0 ,1 \right) ，则 l 的一般式方程为

5．已知直线 l:k x-y+1+2k=0\left(k\in\mathbf{R}\right) ，则该直线过定点

1.3两条直线的平行与垂直

第1课时 两条直线平行

1.理解并掌握两条直线平行的条件，会运用条件判定两直线是否平行，运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题.

2.掌握利用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想.

3.通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养严谨、辩证的思维习惯.

(3) l_{1}//l_{2}{\Rightarrow}k_{1}{=}k_{2} 或两条直线的斜率都不存在.

引入(链接教材)

在生产生活中，经常遇见两条直线平行的特殊的位置关系．在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线平行时，它们的倾斜程度相同，那么，怎样通过直线的斜率来判断两条直线平行的位置关系呢？

存在).

课标要求

例1(链接教材)判断下列各组直线是否平行，并说明理由.(1) l_{1}:y=2x+1 ,\;l_{2}:y=2x-1 (2) l_{rm{l}} :2x-y-7 {=} 0 l_{2}:x+2y-1=0.

新知学习

判定两条直线是否平行

【知识梳理】

两条直线平行的条件

（1）设直线 l_{1}:y=k_{1}x+b_{1} ,l_{2}:y=k_{2}x+ b_{2} ，则 l_{1}//l_{2}\leftrightarrow

（2）若直线 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 , l_{2} A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{1} ,A_{2} ,B_{1} ,B_{2} 全不为零)平行，则两直线平行的等价条件为

易错警示：

(1） l_{1} //l_{2} \{\} k_{1}=k_{2} 成立的前提条件是：① 两条直线的斜率都存在； \circled{2}\ l_{1} 与 l_{~2~} 不重合.(2) k_{1}=k_{2}\Rightarrowl_{1}\big//l_{2} 或 l_{rm{l}} 与 l_{2} 重合(斜率

提炼小结：

1.判断两条不重合的直线是否平行的方法

2.注意平行与重合的区分.

变式演练1．（多选题)下列条件能得到直线 l_{1} 与 l_{2} 平行的是

A. l_{rm{1}} 经过点 A\left(-1,-2\right),B\left(2,1\right),l_{2} 过点 M(3,4) ,N(-1,-1) B. l_{rm{1}} 的斜率为 1 ,l_{2} 过点 A\left(1,1\right),B\left(2,2\right) C. l_{~1~} 经过点 \boldsymbol{A}\left( 0 ,1 \right),\boldsymbol{B}\left( 1 ,0 \right),\boldsymbol{l}_{2} 过点{\cal M}(-1,3) ,{\cal N}(2 ,0) D. l_{rm{1}} 经过点 A\left(-3,2\right),B\left(-3,10\right),l_{2} 过点 M(5,-2),N(5,5)

2.两直线 2x-y+k=0 和 4x-2y+1 {=} 0 的位置关系是

提炼小结：

方法一：由平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式求方程；方法二：由平行设方程，再由直线过点确定待定系数.两种方法本质相同.

变式演练（链接教材)1．求过点 A ( 2 ,- 3），且与直线 2x+y-5 {=} 0 平行的直线方程.

3.（链接教材）求证：如图，顺次连接 A\left(2,-3\right),B\left(5,-(7)/(2)\right),C\left(2,3\right),D\left(-4,4\right) 四点 所得的四边形是梯形.

二 求与已知直线平行的直线方程

例2过点(5,0),且与 x+2y-2 {=} 0 平行的直线方程是

A. 2x+y+5=0
B. 2x+y-5 {=} 0
C. x+2y-5{=}0
D. x+2y+5=0

2．求与直线 2x+y-5 {=} 0 平行，且在两坐标轴上的截距之和为 (3)/(2) 的直线 l 的方程.

三由两直线平行求参数

例3已知两直线 l_{1}:x+m y+6=0 l_{2}:(m-2)x+3y+2m=0 当 m 为何值时，直线 l_{1} 与 l_{2}

（1）相交?（2）平行？（3）重合？

随堂练习

1.过点 A ( 2 ,5 ) 和点 B\left(-4,5\right) 的直线与直线 y=3 的位置关系是

A.相交 B.平行C.重合 D.以上都不对

2.设点 P\left(-\ensuremath{4},2\right),Q\left(6 ,-\ensuremath{4}\right),R\left(12 ,6\right), S\left( 2 ,a \right) .若 P Q/S R ，则 a 的值为

A.6 B.-6
C.12 D.-12

思维导图：

提炼小结：

将直线的一般式方程转化为斜截式方程时，若 y 的系数含有参数，则需分类讨论.

变式演练1．若直线 l_{rm{l}} \mathbf{\Phi}_{:}a x+3y+1=0 与l_{2}:2x+(a+1)y+1 {=} 0 互相平行，则实数 a 的值为

2.设 a\in\mathbf{R} ，则“ a=1 ”是“直线 l_{rm{1}} a x+ 2y-1=0 与直线 l_{2}:x+(a+1) y+4=0 平行”的

A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分又不必要条件

3．已知直线 l 的倾斜角为 (3π)/(4) ,直线 l_{1} 过点 A\left(3,2\right) 和 B\left(a ,-1\right) ，且直线 l 与 l_{rm{1}} 平行，则实 数 a 的值为

A.0 B.1
C. 6 D.0或6

4.（多选题)直线 l_{rm{l}} 与 l_{2} 为两条不重合的 直线，倾斜角分别为 α_{up{l}},α_{up{2}} ，则

A.若 \boldsymbol{l}_{\u{1}}//\boldsymbol{l}_{\u{2}} ，则 l_{1} 与 l_{2} 的斜率相等 B.若 l_{1} 与 l_{2} 的斜率相等，则 l_{rm{1}}//l_{rm{2}} C.若 α_{1}=α_{2} ，则 l_{1}//l_{2}
D.若 \boldsymbol{l}_{\u{1}}//\boldsymbol{l}_{\u{2}} ,则 α_{1}=α_{2}

5.已知直线 l_{1} 与直线 l_{ 2}:3x+4y-5=0 平行，直线 l_{rm{1}} 与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，则直线 l_{1} 的方程为

第 2课时 两条直线垂直

课标要求

1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.

引入(链接教材)

上一节课，我们学习了通过两条直线的斜率关系刻画两条直线平行的位置关系，那么，怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直的位置关系呢？

例1 (教材链接)已知点 it{A}(5 ,\ 3) ,\ it{B}(10 , 6）， C(13, 1) , D(8 , -2) ，求证：四边形ABCD为矩形.

新知学习

判定两条直线是否垂直

【知识梳理】

一般地，设直线 l_{~1~},l_{~2~} (斜率存在)所对应的斜率分别为 k_{rm{1}},k_{rm{2}} ，则 l_{1}\bot l_{2}\leftrightarrow

易错警示：

（1）如果直线 l_{1} ,l_{2} 的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线（不妨设为 l_{rm{l}} )与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴垂直，此时两条直线垂直的条件为 l_{2} 的斜率为0；

（2）在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中，一定要注意对斜率是否存在作分类讨论；

（3）设直线 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 , l_{2}: A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0 ,那么两条直线垂直的充要条件为

思维导图：

提炼小结：

判定几何图形形状的注意点

（1）在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜想其形状,以明确证明的目标。

（2）证明两直线平行时，仅有 k_{rm{1}}=k_{rm{2}} 是不够的，还要注意排除两直线重合的情况.

（3）判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况.

变式演练1. \begin{array}{r}{A\left(-4,3\right),B\left(2,5\right),C\left(6 ,\right.}\end{array} 3) ,D ( - 3 ,0 ) ，顺次连接 A ,B ,C ,D 四点，试判 断四边形 A B C D 的形状.

2.判断下列各组中的两直线是否垂直.

（1）直线 l_{rm{1}} 的斜率为一10，直线 l_{2} 过点A\left(10,2\right),B\left(20,3\right) （2）直线 l_{1} 过点 A\left( 3 ,4 \right),B\left( 3 ,7 \right) ,直线 l_{2} 过点 P(-2,4),Q(2,4) （3）直线 l_{1} 的斜率为 /13 ，直线 l_{2} 与直线2x+3y+1{=}0 平行.

二求与已知直线垂直的直线方程

例2（2025·江苏南通市海门中学期末)直线 l 过点 ( -1,2 ) ，且与直线 2x-3y+1=0 垂直，则 l 的方程为

A. 3x+2y-1 {=} 0
B. 3x+2y+7=0
C. 2x-3y+5{=}0
D. 2x-3y+8{=}0

提炼小结：

求与已知直线垂直的直线方程时，方法一：看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积为一1求斜率；若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程.方法二：待定系数法.若直线 l_{1}:A_{1}x {+} B_{1}y {+} C_{1} {=} 0 ,则可设所求直线的方程为 B_{1}x-A_{1}y+m=0 ,再利用已知条件求出 m 的值.

变式演练1．与直线 y=2x+1 垂直，且在 _y 轴上的截距为4的直线的方程是（

A.~~y {=} (1)/(2)x+4~~~~~~~~~~~~~~B.~~y {=} 2x {+}4 C.\;\;y {=} {-} 2x {+} 4\qquad~{~D.~~}y {=} {-} (1)/(2)x {+} 4

2.已知 \triangle A B C 的三个顶点分别是 A (-5 \left.\begin{array}{c}{\left.\begin{array}{r}{0\right),B\left(3,-3\right),C\left(0,2\right)}\end{array}\right. ，则边 B C 上的高所在直线的方程为

三由两直线垂直求参数

例3（1）已知直线 l 的倾斜角为 (3π)/(4) 直线l_{rm{l}} 过点 A\left(3,2\right) 和 B\left(a ,-1\right) ，且直线 l 与 l_{~1~} 垂直，则实数 \boldsymbol{a} 的值为

A.1 B.6
C.0或6 D.0

（2）已知直线 l_{1} \mathbf{\Phi}_{1}:a x+4y-2=0 与直线 l_{2} 2x-5y+b=0 互相垂直，垂足为 ( 1 ,c ) ，则 ^{a+} b+c 的值为

提炼小结：

由两直线垂直求参数的值，利用斜率的乘积为一1是常用方法.

变式演练 （链接教材)在路边安装路灯，路宽 23 ~m~ ,灯杆长 2, 5 ~m~ ，且与灯柱成 120° 角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高 h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到 0, 01 ~m~ ？

参考数据： {√(3)}\approx1. 732

随堂练习

1．已知直线 l_{rm{l}} 的倾斜角为 30° ，且直线 l_{rm{1}}\perp l_{rm{2}} ，则直线 l_{2} 的斜率为

A -{(√(3))/(3)} B. (√(3))/(3) C. -√3 D. √3

2.“ m=3^{2} ”是“直线 l_{1}:2\left(m+1\right)x+\left(m-\right. (3)y+7-5m=0 与直线 l_{~2~}:(m-3) x+2y - 5=0 垂直"的

A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D．既不充分又不必要条件

3．若直线 a x+2y+1 {=} 0 与直线 x+2y- 2=0 互相垂直，则实数 a 的值是

A.1 B. -1 C.4 D.一4

4.（多选题)下列说法正确的有

A.斜率均不存在的两条直线可能垂直B.若两条直线垂直，则这两条直线的斜率
互为负倒数C.若两条直线的斜率互为负倒数,则这两
条直线垂直D.若两条直线中，有一条直线的斜率不存
在，另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直

5.已知点 A ( - 2 ,- 5 ) ,B ( 6 ,6 ) ，点 P 在_y 轴上，且 \angle A P B=90° ，则点 P 的坐标为

1.4 两条直线的交点

课标要求

1．会求两条直线交点的坐标.2.理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系.

引入(链接教材)

在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等.

新知学习

例1（链接教材）分别判断下列直线是否
相交，若相交，求出交点坐标.(1) l_{rm{1}} :2x-y=7 和 l_{~2~} 3x+2y-7 {=} 0 (2) l_{1}:2x-6y+4=0 和 l_{ 2}:4x-12y+
8=0 (3) l_{rm{1}} :4x+2y+4 {=} 0 和 l_{2}:y=-2x+3

两条直线位置关系的判定

【知识梳理】

1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方
程所联立的方程组的解.2.解由两直线的方程组成的方程组的时
候，可能出现的三种结果：① 方程组有且只有一组解，此时两直线的
位置关系为 ，交点个数为 ；⊚ 方程组有无数组解，此时两直线的位置
关系为 ，交点个数为 ；③ 方程组无解，此时两直线的位置关系为,交点个数为

3.两条直线相交、平行和重合的条件

已知两条直线 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1} ，B_{1} 不全为 \left(0\right),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\left(A_{2} ,B_{2}\right) 不全为0),则：

（1）两直线相交 \Leftrightarrow （2）两直线平行 \Longleftrightarrow （3）两直线重合 \Longleftrightarrow

变式演练（1）直线 2x+3y-k=0 和直线 x-k y+12 {=} 0 的交点在 _{x} 轴上,则实数 k 的值为

A.—24 B.24
C. 6 D.±6

（2）（多选题）下列说法正确的有

A.直线 l_{1}:x-y+2=0 和 l_{2} _{2}:2x+y- 5=0 的交点坐标为(1，3) B.直线 l_{rm{1}} :x-2y+4 {=} 0 和 it{l}_{2}:2x-4y+ 8=0 相交 C.直线 l_{1}:2x+y+2=0 和 l_{ 2}:2x+y- 3=0 的交点坐标为 (-2,2) D.直线 l_{1}:xrm{--}2y+1=0 , l_{2}: l_{\;2}:y =x ， l_{3}:2x+y-3 {=} 0 两两相交

（3）若三条直线 m x+2y+7 {=} 0 ,4x+y - 14=0 和 2x-3y-14=0 交于一点，则实数 m 的值为

提炼小结：

（1）求两直线的交点坐标，可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系。（2）当多条直线交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线.

二过两直线交点的直线系方程

提炼小结：

已知直线 l_{1}\colon A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0 l_{2}:A_{2}.x+B_{2}y+C_{2}=0 相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为 (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}) + λ (A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0 λ\in\mathbb{R}) （不包括直线l_{~2~})

变式演练1．过两直线 l_{1}:2x-3y+2=0 与 l_{ 2}:3x {-} 4y {-} 2 {=} 0 的交点，且平行于直线 l_{3} 4x-2y+7=0 的直线方程是

【知识梳理】

已知两条直线 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1} B_{1} 不全为 \left.0\right),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\left(A_{2} ,B_{2} 不全为0)交于点 P ，则过两条直线交点 P 的直线方程可以写成（不包括直线 l_{~2~}

例2（链接教材)已知直线 l 过坐标原点，且过另外两条直线 2x+3y+8{=}0 ， x-y-1 {=} 0 的交点，求直线 l 的方程.

2.过两直线 l_{~1~} :2x-3y+2 {=} 0 与 l_{2} :3x- 4y-2=0 的交点，且垂直于直线 l_{3} _3:4x-2y+ 7=0 的直线方程是

三直线过定点问题

例3求证：不论 m 为何实数，直线 l (m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过一定点，并 求出此定点的坐标.

提炼小结：

解含参数的直线恒过定点问题的策略

（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.

（2）若整理成 y-y_{~0~}=k ( x-x_{~0~}) 的形式，则表示的直线必过定点 (x_{0} ,y_{0})

变式演练无论 m 为何值，直线 l:(m+ 1)x-y-7m-4=0 恒过一定点 P ，求点 P 的 坐标.

随堂练习

1．直线 x+2y-2 {=} 0 与直线 2x+y-3=1 0的交点坐标是

A.(4,1) B.(1,4) C \left({(4)/(3)},{(1)/(3)}\right) \left({(1)/(3)},{(4)/(3)}\right)

2.若 (-1,-2) 为直线 2x+3y+a=0 与直线 b x-y-1 {=} 0 的交点，则 a b 的值为（

A.7 B.8
C. 9 D.10

3.（多选题)已知三条直线 y=2x ,x+y= \mid3,m x+n y+5=0 交于同一点，则坐标 ( m ,n ) 可能是

A.(1,-3) B.(3,-4) C.(-3,1) D.(-4,3)

4.过两直线 l_{rm{l}} x-2y+4=0 和 l_{\mathbf{ε}_{2}:x}+ y-2=0 的交点 P ,且与直线 l_{3} 3x-4y+5 {=} 0 垂直的直线 l 的方程为

5.已知直线 \left(a-2\right)y=\left(3a-1\right)x-1 ，求证：无论 a 为何值，直线总经过第一象限.

1.5 平面上的距离

（2）已知 A\left(5,2a-1\right),B\left(a+1,a-4\right) 两点，则当AB取得最小值时，实数 a=

第1课时平面上两点间的距离

课标要求

1.理解并掌握两点间的距离公式、中点坐标公式，会用两点间的距离公式、中点坐标公式解决相关问题.

2.掌握数学运算方法.

变式演练若三条直线 y=2x ,x+y=3 ， m x+n y+5=0 交于同一点，则 m^{ 2}+n^{ 2} 的最小 值是

引入(链接教材)

在数轴上两点 A ,B 之间的距离 \mid A B\mid={~}\vdots |\boldsymbol{x}_{A}-\boldsymbol{x}_{B} | ,那么在平面直角坐标系内，已知两点 P_{1}(x_{1},y_{1}) ,P_{2}(x_{2},y_{2}) ,如何求这两点间的距离 | P_{ _{1}}P_{ _{2}}|

新知学习

两点间距离公式及其简单应用

【知识梳理】

利用两点间的距离公式表示出距离，再转化为二次函数求出最值.

1．平面上两点间的距离公式：若平面上两点为 A\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}_{1}\right),B\left(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}_{2}\right) ，则 A ,B 两点间的距离公式为 A B=

2.两点间距离的特殊情况：

（1）原点 O(0,0) 与任一点 P\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) 间的距离 O P=

（2）已知点 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right) ，当P_{~1~}P_{~2~}//x 轴 (y_{1} {=} y_{2} 时， P_{rm{1}}P_{rm{2}} =

（3）已知点 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right) ，当P_{~l~}P_{~2~}/γ 轴 (x_{1}=x_{2} ）时， P_{~1~}P_{~2~}{=}

提炼小结：

3.感受“形”的直观性与“数”的严谨性之间的关系，领悟数形结合思想.

二已知两点间距离求参数

例2（链接教材)已知 A\left(a ,-5\right) 与 B\left(0\right) 10)两点间的距离是17,则实数 \boldsymbol{a} 的值为（

A.8 B. 2 √(66) ~C.~±2 √(66 ) D.±8

例1（1）（链接教材)已知 A\:( - 1 ,3 ) 与B\left(2,5\right) 两点间的距离为

例3用坐标法证明：在 \triangle A B C 中， A O 为边 B C 的中线，则 A B^{2}+A C^{2}=2(A O^{2}+B O^{2})

提炼小结：

根据两点间的距离公式求解即可.

变式演练已知点 P 在直线 2x-3y+5= 0上，且在第一象限.若点 P 到点 A\left(2,3\right) 的距离为 √(13) ，则点 P 的坐标为

三用坐标法解决平面几何问题

【知识梳理】

中点坐标公式：若平面上有 A\;(\;x_{1},,y_{1} ) ，B\left(x_{2},y_{2}\right) 两点，则 A ,\;B 的中点坐标为

思维导图：

利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤如下：

提炼小结：

合理建立平面直角坐标系，便于设点坐标及运算.

变式演练（链接教材)若△ABC是直角三角形，斜边 B C 的中点为 M ，建立适当的平面直角坐标系，证明： A M=(1)/(2)B C

提炼小结：

随堂练习

1．已知△ABC的顶点坐标分别为 A\:(\:7 ，~\AA~) ,B\left(10 ,4\right),C( 2 ,- 4 ) ,则边 B C 的中线 A M 的长为

A. √(61) B. 5 5
C. √(37) D.5

A.8 B.13 C。 2 √(15) D. √(65)

2.已知点 it{A}(~-~3 , 8 ) , B~( 2 , 2 ) ，点 M 在\mathscr{x} 轴上，则 M A+M B 的最小值是

3．已知平面内有三点 A ( -1,-1 ) ,B ( 1 2）， C(8,-2) ，则 \triangle A B C 的形状为

5.已知点 A 在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上，点 B 在 _y 轴上，线段 A B 的中点 M 的坐标为 ( 2 ,-1) ，则线段 A B 的长度为

A．锐角三角形 B．直角三角形C.钝角三角形 D．无法判断

4.（多选题）直线 x+y-1=0 上到点P\left(-2,3\right) 的距离为 √(2) 的点的坐标可以是（

A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-1,2) D.(0,1)

建立坐标系时，要尽量利用对称性，使得特殊点的坐标含0.

第 2课时 点到直线的距离

(3) y=-5 (4) x=2 y

课标要求

1.理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式.2.感受代数方程与几何问题之间的关系，领悟数形结合思想.

引入(链接教材)

上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？

新知学习

求点到直线的距离

【知识梳理】

1．点到直线的距离公式：点 P\left(\boldsymbol{x}_{~0~},\boldsymbol{y}_{~0~}\right) 到直线 l:A x+B y+C=0 (A ,B 不全为0)的距离d=

2．点到几种特殊直线的距离：

（1）点 P\ (\ x_{~0~},\ y_{~0~}) 到 x 轴的距离 d= \vdots

（2）点 P\ (\ x_{~0~},\ y_{~0~}) 到 y 轴的距离 d= ;

(3）点 P\left(\boldsymbol{x}_{~0~},\boldsymbol{y}_{~0~}\right) 到直线 {y=a} 的距离 d= ;

（4）点 P\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}\right) 到直线 x=b 的距离 d= \vdots

例1（链接教材)求坐标原点到下列直线的距离：

(1) 2x+3y-13=0 (2) 3x=20 ；

提炼小结：

1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化为一般式，再套用点到直线的距离公式；2.当点与直线有特殊位置关系时，要注意数形结合.

变式演练根据下面条件，求点 P 到直线 l 的距离：

(1) P\left(2,-6\right),l {:}3x {-}y {-}1=0 , (2) P(-1,-4) ,l:y=-x+(1)/(4).

二由点到直线的距离求参数

例2已知点 P\left(a,-a\right) 到直线 l:\;2x+1 y-1=0 的距离不大于 √(5) ，求实数 a 的取值 范围.

三点到直线的距离公式的应用

例3已知点 P\left( 2,-1 \right) ，求过点 P 且与坐 标原点之间距离为2的直线方程.

思维导图：

提炼小结：

去掉点到直线距离公式中的绝对值的方法有两种，分别为分类讨论和将等式左、右两边同时平方.

变式演练已知点 P\ (\ 1,\ \ -\ 1\ ) 到直线 l:a x+y-2 {=} 0 的距离不大于 √(5) ，求实数 \boldsymbol{a} 的 取值范围.

思维导图：

提炼小结：

在设直线方程时，要考虑直线斜率是否存在。

拓展探究例3中，求过点 P 且与坐标原点之间距离最大的直线方程，及最大距离.

随堂练习

1.点 M\left(1,2\right) 到直线 2x+y-1=0 的距 离是

A. √(10)
B. (3 {√(5)})/(5)
C. √(6)
D. 3 √(5)

2．已知直线 l_{1}:2x-y-2=0 与直线l_{ 2}:3x+y-8=0 的交点为 P ，则点 P 到直线l:y=-2x+{√(5)} 的距离为 ）

A. (4)/(5)
B. (30-{√(5)})/(5)
C. (6 {√(5)}-5)/(5)
D. (6-{√(5)})/(5)

3.已知 a ,b ,c 为直角三角形中的三边长，其中 c 为斜边长.若点 M( m ,n ) 在直线 l:a x+ b y+3c {=} 0 上，则 {m}^{ 2}+{n}^{ 2} 的最小值为（）

A. 2
B.3
C. 4
D. 9

4.（多选题）已知直线 l 过点（3，5），且点A\left(-2,3\right),B\left(4,-1\right) 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可能为 (

A. 2x+3y-21 {=} 0
B. 2x-y-1 {=} 0
C. x+2y+2 {=} 0
D. 2x-3y+6 {=} 0

5.已知在 \triangle A B C 中，点 it{A}(3,2) ,B ( -1 ，5)，点 C 在直线 3x-y+3=0 上.若△ABC 的面积为10，则点 C 的坐标为

第3课时两平行直线间的距离

课标要求

1．理解两条直线的公垂线段的概念、熟记两平行直线间的距离公式.2.领悟数形结合思想.

引入(链接教材)

已知两条平行直线 l_{1} ,l_{2} 的方程，如何求 l_{rm{1}} 与 l_{~2~} 间的距离？

根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线 l_{rm{1}} 上取任一点 P\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}\right) ，点 P\left(\boldsymbol{x}_{~0~},\boldsymbol{y}_{~0~}\right) 到直线 l_{2} 的距离就是直线 l_{rm{1}} 与直线 l_{2} 间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.

例1（1）（链接教材）已知两条直线 l_{1} 2x-4y+7 {=} 0 ,l_{2}:x-2y+5 {=} 0. 求 l_{rm{1}},l_{rm{2}} 间的距离；

（2）已知直线 l 与直线 l_{1}:2x-y+3 {=} 0 和~l_{2}:2x-y-1=0 间的距离相等，求直线 l 的方程.

新知学习

两条平行线间距离极其简单应用

【知识梳理】

1．定义：两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的 的长。

2.两条平行线间的距离公式：两条平行线l_{1}:A x+B y+C_{1}=0 与 l_{\mathit{2}}:A x+B y+C_{\mathit{2}}=0 (其中 A , B 不全为0，且 C_{1}\neq C_{2} )之间的距离d=

3．（1）两直线都与 _{x} 轴垂直时， l_{rm{l}} x=x_{1} l_{2} ： {\boldsymbol{x}}=x_{\mathit{2}} ，则 d=

（2）两直线都与 _y 轴垂直时， l_{1}:y=y_{1};l_{2} y=y_{2} ，则 d=

易错警示：

运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中 x* y 的系数分别对应相同.

思维导图：

提炼小结：

求两平行线间的距离的两种思路

（1）利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上的任意一点到另一条直线的距离；

（2）直接利用两平行线间的距离公式.

二已知两平行线间的距离求参数

例2已知两条平行直线 l_{rm{1}} _1:4x-3y+6= 0与 l_{2} , 4x - 3y +C=0 间的距离为1，则C=

提炼小结：

去绝对值的方法有两种，分别为分类讨论和将等式左右两边同时平方.

变式演练若两条平行线 l_{1} 与 l_{2}:3x+a y-c=0(c>0) 之间的距离为 √(2) (a-3)/(c){=}

A. -2 B.-6
C.2 D.0

题型三综合运用

例3过点 A (1,1) 且斜率为一 m m>0) 的直线 l 与 x* y 轴分别交于点 P ,Q ，过点 P ,Q 作直线 2x+y=0 的垂线，垂足分别为 R* S ,则四边形PRSQ面积的最小值为

提炼小结：

本题考查直线方程的应用，两条平行线间的距离公式的应用，使用基本不等式求式子的最小值.先设 l 的方程，求出 P ,Q 的坐标，得到PR和QS的方程，再利用平行线间的距离公式求出 R S ，由四边形PRSQ为梯形，代人梯形的面积公式，最后使用基本不等式可求四边形PRSQ的面积的最小值.

拓展探究已知过点 A (1,1) 且斜率为一 m m>0 )的直线 l 与 _{x} 轴、 y 轴分别交于点 P ,Q 过 P ,Q 作直线 {√(3)} x+y=0 的垂线，垂足分别为 M,N .求：

（1）直线 P M,Q N 的方程（用 m 表示)；
（2）四边形PMNQ面积的最小值.

随堂练习

1.设 P ,Q 分别为直线 3x+4y-12 {=} 0 与上任意一点，则线段 P Q 长的最小值为

A.2 B.10
C. (14)/(5) D. 14

2.已知 l_{1}\colon2x + 3m y - m + 2= 0 和 l_{ 2}:m x+6y-4 {=} 0. 若 l_{rm{1}}//\;l_{rm{2}} ，则 l_{1} 与 l_{2} 之间的 距离为

A. (√(5))/(5) \begin{array}{l}{B.~(√(10))/(5)}\\ {D.~(2 √(10))/(5)}\end{array}
C. (2 {√(5)})/(5)

3.若动点 A ,B 分别在直线 l_{1}:x+y-6= 0和 l_{ 2}:x+y-2 {=} 0 上，则 A B 的中点 M 到坐标原点的距离的最小值为 (

A. √(2) B. 2√2
C. 3√2 D. 4√2

4.（多选题）若 P ,Q 分别为 l_{1}:3x+4y+ 5=0 ,l_{2} ;a x+8y+c=0 上的动点，且 l_{~1~}//l_{~2~} ,下列说法正确的有

A.直线 l_{2} 的斜率为定值B.当 c=25 时， P Q 长的最小值为 (3)/(2) C.当 P Q 长的最小值为1时， _{c}=20 D. c\neq10

5.与直线 4x+3y-5=0 平行，且到它的距离为3的直线方程是

×微专题1对称问题

课标要求

1．掌握平面上点、直线关于点对称和关于直线对称问题.2.掌握对称问题的解题方法.3.感受点和直线对称之间的关系，领悟数形结合和转化与化归思想.

2.求直线关于点对称的直线问题，方法有三：一是转化为点关于点对称问题；二是根据平面几何知识，知道两条直线平行，且对称中心到两条直线的距离相等；三是运用求轨迹问题的坐标转移法.

3.求点关于直线对称的点的问题，根据对称点的连线段被对称轴垂直平分，如：点 A\left(a\right) b )关于直线 A x+B y+C=0 ( B\neq0 ) 对称的点A^{\prime}(m,n) ，则有

(2）点（1,2)关于点（2,3)对称的点的坐标为

4.求直线关于直线对称的直线问题，可以先求出直线与对称轴的交点，再在已知直线上取一个特殊点并求出它的对称点，再根据直线的两点式方程，求出对称直线方程.

新知学习

点(直线)关于点对称问题

知识梳理

1．点关于点对称，实际上是两个点的中点为

思维导图：

例1（1）直线 y=2x+1 关于坐标原点对称的直线方程是

（2）已知 P\left(1,-4\right),A\left(3,2\right) 两点，则点 A 关于点 P 对称的点的坐标为

提炼小结：

1.研究点关于点对称的问题主要是利用方程组思想求解.2.本题在已知直线上取两个特殊点，通常取坐标中含数“0”的点（方便求出对称点），将问题转化为“点关于点对称的问题”，再利用“两点确定一条直线”这一基本想法求未知直线.当然，本题也可以利用平面几何知识或轨迹思想进行求解.

变式演练 （1）直线 y=4x-5 关于点P\left(2,1\right) 对称的直线方程是

A. y=2x-1
B. y=- 2x-1
C. y=- 2x+1
D. _{y}=2x A. y=4x+5
B. y=4x-5
C. _{y} {=} 4.x {-} 9
D. y=4x+9

二点、直线关于直线对称问题

例2（1）求点 A\left(1,3\right) 关于直线+3=0 对称的点的坐标；

（2）已知直线 l:x-y-1=0 ,l_{1}:x-y+1 3=0 ,l_{2}:2x-y-1=0 ，求直线 l_{rm{1}},l_{rm{2}} 关于直线 l 对称的直线 {l_{~1~}}^{\prime} ,{l_{~2~}}^{\prime} 的方程.

A'(m,n）,则有 \begin{array}{r l}&{\left|(n-b)/(m-a)\Bigl(-(A)/(B)\Bigr)=-1,\right.}\\ &{\left.\left|A (m+a)/(2)+B (n+b)/(2)+C=0.\right.}\end{array}

提炼小结：

1.求点关于直线对称的点的问题，根据对称点的连线段被对称轴垂直平分，如：点 A\left(a\right) b )关于直线 A x+B y+C=0 ( B\neq0 ) 对称的点

思维导图：

2.求直线关于直线对称的直线问题，可以先求出直线与对称轴的交点，再在已知直线上取一个特殊点，并求出它的对称点，再根据直线的两点式方程，求出对称直线方程.

变式演练（1）两直线方程为 l_{rm{1}}\colon3x^{rm{-}} 2y-6 {=} 0 ,l_{2} {:}x-y-2 {=} 0 ，则 l_{rm{1}} 关于 l_{2} 对称的直线方程为

A. 3x-2y-4 {=} 0
B. 2x+3y-6 {=} 0
C. 2x-3y-4 {=} 0
D. 3x-2y-6 {=} 0

（2）已知点 P\left( 2,1 \right),Q\left( a ,b \right) 关于直线 x+ y+1=0 对称，则 a+b=

三对称问题的综合应用

例3已知点 P\left(4,1\right) 关于直线 ^{\prime}:x-2y+ 3=0 对称的点为 Q

（1）求点 Q 的坐标.

（2）若点 N 在直线 l 上， O 为坐标原点，求：①O N+N P 的最小值；②\ O N-N P 的最小值.

思维导图：

提炼小结：

（1）求直线上一点到两个定点距离之和的最小值时，先确定两个定点是否在直线的两侧，如果在同侧，利用点关于直线对称化为两侧，然后利用两点之间线段最短进行解决；

（2）求直线上一点到两个定点距离之差的最值或者范围时，先确定两个定点是否在直线的同侧，如果在两侧，利用点关于直线对称化为同侧，然后利用三点共线即可得出结果.

拓展探究在直线 l x-y-1 {=} 0 上求 P Q 两点，使得：

(1) P 到点 A\left(4,1\right) 与 B\left(0,4\right) 的距离之差最大；

(2) Q 到点 A\left(4,1\right) 与 C\left( 3 ,0 \right) 的距离之和 最小.

随堂练习

1.若 P\left( 3 ,4 \right) 是线段AB的中点，且点A的坐标为 ( -1,2 ) ，则点 B 的坐标为 (

A.(—5,0) B. (4,2) C. (7,6) D. (6,7)

2.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点 ( m ,n ) 重合，则 m+ n= (

A. (34)/(5) B. 10 C. (36)/(7) D. 5

3.（多选题)光线自点(2，4)射人，经 _y 轴反射后经过点（5，0），则反射光线所在直线还经过下列点中的

A.(-9,8) B.(3,1) C. (7，-1) D.(12,—4)

4.已知点 P\left(-1,1\right) 与点 Q\left(3,5\right) 关于直线l 对称,则直线 l 的方程为

5.若直线 l_{1}:y=k\left(x-6\right)-2 与直线 l_{2} 关 于点(2,1)对称，则直线 l_{2} 恒过定点

章末复习课 直线与方程

课标要求

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握两者的联系.2.理解直线方程的五种形式和适用范围，能灵活选择方程的形式求直线的方程.3.理解直线平行与垂直的条件.4.掌握平面上的两点间距离公式、点到直线的距离公式及两条平行直线的距离公式.

3.（多选题）已知直线 l 过点 P\left(3,4\right) ，且点A\left(-2,2\right),B\left(4,-2\right) 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可以为 (

A. 2x+3y-18{=}0
B. 2x-y-2=0
C. 3x-2y+18=0
D. 2x-y+2=0

4.若直线 m x+n y+3=0 在 y 轴上的截距 为一3，且它的倾斜角是直线 √(3) x-y=3 √(3) 的倾 斜角的2倍，则 m= n=

知识体系

例题精析

直线方程及其应用

例1（1）直线 l 过点 P ( - 6 ,3 ) ，且它在x 轴上的截距和它在 y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为

（2）过点 A ( -5 ,-4 ) 作一直线l，使得它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程.

基础自测

1．直线 x+y=0 的倾斜角为

A. 45° B. {{60}°}
C. {90}° D. 135°

2．已知直线 x-2y+m=0(m>0) 与直线x+n y-3 {=} 0 互相平行，且它们间的距离是 √(5) ，则 m+n= ）

A. 0 B.1 C. -1 D.2

江海名师新高考课时练·数学选择性必修第一册

提炼小结：

1.求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.

2.运用直线系方程的主要作用在于能使得计算简单.

变式演练在平面直角坐标系中，已知\triangle A B C 的顶点 A\left(0,1\right),B\left(3,2\right)

（1）若点 C 坐标为（1,0）,求边 A B 上的高所在的直线方程；

（2）若 M\left(1,1\right) 为边 A C 的中点，求边 B C 所在的直线方程.

二 两直线的位置关系

例2（1）若直线 l_{1}:x-2y+5 {=} 0 与直线l_{2}:2x+m y-6=0 互相垂直，则实数 m=

（2）已知点A（2,2)和直线 l:3x+4y- 20=0 求：① 过点 A ,且和直线 l 平行的直线方程；② 过点 A ,且和直线 l 垂直的直线方程.

（3）已知正方形的中心为直线 x-y+1 {=} 0 和 2x+y+2=0 的交点，正方形一边所在直线方程为 x+3y-2 {=} 0 ,求其他三边所在直线的方程.

提炼小结：

利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型.求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：直线 l_{1}\colon A_{1}x + B_{1}y + C_{1}= 0 l_{2}:{\cal A}_{2}x+{\cal B}_{2}y+{\cal C}_{2}=0.

(1)当 l_{rm{1}}//l_{rm{2}} 时，可令 A_{1}B_{2} {-}A_{2}B_{1} {=} 0 ，解得参数的值后，再代人方程验证，排除重合的情况；

（2）当 l_{rm{1}}\bot l_{rm{2}} 时，可利用 A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0 直接求参数的值.

变式演练（1）已知两条直线 l_{1} ： (~3~+ \begin{array}{r}{m )x+4y=5-3m ,l_{2}\colon2x+(5+m )y=8.}\end{array} 当 m 分别为何值时， l_{rm{l}} 与 l_{2} ① 平行？ ⊚ 垂直？

（2）求过两直线 2x-3y-3 {=} 0 和 x+y+ 2=0 的交点，且与直线 3x-y-1 {=} 0 平行的直线 l 的方程.

三距离问题

例3（1）直线 3x-4y+5 {=} 0 关于 \mathscr{x} 轴对称的直线方程为

A. 3x+4y+5{=}0
B. 3x+4y-5=0
C. -3x+4y-5=0
D. -3x+4y+5=0

（2）已知直线 l_{1}:2x+3y-8=0 和 l_{~2~} a x-6y - 10 = 0 .若 \boldsymbol{l}_{\mathit{1}}~/~\boldsymbol{l}_{\mathit{2}} ，则实数 a= ，两直线 l_{rm{1}} 与 l_{2} 间的距离是

（3）过点 P\left(0,1\right) 作直线 l ，使得它被直线l_{1}:2x+y-8=0 和 l_{2}:x-3y+10=0 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程.

⊚ 直线 l_{1} 与直线 l_{2} 平行，且坐标原点到l_{rm{1}},l_{rm{2}} 的距离相等.

提炼小结：

（1）距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离.（2）牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.

变式演练（1）若点 ( 1 ,a ) 到直线 _y=x+1 的距离是 (3 {√(2)})/(2) ，则实数 a 的值为

A. -1 B.5
C. -1 或5 D. -3 或3

（2）已知两条直线 l_{1}:a x-b y+4=0 l_{2}:(a-1)x+y+b=0 ，求分别满足下面条件的 a* b 的值.

① 直线 l_{rm{l}} 过点 (-3,-1) ，且直线 l_{1} 与直线 l_{2} 垂直；

随堂练习

1．直线 l 过点 (-3,0) ,且与直线 y=2x- 3垂直，则直线 l 的方程为

A y=-(1)/(2)(x-3) B. y=-(1)/(2)(x+3) C. y=(1)/(2)(x-3) D. y=(1)/(2)(x+3)

2.直线 l 过点 A\left(3,4\right) ，且与点 B\left(-3,2\right) 之间的距离最远，那么 l 的方程为

A. 3x-y-13 {=} 0 B. 3x-y+13 {=} 0
C. 3x+y-13 {=} 0 D. 3x+y+13 {=} 0

3.（多选题)等腰直角三角形ABC的直角顶点为 C\left(3,3\right) .若点 A\left(0,4\right) ，则点 B 的坐标可能是

A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)

4.若直线 l 与直线 3x+y-1 {=} 0 垂直，且它在 _x 轴上的截距为一2，则直线 l 的方程为