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（2022-2023 首师大附中九下月考·2 月开学考——位置正方形）★★★☆
28．在平面直角坐标系 xOy 中有一个动点 A（点 A 不在 x 轴上），以 A 为圆心，OA 为半径
的⊙A 与 y 轴的另一个交点为 E，如果线段 OE 上存在点 B，⊙A 上存在点 C，⊙A 内存在点
D，使点 A，B，C，D 顺时针排列构成正方形 ABCD，则称正方形 ABCD 是点 A 的“位置正方
形”．
例如，图中正方形 ABCD 是点 A 的一个“位置正方形”．
（1）求点
A(3,4)
的“位置正方形”面积；
（2）如果点
A( 1,3) −存在“位置正方形”，则此时点 D 的坐标为____________；
（3）点 A 在以原点 O 为圆心，2 为半径的圆及其内部运动，直接写出存在“位置正方形的
点 A 所在的区域面积．
x
y
D
C
B
E
A
O
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吴老师图解
（1）
25
2
.
规律总结
定义的关键在于确定点
B
的位置！
如图，对于某一位置的点
A ：
1）以
A
为圆心，
AO
为半径作
A，在
A
上取点
C
，以
AC
为对角线构造正方形
ABCD
（顺时针），
2）当点
C
在
A
上运动时，点
B
的轨迹
为：以
A
为圆心，
2
2
AC
为半径的圆，
3）注意，点
B
与点
D
肯定是在
A
的内部的（满足题目要求），故点
B
的轨迹圆与
y
轴
的交点即为所求；若没有交点，则说明不存在“位置正方形”…
思路&图解
由【规律总结】知“位置正方形”的对角线长为
AO =5，故
1 25 5 5
2 2
S = =
（菱形）.
（2）
( 3,2) −或
(1,2).
分析
如图，
已知
AO = 10 ，
由【规律总结】知点
B
在：以
A
为圆
心， 5
为半径的圆上，
故图中点
B1
与点
B2
即为所求.
思路&图解
如图，
1）以
D1
为例，构造“弦图”，
易得
1 HD AR = =1， 1 AH B R = = 2 ，
1 D (1,2) ，
2）同理，可得
2 D ( 3,2) − ，
点
D
的坐标为
( 3,2) −或
(1,2) .
x
y
E
B2
B1
D
B
A
O
C
x
y
D2
C2
D1
C1
B2
B1
A
O
x
y
R H
D2
C2
D1
C1
B2
B1
A
O
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（3）
2 .
分析
如图，由【规律总结】知，若要满足题意，则以
A
为圆心，
2
2
AO
为半径的圆应与
y
轴
有交点，即
2
2
AH AO
（当
2
2
AH AO =
时，
= AOH 45
），
所以，当
AOH 45
时存在“位置正方形”，即点
A
在下图所示的阴影区域内.
备注：或设
A x y ( , )
，利用
2 2 2
2
x x y = +
，求得
x y = .
思路&图解
由【分析】知，
1 1 2
2 2
2 2 O
S S = = = .
x
y
E
O
A
x
y
H
E
O
A
x
y
O
