2023-2024 学年武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 小题、每小题 3 分，共 30 分）

1．【解答】解：5x

2﹣1＝3x，

5x

2﹣3x﹣1＝0，

二次项系数，一次项系数分别为 5，﹣3．

故选：C．

2．【解答】解：选项 A、B、C 均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以

不是中心对称图形；

选项 D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：D．

3．【解答】解：x

2﹣4x+3＝0，

移项，得 x

2﹣4x＝﹣3，

配方，得 x

2﹣4x+4＝﹣3+4，

（x﹣2）2＝1．

故选：A．

4．【解答】解：∵二次函数 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 为顶点式，

∴图象的顶点坐标是（2，﹣1）．

故选：A．

5．【解答】解：∵⊙O 中，OA⊥BC，

∴??෢ = ??෢ ，

∴∠ADC=

1

2∠AOB，

∵∠AOB＝50°，

∴∠ADC=

1

2

×50°＝25°．

故选：B．

6．【解答】解：将抛物线? = −

1

2

?

ଶ向左平移 3 个单位，向下移动 1 个单位，所得抛物线的解析式是 y= −

1

2

（x+3）2﹣1．

故选：C．

7．【解答】解：∵将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转得到△EBD．

∴BC＝BD，∠ABC＝∠EBD，

∴∠C＝∠BDC，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBA，

∵∠A＝30°，

∴∠C+∠ABC＝150°，

∵∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD，

∴∠A+∠ABD+∠ABC＝150°，

∴30°+∠ABD+2∠ABD＝150°，

∴∠EBA＝∠ABD＝40°，

故选：D．

8．【解答】解：设有 x 人参加聚会，

依题意得：ଵ

ଶ

x（x﹣1）＝28，

整理得：x

2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），x2＝8，

即有 8 人参加聚会，

故选：C．

9．【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD，∠E＝∠BCD，

∴∠E＝∠BAD，

∵BE∥AD，

∴∠BAD＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠E，

∴AB＝AE，

∵∠ACB＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，

∵AC＝3，BC＝2CE，

∴AE2＝（AC+CE）2＝（3+CE）2＝（2CE）2+32，

∴9+6CE+CE2＝4CE2+9，

∴3CE2＝6CE，

∴CE＝0（舍去）或 CE＝2，

∴BC＝4，

∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝90°，

∴BE= √??ଶ + ??ଶ =2√5，

故选：D．

10．【解答】解：∵函数 y＝﹣x+c（c 为常数，c＜0）的图象与 x 轴交于点 M，

∴M（c，0），

∴OM＝﹣c，

∵ON=

1

2

OM，

∴ON= −

1

2

c，

∴N（±

ଵ

ଶ

c，0），

∵其轴点函数 y＝ax2+bx+c 与 x 轴的两个一交点为 M，N．

∴ቊ

??ଶ + ?? + ? = 0

? ⋅ (1

2

?)

ଶ + ? ⋅ (1

2

?) + ? = 0，或ቊ

??ଶ + ?? + ? = 0

?(− 1

2

?)

ଶ + ?(− 1

2

?) + ? = 0，

解得 b＝﹣3，或 b＝1，

故选：B．

二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．【解答】解：根据中心对称的性质，得点 P（﹣2，3）关于原点对称点 P′的坐标是（2，﹣3），

故答案为：（2，﹣3）．

12．【解答】解：∵抛物线 y＝x

2﹣mx﹣m+3 的图象过原点，

∴0＝﹣m+3，

解得 m＝3，

故答案为：3．

13．【解答】解：过 O 作 OH⊥AB 于 H，

∴AB＝2AH，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠B，

∵∠AOB＝120°，

∴∠A=

1

2

×（180°﹣120°）＝30°，

∴OH=

1

2

OA=

1

2

×10＝5，

∴AH= √??ଶ − ??ଶ =5√3，

∴AB＝10√3，

∴△AOB 的面积=

1

2

AB•OH=

1

2

×10√3 ×5＝25√3．

故答案为：25√3．

14．【解答】解：∵m 是方程 x

2﹣3x﹣8＝0 的根，

∴m

2﹣3m﹣8＝0，

∴m

2＝3m+8，

∴m

2﹣4m﹣n﹣3＝3m+8﹣4m﹣n﹣3＝5﹣（m+n），

∵m，n 是方程 x

2﹣3x﹣8＝0 的两根，

∴m+n＝3，

∴m

2﹣4m﹣n﹣3＝5﹣3＝2．

故答案为：2．

15．【解答】解：∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），对称轴为直线 x＝﹣1，

∴二次函数的图象经过点（1，0），

即 x＝1 时，y＝0，

∴a+b+c＝0，故①正确；

∵

௠ା(ି௠ାଶ)

ଶ

=1，

∴点（m，y1），（﹣m+2，y2）关于直线 x＝1 对称，

∴y1＝y2，故②正确；

∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣3，0）和（1，0），

∴ቄ

? + ? + ? = 0

9? − 3? + ? = 0，

解得ቄ

? = 2?

? = −3?，

∴a﹣b+c＝﹣4a，

当 a＞0 时，抛物线开口向上，当 x＝﹣1 时，﹣4a 为最小值，

∴若 m 为任意实数，则 am2+bm+c≥﹣4a；

当 a＜0 时，抛物线开口向下，当 x＝﹣1 时，﹣4a 为最大值，

∴若 m 为任意实数，则 am2+bm+c≤﹣4a；

故③错误；

由 ax2+bx+c＝k（x+1）得，

ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0，

又 b＝2a，c＝﹣3a，

得 b= −

2

3

c，a= −

1

3

c，

则Δ＝（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（−

2

3

c﹣k）2﹣4×（−

1

3

c）（c﹣k）=

16

9

c

2+k

2＞0，

∴关于 x 的方程 ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根，

故④正确．

故答案为：①②④．

16．【解答】解：连接 CF，过点 A 作 AM⊥CD 于点 M，

∵∠DCE＝90°，点 F 为 DE 的中点，

∴CF＝DF＝EF，

∵∠E＝30°，

∴∠EDC＝∠FCD，∠E＝∠FCE＝30°，∠EDC＝90°﹣∠E＝60°，

∴∠FCD＝60°，

∵将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 120°得到线段 AD，

∴AD＝AC，∠A＝120°，

∴∠DCA=

1

2

×（180°﹣120°）＝30°，

∴∠FCA＝∠FCD+∠DCA＝60°+30°＝90°，

∵AM⊥CD，∠DCA＝30°，

∴CM=

ඥ3

2

AC，

∵AD＝AC，AM⊥CD，

∴CD＝2CM= √2AC，

设 AC＝x，则 BC＝12﹣x，AC＝AD＝x，CD＝CF= √3x，

由勾股定理得：BF= √??ଶ + ??ଶ = ට(12 − ?)

ଶ + (√3?)

ଶ =2ඥ(? − 3)ଶ + 27．

当 x＝3 时，BF 有最小值为 6√3，

∴当 BF 最小时，AC 的长为 3，

故答案为：3．

三、解答题（共 8 小题，共 72 分）

17．【解答】解：x

2﹣7x﹣1＝0，

b

2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝53，

x=

7±ඥ53

2 ，

x1=

7+ඥ53

2 ，x2=

7−ඥ53

2 ．

18．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°，

∴∠CAB＝40°．

∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△DBE，点 E 恰好在 AB 上，

∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°，

∴∠BAD＝∠ADB=

1

2（180°﹣50°）＝65°，

∵∠BED＝∠ACB＝90°，

∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°．

19．【解答】解：设页边距为 x cm，

由题意得：（32﹣2x）（20﹣2x）＝32×20×

7

10，

整理得：x

2﹣26x+48＝0，

解得：x1＝2，x2＝24（不合题意，舍去），

答：需设置页边距为 2cm．

20．【解答】（1）证明：连接 BD．

∵CD 是直径，

∴∠DBC＝90°，

∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ABC﹣∠ACD＝∠ABC﹣∠ABD＝∠DBC＝90°；

（2）解：连接 AD．

∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ADE＝∠ABC，

∵∠EAC＝∠ABC，

∴∠ADE]＝∠EAC，

∵∠E＝∠E，

∴△EAD∽△ECA，

∴

஺ா

ா஼

=

ா஽

஺ா

，

∴AE2＝ED•EC，

设 DE＝x，则有 8

2＝x（x+12），

∴x

2+12x﹣64＝0，

解得 x＝﹣16（舍去）或 4，

∴DE＝4，

∴EC＝DE+CD＝4+12＝16．

21．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB= √3

ଶ + 4ଶ =5，

如图 1，取格点 M，使 BM＝AB＝5，连接 AM，

∴△ABM 为等腰三角形，

取线段 AM 的中点 P，连接 BP，

∴BP 平分∠ABC，

则点 P 即为所求．

取格点 N，连接 CN，交⊙O 于点 E，使 CN∥AB，

∴∠BAC＝∠ACN，

即∠BAC＝∠ACE，

∴??෢ = ??෢ ，

则点 E 即为所求．

（2）如图 2，取格点 G，使 BG＝AB，且 BG⊥AB，连接 AG，

∴△ABG 为等腰直角三角形，

取线段 AG 的中点 H，连接 BH 交 AC 于点 D，

∴∠ABD＝45°，

则点 D 即为所求．

延长 BC 至点 A'，使 A'B＝AB＝5，

延长 AC 至点 K，使 AC＝CK，连接 BK，

∴∠ABC＝∠KBC，

∴点 C'在线段 BK 上，

过点 A'作 BK 的垂线，与 BK 交于点 C'，连接 BC'，

则△A′BC'即为所求．

22．【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为 y＝a（x﹣4）2+

21

5 ，

将点（0，1）代入可得：1＝a（0﹣4）2+

21

5 ，

解得：a= −

1

5，

∴抛物线的解析式为 y= −

1

5（x﹣4）2+

21

5 ；

（2）此球能过网，理由：

当 x＝5 时，y= −

1

5（5﹣4）2+

21

5

=4，

∵4＞1.55，

∴此球能过网；

（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，

此时−

1

5（d﹣4）2+

21

5

=

12

5 ，

解得：d1＝1，d2＝7，

∵运动员接球高度不够，

∴1＜d＜7，

∵OB＝5，乙运动员接球时不能触网，

∴d 的取值范围为 5＜d＜7．

23．【解答】（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，

∴AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠CAE＝60°，

∴DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE，

在△DAC 和△BAE 中，

൝

?? = ??

∠??? = ∠???

?? = ??

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴BE＝DC；

（2）解：如图，以 AD 为边作等边△ADE，过点 E 作 EF⊥AC 交 CA 的延长线于点 F，则 AD＝AE＝

ED＝4，∠DAE＝∠ADE＝60°，

∵△BCD 是等边三角形，

∴∠BDC＝60°，DB＝DC，

∴∠BDC+∠CDA＝∠ADE+∠CDA，

即∠BDA＝∠CDE，

在△ABD 和△ECD 中，

൝

?? = ??

∠??? = ∠???

?? = ??

，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴BA＝CE，

∵∠DAC＝60°，

∴∠EAF＝180°﹣∠DAC﹣∠DAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF＝30°，

∴AF=

1

2

AE＝2，

∴EF= √??ଶ − ??ଶ =2√3，

∵AC＝3，

∴CF＝AF+AC＝2+3＝5，

在 Rt△CEF 中，?? = √??ଶ + ??ଶ = ට(2√3)

ଶ + 5ଶ = √37，

∴BD= √37；

（3）解：如图，

∵AD＝AB，

∴将△ADC 绕点 A 逆时针旋转得到△ABE，连接 CE，则 CD＝BE＝10，∠DAC＝∠BAE，

∴∠DAB＝∠CAE，

∵AC＝AE，

∴∠ACE＝∠ADB，

∵2∠ADB+∠DAB＝180°，

∴∠??? + 1

2

∠??? = 90°，

∵∠??? = 1

2

∠???，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴?? = √??ଶ − ??ଶ = √10ଶ − 8ଶ = 6，

过点 A 作 AF⊥BC 于 F，AG⊥EC 于 G．

∴四边形 AFCG 为矩形，

∴AF＝CG＝3，

∴?△஺஻஼ =

1

2

× 8 × 3 = 12．

24．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣（x

2+2x﹣3）＝﹣x

2﹣2x+3，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x

2﹣2x+3；

（2）过点 D 作 DF∥y 轴交直线 AC 于点 F，

当 x＝0 时，y＝﹣x

2﹣2x+3＝3，

∴点 C 的坐标为（0，3）．

∵A（﹣3，0），

∴△DEF 是等腰直角三角形，

∴DE=

ඥ2

2

DF，

∴当 DF 最大时，线段 DE 有最大值，

设直线 AC 的解析式为 y＝kx+d（k≠0），

将 A（﹣3，0），C（0，3）代入 y＝kx+d 得ቄ

−3? + ? = 0

? = 3 ，

解得ቄ

? = 1

? = 3，

∴直线 AC 的解析式为 y＝x+3．

设点 D（t，﹣t

2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则点 F 的坐标是（t，t+3），

∴DF＝﹣t

2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t

2﹣3t＝﹣（t+

3

2）2+

9

4，

∴当 t= −

3

2时，线段 DF 的最大值为ଽ

ସ

，

∴线段 DE 的最大值为 DE=

ඥ2

2

DF=

9ඥ2

8 ，

∴此时点 D 的坐标为（−

3

2，

ଵହ

ସ

）；

（3）是定值，理由：

∵将抛物线 C1：y＝﹣x

2﹣2x+3 沿 y 轴翻折得到抛物线 C2，抛物线 C2 的顶点为 F，

∴抛物线 C2：y＝﹣x

2+2x+3，F（1，4），

∵直线 JI 过点 H（1，2），故设直线 JI 的表达式为：y＝k（x﹣1）+2，

设点 J、I 的坐标分别为：（m，﹣m

2+2m+3），点 N（n，﹣n

2+2n+3），

联立 y＝k（x﹣1）+2 和 y＝﹣x

2+2x+3 并整理得：x

2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0，

则 m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣1，

由点 J、F 的坐标得，直线 JF 的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，

令 y＝0，则 x＝1+

4

?−1，即点 M（1+

4

?−1，0），

则 GM＝1﹣1−

4

?−1 = −

4

?−1，

同理可得，GN=

4

?−1，

则 GM•GN= −

4

?−1 ×

4

?−1 = −

16

(?−1)(?−1) =

−16

??−(?+?)+1 =

−16

−?−1−2+?+1 =8．

2023-2024 学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1．【解答】解：选项 A、B、D 均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以

不是中心对称图形；

选项 C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：C．

2．【解答】解：一元二次方程 x

2+1＝﹣6x 化为一般形式是 x

2+6x+1＝0，二次项系数和一次项系数分别为：

1，6．

故选：A．

3．【解答】解：∵抛物线 y＝2x

2 的顶点坐标是（0，0），

∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），

∴得到的抛物线解析式是 y＝2x

2+1．

故选：A．

4．【解答】解：该图形被平分成八部分，旋转 45°的整数倍，就可以与自身重合，

故 n 的最小值为 45．

故选：A．

5．【解答】解：∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×10＝41＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

6．【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，

∴∠ACB＝40°，

故选：A．

7．【解答】解：∵该校 2021 年 9 月新入校七年级学生 100 人，且该校每年新生人数年平均增长率为 x，

∴该校 2022 年 9 月新入校七年级学生 100（1+x）人，2023 年 9 月新入校七年级学生 100（1+x）2 人．

根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．

故选：D．

8．【解答】解：∵抛物线 y＝m（x﹣2）2+m

2+4（m＜0），

∴该抛物线的对称轴为直线 x＝2，抛物线开口向下，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＜2 时，y

随 x 的增大而增大，

∵点 A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在抛物线 y＝m（x﹣2）2+m

2+4 上，点 A 在点 B 左侧，点 C

在第三象限，

∴点 A（a，2），C（c，﹣1）在对称轴的左侧，

∴c＜a＜b；

故选：D．

9．【解答】解：∵函数 y＝x

2﹣4x 的图象上有两点 A（m，1）和 B（n，1），

∴m

2﹣4m＝1，

把 y＝1 代入 y＝x

2﹣4x 得，x

2﹣4x﹣1＝0，

∵函数 y＝x

2﹣4x 的图象上有两点 A（m，1）和 B（n，1），

∴m，n 是方程 x

2﹣4x＝1 的两个根，

∴mn＝﹣1，m+n＝4，

∴m= −

1

?，

∴2?ଶ +

3

?

+ 5?

＝2m

2﹣3m+5n

＝2（m

2﹣4m）+5（m+n）

＝2×1+5×4

＝22．

故选：A．

10．【解答】解：如图，以点 D 为圆心，DA 为半径作⊙D，由于 DA＝DB＝DC＝2，所以点 B、点 C 也在

圆上，延长 AD 交⊙D 于点 F，

∵AD∥BC，

∴??෢ = ??෢，

∴AB＝CF＝1，

∵AF 是⊙D 的直径，

∴∠ACF＝90°，

在 Rt△ACF 中，AF＝2AD＝4，CF＝1，

∴AC= √??ଶ − ??ଶ = √15．

故选：B．

二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.

11．【解答】解：点 A（1，﹣2）关于原点对称的点 A′的坐标为：（﹣1，2）．

故答案为：（﹣1，2）．

12．【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝70°，

∴∠BOD＝2∠A＝140°．

13．【解答】解：∵y＝x

2+2x+3＝x

2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，

∴抛物线 y＝x

2+2x+3 的顶点坐标是（﹣1，2）．

故答案为：（﹣1，2）．

14．【解答】解：设该铅球的半径是 rcm．

在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，

根据勾股定理，得 r

2＝（r﹣2）2+16，

解得 r＝5，

故 2r＝10．

故答案为：10．

15．【解答】解：由图象可知，a＞0，c＜0，

∵对称轴为直线 x＝1，

∴−

?

2?

=1，

∴b＝﹣2a＜0，

∴abc＞0．

故①正确；

∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过点 A（3，0），

∴9a+3b+c＝0，

∵b＝﹣2a，

∴3a+c＝0，

∵a＞0，

∴8a+c＝3a+c+5a＞0，

故②错误；

由②知，c＝﹣3a，

∵a＞0，对称轴为直线 x＝1，

∴当 x＝1 时，函数有最小值，最小值为 a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，

∴对于任意实数 m，有 am2+bm+c≥﹣4a，

即 am2+bm≥﹣4a﹣c，

故③正确；

当 n＞

1

2时，n+1＞

3

2

∵对称轴为直线 x＝1，

∴n+1﹣1＞

1

2，1﹣n＜

1

2，

∴y1＜y2．

故④正确；

故答案为：①③④．

16．【解答】解：分两种讨论如下：

①当直线 l 于 AB 不垂直时，

连接 AC，BD 交于点 O，过点 O 作 OT⊥直线 l 于 T，在 OT 的延长线上截取 TR＝OT，连接 RN，ON，

过点 C 作 CE⊥AB 于 E，如图所示：

∵DP⊥直线 l，BM⊥直线 l，

∴四边形 BMPD 为直角梯形，

∵四边形 ABCD 为平行四边形，

∴点 O 为 BD，AC 的中点，

∵OT⊥直线 l，

∴OT∥BM∥DP，

∴OT 为梯形 BMPD 的中位线，

∴BM+DP＝2OT，

∵TR＝OT，

∴OR＝2OT＝BM+DP，

∵CN⊥直线 l，

在 Rt△ACN 中，点 O 为斜边 AC 的中点，

∴ON＝OA＝OC，

∴△OAN 为等腰三角形，

又∵OT⊥AN，

∴AT＝NT，

在△OAT 和△RNT 中，

൝

?? = ??

∠??? = ∠???

?? = ??

，

∴△OAT≌△RNT（SAS），

∠AOT＝∠R，

∴OA∥RN，

即 OC∥RN，

∵CN⊥直线 l，OT⊥直线 l，

∴OR∥CN，

∴四边形 CNRO 为平行四边形，

∴CN＝OR＝BM+DP，

∴BM+CN+DP＝2CN，

要求 BM+CN+DP 的最大值，只需求出 CN 的最大值即可，

根据“垂线段最短”可知：CN≤CA，

∴CN 的最大值为线段 CA 的长，

∵∠ABC＝60°，BC＝5，CE⊥AB，

在 Rt△CBE 中，∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，

∴BE=

1

2

BC＝2.5，

由勾股定理得：CE= √??ଶ − ??ଶ = 2.5√3，

∵AB＝6，BE＝2.5，

∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2.5＝3.5，

在 Rt△ACE 中，由勾股定理得：CA= √??ଶ + ??ଶ = √31，

∴CN 的最大值为√31，

∴BM+CN+DP 的最大值为2√31．

②当直线 l⊥AB 时，

∵四边形 ABCD 为平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝6，

∵直线 l⊥AB，

∴直线 l⊥CD，如图所示：

此时点 P，N 重合且在 CD 上，点 M 与点 A 重合，

∴BM＝AB＝6，CN+DP＝CD＝6，

∴BM+CN+DP＝12，

∵2√31＜12，

∴BM+CN+DP 的最大值为 12．

故答案为：12．

三、解答题（共 8 小题，共 72 分）

17．【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，

则 x+1＝0 或 x﹣5＝0，

∴x＝﹣1 或 x＝5．

18．【解答】解：∵将△ABC 绕点 B 旋转至△DBE，点 E 在边 AC 上，

∴旋转角∠EBC＝∠ABD，EB＝EC，

而∠C＝40°，

∴∠BEC＝∠C＝40°，

∴∠EBC＝∠ABD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．

19．【解答】解：设桌布垂下的长度为 xdm，则由题意，

得（6+2x）（4+2x）＝2×4×6．

整理方程，得 4x

2+20x﹣24，即 x

2+5x﹣6＝0，

解得 x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝1．

当 x＝1 时，桌布的长为 2+6＝8（dm），

桌布的宽为 2+4＝6（dm）．

答：桌布的长和宽分别为 8dm 和 6dm．

20．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∠CBD＝∠BAC＝60°，

∴∠ADB＝∠CDB，

即 BD 平分∠ADC；

（2）解：在 DB 截取 DE＝DC＝1，如图，

∵∠CDE＝60°，DE＝DC，

∴△DEC 为等边三角形，

∴CE＝CD，∠DEC＝60°，

∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝120°，∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝120°，

∴∠BEC＝∠ADC，

∵∠CBE 和∠CAD 都对??෢ ，

∴∠CBE＝∠CAD，

∵△ABC 为等边三角形，

∴BC＝CA，

在△BCE 和△ACD 中，

ቐ

∠??? = ∠???

∠??? = ∠???

?? = ??

，

∴△BCE≌△ACD（AAS），

∴BE＝AD＝2，

∴BD＝BE+DE＝2+1＝3．

21．【解答】解：（1）如图，线段 CD 即为所求；

（2）如图，线段 CE 即为所求；

（3）如图，△B'CA'即为所求．

22．【解答】解：（1）设 y 关于 t 的函数解析式为 y＝at2+bt+c（a≠0），

把（1，200），（2，380），（3，540）代入解析式得：

൝

? + ? + ? = 200

4? + 2? + ? = 380

9? + 3? + ? = 540

，

解得൝

? = −10

? = 210

? = 0

，

∴y 关于 t 的函数解析式为 y＝﹣10t

2+210t；

设 w 关于 t 的函数解析式为 w＝mx+n（m≠0），

把（1，30），（2，60）代入解析式得：ቄ? + ? = 30

2? + ? = 60，

解得ቄ? = 30

? = 0 ，

∴w 关于 t 的函数解析式为 w＝30t；

（2）当 y﹣w+200＝760 时，

即﹣10t

2+210t﹣30t+200＝760，

解得 t1＝4，t2＝14，

∴从第 4 分钟将触发拥堵黄色预警；

（3）设桥梁上车辆累计 Q 辆，

当 t≤5 时，

Q＝y﹣w+200

＝﹣10t

2+210t﹣30t+200

＝﹣10t

2+180t+200

＝﹣10（t﹣9）2+1010，

∵﹣10＜0，

∴当 t＜9 时，Q 随 x 的增大而增大，

∴当 t＝5 时，Q 有最大值，最大值为 850，

850＜1000，

∴前 5 分钟不会触发拥堵红色预警；

当 t＞5 时，w＝60（t﹣5）＝60t﹣300，

Q＝y﹣w+200

＝﹣10t

2+210t﹣（60t﹣300）

＝﹣10t

2+150t+300

＝﹣10（t﹣7.5）2+1062.5，

∵﹣10＜0，

∴当 t＝7.5 时，Q 有最大值，最大值为 1062.5，

1062.5﹣150＜1000，

∴t＞5 时不会触发拥堵红色预警．

总之，不会触发拥堵红色预警．

23．【解答】解：（1）延长 CD 交 AE 于 M，如图：

由旋转的性质可知：∠DBE＝60°，△ABE≌△CDB，

∴BD＝BE，∠AEB＝∠BDC，

∴△BDE 是等边三角形，

∴∠BDE＝∠BED＝60°，

∴∠AED＝∠AEB﹣60°，∠EDM＝180°﹣∠BDC﹣60°＝120°﹣∠BDC，

∴∠AMC＝∠AED+∠EDM＝∠AEB﹣60°+120°﹣∠BDC＝60°；

故答案为：等边三角形；

（2）延长 ME 到 N，使 EN＝EM，连接 AM，AN，BN，延长 BN 与 CM 交于点 O，BO 与 AM 交于点 Q，

如图：

∵E 是 BD 中点，

∴BE＝DE，

又∵EM＝EN，∠BEN＝∠DEM，

∴△BEN≌△DEM（SAS），

∴BN＝DM，∠EBN＝∠EDM，

∴BN∥DM，

∵D 在 CD 的垂直平分线上，

∴DM＝CM，

∴BN＝CM，

∵EM＝EN，AE⊥EM，

∴△AMN 是等腰三角形，

∴AM＝AN，

又∵△ABC 是等边三角形，

∴AB＝AC，

∴△ABN≌△ACM（SSS），

∴∠ANB＝∠AMC，∠BAN＝∠CAM，

∴∠ANO＝∠AMO，

又∵∠BAN+∠NAC＝∠BAC＝60°，

∴∠NAC+∠CAM＝∠NAM＝60°，

又∵∠AQN＝∠OQM，

∴∠O＝∠NAM＝60°，

又∵BN∥DM，

∴∠OMD＝∠O＝60°，

∴∠DMC＝180°﹣60°＝120°．

24．【解答】解：（1）对于 y＝﹣x

2+2x+3，当 x＝0 时，y＝3，

当 y＝﹣x

2+2x+3＝0 时，x＝﹣1 或 3，

即点 A、B、C 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；

（2）由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，BC＝3√2，

①当 BC 是边时，如图，

当 DE 在 BC 下方时，

设 DE 交 y 轴于点 T，过点 T 作 TG⊥BC 于点 G，

则由 B，C，D，E 四点组成的平行四边形面积＝BC×TG＝3√2 ×GT＝30，

则 GT=

10

ඥ2

，

由 OB＝OC＝3 知，∠TCG＝45°，

则 CT= √2GT＝10，

则点 T（0，﹣7），

则直线 DE 的表达式为：y＝﹣x﹣7，

联立 y＝﹣x

2+2x+3 和 y＝﹣x﹣7 并解得：x＝5 或﹣2，

即点 D（﹣2，﹣5）或（5，﹣12）；

点 C 向右平移 3 个单位向下平移 3 个单位得到点 B，

则点 D 向右平移 3 个单位向下平移 3 个单位得到点 E，

故点 E（1，﹣8）或（8，﹣15）；

当 DE 在 BC 上方时，

同理可得：直线 DE 的表达式为：y＝﹣x+13，

同理可得：点 E（2，﹣9）或（﹣1，﹣2）（舍去）；

即无解；

②当 BC 是对角线时，如图：

则 S△BCD＝15，

设点 D（x，﹣x

2+2x+3），则点 H（x，﹣x+3），

则 DH＝﹣x

2+3x，

则 S△BCD＝15=

1

2

×DH×OB=

3

2

×（﹣x

2+3x），

该方程无解；

综上，E（1，﹣8）或（8，﹣15）或（2，﹣9）；

（3）经过定点，理由：

设点 P、Q 的坐标分别为：（a，﹣a

2+2a+3）、（b，﹣b

2+2b+3），

由点 A、P 坐标得，直线 AP 的表达式为：y＝﹣（a﹣3）（x+1），

当 x＝0 时，y＝3﹣a＝OM，

同理可得：ON＝3﹣b，

则（a﹣3）（b﹣3）＝n，

即 ab﹣3（a+b）+9﹣n＝0，

设直线 PQ 的表达式为：y＝kx+m，

联立 PQ 和二次函数表达式并整理得：x

2+（k﹣2）x+m﹣3＝0，

则 a+b＝2﹣k，ab＝m﹣3，

则 m﹣3﹣3（2﹣k）+9﹣n＝0，

即 m＝n﹣3k，

则 PQ 的表达式为：y＝kx﹣3k+n＝k（x﹣3）+n，

则直线 PQ 过点（3，n）．