《一人一策》，为我定制

# 自我介绍 #

姓名：杜小星

年级：一名即将参加高考的高三学生

成绩：数学考试总不能突破 100 分

困惑：成绩不上不下，不知道怎么提升，跟不上进度，想有自己的节奏，提分快一点

# 一人一策 #

模块测评：几何与代数（90 分/150 分）

自我认知：基础概念掌握的还可以，但是不牢固，有些基础题也会错，综合题有点难，大概能做出来一问，分总是拿不全，

不知道是哪一部分知识缺失。

测评分析：此次测评得分 90 分，每个专题的得分率均在 60%左右浮动，可见基础知识掌握还可以，但是在分析题目与计

算时会出现问题，逻辑思维和运算能力都需要提升。

你的《一人一策》针对未掌握的知识点个性化定制备考内容，从知识→典例→练习→拓展，进一步夯实基础，对失分点进

行精准训练，提分更高效！同时配备名师讲题、讲知识视频，失分点强化训练，学完后还可以进行成果检测，进步看得见。

# 提分路径 #

第 1 步 看《测评报告》，查看错题原因，找到知识薄弱点，充分了解自身学习情况，合理规划个性化学习路径。

第 2 步 学《学习策》，梳理主干知识，深度学习失分点，典例剖析多维命题角度，举一反三，攻克失分点。

第 3 步 练《练习策》，从基础到拔高，按易中难分级练习，逐步进阶，对标高考强化拓展，快速练透！

如 何 定 制 我 的

《一人一策》，个

性化高效提分？

杜小星，见字如面。

《测评报告》利用项目反应理论（IRT）评估能力水平与认知诊断理论（CDT）诊断归因，

它聚合了

权威高考研究专家的智慧，AI 人工智能与科学测量理论的精华。

每一个字符，每一道试题，每一句讲解，

皆为专家慎重审定！

乾坤未定，你我皆是黑马。

现在，打开《测评报告》，开始你的个性化备考之路吧！

方案专供：杜小星 方案发布时间：2022 年 1 月20日

测评学科：数学 个性化备考方案：几何与代数 测评报告

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版权所有，侵权必究

211，世界向你打开一扇窗；

985，你与世界对话。

我们，与你有着同一个梦想。

决战 2022 高考的号角已经吹响，你来自哪里并不重要，重要的是你要去哪里！

课桌前，每一次奋笔疾书，都是对梦想的坚持！

困难前，每一次全力以赴，都是对梦想的守护！

这是一场单枪匹马的较量，但，你不是一个人在战斗，我很荣幸陪你一起上战场！

我有一个梦想，是天下高三学子，告别面对无数个繁琐知识点时的焦头烂额。能通过全面精准测评，定位自己

学科薄弱点及失分原因，找准加分项。付出即有收获！

我有一个梦想，是教育如孔夫子所愿，真正做到因材施教。每位学子都专享一套个性化备考方案，逐一攻克薄

弱点，高效学习。所学即是所需！

我有一个梦想，是所有高考勇士，都告别挑灯刷题，蓦然回首，错题依旧的茫然。跟着专业老师量身定制的学

习计划，做最少的题，得更高的分。学习就要高效！

为了这个梦想，天星人创建了未来脑考试在线。在这里，我们将携手圆梦。但愿，高考的战场上，打开笔盖之

时，你能有征战四方的快感；合上笔盖的那刻，会有收刀入鞘的骄傲！

期待着你走进清北的高光时刻，拥有比尔•盖茨般华丽转身的潇洒！

请你继续保持热爱，奔赴下一场山海！

杜小星 同学：你好！恭喜你通过了一次全面的测评，这是你选择提升自我水平的开始。

好的选择等于成功的一半！你所选择的“一人一策·个性化备考方案”，引进国内外先进测量技术，科学诊

断学科水平及薄弱知识点，并通过大数据云计算和 AI 智能技术，精准推送专属于你的个性化备考方案。

一、对精准科学测评的评价

1.测评的精准性与权威性

本次测评试题立足高考评价体系，诠释高考命题动向，试题的命制紧扣课程标准，契合高考命题趋势，既具

有等值高考的权威性和效度，又保证了测量的精准性。

2.测评试题能力与素养并重

从高考发展与传承的角度看，高考正处在从能力考查逐步向素养考查过渡的阶段，这个阶段的特征是以应用

性能力的考查为主，主要表现为在新情境、新问题的背景下，考查考生运用知识和技能解决问题的能力。本次测

评试题完全符合高考新要求。

二、对个性化学习方案的评价

“一人一策·个性化备考方案”依据测评结果和 AI 人工智能科学生成，千人千面。

《学习策》按照“主干知识进阶——深度学习进阶——拓展训练进阶”的学习路径，改变“同题再错”的困

境，消除“同类题再错”的现象，全面提升。

《练习策》是学习后进阶提升的训练。A、B、C，三个层级，由易到难，由单一到综合。为你提供了真正的

个性化“失分点”解决与提升方案！

奋斗的道路是辛苦的，愿你脚踏实地，不驰于空想，不骛于虚声，在备考道路上找到适合自己的方法！

愿你能够从容面对烽火连天的六月，蟾宫折桂，金榜题名！

本册审定专家：

审定时间：2022年1月20日

张淑鹤

目录

CONTENTS

Part 1 测评分析报告 .............................................................................................. 1

Part 2 测评错题剖析 .............................................................................................. 8

Part 3 测评与高考数据研究 ....................................................................................... 18

Part 4 AI 智能科学测评 .......................................................................................... 22

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完成学科所有测评，线上查看测评报告

学习策、练习策配套名师讲题视频、线上刷新题，随时查看

1

Part 1 测评分析报告

传统的测评方式是所有人都作答同一张试卷，为了让你测评更精准

更高效，采用自适应测评，即基于上一题及之前的作答结果及底层认

知诊断模型的输出，动态出下一道测评题，因此每次测评结束，最终

形成一套个性化的测评卷。

你本次个性化的测评卷，容易题稍多，难度系数为 0.75 左右，加油！

本次测评总分为 150 分，综合评级分为 A-优秀、B-良好、C-合格、

D-较弱、E-较差共 5 个等级，结合测评答题情况、作答时间、试题难

度、测评得分等综合得出。

90/150 C/合格

分析建议

你在本次测评中的综合表现基本合格。要加油了，抓住机会提升

自己哦！你对三角函数与解三角形、数列、平面向量、立体几何

的基础知识有一定的掌握，但掌握得并不全面，对于一些题目不

能有效地将知识点综合在一起，没有很好的解题思路。你需要将

该部分内容的基础知识进行归纳、总结，构建知识网络，回顾课

本，对掌握不牢固的概念、性质深入理解并多加练习。同时针对

自己的薄弱点，进行有梯度的练习。

数学学科共 3 次测评，共涵盖 87 个知识点；你当前已完成了第二次

测评，涉及 29 个知识点掌握水平的诊断。

2

你在平面向量部分失分较多，平面向量兼具代数和几何的“双重特

性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具。平面向量的内容十分

丰富,高考中既可单独命题，也可结合三角函数、平面解析几何、数

列、不等式等综合命题。该部分内容定义多、定理多、运算多,所以

很容易出现一些失误,如忽视零向量、遗漏定理的条件、混淆向量的

几何意义、错记运算法则、两个向量夹角为锐角或者钝角的转化等。

分析建议

掌握平面向量的概念及运算法则，掌握正交分解及坐标表示，掌

握平面向量数量积的灵活运用，注重数形结合思想的应用，注重

向量的工具作用，认真总结向量部分的题型，从数、形两个方面

对这些错题进行分类整理,并认真地进行反思，反复翻看，逐步纠

正错误，提高解题的正确性。

本次测评试题有易、中、难三类试题，你在难度为难的试题中失分率

最高，达到 100%，做错了 5 题；你在难度为易的试题中表现最好，

失分率为 29%。

3

通过还原你在每道题上所花的时间，重现你的考试策略。你在本次测

评中实际作答用时超出建议作答用时的试题一共 7 道，其中作答正

确超时的试题有 3 道，作答错误超时的试题有 4 道。

分析建议

鉴于你部分试题虽然答对但超出了系统建议用时，我们会在相关

知识点推送部分练习题。

此次测评共诊断了 13 个知识主题，当前诊断结果：掌握较弱 7 个;掌

握熟练 6 个。

4

函数

掌握程度 较弱 共 3 个

知识点 失分点 考频

三角函数>>>三角函数的图象与

性质

三角函数的图象

三角函数的性质

三角函数的综合应用

高

数列>>>等比数列 等比数列的性质 高

数列>>>数列求和及数列的综合

应用

数列求和

数列的综合应用 高

掌握程度 熟练 共 4 个

知识点 考频

三角函数>>>三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式

及诱导公式 低

三角函数>>>三角恒等变换 高

数列>>>数列的概念及表示 低

数列>>>等差数列 高

几何与代数

掌握程度 较弱 共 4 个

知识点 失分点 考频

解三角形>>>解三角形 正弦定理和余弦定理

解三角形及其综合应用 高

平面向量>>>平面向量的数量积

及向量的综合应用

平面向量的数量积

平面向量的综合应用 高

立体几何>>>点、直线、平面之

间的位置关系

直线、平面平行的判定与

性质

直线、平面垂直的判定与

性质

高

立体几何>>>空间向量与立体几

何

空间角与距离、空间向量

及其应用 高

掌握程度 熟练 共 2 个

知识点 考频

平面向量>>>平面向量的概念、线性运算及基本定理 中

立体几何>>>空间几何体 中

5

本测评能力体系是以能力的类化经验说等能力理论为基础，基于对

学科核心认识活动和问题解决活动的系统心理分析，以及对当前最

新课程标准、高考评价体系、国际大型学业成就测评等学科能力要素

的综合抽提和概括，构建了学科能力活动表现、内涵构成及其发展水

平的多维整合模型。

你此次测评基于学习理解、应用实践、迁移创新的各个维度的学科能

力要素及表现如下图

分析建议

你的观察记忆能力相对较好，这说明你能根据需要正确回忆事实

性结论和约定及辨识数学对象。

你的综合问题解决能力表现相对一般，你不能跳出固有的思维模

式，综合运用数学知识、数学方法、数学思想等灵活解决问题。

6

分析建议

数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以

及情感、态度与价值观的综合体现。数学学科核心素养包括：数

学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

这些数学学科核心素养既有独立性，又相互交融，是一个有机的

整体。

在本次测试中，你在逻辑推理方面有待加强，你不能明确所讨论

问题的内涵，缺乏证明数学命题并有条理地表述论证过程、表达

观点的能力。建议你提升理解相关概念、命题、定理之间的逻辑

关系，初步建立网状的知识结构的能力，能够在交流的过程中，

始终围绕主题，观点明确，论述有理有据。

7

提升空间预估受 AlphaGo 算法的启发，深入研究了学习策略及其学

习效果评估网络、蒙特卡洛树搜索算法，提出了自主学习策略和学习

效果网络模型算法，并设计一个仿真系统验证该算法，实现了一个简

单系统用于验证自主学习最佳策略（学习策/练习策）的提分效果评

估网络。基于此系统，下图预估了你在部分知识点上，按照推荐最佳

策略学习之后可能达到的水平。

分析建议

通过以上测评大数据分析,你对三角函数的图象与性质、解三角

形、等比数列、数列求和及数列的综合应用、平面向量的数量积

及向量的综合应用知识点的掌握较差，说明你对这些知识的概括

理解能力较差，你的提升空间很大，建议你注重易题和中档题的

训练，稳扎稳打，逐步提升。

8

Part 2 测评错题剖析

错误与真理构成认识过程中的一对矛盾，它们的对立既是绝对的又

是相对的，“错题”非常有价值，珍惜“错题”！

在本次测评中，共 21 题，作答错误 10 题，错答率 48%，涉及 9 个薄

弱知识点。

测评 1 题

为了得到函数? = sin 3 ? + cos 3 ?的图象，可以将函数? =

√2 cos 3 ?的图象

A.向右平移 π

12

个单位 B.向右平移π

4

个单位

C.向左平移 π

12个单位 D.向左平移π

4个单位

【考查方向】三角函数的图象与性质

【高考考查】高考考查频率较高，通常以选择题或者填空题的形式

出现，主要考查三角函数图象变换、已知图象求解析式中的参数或

参数的取值范围等，常与三角函数的性质结合考查。

【你的答案】

A

正确答案

54.8%

全网正答率

C

你的答案

45.2%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题 检验问题

理解三角函数

平移

知道利用辅助

角公式

会求出具体的

平移单位

不能通过正推

检验结果是否

正确

9

【解析】因为? = sin 3 ? + cos 3 ? = √2 cos (3? −

π

4

)，所以将? =

√2 cos 3 ?的图象向右平移 π

12个单位长度后可得到? = √2 cos (3? −

π

4

)的图象.

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题一 - 失分点 1

提分练强化练：练习策 - 专题一 - 提分点 1

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 4-5 分。

测评 2 题

已知△???中,?? = 2, ?? = 1, ??⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ??⃗⃗⃗⃗⃗ = 1, ?为△ ???所在平面内一

点,且??⃗⃗⃗⃗⃗ + 2??⃗⃗⃗⃗⃗ + 3??⃗⃗⃗⃗⃗ = ?,则??⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ??⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为

A.−4 B.−1 C.1 D.4

【考查方向】平面向量的数量积及向量的综合应用

【高考考查】高考考查的热点，每年必考，一般以选择题、填空题

的形式出现，主要考查平面向量的数量积运算，模、夹角问题的求

解，平行或垂直问题的求解，难度中等。

【你的答案】

B

正确答案

54.4%

全网正答率

-

你的答案

45.6%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题

不知道向量的数量

积

不知道转化题中的

条件

不会平面向量的线

性运算

【 解 析 】 因 为 ??⃗⃗⃗⃗⃗ + 2??⃗⃗⃗⃗⃗ + 3??⃗⃗⃗⃗⃗ = ? , 所 以 ??⃗⃗⃗⃗⃗ + 2(??⃗⃗⃗⃗⃗ + ??⃗⃗⃗⃗⃗ ) +

3(??⃗⃗⃗⃗⃗ + ??⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ?,所以6??⃗⃗⃗⃗⃗ = 2??⃗⃗⃗⃗⃗ + 3??⃗⃗⃗⃗⃗ ,即??⃗⃗⃗⃗⃗ =

1

3

??⃗⃗⃗⃗⃗ +

1

2

??⃗⃗⃗⃗⃗ ,故??⃗⃗⃗⃗⃗ ∙

??⃗⃗⃗⃗⃗ =(

1

3

??⃗⃗⃗⃗⃗ +

1

2

??⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ (??⃗⃗⃗⃗⃗ − ??⃗⃗⃗⃗⃗ )=

1

2

??⃗⃗⃗⃗⃗ 2 −

1

3

??⃗⃗⃗⃗⃗ 2 −

1

6

??⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ??⃗⃗⃗⃗⃗ =-1.

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题四 - 失分点 1

提分练强化练：练习策 - 专题四 - 提分点 1

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 3-5 分。

10

测评 3 题

已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且三条边 a,b,c 满足

b=2,ac=4,分别以边 a,c 为一边向外作正方形 BCGH,ABEF.如图,C1,C2

分别为两个正方形的中心(其中 C1,C2,B 三点不共线),则当 C1C2的值

最大时,△ABC 的面积为

A.√2 B.√3 C.2 D.√5

【考查方向】解三角形

【高考考查】高考考查频率较高，通常以选择题、填空题或者解答

题的形式出现，主要考查正弦定理和余弦定理的变形使用等，常与

边长、内角、面积等结合考查。

【你的答案】

A

正确答案

31.1%

全网正答率

B

你的答案

68.9%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题 检验问题

不清楚余弦定

理的应用

不能将两点间

的距离放入三

角形中

不能把边的关

系转化为角的

关系

不会使用辅助

角公式

不能得到取最

大值的条件

【解析】连接 BC1,BC2,则 BC1=

√2

2

c,BC2=

√2

2

a,∠C1BC2=90°+∠ABC,则在

△BC1C2中,由余弦定理和 ac=4,得 C1?2

2=(√2

2

c)

2+(√2

2

a)

2

-2·√2

2

c·

√2

2

a·

cos(∠ABC+90°)=?

2+?

2

2

+4sin∠ABC.在△ABC 中,由余弦定理?

2 = ?

2+c

2

-

2accos∠ABC,及 b=2,ac=4,得 a

2+c

2=4+8cos∠ABC.所以 C1?2

2 =

?

2+?

2

2

+

4sin∠ABC=2+4cos∠ABC+4sin∠ABC=2+4√2sin(∠ABC+45°),所以当

∠ABC=45°时,C1C2取得最大值,此时,S△ABC=

1

2

acsin∠ABC=

1

2

×4×√2

2

=

√2,故选 A.

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题二 - 失分点 2

提分练强化练：练习策 - 专题二 - 提分点 2

11

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 5-14 分。

测评 4 题

已知数列{an}的首项 a1＝3，前 n 项和为 Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N

*，

设 bn＝log3an，则数列{

??

??

}的前 n 项和 Tn的取值范围是

A.[

1

3

, 2] B.(

1

3

, 2) C.[

1

3

,

3

4

) D.[

1

4，

3

4

)

【考查方向】数列求和及数列的综合应用

【高考考查】高考考查的热点，通常以选择题、解答题的形式出

现，主要考查方向有：（1）用公式法和分组转化法求和；（2）错

位相减法求和；（3）裂项相消法求和；（4）倒序相加法求和。

【你的答案】

C

正确答案

59.6%

全网正答率

A

你的答案

40.4%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题 检验问题

会由前 n 项和

推通项

会根据项与和

的关系式求通

项

不会错位相减

求和

知道用 n=1 来

验证

【解析】由题可得?2 = 2?1 + 3 = 2?1 + 3 = 9.

当? ≥ 2时，?? = 2??−1 + 3，又??+1 = 2?? + 3，

两式相减可得??+1 − ?? = 2?? − 2??−1 = 2??，

则??+1 = 3??， 可得?? = ?23

?−2 = 3

?

.

上式对? = 1也成立，

则 ?? = 3

?，? ∈ ?

∗，?? = log3 ?? = log3 3

? = ?,所以 ??

??

=

?(

1

3

)

?，

则?? = 1 ⋅

1

3

+ 2 ⋅

1

9

+ 3 ⋅

1

27

+ ⋯ + ? ⋅ (

1

3

)

?，

1

3

?? = 1 ⋅

1

9

+ 2 ⋅

1

27

+ 3 ⋅

1

81

+ ⋯ + ? ⋅ (

1

3

)

?+1，

相减可得2

3

?? =

1

3

+

1

9

+

1

27

+ ⋯ + (

1

3

)

? − ? ⋅ (

1

3

)

?+1

=

1

3

(1−

1

3?)

1−

1

3

− ? ⋅ (

1

3

)

?+1，

化简可得?? =

3

4

−

2?+3

4⋅3

?

.

由??+1 − ?? =

3

4

−

2?+5

4⋅3

?+1 −

3

4

+

2?+3

4⋅3

? =

?+1

3

?+1 > 0，可得{??}为递增数

列，

可得 ?? ≥ ?1 =

1

3

.

由−

2?+3

4⋅3

? < 0，可得?? <

3

4，

综上可得 1

3

≤ ?? <

3

4，

12

故选 C．

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题三 - 失分点 2

提分练强化练：练习策 - 专题三 - 提分点 2

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 4-6 分。

测评 5 题

在棱长为 1 的正方体???? − ?1?1?1?1中,P 为线段?1?上的动点,则

下列结论错误的是

A.??1 ⊥ ??

B.异面直线 AD 与 PC 不可能垂直

C.∠?1??不可能是直角或者钝角

D.∠???1的取值范围是(

π

6

,

π

2

)

【考查方向】点、直线、平面之间的位置关系

【高考考查】高考考查频率较高，通常以选择题、填空题或者解答

题的形式出现，主要考查线、面垂直的判定及性质定理的应用，常

与线、面平行的判定及性质结合考查。

【你的答案】

D

正确答案

36.8%

全网正答率

C

你的答案

63.2%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题 检验问题

不清楚线线垂

直的判定

不会分析动态

问题中的线线

关系

不会利用三角

形及圆去求角

的取值及取值

范围

不会代入特殊

情况进行验证

【解析】因为正方形???1?1中?1?和??1是两条对角线,所以

??1 ⊥ ?1?,过点 P 做 PH⊥ ?1?1,则 PH⊥平面???1?1,所以 PH⊥ ??1.

又??1 ⊥ ?1?,所以??1 ⊥平面??1?,所以??1 ⊥ ??,故 A 正确.

对于 B,若?? ⊥ ??,又?? ⊥ ?1?,PC,?1?是平面?1?1??内的两条相

交线,∴ ?? ⊥ 平面?1?1??,则?? ⊥ ?1?1,与?? ∥ ?1?1矛盾,∴异面直

线 AD 与 PC 不可能垂直,故 B 正确;

对于 C,∵ ?1?与?1?两条平行线间的距离为 1,则以?1?为直径的圆与

?1?相离,则∠?1??在圆外,∴ ∠?1??不可能是直角或者钝角,故 C 正

确;

13

对于 D,当 P 为线段?1?的中点时,??1 = √1

2 + (

√2

2

)

2

= √

3

2

,AP=

1

2

?1? =

√2

2

, ??1 = √2, ∴ ??1

2 + ??2 = ??1

2

, ∴ ?? ⊥ ??1,

∴ ∠???1 =

π

2

,故 D 错误.故选 D.

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题五 - 失分点 2

提分练强化练：练习策 - 专题五 - 提分点 2

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 4-5 分。

测评 9 题

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b

2＋c

2＝a

2＋

bc.若 sin B∙sin C＝sin2A,则△ABC 的形状是

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

【考查方向】解三角形

【高考考查】高考考查频率较高，通常以选择题、填空题或者解答

题的形式出现，主要考查正弦定理和余弦定理的变形使用等，常与

平面向量、三角形与四边形的边长、内角、面积等结合考查。

【你的答案】

C

正确答案

63.6%

全网正答率

A

你的答案

36.4%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题

理解正余弦定理 不知道余弦定理应用条件

不知道运用正弦定理把角换成

边

【解析】由 b

2＋c

2＝a

2＋bc 及余弦定理?

2 = ?

2 + ?

2 − 2??cos?可解

得cos? =

1

2

,即? =

π

3

;由 sin B∙sin C＝sin2A 及正弦定理可得?

2 = ??,

将其代入 b

2＋c

2＝a

2＋bc 可得(? − ?)

2 = 0,即? = ?,故△ABC 是等边

三角形.

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题二 - 失分点 1

提分练强化练：练习策 - 专题二 - 提分点 1

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 5-14 分。

14

测评 13 题

在等比数列{an}中，若 a3＝2，a7＝8，则 a5等于

A.4 B.－4 C.±4 D.5

【考查方向】等比数列

【高考考查】高考考查频率较高，通常以选择题、填空题或解答题

的形式出现，主要考查等比数列的相关性质，难度中等偏下。

【你的答案】

A

正确答案

67%

全网正答率

C

你的答案

33%

全网错答率

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题 检验问题

不清楚等比中

项的性质

知道等比中项

特点

不会取舍等比

中项

不能根据已知

项的正负进行

判断

【解析】∵数列{an}为等比数列，且 a3＝2，a7＝8，

∴?5

2＝a3·a7＝2×8＝16，则 a5＝±4，

∵等比数列奇数项的符号相同，∴a5＝4.

【精准提升】

学典例学方法：学习策 - 专题三 - 失分点 1

提分练强化练：练习策 - 专题三 - 提分点 1

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 3-5 分。

测评 19 题

在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,bcos A=c1

2

a.

(1)求角 B;

(2)若△ABC 的面积为√3,AC 边上的高 BD=√3,求 a 和 c 的大小.

【考查方向】解三角形

【高考考查】高考每年必考，通常以选择题、填空题或者解答题的

形式出现，主要考查利用正、余弦定理求边、角、三角形的周长、

面积等，常与平面向量、三角恒等变换等结合考查。

【你的答案】

12 分

试题分数

36.9%

全网满分率

11.5 分

你的得分

5.2 分

全网平均得分

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题

不知道正弦定理及

余弦定理

不会根据式子的特

征选择使用正弦定

理或者余弦定理

不会分析用哪个三

角形面积公式

不会列二元二次方

程组

不会解二元二次方

程组

15

【解析】

(1)因为 bcos A=c1

2

a,

所以 b·

?

2+?

2

-?

2

2??

=c1

2

a,………………2 分

(此处使用正弦定理边化角也可以得分)

即 b

2+c

2

-a

2=2c

2

-ac, ………………1 分

所以 c

2+a

2

-b

2=ac,所以 cos B=

?

2+?

2

-?

2

2??

=

1

2

. ………………1 分

因为 B∈(0,π),所以 B=

π

3

.………………1 分

(2)因为△ABC 的面积为√3, ………………1 分

所以1

2

acsin∠ABC=√3,

1

2

b·BD=√3, ………………2 分

又∠ABC=

π

3

,BD=√3,所以 ac=4,b=2. ………………1 分

又 b

2=a

2+c

2

-2accos∠ABC,即 a

2+c

2=8, ………………1 分

所以联立得{

?? = 4

?

2 + ?

2 = 8

,………………1 分

得 a=c=2. ………………1 分

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 5-14 分。

测评 20 题

设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前 n 项和 Sn满足 2Sn=3(bn-1)且

a1=b1,a4=b2.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)求{an·bn}的前 n 项和 Tn.

【考查方向】数列

【高考考查】在全国卷解答题中数列与三角基本上是交替考查的，

难度不大，主要考查等差、等比数列的基本运算，数列的通项公式

与求和等。

【你的答案】

12 分

试题分数

33.3%

全网满分率

11 分

你的得分

4.9 分

全网平均得分

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题

知道等差等比数列

的定义

会根据递推关系式

得出数列是等比数

列

会求等差数列的通

项公式

会使用错位相减法

求前 n 项和

不会化简结果

16

【解析】

(1)由 2Sn=3(bn-1)知,当 n=1 时,得 b1=3,………………1 分

当 n≥2 时,2Sn-1=3(bn-1-1),2bn=2Sn-2Sn-1=3(bn-1)-3(bn-1-1),

即 bn=3bn-1, ………………1 分

所以{bn}是首项为 3,公比为 3 的等比数列, ………………1 分

所以数列{bn}的通项公式为 bn=3n

. ………………1 分

又数列{an}是等差数列,且 a1=b1=3,a4=b2=9,

所以公差 d=

?4-?1

3

=2, ………………1 分

可得数列{an}的通项公式为 an=2n+1. ………………1 分

(2) 由（1）知，an·bn =(2n+1)×3n， ………………1 分

Tn=3×31+5×32+7×33+9×34+…+(2n+1)×3n ①,

3Tn=3×32+5×33+7×34+9×35+…+(2n+1)×3n+1 ②, ………………1 分

①-②得,-2Tn=3×31+2(32+33+34+…+3n

)-(2n+1)×3n+1

, ……………1 分

-2Tn=3×31+2×9(3

?-1

-1)

3-1

-(2n+1)×3n+1

,

………………2 分

整理得 Tn=n×3n+1

. ………………1 分

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 5-12 分。

测评 21 题

如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,

∠ABD=∠CBD,AB=BD.

(1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC;

(2)若??⃗⃗⃗⃗⃗ =2⃗??⃗⃗⃗⃗ ,求二面角 D-AE-C 的余弦值.

【考查方向】立体几何

【高考考查】高考每年必考，通常以解答题的形式出现，主要考查

利用空间向量求线面角和二面角等，常与空间向量部分的知识结合

考查。

【你的答案】

12 分

试题分数

25.1%

全网满分率

6.5 分

你的得分

3.9 分

全网平均得分

17

【错因剖析】

概念理解 分析问题 解答问题 检验问题

知道面面垂直

的判定定理

会利用题目条

件画出符合题

意的辅助线

会利用勾股定

理得出直角

会建立空间直

角坐标系及标

出坐标

不会求法向量

不会利用夹角

公式求出两个

向量的夹角

不会观察得出

二面角为锐角

【解析】

(1)如图,取 AC 的中点 O,连接 BO,OD.

∵△ABC 是等边三角形,

∴OB⊥AC.………………1 分

△ABD 与△CBD 中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,

∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.………………1 分

∵△ACD 是直角三角形,∴AC 是斜边,∠ADC=90°.

∴DO=

1

2

AC,∴DO2+BO2=AB2=BD2

,∴OB⊥OD.………………1 分

又 DO∩AC=O,∴OB⊥平面 ACD.………………1 分

又 OB⊂平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ACD.………………2 分

(2)由题知,点 E 是 BD 的三等分点.建立空间直角坐标系.不妨取

AB=2. （以其他方式建立坐标系也可酌情得分）………………1 分

则 O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B(0,√3,0),E(0,√3

3

,

2

3

).

??⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),⃗??⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3

3

,

2

3

),??⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0). ………………1 分

设平面 ADE 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则{?·??⃗⃗⃗⃗⃗ = 0

?·

⃗??⃗⃗⃗⃗ = 0

,即

{

-?1 + ?1 = 0

-?1 +

√3

3

?1 +

2

3

?1 = 0

,取 x1=3,则 z1=3,y1=√3,∴m=(3,√3,3). ……1 分

同理可得:平面 ACE 的一个法向量为 n=(0,1,-

√3

2

). ………………1 分

∴cos<m,n>=

?·?

|?||?|

=-

1

7

. ………………1 分

由图知,二面角 D-AE-C 为锐角,

∴二面角 D-AE-C 的余弦值为1

7

.………………1 分

【高考预估】完成此失分点下的提分专练，预计 2022 年高考可提

升 5-12 分。

18

Part 3 测评与高考数据研究

▏各模块考查分值

【数据解读】

通过图形可以看出本次测评内容各模块在近三年高考全国卷中考查分值相对稳定,所有内容均为高考命题的热点,考生在备考复习时要予

以重视。

【命题规律】

三角函数在高考中,一般以选择题和填空题的形式出现,主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质。

数列在高考中,主要考查等差、等比数列的通项公式、性质和前 n 项和,Sn与 an之间的关系,常见的求和方法,例如错位相减法、裂项相消法、

19

分组求和法等。

平面向量在高考中,一般以选择题和填空题的形式出现,主要考查平面向量的数量积、线性运算、坐标运算和平面向量的基本定理。

解三角形在高考中,一般考查正弦定理和余弦定理的应用。

立体几何在小题中,一般考查三视图、空间几何体的表面积或体积、球与多面体的综合问题;在解答题中,一般第 1 问考查空间线面垂直或

平行的证明,第 2 问考查利用空间向量求解空间角。

▏各模块知识点考频

20

【考点分析】

从图中可以看出本次测评的知识点在近三年高考全国卷中，必考的知识点有:“平面向量的数量积”“空间角与距离、空间向量及应用”;

高频考点有:“三角恒等变换”“三角函数的图象和性质”“等差数列”“等比数列”“正弦定理和余弦定理”“空间几何体的三视图与直

观图”“空间几何体的体积”“直线、平面垂直的判定及性质”;次高频考点有:“三角函数的概念”“同角三角函数的基本关系式及诱导公

式”“数列的综合应用”“平面向量的基本概念”“平面向量的坐标表示与运算”“解三角形的实际应用”“空间几何体的表面积”“空

间点、直线、平面之间的位置关系”“直线、平面平行的判定及性质”;冷门考点有:“平面向量的线性运算”“平面向量基本定理”。

【备考建议】

考生在备考复习中要重点复习必考点和高频考点的相关内容,对于次高频考点要优先关注近两年没有考查的内容,冷门考点虽然近三年没

有考查,但不代表 2022 年高考不会考查,考生要适当练习相关内容的基础试题。

▏本次测评数据统计

学科 总分 知识主题数量 高频知识点占比

数学 150 分 13 个 84.6％

▏测评内容与高考考查内容对比

知识模块 测评考查比重 2021 高考考查比重 2020 高考考查比重 2019 高考考查比重

三角函数 7.0% 5.0% 5.6% 4.4%

数列 9.3% 8.0% 7.6% 8.0%

平面向量 4.7% 3.3% 3.3% 3.3%

解三角形 3.5% 3.3% 5% 6.4%

立体几何 9.3% 14.7% 15.3% 13.6%

21

▏测评与高考考情综合分析

高考数学测评共分三次,此次测评是第二次,其中三角函数、数列、立体几何内容占比较大。三角函数内容在高考全国卷中一般考查 1 道

小题或 2 道小题,涉及的公式较多,因而测评试题对该模块设置的题目数量较多。数列内容在高考全国卷中一般考查 2 道小题或 1 道大题,试

题难度以中等为主,命题形式比较灵活,因而测评试题对该模块设置的题目数量较多。立体几何内容是高中数学的重要内容,涉及的定理较多,

考查角度多变,因而对该模块设置的题目数量较多。

测评试题的命制在兼顾诊断功能的同时结合高考的命题规律和命题趋势,主要体现了对数学学科能力和数学核心素养的诊断。测评试题

的整体难度与高考试题的整体难度相当。

22

Part 4 AI 智能科学测评

AI 智能科学测评为天星教育未来脑考试在线项目团队重点研发

的一款先进教育测评系统。该系统依托领域权威专家团队，在全面深

入研究高考的基础上，依据标准化试题命制流程，精准对接高考，采

用前沿的测评技术对考生学习状态进行深度挖掘、诊断归因。以测评

为先导，引领一站式系统化的在线教育服务，让测评更智能、更科学，

让学习提分更快速、更高效。

| 权威专家团队保障测评质量

AI 智能科学测评由天星教育未来脑考试研究院与北京师范大学

未来教育高精尖创新中心的顶级高考命题专家、教育测评专家、人工

智能大数据科学家等多个教研与科研团队共同牵头合作，依托千余

位经验丰富的教师资源，凝聚全国近百位高三优秀教师的教研智慧，

构建科学教育评价体系，全力保障测评质量。

| 高考研究与标准化试题命制

AI 智能科学测评内容方面，在继续发挥天星教育 23 年高考命

23

题研究经验和金考卷、试题调研等品牌图书内容优势基础上，由未来

脑考试在线项目组织团队深入学习领会高考评价体系与高考真题，

形成高考最新导向文件的解读，具有前瞻性，把握高考方向，紧贴高

考新变化，做到高考怎么考就怎么测。在试题内容命制方面，严格按

照教育测量学的标准化流程进行命制，依据既定测验目的，遵循编题

计划，对测验项目进行命制与编辑。在此基础上，为确保优质的内容

质量，对试题进行了预测与项目分析，再经过层层审校、合成与标准

化，测评试题均通过测验鉴定。鉴定结果显示，试题命制在兼顾诊断

功能的同时，结合高考命题理念和命题趋势，着重体现了对学科能力

和学科素养的诊断。

| 前沿测评技术精确诊断归因

AI 智能科学测评技术方面，由未来脑考试在线项目测评团队对

教育测评领域前沿理论、评价模型等进行深度研究，基于项目反应

理论（IRT）、认知诊断理论（CDT）、以及贝叶斯知识追踪理论

（BKT）等理论方法，结合知识图谱、深度知识追踪（DKT）、信息

论、线性回归等机器学习算法，将试题作答数据反馈为学生的潜在

特质函数，着重分析认知偏差，全面检测学科知识点，深度剖析学

生当前的学习状态，科学深度诊断归因，快速生成可视化测评分析

报告，360°解读学生知识掌握情况，精准找到薄弱点，让学生知

晓自身短板，并填补学生知识漏洞以构建学生完整的知识网络。

24

| 测评引领一站式系统化服务

AI 智能科学测评系统不仅给出深度测评诊断分析报告，而且紧

跟分析报告，即时给出私人订制的问题解决方案。既发现问题，也解

决问题，结合全过程在线答疑解惑，真正做到一站式系统化的在线教

育服务。系统以标准化高质量的智能题库平台为中心，以测评库为先

导，基于 900 万 + 真题、模拟题试题大数据，对学科知识点进行

颗粒化拆分，建立“3×3”分层能力体系与科学的试题标引体系。采

用题库分层技术，题库内部既相互独立又相互协作，利用大数据分析

技术动态维护题库，并建立专题模块知识图谱库、试题讲解视频库等

学习资源数据。基于学生的测评数据，建立用户画像，给每一位学生

推送适合的学习内容，针对薄弱知识进行专项练习，建立测、评、学、

练、测的闭合学习链路。

25

| 真实场景的科学验证

科学测评是对考生水平进行正确诊断评价的前提和保证。测评

科学性主要体现于测验的稳定性与有效性，其评价指标为测验信度

与测验效度。科学的测验要有高质量的试题，只有测评试题的质量符

合要求，测试结果才能让人信服。为保证测评的科学性，AI 智能科

学测评系统中测评试题入库前，经过多次审核与校改，组卷完成后，

选取了某中学高三学生为样本，进行试题预测。预测实施完成后，以

考生卷面作答反应数据为分析依据，对试题的质量进行了多角度的

分析，从而保障了测验的信度与效度。结果表明：测评试题整体难度

中等；试题整体区分度很好；试题猜测度属正常范围。信度方面，从

报告的多个信度指标来看，符合教育测量标准要求。效度方面，测验

内部相关，测验与考生期中、期末、模考代表性成绩相关达到中高强

度，专家效度结果显示测评内容的覆盖范围、代表性及知识水平层级

与高考要求相吻合。

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