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（2023 石景山一模——关联点）★★★☆

关键词：逆向思维、瓜豆原理

28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 W，给出如下定义：若图形 W 上存在点

Q，使得点 P 绕着点 Q 旋转 90



得到的对应点

P'

在图形 W 上，财称点 P 为图形 W 的“关联

点”．

（1）图形 W 是线段 AB．其中点 A 的坐标为

(0,2)

，点 B 的坐标为

(3,2)．

①如图 1，在点

1P( 1,2) − ， 2 P (2,4) ， 3P (3, 1) − ， 4 P (4,0)

中，线段 AB 的“关联点”是_

____________；

②如图 2，若直线

1

3

y x b = +

上存在点 P，使点 P 为线段 AB 的“关联点”，求 b 的取

值范围；

（2）图形 W 是以

T t( ,0)

为圆心，1 为半径的

T

．已知点

M(6,0) ， N(0,2 3)

．若线段

MN

上存在点 P，使点 P 为

T

的“关联点”，直接写出 t 的取值范围．

图 1 图 2

相似题：2022 东城一模——友好点、2021-2022 北京四中九下月考·3 月——初心点

x

y

P4

P3

P2

P1 B

A

O x

y

A B

O

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吴老师图解

（1）①

P2 ， P3

.

规律总结 1

如图，在线段

AB

上取点

Q ，

若平面内的点

P

绕点

Q

旋转

90

后还落在线段

AB

上，那么，我们只需要将线段

AB

绕点

Q

顺时针或逆时针转

90 “倒回去”即可（逆向思维），

所以，线段

AB

的“关联点” P

在：图示黄色阴影部分的内部或边界上.

思路&图解

如图，由【规律总结 1】知，点

P2 ， P3

符合题意！

（1）② −2 5 b .

思路&图解

如图，易求得直线

1

3

y x b = − +

过点

R(0,5)

时，

b = 5

；过点

S(3, 1) −时，

b =−2，

 −2 5 b .

x

y

A'

B'

A B

O

Q

x

y

A'

B'

A B

O

Q

x

y

A B

O

x

y

P4

P3

P2

P1

A B

O

x

y

S

R

A B

O

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（2）

4 2 2 7 2 − + t .

规律总结 2

先给出结论：

如图，

T

的“关联点”在：以

T

为圆心，

2 1+

和

2 1−为半径的圆形成的圆环的内部

或边界上！

下面给出分析过程：

如图，与（1）一样，还是利用“逆向思维”，在

T

上取点

Q

和

P'

，将点

P'

绕点

Q

顺

时针或逆时针转

90

，便可找到“关联点” P ，

我们以上图中的点

P1

为例，

如图，

1）当点

Q

不动，点

P'

在

T

上运动时，点

P

的轨迹是半径为 1 的圆（瓜豆原理），其

中

TT ' 2 =

（也就是说点

P'

的运动负责“搞出”1 个半径为 1 的圆），

2）当点

Q

运动时，

T '

的位置会发生改变（

TT '

长度固定，即圆心

T '

在半径为

2

的圆

上运动），其扫过的区域即为

T

的“关联点”所在区域！

备注：点

P2

的轨迹圆扫过的区域与

P1

的轨迹圆扫过的区域是同一个圆环.

T

P2

P1

T

Q

P'

T'

P1

T

Q

P'

T'

P1

T

Q

P'

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思路&图解

临界状态 1：

如图，圆环的大圆与

MN

相切于点

G ，

易求得

TM = + 2 2 2

，则

t = − + = − 6 (2 2 2) 4 2 2 .

临界状态 2：

如图，圆环的大圆过点

M

，则

t = + + = + 6 2 1 7 2 .



综上所述：

4 2 2 7 2 − + t .

说明：

补充

如图，考场上还是建议同学们定圆环动线段…

x

y

30°

G

N

O T M

x

y

N

O M T

x

y

N2

M1

N1

M2

G

N

T O M