目 录

专题 １ 实数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １

专题 ２ 代数式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５

专题 ３ 一次方程 （组） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９

专题 ４ 分式方程 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３

专题 ５ 一次二次方程 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７

专题 ６ 一元一次不等式 （组） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１

专题 ７ 统计 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２５

专题 ８ 概率 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２９

专题 ９ 几何基础 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３３

专题 １０ 三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３７

专题 １１ 三角形中的线段旋转 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４１

专题 １２ 三角形的旋转 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４５

专题 １３ 三角形的相似 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４９

专题 １４ 三角形的旋转与相似 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５３

专题 １５ 平行四边形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５７

专题 １６ 菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６１

专题 １７ 矩形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６５

专题 １８ 正方形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６９

专题 １９ 三角函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７３

专题 ２０ 三角函数的应用之方向角 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７７

专题 ２１ 三角函数的应用之俯角、仰角 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８１

专题 ２２ 点与圆的关系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８５

专题 ２３ 直线与圆的关系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８９

专题 ２４ 圆的有关计算 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９３

专题 ２５ 图形的变换 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９７

专题 ２６ 图形的探索、发现与应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０１

专题 ２７ 反比例函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０５

专题 ２８ 一次函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０９

专题 ２９ 一次函数的应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１３

专题 ３０ 二次函数的图象 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１７

专题 ３１ 二次函数的性质 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２１

专题 ３２ 二次函数的最值 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２５

专题 ３３ 二次函数的应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２９

专题 ３４ 二次函数与一次函数综合应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３３

专题 ３５ 二次函数与四边形动点综合应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３７

专题 ３６ 二次函数与新定义综合应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４１

专题 ３７ 新定义与函数综合应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４５

参考答案

· １· · ２·

专题 １ 实数

一、选择题

１．!!\"!#\"#$%&' 越山向海，一路花开．在 ５月 ２４日举行的 ２０２４辽宁省高品质文体旅融合发

展大产业招商推介活动中，全省 ３０个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达 ５３２亿元．将

５３２００００００００用科学记数法表示为 （ ）

Ａ．５３２×１０８ Ｂ．５３２×１０９ Ｃ．５３２×１０１０ Ｄ．５３２×１０１１

２．!!\"!#\"#$%&' 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：

大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲

最低海拔／ｍ －４１５ －２８ －１５６ －４０

其中最低海拔最小的大洲是 （ ）

Ａ．亚洲 Ｂ．欧洲 Ｃ．非洲 Ｄ．南美洲

３．!!\"!#\"()' 山海关不住，春游选辽宁．２０２４年清明节假期我省 ７家 ５Ａ级旅游景区累计接待

游客 ２３１３００人次．将 ２３１３００用科学记数法表示为 （ ）

Ａ．２３１３×１０４ Ｂ．２３１３×１０５ Ｃ．２３１３×１０６ Ｄ．０２３１３×１０６

４．!!\"!#\"()' 在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如表：

晶体 钨 萘 冰 固态氢

熔点／℃ ３４１０ ８０５ ０ －２５９

其中熔点最低的晶体为 （ ）

Ａ．钨 Ｂ．萘 Ｃ．冰 Ｄ．固态氢

５．!!\"!#\"*+,)' 如图，比数轴上的点 Ａ表示的数大 １的数是 （ ）

第 ５题图

Ａ． －１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ． －２

６．!!\"!#\"-.,)' 今年的 ２月 １０日是我国的农历春节，这一天锦州市的最高气温为 ４℃，最低

气温为 －６℃，则这天的温差是 （ ）

Ａ．２℃ Ｂ．４℃ Ｃ．６℃ Ｄ．１０℃

７．!!\"!#\"/0,)' 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经

过测量，超出标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是 （ ）

８．!!\"!#\"123)' 据第七次全国人口普查数据，截至 ２０２１年，辽宁省总人口数超过 ４２２９万

人．其中 “４２２９万”用科学记数法表示为 （ ）

Ａ．４２２９×１０３ Ｂ．４２２９×１０５ Ｃ．４２２９×１０７ Ｄ．０４２２９×１０８

９．!!\"!#\"12,)' 随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式．若手机

钱包收入 １００元记作 ＋１００元，则 －１５元表示 （ ）

Ａ．支出 １５元 Ｂ．收入 １５元 Ｃ．支出 １１５元 Ｄ．收入 １１５元

１０．!!\"!#\"45,)' ２０２４年５月３日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射

场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅．月球距离地球的平均距离为

３８４０００千米，数据 ３８４０００用科学记数法表示为 （ ）

Ａ．３８４×１０３ Ｂ．３８４×１０５ Ｃ．３８４×１０４ Ｄ．０３８４×１０６

１１．!!\"!#\"67,)' 辽宁地处松辽平原，在北纬 ３８度到 ４３度的黄金农业纬度带上，是全国十三

个粮食主产省之一．去年辽宁的粮食总产量达到 ５１２７０００００００斤，创历史新高．将数据

５１２７０００００００用科学记数法表示为 （ ）

Ａ．５１２７×１０１１ Ｂ．０５１２７×１０１１ Ｃ．５１２７×１０１０ Ｄ．５１２７×１０７

１２．!!\"!#\"/03)' 如图，数轴上点 Ａ表示的数的相反数是 （ ）

Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ． －１ Ｄ． －２

第 １２题图 第 １３题图

１３．!!\"!#\"12,)' 如图，数轴上点 Ｍ，Ｎ表示两个连续整数，点 Ａ表示的数是 槡１３，则点 Ｎ表

示的数是 （ ）

Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６

１４．!!\"!#\"/03)' 共享开放机遇，共创美好生活．２０２３年 ４月 １０日至 １５日，第三届中国国际

消费品博览会在海南省海口市举行，以 “打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众

超 ３２万人次，数据 ３２００００用科学记数法表示为 （ ）

Ａ．３２×１０４ Ｂ．３２×１０５ Ｃ．３２×１０６ Ｄ．３２×１０４

· ５· · ６·

专题 ２ 代数式

一、选择题

１．!!\"!#\"#$%&' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．ａ

２＋ａ

３＝２ａ

５ Ｂ．ａ

２

·ａ

３＝ａ

６

Ｃ．（ａ

２

）３＝ａ

５ Ｄ．ａ（ａ＋１）＝ａ

２＋ａ

２．!!\"!#\"()' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．ａ

３

·ａ

４＝ａ

１２ Ｂ．（２ａ

２

）３＝２ａ

６

Ｃ．ａ

２＋ａ

２＝２ａ

２ Ｄ．（ａ＋２）２＝ａ

２＋４

３．!!\"!#\"123)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．ａ

３

·ａ

２＝ａ

６ Ｂ．（ａ

３

）４＝ａ

７ Ｃ．ａ

６

ａ

３＝ａ

２ Ｄ．ａ

５＋ａ

５＝２ａ

５

４．!!\"!#\"*+,)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．３ａ

３－ａ

２＝２ａ Ｂ．（ａ＋ｂ）２＝ａ

２＋ｂ２

Ｃ．ａ

３

ｂ２÷ａ

２＝ａｂ２ Ｄ．（ａ

２

ｂ）２＝ａ

４

ｂ

５．!!\"!#\"/0,)' 下列计算不正确獉獉獉的是 （ ）

Ａ．（ａ＋２ｂ）２＝ａ

２＋２ａｂ＋４ｂ２ Ｂ．ａ

２

·ａ

３＝ａ

５

Ｃ．（ａ－１

ｂ２

）３＝ａ－３

ｂ６ Ｄ．３ａ－ａ＝２ａ

６．!!\"!#\"#+@)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．ａ· （ｂ２

）３＝ａｂ５ Ｂ．（ａ－ｂ）（ｂ－ａ）＝ｂ２－ａ

２

Ｃ．ｘ

４÷ｘ

２＝ｘ

２ Ｄ．２ｘ

３＋３ｘ

２＝５ｘ

５

７．!!\"!#\"67,)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．（－２ａ）３

·ａ

２＝－６ａ

５ Ｂ．ａ

３÷ａ

２＝ａ

Ｃ．２ａ

３－ａ

３＝１ Ｄ．（ａ－ｂ）（－ａ＋ｂ）＝ｂ２－ａ

２

８．!!\"!#\"45,)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．ｘ

２

·ｘ

３＝ｘ

６ Ｂ．５ｘ－２ｘ＝３

Ｃ．ｘ

６÷ｘ

２＝ｘ

４ Ｄ．（－２ｘ

２

）３＝－６ｘ

６

９．!!\"!#\">?,)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．（ａ

２

）４＝ａ

８ Ｂ．ａ

２

·ａ

４＝ａ

８

Ｃ．（ａ＋ｂ）２＝ａ

２＋ｂ２ Ｄ．ａ

２＋ａ

２＝ａ

４

１０．!!\"!#\"*+89:;)' 下列计算正确的是 （ ）

Ａ．３ａ

２－２ａ＝ａ Ｂ． －（ａ－２）＝－ａ－２

Ｃ．３（ａ－１）＝３ａ－１ Ｄ．３ａ＋２ａ＝５ａ

１１．!!\"!#\"-.,)' 若 ２ａ＋３ｂ＝４，则整式 －２ａ－３ｂ＋７的值是 （ ）

Ａ． －３ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．１１

１２．!!\"!#\"*+,)' 计算ａ－１

ａ

＋

１

ａ

的结果是 （ ）

Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．ａ Ｄ．ａ－２

１３．!!\"!#\"*+AB;)' 已知 ２ａ

２－ａ－３＝０，则 （２ａ＋３）（２ａ－３）＋（２ａ－１）２的值是 （ ）

Ａ．６ Ｂ． －５ Ｃ． －３ Ｄ．４

１４．!!\"!#\"*+CD;)' 计算 ３ａ

ａ－ｂ－ ３ｂ

ａ－ｂ

的结果是 （ ）

Ａ．３ Ｂ．３ａ＋３ｂ Ｃ．１ Ｄ． ６ａ

ａ－ｂ

１５．!!\"!#\"-.,)' 如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规

律，可以得出图中 ｂ的值为 （ ）

第 １５题图

Ａ．１４３ Ｂ．１４０ Ｃ．１２３ Ｄ．１２０

二、填空题

１６．!!\"!#\"()' 因式分解：ａ

２＋ａｂ＝ ．

１７．!!\"!#\"/0,)' 因式分解：ａ

２－４ｂ２＝ ．

１８．!!\"!#\"*+AB;)' 因式分解：３ｍａ

２－６ｍａｂ＋３ｍｂ２＝ ．

１９．!!\"!#\"45,)' 因式分解：ｘｙ

２＋２ｘｙ＋ｘ＝ ．

２０．!!\"!#\"/03)' 因式分解：ａｘ

３＋４ａｘ＝ ．

２１．!!\"!#\"/0EF)G' 已知 ａ＝２＋槡３，ｂ＝２－槡３，则代数式 ａ

２

ｂ－ａｂ２的值等于 ．

２２．!!\"!#\"123)' 若二次根式 槡ｘ－３在实数范围内有意义，则 ｘ的取值范围为 ．

三、解答题

２３．!!\"!#\"#$%&' 计算：

ａ

ａ＋１

·ａ

２－１

ａ

２ ＋

１

ａ．

· ９· · １０·

专题 ３ 一次方程 （组）

一、选择题

１．!!\"!#\"#$%&' 我国古代数学著作 《孙子算经》中有 “雉兔同笼”问题： “今有雉兔同笼，

上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有 ３５个头，９４条腿，

问：鸡兔各多少只？设鸡有 ｘ只，兔有 ｙ只，根据题意可列方程组为 （ ）

Ａ． ｘ＋ｙ＝９４，

{４ｘ＋２ｙ＝３５

Ｂ． ｘ＋ｙ＝９４，

{２ｘ＋４ｙ＝３５

Ｃ． ｘ＋ｙ＝３５，

{４ｘ＋２ｙ＝９４

Ｄ． ｘ＋ｙ＝３５，

{２ｘ＋４ｙ＝９４

２．!!\"!#\"*+,)' 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载： “今有人共买

兔．人出九，盈六；人出七，不足十四．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果

每人出九钱，那么多了六钱；如果每人出七钱，那么少了十四钱．问：共有几个人？”设共有 ｘ个

人共同出钱买兔，根据题意可列一元一次方程为 （ ）

Ａ．９ｘ＋６＝７ｘ－１４ Ｂ．９ｘ－６＝７ｘ＋１４

Ｃ．９ｘ－６＝７ｘ－１４ Ｄ．９ｘ＋６＝７ｘ＋１４

３．!!\"!#\"123)' 明代的数学著作 《算法统宗》中有这样一个问题： “隔墙听得客分银，不知

人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七

两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤 （注：明代 １斤 ＝１６两，故有 “半斤八两”这个

成语）．问：人数和银子数各多少．设共有 ｘ两银子，则可列方程为 （ ）

Ａ．７ｘ－４＝５ｘ＋８ Ｂ．ｘ－４

７ ＝ｘ＋８

５

Ｃ．７ｘ＋４＝５ｘ－８ Ｄ．ｘ＋４

７ ＝ｘ－８

５

４．!!\"!#\"-.,)' 中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方

程的数量关系： “老头提篮去赶集，一共花去七十七．满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好

未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用 ７７元钱

共买了 １０斤肉和 ３斤鱼，９斤肉的钱数等于 ５斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱．如果设每

斤肉 ｘ元，每斤鱼 ｙ元，那么可列二元一次方程组为 （ ）

Ａ． １０ｘ＋３ｙ＝７７，

{５ｘ＝９ｙ

Ｂ． １０ｘ＋３ｙ＝７７，

{９ｘ＝５ｙ

Ｃ． ３ｘ＋１０ｙ＝７７，

{５ｘ＝９ｙ

Ｄ． ３ｘ＋１０ｙ＝７７，

{９ｘ＝５ｙ

５．!!\"!#\"12J53)' 《九章算术》中记载：“今有共买羊．人出五，不足四十五；人出八．盈

十八．人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊．若每人出 ５钱，还差 ４５钱；若每人出

８钱，还多 １８钱．问合伙人数、羊价各是多少．设人数为 ｘ人，羊价为 ｙ钱，则可列方程组

（ ）

Ａ． ｙ－５ｘ＝４５，

{ｙ－８ｘ＝１８

Ｂ． ｙ－５ｘ＝４５，

{８ｘ－ｙ＝１８

Ｃ． ５ｘ－ｙ＝４５，

{ｙ－８ｘ＝１８

Ｄ． ５ｘ－ｙ＝４５，

{８ｘ－ｙ＝１８

６．!!\"!#\"45CD<=' 我国古代数学著作 《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七

日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北

海用 ７天，大雁从北海飞到南海用 ９天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设 ｘ天后相遇，根

据题意所列方程正确的是 （ ）

Ａ．７ｘ＋９ｘ＝１ Ｂ．１

７ｘ＋

１

９ｘ＝１ Ｃ．９ｘ－７ｘ＝１ Ｄ．１

７ｘ－１

９ｘ＝１

７．!!\"!#\"45C?,)' 我国古代著作 《增删算法统宗》中记载了一首古算诗： “林下牧童闹如

簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿

高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人 ６竿，多 １４竿；每人 ８竿，少 ２竿．”若设有牧童 ｘ人，

根据题意可列方程为 （ ）

Ａ．６ｘ＋１４＝８ｘ－２ Ｂ．６ｘ－１４＝８ｘ＋２ Ｃ．６ｘ＋１４＝８ｘ＋２ Ｄ．６ｘ－１４＝８ｘ－２

第 ８题图

８．!!\"!#\">?,)' 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是 《算经十

书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，其中有这样一道数学问题，原

文如下：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐

观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了 ８

只船，每只大船坐 ６人，每只小船坐 ４人，３８人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有 ｘ只大

船，则可列方程为 （ ）

Ａ．４ｘ＝３８－６ｘ Ｂ．６ｘ＝３８－４ｘ Ｃ．６ｘ＋４（８－ｘ）＝３８ Ｄ．４ｘ＋６（８－ｘ）＝３８

二、填空题

９．!!\"!#\"*+HI;)' 我国古代数学著作 《九章算术》中有这样一个问题： “今有共买物．人

出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品．每

人出 ８钱，则多出 ３钱；每人出 ７钱，则还差 ４钱．问人数、物品的价格分别是多少．”则物品的

价格为 钱．

１０．!!\"!#\"12KL3)' 《九章算术》卷八方程 【七】中记载： “今有牛五、羊二，值金十两．

牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：５头牛、２只羊共值金 １０两，２头

牛、５只羊共值金 ８两．每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金 ｘ两，一只羊值金 ｙ两，

则可列方程组为 ．

· ８１· · ８２·

专题 ２１ 三角函数的应用之俯角、仰角

解答题

１．!!\"!#\"#$%&' 如图 １，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上

提起，起始位置示意图如图 ２，此时测得点 Ａ到 ＢＣ所在直线的距离 ＡＣ＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°，停止

位置示意图如图 ３，此时测得∠Ｄ＝３７°（点 Ｃ，Ａ，Ｄ在同一直线上，且直线 ＣＤ与地面平行），图

３中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．

（１）求 ＡＢ的长．

（２）求物体上升的高度 ＣＥ．

（结果精确到 ０１ｍ，参考数据：ｓｉｎ３７°≈０６０，ｃｏｓ３７°≈０８０，ｔａｎ３７°≈０７５，槡３≈１７３）

第 １题图

２．!!\"!#\"()' 如图 １，在水平桌面上摆放着一个主体部分为圆柱体的透明容器，容器的截面示

意图如图 ２所示，其中 ＣＥ＝２１ｃｍ，∠ＣＥＦ＝９０°．

（１）如图３，点 Ｃ固定不动，将容器倾斜至 Ａ１Ｂ１ＣＤ１位置，液面刚好位于 Ｍ１Ｅ１处，点 Ｅ１到直线 ｌ

的距离 Ｅ１Ｋ，记为 ｈｃｍ，测得∠Ｅ１ＣＫ＝６０°，求 ｈ的值．

（２）如图 ４，在 （１）的条件下，再将容器缓慢倾斜倒出适量的液体，此时容器位于 Ａ２Ｂ２ＣＤ２ 位

置，液面刚好位于 Ｍ２Ｅ２处，Ｅ１Ｆ１，Ｅ２Ｆ２的延长线分别与直线 ｌ相交于点 Ｈ，Ｇ，点 Ｃ，Ｇ，Ｈ

都在直线 ｌ上，测得∠Ｅ２ＣＧ＝３７°，求 ＧＨ的长．

（结果精确到 ０１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ３７°≈０６０，ｃｏｓ３７°≈０８０，槡３≈１７３）

第 ２题图

３．!!\"!#\"*+,)' 小明新买了一台 ＬＥＤ护眼台灯放置于桌面上 （如图 １所示），主体部分由灯

头 ＡＢ（可以绕点 Ｂ转动）、灯臂 ＢＣ（可以绕点 Ｃ转动）、灯柱 ＣＤ和灯座组成，其主视图如图 ２

所示，已知灯柱 ＣＤ⊥ＥＨ，ＡＢ＝２４ｃｍ，ＢＣ＝３０ｃｍ，ＣＤ＝２０ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍ （ＢＲ，ＣＫ为水平

线）．改变∠ＢＣＤ的大小，能改变灯头照明的高度；改变∠ＡＢＣ的大小，能改变灯头的角度．当

∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＣ＝１４０°时，小明感觉照明效果最佳，此时台灯最高点 Ａ距桌面的距离是多少厘米？

（结果精确到 ０１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ５０°≈０７７，ｃｏｓ５０°≈０６４，ｔａｎ５０°≈１１９，ｓｉｎ１０°≈０１７，

ｃｏｓ１０°≈０９８，ｔａｎ１０°≈０１８）

第 ３题图

４．!!\"!#\"-.,)' 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，会发生折射现象，如图 １，

若入射角为 α，折射角为 β，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率 ｎ＝ｓｉｎα

ｓｉｎβ

．

某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图 ２的实验，通过点 Ｐ发射一束光线，经由点 Ｄ光

线折射到点 Ｂ（Ｐ，Ｄ，Ｂ三点不在一条直线上），图 ３为实验示意图，法线 ＧＨ垂直于液面 ＥＦ于

点 Ｄ，交液面底部于点 Ｈ，四边形 ＡＢＦＥ为矩形，经测量，ＥＤ＝２５ｃｍ，ＤＦ＝１６ｃｍ，光线由空气

进入液体的折射率 ｎ＝５槡２

６ ．

（１）在 ＡＥ延长线上量取 ＥＰ＝５槡１１ｃｍ，光线由点 Ｐ射出经由点 Ｄ，恰好折射到点 Ｂ，求出入射

角∠ＰＤＧ的正弦值和折射角∠ＨＤＢ的度数．

（２）光线再次由点 Ｑ射出，经由点 Ｄ折射到点 Ｃ且入射角∠ＱＤＧ＝４５°，求 ＣＢ的长．

第 ４题图

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专题 ２６ 图形的探索、发现与应用

解答题

１．!!\"!#\"/0,)'

（１）在数学活动课上，张老师给出如下问题，如图 １，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，Ｄ是边

ＢＣ上一点，连接 ＡＤ，在 ＡＢ的右侧作△ＡＤＥ，使 ＤＥ＝ＡＤ，∠ＡＤＥ＝９０°，连接 ＣＥ，求证：

∠ＤＣＥ＝１３５°．

①小创同学从△ＡＢＣ与△ＡＤＥ均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路，通过证

明△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ，将∠ＤＣＥ转化为∠Ｂ＋∠ＡＣＥ．

②小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图 ２，在线段 ＡＢ上截取 ＢＰ＝ＢＤ，连

接 ＤＰ，通过证明△ＡＰＤ≌△ＤＣＥ，将∠ＤＣＥ转化为∠ＡＰＤ．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

（２）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将

图 １进行变换并提出了下面问题，请你解答．

如图 ３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ是边 ＢＣ上一点，连接 ＡＤ，在 ＡＢ右侧作△ＡＤＥ，使 ＤＥ＝

ＡＤ，∠ＡＤＥ＝∠Ｂ＝α（α＞９０°），连接 ＣＥ，过点 Ｃ作 ＣＦ∥ＡＢ交 ＡＥ于点 Ｆ，探究∠ＥＣＦ与

α的数量关系．

（３）如图 ４，在 （２）的条件下，当 α＝１２０°时，若 ＡＢ＝ＢＣ＝３槡３，ＣＦ＝２槡３，求 ＣＤ的长．

第 １题图

２．!!\"!#\"123)'

（１）在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，∠Ｃ＝４５°，

ＢＤ平分∠ＡＢＣ，求证：ＡＢ＋ＡＤ＝ＢＣ．

①豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：如图 ２，在 ＢＣ上截取 ＢＥ＝ＡＢ，连接 ＤＥ，

将线段 ＡＢ，ＡＤ，ＢＣ的数量关系转化为 ＤＥ与 ＣＥ的数量关系．

②乐琪同学从 ＢＤ平分∠ＡＢＣ这个条件出发，想到将△ＢＤＣ沿 ＢＤ翻折，所以她延长线段 ＢＡ

到点 Ｆ，使 ＦＢ＝ＣＢ，连接 ＦＤ，如图 ３，发现了∠Ｆ与∠ＡＤＦ的数量关系．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

（２）李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师

提出了下面的问题，请你解答．

如图 ４，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，平面内有一点 Ｄ （点 Ｄ和点 Ａ在 ＢＣ的同侧），连接 ＤＣ，

ＤＢ，∠Ｄ＝４５°，∠ＡＢＤ＋２∠ＡＢＣ＝１８０°，求证：槡２ＢＤ＋槡２ＡＢ＝ＣＤ．

（３）如图 ５，在 （２）的条件下，若∠ＡＢＤ＝３０°，ＡＢ＝１，请直接写出线段 ＡＣ的长．

第 ２题图

· １２５· · １２６·

专题 ３２ 二次函数的最值

解答题

１．!!\"!#\";<,)' 新定义：我们把抛物线 ｙ１＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋ｃ与抛物线 ｙ２ ＝ｂｘ

２ ＋ａｘ＋ｃ（其中 ａｂ≠

０）称为 “伴随抛物线”．例如：抛物线 ｙ１＝３ｘ

２＋４ｘ＋２的 “伴随抛物线”为 ｙ２＝４ｘ

２＋３ｘ＋２．已

知抛物线 Ｃ１：ｙ１＝２ａｘ

２＋ａｘ＋ａ－２（ａ＞０）的 “伴随抛物线”为 Ｃ２．

（１）求出 Ｃ２的解析式及顶点坐标．（用含 ａ的代数式表示）

（２）过 ｘ轴上一点 Ｐ，作 ｘ轴的垂线分别交抛物线 Ｃ１，Ｃ２于点 Ｍ，Ｎ．当 ＭＮ＝１２ａ时，求点 Ｐ的

坐标．

（３）当 ａ－３≤ｘ≤ａ－１时，Ｃ２的最大值与最小值的差为 ２ａ，求 ａ的值．

２．!!\"!#\"p*)M' 在平面直角坐标系中，对 “纵横值”给出如下定义：点 Ａ（ｘ，ｙ）是函数图象

上任意一点，纵坐标 ｙ与横坐标 ｘ的差 “ｙ－ｘ”称为点 Ａ的 “纵横值”．函数图象上所有点的

“纵横值”中的最大值称为函数的 “最优纵横值”．

例如：点 Ａ（１，３）在函数 ｙ＝２ｘ＋１图象上，点 Ａ的 “纵横值”为 ３－１＝２，函数 ｙ＝２ｘ＋１图象

上所有点的 “纵横值”可以表示为 ｙ－ｘ＝２ｘ＋１－ｘ＝ｘ＋１，当 ３≤ｘ≤６时，ｘ＋１的最大值为 ６＋１

＝７，所以函数 ｙ＝２ｘ＋１（３≤ｘ≤６）的 “最优纵横值”为 ７．

根据定义，解答下列问题：

（１）①点 Ｂ（－６，２）的 “纵横值”为 ．

②函数 ｙ＝４

ｘ

＋ｘ（－４≤ｘ≤ －２）的 “最优纵横值”为 ．

（２）若二次函数 ｙ＝－ｘ

２＋ｂｘ＋ｃ的顶点在直线 ｘ＝３

２上，且 “最优纵横值”为 ５，求 ｃ的值．

（３）若二次函数 ｙ＝－（ｘ－ｈ）２＋ｋ的顶点在直线 ｙ＝ｘ＋９上，当 －１≤ｘ≤４时，二次函数的 “最

优纵横值”为 ７，求 ｈ的值．

３．!!\"!#\"12ab' 大连理工大学主楼前广场修建了一个圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一

根水管 ＯＡ，在水管的顶端 Ａ处安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛

物线．爱思考的小丽建立了如图所示的平面直角坐标系．

怎样求从喷水头喷出的某条水柱的抛物线解析式呢？若喷出的水柱轨迹 ＡＢ上某一点与水管 ＯＡ的

水平距离为 ｘ（ｍ），与广场地面的垂直高度为 ｙ（ｍ），小丽在喷泉安装工人师傅的帮助下，测量

记录了 ｙ与 ｘ的五组数据，如下表所示．

ｘ／ｍ ０ ２ ４ １０

ｙ／ｍ ２ ２９

７

３８

７

２９

７

（１）求水柱轨迹 ＡＢ所在抛物线的解析式．

（２）求水柱 ＡＢ落地点 Ｂ与水管 ＯＡ的水平距离．

（３）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：喷水头的高度不变，调

整喷水头的角度，使喷出的水柱轨迹 ＡＢ的形状不变，水柱轨迹 ＡＢ的喷水半径 （动态喷水

时，点 Ｂ到 ＯＡ的距离）随着音乐的节奏控制在 ６ｍ到 １２ｍ之间 （含 ６ｍ和 １２ｍ）．当喷水

半径为 ６ｍ时，水柱轨迹 ＡＢ的最大高度为 ｈ１；当喷水半径为 １２ｍ时，水柱轨迹 ＡＢ的最大

高度为 ｈ２．求 ｈ２－ｈ１的值．

第 ３题图

· １３７· · １３８·

专题 ３５ 二次函数与四边形动点综合应用

解答题

１．!!\"!#\"/0IJA8)' 如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，Ｄ为射线 ＡＣ上的

动点，以 ＣＤ为一边作矩形 ＣＤＥＦ，其中点 Ｅ，Ｆ分别在射线 ＡＢ、射线 ＣＢ上，设 ＡＤ的长为 ｘ，矩

形 ＣＤＥＦ的面积为 ｙ（ｘ，ｙ均可以等于 ０）．

（１）如图 １，当点 Ｄ从点 Ａ运动到点 Ｃ时：

①求线段 ＤＥ的长．（用含 ｘ的代数式表示）

②求 ｙ关于 ｘ的函数解析式，并通过列表、描点、连线，在图 ２中画出它的图象．

ｘ ０ １ ２ ３ ４

ｙ ０ １５ ２ ｍ ｎ

求表中 ｍ的值和 ｎ的值．

（２）当点 Ｄ运动到线段 ＡＣ的延长线上时：

①直接用含 ｘ的代数式表示 ＤＥ的长：ＤＥ＝ ．

②求 ｙ关于 ｘ的函数解析式．

（３）若从上至下存在三个不同位置的点 Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３，对应的矩形 ＣＤＥＦ面积均相等，当 ＡＤ３ ＝

２ＡＤ２－ＡＤ１时，求矩形 ＣＤ３ＥＦ的面积．

第 １题图

２．!!\"!#\"/0?@A3)' 如图 １，在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在 ＢＣ上，且 ＢＥ＝４．动点 Ｆ以每秒 １

个单位长度的速度从点 Ｂ出发，在折线段 Ｂ—Ａ—Ｄ上运动，连接 ＥＦ，当 ＥＦ⊥ＢＣ时停止运动，

过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ＥＦ，交矩形 ＡＢＣＤ的边于点 Ｇ，连接 ＦＧ．设动点 Ｆ的运动路程为 ｘ，线段 ＦＧ与矩

形 ＡＢＣＤ的边围成的三角形的面积为 Ｓ．

动点 Ｆ由点 Ｂ向点 Ａ运动的过程中，经探究发现 Ｓ是关于 ｘ的二次函数，如图 ２所示，抛物线顶

点 Ｐ的坐标为 （３，ｔ），与 ｙ轴的交点 Ｎ的坐标为 （０，１６），与 ｘ轴的交点为 Ｍ．

（１）求矩形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ和 ＡＤ的长．

（２）点 Ｆ由点 Ａ向终点运动的过程中，求 Ｓ关于 ｘ的函数解析式．

（３）是否存在 ３个路程 ｘ１，ｘ２，ｘ３ （ｘ１＜ｘ２＜ｘ３），当 ｘ３－ｘ２＝ｘ２－ｘ１时，３个路程对应的面积 Ｓ均

相等？

第 ２题图

· １４１· · １４２·

专题 ３６ 二次函数与新定义综合应用

解答题

１．!!\"!#\"95x5)M' 我们把两个二次项系数之和为 １、对称轴相同、且图象与 ｙ轴交点也相

同的二次函数称为 “同轴相交二次函数”．例如：ｙ＝３ｘ

２＋６ｘ－３的 “同轴相交二次函数”为 ｙ＝

－２ｘ

２－４ｘ－３．

（１）ｙ＝２ｘ

２－４ｘ＋３的 “同轴相交二次函数”为 ．

（２）证明：二次项系数为１

２的二次函数的 “同轴相交二次函数”是它本身．

（３）如图，二次函数 Ｌ１：ｙ＝ａｘ

２－４ａｘ＋１与其 “同轴相交二次函数”Ｌ２都与 ｙ轴交于点 Ａ，点 Ｂ

和点 Ｃ分别在 Ｌ１，Ｌ２上，点 Ｂ和点 Ｃ的横坐标均为 ｍ （０＜ｍ＜２），它们关于 Ｌ１的对称轴的

对称点分别为 Ｂ′Ｃ′，连接 ＢＢ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｃ，ＣＢ．

第 １题图

①若 ａ＝２，且四边形 ＢＢ′Ｃ′Ｃ为正方形，求 ｍ的值；

②若 ｍ＝１，且四边形 ＢＢ′Ｃ′Ｃ邻边之比为 ２∶３，直接写出 ａ的值．

２．!!\"!#\"12?H' 定义：一般地，如果函数 Ｃ：ｙ＝ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点 （ｘ，ｙ），（－ｘ， －ｙ）

（ｘ，ｙ≠０），那么我们称函数 Ｃ为 “卡尔达诺函数”，这对点叫做函数 Ｃ的一对 “最佳偏移点”．

（１）对于函数 Ｃ：ｙ＝ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ，当 ａ＝０，ｂ≠０时：

①求证：若 Ｃ：ｙ＝ｂｘ＋ｃ为 “卡尔达诺函数”，则 ｃ＝０．

②设函数 Ｃ１：ｙ＝ｂｘ＋ｃ为 “卡尔达诺函数”，Ｃ２：ｙ＝ｍｘ

２＋２ｘ＋ｑ（ｍ≠０）也为 “卡尔达诺函

数”，且 Ｃ１，Ｃ２恒存在相同的一对 “最佳偏移点”，求函数 Ｃ１的解析式．

（２）已知 “卡尔达诺函数”Ｃ３：ｙ＝ｘ

２＋２ｂｘ＋ｃ的一个 “最佳偏移点”为 （２ｂ，ｎ）：

①当 ２ｂ≤ｘ≤２时，该函数 Ｃ３的最大值与最小值之差为 ４，求 ｂ的值．

②已知点 Ａ（ｂ，０），Ｂ（ｂ＋２，０），Ｃ（ｂ＋１，１），当△ＡＢＣ与 Ｃ３的图象有两个公共点时，请

直接写出 ｂ的取值范围．

３．!!\"!#\"cZ3)' 定义：在平面直角坐标系中，抛物线 ｙ＝ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与 ｙ轴的交点坐标

为 （０，ｃ），那么我们把经过点 （０，ｃ）且平行于 ｘ轴的直线称为这条抛物线的 “极限分割线”．

（１）抛物线 ｙ＝ｘ

２＋２ｘ＋１的 “极限分割线”与这条抛物线的交点坐标为 ．

（２）经过点 Ａ（－２，０）和 Ｂ（ｘ，０）（ｘ＞－２）的抛物线 ｙ＝－１

４ｘ

２ ＋

１

２ｍｘ＋ｎ与 ｙ轴交于点 Ｃ，它

的 “极限分割线”与该抛物线另一个交点为 Ｄ，请用含 ｍ的代数式表示点 Ｄ的坐标．

（３）在 （２）的条件下，设抛物线 ｙ＝－１

４ｘ

２＋

１

２ｍｘ＋ｎ的顶点为 Ｐ，直线 ＥＦ垂直平分 ＯＣ，垂足

为 Ｅ，交该抛物线的对称轴于点 Ｆ．

①当∠ＣＤＦ＝４５°时，求点 Ｐ的坐标．

②若直线 ＥＦ与直线 ＭＮ关于 “极限分割线”对称，是否存在使点 Ｐ到直线 ＭＮ的距离与点

Ｂ到直线 ＥＦ的距离相等的 ｍ的值？若存在，直接写出 ｍ的值；若不存在，请说明理由．

４．!!\"!#\"p*)M' 我们定义 【ａ，ｂ，ｃ】为函数 ｙ＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋ｃ的 “特征数”．如：函数 ｙ＝２ｘ

２

－３ｘ＋５的 “特征数”是 【２， －３，５】，函数 ｙ＝ｘ＋２的 “特征数”是 【０，１，２】，函数 ｙ＝

－２ｘ的 “特征数”是 【０， －２，０】．

（１）若一个函数的 “特征数”是 【１， －４，１】，将此函数的图象先向左平移 ２个单位，再向上平

移 １个单位，得到一个图象对应的函数 “特征数”是 ．

（２）将 “特征数”是 【０， －槡３

３， －１】的函数图象向上平移 ２个单位，得到一个新函数，这个新

函数的解析式是 ．

（３）若一个函数的 “特征数”为 【ａ，ｂ，ｃ】，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝０，与 ｘ轴的一个交点为 Ａ（ｍ，０），ｍ

≠１，另一交点为 Ｂ，该函数图象的顶点为 Ｄ（－１，ｋ），ｋ＞０，Ｐ是 ｙ轴上一动点，当 ＰＡ＋

ＰＤ的最小值为 ５时，求这个函数的 “特征数”．

（４）当 “特征数”是 【１， －２ｍ，ｍ

２－３ｍ】的函数在直线 ｘ＝ｍ－２和直线 ｘ＝１之间的部分 （包

括边界点）的最高点的纵坐标为 ５时，求 ｍ的值．

· １４５· · １４６·

专题 ３７ 新定义与函数综合应用

解答题

１．!!\"!#\"()' 在平面直角坐标系中，正方形 ＯＡＢＣ的边长为 ｎ（ｎ为正整数），点 Ａ在 ｘ轴正半

轴上，点 Ｃ在 ｙ轴正半轴上．若点 Ｍ（ｘ，ｙ）在正方形 ＯＡＢＣ的边上，且 ｘ，ｙ均为整数，定义点

Ｍ为正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ点”．

若某函数的图象与正方形 ＯＡＢＣ只有两个交点，且交点均是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ点”，定义该函

数为正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”．

例如：如图 １，当 ｎ＝２时，某函数的图象 Ｃ１ 经过点 （０，１）和 （２，２），则该函数是正方形

ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”．

（１）当 ｎ＝１时，若一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｔ是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”，则一次函数的解析式是

（写出一个即可）．

（２）如图 ２，当 ｎ＝３时，函数 ｙ＝ｍ

ｘ

（ｘ＞０）的图象经过点 Ｄ（１，３），与边 ＡＢ相交于点 Ｅ，判断

该函数是否是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”，并说明理由．

（３）当 ｎ＝４时，二次函数 ｙ＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋４的图象经过点 Ｂ，若该函数是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函

数”，求 ａ的取值范围．

（４）在 （３）的条件下，点 Ｐ（ａ－１，ｙ１），Ｑ（ａ＋３，ｙ２）是二次函数 ｙ＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋４图象上的两

点，若点 Ｐ，Ｑ之间的图象 （包括点 Ｐ，Ｑ）的最高点与最低点纵坐标的差为 １０ａ

２

，求 ａ的

值．

第 １题图

２．!!\"!#\"]^_25,)' 在平面直角坐标系中，点 Ｍ的坐标为 （ｘ１，ｙ１），若图形 Ｆ上存在一

点 Ｎ（ｘ２，ｙ２），且满足当 ｘ１＝ｘ２时，ＭＮ≤２，则称点 Ｍ为图形 Ｆ的一个 “垂近点”．

（１）如图 １，图形 Ｆ为线段 ＡＢ，点 Ａ的坐标为（－１，２），点 Ｂ的坐标为（３，２）．

①判断点 Ｍ（１５，０５）是否是线段 ＡＢ的 “垂近点”，并说明理由．

②请在图中画出点 Ｍ所有可能的位置．（用阴影部分表示）

（２）如图 ２，若图形 Ｆ为双曲线 ｙ＝４

ｘ

（ｘ＞０），点 Ｍ（４，ｍ） （ｍ为大于 １的整数）为图形 Ｆ的

“垂近点”，求 ｍ的值．

（３）若图形 Ｆ为直线 ｙ＝ｂ，在二次函数 ｙ＝ａｘ

２＋２ａｘ＋ａ－３

２图象上仅有一个图形 Ｆ的 “垂近点”，

求 ｂ的值．

（４）如图 ３，若图形 Ｆ为抛物线 ｙ＝１

４ｘ

２ －４，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ａ（ｔ，０），Ｂ（ｔ，１），Ｃ（ｔ＋１，

１），Ｄ（ｔ＋１，０），如果正方形 ＡＢＣＤ上存在此图形 Ｆ的 “垂近点”，求 ｔ的取值范围．

第 ２题图

· １· · ２·

参考答案

专题 １ 实数

１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｂ ４．Ｄ ５．Ｂ ６．Ｄ ７．Ｄ ８．Ｃ

９．Ａ １０．Ｂ １１．Ｃ １２．Ａ １３．Ｂ １４．Ｂ １５．Ｂ

１６．Ａ １７．Ｂ １８．Ｂ

１９．解：原式 ＝１６－１０＋２槡２＋３－槡２＝９＋槡２．

２０．解：原式 ＝－８＋４＋４－槡３＋２槡３＝槡３．

２１．解：原式 ＝－６－４＋４－１＝－７．

２２．解：原式 ＝１＋

１

４－１

２×

１

２＋３＝４．

２３．解：原式 ＝－１＋３＋１６÷（－８）＝０．

２４．解：原式 ＝－１＋２－（２－槡３）＋２槡３＋１＝３槡３．

２５．解：原式 ＝１＋４＋５－２槡２＋２槡２＝１０．

２６．解：原式 ＝２槡３－２×槡３

２＋２－（槡３－１）＝３．

２７．解：原式 ＝－１＋１－２×

１

２＋３－槡５＝２－槡５．

２８．解：原式 ＝２槡２＋３－２槡２－１＋４＝６．

专题 ２ 代数式

１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｃ ７．Ｂ ８．Ｃ

９．Ａ １０．Ｄ １１．Ｂ １２．Ｂ １３．Ｄ １４．Ａ １５．Ａ

１６．ａ（ａ＋ｂ） １７．（ａ＋２ｂ）（ａ－２ｂ） １８．３ｍ（ａ－ｂ）２

１９．ｘ（ｙ＋１）２ ２０．ａｘ（ｘ２＋４） ２１．２槡３ ２２．ｘ≥３

２３．解：原式 ＝ ａ

ａ＋１·（ａ＋１）（ａ－１）

ａ２ ＋

１

ａ＝ａ－１

ａ ＋

１

ａ

＝ａ

ａ＝１．

２４．解：原式 ＝ ｘ２－１

ｘ２－１－ｘ－１

( ｘ２－１) ÷ｘ－１

ｘ＋１＝ｘ２－ｘ

ｘ２－１

·ｘ＋１

ｘ－１＝

ｘ（ｘ－１）

（ｘ＋１）（ｘ－１）

·ｘ＋１

ｘ－１＝ ｘ

ｘ－１

．

２５．解：原式 ＝（ａ＋１）（ａ－１）－３

ａ－１ · ａ－１

（ａ＋２）２ ＝ａ２－４

ａ－１·

ａ－１

（ａ＋２）２＝ａ－２

ａ＋２

．

２６．解：原式 ＝（ａ＋３）（ａ－３）

ａ－２ ÷（ａ－２）（ａ－２）－（２ａ－５）

ａ－２

＝（ａ＋３）（ａ－３）

ａ－２ · ａ－２

ａ２－４ａ＋４－２ａ＋５＝（ａ＋３）（ａ－３）

ａ－２

· ａ－２

（ａ－３）２＝ａ＋３

ａ－３

．

２７．解：原式 ＝ （ｘ＋２）２

ｘ（ｘ＋２）－３ [ ｘ] · ２

ｘ－１＝ ｘ＋２

ｘ －３ ( ｘ) ·

２

ｘ－１＝ｘ－１

ｘ · ２

ｘ－１＝２

ｘ，当 ｘ＝ｓｉｎ３０°－１＝１

２－１＝

－１

２时，原式 ＝ ２

－１

２

＝－４．

２８．解：原 式 ＝ ２ｘ（ｘ＋１）

（ｘ＋１）（ｘ－１）－ｘ（ｘ－１） [ （ｘ－１）２] · ｘ＋１

ｘ ＝

２ｘ

ｘ－１－ ｘ ( ｘ－１)·ｘ＋１

ｘ ＝ ｘ

ｘ－１·ｘ＋１

ｘ ＝ｘ＋１

ｘ－１

，∵ｘ＝

±１或 ０时，原分式无意义，∴ｘ＝－２，当 ｘ＝－２

时，原式 ＝－２＋１

－２－１＝１

３．

２９．解：原式 ＝ １＋ｘ

（１＋ｘ）（１－ｘ）＋ ｘ（１＋ｘ） [ （１－ｘ）（１＋ｘ）] ·

（ｘ－１）２

ｘ＋１ ＝ １＋ｘ＋ｘ＋ｘ２

（１－ｘ）（１＋ｘ） · （ｘ－１）２

ｘ＋１ ＝

（ｘ＋１）２

（１－ｘ）（１＋ｘ）

·（ｘ－１）２

ｘ＋１ ＝１－ｘ，∵１－ｘ≠０，１＋

ｘ≠０，∴ｘ≠１，ｘ≠ －１，∵ －槡２＜ｘ＜槡３，且 ｘ为整

数，∴ｘ＝０，当 ｘ＝０时，原式 ＝１－ｘ＝１．

专题 ３ 一次方程 （组）

１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ｄ ４．Ｂ ５．Ｂ ６．Ｂ ７．Ａ ８．Ｃ

９．５３ １０． ５ｘ＋２ｙ＝１０，

{２ｘ＋５ｙ＝８

１１．３

１２．解：（１）设 Ａ品牌垃圾桶的单价是 ｘ元，Ｂ品牌垃

圾桶的单价是 ｙ元，根据题意得

３ｘ＋４ｙ＝９００，

{３ｘ＝２ｙ，解

得 ｘ＝１００，

{ｙ＝１５０．

答：Ａ品牌垃圾桶的单价是 １００元，Ｂ品牌垃圾桶

的单价是 １５０元．

（２）设该校此次可购买 ｍ个 Ｂ品牌垃圾桶，则购

买 （２０－ｍ）个 Ａ品牌垃圾桶，根据题意得 １００（２０

－ｍ）＋１５０ｍ≤２４００，解得 ｍ≤８．

答：该校此次最多可购买 ８个 Ｂ品牌垃圾桶．

１３．解：（１）设 １个 Ａ型部件的质量是 ｘ吨，１个 Ｂ型

部件的质量是 ｙ吨，根据题意得 ｘ＋２ｙ＝２８，

{２ｘ＝３ｙ，解得

ｘ＝１２，

{ｙ＝０８．

答：１个 Ａ型部件的质量是 １２吨，１个 Ｂ型部件

的质量是 ０８吨．

（２）设这辆卡车运输 ｍ个 Ｂ型部件，则运输 （１６

－ｍ）个 Ａ型部件，根据题意得 １２（１６－ｍ）＋

０８ｍ≤１５，解得 ｍ≥

２１

２，又因为 ｍ为整数，所以 ｍ

的最小值为 １１．

答：这辆卡车最少要运输 １１个 Ｂ型部件．

１４．解：（１）设乙工程队每天能完成 ｘ平方米的绿化改

造面积，则甲工程队每天能完成 （ｘ＋２００）平方米

的绿化改造面积，根据题意得 ｘ＋２００＋ｘ＝８００，解

得 ｘ＝３００，则 ｘ＋２００＝３００＋２００＝５００．

答：甲工程队每天能完成 ５００平方米的绿化改造面

积，乙工程队每天能完成３００平方米的绿化改造面积．

（２）选择方案①所需施工费用为 ６００×

１２０００

５００ ＝

１４４００（元）；选择方案②所需施工费用为 ４００×

１２０００

３００ ＝１６０００（元）；选择方案③所需施工费用为

（６００＋４００） ×

１２０００

５００＋３００＝１５０００ （元）．因 为

１４４００＜１５０００＜１６０００，故选择方案①的施工费用

最少．

１５．解：（１）设该商场购进 ２匹立地式空调的单价为 ｘ

元，３匹立地式空调的单价为 ｙ元，根据题意得

２０ｘ＋３０ｙ＝２６００００，

{１０ｘ＋２０ｙ＝１６００００，

解得 ｘ＝４０００，

{ｙ＝６０００．

答：该商场购进 ２匹立地式空调的单价为 ４０００元，

３匹立地式空调的单价为 ６０００元．

（２）根据题意得 （５４００－４０００）×

２０＋１０

２ ＋（５４００×

０９－４０００）×

２０＋１０

２ ＋（８４００－６０００）×

３０＋２０

２ ＋

（８４００×０８－６０００）×

３０＋２０

２ ＝１１１９００（元）．

答：销售两种立地式空调商场获利 １１１９００元．

专题 ４ 分式方程

１．Ａ ２．Ｃ ３．Ｃ ４．Ｃ ５．Ｄ ６．Ｄ ７．Ｂ ８．Ｄ

９．解：设每辆 Ｂ型汽车的进价为 ｘ万元，则每辆 Ａ型

汽车的进价为 １２ｘ万元，根据题意得 ２４０

１２ｘ－２４０

ｘ ＝

－４，解得 ｘ＝１０，经检验，ｘ＝１０是原分式方程的

解，且符合题意，则 １２ｘ＝１２×１０＝１２．

答：每辆 Ａ型汽车的进价为 １２万元，每辆 Ｂ型汽车

的进价为 １０万元．

１０．解：设第一批商品的购进单价为 ｘ元，则第二批商

品的购进单价为 （１＋２０％） ｘ元，根据题意得

１２００

ｘ ＝ １２００

（１＋２０％）ｘ＋５，解得 ｘ＝４０，经检验，ｘ＝

４０是 原 分 式 方 程 的 解，且 符 合 题 意，则 （１＋

２０％）ｘ＝１２×４０＝４８．

答：第一批商品的购进单价为 ４０元，第二批商品

的购进单价为 ４８元．

１１．解：（１）１２５ｘ

（２）根据题意得５０００

ｘ －２＝６０００

１２５ｘ

，解得 ｘ＝１００，

经检验，ｘ＝１００是原分式方程的解，且符合题意，

则 １２５ｘ＝１２５×１００＝１２５．

答：更新设备后每天生产 １２５件产品．

１２．解： （１）设足球的单价是 ｘ元，则篮球的单价是

（２ｘ－３０）元，根据题意得６００

ｘ ＝ ４５０

２ｘ－３０×２，解得 ｘ

＝６０，经检验，ｘ＝６０是原方式方程的解，且符合

题意，则 ２ｘ－３０＝２×６０－３０＝９０．

答：足球的单价是 ６０元，篮球的单价是 ９０元．

（２）设学校可以购买 ｍ个篮球，则购买 （１００－ｍ）

· ６１· · ６２·

６．解：（１）① （４，０）

②图象 Ｌ′如图所示．

第 ６题答图

（２）①３ 【解析】当 ｍ＝－１时，抛物线 Ｌ：ｙ＝

－ｘ２ －２ｘ，与 ｘ轴交点为 Ｏ（０，０），Ａ（－２，０），

ｙ＝－ｘ２－２ｘ＝－（ｘ＋１）２ ＋１，∴顶点 Ｐ的坐标为

（－１， １）， 设 抛 物 线 Ｌ′： ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ， 则

－１＋ａ＝１，

－ｂ

２ａ＝ －２

２×（－２） { ，

解得 ａ＝２，

{ｂ＝４，

∴抛物线 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２

＋４ｘ，当 ｘ＝－１时，ｙ＝２×（－１）２ ＋４×（－１）＝

－２，∴点 Ｑ的坐标为（－１， －２），∴Ｓ四边形ＯＰＡＱ ＝

Ｓ△ＯＡＰ ＋Ｓ△ＯＡＱ ＝１

２×２×１＋

１

２×２×２＝３．

②抛物线 Ｌ：ｙ＝－ｘ２＋２ｍｘ与 ｘ轴的交点为 （０，０）

和 （２ｍ，０），则设抛物线 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２ ＋ｂｘ与 ｘ轴的

交点为 （０，０） 和 －ｂ

２ ( ，０)，代入得 ２ｍ＝－ｂ

２，

解得 ｂ＝－４ｍ，抛物线 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２ －４ｍｘ，∴ｙ＝２ｘ２

－４ｍｘ＝２（ｘ－ｍ）２－２ｍ２

，∴抛物线 Ｌ′的顶点坐标为

（ｍ， －２ｍ２

），∵其横、纵坐标互为相反数，∴ｍ－

２ｍ２＝０，解得 ｍ＝０或 ｍ＝１

２，∴抛物线 Ｌ′的解析式

为 ｙ＝２ｘ２或 ｙ＝２ｘ２－２ｘ．

（３）抛物线 Ｌ：ｙ＝－ｘ２＋２ｍｘ＝－（ｘ－ｍ）２＋ｍ２

，其

顶点坐标为 （ｍ，ｍ２

），则抛物线 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２ －４ｍｘ

＝２（ｘ－ｍ）２－２ｍ２

，∴其顶点坐标为 （ｍ， －２ｍ２

），

当直线 ｙ＝ｍ过抛物线顶点时，才有可能满足有且只

有三个交点，∴ｍ＝ｍ２ 或 ｍ＝－２ｍ２

，解得 ｍ＝０或

ｍ＝１或 －１

２，当 ｍ＝０时，两个抛物线与 ｙ＝ｍ只有

一个交点，不满足条件，故舍去，∴ｍ的值为 １或

－１

２．

专题 ３７ 新定义与函数综合应用

１．解：（１）ｙ＝ｘ 【解析】当 ｎ＝１时，点 Ａ的坐标为

（１，０），点 Ｂ的坐标为（１，１），点 Ｃ的坐标为（０，

１），当一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｔ的图象过 Ｏ（０，０），Ｂ（１，

１）时，其解析式为 ｙ＝ｘ，此时直线 ｙ＝ｘ与正方形

ＯＡＢＣ只有两个交点，∴一次函数 ｙ＝ｘ是正方形

ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”．

（２）该函数是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”，理由如

下：把点 Ｄ（１，３）代入 ｙ＝ｍ

ｘ中得 ３＝ｍ

１，解得 ｍ＝

３，∴ｙ＝３

ｘ，把 ｘ＝３代入 ｙ＝３

ｘ得 ｙ＝１，∴点 Ｅ的

坐标为 （３，１），∴ 函数 ｙ＝３

ｘ的图象与正方 形

ＯＡＢＣ只有两个交点，且点 Ｄ，Ｅ均是 “ＬＳ点”，

∴函数 ｙ＝３

ｘ （ｘ＞０）是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”．

（３）当 ｎ＝４时，点 Ｂ的坐标为 （４，４），点 Ｃ的坐

标为 （０，４），把点 Ｂ（４，４）代入二次函数 ｙ＝ａｘ２

＋ｂｘ＋４中，得 ４＝１６ａ＋４ｂ＋４，∴ｂ＝－４ａ，∴ｙ＝

ａｘ２－４ａｘ＋４，∴该函数图象的顶点坐标为 （２， －４ａ

＋４），在 ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋４中，令 ｘ＝０得 ｙ＝４，∴点

Ｃ（０，４）在函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４的图象上，函数 ｙ＝

ａｘ２＋ｂｘ＋４是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函数”，其图象经

过点 Ｂ，Ｃ．分两种情况：当 ａ＞０时，抛物线的顶

点在 ｘ轴上方，∴ －４ａ＋４＞０，解得 ａ＜１，∴０＜ａ

＜１；当 ａ＜０时，函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４的图象经过点

Ｂ，Ｃ，则函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４一定是正方形 ＯＡＢＣ的

“ＬＳ函数”．综上所述，ａ的取值范围为 ０＜ａ＜１或

ａ＜０．

（４）由 （３）知该函数图象的对称轴是直线 ｘ＝２，

顶点坐标为 （２， －４ａ＋４）．当 ０＜ａ＜１时，有 －１

＜ａ－１＜０，３＜ａ＋３＜４，∵抛物线开口向上，∴点

Ｐ，Ｑ之间的图象的最高点是 Ｐ，最低点是顶点，

∴ａ（ａ－１）２－４ａ（ａ－１）＋４－（－４ａ＋４）＝１０ａ２

，解

得 ａ１＝８－槡５５，ａ２ ＝８＋槡５５（舍去）；当 ａ＜０时，

抛物线开口向下，当 ａ＋３≥２，即 －１≤ａ＜０时，有

－２≤ａ－１＜－１，２≤ａ＋３＜３，∴点 Ｐ，Ｑ之间的图

象的最高点是顶点，最低点是 Ｐ，∴（－４ａ＋４）－

［ａ（ａ－１）２－４ａ（ａ－１）＋４］＝１０ａ２

，整理得 ａ２ ＋４ａ

＋９＝０，此方程无实数根，ａ的值不存在，当 ａ＋３

＜２，即 ａ＜－１时，有 ａ－１＜ａ＋３＜２，∴点 Ｐ，Ｑ

之间的图象的最高点是 Ｑ，最低点是 Ｐ，∴［ａ（ａ＋

３）２－４ａ（ａ＋３）＋４］－［ａ（ａ－１）２－４ａ（ａ－１）＋４］＝

１０ａ２

，整理得 ａ＋４＝０，解得 ａ＝－４．综上所述，ａ

的值是 ８－槡５５或 －４．

２．解：（１）①是，理由如下：∵点 Ｍ的坐标为（１５，

０５），∴点 Ｎ的坐标为（１５，２），∵ＭＮ＝２－０５＝

１５＜２，∴点 Ｍ（１５，０５） 是线段 ＡＢ的 “垂近

点”．

②点 Ｍ所有可能的位置，如图 １阴影部分所示．

（２）∵图形 Ｆ为双曲线 ｙ＝４

ｘ （ｘ＞０），点 Ｍ的坐标

为（４，ｍ），∴点 Ｎ的坐标为（４，１），∵ｍ为大于 １

的整数，∴ｍ－１≤２，∴ｍ≤３，∴ｍ的值为 ２或 ３．

（３）ｙ＝ａｘ２ ＋２ａｘ＋ａ－３

２＝ａ（ｘ＋１）２ －３

２，∵二次

函数 ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ａ－３

２图象上仅有一个图形 Ｆ的

“垂近点”，∴当 ａ＝０时，ｂ＝－３

２＋２＝１

２，当 ａ＞０

时，ｂ＝－３

２－２＝－７

２，∴ｂ的值为 １

２或 －７

２．

（４）设正方形上点 Ｍ是抛物线 ｙ＝１

４ｘ２－４的 “垂近

点”，抛物线上存在点 Ｎ（ｘＮ，ｙＮ），使得当 ｘＭ ＝ｘＮ

时，ＭＮ≤２，正方形顶点坐标为 Ａ（ｔ，０），Ｂ（ｔ，１），

Ｃ（ｔ＋１，１），Ｄ（ｔ＋１，０）．分四种情况：当 ｔ＞０

时，如图 ２，当点 Ｍ与点 Ｂ重合时，点 Ｎ的坐标为

ｔ， １

４ｔ２

( －４)，∴ＭＮ＝１

４ｔ２ －４－１＝２，解得 ｔ＝２槡７

或 ｔ＝－２槡７（舍去）；如图 ３，当点 Ｍ与点 Ｄ重合

时，点 Ｎ的坐标为 ｔ＋１， １

４（ｔ＋１）２

( －４)，∴ＭＮ＝

－１

４ （ｔ＋１）２ ＋４＝２，解得 ｔ＝２槡２－１或 ｔ＝－２槡２

－１（舍去）；当 ｔ＜０时，如图 ４，当点 Ｍ与点 Ｃ重

合时，点 Ｎ的坐标为 ｔ＋１， １

４（ｔ＋１）２

( －４)，∴ＭＮ

＝１

４（ｔ＋１）２ －４－１＝２，解得 ｔ＝－２槡７－１或 ｔ＝

２槡７－１（舍去）；如图５，当点 Ｍ与点 Ａ重合时，点

Ｎ的坐标为 ｔ， １

４ｔ２

( －４)，∴ＭＮ＝－１

４ｔ２ ＋４＝２，解

得 ｔ＝－２槡２或 ｔ＝２槡２（舍去）．综上所述，当 ２槡２

－１≤ｔ≤２槡７或 －２槡７－１≤ｔ≤ －２槡２时，正方形上存

在抛物线 ｙ＝１

４ｘ２－４的 “垂近点”．

第 ２题答图