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高考二轮总复习《江海名师零距离》编写组 编
高考二轮总复 习
2025
襟江带海 通往美好未来
︽江海名师零距离︾编写组编基础版 4版
新高考 新模式
强主干
提素养
精准发力
赢得高考
基础版4版样书
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(A正文）2025江海名师 二轮数学基础版A样书印刷文件 电子样书 12.3
本书根据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》,充分吸收近三年新高考Ⅰ、Ⅱ卷、及其他高考卷的命题理念,特别研究并吸收了试卷结构改变的2024新高考九省联考卷与2024新高考Ⅰ、Ⅱ卷试题特征,打造一本集专题突破、实战演练于一体的高三二轮复习资料.本书面向广大普通高中高三二轮复习的师生,以重点专题为抓手,以教学课时为单位,针对高考,精研学情,求“准”;重组知识,夯实基础,求“实”;学以致用,灵活迁移,求“活”;强化训练,提高能力,求“强”.本书分三个部分:课堂本 A———大专题篇(单册)、课堂本 A+———微专题篇(单册)、课后达标检测:综合分层 B———基础篇、综合分层 B+———提高篇(合册).课堂本 A———大专题篇,为经典专题,着重 于 基 础 知 识、基 本 方 法、基 本 技 能,共 20 讲,复 习 高 考 主 干 知 识 和 重 点 内 容.课 堂 本A+———微专题篇,由热点问题篇、新题型篇、思想方法篇构成,共20讲,研究高考的热点问题,解密高考新题型,掌握数学的思想方法,提升数学素养和创新能力.综合分层 B与 B+是综合强化分层训练.综合分层 B立足于高...
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文本内容
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高考二轮总复 习
2025
襟江带海 通往美好未来
强主干
提素养
精准发力
赢得高考
新高考 新模式
A
《江海名师零距离》编写组 编
基础版 4版
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图书在版编目(CIP)数据
江海名师零距离.高考二轮总复习 数学 基础版 /
《江海名师零距离》编写组编.-4版.-南京 :江苏
凤凰美术出版社,2023.11(2024.10重印)
责 任 编 辑 李凡伟
责任设计编辑 贲 炜
责 任 校 对 曹玄麒
责 任 监 印 于 磊
书 名 江海名师零距离.高考二轮总复习 数学 基础版
JIANGHAI MINGSHI LINGJULI GAOKAO ERLUN ZONGFUXI SHUXUE JICHUBAN
编 者 《江海名师零距离》编写组
出 版 发 行 江苏凤凰美术出版社(南京湖南路1号 邮编210009)
印 刷
开 本 890mm×1240mm 1/16
印 张 25.5
版 次 2023年11月第4版
印 次 2024年10月第2次印刷
标 准 书 号
估 价 98.00元
编辑部电话 025 68155671 印务部电话 025 68155658
邮箱 sumeijiaoyu@163.com 营销部地址 南京市湖南路1号
江苏凤凰美术出版社图书凡印装错误可向承印厂调换
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本书根据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》,充分吸收近三年新高考Ⅰ、Ⅱ
卷、及其他高考卷的命题理念,特别研究并吸收了试卷结构改变的2024新高考九省联考卷与2024
新高考Ⅰ、Ⅱ卷试题特征,打造一本集专题突破、实战演练于一体的高三二轮复习资料.
本书面向广大普通高中高三二轮复习的师生,以重点专题为抓手,以教学课时为单位,针对高
考,精研学情,求“准”;重组知识,夯实基础,求“实”;学以致用,灵活迁移,求“活”;强化训练,提高
能力,求“强”.
本书分三个部分:课堂本 A———大专题篇(单册)、课堂本 A+———微专题篇(单册)、课后达标
检测:综合分层 B———基础篇、综合分层 B+———提高篇(合册).课堂本 A———大专题篇,为经典专
题,着重 于 基 础 知 识、基 本 方 法、基 本 技 能,共 20 讲,复 习 高 考 主 干 知 识 和 重 点 内 容.课 堂 本
A+———微专题篇,由热点问题篇、新题型篇、思想方法篇构成,共20讲,研究高考的热点问题,解
密高考新题型,掌握数学的思想方法,提升数学素养和创新能力.综合分层 B与 B+是综合强化分
层训练.综合分层 B立足于高考单选前6题,多选前2题,填空前2题,解答前2题,基础训练求稳
固,确保颗粒归仓不丢分.综合分层B+致力于高考单选后2题,多选后1题,填空后1题,解答后3
题,强化训练求突破,努力提升综合能力争高分.
课堂本 A、课堂本 A+的每一讲由【考情回顾】或【考情概述】、【真题热身】、【典例突破】、【课后
巩固】四个板块组成.【考情回顾】或【考情概述】———通过系统研究历年高考卷,分析该专题在高考
中的地位,考查方式,试题的难度等.【真题热身】———从不同角度精选针对本讲的高考真题,以真
题导学,感悟新高考,明确考什么,怎么考.【典例突破】———从高考考查重点精选典型问题,分析引
导,探求思路,让考生轻松突破思维障碍点,掌握答题要点,轻松应对新高考.【课后巩固】———精选
新高考地区的优质模拟题和最新高考题,将热点问题和新题型以试题的形式呈现,检测复习效果,
有的放矢,举一反三,提升考试的实战能力.
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目 录
专题一 三角与平面向量 ………………………………………………………………………… 1
第1讲 三角函数的图象与性质 ……………………………………………………………… 1
第2讲 三角恒等变换与解三角形 …………………………………………………………… 6
第1课时 三角恒等变换及三角形背景下的求值与最值问题 ……………………………… 6
第2课时 正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用 ……………………………………… 11
第3讲 平面向量 ……………………………………………………………………………… 17
专题二 数列 ……………………………………………………………………………………… 22
第4讲 等差数列、等比数列 ………………………………………………………………… 22
第5讲 数列的通项与求和 …………………………………………………………………… 26
第6讲 递推数列 ……………………………………………………………………………… 31
专题三 概率与统计 …………………………………………………………………………… 35
第7讲 计数原理与二项式定理 ……………………………………………………………… 35
第8讲 概率与概率分布 ……………………………………………………………………… 39
第1课时 概率、离散型随机变量的概率分布与数学期望、方差 …………………………… 39
第2课时 超几何分布、二项分布、正态分布 ………………………………………………… 46
第9讲 统计案例 ……………………………………………………………………………… 53
专题四 立体几何与空间向量 ………………………………………………………………… 61
第10讲 空间点、线、面的位置关系及证明 ………………………………………………… 61
第11讲 空间几何体的表面积与体积 ……………………………………………………… 66
第12讲 综合法求空间角和距离 …………………………………………………………… 71
第13讲 利用空间向量求空间角和距离 …………………………………………………… 76
专题五 解析几何 ………………………………………………………………………………… 81
第14讲 直线与圆 …………………………………………………………………………… 81
第15讲 圆锥曲线的方程与几何性质 ……………………………………………………… 85
第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系 ……………………………………………………… 91
第17讲 直线与圆锥曲线的综合问题 ……………………………………………………… 95
专题六 函数与导数 …………………………………………………………………………… 100
第18讲 函数的图象与性质 ………………………………………………………………… 100
第19讲 利用导数研究函数的基本问题 …………………………………………………… 106
第20讲 利用导数研究方程与不等式 ……………………………………………………… 111
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专题一 三角与平面向量??????
专题一 三角与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
【考情回顾】
考点 近3年考题 考情分析
三 角
函 数
的 图
象 与
性质
2022·新高考Ⅰ
卷,6
2023·新高考Ⅰ
卷,15
2024·新高考Ⅰ
卷,7
2022·新高考Ⅱ
卷,9
2023·新高考Ⅱ
卷,16
2024·新高考Ⅱ
卷,9
高考对三角函数的考查:基
础方 面 是 掌 握 三 角 函 数 的
定义、同角三角函数关系式
和诱导公式.重点是三角恒
等变换和三角函数的图象、
周期性、单调性、奇偶性、对
称性、最 值 等.高 考 对 三 角
函数 的 图 象 与 性 质 部 分 的
命题,常与三角恒等变换交
汇命 题.主 要 以 选 择 题、填
空题的形式考查.
2024年新高考Ⅰ卷在考查三角函数的图
象与性质时,结合了具体函数图象的画法,Ⅱ
卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基
本性质.属于常规题型,难度中等.
【真题热身】
1.(2024·新高考上海卷)下列函数f(x)
的最小正周期是2π的是 ( )
A.sinx+cosx
B.sinxcosx
C.sin
2x+cos
2x
D.sin
2x-cos
2x
2.(2024· 新高考北京卷)已知 f(x)=
sinωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-
x2|min=
π
2
,则ω= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=
sin2x 和g(x)=sin2xπ 4 ,下 列 说 法 正 确
的有 ( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=
cosωx-1(ω>0)在 区 间 [0,2π]上 有 且 仅 有
3个零点,则ω 的取值范围是 .
【典例突破】
考向1 三角函数的图象
① 与图象变换有关的三角函数问题
② 依据三角函数的图象确定解析式
例1 (1)(2023·全国甲卷·理科)函数
y=f(x)的图象由函数y=cos2x+
π 6 的图
象向左平移
π
6
个单位长度得到,则y=f(x)的
图象与直线y=
1
2
x1
2
的交点个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????(2) (2023· 新 高 考 Ⅱ 卷 )已 知 函 数
f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线y=
1
2
与曲线y=f(x)的两个交点.若 AB=
π
6
,则
f(π)= .
【点评】
本题主要考查根据图象求出ω 以及函数
f(x)的表达式,从而解出,熟练掌握三角函数
的有关性质,以及特殊角的三角函数值是解题
关键.
对点训练 (1)(2023·天津卷)已知函数
f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为
4,则f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=sin
π
2 x
B.f(x)=cos
π
2 x
C.f(x)=sin
π
4 x
D.f(x)=cos
π
4 x
(2)(2024· 重 庆 三 模 改 编)已 知 函 数
f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2 的 部 分 图 象 如 图 所 示.若 f(θ)=
1
3
,则
f(x)= .
考向2 三角函数的性质
① 性质的判断
② 运用性质确定参数的范围
例2 (1)(2024·浙江金华二模)已知函
数f(x)=sinωx-cosωx+
π 6 (ω>0)在[0,
π]上有且仅有2个零点,则ω 的取值范围是
( )
A. 1,
13
6
?
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??
B.
7
6
,
13
6
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??
C.
7
6
,2
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??
D. 1,
13
6
?
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??
(2)(多选题)(2023·湖北武汉三模)已知
函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<
π
2 .若
f(x)的图象关于点
π
3 ,0 对称,且直线y=1
与函数f(x)的图象的两个交点之间的最短距
离为π,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的 单 调 递 减 区 间 是
π
12
+kπ,
7π
12
+kπ ,k∈Z
C.f(x)的图象关于直线x=-
π
12
对称
D.将f(x)的图象向右平移
π
6
个单位长度
后得到的图象对应的函数为奇函数
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专题一 三角与平面向量??????对点训练 (1)(2023·湖北荆州二模)已
知ω>0,函数f(x)=3sinωx+
π 4 -2在区间
π
2
,π
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上单调递减,则ω 的取值范围是 ( )
A.0,
1 2
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B.(0,2]
C.
1
2
,
3
4
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D.
1
2
,
5
4
?
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??
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??
(2)(多选题)(2023·湖南岳阳市二模)已
知函数f(x)=2sin(2ωx+φ) ω∈N+ ,|φ|<
π
2 的最小正周期 T∈
3π
4
,
3π 2 ,将函数f(x)
的图象向右平移
π
6
个单位长度,所得图象关于
原点对称,则 ( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=-
5π
12
对称
B.函数f(x)在
π
6
,
π 2 上单调递减
C.函数f(x)在 0,
13π 12 上有两个极值点
D.方程f(x)=1在[0,π]上有3个解
考向3 与三角函数最值(值域)有关的综
合问题
例3 (2023· 山东菏泽二模)已知函数
f(x)= 3sinωx -cosωx (ω >0)在 区 间
-
2π
5
,
3π
4
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上单调递增,且在区间[0,π]上只取
得一次最大值,则ω 的取值范围是 ( )
A.
2
3
,
8
3
?
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B.
2
3
,
5
6
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C.
2
3
,
8
9
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D.
5
6
,
8
9
?
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??
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??
对点训练 (2024·新高考天津卷)已知
函数f(x)=sin3ωx+
π 3 (ω>0)的最小正周
期为π,则函数在 -
π
12
,
π
6
?
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??
?
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??
的最小值是 ( )
A.-
3
2
B.-
3
2
C.0 D.
3
2
【课后巩固】
1.(2024· 山 东 青 岛 市 三 模)为 了 得 到
y=sin2x+cos2x 的图象,只要把y= 2cos2x
的图象上所有的点 ( )
A.向右平行移动
π
8
个单位长度
B.向左平行移动
π
8
个单位长度
C.向右平行移动
π
4
个单位长度
D.向左平行移动
π
4
个单位长度
2.(2024· 江 苏 宿 迁 市 三 模)已 知 函 数
f(x)=cosx+cosxπ 3 +1,则下列结论正
确的是 ( )
A. -
π
2
,
π
4
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??
是f(x)的一个单调增区间
B. -
π
3 ,0 是f(x)的一个对称中心
C.f(x)在 -
2π
3
,0
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上值域为 -
1
2
,
5
2
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D.将f(x)的图象向右平移
5π
6
个单位长
度,再向下平移一个单位长度后所得图象的函
数解析式为y= 3cosx
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
3.(2023· 浙 江 金 华 市 二 模)已 知 函 数
f(x)=sinωx-cosωx+
π 6 (ω>0)在[0,π]上
有且仅有2个零点,则ω 的取值范围是 ( )
A. 1,
13
6
?
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??
B.
7
6
,
13
6
?
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??
C.
7
6
,2
?
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??
D. 1,
13
6
?
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??
4.(2024·河北石家庄市三模)已知函数
f(x)=sinωx-cosωx(ω>0,x∈R)在 区 间
π
2
,
3π 2 内没有零点,则f(x)周期的最小值是
( )
A.12π B.2π C.
12π
5
D.4π
5.(2024· 湖 北 十 堰 市 三 模)已 知 函 数
f(x)=sin2xπ 6 ,则 ( )
A.函数f(x)的图象关于点
5π
12 ,0 中心
对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=-
π
6
对称
C.函数f(x)在区间(-π,π)内有4个零点
D.函数f(x)在区间 -
π
2
,0
?
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??
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??
上单调递增
6.(多选题)(2023·山东淄博二模)已知
函数 f(x)=Asin(ωx +φ) A >0,ω >0,
-
π
2
<φ<
π
2 的部分图象如图所示,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.当x∈ -
π
4
,
π
4
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??
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??
时,f(x)的最大值为 3
C.函数f(x)的图象关于点
7π
6 ,0 对称
D.曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为
y=2 3x+1
7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sinx3cosx 在[0,π]上的最大值是 .
8.(2024· 河 北 衡 水 市 一 模 )将 函 数
f(x)=sinωx+
π 3 (ω>0)的图象向左平移
π
2
个单位长度后得到曲线 C,若 C 关于y 轴对
称,则ω 的最小值是 .
9.(2023· 山 东 青 岛 市 二 模)已 知 函 数
f(x)=2cos
2ωx+sin2ωx(ω>0),x1,x2 是
f(x)的 两 个 相 邻 极 值 点,且 满 足|x1 -
x2|=π.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)若f(α)=
1
3
,求sin2α.
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专题一 三角与平面向量??????
10.(2023·广东深圳市三模)在① x=
π
6
是函数f(x)图象的一条对称轴;②
π
12
是函数
f(x)的一个零点;③ 函数f(x)在[a,b]上单
调递增,且b-a 的最大值为
π
2
.这三个条件中
任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数f(x)=2sinωxcosωxπ 6 -
1
2
(0<ω<2), ,求f(x)在 -
π
2
,
π
2
?
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??
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??
上
的单调递减区间.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一
个解答计分.
11.(2023· 山 东 济 宁 二 模)已 知 函 数
f(x)=cos
4x-sin
4x+sin2xπ 6 .
(1)求函数f(x)在 0,
π
2
?
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??
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??
上的单调递增
区间.
(2)将 函 数 f(x)的 图 象 向 左 平 移 φ
0<φ<
π 4 个单位长度后得到函数g(x)的图
象.若函数g(x)的图象关于点
π
3 ,0 成中心对
称,且在 -
π
4
,α
?
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??
?
?
??
上的值域为 -
1
2
,1
?
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??
,求α 的
取值范围.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
第2讲 三角恒等变换与解三角形
第1课时 三角恒等变换及三角形背景下的求值与最值问题
【考情回顾】
考点 近3年考题 考情分析
三 角
恒 等
变
2023· 新
高 考 Ⅰ
卷,8
2024· 新
高 考 Ⅰ
卷,4
2022· 新
高 考 Ⅱ
卷,6
2023· 新
高 考 Ⅱ
卷,7
2024· 新
高 考 Ⅱ
卷,13
高考对三角函数的考查:基础方
面是掌握三角函数的定义、同角
三角函数关系式和诱导公式.重
点是三 角 恒 等 变 换 和 三 角 函 数
的图象与性质.三角恒等变换位
于三角 函 数 与 数 学 变 换 的 结 合
点上,高考会侧重综合推理能力
和运算能力的考查,体现三角恒
等变换的工具性作用,以及会有
一些它们在数学中的应用.化简
与求值是新高考的的热点内容,
其中关键是利用两角和与差、二
倍角的 正 弦、余 弦、正 切 公 式 等
进行恒等变换,“角”的变换是三
角恒等变换的核心.应提高运用
联系转 化 的 观 点 去 处 理 问 题 的
自觉 性,体 会 一 般 与 特 殊 的 思
想、换元 的 思 想、方 程 的 思 想 等
数学思 想 在 三 角 恒 等 变 换 中 的
作用.
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了
三角函数的图象与性质及三角恒等变换.其中
Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差
的公式,属于常规题型,难度中等.
【真题热身】
1.(2024 · 全 国 甲 卷 · 数 学 )已 知
cosα
cosα-sinα
= 3,则tanα+
π 4 = ( )
A.2 3+1 B.2 3-1
C.
3
2
D.1- 3
2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α 为第一象
限 角,β 为 第 三 象 限 角,tanα +tanβ =4,
tanαtanβ= 2+1,则sin(α+β)= .
3.(2023· 新 高 考 Ⅰ 卷)已 知 在 △ABC
中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.
(1)求sinA;
(2)设AB=5,求AB 边上的高.
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专题一 三角与平面向量??????
【典例突破】
考向1 三角恒等变换之变“角”“名”“式”
例1 (1)(2024·安徽合肥市三模)已知
2sin=1+2 3cosα,则sin2απ 6 = ( )
A.-
1
8
B.-
7
8
C.
3
4
D.
7
8
(2) (2023· 湖 南 湘 潭 市 二 模 )已 知
tanα=- 3,则cos2α+
π 3 = ( )
A.-
3
2
B.-1
C.
1
2
D.
3
2
对点训练 (1)(2024·河北石家庄市三
模)已知角α,β满足tanα=
1
3
,2sinβ=cos(α+
β)sinα,则tanβ= ( )
A.
1
3
B.
1
6
C.
1
7
D.2
(2)(2024· 浙 江 三 模)若 sin(α-β)+
cos(α-β)=2 2sinαπ 4 sinβ,则 ( )
A.tan(α-β)=-1
B.tan(α-β)=1
C.tan(α+β)=-1
D.tan(α+β)=1
考向2 与三角恒等变换有关的解三角形
问题
例 2 (2023· 山 东 日 照 市 三 模)已 知
△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且
2ccosA=acosB+bcosA.
(1)求角A;
(2)若 △ABC 的 周 长 为 3 3,且 △ABC
外接圆的半径为1,求△ABC 的面积.
对点 训 练 (2023· 广 东 茂 名 二 模)在
△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,
且满足tanB=
sinC+
π 3
sinCπ 6
.
(1)求A 的大小;
(2)若 D 为 边 BC 上 一 点,且 2CD =
AD=BD,试判断△ABC 的形状.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????例3 (2024· 新高考天津卷)在 △ABC
中,cosB=
9
16
,b=5,
a
c
=
2
3
.求:
(1)a;
(2)sinA;
(3)cos(B-2A).
对点 训 练 (2024· 山 东 青 岛 三 模)记
△ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c.
已知△ABC 的外接圆半径R=2 2,且tanB+
tanC=
2sinA
cosC
.求:
(1)B 和b 的值;
(2)AC 边上高的最大值.
【课后巩固】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α 为锐角,且
cosα=
1+ 5
4
,则sin
α
2
= ( )
A.
3- 5
8
B.
-1+ 5
8
C.
3- 5
4
D.
-1+ 5
4
2.(2024· 江 苏 南 通 市 三 模)已 知 cos
π
4 -θ =3cosθ+
π 4 ,则sin2θ= ( )
A.
3
5
B.
4
5
C.-
3
5
D.-
4
5
3. (2023 · 广 东 潮 州 市 二 模 )若
3sinα+2cosα
2sinα-cosα
=
8
3
,则tanα+
π 4 = ( )
A.-3 B.3
C.-2 D.2
4.(2024·重庆三模)已知α∈ 0,
π 3 ,且
2sin2α=4cosα-3cos
3α,则cos2α= ( )
A.
2
9
B.
1
3
C.
7
9
D.
2 2
3
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专题一 三角与平面向量??????
5.(多选题)(2024·广东深圳三模)已知
锐角三角形 ABC 的三个内角A,B,C 的对边
分别是a,b,c,且 △ABC 的 面 积 为
3
4
(a
2 +
c
2-b
2),则下列说法正确的是 ( )
A.B=
π
3
B.A 的取值范围是
π
6
,
π 2
C.若b= 3,则△ABC 的外接圆的半径
为2
D.若a= 3,则△ABC 的面积的取值范
围是 3 3
8
,
3 3 2
6.(多选题)(2023·河北石家庄市三模)
若△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,
b,c,且满足b+2acosC=0,则下列结论正确的
是 ( )
A.角C 一定为锐角
B.a
2+2b
2-c
2=0
C.3tanA+tanC=0
D.tanB 的最小值为
3
3
7.(2024·福建漳州市三模)已知cos(αβ)=
1
2
,sinαsinβ=
1
3
,则 cos(2α +2β)=
.
8.(2024· 湖 北 武 汉 市 二 模)在 △ABC
中,角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c.若
bsin
A+B
2
= csinB,则 角 C 的 大 小 为
.
9.(2023·天津卷改编)在△ABC 中,角
A,B,C 所对的边分別是a,b,c.已知a= 39,
b=2,∠A=120°.求:
(1)sinB 的值;
(2)sin(B-C)的值.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
10.(2024·广东潮州二模)在锐角三角形
ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已
知 3tanAtanC=tanA+tanC+ 3.求:
(1)角B 的大小;
(2)cosA+cosC 的取值范围.
11.(2023·山东济宁市三模)已知锐角三
角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,
c,且
2b-c
cos(A+B)=
a
cos(B+C).
(1)求角A 的大小;
(2)若a=6,求b+c的取值范围.
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专题一 三角与平面向量??????
第2课时 正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用
【考情回顾】
考点 近3年考题 考情分析
正余弦定理
解 三 角 形、
三角形面积
公式
2024 新 高
考Ⅰ卷·15
2022 新 高
考Ⅱ卷·18
2024 新 高
考Ⅱ卷·15
解 三 角 形
结 合 基 本
不等式
2022 新 高
考Ⅰ卷·18
解三角形结
合三角形的
中线问题
2023 新 高
考Ⅱ卷·17
解三角形结
合三角形的
垂线问题
2023 新 高
考Ⅰ卷·17
高考 对 解 三 角 形 的 考
查,重点是掌握正弦定
理、余 弦 定 理 及 其 变
形.能 利 用 正 弦 定 理、
余弦 定 理 解 决 一 些 简
单的三角形度量问题.
能够运用正弦定理、余
弦定 理 等 知 识 和 方 法
解决 一 些 与 测 量 和 几
何计 算 有 关 的 实 际 问
题.命 题 较 为 灵 活,题
型多变,往往以小题的
形式 独 立 考 查 正 弦 定
理或余弦定理,以解答
题的 形 式 综 合 考 查 定
理 的 综 合 应 用,难 度
中等.
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查了解
三角形,主要知识点就是使用正余弦定理及其
变形来解三角形,其中也蕴含了三角函数的知
识,例如辅助角公式等,难度中等.
【真题热身】
1.(2024·全国甲卷·数学)在△ABC 中
内角A,B,C 所对边分别为a,b,c.若 B=
π
3
,
b
2=
9
4
ac,则sinA+sinC= ( )
A.
3
2
B.2
C.
7
2
D.
3
2
2.(2023· 全 国 甲 卷 · 理 科)在 △ABC
中,∠BAC=60°,AB=2,BC= 6,∠BAC 的
平分线交BC 于点D,则AD= .
3.(2024·新课标全国Ⅰ卷)记△ABC 内
角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sinC=
2cosB,a
2+b
2-c
2= 2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC 的面积为3+ 3,求c.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
【典例突破】
考向1 解三角形中的基本问题(含四边
形载体)
例1 (1)(2023· 全国乙卷)在 △ABC
中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
① 求sin∠ABC 的值;
② 若 D 为BC 上一点,且 ∠BAD =90°,
求△ADC 的面积.
(2)(2023· 山 东 聊 城 一 模)在 四 边 形
ABCD 中,AB∥CD.
① 证 明:AD · sin ∠BAD = BC ·
sin∠BCD;
② 若AD=1,AB=3,BC= 3,∠BAD=
2∠BCD,求△BCD 外接圆的面积.
对点 训 练 (2023· 山 东 潍 坊 一 模)在
①tanAtanC- 3tanA=1+ 3tanC;② (2c3a)cosB = 3bcosA;③ (a- 3c)sinA +
csinC=bsinB.这三个条件中任选一个,补充
在下面问题中并作答.
问题:在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边
分别为a,b,c,且 .
(1)求角B 的大小;
(2)已知c=b+1,且角A 有两解,求b 的
取值范围.
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专题一 三角与平面向量??????考向2 解三角形的实际应用
① 与数学文化有关的测量问题
② 生活中的实际应用问题
例2 (1)(2023·南通二模)古代数学家
刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学
著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘
徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知
A 是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),
地面上 B,C 两点与点A 在同一条直线上,且
在点A 的同侧.若在 B,C 处分别测得球体建
筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100m,则
该球体建筑物的高度约为(参考数据:cos10°≈
0.985) ( )
A.49.25m
B.50.76m
C.56.74m
D.58.60m
(2)(2023·山东青岛一模)湿地公园是国
家湿地保护体系的重要组成部分,某市计划在
如图所示的四边形 ABCD 区域建一处湿地公
园.已知∠DAB=90°,∠DBA=45°,∠BAC=
30°,∠DBC =60°,AB =2 2千 米,则 CD =
千米.
对点训练 (2023·河北衡水二模)如图,
一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到
A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的
方向上,行驶600m 后到达 B 处,测得此山顶
在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的
高度CD= m.
考向3 解三角形中的综合问题(涉及“三
线”问题)
① (抽象)边角关系中的求值问题
② (抽象)边角关系中与最值(范围)有关
的综合问题
例3 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC 的
内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知
△ABC 的 面 积 为 3,D 为 边 BC 的 中 点,且
AD=1.
(1)若∠ADC=
π
3
,求tanB 的值;
(2)若b
2+c
2=8,求b,c的长.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????例4 (2024·湖南长沙市三模)记△ABC
的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=
2,b=4.
(1)若cosB+2cosA=ccosC,求C 的值;
(2)若 D 是边AB 上的一点,且CD 平分
∠ACB,cos∠ACB=-
1
9
,求CD 的长.
对点训练 (2023·山东青岛市三模)记
△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
已知2csinB=(2a-c)tanC.
(1)求角B;
(2)若c=3a,D 为AC 中点,BD= 13,
求△ABC 的周长.
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第22页
专题一 三角与平面向量??????
【课后巩固】
1.(2023·北京卷)在△ABC 中,(a+c)
(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则∠C=
( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
2.(2024·河北秦皇岛市二模)在△ABC
中,内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为a,b,c.若
cosA
a
+
cosB
b
=
sinC
c
,13b
2 +13c
2 =10bc+
13a
2,则tanB 的值为 ( )
A.
7
12
B.
3
4
C.
12
7
D.
4
3
3.(2023·全国乙卷)在△ABC 中,内角
A,B,C 的 对 边 分 别 是a,b,c.若 acosB -
bcosA=c,且C=
π
5
,则B= ( )
A.
π
10
B.
π
5
C.
3π
10
D.
2π
5
4.(2023·苏锡常镇一模)在△ABC 中,
∠BAC=
2π
3
,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点
D,△ABD 的面积是 △ADC 面积的 3 倍,则
tanB= ( )
A.
3
7
B.
3
5
C.
3 3
5
D.
6- 3
33
5.(多选题)(2024·河北唐山市三模)已
知△ABC 内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,
A=2B,则 ( )
A.a
2=c(b+c)
B.
b
c
+
a
2
b
2 的最小值为3
C.若△ABC 为锐角三角形,则
c
b
∈(1,2)
D.若a=2 6,b=3,则c=5
6.(多选题)(2023·湖南衡阳市一模)在
△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,
则 ( )
A.
a
sinA
=
b+c
sinB+sinC
B.若acosB=bcosA,则a=b
C.若sin2A=sin2B,则△ABC 是等腰三
角形
D. 若 △ABC 为 锐 角 三 角 形,则
sinB>cosC
7.在 △ABC 中,已 知 B =120°,AC =
19,AB=2,则BC= .
8.(2024·湖南长沙市三模)已知△ABC
的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,C=60°,
c=7.若a-b=3,D 为 AB 中 点,则 CD =
.
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第23页
江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
9.(2023· 全 国 甲 卷)记 △ABC 的 内 角
A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知
b
2+c
2-a
2
cosA
=2.
(1)求bc的值;
(2)若
acosB-bcosA
acosB+bcosA
-
b
c
=1,求△ABC
面积.
10.(2024· 新课标全国 Ⅱ 卷)记 △ABC
的内角 A,B,C 的 对 边 分 别 为a,b,c,已 知
sinA+ 3cosA=2.
(1)求 A.
(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC
的周长.
11.(2023·山东菏泽市一模)如图,在平
面四 边 形 ABCD 中,∠ABC=θ(0<θ<π),
AB=BC=CD=1,AC⊥CD.
(1)试用θ表示BD 的长;
(2)求AC
2+BD
2 的最大值.
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第24页
专题一 三角与平面向量??????
第3讲 平面向量
【考情回顾】
考点 近3年考题 考情分析
平面向量的
线性运算
2022· 新高
考Ⅰ卷,3
平 面 向 量
垂 直 的 坐
标运算
2023· 新高
考Ⅰ卷,3
2024· 新高
考Ⅰ卷,3
平 面 向 量
夹 角 的 坐
标运算
2022· 新高
考Ⅱ卷,4
平 面 向 量
数 量 积 的
综合运算
2023· 新高
考Ⅱ卷,13
2024· 新高
考Ⅱ卷,3
高考 对 平 面 向 量 的 考
查,一般为平面向量基
本定 理、坐 标 运 算、数
量积 的 运 算、化 简、证
明及 数 量 积 的 应 用 问
题,如 平 行、垂 直、距
离、夹 角 等 问 题 的 计
算,难 度 一 般 不 大.在
解答 题 中 常 与 三 角 函
数、圆锥曲线问题相结
合,主要以条件的形式
出 现,或 作 为 解 决 角
(特别 是 垂 直)与 定 比
分点等的工具.
2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到
了平面向量的垂直运算,Ⅱ卷还结合了数量积
的综合运算.总体上来说,平面向量知识点的
考查难度依旧是较易的,掌握基本的知识点和
拥有基本的运算能力即可.
【真题热身】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,
1),b=(2,x).若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,
1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则
( )
A.λ+μ=1
B.λ+μ=-1
C.λμ=1
D.λμ=-1
3.(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知 O
为坐 标 原 点,点 P1 (cosα,sinα),P2(cosβ,
-sinβ),P3 (cos(α+β),sin(α+β)),A (1,
0),则 ( )
A.|OP1
→|=|OP2
→|
B.|AP1
→|=|AP2
→|
C.OA
→·OP3
→=OP1
→·OP2
→
D.OA
→·OP1
→=OP2
→·OP3
→
4.(2024·新高考天津卷)在边长为1的
正方形 ABCD 中,点 E 为线段CD 的三等分
点,CE=
1
2
DE,BE
→=λBA
→+μBC
→,则λ+μ=
;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF
中点,则AF
→·DG
→的最小值为 .
【典例突破】
考向1 线性运算及基本定理
例1 (1)(2023·江苏南通二模)在平行
四边形ABCD 中,BE
→=
1
2
BC
→,AF
→=
1
3
AE
→.若
AB
→=mDF
→+nAE
→,则 m+n= ( )
A.
1
2
B.
3
4
C.
5
6
D.
4
3
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第25页
江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????(2)(2023·全国甲卷·理科)向量a,b,c
满足|a|=|b|=-1,|c|= 2,且a+b+c=
0,则cos<a-c,b-c>= ( )
A.-
1
5
B.-
2
5
C.
2
5
D.
4
5
对点训练 (2023·广东深圳三模)已知
等边三角形 ABC 的边长为 2,D 为BC 的中
点,P 为线段AD 上一点,PE⊥AC,垂足为E,
则当PB
→·PC
→=-
2
3
时,PE
→= ( )
A.-
1
3
AB
→+
2
3
AC
→
B.-
1
3
AB
→+
1
6
AC
→
C.-
1
6
AB
→+
1
3
AC
→
D.-
2
3
AB
→+
1
3
AC
→
考向2 数量积(含投影向量、平行与垂直
等,涉及投影法、极化恒等式等)
例 2 (1)(2023· 全 国 乙 卷)正 方 形
ABCD 的 边 长 是 2,E 是 边 AB 的 中 点,则
EC
→·ED
→= ( )
A.5 B.3
C.2 5 D.5
(2)(2024·山东枣庄市一模)如图,已知
正方形ABCD 的边长为4,若动点 P 在以AB
为直径 的 半 圆 上 (正 方 形 ABCD 内 部,含 边
界),则PC
→·PD
→的取值范围是 ( )
A.(0,16]
B.[0,16]
C.(0,4)
D.[0,4]
(3)(2024·福建宁德市三模)已知e1,e2
是两个单位向量,若e1 在e2 上的投影向量为
1
2
e2,则e1 与e1-e2 的夹角为 .
对点训练 (1)(2023·山东泰安二模)已
知非零向量a,b 满足(a+2b)⊥(a-2b),且向
量b 在向量a 方向上的投影向量是
1
4
a,则向量
a 与b 的夹角是 ( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
2
D.
2π
3
(2)(2023·湖南怀化一模)如图放置的边
长为 1 的 正 方 形 ABCD,顶 点 A,D 分 别 在
x 轴、y 轴 正 半 轴 (含 坐 标 原 点)上 滑 动,则
OB
→·OC
→的最大值为 .
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第26页
专题一 三角与平面向量??????考向3 与三角等交汇的向量综合问题
① 与三角恒等变换交汇
② 与解三角形交汇
③ 与三角函数交汇
例3 (2023· 福建南平一模)在 △ABC
中,角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c,若
sinB
sinA+sinC
+
sinC
sinA+sinB
=1.
(1)求角A 的大小;
(2)若 D 是 边 BC 上 的 一 点,且 AD
→ =
1
3
AB
→+
2
3
AC
→,AD =2,求△ABC 的面积的最
大值.
对点 训 练 (2023· 湖 北 荆 州 二 模)在
△ABC 中,若 BC
→·BA
→+2AC
→·AB
→=CA
→·
CB
→,则
sinA
sinC
= .
【课后巩固】
1.(2024·河北保定市三模)已知平面向
量a,b,满足a=(2cosθ,2sinθ)(θ∈R),|b|=
10,a 与b 的夹角为120°,则b 在a 方向上的投
影向量为 ( )
A.-
3
2
a
B.-
5 3
2
a
C.-
5
2
a
D.与θ有关
2.(2024·全国甲卷)已知向量a=(x+
1,x),b=(x,2),则 ( )
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D.“x=-1+ 3”是“a∥b”的充分条件
3.(2023·湖北宜昌二模)在△ABC 中,
AB
→·AC
→=4,|BC
→|=2,且 点 D 满 足BD
→ =
DC
→,则 AD
→ = ( )
A.5 B.6
C.3 D.
3
2
4.(2023· 全国甲卷)已知向量a=(3,
1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>= ( )
A.
1
17
B.
17
17
C.
5
5
D.
2 5
5
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
5.(多选题)(2023·山东济南市三模)在
△ABC 中,M 是BC 的中点.若 AB
→=a,AC
→=
b,则|AM
→|= ( )
A.
1
2
|a-b|
B.
1
2
|a+b|
C.
1
2
2(a
2+b
2)-(a-b)2
D.
1
2
a
2+b
2
6.(多选题)(2023·湖北黄石一模)已知
O 是边长为2的等边三角形ABC 的中心,则
( )
A.|AB
→+BC
→+CA
→|=6
B.AB
→·AC
→=2
C.|OA
→+OB
→+OC
→|=0
D.3AO
→·OB
→=2
7.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b 满
足|a-b|= 3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=
.
8.(2024·天津红桥区二模)太极图被称
为“中华第一图”,其形状如阴阳两鱼互抱在一
起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的
图形是由半径为2的大圆 O 和两个对称的半
圆弧组成的,线段 MN 过点O 且两端点 M,N
分别在两个半圆上,点 P 是大圆上一动点,令
PM
→=a,PN
→=b.若 PO
→=λ1a+λ2b,则λ1 =
;a·b 的最小值为 .
9.(2023· 天 津 卷 改 编)在 △ABC 中,
∠A=60°,BC=1,点 D 为AB 的中点,点 E
为CD 的中点.
(1)设 AB
→ =a,AC
→ =b,试 用 a,b 表
示AE
→;
(2)若 BF
→ =
1
3
BC
→,求 AE
→ ·AF
→的 最
大值.
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第28页
专题一 三角与平面向量??????
10.(2023· 山 东 济 南 市 三 模 改 编)在
△ABC 中,若|AB
→+AC
→|=2,|BC
→+BA
→|=3,
求△ABC 面积的最大值.
11.(2023·山东潍坊市二模)在平面四边
形ABCD 中,∠BAD=
π
2
,∠ACD=
π
3
,AD=
3,S 为 △ABC 的 面 积, 且 2S =
- 3BA
→·BC
→.
(1)求角B 的大小;
(2)若cosD=
1
2
,求四边形ABCD 的周长.
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第29页
江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
专题二 数 列
第4讲 等差数列、等比数列
【考情回顾】
考点 近3年考题 考情分析
等差、等
比 数 列
基 本 量
的计算
2024· 新 高
考Ⅱ卷,12
2023· 新 高
考Ⅰ卷,20
2022· 新 高
考Ⅱ卷,17
等 比 数
列 的 证
明、数列
结 合 解
析几何
2024· 新 高
考Ⅱ卷,19
累 乘 法
求 通 项
公式、裂
项 相 消
法求和
2022· 新 高
考Ⅰ卷,17
含 奇 偶
项 的 分
组求和
2023· 新 高
考Ⅱ卷,18
高考对数列的考查:
① 数列自身内部问题的
综合考查,如数列的递推
公式、等 差、等 比 数 列 的
性质、通项公式及前n 项
和公式、数列求和等;
② 构 造 新 数 列 求 通 项、
求和,如 “归 纳、累 加、累
乘,分组、错位相减、倒序
相加、裂项、并项求和”等
方法的应用与创新;
③ 综合性问题如与不等
式、函数等其他知识的交
汇问题,与数列有关的数
学文化问题及与实际生
活相关的应用问题以及
结构不良问题.数列命题
形式 多 种 多 样,单 选 题、
多选题、填空题、解答题4
类题型均有.小题难度中
等或较难.
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了数列的新
定义问 题,Ⅱ 卷 考 查 了 等 差 数 列 基 本 量 的 计
算,体现在填空第一题中,难度较易.大题中考
查了等比数列的证明,但是是结合双曲线考查
的,难度较难.
【真题热身】
1.(2024· 全 国 甲 卷 · 数 学)等 差 数 列
{an}的前n 项和为Sn.若S5=S10,a5=1,则
a1= ( )
A.-2 B.
7
3
C.1 D.2
2.(2023·天津卷)已知{an}为等比数列,
Sn 为数列{an}的前n 项和,an+1=2Sn +2,则
a4 的值为 ( )
A.3 B.18 C.54 D.152
3.(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn 为数列{an}
的 前 n 项 和,设 甲:{an }为 等 差 数 列;乙:
Sn n 为等差数列,则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.(2024·上海三模)已知两个等差数列
2,6,10,…,202和2,8,14,…,200,将这两个等
差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个
新 数 列,则 这 个 新 数 列 的 各 项 之 和 为
.
【典例突破】
考向1 等差(比)数列的判断与证明
例1 (1)(多选题)(2023·安徽蚌埠三
模)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,等比
数列{bn}的前n 项积为Tn,则下列结论正确
的是 ( )
A.数列
Sn n 是等差数列
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— 22 —
第30页
专题二 数 列????
B.数列{S2n+2-S2n}是等差数列
C.数列
T2n+2 T2n 是等比数列
D.数列{lgTn}是等差数列
(2)(2024·全国甲卷改编)已知等比数列
{an}的前n 项和为Sn,且2Sn =3an+1-3,则
{an}的通项公式an= ;数列{Sn}的前
n 项和为Tn= .
对点训练 (2023·湖北武汉市二模)设
数列 {an }的 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn +an =
n-1
n
2+n
,n∈N
* .证明:数列 Sn1 n+1 为等比
数列.
考向2 基本量的运算
例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn 为
等比数列{an}的前n 项和.若S4=-5,S6=
21S2,则S8= ( )
A.120 B.85
C.-85 D.-120
【总结】
本题主要考查等比数列的前n 项和公式
的应用,以及整体思想的应用,解题关键是把
握S4,S8 的关系,从而减少相关量的求解,简
化运算.
(2)(2024·重庆九龙坡区三模)已知Sn
是等差数列{an}的前n 项和,S5=a11=20,数
列{bn}是公比大于1的等比数列,且b
2
3=b6,
b4-b2=12.
① 求数列{an}和{bn}的通项公式;
② 设cn =
Sn
bn
,求 使cn 取 得 最 大 值 时n
的值.
对点训练 (2023·全国乙卷改编)记Sn
为等差数列{an}的前n 项和,若a2=11,S10=
40,则{an}的通项公式为 ,
数列{|an|}的前n 项和Tn= .
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????考向3 性质及应用
例3 (2023· 新高考 Ⅰ 卷)设等差数列
{an}的公差为 d,且 d>1.令bn =
n
2+n
an
,记
Sn,Tn 分别为数列{an},{bn}的前n 项和.
(1)若 3a2 =3a1 +a3,S3 +T3 =21,求
{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,
求d.
对点训练 (2024·浙江杭州市三模)已
知等差数列{an}的前n 项和为Sn,“a2024=0”
是“Sn=S4047-n(n<4047,n∈N
* )”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
考向4 函数属性
例4 (2024·山东泰安市二模)已知数列
{an}的通项公式为an =
9
2n-7
(n∈N
* ),前n
项和为Sn,则下列说法正确的是 ( )
A.数列{an}有最大项a4
B.使得an∈Z的项共有4项
C.满足anan+1an+2<0的n 值共有2个
D.使得Sn 取得最小值的n 值为4
【课后巩固】
1.(2023·全国甲卷)记 Sn 为等差数列
{an}的前n 项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则
S5= ( )
A.25 B.22 C.20 D.15
2.(2023·福建漳州三模)已知数列{an}
为递减的等比数列,n∈N
* ,且a2a7=32,a3+
a6=18,则{an}的公比为 ( )
A.
1
2
B.
1 2
3
5
C.2
3
5 D.2
3.(2024·湖南永州市三模)已知非零数
列{an}满足2
nan+1-2
n+2an=0,则
a2024
a2021
=
( )
A.8 B.16 C.32 D.64
4.(2024·广东汕头市三模)已知等差数
列{an}的前n 项和为Sn,a2=3,a2n=2an+1.
若Sn+an+1=100,则n= ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.(多选题)(2024·山东临沂市二模)已
知{an}是等差数列,Sn 是其前n 项和,则
( )
A.若a3 +a4 =9,a7 +a8 =18,则a1 +
a2=5
B.若a2+a13=4,则S14=28
C.若S15<0,则S7>S8
D.若{an}和{an ·an+1}都为递增数列,
则an>0
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专题二 数 列????
6.(多选题)(2024·湖南岳阳市一模)设
Sn 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的
前n 项和,则 ( )
A.若d<0,则S1 是数列{Sn}的最大项
B.若数列{Sn}有最小项,则d>0
C.若数列{Sn}是递减数列,则对任意的:
n∈N
* ,均有Sn<0
D.若对任意的n∈N
* ,均有Sn >0,则数
列{Sn}是递增数列
7.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn 为等差数列
{an}的前n 项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,
则S10= .
8.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数
列,a2a4a5 =a3a6,a9a10 = - 8,则 a7 =
.
9.(2024·广东韶关市三模)数列{an}的
前n 项和为Sn.已知
2Sn
n
+n=2an+1.
(1)证明:数列{an}为等差数列;
(2)若a4,a7,a9 成等比数列,求Sn 的最
小值.
10.(2024·河北邯郸市三模)设数列{an}
的前n 项和为Sn,已知S2=17,
Sn 5n+7 是公
差为
1
2
的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
anan+1
,求数列{bn}的前n 项
和Tn.
11.(2024· 河北唐山市一 模)已 知 数 列
{an}是 正 项 等 比 数 列,其 前n 项 和 为Sn,且
a2a4=16,S5=S3+24.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an +log2an}的前n 项和为Tn,求
满足Tn<2024的最大整数n.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
第5讲 数列的通项与求和
【考情回顾】
考点 近3年考题 考情分析
等 差、等
比 数 列
基 本 量
的计算
2024·新高
考Ⅱ卷,12
2023·新高
考Ⅰ卷,20
2022·新高
考Ⅱ卷,17
等 比 数
列 的 证
明、数 列
结 合 解
析几何
2024 · 新
高 考 Ⅱ
卷,19
累 乘 法
求 通 项
公 式、裂
项 相 消
法求和
2022 · 新
高 考 Ⅰ
卷,17
含 奇 偶
项 的 分
组求和
2023 · 新
高 考 Ⅱ
卷,18
高考对数列的考查:
① 数 列 自 身 内 部 问 题 的
综合考查,如数列的递 推
公式、等差、等比数列的性
质、通项公式及前n 项和
公式、数列求和等;
② 构造新数列求通项、求
和,如 “归 纳、累 加、累 乘,
分组、错 位 相 减、倒 序 相
加、裂项、并项求和”等 方
法的应用与创新;
③ 综 合 性 问 题 如 与 不 等
式、函数等其他知识的 交
汇问题,与数列有关的 数
学文化问题及与实际生活
相关的应用问题以及结构
不良问题.数列命题形 式
多种 多 样,单 选 题、多 选
题、填空题、解答题4类题
型均有.小题难度中等 或
较难.
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了数列的新
定义问 题,Ⅱ 卷 考 查 了 等 差 数 列 基 本 量 的 计
算,体现在填空第一题中,难度较易.大题中考
查了等比数列的证明,但是是结合双曲线考查
的,难度较难.
【真题热身】
1.(2023·全国甲卷)设Sn 为数列{an}的
前n 项和,已知a2=1,2Sn=nan.求:
(1){an}的通项公式;
(2)数列
an+1
2 n 的前n 项和Tn.
2.(2023·四省适应性测试)记数列{an}
的前n 项和为Tn,且a1=1,an=Tn-1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 m 为整数,且对任意n∈N
* ,m ≥
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
,求 m 的最小值.
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专题二 数 列????
【典例突破】
考向1 和、项关系的转化
例1 (2024·湖北武汉市二模)已知各项
均不 为 0 的 数 列 {an}的 前 n 项 和 为Sn,且
a1=1,Sn=
anan+1+1
4
.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对于任意n∈N
* ,2
n ·λ≥Sn 成立,
求实数λ 的取值范围.
对点训练 (2024·江苏南通市二模)已
知数 列 {an }的 前 n 项 和 为 Sn,Sn =an -
4an+1,a1=-1.
(1)证明:数列{2an+1-an}为等比数列;
(2)设bn =
an+4
n(n+1)
,求数列{bn}的前n
项和;
(3)是否存在正整数p,q(p<6<q),使
得Sp,S6,Sq 成等差数列? 若存在,求p,q;若
不存在,请说明理由.
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????考向2 常见的数列求和方法
例2 (2024·浙江绍兴市三模)已知数列
{an}的 前n 项 和 为Sn,且a1 =2,Sn =
n
n+2
an+1.求:
(1)Sn;
(2)数列{Sn}的前n 项和Tn.
例3 (2024·福建莆田市二模)已知等差
数列{an}的前n 项和为Sn,公差d≠0,且a2,
a4,a8 成等比数列,S5=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn =
an, n 为奇数,
2 n , n 为偶数,
求数列{bn}
的前2n 项和T2n.
对点训练 (2024·福建福州市三模)记
Sn 是公差不为0的等差数列{an}的前n 项和,
若a4=a
2
1,S4=3S2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设b1=
1
2
,(bn +bn+1)Sn =2,求数列
{bn}的前2n+1项的和T2n+1.
考向3 常见的数列不等式证明
例4 (2024·河北保定市三模)已知数列
{bn}的 前n 项 和 为Sn,且 3b1 +3
2b2 + … +
3
nbn=Sn+n
2.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)证明:Sn<
4
3
.
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专题二 数 列????对点训练 (2024·福建漳州市一模)已
知正 项 数 列 {an }的 前 n 项 和 为Sn,且 满 足
Sn=
a
2
n+4
2an
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn =
36
(S
2
n-6)2,Tn 为数列{bn}的
前n 项和,证明,Tn<
45
2
.
【课后巩固】
1.(2023·广东揭阳市二模)已知正项等
比数列{an}中,a2=2,a4=8,数列{an +an+3}
的前n 项和为Sn,则S5= ( )
A.288 B.99
C.99或279 D.279
2.(2024·福建厦门市二模)已知正项等
差数列 {an}的 公 差 为 d,前n 项 和 为Sn,且
4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2,则d=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2023·山东济南市一模)在数列{an}
中,a1=3,am+n=am +an(m,n∈N
* ).若a1+
a2+a3+…+ak=135,则k= ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
4.(2024·湖北武汉市二模拟预测)法布
里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用
时,用光波依次透过n 层薄膜,记光波的初始
功率为P0,记Pk 为光波经过第k 层薄膜后的
功率,假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率
Tk=
Pk
Pk-1
=
1
2
k,其中k=1,2,3,…,n,为使得
Pn
P0
≥2
-2024,则n 的最大值为 ( )
A.31 B.32
C.63 D.64
5.(多选题)(2023·河北衡水二模)已知
数列 {an }是 首 项 为
1
2
的 正 项 等 比 数 列.若
2a2+4a3=1,则 ( )
A.a3=2a2
B.数列{an}的前6项和为
63
64
C.数列 log2an 是递减的等差数列
D.若bn =
1
log2anlog2an+1
,则数列{bn}的
前n 项和的最大值为1
6.(多选题)(2023·福建漳州市三模)已
知Sn 为等差数列{an}的前n 项和,且a3=3,
S5+S2=18,bn =
1
a2n-1·a2n+1
,记数列{bn}的
前n 项和为Tn,则 ( )
A.an=n-1
B.Sn=
n(n+1)
2
C.bn=
1
2n-1
-
1
2n+1
D.T10=
10
21
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江海名师零距离·高考二轮总复习·数学基础版???????????
7.(2023· 山 东 淄 博 三 模)在 等 差 数 列
{an}中,a4=5,a7=11,bn =(-1)nan,则数列
{bn}的前101项和S101= .
8.(2024· 广 东 广 州 市 三 模)已 知 数 列
{an}满 足 a1 =1,a2 =1,an+1 =2an +3an-1
(n≥2),数列{an}的前n 项和为Sn,则S2025=
.
9.(2024·全国甲卷)记Sn 为数列{an}的
前n 项和,且4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前
n 项和为Tn.
10.(2024· 山东济南市一 模)已 知 数 列
{an}的前n 项和为Sn,a1=
3
2
且Sn =2an+1-
3,令bn=
n
2+n
an
.
(1)求证:{an}为等比数列;
(2)求使得bn 取得最大值时的n 的值.
11.(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差
数列,bn=
an-6,n 为奇数, 2an, n 为偶数,
记Sn,Tn 分别为
数列{an},{bn}的前n 项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
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