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【详解】解:∵弦 CD⊥AB,AB 过 O,∴AB 平分 CD,∴BC=BD,∴∠ABC=∠ABD,∵BD=1,∴BC=1,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,由勾股定理得:AB= ( )22 2 2 AC BC + = + = 2 2 1 3,∴sin∠ABD=sin∠ABC=2 23ACAB=故选:C.【点睛】本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为 90°、勾股定理和三角函数,解题关键是找出图形中的直角三角形,然后按照三角函数的定义求解4.用一个直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具,不倒翁轴截面如图所示,圆锥的母线AB与O相切于点B,不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色,则涂色部分的面积为( )A. 260cmB.600 213cmC.720 213cmD. 272cm【答案】C【解析】【分析】连接OB,如图,利用切线的性质得OB AB ⊥,在Rt AOB 中利用勾股定理得AB =12,利用面积法求得6013BH =,然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面.【详解】解:连接O... [收起]
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文本内容
第1页
人教版初中数学圆的经典测试题附答案解析
一、选择题
1.已知⊙O 的直径 CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB=8cm,且 AB⊥CD,垂足为 M,则 AC 的
长为( )
A.2
5
cm B.4
5
cm C.2
5
cm 或 4
5
cm D.2
3
cm 或
4
3
cm
【答案】C
【解析】
连接 AC,AO,
∵O 的直径 CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=
1
2
AB=
1
2
×8=4cm,OD=OC=5cm,
当 C 点位置如图 1 所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM=
2 2 2 2 OA AM − = − 5 4
=3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC=
2 2 2 2 AM CM + = + = 4 8 4 5
cm;
当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5−3=2cm,
在 Rt△AMC 中,AC=
2 2 2 2 AM CM + = + = 4 2 2 5
cm.
故选 C.
2.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且 CD⊥AB,BC=3,AC=4,则 sin∠ABD 的值
是( )
第2页
A.
4
3
B.
3
4
C.
3
5
D.
4
5
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得 AB=5,即可求 sin∠ABD
的值.
【详解】
∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,
∴弧 AC=弧 AD,
∴∠ABD=∠ABC.
根据勾股定理求得 AB=5,
∴sin∠ABD=sin∠ABC=
4
5
.
故选 D.
【点睛】
此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.
3.如图,已知 AB 是⊙O 是直径,弦 CD⊥AB,AC=2
2 ,BD=1,则 sin∠ABD 的值是( )
A.2
2
B.
1
3
C.
2 2
3
D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理,可得 BC 的长,再利用直径对应圆周角为 90°得到△ABC 是直角三角形,
利用勾股定理求得 AB 的长,得到 sin∠ABC 的大小,最终得到 sin∠ABD
第3页
【详解】
解:∵弦 CD⊥AB,AB 过 O,
∴AB 平分 CD,
∴BC=BD,
∴∠ABC=∠ABD,
∵BD=1,
∴BC=1,
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AB= ( )
2
2 2 2 AC BC + = + = 2 2 1 3,
∴sin∠ABD=sin∠ABC=
2 2
3
AC
AB
=
故选:C.
【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为 90°、勾股定理和三角函数,解题关键是找出图
形中的直角三角形,然后按照三角函数的定义求解
4.用一个直径为
10cm
的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具,不倒翁
轴截面如图所示,圆锥的母线
AB
与
O
相切于点
B
,不倒翁的顶点
A
到桌面
L
的最大距
离是
18cm.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色,则涂色部分的面积为( )
A. 2
60cm
B.
600 2
13
cm
C.
720 2
13
cm
D. 2
72cm
【答案】C
【解析】
【分析】
连接
OB
,如图,利用切线的性质得
OB AB ⊥
,在
Rt AOB
中利用勾股定理得
AB =12
,利用面积法求得
60
13
BH =
,然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公
式计算圆锥形纸帽的表面.
【详解】
解:连接
OB
,作
BH OA ⊥
于
H
,如图,
圆锥的母线
AB
与
O
相切于点
B ,
⊥ OB AB,
第4页
在
Rt AOB
中,
OA = − = 18 5 13,OB = 5,
2 2 = − = AB 13 5 12,
1 1
2 2
OA BH OB AB = ,
5 12 60
13 13
BH
= = ,
圆锥形纸帽的底面圆的半径为
60
13
BH =
,母线长为 12,
形纸帽的表面
1 60 720 2
2 12 ( )
2 13 13
= = cm .
故选:
C .
【点睛】
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点
的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆锥的计算.
5.如图,在矩形
ABCD
中,
AB BC = = 6, 4
,以
A
为圆心,
AD
长为半径画弧交
AB
于
点
E
,以
C
为圆心,
CD
长为半径画弧交
CB
的延长线于点
F
,则图中阴影部分的面积是
( )
A.13
B.13 24 +
C.13 24 − D.5 24 +
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出扇形 FCD 和扇形 EAD 的面积以及矩形 ABCD 的面积,再根据阴影面积=扇形
FCD 的面积﹣(矩形 ABCD 的面积﹣扇形 EAD 的面积)即可得解.
【详解】
解:∵S 扇形 FCD
2
9
0
360
9 6
= =
,S 扇形 EAD
2
4
0
360
9 4
= =
,S 矩形 ABCD
= = 6 4 24,
∴S 阴影=S 扇形 FCD﹣(S 矩形 ABCD﹣S 扇形 EAD)
第5页
=9π﹣(24﹣4π)
=9π﹣24+4π
=13π﹣24
故选:C.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算,根据阴影面积=扇形 FCD 的面积﹣(矩形 ABCD 的面积﹣扇形
EAD 的面积)是解答本题的关键.
6.如图,AB 是⊙O 的直径,EF,EB 是⊙O 的弦,且 EF=EB,EF 与 AB 交于点 C,连接
OF,若∠AOF=40°,则∠F 的度数是( )
A.20° B.35° C.40° D.55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 FB,由邻补角定义可得∠FOB=140°,由圆周角定理求得∠FEB=70°,根据等腰三角形
的性质分别求出∠OFB、∠EFB 的度数,继而根据∠EFO=∠EBF-∠OFB 即可求得答案.
【详解】
连接 FB,
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°,
∴∠FEB=
1
2
∠FOB=70°,
∵FO=BO,
∴∠OFB=∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°,
∵EF=EB,
∴∠EFB=∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°,
∴∠EFO=∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°,
第6页
故选 B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运
用相关知识是解题的关键.
7.如图,小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子,则小豆子落在小正方形
内部及边界(阴影)区域的概率为( )
A.
3
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
1
4
【答案】C
【解析】
【分析】
算出阴影部分的面积及大正方形的面积,这个比值就是所求的概率.
【详解】
解:设小正方形的边长为 1,则其面积为 1.
圆的直径正好是大正方形边长,
根据勾股定理,其小正方形对角线为
2
,即圆的直径为
2 ,
大正方形的边长为
2 ,
则大正方形的面积为
2 2 2 =
,则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为
1
2
.
故选:
C .
【点睛】
概率
=
相应的面积与总面积之比,本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长
比.设较小吧边长为单位 1 是在选择填空题中求比的常见方法.
8.如图,
ABC
是
O
的内接三角形,
= A 45 , BC =1
,把
ABC
绕圆心
O
按逆时
针方向旋转
90
得到
DEB
,点
A
的对应点为点
D
,则点
A , D
之间的距离是()
A.1 B. 2
C. 3
D.2
第7页
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 AD,构造△ADB,由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质,证△ADB 和△DBE 全
等,从而得到 AD=BE=BC=1.
【详解】
如图,连接 AD,AO,DO
∵
ABC
绕圆心
O
按逆时针方向旋转
90
得到
DEB ,
∴AB=DE, = AOD 90 , = = CAB BDE 45
∴
1
45
2
= = ABD AOD
(同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半),
即
= = ABD EDB 45 ,
又∵DB=BD,∴
= DAB BED
(同弧所对应的圆周角相等),
在△ADB 和△DBE 中
ABD EDB
AB ED
DAB BED
=
=
=
∴△ADB≌△EBD(ASA),
∴AD=EB=BC=1.
故答案为 A.
【点睛】
本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用;顶点在圆上,两边都与圆相
交的角角圆周角;掌握三角形全等的判定是解题的关键.
9.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P,
连接 AC,若∠A=30°,PC=3,则⊙O 的半径为( )
第8页
A. 3
B.2
3
C.
3
2
D.
2 3
3
【答案】A
【解析】
连接 OC,
∵OA=OC,∠A=30°,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°,
∵PC 是⊙O 切线,
∴∠PCO=90°,∠P=30°,
∵PC=3,
∴OC=PC•tan30°= 3 ,
故选 A
10.如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,连接 AD,若∠DAC=30°,
DC=1,则⊙O 的半径为( )
A.2 B. 3
C.2﹣ 3
D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°,结合∠DAC=30°,DC=1 得 AC=2DC=2,∠C=60°,再
由 AB=ACtanC=2
3
可得答案.
【详解】
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠BDA=∠ADC=90°,
∵∠DAC=30°,DC=1,
第9页
∴AC=2DC=2,∠C=60°,
则在 Rt△ABC 中,AB=ACtanC=2
3 ,
∴⊙O 的半径为
3 ,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理,解题的关键是掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角和三角
函数的应用.
11.如图,
O
中,若
OA BC AOB ⊥ = 、 66
,则
ADC
的度数为( )
A.33° B.56° C.57° D.66°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂径定理可得
AC AB » »=
,根据圆周角定理即可得答案.
【详解】
∵OA⊥BC,
∴
AC AB » »= ,
∵∠AOB=66°,∠AOB 和∠ADC 分别是
AB»
和
AC
所对的圆心角和圆周角,
∴∠ADC=
1
2
∠AOB=33°,
故选:A.
【点睛】
本题考查垂径定理及圆周角定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条
弧;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一
半;熟练掌握相关定理是解题关键.
12.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的
AOB
不一定...是直角的是( )
A. B.
第10页
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解.
【详解】
解:选项 A 中,做出了点 A 关于直线 BC 的对称点,则
AOB
是直角.
选项 B 中,AO 为 BC 边上的高,则
AOB
是直角.
选项 D 中,
AOB
是直径 AB 作对的圆周角,故
AOB
是直角.
故应选 C
【点睛】
本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关
键.
13.如图,已知
ABC
和
ABD
都
O
是的内接三角形,
AC
和
BD
相交于点
E
,则与
ADE
的相似的三角形是( )
A.BCE
B.ABC
C.ABD
D.ABE
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同弧和等弧所对的圆周角相等, 则
AB
弧所对的圆周角
= BCE BDA,CEB
和
DEA
是对顶角,所以
ADE BCE ∽ .
【详解】
解:
= BCE BDA, = CEB DEA ADE BCE ∽ ,
故选:
A .
【点睛】
第11页
考查相似三角形的判定定理: 两角对应相等的两个三角形相似,关键就是牢记同弧所对的
圆周角相等.
14.如图,圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则侧面积为( )
A.2π B.3π C.6π D.8π
【答案】B
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.
【详解】
解:圆锥的侧面积为:
1
2
×2π×1×3=3π,
故选:B.
【点睛】
此题考查圆锥的计算,解题关键在于掌握运算公式.
15.如图,以正方形 ABCD 的 AB 边为直径作半圆 O,过点 C 作直线切半圆于点 E,交 AD
边于点 F,则
FE
EC
=( )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
3
8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 OE、OF、OC,利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF=∠FOE,证明△EOF∽△
ECO,利用相似三角形的性质即可解答.
【详解】
解:连接 OE、OF、OC.
∵AD、CF、CB 都与⊙O 相切,
第12页
∴CE=CB;OE⊥CF; FO 平分∠AFC,CO 平分∠BCF.
∵AF∥BC,
∴∠AFC+∠BCF=180°,
∴∠OFC+∠OCF=90°,
∵∠OFC+∠FOE=90°,
∴∠OCF=∠FOE,
∴△EOF∽△ECO,
∴
=
OE EF
EC OE
,即 OE2=EF•EC.
设正方形边长为 a,则 OE=
1
2
a,CE=a.
∴EF=
1
4
a.
∴
EF
EC
=
1
4
.
故选:C.
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质,其中通过作辅助线构造相
似三角形是解答本题的关键..
16.如图,在边长为 8 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,以点 D 为圆心,菱形的高 DF 为半径
画弧,交 AD 于点 E,交 CD 于点 G,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.18 3 −
B.18 3 − π
C.32 3 16 −
D.18 3 9 −
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出 AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高 DF,图中阴影部分的
面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.
【详解】
解:∵四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,
第13页
∴AD=AB=8,∠ADC=180°- 60°=120°,
∵DF 是菱形的高,
∴DF⊥AB,
∴DF=AD•sin60°=
3
8 4 3
2
= ,
∴图中阴影部分的面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积
=
2
120 (4 3) 8 4 3 32 3 16
360
− = − .
故选:C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是
解决问题的关键.
17.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为 10cm,则这个圆锥的侧面积
为( )
A.50cm2 B.50πcm2 C.25
5
cm2 D.25
5
πcm2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
解:如图所示,
∵等腰三角形的底边和高线长均为 10cm,
∴等腰三角形的斜边长=
2 2 10 5 + =5
5
,即圆锥的母线长为 5
5
cm,圆锥底面圆半
径为 5,
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=
1
2
×10π×5
5 =25
5
πcm2,
故选:D.
第14页
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴
截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.
18.如图,已知圆 O 的半径为 10,AB⊥CD,垂足为 P,且 AB=CD=16,则 OP 的长为
( )
A.6 B.6 C.8 D.8
【答案】B
【解析】
【分析】
作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,连接 OP,OB,OD,首先利用勾股定理求得 OM 的长,
然后判定四边形 OMPN 是正方形,求得正方形的对角线的长即可求得 OP 的长.
【详解】
作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,连接 OP,OB,OD,
∵AB=CD=16,
∴BM=DN=8,
∴OM=ON= =6,
∵AB⊥CD,
∴∠DPB=90°,
∵OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形 MONP 是矩形,
∵OM=ON,
∴四边形 MONP 是正方形,
∴OP= .
故选 B.
【点睛】
第15页
本题考查的是垂径定理,正方形的判定与性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出
直角三角形是解答此题的关键.
19.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M,若 CD=8 cm,MB=2 cm,则直径 AB 的
长为( )
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由 CD⊥AB,可得 DM=4.设半径 OD=Rcm,则可求得 OM 的长,连接 OD,在直角三角形
DMO 中,由勾股定理可求得 OD 的长,继而求得答案.
【详解】
解:连接 OD,设⊙O 半径 OD 为 R,
∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M ,
∴DM=
1
2
CD=4cm,OM=R-2,
在 RT△OMD 中,
OD²=DM²+OM²即 R²=4²+(R-2)²,
解得:R=5,
∴直径 AB 的长为:2×5=10cm.
故选 B.
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.
20.如图,弧 AB 等于弧 CD ,OE AB ⊥
于点
E ,OF CD ⊥
于点
F
,下列结论中错误..的
是( )
第16页
A.OE=OF B.AB=CD C.∠AOB=∠COD D.OE>OF
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系可得 B、C 正确,根据垂径定理和勾股定理可得 A 正确,D 错
误.
【详解】
解:∵
AB CD = ,
∴AB=CD,∠AOB=∠COD,
∵
OE AB ⊥ ,OF CD ⊥ ,
∴BE=
1
2
AB,DF=
1
2
CD,
∴BE=DF,
又∵OB=OD,
∴由勾股定理可知 OE=OF,
即 A、B、C 正确,D 错误,
故选:D.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,勾股定理,熟练掌握基本性质定理是解题
的关键.
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