第1页
学奥数 争第一
奥数新思维
五年级
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奥数新思维-五年级
目录第 1 讲 分数计算与比较大小......................................................................................................................... 1第 2 讲 整除......................................................................................................................................................8第 3 讲 质数与合数........................................................................................................................................15内容概述...................................................
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文本内容
第2页
目录
第 1 讲 分数计算与比较大小......................................................................................................................... 1
第 2 讲 整除......................................................................................................................................................8
第 3 讲 质数与合数........................................................................................................................................15
内容概述.............................................................................................................................................................15
典型问题.............................................................................................................................................................15
第 4 讲 包含与排除........................................................................................................................................22
内容概述.............................................................................................................................................................22
典型问题.............................................................................................................................................................22
(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？........................................................................ 23
(2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？............................................................................ 23
拓展篇..............................................................................................................................................24
超越篇..............................................................................................................................................27
第 5 讲 分数与循环小数............................................................................................................................... 30
内容概述.............................................................................................................................................................30
典型问题.............................................................................................................................................................30
提高篇..............................................................................................................................................30
拓展篇..............................................................................................................................................32
超越篇..............................................................................................................................................35
第 6 讲 和差倍分问题................................................................................................................................... 38
内容概述.............................................................................................................................................................38
典型问题.............................................................................................................................................................38
提高篇..............................................................................................................................................38
拓展篇..............................................................................................................................................40
超越篇..............................................................................................................................................44
第 7 讲 行程问题四........................................................................................................................................46
内容概述.............................................................................................................................................................46
典型问题.............................................................................................................................................................46
提高篇..............................................................................................................................................46
拓展篇..............................................................................................................................................48
超越篇..............................................................................................................................................51
第 8 讲 直线形计算二................................................................................................................................... 54
内容概述.............................................................................................................................................................54
典型问题.............................................................................................................................................................54
提高篇..............................................................................................................................................54
拓展篇..............................................................................................................................................56
超越篇..............................................................................................................................................59
第 9 讲 比较与估算........................................................................................................................................62
内容概述.............................................................................................................................................................62
典型问题.............................................................................................................................................................62
第3页
提高篇..............................................................................................................................................62
拓展篇..............................................................................................................................................64
超越篇..............................................................................................................................................67
第 10 讲 几何计数..........................................................................................................................................69
内容概述.............................................................................................................................................................69
典型问题.............................................................................................................................................................69
提高篇..............................................................................................................................................69
拓展篇..............................................................................................................................................71
超越篇..............................................................................................................................................74
第 11 讲 约数与倍数......................................................................................................................................76
第 12 讲 余数..................................................................................................................................................83
内容概述.............................................................................................................................................................83
典型问题.............................................................................................................................................................83
第 13 讲 数字谜综合一................................................................................................................................. 90
内容概述.............................................................................................................................................................90
典型问题.............................................................................................................................................................90
提高篇..............................................................................................................................................90
拓展篇..............................................................................................................................................92
超越篇..............................................................................................................................................95
第 14 讲 行程问题五......................................................................................................................................98
内容概述.............................................................................................................................................................98
典型问题.............................................................................................................................................................98
第 15 讲 圆与扇形....................................................................................................................................... 107
内容概述...........................................................................................................................................................107
典型问题...........................................................................................................................................................107
提高篇............................................................................................................................................107
拓展篇............................................................................................................................................110
超越篇............................................................................................................................................113
第 16 讲 构造认证一................................................................................................................................... 115
内容概述...........................................................................................................................................................115
典型问题...........................................................................................................................................................115
第 17 讲 计算综合一................................................................................................................................... 122
第 18 讲 应用题拓展................................................................................................................................... 130
内容概述...........................................................................................................................................................130
典型问题...........................................................................................................................................................130
提高篇............................................................................................................................................130
拓展篇............................................................................................................................................132
超越篇............................................................................................................................................134
第 19 讲 工程问题....................................................................................................................................... 137
内容概述...........................................................................................................................................................137
典型问题...........................................................................................................................................................137
提高篇............................................................................................................................................137
拓展篇............................................................................................................................................139
超越篇............................................................................................................................................142
第4页
第 20 讲 直线形计算三............................................................................................................................... 144
内容概述...........................................................................................................................................................144
典型问题...........................................................................................................................................................144
提高篇............................................................................................................................................144
拓展篇............................................................................................................................................146
超越篇............................................................................................................................................148
第 21 讲 数字问题....................................................................................................................................... 151
内容概述...........................................................................................................................................................151
典型问题...........................................................................................................................................................151
提高篇............................................................................................................................................151
拓展篇............................................................................................................................................153
超越篇............................................................................................................................................155
第 22 讲 牛吃草问题与钟表问题............................................................................................................... 157
内容概述...........................................................................................................................................................157
典型问题...........................................................................................................................................................157
提高篇............................................................................................................................................157
拓展篇............................................................................................................................................159
超越篇............................................................................................................................................162
(1)距 5 点最近的“时针与分针重合”的时刻是几点几分？.......................................................162
(2)距 5 点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是几点几分？.............................................. 162
第 23 讲 计数综合二................................................................................................................................... 165
内容概述...........................................................................................................................................................165
典型问题...........................................................................................................................................................165
提高篇............................................................................................................................................165
(1)要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？.................................................. 165
(2)要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？.................................................. 165
第 24 讲 抽屉原理二................................................................................................................................... 171
内容概述...........................................................................................................................................................171
典型问题...........................................................................................................................................................171
提高篇............................................................................................................................................171
超越篇............................................................................................................................................173
拓展篇............................................................................................................................................175
参考答案........................................................................................................................................................177
第 1 讲：分数计算与比较大小................................................................................................................... 177
提高篇...............................................................................................................................................................177
拓展篇：...........................................................................................................................................................177
超越篇：...........................................................................................................................................................178
第 2 讲：整除................................................................................................................................................178
第 3 讲：质数与合数................................................................................................................................... 181
第 4 讲：包含与排除................................................................................................................................... 182
提高篇...............................................................................................................................................................182
拓展篇...............................................................................................................................................................183
超越篇...............................................................................................................................................................183
第 5 讲：分数与循环小数........................................................................................................................... 184
第5页
第 6 讲：和差倍分问题............................................................................................................................... 186
提高篇...............................................................................................................................................................186
拓展篇...............................................................................................................................................................186
1. 第 9 个。..................................................................................................................................................... 187
2. 170 人。......................................................................................................................................................187
3. 120 分。......................................................................................................................................................187
4. 680 块。......................................................................................................................................................187
5. 18000 张。..................................................................................................................................................187
6. 3 升。..........................................................................................................................................................187
7. 168 个。......................................................................................................................................................187
8. 700 顶。......................................................................................................................................................187
9. 45 厘米。....................................................................................................................................................187
10. 56 张。......................................................................................................................................................187
11. 56 个。......................................................................................................................................................187
超越篇...............................................................................................................................................................187
第 7 讲：行程问题四................................................................................................................................... 188
第 8 讲：直线形计算二............................................................................................................................... 189
提高篇...............................................................................................................................................................189
拓展篇...............................................................................................................................................................190
超越篇...............................................................................................................................................................190
第 9 讲：比较与估算................................................................................................................................... 191
提高篇...............................................................................................................................................................191
拓展篇...............................................................................................................................................................191
超越篇...............................................................................................................................................................192
第 10 讲：几何计数..................................................................................................................................... 193
提高篇...............................................................................................................................................................193
拓展篇...............................................................................................................................................................193
超越篇...............................................................................................................................................................194
第 11 讲：约数与倍数................................................................................................................................. 194
第 12 讲：余数..............................................................................................................................................196
提高篇...............................................................................................................................................................196
拓展篇...............................................................................................................................................................197
超越篇...............................................................................................................................................................197
第 13 讲：数字谜综合一............................................................................................................................. 198
提高篇...............................................................................................................................................................198
拓展篇...............................................................................................................................................................198
2.1，67，583；或 1，67，853................................................................................................. 198
7.2，3，5，7，23，53，73，37，373....................................................................................199
超越篇...............................................................................................................................................................199
第 14 讲：行程问题五................................................................................................................................. 200
提高篇...............................................................................................................................................................200
拓展篇...............................................................................................................................................................200
超越篇...............................................................................................................................................................201
第 15 讲：圆与扇形..................................................................................................................................... 201
第6页
第 16 讲：构造论证一................................................................................................................................. 203
提高篇...............................................................................................................................................................203
拓展篇...............................................................................................................................................................204
超越篇...............................................................................................................................................................205
第 17 讲：计算综合一................................................................................................................................. 206
提高篇...............................................................................................................................................................206
拓展篇...............................................................................................................................................................206
超越篇...............................................................................................................................................................207
第 18 讲：应用题拓展................................................................................................................................. 207
第 19 讲：工程问题..................................................................................................................................... 209
第 19 讲：工程问题..................................................................................................................................... 211
第 21 讲：数字问题..................................................................................................................................... 212
提高篇...............................................................................................................................................................212
拓展篇...............................................................................................................................................................213
超越篇...............................................................................................................................................................213
第 22 讲：牛吃草问题与钟表问题............................................................................................................. 214
提高篇...............................................................................................................................................................214
1. （1）12 头；（2）3 天。........................................................................................................................... 214
2. 48 只。........................................................................................................................................................214
3. 4 天。..........................................................................................................................................................214
拓展篇...............................................................................................................................................................215
超越篇...............................................................................................................................................................215
第 23 讲：计数综合二................................................................................................................................. 216
提高篇...............................................................................................................................................................216
拓展篇...............................................................................................................................................................216
超越篇...............................................................................................................................................................217
1. （1）6 种；（2）8 种；（3）23 种；（4）9 种。.....................................................................................217
2. 2100 个。....................................................................................................................................................217
3. 575 个。......................................................................................................................................................217
4. 175 种。......................................................................................................................................................217
5. 44 种。........................................................................................................................................................217
6. 17 种。........................................................................................................................................................217
7. 42 种。........................................................................................................................................................217
8. 12504 个。..................................................................................................................................................217
第 24 讲：抽屉原理二................................................................................................................................. 217
提高篇...............................................................................................................................................................217
拓展篇...............................................................................................................................................................218
超越篇...............................................................................................................................................................219
第8页
1
第 1 讲 分数计算与比较大小
内容概述
理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算
方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法
等等。典型问题
提高篇
1. 计算： ; 37
200
37
20
37
2
(1)
200
1
- 20
1
- 2
1 （2）1-
2. 计算： 4
3
) 11
5
2
4
1
(3
11
8
13 3. 计算： 12
1
1 1
13
5
4) 5
1
4
1
(
4. 计算： 3. 5
1
7
6
27
5
3
54 16
7
4
5. 计算： 9999
8888
9999
999
888
999
99
88
99
9
8
9
第9页
2
6. 计算： 156
113
; (2)155
124
123
(1)403
7. 计算：
5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 1 2 3 4 5
8. 将下列分数由小到大排列起来： 23
13
, 19
15
, 23
14
, 24
13
, 19
14
9. 比较下列分数的大小： 79
20
320
79
; (2) 40
9
13
3
(1) 与 与
10. 比较下列分数的大小： 88887
44443
22221
11110
; (2) 1995
1994
99
98
(1) 与 与
第10页
3
拓展篇
1. 计算： ). 20
7
) (2
3
1
8
4
3
1
3
2
6
4
1
(3
2. 计算： 3
1
1
5
2
5) 3
3
1
1
5
2
(2
3. 要使算式
7
1
2
6
5
(0.7 □ ) 4
1
2 成立，方框内应填入的数是多少？
4. 计算： 25
24
18
25
7
124
5. 计算： 13). 36
11
11) (11
36
11
9) (9
36
11
7) (7
36
11
5) (5
36
11
3) (3
36
11
(1
第11页
4
6. 计算： ). 76
1
23
1
) 53 ( 76
1
53
1
) 23 ( 53
1
23
1
76(
7. 比较
2004
2003
2005
2005
2004
2006 与 的大小，并计算它们的差。
8. 计算： ). 9
5
7
5
) ( 9
2
7
7
2
; (2)(9
239
238
(1)238 238
9. 比较下列分数的大小： 28
9
22
7
; (4) 17
16
35
33
; (3) 41
12
27
8
; (2) 19
8
7
3
(1) 与 与 与 与
10. 比较大小：
（1）把 3 个数
59
31
, 35
18
, 24
13 由小到大排列起来；
第12页
5
（2）把 5 个数
101
60
, 33
20
, 23
15
, 19
12
, 17
10 由小到大排列起来；
11. 比较下列分数的大小： 20062
20052
20062006
20052005
; (2) 56790
12346
56789
12345
(1) 与 与
12. 比较下列分数的大小：
99999
2222
999999
22222
; (3) 9999
22222
99999
222222
; (2) 999
222
99999
22222
(1) 与 与 与
超越篇
1. 计算： 19
1
13
13
2
19
19
2
13
12
8
第13页
6
2. 计算： 636363
636636
363363
363636
3. 计算： )]. 20
1
15
1
10
1
5
1
) ( 16
1
12
1
8
1
4
1
)] [( 12
1
9
1
6
1
3
1
) ( 8
1
6
1
4
1
2
1
[(
4. 计算： 10
9
) 10
8
9
8
) ( 10
3
5
3
4
3
) ( 10
2
4
2
3
2
) ( 10
1
3
1
2
1
(
5. 已知 2006
2005
2005
2006
, 2008
2007
2007
2008 A B 试比较 A、B 的大小。
第14页
7
6. ) 1005, 2011
1
2009
1
) 1003, ( 2007
1
2005
1
) 1001, ( 2003
1
2001
1 A ( B C 请将 A、B、
C 按从大到小的顺序排列起来。
7. 计算：
) 10
11 12 13
9
10 11 12
4
5 6 7
3
4 5 6
2
3 4 5
1
2 3 4
(
). 10
1
9
1
4
1
3
1
2
1
(1
8. 计算：
) (19 20 20 21) 3 4
1
2 3
1
) (2 3 3 4) ( 2 3
1
1 2
1
(1 2 2 3) (
). 20 21
1
19 20
1
(
第15页
8
第 2 讲 整除
内容概述
掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数
的补填问题，以及多位数的构成问题等。典型问题
提高篇
1. 下面有 9 个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：
（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？
（2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？
2. 有如下 9 个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被 3 整
除？哪些能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3 整除？
3.一个三位数6□ 4的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：
（1）如果要求这个三位数能被 3 整除，“□”可能等于多少？
（2）如果要求这个三位数能被 4 整除，“□”可能等于多少？
（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能，“□”可能等于多少？
第16页
9
4. 新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给
老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费 238元”，其中有一滴墨水，把方格处的数
字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个
数字是多少吗？
5. 四位数 2□ 9□ 能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数.
6. 四位偶数6□ 4□ 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数．
7. 多位数3232 321
32
n个
能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？
8．一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234 口 6
口 8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字
不得改动，王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？
第17页
10
9．一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位
数能被 4 整除，这个四位数最大是多少？
10．(1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字 0．如果它能被 11
整除，那么这个多位数最小是多少？
(2)一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？
拓展篇
1．判断下面 11 个数的整除性：
23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407.
(1)这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？
(2)哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？
(3)哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？
(4)哪些数能被 11 整除？
2. 173□ 是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四位数，
依次能被 9、11、8 整除，”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？
第18页
11
3. 五位数3□ 07□ 能同时被 11 和 25 整除，这个五位数是多少？
4．牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，
上面只剩下“ 67□ 8□ ”，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是
整数元，请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？
5．六位数□ 2008□ 能同时被 9 和 11 整除．这个六位数是多少？
6．请从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数．这个五
位数最大是多少？
7．小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59 与 89 之间
拼成一个五位数59□ 89 ，使得这个五位数能被 7 整除，请问：阿奇写的数是多少？
第19页
12
8. 已知
25 5 25 9
55 5□ 99 9
个 个
能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？
9．用数字 6、7、8 各两个，要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．
10. 冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三
位数的十位，如果最后这个三位数能被 11 整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜．冬冬想了一会，想
到了一个必胜的办法，请问：冬冬想到的办法是什么？
11．对于一个自然数 N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，
形成的新数都不能被 N+1 整除．请问：一共有多少个不大于 10 的破坏数？
12.一个五位数，它的末三位为 999.如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？
第20页
13
超越篇
1．在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？
2．将自然数 1，2，3，…，依次写下去形成一个多位数“123456789101112…”．当写到某个数 N 时，
所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除．请问：N 是多少？
3．小悦的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价 117.口△元”、“总价
127.○◇元”（口、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉小悦，其中一
箱装了 99 只 A 型杯子，另一箱装了 75 只 B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分．
但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是 A 型杯子，哪个箱子装的是
B 型杯子了，爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦，
小悦看了看，说：“这呵难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．”
同学们，你能像小悦一样把价签上的数分辨出来吗？
4．冬冬在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6、7 这 6 个数字，形成一个六位数．阿奇把这张纸条
撕成了三节．这三节纸条上的数加起来得到的和（如图 2-1，三节纸条上的和为 23 + 456 +7 = 486）
能被 55 整除．请问：阿奇可能是在什么位置撕断的这张纸条？
第21页
14
5．将一个自然数 N 接在任一自然数的右面（例如将 2 接在 13 的右面得到 132），如果所得的新数都
能被 N 整除，那么称 N 为“神奇数”．请求出所有的两位“神奇数”．
6．在六位数11□ □ 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除．方框中的两位
数是多少？
7．多位数 A 由数字 l、3、5、7、9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 A 可以
被 A 中任意一个数字整除，求这样的 A 的最小值．
8．有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”．比如 2332、
181、77 都是回文数．如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？
第22页
15
第 3 讲 质数与合数
内容概述
掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方
法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．典型问题
提高篇
1．(1)如果两个质数相加等于 16，这两个质数有可能等于多少？
(2)如果两个质数相加等于 25，这两个质数有可能等于多少？
(3)如果两个质数相加等于 29，这样的两个质数存在吗？
2．有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．
3．请写出 5 个质数，使得它们正好构成一个公差为 12 的等差数列．
4．请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.
第23页
16
5．三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数．
6．用一个两位数除 330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．
7．三个连续自然数的乘积等于 39270.这三个连续自然数的和等于多少？
8．请将 2、5、14、24、27、55、56、99 这 8 个数分成两组，使得这两组数的乘积相等．
9．请问：算式 l x2 x3×…×15 的计算结果的末尾有几个连续的 0?
第24页
17
10．请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的 0?
拓展篇
1．一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．
2．9 个连续的自然数中，最多有多少个质数？
3．(1)两个质数的和是 39，这两个质数的差是多少？
(2)三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数分别是多少？
4．一请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 373; (4) 12660.
第25页
18
5．有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于 140．把所有这样的分数从小到大排列，其
中第三个分数是多少？
6．冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积
为 1104．正确的乘积是多少？
7．甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超过 10 的自
然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上 4 环的那一枪是谁
打的？
8．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，方框内最小应填什么数？
第26页
19
9．(1)算式 1×2×3×…×29×30 的计算结果的末尾有几个连续的 0？
(2)算式 31×32×33×…×150 的计算结果的末尾有几个连续的 0？
10．把从 l 开始的若干个连续的自然数 1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾 13 位恰好都
是 0．请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？
11．168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多
少的平方？
12．(1) 60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？
(2) 72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？
第27页
20
超越篇
1．如图 3-1，三张卡片上各印有一个数字．从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选 1 次）拼
成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？
2．用 l、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次．请问：
最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法，
3．三个质数的乘积恰好等于它们和的 5 倍，这三个质数分别是多少？
4．在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过 10 的自然数．甲、乙两名运动员各射了 5 箭，
每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环．求甲、乙各自的总环数．
第28页
21
5．两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制，每局先得 11 分者为胜，如果打到 10 平，则
先多得 2 分者为胜．结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰
为 480480.请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）
6．如图 3-2，把 13、12、15、25、20 这 5 个数依次排列．它们每相邻的两个数相乘得 4 个数，这 4
个数每相邻的两个数相乘得 3 个数，这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数，这 2 个数相乘得 1 个
数，请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个 0？
7．从 l !，2！，3！，…，100！这 100 个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数．请
问：被去掉的那个数是什么？
8．已知对任意正整数 n，都有公式：
6
( 1) (2 1) 1 2
2 2 2
n n n n ，求分数
100!
1 (1 2 ) (1 2 3 ) (1 2 100 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
化成最简分数后的分母。
第29页
22
第 4 讲 包含与排除
内容概述
有重叠部分的若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；
结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其
他形式的重复计数问题．典型问题
提高篇
1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五
处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？
2．在一群小朋友中，有 12 人看过动画片《黑猫警长》，有 21 人看过动画片《大闹天宫》，并且有 8
人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？
3．五年级一班 45 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有 10 人，数学及语文均得满分
的有 3 人，这两科都没有得满分的有 29 人．请问：语文成绩得满分的有多少人？
第30页
23
4．某餐馆有 27 道招牌菜．小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃
过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？
5．如图 4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别
为 6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2．请问：
(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？
(2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？
6．在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有 10
个人爱喝红茶，12 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？
7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 54 人、46 人、36 人．同
时参加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有 7 人，同时参加音乐小组
和书法小组的有 10 人，三组都参加的有 2 人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
第31页
24
8．卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素 A 的有 62 种，
含维生素 C 的有 90 种，含维生素 E 的有 68 种，同时含维生素 A 和 C 的有 48 种，同时含维生素 A
和 E 的有 36 种，同时含维生素 C 和 E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种．请问：
(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素 A 的食物有多少种？
9．操场上有 50 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 18 名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有 14 名．跳
绳的女生有多少名？
10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，
学校决定对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？
拓展篇
1．在一个办公室中，有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人
都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？
第32页
25
2．五年级二班有 40 名同学，其中有 25:人没参加数学小组，有 18 人参加航模小组，有 10 人两个小
组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？
3．在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个？
4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加．参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生，参
加游泳比赛的有 120 名男生和 70 名女生，有 110 名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛
而没有参加长跑比赛的女生有多少人？
5．森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小
白兔中有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有 34 只
不爱吃萝卜．如果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只，那么这群小白兔一共有多少只？
第33页
26
6．三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中
23 只．张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买
过的有 9 只，三个人都买过的有 6 只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？
7．唐僧西天取经共经历了 81 难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了 77 难，与猪八戒一起
渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64 难，同时与孙悟空
和沙和尚一起渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60 难．请问：师徒四人共同渡过的
有多少难？
8．培英学校有学生 1000 人，其中有 500 人订阅了《中国少年报》，有 350 人订阅了《少年文艺》，
有 250 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有 100 人．请问：培
英学校有多少人没有订报？
9．五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组．其中有 24 人参加了数学小组，20
人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人．参加文艺小组的人数是既参加数学
小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语
文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 2 倍．求参加文艺小组的人数．
第34页
27
10．图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的
分别有 33 本、44 本和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为
25 本，同时有乙、丙签名的图书为 36 本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任
何一人借阅过？
11 五年级三班有 50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 22 人，参加英语竞赛的
有 20 人．如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
12．甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 100 个故事．已知甲读了 85 个故事，乙读了 70
个故事，丙读了 62 个故事．请问：
(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？
(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最
少有多少个？
超越篇
1．森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜．其中爱吃萝卜的小白兔数量是
爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍，它
们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
第35页
28
2．育才小学匦展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、
六年级共展出 25 幅画．其他年级的画共有多少幅？
3．巨人学校有 105 名男生和 75 名女生参加数学竞赛，有 95 名女生和 85 名男生参加作文竞赛．已
知该校一共有 280 名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人
数相同．请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？
4．冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片．回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自
己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里，
爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37
张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都
拿出来放到了自己的相册．请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？
5．一次测验共有 5 道试题．测试后统计如下：有 81%的同学做对第 1 题，有 85%的同学做对第 2
题，有 91%的同学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的同学做对第 5 题．如果做对 3
道或 3 道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？
第36页
29
6．五年级一班有 22 人参加语文竞赛，32 人参加数学竞赛，27 人参加英语竞赛，其中同时参加语文
竞赛和数学竞赛的有 12 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，同时参加数学竞赛和英语竞
赛的有 15 人．请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？
7．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆，
丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问：
(1)恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？ (2)恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？
8．一根 1.8 米长的木棍，从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度，每隔 3 厘米划一个刻度，每隔 5 厘米
划一个刻度，每隔 7 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
第37页
30
第 5 讲 分数与循环小数
内容概述
掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分
数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分．典型问题
提高篇
1．把下列分数化为小数：
; 33
4
, 11
3
, 9
2
; (2) 25
13
, 8
13
, 4
3
(1) 37
4
, 13
3
, 7
2
; (4) 90
7
, 22
5
, 6
5
(3)
2．把下列循环小数转化为分数：
(1)0.1, 0.4; (2)0.01, 0.35; (3)0.08, 0.38.
3．把下列循环小数转化为分数：0.7, 0.12, 0.123, 0.123
第38页
31
4．计算：(1)0.1 0.2 0.3; (2)0.2 0.3 0.4; (3)0.3 0.5 0.7;
(4)0.1 0.12 0.123; (5)0.12 0.23.
5．0.12345 0.23451 0.34512 0.45123 0.51234.
6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：(1)1.86 0.351; (2)0.38 0.518.
7．将算式0.3 0.6 0.3 0.6 0.3 0.6
的计算结果用循环小数表示是多少？
第39页
32
8．将算式
12
1
11
1
10
1
9
1
的计算结果用循环小数表示是多少？
9．冬冬将1.23
乘以一个数口时，把1.23
误看成 1. 23，使乘积比正确结果减少 0. 3．则正确结果应
该是多少？
10．真分数
7
a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是 2000．a 应该是多少？
拓展篇
1．将下列分数化为小数： 13
10
, 7
2
, 9
44
, 6
5
, 8
3
第40页
33
2．把下列循环小数转化为分数：0.48, 0.1353, 3.1703, 6.36538461.
3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数：
; 1111
11
, 625
135
, 308
84
, 192
18
, 150
17
, 77
15
, 17
2
, 50
31
, 4
3
(2)把下列分数化成循环小数： 143
12
, 37
14
, 35
3
4．计算：(1)0.02 0.31 0.45; (2)0.1 0.12 0.1234;
(3.)0.12 0.53 0.69; (4)0.67 0.212 0.111020.
5．计算：(1)0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89; (2)0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89.
第41页
34
6．计算：(1)(4.2 0.48) 2.05;
(2)0.132 (0.135 0.135).
7．计算：(1.2169 0.18) 2.0981. （将结果表示为分数和小数两种形式）
8．计算： 11
1
9
1
7
1
5
1
3
1
1 （结果用循环小数表示）
9．将最简真分数
7
a 化成小数后，从小数点后第一位开始的连续 n 位数之和为 9006，a 与 n 分别为多
少？
第42页
35
10．冬冬写了一个错误的不等式：0.2008 0.2008 0.2008 0.2008.请给式子中每个小数都添加
循环点，使不等号成立．请问：添加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？
11．(1) 101
88
101
13 和 化成小数后，两个循环小数的小数点后第 2008 位数字的和是多少？
(2)把
2008
683
2008
1325 和 化成小数后，两个循环小数的小数点后第 2008 位数字的和是多少？
12．冬冬将 0.321
乘以一个数 a 时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了 0.03
正确结果
应该是多少？
超越篇
1．将循环小数0.027
与 0.179672
相乘，取近似值，要求保留一百位小数．该近似值的最后一位小
数是多少？
第43页
36
2．有一个算式 1.37
11
□
5
□
2
□
，算式左边的方格中都是整数，右边的结果为四舍五入到百分位
后的近似值，那么方格中填人的三个数分别是多少？
3．划去 0.5738367981 的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环
小数．这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？
4．给小数 0.2138045976 添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，要使得这个循环小数的
小数点后第 100 位数字是 7，应该怎么添加？
5．有两个循环小数 a 和 b，a 的循环节有 3 位，b 的循环节有 6 位．这两个数之和的循环节最多有多
少位？最少有多少位？
第44页
37
6．只用数字 1、2、3 各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以任意添加，
例如1.32
，12.3
，3.12
）．这些小数的总和是多少？
7．写出一个最简真分数，它的分子是 2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为 2 位，
循环带为 3 位，那么这个分数最大是多少？
8．我们把由数字 0 和 7 组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07
、77.007 都是“特殊数”，如果我们将 l
写成若干个“特殊数”的和，最少要写成多少个？
第45页
38
第 6 讲 和差倍分问题
内容概述
在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义．解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏
的不变量或公共量往往是关键．典型问题
提高篇
1．运输连要将 450 枚弹药送到前线，其中炮弹占了
9
5 其余都是手榴弹．由于遇上敌军伏击，炮弹损
失了
5
2 ，而手榴弹只剩下
8
3 ，送到时还剩多少枚弹药？
2．学校举行新年自助餐会，一共准备了 1000 瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁，一个
小时后，果汁已经减少了
5
1 ，但可乐的数量却没有改变．如果此时饮料还剩 872 瓶，那么可乐的数
量是多少瓶？
3．口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球，其中红球占总球数的
3
1 ，黄球占总球数的
4
1 ，绿球比黄球
多 50 个．口袋里一共有几个球？
第46页
39
4．游戏公司计划生产一批限量版的游戏机．现在已完成计划的
12
5 ，如果再生产 340 台，总产量就
超过计划的
8
1 ，原计划生产多少台？
5．一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的
5
1 ，第二天完成了剩下部分的
3
1 ，前两天一共
完成了 56 个．请问：这批零件共有几个？
6．红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的
2
1 ，第二车间的人数是第一、
三车间人数和的
3
1 ，第三车间有 105 人．求该厂工人的总数．
7．甲桶中的水比乙桶中的多
5
1 ，丙桶中的水比甲桶中的少
5
1 ．请问：乙、丙两桶哪桶水多？如果把
三桶水倒人一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？
第47页
40
8．图 6-1 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的
4
3 ，竹林占圆形的
7
5 ，正方形和圆形的公共部
分是水池．已知竹林的面积比草地的面积少 450 平方米，问：水池的面积是多少平方米？
9．阿奇和小悦都有很多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的
8
3 ．后来小悦送给阿奇 l l 本书后，阿
奇的科普书数量就变成了小悦的
7
4 ．原来阿奇比小悦少多少本书？
10．课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的
9
2 ，后来又来了 12 个女生，使得女生人数达
到男生人数的
7
3 ．操场上现在有多少名同学？
拓展篇
1．等候公共汽车的人整齐地排成一列，阿奇也在其中，他数了一下人数，发现排在他前面的人数占
总人数的
3
2 ，排在他后面的人数占总人数的
4
1 ．从前往后数，阿奇排在第几个？
第48页
41
2．五年级原来有学生 325 人，新学期男生增加 25 人，女生减少了
20
1 ，结果总人数增加了 16 人．请
问：现有男生多少人？
3．冬冬、阿奇两人玩电子游戏，通过第一关后，冬冬得了 120 分，阿奇得了 200 分．接下来，他们
俩在第二关得到了相同的分数，累加两关总得分，冬冬的得分是阿奇的
4
3 ．两人在第二关各得了多
少分？
4．有一堆砖，搬走总数的
4
1 后又运来 306 块．这时这堆砖比最开始还多了
5
1 ．这堆砖原来有多少块？
5．用一批纸装订一种练习本．第一天装订了 120 本，还剩全部纸张的
5
2
；第二天又装订了 65 本，
还剩下 1350 张纸．这批纸原来一共有多少张？
第49页
42
6．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二
口又喝了剩下的
3
1 ，第三口则喝了剩下的
4
1 ，第四口再喝剩下的
5
1 ，第五口喝了剩下的
6
1 ．此时瓶
子里还剩 0.5 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
7．现有苹果、桔子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的
6
1 ，桔子的数
目是其他三种水果总数的
16
5 ，梨的数目是其他三种水果总数的
5
2 ，菠萝有 56 个，这些水果一共有
多少个？
8．2008 年 5 月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷，他们第一次向汶
川运来了全部帐篷的
8
3 ，第二次运了 50 顶帐篷．这时，已运来的帐篷数恰好是没运来的
7
5 ，请问：
还有多少顶帐篷没有运来？
第50页
43
9．如图 6-2，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是 360 厘米．甲木棒有
4
3 露在水面
上，乙木棒有
7
4 露在水面上外，丙木棒有
5
2 露在水面上．请问：水深是多少厘米？
10．阿奇和冬冬一起玩游戏牌，开始时阿奇手里的牌数是冬冬手里牌数的
5
3
；玩了若干局后，阿奇
赢了冬冬的 20 张牌，此时阿奇手里的牌数反而是冬冬手里牌数的
5
7 ．请问：阿奇此时一共有多少张
牌？
11．口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的
12
5 ．后来又放了 8 个红球，这时红球占了总球数的
2
1 ，现在口袋里有多少个球？
12．水池中立着长短两根木桩．长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长
5
2 ，当水面升高 11 厘米后，
短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短
5
3 ．如果水面再升高多少厘米，短木桩露出水面长度将
是长木桩露出水面长度的
12
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