46
17.如果 a的平方根是±3,则
3
a-17= .
18.已知 x-2y+ x-4=0,则 x34y的值为 .
19.若
3 -2|a|+9为最大的负整数,则a的值应为 .
20.求下列各式中的x.
(1)8x3+27=0; (2)64(x+1)3=27;
(3)1000(x-1)3+216=0.
21.已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b的立方根是-2,求3a+b+5的算术平
方根.
22.已知:|a-2|+ b+8+(c-5)2=0,求
3b+
3ba - 5c的值.
第六章 实 数
47
23.据说,我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上
有一道智力题:一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出:39.邻座的乘客十分
惊奇,忙问计算的奥妙.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗? 请按照下面的问题试一试:
(1)由103=1000,1003=1000000,你能确定
359319是 位数.
(2)由59319的个位上的数是9,你能确定
359319的个位上的数是 .
(3)如果划去59319后面的三位319得到59,而33=27,43=64,由此你能确定
359319的
十位上的数是 .
(4)已知19683,-110592都是整数的立方,按照上述方法,确定这两数的立方根,并用三
次根号表示(写成
3
a= 的形式) , .
24.(2020·攀枝花)下列说法中正确的是 ( )
A.0.09的平方根是0.3 B. 15=±4
C.0的立方根是0 D.1的立方根是±1
25.(2020·宁波)实数8的立方根是 .
26.(2020·黄冈)计算:3 -8= .
48
6.3 实 数
第1课时 实数的有关概念
1. 小数叫作无理数.
2.常见无理数类型:
(1)π类:如2π、3+π等;
(2)开方开不尽的数,如 2、39、7+1、- 12等;
(3)有规律但又无限不循环的小数,如0.10010001…等.
3. 和 统称实数.
4.实数的分类:
正实数
0
负实数
?
?
?
??
??
实数
有理数
正有理数
0
负有理数
?
?
?
??
??
?
?
?
??
??
有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数 无限不循环小数
?
?
?
??
??
5.实数与数轴的关系:实数与数轴上的点是 的,即每一个实数都可以用数轴上的一个
点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数,不是
,就是 .
6.数a的相反数是 .
7.一个正实数的绝对值是它 ;一个负实数的绝对值是它的 ;0的绝对值
是 .
8.乘积为 的两个实数互为倒数,即若A与B互为倒数,则 ;反之,若 ,
则A与B互为倒数,这里应特别注意的是0没有倒数.
1.下列实数是无理数的是 ( )
A.-2 B.
1
6
C.9 D. 11
2.下列实数中为负数的是 ( )
A.2 B.0 C.-2 D.2
第六章 实 数
49
3.在实数
38,π
3
,12,4
3
中有理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.下列语句中错误的个数是 ( )
① 无限小数都是无理数:
② 无理数都是无限小数;
③ 正实数可以分为正有理数和正无理数;
④ 实数可以分为正实数和负实数两类.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,A,B,C,D是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的点是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
6.化简:|1- 2|= .
7.已知
33n-1和
31-2m互为相反数,则m
n
= .
8.若实数a满足 a1
2
=
3
2
,则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点 .
9.将下列各数填在相应的集合里.
3512,π,3.1415926,-0.456,3.030030003…,0,5
11
,-
39, (-7)2,0.1.
有理数集合:{ …}; 无理数集合:{ …};
正实数集合:{ …}; 整数集合:{ …};
10.已知表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,化简|a-b|+|a+b|.
11.下列说法:①无理数是无限不循环小数;②有理数与数轴上的点一一对应;③
π
2
是分数;
④3< 15<4;⑤27的立方根是无理数,其中错误的有 ( )
A.①②③ B.②③④
C.②③⑤ D.③④⑤
50
12.如图,在数轴上点A表示的数为 3,点B表示的数为6.2,点A,B之间表示整数的点共有
( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
13.在实数-2.5,13,3,327,3π,0.15,1
3
中,有理数的个数为B,无理数的个数为A,则A-B
的值为 ( )
A.3 B.-3 C.-1 D.1
14.已知|x|= 5,y是4的平方根,且|y-x|=x-y,x+y的值 .
15.数轴上A、B、C、D依次表示四个实数:- 2、3
1
3
、-4
1
2
、0.
(1)在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置;
(2)求AD两点之间的距离.
16.已知实数x、y满足关系式 4x-y2+1+|y2-9|=0.
(1)求x、y的值;
(2)判断
xy+6是无理数还是无理数? 并说明理由.
第六章 实 数
51
17.如图,是一个数值转换器,原理如图所示.
(1)当输入的x值为256时,求输出的y值;
(2)是否存在输入的x值后,始终输不出y值? 如果存在,则写出所有满足要求的x值;如果
不存在,则说明理由.
18.(2020·鄂尔多斯)实数- 3的绝对值是 ( )
A.3 B.-
3
3
C.- 3 D.
3
3
19.(2020·南宁)下列实数是无理数的是 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-5
20.(2020·天水)下列四个实数中,是负数的是 ( )
A.-(-3) B.(-2)2 C.|-4| D.- 5
21.(2020·遂宁)下列各数3.1415926,9,1.212212221…,1
7
,2-π,-2020,34中,无理数的个
数有 个.
52
第2课时 实数的大小比较与运算
1.实数大小比较
(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都 0,负实数都 0,正实数大于一
切 ,两个负实数绝对值大的反而小.
(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边
的 ,在原点左侧, 大的反而小.
2.实数的运算
(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运
算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最
后算加减,有括号的要先算 的,同级运算要按照 的顺序进行.
(3)有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
1.实数|-5|,-3,0,4中,最小的数是 ( )
A.|-5| B.-3 C.0 D.4
2.计算:3 -8+ 16= .
3.估计 22的值在 ( )
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
4.下列不等式错误的是 ( )
A.-2<-1 B.π< 17 C.
5
2
> 10 D.
1
3
>0.3
5.设a= 7+2,则 ( )
A.2<a<3 B.3<a<4 C.4<a<5 D.5<a<6
6.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是 ( )
A.a B.b C.c D.无法确定
7.6- 3的整数部分是 .
8.请写出一个大于1且小于2的无理数 .
第六章 实 数
53
9.用“※”定义新运算:对于任意实数a、b,都有a※b=2a2+b.例如3※4=2×32+4=22,那么 3
※2= .
10.点A为数轴上表示- 11的动点,当A点沿数轴向右移动311个单位长度到点B时,那么
点B所表示的实数为 .
11.计算:
(1) 32+
3 -8-
2
3
9
4
; (2)(-1)3+|1- 2|+
38- (-2)2;
(3) 16-
327+ 1 3
2
+
3 (-1)3.
12.用计算器计算(结果保留小数点后两位):
(1) 11+2.33-π; (2) 50+
3 -358+0.129.
13.下列运算中,正确的是 ( )
A.2+ 3= 5 B.32+22=52
C. 20=45 D. (-2)2=-2
54
14.已知a为实数,则下列四个数中一定为非负数的是 ( )
A.a B.
3
a C.|-a| D.-|-a|
15.下列整数中,与10- 13最接近的是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
16.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论错误的是 ( )
A.|a|<1<|b| B.1<-a<b C.1<|a|<b D.-b<a<-1
(第16题图) (第17题图)
17.在如图的数轴上,点B与点C到点A的距离相等,A、B两点对应的实数分别是1和- 3,则
点C对应的实数是 .
18.数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<0,则四个数a,b,-a,-b的大小关系为
.(用“<”号连接)
19.已知:a是9+ 3的小数部分,b是9- 3的小数部分.
(1)求a、b的值;
(2)求4a+4b+5的平方根.
20.某中学的一个运动场是长方形,且长是宽的2倍,已知它的面积为1350m2.
(1)请你计算该运动场的长与宽(结果精确到1m);
(2)若课间操时,每个学生占地1.5m2,按每个班级50人计算,请问这个运动场能同时容纳
几个班级的学生参加课间操?
第六章 实 数
55
21.A1:2-1=
1
2+1
;A2:3- 2=
1
3+ 2
;A3:4- 3=
1
4+ 3
;A4∶ 5- 4=
1
5+ 4
;…
(1)请观察A1,A2,A3 的规律,An: .
(2)请比较代数式的大小:7- 6和 5- 4;
(3)请比较 n+1- n与 n- n-1的大小.
22.(2020·聊城)在实数-1,- 2,0,1
4
中,最小的实数是 ( )
A.-1 B.
1
4
C.0 D.- 2
23.(2020·黔南州)已知a= 17-1,a介于两个连续自然数之间,则下列结论正确的是 ( )
A.1<a<2 B.2<a<3 C.3<a<4 D.4<a<5
24.(2020·南通)若m<27<m+1,且m为整数,则m= .
25.(2020·十堰)对于实数m,n,定义运算m*n=(m+2)2-2n.若2*a=4*(-3),则a
= .
26.(2020·柳州)计算:16×
1
2
-8+24.
56
章末小结
实数
平方根
算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,
那么这个正数x叫作a的① ,记作x= a
平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫作a的②
性质:正数有两个平方根,它们互为③ ;0的平方根是
④ ;负数没有平方根
开平方:求一个数的⑤ 的运算
?
?
?
?????
?????
立方根
定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫作a的立方根
性质:正数的立方根是⑥ ;0的立方根是⑦ ;
负数的立方根是⑧
开立方:求一个数的⑨ 的运算
?
?
?
???
???
实数
实数的分类
有理数 ??? :无限不循环小数
实数的性质
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的一样 实数的运算性质、运算法则、运算律在实数范围内仍适用
实数与数轴:实数与数轴上的点???
?
?
?
???
???
?
?
?
?????????
?????????
考点一 算术平方根、平方根、立方根
1.已知x+2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,则x2+y的立方根为 .
2.若a是33 的立方根,42的平方根是b,则 a+b= .
3.已知 2a-1=3,3a+b-1平方根是±4,c是 60的整数部分,则a+2b+c的平方根为
.
4.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a-1和-a+2.
(1)求a和x的值;
(2)化简:2|a+ 2|+|x-22|-|3a+x|.
第六章 实 数
57
考点二 算术平方根的非负性
5.若 a-2+|b+ 5|=0,则|a+b|= .
6.已知|a-27|与(b+8)2 互为相反数,则
3
a+
3b= .
7.已知(x-y+2)的算术平方根和(x+y-1)2 互为相反数,则5y
x
的平方根为 .
8.已知:3m-n+|m2-49|
m+7
=0,求实数m,n的值,并求出 n的整数部分和小数部分.
考点三 估算无理数的大小
9.计算3+ 24的值 ( )
A.在5与6之间 B.在6与7之间 C.在7与8之间 D.在8与9之间
10.如图,在数轴上点A表示的数可能是 ( )
A.- 2 B.- 7 C.- 3 D.- 10
11.估计 16×2- 2的运算结果在哪两个相邻的整数之间 ( )
A.4和5 B.5和6 C.6和7 D.7和8
12.已知a、b为两个连续整数,且a<- 15<b,则a+b= .
13.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如:2
3
?
?
??
?
?
??
=0,[3.14]=3.按此规定,则[3+
5]的值为 .
14.观察:∵4<7<9,∴2< 7<3,∴ 7的整数部分为2,小数部分为 7-2.
(1) 50的整数部分是 ,9- 50的小数部分是 ;
(2)小明将一个长为10cm,宽为8cm的长方形纸片按边的方向进行裁剪,裁剪出两个大小
不一的正方形,使它们的边长之比为4∶3,面积之和为75cm2,这两个正方形的面积分别是
多少? 小明能否裁剪出这两个正方形,并说明理由.
58
考点四 实数的运算
15.若a,b互为相反数,m,n互为倒数,k的算术平方根为 2,则100a+99b+mnb+k2 的值为
( )
A.-4 B.4 C.-96 D.104
16.若x2=(-5)2,
3
y3=-5,那么x+y的值是 ( )
A.0 B.-10 C.0或-10 D.0或±10
17.一个负数a的倒数等于它本身,则 a+2= ;若一个数a的相反数等于它本身,则
3a-52a+1+2
3
a-8= .
18.对于两个不相等的实数a、b,定义一种新的运算如下:a*b=
a+b
a-b
(a+b>0),如:3*2=
3+2
3-2
= 5,那么15*(6*3)= .
19.计算:
(1)38+ 0-
1
4
-
30.125;
(2)|6- 2|+|2-1|-|3- 6|;
(3)
3 61
125
-1+ 1+
11
25
- (-4)2×
1
4
.
第七章 平面直角坐标系
59
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
1.我们把有顺序的两个数a与b组成的数对,叫作有序数对,记作 .
利用有序数对,可以准确地表示出一个位置.生活中利用有序数对表示位置的情况是很常见
的,如人们常用经纬度来表示地球上的地点,用“几排几号”表示电影院里的座位等.
1.小明坐在第5行第6列,简记为(5,6),小刚坐在第7行第4列,应记为 ( )
A.(7,4) B.(4,7) C.(7,5) D.(7,6)
2.如图,P的位置为五列二行,表示为(5,2),则(4,3)表示的位置是
( )
A.A B.B
C.C D.D
3.电影院里的座位按“×排×号”编排,小明的座位简记为(12,6),小
菲的位置简记为(12,12),则小明与小菲坐的位置为 ( )
A.同一排 B.前后在同一条直线上
C.中间隔六个人 D.前后隔六排
4.根据下列表述,能确定具体位置的是 ( )
A.实验中学东 B.南偏西30°
C.东经120° D.会议室第7排,第5座
5.下列关于有序数对的说法正确的是 ( )
A.(3,2)与(2,3)表示的位置相同
B.(a,b)与(b,a)表示的位置一定不同
C.(3,-2),(-2,3)是表示不同位置的两个有序数对
D.(4,4)与(4,4)表示两个不同的位置
6.某一本书在印刷上有错别字,在第20页第4行从左数第11个字上,如果用数序表示可记为
(20,4,11),你是电脑打字员你认为(100,20,4)的意义是 .
60
7.小莹、小亮准备参加中考模拟考试,学校规定考生每人
占一个桌子,按考号人座.考号按如图方式贴在桌子
上,请回答下面的问题:
(1)小莹的考号是13,小亮的考号是24,在图中对应
的“□”中,请用他们的名字分别标出他们在考场
内座位的位置;
(2)某同学座位的位置在第a行和第b列的相交的
“□”处,用数对表示是(a,b),那么小莹的位置用数对表示是 ,小亮的位置用数对表示
是 .
8.如图所示,点A(2,2)表示2街2大道的十字路口,点B(5,
4)表示5街与4大道的十字路口.如果用(2,2)-(3,2)-
(3,4)-(5,4)表示由A到B的一条路径,并且规定必须从
左到右,从下往上行走.那么下列表示从A 到B的路径不
正确的是 ( )
A.(2,2)-(2,4)-(4,4)-(5,4) B.(2,2)-(4,2)-(4,4)-(5,4)
C.(2,2)-(2,3)-(5,3)-(5,4) D.(2,2)-(2,5)-(5,5)-(5,4)
9.如图,是雷达探测器测得的结果,图中显示在点A,B,C,D,E,F处有目标出现,目标的表示方
法为(r,α),其中,r表示目标与探测器的距离;α表示以正东为始边,逆时针旋转后的角度.例
如,点A,D的位置表示为A(5,30°),D(4,240°).用这种方法表示点B,C,E,F的位置,其中正
确的是 ( )
A.B(2,90°) B.C(2,120°) C.E(3,120°) D.F(4,210°)
(第9题图) (第10题图)
10.小米同学乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示,每相邻两个
圆之间距离是1km(小圆半径是1km),若小艇C相对于游船的位置可表示为(0°,-1.5),
则描述图中另外两个小艇A、B的位置,正确的是 ( )
A.小艇A(60°,3),小艇B(-30°,2) B.小艇A(30°,4),小艇B(-60°,3)
C.小艇A(60°,3),小艇B(-30°,3) D.小艇A(30°,3),小艇B(-60°,2)
第七章 平面直角坐标系
61
11.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m 个
数,如(4,2)表示实数9,则表示实数17的有序实数对是 .
(第11题图) (第12题图)
12.五子棋深受广大棋友的喜爱,其规则是:在15×15的正方形棋盘中,由黑方先行,轮流奕子,
在任何一方向(横向竖向或斜线方向)上连成五子者为胜.如图是两个五子棋爱好者甲和乙
的部分对弈图(甲执黑子先行乙执白子后走),观察棋盘思考:若A点的位置记作(8,4),若不
让乙在短时内获胜,则甲必须落子的位置是 .
13.如图是游乐园的一角.
(1)如果用(3,2)表示跳跳床的位置,那么跷跷板用数对 表示,碰碰车用数对
表示,摩天轮用数对 表示.
(2)请你在图中标出秋千的位置,秋千在大门以东400m,再往北300m处.
14.如图,用点A(3,1)表示3个胡萝卜,1棵青菜;点B(2,3)表示2个胡萝卜,3棵青菜,同理C
(2,1),D(2,2),E(3,2),F(3,3)各表示相应的胡萝卜个数与青菜的棵数,问:若1只兔子从A
到B,(顺着方格走)有以下几条路可供选择①A→C→D→B;②A→E→D→B;③A→E→F→
B.问:兔子顺着哪条路走吃到的胡萝卜最多? 顺着哪条路走吃到青菜最多? 各是多少?
62
15.(2020·宜昌)小李、小王、小张、小谢原有位置如图(横为排、竖为列),小李在第2排第4列,
小王在第3排第3列,小张在第4排第2列,小谢在第5排第4列.撤走第一排,仍按照原有
确定位置的方法确定新的位置,下列说法正确的是 ( )
A.小李现在位置为第1排第2列 B.小张现在位置为第3排第2列
C.小王现在位置为第2排第2列 D.小谢现在位置为第4排第2列
(第15题图) (第16题图)
16.(2020·泰州)以水平数轴的原点O为圆心,过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆,将Ox
逆时针依次旋转30°,60°,90°,…,330°得到11条射线,构成如图所示的“圆”坐标系,点A、B
的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°),则点C的坐标表示为 .
第七章 平面直角坐标系
63
7.1.2 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系及坐标平面
(1)在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成 .水平的数轴称为 或横
轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴为 或纵轴,取向上为正方向;两坐标轴
的交点为平面直角坐标系的 .
(2)建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ、Ⅳ四个部分,每个部分称为 ,分别叫作第一象限、第二象
限、第三象限、第四象限(如图所示).
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在x轴上,又在y轴上.
2.点的坐标 平面内的点可以用一个 表示,这个有序数对就叫作点
的坐标.对于平面内任意一点,过该点分别向横轴、纵轴作垂线,垂足在横轴、纵轴上对应的
数分别叫作该点的 、 .
如图,点P为坐标平面内一点,过点P作x 轴的垂线,垂足 M 在x 轴上对应的数是-2,则
-2就是点P的横坐标;过点P作y轴的垂线,垂足N 在y轴上对
应的数是3,则3就是点P 的纵坐标.这样点P 就可以用有序数对
(-2,3)来表示,记作P(-2,3).
特别提示:
(1)在记一个点的坐标时,一定要横坐标在前,纵坐标在后,中间用
逗号隔开.
(2)点P(x0,y0)到x轴的距离为 ,到y的距离为 .
(3)对于平面直角坐标系内的任意一点,都有一对有序数对和它对应;反过来,对于任意一
对有序数对,在平面直角坐标系内都有一个确定的点和它对应,因此平面内的点与
是一一对应的关系.
3.点的坐标特征
(1)坐标平面内的点P(a,b)的坐标特征
象限内
的点
点P在第一象限 a>0,b>0
点P在第二象限 a<0,b>0
点P在第三象限 a<0,b<0
点P在第四象限 a>0,b<0
64
坐标轴
上的点
点P在x 轴上:y=0,
x为一切实数
点P在x 轴正半轴上:a>0,b=0
点P在x 轴负半轴上:a<0,b=0
点P在y轴上:y=0,
y为一切实数
点P在x 轴正半轴上:b>0,a=0
点P在y轴负半轴上:b<0,a=0
(2)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
①第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标 ;
②第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互
为 .
(3)平行于x轴,y轴的直线上的点的坐标特征
如图,直线l1∥x轴,l2∥y轴,因为由l1 上的任意一点向y轴作垂
线,垂足都是同一个点M,所以l1 上所有的点的 都相同;
因为由l2 上的任意一点向x轴作垂线,垂足都是同一个点 N,所以l2 上所有的点的
都相同.
1.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是 ( )
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
3.已知点A(m,n),且有mn≥0,则点A 一定不在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.坐标轴上
4.已知P(x,y)在第四象限,且x2=4,|y|=7,则点P的坐标是 ( )
A.(2,-7) B.(-4,7) C.(4,-7) D.(-2,7)
5.点P到x 轴的距离是2,到y轴的距离是3,且点P在y轴的右侧,则P点的坐标是
( )
A.(2,3) B.(3,2)或(3,-2)
C.(3,2) D.(2,-3)或(2,-3)
6.已知点P(-2,5),Q(n,5)且PQ=4,则n的值为 ( )
A.2 B.2或4 C.2或-6 D.-6
7.若第二象限内的点P(x,y)满足|x|=4、y2=9,则点P的坐标是 .
8.在平面直角标系中,若点P(m-1,m+1)在x轴上,则点P到原点O 的距离是 .
9.已知点P(a+3,7+a)位于二、四象限的角平分线上,则点P的坐标为 .
10.已知点M(3,-2)与点N(a,b)在同一条平行于x轴的直线上,且点N 到y轴的距离等于
4,则点N 的坐标是 .
第七章 平面直角坐标系
65
11.已知,点P(2m-6,m+2).
(1)若点P在y轴上,则P点的坐标为 ;
(2)若点P的纵坐标比横坐标大6,求点P在第几象限?
(3)若点P和点Q 都在过A(2,3)点且与x轴平行的直线上,AQ=3,求Q点的坐标.
12.一个长方形在平面直角坐标系中,若其三个顶点的坐标分别为(-3,-2),(2,-2),(2,
1),则第四个顶点为 ( )
A.(2,-5) B.(2,2) C.(3,1) D.(-3,1)
13.若点A(a+1,b-1)在第二象限,则点B(-1,b)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.已知点P(0,a)在y轴的负半轴上,则点Q(-a2-1,-a+1)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
15.在平面直角坐标系中,第二象限内的点P到x 轴的距离是2,到y轴的距离是3,已知线段
PQ∥y轴且PQ=5,则点Q的坐标是 ( )
A.(-3,7)或(-3,-3) B.(-3,3)或(-7,3)
C.(-2,2)或(-8,2) D.(-2,8)或(-2,-2)
16.如图,一个机器人从点O出发,向正西方向走2m到达点A1;再向
正北方向走4m到达点A2,再向正东方向走6m到达点A3,再向
正南方向走8m到达点A4,再向正东方向走10m到达点A5,按如
此规律走下去,当机器人走到点A2021时,点A2021在第( )象限.
A.一 B.二
C.三 D.四
17.已知点A(1+2a,4a-5),且点A 到两坐标轴的距离相等,求点A 的坐标.
66
18.在平面直角坐标系中描出下列各点,用线段将各点依次连接起来:A(2,5),B(1,3),C(5,
2),并求出该图形的面积.
19.如图,学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成,将护栏的图案放在平
面直角坐标系中,已知小正方形的边长为1m,则A1 的坐标为(2,2)、A2 的坐标为(5,2).
(1)A3 的坐标为 ,An 的坐标(用n的代数式表示)为 .
(2)2020m长的护栏,需要两种正方形各多少个?
20.(2020·邵阳)已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的
坐标可能是 ( )
A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b)
(第20题图) (第23题图)
21.(2020·黄冈)在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第三象限,则点B(-ab,b)所在的象
限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
22.(2020·滨州)在平面直角坐标系的第四象限内有一点M,到x轴的距离为4,到y轴的距
离为5,则点M 的坐标为 ( )
A.(-4,5) B.(-5,4) C.(4,-5) D.(5,-4)
23.(2020·朝阳)如图,动点P从坐标原点(0,0)出发,以每秒一个单位长度的速度按图中箭
头所示方向运动,第1秒运动到点(1,0),第2秒运动到点(1,1),第3秒运动到点(0,1),
第4秒运动到点(0,2)…则第2068秒点P所在位置的坐标是 .
第七章 平面直角坐标系
67
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
1.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下:
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为 ,确定x轴,y轴的 ;
(2)根据具体问题确定 ;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.
1.如图是某中学的平面示意图,每个正方形格子的边长为1,如果校门所在位置的坐标为(2,
4),小明所在位置的坐标为(-6,-1),那么坐标(3,-2)在示意图中表示的是 ( )
A.图书馆 B.教学楼 C.实验楼 D.食堂
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2.如图,五架轰炸机组成了一个三角形飞行编队,且每架飞机都在边长等于1的正方形网格
格点上,其中A、B两架轰炸机对应点的坐标分别为A(-2,1)和B(-2,-3),那么轰炸机
C对应点的坐标是 ( )
A.(2,-1) B.(4,-2) C.(4,2) D.(2,0)
3.如图,学校在李老师家的南偏东30°方向,距离是500m,则李老师家在学校的 ( )
A.北偏东30°方向,相距500m处 B.北偏西30°方向,相距500m处
C.北偏东60°方向,相距500m处 D.北偏西60°方向,相距500m处
4.小刚从学校出发往东走500m是一家书店,继续往东走1000m,再向南走1000m即可到家,若选
书店所在的位置为原点,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,规定一
个单位长度代表1m长,若以点A表示小刚家的位置,则点A的坐标是 ( )
A.(1500,-1000) B.(1500,1000)
C.(1000,-1000) D.(-1000,1000)
68
5.五子棋的比赛规则是一人执黑子,一人执白子,两人轮流
出棋,每次放一个棋子在棋盘的格点处,只要有同色的五
个棋子先连成一条线(横、竖、斜均可)就获得胜利.如图是
两人正在玩的一盘棋,若白棋A 所在点的坐标是(-2,2),
黑棋B所在点的坐标是(0,4),现在轮到黑棋走,黑棋放到
点C的位置就获得胜利,点C的坐标是 .
6.小明出家门向南走400m到超市,再从超市向西走300m到中百仓储,若以正东、正北方向
为x轴、y轴的正方向,将超市标记为(0,-400),则中百仓储的坐标是 .
7.如图是某校的平面示意图,已知图书馆、校门口的坐标分别为(-2,2),(2,0),完成以下
问题.
(1)请根据题意在图上建立直角坐标系;
(2)写出图上其他地点的坐标;
(3)在图中标出体育馆(-5,4)的位置.
8.如图是某广场示意图,刘芳从点O出发,先向西走40m,再向南走30m 到达点 M,如果点
M 的位置为(-4,-3),那么(1,2)表示的是 ( )
A.点A 的位置 B.点B的位置 C.点C的位置 D.点D 的位置
(第8题图) (第9题图)
9.小李在平面直角坐标系中画了一张示意图,分别标出了学校、电影院、体育馆、超市的大致
位置,如果张大妈从体育馆向南走150m,再向东走400m,再向南走250m,再向西走50
m,最终到达的地点是 ( )
A.学校 B.电影院 C.体育馆 D.超市
第七章 平面直角坐标系
69
10.学校位于小亮家北偏东35°方向,距离为300m,学校位于大刚家南偏东85°方向,距离也
为300m,则大刚家相对于小亮家的位置是 .
11.某军事行动中,对军队部署的方位,采用钟代码的方式来表示.例如,北偏东30°方向45
km的位置,与钟面相结合,以钟面圆心为基准,时针指向北偏东30°的时刻是1:00,那么
这个地点就用代码010045来表示.按这种表示方式,南偏东60°方向78km 的位置,可用
代码表示为 .
12.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形,若学校位置坐标为A(2,1),图
书馆位置坐标为B(-1,-2).
(1)在图中标出平面直角坐标系的原点,并建立直角坐标系;
(2)若体育馆位置坐标为C(1,-3),请在坐标系中标出体育馆的位置;
(3)顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到△ABC,求△ABC的面积.
13.如图标明了李华同学家附近的一些地方.
(1)根据图中所建立的平面直角坐标系,写出学校、汽车站的坐标;
(2)某星期日早晨,李华同学从家里出发,沿着(-2,-1),(-1,-2),(1,-2),(2,-1),
(1,-1),(1,3),(-1,0),(0,-1)的路线转了一下然后回家,写出他路上经过的
地方.
70
14.如图,点A 在观测点北偏东30°方向,且与观测点的距离为8km,将点
A 的位置记作A(8,30°).用同样的方法将点B,点C的位置分别记作
B(8,60°),C(4,60°),则观测点的位置应在 ( )
A.点O1 B.点O2
C.点O3 D.点O4
15.(2020·威海)如图1,某广场地面是用A,B,C三种类型地砖平铺而成的.三种类型地砖上
表面图案如图2所示.现用有序数对表示每一块地砖的位置:第一行的第一块(A 型)地砖
记作(1,1),第二块(B型)地砖记作(2,1)…若(m,n)位置恰好为A 型地砖,则正整数m,n
须满足的条件是 .
(第14题图)
第七章 平面直角坐标系
71
7.2.2 用坐标表示平移
1.点的平移
一般地在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点
或 ;将点 (x,y)向上或向下平移b 个单位长度,可以得到对应点
或 .
平行移动最关键的是应掌握平移的方向与坐标变化之间的联系,用口诀的形式表示为:横
坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.
2.图形的平移
一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数
a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 个单位长度;相应如果把图形各
个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移
个单位长度.
可见,图形的平移就是组成整个图形的各点同向等距离的平移.
1.如图,将“笑脸”图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P'的坐标是
( )
A.(-1,6) B.(-9,6) C.(-1,2) D.(-9,2)
(第1题图) (第2题图)
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,-1),平移线段AB,使点A 落在点
A1(-2,2)处,则点B的对应点B1 的坐标为 ( )
A.(-1,-1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(3,0)
3.在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与
点B(-3,2)重合,则点A 的坐标是 ( )
A.(2,5) B.(-8,5)
C.(-8,-1) D.(2,-1)
72
4.将一个长方形的四个顶点的横坐标都减2,纵坐标不变,则新长方形是 ( )
A.将原图形向左平移2个单位长度得到的
B.将原图形向上平移2个单位长度得到的
C.将原图形向右平移2个单位长度得到的
D.将原图形向下平移2个单位长度得到的
5.将点(3,-6)先向左平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度,便得到其
对应点的坐标为(-1,2).
6.如图,把图中的圆A 经过平移得到圆O(如图),如果左图☉A 上一点P 的坐标为(m,n),那
么平移后在右图中的对应点P'的坐标为 .
7.已知坐标平面内的三个点A(1,3)、B(3,1)、O(0,0).
(1)求△ABO的面积;
(2)平移△ABO至△A1B1O1,当点A1 和点B 重合时,点O1 的坐标
是 ;
(3)平移△ABO 至△A2B2O2,需要至少向下平移超过 单
位,并且至少向左平移超过 个单位,才能使△A2B2O2
位于第三象限.
8.线段AB=4且AB∥x轴,若A(-2,4),则线段向下平移4个单位后,点B 的对应点B'的
坐标为 ( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(2,0)或(-6,0) D.(2,-1)或(-6,1)
9.如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),将线段AB 平移至A1B1 的位置,则a+b的
值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
第七章 平面直角坐标系
73
10.如图,将四边形ABCD 上一点(x0,y0),按下列平移规律变
化(x0,y0)⇒(x0-3,y0+2),则新的四边形的顶点A',B',
C',D'坐标为 ( )
A.A'(3,3),B'(2,-1),C'(2,-1),D'(-2,2)
B.A'(0,5),B'(-1,1),C'(-4,0),D'(-5,4)
C.A'(1,4),B'(2,1),C'(-4,0),D'(4,-5)
D.以上都不对
11.在平面直角坐标系中,三角形A'B'C'是由三角形ABC 平移后得到的,三角形ABC 中任
意一点P(x0,y0)经过平移后的对应点为P'(x0+7,y0+2),若A'的坐标为(5,3),则它的
对应点A 的坐标为 .
12.如图,在平面直角坐标系中有三个点A(-3,2)、B(-5,1)、C(-2,0),P(a,b)是△ABC的
边AC上一点,△ABC经平移后得到△A1B1C1,点P的对应点为P1(a+6,b+2).
(1)画出平移后的△A1B1C1,写出点A1、C1 的坐标;
(2)若以A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形,同时点D 在y轴上,直接写出D 点的
坐标;
(3)求四边形ACC1A1 的面积.
13.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B 分别
向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到A,B 的对应点C,D,连接AC,
BD,CD.
(1)直接写出点C,D 的坐标,求出四边形ABDC的面积;
(2)在x轴上是否存在一点F,使得△DFC的面积是△DFB面积的2倍,若存在,请求出
点F的坐标;若不存在,请说明理由.
74
14.一动点沿着数轴向右平移3个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移1个单位.用
实数加法表示为3+(-2)=1.若坐标平面上的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为
a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为
负,平移|b|个单位),则把有序数对{a,b}叫作这一平移的“平移量”;“平移量”{a,b}与“平
移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.
(1)计算:{3,1}+{1,2};{1,2}+{3,1};
(2)如图,一艘船从码头O 出发,先航行到湖心岛码头P(2,3),再从码头P 航行到码头
Q(5,5),最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.
15.(2020·泸州)在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移4个单位长度,得到的对应
点A'的坐标为 ( )
A.(2,7) B.(-6,3) C.(2,3) D.(-2,-1)
16.(2020·台州)如图,把△ABC先向右平移3个单位,再向上平移2
个单位得到△DEF,则点C(0,-1)对应点的坐标为 ( )
A.(0,0) B.(1,2)
C.(1,3) D.(3,1)
17.(2020·绵阳)平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向左平移2个
单位,再向上平移1个单位后得到的点A1 的坐标为 .
第七章 平面直角坐标系
75
章末小结
平面直角
坐标系
平面直角
坐标系
有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对
平面直角坐标系
定义:在平面内画两条数轴:互相垂直;原点重合
坐标平面
象限
第① 象限(+,+)
第二象限②
第③ 象限(-,-)
第四象限④
?
?
?
???
???
坐标轴
x轴:⑤ ⑥ :(0,y)
?
?
?
???
???
?
?
?
????
????
?
?
?
???
???
坐标方法的
简单应用
用坐标表示地理位置
用方位角和距离表示地理位置
用坐标表示平移
点的平移 图形的平移
?
?
?
??
??
?
?
?
???????
???????
考点一 平面直角坐标系中点的位置的确定
1.在平面直角坐标系中,点A(a-2,a-1)不可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知点A(3,m+1)在x轴上,点B(2-n,-2)在y轴上,则点C(m,n)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知点P(x,y)在第二象限,|x+1|=2,|y-2|=3,则点P的坐标为 ( )
A.(-3,5) B.(1,-1) C.(-3,-1) D.(1,5)
4.下列与(-1,5)相连所得的直线与y轴平行的点为 ( )
A.(1,-5) B.(-1,2) C.(4,-5) D.(2,5)
5.如图,张宁在某旅游景点的动物园的大门口看到这个动物园的平
面示意图,若以大门为坐标原点,其他四大景点大致用坐标表示
肯定错误的是 ( )
A.熊猫馆(1,4) B.猴山(6,1)
C.百草园(5,-3) D.驼峰(5,-2)
6.如果点P(x-3,y)在第一象限,那么点Q(2-x,y+2)在第 象限.
76
7.已知:P(4x,x-3)在平面直角坐标系中.
(1)若点P在第三象限的角平分线上,求x的值;
(2)若点P在第四象限,且到两坐标轴的距离之和为9,求x的值.
考点二 坐标与图形变化———平移
8.如图,A,B 的坐标分别为(0,1),(3,0),若将线段 AB 平移至
A1B1,则a+b的值为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
9.如图,三角形ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+3,y0-1),将三角形
ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1,则A1 的坐标是 ( )
A.(-4,3) B.(-4,5) C.(2,3) D.(2,5)
(第9题图)
10.在平面直角坐标系中,线段CF是由线段AB 平移得到的:点A(-2,3)的对应点为C(1,
2),则点B(a,b)的对应点F的坐标为 ( )
A.(a+3,b+1) B.(a+3,b-1) C.(a-3,b+1) D.(a-3,b-1)
11.已知点P的坐标为(a,b)(a>0),点Q 的坐标为(c,3),且|a-c|+ b-7=0,将线段PQ
向右平移a个单位长度,其扫过的面积为20,那么a+b+c的值为 ( )
A.12 B.15 C.17 D.20
12.已知A(a-5,2b-1)在y轴上,B(3a+2,b+3)在x轴上,则C(a,b)向左平移2个单位长
度,再向上平移3个单位长度后的坐标为 .
13.平面直角坐标系中,点Q(a,-1)是由点P(-3,b)经过向下平移3个单位,再向右平移2
个单位得到的,则ab= .
第七章 平面直角坐标系
77
14.按要求画图及填空:
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图
所示平面直角坐标系,原点O及△ABC的顶点都在格点上.
(1)点A 的坐标为 ;
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度,再向右平移5个单位
长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.
(3)△A1B1C1 的面积为 .
考点三 规律型———点的坐标
15.如图,一个质点在第一象限及x轴,y轴上运动,在第一秒钟,它从原点(0,0)运动到(0,
1),然后接着按图中箭头所示方向运动,即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…,且每秒移
动一个单位,那么第24秒时质点所在位置的坐标是 ( )
A.(0,5) B.(5,0) C.(0,4) D.(4,0)
(第15题图) (第16题图) (第17题图)
16.如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长度,P1,P2,P3,…均在格
点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,
-1),P6(-1,2)…根据这个规律,点P2021的坐标为 ( )
A.(-505,-505) B.(-506,-505) C.(505,-505) D.(-505,506)
17.如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(2,
2),第2次接着运动到点(4,0),第3次接着运动到点(6,1),…,按这样的运动规律,经过
第72次运动后,动点P的坐标是 ( )
A.(144,0) B.(142,2)
C.(72,0) D.(142,1)
18.如图,动点P 从(0,2)出发,沿所示的方向在矩形网格中运动,每当
碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,若第一次碰到矩
形的边时坐标为P1(2,0),则P2021的坐标为 .
19.如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),动点
P从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DAAB-…路线运动,当运动到2021秒时,点P的坐标为 .
78
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.含有 未知数,并且含有未知数的项的次数都是 的方程叫作二元一次
方程.
特别提示:(1)二元一次方程与字母的表示无关;(2)含未知数项的次数必须为1.
2.由两个一次方程组成,并含有 的方程组叫作二元一次方程组.
二元一次方程组满足三个条件:(1)方程组中的两个方程都是整式方程;(2)方程组中共含
有两个未知数;(3)每个方程都是一次方程.
3.使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值,叫作二元一次方程的解.
4.二元一次方程组的两个方程的 ,叫作一元一次方程组的解.
二元一次方程组的解是指同时满足两个方程的一对未知数的值.
1.下列各方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )
A.
y=2x 3x+4y=2
B.
3x+2y=7 xy=5
C.
2x+y=1 x+z=2
D.
5
x
+y
3
=
1
2
x+2y=3
?
?
?
??
??
2.已知方程ax+y=3x-1是二元一次方程,则a满足的条件是 ( )
A.a≠0 B.a≠-1
C.a≠3 D.a≠1
3.若
x=2 y=-1
是关于x、y的二元一次方程ax+by-5=0的一组解,则2a-b-2的值为 ( )
A.-3 B.3 C.-7 D.7
4.关于x,y的二元一次方程组
mx+y=n x-ny=2m
的解是
x=0, y=2,
则m+n的值为 ( )
A.4 B.2 C.1 D.0
5.已知方程(a+2)xa
2-3-2y+3=0是关于x,y的二元一次方程,则a= .
6.在方程3x-5y=13中,当x=1时,y= .
第八章 二元一次方程组
79
7.如图,按运算程序写出x,y满足的方程是 .
8.甲、乙两人各工作5天,共生产零件80件.设甲每天生产零件x件,乙每天生产零件y件,
可列二元一次方程 .
9.篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,某队在10场比赛
中得到16分.若设该队胜的场数为x,负的场数为y,则可列方程组为 .
10.已知甲种物品每个重4kg,乙种物品每个重7kg,现有甲种物品x个,乙种物品y个,共重
76kg.
(1)列出关于x,y的二元一次方程;
(2)若乙种物品有8个,则甲种物品有多少个.
11.下列各式,属于二元一次方程的个数有 ( )
①xy+2x-y=7;②4x+1=x-y;③
1
x
+y=5;④x=y;⑤x2-y2=2;⑥6x-2y;⑦x+
y+z=1;⑧y(y-1)=2y2-y2+x.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.二元一次方程3x-2y=1的不超过10的正整数解共有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
13.小明解方程组
x+2y=● x-2y=-1
的解为
x=3, y=■,
由于不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个
数●和■,则两个数●与■的值为 ( )
A.
●=7 ■=2
B.
●=7 ■=-2
C.
●=-7 ■=2
D.
●=-7 ■=-2
14.已知二元一次方程2x-3y-5=0的一组解为
x=a, y=b,
则6b-4a+3= .
15.二元一次方程x+2y=3的非负整数解是 .
16.学校计划购买A 和B 两种品牌的足球,已知一个A 品牌足球60元,一个B 品牌足球75
元.学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买),该学校的购买方案
共有 种.
80
17.下列各个图是由若干个花盆组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)
盆花,每个图案花盆的总数是s.
按此规律推断,以s、n为未知数的二元一次方程是 .
18.已知
a=2 b=1
是方程组
2a+(m-1)b=2 na+b=1
的解,求(m+n)2022的平方根.
19.若干名游客要乘坐游船,要求每艘游船乘坐的人数相同.如果每艘游船乘坐12人,结果剩
下1人未能上船;若有一艘游船空着开走,则所有游客正好能平均分坐到其余游船上.已
知每艘游船最多能容纳15人.请你通过计算,说明游客共有多少人?
20.(2020·益阳)同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x,y的值为 ( )
A.
x=4 y=-5
B.
x=-4 y=5
C.
x=-2 y=3
D.
x=3 y=-6
21.(2020·绍兴)若关于x,y的二元一次方程组
x+y=2, A=0,
的解为
x=1, y=1,
则多项式A 可以是
(写出一个即可).
第八章 二元一次方程组
81
8.2 消元———解二元一次方程组
第1课时 代入法解二元一次方程组
1.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用 表示出来,再代入另一个
方程,实现 ,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫作代入消元法,简称
代入法.
2.代入消元法的步骤:
(1)在方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程变形,用含一个未知数的代数式
表示 ;
(2)将这个关系式代入另一个方程,消去一个未知数得到一个 方程;
(3)解这个一元一次方程,求得一个 的值;
(4)将这个求得的未知数的值再代入关系式,求出另一个未知数的值;
(5)写出 .
1.对于等式2x+3y=7,用含x的代数式来表示y,下列式子正确的是 ( )
A.y=
7-2x
3
B.x=
3y-7
2
C.x=
7-3y
2
D.y=
2x-7
3
2.用代入法解二元一次方程组
4x+5y=3 3x-y=7
时,最好的变式是 ( )
A.x=
3-5y
4
B.y=
3-4x
5
C.x=y+7
3
D.y=3x-7
3.用“代入消元法”解方程组
y=2-x ① 2x-3y=19 ②
时,①代入②正确的是 ( )
A.2x-6+3x=19 B.2x-6-3x=19
C.2x-6+x=19 D.2x-6-x=19
4.解二元一次方程组
4x+5y=17 4x+7y=-19
时,用代入消元法整体消去4x,得到的方程是 ( )
A.2y=-2 B.2y=-36 C.12y=-36 D.12y=-2
5.已知方程2x+3y-8=0,用含x 的代数式表示y 为 ;含y 的代数式表示x
为 .
82
6.如图,框图所表示的解方程组的方法是 .
7.若|2x-3y|与|x-y-1|互为相反数,则xy= .
8.用代入法解方程组:
(1)
x=y+5, 2x-y=8;
(2)
2x+3y=-9, 5x-y=3;
(3)
4x-5y=3, 3x-2y=1.
9.用代入法解方程组
2x+3y=8 ① 3x-5y=5 ②
有以下过程,其中错误的一步是 ( )
(1)由①得x=
8-3y
2
③;
(2)把③代入②得3×
8-3y
2
-5y=5;
(3)去分母得24-9y-10y=5;
(4)解之得y=1,再由③得x=2.5.
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
10.已知关于x,y的方程组
ax+by=0 3ax-2by=10
的解为
x=2 y=-1
,则a,b的值为 ( )
A.
a=1 b=2
B.
a=2 b=1
C.
a=-1 b=-2
D.
a=2 b=-1
第八章 二元一次方程组
83
11.若方程组
2x+3y=1 (m-1)x+(m+1)y=4
的解中x与y相等,则m 的值为 ( )
A.10 B.-10 C.20 D.3
12.如果单项式2xm+2ny与-3x4y4m-2n是同类项,则m、n的值为 ( )
A.m=-1,n=2.5 B.m=1,n=1.5
C.m=2,n=1 D.m=-2,n=-1
13.若方程组
2kx+(k-1)y=3 4x+3y=1
的解x和y互为相反数,则k的值为 .
14.若方程组
x+4=y 2x-y=2a
中的x 是y的2倍,则a= .
15.已知方程组
x=y+5 x+y+m=0
和方程组
2x-y=5 x+y+m=0
有相同的解,则m 的值是 .
16.在等式y=kx+b中,当x=1时,y=2,当x=-1时,y=-4,求当x=-2时,y的值.
17.已知|a+b-8|+(a-3b)2=0,求a、b.
18.在解方程组
mx+2y=6 2x+ny=8
时,小军由于粗心看错了方程组中的n,解得
x=2, y=2,
小红由于看错
了方程组中的m,解得
x=-2, y=4.
(1)m,n的值分别是多少?
(2)正确的解应该是怎样的?
84
19.解方程组
x-y=1① 4(x-y)-y=5②
时,可将①代入②得:4×1-y=5,∴y=-1,从而求得
x=0, y=-1.
这种方法被称为“整体代入法”.
试用“整体代入法”解方程组:
x-3y-8=0,
2x-6y+5
7
+2y=9.
?
?
?
??
??
20.(2020·绵阳)《九章算术》中记载“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人
数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,
还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少? 此问题中羊价为 ( )
A.160钱 B.155钱 C.150钱 D.145钱
21.(2020·连云港)解方程组
2x+4y=5, x=1-y.
第八章 二元一次方程组
85
第2课时 加减法解二元一次方程组
1.二元一次方程中同一未知数的系数 时,把这两个方程的两边分别
,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫作加减消元法,简
称加减法.
2.用加减法解二元一次方程组的步骤:
(1)确定消元对象,并把它的系数化成 的数;
(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个 方程;
(3)解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;
(4)将这个求得的 的值代入原方程组中的任意一个方程,求出另一个未知数
的值;
(5)写出方程组的解.
1.用加减法解方程组
4x+3y=7 ① 6x-5y=-1 ②
时,若要求消去y,则应 ( )
A.①×3+②×2 B.①×3-②×2
C.①×5+②×3 D.①×5-②×3
2.方程组
3x+2y=7 6x-2y=11
的解是 ( )
A.
x=-1 y=5
B.
x=1 y=2
C.
x=3 y=-1
D.
x=2
y=
1
2
?
?
?
??
??
3.用加减法解方程组
4x+5y=19 4x-3y=3
消去未知数x得到的方程是 ( )
A.2y=16 B.2y=22 C.8y=16 D.8y=22
4.已知a,b满足方程组
3a+2b=4 2a+3b=6
,则a+b的值为 ( )
A.2 B.4 C.-2 D.-4
5.已知a、b满足|a+b-2|+ a-b=0,则2a+b的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.在等式y=kx+b 中,当 x=1 时,y=2;当 x=2 时,y= -4,则式子 3k+2b 的值
为 .
86
7.已知关于x,y的二元一次方程组
2ax+by=3 ax-by=1
的解
x=1, y=-1,
则2a-4b的算术平方根是
.
8.用适当的方法解下列方程组:
(1)
x+y=5, 2x+y=4;
(2)
2a-b=8, 3a+2b=5.
9.已知
x=m, y=n,
满足方程组
x+2y=5, 2x+y=7,
则1
2
n1
2
m 的值是 ( )
A.2 B.-1 C.-
3
2
D.-2
10.已知方程组
3x+5y=3k+1, 5x+3y=k+1,
x与y的值之和等于2,则k的值为 ( )
A.-2 B.-
7
2
C.2 D.
7
2
11.已知等式(3A-B)x+(2A+5B)=5x-8对于一切实数x都成立,则A,B的值为 ( )
A.
A=1 B=-2
B.
A=6 B=-4
C.
A=1 B=2
D.
A=2 B=1
12.甲、乙两人共同解关于x,y的方程组
ax+by=5 ①, 3x+cy=2 ②,
甲正确地解得
x=2, y=-1,
乙看错了
方程②中的系数c,解得
x=3, y=1,
则(a+b+c)2 的值为 ( )
A.16 B.25 C.36 D.49
13.对于有理数,规定新运算:x※y=ax+by+xy,其中a、b是常数,等式右边的是通常的加
法和乘法运算.已知:2※1=7,(-3)※3=3,则1
3
※b= .
第八章 二元一次方程组
87
14.若 关 于 x,y 的 方 程 组
5x+3ay=16 -bx+4y=15
(其 中 a,b 是 常 数)的 解 为
x=6, y=7,
则 方 程 组
5(x+1)+3a(x-2y)=16 -b(x+1)+4(x-2y)=15
的解为 .
15.小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气
球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)
为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为 .
16.方程组
3x-5y=2a 2x+7y=-10
的解x、y的值互为相反数,求a的值和方程组的解.
17.规定
a c
b d
=ad-bc,如
2 -1
3 0
=2×0-3×(-1)=3.
(1)计算:
-2 5
3 1
;
(2)若
3 -2
y x
=1,
3 2
x y
=-5,求x-y的值.
88
18.对于未知数为x,y的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说方
程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1)方程组
x+2y=7 x-y=1
的解x与y是否具有“邻好关系”? 说明你的理由;
(2)若方程组
2x-y=6 4x+y=6m
的解x 与y具有“邻好关系”,求m 的值;
19.(2020·天津)方程组
2x+y=4 x-y=-1
的解是 ( )
A.
x=1 y=2
B.
x=-3 y=-2
C.
x=2 y=0
D.
x=3 y=-1
20.(2020·嘉兴)用加减消元法解二元一次方程组
x+3y=4 ① 2x-y=1 ②
时,下列方法中无法消元的
是 ( )
A.①×2-② B.②×(-3)-① C.①×(-2)+② D.①-②×3
21.(2020·天水)已知a+2b=
10
3
,3a+4b=
16
3
,则a+b的值为 .
22.(2020·乐山)解二元一次方程组:
2x+y=2, 8x+3y=9.
第八章 二元一次方程组
89
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题
1.列二元一次方程组解决实际问题的步骤可以简单地表示为:
问题→(分析、抽象)方程组→(求解、检验)解答.
其具体表示的意义为:
①审:弄清题意和题目中的 ;
②设:用字母表示其中适当的 ;
③找:找出能够表示实际问题全部含义的 ,这是解题的关键;
④列:对上述相等关系中涉及的量,列出必要的式子,从而列出 ;
⑤解:解所列方程组,得到未知数的值;
⑥答:检验所求解是否符合题意,给出答案,注意不要忘记单位.
1.某校计划购买篮球和排球共100个,其中篮球每个110元,排球每个80元.若购买篮球和
排球共花费9200元,该校购买篮球和排球各多少个? 设购买篮球x个,购买排球y个,根
据题意列出方程组正确的是 ( )
A.
x+y=9200
x
80
+
y
110
=100
?
?
?
??
??
B.
x+y=9200
x
110
+
y
80
=100
?
?
?
??
??
C.
x+y=100 80x+110y=9200
D.
x+y=100 110x+80y=9200
2.根据如图提供的信息,可知一个热水瓶的价格是 ( )
A.7元 B.35元 C.45元 D.50元
3.《孙子算经》记载:今有3人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何? 译文:今有若
干人乘车,若每三人共乘一辆车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一辆车,最终剩余9人无车
可乘.问共有多少人? 多少辆车? 若设有x人,y辆车,则可列方程组为 .
90
4.篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队14场比赛得
到23分,则该队胜了 场.
5.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为15元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆.
现在停车场内停有30辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费324元,求中、小型汽车各有多
少辆?
6.某中学七年级学生外出进行社会实践活动,如果每辆车坐45人,那么有15个学生没车坐;
如果每辆车坐60人,那么恰好可以空出一辆车.问共有几辆车,几个学生?
7.利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度,首先按图1所示的方式放置,再交
换两木块的位置,按图2所示的方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度等于 ( )
图1 图2
A.80cm B.75cm C.70cm D.65cm
第八章 二元一次方程组
91
8.甲、乙两人年收入之比为4∶3,支出之比为8∶5,一年间两人各存50000元(设两人剩余的
钱都存入银行),则甲、乙两人年收入分别为 ( )
A.150000元,120000元 B.120000元,150000元
C.150000元,112500元 D.112500元,150000元
9.一群男、女学生若干人,如果女生走了15人,那么余下男、女生比例为2∶1.在此之后,男生
又走了45人,于是男、女同学的比例为1∶5,则男生原来人数为 ( )
A.40个 B.45个
C.50个 D.55个
10.小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏,各投5支飞镖,规定在同一圆环内得分相同,中靶和得
分情况如图,则小亮的得分是 .
11.打折前,买60件A商品和30件B商品用了1080元,买50件A 商品和10件B商品用了
840元.打折后,买500件A商品和500件B商品用了9600元,比不打折少花 元.
12.根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高 cm,放入一个大球水面升高 cm;
(2)如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个?
92
13.某玩具生产厂家A 车间原来有30名工人,B 车间原来有20名工人,现将新增25名工人
分配到两车间,使A 车间工人总数是B 车间工人总数的2倍.
(1)新分配到A、B车间各是多少人?
(2)A 车间有生产效率相同的若干条生产线,每条生产线配置5名工人,现要制作一批玩
具,若A 车间用一条生产线单独完成任务需要30天,问A 车间新增工人和生产线后
比原来提前几天完成任务?
14.滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车
的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方
式为:行车里程7公里以内(含7公里)不收远途费,超过7公里的,
超出部分每公里收0.8元.
小王与小张各自乘坐满滴快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里
程分别为6公里与8.5公里,两人付给滴滴快车的乘车费相同.
(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟;
(2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点在大厅等
候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘
车时间的一半多8.5分钟,计算俩人各自的实际乘车时间.
第八章 二元一次方程组
93
15.(2020·绍兴)同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km,它们各自单独行
驶并返回的最远距离是105km.现在它们都从A 地出发,行驶途中停下来从甲车的气体
燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶,然后甲车再行驶返回A 地,而乙车继续行
驶,到B地后再行驶返回A 地,则B地最远可距离A 地 ( )
A.120km B.140km C.160km D.180km.
16.(2020·无锡)我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳
多一尺,井深几何? 这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳
四折来量,井外余绳一尺,井深几尺? 则该问题的井深是 尺.
94
第2课时 利用二元一次方程组的解作决策问题
列方程组时应注意:①方程两边表示的是同类量;②两类量的单位要统一;③方程两边的
数值要相等;④一般地,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.
1.某景点的门票价格规定如下表:
购票人数 1—50人 51—100人 100人以上
每人门票价 12元 10元 8元
某校七年级(一)、(二)两班共100多人去游览该景点,其中(一)班不足50人,(二)班多于
50人少于100人,如果两班都以班为单位分别购票,则一共付款1126元.如果以团体购票,
则需要付费824元,求两班分别有多少名学生.
2.“六一”儿童节有一投球入盆的游戏,深受同学们的喜爱,游戏规则如下:如图,在一大盆里
放一小茶盅(叫幸运区)和小茶盅外大盆内(环形区)分别得不同的分数,投到大盆外不得
分;每人各投6个球,总得分不低于30分得奖券一张.现统计小刚、小明、小红三人的得分
情况如下图:
(1)每投中“幸运区”和“环形区”一次,分别得多少分?
(2)根据这种得分规则,小红能否得到一张奖券? 请说明理由.
第八章 二元一次方程组
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3.某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调
调价后售出可获利10%(相对于进价),另一台空调调价后售出则要亏本10%,这两台空调
调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出 ( )
A.既不获利也不赔本 B.可获利1%
C.要亏本2% D.要亏本1%
4.甲运输公司决定分别运给A 市苹果10t,B 市苹果8t,但现在仅有12t苹果,还需从乙运
输公司调运6t,经协商,从甲运输公司运1t苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元,
从乙运输公司运1t苹果到A、B 两市的运费分别为80元和40元,要求总运费为840元,
问如何进行调运?
5.某同学在A、B两家超市发现她看中的随身听的单价相同,书包的单价也相同,随身听与书
包的单价和是452元,且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元.
(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?
(2)某一天该同学听说商家促销,超市A 所有商品打八折,超市B 全场购物满100元返购
物劵30元(不足100元不返,购物劵可全场通用).但她只带了400元,如果他只在一家
超市购买这两样物品,请问他在哪家买更省钱?
