第51页
中档题
9. [2022吉林]下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中A是关于m的多项式.请写出多项式A,并将该例题的解答过
程补充完整.
答案
9.【参考答案】∵m2+6m-6m-6=m(m+6)-6(m+1),
∴A=m+6.
完整解答过程如下:
m(m+6)-6(m+1)
=m2+6m-6m-6
=m2
-6.
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附赠课件-数学基础双练
数学文化 拓视野1. [2021广东]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记p=?+?+?2,则其面积S= ?(?−?)(?−?)(?−?).这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为( )A. 5 B.4 C.2 5 D.5答案1.C 由题意,得a+b+c=2p.又c=4,p=5,∴a+b+4=10,∴b=6-a,∴S= 5(5−?)(5 + ?−6) × (5−4) = 5(−?2 + 6?−5) =−5(?−3)2+20,当a=3时,S有最大值,最大值为2 5.
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文本内容
第52页
考点4
列代数式及整式的化简求值
第53页
容易题
1. [2021青海]一个两位数,它的十位数字是x,个位数字是y,那么这个两位数是( )
A.x+y B.10xy
C.10(x+y) D.10x+y
答案
1.D
第54页
容易题
2. [2021温州]某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17 米3
,每立方米a元;超过部分每立方米(a+1.2)元.该地
区某用户上月用水量为20 米3
,则应缴水费为( )
A.20a元 B.(20a+24)元
C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元
答案
2.D 由题意可知,该用户应缴水费为17a+(20-17)×(a+1.2)=(20a+3.6)(元).故选D.
第55页
容易题
3. [2022邵阳]已知x
2
-3x+1=0,则3x
2
-9x+5= .
答案
3.2 ∵x
2
-3x+1=0,∴x
2
-3x=-1,∴3x
2
-9x+5=3(x
2
-3x)+5=3×(-1)+5=2.
第56页
容易题
4. [2021长沙]先化简,再求值:
(x-3)2+(x+3)(x-3)+2x(2-x),其中x=-
1
2
.
答案
4.【参考答案】
原式=x
2
-6x+9+x
2
-9+4x-2x
2
=-2x.
将x=-
1
2代入,得原式=-2×(-
1
2
)=1.
第57页
容易题
5. [2022北京]已知x
2+2x-2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.
答案
5.【参考答案】
∵x
2+2x-2=0,
∴x
2+2x=2,
∴原式=x
2+2x+x
2+2x+1=2+2+1
=5.
第58页
中档题
6. [2021金华]某超市出售一商品,有如下四种在原标价基础上调价的方案,其中调价后售价最低的是( )
A.先打九五折,再打九五折
B.先提价50%,再打六折
C.先提价30%,再降价30%
D.先提价25%,再降价25%
答案
6.B 设该商品的原标价为a.按A选项调价后,售价为0.95a×0.95=0.902 5a.按B选项调价后,售价为a(1+50%)×0.6=0.9a.
按C选项调价后,售价为a(1+30%)×(1-30%)=0.91a.按D选项调价后,售价为a(1+25%)×(1-25%)=0.937 5a.因为0.9a<
0.902 5a<0.91a<0.937 5a,所以选B.
第59页
中档题
一题多解
(特殊值法)设该商品的原标价为100元,则各选项调价后的售价如下.
综上,因为90<90.25<91<93.75,所以调价后售价最低的是B选项中的方案.
选项 调价后的售价
A 100×95%×95%=90.25(元)
B 100×(1+50%)×60%=90(元)
C 100×(1+30%)(1-30%)=91(元)
D 100×(1+25%)(1-25%)=93.75(元)
第60页
中档题
7. [2021徐州]如图,四边形ABCD与AEGF均为矩形,点E,F分别在线段AB,AD上.若BE=FD=2 cm,矩形AEGF的周长为
20 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2
.
答案
7. 24 ∵矩形AEGF的周长为20 cm,∴AF+AE=10 cm.∵AB=AE+BE,AD=AF+DF,BE=FD=2 cm,∴阴影部分的面积=
AB×AD-AE×AF=(AE+2)(AF+2)-AE×AF=2×(AE+AF)+4=2×10+4=24(cm2
).
第61页
中档题
一题多解
如图,延长FG交BC于点M.设AF=x cm,AE=y cm,则BM=AF=x cm,GF=AE=y cm,∴FM=(y+2) cm.∵矩形AEGF的周长为
20 cm,∴x+y=10 cm.∵BE=FD=2 cm,∴S阴影部分 =S矩形BEGM+S矩形CMFD=2×BM+2×FM=2(x+y+2)=2×12=24(cm2
).
第62页
中档题
8. [2021河北]某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,
共付款Q元.
(1)用含m,n的代数式表示Q;
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
答案
8.【参考答案】(1)Q=4m+10n.
(2)当m=5×104
,n=3×103时,
Q=4×5×104+10×3×103
=2.3×105
.
第63页
考点5
分式的计算
第64页
容易题
1. [2022凉山州]分式 1
3+?有意义的条件是( )
A.x=-3 B.x≠-3
C.x≠3 D.x≠0
答案
1.B
第65页
容易题
2. [2021雅安]若分式|?|−1
?−1 的值等于0,则x的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
答案
2.A 由题意得|x|-1=0且x-1≠0,∴x=-1.
【易错】易忽略分式有意义的条件
第66页
容易题
3. [2022山西]化简 1
?−3
−
6
?2−9的结果是( )
A. 1
?+3
B.a-3 C.a+3 D.
1
?−3
答案
3.A 原式=
?+3
(?−3)(?+3)
−
6
(?−3)(?+3)
=
?−3
(?−3)(?+3)
=
1
?+3
.
第67页
容易题
4. [2021临沂]计算(a1
?
)÷(
1
?
-b)的结果是( )
A.-
?
?
B.
?
?
C.-
?
?
D.
?
?
答案
4.A 原式=
??−1
?
÷
1−??
?
=-
??−1
?
·
?
??−1
=-
?
?
.
第68页
容易题
5. [2021南充]下列运算正确的是( )
A.3?
4?
·
2?
9?
2
=
?
6
B.
1
3??
÷
2?
2
3?
=
?
3
2
C. 1
2?
+
1
?
=
2
3?
D.
1
?−1
−
1
?+1
=
2
?2−1
答案
5.D 3?
4?
·
2?
9?
2
=
1
6?
,
1
3??
÷
2?
2
3?
=
1
3??
·
3?
2?
2
=
1
2?
3
,
1
2?
+
1
?
=
1+2
2?
=
3
2?
,
1
?−1
−
1
?+1
=
?+1−?+1
?2−1
=
2
?2−1
.故选D.
第69页
容易题
6. [2022武汉]计算 2?
?
2−9
−
1
?−3的结果是 .
答案
6. 1
?+3 原式=
2?
(?+3)(?−3)
−
?+3
(?+3)(?−3)
=
2?−?−3
(?+3)(?−3)
=
?−3
(?+3)(?−3)
=
1
?+3
.
第70页
容易题
7. [2021大连]计算:
?+3
?−3
·
?
2+3?
?2+6?+9
−
3
?−3
.
答案
7.【参考答案】
原式=
?+3
?−3
·
?(?+3)
(?+3)
2 −
3
?−3
=
?+3
?−3
·
?
?+3
−
3
?−3
=
?−3
?−3
=1.
第71页
中档题
8. [2021济宁]计算?
2−4
?
÷(a+1-
5?−4
?
)的结果是( )
A.?+2
?−2
B.
?−2
?+2
C.(?−2)
2(?+2)
?
D.
?+2
?
答案
8.A 原式=
?
2−4
?
÷
?
2+?−5?+4
?
=
(?+2)(?−2)
?
·
?
(?−2)
2
=
?+2
?−2
.故选A.
第72页
中档题
9. [2021台州]将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合,混合后的糖水含糖( )
A.20% B.
?+?
2
×100%
C.?+3?
20
×100% D.
?+3?
10?+10?
×100%
答案
9.D 由题意可得,混合后的糖水含糖:
10%?+30%?
?+?
×100%= ?+3?
10?+10?
×100%.
【点拨】含糖量 =
糖的质量
糖水的总质量 × 100%
第73页
中档题
10. [2021河北]由(
1+?
2+?
−
1
2
)值的正负可以比较A=
1+?
2+?
与
1
2的大小,下列正确的是( )
A.当c=-2时,A=
1
2
B.当c=0时,A≠
1
2
C.当c<-2时,A>
1
2
D.当c<0时,A<
1
2
答案
10.C 当c=-2时,2+c=0,此时 1+?
2+? 没有意义,故选项A不正确;当c=0时,
1+?
2+?
=
1+0
2+0
=
1
2
,故选项B不正确.
1+?
2+?
−
1
2
=
2(1+?)
2(2+?)
−
2+?
2(2+?)
=
2(1+?)−(2+?)
2(2+?)
=
2+2?−2−?
2(2+?)
=
?
2(2+?)
,当c<-2时,c<0,且2+c<0,此时 ?
2(2+?)
的分子和分母的值都是负数,即
?
2(2+?)
>0,
∴
1+?
2+?
>
1
2
,故选项C正确.当c<0时,2+c可能是正数、负数或0,无法判断 ?
2(2+?)
的正负,即无法比较 1+?
2+?
与
1
2 的大小.
第74页
中档题
11. [2022江西]以下是某同学化简分式(
?+1
?
2−4
−
1
?+2
)÷
3
?−2的部分运算过程:
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误;
(2)请你写出完整的解答过程.
第75页
中档题
答案
11.【参考答案】
(1)③
(2)原式=[ ?+1
(?+2)(?−2)
−
1
?+2
]×
?−2
3
=[ ?+1
(?+2)(?−2)
−
?−2
(?+2)(?−2)
]×
?−2
3
=
?+1−?+2
(?+2)(?−2)
×
?−2
3
=
3
(?+2)(?−2)
×
?−2
3
=
1
?+2
.
第76页
考点6
分式的化简求值
第77页
容易题
1. [2021苏州]已知两个不等于0的实数a,b满足a+b=0,则
?
?
+
?
?等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案
1.A 原式=
?
2+?
2
??
=
?
2+2??+?
2−2??
??
=
(?+?)
2−2??
??
=
−2??
??
=-2 .
【另解】 ∵ ? + ? = 0, ∴ ? = −?, ∴ 原式 =
−?
?
+
?
−?
= −1−1 = −2.
第78页
容易题
2. [2021南充]若
?+?
?−?
=3,则
?2
?2 +
?
2
?2= .
答案
2. 17
4 由
?+?
?−?
=3,得n+m=3n-3m,整理,得n=2m,故原式=
?2
(2?)
2 +
(2?)
2
?2
=
1
4
+4=17
4
.
第79页
容易题
3. [2022福建]先化简,再求值:(1+1
?
)÷
?
2−1
?
,其中a= 2+1.
答案
3.【参考答案】
原式=
?+1
?
÷
(?+1)(?−1)
?
=
?+1
?
·
?
(?+1)(?−1)
=
1
?−1
.
当a= 2+1时,
原式=
1
2+1−1
=
2
2
.
第80页
容易题
4. [2022宜昌]求代数式 3?+2?
?
2−?2 +
?
?2−?
2 的值,其中x=2+y.
答案
4.【参考答案】
原式=
3?+2?
?
2−?2 −
?
?
2−?2
=
2?+2?
?
2−?2
=
2(?+?)
(?+?)(?−?)
=
2
?−?
.
当x=2+y时,原式=
2
2
=1.
第81页
容易题
5. [2020哈尔滨]先化简,再求代数式(1-
2
?+1
)÷
?
2−1
2?+2的值,其中x=4cos 30°-1.
答案
5.【参考答案】
原式=(?+1
?+1
−
2
?+1
)÷
?
2−1
2?+2
=
?−1
?+1
·
2?+2
?
2−1
=
?−1
?+1
·
2(?+1)
(?+1)(?−1)
=
2
?+1
.
∵x=4cos 30°-1=4×
3
2
-1=2 3-1,
∴原式=
2
2 3−1+1
=
2
2 3
=
3
3
.
第82页
容易题
6. [2021烟台]先化简,再求值:(2?+5
?
2−1
−
3
?−1
)÷
2−?
?
2−2?+1
,从-2<x≤2中选出合适的x的整数值代入求值.
答案
6.【参考答案】
(
2?+5
?
2−1
−
3
?−1
)÷
2−?
?
2−2?+1
=[ 2?+5
(?+1)(?−1)
−
3(?+1)
(?+1)(?−1)
]·(?−1)
2
2−?
=
2?+5−3?−3
(?+1)(?−1)
·
(?−1)
2
2−?
=
2−?
?+1
·
?−1
2−?
=
?−1
?+1
.
∵-2<x≤2,(x+1)(x-1)≠0,2-x≠0,
∴x=0.
当x=0时,原式=
0−1
0+1
=-1.
【易错】在选取?的整数值时,容易忽略使分式有意义的条件
第83页
中档题
7. [结合实数,2022滨州]先化简,再求值:(a+1-
3
?−1
)÷
?
2+4?+4
?−1
,其中a=tan 45°+(1
2
)
-1
-π
0
.
答案
7.【参考答案】
原式=(?
2−1
?−1
−
3
?−1
)÷
(?+2)
2
?−1
=
?
2−4
?−1
÷
(?+2)
2
?−1
=
(?+2)(?−2)
?−1
·
?−1
(?+2)
2
=
?−2
?+2
.
∵a=tan 45°+(1
2
)
-1
-π
0=1+2-1=2,
∴原式=
2−2
2+2
=0.
第84页
中档题
8. [结合方程,2021通辽]先化简,再求值:(2?+1
?+1
+x-1)÷
?+2
?
2+2?+1
,其中x满足x
2
-x-2=0.
答案
8.【参考答案】
原式=
2?+1+?
2−1
?+1
·
(?+1)
2
?+2
=
?(?+2)
?+1
·
(?+1)
2
?+2
=x(x+1)
=x
2+x.
解方程x
2
-x-2=0,得x1=2,x2=-1.
∵x+1≠0,∴x≠-1,
∴x=2.
当x=2时,原式=22+2=6.
【易错】容易忽略分式分母不为0而导致出错
第85页
中档题
9. [结合不等式组,2020荆州]先化简,再求值:(1-
1
?
)÷
?
2−1
?2+2?+1
,其中a是不等式组ቐ
?−2 ≥ 2−?, ①
2?−1 < ? + 3 ②
的最小整数解.
答案
9.【参考答案】原式=
?−1
?
·
(?+1)
2
(?+1)(?−1)
=
?+1
?
.
解不等式①,得a≥2,
解不等式②,得a<4,
所以该不等式组的解集为2≤a<4,
所以a的最小整数解是2,
所以原式=
2+1
2
=
3
2
.
第86页
中档题
10. [结合函数,2021潍坊节选]先化简,再求值:
?
2−?
2
?
2−2??+?2·
(?−?)(2?+3?)
?+?
-xy(
2
?
+
3
?
),其中(x,y)是函数y=2x与y=
2
?的图象的交
点坐标.
答案
10.【参考答案】原式=
(?+?)(?−?)
(?−?)
2 ·
(?−?)(2?+3?)
?+?
-2y-3x=2x+3y-2y-3x=-x+y.
∵(x,y)是函数y=2x与y=
2
?的图象的交点坐标,
联立得ቐ
? = 2?,
? =
2
?
,
解得ቊ
? = 1,
? = 2
或ቊ
? = −1,
? = −2,
∴两函数图象的交点坐标为(1,2)或(-1,-2).
当x=1,y=2时,原式=-1+2=1.
当x=-1,y=-2时,原式=-(-1)+(-2)=-1.
综上,原式的值为1或-1.
第87页
专项强化1
规律探索题
第88页
类型一 数式规律
1. [2021济宁]按规律排列的一组数据:
1
2
,
3
5
,□,
7
17
,
9
26
,
11
37
,…,其中□内应填的数是( )
A.2
3
B.
5
11
C.
5
9
D.
1
2
答案
1.D 观察该组数据,第n个式子的分子为2n-1,分母为n
2+1,当n=3时,
2?−1
?2+1
=
5
10
=
1
2
.
第89页
类型一 数式规律
2. [2022云南]按一定规律排列的单项式:x,3x
2
,5x
3
,7x
4
,9x
5
,…,第n个单项式是( )
A.(2n-1)x
n B.(2n+1)x
n
C.(n-1)x
n D.(n+1)x
n
答案
2.A
第90页
类型一 数式规律
3. [2019烟台]南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)
n
(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的
有关规律如下,后人也将下表称为“杨辉三角”.
(a+b)
0=1
(a+b)
1=a+b
(a+b)
2=a
2+2ab+b
2
(a+b)
3=a
3+3a
2b+3ab2+b
3
(a+b)
4=a
4+4a
3b+6a
2b
2+4ab3+b
4
(a+b)
5=a
5+5a
4b+10a
3b
2+10a
2b
3+5ab4+b
5
…
则(a+b)
9展开式中所有项的系数和是( )
A.128 B.256 C.512 D.1 024
答案
3.C 当n=0时,展开式中所有项的系数和为1=20
,当n=1时,展开式中所有项的系数和为2=21
,当n=2时,展开式中所有项
的系数和为4=22
,…,∴当n=9时,展开式中所有项的系数和为2
9=512.
第91页
类型一 数式规律
4. [2020孝感]有一列数,按一定的规律排列成1
3
,-1,3,-9,27,-81,….若其中某三个相邻数的和是-567,则这三个数中第一
个数是 .
答案
4. -81 设这三个数中第一个数为x,则另外两个数分别为-3x,9x.依题意,得x-3x+9x=-567,解得x=-81.
第92页
类型一 数式规律
5. [2021嘉兴]观察下列等式:1=12
-0
2
,3=22
-1
2
,5=32
-2
2
,…按此规律,则第n个等式为2n-1= .
答案
5. n
2
-(n-1)2 ∵1=12
-0
2
,3=22
-1
2
,5=32
-2
2
,…,∴第n个等式为2n-1=n
2
-(n-1)2
.
第93页
类型一 数式规律
6. [2022安徽]观察以下等式:
第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2
-(2×2)2
,
第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2
-(3×4)2
,
第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2
-(4×6)2
,
第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2
-(5×8)2
,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
第94页
类型一 数式规律
答案
6.【参考答案】
(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2
-(6×10)2
(2)(2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2
-[(n+1)·2n]
2
. 证明:左边=4n
2+4n+1,
右边=(2n
2+2n+1)2
-(2n
2+2n)
2
=(2n
2+2n+1+2n
2+2n)(2n
2+2n+1-2n
2
-2n)
=4n
2+4n+1.
∵左边=右边,
∴等式成立.
第95页
类型二 图形规律
7. 新考法·跨化学学科[2022江西]将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第④个图形中字母“H”的个数
是( )
A.9
B.10
C.11
D.12
答案
7.B 第①个图形中“H”的个数为4,第②个图形中“H”的个数为4+2,第③个图形中“H”的个数为4+2×2,则第④个图形
中“H”的个数为4+2×3=10.
第96页
类型二 图形规律
8. [2022广州]如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3
个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2 022根小木棒,则n的值为( )
A.252
B.253
C.336
D.337
答案
8.B 由题意知,第1个图形需要6根小木棒,第2个图形需要6×2+2=14(根)小木棒,第3个图形需要6×3+2×2=22(根)小木
棒,…,按此规律,第n个图形需要6n+2(n-1)=(8n-2)(根)小木棒.令8n-2=2 022,解得n=253.故选B.
第97页
类型二 图形规律
9. [2021安徽]某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.图(1)表示此人行
道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列.
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块[如图(2)];当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块[如
图(3)].以此类推.
【规律总结】
(1)若人行道上每增加1块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖增加 块.
(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖的块数为 (用含n的代数
式表示).
【问题解决】
(3)现有2 021块等腰直角三角形地砖,若按此规律再建一条人行道,要求等腰直角三角形地砖剩余最少,求需要正方形
地砖多少块.
第98页
类型二 图形规律
答案
9.【参考答案】(1)2
(2)2n+4
(3)设需要正方形地砖m块,
则2m+4≤2 021,
解得m≤1 008.5,
由题意可知m取1 008.
所以需要正方形地砖1 008块.
【注意】地砖块数要取整
第99页
专项强化2
数与式中考新趋势题
第100页
数学文化 拓视野
1. [2021广东]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记p=
?+?+?
2
,则其面积S= ?(?−?)(?−?)(?−?).这个公式也被称为海
伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为( )
A. 5 B.4 C.2 5 D.5
答案
1.C 由题意,得a+b+c=2p.又c=4,p=5,∴a+b+4=10,∴b=6-a,∴S= 5(5−?)(5 + ?−6) × (5−4) = 5(−?
2 + 6?−5) =
−5(?−3)
2+20,当a=3时,S有最大值,最大值为2 5.
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