四、 解答题(本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ８ 分ꎬ 共 ２４ 分)

２１. 设 Ａ ＝ ｘ

２＋ｘｙ＋２ｙ－２ꎬ Ｂ＝ ２ｘ

２－２ｘｙ＋ｘ－１.

(１)将 ２Ａ－Ｂ 用含 ｘꎬ ｙ 的代数式表示ꎬ 并化简ꎻ

(２)若 ２Ａ－Ｂ 的值与 ｘ 的取值无关ꎬ 求 ｙ 的值.

２２. 有这样一道题: 先化简再求值:

ｘ－２

ｘ＋２

＋

４ｘ

ｘ

２－４

æ

è

ç

ö

ø

÷ ÷

１

４－ｘ

２

ꎬ 其中 ｘ ＝ － ３ .

小亮同学把“ｘ ＝ － ３ ”错抄成“ｘ ＝ ３ ”ꎬ 但他的计算结果也是正确的ꎬ 这是怎么回事? 请

说明理由.

２３. 已知点 Ａ 在数轴上表示的数是单项式－５ｘｙ 的系数ꎬ 点 Ｂ 表示的数是多项式 ｘ

２

ｙ＋１５ 的常

数项.

(１)数轴上点 Ａ 表示的数是 ꎬ 点 Ｂ 表示的数是 ꎻ

(２)若一动点 Ｐ 从点 Ａ 出发ꎬ 以 ３ 个单位长度/ 秒的速度由 Ａ 向 Ｂ 运动ꎻ 动点 Ｑ 从原点 Ｏ

出发ꎬ 以 １ 个单位长度/ 秒速度向 Ｂ 运动ꎬ 点 Ｐ、 Ｑ 同时出发ꎬ 点 Ｑ 运动到 Ｂ 点时两

点同时停止. 设点 Ｑ 运动时间为 ｔ 秒.

①若 Ｐ 从 Ａ 到 Ｂ 运动ꎬ 则点 Ｐ 表示的数为 ꎬ 点 Ｑ 表示的数为 .

(用含 ｔ 的式子表示)

②当 ｔ 为何值时ꎬ 点 Ｐ 与点 Ｑ 之间的距离为 ２ 个单位长度.

五、 解答题(本大题共 ２ 小题ꎬ 每小题 １０ 分ꎬ 共 ２０ 分)

２４. 为切实做好疫情防控工作ꎬ 开学前夕ꎬ 我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计

发放给每个学生. 已知每盒口罩有 １００ 只ꎬ 每盒水银体温计有 １０ 支ꎬ 每盒口罩价格比每

盒水银体温计价格多 １５０ 元. 用 １ ２００ 元购买口罩盒数与用 ３００ 元购买水银体温计盒数

— ３ —

相同.

(１)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元?

(２)如果给每位学生发放 ２ 只口罩和 １ 支水银体温计ꎬ 且口罩和水银体温计均整盒购买.

设购买口罩 ｍ(ｍ 为正整数)盒ꎬ 则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套? 请用

含 ｍ 的代数式表示.

(３)在民联药店累计购医用品超过 １ ８００ 元后ꎬ 超出 １ ８００ 元的部分可享受八折优惠. 该

校按(２)中的配套方案购买ꎬ 共支付总费用 ｗ 元ꎻ

①当总费用不超过 １ ８００ 元时ꎬ 求 ｍ 的取值范围ꎻ 并求 ｗ 关于 ｍ 的函数关系式ꎻ

②若该校有 ９００ 名学生ꎬ 按(２)中的配套方案购买ꎬ 求所需总费用为多少元?

２５. 小红根据学习“数与式”积累的经验ꎬ 想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式

的运算规律. 下面是小红的探究过程ꎬ 请补充完整:

(１)具体运算ꎬ 发现规律.

特例 １: １＋

１

３

＝

３＋１

３

＝ ４×

１

３

＝ ２

１

３

ꎬ

特例 ２: ２＋

１

４

＝

８＋１

４

＝ ９×

１

４

＝ ３

１

４

ꎬ

特例 ３: ３＋

１

５

＝ ４

１

５

ꎬ

特例 ４: (填写一个符合上述运算特征的例子).

(２)观察、 归纳ꎬ 得出猜想.

如果 ｎ 为正整数ꎬ 用含 ｎ 的式子表示上述的运算规律为: .

(３)证明你的猜想ꎻ

(４)应用运算规律.

①化简: ２ ０１８＋

１

２ ０２０

× ４ ０４０ ＝ ꎻ

②若 ａ＋

１

ｂ

＝ ９

１

ｂ

(ａꎬ ｂ 均为正整数)ꎬ 则 ａ＋ｂ 的值为 .

— ４ —

第二章 方程与不等式过关测试卷

(时间: ６０ 分钟 满分: １２０ 分)

一、 选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ３０ 分)

１. 不等式 ９－ｘ>ｘ＋１ 的正整数解的个数是( )

Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. 无数个

２. 已知

ｘ ＝ １ꎬ

ｙ ＝ －１ { 是方程 ２ｘ－ａｙ ＝ ３ 的一个解ꎬ 那么 ａ 的值是( )

Ａ. １ Ｂ. ３ Ｃ. －３ Ｄ. －１

３. 方程组

ｘ＋ｙ ＝ １ꎬ

２ｘ－ｙ ＝ ５ { 的解是( )

Ａ.

ｘ ＝ －１

ｙ ＝ ２ { Ｂ.

ｘ ＝ －２

ｙ ＝ ３ { Ｃ.

ｘ ＝ ２

ｙ ＝ １ { Ｄ.

ｘ ＝ ２

ｙ ＝ －１ {

４. 下列一元二次方程中ꎬ 没有实数根的是( )

Ａ. ｘ

２＋２ｘ－１ ＝ ０ Ｂ. ｘ

２＋２ ２ ｘ＋２ ＝ ０

Ｃ. ｘ

２＋ ２ ｘ＋１ ＝ ０ Ｄ. －ｘ

２＋ｘ＋２ ＝ ０

５. 三角形两边的长分别是 ８ 和 ６ꎬ 第三边的长是一元二次方程 ｘ

２－１６ｘ＋６０ ＝ ０ 的一个实数根ꎬ

则该三角形的面积是( )

Ａ. ２４ Ｂ. ２４ 或 ８ ５ Ｃ. ４８ Ｄ. ８ ５

６. 若关于 ｘ 的方程 ｘ

２＋２ｘ＋ｋ ＝ ０ 有两个相等的实数根ꎬ 则 ｋ 满足( )

Ａ. ｋ>１ Ｂ. ｋ≥１ Ｃ. ｋ ＝ １ Ｄ. ｋ<１

７.一元二次方程 ｘ(ｘ－２)＝ ２－ｘ 的根是( )

Ａ. －１ Ｂ. ２ Ｃ. １ 和 ２ Ｄ. －１ 和 ２

８. 已知 ａ>ｂ>０ꎬ 则下列不等式不一定成立的是( )

Ａ. ａｂ>ｂ

２ Ｂ. ａ＋ｃ>ｂ＋ｃ Ｃ.

１

ａ

<

１

ｂ

Ｄ. ａｃ>ｂｃ

９. 下列不等式组的解集ꎬ 在数轴上表示为如图所示的是( )

Ａ.

ｘ－１>０

ｘ＋２≤０ { Ｂ.

ｘ－１≤０

ｘ＋２<０ {

Ｃ.

ｘ＋１≥０

ｘ－２<０ { Ｄ.

ｘ＋１>０

ｘ－２≤０ {

１０. 已知关于 ｘ 的不等式(１－ａ)ｘ>２ 的解集为 ｘ<

２

１－ａ

ꎬ 则 ａ 的取值范围是( )

Ａ. ａ>０ Ｂ. ａ>１ Ｃ. ａ<０ Ｄ. ａ<１

— ５ —

二、 填空题(本大题共 ７ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２８ 分)

１１. 代数式 ｘ－５在实数范围内有意义时ꎬ ｘ 应满足的条件是 .

１２. 若 ｘ＋ｙ＋４ ＋ (ｘ－２)

２ ＝ ０ꎬ 则 ｙ

ｘ ＝ .

１３. 某种商品的标价为 ２２０ 元ꎬ 为了吸引顾客ꎬ 按标价的 ９０％出售ꎬ 这时仍可盈利 １０％ꎬ 则

这种商品的进价为 元.

１４. 平行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 分 别 是 ２ꎬ ６ꎬ 它 其 中 一 条 边 长 是 整 数ꎬ 那 么 这 条 边

长是 .

１５. 某服装店在租赁中发现ꎬ 每套服装租金为 ２００ 元时ꎬ 每天可租出 １００ 套ꎻ 若每套租金降

低 １０ 元时ꎬ 每天多租出 ２０ 套. 服装店为了提高获利ꎬ 决定通过降价促销ꎬ 目标每天获

利 ３０ ０００ 元. 设每套降低 ｘ 元ꎬ 列方程为 .

１６. 若关于 ｘ 的方程

３ｘ－２

ｘ＋１

＝ ２＋

ｍ

ｘ＋１

无解ꎬ 则 ｍ 的值为 .

１７. 有一列数ꎬ 按一定的规律排列成

１

３

ꎬ－１ꎬ ３ꎬ－９ꎬ ２７ꎬ－８１ꎬ?ꎬ 若其中某三个相邻数

的和是 －５６７ꎬ 则这三个数中第一个数是 .

三、 解答题(本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ６ 分ꎬ 共 １８ 分)

１８. 解方程组:

２ｘ＋ｙ ＝ ４ꎬ

３ｘ－２ｙ ＝１３. {

１９. 解分式方程:

４

ｘ

２－４

＋１ ＝

１

ｘ－２

.

２０. 解不等式组

ｘ＋１>０ꎬ

ｘ≤

ｘ－２

３

＋２ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

并在数轴上表示出它的解集.

— ６ —

四、 解答题(本大题 ３ 小题ꎬ 每小题 ８ 分ꎬ 共 ２４ 分)

２１. Ａꎬ Ｂ 两地相距 ２００ 千米ꎬ 甲车从 Ａ 地出发匀速开往 Ｂ 地ꎬ 乙车同时从 Ｂ 地出发匀速开

往 Ａ 地ꎬ 两车相遇时距 Ａ 地 ８０ 千米. 已知乙车每小时比甲车多行驶 ３０ 千米ꎬ 求甲、 乙

两车的速度.

２２. 国土资源部提出“保经济增长ꎬ 保耕地红线”行动ꎬ 坚持实行最严格的耕地保护制度ꎬ 某

村响应国家号召ꎬ ２０１９ 年有耕地 ７ ２００ 亩ꎬ 经过改造后ꎬ ２０２１ 年有耕地 ８ ７１２ 亩.

(１)求该村耕地两年平均增长率ꎻ

(２)按照(１)中平均增长率ꎬ 求 ２０２２ 年该村耕地拥有量.

２３. 对于任意实数 ａ、 ｂꎬ 定义关于“∗” 的一种运算如下: ａ∗ｂ ＝ ２ａ＋ｂ. 如: ３∗４ ＝ ２× ３＋

４ ＝ １０.

(１)求 ２∗(－５)的值ꎻ

(１)若 ｘ∗(－ｙ)＝ ２ꎬ 且 ２ｙ∗ｘ ＝ －１ꎬ 求 ｘ＋ｙ 的值.

— ７ —

五、 解答题(本大题共 ２ 小题ꎬ 每小题 １０ 分ꎬ 共 ２０ 分)

２４. 已知关于 ｘ 的一元二次方程 ｘ

２－４ｘ－２ｋ＋８ ＝ ０ 有两个实数根 ｘ１ ꎬ ｘ２

.

(１)求 ｋ 的取值范围ꎻ

(２)若 １ 是该方程的一个根ꎬ 求方程的另外一个根ꎻ

(３)若 ｘ

３

１

ｘ２

＋ｘ１

ｘ

３

２

＝ ２４ꎬ 求 ｋ 的值.

２５. 如图所示ꎬ 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园ꎬ 其中一边靠墙ꎬ 另外三

边用长为 ３０ 米的篱笆围成. 已知墙长为 １８ 米ꎬ 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 ｘ 米.

(１)若苗圃园的面积为 ７２ 平方米ꎬ 求 ｘ 的值ꎻ

(２)若平行于墙的一边长不小于 ８ 米ꎬ 这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗? 如果有ꎬ

求出最大值和最小值ꎻ 如果没有ꎬ 请说明理由ꎻ

(３)当这个苗圃园的面积不小于 １００ 平方米时ꎬ 直接写出 ｘ 的取值范围.

— ８ —

第三章 函数过关测试卷

(时间: ９０ 分钟 满分: １２０ 分)

一、 选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ３０ 分)

１. 点 Ｐ(－２ꎬ ３)在( )

Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限

２. 下列函数中ꎬ 是二次函数的是( )

Ａ. ｙ ＝

２

ｘ

２

Ｂ. ｙ ＝

３

ｘ

Ｃ. ｙ ＝ ｘ

２＋２ｘ－１ Ｄ. ｙ ＝ ｘ－２

３. 在函数 ｙ ＝ ６－２ｘ中ꎬ 自变量 ｘ 的取值范围是( )

Ａ. ｘ≤３ Ｂ. ｘ<３ Ｃ. ｘ≥３ Ｄ. ｘ>３

４. 已知一次函数 ｙ ＝ (４－ｍ)ｘ－３ꎬ ｙ 随 ｘ 的增大而减小ꎬ 则 ｍ 的值可能是( )

Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ５

５. 关于正比例函数 ｙ ＝ －２ｘꎬ 以下说法错误的是( )

Ａ. 它的图象经过点(１ꎬ－２) Ｂ. 它的图象经过第二、 四象限

Ｃ. ｙ 随 ｘ 的增大而减小 Ｄ. 不论 ｘ 取何值ꎬ ｙ 总小于 ０

６. 已知反比例函数 ｙ ＝

ｋ－１

ｘ

的图象分别位于第一、 三象限ꎬ 则 ｋ 的取值范围是( )

Ａ. ｋ>１ Ｂ. ｋ<１ Ｃ. ｋ>－１ Ｄ. ｋ<－１

７. 直线 ｙ ＝ ｋｘ－４ 经过点(－２ꎬ ２)ꎬ 则该直线的解析式是( )

Ａ. ｙ ＝ ｘ－４ Ｂ. ｙ ＝ －ｘ－４ Ｃ. ｙ ＝ －３ｘ－４ Ｄ. ｙ ＝ ３ｘ－４

８. 已知点 Ａ(ｘ１ ꎬ ｙ１ )ꎬ Ｂ(ｘ２ ꎬ ｙ２ )都在反比例函数 ｙ ＝ －

２

ｘ

的图象上ꎬ 若 ０<ｘ１<ｘ２ ꎬ 则下列结论

正确的是( )

Ａ. ｙ１<ｙ２<０ Ｂ. ０<ｙ１<ｙ２ Ｃ. ｙ２<ｙ１<０ Ｄ. ０<ｙ２<ｙ１

９. 若函数 ｙ ＝ ｘ

２－２ｘ＋ｂ 的图象与 ｘ 轴有两个交点ꎬ 则 ｂ 的取值范围是( )

Ａ. ｂ≤１ Ｂ. ｂ>１ Ｃ. ０<ｂ<１ Ｄ. ｂ<１

１０. 已知等腰直角△ＡＢＣ 的斜边 ＡＢ ＝ ４ꎬ 正方形 ＤＥＦＧ 的边长为

２ ꎬ 把△ＡＢＣ 和正方形 ＤＥＦＧ 如图放置ꎬ 点 Ｂ 与点 Ｅ 重合ꎬ

边 ＡＢ 与 ＥＦ 在同一条直线上ꎬ 将△ＡＢＣ 沿 ＡＢ 方向以每秒 ２个

单位的速度匀速平行移动ꎬ 当点 Ａ 与点 Ｅ 重合时停止移动. 在

移动过程中ꎬ △ＡＢＣ 与正方形 ＤＥＦＧ 重叠部分的面积 Ｓ 与移动时间 ｔ(ｓ)的函数图象大致

是( )

— ９ —

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

二、 填空题(本大题共 ７ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２８ 分)

１１. 已知点 Ｐ 的坐标为(－５ꎬ－３)ꎬ 点 Ｐ 到 ｙ 轴的距离为 .

１２. 已知变量 ｓ 与 ｔ 的关系式是 ｓ ＝ ３ｔ＋２ｔ

２

ꎬ 则当 ｔ ＝ －２ 时ꎬ ｓ ＝ .

１３. 若点 Ａ(－１ꎬ ｙ１ )ꎬ Ｂ(２ꎬ ｙ２ )在一次函数 ｙ ＝ ２ｘ－１ 的图象上ꎬ 则 ｙ１

ｙ２(填“ >” “ <”或

“ ＝ ”).

１４. 如图ꎬ 点 Ａ 是反比例函数 ｙ ＝

ｋ

ｘ

(ｋ≠０ꎬ ｘ<０)图象上一点ꎬ 过点 Ａ 作 ＡＢ⊥ｙ 轴于点 Ｂꎬ 点

Ｃ 在 ｘ 轴上ꎬ 若 Ｓ△ＡＢＣ

＝ ３ꎬ 则 ｋ ＝ .

第 １４ 题图 第 １６ 题图 第 １７ 题图

１５. 已知一次函数 ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)的图象与 ｘ 轴交于点( －５ꎬ ０)ꎬ 则关于 ｘ 的一元一次方程

ｋｘ＋ｂ ＝ ０ 的解为 .

１６. 如图ꎬ 直线 ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)经过点 Ａ(－２ꎬ ４)ꎬ 则不等式 ｋｘ＋ｂ<４ 的解集为 .

１７. 二次函数 ｙ ＝ ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ 的图象如图所示ꎬ 则四个代数式①ａｂｃꎬ ②ｂ

２－４ａｃꎬ ③２ａ＋ｂꎬ ④ａ－

ｂ＋ｃ 中ꎬ 值为正数的有 . (填序号)

三、 解答题(本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 １８ 分)

１８.一次函数的图象过 Ｍ(３ꎬ ２)ꎬ Ｎ(－１ꎬ－６)两点ꎬ 求函数的解析式.

１９. 已知抛物线 Ｃ: ｙ ＝ (ｘ－ｍ)

２＋ｍ＋１.

(１)若抛物线 Ｃ 的顶点在第二象限ꎬ 求 ｍ 的取值范围ꎻ

(２)若 ｍ＝ －２ꎬ 求抛物线 Ｃ 与坐标轴的交点围成的三角形的面积.

— １０ —

２０.一定质量的氧气ꎬ 它的密度 ρ(ｋｇ / ｍ

３

)是它的体积 Ｖ(ｍ

３

)的反比例函数ꎬ 当 Ｖ＝ １０ ｍ

３ 时ꎬ ρ

＝ １? ４３ ｋｇ / ｍ

３

.

(１)求 ρ 关于 Ｖ 的函数解析式ꎻ

(２)求当 Ｖ ＝ ４ ｍ

３ 时氧气的密度.

四、 解答题(本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ８ 分ꎬ 共 ２４ 分)

２１. 如图ꎬ 在平面直角坐标系中ꎬ 反比例函数 ｙ ＝

ｍ

ｘ

与一次函数 ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ 的图象交于 Ａ、 Ｂ 两

点ꎬ 点 Ａ 的坐标为(－３ꎬ ２)ꎬ ＢＣ⊥ｙ 轴于点 Ｃꎬ 且 ＯＣ＝ ６ＢＣꎬ 直线 ＡＢ 交 ｘ 轴于点 Ｄ.

(１)求反比例函数和一次函数的解析式ꎻ

(２)求△ＡＯＢ 的面积ꎻ

(３)写出不等式

ｍ

ｘ

>ｋｘ＋ｂ 的解集.

２２. 甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动ꎬ 苹果的标价为 ５ 元/ ｋｇꎬ 如果一次购买

４ ｋｇ以上的苹果ꎬ 超过 ４ ｋｇ 的部分按标价六折售卖. 其中 ｘ(单位: ｋｇ)表示购买苹果的

重量ꎬ ｙ甲(单位: 元)表示付款金额.

(１)文文购买 ３ ｋｇ 苹果需付款 元ꎻ 购买 ５ ｋｇ 苹果需付款 元ꎻ

(２)写出付款金额 ｙ甲 关于购买苹果的重量 ｘ 的函数解析式ꎻ

(３)乙超市也在进行苹果优惠促销活动ꎬ 同样的苹果的标价也为 ５ 元/ ｋｇꎬ 且全部按标价

的八折售卖. 文文如果要购买 １０ ｋｇ 苹果ꎬ 她在哪个超市购买更划算?

— １１ —

２３. 如图ꎬ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ ∠Ａ ＝ ９０°ꎬ ＡＢ ＝ ８ ｃｍꎬ ＡＣ ＝ ６ ｃｍꎬ 若动点 Ｄ 从 Ｂ 出发ꎬ 沿线段

ＢＡ 运动到点 Ａ 为止(不考虑 Ｄ 与 Ｂꎬ Ａ 重合的情况)ꎬ 运动速度为 ２ ｃｍ/ ｓꎬ 过点 Ｄ 作

ＤＥ∥ＢＣ交 ＡＣ 于点 Ｅꎬ 连接 ＢＥꎬ 设动点 Ｄ 运动的时间为 ｘ(ｓ)ꎬ ＡＥ 的长为 ｙ(ｃｍ).

(１)求 ｙ 关于 ｘ 的函数解析式ꎬ 并写出自变量 ｘ 的取值范围ꎻ

(２)当 ｘ 为何值时ꎬ △ＢＤＥ 的面积 Ｓ 有最大值? 最大值为多少?

五、 解答题(本大题共 ２ 小题ꎬ 每小题 １０ 分ꎬ 共 ２０ 分)

２４. 如图ꎬ 在平面直角坐标系中ꎬ 过点 Ｃ(０ꎬ １２)的直线 ＡＣ 与直线 ＯＡ 相交于点 Ａ(８ꎬ ４).

(１)求直线 ＡＣ 的解析式ꎻ

(２)求△ＯＡＣ 的面积ꎻ

(３)动点 Ｍ 在线段 ＯＡ 和射线 ＡＣ 上运动ꎬ 是否存在点 Ｍꎬ 使△ＯＭＣ 的面积是△ＯＡＣ 的

面积的

１

２

? 若存在ꎬ 求出此时点 Ｍ 的坐标ꎻ 若不存在ꎬ 请说明理由.

２５. 已知抛物线 ｙ ＝ ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ(ａ≠０)与 ｘ 轴交于 Ａ、 Ｂ 两点(点 Ａ 在点 Ｂ 的左边)ꎬ 与 ｙ 轴交于

点 Ｃ(０ꎬ－３)ꎬ 顶点 Ｄ 的坐标为(１ꎬ－４).

(１)求抛物线的解析式ꎻ

(２)如图 １ꎬ 抛物线在第四象限的图象上有一点 Ｍꎬ 求四边形 ＡＢＭＣ 面积的最大值及此

时点 Ｍ 的坐标ꎻ

(３)如图 ２ꎬ 直线 ＣＤ 交 ｘ 轴于点 Ｅꎬ 若点 Ｐ 是线段 ＥＣ 上的一个动点ꎬ 是否存在以点 Ｐ、

Ｅ、 Ｏ 为顶点的三角形与△ＡＢＣ 相似. 若存在ꎬ 请直接写出点 Ｐ 的坐标ꎻ 若不存在ꎬ

请说明理由.

— １２ —

第四章 三角形过关测试卷

(时间: ６０ 分钟 满分: １２０ 分)

一、 选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ３０ 分)

１. 如图ꎬ 直线 ＡＢ∥ＣＤꎬ ∠Ａ ＝ ７０°ꎬ ∠Ｃ＝ ４０°ꎬ 则∠Ｅ 等于( )

Ａ. ３０° Ｂ. ４０° Ｃ. ６０° Ｄ. ７０°

第 １ 题图 第 ３ 题图 第 ４ 题图 第 ５ 题图

２. 已知等腰三角形的一个内角为 ３０°ꎬ 则此等腰三角形的底角是( )

Ａ. ３０°或 ７５° Ｂ. ３０° Ｃ. ７５° Ｄ. ６０°

３. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ 中ꎬ 点 Ｄꎬ Ｅ 分别在边 ＡＢꎬ ＡＣ 上ꎬ ＤＥ∥ＢＣꎬ 若 ＢＤ＝ ２ＡＤꎬ 则( )

Ａ.

ＡＤ

ＡＢ

＝

１

２

Ｂ.

ＡＥ

ＥＣ

＝

１

２

Ｃ.

ＡＤ

ＥＣ

＝

１

２

Ｄ.

ＤＥ

ＢＣ

＝

１

２

４. 如图ꎬ 已知△ＡＢＣ 中ꎬ ＡＢ ＝ ＡＣꎬ 若以点 Ｂ 为圆心ꎬ ＢＣ 长为半径画弧ꎬ 交腰 ＡＣ 于点 Ｅꎬ

则下列结论一定正确的是( )

Ａ. ＡＥ＝ＥＣ Ｂ. ＡＥ＝ＢＥ Ｃ. ∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＣ Ｄ. ∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＥ

５. 如图ꎬ 已知 ＡＢ、 ＣＤ、 ＥＦ 都与 ＢＤ 垂直ꎬ 垂足分别是 Ｂ、 Ｄ、 Ｆꎬ 且 ＡＢ＝ １ꎬ ＣＤ＝ ３ꎬ 则 ＥＦ

的长是( )

Ａ.

１

３

Ｂ.

２

３

Ｃ.

３

４

Ｄ.

４

５

６. 如图ꎬ ∠ＢＡＣ＝ ９０°ꎬ ＡＤ⊥ＢＣꎬ 垂足为 Ｅꎬ 则图中互余的角有( )

Ａ. ２ 对 Ｂ. ３ 对 Ｃ. ４ 对 Ｄ. ５ 对

第 ６ 题图 第 ７ 题图 第 ８ 题图 第 ９ 题图 第 １０ 题图

７. 如图ꎬ ＰＤ⊥ＡＢꎬ ＰＥ⊥ＡＣꎬ 垂足分别为 Ｄ、 Ｅꎬ 且 ＡＰ 平分∠ＢＡＣꎬ 则△ＡＰＤ 与△ＡＰＥ 全等

的理由是( )

Ａ. ＳＡＳ Ｂ. ＡＡＳ Ｃ. ＳＳＳ Ｄ. ＡＳＡ

— １３ —

８. 如图ꎬ Ｄꎬ Ｅ 分别在 ＡＢꎬ ＡＣ 上ꎬ 在若用“ＡＡＳ”判定△ＡＣＤ≌△ＡＢＥꎬ 则需要添加的条件

是( )

Ａ. ∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣꎬ ∠Ｃ＝∠Ｂ Ｂ. ∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣꎬ ＣＤ＝ＢＥ

Ｃ. ＡＣ＝ ＡＢꎬ ＡＤ＝ ＡＥ Ｄ. ＡＣ＝ ＡＢꎬ ∠Ｃ＝∠Ｂ

９. 如图ꎬ 甲ꎬ 乙为两个相同的矩形ꎬ 若图甲阴影区域的面积为 １０ꎬ 则图乙阴影区域的面积

等于( )

Ａ. ４０ Ｂ. ３０ Ｃ. ２０ Ｄ. １０

１０. 如图ꎬ △ＡＢＣ 中ꎬ ＡＢ＝ ＡＣ＝ １０ꎬ ｔａｎＡ ＝ ２ꎬ ＢＥ⊥ＡＣ 于点 Ｅꎬ Ｄ 是线段 ＢＥ 上的一个动点ꎬ

则 ＣＤ＋

５

５

ＢＤ 的最小值是( )

Ａ. ２ ５ Ｂ. ４ ５ Ｃ. ５ ３ Ｄ. １０

二、 填空题(本大题共 ７ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２８ 分)

１１.一个多边形的内角和是外角和的 ２ 倍ꎬ 则这个多边形的边数为 .

１２. 已知等边三角形的边长为 ａꎬ 则等边三角形的高线长 ꎬ 面积为 .

１３. 已知等腰三角形的两边长为 ２ꎬ ３ꎬ 则等腰三角形的周长为 .

１４. 如图ꎬ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ ＣＤ 为斜边 ＡＢ 上的中线ꎬ 若 ＣＤ＝ ２ꎬ 则 ＡＢ＝ .

第 １４ 题图 第 １７ 题图

１５. 若△ＡＢＣ 与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为

２

５

ꎬ 则△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 的面积比为 .

１６.一条 上 山 直 道 的 坡 度 为 １ ∶ ７ꎬ 沿 这 条 直 道 上 山ꎬ 每 前 进 １００ 米 所 上 升 的 高 度

为 米.

１７.一副含 ３０°和 ４５°角的三角板 ＡＢＣ 和 ＤＥＦ 叠合在一起ꎬ 边 ＢＣ 与 ＥＦ 重合ꎬ ＢＣ ＝ ＥＦ ＝

１２ ｃｍ(如图 １)ꎬ 点 Ｇ 为边 ＢＣ(ＥＦ)的中点ꎬ 边 ＦＤ 与 ＡＢ 相交于点 Ｈ. 现将三角板 ＤＥＦ

绕点 Ｇ 按顺时针方向旋转(如图 ２)ꎬ 在∠ＣＧＦ 从 ０°到 ６０°的变化过程中ꎬ 点 Ｈ 相应移动

的路径长共为 .

三、 解答题(本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ６ 分ꎬ 共 １８ 分)

１８. 如图ꎬ 已知点 Ｂ、 Ｅ、 Ｃ、 Ｆ 在同一条直线上ꎬ ＡＢ＝ＤＥꎬ ∠Ａ ＝∠Ｄꎬ ＡＣ∥ＤＦ.

求证: ＢＥ＝ＣＦ.

— １４ —

１９. 如图ꎬ 在正方形网格中ꎬ 小正方形的边长为 １ꎬ Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 为格点.

(１)判断△ＡＢＣ 的形状ꎬ 并说明理由ꎻ

(２)求 ＢＣ 边上的高.

２０. 如图ꎬ 在五边形 ＡＢＣＤＥ 中ꎬ ∠ＢＣＤ＝∠ＥＤＣ＝ ９０°ꎬ ＢＣ＝ＥＤꎬ ＡＣ＝ ＡＤ.

(１)求证: △ＡＢＣ≌△ＡＥＤꎻ

(２)当∠Ｂ＝ １４０°时ꎬ 求∠ＢＡＥ 的度数.

四、 解答题(二)(本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ８ 分ꎬ 共 ２４ 分)

２１. 图 １ 是一种折叠式晾衣架. 晾衣时ꎬ 该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如

图 ２ 所示ꎬ 两支脚 ＯＣ ＝ ＯＤ ＝ １０ 分米ꎬ 展开角∠ＣＯＤ ＝ ６０°ꎬ 晾衣臂 ＯＡ ＝ １０ 分米ꎬ 晾衣

臂(ＯＡ)撑开时与支脚(ＯＣ)的夹角∠ＡＯＣ ＝ １０５°ꎬ 求点 Ａ 离地面的距离 ＡＭ 为多少分米.

(结果保留根号)

２２. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ 中ꎬ ＡＢ＝ ＡＣꎬ Ｄ 是 ＢＣ 边上的中点ꎬ 连接 ＡＤꎬ ＢＥ 平分∠ＡＢＣ 交 ＡＣ 于点

Ｅꎬ 过点 Ｅ 作 ＥＦ∥ＢＣ 交 ＡＢ 于点 Ｆ.

(１)若∠Ｃ＝ ３６°ꎬ 求∠ＢＡＤ 的度数ꎻ

(２)求证: ＦＢ＝ＦＥ.

— １５ —

五、 解答题(本大题共 ２ 小题ꎬ 每小题 １０ 分ꎬ 共 ２０ 分)

２４. 等腰梯形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 如图 １ꎬ ＡＢ∥ＣＤꎬ ＡＤ＝ＢＣꎬ 延长 ＡＢ 到 Ｅꎬ 使 ＢＥ＝ＣＤꎬ 连接 ＣＥ.

(１)求证: ＣＥ＝ＣＡꎻ

(２)上述条件下ꎬ 如图 ２ꎬ 若 ＡＦ⊥ＣＥ 于点 Ｆꎬ 且 ＡＦ 平分∠ＤＡＥꎬ

ＣＤ

ＡＥ

＝

２

５

ꎬ 求 ｓｉｎ∠ＣＡＦ

的值.

２５. 如图 １ꎬ 在正方形 ＡＢＣＤ 的内部ꎬ 作∠ＤＡＥ＝∠ＡＢＦ＝∠ＢＣＧ＝∠ＣＤＨꎬ 根据三角形全等的

条件ꎬ 易得△ＤＡＥ≌△ＡＢＦ≌△ＢＣＧ≌△ＣＤＨꎬ 从而得到四边形 ＥＦＧＨ 是正方形. 类比探

究: ２ 如图 ２ꎬ 在等边△ＡＢＣ 的内部ꎬ 作∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＢＥ ＝ ∠ＡＣＦꎬ ＡＤꎬ ＢＥꎬ ＣＦ 两两相

交于 Ｄꎬ Ｅꎬ Ｆ 三点(Ｄꎬ Ｅꎬ Ｆ 三点不重合).

(１)△ＡＢＤꎬ △ＢＣＥꎬ △ＣＡＦ 是否全等? 如果是ꎬ 请选择其中一对进行证明ꎻ

(２)△ＤＥＦ 是否为等边三角形? 请说明理由ꎻ

(３)进一步探究发现ꎬ △ＡＢＤ 的三边存在一定的等量关系ꎬ 设 ＢＤ ＝ ａꎬ ＡＤ ＝ ｂꎬ ＡＢ ＝ ｃꎬ

请探索 ａꎬ ｂꎬ ｃ 满足的等量关系.

— １６ —

第五章 四边形过关测试卷

(时间: ６０ 分钟 满分: １２０ 分)

一、 选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ３０ 分)

１. 下列性质中ꎬ 平行四边形不具有的是( )

Ａ. 对角线相等 Ｂ. 对角线互相平分

Ｃ. 相邻两角互补 Ｄ. 两组对边分别相等

２. 若菱形两条对角线的长分别为 ６ 和 ８ꎬ 则这个菱形的周长为( )

Ａ. １０ Ｂ. １２ Ｃ. １６ Ｄ. ２０

３. 已知四边形 ＡＢＣＤꎬ 下列说法正确的是( )

Ａ. 当 ＡＤ＝ＢＣꎬ ＡＢ∥ＤＣ 时ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形

Ｂ. 当 ＡＣ＝ＢＤꎬ ＡＣ⊥ＢＤ 时ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形

Ｃ. 当 ＡＤ＝ＢＣꎬ ＡＢ＝ＤＣ 时ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形

Ｄ. 当 ＡＣ＝ＢＤꎬ ＡＣ 平分 ＢＤ 时ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形

４. 如图ꎬ 在▱ＡＢＣＤ 中ꎬ 对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏꎬ Ｅ 是边 ＣＤ 的中点ꎬ 连接 ＯＥ. 若

∠ＡＤＣ＝ ６０°ꎬ ∠１ ＝ ４０°ꎬ 则∠ＢＡＣ 的度数为( )

Ａ. ８０° Ｂ. ４０° Ｃ. ６０° Ｄ. ３０°

第 ４ 题图 第 ５ 题图 第 ６ 题图 第 ７ 题图 第 ８ 题图

５. 如图ꎬ 在矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 对角线 ＡＣꎬ ＢＤ 相交于点 Ｏꎬ ＣＤ ＝ １０ꎬ ∠ＡＯＢ ＝ １２０°ꎬ 则 ＡＣ 的

长为( )

Ａ. ２０ Ｂ. １０ ３ Ｃ. １０＋１０ ３ Ｄ.

２０ ３

３

６. 如图ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 的对角线相交于点 Ｏꎬ 且点 Ｏ 是 ＢＤ 的中点ꎬ 若 ＡＢ＝ ＡＤ＝ ５ꎬ ＢＤ＝ ８ꎬ

∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢꎬ 则四边形 ＡＢＣＤ 的面积为( )

Ａ. ４０ Ｂ. ２４ Ｃ. ２０ Ｄ. １５

７. 如图ꎬ 矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 对角线 ＡＣ 和 ＢＤ 交于点 Ｏꎬ Ｅ 为 ＢＣ 的中点. 若 ＡＣ ＝ ８ꎬ ∠ＡＣＢ ＝

３０°ꎬ 则 ＯＥ 的长为( )

Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. ４ Ｄ. ４ ３

８. 如图ꎬ 点 Ｅ 在正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ 上ꎬ 若 ＥＢ ＝ １ꎬ ＥＣ ＝ ２ꎬ 则正方形 ＡＢＣＤ 的面积为

( )

Ａ. ３ Ｂ. ３ Ｃ. ５ Ｄ. ５

— １７ —

９. 如图ꎬ 在▱ＡＢＣＤ 中ꎬ 对角线 ＡＣꎬ ＢＤ 相交于点 Ｏꎬ ＯＥ⊥ＢＤ 交 ＡＤ 于点 Ｅꎬ 连接 ＢＥꎬ 若

▱ＡＢＣＤ 的周长为 ２４ꎬ 则△ＡＢＥ 的周长为( )

Ａ. ８ Ｂ. １２ Ｃ. １５ Ｄ. １８

第 ９ 题图 第 １０ 题图

１０. 如图ꎬ 在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 对角线 ＡＣꎬ ＢＤ 交于点 Ｏꎬ ＡＧ 平分∠ＢＡＣ 交 ＢＤ 于点 Ｇꎬ ＤＥ

⊥ＡＧ 于点 Ｈ. 下列结论: ①ＡＤ ＝ ２ＡＥꎻ ②ＦＤ ＝ ＡＧꎻ ③ＣＦ ＝ ＣＤꎻ ④四边形 ＦＧＥＡ 是菱形ꎻ

⑤ＯＦ＝

１

２

ＢＥꎬ 正确的有( )

Ａ. ２ 个 Ｂ. ３ 个 Ｃ. ４ 个 Ｄ. ５ 个

二、 填空题(本大题共 ７ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２８ 分)

１１. 如图ꎬ 若菱形 ＡＢＣＤ 的顶点 Ａꎬ Ｂ 的坐标是分别为(２ꎬ ０)ꎬ ( －１ꎬ ０)ꎬ 点 Ｄ 在 ｙ 轴上ꎬ

则点 Ｃ 的坐标是 .

１２. 如图ꎬ 两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起ꎬ 重合部分构成的四边形 ＡＢＣＤ 是 .

１３. 如图ꎬ 将矩形纸片 ＡＢＣＤ 沿 ＢＥ 折叠ꎬ 使点 Ａ 落在对角线 ＢＤ 上的点 Ｆ 处. 若∠ＤＢＣ ＝

２４°ꎬ 则∠ＢＥＦ 的度数是 .

１４. 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬ ∠ＢＡＤ ＝ ６０°ꎬ ＡＢ ＝ ６ꎬ 对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏꎬ 点 Ｅ 在 ＡＣ

上ꎬ 若 ＯＥ＝ ３ ꎬ 则 ＣＥ 的长为 .

第 １１ 题图 第 １２ 题图 第 １３ 题图 第 １５ 题图

１５. 如图ꎬ 在▱ＡＢＣＤ 中ꎬ 延长 ＡＤ 至点 Ｅꎬ 使 ＤＥ＝

１

２

ＡＤꎬ 连接 ＢＥꎬ 交 ＣＤ 于点 Ｆꎬ 若△ＣＢＦ

的面积为 ８ ｃｍ

２

ꎬ 则△ＤＥＦ 的面积为 .

１６. 如图ꎬ 在矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 边 ＡＢ 的长为 ３ꎬ 点 Ｅꎬ Ｆ 分别在 ＡＤꎬ ＢＣ 上ꎬ 连接 ＢＥꎬ ＤＦꎬ

ＥＦꎬ ＢＤ. 若四边形 ＢＥＤＦ 是菱形ꎬ 且 ＥＦ＝ ＡＥ＋ＦＣꎬ 则边 ＢＣ 的长为 .

１７. 如图ꎬ 点 Ｅ 在正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ 上ꎬ 以 ＢＥ 为边向正方形 ＡＢＣＤ 外部作正方形 ＢＥＦＧꎬ

连接 ＤＦꎬ Ｍꎬ Ｎ 分 别 是 ＤＣꎬ ＤＦ 的 中 点ꎬ 连 接 ＭＮ. 若 ＡＢ ＝ １７ꎬ ＢＥ ＝ ７ꎬ 则

ＭＮ＝ .

第 １６ 题图 第 １７ 题图

— １８ —

三、 解答题(本大题共 ６ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 １８ 分)

１８. 如图ꎬ 在▱ＡＢＣＤ 中ꎬ ＡＥ 平分∠ＢＡＤꎬ ＣＦ 平分∠ＢＣＤꎬ 分别交 ＢＣꎬ ＡＤ 于 Ｅꎬ Ｆ. 求证:

ＡＥ＝ＣＦ.

１９. 如图ꎬ 在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬ ＡＢ ＝ ＤＣꎬ 将对角线 ＡＣ 向两端分别延长至点 Ｅꎬ Ｆꎬ 使 ＡＥ ＝

ＣＦ. 连接 ＢＥꎬ ＤＦꎬ 若 ＢＥ＝ＤＦ. 求证: 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形.

２０. 如图ꎬ 在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ Ｅ、 Ｆ、 Ｇ、 Ｈ 分别是各边上的点ꎬ 且 ＡＥ ＝ ＢＦ ＝ ＣＧ ＝ ＤＨ.

求证:

(１)△ＡＨＥ≌△ＢＥＦꎻ

(２)四边形 ＥＦＧＨ 是正方形.

四、 解答题(本大题共 ８ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ２４ 分)

２１. 如图ꎬ 矩形 ＥＦＧＨ 的顶点 Ｅꎬ Ｇ 分别在菱形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＤꎬ ＢＣ 上ꎬ 顶点 Ｆꎬ Ｈ 在菱形

ＡＢＣＤ 的对角线 ＢＤ 上.

(１)求证: ＢＧ＝ＤＥꎻ

(２)若 Ｅ 为 ＡＤ 的中点ꎬ 求证: 四边形 ＡＢＧＥ 是平行四边形.

— １９ —

２２. 如图ꎬ 点 Ｃ 是 ＢＥ 的中点ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形.

(１)求证: 四边形 ＡＣＥＤ 是平行四边形ꎻ

(２)如果 ＡＢ＝ ＡＥꎬ 求证: 四边形 ＡＣＥＤ 是矩形.

２３. 如图ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎬ 把矩形沿对角线 ＡＣ 折叠ꎬ 点 Ｂ 落在点 Ｅ 处ꎬ ＣＥ 与 ＡＤ 相

交于点 Ｏ.

(１)求证: △ＡＯＥ≌△ＣＯＤꎻ

(２)若 ＡＢ＝ ４ꎬ ＢＣ＝ ８ꎬ 求 ＡＯ 的长度.

五、 解答题(本大题共 ２ 小题ꎬ 每小题 １０ 分ꎬ 共 ２０ 分)

２４. 如图ꎬ 在▱ＡＢＣＤ 中ꎬ 对角线 ＡＣꎬ ＢＤ 相交于点 Ｏꎬ 经过点 Ｏ 的直线交 ＡＢ 于点 Ｅꎬ 交

ＣＤ 于点 Ｆ.

(１)求证: ＯＥ＝ＯＦꎻ

(２)连接 ＤＥꎬ ＢＦꎬ 当 ＥＦ 与 ＢＤ 满足什么条件时ꎬ 四边形 ＢＥＤＦ 是矩形? 请说明理由ꎻ

(３)连接 ＤＥꎬ ＢＦꎬ 当 ＥＦ 与 ＢＤ 满足什么条件时ꎬ 四边形 ＢＥＤＦ 是菱形? 请说明理由.

２５. 如图ꎬ 在矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬ ＡＢ＝ ３ ｃｍꎬ ＢＣ＝ ６ ｃｍ. 点 Ｐ 从点 Ｄ 出发向点 Ａ 运动ꎬ 运动到点

Ａ 即停止ꎻ 同时ꎬ 点 Ｑ 从点 Ｂ 出发向点 Ｃ 运动ꎬ 运动到点 Ｃ 即停止ꎬ 点 Ｐ、 Ｑ 的速度都

是 １ ｃｍ/ ｓ. 连接 ＰＱ、 ＡＱ、 ＣＰ. 设点 Ｐ、 Ｑ 运动的时间为 ｔ ｓ.

(１)当 ｔ 为何值时ꎬ 四边形 ＡＢＱＰ 是矩形?

(２)当 ｔ 为何值时ꎬ 四边形 ＡＱＣＰ 是菱形?

(３)分别求出(２)中菱形 ＡＱＣＰ 的周长和面积.

— ２０ —

第六章 圆过关测试卷

(时间: ６０ 分钟 满分: １２０ 分)

一、 选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ３０ 分)

１. 已知 ＡＢ 是半径为 ２ 的圆的一条弦ꎬ 则 ＡＢ 的长不可能是( )

Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. ４ Ｄ. ５

２. 如图ꎬ 在☉Ｏ 中ꎬ ＡＢ

(

＝ＣＤ

(

ꎬ ∠１ ＝ ４５°ꎬ 则∠２ ＝ ( )

Ａ. ６０° Ｂ. ３０° Ｃ. ４５° Ｄ. ４０°

３. 如图ꎬ ＤＣ 是☉Ｏ 的直径ꎬ 弦 ＡＢ⊥ＣＤ 于点 Ｍꎬ 则下列结论不一定成立的是( )

Ａ. ＡＭ＝ＢＭ Ｂ. ＣＭ＝ＤＭ Ｃ. ＡＣ

(

＝ＢＣ

(

Ｄ. ＡＤ

(

＝ＢＤ

(

第 ２ 题图 第 ３ 题图 第 ４ 题图 第 ５ 题图 第 ７ 题图 第 ８ 题图

４. 如图ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 为☉Ｏ 的内接四边形ꎬ 若∠Ａ ＝ ５０°ꎬ 则∠ＢＣＤ 的度数为( )

Ａ. ５０° Ｂ. ８０° Ｃ. １００° Ｄ. １３０°

５. 如图ꎬ Ｐ 为☉Ｏ 外一点ꎬ ＰＡꎬ ＰＢ 分别切☉Ｏ 于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ 若 ＰＡ ＝ ５ꎬ 则 ＰＢ＝ ( )

Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. ４ Ｄ. ５

６. 已知☉Ｏ 的半径等于 ３ꎬ 圆心 Ｏ 到直线 ｌ 的距离为 ５ꎬ 那么直线 ｌ 与☉Ｏ 的位置关系是

( )

Ａ. 直线 ｌ 与☉Ｏ 相交 Ｂ. 直线 ｌ 与☉Ｏ 相切

Ｃ. 直线 ｌ 与☉Ｏ 相离 Ｄ. 无法确定

７. 如图ꎬ Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 是☉Ｏ 上的三点ꎬ ∠ＯＡＢ＝ ２０°ꎬ 则∠Ｃ 的度数是( )

Ａ. ４０° Ｂ. ７０° Ｃ. １１０° Ｄ. １４０°

８. 如图ꎬ ＡＢ 为☉Ｏ 的弦ꎬ 半径 ＯＣ⊥ＡＢ 于点 Ｄꎬ 若 ＡＢ＝ ８ꎬ ＣＤ＝ ２ꎬ 则 ＯＢ 的长是( )

Ａ. ３ Ｂ. ４ Ｃ. ５ Ｄ. ６

９. 已知半径为 ６ 的扇形的面积为 １２πꎬ 则扇形的弧长为( )

Ａ. ４ Ｂ. ２ Ｃ. ４π Ｄ. ２π

１０. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ 中ꎬ ＡＢ＝ １０ꎬ ＡＣ ＝ ８ꎬ ＢＣ ＝ ６ꎬ 以边 ＡＢ 的中点 Ｏ 为圆心ꎬ 作半圆与 ＡＣ

相切ꎬ 连接 ＯＣ 与半圆相交于点 Ｄꎬ 则 ＣＤ 的长为( )

Ａ. ２ Ｂ. ３

Ｃ. １ Ｄ. ２? ５

— ２１ —

二、 填空题(本大题共 ７ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２８ 分)

１１. 如图ꎬ Ｃ 是☉Ｏ 上一点ꎬ 若∠ＡＣＢ＝ ２４°ꎬ 则∠ＡＯＢ 的度数为 .

第 １１ 题图 第 １２ 题图 第 １３ 题图 第 １４ 题图 第 １６ 题图

１２. 如图ꎬ ＰＡꎬ ＰＢ 是☉Ｏ 的切线ꎬ Ａꎬ Ｂ 是切点. 若∠Ｐ＝ ５０°ꎬ 则∠ＡＯＢ 的度数为 .

１３.一个正多边形的中心角为 ４０°ꎬ 则这个正多边形的边数是 .

１４. 如图ꎬ ＡＢ 是☉Ｏ 的直径ꎬ ＡＣ 是☉Ｏ 的切线ꎬ Ａ 为切点ꎬ ＢＣ 与☉Ｏ 交于点 Ｄꎬ 连接 ＯＤ.

若∠Ｃ＝ ５５°ꎬ 则∠ＡＯＤ 的度数为 .

１５. 如图ꎬ 小明同学测量一个光盘的直径ꎬ 他只有一把直尺和一块三角板ꎬ 他将直尺、 光盘

和三角板如图放置于桌面上ꎬ 并量出 ＡＢ＝ ３ ｃｍꎬ 则此光盘的直径是 ｃｍ.

１６. 如图ꎬ 在菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬ ∠ＢＡＤ＝ ６０°ꎬ ＢＤ＝ ２. 以点 Ａ 为圆心ꎬ ＡＢ 长为半径画弧 ＢＤꎬ 则

图中阴影部分的面积为 .

１７. 如图ꎬ Ｆ 为正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＣＤ 上一动点ꎬ ＡＢ＝ ２ꎬ 连接 ＢＦꎬ 过点 Ａ 作

ＡＨ⊥ＢＦ 交 ＢＣ 于点 Ｈꎬ 交 ＢＦ 于点 Ｇꎬ 连接 ＣＧꎬ 当 ＣＧ 为最小值时ꎬ ＣＨ

的长为 .

三、 解答题(本大题共 ６ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 １８ 分)

１８. 如图ꎬ ＡＢ 是☉Ｏ 的弦ꎬ ＯＣ 交 ＡＢ 于点 Ｄꎬ 点 Ｄ 是弦 ＡＢ(ＡＢ 不是直径)的中点ꎬ 若ＡＢ＝ ８

ｃｍꎬ ＣＤ＝ ２ ｃｍꎬ 求☉Ｏ 的半径.

１９. 如图ꎬ ＯＭ 是☉Ｏ 的半径ꎬ 过点 Ｍ 作☉Ｏ 的切线 ＡＢꎬ 且 ＭＡ ＝ ＭＢꎬ ＯＡꎬ ＯＢ 分别交☉Ｏ

于点 Ｃꎬ Ｄ. 求证: ＡＣ＝ＢＤ.

— ２２ —

２０. 如图ꎬ ＡＢ 为☉Ｄ 的切线ꎬ ＢＤ 是∠ＡＢＣ 的平分线ꎬ 以点 Ｄ 为圆心ꎬ ＤＡ 为半径的☉Ｄ 与

ＡＣ 相交于点 Ｅ. 求证: ＢＣ 是☉Ｄ 的切线.

四、 解答题(本大题共 ８ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ２４ 分)

２１. 如图ꎬ ＡＢ 是☉Ｏ 的弦ꎬ Ｄ 为半径 ＯＡ 的中点ꎬ 过 Ｄ 作 ＣＤ⊥ＯＡ 交弦 ＡＢ 于点 Ｅꎬ 交☉Ｏ

于点 Ｆꎬ 且 ＣＥ＝ＣＢ.

(１)求证: ＢＣ 是☉Ｏ 的切线ꎻ

(２)连接 ＡＦꎬ ＢＦꎬ 求∠ＡＢＦ 的度数.

２２. 如图ꎬ ＡＢ 为☉Ｏ 的直径ꎬ ＰＤ 切☉Ｏ 于点 Ｃꎬ 交 ＡＢ 的延长线于点 Ｄꎬ 且∠Ｄ＝ ２∠Ａ.

(１)求∠Ｄ 的度数ꎻ

(２)若☉Ｏ 的半径为 ｍꎬ 求 ＢＤ 的长.

２３. 如图ꎬ ＡＢ 为☉Ｏ 的直径ꎬ Ｃ 为☉Ｏ 上一点ꎬ ＣＤ 垂直 ＡＢꎬ 垂足为 Ｄꎬ 在 ＡＣ 延长线上取

点 Ｅꎬ 使∠ＣＢＥ＝∠ＢＡＣ.

(１)求证: ＢＥ 是☉Ｏ 的切线ꎻ

(２)若 ＣＤ＝ ４ꎬ ＢＥ＝ ６ꎬ 求☉Ｏ 的半径 ＯＡ.

— ２３ —

五、 解答题(本大题共 ２ 小题ꎬ 每小题 １０ 分ꎬ 共 ２０ 分)

２４. 如图ꎬ ＡＢ 是☉Ｏ 的直径ꎬ 点 Ｄ 在 ＡＢ 的延长线上ꎬ Ｃ、 Ｅ 是☉Ｏ 上的两点ꎬ ＣＥ ＝ ＣＢꎬ

∠ＢＣＤ＝∠ＣＡＥꎬ 延长 ＡＥ 交 ＢＣ 的延长线于点 Ｆ.

(１)求证: ＣＤ 是☉Ｏ 的切线ꎻ

(２)求证: ＣＥ＝ＣＦꎻ

(３)若 ＢＤ＝ １ꎬ ＣＤ＝ ２ ꎬ 求弦 ＡＣ 的长.

２５. 在古代ꎬ 智慧的劳动人民已经会使用石磨ꎬ 其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的

连杆ꎬ 推动连杆带动磨盘转动ꎬ 将粮食磨碎ꎬ 物理学上称这种动力传输工具为曲柄连杆

机构.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”ꎬ 设计图如图 １ꎬ 两个固定长度的连杆 ＡＰꎬ ＢＰ

的连接点 Ｐ 在☉Ｏ 上ꎬ 当点 Ｐ 在☉Ｏ 上转动时ꎬ 带动点 Ａꎬ Ｂ 分别在射线 ＯＭꎬ ＯＮ 上滑

动ꎬ ＯＭ⊥ＯＮ. 当 ＡＰ 与☉Ｏ 相切时ꎬ 点 Ｂ 恰好落在☉Ｏ 上ꎬ 如图 ２.

请仅就图 ２ 的情形解答下列问题.

(１)求证: ∠ＰＡＯ＝ ２∠ＰＢＯꎻ

(２)若☉Ｏ 的半径为 ５ꎬ ＡＰ＝

２０

３

ꎬ 求 ＢＰ 的长.

— ２４ —

第七章 尺规作图及图形变换过关测试卷

(时间: ６０ 分钟 满分: １２０ 分)

一、 选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ３ 分ꎬ 共 ３０ 分)

１. 如图ꎬ 已知在△ＡＢＣ 中ꎬ 点 Ｄ 为线段 ＢＣ 边上一点ꎬ 则按照顺序ꎬ 线段 ＡＤ 分别是△ＡＢＣ

的( )

Ａ. ①中线ꎬ ②角平分线ꎬ ③高线 Ｂ. ①高线ꎬ ②中线ꎬ ③角平分线

Ｃ. ①角平分线ꎬ ②高线ꎬ ③中线 Ｄ. ①高线ꎬ ②角平分线ꎬ ③中线

第 １ 题图 第 ２ 题图 第 ３ 题图

２. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ 中ꎬ 按以下步骤作图: ①分别以点 Ａꎬ Ｂ 为圆心ꎬ 大于

１

２

ＡＢ 长为半径作

弧ꎬ 两弧交于 Ｍꎬ Ｎ 两点ꎻ ②作直线 ＭＮ 交 ＡＣ 于点 Ｄꎬ 连接 ＢＤ. 若 ＢＤ＝ＢＣꎬ ∠Ａ ＝ ３６°ꎬ

则∠Ｃ 的度数为( )

Ａ. ７２° Ｂ. ６８° Ｃ. ７５° Ｄ. ８０°

３. 如图ꎬ 已知下列尺规作图: ①作一个角的平分线ꎻ ②作一条线段的垂直平分线ꎻ ③过直

线外一点作已知直线的垂线. 其中作法正确的是( )

Ａ. ①② Ｂ. ①③ Ｃ. ②③ Ｄ. ①②③

４. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ 中ꎬ ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ 使点 Ｐ 到 ＡＢ、 ＢＣ 的距离相等ꎬ 则符合要求的作图痕迹

( )

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

５. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ 中ꎬ ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ ∠Ｂ ＝ ３０°ꎬ 以点 Ａ 为圆心ꎬ 适当长为半

径画弧ꎬ 交 ＡＢ 于点 Ｍꎬ 交 ＡＣ 于点 Ｎ. 再分别以 Ｍꎬ Ｎ 为圆心ꎬ 大于

１

２

ＭＮ 长为半径画弧ꎬ 两弧在∠ＢＡＣ 内部交于点 Ｐ. 连接 ＡＰ 并延长ꎬ 交 ＢＣ 于点 Ｄ. 有下列

说法: ①线段 ＡＤ 是∠ＢＡＣ 的平分线ꎻ ②∠ＡＤＣ＝ ６０°ꎻ ③点 Ｄ 到 ＡＢ 边的距离与 ＤＣ 的长

相等ꎻ ④Ｓ△ＤＡＣ

∶ Ｓ△ＡＢＣ

＝ １ ∶ ３. 其中正确结论的个数是( )

Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ４

— ２５ —

正文参考答案

第一轮复习 基础知识梳理

第 １ 讲 实数

课前热身

１.Ａ ２.Ａ ３.２ ４.９

本课练习

１.８ ２.１０ ３.－

３

２

４.Ｃ ５.９.６×１０

６

６.３.０１×１０

－７

７.５ ８.

１０

９

９.解:原式＝ １×５＋１６÷４ ＝ ５＋４ ＝ ９.

１０.解:原式＝ ８０ ÷ ５ ＋ ４０ ÷ ５

＝ １６ ＋ ８ ＝ ４＋２ ２ .

１１.解:原式＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

＋

３

２

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

２

＝

１

４

＋

３

４

＝ １.

１２.解:原式＝ ３ － ２ ＋２ ２ ＝ ３ ＋ ２ .

１３.Ｂ １４.Ｂ １５.Ｂ １６.Ａ １７.Ｄ １８.Ｂ

１９.解:原式＝ １－

１

３

＝

２

３

２０.解:原式＝ ２＋２ ３ －４×

３

２

＝ ２＋２ ３ －２ ３ ＝ ２.

２１.解:原式＝ ３＋５－４ ＝ ８－４ ＝ ４.

２２.解:原式＝ １＋３－２×

１

２

＝ １＋３－１ ＝ ３.

２３.Ａ ２４.Ｃ ２５.Ｂ ２６.Ａ ２７.２

２８.解:原式＝ １＋２＋

１

２

－

１

２

＝ ３.

２９.

２

５

３０.(１)

图①

(２)

图②

３１. ２ ３２.２５

第 ２ 讲 整式与因式分解

课前热身

１.Ｄ ２.３

３.ｘ(ｙ＋３)(ｙ－３)

４.解:原式＝ １－ｘ

２＋ｘ

２＋２ｘ ＝ １＋２ｘꎬ当 ｘ ＝

１

２

时ꎬ原

式＝ １＋２×

１

２

＝ １＋１ ＝ ２.

本课练习

１.解:原式＝

１

２

ｘ－２ｘ＋

２

３

ｙ

２ －

３

２

ｘ＋

１

３

ｙ

２ ＝ －３ｘ＋ｙ

２

.

当 ｘ ＝ － ２ꎬ ｙ ＝

２

３

时ꎬ 原 式 ＝ － ３ × ( － ２ ) ＋

２

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

＝

５８

９

.

２.解:原式＝ ａ

６?ａ

５ ＝ ａ

１１

.

３.解:原式＝ ｙ

２－４－(ｙ

２＋５ｙ－ｙ－５)＝ ｙ

２－４－ｙ

２－５ｙ

＋ｙ＋５ ＝ －４ｙ＋１.

４.解:原式 ＝ [(２ｘ－ｙ)－３]

２ ＝ (２ｘ－ｙ)

２ － ６( ２ｘ－

ｙ)＋９ ＝ ４ｘ

２－４ｘｙ＋ｙ

２－１２ｘ＋６ｙ＋９.

５.解:原式＝ (ａ＋ｂ)

２－２ａｂ ＝ ５

２－２×３ ＝ １９.

６.(ｂ＋ｃ)(２ａ－３) ７.３ａ(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)

８.－ｙ (２ｘ－ｙ)

２

９.２ｘ(ａ－ｂ)

１０.Ｃ １１.Ｄ １２.Ｂ １３.２４ １４.９０ １５.４

１６.解:原式 ＝ ( ｘ ＋ ２) ( ３ｘ － ２ － ２ｘ) ＝ ( ｘ ＋ ２)

(ｘ－２)＝ ｘ

２ － ４ꎬ 当 ｘ ＝ ３ － １ 时ꎬ 原 式 ＝

( ３ －１)

２－４ ＝ －２ ３ .

１７.ｍ(ｍ＋３) １８.(ｘ＋２)(ｘ－２)

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１

１９.３ｙ(ｘ＋１)(ｘ－１) ２０.ａ(ａ－３)

２

２１.(ｍ＋ｎ－３)

２

２２.Ｄ ２３.Ａ

２４.解:ａ(ａ－４)＋(ａ＋１)(ａ－１) ＋１ ＝ ａ

２ －４ａ＋ａ

２ －

１＋１ ＝ ２ａ

２－４ａ ＝ ２(ａ

２－２ａ)ꎬ∵ ａ

２ －２ａ＋１ ＝ ０ꎬ

∴ ａ

２－２ａ ＝ －１ꎬ∴ 原式＝ ２×(－１)＝ －２.

２５.Ａ ２６.Ｂ

２７.解: ( １) 当 ａ ＝ ３ꎬ ｂ ＝ ４ 时ꎬ ａ

２ ＋ ｂ

２ ＋ ２ａｂ ＝

(ａ＋ｂ)

２ ＝ ４９.

(２)答案不唯一ꎬ例如ꎬ若选 ａ

２

ꎬｂ

２

ꎬ则 ａ

２ －

ｂ

２ ＝ (ａ＋ｂ)(ａ－ｂ).若选 ａ

２

ꎬ２ａｂꎬ则 ａ

２

±２ａｂ ＝

ａ(ａ±２ｂ).

２８.解:(１)∵ 大小两个正方形边长分别为 ａ、

ｂꎬ∴ 阴影部分的面积为:Ｓ ＝ ａ

２＋ｂ

２－

１

２

ａ

２－

１

２

(ａ＋ｂ)ｂ ＝

１

２

ａ

２＋

１

２

ｂ

２－

１

２

ａｂꎻ

(２)∵ ａ＋ｂ ＝ ９ꎬａｂ ＝ ６ꎬ∴

１

２

ａ

２ ＋

１

２

ｂ

２ －

１

２

ａｂ ＝

１

２

(ａ＋ｂ)

２－

３

２

ａｂ ＝

１

２

×９

２－

３

２

×６ ＝

６３

２

.

２９.Ｃ ３０.Ａ

第 ３ 讲 分式

课前热身

１.Ｂ ２.Ｃ ３.(１) ａｃ (２)

ｘ＋１

ｘ－１

(３)

２

３(ａ＋ｂ)

４.Ａ

本课练习

１.①③⑤⑥⑦ ②④

２.(１)ａ≠０ (２)ｘ≠±１

３.(１)

２ｂ

ａ

(２)

ｘ＋ｙ

ｘｙ

(３)

ｘ

ｘ＋ｙ

(４)

ｘ＋ｙ

ｘ－ｙ

４.(１)

ｘｃ

ａｂｃ

与

ａｙ

ａｂｃ

(２)

８ｂｃ

４ｂ

２

ｄ

与

３ａｃｄ

４ｂ

２

ｄ

(３)

ｘｂ

ａｂ(ｘ＋２)

与

ａｙ

ａｂ(ｘ＋２)

(４)

２ｘｙ(ｘ－ｙ)

(ｘ＋ｙ)

２

(ｘ－ｙ)

与

ｘ(ｘ＋ｙ)

(ｘ＋ｙ)

２

(ｘ－ｙ)

５.１×１０

－９

１.２×１０

－３

３.４５×１０

－７

１.０８×１０

－８

６.６.４×１０

－３

７.(１)－２ (２)

７ｙ

２(ｘ＋ｙ)

８.Ｃ ９.ｘ≠１ １０.－

１００

ａ

２９

１１.Ａ １２.Ｂ １３.Ｄ

１４.－

６５

３６

１５.解:原式＝

ａ(ａ－１)＋ａ

２－１

ａ－１

＝

ａ

２－ａ＋ａ

２－１

ａ－１

＝

２ａ

２－ａ－１

ａ－１

＝

(２ａ＋１)(ａ－１)

ａ－１

＝ ２ａ＋１ꎬ

当 ａ ＝ ５ 时ꎬ原式＝ １０＋１ ＝ １１.

１６.Ｄ １７.Ｄ １８.Ｄ

１９.解:(１) ∵ 一个无盖长方体盒子的容积是

Ｖꎬ盒子底面是边长为 ａ 的正方形ꎬ

∴ 长方体盒子的高为:ｈ ＝

Ｖ

ａ

２

ꎬ

∴ 这个盒子的表面积 Ｓ１

＝ ａ

２ ＋

Ｖ

ａ

２

× ４ａ ＝

ａ

２＋

４Ｖ

ａ

ꎻ

(２)∵ 一个无盖长方体盒子的容积是 Ｖꎬ盒

子底面是长为 ｂꎬ宽为 ｃ 的矩形ꎬ

∴ 长方体盒子的高为:ｈ ＝

Ｖ

ｂｃ

ꎬ

∴ 这个盒子的表面积:Ｓ２

＝ ｂｃ＋

Ｖ

ｂｃ

×２(ｂ＋ｃ)＝

ｂｃ＋

２Ｖ(ｂ＋ｃ)

ｂｃ

ꎻ

(３)∵ 盒子的底面积相等ꎬ即 ａ

２ ＝ ｂｃꎬ

∴ 这两个盒子的表面积之差:Ｓ２

－Ｓ１

＝ ｂｃ＋

２Ｖ(ｂ＋ｃ)

ｂｃ

－ ( ａ

２ ＋

４Ｖ

ａ

) ＝ ａ

２ ＋

２Ｖ(ｂ＋ｃ)

ａ

２

－ ａ

２ －

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２

４Ｖ

ａ

＝

２Ｖ(ｂ＋ｃ－２ａ)

ａ

２

.

２０.解:原式＝

２ｘ－２－ｘ

ｘ

÷

(ｘ－２)

２

ｘ(ｘ－１)

＝

ｘ－２

ｘ

?

ｘ(ｘ－１)

(ｘ－２)

２

＝

ｘ－１

ｘ－２

ꎬ

当 ｘ ＝ ４ 时ꎬ原式＝

４－１

４－２

＝

３

２

.

２１.

９０

ｘ

－

９０

(１＋２５％)ｘ

＝ ３０

２２.解:原式＝

２ｘ＋１＋ｘ

２－１

ｘ＋１

?

(ｘ＋１)

２

ｘ＋２

＝

ｘ(ｘ＋２)

ｘ＋１

?

(ｘ＋１)

２

ｘ＋２

＝ ｘ(ｘ＋１) ＝ ｘ

２ ＋ｘꎬ解方程 ｘ

２ －ｘ－２ ＝

０ꎬ得 ｘ１

＝ ２ꎬｘ２

＝ －１ꎬ∵ ｘ＋１≠０ꎬ∴ ｘ≠－１ꎬ当

ｘ ＝ ２ 时ꎬ原式＝ ２

２＋２ ＝ ６.

２３. 解: 原 式 ＝

ａ－２－３ａ＋１０

ａ－２

?

(ａ－２)

２

ａ－４

＝

－２(ａ－４)

ａ－２

?

(ａ－２)

２

ａ－４

＝ －２(ａ－２)＝ －２ａ＋４ꎬ

∵ ａ 与 ２ꎬ３ 构成三角形的三边ꎬ∴ ３－２<ａ<

３＋２ꎬ∴ １<ａ<５ꎬ

∵ ａ 为整数ꎬ∴ ａ ＝ ２ꎬ３ 或 ４ꎬ又∵ ａ－２≠０ꎬ

ａ－４≠０ꎬ∴ ａ≠２ 且 ａ≠４ꎬ∴ ａ ＝ ３ꎬ

∴ 原式＝ －２ａ＋４ ＝ －２×３＋４ ＝ －６＋４ ＝ －２.

２４.解:(１)设猪肉粽每盒进价 ａ 元ꎬ则豆沙粽

每 盒 进 价 ( ａ － １０ ) 元ꎬ 由 题 意 可 得

８ ０００

ａ

＝

６ ０００

ａ－１０

ꎬ

解得:ａ ＝ ４０ꎬ经检验 ａ ＝ ４０ 是方程的解ꎬ且

符合题意.

∴ ａ－１０ ＝ ３０.

答:猪肉粽每盒进价 ４０ 元ꎬ豆沙粽每盒进

价 ３０ 元.

(２)由题意得ꎬ当 ｘ ＝ ５０ 时ꎬ每天可售出

１００ 盒ꎬ

当猪肉粽每盒售价 ｘ(５０≤ｘ≤６５)元时ꎬ每

天可售[１００－２(ｘ－５０)]盒ꎬ

∴ ｙ ＝ ｘ[１００－ ２( ｘ－ ５０)] － ４０×[１００－ ２( ｘ－

５０)] ＝ － ２ｘ

２ ＋ ２８０ｘ － ８ ０００ꎬ配方ꎬ得: ｙ ＝

－２ (ｘ－７０)

２＋１ ８００ꎬ

∵ －２<０ꎬ∴ ｘ<７０ 时ꎬｙ 随 ｘ 的增大而增大ꎬ

∴ 当 ｘ ＝ ６５ 时ꎬ ｙ 取最大值ꎬ最大值为: －

２ (６５－７０)

２＋１ ８００ ＝ １ ７５０(元).

答:ｙ 关于 ｘ 的函数解析式为 ｙ ＝ －２ｘ

２＋２８０ｘ－

８ ０００(５０≤ｘ≤６５)ꎬ最大利润为 １ ７５０ 元.

２５.±１ ２６.Ｂ

第 ４ 讲 二次根式

课前热身

１.Ａ

２.(１)ｘ≥３ (２)ｘ≠３ (３)ｘ>３ (４)ｘ≤４ 且

ｘ≠－２

３.Ｂ

４.(１)３ (２)１２ (３)６ (４)

３

３

本课练习

１. ３ ２. ６５

３.(１)０.３ (２)

１

７

(３)－π (４)０.１ ４.６

５.解:由题意可得:πｒ

２ ＝ ４π＋９πꎬ解得:ｒ ＝ １３

或－ １３ (不合题意舍去)ꎬ即 ｒ 的值为 １３ .

６.解:从一个大正方形中截去面积为 １５ ｃｍ

２

和 ２４ ｃｍ

２ 的两个小正方形ꎬ大正方形的边

长是 １５ ＋２ ６ ꎬ留下部分(即阴影部分) 的

面积是( １５ ＋２ ６ )

２

－１５－２４ ＝ １２ １０ (ｃｍ

２

).

７.(１)１２ (２)４ ３

８.(１) ６ －

３ ２

４

(２)

３ ２

３０

(３)－

２

２

９.Ａ １０.Ｄ １１.Ｄ １２.４

１３. 解: ( １) ∵ 矩形的长 ａ ＝ ６ ＋ ５ ꎬ宽 ｂ ＝

６ － ５

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

３

∴ 矩形的面积为:( ６ ＋ ５ ) ( ６ － ５ )＝ ６－

５ ＝１ꎻ矩形的周长为:２( ６ ＋ ５ ＋ ６ － ５ )＝

４ ６ ꎻ

(２ ) ａ

２ ＋ ｂ

２ － ２０ ＋ ２ａｂ ＝ (ａ＋ｂ)

２ － ２０ ＝

( ６ ＋ ５ ＋ ６ － ５ )

２

－２０ ＝ (２ ６ )

２

－２０ ＝ ２４－

２０ ＝ ４.

１４.解:原式＝ １－３＋２×

２

２

＋５ ＝ ３＋ ２ .

１５.３ ５ １６.Ａ １７.Ａ １８.２

１９.４ 或 ７ 或 ８

２０.２

２１.解:原式＝ ２×

３

２

－２＋ ３ ＋１－２ ３ ＋４ ＝ ３ －２＋

３ ＋１－２ ３ ＋４ ＝ ３.

２２.解:(１)∵ Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ ＝ ９０°ꎬＡＣ ＝ １０ ＋

２ꎬＢＣ＝ １０－ ２ꎬ

∴ Ｒｔ △ＡＢＣ 的 面 积 ＝

ＡＣ?ＢＣ

２

＝

( １０ ＋ ２ )( １０ － ２ )

２

＝

１０－２

２

＝ ４ꎬ

即 Ｒｔ△ＡＢＣ 的面积是 ４ꎻ

(２) ∵ Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ ＝ ９０°ꎬＡＣ ＝ １０ ＋

２ ꎬＢＣ＝ １０ － ２ ꎬ

∴ ＡＢ ＝ ＡＣ

２＋ＢＣ

２ ＝

( １０＋ ２)

２＋( １０－ ２)

２

＝ ２ ６ ꎬ即 ＡＢ 的

长是 ２ ６ ꎻ

(３) ∵ Ｒｔ △ＡＢＣ 的面积是 ４ꎬ ＡＢ ＝ ２ ６ ꎬ

∴ ＡＢ边上的高是:

４×２

２ ６

＝

２ ６

３

ꎬ即 ＡＢ 边上的

高是

２ ６

３

.

２３.解:(１)∵

１

２

－

１

３

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

２

>０ꎬ

∴

１

２

－２

１

２

×

１

３

＋

１

３

>０ꎬ

∴

１

２

＋

１

３

>２

１

２

×

１

３

ꎬ

同理得:１＋

１

５

> ２ １×

１

５

ꎻ６＋ ３> ２ ６×３ ꎻ７＋

７ ＝ ２ ７×７ .故答案为:>ꎬ>ꎬ>ꎬ＝ ꎻ

(２)猜想:ａ＋ｂ≥２ ａｂ ( ａ≥０ꎬｂ≥０)ꎬ理由

是:∵ ａ≥０ꎬｂ≥０ꎬ

∴ ａ＋ｂ－２ ａｂ ＝ ( ａ － ｂ )

２

≥０ꎬ

∴ ａ＋ｂ≥２ ａｂ ꎻ

(３) 设 ＡＣ ＝ ａꎬＢＤ ＝ ｂꎬ由题意得:

１

２

ａｂ ＝ １

８００ꎬ∴ ａｂ ＝ ３ ６００ꎬ

∵ ａ＋ｂ≥２ ａｂ ꎬ∴ ａ＋ｂ≥２ ３ ６００ ꎬ

∴ ａ＋ｂ≥１２０ꎬ

∴ 用来做对角线的竹条至少要 １２０ 厘米.

２４.解:(１) ５

５

２４

＝ ５

５

２４

ꎻ

(２) ６

６

３５

＝ ６

６

３５

ꎬ

规律: ｎ＋

ｎ

(ｎ－１)(ｎ＋１)

＝ ｎ

ｎ

(ｎ－１)(ｎ＋１)

(ｎ>１).

证明: ｎ＋

ｎ

(ｎ－１)(ｎ＋１)

＝

ｎ

３

(ｎ－１)(ｎ＋１)

＝ ｎ

ｎ

(ｎ－１)(ｎ＋１)

(ｎ>１).

２５.解:(１)∵ ｜ ａ－ｂ ｜ ＋ ｜ ｂ－ｃ｜ ＝ ０ꎬ

∴ ａ－ｂ ＝ ０ 且 ｂ－ｃ ＝ ０ꎬ∴ ａ ＝ ｂ ＝ ｃꎬ

∴ △ＡＢＣ 为等边三角形ꎻ

(２)∵ (ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)＝ ０ꎬ

∴ ａ－ｂ ＝ ０ 或 ｂ－ｃ ＝ ０ 或 ａ－ｂ ＝ ０ꎬｂ－ｃ ＝ ０ꎬ

∴ ａ ＝ ｂ 或 ｂ ＝ ｃ 或 ａ ＝ ｂ ＝ ｃꎬ

∴ △ＡＢＣ 为等腰三角形或等边三角形ꎻ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

４

(３)∵ ａꎬｂꎬｃ 是△ＡＢＣ 的三边长ꎬ

∴ ａ－ｂ－ｃ<０ꎬｂ－ｃ－ａ<０ꎬｃ－ａ－ｂ<０ꎬ

∴ 原式＝ ｂ＋ｃ－ａ＋ａ＋ｃ－ｂ＋ａ＋ｂ－ｃ ＝ ａ＋ｂ＋ｃ.

第 ５ 讲 一次方程(组)

的解法与应用

课前热身

１.ｘ ＝ ５ ２.

ｘ ＝ ２ꎬ

ｙ ＝ ３ { ３.Ｃ

本课练习

１.ｘ ＝ ２ ２.

ｘ ＝ －０.５ꎬ

ｙ ＝ ２.５ {

３.解:根据题意得:３０％ ｘ ＝ ２０％ (ｘ＋１０) ꎬ解得

ｘ ＝ ２０ꎬ∴ ２０＋１０ ＝ ３０(元) .

答:每个小书包的进价为 ２０ 元ꎬ每个大书包

的进价为 ３０ 元.

４.解:设第一天行军的平均速度为 ｘ ｋｍ/ ｈꎬ第

二天行军的平均速度为 ｙ ｋｍ/ ｈꎬ根据题意

得:

４ｘ＋５ｙ ＝ ９８ꎬ

５ｙ－４ｘ ＝ ２ꎬ { 解得

ｘ ＝ １２ꎬ

ｙ ＝ １０. {

答:第一天行军的平均速度为 １２ ｋｍ/ ｈꎬ第

二天行军的平均速度为 １０ ｋｍ/ ｈ.

５.Ｃ ６.Ｂ ７.１

８.解:设学生人数为 ｘ 人ꎬ由题意得:

８ｘ－３ ＝ ７ｘ＋４ꎬ解得:ｘ ＝ ７ꎬ

∴ 该书的单价为 ７×７＋４ ＝ ５３(元).

答:学生人数为 ７ 人ꎬ该书的单价为 ５３ 元.

９.解:设每千克有机黑胡椒售价为 ｘ 元ꎬ每千

克有机白胡椒售价为 ｙ 元.

根据题意ꎬ得

ｘ ＝ ｙ－１０ꎬ

２ｘ＋３ｙ ＝ ２８０ꎬ {

解得

ｘ ＝ ５０ꎬ

ｙ ＝ ６０. {

答:每千克有机黑胡椒售价为 ５０ 元ꎬ每千克

有机白胡椒售价为 ６０ 元.

１０. 解:(１) (－６) ×

２

３

－

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ －２

３ ＝ (－６) ×

１

６

－８ ＝

－１－８ ＝ －９ꎻ

(２)设被污染的数字为 ｘꎬ

由题意ꎬ得(－６) ×

２

３

－ｘ

æ

è

ç

ö

ø

÷ －２

３ ＝ ６ꎬ

解得 ｘ ＝ ３ꎬ

∴ 被污染的数字是 ３.

１１. ｘ ＝ －３ １２.ｘ＋２ｙ ＝ ３２ １３.

ｘ ＝ －１ꎬ

ｙ ＝ ９ {

１４.解:(１)３ꎻ

(２)存在.由方程 ２ｘ－ ２ ＝

１

２

ｘ＋ ２ꎬ得 ｘ ＝

８

３

ꎬ

∴ 点 Ｃ在数轴上对应的数为

８

３

.设点 Ｐ 对应

的数为 ｍꎬ

若点 Ｐ 在点 Ａ 和点 Ｂ 之间ꎬ则 ｍ－(－２) ＋１－

ｍ＝

８

３

－ｍꎬ解得 ｍ＝ －

１

３

ꎻ

若点 Ｐ 在点 Ａ 左边ꎬ则－２－ｍ＋１－ｍ＝

８

３

－ｍꎬ

解得 ｍ＝ －

１１

３

.

∴ 点 Ｐ 对应的数为－

１

３

或－

１１

３

.

１５.解:(１)设打包成件的帐篷有 ｘ 件ꎬ食品有

ｙ 件ꎬ则

ｘ＋ｙ ＝ ３２０ꎬ

ｘ－ｙ ＝ ８０ꎬ { 解得

ｘ ＝ ２００ꎬ

ｙ ＝ １２０ꎬ {

答:打包成件的帐篷和食品分别为 ２００ 件

和 １２０ 件ꎻ

( ２ ) 设 租 用 甲 种 货 车 ｚ 辆ꎬ 则

４０ｚ＋２０(８－ｚ) ≥２００ꎬ

１０ｚ＋２０(８－ｚ) ≥１２０ꎬ { 解得 ２≤ｚ≤４ꎬ

∴ ｚ ＝ ２ 或 ３ 或 ４ꎬ民政局安排甲、乙两种货

车时有 ３ 种方案.设计方案分别为:①甲种

货车 ２ 辆ꎬ乙种货车 ６ 辆ꎻ②甲种货车 ３

辆ꎬ乙种货车 ５ 辆ꎻ③甲种货车 ４ 辆ꎬ乙种

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

５

货车 ４ 辆.

１６.２ꎻ１

１７.９ꎬ７ꎬ４ꎬ１１

第 ６ 讲 一元二次方程及应用

课前热身

１.９ ２.Ｃ ３. ｘ１

＝ １＋ ６ ꎬｘ２

＝ １－ ６

４.３０％

本课练习

１.ｘ１

＝ １＋

１５

３

ꎬｘ２

＝ １－

１５

３

２.证明:将(ｘ－３) (ｘ－２) －ｐ

２ ＝ ０ 变形得 ｘ

２ －５ｘ＋

６－ｐ

２ ＝ ０ꎬ

∵ Δ＝ ｂ

２ －４ａｃ ＝ ( －５)

２ －４×１× ６－ｐ

２

( ) ＝ １＋４ｐ

２

≥１ꎬ

∴ 无论 ｐ 取何值ꎬ方程(ｘ－３) (ｘ－２) －ｐ

２ ＝ ０ 总

有两个不等的实数根.

３.－２

４.解:设共有 ｘ 个队参加比赛ꎬ

根据题意得 ｘ (ｘ－１) ＝ ９０ꎬ解得 ｘ１

＝ １０ꎬｘ２

＝

－９(不合题意ꎬ舍去).

答:共有 １０ 个队参加比赛.

５. ｘ１

＝ －１ꎬｘ２

＝ ３ ６.ｍ<３ ７.Ｂ ８.Ａ

９. 解:设道路的宽应为 ｘ ｍꎬ由题意得

(５０－２ｘ)×(３８－２ｘ)＝ １ ２６０ꎬ

解得:ｘ１

＝ ４ꎬｘ２

＝ ４０(不合题意ꎬ舍去).

答:道路的宽应为 ４ ｍ.

１０.ｍ<１ １１.Ａ １２.－３

１３.解:(１)Ｔ ＝ ａ

２＋６ａｂ＋９ｂ

２＋４ａ

２－９ｂ

２＋ａ

２ ＝

６ａ

２＋６ａｂꎻ

(２)由题意得:Δ ＝ (２ａ)

２ －４( －ａｂ＋１)＝ ４ａ

２ ＋

４ａｂ－４＝ ０ꎬ

∴ ４ａ

２＋４ａｂ ＝ ４ꎬ

∴ ａ

２＋ａｂ ＝ １ꎬ

∴ Ｔ ＝ ６ａ

２＋６ａｂ ＝ ６(ａ

２＋ａｂ)＝ ６×１ ＝ ６.

１４.解:(１)ｎ

２＋５ｎ＋６ꎻ

(２)根据题意得:ｎ

２ ＋５ｎ＋６ ＝ ５０６ꎬ解得 ｎ１

＝

２０ꎬｎ２

＝ －２５(不合题意ꎬ舍去)ꎬ

∴ 此时 ｎ 的值是 ２０.

１５.Ａ １６.Ｂ

第 ７ 讲 分式方程及应用

课前热身

１. ｘ ＝ ３ ２. ｘ ＝ ３ ３. Ｃ

本课练习

１.解:２ｘ ＝ ３(ｘ－３)ꎬ２ｘ ＝ ３ｘ－９ꎬ－ｘ ＝ －９ꎬｘ ＝ ９.经

检验ꎬｘ ＝ ９ 是原方程的解.

２.解:２ｘ(２ｘ＋５) －２(２ｘ－５)＝ (２ｘ＋５) (２ｘ－５)ꎬ

６ｘ ＝ － ３５ꎬｘ ＝ －

３５

６

.经检验ꎬｘ ＝ －

３５

６

是原方程

的解.

３.解:ｍ(ｘ＋１)－ｘ ＝ ０ꎬ(ｍ－１)ｘ ＝ －ｍꎬ

∵ ｍ≠０ꎬ且 ｍ≠１ꎬ∴ ｘ ＝ －

ｍ

ｍ－１

.

经检验ꎬｘ ＝ －

ｍ

ｍ－１

是原方程的解.

４.解:设乙每小时做 ｘ 个零件ꎬ则甲每小时做

(ｘ＋６)个零件ꎬ根据题意得

９０

ｘ＋６

＝

６０

ｘ

ꎬ解得 ｘ

＝ １２.经检验ꎬｘ ＝ １２ 是原方程的解ꎬ且符合

题意.

ｘ＋６ ＝ １２＋６ ＝ １８(个)ꎬ

答:甲每小时做 １８ 个零件ꎬ乙每小时做 １２

个零件.

５.解:设前一小时的行驶速度为 ｘ ｋｍ/ ｈꎬ根据

题意得

１８０－ｘ

ｘ

－

１８０－ｘ

１.５ｘ

＝

２

３

ꎬ解得 ｘ ＝ ６０.

经检验ꎬｘ ＝ ６０ 是原方程的解ꎬ且符合题意.

答:前一小时的行驶速度为 ６０ ｋｍ/ ｈ.

６. 解:方程两边同乘( ｘ－１) (２ｘ＋１)ꎬ去分母ꎬ

得 ２ｘ＋１ ＝ ３(ｘ－１)ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

６

解得 ｘ ＝ ４ꎬ

检验:把 ｘ ＝ ４ 代入(ｘ－１)(２ｘ＋１)ꎬ得

(４－１)(８＋１)≠０ꎬ

∴ ｘ ＝ ４ 是原方程的解.

７.解:方程两边同时乘 ｘ(ｘ＋１)ꎬ得 ｘ

２＋３(ｘ＋１)

＝ ｘ(ｘ＋１)ꎬ

去括号ꎬ得 ｘ

２＋３ｘ＋３ ＝ ｘ

２＋ｘꎬ

解得 ｘ ＝ －

３

２

ꎬ

经检验ꎬｘ ＝ －

３

２

是原方程的解.

８.解:方程两边同乘 ｘ(２ｘ＋１)ꎬ得 ２(２ｘ＋１)＝ ｍｘꎬ

整理得(ｍ－４)ｘ ＝ ２ꎬ

解得 ｘ ＝

２

ｍ－４

ꎬ

经检验ꎬｘ ＝

２

ｍ－４

是原方程的解.

９. 解:设乙班每小时挖 ｘ 千克土豆ꎬ则甲班每

小时挖(１００＋ｘ)千克土豆ꎬ

根据题意得:

１ ５００

ｘ＋１００

＝

１ ２００

ｘ

ꎬ

解得:ｘ ＝ ４００ꎬ

经检验ꎬｘ ＝ ４００ 是原方程的解ꎬ且符合题意.

故乙班每小时挖 ４００ 千克土豆.

１０. 解:设该厂家更换设备前每天生产口罩

ｘ 万只ꎬ则该厂家更换设备后每天生产口

罩(１＋４０％)ｘ 万只ꎬ

依题意得:

２８０

ｘ

－

２８０

(１＋４０％)ｘ

＝ ２ꎬ

解得:ｘ ＝ ４０ꎬ

经检 验ꎬ ｘ ＝ ４０ 是 原 方 程 的 解ꎬ 且 符 合

题意.

答:该 厂 家 更 换 设 备 前 每 天 生 产 口 罩

４０ 万只ꎬ更 换 设 备 后 每 天 生 产 口 罩 ５６

万只.

１１. 解:

ｘ

ｘ－１

＝

ｘ－１

２ｘ－２

ꎬｘ ＝

１

２

(ｘ－１) ꎬ

解得 ｘ ＝ －１ꎬ

经检验 ｘ ＝ －１ 是原方程的解ꎬ

故原方程的解为:ｘ ＝ －１.

１２.Ｃ

１３.解:方程两边同时乘(ｘ－２)ꎬ得 ２ｘ ＝ ｘ－２＋１ꎬ

解得 ｘ ＝ －１ꎬ

经检验 ｘ ＝ －１ 是原方程的解ꎬ

则原方程的解是 ｘ ＝ －１.

１４.Ａ １５.Ｂ １６.

５

６

１７.Ｄ

第 ８ 讲 不等式(组)及应用

课前热身

１. ｘ>４

２. 解:移项ꎬ得 ３ｘ<４＋２ꎬ

合并同类项ꎬ得 ３ｘ<６ꎬ

系数化为 １ꎬ得 ｘ<２.

３. ｘ≥５ ４. Ｃ

本课练习

１.(１)> (２)>

２.解:去分母ꎬ得 ２(ｘ＋１)≥３(２ｘ－５)＋１２ꎬ

去括号ꎬ得 ２ｘ＋２≥６ｘ－１５＋１２ꎬ

移项ꎬ得 ２ｘ－６ｘ≥－１５＋１２－２ꎬ

合并同类项ꎬ得 －４ｘ≥－５ꎬ

系数化为 １ꎬ得 ｘ≤

５

４

.

３.解:去括号ꎬ得 ６ｘ＋１５>８ｘ＋６ꎬ

移项ꎬ得 ６ｘ－８ｘ>６－１５ꎬ

合并同类项ꎬ得 －２ｘ>－９ꎬ

系数化为 １ꎬ得 ｘ<４.５.

在数轴上表示不等式的解集略.

４.解:解不等式 ｘ－３(ｘ－２)≥４ꎬ得 ｘ≤１ꎬ

解不等式

２ｘ－１

５

>

ｘ＋１

２

ꎬ得 ｘ<－７ꎬ

∴ 原不等式组的解集为:ｘ<－７.

５.解:根据题意解不等式组

ｘ＋３>６ꎬ

２ｘ－１<１０ꎬ { 解得 ３<

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

７

ｘ<

１１

２

ꎬ

∴ 整数解为 ４ꎬ５.故 ｘ 取 ４ 或 ５ 时ꎬ不等式 ｘ＋

３>６ 与 ２ｘ－１<１０ 都成立.

６.解:设小明至少答对 ｘ 道题ꎬ则答错或不答为

(２０－ ｘ) 道题ꎬ根据题意得ꎬ１０ｘ － ５ ( ２０ － ｘ)

≥９０ꎬ

解得:ｘ≥１２

２

３

ꎬ∵ ｘ 取整数ꎬ故小明至少答

对 １３ 道题.

７.Ａ

８.解:去括号ꎬ得 ６ｘ－４>ｘ＋１ꎬ

移项ꎬ得 ６ｘ－ｘ>４＋１ꎬ

合并同类项ꎬ得 ５ｘ>５ꎬ

系数化为 １ꎬ得 ｘ>１.

９. 解:去分母ꎬ得 ２(ｘ－１) ≥３(ｘ－３) ＋６ꎬ

去括号ꎬ得 ２ｘ－２≥３ｘ－９＋６ꎬ

移项ꎬ合并同类项ꎬ得－ｘ≥－１ꎬ

系数化为 １ꎬ得 ｘ≤１ꎬ

在数轴上表示解集如图:

１０. 解:解不等式①ꎬ得 ｘ>－１ꎬ

解不等式②ꎬ得 ｘ≤２.

∴ 不等式组的解集是－１<ｘ≤２.

１１.解:

ｘ－２≤２ｘ①ꎬ

ｘ－１<

１＋２ｘ

３

②ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

解不等式①ꎬ得 ｘ≥－２ꎬ

解不等式②ꎬ得 ｘ<４ꎬ

∴ 不等式组的解集为－２≤ｘ<４ꎬ

∴ 不等式组的所有整数解为:－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ

２ꎬ３ꎬ

∴ 所有整数解的和为:－２＋ (－１) ＋０＋１＋２＋

３ ＝ ３.

１２. ３２ １３. Ａ

１４. 解:移项ꎬ得 ９ｘ－７ｘ≤３＋２ꎬ

合并同类项ꎬ得 ２ｘ≤５ꎬ

系数化为 １ꎬ得 ｘ≤

５

２

.

在数轴上表示解集如图:

１５. Ｃ

１６.解:

３ｘ>ｘ－４①ꎬ

４＋ｘ

３

>ｘ＋２②ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

解不等式①得:ｘ>－２ꎬ

解不等式②得:ｘ<－１ꎬ

∴ 不等式组的解集为－２<ｘ<－１.

１７. 解:(１)设篮球的单价为 ａ 元ꎬ足球的单价

为 ｂ 元ꎬ

由题意可得:

２ａ＋３ｂ ＝ ５１０ꎬ

３ａ＋５ｂ ＝ ８１０ꎬ { 解得

ａ ＝ １２０ꎬ

ｂ ＝ ９０ꎬ {

答:篮球的单价为 １２０ 元ꎬ足球的单价为

９０ 元ꎻ

(２)设采购篮球 ｘ 个ꎬ则采购足球( ５０ －

ｘ)个ꎬ

∵ 要求篮球不少于 ３０ 个ꎬ且总费用不超

过 ５ ５００ 元ꎬ

∴

ｍ≥３０ꎬ

１２０ｍ＋９０(５０－ｍ) ≤５ ５００ꎬ {

解得 ３０≤ｘ≤３３

１

３

ꎬ

∵ ｘ 为整数ꎬ

∴ ｘ 的值可为 ３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ３３ꎬ

∴ 共有四种购买方案ꎬ

方案一:采购篮球 ３０ 个ꎬ采购足球 ２０ 个ꎻ

方案二:采购篮球 ３１ 个ꎬ采购足球 １９ 个ꎻ

方案三:采购篮球 ３２ 个ꎬ采购足球 １８ 个ꎻ

方案四:采购篮球 ３３ 个ꎬ采购足球 １７ 个.

１８. ｍ≤２ １９. Ｃ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

８

第 ９ 讲 平面直角坐标系与函数

课前热身

１.Ａ ２.Ｂ ３.Ｄ ４.Ｄ

本课练习

１.(１)点 Ｐ(ｘꎬｙ)的坐标满足 ｘｙ>０ꎬ点 Ｐ 在第

一象限或第三象限ꎻ

(２)点 Ｐ(ｘꎬｙ)的坐标满足 ｘｙ<０ꎬ点 Ｐ 在第

二象限或第四象限ꎻ

(３)点 Ｐ(ｘꎬｙ)的坐标满足 ｘｙ ＝ ０ꎬ点 Ｐ 在坐

标轴上.

２.Ｃ

３.(１)全体实数 (２)ｘ≠１ (３)ｘ≥１

(４)ｘ>２

４.(１)ｙ ＝ －２ｘ＋２０ (２)５<ｘ<１０

５.Ｂ ６.Ｄ ７.Ｂ ８.Ａ ９.Ｄ １０.Ａ １１.Ａ

１２.Ｄ １３.Ａ １４.Ｄ １５.Ａ １６.Ｂ １７.Ａ

１８.Ａ １９.Ａ

第 １０ 讲 一次函数

课前热身

１.Ｂ ２.Ｂ ３.Ｂ ４.Ａ

本课练习

１.

３

２

ꎬ０

æ

è

ç

ö

ø

÷ (０ꎬ－３) 一、三、四 增大

２.(１)一、二、四 减小 (２)一、三、四 增大

３.

３

２

１ ４.ｙ ＝

４

３

ｘ－１２ ５.－

３２

５

６.>５ <５

７.解:依题意得ꎬｙ ＝ ３ ０００－２.５ｘꎬ

∵ 批发苹果不少于 １００ 千克时ꎬ批发价为每

千克 ２.５ 元ꎬ

∴ ｘ≥１００ꎬ

∴ 至多可以买 ３ ０００÷２.５ ＝ １ ２００(ｋｇ).

故自变量 ｘ 的取值范围为 １００≤ｘ≤１ ２００.

８.解:(１)∵ ｘ＋ｙ ＝ １０ꎬ

∴ 点 Ｐ 在 ｙ ＝ １０－ｘ 这条直线上ꎬ

∴ Ｓ ＝ ８(１０－ｘ)÷２ ＝ ４０－４ｘꎻ

(２)ｘ>０ꎬ１０－ｘ>０ꎬ故 ０<ｘ<１０.

(３)设 Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ

Ｓ ＝

１

２

×８×(１０－ｘ)＝ ４０－４ｘ ＝ １２ꎬ

解得 ｘ ＝ ７ꎬ

则 ｙ ＝ １０－７ ＝ ３ꎬ

∴ 点 Ｐ 的坐标为(７ꎬ３).

９.Ｄ １０.Ａ １１.Ｄ

１２.解:(１)把 ｘ ＝ ２ꎬｙ ＝ １９ 代入 ｙ ＝ ｋｘ＋１５ 中ꎬ

得 １９ ＝ ２ｋ＋１５ꎬ

解得:ｋ ＝ ２ꎬ

∴ ｙ 与 ｘ 的函数关系式为 ｙ ＝ ２ｘ ＋ １５( ｘ≥

０)ꎻ

(２)把 ｙ ＝ ２０ 代入 ｙ ＝ ２ｘ＋１５ 中ꎬ

得 ２０ ＝ ２ｘ＋１５ꎬ

解得:ｘ ＝ ２.５ꎬ

∴ 所挂物体的质量为 ２.５ ｋｇ.

１３.解:(１)∵ 等腰三角形的周长为 ３０ ｃｍꎬ底

边长为 ｘ ｃｍꎬ腰长为 ｙ ｃｍꎬ

∴ ｙ 与 ｘ 的关系式为 ｘ ＋ ２ｙ ＝ ３０ꎬ即 ｙ ＝

－

１

２

ｘ＋１５ꎬ自变量的取值范围是 ０<ｘ<１５ꎻ

(２)∵ 等腰三角形的周长为 ３０ ｃｍꎬ腰长为

ｘ ｃｍꎬ底边长为 ｙ ｃｍꎬ

∴ ｙ 与 ｘ 的关系式为 ｙ ＝ －２ｘ＋３０ꎬ自变量的

取值范围是 ７.５<ｘ<１５.

１４.Ｂ １５.Ｄ １６.Ｄ １７.Ｂ １８.Ａ

１９.解:把(４ꎬ３)ꎬ( －２ꎬ０)分别代入 ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ 得

４ｋ＋ｂ ＝ ３ꎬ

－２ｋ＋ｂ ＝ ０ꎬ { 解得

ｋ ＝

１

２

ꎬ

ｂ ＝ １ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ 函数解析式为 ｙ ＝

１

２

ｘ＋１ꎬ

当 ｘ ＝ ０ 时ꎬｙ ＝

１

２

ｘ＋１ ＝ １ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

９

∴ 点 Ａ 的坐标为(０ꎬ１).

２０.Ｃ

２１.解:( １) 将点( ０ꎬ７) 和点( １ꎬ６) 代入 ｙ ＝

ｋｘ＋ｂꎬ

得

ｂ ＝ ７ꎬ

ｋ＋ｂ ＝ ６ꎬ { 解得

ｋ ＝ －１ꎬ

ｂ ＝ ６ꎬ {

∴ 直线 ｌ 的解析式为 ｙ ＝ －ｘ＋７ꎻ

(２)①∵ 点 Ｐ(ｍꎬｎ)在直线 ｌ 上ꎬ

∴ ｎ ＝ －ｍ＋７ꎬ

设抛物线的解析式为 ｙ ＝ ａ(ｘ－ｍ)

２＋７－ｍꎬ

∵ 抛物线经过点(０ꎬ－３)ꎬ

∴ ａｍ

２＋７－ｍ＝ －３ꎬ∴ ａ ＝

ｍ－１０

ｍ

２

ꎬ

∵ 抛物线开口向下ꎬ∴ ａ<０ꎬ∴ ａ ＝

ｍ－１０

ｍ

２

<０ꎬ

∴ ｍ<１０ 且 ｍ≠０ꎻ

②∵ 抛物线的对称轴为直线 ｘ ＝ｍꎬ

∴ 点 Ｑ 与点 Ｑ′关于直线 ｘ ＝ｍ 对称ꎬ

∴ 点 Ｑ 的横坐标为 ｍ＋

１

２

ꎬ

联立方程组

ｙ ＝ －ｘ＋７ꎬ

ｙ ＝ ａ(ｘ－ｍ)

２＋７－ｍꎬ {

整理得 ａｘ

２＋(１－２ｍａ)ｘ＋ａｍ

２－ｍ＝ ０ꎬ

∵ 点 Ｐ 和点 Ｑ 是直线 ｌ 与抛物线 Ｇ 的

交点ꎬ

∴ ｍ＋ｍ＋

１

２

＝ ２ｍ－

１

ａ

ꎬ

∴ ａ ＝ －２ꎬ∴ ｙ ＝ －２(ｘ＋ｍ)

２＋７－ｍꎬ

∴ －２ｍ

２＋７－ｍ＝ －３ꎬ

解得 ｍ＝ ２ 或 ｍ＝ －

５

２

ꎬ

当 ｍ＝ ２ 时ꎬｙ ＝ －２(ｘ－２)

２＋５ꎬ

此时抛物线的对称轴为直线 ｘ ＝ ２ꎬ

图象在

８

５

≤ｘ≤

１３

５

上的最高点的坐标为

(２ꎬ５)ꎻ

当 ｍ＝ －

５

２

时ꎬｙ ＝ －２ ｘ＋

５

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

＋

１９

２

ꎬ

此时抛物线的对称轴为直线 ｘ ＝ －

５

２

ꎬ

图象在－ ２≤ｘ≤－ １ 上的最高点的坐标为

(－２ꎬ９)ꎻ

综上所述:Ｇ 在

４ｍ

５

≤ｘ≤

４ｍ

５

＋１ 的图象的最

高点的坐标为(－２ꎬ９)或(２ꎬ５).

第 １１ 讲 反比例函数

课前热身

１.Ａ ２.Ａ ３.Ｃ ４.Ｄ

本课练习

１.(１)一、三 (２)< 增大

２.ｙ ＝ －

１２

ｘ

二、四 增大

３.Ｃ

４.解:(１)由题意得:１ ＝

１

３

Ｓｄꎬ

∴ Ｓｄ ＝ ３ꎬ

∴ Ｓ ＝

３

ｄ

.

(２)∵ 漏斗口的面积为 １００ ｃｍ

２

ꎬ

１００ ｃｍ

２ ＝ １ ｄｍ

２

ꎬ

∴ ｄ ＝ ３ ｄｍ.

５.Ｂ ６.Ｄ ７.Ｄ

８.解:(１)设底面积 Ｓ 与深度 ｄ 的反比例函数

解析式为 Ｓ ＝

Ｖ

ｄ

ꎬ把点(２０ꎬ５００)代入解析式

得 ５００ ＝

Ｖ

２０

ꎬ

∴ Ｖ ＝ １０ ０００.

(２)由(１)得 Ｓ ＝

１０ ０００

ｄ

ꎬ

∵ Ｓ 随 ｄ 的增大而减小ꎬ

∴ 当 １６≤ｄ≤２５ 时ꎬ４００≤Ｓ≤６２５.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１０

９.Ｃ １０.Ｃ １１.Ｄ １２.２ １３.Ｄ

１４.解:(１)∵ 一次函数 ｙ ＝ －ｘ－３ 的图象过点 Ａ

(－４ꎬｍ)ꎬ

∴ ｍ＝ －(－４)－３ ＝ １ꎬ

∴ 点 Ａ 的坐标为(－４ꎬ１).

∵ 反比例函数 ｙ ＝

ｋ

ｘ

的图象过点 Ａꎬ

∴ ｋ ＝ ｘｙ ＝ －４×１ ＝ －４ꎬ

∴ 反比例函数的表达式为 ｙ ＝ －

４

ｘ

.

(２)一次函数值小于反比例函数值的 ｘ 取

值范围为:－４<ｘ<０ 或 ｘ>１.

１５.解:(１)∵ Ａ(０ꎬ２)ꎬＣ(６ꎬ２)ꎬ

∴ ＡＣ＝ ６ꎬ

∵ △ＡＢＣ 是 ∠Ｃ 为 直 角 的 等 腰 直 角 三

角形ꎬ

∴ ＢＣ＝ ＡＣ＝ ６ꎬ

∵ Ｄ 为等腰 Ｒｔ△ＡＢＣ 的边 ＢＣ 上一点ꎬ且

Ｓ△ＡＢＣ

＝ ３Ｓ△ＡＤＣ

.

∴ ＣＤ＝ ２ꎬ∴ Ｄ(６ꎬ４)ꎬ

∵ 反比例函数 ｙ１

＝

ｋ

ｘ

( ｋ≠０) 的图象经过

点 Ｄꎬ

∴ ｋ ＝ ６×４ ＝ ２４ꎬ

∴ 反比例函数的解析式为 ｙ ＝

２４

ｘ

ꎻ

(２)∵ Ａ(０ꎬ２)ꎬＢ(６ꎬ８)ꎬ

∴ 把 Ａ、Ｂ 两点的坐标代入 ｙ２

＝ ａｘ ＋ ｂ 得

ｂ ＝ ２ꎬ

６ａ＋ｂ ＝ ８ꎬ { 解得

ａ ＝ １ꎬ

ｂ ＝ ２ꎬ {

∴ ｙ２

＝ ｘ＋２ꎬ

解

ｙ ＝

２４

ｘ

ꎬ

ｙ ＝ ｘ＋２

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

得

ｘ ＝ －６ꎬ

ｙ ＝ －４ { 或

ｘ ＝ ４ꎬ

ｙ ＝ ６ꎬ {

∴ 两函数的交点为(－６ꎬ－４)ꎬ(４ꎬ６)

∴ 当 ｙ１>ｙ２时ꎬｘ 的取值范围是 ｘ<－ ６ 或 ０

<ｘ<４.

１６.４ １７.－

３

２

第 １２ 讲 二次函数

课前热身

１.Ｂ ２.Ｄ ３.Ｂ ４.ｙ ＝ ２(ｘ＋１)

２－２

本课练习

１.(１)下 直线 ｘ ＝ ２ (２ꎬ９) ２ 大 ９

(２)ｙ ＝ －３(ｘ－２)

２＋９ (３)２ (０ꎬ－３)

(４)增大 减小 (５)> (６)<

(７)９ －３９

２.左 １ 下 １(或下 １ 左 １)

３.右 ６ 上 ３(或上 ３ 右 ６)

４.(１)ｘ１

＝ －１ꎬｘ２

＝ ３ (２)ｘ<－１ 或 ｘ>３

(３)－１<ｘ<３ (４)０<ｘ<３

５.解:设所求二次函数的解析式为 ｙ ＝ ａｘ

２＋ｂｘ＋

ｃ( ａ ≠０)ꎬ 根据题意ꎬ 得

ｃ ＝ ０ꎬ

ａ－ｂ＋ｃ ＝ －１ꎬ

ａ＋ｂ＋ｃ ＝ ９ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

解得

ａ ＝ ４ꎬ

ｂ ＝ ５ꎬ

ｃ ＝ ０ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ 所 求 二 次 函 数 的 解 析 式 为 ｙ ＝

４ｘ

２＋５ｘ.

６.解: 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ｙ ＝ ａ ( ｘ ＋

１

２

)

ｘ－

３

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ꎬ把点(０ꎬ－５) 代入得 ａ×

１

２

× －

３

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

－５ꎬ解得 ａ ＝

２０

３

ꎬ 则 ｙ ＝

２０

３

ｘ＋

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ｘ－

３

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

２０

３

ｘ

２－

２０

３

ｘ－５ꎬ∴ 抛物线的解析式为 ｙ ＝

２０

３

ｘ

２－

２０

３

ｘ－５.

７.Ｃ ８.Ａ ９.ｙ ＝ ２ (ｘ＋１)

２－２ １０.Ｄ １１.Ｄ

１２.解:(１)∵ 抛物线 ｙ ＝ －ｘ

２ ＋ｂｘ＋ｃ 与 ｘ 轴交于

Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１１

∴

－１－ｂ＋ｃ ＝ ０ꎬ

－９＋３ｂ＋ｃ ＝ ０ꎬ { 解得

ｂ ＝ ２ꎬ

ｃ ＝ ３ꎬ {

∴ 抛物线的解析式为 ｙ ＝ － ｘ

２ ＋ ２ｘ ＋ ３.

(２) ５ .

１３.Ｃ １４.Ｂ １５.(３ꎬ５)

１６.解:设函数解析式为 ｙ ＝ ａ(ｘ－１)

２－４.

∵ 图象经过点(０ꎬ－３)ꎬ∴ －３ ＝ ａ－４ꎬａ ＝ １.

∴ 函数解析式为 ｙ ＝ (ｘ－１)

２－４ ＝ ｘ

２－２ｘ－３.

１７.Ｄ １８.Ｄ １９.Ｄ ２０.Ｄ

２１.解:(１)６ꎻ

(２)平移后的函数图象如图ꎬ联立方程组

ｙ ＝ －

１

２

ｘ

２＋５ꎬ

ｙ ＝

１

２

ｘ

２

ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

ïï

解得

ｘ１

＝ ５ ꎬ

ｙ１

＝

５

２

ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

ｘ２

＝ － ５ ꎬ

ｙ２

＝

５

２

ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ ｙ ＝ －

１

２

ｘ

２ ＋ ５ 与 ｙ ＝

１

２

ｘ

２ 的交点坐标为

５ ꎬ

５

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ꎬ－ ５ ꎬ

５

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ꎻ

(３)<或>.

２２.解:(１)∵ 抛物线 ｙ ＝ ｘ

２ ＋ｂｘ＋ｃ(ｂꎬｃ 是常数)

的顶点为 Ｃꎬ与 ｘ 轴交于 ＡꎬＢ 两点ꎬＡ(１ꎬ

０)ꎬＡＢ＝ ４ꎬ

∴ Ｂ(－３ꎬ０)ꎬ∴

１＋ｂ＋ｃ ＝ ０ꎬ

９－３ｂ＋ｃ ＝ ０ꎬ { 解得

ｂ ＝ ２ꎬ

ｃ ＝ －３ꎬ {

∴ 抛物线的解析式为 ｙ ＝ ｘ

２＋２ｘ－３ꎻ

(２)如图过点 Ｑ 作 ＱＥ⊥ｘ 轴于点 Ｅꎬ过点 Ｃ

作 ＣＦ⊥ｘ 轴于点 Ｆꎬ

设 Ｐ(ｍꎬ０)ꎬ则 ＰＡ ＝ １－ｍꎬ

∵ ｙ ＝ ｘ

２＋２ｘ－３ ＝ (ｘ＋１)

２－４ꎬ

∴ Ｃ(－１ꎬ－４)ꎬ∴ ＣＦ＝ ４ꎬ∵ ＰＱ∥ＢＣꎬ

∴ △ＰＱＡ∽△ＢＣＡꎬ

∴

ＱＥ

ＣＦ

＝

ＡＰ

ＡＢ

ꎬ即

ＱＥ

４

＝

１－ｍ

４

ꎬ∴ ＱＥ＝ １－ｍꎬ

∴ Ｓ△ＣＰＱ

＝ Ｓ△ＰＣＡ

－Ｓ△ＰＱＡ

＝

１

２

ＰＡ?ＣＦ－

１

２

ＰＡ?ＱＥ ＝

１

２

( １ －ｍ) × ４ －

１

２

(１－ｍ)(１－ｍ)＝ －

１

２

(ｍ＋１)

２＋２ꎬ

∵ －３≤ｍ≤１ꎬ－

１

２

<０ꎬ

∴ 当 ｍ＝ －１ 时 Ｓ△ＣＰＱ有最大值 ２ꎬ

∴ △ＣＰＱ 面积的最大值为 ２ꎬ此时 Ｐ 点坐

标为(－１ꎬ０).

第 １３ 讲 二次函数的综合与运用

课前热身

１.Ｃ ２.Ｃ ３.Ａ ４.４

本课练习

１.Ｂ ２.５

３.解:(１)根据题意得:ｙ ＝ ５０－

ｘ－１６０

１０

＝ －０.１ｘ＋

６６ꎻ(２)由题意知:Ｗ＝ (ｘ－２０)(－０.１ｘ＋６６)＝

－０.１(ｘ－６６０)(ｘ－２０)ꎬ函数图象的对称轴为

ｘ ＝

１

２

(６６０＋２０)＝ ３４０ꎬ∵ －０.１<０ꎬ故 Ｗ 有最

大值ꎬ此时 Ｗ 为 １０ ２４０ꎬ∴ 当定价为 ３４０ 元

时ꎬ宾馆当天利润 Ｗ 最大值为 １０ ２４０ 元.

４.Ｂ

５.解:(１)将 Ｍ(－２ꎬ－２)代入抛物线解析式得:

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１２

－２ ＝

１

ａ

(－２－２)(－２＋ａ)ꎬ解得:ａ ＝ ４ꎻ

(２)①由(１) 得抛物线解析式 ｙ ＝

１

４

( ｘ－ ２)

(ｘ＋４)ꎬ当 ｙ ＝ ０ 时ꎬ得:０ ＝

１

４

( ｘ－２) ( ｘ＋４)ꎬ

解得:ｘ１

＝ ２ꎬｘ２

＝ ４ꎬ

∵ 点 Ｂ 在点 Ｃ 的左侧ꎬ

∴ Ｂ(－４ꎬ０)ꎬＣ(２ꎬ０)ꎬ当 ｘ ＝ ０ 时ꎬ得:ｙ ＝ －２ꎬ

即 Ｅ(０ꎬ－２)ꎬ

∴ Ｓ△ＢＣＥ

＝

１

２

×６×２ ＝ ６ꎻ

②由抛物线解析式 ｙ ＝

１

４

(ｘ－２)(ｘ＋４)ꎬ得对

称轴为直线 ｘ ＝ －１ꎬ根据 Ｃ 与 Ｂ 关于抛物线

对称轴直线 ｘ ＝ －１ 对称ꎬ连接 ＢＥꎬ与对称轴

交于点 Ｈꎬ即为所求ꎬ设直线 ＢＥ 的解析式为

ｙ ＝ ｋｘ＋ｂꎬ将 Ｂ( －４ꎬ０) 与 Ｅ(０ꎬ－ ２) 代入ꎬ得

－４ｋ＋ｂ ＝ ０ꎬ

ｂ ＝ －２ꎬ { 解得

ｋ ＝ －

１

２

ꎬ

ｂ ＝ －２ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ 直线 ＢＥ 的解析

式为 ｙ ＝ －

１

２

ｘ－２ꎬ将 ｘ ＝ －１ 代入ꎬ得 ｙ ＝

１

２

－２ ＝

－

３

２

ꎬ则 Ｈ(－１ꎬ－

３

２

).

６.２ ７.３２

８.解:(１)设猪肉粽每盒进价 ａ 元ꎬ则豆沙粽每

盒 进 价 ( ａ － １０ ) 元ꎬ 根 据 题 意ꎬ 得

８ ０００

ａ

＝

６ ０００

ａ－１０

ꎬ

解得 ａ ＝ ４０ꎬ经检验 ａ ＝ ４０ 是方程的解ꎬ且符

合题意ꎬ

∴ ａ－１０ ＝ ３０ꎬ答:猪肉粽每盒进价 ４０ 元ꎬ豆

沙粽每盒进价 ３０ 元ꎻ

(２)由题意得ꎬ当 ｘ ＝ ５０ 时ꎬ每天可售出 １００

盒ꎬ当猪肉粽每盒售价 ｘ(５０≤ｘ≤６５)元时ꎬ

每天可售[１００－２(ｘ－５０)]盒ꎬ

∴ ｙ ＝ ｘ [ １００ － ２ ( ｘ － ５０)] － ４０ × [ １００ － ２ ( ｘ －

５０)] ＝ － ２ｘ

２ ＋ ２８０ｘ － ８ ０００ ＝ － ２ ( ｘ － ７０)

２ ＋

１ ８００ꎬ

∵ －２<０ꎬ∴ ｘ<７０ 时ꎬｙ 随 ｘ 的增大而增大ꎬ

∴ 当 ｘ ＝ ６５ 时ꎬ ｙ 取 最 大 值ꎬ 最 大 值 为

－２(６５－７０)

２＋１ ８００ ＝ １ ７５０(元).

答:ｙ 关于 ｘ 的函数解析式为 ｙ ＝ －２ｘ

２ ＋２８０ｘ

－８ ０００(５０≤ｘ≤６５)ꎬ最大利润为 １ ７５０ 元.

９.Ｃ

１０.解:(１)将 Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)代入 ｙ ＝ ｘ

２＋ｂｘ

＋ｃꎬ得

１－ｂ＋ｃ ＝ ０ꎬ

９＋３ｂ＋ｃ ＝ ０ꎬ { 解得

ｂ ＝ －２ꎬ

ｃ ＝ －３ꎬ {

∴ 该抛物线的解析式为 ｙ ＝ ｘ

２－２ｘ－３ꎻ

(２)∵ 抛物线的解析式为 ｙ ＝ ｘ

２－２ｘ－３ꎬ

∴ 抛物线的顶点 Ｆ 的坐标为(１ꎬ－４)ꎬ抛物

线的对称轴为直线 ｘ ＝ １.

当 ｘ ＝ ０ 时ꎬｙ ＝ ０

２－２×０－３ ＝ －３ꎬ

∴ 点 Ｃ 的坐标为(０ꎬ－３).

设直线 ＢＣ 的解析式为 ｙ ＝ ｍｘ＋ｎ(ｍ≠０)ꎬ

将 Ｂ(３ꎬ０)ꎬＣ(０ꎬ－３)代入 ｙ ＝ｍｘ＋ｎꎬ得

３ｍ＋ｎ ＝ ０ꎬ

ｎ ＝ －３ꎬ { 解得

ｍ＝ １ꎬ

ｎ ＝ －３ꎬ {

∴ 直线 ＢＣ 的解析式为 ｙ ＝ ｘ－３.

当 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ １－３ ＝ －２ꎬ∴ 点 Ｅ 的坐标为

(１ꎬ－２)ꎬ∴ ＥＦ＝ ｜ －２－(－４) ｜ ＝ ２ꎻ

(３)∵ 点 Ａ 的坐标为( －１ꎬ０)ꎬ点 Ｂ 的坐标

为(３ꎬ０)ꎬ∴ ＡＢ＝ ｜ ３－(－１) ｜ ＝ ４.

设点 Ｐ 的坐标为(ｔꎬｔ

２－２ｔ－３).

∵ Ｓ△ＰＡＢ

＝ ６ꎬ∴

１

２

×４× ｜ ｔ

２ －２ｔ－３ ｜ ＝ ６ꎬ即 ｔ

２ －

２ｔ－３ ＝ ３ 或 ｔ

２－２ｔ－３ ＝ －３ꎬ解得 ｔ

１

＝ １－ ７ ꎬｔ

２

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１３

＝ １＋ ７ ꎬｔ

３

＝ ０ꎬｔ

４

＝ ２ꎬ

∴ 存在满足 Ｓ△ＰＡＢ

＝ ６ 的点 Ｐꎬ点 Ｐ 的坐标

为(１－ ７ ꎬ３)ꎬ或(１＋ ７ ꎬ３) 或(０ꎬ－ ３) 或

(２ꎬ－３).

１１.６００ １２.

１４

９

１３.１２１

１４.解:(１)当 ｘ ＝ ０ 时ꎬｙ ＝ ４ꎬ

∴ Ｃ(０ꎬ４)ꎬ当 ｙ ＝ ０ 时ꎬ

４

３

ｘ＋４ ＝ ０ꎬ

∴ ｘ ＝ －３ꎬ∴ Ａ(－３ꎬ０)ꎬ

∵ 对称轴为直线 ｘ ＝ －１ꎬ∴ Ｂ(１ꎬ０)ꎬ

∴ 设抛物线的解析式为 ｙ ＝ａ(ｘ－１)(ｘ＋３)ꎬ

∴ ４ ＝ －３ａꎬ∴ ａ ＝ －

４

３

ꎬ

∴ 抛物线的解析式为:ｙ＝－

４

３

(ｘ－１)(ｘ＋３)＝ －

４

３

ｘ

２－

８

３

ｘ＋４ꎻ

(２)如图ꎬ过点 Ｄ 作 ＤＦ⊥ＡＢ 于点 Ｆꎬ交 ＡＣ

于点 Ｅꎬ

∴ Ｄ(ｍꎬ－

４

３

ｍ

２－

８

３

ｍ＋４)ꎬＥ(ｍꎬ

４

３

ｍ＋４)ꎬ

∴ ＤＥ＝ －

４

３

ｍ

２ －

８

３

ｍ＋ ４－(

４

３

ｍ＋ ４) ＝ －

４

３

ｍ

２

－４ｍꎬ

∴ Ｓ△ＡＤＣ

＝

１

２

ＤＥ?ＯＡ ＝

３

２

( －

４

３

ｍ

２ － ４ｍ) ＝

－２ｍ

２－６ｍꎬ

∵ Ｓ△ＡＢＣ

＝

１

２

ＡＢ?ＯＣ＝

１

２

×４×４ ＝ ８ꎬ

∴ Ｓ ＝ －２ｍ

２－６ｍ＋８ ＝ －２(ｍ＋

３

２

)

２＋

２５

２

ꎬ

∵ －２<０ꎬ－３<ｍ<０ꎬ

∴ 当 ｍ＝ －

３

２

时ꎬＳ最大

＝

２５

２

ꎬ

当 ｍ＝ －

３

２

时ꎬ

ｙ ＝ －

４

３

×(－

３

２

－１)×(－

３

２

＋３)＝ ５ꎬ

∴ Ｄ(－

３

２

ꎬ５)ꎻ

(３)设 Ｐ(－１ꎬｎ)ꎬ

∵ 以 ＡꎬＣꎬＰꎬＱ 为顶点的四边形是以 ＡＣ 为

对角线的菱形ꎬ

∴ ＰＡ ＝ＰＣꎬ即 ＰＡ

２ ＝ＰＣ

２

ꎬ

∴ (－１＋３)

２＋ｎ

２ ＝ １＋(ｎ－４)

２

ꎬ

∴ ｎ ＝

１３

８

ꎬ∴ Ｐ(－１ꎬ

１３

８

)ꎬ

∵ ｘＰ

＋ｘＱ

＝ ｘＡ

＋ｘＣꎬｙＰ

＋ｙＱ

＝ ｙＡ

＋ｙＣꎬ

∴ ｘＱ

＝ －３－(－１)＝ －２ꎬｙＱ

＝ ４－

１３

８

＝

１９

８

ꎬ

∴ Ｑ(－２ꎬ

１９

８

).

１５.(１)证明:∵ ＤＧ＝ＤＨꎬ

∴ ∠ＤＨＧ＝∠ＤＧＨ＝

１８０°－∠Ｄ

２

ꎬ

同理ꎬ∠ＣＧＦ＝

１８０°－∠Ｃ

２

ꎬ

∴ ∠ＤＧＨ＋∠ＣＧＦ＝

３６０°－(∠Ｄ＋∠Ｃ)

２

ꎬ

又∵ 在菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬＡＤ∥ＢＣꎬ

∴ ∠Ｄ＋∠Ｃ＝ １８０°ꎬ

∴ ∠ＤＧＨ＋∠ＣＧＦ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＨＧＦ＝ ９０°ꎬ

同理ꎬ∠ＧＨＥ＝ ９０°ꎬ∠ＥＦＧ＝ ９０°ꎬ

∴ 四边形 ＥＦＧＨ 是矩形ꎻ

(２)解:如图ꎬ连接 ＢＤ 交 ＥＦ 于点 Ｍꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬ∠Ａ ＝ ６０°ꎬ

∴ ＡＤ＝ ＡＢꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１４

∴ △ＡＢＤ 和△ＢＣＤ 是等边三角形ꎬ

∴ ＢＤ＝ ＡＢ＝ ａꎬ

∴ Ｓ△ＢＣＤ

＝ Ｓ△ＡＢＤ

＝

３

４

ＡＢ

２ ＝

３

４

ａ

２

ꎬ

则菱形 ＡＢＣＤ 的面积是

３

２

ａ

２

ꎬ

设 ＢＥ＝ ｘꎬ则 ＡＥ＝ ａ－ｘꎬ

∵ ＢＥ＝ＤＨꎬＡＢ＝ ＡＤꎬ

∴ ＡＨ＝ ＡＥꎬ

∵ ∠Ａ ＝ ６０°ꎬ

∴ △ＡＥＨ 是等边三角形ꎬ

∴ ＥＨ＝ ＡＥ＝ ａ－ｘꎬ

在 Ｒｔ△ＢＭＥ 中ꎬ∠ＡＢＤ＝ ６０°ꎬＢＥ＝ ｘꎬ

∴ ＥＭ ＝

３

２

ｘꎬ∴ ＥＦ ＝ ２ＥＭ ＝ ３ ｘꎬ则矩形

ＥＦＧＨ 的面积 ｙ ＝ ＨＥ?ＥＦ ＝ (ａ－ｘ)? ３ ｘ ＝

－ ３ (ｘ

２－ａｘ)＝ － ３ ( ｘ－

ａ

２

)

２

＋

３

４

ａ

２

ꎬ

∵ － ３ <０ꎬ

∴ 当 ｘ ＝

ａ

２

时ꎬ矩形 ＥＦＧＨ 的面积最大ꎬ

∴ ＢＥ＝

ａ

２

.

１６.解:(１)将 Ａ(０ꎬ３)和 Ｂ(

７

２

ꎬ－

９

４

)代入 ｙ ＝ －

ｘ

２ ＋ ｂｘ ＋ ｃꎬ 得

ｃ ＝ ３ꎬ

－(

７

２

)

２

＋

７

２

ｂ＋ｃ ＝ －

９

４

ꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

解

得

ｂ ＝ ２ꎬ

ｃ ＝ ３ꎬ {

∴ 该抛物线的解析式为 ｙ ＝ －ｘ

２＋２ｘ＋３ꎻ

(２)点 Ｐ 的坐标为(２ꎬ３)ꎬ点 Ｄ 的坐标为

(２ꎬ０)或点 Ｐ 的坐标为(

４

３

ꎬ

３５

９

)ꎬ点 Ｄ 的坐

标为(

４

３

ꎬ１).

１７.Ｃ １８.Ａ

１９.解:(１) 将点(０ꎬ７) 和点(１ꎬ６) 代入 ｙ ＝ ｋｘ

＋ｂꎬ

∴

ｂ ＝ ７ꎬ

ｋ＋ｂ ＝ ６ꎬ { 解得

ｋ ＝ －１ꎬ

ｂ ＝ ７ꎬ { ∴ ｙ ＝ －ｘ＋７ꎻ

(２)①∵ 点 Ｐ(ｍꎬｎ)在直线 ｌ 上ꎬ

∴ ｎ ＝ －ｍ＋７ꎬ

设抛物线的解析式为 ｙ ＝ ａ(ｘ－ｍ)

２＋７－ｍꎬ

∵ 抛物线经过点(０ꎬ－３)ꎬ

∴ ａｍ

２＋７－ｍ＝ －３ꎬ

∴ ａ ＝

ｍ－１０

ｍ

２

ꎬ

∵ 抛物线开口方向向下ꎬ

∴ ａ<０ꎬ∴ ａ ＝

ｍ－１０

ｍ

２

<０ꎬ∴ ｍ<１０ 且 ｍ≠０ꎻ

②∵ 抛物线的对称轴为直线 ｘ ＝ｍꎬ

∴ Ｑ 点与 Ｑ′点关于直线 ｘ ＝ｍ 对称ꎬ

∴ Ｑ 点的横坐标为 ｍ＋

１

２

ꎬ

联立方程组

ｙ ＝ －ｘ＋７ꎬ

ｙ ＝ ａ(ｘ－ｍ)

２＋７－ｍꎬ { 整理得

ａｘ

２＋(１－２ｍａ)＋ａｍ

２－ｍ＝ ０ꎬ

∵ Ｐ 点和 Ｑ 点是直线 ｌ 与抛物线 Ｇ 的

交点ꎬ

∴ ｍ＋ｍ＋

１

２

＝ ２ｍ－

１

ａ

ꎬ

∴ ａ ＝ －２ꎬ

∴ ｙ ＝ －２(ｘ＋ｍ)２＋７－ｍꎬ∴ －２ｍ

２＋７－ｍ＝ －３ꎬ

解得 ｍ＝ ２ 或 ｍ＝ －

５

２

ꎬ

当 ｍ＝ ２ 时ꎬｙ ＝ －２(ｘ－２)

２＋５ꎬ

此时抛物线的对称轴为直线 ｘ ＝ ２ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１５

图象 在

８

５

≤ ｘ ≤

１３

５

上 的 最 高 点 坐 标 为

(２ꎬ５)ꎻ

当 ｍ＝ －

５

２

时ꎬｙ ＝ －２(ｘ＋

５

２

)

２＋

１９

２

ꎬ此时抛物

线的对称轴为直线 ｘ ＝ －

５

２

ꎬ图象在－２≤ｘ≤

－１ 上的最高点坐标为(－２ꎬ９).

综上所述ꎬＧ 在

４ｍ

５

≤ｘ≤

４ｍ

５

＋１ 的图象的最

高点的坐标为(－２ꎬ９)或(２ꎬ５).

第 １４ 讲 线段、角、相交线

与平行线

课前热身

１.２ ｃｍ 或 ４ ｃｍ ２.８０° １００° ３.１２５°

４.Ｃ

本课练习

１.Ｃ ２.１９°２１′ １０９°２１′ ３.Ｃ

４.解:∵ 点 Ｄ 是线段 ＡＢ 的中点ꎬＡＢ＝ ４ ｃｍꎬ

∴ ＡＤ＝

１

２

ＡＢ＝

１

２

×４ ＝ ２ ｃｍꎬ

∵ 点 Ｃ 是线段 ＡＤ 的中点ꎬ

∴ ＣＤ＝

１

２

ＡＤ＝

１

２

×２ ＝ １ ｃｍ.

答:线段 ＣＤ 的长度是 １ ｃｍ.

５.(１)不是 (２)是 (３)不是 (４)不是

６.解:(１)∵ ∠１ ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠２ ＝ １８０°－∠１ ＝ １８０°－６０° ＝ １２０°ꎬ

∴ ∠３ ＝∠２ ＝ １２０°ꎬ∠４ ＝∠１ ＝ ６０°ꎻ

(２)∵ ∠１＋∠３ ＝ １８０°ꎬ２∠３ ＝ ３∠１ꎬ

∴ ∠１ ＝ ７２°ꎬ∠３ ＝ １０８°ꎬ

∴ ∠２ ＝∠３ ＝ １０８°ꎬ∠４ ＝∠１ ＝ ７２°.

７.解:(１)∵ ＯＡ 平分∠ＥＯＣꎬ

∴ ∠ＡＯＣ＝

１

２

∠ＥＯＣ＝

１

２

×７０° ＝ ３５°ꎬ

∴ ∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝ ３５°ꎻ

(２)设∠ＥＯＣ ＝ ２ｘꎬ则∠ＥＯＤ ＝ ３ｘꎬ根据题意

得 ２ｘ＋３ｘ ＝ １８０°ꎬ解得 ｘ ＝ ３６°ꎬ

∴ ∠ＥＯＣ＝ ２ｘ ＝ ７２°ꎬ

∴ ∠ＡＯＣ＝

１

２

∠ＥＯＣ＝

１

２

×７２° ＝ ３６°ꎬ

∴ ∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝ ３６°.

８.３０°

９.(１)真命题 (２)假命题ꎬ三角形内的两个

同旁内角不互补.

１０.解:∵ ＡＢ⊥ＡＣꎬ∴ ∠ＢＡＣ＝ ９０°ꎬ

又∠１ ＝ ３０°ꎬ∴ ∠ＢＡＤ＝ １２０°ꎬ

∵ ∠Ｂ＝ ６０°ꎬ∴ ∠ＤＡＢ＋∠Ｂ＝ １８０°.

ＡＤ∥ＢＣꎬＡＢ 与 ＣＤ 不一定平行.理由是:

∵ ∠ＤＡＢ＋∠Ｂ＝ １８０°ꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＣ.

∵ ∠ＡＣＤ 的度数不能确定ꎬ

∴ ＡＢ 与 ＣＤ 不一定平行.

１１.Ｃ １２.Ｄ １３.２０° １４.１４６° １５.Ｃ １６.Ｂ

１７.Ａ １８.１９０ １９.Ｂ ２０.Ｃ ２１.Ｃ ２２.Ｃ

２３.解:(１)如图ꎬ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 为所求作ꎻ

(２)如图ꎻ(３)点 Ａ１ 的坐标为(２ꎬ６).

２４.２０ ２５.Ｄ

２６.解:(１)如图ꎬＡＥ 为所求作ꎻ

(２)证明:∵ ＡＥ 平分∠ＢＡＣꎬ

∴ ∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１６

在△ＡＣＥ 和△ＡＤＥ 中ꎬ

ＡＣ＝ ＡＤꎬ

∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ

ＡＥ＝ ＡＥꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

ꎬ

∴ △ＡＣＥ≌△ＡＤＥ(ＳＡＳ)ꎬ

∴ ∠ＡＤＥ＝∠Ｃ＝ ９０°ꎬ∴ ＤＥ⊥ＡＢ.

２７.解:(１)若以 Ｂ 为原点ꎬ则 Ｃ 表示 １ꎬＡ 表示

－２ꎬ∴ ｐ ＝ １＋０－２ ＝ －１ꎻ

若以 Ｃ 为原点ꎬ则 Ａ 表示－３ꎬＢ 表示－１ꎬ

∴ ｐ ＝ －３－１＋０ ＝ －４ꎻ

(２)若原点 Ｏ 在图中数轴上点 Ｃ 的右边ꎬ

且 ＣＯ＝ ２８ꎬ则 Ｃ 表示－２８ꎬＢ 表示－２９ꎬＡ 表

示－３１ꎬ

∴ ｐ ＝ －３１－２９－２８ ＝ －８８.

２８. 解: ( １ ) ∵ ＢＣꎬ ＢＤ 分 别 平 分 ∠ＡＢＰ

和∠ＰＢＮꎬ

∴ ∠ＣＢＰ＝

１

２

∠ＡＢＰꎬ∠ＤＢＰ＝

１

２

∠ＰＢＮꎬ

∴ ∠ＡＢＮ＝ ２∠ＣＢＤꎬ

又∵ ∠ＣＢＤ＝ ６０°ꎬ∴ ∠ＡＢＮ＝ １２０°ꎬ

∵ ＡＭ∥ＢＮꎬ∴ ∠Ａ＋∠ＡＢＮ＝ １８０°ꎬ

∴ ∠Ａ ＝ ６０°ꎻ

(２)不变化ꎬ∠ＡＰＢ＝ ２∠ＡＤＢꎬ

理由如下:∵ ＡＭ∥ＢＮꎬ

∴ ∠ＡＰＢ＝∠ＰＢＮꎬ∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＮꎬ

又∵ ＢＤ 平分∠ＰＢＮꎬ∴ ∠ＰＢＮ ＝ ２∠ＤＢＮꎬ

∴ ∠ＡＰＢ＝ ２∠ＡＤＢꎻ

(３)∵ ＡＤ∥ＢＮꎬ∴ ∠ＡＣＢ＝∠ＣＢＮꎬ

又∵ ∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤꎬ∴ ∠ＣＢＮ＝∠ＡＢＤꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＮꎬ

由(１)可得ꎬ∠ＣＢＤ＝ ６０°ꎬ∠ＡＢＮ＝ １２０°ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝

１

２

(１２０°－６０°)＝ ３０°.

２９.解:( １) ∵ ∠ＢＣＡ ＝ ∠ＥＣＤ ＝ ９０°ꎬ∠ＢＣＤ ＝

１５０°ꎬ∴ ∠ＤＣＡ ＝ ∠ＢＣＤ － ∠ＢＣＡ ＝ １５０°－

９０° ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＡＣＥ＝∠ＥＣＤ－∠ＤＣＡ ＝ ９０°－６０° ＝ ３０°ꎻ

(２)∠ＢＣＤ＋∠ＡＣＥ＝ １８０°ꎬ理由如下:

∵ ∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝ ９０°＋∠ＡＣＤꎬ

∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ－∠ＡＣＤ＝ ９０°－∠ＡＣＤꎬ

∴ ∠ＢＣＤ＋∠ＡＣＥ＝ １８０°ꎻ

(３)当∠ＢＣＤ ＝ １２０°或 ６０°时ꎬＣＤ∥ＡＢ.如

图 １ꎬ根据同旁内角互补ꎬ两直线平行ꎬ

当∠Ｂ ＋ ∠ＢＣＤ ＝ １８０° 时ꎬ ＣＤ ∥ ＡＢꎬ 此时

∠ＢＣＤ＝ １８０°－∠Ｂ＝ １８０°－６０° ＝ １２０°ꎻ

图 １ 图 ２

如图 ２ꎬ根据内错角相等ꎬ两直线平行ꎬ当

∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝ ６０° 时ꎬＣＤ∥ＡＢ.

３０.解:①如图 １ꎬ∠ＡＰＣ ＝∠ＰＡＢ＋∠ＰＣＤꎬ过点

Ｐ 作 ＰＥ∥ＡＢꎬ

∵ ＡＢ∥ＣＤꎬ∴ ＰＥ∥ＡＢ∥ＣＤꎬ

∴ ∠１ ＝∠ＰＡＢꎬ∠２ ＝∠ＰＣＤꎬ

∴ ∠ＡＰＣ＝∠１＋∠２ ＝∠ＰＡＢ＋∠ＰＣＤꎻ

②如图 ２ꎬ∠ＰＡＢ＋∠ＡＰＣ＋∠ＰＣＤ＝ ３６０°ꎬ过

点 Ｐ 作 ＰＥ∥ＡＢꎬ

∵ ＡＢ∥ＣＤꎬ∴ ＰＥ∥ＡＢ∥ＣＤꎬ

∴ ∠１＋∠ＰＡＢ＝ １８０°ꎬ∠２＋∠ＰＣＤ＝ １８０°ꎬ

∴ ∠１＋∠２＋∠ＰＡＢ＋∠ＰＣＤ＝ ３６０°ꎬ

∴ ∠ＰＡＢ＋∠ＡＰＣ＋∠ＰＣＤ＝ ３６０°ꎻ

③ 如图 ３ꎬ ∠ＰＡＢ ＝ ∠ＡＰＣ ＋ ∠ＰＣＤꎬ 延长

ＢＡꎬ交 ＰＣ 于点 Ｅꎬ

∵ ＡＢ∥ＣＤꎬ∴ ∠１ ＝∠ＰＣＤꎬ

∴ ∠ＰＡＢ＝∠ＡＰＣ＋∠１ ＝∠ＡＰＣ＋∠ＰＣＤꎻ

④如图 ４ꎬ∠ＰＣＤ＝∠ＰＡＢ＋∠ＡＰＣꎬ

∵ ＡＢ∥ＣＤꎬ∴ ∠１ ＝∠ＰＣＤꎬ

∴ ∠ＰＣＤ＝∠１ ＝∠ＡＰＣ＋∠ＰＡＢ.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１７

图 １ 图 ２

图 ３ 图 ４

第 １５ 讲 三角形与多边形

课前热身

１.Ｄ ２.３６０ ３.Ｃ ４.Ｂ

本课练习

１.３６０° ２.５４０° ３.９ ４.６ ５.１８０° ６.Ｄ

７.７.２ ｃｍ ８.ＡＦ(或 ＢＦ) ＣＤ ９. ＝ １０.Ｄ

１１.解:∵ ∠Ｂ＝∠Ａ＋１０°ꎬ∠Ｃ＝∠Ｂ＋１０°ꎬ

∴ ∠Ｃ＝∠Ａ＋１０°＋１０° ＝∠Ａ＋２０°ꎬ

由三角形内角和定理得ꎬ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ

＝１８０°ꎬ

∴ ∠Ａ＋∠Ａ＋１０°＋∠Ａ＋２０° ＝ １８０°ꎬ

解得∠Ａ ＝ ５０°.

１２.６ 或 ７ １３.Ａ １４.６０ １５.１３５° １６.１１

１７.Ｃ １８.－３<ａ<－２ １９.Ｂ ２０.Ｂ ２１.Ａ

２２.Ａ ２３.Ｂ ２４.Ｄ ２５.Ｃ ２６.Ａ ２７.４８

２８.Ｂ ２９.８０ 或 ４０ ３０.４

第 １６ 讲 全等三角形

课前热身

１.Ｂ

２.证明:∵ 点 Ｂ 为线段 ＡＣ 的中点ꎬ

∴ ＡＢ＝ＢＣꎬ

∵ ＡＤ∥ＢＥꎬ

∴ ∠Ａ ＝∠ＥＢＣꎬ

∵ ＢＤ∥ＣＥꎬ

∴ ∠Ｃ＝∠ＤＢＡꎬ

在△ＡＢＤ 和△ＢＣＥ 中ꎬ

∠Ａ ＝∠ＥＢＣꎬ

ＡＢ＝ＢＣꎬ

∠ＤＢＡ ＝∠Ｃꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＤ≌△ＢＣＥ(ＡＳＡ).

本课练习

１.７８° ２.Ｃ

３.证明:∵ 点 Ｄ 是 ＢＣ 的中点ꎬ

∴ ＢＤ＝ＣＤꎬ

在△ＡＢＤ 和△ＡＣＤ 中ꎬ

ＡＢ＝ ＡＣꎬ

ＢＤ＝ＣＤꎬ

ＡＤ＝ ＡＤꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＤ(ＳＳＳ).

４.证明:∵ ＡＣ⊥ＢＣꎬＡＤ⊥ＢＤꎬＡＣ＝ＢＤꎬ

在 Ｒｔ△ＡＢＣ 和 Ｒｔ△ＢＡＤ 中ꎬ

ＡＣ＝ＢＤꎬ

ＡＢ＝ＢＡꎬ {

∴ Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＢＡＤ(ＨＬ)ꎬ

∴ ＢＣ＝ ＡＤ.

５.５ ６.Ｂ

７.ＣＢ＝ＣＥ(答案不唯一)

８.证明:∵ ＡＢ⊥ＢＤꎬＥＤ⊥ＢＤꎬＡＣ⊥ＣＥꎬ

∴ ∠Ｂ＝∠Ｄ＝∠ＡＣＥ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＤＣＥ ＋ ∠ＤＥＣ ＝ ９０°ꎬ ∠ＢＣＡ ＋ ∠ＤＣＥ ＝

９０°ꎬ

∴ ∠ＢＣＡ ＝∠ＤＥＣꎬ

在△ＡＢＣ 和△ＣＤＥ 中ꎬ

∠ＢＣＡ ＝∠ＤＥＣꎬ

∠Ｂ＝∠Ｄꎬ

ＡＢ＝ＣＤꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＣ≌△ＣＤＥ(ＡＡＳ).

９.证明:∵ ∠Ｂ＝∠Ｃꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＣꎬ

在△ＡＢＤ 和△ＡＣＥ 中ꎬ

ＡＢ＝ ＡＣꎬ

∠Ｂ＝∠Ｃꎬ

ＢＤ＝ＣＥꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ).

１０.解:∵ ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１８

∴ ∠ＢＡＤ ＋ ∠ＣＡＤ ＝ ∠ＥＡＤ ＋ ∠ＣＡＤꎬ 即

∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤꎬ

在△ＢＡＣ 与△ＥＡＤ 中ꎬ

ＡＢ＝ ＡＥꎬ

∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤꎬ

ＡＣ＝ ＡＤꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＢＡＣ≌△ＥＡＤ(ＳＡＳ)ꎬ

∴ ∠Ｄ＝∠Ｃ＝ ５０°.

１１.Ｂ １２.３ ２ －３

１３.解:(１)图 ２:ＢＣ＋ＢＥ＝ＢＦꎬ

图 ３:ＢＥ－ＢＣ＝ＢＦꎻ

(２)图 ２:∵ ＡＢ＝ＤＦꎬ∠Ａ ＝∠Ｄꎬ∠Ｂ＝∠Ｆꎬ

∴ △ＡＢＣ≌△ＤＦＥ(ＡＳＡ)ꎬ∴ ＢＣ＝ＥＦꎬ

∵ ＢＥ＝ＢＣ＋ＣＥꎬ

∴ ＢＣ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＢＣ＋ＣＥ＝ＢＦꎻ

图 ３:∵ ＡＢ＝ＤＦꎬ∠Ａ ＝∠Ｄꎬ∠Ｂ＝∠Ｆꎬ

∴ △ＡＢＣ≌△ＤＦＥ(ＡＳＡ)ꎬ∴ ＢＣ＝ＥＦꎬ

∵ ＢＥ＝ＢＦ＋ＥＦꎬ

∴ ＢＥ－ＢＣ＝ＢＦ＋ＥＦ－ＢＣ＝ＢＦ＋ＢＣ－ＢＣ＝ＢＦꎻ

(３)当点 Ｅ 在 ＢＣ 上时ꎬ如图ꎬ过点 Ａ 作 ＡＨ

⊥ＢＣ 于点 Ｈꎬ

∵ ∠Ｂ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＢＡＨ＝ ３０°ꎬ∵ ＡＢ ＝ ６ꎬ∴ ＢＨ ＝ ３ꎬ∴ ＡＨ ＝

３ ３ ꎬ

∵ Ｓ△ＡＢＣ

＝ １２ ３ ꎬ

∴

１

２

ＢＣ×ＡＨ＝ １２ ３ ꎬ∴ ＢＣ＝ ８ꎬ∵ ＣＥ＝ ２ꎬ

∴ ＢＦ＝ＢＥ＋ＥＦ＝ ８－２＋８ ＝ １４ꎻ

同理ꎬ当点 Ｅ 在 ＢＣ 延长线上时ꎬ

ＢＦ＝ＢＣ＋ＢＥ＝ ８＋１０ ＝ １８.

故答案为:８ꎬ１４ 或 １８.

第 １７ 讲 等腰三角形与直角三角形

课前热身

１.１１ 或 １３ ２.Ｃ

本课练习

１.解:∵ ＡＢ＝ ＡＤꎬ

∠Ｂ＝∠ＡＤＢ＝

１

２

×(１８０°－２６°)＝ ７７°ꎬ

又∵ ＡＤ＝ＤＣꎬ

∴ ∠Ｃ＝

１

２

∠ＡＤＢ＝

１

２

×７７° ＝ ３８.５°

２.证明:∵ △ＡＢＣ 是等边三角形ꎬ

∴ ∠Ａ ＝∠Ｂ＝∠Ｃꎬ

∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ

∴ ∠ＡＤＥ＝∠Ｂꎬ∠ＡＥＤ＝∠Ｃꎬ

∴ ∠Ａ ＝∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤꎬ

∴ △ＡＤＥ 是等边三角形.

３. ４１

４.证明:∵ ＡＢ＝ ＡＣꎬ

∴ ∠Ｂ＝∠Ｃꎬ

在△ＡＢＤ 和△ＡＣＥ 中ꎬ

ＡＢ＝ ＡＣꎬ

∠Ｂ＝∠Ｃꎬ

ＢＤ＝ＣＥꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ)ꎬ∴ ＡＤ＝ ＡＥ.

５.解:∵ ＡＢ∥ＣＤꎬ

∴ ∠ＤＣＡ＋∠ＣＡＢ ＝ １８０°ꎬ即∠ＤＣＥ＋∠ＥＣＡ＋

∠ＥＡＣ＋∠ＥＡＢ＝ １８０°ꎬ

∵ △ＡＣＥ 为等边三角形ꎬ

∴ ∠ＥＣＡ ＝∠ＥＡＣ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＥＡＢ＝ １８０°－４０°－６０°－６０° ＝ ２０°.

６.(１) 证明:∵ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬ点 Ｍ 为边 ＡＢ 的

中点ꎬ

∴ ＭＣ＝ＭＡ ＝ＭＢꎬ

∴ ∠ＭＣＡ ＝∠Ａꎬ∠ＭＣＢ＝∠Ｂꎬ

∵ ∠Ａ ＝ ５０°ꎬ

∴ ∠ＭＣＡ ＝ ５０°ꎬ∠ＭＣＢ＝∠Ｂ＝ ４０°ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

１９

∴ ∠ＥＭＣ＝∠ＭＣＢ＋∠Ｂ＝ ８０°ꎬ

∵ ∠ＡＣＥ＝ ３０°ꎬ

∴ ∠ＭＥＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＥ＝ ８０°ꎬ

∴ ∠ＭＥＣ＝∠ＥＭＣꎬ

∴ ＣＥ＝ＣＭꎻ

(２)解:∵ ＡＢ＝ ４ꎬ

∴ ＣＥ＝ＣＭ＝

１

２

ＡＢ＝ ２ꎬ

∵ ＥＦ⊥ＡＣꎬ∠ＡＣＥ＝ ３０°ꎬ

∴ ＦＣ＝ＣＥ?ｃｏｓ ３０° ＝ ３ .

７.４０° ８.４

９.(１)证明:∵ ＡＣ 平分∠ＢＡＤꎬ

∴ ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣꎬ

∵ ＣＢ⊥ＡＢꎬＣＤ⊥ＡＤꎬ

∴ ∠Ｂ＝∠Ｄ＝ ９０°ꎬ

在△ＡＢＣ 和△ＡＤＣ 中ꎬ

∠Ｂ＝∠Ｄꎬ

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣꎬ

ＡＣ＝ ＡＣꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＣ≌△ＡＤＣ(ＡＡＳ)ꎻ

(２)解:在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ由勾股定理可得:

∴ ＡＢ＝ ＡＣ

２－ＢＣ

２ ＝ ４

由(１)知:△ＡＢＣ≌△ＡＤＣꎬ

∴ ＢＣ＝ＣＤ＝ ３ꎬＳ△ＡＢＣ

＝ Ｓ△ＡＤＣꎬ

∴ Ｓ△ＡＢＣ

＝

１

２

ＡＢ?ＢＣ＝

１

２

×４×３ ＝ ６ꎬ

∴ Ｓ△ＡＤＣ

＝ ６ꎬ

∴ Ｓ四边形ＡＢＣＤ

＝ Ｓ△ＡＢＣ

＋Ｓ△ＡＤＣ

＝ １２.

１０.６ １１.不会

１２.解:(２)ＰＢ＝ＰＡ＋ＰＣꎬ理由如下:

如图ꎬ在 ＢＰ 上截取 ＢＦ＝ＰＣꎬ连接 ＡＦꎬ

∵ △ＡＢＣꎬ△ＡＤＥ 都是等边三角形ꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＣꎬＡＤ＝ ＡＥꎬ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＤ＋∠ＤＡＥꎬ

即∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣꎬ

∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ)ꎬ

∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥꎬ

∵ ＡＢ＝ ＡＣꎬＢＦ＝ＣＰꎬ

∴ △ＢＡＦ≌△ＣＡＰ(ＳＡＳ)ꎬ

∴ ＡＦ＝ ＡＰꎬ∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＰꎬ

∴ ∠ＢＡＣ＝∠ＰＡＦ＝ ６０°ꎬ

∴ △ＡＦＰ 是等边三角形ꎬ

∴ ＰＦ＝ＰＡꎬ

∴ ＰＢ＝ＢＦ＋ＰＦ＝ＰＣ＋ＰＡꎻ

(３)ＰＣ＝ＰＡ＋ＰＢ.

第 １８ 讲 相似三角形

课前热身

１.６ ２.８

本课练习

１.(１)解:∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ∴

ＡＤ

ＡＢ

＝

ＡＥ

ＡＣ

ꎬ

∵ ＡＤ＝ ２ꎬＤＢ＝ ４ꎬ∴

ＡＤ

ＡＢ

＝

１

３

ꎬ

ＡＥ

ＡＣ

＝

１

３

ꎬ

∵ ＤＥ＝ ３ꎬＢＣ＝ ９ꎬ∴

ＤＥ

ＢＣ

＝

１

３

ꎻ

(２)证明:∵

ＡＤ

ＡＢ

＝

１

３

ꎬ

ＡＥ

ＡＣ

＝

１

３

ꎬ

ＤＥ

ＢＣ

＝

１

３

ꎬ

∴

ＡＤ

ＡＢ

＝

ＡＥ

ＡＣ

＝

ＤＥ

ＢＣ

ꎬ∴ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ.

２.解:∵ △ＡＢＣ 的三边长分别为 ５ꎬ１２ꎬ１３ꎬ

∴ △ＡＢＣ 的周长为:５＋１２＋１３ ＝ ３０ꎬ

∵ 与它相似的△ＤＥＦ 的最小边长为 １５ꎬ

∴ △ＤＥＦ 的周长 ∶ △ＡＢＣ 的周长 ＝ １５ ∶ ５ ＝

３ ∶ １ꎬ

∴ △ＤＥＦ 的周长为:３×３０ ＝ ９０.

设其他两边长分别为 ｘ、(９０－１５－ｘ)ꎬ

则 ｘ ∶ (９０－１５－ｘ) ∶ １５ ＝ １２ ∶ １３ ∶ ５.

∴ ｘ ＝ ３６ꎬ９０－１５－ｘ ＝ ３９ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２０

即△ＤＥＦ 的其他两条边长分别是 ３６ꎬ３９.

３.解:(１)∵

ＡＢ

Ｃ′Ａ′

＝

１２

２０

＝

３

５

ꎬ

ＢＣ

Ａ′Ｂ′

＝

１５

２５

＝

３

５

ꎬ

ＡＣ

Ｂ′Ｃ′

＝

２４

４０

＝

３

５

ꎬ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′ꎻ

(２)∵

ＡＢ

Ａ′Ｂ′

＝

３

１２

＝

１

４

ꎬ

ＢＣ

Ｂ′Ｃ′

＝

４

１６

＝

１

４

ꎬ

ＡＣ

Ａ′Ｃ′

＝

５

２０

＝

１

４

ꎬ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′.

４.解:新矩形各顶点的坐标分别为(０ꎬ

３

２

)ꎬ(０ꎬ

０)ꎬ(２ꎬ０)ꎬ(２ꎬ

３

２

)或(０ꎬ－

３

２

)ꎬ(０ꎬ０)ꎬ( －２ꎬ

０)ꎬ(－２ꎬ－

３

２

).

５.解:∵ 四边形 ＥＧＨＦ 为正方形ꎬ∴ ＢＣ∥ＥＦꎬ

∴ △ＡＥＦ∽△ＡＢＣ.

设正方形零件的边长为 ｘ ｍｍꎬ

则 ＫＤ＝ＥＦ＝ ｘ ｍｍꎬＡＫ＝ (８０－ｘ) ｍｍꎬ

∵ ＡＤ⊥ＢＣꎬ∴

ＥＦ

ＢＣ

＝

ＡＫ

ＡＤ

ꎬ

∴

ｘ

１２０

＝

８０－ｘ

８０

ꎬ解得:ｘ ＝ ４８.

答:正方形零件的边长为 ４８ ｍｍ.

６.Ｃ ７.Ｂ ８.∠ＡＤＥ＝∠Ｂ(答案不唯一)

９.Ｂ １０.Ｂ １１.Ｄ １２.Ｃ １３.２ ∶ １ １４.Ａ

１５.解: ( １) 如图ꎬ ＡＣ ＝ ＣＦ ＝ ２ꎬ ＣＧ ＝ ＦＤ ＝ １ꎬ

∠ＡＣＧ＝∠ＣＦＤ＝ ９０°ꎬ

∴ △ＡＣＧ≌△ＣＦＤꎬ ∴ ∠ＣＡＧ＝∠ＦＣＤꎬ

∵ ∠ＡＣＥ＋∠ＦＣＤ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＡＣＥ＋∠ＣＡＧ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＣＥＡ ＝ ９０°ꎬ

∴ ＡＢ⊥ＣＤ.故答案为:是ꎻ

(２)ＡＢ＝ ２

２＋４

２ ＝ ２ ５ ꎬ

∵ ＡＣ∥ＢＤꎬ∴ △ＡＥＣ∽△ＢＥＤꎬ

∴

ＡＣ

ＢＤ

＝

ＡＥ

ＢＥ

ꎬ即

２

３

＝

ＡＥ

ＢＥ

ꎬ∴

ＡＥ

ＡＢ

＝

２

５

ꎬ

∴ ＡＥ＝

２

５

ＡＢ＝

４ ５

５

.

１６.证明:(１)∵ ＡＣ 是☉Ｏ 的直径ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＡＣＢ＋∠ＢＡＣ＝ ９０°ꎬ

∵ ＰＢ 切☉Ｏ 于点 Ｂꎬ

∴ ∠ＰＢＡ＋∠ＡＢＯ＝ ９０°ꎬ∵ ＯＡ ＝ＯＢ＝ＯＣꎬ

∴ ∠ＢＡＯ＝∠ＡＢＯꎬ∠ＯＢＣ＝∠ＡＣＢꎬ

∴ ∠ＯＢＣ＋∠ＡＢＯ＝∠ＰＢＡ＋∠ＡＢＯ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＰＢＡ ＝∠ＯＢＣꎻ

(２)由(１)知ꎬ∠ＰＢＡ ＝∠ＯＢＣ＝∠ＡＣＢꎬ

∵ ∠ＰＢＡ ＝ ２０°ꎬ

∴ ∠ＯＢＣ＝∠ＡＣＢ＝ ２０°ꎬ

∴ ∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ＋∠ＯＢＣ＝ ２０°＋２０° ＝ ４０°ꎬ

∵ ∠ＡＣＤ＝ ４０°ꎬ∴ ∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＤꎬ

∵ ＢＣ

(

＝ＢＣ

(

ꎬ

∴ ∠ＣＤＥ＝∠ＣＤＢ＝∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＯꎬ

∴ △ＯＡＢ∽△ＣＤＥ.

第 １９ 讲 锐角三角函数

课前热身

１.

１

２

２.Ａ ３.３ ３ ＋３ 或 ３ ３ －３ ４.Ｃ

本课练习

１.解:∵ ＡＣ＝ ５ꎬＢＣ＝ ３ꎬ∴ ＡＢ＝ ５

２＋３

２ ＝ ３４ ꎬ

∴ ｓｉｎ Ａ ＝

ＢＣ

ＡＢ

＝

３

３４

＝

３ ３４

３４

ꎬｓｉｎ Ｂ ＝

ＡＣ

ＡＢ

＝

５

３４

＝

５ ３４

３４

.

２.解:图 １ 中ꎬＡＣ＝ ６

２－２

２ ＝ ４ ２ ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２１

∴ ｓｉｎ Ａ ＝

２

６

＝

１

３

ꎬｃｏｓ Ａ ＝

４ ２

６

＝

２ ２

３

ꎬｔａｎ Ａ ＝

２

４ ２

＝

２

４

ꎬ

ｓｉｎ Ｂ＝

４ ２

６

＝

２ ２

３

ꎬｃｏｓ Ｂ ＝

２

６

＝

１

３

ꎬｔａｎ Ｂ ＝

４ ２

２

＝ ２ ２ .

图 ２ 中ꎬＡＢ＝ ６

２＋２

２ ＝ ２ １０ ꎬ

∴ ｓｉｎ Ａ ＝

２

２ １０

＝

１０

１０

ꎬｃｏｓ Ａ ＝

６

２ １０

＝

３ １０

１０

ꎬ

ｔａｎ Ａ ＝

２

６

＝

１

３

ꎬ

ｓｉｎ Ｂ＝

６

２ １０

＝

３ １０

１０

ꎬｃｏｓ Ｂ＝

２

２ １０

＝

１０

１０

ꎬｔａｎ

Ｂ＝

６

２

＝ ３.

图 ３ 中ꎬＡＢ＝ ( ２ )

２

＋( ６ )

２

＝ ２ ２ ꎬ

∴ ｓｉｎ Ａ ＝

６

２ ２

＝

３

２

ꎬｃｏｓ Ａ ＝

２

２ ２

＝

１

２

ꎬｔａｎ Ａ ＝

６

２

＝ ３ ꎬ

ｓｉｎ Ｂ ＝

２

２ ２

＝

１

２

ꎬ ｃｏｓ Ｂ ＝

６

２ ２

＝

３

２

ꎬ ｔａｎ Ｂ ＝

２

６

＝

３

３

.

３.解:(１)原式＝ ３×

３

３

－１＋２×

３

２

＝ ３ －１＋ ３ ＝

２ ３ －１ꎻ

(２)原式＝ １× ３ ＝ ３ .

４.解:∵ ∠Ｃ＝ ９０°ꎬＢＣ＝ ７ ꎬＡＣ＝ ２１ ꎬ

∴ ｔａｎ Ａ ＝

ＢＣ

ＡＣ

＝

７

２１

＝

３

３

ꎬ ｔａｎ Ｂ ＝

ＡＣ

ＢＣ

＝

２１

７

＝ ３ ꎬ

∴ ∠Ａ ＝ ３０°ꎬ∠Ｂ＝ ６０°.

５.解:(１)∵ ∠Ｃ＝ ９０°ꎬｃ ＝ ３０ꎬｂ ＝ ２０ꎬ

∴ ａ ＝ ３０

２－２０

２ ＝ １０ ５ ꎬ∴ ｓｉｎ Ｂ＝

ｂ

ｃ

＝

２

３

ꎬ

∴ ∠Ｂ≈４２°ꎬ∴ ∠Ａ ＝ ９０°－４２° ＝ ４８°.

(２)∵ ∠Ｂ＝ ３０°ꎬ∴ ∠Ａ ＝ ６０°ꎬ

∴ ｓｉｎ Ａ ＝

ａ

ｃ

＝

３

２

ꎬｓｉｎ Ｂ＝

ｂ

ｃ

＝

１

２

ꎬ

∴ ｃ ＝

ａ

ｓｉｎ Ａ

＝

７

３

２

＝

２ ２１

３

ꎬｂ ＝ ｃｓｉｎ Ｂ ＝

２ ２１

３

×

１

２

＝

２１

３

.

６.Ｂ ７.Ｂ ８.Ｃ ９.Ｂ １０.

５ －１

２

１１.解:原式＝ ２ ３ ＋４×( ３ －１)×

３

２

－２

＝ ２ ３ ＋２ ３ ( ３ －１)－２

＝ ２ ３ ＋６－２ ３ －２

＝ ４.

１２.５０ １３.Ｃ １４.Ｃ １５.Ｃ １６.

６

６

１７.Ｂ

１８.解:(１)如图ꎬ连接 ＢＤꎬ设 ＢＣ 的垂直平分

线交 ＢＣ 于点 Ｆꎬ∴ ＢＤ＝ＣＤꎬ

∴ Ｃ△ ＡＢＤ

＝ ＡＢ＋ＡＤ＋ＢＤ ＝ ＡＢ＋ＡＤ＋ＤＣ ＝ ＡＢ＋

ＡＣꎬ∵ ＡＢ ＝ ＣＥꎬ∴ Ｃ△ ＡＢＤ

＝ ＡＣ＋ＣＥ ＝ ＡＥ ＝ １ꎬ

故△ＡＢＤ 的周长为 １.

(２)设 ＡＤ＝ ｘꎬ∴ ＢＤ＝ ３ｘꎬ又∵ ＢＤ＝ＣＤꎬ

∴ ＡＣ＝ ＡＤ＋ＣＤ＝ ４ｘꎬ

在 Ｒｔ △ＡＢＤ 中ꎬ ＡＢ ＝ ＢＤ

２－ＡＤ

２ ＝

(３ｘ)

２－ｘ

２ ＝ ２ ２ ｘ.

∴ ｔａｎ∠ＡＢＣ＝

ＡＣ

ＡＢ

＝

４ｘ

２ ２ ｘ

＝ ２ .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２２

１９.(１)证明:如图ꎬ连接 ＯＤꎬ

∵ ＡＣ＝ＣＤꎬ∴ ∠Ａ ＝∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＥꎬ

∵ ∠ＡＯＢ＝ ９０°ꎬ∴ ∠Ａ＋∠ＡＢＯ＝ ９０°ꎬ

又∵ ＯＢ＝ＯＤꎬ∴ ∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢꎬ

∴ ∠ＯＤＢ＋∠ＢＤＥ＝ ９０°ꎬ即∠ＯＤＥ＝ ９０°ꎬ

∴ ＯＤ⊥ＥＣꎬ

∵ ＯＤ 是半径ꎬ∴ ＥＣ 是☉Ｏ 的切线ꎻ

(２) 解:在 Ｒｔ△ＣＯＤ 中ꎬ由于 ｓｉｎ∠ＯＣＤ ＝

４

５

ꎬ

设 ＯＤ＝ ４ｘꎬ则 ＯＣ＝ ５ｘꎬ

∴ ＣＤ＝ ＯＣ

２－ＯＤ

２ ＝ ３ｘ ＝ ＡＣꎬ

在 Ｒｔ △ＡＯＢ 中ꎬＯＢ ＝ ＯＤ ＝ ４ｘꎬＯＡ ＝ ＯＣ ＋

ＡＣ＝ ８ｘꎬＡＢ＝ ４ ５ ꎬ由勾股定理得ꎬ

ＯＢ

２＋ＯＡ

２ ＝ ＡＢ

２

ꎬ

即(４ｘ)

２＋(８ｘ)

２ ＝ (４ ５ )

２

ꎬ

解得 ｘ ＝ １ 或 ｘ ＝ －１(舍去)ꎬ

∴ ＡＣ＝ ３ｘ ＝ ３ꎬＯＣ＝ ５ｘ ＝ ５ꎬＯＢ＝ＯＤ＝ ４ｘ ＝ ４ꎬ

∵ ∠ＯＤＣ＝∠ＥＯＣ＝ ９０°ꎬ∠ＯＣＤ＝∠ＥＣＯꎬ

∴ △ＣＯＤ∽△ＣＥＯꎬ∴

ＯＣ

ＥＣ

＝

ＣＤ

ＯＣ

ꎬ

即

５

ＥＣ

＝

３

５

ꎬ

∴ ＥＣ＝

２５

３

ꎬ

∴ Ｓ阴影部分

＝ Ｓ△ ＣＯＥ

－Ｓ扇形ＯＢＣ

＝

１

２

×

２５

３

×５－

９０π×４

２

３６０

＝

１２５

６

－４π

＝

１２５－２４π

６

.

第 ２０ 讲 解直角三角形的应用

课前热身

１.

４

３

２.４? ４ ｍ

本课练习

１.解:在△ＡＢＣ 中ꎬ∵ ∠Ｃ ＝ ９０°ꎬ∠Ｂ ＝ ∠α ＝

４３°ꎬＡＣ＝ １ ２００ ｍꎬ

∴ ｓｉｎ Ｂ＝

ＡＣ

ＡＢ

ꎬ即 ｓｉｎ ４３° ＝

１ ２００

ＡＢ

ꎬ

∴ ＡＢ＝

１ ２００

ｓｉｎ ４３°

≈

１ ２００

０.６８

≈１ ７６５(ｍ)ꎬ

答:飞机 Ａ 与指挥台 Ｂ 的距离约为 １ ７６５ 米.

２.解:(１)如图ꎬ过点 Ｄ 作 ＤＦ⊥ＢＣ 于点 Ｆ.

∵ ｔａｎ Ｂ＝ ｉ ＝

１

３

ꎬ∴ ∠Ｂ≈１８°ꎻ

∵ ｔａｎ Ｃ＝ ｉ ＝

１

１.５

ꎬ∴ ∠Ｃ≈３４°ꎻ

(２)ｔａｎ Ｂ＝

ＡＥ

ＢＥ

＝ ｉ ＝

１

３

ꎬＡＥ＝ ６(ｍ)ꎬ

∴ ＢＥ＝ ３ＡＥ＝ １８(ｍ)ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＢＥ 中ꎬ根据勾股定理得:

ＡＢ＝ ＡＥ

２＋ＢＥ

２ ＝ ６ １０ (ｍ)ꎬ

答:斜坡 ＡＢ 的长为 ６ １０ ｍ.

３.解:如图ꎬ过点 Ａ 作 ＡＥ⊥ＢＤ 交 ＢＤ 的延长线

于点 Ｅꎬ 由 题 意 得ꎬ ∠ＣＢＡ ＝ ６０°ꎬ ∠ＥＡＤ

＝ ３０°ꎬ

∴ ∠ＡＢＤ＝ ３０°ꎬ∠ＡＤＥ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ－∠ＡＢＤ＝ ３０°ꎬ

∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＤꎬ

∴ ＡＤ ＝ ＡＢ ＝ １０ ｎ ｍｉｌｅꎬ 在 Ｒｔ △ＡＤＥ 中ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２３

ｓｉｎ∠ＡＤＥ＝

ＡＥ

ＡＤ

ꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＤ?ｓｉｎ∠ＡＤＥ＝ ５ ３ (ｎ ｍｉｌｅ)ꎬ

∵ ５ ３ >８ꎬ

∴ 渔船不改变航线继续向东航行ꎬ没有触礁

的危险.

４.解:如图ꎬ过点 Ｃ 作 ＣＥ⊥ＡＢꎬ垂足为 Ｅꎬ

由题 意 得ꎬ ＣＤ ＝ ３６ ｍꎬ ∠ＢＣＥ ＝ ４５°ꎬ

∠ＡＣＥ＝ ３３°ꎬ

在 Ｒｔ△ＢＣＥ 中ꎬ∠ＢＣＥ＝ ４５°ꎬ

∴ ＢＥ＝ＣＥ＝ＣＤ＝ ３６ ｍꎬ

在 Ｒｔ△ＡＣＥ 中ꎬ∠ＡＣＥ＝ ３３°ꎬＣＥ＝ ３６ ｍꎬ

∴ ＡＥ＝ＣＥ?ｔａｎ ３３°≈２３.４(ｍ)ꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＥ＋ＢＥ＝ ３６＋２３.４ ＝ ５９.４≈５９(ｍ)ꎬ

答:居民楼 ＡＢ 的高度约为 ５９ ｍ.

５.解:在 Ｒｔ△ＢＣＤ 中ꎬ

∵ ＢＣ 的坡度为 ｉ

１

＝ １ ∶ １ꎬ

∴

ＣＤ

ＢＤ

＝ １ꎬ

∴ ＣＤ＝ＢＤ＝ ２０ ｍꎬ

在 Ｒｔ△ＡＣＤ 中ꎬ

∵ ＡＣ 的坡度为 ｉ

２

＝ １ ∶ ３ ꎬ

∴

ＣＤ

ＡＤ

＝

１

３

ꎬ

∴ ＡＤ＝ ３ ＣＤ＝ ２０ ３ (ｍ)ꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＤ－ＢＤ＝ ２０ ３ －２０≈１４.６(ｍ)ꎬ

∴ 背水坡新起点 Ａ 与原起点 Ｂ 之间的距离

约为 １４.６ ｍ.

６.解:如图ꎬ过点 Ｂ 作 ＢＣ⊥ＡＤꎬ交 ＤＡ 的延长

线于点 Ｃꎬ

设 ＡＣ＝ ｘ ｍꎬ

∵ ＡＤ＝ ５０ ｍꎬ

∴ ＣＤ＝ ＡＣ＋ＡＤ＝ (ｘ＋５０)ｍꎬ

在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＣＡＢ＝ ６０°ꎬ

∴ ＢＣ＝ ＡＣ?ｔａｎ ６０° ＝ ３ ｘ(ｍ)ꎬ

在 Ｒｔ△ＢＣＤ 中ꎬ∠ＢＤＣ＝ ４５°ꎬ

∴ ｔａｎ ４５° ＝

ＢＣ

ＣＤ

＝ １ꎬ

∴ ＢＣ＝ＣＤꎬ

∴ ３ ｘ ＝ ｘ＋５０ꎬ

∴ ｘ ＝ ２５ ３ ＋２５ꎬ

∴ ＡＣ＝ (２５ ３ ＋２５)ｍꎬ

∴ ＡＢ＝

ＡＣ

ｃｏｓ ６０°

＝

２５ ３＋２５

１

２

＝５０ ３＋５０≈１３７(ｍ)ꎬ

∴ 古亭与古柳之间的距离 ＡＢ 的长约为

１３７ ｍ.

７.１６ ８.８５°

９.解:(１)△ＡＦＢ∽△ＦＥＣ.

证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎬ∴ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ

＝∠Ｄ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＢＡＦ＋∠ＡＦＢ＝ ９０°ꎬ

由折叠的性质可得:∠ＡＦＥ＝∠Ｄ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＡＦＢ＋∠ＣＦＥ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＣＦＥꎬ

∴ △ＡＦＢ∽△ＦＥＣꎻ

(２)∵ ｔａｎ∠ＥＦＣ＝

３

４

ꎬ∴ 在 Ｒｔ△ＥＦＣ 中ꎬ

ＥＣ

ＦＣ

＝

３

４

ꎬ设 ＥＣ＝ ３ｘ ｃｍꎬＦＣ＝ ４ｘ ｃｍꎬ

∴ ＥＦ＝ ＥＣ

２＋ＦＣ

２ ＝ ５ｘ(ｃｍ)ꎬ由折叠的性质

可得 ＤＥ＝ＥＦ＝ ５ｘ ｃｍꎬ

∴ ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＝ ８ｘ(ｃｍ)ꎬ

∵ ∠ＢＡＦ＝∠ＥＦＣꎬ∴ ｔａｎ∠ＢＡＦ＝

ＢＦ

ＡＢ

＝

３

４

ꎬ

∴ ＢＦ＝ ６ｘ ｃｍꎬ∴ ＡＦ＝ ＡＢ

２＋ＢＦ

２ ＝ １０ｘ(ｃｍ)ꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＦ

２＋ＥＦ

２ ＝ ５ ５ ｘ(ｃｍ)ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２４

∵ ＡＥ＝ ５ ５ ｃｍꎬ∴ ｘ ＝ １ꎬ

∴ ＡＤ ＝ ＢＣ ＝ ＡＦ ＝ １０ｘ ＝ １０ ( ｃｍ)ꎬＡＢ ＝ ＣＤ ＝

８ｘ ＝ ８(ｃｍ)ꎬ

∴ 矩形 ＡＢＣＤ 的周长为 １０＋１０＋８＋８＝３６(ｃｍ).

１０.解:由题意得:

∠ＣＡＤ＝ ４５°ꎬ∠ＣＢＤ＝ ３０°ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＣＤ 中ꎬＣＤ＝ １ ０００ ｍꎬ

∴ ＡＤ＝

ＣＤ

ｔａｎ ４５°

＝ １ ０００(ｍ)ꎬ

在 Ｒｔ △ＢＣＤ 中ꎬ ＢＤ ＝

ＣＤ

ｔａｎ ３０°

＝

１ ０００

３

３

＝

１ ０００ ３ (ｍ)ꎬ

∴ ＡＢ＝ＢＤ－ＡＤ＝ １ ０００ ３ －１ ０００≈７３２(ｍ)ꎬ

∴ 这条江的宽度 ＡＢ 约为 ７３２ ｍ.

第 ２１ 讲 平行四边形

课前热身

１.Ａ ２.Ｄ ３.１４ ４.Ａ

本课练习

１.证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＯＤ＝ＯＢꎬＤＣ∥ＡＢꎬ

∴ ∠ＦＤＯ＝∠ＥＢＯꎬ

在△ＤＦＯ 和△ＢＥＯ 中ꎬ

∠ＦＤＯ＝∠ＥＢＯꎬ

ＯＤ＝ＯＢꎬ

∠ＦＯＤ＝∠ＥＯＢꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＤＦＯ≌△ＢＥＯ(ＡＳＡ)ꎬ

∴ ＯＥ＝ＯＦ.

２.证明:如图ꎬ连接 ＡＣꎬ设 ＡＣ 与 ＢＤ 交于点 Ｏ.

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＯＡ ＝ＯＣꎬＯＢ＝ＯＤꎬ

又∵ ＢＥ＝ＤＦꎬ

∴ ＯＥ＝ＯＦꎬ

∴ 四边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形.

３.(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＡＢ∥ＤＣꎬ

∴ ∠１ ＝∠２ꎬ

∵ ＥＦ 是 ＢＤ 的中垂线ꎬ

∴ ＯＤ＝ＯＢꎬ∠３ ＝∠４ ＝ ９０°ꎬ

∴ △ＤＯＦ≌△ＢＯＥꎬ

∴ ＯＥ＝ＯＦꎻ

(２)解:如图ꎬ过点 Ｄ 作 ＤＧ⊥ＡＢꎬ垂足为 Ｇꎬ

∵ ∠Ａ ＝ ６０°ꎬＡＤ＝ ６ꎬ

∴ ∠ＡＤＧ＝ ３０°ꎬ

∴ ＡＧ＝

１

２

ＡＤ＝ ３ꎬ

∴ ＤＧ＝ ６

２－３

２ ＝ ３ ３ ꎬ

∵ ＡＢ＝ ２ＡＤꎬ

∴ ＡＢ＝ ２×６ ＝ １２ꎬＢＧ＝ ＡＢ－ＡＧ＝ １２－３ ＝ ９ꎬ

∴ ｔａｎ∠ＡＢＤ＝

ＤＧ

ＢＧ

＝

３ ３

９

＝

３

３

.

４.证明:(１)∵ ∠ＡＥＦ 与∠ＤＥＣ 是对顶角ꎬ

∴ ∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＣꎬ

在△ＡＥＦ 和△ＤＥＣ 中ꎬ

ＡＥ＝ＤＥꎬ

∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＣꎬ

ＦＥ＝ＣＥꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＥＦ≌△ＤＥＣ (ＳＡＳ)ꎻ

(２)由(１)知△ＡＥＦ≌△ＤＥＣꎬ

∴ ∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥꎬ∴ ＡＦ∥ＤＣꎬ

∵ 点 Ｆ 在 ＢＡ 的延长线上ꎬ∴ ＡＢ∥ＤＣꎬ

又∵ ＡＤ ∥ ＢＣꎬ∴ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四

边形.

５.Ｃ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２５

６.证明∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬ

∴ ＡＢ∥ＣＤꎬＡＢ＝ＣＤꎬ

∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢꎬ

在△ＡＢＥ 和△ＣＤＦ 中ꎬ

∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦꎬ

ＡＢ＝ＣＤꎬ

∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＥ≌△ＣＤＦꎬ

∴ ＡＥ＝ＣＦ.

７.１８

８.证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＣꎬＡＤ＝ＢＣꎬ

又∵ 点 Ｅ、Ｆ 分别是 ＡＤ、ＢＣ 的中点ꎬ

∴ ＡＥ∥ＣＦꎬＡＥ＝ＣＦ＝

１

２

ＡＤꎬ

∴ 四边形 ＡＥＣＦ 为平行四边形(一组对边平

行且相等的四边形为平行四边形)ꎬ

∴ ＡＦ＝ＣＥ(平行四边形的对边相等).

９.

９ １０

５０

解:如图ꎬ过点 Ｂ 作 ＢＦ⊥ＥＣ 于点 Ｆꎬ

∵ ＤＥ⊥ＡＢꎬＡＤ＝ ５ꎬ∴ ｓｉｎ Ａ ＝

ＤＥ

ＡＤ

＝

４

５

ꎬ

∴ ＤＥ＝ ４ꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＤ

２－ＤＥ

２ ＝ ３ꎬ

在▱ＡＢＣＤ 中ꎬＡＤ＝ＢＣ＝ ５ꎬＡＢ＝ＣＤ＝ １２ꎬ

∴ ＢＥ＝ ＡＢ－ＡＥ＝ １２－３ ＝ ９ꎬ

∵ ＣＤ∥ＡＢꎬ

∴ ∠ＤＥＡ ＝∠ＥＤＣ＝ ９０°ꎬ∠ＣＥＢ＝∠ＤＣＥꎬ

∴ ｔａｎ∠ＣＥＢ＝ ｔａｎ∠ＤＣＥꎬ

∴

ＢＦ

ＥＦ

＝

ＤＥ

ＣＤ

＝

４

１２

＝

１

３

ꎬ

∴ ＥＦ＝ ３ＢＦꎬ

在 Ｒｔ△ＢＥＦ 中ꎬ根据勾股定理ꎬ得

ＥＦ

２＋ＢＦ

２ ＝ＢＥ

２

ꎬ

∴ (３ＢＦ)

２＋ＢＦ

２ ＝ ９

２

ꎬ

解得 ＢＦ＝

９ １０

１０

ꎬ

∴ ｓｉｎ∠ＢＣＥ＝

ＢＦ

ＢＣ

＝

９ １０

１０

５

＝

９ １０

５０

.

１０. ２ １１.Ｃ

１２.证明:(１)①∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为矩形ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°ꎬ

∵ ＡＦ 平分∠ＢＡＤꎬ

∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ ４５°ꎬ

∴ △ＡＢＦ 为等腰直角三角形ꎬ

∴ ＡＢ＝ＢＦ.

∵ ＢＥ＝ＦＣꎬ

∴ ＡＢ＋ＢＥ＝ＢＦ＋ＣＦꎬ即 ＡＥ＝ＢＣ＝ ＡＤ.

∵ ＡＧ＝ ＡＧꎬ

∴ △ＡＤＧ≌△ＡＥＧꎬ

∴ ＧＥ＝ＧＤ.

②如图ꎬ连接 ＢＧꎬＣＧꎬ

∵ Ｇ 为 ＡＦ 的中点ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 为矩形ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°ꎬＡＤ＝ＢＣꎬ

∴ ＢＧ＝ ＡＧ＝ＦＧ.

∵ ＡＦ 平分 ∠ＢＡＤꎬ△ＡＢＦ 为等腰直角三

角形ꎬ

∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ ４５° ＝∠ＡＢＧ＝∠ＣＢＧꎬ

∴ △ＡＤＧ≌△ＢＣＧꎬ

∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＢＣＧꎬＧＤ＝ＧＣꎬ

∵ △ＡＤＧ≌△ＡＥＧꎬ

∴ ∠Ｅ＝∠ＡＤＧꎬ

∴ ∠Ｅ＝∠ＢＣＧ.

∵ ∠ＢＯＥ＝∠ＧＯＣꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２６

∴ △ＢＯＥ≌△ＧＯＣꎬ

∴

ＢＯ

ＢＥ

＝

ＧＯ

ＧＣ

＝

ＧＯ

ＧＤ

＝

ＢＯ

ＣＦ

ꎬ

∴ ＢＯ?ＧＤ＝ＧＯ?ＦＣ.

(２)如图ꎬ过点 Ｄ 作 ＤＭ⊥ＢＣ 交 ＢＣ 于点

Ｍꎬ连接 ＧＭꎬ作 ＧＮ⊥ＤＭ 交 ＤＭ 于点 Ｎꎬ

∴ ∠ＤＭＢ ＝ ９０° ＝ ∠ＧＮＭ ＝ ∠ＧＮＤ ＝

∠ＤＭＣꎬ

由(１)同理可证:△ＡＤＧ≌△ＡＥＧꎬ

∴ ∠Ｅ＝∠ＡＤＧꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＣꎬ

∴ ∠ＡＤＭ＝∠ＤＭＣ＝ ９０°ꎬ

∴ ＢＣ∥ＧＮ∥ＡＤꎬ

∵ Ｇ 为 ＡＦ 的中点ꎬ由平行线分线段成比例

可得 ＤＮ＝ＭＮꎬ

∴ ＤＧ＝ＭＧꎬ

∴ ∠ＧＤＭ＝∠ＧＭＤꎬ

∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＢＭＧ＝∠Ｅꎬ

∵ ∠ＢＯＥ＝ＧＯＭꎬ

∴ △ＢＯＥ∽△ＧＯＭꎬ

∴

ＢＯ

ＢＥ

＝

ＧＯ

ＧＭ

＝

ＧＯ

ＧＤ

＝

ＢＯ

ＣＦ

ꎬ

∴ ＢＯ?ＧＤ＝ＧＯ?ＦＣ.

第 ２２ 讲 矩形与菱形

课前热身

１.Ｂ ２.Ｃ ３.Ｄ ４.Ｄ

本课练习

１.解:四边形 ＡＢＣＤ 是矩形.理由如下:

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＯＣ＝

１

２

ＡＣꎬＯＢ＝

１

２

ＢＤ.

又∵ ∠１ ＝∠２ꎬ

∴ ＯＢ＝ＯＣꎬ

∴ ＢＤ＝ ＡＣꎬ

∴ ▱ＡＢＣＤ 是矩形.

２.解:(１)∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬ

∴ ＤＣ ＝ ＢＣꎬ ∠ＢＣＤ ＝ ２ ∠ＡＣＤꎬ ∠ＡＢＣ ＝

∠ＡＤＣꎬ

∴ ∠ＢＣＤ＝ ６０°ꎬ

∴ △ＢＣＤ 为等边三角形ꎬ

∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＢＤＣ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝ １２０°ꎻ

(２)∵ △ＢＣＤ 为等边三角形ꎬＢＤ＝ ６ꎬ

∴ ＢＣ＝ＤＣ＝ ＡＢ＝ ６ꎬ

∴ ＤＯ＝

１

２

ＤＣ＝ ３ꎬ

∴ ＣＯ＝ ３ ３ ꎬ

∴ ＡＣ＝ ２ＣＯ＝ ６ ３ .

３. ( １) 证明: ∵ ∠ＢＰＱ ＝ ∠ＢＰＣ ＋ ∠ＣＰＱ ＝

∠Ａ＋∠ＡＱＰꎬ又∠ＢＰＣ＝∠ＡＱＰꎬ

∴ ∠ＣＰＱ＝∠Ａꎬ

∵ ＰＱ⊥ＣＰꎬ

∴ ∠Ａ ＝∠ＣＰＱ＝ ９０°ꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬ

∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎻ

(２)解:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎬ

∴ ∠Ｄ＝∠ＣＰＱ＝ ９０°ꎬ

在 Ｒｔ△ＣＤＱ 和 Ｒｔ△ＣＰＱ 中ꎬ

ＣＱ＝ＣＱꎬ

ＣＤ＝ＣＰꎬ {

∴ Ｒｔ△ＣＤＱ≌Ｒｔ△ＣＰＱ(ＨＬ)ꎬ

∴ ＤＱ＝ＰＱꎬ

设 ＡＱ＝ ｘꎬ则 ＤＱ＝ＰＱ＝ ６－ｘꎬ

在 Ｒｔ△ＡＰＱ 中ꎬＡＱ

２＋ＡＰ

２ ＝ＰＱ

２

ꎬ

∴ ｘ

２＋２

２ ＝ (６－ｘ)

２

ꎬ

解得 ｘ ＝

８

３

ꎬ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

２７