47

B3.根据2中所确定的模

型，计算 2010—2020 年

各年末人口总量，并于

马尔萨斯人口模型所得

结果进行对比；

年份 人 口 总 数 / 万

人

年份 人 口 总 数 / 万

人

2011 2016

2012 2017

2013 2018

2014 2019

2015 2020

48

附录三：数学建模活动题目

中国的人口政策

我国人口政策发展变化可以分为 4 个阶段。

第 1 阶段:新中国成立到 1969 年, 人口政策从鼓励生育到限制生育思想萌芽, 再到批判和

停滞。1949 年之后迎来了生育高峰, 国民生产和生活从战争中恢复过来, 总和生育率超过 6,

人口快速增长, 1953 年第 1 次人口普查显示全国总人口已经从 1949 年之前的 4.5 亿增长到 6

亿, 这引起了政府的关注, 节制生育的思想开始萌芽。

第 2 阶段:1970—1980 年, 随着“文化大革命”的结束, 计划生育政策的执行逐渐回到正轨,

限制生育的政策正在逐渐发挥效用。从 1949—1969 年, 我国人口仅用短短 20 年的时间翻了一

番, 这也促使了计划生育政策的快速推进。1971 年, 国务院发布了《关于做好计划生育工作的

报告》, 并于 1973 年正式提出“晚、稀、少”政策, 即晚婚 (女性 23 周岁以上, 男性 25 周岁以

上) 、稀生 (生育间隔 3 年以上) 和少生 (最好 1 个最多 2 个) 。这一时期的计划生育工作取

得了良好的效果, 生育率前所未有地快速下降。

第 3 阶段:1980—2000 年, 计划生育政策进一步得到贯彻执行, 政策、机构都逐步稳定下

来。受政策影响, 人们的生育观念发生了显著变化, 生育率下降到更替水平, 并继续下降。“独

生子女政策”基本成型, 计划生育政策成为国家大刀阔斧改革的重要一环被提升到基本国策的

高度。

第 4 阶段:2000 年至今, 人们注意到人口快速转变可能带来的负面效应, 限制生育的政策

得到反思, 计划生育政策再次进入调整通道。2013 年 3 月, 国务院将卫生部与计划生育委员会

职能合并, 组建国家卫生和计划生育委员会, 同年 11 月, 十八届三中全会通过的《中共中央关

于全面深化改革若干重大问题的决定》中提出:“坚持计划生育的基本国策, 启动实施一方是独

生子女的夫妇可生育两个孩子的政策。”2015 年 12 月第十二届全国人民代表大会常务委员会

第十八次会议表决通过《人口与计划生育法修正案 (草案) 》, “全面二孩”政策于 2016 年 1 月

1 日起施行。

请查询资料，对中国未来 30 年的人口情况建立模型进行讨论。

49

附录四：优秀作业照片展示

高语若：优秀课前作业

李初璇：优秀课后作业

50

51

刘怡婷：数学建模过程

52

陕西省西安中学第二届作业设计大赛

《三角函数的应用》

——以“核心素养”为导向的高中数学作业

设计案例

作业设计

适用对象：高中数学必修一第五章 5.7

设计教师：赵昕媛

53

《三角函数的应用》

——以“核心素养”为导向的高中数学作业设计案

例

随着教育的快速发展，传统的应试教育已经无法满足学生自身发展需求以

及社会对人才的需求，故教育部提出了核心素养教育体系，要求教师在教学活

动的各个环节加强对学生的核心素养教育，其中作业布置是教学活动中的一

个关键环节，合理的作业设计对巩固上课所学知识，形成技能，提高能力和培

养学生的核心素养都至关重要，尤其在“双减”政策提出后，如何布置作业能

够高效的检测和巩固学生课内所学，既要实现目的又要考虑学生学习实际情

况，真正成为推动和优化课堂的有效载体。

基于以上思考，我尝试在日常的教学中尽量用尽可能少的量，激发学生

达到最优的效，避免大量刻板的书面作业，将课堂所学融入生活，让学生在

作业中有思考，感受数学在课本之外的优美。下面以新人教版教材高一数学

必修一第五章《三角函数》中第 7 节《三角函数的应用》这节课为例，谈谈

我在作业设计中的一点尝试。

一、设计背景和目的

本章 学习中，学生学习了三角函数的相关知识，众多的公式，题型让学生

感到“枯燥”，不能很好的理解章首语中“三角函数是刻画生活中许多周期现象

的重要函数模型”的意思，更加不能体验到学以致用的乐趣，这与我们新课程新

素养的教育理念是相违背的。因此我很重视这一节课的学习，更加希望在学习后，

学生真的能经历思考，用所学解决实际问题。本节课是一节实际应用课，或者说

是一次让学生感受自己建立数学模型和求解数学模型的探究课，学生在第二章

《函数》学习中，已经不止一次的经历过数学建模的学习，有了一些这类问题解

决的经验，再加上对三角函数知识系统的学习，所以我想通过老师的层层引导，

他们是完全有兴趣也有能力解决我所设计的作业内容的。

54

二、渗透的思想方法

核心素养要求中学生有数学建模素养，因此新教材中重视“数学建模”

的渗透和学习。数学建模是对现 实问题进行数学抽象，用数学语言表达问

题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。数学建模思想贯穿于高

中数学的整个体系，这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，体现数学

的应用作用。在我的作业中，学生应有 “用数学的眼观看问题”的数学意

识，把生活中的自然现象与所学数学知识联系起来，然后做到用数学的方

法解决问题，结合自己所学知识，利用信息技术，最终得到能够真正应用

到生活中有价值的结论，提升学生的成就感。

三、预期达到的效果

1.通过第一项“预备作业”复习回顾三角函数章节中的基本概念和知识，

也为本项作业的完成奠定基础。

2.通过第二项“信息采集”作业，实现教学中的学科融合，学生自己搜集

“潮汐”现象的相关成因和船进出港口与潮汐之间的关系，不仅丰富他们的知

识，更 加引导他们在潮汐的周期变化中联想到数学中三角函数的相同点。

3.“正式作业”中第一步的数据处理，培养学生在实际中对数据的处理

能力，并利用自己的平板绘图，想到用三角函数去拟合数据，实际联系所学，

模型初步建立；第二步的函数拟合，要求学自己动手，利用所学函数：

y = A sin(x + )的性质进行振幅、周期和带点求初相的步骤，不仅复习了所

学知识，还求解了函数模型，为后续作业打下基础；第三步中计算船进入港口

的时间和停留时间的完成，能充分对模型进行应用和检验，让学生体会解决实

际问题的成就；第四步计算船停止卸货的时间，需要利用函数知识中“二分法”

的过程，虽不需大量计算，但能让学生感受数学知识的融会贯通。

4.“开放作业”是让学生就上述问题中的数学模型再提出一个问题，并

在小组内进行展示，同时自己可以找同伴提出的问题中自己较为感兴趣的做

解答，这个环节不仅让学生进行模型的再思考，更加强了同学间的合作交流能

55

力，让学生学的有兴趣，有乐趣。

5.“发展作业”是一个以人的“体力、情绪、智力”周期变化为背景的作

业设计问题，通过学生自己结合自己的生日绘制的“体力、情绪、智力”曲线，

得到自己改在什么时候鼓励自己、什么时候加强锻炼、什么时候保持体力的结

论，这个问题的布置，更是想让学生得到一个“有趣又科学”的结论，提升学

生的心理健康。

56

四、作业设计内容

作业环节和内容 设计意图和布置方式

发展的

核心素养

1. 预备作业：三角函数性质的基础题： 通过平板布置学生，并

收集学生作答结果，可

迅速且准确得到学生

基 本 知 识 的 掌 握 情

况，高效的布置方式

不给学生增加抄题的

负担且及时得到反馈，

并通过完成让学生自

主复习所学知识

数学抽象

数学运算

2.信息采集：可通过各种渠道搜集资料，

了解潮汐在引力作用下的周期现象及其

产 生原因，思考潮汐现象对船进出港口

的影 响和原因

体现学科交叉，在数学

学习中丰富地理知识，

也 锻 炼 学 生 自 己 探 究

和搜集资料的能力，鼓

励学生拓宽思维，积极

表达，并让他们有初步

将 周 期 现 象 联 系 到 三

角函数的意识

学习能力

语言表达

用数学的眼

光看问题

3.正式作业：海水受日月的引力作用，在 一

定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早

潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船 在

涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在

落潮时返回海洋．下表是港口在某季节每

天的时刻与水深关系的预报：

水 深 是 时 间 的 函 数

关 系，函数可以用表

格表示 (如题) ，也可

以用图像或解析式表

示，图像表示的函数

更易反应函数变化的

规律，而函数解析式

更能揭示函数变化的

本质。这个问题不仅

数学建模

数据分析

数据处理

57

(1) 该如何对上述数据进行表现和处

理，能够更直观的看出变化规律？根据

你的想 法进行数据呈现，并选择适合的

函数模型 进行函数的拟合，求出函数解

析式；

让学生复习了函数知

识，更帮助他们积累

在生活中处理数据的

经验；学生可利用平

板，应用数学软件作

出 散 点 图 后 易 选 择

用 三 角 函 数 进 行 拟

合，这一点是与本章

知 识 联 系 最 紧 密 之

处

信息技术

数学抽象

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的

距离)为 4 米，安全条例规定至少有 1.5 米

的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何

时能进入港口，能在港口呆多久？

模型建立后，进行一些

必要假设，如船进出港

口的时间忽略，这可以

让 学 生 体 会 完 整 的 数

学建模步骤；学生利用

模型求解了实际问题，

增加了学习成就感，真

正体会学以致用。

数学建模

数据分析

数学运算

(3) 若某船的吃水深度为 4 米，安全间

隙 为 1.5 米，该船在 2：00 开始卸货，

吃水 深度以每小时 0.3 米的速度减少，

那么该 船在什么时间必须停止卸货，

将船驶向较 深的水域？

学 生 利 用 二 分 法 求

解 函数图像的交点，

可以利用数学软件精

确求解，也可以自己

计算进行估计，让学生

对模型进行应用，融会

贯通函数知识最终提

出有实际应用意义的

结论

模型应用

信息技术

数学运算

58

4.开放作业：就上述数学模型，提出一个合

理的问题，同小组同学交流展示，并在其

中选择一个(鼓励更多)进行求解

本 项 作 业 的 设 计 本 着

开 放 原 则 ， 无 固 定 答

案，培养学生提出问题的

能力，并自己在同学的问

题中选择作答，加强了同

伴交流合作，变

“要我做”为“我要做”

同伴合作

辩证思考

数学建模

5、发展性作业：自出生之日起，人的体力、

情绪、智力等心理、生理状况就呈周期

变化。根据心理学家的统计，人体节律分

为体力节律、情 绪节律和智力节律三种。

这些节律的时间周期分别为 23 天、28

天、33 天。每个节律周期又分为高潮期、

临界日和低潮期三个阶段。 以上三个节

律周期的半数为临界日，这就是说 11.5

天、14 天、16.5 天分别为体力节律、情

绪节律 和智力节律的临界日。临界日的

前半期为高潮 期，后半期为低潮期。生

日前一天是起始位置(平衡位置)，请根

据自己的出生日期，绘制自 己的体力、

情绪和智力曲线，并总结自己在什么时

候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励

自己，在什么时候应当加强锻炼，在么

时候应当保持体力

此 项 作 业 让 学 生 再 次

经历数学建模的过程，

题目本身就很具有“吸

引力”，让学生带着兴

趣和好奇心进行练习，

并 且 利 用 一 个 经 过 计

算的结果激励学生“状

态起伏是常事，善于调

节 最重要”

提炼信息

数学建模

价值观培养

59

五、作业收集与评价

1.预备作业采用平板布置和及时收集，省去学生抄题的时间，快速对基

础知识进行检验，及时收集学生作答情况，针对性的对基础薄弱的同学进行

辅导。评价结果通过平板反馈学生，不做集中讲评。

2.信息搜集作业采用学生口头交流形式，鼓励学生理清思路，大胆表达，

善于从各个角度思考问题，对表现优异的同学给以肯定。

3.正式作业采用书面形式进行布置，要求学生提交平板作图结果，完整

的建模和求解模型结果，准确写出函数的解析式，经计算求得船的行驶时间

和离岗时间，如果采用数学软件，需要提交具体计算过程，通过查阅作业，

展示一些书写清晰，计算准确的作业，在课堂上交流，同时对相关知识有疑

惑的同学进行答疑。

4.开放作业由“完成者”与“出题者”共同讨论，如达成一致，问题解

决，如遇到分歧，可以选择找第三位同学或者老师来一起讨论完成。

5.发展性作业不要求全体同学完成，体现分层次的理念，对该问题有兴

趣的学生尝试，要求作出自己的曲线图后能计算出改鼓励自己或补充体力

的时间，将该结果用于自己的真实生活规划，以调节自己的生活和心理状态。

六、作业完成情况反馈

1.经过平板数据反馈，全班 95%以上同学能够准确完成基础题目的练习，

说明大家基本知识掌握情况较好。

2.在课堂交流中，同学们踊跃发言，基本对“潮汐”现象的产生和对行

船的影响描述准确且形式角度多样，说明大家重视思考。

3.经查阅，正式书面作业的第一问中，全班同学都想到了用“散点图”

描述规律，并有 90%以上同学用三角函数通过计算拟合出该函数解析式，80%

左右同学能根据函数模型求解出第二、三问，其中第三问有 60%的同学能用

“二分法”求出船离港的具体准确时间，完成情况不理想的主要原因在于对

“二分法”求方程的近似解的相关知识淡忘，这提醒教学过程中还是要注重

60

揭示本质，且适当复习。

4.在班级中进行统计，开放作业每位同学都完成了至少一个，其中 50%

以上同学完成多个，还有跨越小组之间的交流，值得鼓励，这种相互出题的

方式受到学生的喜爱，以后可以大胆尝试。

5.发展性作业的完成情况出乎意料，多达 98%的学生都进行了尝试，这

说明题目的趣味性是吸引学生主动学的重要因素，今后可以躲让数学与实

际相结合，设计出适合所学的趣味问题。

61

七、过程性资料展示

1.利用平板布置作业和收集作业

2.学生分享与“潮汐”相关的科普视频

3.正式作业中，学生利用图形计算器完成的散点图和完整的做题过程

62

4.开放性作业中，一位同学的出题和与之对应的同组同学的作答

贾鑫源问题：在安全间隙为 1.5 的前提下，如果有一艘船不需离港，那

它的“吃 水”量需要满足什么要求？

王一杰作答：由该函数的最小值为 2.5 ，即水最浅 2.5 米，安全间隙为 1.5

米，因此只有船的“吃水”小于 2.5- 1.5=1 米时，可以不需离港。

5.发展性作业中一位同学绘制的“曲线”图与计算出的相关“重要时刻”

八、感想与反思

本次作业设计是新教材新要求下的一次大胆尝试，彻底改变了数学作业由

“题”构成的传统特征，学生完成的热情很高涨，虽然作业量不大，但充分发

挥了学生的自主地位，经历数学建模让他们体会了学习数学的价值，总体来说

63

达到了预期，效果较为满意。但是由于作业形式丰富，学生在有些环节相对应

付，总体上书面作业的书写和计算还是有待提高。在今后的教学中，我会以核

心素养为导向，更精心的设计作业，真正做到的“润物细无声”。

64

陕西省西安中学第二届作业设计大赛

《<椭圆>教学单元巩固》

作业设计

适用对象：高二理科实验班学生

设计教师：赵高辉

65

《椭圆》教学单元巩固作业

姓名 赵高辉 学校 陕西省西安中学

学段 高中 学科 数学

作业目标

1.知识目标： 理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程，以及椭圆标

方程的过程，理解椭圆的基本性质（范围、对称性、轴、离心率、焦半

径等）。

2.能力目标：通过椭圆的概念以及标准方程的推导，让学生掌握研

究一般曲线的步骤与方法，通过对椭圆的性质的研究，让学生初步体会

到研究圆锥曲线的方法，在作业的完成过程中，让学生体会圆锥曲线的

概念、方程、性质的常见应用。让学生经历观察与发现、分析与推理、

归纳与概括等过程，培养学生的逻辑思维能力、运算求解能力、数学建

模能力、创新能力。学会转化与划归、分类整合、数形结合、从特殊到

一般的数学思想，掌握从具体到抽象、从特殊到一般的研究方法。

3.学科素养目标：在定理的发现与解决、问题情景的抽象与概括中，

培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学学运算等核心素养。

教材、单

元、章节

课时

人教 A 版（2019）选择性必修第一册、第三章、第 3.1 节

作业类型 教学单元综合作业

作业功能 课后复习、巩固提升

适用对象 高二理科实验班学生

66

第一部分 基础必做题

作业内容 设计目标 作业评价标准

题组 1：

（1）?1，?2为椭圆?

2

49

+

?

2

9

= 1的两个焦

点，?是椭圆上的点，且|??1

| = 5,则

|??2

| =( )

A. 9 B. 4 C. 2 D. 1

（2）已知椭圆?

2

?2 +

?

2

?

2 = 1(? > ? > 0)的

左、右焦点分别为?1、?2，长轴长8，焦距

为4，过点?1的直线交椭圆于?，?两点，

则????2的周长为 ( )

A. 4 B. 8 C. 1 D. 32

设计意图：

本题组主要考察学生对椭圆

概念的掌握和理解，主要是对

椭圆的几何定义的认识，能用

定义解决简单的问题。

学科素养：

逻辑推理、数学运算

能力维度：

逻辑思维能力、计算求解能力

水平一：两道题均未答

出或者答错，反映出学

生对这一模块几乎没有

理解，需要重新学习该

模块的内容。

水平二：学生能够够答

对其中一道题，反应学

生对椭圆的概念有一个

初步认识，但是理解不

到位，没有彻底掌握椭

圆的概念，无法熟练应

用，需要学生再进一步

对课堂知识巩固。

水平三：两道题都能熟

练做出，反应学生对椭

圆的几何概念理解较为

到位。

题组 2：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过点A(−3,0)，B(0,−2)；

(2)长轴长等于20，焦距等于12．

(3)两个焦点在坐标轴上，且经过

A(√3,−2)和B(−2√3, 1)两点；

(4)过点P(−3,2)，且与椭圆x

2

9

+

y

2

4

= 1

有相同的焦点．

设计意图：

本题组主要考察学生对椭圆

标准方程及椭圆的性质的掌

握和理解，要求学生会用椭圆

的性质求椭圆的标准方程

学科素养：

逻辑推理、数学运算

能力维度：

逻辑思维能力、计算求解能力

水平一：四道题均未答

出或者答错，反映出学

生对这一模块几乎没有

理解，需要重新学习该

模块的内容。

水平二：学生能够够答

对其中 1-2 道题，反应学

生对椭圆的标准方程认

识相对模糊，但是对椭

圆的性质理解不到位，

没有彻底掌握椭圆的标

准方程和简单性质，无

法熟练应用性质解决问

题，需要学生再进一步

对课堂知识巩固。

水平三：所有题都能熟

练做出，反应学生对椭

圆的标准方程和性质理

解较为到位，可以进一

步深化练习。

67

第二部分 能力提升题

作业内容 设计目标 作业评价标准

题组 3：已知椭圆y

2

a

2+

x

2

b

2=1(a>b>0)的

离心率为√3

2

，短轴长为4.椭圆与直线y =

x + 2相交于A、B两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)求弦长|AB|．

设计意图：

本题组主要考察学生对椭圆综

合知识的理解和掌握情况，要求

学生在掌握椭圆的相关知识的

基础上，能够熟练应用椭圆的性

质解决一些综合性问题。

学科素养：

数学抽象、逻辑推理、数学运算

能力维度：

逻辑思维能力、计算求解能力、

创新能力

水平一：两问均未答出，

反应学生对基础知识的

掌握不过关，也无法将椭

圆相关知识综合应用，需

要重新学习椭圆相关知

识

水平二：学生能够够答对

第一问，反应学生对椭圆

的基本知识能偶掌握，但

是对椭圆的性质理解不

到位，无法解决综合应用

问题，需要学生对椭圆的

相关知识进行系统化的

思考。

水平三：完全做出该题

组，反应学生对椭圆的相

关知识已经掌握到一定

的程度，能够解决一些简

单的综合问题，对解析几

何的研究方法和解决问

题的思路有了一定的自

我认识。

68

题组 4：已知椭圆C:

x

2

a

2 +

y

2

b

2 = 1(a > b >

0)的左、右焦点分别为F1(−2√2, 0)，

F2(2√2, 0)，直线l经过F1与椭圆C交于

A，B两点，且△ ABF2的周长为12．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若M，N分别为椭圆的左、右顶点，

记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，

证明：kAM ⋅ kAN是定值．

思考：椭圆上任意一点与长轴、短轴端

点连线的斜率之积是否未为定值，如果

是，值为多少？

设计意图：

本题组主要考察学生对椭圆综

合知识的理解和掌握情况，要求

学生在掌握椭圆的相关知识的

基础上，能够熟练应用椭圆的性

质解决一些综合性问题，能在特

殊问题中总结出一般方法

学科素养：

数学抽象、逻辑推理、数学运算

能力维度：

逻辑思维能力、计算求解能力、

创新能力

水平一：两问均未答出，

反应学生对基础知识的

掌握不过关，也无法将椭

圆相关知识综合应用，需

要重新学习椭圆相关知

识

水平二：学生能够够答对

第一问，反应学生对椭圆

的基本知识能偶掌握，但

是对椭圆的性质理解不

到位，无法解决综合应用

问题，需要学生对椭圆的

相关知识进行系统化的

思考。

水平三：完全做出该题

组，并且能偶将思考问

题解决，反应学生对椭

圆的相关知识已经掌握

到一定的程度，对该模

块的知识已经初步建立

起了自己的知识体系和

方法体系

第三部分 拓展研究题

作业内容 设计目标 作业评价标准

题组 5：

已知椭圆C：x

2

a

2 +

y

2

b

2 = 1(a > b > 0)的离

心率√3

3

，点( √3, √2)在椭圆C上，A、B

分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交

椭圆C于P、Q两点，满足AP ⊥ AQ，过点

A作AH ⊥ PQ，垂足为H．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线PQ过定点，并求出此定点

设计意图：

本题组主要考察学生对椭圆综

合知识以及研究方法的理解和

掌握情况，要求学生在掌握椭圆

的相关知识的基础上，能够熟练

应用椭圆的性质解决一些比较

复杂综合性问题，在解决问题的

过程中能够综合运用所学知识

进行创造性的应用，同时行成一

套自己的分析问题、解决问题的

方法体系。

学科素养：

水平一：学生能够够答对

第一问，反应学生对椭圆

的基本知识能偶掌握，但

是对椭圆的性质理解不

到位，无法解决综合应用

问题，需要学生对椭圆的

相关知识进行系统化的

思考。

水平二：学生能够够答对

前两问或者三问都能解

决一部分，反应学生对椭

圆的相关知识已经掌握

到一定的程度，对该模块

69

的坐标；

(3)求▵ ABH面积的最大值．

数学抽象、逻辑推理、数学运算

能力维度：

逻辑思维能力、计算求解能力、

创新能力

的知识已经初步建立起

了自己的知识体系和方

法体系，但是还是创造性

的解决问题

水平三：完全做出该题

组，反应学生对椭圆的相

关知识已经掌握到一定

的程度，在解决问题的过

程中能够综合运用所学

知识进行创造性的应用，

同时行程一套自己的分

析问题、解决问题的方法

体系，同股票对椭圆的学

习已经理清楚了解析几

何的研究方式与研究内

容。

题组 6：研修性作业

查阅“但德林双球实验”的相关资

料，撰写椭圆概念的发展历程的论文；

能用所学知识证明但德林双球实验模

型中的曲线确实是椭圆。

设计意图：

本题组主要考察学生的动手实

践能力，要求学生能够自己动手

搜集研修性学习的材料，并且能

初步撰写研究性学习的小论文，

提升学生的主动学习能力，同时

在验证猜想的过程中应用所学

知识，进一步发展学生的学科素

养和数学文化，加深学生对于数

学学习的兴趣。

学科素养：

数学抽象、逻辑推理、数学运算

能力维度：

逻辑思维能力、计算求解能力、

创新能力、归纳总结能力

水平一：学生能偶搜集一

部分材料，但是无法整

合，反应学生的阅读能力

和归纳总结能力徐娅进

一步提升。

水平二：学生能够将搜集

的材料进行简单的整合，

能初步写出关于椭圆概

念的形成历程的小论文，

反应学生有有一定的数

学阅读能力和归纳总结

能力。

水平三：学生能够将搜集

的材料进行有机整合，形

成相对比较完善的论文，

同时能够通过所学的椭

圆的有关知识，验证模型

中的曲线为椭圆。反应了

学生具有较强的自学能

力以及较为扎实的学科

基本功和学科素养

第四部分 评价与改进

一、学生完成情况概述

70

90%的同学每道题都动了笔，基础题完成情况较好，准确率较高，拓展题有 60%

的同学能准确答出第 1 题前两问，只有少数同学能够正确完成第 3 问。拓展题的

第二题所有同学都有参与，但是完成的质量差异性很大。但总的来说，作业质量反

映出椭圆大单元教学目标基本达成。

二、作业分层设计逐步深入，学生反馈亮点多

1.重视学情，分层设计兼顾整体。设计上共分了 3 个大的层次，在每个层次的

题目设计上，又做到了层层递进，由浅入深，由特殊到一般，从熟悉到陌生，通过

一道基础题切入，达到巩固基础知识的目的，再通过升级变形，提升学生的应用能

力。实现了在巩固知识、检测能力的同时，既保护学生的积极性，又满足优等生对

深入探究的需求。

2.重视教材，巩固基础突出方法。基础题主要选自教材后的习题，或是根据例

题、习题改编。从学生熟悉的知识为主要载体，对定理和思维能力进行检测。而且

题与题前后相互联系，将课堂上经历的研究数学的方法延伸到课后作业上，有利于

学生进一步 熟悉数学探究的一般性方法， 有利于培养学生的数学建模意识和逻辑

推理能力，而且题型丰富，对活跃学生思维大有益处。

3.重视反馈，以生为本优化策略。学生书面作业有以下一些亮点: 一是书写规

范，证明过程逻辑严谨，过程详细;二是数形结合思想体现的较为充分，作图能力

较强;三是主动探究的意识和学习热情较高，大部分同学能主动探索最后一道难度

较高的题目，展现了较好的意志力和学习兴趣，学生字里行间传递出的积极信号，

对于老师的教学是一种鼓励，有利于教学效率的提升。

三、分析不足，以问题为导向促提升

1.存在的不足主要有:

（1）少部分同学在准确使用数学语言翻译图象、解释实际现象时表述不严谨，

符号使用不规范；

（2）大部分同学知识掌握不够灵活，不能拓展应用，只是停留在模仿的层面上，

变形构造和联想运用成为学生思维的一大难点，在最后一道选做题上表现较为明

显。

（3）很多孩子的计算能力不过关，以至于题能理解但是算不对，主要体现在第

4、5 题；

（4）四是自主学习能力和创新能力差异性比较明显，主要体现在第 6 题。

71

2.改进措施:

（1）依然要以基础为主，重视对教材例题、习题的研究与改编，做到举一反三，

不断巩固基本概念，重视数学表达能力的培养;

（2）加强课堂教学中数学思想方法的渗透，注重对细节的处理;

（3）作业设计一定要关注到学生基本功的训练，通过强化基础，控制难度，大

胆表扬，分层布置作业，保护学生的学习积极性，同时鼓励学生勇于探索，敢于创

新，不怕失败的科学精神。

（4）充分发挥学生的主体作用，在教学和作业中有意识的培养学生的动手能力

和自主学习能力。

72

附件：

73

陕西省西安中学第二届作业设计大赛

《正弦定理，余弦定理》作业设计

适用对象：高一学生

设计教师：拓继雨

74

一．“三新”背景下的内容简析及要求

“新教材”下的内容解析：《正弦定理，余弦定理》是人教 A 版必修第二册，第六章《平

面向量及其应用》第四节《平面向量的应用》里，第三小结的内容。与旧教材不同的是此内容

不再作为单独的一章《解三角形》出现，而是作为平面向量在平面几何中的一个应用出现的。

“正余弦定理”的证明体现了向量在证明几何问题的优势，体现了向量的工具性。本节课的主

要知识点就是理解正余弦定理，并会利用正余弦定理去解有关的三角形问题。

“新课标”对本节内容的要求：1.理解并掌握正弦定理余弦定理的内容.（重点）2.能够利用

正弦定理，余弦定理解有关的三角形问题.（重难点）3.能够利用正弦定理，余弦定理边化角，

角化边解有关的综合性问题.（重难点）

“新高考”对本节内容的要求：从近几年高考看，高考在正余弦定理这块内容一般是一道

大题，或者是一道小题。例如今年全国甲卷是一道小题，乙卷与新高考 1,2 卷都是一道大题，

同时难度属于中等，但是与过去相比难度有所提高。内容方面与课标要求一致，不过还需要结

合三角函数及三角恒等变形解决相关题目。

二．设计理念

（一）体现层次性与差异性

本次作业分为基础性作业，提升性作业，拓展性作业和创新性作业。体现以人为本的学生

第六章平面向量

及其应用

6.1平面向量

的概念

6.2平面向量的

运算

6.3平面向量基本定

理及坐标表示

6.4平面向量的应用

平面几何中

的向量方法

向量在物理

中的应用

正弦定理余

弦定理

余弦定理

正弦定理

正余弦定理

的应用

75

观，尊重学生的个体差异，针对学生的情况设计了分层作业，所有学生都需要完成基础性作业，

数学基础好的学生需要完成提升性作业，对数学感兴趣的同学可以完成拓展性与创新性作业。

（二）控时，提质，增效

在“双减”的背景下，严格控制作业量，同时提高作业质量，让学生深度思考，从每道题

目有所收获。

（三）体现实践性和创新性

让学生学过本节课之后，能够深度思考，总结知识要点，同时能根据所学知识进行实际操

作。

三．作业目标

（一）理解并掌握正弦定理，余弦定理。并可以利用正弦定理与余弦定理去解有关的简单的三

角形问题。（全部学生目标）

（二）可以利用正弦定理与余弦定理去解复杂的解三角形问题。（大部分学生目标）

（三）通过本节课的作业让学生掌握正余弦定理其他的证明方法从而提高他们数学学习的热

情与兴趣。同时通过本节课的作业让他们学会利用课内知识解决课外问题，培养他们的创新能

力。（部分学生目标）

四．预估难度及完成时长

必做题：基础性作业：20min（简单） 提升性作业：20min（较难）

选做题（利用周末完成）：拓展性作业 创新性作业

76

五．作业内容及意图

第一部分 基础性作业

作业内容 设计意图

1. 在

ABC

中，根据下列条件解三角形

（1）

=

4

A

 ， B=

3

 ， a =1

（2）

=

6

A

 ， B=

12

 ，c =1

（3）

=

4

A

 ， b= 3 ， a = 2

思考：正弦定理可以解决哪几类的三角形问题？

变式 1：

3

=

4

A

 ， b=2 3 ， a = 2

变式 2： =

4

A

 ， a = 2

，有两解，求

b

的取值范围

通过（1）（2）（3）的设计

让学生理解正弦定理，并总结正

弦定理可以解决的几类解三角

形问题。通过变式 1,2 的设计让

学生思考为什么用正弦定理解

决三角形问题时候会出现两解，

何时出现两解。

2. 在

ABC

中，根据下列条件解三角形

（1）

5

=

12

A

 ， b=

3

 ， a = 2

（2）

a = 2，b = 4 ，c = 3

变式 1： a = 2，b = 4 ，c = 3，试判断

ABC

的形状

（3）

=

4

A

 ， b= 3 ， a = 2

通过（1）（2）的设计让学

生理解余弦定理，并总结余弦定

理可以解决的几类解三角形问

题。同时区别正余弦定理在解决

SSA 的问题的时候不同点。通过

变式 1 的设计让学生思考如何根

据余弦定理判断三角形形状，进

而思考余弦定理与勾股定理的

关系。

3.在

ABC

中，若

2

2

tan A a

tan B b

= ，判断

ABC

的形状

4 在

ABC

中，若

sin A a

sin B c

= ，(b c a b c a bc + + + − = )( ) 3

判断

ABC

的形状。

利用正余弦定理进行边角

互化，从而判断三角形的形状。

77

第二部分 提升性作业

作业内容 设计意图

1. 在①sin A，sin C，sin B 成等差数列；②a∶b∶

c＝4∶3∶2；③bcos A＝1 这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该

三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明

理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边

分别为 a，b，c，且 a(sin A－sin B)＋bsin B ＝csin

C，

c＝1， ？

2. 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A＝

π

2，B＝

2π

3 ，AB＝6.在 AB 边上取点 E，使得 BE＝1，连接

EC，ED.若∠CED＝

2π

3 ，EC＝

7.

(1)求 sin∠BCE 的值；

(2)求 CD 的长．

此题是有关正余弦定

理较复杂的题目综合性较

高，适应基础较好的同学，

是选做题目。同时形式新

颖，和近几年的高考题形式

类似，考查学生思维的灵活

性。

第三部分 拓展性作业

78

1.请同学们思考并查阅资料，看看还有什么其它证

明正弦定理余弦定理的方法？

此题为选做题，提升学

生学习数学的热情，拓宽他

们的知识面。

第四部分 创新性性作业

1 请利用测角仪以及尺子测量学校艺术中心的高

度.

此题为选做题，让对数

学感兴趣的同学利用所学

知识灵活的解决实际问题

六．评价标准及反馈情况

作业完成情况统计

作业类型 基础性作业 提升性作业 拓展性作业 创新性作业

完成人数

作业评价标准

A

基础性作业与提升性作业完成较好，正确率高，同时拓展性作业与创新性作业选

择其一进行了完成。

B 基础性作业完成较好，正确率高，提升性作业均已完成，但是正确率不高。

C 基础性作业，提升性作业完成率不高，错误较多。

D 基础性作业未完成，或者抄袭他人作业。

79

附件：部分作业展示

基础性作业展示

提升性作业展示

80

拓展性作业展示

81

陕西省西安中学第二届作业设计大赛

《跨单元英文诗歌及配图作业设计》

作业设计

适用对象：高二创新班、实验班以及平行班英语基础

较好、思维活跃的学生

设计教师：杨雪逸

82

一、设计目的

（一）语言能力：

1.通过英语趣配音 app，学生选择自己喜爱的经典诗歌并配音，拓展学生的词

汇量，提高学生的口语表达能力，体会诗歌的语言美和音律美；

2.通过 U2 的英文诗歌的学习，了解不同的诗歌形式，学习五行诗、俳句等不

同类型，掌握“压头韵”，排比等写作修辞手法，并尝试自己写诗歌，提升学生的

英语语言运用能力；

3.通过阅读诗歌，推荐诗歌，了解诗歌鉴赏的方法，用诗歌的语境增加学生的

可理解性阅读输入量，提升学生的阅读能力和技巧。

（二）思维品质：

通过结合 U2 所学进行诗歌创作，并根据 U1 学习的西方艺术绘画风格，选择

恰当的风格尝试为自己创作的诗歌进行插图配画，需要说明所选类型和理由，这要

求学生在理解 U1 基础上进行深度思考和创作，将两个单元的知识内化整合，有利

于提升学生思维的逻辑性；创作诗歌有利于培养学生思维上的创新性。

（三）学习能力：

1.读诗环节中，选择配音诗歌时，需要结合所学知识，搜集筛选相关信息，配

音时，需要结合配音材料， 查阅词汇，完善发音，培养学生的自主学习能力；

2.荐诗环节中，学生组成阅读圈，每组推荐一首经典诗歌，并说出推荐理由，

培养学生合作探究学习能力。

（四）文化意识：

通过跨单元大观念下诗意人生主题的“为你读诗”“为你写诗”“为你荐诗”系

列环节，从音律、措辞、意境、插图等多方面感受不同文化的底蕴与魅力，提升学

生诗歌品鉴审美，拓展学生的国际视野，提升文化自信力。

二、设计对象

我校高二创新班、实验班以及平行班英语基础较好、思维活跃的学生

三、作业类型及性质

（一）任务一 Reading a poem 为你读诗：

1.视听说作业：选择一首经典诗歌（外文英译版或者是中文诗歌英译版均可）进行

配音。

（二）任务二：Writing a poem 为你写诗：

83

1.写作作业：根据所学内容，创作一首英文诗歌并配图（配图最好是自己画），配

图风格可以参考第一单元所学内容。

（三）任务三：Recommending a poem 为你荐诗：

1.合作探究作业： 每个小组（6 人组）组成阅读圈，推荐一首诗，并组内诗歌赏

析，进行推荐。

四、作业内容及设计意图

（一）任务一：Reading a poem 为你读诗：

1.视听说作业：选择一首经典诗歌（外文英译版或者是中文诗歌英译版均可）在

“英语趣配音”app 中配音，并将个人作品发布在英语群里。

2.设计意图：此任务设计在 U2 课前预习环节，学生通过挑选自己喜欢的诗歌配音，

锻炼口语表达能力，并通过其他同学发布在群里的诗歌了解到形式多样的经典英

译诗歌，拓展学生的文化视野，增强学生的文化自信力，锻炼学生的口语表达能力，

提升英语听说水平，激发学生对于诗歌的兴趣，形成阅读期待（视频版配音作业见

附件视频作业，图片见附件 1）。

（二）任务二： Writing a poem 为你写诗：

1.写作作业：根据所学内容，创作一首英文诗歌并配图（配图最好是自己画），配

图风格可以参考第一单元所学内容。(学生手册见附件 2，学生作品见附件 3)

2.设计意图：通过本单元学习，掌握不同类型的英文诗歌与修辞手法，并将其运用

在自己的诗歌中，即是培养学生的语用能力，也是培养学生的创造力；同时，学生

需要结合第一单元的西方绘画史内容为自己的诗歌配图，这也考察学生对第一单

元西方绘画史内容的理解力，有利于促进学生思维品质的提升和艺术素养的提高。

84

（三）任务三：Recommending a poem 为你荐诗：

1.合作探究作业： 6 人小组组成一个阅读圈，小组合作进行讨论，每个组讨论，

筛选出最想推荐的一首诗歌，并在组内进行合作分工，最后在班级里进行推荐。(表

格见附件 4，成果见附件 5)

2.设计意图：基于所学关于诗歌信息对于诗歌进行搜集与筛选，并通过小组合作完

成诗歌赏析，拓展学生的阅读量，培养学生合作探究的学习能力。

五、作业评价标准及反馈形式

（一）任务一：“为你读诗”视听说作业

1. 根据趣配音软件自带的打分机制（满分 100 分），从准确度、流利度、完整度三

个方面综合评定，分数排名靠前的优秀配音作业见附件 1。

2. 根据同学的点赞量评选出“最具人气作品”。

（二）任务二：“为你写诗”写作+配图作业

评分标准（满分 100 分）

评分细则 语言 主题 审美

1. 语法准确，单

词拼写正确，

无明显错误

2. 语言优美，适

当运用修辞手

法

主旨鲜明，积极

向上，意境突

出，情感丰沛，

有感染力

手绘图或者配图

符合主题，与诗

歌协调一致，具

有审美性

分值 50 20 30

（三）任务三：“为你荐诗”合作探究作业

1.有效的小组讨论的标准：

1 所有组员的声音都可以被听到

2 所有组员都感觉自己是小组不可或缺的一

员，能完全融入讨论

3 所有组员的想法都能得到尊重

4 讨论增强了的对诗歌的理解

2. 每组的 Summarizer 在全班中陈述推荐理由，全班范围内投票，评选出“最受喜

85

爱的诗歌”。

六、作业完成情况分析

本次作业学生热情高涨，发挥了极高的主观能动性。

“为你读诗”环节中，个别同学甚至在不满足于只配一首诗歌，主动找来多首

诗歌进行配音朗读；大部分同学在配音非常认真，完全将自己代入诗中情景，伴随

着配乐，抑扬顿挫，宛转悠扬，虽有个别生词发音不够标准，但瑕不掩瑜，总体表

现可圈可点。

“为你写诗”环节中，大部分学生乐在其中，自己创作诗歌，为了押韵或者表

达理想中的意象，主动查词，问老师，修改自己的诗歌，并结合第一单元绘画史，

手绘符合主旨的精美插图，图文并茂，作品完成度高。不足之处是，学生在创作英

文诗歌时，会用在词典上自己查词，有的词属于中式思维的直译，所以有些措辞略

显生硬。

“为你荐诗”环节利用阅读圈活动让学生进行自主探究式学习，学生初次接触

诗歌阅读圈活动，感到很新鲜，恰逢线上课堂，学生利用腾讯共享文档等程序辅助

进行讨论并记录想法，在进行荐诗环节成果展示时，有的组不满足于 word 的单一

排版，用 canva 软件对小组成果进行梳理展示，海报大片式的排版与认真思考后的

报告相结合，带来了极强的视觉冲击力和思考。尽管学生对于有些古英语理解的并

不深刻，或是用词典翻译出的个别句子和措辞不够准确，但是能看出学生在探讨过

程中有思考、有表达，在讨论与分享中真正感受到英文诗歌的魅力，课堂上荐诗汇

报时，有的小组分享在前期选材时各个成员就讨论了很久，每位同学各抒己见，最

后的 Discussion leader 综合大家的建议才定下的题材，大家主动查词完成任务，乐

在其中，对于各个小组课堂上的分享，学生感触最深的是同学之间合作探究学习的

快乐，并且从学生视角赏析古今中外的经典名篇，学生更容易理解与共鸣，学生对

于英语诗歌的热情被大大激发，活动效果远远超出预期。

在设计本次跨单元英文诗歌为主题的作业时，我本担心学生的能力水平有限，

或是有些学生会因为“花里胡哨”的作业不能促进他们个人分数的提升所以敷衍了

事，但是结果却让我倍感惊喜，个别学生刚开始是抗拒的，但是真正开始做后，一

点点被诗歌的魅力所感染，情不自禁的投入到活动中，激发了学习的内驱力，主动

查词，做分享，精心配图，甚至用海报软件来设计小组成果，在这一过程中，学生

开始追求音律美，意境美与设计美，从认识美、追求美到创造美，极大的提高了学

86

生的艺术审美和语言的综合素养，超出了本次作业设计的预期目的。

87

附件 1：

88

附件 2 Worksheet：

Write a poem: writing guide

I. Consider the following questions before writing a poem.

1. What kind of poem are you going to write?

2. What are the topics you would love to write about?

3. How will you inspire yourself to write the poem?

4. Will you use rhyming words in your poem? Why?

5. What kind of illustration will you choose to match your poem? Why?

II. The following points may help you write a poem.

⚫ Subject

⚫ Images

⚫ Tone

⚫ Rhythm and sounds

⚫ Feelings and emotions

⚫ Rhetorical devices

III. Write a poem and illustrate your poem.

附件 3 部分优秀诗作展：

List poems：

List

89

List poems

90

91

Cinquain 五行诗:

92

附件 4 Reading circle worksheet：

Recommend a poem

Class:___________Group:____________ Poem:_______________________________________

Word Master

Collect key phrases and sentences and do the sentence imitation.

Image Analyst

Find the images and analyze the hidden meaning.

Connector

Discussion Leader

Your task: Ask questions about the poem, discuss them in your reading circle and share your

own ideas.

Eg. What’s special about this poem? Why do we choose this poem?

Your report:

Word Master

Your task: Find the key expressions used in the poem and analyze their functions.

Your report:

Connector:

Your task:

Connect the poem with a book, the people around you or your own life experience etc.

Your report:

Passage person:

Your task:

Find the rhetorical devices used in the poem and analyze their functions.

Your report:

93

Summarizer:

Your task:

summarize the main idea and all the reasons for recommendation.

Your report:

Culture Connector:

Your task:

Connect the poem with Chinese culture and find out the similarities and differences.

Your report:

94

附件 5：优秀小组成果展示（部分）：

高二 8 班 郭芮含小组

95

高二 13 班 袁铱钒小组

Recommend a poem

Class:_____13____Group:___six________ Poem:_Like A Dream_______

Discussion Leader：梁睿熙

Your task: Ask questions about the poem, discuss them in your reading circle and share your own

ideas.

Eg. What’s special about this poem? Why do we choose this poem?

Your report:1.Why do we choose this poem?

2. Why did the poet write this poem?

3. What can we learn from the poem?

Word Master：孙浩翔

Your task: Find the key expressions/sentences used in the poem and appreciate language.

Your report:

dispel v.驱散，赶跑 Aftertaste n.回味，余韵 roll up 卷起 Crab n.坏脾气的人，蟹

Languish v.长期受折磨

The sentence we appreciate: sound sleep did not dispel the aftertaste of wine

But don’t you know don’t you know the red should languish and the green must grow

Connector:王倩

Your task:

Connect the poem with a book, the people around you or your own life experience etc.

Your report:

The phrase “how to cross”refers to the anxious mood of the rafters, trying to think of how to row th

e boat out of the lotus, just as we usually do not know how to do in the face of difficult things.

Passage person:徐嘉灿

Your task:

Find the rhetorical devices used in the poem and analyze their functions.

Your report: The poem uses the rhetorical devices of personification and

metonymy.The poet used “red”to indicate flowers and “green” to indicate leaves.The colors are in s

harp contrast. On the other hand, the poet used“fat”and“thin”which originally described people to d

escribe flowers and leaves. Such expressions are vivid and attractive.

96

Summarizer:袁铱钒

Your task:

Summarize the main idea and all the reasons for recommendation.

Your report:We recommend this poem for following reasons:First of all ,the poet of this poem Li

Qingzhao is one of the greatest ladies in Chinese history.Secondly,she used beautiful words to

describe her post-war life. After reading this poem,we can empathize with her,and we can also

understand the social poem at that time through this poem.

Culture Connector:杜云泽

Your task:

Connect the poem with Chinese culture and find out the similarities and differences.

Your report:

Both of them use antithetical rhetoric, vivid language, and simple words to describe the beauty of th

e environment and scenery, representing the great impact of the war and social unrest in ancient Chi

na on women.

Like A Dream

Last night the wind blew hard

and rain was fine.

Sound sleep did not dispel the aftertaste of wine.

I ask the maid rolling up the screen.

'The same crab-apple tree'

she says, “was seen”.

“But don’t you know

O don’t you know

The red should languish

and the green must grow.”

《如梦令》

Like A Dream

〔作〕李清照

昨夜雨疏风骤，

浓睡不消残酒。

试问卷帘人，

却道海棠依旧。

知否？

知否？

应是绿肥红瘦。