44

超越篇

1．装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中装的书一样多．第一次，他们领来这批书的

12

7 ，结果打了 14 个包还多 35 本．第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，

刚好又打了 11 包．请问：这批书共有多少本？

2．劳动小学五年级选出女生总人数的

11

1 和 22 名男生参加数学竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人

数的 2 倍，如果女生的总人数比男生的总人数多 2 人，那么劳动小学五年级共有多少人？

3．有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子，已知第一堆里的黑子和第二堆里

的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的

5

2 ．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几

分之几？

4．某工厂有 A、B、C、D、E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把 B 车间工人的

2

1 调入 A

车间，C 车间工人的

3

1 调入 B 车间，D 车间工人的

4

1 调入 C 车间，E 车间工人的

6

1 调入 D 车间，现

在五个车间都是 30 人．原来每个车间各有多少人？

45

5．从飞机的窗口向外望去，阿奇看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域．其中白云占去了窗

口画面的一半，它遮住了全部海岛的

4

1 ，因此海岛只占窗口画面的

4

1 ，请问：被白云遮住的那部分

海洋占窗口画面的几分之几？

6．有 A、B、C、D 四根材料相同的蜡烛，其中 A 和 B 一样粗，C 和 D 一样粗，A 和 C 一样长，B

和 D 一样长．把四根蜡烛同时点燃，过了 6 小时，D 首先烧完，此时 B 所剩长度是 C 的 2 倍；再过

l 小时 40 分钟，C 正好烧完．请问：A、B 还可以再燃烧多久？

7．如图 6-3 所示，两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上．一开始，长蜡烛

露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃 1 小时后，长蜡烛露出水面的部分与

短蜡烛总长度相等，已知蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的

9

1 ，那么

短蜡烛还可再烧多久，长蜡烛还可再烧多久？

8．甲、乙、丙三个好朋友去超市买了 100 元的商品．如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下

钱的

13

2

；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的

16

9

；如果丙付钱，丙用他的会员卡就

可以享受 9 折优惠，只需付 90 元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的

3

1 ，问：甲、乙、丙开始时

一共带了多少钱？

46

第 7 讲 行程问题四

内容概述

流水行船问题与环形问题．流水行船问题中，注意水速对实际速度的影响，初步了解速度的相

对性；环形问题中，注意相遇和追及的周期性．典型问题

提高篇

1．一条船顺流行驶 40 千米需要 2 小时．水流速度为每小时 2 千米．这条船逆流行驶 40 千米需要多

少小时？

2．7 两地相距 480 千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要 16 小时，逆流返回需

要 20 小时，该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？

3．A、B 两港相距 560 千米，甲船在两港间往返一次需 105 小时，其中逆流航行比顺流航行多用了

35 小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的 2 倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？

47

4．A、B 两个码头间的水路为 90 千米，其中 A 码头在上游，B 码头在下游，第一天，水速为每小

时 3 千米，甲、乙两船分别从 A、B 两码头同时起航同向而行，3 小时后乙船追上甲船，已知甲船的

静水速度为每小时 18 千米，乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水速变为每小时 5 千米，甲、

乙两船分别从 A、B 两码头同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？

5．一条小河流过 A、B、C 三镇，其中 A、B 两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时

11 千米；B、C 两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时 3：5 千米．已知 A、C 两镇水

路相距 45 千米，水流速度为每小时 1.5 千米．某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇，吃午饭用去 1 小时，

接着乘木船又顺流而下到 C 镇，共用了 7 小时．请问：A、B 两镇间的距离是多少于米？

6．甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，这条公路长 2400 米，甲骑一

圈需要 10 分钟．如果第一次相遇时甲骑了 1440 米，请问：乙骑一圈需要多少分钟？再过多久他们

第二次相遇？

7．甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟 300 米的速度从起点跑出．1 分钟后，乙

从起点同向跑出．又过了 5 分钟，甲追上乙．请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，

甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？

48

8．甲、乙两人在环形跑道上训练，他们从同一地点同时出发，背向而行．两人相遇后立即调头，继

续前进，一开始甲的速度是每分钟 160 米，乙的速度是每分钟 120 米，调头后甲的速度提高了一半，

乙的速度提高了三分之一．若跑道长 500 米，甲、乙两人第一次相遇地点与第二次相遇地点相距多

远？（环形路线上两点的距离指沿跑道的最短距离）

9．如图 7-1，四边形 ABCD 是一个边长为 100 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲沿逆时

针方向每分钟行 75 米，乙沿顺时针方向每分钟行 45 米．请问：两人第一次在 CD 边（不包括 C、D

两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？

10．如图 7-2，学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道，大跑道与小跑道有 200 米路程相重，甲

以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时

从两跑道的交点 A 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？

拓展篇

1．甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时 3 千米，乙河水速为每小时 2 千米．一艘船沿甲河顺水 7

小时后到达乙河，共航行 133 千米．这艘船在乙河逆水航行 84 千米，需要花多少小时？

49

2．一艘飞艇，顺风 6 小时行驶了 900 公里；在同样的风速下，逆风行驶 600 公里，也用了 6 小时．那

么在无风的时候，这艘飞艇行驶 1000 公里要用多少小时？

3．甲、乙两船分别从 A 港出发逆流而上驶向 180 千米外的 B 港，静水中甲船每小时航行 15 千米，

乙船每小时航行 12 千米，水流速度是每小时 3 千米．乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上

乙船的时候，甲已离开 A 港多少千米？若甲船到达廖港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚

才甲船追上乙船的地点多少千米？

4．轮船从 A 城行驶到 B 城需要 3 天，而从 B 城回到 A 城需要 4 天．请问：在 A 城放出一个无动力

的木筏，它漂到 B 城需多少天？

5．一艘游艇装满油，能够航行 180 个小时．已知游艇在静水中的速度为每小时 24 千米，水速为每

小时 4 千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且中途没有油料补给．请问：这艘游艇最

多能够开出多远？

50

6．某人在河里游泳，逆流而上．他在 A 处丢失一只水壶，向前又游了 20 分钟后，才发现丢了水壶，

立即返回追寻，在离 A 处 2 千米的地方追到．假定此人在静水中的游泳速度为每分钟 60 米，求水

流速度．

7．黑、白两只小猫在周长为 300 米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒 5 米，白猫的速度为每秒 7 米，

若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行．多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们继续不停跑

下去，2 分钟内一共相遇多少次？

8．在 400 米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，同向而行．4 分钟后，甲第

一次追上乙，又经过 10 分钟甲第二次追上乙．已知甲的速度是每秒 3 米，那么乙的速度是多少？A、

B 两地相距多少米？

9．有一个周长 40 米的圆形水池．甲沿着水池边散步，每秒钟走 1 米；乙沿着水池边跑步，每秒跑

3.5 米．甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行，当乙第 8 次追上甲时，他还需要跑多少米才能

回到出发点？

51

10．甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼，他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而行，当

乙走了 100 米时，他们第一次相遇．相遇后两人继续前进，在甲走完一周前 60 米处第二次相遇，求

这条圆形跑道的周长．

11．如图 7-3，甲、乙两辆汽车在周长为 360 米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶 20 米．它们分别

从相距 90 米的 A、B 两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到

达 B 点时，甲车经过 B 点后恰好又回到 A 点，此时甲车立即调头前进，乙车经过 B 点继续行驶，

请问：再过多少分钟甲车与乙车再次相遇？

12．如图 7-4，一个正方形房屋的边长为 10 米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺

时针方向前进．甲每秒行 5 米，乙每秒行 3 米．问：出发后经过多长时间甲第一次看见乙？

超越篇

1．甲、乙两艘游船顺水航行的速度均是每小时 7 千米，逆水航行的速度均是每小时 5 千米．现在甲、

乙两船从某地同时出发，甲先逆流而上再顺流而下，乙先顺流而下再逆流而上，1 小时后它们都回

到了出发点．请问：在这 1 小时内有多少分钟两船的行进方向相同？

52

2．甲、乙两船分别在一条河的 A、B 两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上．相遇时，

甲、乙两船的航程是相等的，相遇后两船继续前进．甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原

来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000 米，如果从两船第一次相遇到第二次相遇

间隔 1 小时 20 分，那么河水的流速为每小时多少千米？

3．一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游 50 千米处，一艘客船和一艘货船分别从甲、

乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同，客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分

钟后此物品距客船 5 千米，客船在行驶 20 千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇，求水流

的速度．

4．在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，反向而行．6 分钟后两人相遇，再

过 4 分钟甲到达 B 点，又过 8 分钟两人再次相遇，甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？

5．有一条长度为 4200 米的环形车道，甲车从 A 点出发 35 秒后，乙车从 A 点反向出发，两车在 B

点第一次迎面相遇，如果乙车出发的时候变换方向，即出发的时候和甲车保持同向，那么乙车将行

驶完一圈之前追上甲车，并且追上甲车的地点恰好还在 B 点．乙车追上甲车之后立刻折返，甲车继

续前进，那么两车会在距离 A 点 300 米的地方迎面相遇．求乙车的速度．

53

6．如图 7-5，8 时 10 分，甲、乙两人分别从相距 60 米的 A、B 两地出发，按顺时针方向沿长方形

ABCD 的边走向 D 点，甲、乙两人的速度相同．甲 8 时 20 分到 D 点后，丙、丁两人立即从 D 点出

发．丙由 D 向 A 走去，8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追上．丙、

丁两人的速度也相同．问：三角形 BEF 的面积是多少平方米？

7．A 地位于河流的上游，B 地位于河流的下游．每天早上，甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发相

向而行，从 12 月 1 号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的 1.5 倍，这时两

船的相遇地点与平时相比变化了 1 千米．由于天气原因，今天（12 月 6 号）的水速变为平时的 2 倍．试

问：今天两船的相遇地点与 12 月 2 号相比，将变化多少千米？

8．有甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛．如图 7-6，赛道是在河中央的长方形 ABCD，其中，

AD=100 米，AB= 80 米．已知水流从左到右，速度为每秒 l 米．甲、乙两名选手从 A 处同时出发，

甲沿 A→B→C→D→A 的方向划行，乙沿 A→D→C→B→A 的方向划行，若已知甲船在静水中的速

度比乙船在静水中的速度每秒快 1 米（注：两船在 AB 和 CD 上的划行速度视为静水速度），且两人

第一次相遇在图中 CD 的 P 处，且 CP= 4

1

CD．问：在比赛开始 5 分钟内两人一共相遇多少次？

54

第 8 讲 直线形计算二

内容概述

进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化；初步

学习添加辅助线的分析方法．典型问题

提高篇

1．如图 8-1，四边形 ABCD 是直角梯形，其中 AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），

且三角形 ADE、四边形 DEBF、三角形 CDF 的面积相等，阴影三角形 DEF 的面积是多少平方厘米？

2．一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图 8-2 所示（单位：平方米），剩

下一块的面积应该是多少平方米？

3．如图 8-3，在三角形 ABC 中，BC 是 DC 的 3 倍，AC 是 EC 的 3 倍，三角形 DEC 的面积是 3 平

方厘米．请问：三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？

55

4．如图 8-4，E 是 BC 上靠近 C 的三等分点，且 ED 是 AD 的 2 倍，三角形 ABC 的面积为 36 平方

厘水．三角形 BDE 的面积是多少平方厘米？

5．如图 8-5 所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近日点的四等分点，

三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？

6．如图 8-6，已知平行四边形 ABCD 的面积为 36，三角形 AOD 的面积为 8．三角形 BOC 的面积为

多少？

7．如图 8-7，长方形 ABCD 的面积是 96 平方厘米，E 是 AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是 CD 上

靠近 C 点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？

56

8．如图 8-8，将一个长为 18 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的 5

倍．三角形 ABE 的边 BE 的长是多少？

9．如图 8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米，结果面积增加了 71 平方厘米（阴影部

分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

10．如图 8-10，四边形 ABCD 内有一点 D，D 点到四条边的垂线都是 4 厘米，四边形的周长是 36

厘米，四边形的面积是多少平方厘米？

拓展篇

1．如图 8-11，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米．其

余 4 个长方形的面积分别是多少平方米？

57

2．图 8-12 中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 是 AE 的 3 倍，三角形 ABE

的面积是多少平方厘米？

3．如图 8-13，在四边形 ABCD 中，已知 CD=3DF，AE=3ED，而且三角形 BFC 的面积为 6 平方厘

米，四边形 BEDF 的面积为 7 平方厘米．大四边形 ABCD 的面积是多少？

4．如图 8-14，把三角形 DEF 的各边向外延长 1 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为 1．三

角形 DEF 的面积是多少？

5．如图 8-15，E 是 AB 边上靠近 A 点的三等分点，梯形 ABCD 的面积是三角形 AEC 面积的 5 倍．请

问：梯形的下底长是上底长的几倍？

58

6．如图 8-16，一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是 9 平方厘米，黄色三

角形的面积是 21 平方厘米，绿色三角形的面积是 10 平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方

厘米？

7．图 8-17 中，正方形 ABCD 的面积为 1．把每条边都 3 等分，然后将这 8 个等分点与正方形内部

的某一点 P 相连接，形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形，阴影部分的总面积是多少？

8．如图 8-18，在梯形 ABCD 中，E 是 AB 的中点．已知梯形 ABCD 的面积为 35 平方厘米，三角形

ABD 的面积为 13 平方厘米．三角形 BCE 的面积为多少平方厘米？

9．在图 8-19 中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4．三角形

ACG 和三角形 BDF 的面积分别是多少？

59

10．图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米、8 厘米的正方形构成，有一条与 AB 边平行的直线

EF 将此图形分成面积相等的两部分，那么 BF 的长度为多少厘米？

11．(1)如 8-21 中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米，结果面积增加了

50 平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

(2)如 8-21 中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少 3 厘米和 5 厘米，结果面积减少了 65 平

方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

12.如图 8-22，直角三角形 ABC 套住了一个正方形 CDEF，E 点恰好在 AB 边上，直角边 AC 长 20 厘米，

BC 长 12 厘米．正方形的边长为多少厘米？

超越篇

1．如图 8-23，三角形 ABC 的每边长都是 96 厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角

形．请求出 CE 和 CF 的长度之和．

60

2．如图 8 -24，把四边形 ABCD 的各边都延长 1 倍，得到一个新四边形 EFGH.如果 ABCD 的面积是

5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米？

3．图 8-25 中 ABCD 是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段 IM 将五边

形 EFGHI 分成面积相等的两部分．线段 BM 的长度是多少厘米？

4．如图 8 -26，在钝角三角形 ABC 中，M 为 AB 边的中点，MD、EC 都垂直于 BC 边．若三角形

BDE 的面积是 3 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？

5．在图 8 -27 中，大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？

61

6．如图 8-28，直角三角形 ABC 的三边长分别为 AC= 30（分米），AB=18（分米），BC= 24（分米），

ED 垂直于 AC，且 ED= 95（厘米）．问正方形 BFEG 的边长是多少厘米？

7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分胜负．突然，

菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪

开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半，如图 8-29，菜鸟的飞

镖是正六角星的形状，边长为 5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体

面积的几分之几？

8．如图 8-30，将三个边长为 l 的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方

形的中心．请问：图中阴影部分的面积是多少？

62

第 9 讲 比较与估算

内容概述

与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之间的比较．需要进行估算

的计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算的关键是进行恰当的放缩．典型问题

提高篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：  23

31

; (3)1.347

7

3

; (2)0.423

19

7

(1)0.375与  与 与

2．有 8 个数，

25

13

47

24

0.51

9

5

3

2

0.5

1

、 、、 、 、 是其中的 6 个，如果按从小到大的顺序排列，第 4 个数是0.51

 ，

那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数？

3．在不等式

4

3

□

5

3

2

  的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．

4．在大于

7

1 且小于

11

3 的最简真分数中，分子不超过 3 的共有多少个？

63

5． , 33

1

7

1

, 31

1

9

1

, 26

1

14

1

, 27

1

13

1

, 29

1

11

1 A   B   C   D   E   请将 A、B、C、D、E 按从小

到大的顺序排列起来．

6．下面的 4 个算式中，哪个算式的结果最大？

) 30; 29

1

24

1

) 20; ( 19

1

17

1 ①(   ②   ) 50. 47

1

41

1

) 40; ( 37

1

31

1 ③(   ④  

7．计算 0.16 0.142857 0.125 0.1,        结果保留三位小数．

8．某次考试中，13 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 85.4，且每名同学的得分都是整数，

请问：这 13 名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？

9．求下述算式计算结果的整数部分： ) 385. 13

1

11

1

7

1

5

1

3

1

2

1

(      

64

10．算式

110

10

11

102

10

3

101

10

2

100

10

1    的计算结果的整数部分是多少？

拓展篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：  2008

1949

;(3)0.97

37

15

;(2)0.409

19

3

(1)0.1

35

  与 与

2．现有 7 个数，其中 5 个是 , 273

37

, 3.15, 3

37

116

, 7

1

3.14, 3

 如果将这 7 个数按照从小到大排列，第

三个数是

37

116 ．请问：位于中间的数是多少？

3．在下面 9 个分数算式中：

; 20

7

7

3

; 20

6

6

3

; 20

5

5

3 ①  ②  ③  ; 20

10

10

3

; 20

9

9

3

; 20

8

8

3 ④  ⑤  ⑥ 

    20

13

13

3

; 20

12

12

3

; 20

11

11

3 ⑦ ⑧ ⑨ 第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？

65

4．从所有分母小于 10 的真分数中，找出一个最接近 0.618 的分数．

5．在不等式

17

4

□

23

22

5

  的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少种不同的填法？

6． , 30

29

, , 1.65

30

3

, 1.65

30

2

, 1.65

30

1

1.65, 1.65      这 30 个数的整数部分之和是多少？

7．算式

20

1

19

1

13

1

12

1

11

1

    计算结果的整数部分是多少？

8．算式

16

1

15

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1      计算结果的整数部分是多少？

66

9．(1)算式 33.333×33.333 计算结果的整数部分是多少？

(2)算式 333.33×333.33 计算结果的整数部分是多少？

10．将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是 7 和 9．这两个小数乘积的整数部分共有

多少种可能的取值？

11．有一道题目要求 17 个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是 11. 28，老师说

这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？

12．有一 个算式 0.658

□

1

□

1

□

1

   算式左边的方框各代表一个一位数，右边的结果为四舍五入

到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？

67

超越篇

1．算式

29

1

28

1

11

1

10

1

1

  

计算结果的整数部分是多少？

2．算式 5. 285714×4.9×3. 857142 计算结果的整数部分是多少？

3．在算式 1

□

4

□

1

  中，方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是多少？并说

明理由．

4．两个小数相乘，乘积四舍五人以后是 22.5 这两个数都只有一位小数，且整数部分都是 4．请问：

这两个数的乘积四舍五人前是多少？

68

5．老师在黑板上从 1 开始写了若干个连续自然数：l，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，计算剩

下数的平均数保留两位小数后是 12.52 老师擦掉的数是多少？

6．某天中午，3 个老师买盒饭吃．如果买 4 盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．此时又来

了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果再多买几盒盒饭后，

不多不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了多少位老师？

7．请比较

1983

1984

4

5

3

4

2

3

1

2

2008

2007

4

3

3

2

2

1

1    与     的大小

8．小姚计算 27 个正整数的平均数，保留六位小数后为 8. 329610，老师说结果中某些数字肯定是错

的，那么小姚至少算错了几个数字？此时正确的平均数是多少？

69

第 10 讲 几何计数

内容概述

合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分

类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算．典型问题

提高篇

1．如图 10-1，线段 AB、BC、CD、DE 的长度都是 3 厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线

段的长度之和是多少厘米？

2．小明把巧克力棒摆成了如图 10-2 所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：

(1)一共有多少个巧克力棒？ (2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？

(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

3．如图 10-3，它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以

拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？

70

4．如图 104 和 10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？

5．如图 10-6，在一个 4x4 的方格表中，共有多少个正方形？

6．如图 10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？

7．如图 10-8，AB、CD、EF、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

8．如图 10-9，125 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小

立方体有多少个？

71

9．如图 10-10，木板上钉着 12 枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同

的三角形？

10．如图 10-11，在 2x3 的长方形中，每个小正方形的面积都是 1．请问：以 A、B、C、D、E、，、G

为顶点且面积为 1 的三角形共有多少个？

拓展篇

1．如图 10-12，数一数，图中有多少个三角形？

2．如图 10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．

72

3．如图 10-14，数一数，图中有多少个三角形？

4．如图 10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）

5．如图 10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱

形．数一数，图中共有多少个菱形？

6．如图 10-17，这是一个长为 9，宽为 4 的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：

(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？

73

7．如图 10-18，数一数，图中共有多少个长方形？

8．如图 10-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？

9．如图 10-20，18 个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多少个梯形？

10．如图 10-21，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？

11．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如

圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图 10-22 中，共有多少个不同的曲边形？

74

12．如图 10-23，一个 2×3 的网格中，每个小正方形的面积都是 1．以这些格点为顶点，可以连成多

少个面积为 l 的三角形？

超越篇

1．图 10-24 是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三

角形）?

2．如图 10-25，数一数，图中共有多少个三角形？

3．如图 10-26，这是一个 4x8 的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：

(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？

4．如图 10-27，在图中的 3×3 正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A，B，C 这 3 个点都是

格点，那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？

75

5．如图 10-28，用 12 个点将圆周 12 等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？

6．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、

半圆、扇形等都是曲边形，在图 10-29 中，共有多少个不同的曲边形？

7．如图 10-30，木板上钉着 16 枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的

等腰三角形？

8．如图 10-31，在 3×3 的方格表内，每个小正方形的面积均为 1．请问：

(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 4 的三角形？

(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 3 的三角形？

(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 1.5 的三角形？

76

第 11 讲 约数与倍数

内容概述

掌握约数与倍数的概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的

常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题．典型问题

提高篇

1．(1)请写出 105 的所有约数；(2)请写出 72 的所有约数．

2．(1) 20000 的约数有多少个？(2) 720 的约数有多少个？

3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].

4．两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？

77

5．(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； (2)求 3553，3910 和 1411 的最大公约数．

6．教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这

些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？

7．一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种

树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？

8．甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90.如果甲数是 18，那么乙数是多少？

9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27 倍．已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16

的倍数，但不是 18 的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？

78

10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数

是 70.这三个数的和可能是多少？

拓展篇

1．72 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？

2．5400 共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．

3．两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1．这两个数分别是多少？

4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].

79

5．1547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？

6．张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和

6 个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？

7．一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80.这个数是多少？

8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216.这两个数分别是多少？

9．两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？

80

10．有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？

11．甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数的最小公

倍数是 126.请问：甲数是多少？

12．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数 2 和 3，并且都有 12 个约数，它们的最大公

约数是 12.请问：甲、乙两数之和是多少？

超越篇

1．360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？

2．求出所有恰好含有 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．

81

3．已知口与易的最大公约数是 4，以与 c、易与 c 的最小公倍数都是 100，而且 a ≤ b．满足条件的

自然数 a、b、c 共有多少组？

4．所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？

5．自然数 n 是 1，2，3，…，10 的公倍数，而且它恰有 72 个约数，n 的最小值是多少？

6．三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长

5

1 千米，中圈跑道长

4

1 千米，外圈跑道长

8

3 千米．甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正

东方向，甲每小时跑 3

2

1 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米．他们同时出发．请问：几

小时后，三人第一次同时回到出发点？

82

7．如图 11-1，在一个 600×600 的方格表 ABCD 中，将 AB 与线段 CD 上除端点外的所有格点 N1，

N2，N3，…，N599分别相连，得到 599 条线段．请问，在这些线段中：

(1)不会与其他格点相交的线段共有多少条？

(2)经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）?

(3)除去端点，还恰好经过 29 个格点的直线有多少条？

8．有些自然数等于自身约数个数的平方，例如 l 和 9 都具有此性质，请问：是否还有其他自然数具

有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由．

83

第 12 讲 余数

内容概述

掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、

可减性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题

提高篇

1. 72 除以一个数，余数是 7．商可能是多少？

2. 100 和 84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 0．这个除数可能是多少？

3. 20080808 除以 9 的余数是多少？除以 8 和 25 的余数分别是多少？除以 11 的余数是多少？

4. 4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数

是他们号码的和除以 3 所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？

84

5．某工厂有 128 名工人生产零件，他们每个月工作 23 天，在工作期间每人每天可以生产 300 个零

件．月底将这些零件按 17 个一包的规格打包，发现最后一包不够 17 个．请问：最后一包有多少个

零件？

6．(1) 2

20除以 7 的余数是多少？(2) 14

14除以 11 的余数是多少？(3) 28

121除以 13 的余数是多少？

7．

10 8

8 8 8

8 8 8 个

  

      除以 5 的余数是多少？

8．一个三位数除以 21 余 17，除以 20 也余 17.这个数最小是多少？

9．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？

85

10．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最后一名

同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是 11.请问：

一共有多少名小朋友？

拓展篇

1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．

2．(1)  

21 421

421421 421

个

除以 4 和 125 的余数分别是多少？

(2)  

21 808

808808 808

个

除以 9 和 11 的余数分别是多少？

3．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包的规格打

包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？

86

4．自然数 2 2 2 2 1

67 2  个

的个位数字是多少？

5．算式

2007 2007 2007 2007 1  2  3  2006 计算结果的个位数是多少？

6．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？

7．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？

8．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果

每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么

最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？

87

9．  

123 123

123123 123

个

除以 99 的余数是多少？

10．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请

问：剩下个数最多的水果剩下多少个？

11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．

12．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一

次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？

88

超越篇

1．从 l 依次写到 99，可以组成一个多位数 12345…979899.这个多位数除以 11 的余数是多少？

2．算式  

2008 7

7 7 7 7 7 7

个

       计算结果的末两位数字是多少？

3．算式1357 2007 计算结果的末两位数字是多少？

4．有 5000 多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩 9 根；如果 9 根一包，

最后还剩 8 根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根．原来一共有牙签多

少根？

89

5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 5、7、9 的倍数，这三个连续自然数最小是多少？

6．请找出所有的三位数，使它除以 7、11、13 的余数之和尽可能大．

7．已知 21! AB0909421717094CD000.那么四位数 ABCD 是多少？

8．有一些自然数 n，满足：2n - n 是 3 的倍数，3n - n 是 5 的倍数，5n - n 是 2 的倍数，请问：这样

的，n 中最小的是多少？

90

第 13 讲 数字谜综合一

内容概述

涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题．典型问题

提高篇

1．有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位

数相加，得数是 4003.64 求这个四位数．

2．试将 1、2、3、4、5、6、7 分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位

数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质．已知其

中一个三位数已填好，它是 714，求另外两个数．

3．用 1 至 9 这 9 个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？

91

4．如图 13-!，4 个小三角形的顶点处有 6 个圆圈，在这些圆圈中分别填上 6 个质数（可以重复），使

得它们的和是 20，而且每个小三角形 3 个顶点上的数之和相等，请问：这 6 个质数的乘积是多少？

5．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数

之差是 1023.请问：此算式中的 4 个数之和最大可能是多少？

6．在乘法算式“迎杯春杯  好好好 ”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同

的数字．请问：“迎+春+杯+好”等于多少？

7．将 1 至 9 这 9 个数填入下面算式中的 9 个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立．

口口口×口口=口口×口口=5568

92

8．循环小数 AB 0. 化成最简分数后，分子与分母之和为 40，那么 A 和 B 分别是多少？

9．在算式“   7 金杯

竞赛

华罗庚

数学 ”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表

数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9．已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来．

10．已知“ BAD  BAD  GOOD ”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不

同的字母代表不同的数字，已知 GOOD 不是 8 的倍数．请问：ABGD 代表的四位数是什么？

拓展篇

1．[4.2×5 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7)] + 0.04=100.改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？

93

2．用 0 至 9 这 10 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），

且这四个数两两互质．其中的四位数是 2940，另外三个数可能是多少？

3．数数科学  学数学．在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数

字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？

4．在等式“口△×△口×口 O×◇△=口△口△口△”中，口、△、O、◇分别代表不同的数字．四位

数口△ O◇ 是多少？

5．将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字分别填人下式的各个方框中，使等式成立：口口×口

口=口口×口口口=3634.