考向3动量定理与图像的综合应用

例6（多选）（2024·全国甲卷）蹦床运动中，体重为 60~kg 的运动员在 t=0 时刚好落到蹦床上，对蹦床作用力大小 F 与时间 t 的关系如图所示.假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时蹦床水平.忽略空气阻力，重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} .下列说法正确的是( ）

A. t=0,15 s时，运动员的重力势能最大B. t=0.~30~s 时，运动员的速度大小为 10~m/s C. t=1, 00 s时，运动员恰好运动到最大高度处D.运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为 4 600 N

听课笔记

考向4动量定理用于多过程问题

例7将质量为 m=1~{kg} 的物块置于水平地面上,已知物块与水平地面间的动摩擦因数为 \mu= 0.5，现在物块上施加一个平行于水平地面的恒力 F=10 ~N~ ，物块由静止开始运动，作用4s后撤去 F .已知重力加速度大小 g 取 10~m/s^{2} ，对于物块从静止开始运动到物块停下这一过程，下列说法正确的是 ( ）

A.整个过程物块运动的时间为6 sB.整个过程物块运动的时间为8sC.整个过程中物块的位移大小为 40 rm{m} D.整个过程中物块的位移大小为 60 ~m~ 听课笔记

题后感悟

用动量定理解题的基本思路

练2（2024·广东卷）汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置.

(1)安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示.在水平路面上刹车的过程中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度 a ，同时顶起敏感臂，使之处于水平状态，并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带.此时敏感臂对敏感球的压力大小为 F_{N} ,敏感球的质量为 m ,重力加速度大小为 _{g} .忽略敏感球受到的摩擦力.求斜面倾角的正切值tan θ

甲

(2)如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为 H 处做自由落体运动，与正下方的气囊发生碰撞.以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力 F 随时间 t 的变化规律，可近似用图丙所示的图像描述.已知头锤质量为 m^{\prime}=30\;~kg~ ， H= 3, 2 ~m~ ，重力加速度大小 _{g} 取 10~{m/s^{2}} .求：

乙

丙

① 碰撞过程中 F 的冲量大小和方向；

⊚ 碰撞结束后头锤上升的最大高度.

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

应用动量定理处理流体类问题

典例1 （2025·山东潍坊市一模)“水刀”是一种应用高压水流切割的技术，相比于激光切割其具有切割材料范围广、效率高、安全环保等优势.某型号“水刀”工作过程中，将水从面积 S= 0. 1\mm^{2} 的细喷嘴高速喷出，直接打在被切割材料表面，从而产生极大压强，实现切割.已知该“水刀"每分钟用水 600\ g 水的密度 \rho=1.~0x10^{3}~{kg/m^{3}} ,假设高速水流垂直打在材料表面上后，立刻沿材料表面散开没有反弹，则水对垂直于材料表面方向的压强 \boldsymbol{\rho} 为（）

A. 1.~0x10^{5} Pa B. 1. 0x10^{6} PaC .1.\ 0x10^{7} Pa D. 1. 0x10^{8} Pa听课笔记典例2 北京时间2024年4月26日，3时32分，“神舟十八号”载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口,3名航天员随后将从“神舟十八号”载人飞船进入空间站一—“天和”核心舱.若空间站运行轨道上存在密度为 \rho 的均匀稀薄静态气体，为了维持空间站长期在固定轨道上做匀速圆周运动，需要对空间站施加一个与速度方向相同的动力.已知中国空间站离地高度为 h ,地球半径为 R ,地球表面的重力加速度大小为 _{g} ,空间站在垂直速度方向的截面积为S.若稀薄气体碰到空间站后立刻与空间站速度相同，则发动机需要对空间站施加的推力大小为

A. (\rho S g R^{2})/(R{+)h} pgR2B.(R+h)SgR2 gR2R+h D. p²S R+h听课笔记

第 2 讲动量守恒定律及其基本应用

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、动量守恒定律

1.内容：如果一个系统 ，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变.

二、适用条件

2.三种表达式：

(1)p=p^{\prime} ,系统相互作用前的总动量 \boldsymbol{\rho}
相互作用后的总动量 \boldsymbol{p}^{\prime} .在两个物体组成的系统中 m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=. ,即作用前的动量之和等于作用后的动量之和.
( 2 )\Delta\rho_{1}= ,即相互作用的两个物体动量的增量等大反向.
(3) \Delta p=p^{\prime}-p=0 ,即系统总动量的增量为

1.理想守恒：系统不受外力或所受 为 零，则系统动量守恒.

2.近似守恒：系统受到的外力的矢量和不为零，但当所受的内力 合外力时，系统的动量可近似看成守恒.注意：合外力的冲量在相互作用的极短时间内忽略不计.
3.某方向上动量守恒：系统在某个方向上所受为零或该方向满足 F_{\mathbb{H}}\ggF_{H} 时，系统在该方向上动量守恒.

三、应用动量守恒定律的注意点

1.矢量性：动量守恒定律的表达式为矢量方程，解 题时一定要统一正方向.

2.同时性:动量是一个瞬时量，表达式中的 P_{1} ,P_{2} 是系统中各物体在相互作用中同一时刻的动量，\boldsymbol{\phi}^{\prime}_{1}*\boldsymbol{p}^{\prime}_{2} ·也是系统中各物体在相互作用中另一时刻的动量.

考教衔接

1.【链接·人教版选择性必修第一册P29第7题，两题的创设情境及解题思维方法类似.】

(2022·北京卷，10）质量为 m_{1} 和 m_{2} 的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标 \boldsymbol{\mathscr{x}} 随时间 t 变化的图像如图所示.下列说法正确的是 ( ）

A.碰撞前 m_{2} 的速率大于m_{1} 的速率
B.碰撞后 m_{2} 的速率大于 m_{1} 的速率
C.碰撞后 m_{2} 的动量大于 m_{1} 的动量
D.碰撞后 m_{2} 的动能小于 m_{1} 的动能

感悟思考

2.【2024年江苏卷第9题与2021年全国乙卷第14题一样，都考查了系统动量守恒问题，都要对含弹簧的系统进行动量是否守恒的判断】

(2024·江苏卷，9)在水平面上有一个U形滑板A ,A 的上表面有一个静止的物体 B ，左侧用轻弹簧连接在物体 A 的左侧，右侧用一根细绳连接在物体 A 的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，剪断细绳后，则 (）

A.弹簧原长时 B 动量最大B.弹簧压缩最短时动能最大C.系统动量变大
D.系统机械能变大

感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准

考点一 动量守恒定律的理解和基本应用

考向1动量守恒定律条件的理解

例1 （多选)如图所示， A,B 两木块紧靠在一起且静止于 A B 光滑水平面上，木块 C 以一定的初速度 {\boldsymbol{v}}_{0} 从 A 的左端开始向右滑行，最后停在 B 木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是

A.当 C 在 A 上滑行时， .A,C 组成的系统动量守恒B.当 C 在 B 上滑行时， .B.C 组成的系统动量守恒C.无论 C 是在 A 上滑行还是在 B 上滑行， A,B C 三木块组成的系统动量都守恒D.当 C 在 B 上滑行时 ,A,B,C 组成的系统动量守恒

题后感悟

判断动量是否守恒的注意点

(1)对于同一个系统，在不同物理过程中动量守恒情况有可能不同.

(2)同一物理过程中，选不同的系统为研究对象，动量守恒情况也往往不同.

考向2动量守恒定律的基本应用

例2随着机动车数量的增加,交通安全问题日益凸显，分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命.已知某限速 60~ km/h 的平直公路上，一辆质量为 m_{1}=800~kg 的汽车 A 以速度 v_{1} {=} 15 ~m/s~ 沿平直公路行驶时，驾驶员发现前方不远处有一质量 m_{2}=1~200~kg 的汽车 B 以速度 {\boldsymbol{v}}_{2} 迎面驶来，两车立即同时急刹车，使车做匀减速运动，但两车仍在开始刹车 t=1 s后猛烈地相撞，相撞后结合在一起再沿 B 车原行驶方向滑行 6 rm{m} 后停下，设两车与路面间动摩擦因数\mu=0,3 ,重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} ,忽略碰撞过程中路面摩擦力的冲量，求：

(1)两车碰撞后刚结合在一起时的速度大小；(2)求 B 车刹车前的速度，并判断 B 车是否超速.试答

考向3动量守恒中的临界极值问题

例3如图所示,甲车质量为 m ,在车上有质量为 2m 的人，甲车（连同车上的人)从足够长的斜坡上高 h 处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量为 2m 的乙车正以速度 \upsilon_{0} 迎面滑来.为了避免两车发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，则人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？已知 h=(2v_{0}^{2})/(g) ,不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看成质点.

试答

题后感悟

应用动量守恒定律解题的基本思路

练1（2025·福建三明模拟)甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑的水平冰面上匀速相向行驶，速度大小均为 v_{0} {=} 6 ~m/s~ ，甲小孩所在小车上有质量为 m=1~kg 的小球若干个，甲和他的小车及小车上小球的总质量为 m_{1}=50 \kg ,乙和他的小车的总质量为 m_{2}=30 \log. .为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面为 v^{\prime} {=} 16.\;5 ~m/s 的水平速度抛向乙，且被乙接住，假如某一次甲将小球抛出且被乙接住后，刚好可保证两车不相撞.则甲总共抛出的小球个数是 ）

A.12 B.13 C.14 D.15

考点二 碰撞模型

1.碰撞的基本规律

2.熟记三个结论

(1)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：
v_{1}=(m_{1}-m_{2})/(m_{1)+m_{2}}v_{0} ,v_{2}=(2m_{1})/(m_{1)+m_{2}}v_{0}.
(2)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两球质量相等时,两球碰撞后交换速度;当 m_{1}\ggm_{2} ,且 \upsilon_{2 0} =0 时，碰后质量大的速率不变，质量小的速率为2{\upsilon}_{0} .当 m_{1}\llm_{2} ，且 v_{2 0}=0 时，碰后质量大的速率不变(仍静止),质量小的球原速率反弹.
(3)发生完全非弹性碰撞后两物体共速，动能损失最多.

考向1碰撞的可能性

例＋如图为某运动员正在准备击球，设在某一杆击球过程中，白色球(主球)和花色球碰撞前后都在同一直线上运动，碰前白色球 A 的动量 \phi_{A}=5\;kg*m/s ,花色球 B 静止,碰后花色球 B 的动量变为 \rho^{\prime}{}_{B} {=} 4~kg*m/s 则两球质量 m_{A} 与 m_{B} 间的关系可能是（）

A.mB m_{B}=/16m_{A} B.\ m_{B}=(1)/(4)m_{A} C. m_{B}=2m_{A} D. m_{B} {=} 5m_{A} 听课笔记

考向2弹性碰撞

例5（多选)（2024·广西卷）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球 M 和 N,M 水平向右运动，速度大小为 \upsilon,M 与静置于平台边缘的 N 发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒.若不计空气阻力,则碰撞后， N 在 (

A.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动B.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动C.水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于 \upsilon D.水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于 \boldsymbol{v} 听课笔记

考向3完全非弹性碰撞

例6如图所示,光滑水 \begin{array}{r l}{\lefteqn{\prod C\Big\vert^{\upsilon_{0}}\star\prod_{A=1}^{A}}}&{{}}\end{array} mmmm平面上依次有滑块 C 质量 m_{C}=2~kg ,滑块 A 质量 m_{A}=3~kg ,滑块 B 质量 m_{B}=3~kg. .开始时 A B 静止， C 以初速度 v_{0} {=} 10 ~m/s~ 的速度冲向 A ，与 A 发生弹性碰撞，碰撞后 A 继续向右运动，与B 发生碰撞并粘在一起.求：(1)C与 A 碰撞后 A 的速度大小;({2})A 与 B 碰撞过程中损失的机械能.试答

练2（多选）（2025·八省联考云南卷）如图甲所示，内表面光滑的“”形槽固定在水平地面上，完全相同的两物块 a,b （可视为质点）置于槽的底部中点， t=0 时， a ,b 分别以速度 \upsilon_{1}\setminus v_{2} 向相反方向运动，已知 b 开始运动速度 V 随时间 t 的变化关系如图乙所示，所有的碰撞均视为弹性碰撞且碰撞时间极短，下列说法正确的是（）

A.前17秒内 a 与 b 共碰撞3次B.初始时 a 的速度大小为 1 rm{m}/rm{s} C.前17秒内 b 与槽的侧壁碰撞3次D.槽内底部长为 10 ~m~

考点三 爆炸、反冲运动

1.爆炸现象的三个规律

2.反冲运动的两大规律

例7（爆炸模型）(多选)一个质量为 m 的小型炸弹自水平地面朝右上方射出，在最高点以水平向右的速度 \boldsymbol{v} 飞行时，突然爆炸为质量相等的甲、乙、丙三块弹片，如图所示.爆炸之后乙自静止自由下落，丙沿原路径回到原射出点.若忽略空气阻力，释放的化学能全部转化为动能，则下列说法正确的是 (

A.爆炸后乙落地的时间最长

B.爆炸后甲落地的时间最长
C.甲、丙落地点到乙落地点 O 的距离比为 4:1
D.爆炸过程释放的化学能为7²
听课笔记

练3（反冲运动)在空间技术发展过程中，喷气背包曾经作为宇航员舱外活动的主要动力装置，它能让宇航员保持较高的机动性.如图所示，宇航员在距离空间站舱门为 ^{d} 的位置与空间站保持相对静止，启动喷气背包，压缩气体通过横截面积为 S 的喷口以速度 \upsilon_{1} 持续喷出，宇航员到达舱门时的速度为 {\boldsymbol{v}}_{2} .若宇航员连同整套舱外太空服的质量为 m_{0} ，不计喷出气体后宇航员和装备质量的变化，忽略宇航员的速度对喷气速度的影响以及喷气过程中压缩气体密度的变化，则喷出压缩气体的密度为 ( ）

2mov² (m_{0} v_{1}^{2})/(2S d v_{2)^{2}} A. B. Sdu2 (2m_{0}v_{2}^{2})/(S d v_{1)^{2}} D’ (m_{0} v_{2}^{2})/(2S d v_{1)^{2}}

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

“人船模型”及其拓展模型的应用

1.人船模型条件及特点

试答

2.“人船模型”的拓展（某一方向动量守恒）

典例1（“人船”模型）（2024·河北卷，节选）如图，三块厚度相同、质量相等的木板 A,B,C\prime （上表面均粗糙)并排静止在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于 A 木板左端.已知三块木板质量均为 2.~0~kg,A 木板长度为 2, 0 m ，机器人质量为 6.\;0\;{kg} ，重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} ，忽略空气阻力.

(1)机器人从 A 木板左端走到 A 木板右端时，求 A、B木板间的水平距离.

(2)机器人走到 A 木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A木板右端跳到B木板左端，求起跳过程中机器人做的功及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值.

典例2（“人船模型”的拓展）如图所示，质量为m_{0} {=} 4~kg 的小车静止在光滑水平面上,小车 A B 段是半径为 R=1 ~m~ 的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为 L 的粗糙水平轨道，两段轨道相切于 B 点.一质量为 m=1~kg 的可视为质点的滑块从小车上的 A 点由静止开始沿 A B 轨道下滑，然后滑人 B C 轨道，最后恰好停在 C 点，滑块与 B C 轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} ，则 （）

A.整个过程中滑块和小车组成的系统动量守恒B.滑块由 A 滑到 B 过程中，滑块的机械能守恒C.BC段长 L=1 rm{m} D.全过程小车相对地面的位移大小为 0, 6 ~m~ 听课笔记

专题强化八 四种“类碰撞”典型模型

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

模型一 子弹打木块模型

1.模型图示

试答

水平地面光滑

2.模型特点

(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒.
(2)系统的机械能有损失.

3.两种情景

(1)子弹嵌人木块中，两者速度相等，机械能损失
最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒： m v_{0}=(m+m_{0})v
能量守恒： \stackrel{}{Q}=F_{f}\bullet\boldsymbol{s}=(1)/(2)m\boldsymbol{v}_{0}^{2}-(1)/(2)(m_{0}+m)\boldsymbol{v}^{2}
(2)子弹穿透木块
动量守恒： m v_{0}=m v_{1}+m_{0}v_{2}
能量守恒 _{}Q=\ensuremath{F_{f}}* d=(1)/(2)m v_{0}^{2}-\left((1)/(2)m v_{1}^{2}+(1)/(2)m_{0}v_{2}^{2}\right)

例1（子弹嵌入木块中）如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为 980\ g 的长方形匀质木块，现有一质量为 20 ~g~ 的子弹以大小为300~{m/s} 的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动.已知木块沿子弹运动方向的长度为 10~{cm} ,子弹打进木块的深度为 6\cm, 设木块对子弹的阻力保持不变.

(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能.
(2)若子弹是以大小为 400 ~m/s 的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？

练1（子弹穿透木块)(2025·八省联考河南卷)如图，在有圆孔的水平支架上放置一物块，玩具子弹从圆孔下方竖直向上击中物块中心并穿出，穿出后物块和子弹上升的最大高度分别为h和8h.已知子弹的质量为 m ,物块的质量为 4m ，重力加速度大小为 _{g} ;在子弹和物块上升过程中，子弹所受阻力忽略不计，物块所受阻力大小为自身重力的 /18 .子弹穿过物块时间很短,不计物块厚度的影响，求

(1)子弹击中物块前瞬间的速度大小；(2)子弹从击中物块到穿出过程中，系统损失的机械能.

模型二 “滑块一木板”模型

1.模型图示

2.模型特点

(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能.(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大.

3.求解方法

(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统.
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体.
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律 Q {=} F_{f} \Delta x 或 Q=E_{\hat{V}{J}}-E_{\hat{K}} ,研究对象为一个系统.

例2一质量为 m_{1} {=} 0.\;3~kg 的四小车静止在光滑的水平面上，车长 L=1.\;5~m~ ,现有一质量为 m_{2}=0.\;2\;kg 、可视为质点的物块，以水平向右的速度 v_{0} {=} 2 ~m/s~ 从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数\mu=0.\;5 ,重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} ，求：

(1)物块与小车的共同速度大小 {}^{\upsilon}
(2)物块相对小车滑行的时间 t
(3)从开始到共速，小车运动的位移大小 x_{1} (4)从开始到共速，物块运动的位移大小 x_{2} (5)在此过程中系统产生的内能；
(6)若物块不滑离小车，物块的速度不能超过多少.试答

练2如图所示，有一固定的光滑 (1)/(4) 圆弧轨道，半径 R=0.\;2\;m ，一质量为 m_{B} {=} 1~kg 的小滑块 B 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板 C 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度,已知 m_{C}=3~kg ，B ,C 间动摩擦因数 \mu_{1}=0, 2,C 与地面间的动摩擦因数 \mu_{2} {=} 0.\ 8 ,C 右端有一个挡板， C 长为 L ：已知重力加速度大小 \boldsymbol{g} 取 10~m/s^{2}

(1)B 滑到 A 的底端时对 A 的压力是多大?(2)若 B 未与 C 右端挡板碰撞，当 B 与地面保持相对静止时， B,C 间因摩擦产生的热量是多少？

题后感悟

求解“滑块一木板”模型的思维方法

(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律 Q=F_{f} \Delta x 或 Q {=} E_{\dot{π}\eta} {-} E_{\dot{π}} ,研究对象为一个系统.

模型三 “滑块一弹簧”模型

1.模型图示

试答

2.模型特点

(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒.(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.
(3)弹簧处于最长(或最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小（相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能),即 m_{1}v_{0}=(m_{1}+m_{2} ) v,\Delta E_{p}=(1)/(2)m_{1}v_{0}^{2}- (m +m2)o2.
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能无损失(相当于刚完成弹性碰撞),即 m_{1}v_{0}=m_{1}v_{1}+ m_{2} v_{2} ,{(1)/(2)}m_{1}v_{0}^{2}={(1)/(2)}m_{1}v_{1}^{2}+{(1)/(2)}m_{2}v_{2}^{2}.

例3如图,质量为 m_{2}=4~{\kg} m和 m_{3}=3~kg 的物体静止放在mm光滑水平面上，两者之间用轻弹簧拴接.现有质量为 m_{1}=1~{kg} 的物体以速度v_{0} {=} 8~m/s 向右运动， m_{1} 与 m_{3} 碰撞（碰撞时间极短)后粘合在一起.试求：(1)m_{1} 和 m_{3} 碰撞过程中损失的机械能是多少？(2)弹簧能产生的最大弹性势能是多少？(3)弹簧在第一次获得最大弹性势能的过程中，对 m_{3} 冲量的大小是多少？试答

练3（多选)如图甲所示,质量分别为 m_{A}\setminus m_{B} 的 A ,B 两物体用轻质弹簧连接构成一个系统，外力 F 作用在 A 上，系统静止在光滑水平面上B 靠墙面），此时弹簧形变量为 \boldsymbol{\mathscr{x}} .撤去外力并开始计时， A ,B 两物体运动的 a{-}t 图像如图乙所示，S_{1} 表示0到 t_{1} 时间内 A 的 a{-}t 图像与坐标轴所围面积大小， S_{2}\ldots S_{3} 分别表示 t_{1} 到 t_{2} 时间内 A B 的 a{-}t 图线与坐标轴所围面积大小. A 在 t_{1} 时刻的速度为 \upsilon_{0} .下列说法正确的是 ）

A.0到 t_{1} 时间内，,墙对 B 的冲量等于 m_{A}v_{0} B. m_{A}>m_{B}
C. B 运动后，弹簧的最大形变量等于 \boldsymbol{\mathscr{x}}
D. S_{1}-S_{2} {=} S_{3}

模型四 “滑块一斜(曲)面"模型

例4如图所示，一个质量为 m_{0} 的滑块放置在水平面上，滑块的一侧是一个四分之一圆弧 E F ，圆弧半径 R=1 ~m~. E 点与水平面相切.另有一个质量为 m 的小球以 v_{0}=5\;{m/s} 的初速度水平向右从 E 点冲上滑块，若小球刚好没越过圆弧的上端，已知重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} ,不计一切摩擦，则滑块与小球质量的比值 (m_{0})/(m) 为

A.2 B.3 C.4 D.5

听课笔记

练4如图所示，在水平面上放置一个右侧面半径为 R 的 /14 圆弧凹槽,凹槽质量为 m ,凹槽 A 点切线水平， B 点为最高点.一个质量也为 m 的小球以速度 \upsilon_{0} 从 A 点冲上凹槽，重力加速度大小为 _{g} ,不计一切摩擦，则下列说法正确的是

A.小球在凹槽内运动的全过程中，小球与凹槽的总动量守恒，且离开凹槽后做平抛运动
B.若 \ v_{0} {=}√(2g R) ,小球恰好可到达凹槽的 B 点且离开凹槽后做自由落体运动
C.若 v_{0}=√(5g R) ,小球最后一次离开凹槽的位置一定是 A 点，且离开凹糟后做自由落体运动
D.若 v_{0}=√(7g R) ,小球最后一次离开凹槽的位置一定是 B 点，且离开凹槽后做竖直上抛运动

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

科学探究问题情境

典例（2024·甘肃卷)如图，质量为 2~kg 的小球 A (视为质点)在细绳 O^{\prime}P 和 O P 作用下处于平衡状态，细绳 O^{\prime}P=O P=1. 6 rm{m} ,两绳与竖直方向的夹角均为 {60}° .质量为 6~{kg} 的木板 B 静止在光滑水平面上，质量为 2~kg 的物块 C 静止在 B 的左端.剪断细绳 O^{\prime}P ，小球 A 开始运动.（重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2}

(1)求 A 运动到最低点时细绳OP所受的拉力大小.
(2)A 在最低点时，细绳 O P 断裂， A 飞出后恰好与 C 左侧碰撞（时间极短）,碰后 A 竖直下落， C 水平向右运动.求碰后 C 的速度大小.
(3)A、C碰后， C 相对 B 滑行 4rm{m} 后与 B 共速，求C 和 B 之间的动摩擦因数.

[试题立意」本题以做圆周运动的小球与木板上的物块碰撞为素材，创设了探究碰撞前后物体速度变化关系的科学探究问题情境.主要考查动能定理、动量守恒定律、板块模型等知识点，重点考查模型建构能力和推理论证能力.

[关键能力］（1)模型建构能力(2)推理论证能力

第(1)问

[失分剖析］ ① 不会综合应用动量守恒定律与能量守恒定律解决物体碰撞类问题； ⊚ 对板块模型不熟悉.

试答 第(2)问 第(3)问

专题强化九用三大观点解决力学问题

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

1.力学三大观点的基本规律

续表

2.应用策略

(1)力的观点解题：要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度.
(2)两大定理解题：应确定过程的初、末状态的动量(或动能),分析并求出过程中的冲量(或功).(3)过程中动量或机械能守恒：根据题意选择合适的初、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求某状态的速度(率).

考点一 动力学与动量观点的综合应用

1.在研究某个物体所受力的瞬时作用与物体运动的关系，或者物体所受恒力作用直接涉及物体运动过程中的加速度问题时，应采用动力学观点.
2.当涉及时间与运动细节时，一般选用动力学方法解题.
3.若研究对象是相互作用的物体组成的系统，则有时既要用到动力学观点，又要用到动量守恒定律.

例1算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零.如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框 b ，甲、乙相隔 s_{1}=3. 5x10^{-2}~m~ ,乙与边框 \boldsymbol{a} 相隔 s_{2}=2. 0 x 10^{-2} ~m~ ,算珠与导杆间的动摩擦因数 \mu=0, 1 现用手指将甲以 0.\ 4\ m/s 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 0.1\ m/s ，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度大小 _{g} 取 10~{m/s^{2}}

(1)通过计算,判断乙算珠能否滑动到边框 a (2)求甲算珠从拨出到停下所需的时间，试答

练1如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，轨道 A B 段水平且粗糙， B C D 段光滑，其中 C D 段是以 O^{\prime} 点为圆心、半径 R=0.\ 3 ~m~ 的一小段圆弧.可视为质点的物体 \boldsymbol{a} 和 b 分别静止在 A 和 B 处，质量均为 m=0.\ 8\kg. 现用与竖直方向成 θ= 37° 斜向上的 F=10\ N 的拉力拉动物体 a ，经位移s=0.\ensuremath{~6~m~} 后撤去拉力 F ，紧接着物体 \boldsymbol{a} 与物体 b 发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰后物体 b 沿着轨道 B O 段运动.已知物体 \boldsymbol{a} 与 A B 段轨道的动摩擦因数为 \mu=0.\;5 ,重力加速度大小 _{g} 取10~m/s^{2} ~\dot{\Phi}^{2} ,\cos 37° {=} 0.\ 8 ,\sin\ 37° {=} 0.\ 6.

(1)求碰撞前物体 a 的速度大小.
(2)试通过计算说明在轨道 C O D 上物体 b 在 O 点之后将做什么运动？

考点二 能量与动量观点的综合应用

1.两大观点

(1)动量的观点：动量定理和动量守恒定律.
(2)能量的观点：动能定理和能量守恒定律.

2.三种技巧

(1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律).(2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理.
(3)动量守恒定律、能量守恒定律（机械能守恒定律）、动能定理都只考查一个物理过程的初、末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处，特别对于变力作用问题，就更显出它们的优越性.

例2 （2024·辽宁卷）如图，高度 h=0.~8~m~ 的水平桌面上放置两个相同物块A , B ，质量 m_{A}\;=\;m_{B}\;=\;\;\;{}_{A}, 0.1 \kg. A.B 间夹一压缩量

\Delta x=0.~1~m~ 的轻弹簧，弹簧与 A ,B 不栓接.同时由静止释放 A ,B ，弹簧恢复原长时 A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出,水平射程 x_{A}=0.~4~m~ B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离 x_{B}=0.\;25 ~m~ 后停止. A ,B 均视为质点，重力加速度大小 _{g} 取10~{m/s^{2}} .不计空气阻力.求：

(1)脱离弹簧时 A ,B 的速度大小 v_{A} 和 v_{B} (2)物块与桌面间的动摩擦因数 \mu (3)整个过程中,弹簧释放的弹性势能 \Delta E_{p} 试答

练2冰壶比赛中运动员用脚蹬固定的起踏器后和冰壶一起前进，在前掷线处将冰壶脱手.按比赛规则，队友可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数来调节冰壶的运动,使其到达理想位置.已知冰壶质量 m=20~kg 运动员质量 m_{0}=70\;\kg ，重力加速度大小 _{g} 取10~m/s^{2} .(冰面视作水平面，冰壶视为质点）

(1)在某次投壶过程中运动员离开起踏器时他和红色冰壶的速率 v_{1} {=} 2 ~m/s~ ,已知运动员和起踏器相互作用的时间 t {=} 2,~0~s~ ，求此过程中运动员（包含冰壶）在水平方向所受平均作用力的大小 F (2)若红色冰壶沿直线运动到距营垒中心 x_{0}= 5rm{m} 处的速度 v_{2}=1.\;8\;~m/s ,队友通过在其滑行前方持续摩擦冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数变为原来的 90 % ，冰壶滑过被毛刷摩擦过的冰面后以 v_{3} {=} 1.\;2\; m/s 的速度与静止在营垒中心、质量相等的蓝色冰壶发生对心碰撞，碰后无人再用毛刷摩擦冰面，蓝色冰壶以 v_{4} {=} 1.\;0\; m/s 的速度向前滑行.求碰撞后红色冰壶的滑行距离 _{x}

考点三 力学三大观点的综合应用

力学规律的选用原则

试答

(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律.
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理（涉及时间的问题）或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题.
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件.
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即系统内能的增加量.
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含系统机械能与其他形式能量之间的转化，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决.

例3（2024·山东卷）如图甲所示，质量为 m_{0} 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接， Q 为轨道的最高点.质量为 m 的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为 \mu ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.已知轨道半圆形部分的半径 R {=} 0.~4~m~ ，重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2}

甲

乙

(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到 Q 点时,受到轨道的弹力大小等于 3m g ，求小物块在 Q 点的速度大小 \boldsymbol{v}

(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F ,小物块处在轨道水平部分时，轨道的加速度 a 与 F 对应关系如图乙所示.

(i)求 \mu 和 m

（ii)初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力 F=8 ~N~ ，当小物块到 P 点时撤去 F ，小物块从 Q 点离开轨道时相对地面的速度大小为 7~m/s. 求轨道水平部分的长度 L

练3（2024·湖北卷)如图所示，水平传送带以 v=5\;~m/s 的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为 L=3.~6~m~ .传送带右端的正上方有一悬点 O ，用长为 0, 3 ~m~ 、不可伸长的轻绳悬挂一质量为 m_{1}=0.\;2\;\;kg 的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触.在 O 点右侧的 P 点固定一钉子， P 点与 O 点等高.将质量为 m_{2} {=} 0.1~kg 的小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为 v_{1} {=} 1\ m/s 、方向水平向左.小球碰后绕 O 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕 P 点向上运动.已知小物块与传送带间的动摩擦因数 \mu 为0.5，重力加速度大小_{g} 取 10~m/s^{2}

(1)求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；(2)求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；

(3)若小球运动到 P 点正上方，绳子不松弛，求 P 点到 O 点的最小距离.

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

科学探究问题情境

典例（2024·安徽卷） 如图所示，一实验小 车静止在光滑水平面 上,其上表面有粗糙

水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于 O 点正下方，并轻靠在物块左侧.现将细线拉直到水平位置，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞，碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动.已知细线长为 L=1. 25~m. 小球质量为 m=0.\ 20\ \kg ，物块、小车质量均为 m_{0}= 0.\;30~kg. 小车上的水平轨道长为 s=1, 0 ~m. 圆弧轨道半径为 R=0.\;15~m. 小球、物块均可视为质点.不计空气阻力，重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2}

(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小.

(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小.

(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不 脱离小车,求物块与水平轨道间的动摩擦因数 \mu 的取值范围.

试答

[试题立意］本题以小球、物块碰撞后再与小车相互作用为素材，创设了科学探究问题情境.主要考查牛顿运动定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量守恒定律等知识点，重点考查理解能力和推理论证能力.

[关键能力］ (1)理解能力(2)推理论证能力

[失分剖析]分析不清动摩擦因数出现范围的原因.[考教衔接］本题情境与粤教版教材选择性必修第一册第33页第10题相近，2023年海南卷第18题也出现过类似情境.

实验六 验证动量守恒定律

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、实验思路与操作

注意事项

二、数据处理及分析

2.案例提醒

1.前提条件：碰撞的两物体应 保证“水平”和“正碰”

(1)若利用气垫导轨进行验证，调整气垫导轨时，应确保导轨水平.
(2)若利用平抛运动规律进行验证：
① 斜槽末端的切线必须水平；
⊚ 人射小球每次都必须从斜槽同一高度由静止释放;
③ 两球半径 r_{1} {=} r_{2} {=} r
\circled{4} 人射小球质量 m_{1} 要大于被碰小球质量 m_{2} ，即 m_{1}> m_{2} ,防止碰后 m_{1} 被反弹；⑤ 实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变.

误差分析

方案1

(1)滑块速度的测量：利用光电计时器测出挡光时间，结合挡光片的宽度由 \scriptstyle v={(\Delta x)/(\Delta t)} 计算两滑块碰撞前后的速度。

(2)验证的表达式： m_{1}v_{1}=m_{1}v_{\ 1}^{\prime}+m_{2}v_{2}

方案2

(1)碰撞找点：把被碰小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽同一高度自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次.标出碰撞前后入射小球落点的平均位置 P,M 和被碰小球落点的平均位置 N

(2)测距离：过 O 和 N 在纸上作一条直线，用刻度尺量出线段 O P OM、ON的长度.（3)验证：将测量数据代人 m_{1} * O P=m_{1} * O M+ m_{2}* O N ,看在误差允许的范围内是否成立.

1.系统误差(1)碰撞是否为一维碰撞.(2)实验是否满足动量守恒的条件，如轨道末端是否水平.

2.偶然误差(1)球落点的确定.(2)质量和位移的测量，

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 教材原型实验

方案一利用气垫导轨验证动量守恒定律

例1某小组利用气垫导轨验证动量守恒定律，实验装置如图所示.

(1)将滑块 b 放置在气垫导轨上，打开气泵，待气流稳定后，调节气垫导轨，直至观察到滑块 b 能在短时间内保持静止，说明气垫导轨已调至

(2)用天平测得滑块 a,b 质量分别为 m_{a}\setminus m_{b} (3)在滑块上安装配套的粘扣，并按图示方式放置两滑块.使滑块 a 获得向右的速度，滑块 a 通过光电门1后与静止的滑块 b 碰撞粘在一起，并一起通过光电门2，遮光条通过光电门1、2的时间分别为 t_{1} ,t_{2} ,则上述物理量间如果满足关系式，则证明碰撞过程中两滑块的总动量守恒.

(4)本实验 （填“需要"或“不需要”)测量遮光条的宽度.
听课笔记

方案二利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律

例2（2024·新课标卷）某同学用如图所示的装置验证动量守恒定律，将斜槽轨道固定在水平桌面上，轨道末段水平，右侧端点在水平木板上的垂直投影为 O ，木板上叠放着白纸和复写纸.实验时先将小球 a 从斜槽轨道上 Q 处由静止释放，\boldsymbol{a} 从轨道右端水平飞出后落在木板上；重复多次，测出落点的平均位置 P 与 O 点的距离 x_{P} .将与a 半径相等的小球 b 置于轨道右侧端点，再将小球 \boldsymbol{a} 从 Q 处由静止释放，两球碰撞后均落在木板上；重复多次，分别测出 a ,b 两球落点的平均位置 M,N 与 O 点的距离 {X}_{M} .{X}_{N}

完成下列填空：

(1)记 a ,b 两球的质量分别为 m_{a}\setminus m_{b} ,实验中须满足条件 m_{a} （选填“ > ”或“ <^{\bullet})m_{b} (2)如果测得的 x_{P} , x_{M} , x_{N} ,m_{a} 和 m_{b} 在实验误差范围内满足关系式 ，则验证了两小球在碰撞中满足动量守恒定律.实验中，用小球落点与 O 点的距离来代替小球水平飞出时的速度.依据是

听课笔记

[失分剖析] ① 对原理公式的变形运用不够灵活；
⊚ 物理语言表达不准确.

[考教衔接］验证动量守恒定律为《普通高中物理课程标准》所列21个学生必做实验之一.人教版教材选择性必修第一册第19页的“参考案例2"为本题考查原型.在2024年北京卷第18题中也有类似情境.

练1（2025·河北石家庄高三模拟)利用如图所示装置“验证动量守恒定律”.

(1)实验中，直接测定小球碰撞前后的速度是不容易的，可以通过仅测量 （填选项前的序号)，间接地解决这个问题.

A.小球开始释放的高度 h B.小球抛出点距地面的高度 H C.小球做平抛运动的水平射程(2)图中 O 点是小球抛出点在地面上的垂直投影.实验时，先让人射小球 A 多次从斜轨上某位置静止释放，找到其平均落地点的位置 P ，测量平抛射程 O P ，然后，把被碰小球 B 静置于轨道的水平部分末端，再将人射小球 A 从斜轨上同一位置由静止释放，与小球B相撞，并多次重复.接下来要完成的必要步骤是 (填选项前的符号).

A.用天平分别测量 A,B 两个小球的质量 m_{1}\setminus m_{2} B.测量小球 A 开始释放的高度 h
C.测量抛出点距地面的高度 H
D.分别找到 A,B 相碰后平均落地点的位置 M,N

E.测量平抛射程OM、ON(3)下列关于实验的要求正确的是

A.必须保证轨道末端水平B.必须保证两球直径相等C.必须保证两球质量相等D.必须借助铅垂线找到 O 点位置(4)经测定， m_{A}=45.\ 0\ g,m_{B}=7.\ 5\ g ，某同学做了多次测量，他取 x=O P-O M _{y}=O N ，画出 y^{-}x 图像，该图像接近下列图像中的

考点二 拓展创新实验

考向1实验装置的创新

例3如图所示，用“碰撞实验器”可以探究碰撞中的不变量.实验时先让质量为 m_{1} 的人射小球从斜槽轨道上某一固定位置 S 由静止开始滚下，从轨道末端 O 点水平抛出，落到与轨道 O 点连接的倾角为 θ 的斜面上.再把质量为 m_{2} 的被碰小球放在斜槽轨道末端，让人射小球仍从位置 S 由静止滚下，与被碰小球碰撞后，分别与斜面第一次碰撞留下各自的落点痕迹， M,P,N 为三个落点的位置.（不考虑小球在斜面上的多次碰撞）

(1)关于本实验，下列说法正确的是

A.斜槽轨道不必光滑，人射小球每次释放的初位置也不必相同
B.斜槽轨道末端必须水平
C.为保证人射小球碰后沿原方向运动，应满足人射小球的质量 m_{1} 等于被碰小球的质量 m_{2}

(2)实验中不易直接测定小球碰撞前后的速度，可以通过仅测量 ，间接地解决

这个问题.

A.小球开始释放高度 h B.斜面的倾角 θ C. O 点与各落点的距离

(3)在实验误差允许范围内，若满足关系式，则可以认为两球碰撞前后总动量守恒.

A. m_{1}* O P{=}m_{1}* O M{+}m_{2}* O N . m_{1}* O N{=}m_{1}* O P{+}m_{2}* O M C.\;m_{1}\bullet{√(O P)}=m_{1}\bullet{√(O M)}+m_{2}\bullet{√(O N)} D \dots m_{1}*√(O N){=}m_{1}*√(O P){+}m_{2}*√(O M) (4)如果该碰撞为弹性碰撞，则只需要满足一个表达式，即

考向2数据获取、数据处理的创新

例4（2024·山东卷）在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了动量守恒实验.受此启发，某同学使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气垫导轨两端分别安装 a,b 两个位移传感器， \boldsymbol{a} 测量滑块 A 与它的距离 x_{A} b 测量滑块 B 与它的距离x_{B} .部分实验步骤如下：

① 测量两个滑块的质量,分别为 200,0\ g 和 400. 0~g~ ⊚ 接通气源，调整气垫导轨水平；
③ 拨动两滑块，使 A ,B 均向右运动；
\circledast 导出传感器记录的数据，绘制 x_{A}\setminus x_{B} 随时间t变化的图像，分别如图乙、图丙所示.

回答以下问题：

(1)从图像可知两滑块在 t= s时发生 碰撞.

(2)滑块B碰撞前的速度大小 \upsilon= m/s(保留两位有效数字).

(3)通过分析，得出质量为 200.\ 0\ ~g~ 的滑块是（选填“A"或“B").

练2（实验思路的创新）如图1所示，某实验小组用轨道和两辆相同规格的小车“验证动量守恒定律”.已知小车在水平轨道上运动所受阻力正比于小车重力.“验证动量守恒定律”实验步骤如下：

图2

① 在小车上适当放置砝码，分别测量甲车总质量m_{1} 和乙车总质量 m_{2}

⊚ 将卷尺固定在水平轨道侧面，零刻度线与水平轨道左端对齐.先不放乙车，让甲车多次从倾斜轨道上挡板位置由静止释放，记录甲车停止后车尾对应刻度，求出其平均值 x_{0}

③ 将乙车静止放在轨道上，设定每次开始碰撞位置如图2所示，此时甲车车尾与水平轨道左端刚好对齐，测出甲车总长度 L （含弹簧）.在挡板位置由静止释放甲车，记录甲车和乙车停止后车尾对应刻度，多次重复实验求出其对应平均值 x_{1} 和 x_{2}

\circled{4} 改变小车上砝码的个数，重复步骤 ①②③ (1)由图2得 L= （选填“20”“20.0”或 “"20. 00") cm.

(2)若本实验所测的物理量符合关系式（用所测物理量的字母m1、m2、Cox12、L 表示），即可验证小车碰撞前后动量守恒.

(3)某同学先把4个 50 ~g~ 的砝码全部放在甲车上，然后通过逐次向乙车转移一个砝码的方法来改变两车质量进行实验，若每组质量只采集一组位置数据，且碰撞后甲车不反向运动，则该同学最多能采集 组有效数据.

(4)实验小组通过分析实验数据发现，碰撞前瞬间甲车的动量总是比碰撞后瞬间两车的总动量略大，原因是

A.两车间相互作用力冲量大小不等B.水平轨道没有调平，右侧略微偏低C.碰撞过程中弹簧上有机械能损失D.碰撞过程中阻力对两小车总冲量不为零

第八章

机械振动与机械波

常考热点

创新考点

2024·河北第6题，考查简谐运动、牛顿第二定律等知识（科学探究问题情境一—以紫外光笔运动为素材)

2024·江西第6题，考查横波，简谐运动图像，波速、波长和周期的关系，波的干涉等知识(生活、生产实际情境一—超声波检测飞机机翼内部缺陷).

2026年命题预测

命题形式：有联系实际情境命题，也有问题探究情境命题，多以选择题形式，2024年有几个省份以实验题形式，多为“图 ^+ 文字"形式，难度中等.

必考热点：简谐运动、简谐运动的图像.波长、频率、波速等概念及波的图像，波的叠加，波的干涉相关内容的考查也有增加的趋势.

创新考法：(1)高考题目的情境源于教材中的“做一做”的探究情境.（2)创设简谐运动图像与波的图像相结合.（3）（创设与生产生活紧密联系的物理情景)对考生提取信息的能力和推理论证能力的要求比较高.

第1讲 机械振动

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、简谐运动

1.概念：如果物体的位移与时间的关系遵从 的规律，即它的振动图像（ \scriptstyle\chi-t 图像)是一条 曲线，这样的振动是一种简谐运动.

2.回复力：指向平衡位置，与相对平衡位置的位移成，方向与位移方向相反，即 F{=} ，式中“－”表示 F 与 _{x} 反向， k 是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数.

3.平衡位置：物体在振动过程中 为零的位置.

考教衔接

1.【链接·人教版选择性必修第一册P47“做一做”观察墨汁图样，两题创设情境类似】

(2024·河北卷，6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的 x-t

4.物理量

(1)振幅 A ：振动物体离开平衡位置的
(2)周期 T ：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间.
(3)频率 f ：振动物体完成全振动的次数与所用时间之比.

二、简谐运动的公式和图像

1.位移表达式： x= ，式中 \omega 为 是相位， \varphi 是初相位(或初相).

2.振动图像

三、单摆

1.构成：将一个小球用细线悬挂起来，如果细线的长度不可改变，细线的 和小球相比可以忽略，球的直径和线的 相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆.

2.回复力：重力 G 沿圆弧 方向的分力.

3.运动规律： 很小时，单摆的振动可近似视为运动.

4.周期： T{=}

四、受迫振动和共振

1.阻尼振动：振幅随时间逐渐 的振动.

2.受迫振动

(1)定义：系统在 作用下的振动.(2)特点：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于 的频率，与物体的 无关。

3.共振：当驱动力的频率等于系统的 时，物体做受迫振动的振幅达到 的现象.

图像.已知轻杆在竖直面内长 0, 1 ~m~ ，电动机转速为 12 \r/min, ，该振动的圆频率和光点在12.5s内通过的路程分别为 （）

A.0.2 rad/s,1.0 m B.0.2 rad/s,1.25 m C.1.26 rad/s,1. 0 m D.1.26 rad/s,1.25 m

感悟思考

2.【链接·人教版选择性必修第一册P34“做一做"的探究情境，2023年湖南卷第11题也出现过类似情境】(2024·北京卷，9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置.手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度 \boldsymbol{a} 随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示.下列说法正确的是 (）

A. t=0 时，弹簧弹力为0
B. t=0, 2 ~s~ 时，手机位于平衡位置上方
C.从 t=0 至 t=0, 2 ~s~ ，手机的动能增大
D. \boldsymbol{a} 随 t 变化的关系式为 a=4\sin{(~2.~5π t} m/s^{2}

感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 简谐运动的基本特征

1.回复力的理解：属于效果力,可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.

2.能量特征：振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒.

3.运动特征：靠近平衡位置时， a ,F ,x 都减小， \upsilon 增大；远离平衡位置时， a ,F ,x 都增大， \boldsymbol{v} 减小.各矢量均在其值为零时改变方向.

考向1简谐运动基本物理量的分析

例1（多选）（2024·贵州卷）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好.对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在 t=0 时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为 T, .规定竖直向上为正方向，则小球在 t=1, 5 T 时刻 ( ）

A.位移最大，方向为正B.速度最大,方向为正C.加速度最大,方向为负D.受到的回复力大小为零听课笔记

考向2简谐运动的周期性与对称性

1.空间上的对称性:如图所示，一p 0 P关于平衡位置 O 对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置 O 用时相等.

2.时间上的对称性（周期性）：质点的位移、回复力、加速度和速度变化的周期就是简谐运动的周期T ;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 (T)/(2)

例2（2025·河北承德模拟）小球做简谐运动，若从平衡位置 O 开始计时，经过 0, 5 ~s~ ,小球第一次经过 P 点，又经过 0,\;2\;~s~ ，小球第二次经过 P 点，则再过多长时间该振子第三次经过 P 点( ）

A.1. 0 s B. 2. 4 sC.0.8 s D.2.2 s听课笔记练1 (多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以 O 点为中心点，在C,D 两点之间做周期为 T 的简谐运动.已知在 t_{1} 时刻物块的速度大小为 \upsilon 、方向下，动能为 E_{k} .下列说法正确的是 (

A.如果在 t_{2} 时刻物块的速度大小也为 \boldsymbol{v} ，方向向下,则t-的最小值小于
B.如果在 t_{2} 时刻物块的动能也为 E_{k} ，则 t_{2}-t_{1} 的最小值为 T
C.物块通过 O 点时动能最大
D.当物块通过 O 点时，其加速度最小

考点二 简谐运动的公式和图像

考向1简谐运动的方程

例3（多选）（2025·浙江宁波模拟）如图所示，水平弹簧振子沿 x 轴在 M,N 间做简谐运动，坐标原点 O 为小球的平衡位置，其振动方程为 x= 6sin (10π t+{(π)/(2)}) cm.下列说法正确的是（）

题后感悟

由简谐运动图像可获取的信息

(1)判定振动的振幅 A 和周期T.(如图所示）

A.MN间距离为 6~{cm}
B.小球的运动周期是0.2s
C. t=0 时，小球位于 N 点
D. t=0, 05 s时,小球具有最大加速度

听课笔记

考向2简谐运动的图像

例4（2024·甘肃卷）如图为某单摆的振动图像,重力加速度大小 _{g} 取 10~m/s^{2} ,下列说法正确的是 ( ）

A.摆长为 1, 6 ~m~ ，起始时刻速度最大B.摆长为 2, 5 ~m~ ,起始时刻速度为零C.摆长为 1.\;6~m,A,C 点的速度相同D.摆长为 2.\;5 {\m},A,B 点的速度相同听课笔记

(2)判定振动物体在某一时刻的位移，
(3)判定某时刻质点的振动方向.
① 下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
② 下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置.
(4)判定某时刻质点的加速度（回复力)的大小和方向.

(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小.质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。

练2某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是(

A.1s和3s时刻，质点的速度相同
B.1s到2s时间内,质点的速度与加速度方向相同
C.简谐运动的表达式为 y=2\sin ( ~0.~ 5π t+ 1, 5π cm
D.简谐运动的表达式为 y=2\sin{\ }\left(~0.~ 5π t\right.+ 0, 5π . cm

考点三 简谐运动的两种模型

考向1弹簧振子模型

例5如图所示,弹簧振子在 A ,B 之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为 6~{cm} ，小球完成30次全振动所用时间为 60 ~s~ ，则 ）

A.该振子振动周期是2s,振幅是 6~{cm}
B.该振子振动频率是 2 ~Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是 12~{cm}
D.小球过 O 点时开始计时， 3 ~s~ 内通过的路程为24~{cm}

听课笔记

考向2单摆模型

例6 (多选)图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的 \scriptstyle F-t 图像，其中 F 的最大值 F_{max}=1.\ 02\ N ,已知摆球质量 m=100~g ，重力加速度大小 _{g} 取 9.\ 8\ m/s^{2 ,π^{2}} 取9.8，不计摆线质量及空气阻力.下列说法正确的是（）

A.单摆周期为0.8s
B.单摆摆长为 1,0rm{m}
C. F 的最小值 F_{min} {=} 0.\ 96\ N
D.若仅将摆球质量变为 200\ g ,单摆周期不变

听课笔记

题后感悟

单摆的动力学分析

1.回复力：摆球重力 G 沿圆弧切线方向的分力，F=-m g sin θ=-(m g)/(l)x=-k\it{x} ,负号表示回复力 F 与位移 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方向相反.

2.向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力， F_{n} {=} F_{T} {-} m g cos θ (1)当摆球在最高点时， F_{\L_{|α]}}={(m v^{2})/(l)}=0 , F_{T}= mgcos θ_{m}
(2)当摆球在最低点时， F_{\acute{\scriptscriptstyle10}\atop l} {=} (m v_{max}^{2})/(l),F_{\acute{\scriptscriptstyle10}\atop{=}} 最大，F_{T}=m g+m (v_{max}^{2})/(l).

考向3等效摆长问题

例7（2024·浙江卷6月)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为 0.1~kg 的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 30° 的固定斜杆上，间距为 1, 5 ~m~ .小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与A B 交点的单摆，重力加速度大小 _{g} 取 10 \:m/s^{2} 则 （）

A.摆角变小,周期变大
B.小球摆动周期约为 2 s
C.小球平衡时， A 端拉力为 (√(3))/(2)
D.小球平衡时， A 端拉力小于 B 端拉力
听课笔记

练3（单摆模型的应用)如图所 示， A C B 为光滑弧形槽，弧形槽 半径为 R ,C 为弧形槽最低点， R{\gg}A B .甲球从弧形槽的球心处 自由下落，乙球从 A 点由静止 释放.

(1)求两球第1次到达 C 点的时间之比.(2)若在弧形槽的最低点 C 的正上方高为 h 处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从 A 点由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C 处相遇，则甲球下落的高度 h 是多少？

考点四 受迫振动和共振

1.简谐运动、受迫振动及共振的比较

听课笔记

2.共振曲线

例8如图所示，我爱发明节目《松果纷纷落》中的松果采摘机利用了机械臂抱紧树干，通过采摘振动头振动而摇动树干，使得松果脱落，则C

A.工作中，树干的振动频率可能大于采摘振动头的振动频率
B.采摘振动头停止振动，则树干的振动频率逐渐减小
C.采摘振动头振动频率越大，落果效果越好
D.对于粗细不同的树干可以调整采摘振动头的频率以达到最佳采摘效果

练4图甲为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起来，观察单摆 P （图中未标出)能达到的最大振幅 A 和稳定时的振动频率f ,并描点记录在图乙中，用光滑曲线连接各点得到如图乙所示曲线.重力加速度大小 _{g} 取 π^{2} m/ s^{2} ,下列说法正确的是 （）

A.单摆 P 的固有频率约为 1, 0 \Hz
B.图甲装置中只有一个单摆的摆长约为 1,0rm{m}
C.当单摆 P 稳定时的振动频率为 1, 0 \Hz 时，先振动的单摆摆长约为 0, 25 ~m~
D.单摆 P 的振动周期总为2.0s

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

科学探究类问题

[关键能力］推理论证能力典例（2024·浙江卷1月）如图甲所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为L，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动.以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图乙所示，则

A. t_{1} 时刻小球向上运动B. t_{2} 时刻光源的加速度向上C. t_{2} 时刻小球与影子相位差为 π D. t_{3} 时刻影子的位移为5A

听课笔记[试题立意］本题以质量相等的小球和点光源做小幅振动为素材，创设了观测小球影子的科学探究问题情境.主要考查简谐运动、简谐运动的图像等知识点，重点考查推理论证能力.

[失分剖析］对小球与光源关系认识不清楚，不能与简谐运动规律结合运用而出错.本题是简谐运动与光的直线传播相结合的问题，综合性较强，解答本题时要注意结合图像找出光源与小球的相对位置关系，并结合简谐运动规律分析出光源与小球的运动关系.小球影子的位置关系要根据光的直线传播建构几何关系，应用相似三角形分析解答.

温馨提示：请完成课时分层精练（十八)

第2讲 机械波

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、机械波

1.机械波的形成条件(1)有发生机械振动的(2)有传播 ,如空气、水等.

2.传播特点

(1)机械波传播的只是振动的 和 ，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波
(2)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向(3)介质中每个质点都做 振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期
(4)波源经过一个周期 T 完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离.

3.分类

(1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互 的波。
(2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向 的波.

二、波的图像

(1)坐标轴：横轴表示各质点的 ，纵轴表示该时刻各质点

(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开的位移.
(3)图像(如图)

三、波长、波速、频率及其关系

1.波长入：在波的传播方向上，振动相位总是 的两个相邻质点间的距离.

2.频率 f ：等于波源的 ,由波源决定.

3.波速 \boldsymbol{v} :波在介质中的传播速度由 本身的性质决定，与波长和频率

4.波长、波速和频率(周期)的关系： {\boldsymbol{v}}={(λ)/(T)}=

四、波的衍射、干涉和多普勒效应

1.波的叠加

在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和.

考教衔接

1.【链接·人教版选择性必修第一册P82第5题,2024年浙江卷6月第11题也有类似情境体现.】

（多选）（2024·新课标卷）位于坐标原点 O 的波源在 t=0 时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿 x 轴正方向传播.平衡位置在 x=3.~5~m~ 处的质点 P 开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则 ）

A.波的周期是0.1s
B.波的振幅是 0, 2rm{m}
C.波的传播速度是 10~m/s
D.平衡位置在 x=4. 5~m~ 处的质点 Q 开始振动时，质点 P 处于波峰位置

2.【链接·鲁科版选择性必修第一册P80“迷你实验室”波的叠加演示，2024年山东卷第9题也有类似情

境体现.】

(2024·安徽卷）某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速 \boldsymbol{v} 大小相等.某时刻的波形图如图所示，则这两列横波（）

2.波的现象

A.在 x=9.~0~m~ 处开始相遇B.在 x=10.~0~m~ 处开始相遇C.波峰在 x=10, 5 ~m~ 处相遇D.波峰在 x=11. 5 ~m~ 处相遇感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 机械波的形成 波的图像

1.质点振动 n T. (波传播na)时，波形不变.

2.波的图像的信息(如图所示)

考向2波的图像

(1)直接读取振幅A和波长入，以及该时刻各质点的位移.
(2)确定某时刻各质点加速度的方向，并能比较其大小.
(3)结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向.

考向1机械波的形成与传播

例1（2024·湖南卷）如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波.长绳上 A ,B 两点平衡位置相距 6 rm{m},t_{0} 时刻 A 点位于波谷， B 点位于波峰，两者之间还有一个波谷.下列说法正确的是 ）

A.波长为 3 rm{m}
B.波速为 12~m/s
C. t_{0}+0.\ 25 s时刻， B 点速度为0D. t_{0}+0. 50 ~s~ 时刻， A 点速度为0

听课笔记

例2B超成像的基本原理是探头向人体发射一组超声波，遇到人体组织会产生不同程度的反射，探头接收到的超声波信号形成B超图像.如图为血管探头沿 _x 轴正方向发送的简谐超声波图像， \scriptstyle t = 0 时刻波恰好传到质点 M. 已知此超声波的周期为 1x10^{-7} s，下列说法正确的是(

A.质点 M 开始振动的方向沿 y 轴正方向B. 0~1 25x10^{-7} s内质点 M 运动的位移为0, 4mm C.超声波在血管中的传播速度为 1.\;4x10^{3}\;m/s D. t=2.\ 0x10^{-7} s时质点 N 恰好处于波谷

听课笔记

题后感悟

波的传播方向与质点振动方向的互判方法

练1（2024·广东卷)一列简谐横波沿 _{x} 轴正方向传播.波速为 1\ m/s ,t=0 时的波形如图所示.t=1 s时， x=1.\;5~m~ 处的质点相对平衡位置的位移为

A.0 B.0.1 mC.-0.1 m D.0.2 m随手记

考点二 振动图像与波的图像的综合应用

例3 (振动图像与波的图像的综合）(多选)（2024·重庆卷）一列沿 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，平衡位置为 x=3 米的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示.若该波的波长大于3米，则 (

甲

A.该波的最小波长为 (10)/(5) m
B.该波的频率为 {(5)/(12)}\ Hz
C.该波的最大波速为 (15)/(4)~m/s
D.从该时刻开始2s内该质点运动的路程为\left(4-(√(3))/(2)\right)\cm

听课笔记

题后感悟

解决波的图像与振动图像综合问题的思路练2（由波的图像判定振动图像)(多选)如图是一列沿 _{x} 轴传播的简谐横波 t=0 时刻的波形图，已知该波的传播速度为 4~m/s ,则下列选项图中，描述平衡位置坐标为 x=12~m~ 处质点的振动图像可能正确的是 ( ）

练3（由振动图像判定波的图像）（多选）一列简谐横波沿 \boldsymbol{x} 轴传播，平衡位置位于坐标原点 O 的质点振动图像如图所示.当 t=7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是 (

考点三 波的多解问题

1.波的周期性

(1)质点振动 n T(n=1,2,3,*s) 时，波形不变.(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为 nλ (n=1,2,3 ,*s) 时，它们的振动步调总相同;当两质点平衡位置间的距离为 ( 2n+1 ) {(λ)/(2)} (n=0 ,1 ,2 ,3 ,*s) 时，它们的振动步调总相反.

2.造成波传播问题多解的主要因素

(1)周期性
① 时间周期性：时间间隔 \Delta t 与周期 T 的关系不明确.
⊚ 空间周期性：波传播距离 \Delta x 与波长入的关系不明确.
(2)双向性
① 传播方向双向性：波的传播方向不确定.
⊚ 振动方向双向性：质点振动方向不确定.

例4如图甲所示，一列简谐横波沿 _{x} 轴正方向传播， A ,B 两点的平衡位置间的距离 x=6~m,A B 两点的振动情况分别如图乙中的图线 a\wedge b 所示.该波的最大波长为

A.8 m B.6 mC. 4 rm{m} D. 2 m听课笔记练4如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距 6 rm{m} 的两个质点 P 、Q的振动图像，下列说法正确的是 (

A.该波的周期是5sB.该波的波速是 3\ m/s C.4s时 P 质点向上振动D.4s时 Q 质点向上振动例5（2025·广东江门1月模拟)图中实线和虚线分别是 x 轴上传播的一列简谐横波 t=0 和 t= 0.03s时刻的波形图， x=1, 2 ~m~ 处的质点在 t= 0.03 s时刻向 y 轴正方向运动，则

A.各质点在 0, 03 ~s~ 内随波迁移 0, 9 ~m~
B.该波的频率可能是 100 \Hz
C. t=0 时， x=1, 4 ~m~ 处质点的加速度方向沿 y 轴正方向
D.该波的波速可能是 70~m/s

听课笔记

考点四 波的干涉、衍射和多普勒效应

考向1波的叠加

题后感悟

例6（多选）（2024·山东卷）甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿 _x 轴相向传播，波速均为2 rm{m}/rm{s}. t {=} 0 时刻二者在 x=2 ~m~ 处相遇，波形图如图所示.关于平衡位置在 x=2 ~m~ 处的质点 P ，下列说法正确的是 ( ）

A. t=0, 5 s时， P 偏离平衡位置的位移为0B. t=0, 5 s时， P 偏离平衡位置的位移为一 2~{cm} C. t=1,0 s时， P 向 _y 轴正方向运动D. t=1, 0 s时， P 向 y 轴负方向运动

听课笔记

考向2波的干涉

例7 (多选)如图甲所示，在同一均匀介质中波源 S_{1} ,S_{2} 相距 5 rm{m} ，在 t=0 时，同时向外发出两列相干波，波源处的质点的振动图像均如图乙所示.在以 S_{1} ,S_{2} 连线为直径、 O 为圆心的圆周上有 A ,B 两点，且 A S_{1}=3 ~m,B 点在 S_{1},S_{2} 连线中垂线上，两列波在介质中传播速度大小均为2.\;5\;{m/s.} 则下列判断正确的有 ( ）

(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差 \Delta r
① 当两波源振动步调一致时.
若 \Delta r=nλ (n=0 ,1 ,2 ,*s) ,则振动加强；
若 \Delta r=(2n+1)(λ)/(2)(n=0,1,2,*s) ，则振动减弱.② 当两波源振动步调相反时.
若 \Delta r=(2n+1)(λ)/(2)(n=0,1,2,*s) ,则振动加强；若 \Delta r{=}nλ (n {=} 0 ,1 ,2 ,{*s} ) ，则振动减弱.
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点.

考向3对波的衍射现象的理解

例8(多选)障碍物处不能发生明显衍射.下列措施可能使波发生较为明显衍射的是 (

A.增大波源的振动频率B.减小波源的振动频率C.增大障碍物的长度D.减小障碍物的长度

听课笔记

甲

A.两列波在介质中的波长为 5rm{m} B.在 t=1, 35 s时， A 处质点处于波峰C.B点为振动加强点，且始终处于波峰位置D. A 点为振动加强点，振幅为 1~cm

听课笔记

考向4对多普勒效应的理解

例 9 如图所示是用发波水槽演示多普勒效应的实验照片，水槽固定不动，波源以固定频率振动并以某一速度沿 _{X} 轴方向移动， .A,B 是位于 _{\mathscr{x}} 轴上的两个质点,则在图示时刻,下列说法中正确的是（）

A.波源向 x 轴正方向运动 B. A 处波速大于 B 处波速 C.质点 A 振动的频率大于波源频率 D.质点 B 振动的频率等于波源频率

听课笔记

练4（2024·浙江6月）频率相同的简谐波源S_{1} ,S_{2} ,和接收点 M 位于同一平面内， S_{1} ,S_{2} 到M 的距离之差为 6 ~m, t=0 时， S_{1} ,S_{2} 同时垂直平面开始振动， M 点的振动图像如图所示，则(

A.两列波的波长为 2rm{m} B.两列波的起振方向均沿 \boldsymbol{\mathscr{x}} 正方向C. S_{1} 和 S_{2} 在平面内不能产生干涉现象D.两列波的振幅分别为 3 \cm 和 1~{cm} 随手记

核心素养·析真题—深研高考领悟真谛体现一个“透”

生产生活类问题

典例（2024·江西卷）如图甲所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷.在某次检测实验中，人射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图乙、丙所示.已知超声波在机翼材料中的波速为 6\ 300\ m/s. 关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度 d ，下列选项正确的是 (

甲超声波检测原理示意图

A.振动减弱， d=4. 725~mm B.振动加强， d=4. 725~mm C.振动减弱， d=9.\:45~mm D.振动加强， d=9. 45~mm 听课笔记[试题立意］本题以超声波检测飞机机翼内部缺陷为素材，创设了与生产生活紧密联系的物理问题情境.主要考查横波，简谐运动的图像，波速、波长和周期的关系，波的干涉等知识点，重点考查推理论证能力.

[关键能力］推理论证能力[失分剖析] ① 对超声波检测机翼内部缺陷的原理认识不清而出错； ⊚ 分析不出两个图像的有效信息而出错.

实验七 用单摆测量重力加速度

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、实验思路与操作

二、数据处理方法

1.公式法：利用 T=(t)/(N) 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式 g=(4π^{2}l)/(T^{2)} 求重力加速度.

2.图像法：根据测出的一系列摆长 l 对应的周期 T 作 l-T^{2} 的图像，由单摆周期公式得 l=(g)/(4π^{2)}T^{2} ，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率 k ,即可利用 g=4π^{2}k ,求重力加速度.

注意事项

1.摆线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定.
2.单摆必须在同一竖直平面内振动，且最大摆角小于 5°
3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数.
4.应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
5.一般选用一米左右的细线.

误差分析

1.偶然误差
(1)产生原因
测量时间(单摆周期)及摆长时产生
误差
(2)减小方法
① 多次测量求平均值
⊚ 从摆球经过平衡位置时开始计时
2.系统误差
(1)产生原因
主要来源于单摆模型本身
(2)减小方法
① 摆球要选体积小，密度大的
⊚ 最大摆角要小于5°

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 教材原型实验

例1某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置.

(1)下列最合理的装置是(2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 \begin{array}{r}{d=}\end{array} 周期公式中的 l 是单摆的摆长,其值等于摆线长与 （用 d 表示)之和.

甲

(3)实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期 T ,该同学误将摆线长度当成了摆长，作出 T^{2} l 图像如图乙,该图像的斜率为 (选填“1》4”或“是”).

听课笔记练1某同学在“用单摆测量重力加速度"的实验中(1)该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为cm ；同学用秒表记录的时间如图所示，则秒表的示数为 S.

（2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长 l 与周期 T 的数据，根据实验数据，作出了 T^{2}-l 的关系图像，如图所示，根据图中数据，重力加速度大小为 m/s^{2} （取 π^{2}=9, 86 ，结果保留三位有效数字）

(3)如果该同学测得的 _{g} 值偏大,可能的原因是

A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.开始计时时，秒表按下稍晚
C.实验中将51次全振动误记为50次
D.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了

考点二 拓展创新实验

考向1实验器材、探究思路的创新

例2（2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小 _{g} 的实验方案，所用器材有： 2rm{g} 砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等.具体步骤如下：

① 将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图甲所示⊚ 用米尺测量平衡时弹簧的长度L，并安装光电门.

③ 将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动.

\circledast 用数字计时器记录30次全振动所用时间t.⑤ 逐次增加托盘内砝码的数量，重复 ②③④ 的操作.该同学将振动系统理想化为弹簧振子.已知弹簧振子的振动周期 T=2π√((m)/(k)) ，其中 k 为弹簧的劲

度系数， m 为振子的质量，

(1)由步骤 \circledast ,可知振动周期 T=

(2)设弹簧的原长为 l_{0} ，则 l 与 g_{\mathbf{\nabla}x}l_{0} T 的关系式为 l=

(3)由实验数据作出的 l-T^{2} 图线如图乙所示，可得 g {=} ~\ensuremath~{~\underline{~{~m~}~}~}^{o} （保留三位有效数字， π^{2} 取9.87).

乙

(4)本实验的误差来源包括

A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置

听课笔记

考向2情境设置、探究目的创新

例3（2024·湖南卷)在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量.如图甲，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体.主要步骤如下：

甲

(1)调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块；

(2)将滑块拉至离平衡位置 20\ {cm} 处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期 T

(3)将质量为 m 的砝码固定在滑块上,重复步骤(2);(4)依次增加砝码质量 m ，测出对应的周期 T ，实验数据如下表所示，在图乙中绘制 T^{2}-m 关系图线；

(5)由 T^{2}-m 图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是 （选填“线性的”或“非线性的")；

(6)取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到 T^{2}=0.\ 880 ~s^{2} ，则待测物体质量是kg(保留三位有效数字)；

(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T^{2}-m 图线与原图线相比将沿纵轴 （选填“正方向”“负方向”或“不”移动.

练2（2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型.

丙

(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中不变。

(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙 所示，则摆球直径为 cm.

(3)若将一个周期为 T 的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动.当地重力加速度大小为 \boldsymbol{g} ，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移 \boldsymbol{\mathscr{x}} 与时间 t 的关系为

第九章

静电场及其应用 静电场中的能量

常考热点

创新考点

2024·辽宁第5题，考查平行板电容器的电容、电荷量、板间电势差等变化（学科创新融合一一平行板电容器 ^+ 化学溶液浓度).2024·广东第8题，考查电场线、等势面，比较电势的高低、电势能的大小(生活实际一—污水处理).2024·河北第14题，考查电势差和电场强度的关系，动能定理和牛顿第二定律的应用(科学探究问题情境一一等效法的运用).

2026年命题预测

命题形式：以科研设备中存在的电场、点电荷形成的电场以及平行金属板间的电场为情境，考查动力学、曲线运动、能量等知识的应用.通常为选择题，难度中等.

必考热点：(1)结合教材的图、案例和课后练习考查非匀强电场中的电场强度、电势及电势能的变化，分析带电粒子的运动轨迹等.

(2)应用“二线一迹”考查电场力以及能的性质是命题的热点.

创新考法：(1)常与实际生活、生产情境联系起来，考查考生提取信息的能力和模型建构能力.(2)考查等效法和图像法的运用.

第1讲静电场及其应用

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、电荷电荷守恒定律

1.电荷

(1)电荷量：电荷的多少叫作

(2)元电荷：把最小的电荷量叫作元电荷，即 e=1 60x 10^{-19} C.所有带电体的电荷量都是 e 的 倍.

2.电荷守恒定律

(1)表述一：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体到另一个物体，或者从物体的一部分 到另

考教衔接

1.【链接·人教版必修第三册P24第6题，两题的创设情境十分相似】

(2024·江苏卷·1)在静电场中有 a,b 两点，试探电荷在两点的静电力 F 与电荷量 q 满足如图所示的关系，则 a ,b 两点的场强大小 等于 ）

一部分；在 的过程中，电荷的总量保持不变.

(2)表述二：一个与外界没有电荷 的系统，电荷的保持不变.

(3)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、 起电.起电的实质是电子的 ，遵循

(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带 电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先 ，余下的电荷再

二、库仑定律

1.内容： 中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的 成正比，与它们的距离的 成反比.作用力的方向在它们的

2.表述式： F= ,式中 k= {N*{m^{2}/C^{2}}} ，叫作静电力常量.

3.适用条件： 中静止的

4.库仑力的方向：同种电荷相互 ，异种电荷相互

三、静电场电场强度电场线

1.静电场

(1)定义： 产生的电场叫作静电场.(2)基本性质：对放人其中的电荷有

2.电场强度

(1)定义：试探电荷所受的 与它的电荷量之比.(2)定义式： E{=}{(F)/(q)} ，是矢量，单位： N/C 或 V/m
(3)方向：规定 在电场中某点所受 的方向为该点的电场强度方向，则负电荷在电场中某点所受静电力的方向与该点电场强度的方向相反.
(4)点电荷的电场强度： E{=}(k Q)/(r^{2)}

3.电场线：为了形象地描述电场中各点电场强度的和 ，画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的 方向表示该点的电场强度方向.

四、静电平衡

导体放入电场中，导体内的自由电子不再发生导体处于静电平衡状态.处于静电平衡状态下的导体，其内部的电场强度处处为

A.1 : 1 B.2:1
C.3:1 D. 4 : 1

感悟思考

2.【链接·人教版必修第三册P17第6题，将原题图9.3一12的一个小球改为两个小球.2023年6月浙江卷第12题曾考查过类似情境】(2024·新课标卷，18)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的 O 点上，下端分别系有均带正电荷的小球 P 、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等.则（）

A.两绳中的张力大小一定相等B. P 的质量一定大于 Q 的质量C. P 的电荷量一定小于 Q 的电荷量D. P 的电荷量一定大于 Q 的电荷量感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 电荷守恒定律 库仑定律

库仑定律的理解

(1)对于均匀带电的两个绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷， r 为球心间的距离.(2)对于距离较近的两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示.

(3)当距离 r 接近于0时，库仑力 F 不能认为趋近于无限大，因为当 r 接近0时，两个带电体不能视为点电荷,库仑定律 F=k {(q_{1}q_{2})/(r^{2)}} 不再适用。

考向1库仑定律和电荷守恒定律的综合应用

例1（2025·八省联考四川卷） X,Y,Z 为大小相同的导体小球， X,Y 所带电荷量均为 q ,Z 所带电荷量为 -5q. X.Y 均放置在光滑绝缘水平面上，Y 固定在 P 点， X 与绝缘轻弹簧端相连，弹簧另一端固定，此时 X 静止在平衡位置 O 点，如图所示，将较远处的 Z 移近，先与 X 接触，然后与 Y 接触，再移回较远处，在此过程中，一直保持不变的是 （）

A. X 的平衡位置 B.Z的电荷种类C.Y对 X 的库仑力方向 D. X,Y 系统的电势能听课笔记

考向2库仑力作用下的平衡问题

例2（多选)如图所示，同一直线上的三个点电荷 q_{1},q_{2},q_{3} ,恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用.已知 q_{1}\setminus q_{2} 间的距离是 q_{2}\ldots q_{3} 间距离的2倍.下列说法正确的是(

A.若 q_{1},q_{3} 为正电荷,则 q_{2} 为负电荷 B.若 q_{1},q_{2} 为负电荷,则 q_{3} 为正电荷 C. q_{1}:q_{2}:q_{3} {=} 36:4:9 0. q_{1}:q_{2}:q_{3}=9:6:36

听课笔记

题后感悟

“三个自由点电荷平衡”模型

(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置.

例3如图所示，质量为 m 的小球甲用长为 L 的轻质绝缘细线悬挂在天花板上的 A 点，小球乙固定在绝缘天花板上的 B 点，两球均视为质点，带电量相等，甲静止时位于 C 点，已知 A ,B 两点间的距离为 √(3)L,B,C 两点间的距离为 L ，静电力常量为k.重力加速度大小为 _{g} ，下列说法正确的是( ）

A.两球的电性相同
B.细线的拉力大小为 (√(3))/(3)m g
C.两球的带电量都为 (L)/(2√(/{m g){k)}}
D.若甲的电量变成 2L√((m g)/(k)) ,则需给甲施加竖直 向下大小为 m g 的拉力,才能让甲仍静止在 C 点
听课笔记

题后感悟

静电力作用下平衡问题的求解思路

涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力.具体步骤如图所示.

考向3库仑力作用下的加速运动问题

练1如图所示，质量为 m 的带电小球 A 用长为L 的绝缘细线悬于 O 点，带电小球 B 固定于 O 点的正下方，小球 A 静止时与小球 B 在同一竖直面内， O B 和 A B 与细线的夹角均为 θ=37° ，两带电小球带电量相同，两球均可视为点电荷.已知重力加速度大小为 \boldsymbol{g} ,静电力常量为 k ,\sin 37° {=} 0.6，则小球 A 的带电量为 （）

例4导体在静电场的作用下，自由电荷发生再分布的现象称为导体的静电感应现象.如图所示，将一长为 2L 的光滑金属导体 M N 固定在绝缘水平面上，倾角为 θ ，P 是固定于金属导体左上方的一带电荷量为 +Q 的点电荷， P M\bot M N ，且 P M=L .现将一质量为m 、电荷量为 +q 的带绝缘壳的小球体（可视为点电荷)，从金属导体的 M 端由静止释放，小球体开始沿金属导体向下滑动.已知重力加速度大小为 _{g} ，小球体的电荷量始终不变.小球体从 M 运动到 N 的时间 （）

* {(3)/(5)}{√((m g L^{2))/(k)}} \mathbf{3. (4)/(5)}√((m g L^{2))/(k)} C. (3)/(4)√((m g L^{2))/(k)} D.\ {(5)/(8)}{√((m g L^{2))/(k)}} 练2如图所示， A ,B 两个带电小球用长为 \odot A L 的绝缘细线连接， A 球固定， B 球悬吊， B 球质量为 m ,重力加速度大小为 _{g} ，两球带电量相等，剪断细线的一瞬间， B 球加速度大小为0.6 g,不计小球的大小,静电力常量为k．B下列说法正确的是 ）

A.等于 2√((L)/(g\sinθ)) B.大于 2√((L)/(g\sinθ)) C.小于 2Ngsin θ D.无法确定

A.A、B两球带同种电荷
B.细线未断时，细线上拉力大小为 0, 4m g
C. B 球的带电量大小为 L√((2m g)/(5k))
D.未剪断细线时释放 A 球，释放的一瞬间， A 球加速度大小为 _{g}

考点二 电场强度的叠加与计算

1.电场强度的三个公式

2.电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场的合场强为各个电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。

例5（2024·河北卷)如图，真空中有两个电荷量均为 q _{q>0} ）的点电荷，分别固定在正三角形 A B C 的顶点 B C, M 为三角形ABC的中心，沿 A M 的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为 (q)/(2) .已知正三角形 A B C 的边长为 a ,M 点的电场强度为0，静电力常量为k.顶点 A 处的电场强度大小为

A. 2√3kq B. g(6+√3) q? a (3√3+1) D. (3+√3) a a

题后感悟

电场叠加问题的分析思路

(1)确定研究点的空间位置.(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向.(3)同一直线上的电场强度的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个电场强度的叠加，用平行四边形定则求合电场强度.

练3（2024·贵州卷）如图， A ,B ,C 三个点位于以 O 为圆 心的圆上,直径 A B 与弦BC 间的夹角为 30°.\ A,B 两点分 别放有电荷量大小为 q_{A}~,~q_{B} 的点电荷时， C 点的电场强度方向恰好沿圆的切 线方向，则 |(q_{A})/(q_{B)}| 等于

/13 B. K3 (√(3))/(3) C.√3 D.2练4（2025·海南海口市模拟预测)如图所示,水平面内有一半径为 R 的圆， O 为圆心， M,N 为一直径上的两端点， P_{\star}Q 为另一直径上的两端点，且 M N 垂直 P Q 在点 M,N,P,Q 分别放置四个电荷量为 + q 的点电荷，在垂直于水平面且过圆心 O 点的轴线上有一点 a ,a ,O 两点间的距离也为 R .已知静电力常量为 k ，则 a 点的电场强度大小为 （）

A (√(2)k q)/(2R^{2)} B. (k q)/(2R^{2)} (√(2)k q)/(R^{2)} D. (√(2)k q)/(4R^{2)}

考点三 电场线的理解和应用

1.电场线的应用

(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小.
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反.
(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快.

2.两种等量点电荷的电场线

考向1几种常见电场的电场线分布

例6（多选)如图所示的四种电场中均有α、b两点，其中 a ,b 两点的电场强度相同的是（

A.图甲中，与点电荷等距离的 a,b 两点
B.图乙中，两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距离的 a ,b 两点
C.图丙中，两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距离的 a ,b 两点
D.图丁中，匀强电场中的 a,b 两点

考向2电场线的应用

例7电场线能直观地反映电场的分布情况.如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点； O 是电荷连线的中点， E ,F 是连线中垂线上关于 O 对称的两点， B,C 和 A D 是两电荷连线上关于 O 对称的两点.则（）

A. E ,F 两点电场强度不同
B.A、 D 两点电场强度不同
C.B、O、C三点中， O 点电场强度最小
D.从 C 点向 O 点运动的电子加速度逐渐增大

听课笔记

考向3电场线与轨迹的运动分析

例8在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是 (

题后感悟

电场线与轨迹问题的判断方法

(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”（运动轨迹在初始位置的切线）与“力线”（在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况.
(2)三不知时要用“假设法”—电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况.

练5两个点电荷电场的部分电场线如图所示，一带电粒子仅在静电力的作用下由 \boldsymbol{a} 点运动到 c 点的轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是(

A.粒子带负电B.正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量C.粒子在 b 点的动能大于在 c 点的动能D.粒子在 b 点的加速度小于在 c 点的加速度

核心素养·拓教材—情境命题规范解题收获一个“赢”

非点电荷电场强度的叠加及计算

方法1等效法

在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.

例如：一个点电荷与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示.

典例1如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷 +Q ，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷 + Q 与其像电荷-Q 共同激发产生的.像电荷 -Q 的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷 +Q 在此镜中的像位置.已知 +Q 所在位置 P 点到金属板 M N 的距离为 L,a 为 O P 的中点， a b c d 是边长为 L 的正方形，其中 a b 边平行于 M N .则 ）

A.a点的电场强度大小为 E=4\;(k Q)/(L^{2)}
B.a点的电场强度大小大于 b 点的电场强度大小
C. b 点的电场强度和 c 点的电场强度相同
D.一正点电荷从 \boldsymbol{a} 点经 b ,c 运动到 d 点的过程 中电势能的变化量为零

听课笔记

方法2对称法

利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化.例如：如图所示，均匀带电的 (3)/(4) 球壳在 O 点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧 B C 产生的电场强度方向，又等效为弧的中点 M 在 O 点产生的电场强度方向.

典例2如图所示，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的正电荷，在垂直于圆盘且过圆心 c 的轴线上有 a,b,d 三个点， \boldsymbol{a} 和 b ,b 和 c~ c 和d 间的距离均为 R ，在 \boldsymbol{a} 点处有一电荷量为q\left(q>0\right) 的固定点电荷.已知 b 点处的场强为 E= 2(k 为静电力常量),方向由6指向α,则d点处场强的大小为 ( ）

A.E= E=(10k q)/(9R^{2)} B. E=(4k q)/(3R^{2)} E=k\;(3Q+q)/(3R^{2)} D. E{=}k (9Q+q)/(9R^{2)}

方法3填补法

将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或 圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事 半功倍.

典例3均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场.如图所示，一半径为 R 的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为 _{2q,O} 为球心，直线 a b 是过球壳中心的一条水平线，球壳表面与直线 a b 交于 C ,D 两点，直线 a b 上有两点 P ,Q ，且 P C=D Q=R .现垂直于C D 将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时 P 点电场强度大小为 E ，则 Q 点的电场强度大小为( ）

A (k q)/(2R^{2)} B. (k q)/(4R^{2)} kq +E D. kq E 4R2 2R2

听课笔记

方法4微元法

将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电 荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结 合对称性和场强叠加原理求出合场强.

典例4如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q ,半径为 R ，圆心为 O,P 为垂直于圆环平面中心轴上的一点， O P=L ，则 P 点的场强为（

A.{(k Q L)/(R^{2)+L^{2}}} B. (k Q L)/((R^{2)+L^{2})^{2}} kQL kQL C. D. (R²+L²) (R²+L²)3 听课笔记

第2讲静电场中的能量

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、电势能和电势

1.静电力做功

(1)特点：静电力做功与 无关，只与电荷的初、末位置有关(2)计算方法

2.电势能

(1)定义：电荷在电场中也具有势能，我们称这种形式的能为电势能，用符号 E_{p} 表示.
(2)功能关系：静电力做的功等于 的减少量,即WAB\begin{array}{r}{=E_{pA}-E_{pB} {=} {-} \Delta E_{p}.}\end{array}
(3)电势能具有相对性.通常把电荷离场源电荷 的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为

3.电势

(1)定义：电荷在电场中某一点的 与它的 之比。(2)定义式： \varphi{=}(E_{p})/(q)
(3)矢标性：电势是 ,有正负之分，正(负)表示该点电势比 高(低).
(4)电势具有相对性，同一点的电势因选取 的不同而不同.

二、电势差

1.电势差

(1)定义：在电场中，两点之间电势的(2)公式：\Phi U_{A B}=\varphi_{A}-\varphi_{B} ,U_{A B}=-U_{B A} . registeredW_{A B}= 或UAB U_{A B}=(W_{A B})/(q)

2.等势面

2.公式： U=E d 或 E=(U)/(d). （只适用于匀强电场）.

(1)定义：电场中的电势 的各点构成的面.(2)特点
① 等势面一定跟 垂直.
② 在同一 上移动电荷时，静电力不做功.

三、电势差与电场强度的关系

1.规律：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿方向的距离的乘积.

考教衔接

【链接·人教版必修第三册P37第3题两题的情境相似】

（2024·河北卷，2）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔.雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则 a,b,c,d 四点中电场强度最大的是（）

A.a点B.b点C.c点D.d点感悟思考

【链接·人教版必修第三册P34第5题两题的情境相似，2024年广东卷第8题也出现相似的问题情境】（多选）（2024·甘肃卷，9）某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹， M,N 分别是运动轨迹与等势面 b ,a 的交点.下列说法正确的是 （）

A.粒子带负电荷
B. M 点的电场强度比 N 点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在 M 点的电势能大于在 N 点的电势能

感悟思考

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 描述电场能的性质的物理量

1.电势高低的判断方法

(1)沿电场线方向电势逐渐降低
(2)若 U_{A B}>0 ,则 \varphi_{A}>\varphi_{B} ;若 U_{A B}<0 ,则 \varphi_{A}<\varphi_{B} (3)正电荷在电势能大的地方电势较高，负电荷在电势能大的地方电势较低.

2.电势能增、减的判断方法

考向1电场能的性质的物理量的分析

例1（多选)（2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示.涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面. M 点和N 点在同一电场线上， M 点和 P 点在同一等势面上.下列说法正确的有 （）

考向2点电荷的电场中电势与电场强度的大小分析

例2在正点电荷 Q 产生的电场中有 M_{\sun}N 两点，其电势分别为 \varphi_{M} .\varphi_{N} ,电场强度大小分别为 E_{M} E_{N} .下列说法正确的是 ）

A.若 \varphi_{M}>\varphi_{N} ,则 M 点到电荷 Q 的距离比 N 点 的远
B.若 E_{M}{<}E_{N} ，则 M 点到电荷 Q 的距离比 N 点 的近
C.若把带负电的试探电荷从 M 点移到 N 点，电 场力做正功,则ΦM<ΦN
D.若把带正电的试探电荷从 M 点移到 N 点，电 场力做负功,则 {\cal E}_{M}{\bf>}{\cal E}_{N}

听课笔记

考向3等量异种电荷电场的能的性质

例3(多选)等量异种电荷 +Q,-Q 的等势线分布如图所示，相邻的等势线间电势差均相等，点 \boldsymbol{a} b_{\setminus}c 连线与两电荷的连线平行，且 \scriptstyle a b=b c 一带负电的点电荷 M 仅在静电力的作用下经过 a 点时速度方向如图，经过 b 所在等势线到达 c 所在等势线，取无穷远处电势为零.下列说法正确的是 （）

A. M 点的电势比 N 点的低
B. N 点的电场强度比 P 点的大
C.污泥絮体从 M 点移到 N 点，电场力对其做正功D.污泥絮体在 N 点的电势能比其在 P 点的大

听课笔记

A. a_{up{v}}c 两点的电势相等
B. a_{up{v}}c 两点的电场强度相同
C.点电荷 M 穿越 a ,b ,c 等势线时电势能满足E_{pa}<E_{pb}<E_{pc}
D.点电荷 M 从 \boldsymbol{a} 点到等势面 b ，从等势面 b 到等势面 c 过程中，动能的变化量相等

听课笔记练1 (多选)如图，实线为某电子显微镜中静电场中的等势面， {}_{,A ,B ,C ,D ,E} 为电场中的5个点，下列说法正确的是 (

A. C 点电场强度垂直于该点所在的等势面，方向向右
B. A ,B ,C,D ,E 五个点中， C 点的电场强度大小最大
C.一正电荷从 A 点移到 E 点，电势能增大
D.一电子从 E 点移到 A 点，静电力做正功

考点二 电势差与电场强度的关系

1.公式E=只 只适用于匀强电场.在匀强电场中可定量计算，在非匀强电场中不能定量计算，但可进行定性判断.公式E=中 中的 d 为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离.公式表明：(1)电场强度的方向是电势降低最快的方向；(2)等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。

2.由公式 E{=}(U)/(d) 得出的两个推论考向1 E{=}(U)/(d) 在匀强电场中的应用例4如图所示，在匀强电场中，将带电量为 - 6x10^{-6} C的点电荷从电场中的 A 点移到 B 点，电场力做了- - 2.\ 4x10^{-5}~J 的功，再从 B 点移到 C 点，电场力做了

1.\;2x10^{-5}\;J 的功.已知电场的方向与 \triangle A B C 所在的平面平行.下列说法正确的是 (

A. A,B 两点的电势差 U_{A B}=-4~V~ B. B,C 两点的电势差 U_{B C} {=} 2\ V C.A点的电势比 C 点的电势高D.场强的方向垂直于 A C 指向 B

题后感悟

“等分法”分析电场强度的大小及方向

如果把某两点间的距离等分为 n 段，则每段两端点的电势差等于原电势差的 (1)/(n) ,采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法.

(2)“等分法”的应用思路考向 2 E{=}(U)/(d) 在非匀强电场中的应用例5如图为静电除尘器除尘原理的示意图， a,b 是直流高压电源的两极，图示位置的 P,M,N 三点在同一直线上，且 P M=M N 尘埃在电场中通过某种机制带上

A. \boldsymbol{a} 是直流高压电源的正极
B.电场中 P 点的场强小于 M 点的场强
C.电场中 M 点的电势低于 N 点的电势
D.电场中 P,M 间的电势差 U_{P M} 等于 M,N 间的 电势差 U_{M N}

听课笔记

题后感悟

E=(U)/(d) 在非匀强电场中的两点妙用(1)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差， E 越大， U 越大，进而判断电势的高低.

(2)判断电场强度的大小：等差等势面越密，电场强度越大.

练2（2025·北京门头沟测试)雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫做“跨步电压”.如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的 O 点，若 O 点附近地质结构分布均匀，则在地面以 O 为圆心的同心圆为一系列的等势线.图中 O,A,B

C 在同一直线上， B D 是过 B 点圆的切线， A B= B C=B D .若电线落地时恰好有人单脚着地站在B 点，则以下说法正确的是 (

A.图中 A,B,C 三点中， C 点电势最高
B.地面上电子由 O 向 C 定向移动
C.为了安全，人应该沿 B D 方向迈大步快速脱离
D. A,B,C,D 四点间电势差大小关系为 U_{A B}> {U_{B C}>U_{B D}}

考点三 电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹(“二线一迹")问题

考向1电场线与运动轨迹问题

例6（多选)如图所示，实线为两个点电荷 Q_{1} 、Q_{2} 产生的电场的电场线，虚直线 c d 为 Q_{1} .Q_{2} 连线的垂直平分线， O 为垂足， c ,d 两点在垂直平分线上且关于 Q_{1} .Q_{2} 连线对称.一电子只在电场力的作用下从 a 点沿虚曲线途经 O 点运动到 b 点.下列说法正确的是 ( ）

A. Q_{1} 的电荷量小于 Q_{2} 的电荷量
B. c ,d 两点的电势相同，场强相同
C.电子过 O 点时的加速度大于过 a 点时的加速度
D.电子在 O 点时的电势能小于在 a 点时的电势能

听课笔记

考向2等势面与运动轨迹问题

例7（2025·河北唐山摸底考试)如图所示，实线表示某电场等势面的分布情况，虚线表示该电场中一带电粒子的运动轨迹，A、B分别为带电粒子的轨迹与等势面 e,b 的交点.带电粒子的重力忽略不计.下列说法正确的是（）

A.粒子带正电
B.粒子在 A 点受到的电场力小于粒子在 B 点受到的电场力
C.粒子在 A 点的电势能大于粒子在 B 点的电势能
D.粒子一定从 A 运动到 B

【教你解决问题】 析图获取信息

听课笔记

考向3伏安特性曲线

例3如图所示为 a ,b 两电阻的伏安特性曲线，图中 α {=} 45° ,关于两电阻的描述正确的是（

A.电阻 a 的阻值随电流的增大而增大
B.因 I{-}U 图像的斜率表示电阻的倒数，故电阻 b 的阻值 R=(1)/(\tanα)=1~\Omega
C.在两图线交点处，电阻 \boldsymbol{a} 的阻值等于电阻 b 的 阻值
D.在两图线交点处，电阻 a 的阻值是电阻 b 的阻 值的2倍

听课笔记练3如图，一根粗细均匀的同 A B C种材料制作的电阻丝 A C,B 为 B DA C 中点，现将 B C 段均匀拉伸到 D 点： .B D=3B C ,然后将电阻丝接人电路中.下列说法正确的是 ）

A.BD段横截面积是 A B 段的3倍
B.BD段电阻是AB段的9倍
C.BD段电压是 A B 段的3倍
D. B D 段自由电荷定向移动速率是 A B 段的9倍

练4某一导体的伏安特性曲线如图中AB曲线所示，其电阻会随温度的改变而改变，下列说法正确的是

A.B点对应的电阻为 12\ \Omega
B. B 点对应的电阻为 0, 25 \Omega
C.工作状态从 A 变化到 B 时，导体的电阻因温度的影响改变了 10\ \Omega
D.工作状态从 A 变化到 B 时，导体的电阻因温度的影响改变了 9\ \Omega

考点三 串、并联电路的特点及应用

考向1串、并联电路的特点

例4如图所示的电路中,通过 R_{1} 的电流是2A，已知 R_{1}=4\ \Omega ,R_{2}=10\ \Omega ,R_{3}=15\ \Omega 则（

A.电路的总电阻是 12\ \Omega B.通过 R_{2} 的电流是1.2A

C.ab两端的电压是 20 ~V~ D.ac 两端的电压是 24 ~V~ 听课笔记

考向2电压表、电流表的改装

例5（多选）（2025·浙江衢州模拟)如图所示，把两只完全相同的表头进行改装，已知表头内阻为 100\ \Omega ，下列说法正确的是

甲

乙

A.由图甲可知,该表头满偏电流 I_{g} {=} 2 \mA
B.图甲是改装成的双量程电压表,其中 b 量程为9V
C.图乙中R= R_{1}=(10)/(9)\ \Omega,R_{2}=10\ \Omega
D.图乙中 R_{1} {=} 5\ \Omega {,}R_{2} {=} 45\ \Omega

练5某同学要将一个小量程电流表（满偏电流为 250~\muA ，内阻为 1, 2 {k}\Omega) 改装成有两个量程的电流表，设计电路如图（a)所示，其中定值电阻R_{1}=40\ \Omega R_{2}=360\ \Omega.

(1)当开关S接 A 端时，该电流表的量程为 0~ mA.

(2)当开关S接B端时，该电流表的量程比接在A端时 （选填“大”或“小”).

(3)该同学选用量程合适的电压表(内阻未知)和此改装电流表测量未知电阻 R_{x} 的阻值，设计了图(b)中两个电路.不考虑实验操作中的偶然误差，则使用 （选填“甲”或“乙”电路可修正由电表内阻引起的实验误差.

b

练6（2025·黑龙江绥化高三校考模拟)带有两接线柱的 A,B,C 三个大小、形状相同的圆柱形金属块，两接线柱分别位于相对的两侧面中心，各自接人电路后进行测量，在同一 {\boldsymbol{U}}^{-{\boldsymbol{I}}} 坐标系中各描出一组金属块两端的电压 U 和对应通过的电流I，发现三点恰在同一直线上，但未过坐标原点，如图甲所示.现将 A,B,C 按图乙方式连接到同一恒压电源上，下列说法正确的是（）

甲

乙

A. B 的电阻率最大
B. A . B . C 的电阻一样大
C.图乙中， A 两端的电压大于 B 两端的电压
D.图乙中， A ,B 消耗的总电功率大于 C 消耗的电功率

第2 讲 电能 能量守恒定律

必备知识·链教材—知识梳理考教衔接把握一个“全”

一、电功、电功率及焦耳定律

1.电功

(1)定义：是指电路中 对定向移动的电荷所做的功.

(2)公式： W{=} = (适用于任何电路).

2.电功率

(1)定义：电流在一段电路中所做的 与通电 之比.
(2)公式： P= = (适用于任何电路).

3.焦耳定律

(1)内容：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成 ，跟导体的电阻及通电时间成
（2)公式： Q= (适用于任何电路).

二、电动机电路中的能量转化

1.能量转化：电动机从电源获得能量，一部分转化为 ，还有一部分转化为

2.关系式： P_{ti} {=} P_{t{N}} {+} P_{f{f}} ,其中 P_{\upmui}=\underline{{\phantom{\mu_{0}}}} P_{\#!}=

三、闭合电路欧姆定律

1.电源

(1)电动势：非静电力所做的功与所移动的 之比， E= (2)电源的内阻：电源内部的 的电阻.

2.闭合电路欧姆定律

(1)内容：闭合电路的电流跟电源的电动势成 ，跟内、外电路的电 阻之和成

(2)三个表达式：{\scriptsize{1}}I= （只适用于纯电阻电路）；\circled{2}E= 或 E{=}U_{H}+ \scriptstyle③I E=I U+I^{2}r (适用于所有电路).

考教衔接

【链接·人教版必修第三册P82第3题】(2022·江苏卷，2）如图所示，电路中灯泡均正常发光,阻值分别为 R_{1}= 2~\Omega,R_{2}=3~\Omega,R_{3}=2~\Omega R_{4} {=} 4\ \Omega ，电源电动势 E= 12 ~V~ ，内阻不计.四个灯泡中消耗功率最大的是( ）

A. R_{1} B. R2
C. R3 D. R4

关键能力·研教材—考向探究经典示例突出一个“准”

考点一 电功、电功率、电热、热功率

1.纯电阻电路与非纯电阻电路的比较

2.电动机的三个功率及关系