51

附加题

1.如图是一个“冲出围城”的游戏，规则如下：城中人想要冲出围城，可以横走也可以竖走，但是不可以斜走，每走一格就可以得到格中相应的分数作为生命值，每格中的分数用乘法累计.当生命值为正数且小于+9 时，并且处于最外圈时，就可以冲出围城，生命值为负数不可以出城.例如：2  2 2 1  8 ，就是一条冲出围城的路线.把你找到的冲出围城的路线写下来，也可以直接用箭头将路线在图中表示出来（写出一种即可）.2.阅读材料，回答下列问题：

1 1 3 2

1 1 1

2 3 2 3

1 1 1 1 3 5 2 4

1 1 1 1 1

2 4 3 5 2 4 3 5

   

        

   

       

                

       

根据以上信息，请求出下式的结果：

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 20 3 5 7 21

               

                       

               

52

3.小红在解题过程中发现了如下规律：

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4   ,      .    ，，聪明的你能用上面的规律计算下列各题吗？

（1）

1 1 1 1

+ + + +

1 2 2 3 3 4 9 10

    

（2）

1 1 1 1

+ + +

2 4 4 6 68 810

（3）

1 1 1 1 1

2 6 12 20 30     

4.小华在电脑上设计了一个有理数运算程序：先输入 a，再输入*，最后再输入b，且a≠b，得到运算a*b=ab÷(a−b). （1）求 2*(−3)和(−3)*2 的值；

（2）猜想 a*b 与 b*a 的关系（不必说明理由）；

（3）若 x  4  m  n ， y  n  n  m ，且 m≠n，求

y

xy

x  的值.

53

七上第 5 周秋季讲义知识点 1 科学记数法

科学记数法：

一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a×10

n的形式，其

中 1≤a<10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.对于小于−10 的数也可以类似表示.例如：3.6×10

7，−5.7×10

8

温馨提示：

1.a 就是把原数的小数点移动到左边第1个不是0的数字后面所得到的的数2.n 的值比原数的整数位数少1

例如：5690.23 用科学记数法表示为5.69023×103例题

1.2020 年 6 月 23 日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务.今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元.把数据 4000 亿元用科学记数法表示为（ ）

A.4×10

12 B.4×10

10 C.4×10

11 D.4×10

9

2.已知光速为 300 000 千米/秒，光经过 t 秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10

n千米，则n可能为（ ）

A.5 B.6 C.5 或 6 D.5 或6 或7

练习

1.“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截至 2018 年9 月底，各地已累计完成投资1.002×10

11元.数据 1.002×10

11可以表示为（ ）

A.10.02 亿 B.100.2 亿 C.1 002 亿 D.10 002 亿2.国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及 13.75 亿中国人，这个数字用科学记数法表示为（ ）

A. 6 13.7510 B. 5 13.7510 C. 9 1.37510 D. 6 13.75103.据民政部网站消息，截至 2020 年底，我国 60 岁以上老年人口已经达到 2.92 亿，其中2.92 亿用科学记数法表示为 ．

4.据报道，春节期间微信红包收发高达 3270000000 次，则 3270000000 用科学记数法表示为.

54

知识点 2 有理数的混合运算

有理数的混合运算法则：

1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；

2.如果有括号，先算括号里面的

例如：

     

 

2 18 6 2 3 18 6 4 3 18 6 12

18 6 18 6 24             

       

温馨提示：

在进行有理数的混合运算时，1.用正确的运算顺序进行运算2.注意符号的变化3.在运用运算性质时不要出现错误4.考虑灵活运用性质来简化计算例题

1.下列计算中，正确的是（ ）

A.

2 24  2  20=  20  20  1 B.

2 2 1 1 4 1

2= 2 1

3 3 2 3 6

        

 

C.

4 2 2 15 15 16 15 1 D.      

4 2 3 2   3  2  16 171 

2.按一定规律排列的一列数一次为 2，3，10，15，26，35，，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）

A.9 999 B.10 000 C.10 001 D.10 002

3.若 a 与 b 互为相反数，x 与 y 互为倒数，m 的绝对值与倒数均是它本身，n 的相反数是它本身，求    

2022

2021 1 2021 2021 1 2022 9

5

a b m n

xy

 

      

  的值.

55

4.计算

（1）

1 1

30 4 ( 3) 15

5 6

 

       

  （2）

4 2 232 1 ( 3) ( 15)35           

 

（3）

4 1

1 1 1 0.5 6

3

            

    （4）  3 2 5 112 243 6 12       

 

（5）  

2

2 1 5 3 1

9 240 4

3 3 5 4

                  



    

（6） 2

2023 2022 2 1( 0.25) 4 522   5.阅读下列材料：

小明为了计算 2 3 2017 2018 1 2  2  2    2  2 的值，采用了以下方法：

设 2 3 2017 2018 S 1 2  2  2    2  2 ，①

则 2 3 2017 2019 2S  2  2  2    2  2 ，②

②−①得， 2019 S  2 1 .所以 2 3 2017 2018 2019 S 1 2  2  2    2  2  2 1 .请仿照小明的方法解决以下问题：

（1） 2 3 9 1 2  2  2    2 = ；

（2） 2 3 10 3  3  3    3 = . （3）求 2 3 1

n  a  a    a 的和（a > 0，n 是正整数，请写出计算过程）.

56

练习

1.对于算式    

4 2 18 3  2 ，下列运算步骤中，错误的是（ ）

A. 16  18  2  3   B. 16  18  2 3 C. 16  54  2 D. 165422.观察下面“品”字形图案中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为（）A.23 B.75 C.77 D.139

3.在“−”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入 2

2+2×（1□

1

2

）中的□里，并计算.

4.计算

（1）

2

4 1 3 2 5

1 | 2 | ( 3) ( 2) 6 2

                 

 

（2） 2

2 22 114 ( 32) 333       

  （3）

2

4 1 3 2 5

1 | 2 | ( 3) ( 2) 6 2

                 

 

（4）

2 1 1 2 13111 | 7 ( ) | ( )()4 2 341224   （5）

1 1 1 1

8

6 4 12 6

         

  （6）   3 2 4 11 2 3152      

 

57

随堂检测1.钓鱼岛是位于我国东海钓鱼岛列国的主岛，被誉为“深海中的翡翠”，面积为4400000 平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）

A. 6 4.4 10 B. 5 0.44 10 C. 5 44 10 D. 5 4.4 102.2016 年国庆黄金周已经结束.据国家旅游局统计数据显示，国庆期间，全国共接待游客5.93 亿人次，同比增长 12.8%，累计旅游收入 4822 亿元，同比增长 14.4%.其中，青岛旅游收入53.7 亿元，列全国城市旅游总收入排行榜第 15 位，53.7 亿元用科学记数法表示为（ ）

A.5.37×10

9元 B.0.537×10

11元 C.5.37×10

2元 D.5.37×10

10元3.唐家山堰塞湖是汶川大地震形成的最大、最险的堰塞湖，垮塌山体约达 2037 万立方米，把2037万立方米这个数用科学记数法表示为（ ）立方米. A．2037 B． 3 2.03710 C． 4 203710 D． 7 2.037104.观察下列等式： 0 1 2 3 4 5 7 1，7  7，7  49，7  343，7  2401，7 16807， ，根据其中的规律可得0 1 2 2019 7 +7 +7 + +7 的结果的个位数字是（ ）

A.0 B.1 C.7 D.8

5.按如图所示的程序进行计算：如果第一次输入的数是 20，而结果不大于 50 时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果.

6.计算：

（1）

 

2

3 1 1 1 1 3 1

2 11 2 13 24

4 2 4 3 4 0.2

     

            

       （2）  1 13 0 25 2455254 2. . %         （3）

1 2 1 1 1

24 3 12 6 2

   

        

    （4）

1 1 1 1 111112 6 12 20 3042567290   

58

附加题

1.仔细观察下列两组数：

第一组：1，4，9，16，25，；

第二组：0，−3，−8，−15，−24， . （1）第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？

（2）取每组数的第 20 个数，计算这两个数的和.

2.有一个填写运算符号的游戏：在“269”中的每个内，填入+，−，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果. （1）计算：1+2−6−9= （2）若 1÷2×69= −6，请推算内的符号；

（3）在“1÷2×69”的内填入符号后，使计算所得的结果最大，直接写出这个结果.

59

3.观察下列三行数：

−3，9，−27，81，−243， ①

1，13，−23，85，−239， ②

1，−3，9，−27，81， ③

（1）第①行的数是按什么规律排列的？

（2）第②行、第③行的数与第①行的数有什么关系？

（3）第②行、第③行中第 6 个数之和与第①行中第 6 个数之差是多少？

4.计算： 2 3 4 9 10  2  2  2  2  2  2

计算： n

n       1 1 2 3 4 ( 1) （ n 为正整数）

60

5.阅读材料，解决问题：

由 1 2 3 4 5 6 7 8 3  3，3  9，3  27，3  81，3  243，3  729，3  2187，3  6561， 不难发现3 的正整数幂的个位数字按照 3，9，7，1 循环出现，由此可以得到：

因为 3

100=3

4×25，所以 3

100的个位数字与 3

4的个位数字相同，应为 1；

因为 3

2019=3

4×504+3，所以 3

2019的个位数字与 3

3的个位数字相同，应为 7；

（1）请你仿照材料，分别求出 7

99的个位数字与 8

99的个位数字.

（2）请探索 2

2021+7

2021+8

2021的个位数字；

（3）请直接写出 8

2022−2

2022−3

2022的个位数字.

61

七上第 6、7 周秋季讲义知识点 1 用字母表示数

类型 举例1. 字母和数相乘→省略乘号，把数写在字母的前面 5a

2. 相同的字母相乘→写成乘方的形式 a

3

3. 字母和字母相乘→按英文字母顺序写 3ab

4.带分数与字母相乘→将带分数化为假分数 13122a写成a5. 代数式有加减关系→把代数式用括号括起来，再在括号外边写上单位名称(4a−3b)千克例题

1.用文字语言叙述

1

b

a  ，不正确的是（ ）

A.比 a 的倒数小 b 的数 B.1 除以 a 的商与 b 的差

C.1 除以 a 与 b 的差的商 D.a 的倒数与 b 的差

3.若某三位数的个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c，则此三位数可表示为（）A. a  b  c B. cba C.100c 10b  a D.100a 10b c

2.列式表示

（1）甲数为 x，乙数比甲数的

1

2 小 1，乙数是多少？

（2）数 m 的相反数与 1 的差；

（3）比 a 的 3 倍大 1 的数.

4.用式子表示图中阴影部分的面积

62

练习

1.“a 的 2 倍与 b 的和的平方”用式子表示为 .

2.设 x 表示两位数，y 表示三位数，如果把 x 放在 y 的左边组成一个五位数，可表示为（）A. xy B.1000x  y C. x  y D.100x  y

3.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）

A.12m 1 B. 4m  8m  2 C.12m  2  8 D.12m16

4.某日某班一个组中 10 名学生的平均体温是 x℃，另外 5 名学生每人的体温均为36.3 ℃，那么整个组的平均体温是（ ）

A. 36 3

2

x  . ℃ B. 10 181 5

15

x  . ℃ C. 10 36 3

15

x  . ℃ D. 10 181515

. ℃知识点 2 代数式

用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独一

个数或一个字母也是代数式.例如：

4+3(x−1)，x+x+(x−1)，a+b，ab，2(m+n)，

s

t ，a

3，温馨提示：

含有“<（≤）”“>（≥）”“＝”“≠”等符号式子不是代数式

例题

1.下列所列代数式正确的是（ ）

A.a 与 b 的差的平方： 

2 a  b B.m，n 的和与 m，n 的差的积：mnmnC.x 的倒数与 y 的积：

1

xy

D.加上 a 的 2 倍等于 b 的数：b 2a

2.若 2 m  2m 1，则 2 4m  8m  3的值是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

63

3.如图，用 6 米长的铝合金做成一个长方形的窗框，设长方形窗框的横条长度为x 米，则长方形窗框的面积为（ ）

A. x 6  x B. x 6  3x C. 3

3

2

x x

 

  

  D. 3

6

2

x x

 

  

 

练习

1.用文字语言叙述代数式

1 1

a b  ，不正确的是（ ）

A.1 除以 a 与 b 的差的商 B.比 a 的倒数小 1 除以 b 的商的差C.1 除以 a 的商与 1 除以 b 的商的差 D.a 的倒数与 b 的倒数的差

2.（1） a 与 8 的平方差可以表示为： ;

（2）a 与 8 的差的平方可以表示为： .

3.A，B 两地相距 280 km，李明驾驶汽车以 v km/h 的速度从 A 地驶往 B 地，请你用代数式表示：（1）李明从 A 地到 B 地需要的时间；

（2）如果汽车每小时多行驶 10 km，李明从 A 地到 B 地需要多长时间？

（3）在（2）的情况下，李明从 A 地到 B 地比原计划少用的时间是多少？

64

知识点 3 代数式求值

会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程

或某种算法，例如数值转换机

温馨提示：

利用代数式求值推断代数式所反映的规律，而不是单纯的符号的计算例题

1.如图所示的运算程序，能使输出的结果为 16 的是（ ）

A. x  5, y  3 B. x  7, y  3 C. x  3, y  1 D. x  4, y 1

2.如下表，观察两个代数式的值的变化情况. m 1 2 3 4 5 6 76m+8 14 20 26 32 38 44 502m2+1 3 9 19 33 51 73 99（1）随着 m 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？

（2）估计哪个代数式的值先超过 200.练习

1.在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，发现无论 x 取任何正整数，结果都会进入循环，下列选项一定不是该循环的是（ ）

A.4，2，1 B.2，1，4 C.1，4，2 D.2，4，1

65

2.公安人员在破案时常常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a 表示脚印长度，b表示身高，那么关系类似于b  7a  3.07 . （1）某人脚印长度为 24.5 cm，则他的身高约为多少？

（2）在某次案件中，抓获了两个可疑人员，一个身高为 1.87 m，另一个身高为1.79 m，现场测量的脚印长度为 26.3 cm，请你帮助公安人员判断一下，哪个可疑人员的可能性更大？知识点 4 单项式、多项式、整式

单项式：表示数与字母的乘积的式子叫做单项式.注意：单独一个数或者一个字母也是单项式

2 42

2

xy  , ,a

多项式：几个单项式的和叫做多项式 1 3 2 2 8 5

8

x  , x  a x x

整式：单项式和多项式统称整式 2 1 3 2 2 42 8 5

2 8

xy  , ,a, x  , x axx单项式的系数：单项式中的数字因数

单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和

单项式 3 2 x yz 的系数是1，次数是6

多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项

多项式的次数：在一个多项式中，次数最高的项的次数，叫

做这个多项式的次数

2 3 1 2 5 4 2 2

3

a  a  ab c 是四次四项式，最高次项是

1 2 3  ab c ，最高次项的系数是13，常数项 2

5

单独一个非零数的次数是 0

当代数式的系数是 1 或−1 时，这个“1”应省略不写

66

例题

1.下列说法中，正确的是（ ）

A.a 是单项式，它的次数是 0，系数为 1 B.0 不是单项式

C. 1

x

是一次单项式 D.

2 3 a b c 是六次单项式，它的系数是−1

2.下列说法错误的是（ ）

A.m 既是单项式也是整式 B.   1

2

m  n 既是多项式也是整式C.整式一定是单项式 D.整式不一定是多项式

3.若多项式  

2 2 2 1

m n xy n x y

    是关于 x，y 的三次多项式，则 mn= .

4.若−2ax

3y

|n-3|是关于 x，y 的单项式，且系数是 8，次数是 4，求 a，n 的值．5.填表：

单项式 0.2n

3 2 2

7

m np 

3 2 5

 r

4 2 2 x y 5系数

次数

6.请把下列各式的序号分别填入如图所示的圈内：①1，② s  ab ，③ r ；④4 3 3

 r ；⑤1x1；⑥mmn；⑦

2 1

3

x 

；⑧

2 2x



代数式 单项式 多项式 整式

67

练习

1.下列说法中，正确的是（ ）

A.a 的系数为 0 B.ab

2c 的次数是 2

C. 1 3 2

 xy 的系数为

1

2

 D.−5 是一次单项式

2.下列结论中正确的是（ ）

A.单项式

2 4

 x y 的系数是

1

4 ，次数是 4 B.单项式 m 的次数是 1，无系数C.在

1 2 5

0

3 4

x y y a , , ,  x 中整式有 2 个 D.多项式 2 2 2x  xy  3是三次三项式3.如果一个多项式是五次多项式，那么这个多项式的每一项的次数（ ）A.都小于 5 B.都大于 5 C.都不小于 5 D.都不大于5

4.若单项式 2 4 6x y

与 1 2 2 3

m y z

  的次数相同，则 6m  2 = .

5.如果  

2 3 5

k k x y

  是关于 x，y 的六次单项式，求 k 的值；

6.已知关于 x 的整式   

2 3 2 k  9 x  k  3 x  k . （1）若该整式是二次式，求 2 k  2k 1的值；

（2）若该整式是二项式，求 k 的值.

68

知识点 5 合并同类项

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项

合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项

mn 和

3

2

mn ；法则：把同类项系数相加，字母与字母的指数不变

应用：先合并同类项，后求值

3 1

2 2 mn  mn   mn

同类项与系数无关，与字母顺序无关

常数项都是同类项

3xy 和 4yx 和

1

2

xy ；4 和6 和−2

例题

1.把 x  y 看成一个整体，则化简       

2 2 x  y  3 x  y  4 x  y  5 x  y 的结果是（）A.    

2 2 x  y  3 x  y B.    

2 2 x  y  3 x  y

C.    

2 x  y  3 x  y D.    

2 2 x  y  x  y

2.若 2 7

x a b 和 3 y a b 的和为单项式，则 x y = .

3.如果多项式 2 2 2 2 3x  7x  x  k x  5 中不含 2 x 项，则 k 的值为 .

4.先合并同类项，再求值：

2 2 2 m  4m  3m  5m  6m  2 ，其中

3

2

m   .

5.关于 x，y 的多项式 2 2 6mx  4nxy  2x  2xy  x  y  4 不含二次项，

求多项式 2 2 2m n 10m  4n  2  2m n  4m  2n 的值.

69

练习

1.式子 2 3 3 3 2 3 3 3x y 10x  3x  6x y  3x y  6x y  7x  8 的值（ ）

A.与 x，y 的值都无关 B.只与 x 的值有关

C.只与 y 的值有关 D.与 x，y 的值都有关

2.若单项式 3 4 3

n x y 与单项式 3 6

m x y 的和是 3 4 9

n x y ，则 m 与 n 的关系是 .

3.先合并同类项，再求值：

已知 x  y  3，求多项式           1 2 2 3

0 3 0 75 2 74 10

x  y  . x  y  . x  y  x  y  x  y 的值.

4.若多项式 2 3x  2x  b 与 2 x  bx 1的和中不存在含 x 的一次项. （1）试求 b 的值；

（2）写出这两个多项式的和，并说明不论 x 取什么值，和的值总是正数.

70

5.如图是一套住房的平面图及尺寸数据.

（1）用含有 x，y 的式子表示这套房子的总面积是 ；

（2）经测量得 x=1.8 米，y=1.5 米，购买时房价为 0.8 万元/平方米，在计算房价时需另外加7.9平方米的公摊面积，那么该套房子的价格是 万元；

（3）装修时，客厅与卧室铺设木地板，每平方米售价为 400 元，厨房与卫生间铺设瓷砖地板，每平方米售价为 150 元，那么铺设地板一共需要多少元？

知识点 6 去括号法则

括号前为“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里的各

项的符号都不改变；

括号前为“−”，把括号和它前面的“−”去掉后，原括号里的各

项的符号都要该改变

温馨提示：

括号前面系数不是+1 或−1，先按照乘法分配律，将括号内各项都乘系数的绝对值，再按照去括号法则去括号例题

1.下列各项去括号正确的是（ ）

A. 3m  n  3m  n B.    

2 2  5x  3y  4 2xy  y  5x 3y 8xy4yC. ab  5a  3  ab  5a  3 D.  

2 2 x  2 2x  y  2  x  4x  2y 4

71

2.对于多项式 x  2y  3z  5 ，添括号错误的是（ ）

A.  x  2y   3z  5 B.  x  2y  +3z  5 C. x  2y  3z  5 D.  x 2y  3z 53.已知一个多项式与 2 3x  9x 的和等于 2 3x  4x 1，则这个多项式是（ ）A. 5x 1 B. 5x 1 C. 13x 1 D.13x 1

4.已知 2a  3b  4 ，则 4a  6b  3 的值为 .

5.化简求值：

23m  2n  2 m  2n  m  n 

  ，其中 m  1,n  2 ；

练习

1.当 a 是正整数时，整式  

3 2 2 3 a  3a  7a  7  3  2a  3a  a 一定是（ ）A.3 的倍数 B.4 的倍数 C.5 的倍数 D.10 的倍数2.已知 2a  4b  7 ，则8  2b  a = .

3.已知  

2 m  n  2  mn  3  0 ，求 3m  n  2 mn  m  n   3 2 m n  3mn

    的值.

72

4.佳琪准备完成题目：

化简   

2 2 x  6x  8  6x  5x  2 ，他发现系数“  ”印刷的不清楚. （1）他把“  ”猜成 3，请你化简：   

2 2 3x  6x  8  6x  5x  2 ；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“ ”是多少？知识点 7 整式的加减运算

进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，

再合并同类项

括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不变括号前是“−”，把括号和它前面的“−”去掉后，原括号里各项的符号都要改变例题

1.若 3 2 2x  8x  x 1 与 3 3x  2mx  5x  3 的差不含 2 x 项，则 m 等于 .

2.若 2 M  3x  5x  2 ， 2 N  3x  5x  2 ，则 M 与 N 的大小关系是 .

3.小明做了一道数学题：“已知两个多项式 A，B， 2 A  ,B  x  3x  2 ，计算3A+B 的值”.小明误把“3A+B”看成“A+3B”，求得的结果为 2 5x  2x  3 ，请求出 3A+B 的正确结果.

73

练习

1.一个多项式与 2 x  2x 1的和是3x  2 ，则这个多项式为 .

2.当 x=1 时，多项式 3 px  qx 1的值为 2023，求当 x=−1 时，多项式 3 px  qx 1的值.

3.求当式子  

2 2x  4  5 取得最小值时，式子  

2 5x  2x  5x  2 

  的值.

4.已知 2 2 A  2x  xy  3y 1,B  x  xy . （1）若 

2 x  2  y  3  0 ，求 A  2B 的值. （2）若 A  2B 的值与 y 的值无关，求 x 的值.

5.已知 k 为常数，化简关于 x 的式子   

2 2 2 2x  x  kx  x  x 1 

  ，并求出当k 为何值时，此式子的值为定值，定值是多少？

74

6.如图是某月的日历.

（1）带阴影的方框中的 9 个数之和与方框正中心的数有什么关系？

（2）不改变方框的大小，将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，你能得出什么结论？你知道为什么吗？（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？

75

随堂检测1.下列说法中正确的是（ ）

A.2 不是单项式 B.

2 a b 的系数是−1，次数是 3

C.

3 6 x 的系数是 6 D.

2 2

3

x y  的系数是−2

2.对于多项式 2 3x  2xy 1，下列说法中，正确的是（ ）

A.一次项系数是 3 B.最高次项是 2xy

2 C.常数项是−1 D.是四次三项式3.若 M，N 分别代表四次多项式，则 M+N 是（ ）

A.八次多项式 B.四次多项式 C.次数不低于四的整式 D.次数不高于四的整式4.多项式     

2 2 2 xyz  4xy 1  3xy  2z yx  3  3xyz  xy 的值（ ）

A.与 x，y，z 的大小都无关 B.与 x，y 的大小有关，而与 z 的大小无关C.与 x 的大小有关，而与 y，z 的大小无关 D.与 x，y，z 的大小都有关

5.今年母亲节，小娜送给妈妈一束鲜花，她选了 3 枝百合，6 枝郁金香，9 只康乃馨.若百合每枝a元，郁金香每枝 b 元，康乃馨每枝 c 元，则小娜购买这束鲜花的费用是（ ）

A. 3a  6b  9c  元 B. 9a  6b  3c 元 C. 6a  b  c 元 D. 3  6  9abc元6.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价 x 元的衣服以0.8x 10 元出售，则下列说法中能正确表达该商店促销方法的是（ ）

A.原价减去 10 元后再打八折 B.原价打八折后再减去 10 元C.原价减去 10 元后再打两折 D.原价打两折后再减去 10 元7.一个长方形的一边长为 3m+2n，与它相邻的一边比它长 m−n，则这个长方形的周长是.8.下图是一个运算程序示意图.若开始输入 x 值为 625，则第 2020 次输出的结果为.

9.合并同类项

（1） 2 2 2x  3x  4x  6x  5 （2） 2 a  2ab  2ba  3a  5  2a

76

10.一个两位数，个位上的数字是 a，十位上的数字是 b，如果把这个数个位上的数字与十位上的数字交换.（1）原来的数怎样表示？

（2）交换后的新数怎样表示？

11.在全国统一鞋号中，成年男鞋有 14 种尺码，其中最小的尺码是 23.5 厘米，各相邻的两个尺码相差均为0.5 厘米，如果从尺码最小的鞋开始标号，所对应的尺码（单位：厘米）如下表所示：标号 1 2 3  14尺码 23.5 23.5+1×0.5 23.5+2×0.5  23.5+13×0.5（1）标号为 7 的鞋的尺码为多少？

（2）标号为 m（1≤m≤14，且 m 为整数）的鞋的尺码如何表示？

12.阅读材料，回答问题：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把该多项式按这个字母的降幂排列；反之，叫做按这个字母的升幂排列.如 3 2 2 x y  x y  2xy 1是按字母 x 的降幂排列的多项式. （1）把多项式 2 4 3 4x  5x  8  x  2x 按字母 x 的降幂排列；

（2）把多项式 4 5 2 2 3ab  4b  6a  4a b 按字母 b 的升幂排列.

77

13.如图是一个长为 a，宽为 b 的长方形，两个阴影图形都是底边长为 1，且底边在长方形对边上的平行四边形. （1）用含字母 a，b 的式子表示长方形中空白部分的面积；

（2）当 a=3，b=2 时，求长方形中空白部分的面积.

14.阅读材料：

我们知道， 4x  2x  x  4  2 1 x  3x ，类似地，我们把a  b 看成一个整体，则 4a  b  2a  b  a  b   4  2 1a  b  3 a  b  .“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.尝试应用：

（1）把 

2 a  b 看成一个整体，合并      

2 2 2 3 a  b  6 a  b  2 a  b 的结果是；（2）已知 2 x  2y  4 ，求 2 3x  6y  21的值.拓展探索：

（3）已知 a  2b  3,2b  c  5,c  d 10 ，求a  c  2b  d   2b  c  的值.

78

15.张明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据解答下列问题：（1）写出墨迹遮盖住的所有整数；

（2）如果墨迹盖住的整数中最大的数是 a，最小的数是 b，且 10

a

m  ， 2 n  b  3b 2，试求    

2 2 2 2 mn  3m  m  5 mn  m  2mn

  的值.

79

七上第 8 周秋季讲义知识点 1 日历表中数的规律

名称 左右相邻的两个数 上下相邻的两个数 横排（竖排）相邻的3个数日历表中数的规律

日历表中左右相邻的

两个数差 1

日历表中上下相邻的

两个数差 7

横排（竖排）相邻的3 个数的和等于中间的数的3 倍温馨提示 日历中可以设计十字形框、H 形框、M 形框、W 形框等包含数字规律的数框例题

1.在如图的某年 6 月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A.27 B.51 C.69 D.72

2.如图 1 是 2021 年 1 月的日历，请根据图回答下列问题：

（1）如图 1，如果本周六对应日期用 x（2≤ x ≤ 23，且 x 为整数）表示，那么本周五对应日期可以表示为,下周六对应日期可以表示为 . （2）如图 2，若用 a 表示阴影部分（5 天）中最中间一天的日期，用 S 表示这5 天的日期之和，求S与a之间的数量关系，并说明理由.

80

练习

1.将有规律的整数 1，－2，3，－4，5，－6…按照如图所示的方式排成数阵. 1 －2 3 －4 5 －6 7 －8 9 －10

11 －12 13 －14 15 －16 17 －18 19 －20

21 －22 23 －24 25 －26 27 －28 29 －30

31 －32 33 －34 35 －36 37 －38 39 －40

41 －42 43 －44 45 －46 47 －48 49 －50

51 －52 53 －54 55 －56 57 －58 59 －60 …

（1）用字母表示如图横行任意三个相邻的数的关系______、_______、_______；（2）如图，方框中九个数之和与正中间数 17 有什么关系？请计算说明. （3）用这样的方框在数阵中移动（一直保持框出数阵中的 9 个数），那么方框中九个数之和与正中间数关系，还如（2）中一样成立吗？请用字母解释其中所包含的规律.备 用 图 备用图

81

2.在 2021 年 1 月的日历上，用如图的阴影方框任意框出 4 个数，若设阴影方框右下角的数为a. （1）用含 a 的式子表示框出的 4 个数的和；

（2）若框出的 4 个数之和为 68，求 a；

（3）框出的 4 个数之和可能是 39 吗？为什么？

3.国庆节即将来临，张华高兴地看着某月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为 a，b，c，d，k.设中间的一个数为k，如图：试回答下列问题：（1）此日历中能画出 个十字框？

（2）若 a+b+c+d=84，求 k 的值；

（3）是否存在 k 的值，使得 a+b+c+d=108，请说明理由.

82

知识点 2 猜数游戏

名称 举例

猜数游戏

小明对小兵说：“你先想好一个数，把这个数减 3，将差乘2，然后把结果说出来，我就能猜出你想的是什么数.”若小兵给出的结果是 106，则小明猜出小兵想的数是56.温馨提示 在猜数游戏过程中，要体会字母表示数的必要性，进一步体会整式的加减运算.例题

小慧和小华玩猜数游戏，小慧对小华说：“你想一个数，这个数乘以 6，加上3；得到的数除以3，再减去你想的数，只要你告诉我正确的结果，我就知道你想的数是几.”小华很好奇，就想了一个数，并按照小慧说的方法计算出结果，告诉小慧说：“我计算的结果是−2.”请你解决以下问题：

（1）小慧可以猜出小华想的数是 ；

（2）请你用代数方法说明，小慧为什么总能猜出别人（不一定是小华）想的数.

练习

小明和小勇一起玩猜数游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第1个数乘以2；②加上 2；③乘以 5；④加上第二个数；⑤乘以 10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个一位数，小勇表示不相信，但试了几次，小明都猜对了，请你利用所学过的数学知识来探索该奥秘，并回答当“最后的得数”是 567 时，小勇最初选定的三个一位数分别是（）A.5,6,7 B.6,7,8 C.4,6,7 D.5,7,8

83

知识点 3 等差数列求表达式

例题

1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 O 为起点结六条线 OA、OB、OC、OD、OE、OF后，再从线 OA 上某点开始按逆时针方向依次在 OA、OB、OC、OD、OE、OF、OA、OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1、2、3、4、5、6、7、8、…，那么第 2022 个结点在（ D ）A.线 OB 上 B.线 OD 上 C.线 OE 上 D.线 OF 上2.如图是一个正三角形场地，如果在每边上放 2 盆花共需要 3 盆花；如果在每边上放3 盆花共需要6盆花，如果在每边上放 n（n>1）盆花，那么共需要 盆花.

3.如图是一组有规律的图案，图案（1）是由 4 个 组成的，图案（2）是由7 个组成的，那么图案（3）是由 10 个 组成的…，按此规律，组成图案（8）的 个数为（）（1） （2） （3）

A． 23 B．25 C．27 D．29

练习

1 用菱形纸片按规律依次拼成下面的图案，第 1 个图案中有 5 张菱形纸片；第2 个图案中有9 张菱形纸片；第 3 个图案中有 13 张菱形纸片；按此规律，第 6 个图案中有（ ）张菱形纸片. A.21 B.23 C.25 D.29

2.搭建如图①所示的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则搭建n顶这样的帐篷需要 根钢管.

84

3.将图 1 中的正方形剪开得到图 2，则图 2 中共有 4 个正方形；将图 2 中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有 7 个正方形；将图 3 中 4 个较小的正方形中的一个剪开得到图 4，则图4 中共有10 个正方形，照这个规律剪下去……

（1）根据图中的规律补全下表：

（2）求第几幅图形中有 2020 个正方形？

知识点 4 乘方规律

1.某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由1个可分裂繁殖成 个，经过 x 小时可以分裂成 个. 2.如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n之间的关系式是 .知识点 5 猜末位数字

1.观察下列等式：3

1=3，3

2=9，3

3=27，3

4=81，3

5=243，3

6=729，3

7=2187…

解答下列问题：3

1+3

2+3

3+3

4+…+3

2022的末位数字是 . 2.观察下列等式： 7 1

0  ， 7 7

1  ， 7 49

2  ，7 343

3  ， 7 2401

4  ，7 16807

5  ，…，根据其中的规律可得0 1 2 2022 7 + 7 + 7 + ...+ 7 的结果的个位数字是 .

图形标号 1 2 3 4 5 6 … n

正方形个数 1 4 7 10 …

85

知识点 6 倒序相加法求和

例题

如图是小强用铜币摆放的 4 个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第 n 个图案需要个铜币.练习

1.小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从 2 开始，连续的几个偶数相加，它们和的情况变化规律，如表所示：

加数的个数 n 连续偶数的和 S

1 2=1×2

2 2+4=6=2×3

3 2+4+6=12=3×4

4 2+4+6+8=20=4×5

5 2+4+6+8+10=30=5×6

请你根据表中提供的规律解答下列问题：

（1）如果 n=8 时，那么 S 的值为________；

（2）根据表中的规律猜想：用 n 的代数式表示 S，则 S=2+4+6+8+…+2n=______；（3）利用上题的猜想结果，计算 300+302+304+…+2020+2022 的值（要有计算过程）. 2. （1）观察下列图形与等式的关系，并填空：

（2）观察右上图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空：1+3+5+…+（2n−1）+（ ）+（2n−1）+…+5+3+1= .

86

例题

阅读材料：求 2 3 2022 1 2  2  2    2

令 S= 2 3 2022 1 2  2  2    2 ①

则 2S= 2 3 2022 2023 2  2  2    2  2 ②

②−①：S= 2 1

2023－

以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”，请你根据上面的材料解决下列问题：（1） 2 3 2022 1 3  3  3    3 = ；

（2） 2 3 2022 1 5  5  5    5 = ；

（3） 2 3 2022 1 1 1 1

1

2 2 2 2

      = .知识点 8 裂项相消法求和

例题

1.观察下列等式：

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4   ,   ,   ,   

把以上三个等式两边分别相加得：1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

1 1

1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4

          

  

.这种求和的方法称之为裂项相消法，本质上时把数列中的每一项拆分，然后重新组合，能消去一些项，最终达到求和的目的. （1）猜想并写出  

1

n n 1

= . （2）

1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 2021 2022

    

   

= . （3）

1 1 1 1

2 4 4 6 6 8 2022 2024

    

   

= .

87

知识点 9 加、减、乘、除、乘方的混合规律

例题

1.如图为一梯级的纵截面，一只老鼠沿长方形的两边 A→B→D 的路线逃跑，一只猫同时沿梯级（折线）A→C→D 的路线去捉，结果在距离 C 点 0.6 米的处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的1411，求梯级A→C 的长度，请将下表中的每一句话“译成”数学语言（列出代数式）．

设梯级（折线）A→C 的长度为 x 米

AB+BC 的长为

A→C→D 的长为

A→B→D 的长为

设猫捉住老鼠所用的时间为 t 秒

猫的速度是

老鼠的速度是

2.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 a+b+c= .

3.观察下列单项式： 2 3 4 5 19 20 x,3x ,5x ,7x ,9x ,,37x ,39x , ，回答问题：

（1）这组单项式的系数的符号规律是什么？

（2）这组单项式的次数的规律是什么？

（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第 n 个单项式是什么吗？

（4）请你根据猜想，试写出第 2022 个、第 2023 个单项式.

88

4.探究数字“黑洞“：“黑洞“原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬“出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞“，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸“进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如，任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和…重复运算下去，就能得到一个固定的数字 t，我们称它为数字“黑洞“.你能找到数字 t 吗?数字 t = . 5.把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为

2

1 的长方形，接着把面积为

2

1 的长方形等分成两个面积为41的长方形，再把面积为

4

1 的长方形等分成两个面积为

8

1 的长方形，如此下去，利用图中揭示的规律计算：（1）

2

1

+

4

1

= ；

（2）

2

1

+

4

1

+

8

1

= ；

（3）

2

1

+

4

1

+

8

1

+

16

1

+

32

1

+

64

1

+

128

1

+

256

1

= ；

（4）

2

1

+ 2 2

1

+ 3 2

1

+ 4 2

1

+…+ n 2

1

= .练习

1.用同样大小的围棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第12 个图案的围棋子个数是（ ）

A.16 B. 28 C.29 D.38

2.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6 个小圆圈，其中第②个图形中一共有 9 个小圆圈，其中第③个图形中一共有 12 个小圆圈......按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）

A.21 B.24 C.27 D.30

89

3.如图是由边长为 1 的正方体搭成的立体图形，第（1）个图形由 1 个正方体搭成，第（2）个图形由4个正方体搭成，第（3）个图形由 10 个正方体搭成，依次类推，搭成第（6）个图形所需要正方体的个数是（）A.84 个 B.56 个 C.37 个 D.36 个

4.将一些半径相同的小圆按如下图所示的规律摆放,请仔细观察,第 n 个图形有____个小圆. (用含有 n 的代数式表示)

5.将正方形 ABCD （如图 1）作如下划分：

第 1 次划分：分别连接正方形 ABCD 对边的中点（如图 2），得线段 HF和EG，它们交于点M，此时图2 中共有 5 个正方形；

第 2 次划分：将图 2 左上角正方形 AEMH 再划分，得图 3，则图 3 中共有 9 个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第 100 次划分后，图中共有 个正方形；（2）继续划分下去，第 n 次划分后图中共有 个正方形；

（3）能否将正方形 ABCD 划分成有 2022 个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由. （4）如果设原正方形的边长为 1，通过不断地分割该面积为 1 的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果.计算 ) 4

1

... 4

1

4

1

4

1

(1

4

3

2 3 n      （直接写出答案即可）

90

6.（1）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n 层．将图 1 倒置后与原图拼成图 2 的形状，这样每一层都有________个圆圈，一共有________层，所以我们可以计算出图 1 中所有圆圈的个数为________个. （2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 1，2，3，4，…，将这列数排列成下列形式：记 ij a 为第i 行第 j 列的数，如 32 a = 5 ，那么 87 a 是____， n2 a 是_________. （3）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数－23，－22，－21，…，如果圆圈共有 12 层，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和．随堂检测1.在一张日历上，任意圈出竖列上的三个数的和可能是（ ）

A．78 B．40 C．39 D．28

2.观察等式： 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2  2  2  2；2  2  2  2  2；2  2  2  2  2  2； .已知按一定规律排列的一组数：100 101 102 199 200 2 ,2 ,2 ,,2 ,2 ，若 100 2  S ，用含 S 的式子表示这组数据的和是（ ）A. 2 2S  S B. 2 2S  S C. 2 2S  2S D. 2 2S  2S 23.下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有 3 根火柴棒，第②个图形中有9 根火柴棒，第③个图形中有 18 根火柴棒，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中火柴棒的根数是（）A.63 B.60 C.56 D.45

4.按一定规律排列的单项式： a,2a,4a,8a,16a,32a,，第 n 个单项式是 .

91

5.如图，观察图形，可得它们是按照一定的规律排列的.依照此规律，解决下列问题：（1）第 5 个图形有 颗五角星，第 6 个图形有 颗五角星；

（2）第 2022 个图形有 颗五角星，第 n 个图形有 颗五角星. 6.观察下列关于自然数的等式：

3

2  41

2  5 ① 5

2  4 2

2  9 ②7

2  43

2 13 ③根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式： 9 4× =

2－

；

（2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示）： .

7.在日历上我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中 4 个位置上的数交叉相乘再相减，例如 3×9−2×10=7，21×27−20×28=7，请你按照这个算法完成下列问题. （1）计算：18×24−17×25= . （2）通过计算你发现什么规律，这个规律是否具有一般性，如果你认为不具有一般性请举反例，如果你认为具有一般性请用含字母 n 的整式计算，加以说明（n 为整数）.

92

8.学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：（1）当桌子上放有 7（个）碟子时，碟子的高度是 cm. （2）当桌子上放有 x （个）碟子时，请写出此时碟子的高度（用含 x 的式子表示）. （3）当碟子的高度为 75.5cm 时，此时桌子上放有多少个碟子？

（4）桌面上整齐地摆放几摞碟子，分别从三个方向上看，其三种形状图如下图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度.从正面看 从左面看 从上面看

9.在生活中，人们经常通过一些标志性建筑确定位置，在教学中往往也是这样. （1）将正整数按下图的方式进行排列：

小明同学通过仔细观察，发现每一行第一列的数字有一定的规律，所以每一行第一列的数字可以作为标志数，于是他认为第七行第一列的数字是________，第七行、第五列的数字是________. （2）方法应用

观察下面一列数：1， 2，3， 4,5， 6,7，，并将这列数按如下方式进行排列：1 －2 3 －4

5 －6 7 －8 9 －10 11 －12 13 －14 15 －16

按照上述方式排列下去，

问题 1：第 10 行从左数第 9 个数是________；

问题 2：第 n 行有________个数；（用含 n 的代数式表示）

问题 3：数字 2022 在第________行，从左数第_______个数.

碟子的个数 碟子的高度（单位：cm）

1 2

2 2＋1.5

3 2＋3

4 2＋4.5 … …

93

10.陈老师和学生做一个猜数游戏，他让学生按照如下步骤进行计算:

①任选一个两位数 a，把 a 乘以 2，再加上 9，把所得的和再乘以 2；

②把 a 乘以 2，再加上 30，把所得的和除以 2；

③把①所得的结果减去②所得的结果，这个差即为最后的结果.陈老师说：只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数 a.学生周晓晓计算的结果是 96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是 31.请完成

（Ⅰ）由①可列代数式 ，由②可列代数式 ，

（Ⅱ）由③可知最后结果为 （用含 a 的式子表示）；

（Ⅲ）请用自己的语言解释陈老师猜数的方法.

94

七上第 9 周秋季讲义知识点 1 线段、射线、直线的概念及表示方法名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性能否测量线段

线段 a，线段 AB，

线段 BA

2 个 不能延伸可测量射线 射线 OA 1 个 向一个方向无限延伸不可测量直线

直线 l，直线 AB，

直线 BA

无端点 向两个方向无限延伸不可测量直线的性质

经过两点有且只有一条直线（“有”表示存在，“仅有”表示唯一），也可以说成“两点确定一条直线”

温馨提示

① 用两个大写字母表示线段、直线时，不必注意字母的顺序；② 用一个字母表示线段、直线时要用小写字母；

③ 表示射线时，表示端点的字母必须写在另一个字母的前面，且不能用一个小写字母表示.例题

1.关于如图所示图形所表示的含义，下列说法中正确的是（ ）

A.延长射线 AB B.延长线段 AB C.反向延长线段 AB D.反向延长线段BA

2.如图，图中线段共有（ ）

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条3.经过平面的任意三个点中的两点共可以画出（ ）条直线. A.1 B.2 C.1 或 3 D.3

4.下列说法正确的是 . ①直线是射线长度的 2 倍；②线段 AB 是直线 AB 的一部分；③延长射线 OA 到B；④直线比射线长.

95

5.阅读以下材料并填空.问题：在一条直线上有 n 个点（ n  2 ），每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？【探究】当仅有 2 个点时，有 1

2

1 2 



条线段；

当有 3 个点时，有 3

2

2 3 



条线段；

当有 4 个点时，有 6

2

3 4 



条线段；

当有 5 个点时，有_________条线段；

……

当有 n 个点时，从这些点中任意取一点，如 A1 ，以这个点为端点和其余各点能组成n1条线段，这样总共有 nn 1条线段.在这些线段中每条线段都重复了两次，如：线段 A1A2 和A2A1是同一条线段，所以，一条直线上有 n 个点，一共有__________条线段. 【应用】

1.在一条直线上有 10 个点，直线外一点分别与这 10 个点连接成线段，一共可以组成________个三角形.2.平面上有 50 个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出________条不同的直线.练习

1.平面内四条直线最少有 a 个交点，最多有 b 个交点，则 a+b 的值为（ ）A.4 B.5 C.6 D.7

2.关于线段的描述，正确的是 . ①线段 AB 与线段 BA 是同一条线段；②线段有两个端点；

③延长线段 AB 和延长线段 BA 的含义是相同的；④画一条线段 ab=10 cm

3.过平面内四个点中的每两个点画直线，可以画 条.

4.观察下列图形（无 3 条直线共点），找出规律，并解答问题. （1）5 条直线相交（无 3 条直线共点），有 个交点，平面被分成 块；（2）n 条直线相交（无 3 条直线共点），有 个交点，平面被分成块；（3）将一张圆饼切 10 刀（不许重叠），最多可得到 块饼.

96

5.【问题提出】某校要举办足球赛，若有 5 支球队进行单循环比赛（即在全部比赛过程中，任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题.为了解决上述问题，我们构建如下数学模型：

（1）如图①，我们可以在平面内画出 5 个点（任意 3 个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场，就用一条线段把它们连接起来.由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外 4 个点都可以连成一条线段，这样一共连成 5×4 条线段，而每两个点之的的线段都重复计算了一次，实际只有

5 4

10

2



 条线段，所以该校一共要安排 10 场比赛.

（2）若学校有 6 支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排场比赛；······ （3）根据以上规律，若学校有 n 支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛. 【实际应用】

（4）9 月 1 日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上 42 位新同学，每两个人都互相握一次手，全班同学总共握手 次. 【拓展提高】

（5）往返于青岛和济南的同一列高速列车，途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4 个车站（每种车票票面都印有上车站名称和下车站名称，那么在这段线路上往返行车要准备车票的种数为种.

97

知识点 2 比较线段的长短、线段的和差倍分

比较线段长短的方法 步骤 图形测量法

用一把刻度尺量出两条线段的

长度，再进行比较

叠合法 起点对齐，看终点

温馨提示：如果两条线段的长短相差很大，就可以通过直接观测进行比较.线段长度的和差倍分 线段长度之间加减乘除的数量关系和 AB+BC=AC

差 AC−BC=AB

倍 AB=2BC

分

1

3

AB  BC

例题

1.如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）

A.过一点，有无数条直线 B.两点之间，线段最短

C.经过两点，有且只有一条直线 D.两点间距离的定义

98

2.平面上有 A，B 两点且 AB=7 cm，在该平面上找一点 C. （1）若使 CA+CB=7 cm，则点 C 在何处?

（2）若使 CA+CB>7 cm，则点 C 在何处?

（3）若使 CA+CB<7 cm，存在这样的点 C 吗？

3.如图，下列关系式中，与图形不符合的是（ ）

A. AD CD  AC B. AC  BC  AB C. AB  BD  AD D. AC BDAD4.画线段 AB=5 cm，延长 AB 至点 C，使 AC=2AB，反向延长 AB 至点 E，使13AECE. （1）求线段 CE 的长；

（2）线段 AC 是线段 CE 的几分之几？

（3）线段 CE 是线段 BC 的几倍？

99

知识点 3 用尺规作线段及线段的中点

用尺规作图 步骤 图形作已知线段

① 先作一条射线 A'C'；

② 用圆规量取已知线段 AB 的长度

③ 在射线上截取 A'B'=AB，线段 A'B'就是所求的线段

作线段的中点

定义 图形 表示方法点M把线段AB分成相等的两条线段

AM、BM，点 M 叫做线段 AB 的中点

1222AMBMABABAMBM线段的性质

两点之间的所有连线中，线段最短，简述：两点之间线段最短.注意：线段是图形，距离是长度，我们把两点间的线段的长度叫做两点之间的距离，两点间的距离是长度，是一个数量，而不是线段本身.例题

1.尺规作图的工具是（ ）

A.刻度尺和圆规 B.三角尺和圆规 C.直尺和圆规 D.没有刻度的直尺和圆规2.在尺规作图中，圆规的作用是（ ）

A.度量线段的长度 B.画线段 C.截取任意长度的线段D.以上都正确3.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图，已知线段 a，b，作线段 AB，CD，EF，GH，使 AB  b  a ，CD b  a .，EF2ba，GH=2ba4.如图所示，M 是线段 EF 的中点，N 是线段 MF 上的一点，如果 EF=2a，NF =b，那么下列结论①MN =a－b；②MN= 1

2

a；③EM= a ；④EN=2a－b，其中正确的是 .

5.已知线段 AB 10cm，点C 是直线 AB 上一点， BC  4cm，若 M是 AB的中点，N是BC的中点，则线段 MN 的长度是 cm .

100

6.如图，点 M 、 N 分别是线段 AB 、 BC 的中点，且 MN  9 ，线段 BDABCD3141，则线段BD的长为_______.

7.如图，B，C 两点把线段 MN 分成三部分，其比为 MB : BC :CN  2 : 3: 4 ，P 是MN 的中点，PC=2cm，求MN 的长.

8.如图，点 C，D 是线段 AB 上的两点，M，N 分别是 AC 与 BD 的中点. （1）若 AB=10，CD=4，求 MN 的长；

（2）若 AB=a，CD=b，请用含 a，b 的式子表示 MN 的长.练习

1.如图，下列等式不一定成立的是（ ）

A. AC  BC  BD  BC B. AD CD  AB  BC

C. AC  BC  AD  BD D. AD  AC  BD BC2.如图所示，点 M 、N 是线段 AB 上的两个点，且 M 是 AB 的中点，N 是 MB的中点，若ABa，NBb，下列结论：①

1

2

AM  a ；② AN  a  b ；③

1

2

MN  a  b ；④

1

4

MN  a ，其中正确的是.