51

无过程。

综合评价

等级

AAAA、AAAB、综合评价为 A 等：

AABB、ABBB、AABC

ABBC、BBBB、BBBC 综合评价为 B 等：

其余情况综合评价为 C 等

作业设计说

明

本节课重在发展学生的空间观念，培养学生的动手操作能

力，养成探究学习的好习惯。尺规作图与全等知识相结合，对

今后的画图作图有很大的帮助。尺规作图以严密的逻辑推理，

成为数学教学中独具一格的教学内容。随着新课程对学生能力

培养的要求，对尺规作图也提出了更高的要求，除了要熟练操

作作图以外，还要结合集合推理，对目标图形进行作图原理推

究、作图方法探索。

此次作业设计的目的有三个：一是经历尺规作图实践操作

过程，训练和提高尺规作图的技能，能根据条件利用尺规做出

三角形，已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知

两角及夹边作三角形；二是会写出三角形的已知、求作、并能

简要叙述作法；三是结合三角形全等的判定定理做出合理的解

释。

为使此次作业设计能面向全体，关注差异，有弹性地为每

一个学生的发展提供合适的学习方式，让学生能够根据自己的

兴趣、能力和实际情况设计和选择作业。本次作业设计我们采

用了分层作业的形式。

A 类基础性必做题：1-2题主要考查尺规作三角形的依 据，

本节课主要有三个内容，就作图的已知条件而言，分别对应判

断三角形全等的三种方法（SAS,ASA,SSS)，培养学生对作图原

理的推理探究能力。

B 类提升性选做题：3-4 题主要考查学生的作图能力，三

道题目分别对应三种作图原理，学生可任选其一完成，通过本

类题目，学生应大胆尝试，动手作图，领会作图原理，提高动

手能力和有条理的叙述问题、解决问题的能力。

C 类拓展性挑战题：5题主要考查学生解决复杂问题的能

力，在 B 类题目作图的基础上,加深学生对课程内容的理解，并

且与之前所学知识融会贯通，帮助学生系统的掌握知识，提高

学生学习能力，培养学生的创新思维以及独立思考的能力。

52

第12课时 利用三角形全等测距离 作业设计

学生根据自身实际情况自主选择作业内容及数量。

A 类基础性必做题：

1.如图，将两根钢条 AA'、BB'的中点 O 连在一起，使 AA'、BB'能绕着点 O 自由

转动，就做成了一个测量工具. 由三角形全等可知 A'B'的长等于内槽宽 AB，那

么判定△OAB≌△OA'B' 的理由是（ ）

A.SAS B. ASA C. SSS D. AAS

2.测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使

CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说

明△EDC≌△ABC，得 ED=AB，因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定△EDC≌△

ABC 最恰当的理由是 ．

B 类提升性选做题：（3 选 1）

3.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得

河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一边 B 点，选对岸正对的一棵树 A；

②沿河岸直走 20 步有一棵树 C，继续前行 20 步到达

D 处；

③从 D 处沿与河岸垂直的方向行走，当到达 A 树正好

被 C 树遮挡住的 E 处停止行走；

④测得 DE 的长就是河宽 AB.

请你说明他们做法的正确性.

53

4. 如图所示，要测水池中一荷花 E 距岸边 A 和岸边 D 的距离．作法如下：

（1） 任作线段 AB，取其中点 O；

（2） 连接 DO 并延长使 DO=CO；

（3） 连接 BC；

（4） 用仪器测得 E，O 在一条直线上，并交 CB 于点

F．要测 AE，DE，测量 BF，CF 即可，为什么？

5.如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要

在山的另一面同时施工，工人师傅在 AC 上取一点 B，在小山外取一点 D，连接

BD 并延长，使 DF=BD，过 F 点作 AB 的平行线 MF，连接 MD 并延长，在延长线上

取一点 E，使 DE=DM，在 E 点开工就能使 A，C，E 成一条直线，你知道其中的道

理吗？

C 类拓展性挑战题：

6.如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧 A，B 处各立有一根电线杆，

但利用现有皮尺无法直接量出 A，B 间的距离.请你设计一个方案，测出 A，B 间

的距离，并说明理由.

54

课时作业设计表

第

一

课

时

课题 利用三角形全等测距离 自主型分层作业

课时目标

序号 内容 水平

1

知道利用三角形全等测距离的原理，能根据

此原理解释测量过程，体会转化思想以及数

学与实际生活的联系

理解

2

回顾利用三角形全等测距离的几种常用方

法，模仿课本情境中的设计过程，自主设计

测量方案解决实际问题，发展空间观念、推

理能力和模型思想.

推理

3

通过实践活动，进一步感悟数学知识在现实

生活中的应用价值，增强学习数学的兴趣，

发展应用意识和创新思维，培养不怕困难的

品质与科学精神.

探究

题目属性

（使用时

间为课上

或课后；

难度为简

单、中等

或较

难；）

题号

对应

课时

目标

使用

时间

题型 难度 预设

时长

来源

1 1 课后 选择 简单 1 分钟 选编

2 1 课后 填空 简单 1 分钟 选编

3 2 课后 解答 中等 5 分钟 选编

4 2 课后 解答 较难 7 分钟 改编

5 2 课后 解答 中等 5 分钟 选编

6 2，3 课后 解答 较难 7 分钟 选编

参考答案

及

评价标准

（与题目

题号对

应）

参考答案：

1. A

2. ASA

3.【分析】由题意利用 ASA 可证明△ABC≌△EDC，进而求得 AB＝

ED＝15，可求解．

【解答】解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD，A，C，E

在同一条直线上，

∴∠ACB＝∠ECD，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB＝ED，

∵ED＝15m，

55

∴AB＝15m，

答：河宽为

15m．故答案为

15．

4.【分析】先利用“边角边”证明△AOD 和△BOC 全等，根据全等

三角形对应角相等可得∠A＝∠B，再利用“角边角”证明△AOE

和△BOF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE＝BF，同理可证

DE＝CF．

【解答】解：∵O 是 AB 的中点，

∴AO＝BO，

在△AOD 和△BOC 中， ，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴∠A＝∠B，

∵E，O 在一条直线上，

∴∠AOE＝∠BOF，

在△AOE 和△BOF 中， ，

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∴AE＝BF，

同理可证 DE＝CF．

5.【分析】首先证明△BDE≌△FDM（SAS），可得∠BEM＝∠FME，

进而得到 BE∥MF，再由 AB∥MF 可得 A、C、E 三点在一条直线

上．

【解答】解：∵在△BDE 和△FDM 中 ，

∴△BDE≌△FDM（SAS），

∴∠BEM＝∠FME，

∴BE∥MF，

∵AB∥MF，

∴A、C、E 三点在一条直线上．

6.答案不唯一【分析】先在平地取一个可直接到达 A，B 的点 C，

再连接 AC，BC，并分别延长 AC 至D，BC 至 E，使 DC＝AC，EC＝

BC，最后测出 DE 的长即为 A，B 的距离．

【解答】解：测量出 DE 的长度即为 AB 的长．

56

理由如下：在△ABC 和△DEC 中，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB＝

ED．评价标

准：

评价指标

等级 备注

A B C

答题的准确

性

A 等，答案正确、过程正确

B 等，答案正确、过程有问题。

C 等，答案不正确,有过程不完整：答案不准

确，过程错误、或无过程.

答题的规范

性

A 等，过程规范，答案正确.

B 等，过程不够规范、完整，答案正确

C 等，过程不规范或无过程，答案错误.

解法的创新

性

A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.

B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无

过程。

综合评价等

级

AAAA、AAAB、综合评价为 A 等：

AABB、ABBB、AABC

ABBC、BBBB、BBBC 综合评价为 B

等：

其余情况综合评价为 C 等

设计说明

本节课重在通过对利用三角形全等测距离问题的探索、思

考、讨论，培养学生的探索精神与科学态度；在教学过程中，给

足学生时间，让他们充分“自主探究”“合作研学”，让学生增

强合作与交流的意识，并体会数学来源于生活，又服务于生活。

在学习中，初步体验建立全等模型解决实际问题.在课堂中鼓励学

生积极探索，大胆陈述自己的观点，在学生主动运用所学知识寻

求发现问题和解决问题的同时，注重师生间的对话，把教育激励

策略运用于教学活动中，能给予激励性的评价，使他们在积极的

互动中掌握知识，充分肯定学生得出的各种行之有效的方法，让

学生在有条理的表达中体会数学乐趣，增强学好数学的信心.

57

此次作业设计的目的有三个：一是通过让学生体会题目中提

供的情境,,并尝试思考其中的道理．正确判断利用三角形全等测

距离的原理。二是能利用三角形的全等解决实际问题，将生活中

的不可测距离变为可测距离，体会数学与实际生活的联系。三是

通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,体会数学的应用价

值．通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切

联系；在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精

神，锻炼口头表达能力．

为使此次作业设计能面向全体，关注差异，有弹性地为每一

个学生的发展提供合适的学习方式，让学生能够根据自己的兴

趣、能力和实际情况设计和选择作业。本次作业设计我们采用了

分层作业的形式。

A 类基础性必做题：1-2 题主要考查学生对利用三角形全等

测距离原理的理解，增强学生对三角形全等的概念、性质、判定

的辨析能力，能根据原理解释测量过程，体会转化思想以及数学

与实际生活的联系

B 类提升性选做题：3-5 题解释不同测量方法的原理，学生

可任选其一，解题过程中将不可测距离转化为可测距离，将实际

问题抽象成数学问题，培养学生的抽象能力，推理能力，丰富学

生利用三角形全等解决实际问题的经验，体会数学与现实生活的

联系.

C 类拓展性挑战题：第 6 题意在引导学生回顾利用三角形全

等测距离的几种常用方法，比如对称翻折法、倍长线段法、平行

线全等法等，自主设计方案，借助全等三角形相关知识将不可测

距离转化为可测距离，培养学生的模型思想、空间观念，发展学

生有条理地思考能力和设计方案解决实际问题的能力

58

七年级数学上册第一章自主主题综合实践作业设计

【作业内容】

根据实际情况，可任选一项作业完成

作业一：教室门口任选一位置，找出反方向一点，使该点与你的距离和你与教

室门口的距离相等，(可依据课本 33 页帽檐测距的方法）设计出方案并完成活

动报告。（工具：帽子，卷尺，标记物）

作业二：选择合适的工具测量一棵树树根处横截面的直径；设计出测量方案并

完成活动报告。（工具：绳子，直尺，木棍）

作业三：设计一个测量工具，测量一个容器底面的内径，比如啤酒瓶、矿泉水

瓶或茶壶等；（工具任选）利用全等三角形的相关知识完成测量任务，并撰写

活动报告

59

主题综合实践作业设计表

主题 利用三角形全等测距离

主题类型 自主主题综合实践

学科素养点

1.将不可测距离转化为可测距离，通过将这一实际问题抽象为

数学问题进行表达，发展学生的抽象能力，

2.通过回顾课本示例中已有的研究经验探寻解决问题的途径，

初步形成解决这一测量两岸距离问题的解题思路，发展学生

的模型观念和推理能力，

3 提高学生从数学的角度分析问题和解决问题的能力，体会数

学与生活的紧密联系。

学科内容 利用三角形全等测距离

跨学科内容

评价标准：ABC 评价法

1.A：优秀。方案设计合理，测量示意图简洁清晰，一目了然，

能在规定时间内完成任务，可正确简述设计方案和原理，得出恰

当的测量数据。

2.B：良好。方案设计合理，测量示意图大致正确，能在规定时

间内完成任务，可简述设计方案和原理，得出测量数据。

3.C：一般。能积极参与实践作业，但方案、示意图以及原理不

符合要求，得不出恰当的测量数据。

学生只要完成一个作业的测量，即为有效答案

参考实例：

评价标准

或

参考实例

60

设计说明

学生在前几节的内容中初步认识了三角形,了解了三角形的

一些特性,并已掌握了三角形全等的四种条件,学会了用尺规画

三角形。但前面所学的知识都只仅仅停留在书面的解题说明上,

还没有让学生体会到全等三角形在生活中的广泛应用。在平时

对学生的教学中发现:学生对数学的转换迁移能力较差,把实际

问题转化为数学问题有较大的难度。需要进一步通过实践学

习，体会数学知识与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴

趣。

本次作业设计基于学生的核心素养，从基础性、应用性、

实践性、创新性、趣味性这五个方面进行了全方位设计，通过

生动、有趣、现实的例子激发学生学习数学的兴趣，发展学生

的应用意识和创新思维. 学生通过动手操作、整理活动过程、

撰写活动报告，切身感受数学的应用价值，培养不怕困难的品

质与科学精神.

为使此次作业设计能面向全体，关注差异，有弹性地为每

一个学生的发展提供合适的学习方式，让学生能够根据自己的

兴趣、能力和实际情况设计和选择作业。本次作业设计我们设

计了三个任务，学生可任选其一完成。

作业一:利用帽檐角度测距，可仿照课本实例进行操作，过

程简单，可操作性强，有利于培养学生的自信心，让学生体会

获得成功的喜悦。

作业二：测量树干横截面的面积，需要学生自己设计方

案，利用绳子与直尺测量，难度适中。

作业三：测量容器内径，需自己设计测量工具，想办法将

不可测内径通过三角形全等转化成可测距离。

通过本次实践作业，要让学生达到以下目标：认知领域：一是

巩固和理解全等三角形的性质与判定；二是在解决实际问题的

过程或与同伴交流的过程中发展有条理地思考与表达的能力。

动作技能领域：能利用三角形全等解决实际问题，让学生体会

将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生的抽象能力和模

型观念。情感领域：体会数学与实际生活的联系和数学来源于

生活，又服务于生活，增强学生学习数学的兴趣。

61

七年级上册第一章合作主题综合实践作业设计

利用全等三角形测距离

【作业内容】

芦草茫茫莺飞唤，洸河澄澄醉踏花。洸河湿地公园是国家级 AAA 景区，北

以碧水湖湾为首，南以湿地公园为尾，横跨整个县城的带状生态公园已成为美

丽县城的又一张名片。这里水质清冽、水域开阔、芦苇丛生、鱼跃鸟鸣，构成

了一幅秀逸醉人的水上画卷。我校地理位置有幸就在洸河沿岸，今天，就让我

们走进洸河，去亲自感受一下大自然的美景。

以小组为单位，测量洸河两岸 A,B 两点之间的距离

任务一：画出你设计的一种测量平面图

任务二：简述测量方法，解释测量原理，得出测量距离

任务三：与不同组之间同学相互交流，谈谈各自方法的异同

把分析的模型图画出后，构建出数学图形，填写下表

62

主题综合实践作业设计表

主题 测量洸河两岸两点之间的距离

主题类型 合作主题综合实践

学科素养点

1.将不可测距离转化为可测距离，通过将这一实际问题抽象为

数学问题进行表达，发展学生的抽象能力，

2.通过回顾课本示例中已有的研究经验探寻解决问题的途径，

初步形成解决这一测量两岸距离问题的解题思路，发展学生

的模型观念和推理能力，

3.提高学生从数学的角度分析问题和解决问题的能力，体会数

学与生活的紧密联系。

学科内容 三角形全等

跨学科内容

（选填）

评价标准

或

参考实例

评价标准：ABC 评价法1.A：

优秀。方案设计合理，设计平面图简洁清晰，一目了然， 能在

规定时间内完成任务，可正确简述设计方案和原理，得出恰当

的测量数据。 2.B：良

好。方案设计合理，设计平面图大致正确，能在规定时间内完

成任务，可简述设计方案和原理，得出测量距离。 3.C：一

般。能积极参与实践作业，但方案、平面图以及原理不符合要

求，得不出恰当的测量数据。

作业中可能用到的三种方法，任取一种完整的完成即为各小组

有效作业。

63

设计说明

学生在前几节的内容中初步认识了三角形,了解了三角形的

一些特性,并已掌握了三角形全等的四种条件,学会了用尺规画

三角形。但前面所学的知识都只仅仅停留在书面的解题说明上,

还没有让学生体会到全等三角形在生活中的广泛应用。在平时

对学生的教学中发现:学生对数学的转换迁移能力较差,把实际

问题转化为数学问题有较大的难度。需要进一步通过合作学习

的技巧，促进学习和提高。

通过本次实践活动，利用测量洸河两岸两点之间的距离，

让学生小组合作拿出方案。通过三角形全等测距离问题的探

索、思考、讨论，培养了学生的探索精神与科学态度；通过课

外活动，让学生增强合作与交流的意识，并体会数学来源于生

活，又服务于生活,初步体验建立全等模型解决实际问题。此

外，也可引导学生回顾利用三角形全等测距离的几种常用方

法，比如对称翻折法、倍长线段法、平行线全等法等，自主设

计方案，借助全等三角形相关知识将不可测距离转化为可测距

离，培养学生的模型思想、空间观念，发展有条理地思考能力.

通过本次实践作业，要让学生达到以下目标：认知领域：一是

巩固和理解全等三角形的性质与判定；二是在解决实际问题的

过程或与同伴交流的过程中发展有条理地思考与表达的能力。

动作技能领域：能利用三角形全等解决实际问题，让学生体会

将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生的抽象能力和模

型观念。情感领域：体会数学与实际生活的联系和数学来源于

生活，又服务于生活，增强学生学习数学的兴趣。

实验总结：