１４．２．２ 完全平方公式

第 １课时 完全平方公式

完全平方公式：（ａ＋ｂ）２ ＝ ａ

２＋２ａｂ＋ｂ２

；

（ａ－ｂ）２＝ ａ

２－２ａｂ＋ｂ２

；或记作（ａ±ｂ）２＝

ａ

２±２ａｂ＋ｂ２ ，即两个数的和（或差）的平

方，等于它们的 平方和 ，加上（或减去）它

们的 积的 ２倍 ．

知识点 １ 完全平方公式

１．下列运算中，利用完全平方公式计算正确

的是 （ Ｃ ）

Ａ．（ｘ＋ｙ）２＝ｘ

２＋ｙ

２

Ｂ．（ｘ－ｙ）２＝ｘ

２－ｙ

２

Ｃ．（－ｘ＋ｙ）２＝ｘ

２－２ｘｙ＋ｙ

２

Ｄ．（－ｘ－ｙ）２＝ｘ

２－２ｘｙ＋ｙ

２

２．如图，现有甲、乙、丙三种不同的正方形或长

方形纸片各若干张．王丽使用甲纸片 １张，

丙纸片 ４张，乙纸片若干张无重合无缝隙拼

接成一个大正方形，则她使用的乙纸片张

数为 （ Ｂ ）

Ａ．２张 Ｂ．４张 Ｃ．６张 Ｄ．８张

３．（２０２３昆明市名校期中）若 ｘ

２ ＋ｋｘ＋４是一

个完全平方式，则 ｋ的值是 ±４ ．

知识点 ２ 利用完全平方公式计算

４．（２０２３曲靖市期末）若 ａ－１

ａ＝５，则 ａ

２ ＋

１

ａ

２

的结果是 （ Ｃ ）

Ａ．２３ Ｂ．２５ Ｃ．２７ Ｄ．２９

５．（２０２３昆明市名校期中）若 ａ＋ｂ＝－５，ａｂ＝

３，则 ａ

２＋ｂ２

的值为 １９ ．

１．下列多项式中是完全平方式的是 （ Ａ ）

Ａ．ａ

２－４ａ＋４ Ｂ．１＋４ａ

２

Ｃ．４ｂ２＋４ｂ－１ Ｄ．ａ

２＋ａｂ＋ｂ２

２．（２０２３昆明市官渡区期中）若（ｘ＋ｍ）２ ＝

ｘ

２＋８ｘ＋１６，则 ｍ的值为 （ Ａ ）

Ａ．４ Ｂ．±４ Ｃ．８ Ｄ．±８

３．（２０２３昆明市西山区期末）如图，正方形中

阴影部分的面积为 （ Ｄ ）

Ａ．ａ

２－ｂ２ Ｂ．ａ

２＋ｂ２

Ｃ．ａｂ Ｄ．２ａｂ

４．下列各式中与 ２ａｂ－ａ

２－ｂ２

相等的是（ Ａ ）

Ａ．－（ａ－ｂ）２ Ｂ．－（ａ＋ｂ）２

Ｃ．（－ａ－ｂ）２ Ｄ．（－ａ＋ｂ）２

５．已知（ｍ－ｎ）２ ＝４６，（ｍ＋ｎ）２ ＝４０００，则

ｍ

２＋ｎ

２

的值为 （ Ｂ ）

Ａ．２０２２ Ｂ．２０２３

Ｃ．３９５４ Ｄ．４０４６

６．如果 ａｘ

２ ＋２ｘ＋

１

２＝ ２ｘ＋

１ ( ２)

２

＋ｍ，则 ａ，ｍ

的值分别是 （ Ｄ ）

Ａ．２，０ Ｂ．４，０

Ｃ．２，１

４ Ｄ．４，１

４

７．（１）已知 ｘ＋ｙ＝７，ｘｙ＝５，则 ｘ

２ ＋ｙ

２

的值为

３９ ；

（２）已知（ｘ＋ｙ）２ ＝４９，ｘ

２ ＋ｙ

２ ＝２７，则（ｘ－

ｙ）２

的值为 ５ ；

（３）若 ｘ

２ ＋ｙ

２ ＋４ｘ－６ｙ＋１３＝０，则 ｘ＝

－２ ，ｙ＝ ３

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·６４·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

８．计算：

（１）（ａ－ｂ）２

（ａ＋ｂ）２

；

解：原式 ＝［（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）］２

＝（ａ

２－ｂ２

）２

＝ａ

４－２ａ

２

ｂ２＋ｂ４

．

（２）（２ｘ－２）２＋（３ｘ＋１）２

．

解：原式 ＝４ｘ

２－８ｘ＋４＋９ｘ

２＋６ｘ＋１

＝１３ｘ

２－２ｘ＋５．

９．（２０２２昆明市期末）先化简，再求值：（２＋ｘ）

（ｘ－２）－（ｘ－２）２

，其中 ｘ＝槡２＋２．

解：原式 ＝ｘ

２－４－（ｘ

２－４ｘ＋４）

＝ｘ

２－４－ｘ

２＋４ｘ－４

＝４ｘ－８，

当 ｘ＝槡２＋２时，

原式 ＝４×（槡２＋２）－８＝４槡２＋８－８＝

４槡２．

１０．【核心素养·运算能力】对于任意四个实

数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，可以组成两个实数对（ａ，ｂ）与

（ｃ，ｄ）．我们规定：（ａ，ｂ）（ｃ，ｄ）＝ａ

２ ＋

ｄ２－ｂｃ．例 如：（１，２） （３，４）＝１２ ＋

４２－２×３＝１１．

（１）若（３ｘ，－３ｘ）（ｋｙ，ｙ）是一个完全平

方式，则常数 ｋ的值为 ±２ ；

（２）若 ｘ＋ｙ＝６，且（２ｘ＋ｙ，ｘ

２ ＋ｙ

２

）（２，

ｘ－２ｙ）＝６０，求 ｘｙ的值．

解：∵（２ｘ＋ｙ，ｘ

２＋ｙ

２

）（２，ｘ－２ｙ）＝６０，

∴（２ｘ＋ｙ）２ ＋（ｘ－２ｙ）２ －２（ｘ

２ ＋ｙ

２

）

＝６０．

∴ｘ

２＋ｙ

２＝２０．

∵ｘ＋ｙ＝６．∴（ｘ＋ｙ）２＝３６．

∴ｘ

２＋ｙ

２＋２ｘｙ＝３６．

∴２ｘｙ＝３６－２０＝１６．∴ｘｙ＝８．

１１．【核心素养·抽象能力】如图１是一个长为

４ａ，宽为 ｂ的长方形，沿图中虚线用剪刀平

均分成四个小长方形，然后用四个小长方

形拼成一个如图 ２的“回”形正方形．

（１）观察图 ２，请你写出（ａ＋ｂ）２

，（ａ－ｂ）２

，

ａｂ之间的等量关系是 （ａ－ｂ）２ ＝（ａ＋

ｂ）２－４ａｂ ；

（２）根据（１）中的结论，若 ｘ＋ｙ＝５，ｘ·ｙ＝

９

４，则 ｘ－ｙ＝ ±４ ；

（３）拓展应用：

若（２０２２－ｍ）２ ＋（ｍ－２０２２）２ ＝２０，求

（２０２２－ｍ）（ｍ－２０２２）的值．

解：∵［（２０２２－ｍ）＋（ｍ－２０２２）］２

＝（２０２２－ｍ）２ ＋２（２０２２－ｍ）（ｍ－

２０２２）＋（ｍ－２０２２）２

，

∴０＝（２０２２－ｍ）２＋２（２０２２－ｍ）（ｍ－

２０２２）＋（ｍ－２０２２）２

，

即 ２（２０２２－ｍ）（ｍ－２０２２）＋２０＝０．

解得（２０２２－ｍ）（ｍ－２０２２）＝－１０．

１２．若 ｘ

２－３ｘ＋１＝０，则 ｘ

２＋

１

ｘ

２的值是 （ Ｂ ）

Ａ．８ Ｂ．７

Ｃ．

７±槡５

２ Ｄ．

３±槡５

２

【解析】由 ｘ２－３ｘ＋１＝０，得 ｘ２＋１＝３ｘ，根据题意

知 ｘ≠０，两边同除 ｘ，得ｘ２＋１

ｘ ＝３①．又∵ｘ２ ＋

１

ｘ２

＝ｘ２＋２ｘ· １

ｘ＋

１

( ｘ)

２

－２ｘ· １

ｘ＝ ｘ＋

１ ( ｘ)

２

－２＝

ｘ２＋１ ( ｘ )

２

－２②．将①代入②，得 ３２ －２＝７．故

选 Ｂ

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第十四章 整式的乘法与因式分解

第 ２课时 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括

号里的各项都 不变 符号；如果括号前面是

负号，括到括号里的各项都 改变 符号．

知识点 １ 添括号法则

１．下列关于（２ｘ－ｙ＋１）２

变形错误的是 （ Ｂ ）

Ａ．［（２ｘ－ｙ）＋１］２ Ｂ．［２ｘ－（ｙ＋１）］２

Ｃ．［２ｘ－（ｙ－１）］２ Ｄ．［（２ｘ＋１）－ｙ］２

２．在括号内填上适当的项：

（１）ａ＋２ｂ－ｃ＝ａ＋（ ２ｂ－ｃ ）；

（２）２－ｘ

２＋２ｘｙ－ｙ

２＝２－（ ｘ

２－２ｘｙ＋ｙ

２ ）；

（３）（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）＝［ａ＋（ ｂ－ｃ ）］

［ａ－（ ｂ－ｃ ）］．

知识点 ２ 添括号在乘法公式中的应用

３．用乘法公式计算（ｘ＋３ｙ－１）（ｘ－３ｙ＋１），

下列变形正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．［ｘ－（３ｙ＋１）］２

Ｂ．［ｘ＋（３ｙ＋１）］２

Ｃ．［ｘ＋（３ｙ－１）］［ｘ－（３ｙ－１）］

Ｄ．［（ｘ－３ｙ）＋１］２

［（ｘ－３ｙ）－１］２

４．已知（ｘ

２＋ｘ＋Ｍ）２＝（ｘ

２＋ｘ）２－６（ｘ

２＋ｘ）＋

Ｍ２

，则 Ｍ＝ －３ ．

５．若（ｘ

２＋ｙ

２ ＋１）（ｘ

２ ＋ｙ

２ －１）＝４８，则 ｘ

２ ＋ｙ

２

的值为 ７ ．

１．３ａｂ－４ｂｃ＋１＝３ａｂ－（ ），括号内所填入的

整式应是 （ Ｃ ）

Ａ．－４ｂｃ＋１ Ｂ．４ｂｃ＋１

Ｃ．４ｂｃ－１ Ｄ．－４ｂｃ－１

２．将多项式 ３ｘ

３ －２ｘ

２ ＋４ｘ－５添括号后正确

的是 （ Ｂ ）

Ａ．３ｘ

３－（２ｘ

２＋４ｘ－５）

Ｂ．（３ｘ

３＋４ｘ）－（２ｘ

２＋５）

Ｃ．（３ｘ

３－５）＋（－２ｘ

２－４ｘ）

Ｄ．２ｘ

２＋（３ｘ

３＋４ｘ－５）

３．运用乘法公式计算：

（１）（ａ＋３ｂ）２ －２（ａ＋３ｂ）（ａ－３ｂ）＋（ａ－

３ｂ）２

；

解：原式 ＝［（ａ＋３ｂ）－（ａ－３ｂ）］２

＝（ａ＋３ｂ－ａ＋３ｂ）２

＝（６ｂ）２

＝３６ｂ２

．

（２）（２ｘ－ｙ＋１）（２ｘ＋ｙ－１）．

解：原式 ＝［２ｘ－（ｙ－１）］［２ｘ＋（ｙ－１）］

＝（２ｘ）２－（ｙ－１）２

＝４ｘ

２－ｙ

２＋２ｙ－１．

４．先化简，再求值：ｘ－１

２ ( ｙ－１) ｘ－１

２ ( ｙ＋１) －

ｘ－１

２ ( ｙ－１)

２

，其中 ｘ＝２，ｙ＝５．

解：原式 ＝ ｘ－１ [ ( ２ｙ) －１] ｘ－１ [ ( ２ｙ) ＋１] －

ｘ－１ [ ( ２ｙ) －１]

２

＝ ｘ－１ ( ２ｙ)

２

－１－ ｘ－１ ( ２ｙ)

２

[ －

２ｘ－１ ( ２ｙ) ＋１]

＝２ｘ－１ ( ２ｙ) －２

＝２ｘ－ｙ－２，

当 ｘ＝２，ｙ＝５时，

原式 ＝２×２－５－２＝－３

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１４．３ 因式分解

１４．３．１ 提公因式法

１．把一个多项式化成几个整式 积 的形式，

这样的式子变形叫做这个多项式的 因式

分解 或 分解因式 ．因式分解和 整式

乘法 是方向相反的变形．

２．一个多项式的各项都含有的公共因式叫做

这个多项式各项的 公因式 ．公因式的确

定：①系数：各项系数的 最大公约数 ；

②字母及指数：各项都含有的相同字母的

最低 次幂．

３．如果多项式的各项有公因式，可以把这个公

因式提取出来，将多项式写成公因式与另

一个因式 乘积 的形式，这种分解因式

的方法叫做 提公因式法 ．即 ｐａ＋ｐｂ＋

ｐｃ＝ ｐ（ａ＋ｂ＋ｃ） ．

知识点 １ 因式分解的定义

１．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解

的是 （ Ｄ ）

Ａ．ｍ（ａ＋ｂ）＝ｍａ＋ｍｂ

Ｂ．ａ

２＋４ａ－２１＝ａ（ａ＋４）－２１

Ｃ．ｘ

２＋１６－ｙ

２＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋１６

Ｄ．ｘ

２－１＝（ｘ＋１）（ｘ－１）

２．把多项式 ｘ

２ ＋５ｘ＋ｍ因式分解得（ｘ＋ｎ）

（ｘ－２），则常数 ｍ，ｎ的值分别为 （ Ａ ）

Ａ．－１４，７ Ｂ．１４，－７

Ｃ．１４，７ Ｄ．－１４，－７

知识点 ２ 提公因式法因式分解

３．用提公因式法分解因式：

（１）（２０２２昆明市期末）ｘ（ｘ－ｙ）－ｙ（ｘ－ｙ）；

解：原式 ＝（ｘ－ｙ）２

．

（２）（２０２３昆明市西山区期末）ｙ（２ａ－ｂ）＋

ｘ（ｂ－２ａ）．

解：原式 ＝（２ａ－ｂ）（ｙ－ｘ）．

１．把多项式 ６ａ

２

ｂ－３ａｂ２ ＋１２ａ

２

ｂ２

分解因式，应

提取的公因式是 （ Ｃ ）

Ａ．ａｂ Ｂ．３ａｂ２

Ｃ．３ａｂ Ｄ．１２ａ

２

ｂ２

２．若多项式（ｘ＋２ｙ）２－６ｘ（ｘ＋２ｙ）有一个因式

为 ｘ＋２ｙ，则另一个因式为 （ Ｃ ）

Ａ．２ｘ－５ｙ Ｂ．－５ｘ－２ｙ

Ｃ．－５ｘ＋２ｙ Ｄ．５ｘ＋２ｙ

３．把下列各式分解因式：

（１）４ｑ（１－ｐ）３＋２（ｐ－１）２

；

解：原式 ＝４ｑ（１－ｐ）３＋２（１－ｐ）２

＝２（１－ｐ）２

（２ｑ－２ｐｑ＋１）．

（２）（２ｘ－３ｙ）（ｍ＋ｎ）－（３ｘ－２ｙ）（－ｍ－ｎ）．

解：原式 ＝（２ｘ－３ｙ）（ｍ＋ｎ）＋（３ｘ－２ｙ）

（ｍ＋ｎ）

＝（ｍ＋ｎ）（２ｘ－３ｙ＋３ｘ－２ｙ）

＝５（ｍ＋ｎ）（ｘ－ｙ）．

４．（２０２２昆明市官渡区期末）利用因式分解计

算：３２×２０．２２＋０．６８×２０２２．

解：原式 ＝０．３２×２０２２＋０．６８×２０２２

＝２０２２×（０．３２＋０．６８）

＝２０２２×１

＝２０２２

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·６７·

第十四章 整式的乘法与因式分解

１４．３．２ 公式法

第 １课时 运用平方差公式因式分解

１．ａ

２－ｂ２＝ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ，即两个数的平

方差，等于这两个数的和与差的 积 ．

２．因式分解必须进行到每一个多项式因式都

不能再 分解 为止，特别注意 １＝１２ ＝

１４＝… ＝１２ｎ

．

知识点 １ 用平方差公式因式分解

１．下列多项式中不能用平方差公式因式分解

的是 （ Ｃ ）

Ａ．ａ

２－ｂ２ Ｂ．４９ｘ

２－ｙ

２

ｚ

２

Ｃ．－ｘ

２－ｙ

２ Ｄ．１６ｍ

２

ｎ

２－２５ｐ

２

２．分解因式：

（１）４ｘ

２－２５ｙ

２

；

解：原式 ＝（２ｘ）２－（５ｙ）２

＝（２ｘ＋５ｙ）（２ｘ－５ｙ）．

（２）１６ａ

４－１；

解：原式 ＝（４ａ

２＋１）（４ａ

２－１）

＝（４ａ

２＋１）（２ａ＋１）（２ａ－１）．

（３）－ｘ

２＋（２ｘ＋３）２

．

解：原式 ＝（２ｘ＋３）２－ｘ

２

＝（２ｘ＋３＋ｘ）（２ｘ＋３－ｘ）

＝（３ｘ＋３）（ｘ＋３）

＝３（ｘ＋１）（ｘ＋３）．

知识点 ２ 用提公因式法与平方差公式因

式分解

３．把 －ａ＋ａ

３

因式分解的结果是 （ Ｂ ）

Ａ．ａ（１＋ａ

２

） Ｂ．－ａ（１＋ａ）（１－ａ）

Ｃ．－ａ（１－ａ

２

） Ｄ．－ａ（ａ＋１）（ａ－１）

４．（２０２３昆 明 市 五 华 区 期 末）分 解 因 式：

２ａｘ

２－２ａ＝ ２ａ（ｘ＋１）（ｘ－１） ．

５．分解因式：

（１）（２０２２昆明市期末）ｘ

３

ｙ－ｘｙ；

解：原式 ＝ｘｙ（ｘ

２－１）

＝ｘｙ（ｘ＋１）（ｘ－１）．

（２）９ａ

２

（ｘ－ｙ）＋４ｂ２

（ｙ－ｘ）．

解：原式 ＝９ａ

２

（ｘ－ｙ）－４ｂ２

（ｘ－ｙ）

＝（ｘ－ｙ）（９ａ

２－４ｂ２

）

＝（ｘ－ｙ）（３ａ＋２ｂ）（３ａ－２ｂ）．

１．下列各式中，可用平方差公式分解因式的个

数有 （ Ｂ ）

① －ａ

２－ｂ２

；②１６ｘ

２－９ｙ

２

；

③（－ａ）４－（－ｂ）２

；④ －１２１ｍ

２＋２２５ｎ

２

；

⑤（６ｘ）２－９（２ｙ）２

．

Ａ．５个 Ｂ．４个 Ｃ．３个 Ｄ．２个

２．因式分解 ｘ－４ｘ

３

的最后结果是 （ Ｃ ）

Ａ．ｘ（１－２ｘ）２

Ｂ．ｘ（２ｘ－１）（２ｘ＋１）

Ｃ．ｘ（１－２ｘ）（２ｘ＋１）

Ｄ．ｘ（１－４ｘ

２

）

３．若 ３ｘ－２ｙ＝ａ，ｘ－４ｙ＝ｂ，则（ｘ＋ｙ）２－（２ｘ－

３ｙ）２

的值是 （ Ａ ）

Ａ．－ａｂ Ｂ．ａｂ

Ｃ．ａ

２＋ｂ２ Ｄ．ａ

２－ｂ２

４．已知△ＡＢＣ的三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，且满足

ａ

２－ｂ２＝ａｃ－ｂｃ，则△ＡＢＣ一定是 （ Ａ ）

Ａ．等腰三角形 Ｂ．等边三角形

Ｃ．锐角三角形 Ｄ．直角三角形

５．对于任何整数 ｍ，多项式（４ｍ＋５）２－９都能

（ Ａ ）

Ａ．被 ８整除 Ｂ．被 ｍ整除

Ｃ．被（ｍ－１）整除 Ｄ．被（２ｍ－１）

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 整除

·６８·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

６．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了

ｘ的指数，他只知道该数为不大于 １０的正

整数，并且能利用平方差公式分解因式，他

抄在作业本上的式子是 ｘ□ －４ｙ

２

（“□”表示

漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有

（ Ｄ ）

Ａ．２种 Ｂ．３种 Ｃ．４种 Ｄ．５种

７．分解因式：

（１）ｘ

２

１００－２５ｙ

２

；

解：原式 ＝ ｘ

１０( ＋５ｙ) ｘ

１０( －５ｙ) ．

（２）（２０２２昆明市名校期中）４ａ

２（ｘ－ｙ）＋

ｂ２

（ｙ－ｘ）；

解：原式 ＝（ｘ－ｙ）（４ａ

２－ｂ２

）

＝（ｘ－ｙ）（２ａ＋ｂ）（２ａ－ｂ）．

（３）（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ａ＋ｂ－ｃ）２

．

解：原式 ＝［（ａ＋ｂ＋ｃ）＋（ａ＋ｂ－ｃ）］［（ａ＋

ｂ＋ｃ）－（ａ＋ｂ－ｃ）］

＝（２ａ＋２ｂ）×２ｃ

＝４ｃ（ａ＋ｂ）．

８．利用简便方法计算：

（１）３．１４×５１２－３．１４×４９２

；

解：原式 ＝３．１４×（５１２－４９２

）

＝３．１４×（５１＋４９）（５１－４９）

＝６２８．

（２）２００１×１９９９－２０００２

．

解：原式 ＝（２０００＋１）（２０００－１）－２０００２

＝２０００２－１２－２０００２

＝－１．

９．【核心素养·推理能力】从边长为 ａ的正方

形中剪掉一个边长为 ｂ的正方形（如图 １），

然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 ２）．

（１）上述操作能验证的等式是 Ｂ （请选

择正确的一个）；

Ａ．ａ

２－２ａｂ＋ｂ２＝（ａ－ｂ）２

Ｂ．ａ

２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）

Ｃ．ａ

２＋ａｂ＝ａ（ａ＋ｂ）

（２）应用你从（１）中选出的等式，完成下列

各题：

①已知 ｘ

２ －４ｙ

２ ＝１２，ｘ＋２ｙ＝４，求 ｘ－２ｙ

的值；

② 计 算： １－１

( ２２) １－１

( ３２) １－１

( ４２) …

１－ １

( ２０２１２) １－ １

( ２０２２２) ．

解：①∵ｘ

２ －４ｙ

２ ＝（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ）＝１２，

ｘ＋２ｙ＝４，

∴ｘ－２ｙ＝１２÷４＝３．

②原式 ＝ １－１ ( ２) １＋

１ ( ２) １－１ ( ３)

１＋

１ ( ３) １－１ ( ４) １＋

１ ( ４) … １－ １ ( ２０２１)

１＋

１ ( ２０２１) １－ １ ( ２０２２) １＋

１ ( ２０２２) ＝１

２×

３

２×

２

３×

４

３×

３

４×

５

４…２０２０

２０２１×

２０２２

２０２１×

２０２１

２０２２×

２０２３

２０２２

＝１

２×

２０２３

２０２２

＝２０２３

４０４４

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·６９·

第十四章 整式的乘法与因式分解

第 ２课时 运用完全平方公式因式分解

１．形如 ａ

２＋２ａｂ＋ｂ２和 ａ

２－２ａｂ＋ｂ２的式子叫

做 完全平方式 ．

２．利用 完全平方公式 可以把形如完全平

方式的多项式因式分解：ａ

２ ±２ａｂ＋ｂ２ ＝

（ａ±ｂ）２ ，即两个数的平方和加上（或

减去）这两个数积的 ２倍，等于这两个数的

和（或差） 的平方．

３．把乘法公式的等号左右两边 互换位置 ，

就可以得到用于分解因式的公式，用来把某

些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分

解因式的方法叫做 公式法 ．

知识点 １ 用完全平方公式分解因式

１．已知 ４ｘ

２＋ｋｘ＋９可以用完全平方公式进行

因式分解，则 ｋ的值为 （ Ｄ ）

Ａ．６ Ｂ．±６ Ｃ．１２ Ｄ．±１２

２．分解因式：

（１）９－１２ａ＋４ａ

２

；

解：原式 ＝３２－２×３×２ａ＋（２ａ）２

＝（３－２ａ）２

．

（２）３ｘ

２

ｙ－６ｘｙ＋３ｙ；

解：原式 ＝３ｙ（ｘ

２－２ｘ＋１）

＝３ｙ（ｘ－１）２

．

（３）（２０２２昆明市期末）（２ａ－ｂ）２＋８ａｂ；

解：原式 ＝（２ａ）２－４ａｂ＋ｂ２＋８ａｂ

＝（２ａ）２＋４ａｂ＋ｂ２

＝（２ａ＋ｂ）２

．

（４）４＋１２（ｘ－ｙ）＋９（ｘ－ｙ）２

；

解：原式 ＝２２ ＋２×２×３（ｘ－ｙ）＋［３（ｘ－

ｙ）］２

＝［２＋３（ｘ－ｙ）］２

＝（２＋３ｘ－３ｙ）２

．

（５）４ｘ

４＋ｙ

４

．

解：原式 ＝（２ｘ

２

）２＋４ｘ

２

ｙ

２＋（ｙ

２

）２－４ｘ

２

ｙ

２

＝（２ｘ

２＋ｙ

２

）２－（２ｘｙ）２

＝（２ｘ

２＋ｙ

２＋２ｘｙ）（２ｘ

２＋ｙ

２－２ｘｙ）．

知识点 ２ 用公式 ｘ

２＋（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝（ｘ 

＋

ｐ）（ｘ＋ｑ） 分解因式

３．下列各式中，计算结果是 ｘ

２＋４ｘ－１２的是

（ Ｄ ）

Ａ．（ｘ－１）（ｘ＋１２） Ｂ．（ｘ＋２）（ｘ＋６）

Ｃ．（ｘ－３）（ｘ＋４） Ｄ．（ｘ－２）（ｘ＋６）

４．将下列多项式因式分解：

（１）ｘ

２－２ｘ－３；

解：原式 ＝ｘ

２＋（１－３）ｘ＋１×（－３）

＝（ｘ＋１）（ｘ－３）．

（２）ｘ

２＋５ｘ－１４．

解：原式 ＝ｘ

２＋（７－２）ｘ＋７×（－２）

＝（ｘ＋７）（ｘ－２）

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·７０·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１．对多项式（ｘ－ｙ）２＋４ｘｙ进行因式分解，结果

正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．ｘ

２－２ｘｙ＋ｙ

２ Ｂ．ｘ

２＋２ｘｙ＋ｙ

２

Ｃ．（ｘ＋ｙ）２ Ｄ．（ｘ－ｙ）２

２．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的

个数有 （ Ｂ ）

①ｘ

２－１０ｘ＋２５；② ４ａ

２＋４ａ－１；

③ｘ

２－２ｘ－１；④ －ｍ

２＋ｍ－１

４；

⑤ ４ｘ

４－ｘ

２＋

１

４．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

３．若 ４ｘ

２－（ｋ＋１）ｘ＋９能用完全平方公式因

式分解，则 ｋ的值为 （ Ｃ ）

Ａ．±６ Ｂ．±１２

Ｃ．－１３或 １１ Ｄ．１３或 －１１

４．分解因式 ｘ

２－９ｘ＋１４＝（ｘ＋□）（ｘ－７），其

中□表示一个常数，则□的值是 （ Ｃ ）

Ａ．７ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－７

５．将多项式 ４ｘ

２ ＋１再加上一项，使它能被分

解成（ａ±ｂ）２

的形式，以下四名学生所加的

项，其中错误的是 （ Ａ ）

Ａ．２ｘ Ｂ．－４ｘ Ｃ．４ｘ

４ Ｄ．４ｘ

６．若实数 ａ，ｂ满足 ａ＋ｂ＝４，则 ４ａ

２＋８ａｂ＋４ｂ２

的值是 （ Ｄ ）

Ａ．８ Ｂ．１６ Ｃ．３２ Ｄ．６４

７．不论 ｘ，ｙ为任何实数，ｘ

２ ＋ｙ

２ －４ｘ－２ｙ＋８

的值总是 （ Ａ ）

Ａ．正数 Ｂ．负数

Ｃ．非负数 Ｄ．非正数

８．（２０２２昆明市官渡区期末）分解因式：２ｘ

２ －

４ｘ＋２＝ ２（ｘ－１）２ ．

９．（２０２０昆明市名校联考）已知关于 ｘ的二次

三项式 ３ｘ

２ －ｍｘ＋ｎ分解因式的结果为

（３ｘ＋２）（ｘ－１），则 ｍ＋ｎ＝ －１ ．

１０．利用因式分解计算：

（１）２０８２＋２０８×１８４＋９２２

；

解：原式 ＝２０８２＋２０８×９２×２＋９２２

＝（２０８＋９２）２

＝３００２

＝９００００．

（２）

１２１

４ －１１

２＋

１

４．

解：原式 ＝ １１

( ２)

２

－２×

１１

２×

１

２＋

１

( ２)

２

＝ １１

２－１ ( ２)

２

＝２５．

１１．已知 ａ＝１

２ｍ＋１，ｂ＝１

２ｍ＋２，ｃ＝１

２ｍ＋３．

求 ａ

２＋２ａｂ＋ｂ２－２ａｃ＋ｃ

２－２ｂｃ的值．

解：ａ

２＋２ａｂ＋ｂ２－２ａｃ＋ｃ

２－２ｂｃ

＝（ａ＋ｂ）２－２ｃ（ａ＋ｂ）＋ｃ

２

＝（ａ＋ｂ－ｃ）２

，

∵ａ＝１

２ｍ＋１，ｂ＝１

２ｍ＋２，ｃ＝１

２ｍ＋３，

∴原式 ＝ １

２( ｍ＋１) ＋

１

２ [ ( ｍ＋２) －

１

２( ｍ＋３) ]

２

＝ｍ

２

４

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·７１·

第十四章 整式的乘法与因式分解

章末复习

１．分类讨论思想

已知 Ｍ是含有字母 ｘ的单项式，要使多项

式 ４ｘ

２＋Ｍ＋１是某一个多项式的平方，则这

样的 Ｍ的个数有 （ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

２．整体思想

先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（ｘ＋ｙ）２＋２（ｘ＋ｙ）＋１．

解：将“ｘ＋ｙ”看成整体，令 ｘ＋ｙ＝Ａ，则原式

＝Ａ２＋２Ａ＋１＝（Ａ＋１）２

．

再将“Ａ”还原，得原式 ＝（ｘ＋ｙ＋１）２

．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思

想”是数学解题中常用的一种思想方法．请

解答下列问题：

（１）因式分解：１＋２（５ｘ－７ｙ）＋（５ｘ－７ｙ）２

；

（２）因式分解：（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ－４）＋４．

解：（１）１＋２（５ｘ－７ｙ）＋（５ｘ－７ｙ）２

＝（５ｘ－７ｙ＋１）２

．

（２）令 Ａ＝ｘ＋ｙ，则原式变为 Ａ（Ａ－４）＋

４＝Ａ２－４Ａ＋４＝（Ａ－２）２

，

故（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ－４）＋４＝（ｘ＋ｙ－２）２

．

３．方程思想

已知（－２ａｘ

ｂ

ｙ

２ｃ

）（３ｘ

ｂ－１

ｙ）＝１２ｘ

１１

ｙ

７

，求 ａ＋

ｂ＋ｃ的值．

解：∵（－２ａｘ

ｂ

ｙ

２ｃ

）（３ｘ

ｂ－１

ｙ）＝－６ａｘ

２ｂ－１

ｙ

２ｃ＋１＝

１２ｘ

１１

ｙ

７

，

∴

－６ａ＝１２，

２ｂ－１＝１１，

２ｃ＋１＝７ { ．

解得

ａ＝－２，

ｂ＝６，

ｃ＝３ { ．

∴ａ＋ｂ＋ｃ＝７．

１．（２０２３昆明市名校期中）下列计算正确的是

（ Ｂ ）

Ａ．ａ

２

·ａ

４＝ａ

８ Ｂ．（－２）０＝１

Ｃ．（２ｘ）３＝６ｘ

３ Ｄ．４ａ

２÷ａ＝４ａ

３

２．计算（ａ

２

）３－５ａ

３

·ａ

３的结果是 （ Ｃ ）

Ａ．ａ

５－５ａ

６ Ｂ．ａ

６－５ａ

９

Ｃ．－４ａ

６ Ｄ．４ａ

６

３．可利用 ｘ

２＋（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝（ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ）

分解因式的是 （ Ａ ）

Ａ．ｘ

２－３ｘ＋２ Ｂ．３ｘ

２－２ｘ＋１

Ｃ．ｘ

２＋ｘ＋１ Ｄ．３ｘ

２＋５ｘ＋７

４．（２０２２红河州名校期末）因式分解：２ｘ

２

!１８＝

２（ｘ＋３）（ｘ－３）

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·７２·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

５．因式分解：（ｍ＋ｎ）２－６（ｍ＋ｎ）＋９＝ （ｍ＋

ｎ－３）２ ．

６．因式分解：ｘ

３

ｙ－２ｘ

２

ｙ

２ ＋ｘｙ

３ ＝ ｘｙ（ｘ－

ｙ）２ ．

７．（２０２３昆明市名校期中）计算：

１

( ３ａ)

２

·

（３ａ）３＝ ３ａ

５ ．

８．计算：

（１） ３

４ｘ

２

ｙ－１

２ ( ｘｙ) ２ ·（－４ｘｙ

２

）；

解：原 式 ＝３

４ｘ

２

ｙ· （－４ｘｙ

２）－１

２ｘｙ

２·

（－４ｘｙ

２

）

＝－３ｘ

３

ｙ

３＋２ｘ

２

ｙ

４

．

（２）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｂ）－３ａ（ａ＋ｂ）；

解：原式 ＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ－３ａ）

＝（ａ＋ｂ）（２ｂ－２ａ）

＝２（ｂ２－ａ

２

）

＝２ｂ２－２ａ

２

．

（３）（ａ

２

ｂ－２ａｂ２＋ｂ３

）÷（ａ－ｂ）２

．

解：原式 ＝ｂ（ａ

２－２ａｂ＋ｂ２

）÷（ａ－ｂ）２

＝ｂ（ａ－ｂ）２÷（ａ－ｂ）２

＝ｂ．

９．（２０２３昆明市五华区期末）先化简，再求值：

（２ａ

２

ｂ－２ａｂ２－ｂ３

）÷ｂ－（ａ－ｂ）２

，其中 ａ＝

１，ｂ＝２．

解：原式 ＝２ａ

２－２ａｂ－ｂ２－ａ

２＋２ａｂ－ｂ２

＝ａ

２－２ｂ２

，

当 ａ＝１，ｂ＝２时，原式 ＝１２－２×２２＝１－

８＝－７．

１０．（２０２３昆明市五华区期末）【知识再现】在

研究平方差公式时，我们在边长为 ａ的正

方形中剪掉一个边长为 ｂ的小正方形（如

图 １），把余下的阴影部分再剪拼成一个长

方形（如图 ２），再根据图 １，图 ２阴影部分

的面积关系，可以得到一个关于 ａ，ｂ的等

式 ａ

２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ．

【知识迁移】在边长为 ａ的正方体上挖去

一个边长为 ｂ的小正方体后，余下的部分

（如图 ３）再切割拼成一个几何体（如图

４）．根据它们的体积关系得到关于 ａ，ｂ的

等式为 ａ

３－ｂ３＝ （ａ－ｂ）（ａ

２＋ａｂ＋ｂ２

）

（结果写成整式的积的形式）．

【知识运用】已知 ａ－ｂ＝４，ａｂ＝３，求 ａ

３ －

ｂ３

的值．

解：∵ａ－ｂ＝４，ａｂ＝３，

∴ａ

２ ＋ｂ２ ＝（ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝１６＋６

＝２２．

∴ａ

３－ｂ３＝（ａ－ｂ）（ａ

２ ＋ａｂ＋ｂ２

）＝４×

（２２＋３）＝１００．

１．（２０２２云南中考）下列运算正确的是（ Ｃ ）

Ａ．槡２＋槡３＝槡５ Ｂ．３０＝０

Ｃ．( －２ａ) ３＝－８ａ

３ Ｄ．ａ

６÷ａ

３＝ａ

２

２．（２０２１云南中考）分解因式：ｘ

３ －４ｘ＝ ｘ（ｘ

＋２）（ｘ－２） ．

３．（２０１９云南中考）分解因式：ｘ

２ －２ｘ＋１＝

（ｘ－１）２

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·７３·

第十四章 整式的乘法与因式分解

第十五章 分式

１５．１ 分式

１５．１．１ 从分数到分式

１．一般地，如果 Ａ，Ｂ表示两个 整式 ，并且

Ｂ中含有 字母 ，那么式子 Ａ

Ｂ叫做 分式 ．

分式Ａ

Ｂ中，Ａ叫做 分子 ，Ｂ叫做 分母

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：分式是一个形式定义，判断一个式

子是不是分式，不能化简后再判断，只需

看原式是否符合分式的定义即可．

２．分式有无意义只与 分母 有关，与 分子

无关：当 分母 为零时，分式无意义；当

分母 不为零时，分式有意义．

３．分式的值为零与分式的 分子、分母 都有

关：当分式的 分子 为零且 分母 不为

零时，分式的值为零．

知识点 １ 分式的定义

１．设 Ａ，Ｂ都是整式，若Ａ

Ｂ表示分式，则 （ Ｃ ）

Ａ．Ａ，Ｂ都必须含有字母

Ｂ．Ａ必须含有字母

Ｃ．Ｂ必须含有字母

Ｄ．Ａ，Ｂ都不必须含有字母

２．有理式① ２

ｘ，②ｘ＋ｙ

５ ，③ １

２－ａ

，④ ｘ

π－１

中，属

于分式的有 （ Ｃ ）

Ａ．①② Ｂ．③④

Ｃ．①③ Ｄ．①②③④

知识点 ２ 分式有意义的条件

３．（２０２３昆 明 市 西 山 区 期 末）要 使 分 式

ｘ

ｘ－２０２２

有意义，则 ｘ的取值应满足（ Ｄ ）

Ａ．ｘ＝２０２２ Ｂ．ｘ＞２０２２

Ｃ．ｘ＜２０２２ Ｄ．ｘ≠２０２２

４．当 ｘ＝ ２ 时，分式 ｘ

ｘ－２

无意义．

５．若式子ａ＋２

ａ－１

有意义，则实数 ａ的取值范围是

ａ≠１ ．

知识点 ３ 分式的值为零

６．如果分式ｘ－３

ｘ＋１

的值等于 ０，那么 ｘ的值是

（ Ｂ ）

Ａ．ｘ＝－１ Ｂ．ｘ＝３

Ｃ．ｘ≥ －１ Ｄ．ｘ≠３

７．当 ｘ＝ １ 时，分式ｘ－１

ｘ

的值为 ０．

１．下列各式：

ａ－ｂ

２ ，ｘ＋３

ｘ ，５＋ｙ

π ，３

４（ｘ

２ ＋１），

ａ＋ｂ

ａ－ｂ

，１

ｍ

（ａ－ｙ）中，是分式的共有 （ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

２．无论 ａ取何值时，下列分式一定有意义的是

（ Ｄ ）

Ａ．

ａ

２＋１

ａ

２ Ｂ．

ａ＋１

ａ

２

Ｃ．

ａ

２－１

ａ＋１ Ｄ．ａ－１

ａ

２

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 ＋１

·７４·

３．若分式（ｍ－１）（ｍ－３）

ｍ

２－３ｍ＋２ 的值为 ０，则 ｍ的

值是 （ Ｂ ）

Ａ．２ Ｂ．３

Ｃ．１或 ３ Ｄ．１

４．已知分式（ｘ－１）（ｘ＋３）

（ｘ＋１）（ｘ－３）有意义，则 ｘ的取

值范围是 （ Ａ ）

Ａ．ｘ≠ －１且 ｘ≠３ Ｂ．ｘ≠３

Ｃ．ｘ≠ －１ Ｄ．ｘ≠ －１或 ｘ≠３

５．已知分式 ｘ－５

ｘ

２－４ｘ＋ｍ

，当 ｘ＝６时，分式无意

义，则 ｍ的值为 （ Ｂ ）

Ａ．１２ Ｂ．－１２

Ｃ．±１２ Ｄ．不确定

６．（２０２３昆明市名校期中）若分式 ｙ －５

５－ｙ

的值

为 ０，则 ｙ＝ －５ ．

７．列式表示下列各量：

（１）王老师骑自行车用了 ｍ小时到达距离

家 ｎ千米的学校，则王老师的平均速度是

ｎ

ｍ

千米／时；若王老师乘公共汽车则可

少用 ０．２小时，则公共汽车的平均速度是

ｎ

ｍ－０．２ 千米／时；

（２）某班在一次考试中，有 ｍ人得到 ９０分，

有 ｎ人得 ８０分，那么这两部分人合在一起

的平均分是 ９０ｍ＋８０ｎ

ｍ＋ｎ

分．

８．已知 ｘ＝１时，分式 －ｘ＋２ｂ

ｘ－ａ

无意义；ｘ＝４时，

分式的值为 ０，求 ａ＋ｂ的值．

解：∵当 ｘ＝１时，分式 －ｘ＋２ｂ

ｘ－ａ

无意义，

∴ｘ－ａ＝１－ａ＝０，即 ａ＝１．

又∵当 ｘ＝４时，分式的值为 ０，

∴ｘ＋２ｂ＝４＋２ｂ＝０，即 ｂ＝－２．

∴ａ＋ｂ＝１－２＝－１．

９．求当 ｘ为何值时，分式 ３－ｘ

ｘ

２－２ｘ＋１

的值为

正数．

解：∵ｘ

２－２ｘ＋１＝（ｘ－１）２

≥０，

∴只 有 当 ３－ｘ＞０时，才 能 使 分 式

３－ｘ

ｘ

２－２ｘ＋１

的值为正数．

∵当 ｘ

２－２ｘ＋１＝０，即 ｘ＝１时，分式无

意义，

∴当 ｘ＜３且 ｘ≠１时，分式 ３－ｘ

ｘ

２－２ｘ＋１

的

值为正数．

１０．已知 ｙ＝ｘ

２＋１

４－２ｘ

，ｘ取哪些值时：

（１）ｙ的值是正数；

（２）ｙ的值是负数；

（３）ｙ的值为 ０；

（４）分式无意义．

解：根据题意，得 ｘ

２＋１≥１＞０．

（１）当 ｙ的值是正数时，

４－２ｘ＞０．解得 ｘ＜２．

（２）当 ｙ的值是负数时，

４－２ｘ＜０．解得 ｘ＞２．

（３）∵ｘ

２＋１≥１＞０，

∴分式的值 ｙ不可能为 ０．

∴不存在 ｘ使 ｙ的值为 ０．

（４）当分式无意义时，

４－２ｘ＝０．解得 ｘ＝２．

１１．若三角形的三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，且分式

ａｂ－ａｃ＋ｂｃ－ｂ２

ａ－ｃ

的值为 ０，则此三角形一

定是 （ Ｂ ）

Ａ．不等边三角形

Ｂ．腰与底边不等的等腰三角形

Ｃ．等边三角形

Ｄ．

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 直角三角形

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第十五章 分式

１５．１．２ 分式的基本性质

第 １课时 分式的基本性质与约分

１．分式的分子与分母乘（或除以） 同一个不

等于 ０ 的整式，分式的值 不变 ，可以用

式子表示为 Ａ

Ｂ＝ Ａ·Ｃ

Ｂ·Ｃ ，Ａ

Ｂ＝ Ａ÷Ｃ

Ｂ÷Ｃ

（Ｃ≠０），其中 Ａ，Ｂ，Ｃ是整式．

２．根据分式的基本性质，把一个分式的分子与

分母的 公因式 约去，叫做分式的约分．

注意：约分所得的结果为 最简分式 或

整式 ．

３．分子与分母中没有公因式的分式，叫做 最简

分式 ．

知识点 １ 分式的基本性质

１．已知 ｘ≠ｙ，下列各式与ｘ－ｙ

ｘ＋ｙ

相等的是 （ Ｄ ）

Ａ．

ｘ－ｙ＋５

ｘ＋ｙ＋５ Ｂ．

２ｘ－ｙ

２ｘ＋ｙ

Ｃ．－－ｘ＋ｙ

ｘ－ｙ

Ｄ．

（ｘ－ｙ）２

ｘ

２－ｙ

２

２．根据分式的基本性质填空：

（１）８ａ

２

ｃ

１２ａ

２

ｂ

＝ ２ｃ

（３ｂ ）

；

（２）２ｘ

ｘ＋３＝（２ｘ

２ ）

ｘ

２＋３ｘ

；

（３）

６ｘ（ｙ＋ｚ）

３（ｙ＋ｚ）２ ＝（２ｘ ）

ｙ＋ｚ

；

（４） ｘ

ｘ－１＝ ｘ

２＋２ｘ

（ｘ

２＋ｘ－２ ）．

知识点 ２ 约分

３．下列分式：－６ｘｙ

３ｘ ，ｙ

２－ｘ

２

ｘ－ｙ，ｙ

２＋ｘ

２

ｘ＋ｙ， ｘｙ＋ｘ

２ｘ＋４ｘ

２

ｙ

，

ｘ

２－１

ｘ

２＋２ｘ＋１

，其中属于最简分式的个数有

（ Ａ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

４．在分式ｘ

２

ｙ＋ｘｙ

２

２ｘｙ

中，分子与分母的公因式是

ｘｙ ．

５．约分：

（１）－１６ｘ

２

ｙ

３

２０ｘｙ

４ ；

解：原式 ＝４ｘｙ

３

·（－４ｘ）

４ｘｙ

３

·５ｙ ＝－４ｘ

５ｙ

．

（２）ａ

２

ｂ＋ａｂ２

２ａ

２

ｂ２ ；

解：原式 ＝ａｂ（ａ＋ｂ）

ａｂ·２ａｂ＝ａ＋ｂ

２ａｂ．

（３）ｘ

２－４ｘ－２１

ｘ

２＋５ｘ＋６．

解：原式 ＝（ｘ－７）（ｘ＋３）

（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝ｘ－７

ｘ＋２

．

１．（２０２３昆明市五华区期末）下列从左到右的

变形中，正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．

ｘ＋１

ｙ＋１＝ｘ

ｙ

Ｂ．－ｘ

－ｙ＝－ｘ

ｙ

Ｃ．

ｘ

２

ｙ

２＝ｘ

ｙ

Ｄ．

ｘｙ

ｙ

２ ＝ｘ

ｙ

２．（２０２３昆明市官渡区期末）下列各式中，最

简分式是 （ Ｃ ）

Ａ．

ａｂｃ

ｂ Ｂ．

６ｘ

８ｙ

Ｃ．

ｘ＋２

ｘ－３ Ｄ．

ｘ

２－１

ｘ

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 ＋１

·７６·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

３．下列分式约分正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．

２ａ－２ｂ

ａ

２－ｂ２ ＝ ２

ａ－ｂ Ｂ．－２ｂｃ

－ａｃ＝－２ｂ

ａ

Ｃ．

２ｘ－ｙ

２ｘ ＝１－ｙ Ｄ． １－ａ

ａ

２－２ａ＋１＝ １

１－ａ

４．（２０２２昆明市期末）如果把分式ｘ－ｙ

ｘｙ

中的 ｘ

和 ｙ都扩大 ２倍，那么分式的值 （ Ｃ ）

Ａ．扩大 ２倍 Ｂ．不变

Ｃ．缩小 ２倍 Ｄ．缩小 ４倍

５．如果 ｂ

ａ＝２

３，且 ａ≠３，那么ａ－ｂ－１

ａ＋ｂ－５＝（ Ｂ ）

Ａ．０ Ｂ．１

５

Ｃ．－１

５ Ｄ．没有意义

６．不改变分式的值，将下列各式的分子、分母

中各项系数都化为整数：

（１） ０．２ｘ＋ｙ

０．０２ｘ－０．５ｙ＝ １０ｘ＋５０ｙ

ｘ－２５ｙ

；

（２）

１

３ｘ＋

１

４ｙ

１

２ｘ－１

３ｙ

＝ ４ｘ＋３ｙ

６ｘ－４ｙ ．

７．若 ｘ

３＝ｙ

４＝ｚ

５，求 ｘ＋ｙ＋ｚ

３ｘ－２ｙ＋ｚ

的值．

解：设 ｘ

３ ＝ｙ

４ ＝ ｚ

５ ＝ｋ，则 ｘ＝３ｋ，ｙ＝４ｋ，

ｚ＝５ｋ，

所以，原式 ＝ ３ｋ＋４ｋ＋５ｋ

３×３ｋ－２×４ｋ＋５ｋ＝２．

８．先化简，再求值：

（１）ｘ＋２ｙ

ｘ

２－４ｙ

２，其中 ｘ＝５，ｙ＝７

２；

解：原式 ＝ ｘ＋２ｙ

（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ）＝ １

ｘ－２ｙ

，

当 ｘ＝５，ｙ＝７

２时，

原式 ＝ １

５－２×

７

２

＝－１

２．

（２） ３ａ

２－ａｂ

９ａ

２－６ａｂ＋ｂ２，其中 ａ＝３

４，ｂ＝－２

３．

解：原式 ＝ａ(３ａ－ｂ)

(３ａ－ｂ) ２ ＝ ａ

３ａ－ｂ

，

当 ａ＝３

４，ｂ＝－２

３时，

原式 ＝

３

４

３×

３

４－ －２ ( ３)

＝９

３５

．

９．对分式ａ

２－ｂ２

ａ＋ｂ的变形：甲同学采用的做法是

ａ

２－ｂ２

ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）

ａ＋ｂ ＝ａ－ｂ；乙同学采用

的 做 法 是 ａ

２－ｂ２

ａ＋ｂ ＝ （ａ

２－ｂ２

）（ａ－ｂ）

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ＝

（ａ

２－ｂ２

）（ａ－ｂ）

ａ

２－ｂ２ ＝ａ－ｂ．请根据分式的基本

性质，判断甲、乙两位同学的做法是否正确，

并说明理由．

解：甲同学的做法正确，乙同学的做法错误．

理由如下：∵分式ａ

２－ｂ２

ａ＋ｂ本身隐含了 ａ＋

ｂ≠０，∴将分式的分子、分母都除以 ａ＋

ｂ，其值不会改变，即甲同学的做法正确；

而 ａ－ｂ的值是否为 ０不能确定，∴不能

将分式的分子、分母都乘 ａ－ｂ，即乙同

学的做法错误

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·７７·

第十五章 分式