６.证明∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬ

∴ ＡＢ∥ＣＤꎬＡＢ＝ＣＤꎬ

∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢꎬ

在△ＡＢＥ 和△ＣＤＦ 中ꎬ

∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦꎬ

ＡＢ＝ＣＤꎬ

∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＥ≌△ＣＤＦꎬ

∴ ＡＥ＝ＣＦ.

７.１８

８.证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＣꎬＡＤ＝ＢＣꎬ

又∵ 点 Ｅ、Ｆ 分别是 ＡＤ、ＢＣ 的中点ꎬ

∴ ＡＥ∥ＣＦꎬＡＥ＝ＣＦ＝

１

２

ＡＤꎬ

∴ 四边形 ＡＥＣＦ 为平行四边形(一组对边平

行且相等的四边形为平行四边形)ꎬ

∴ ＡＦ＝ＣＥ(平行四边形的对边相等).

９.

９ １０

５０

解:如图ꎬ过点 Ｂ 作 ＢＦ⊥ＥＣ 于点 Ｆꎬ

∵ ＤＥ⊥ＡＢꎬＡＤ＝ ５ꎬ∴ ｓｉｎ Ａ ＝

ＤＥ

ＡＤ

＝

４

５

ꎬ

∴ ＤＥ＝ ４ꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＤ

２－ＤＥ

２ ＝ ３ꎬ

在▱ＡＢＣＤ 中ꎬＡＤ＝ＢＣ＝ ５ꎬＡＢ＝ＣＤ＝ １２ꎬ

∴ ＢＥ＝ ＡＢ－ＡＥ＝ １２－３ ＝ ９ꎬ

∵ ＣＤ∥ＡＢꎬ

∴ ∠ＤＥＡ ＝∠ＥＤＣ＝ ９０°ꎬ∠ＣＥＢ＝∠ＤＣＥꎬ

∴ ｔａｎ∠ＣＥＢ＝ ｔａｎ∠ＤＣＥꎬ

∴

ＢＦ

ＥＦ

＝

ＤＥ

ＣＤ

＝

４

１２

＝

１

３

ꎬ

∴ ＥＦ＝ ３ＢＦꎬ

在 Ｒｔ△ＢＥＦ 中ꎬ根据勾股定理ꎬ得

ＥＦ

２＋ＢＦ

２ ＝ＢＥ

２

ꎬ

∴ (３ＢＦ)

２＋ＢＦ

２ ＝ ９

２

ꎬ

解得 ＢＦ＝

９ １０

１０

ꎬ

∴ ｓｉｎ∠ＢＣＥ＝

ＢＦ

ＢＣ

＝

９ １０

１０

５

＝

９ １０

５０

.

１０. ２ １１.Ｃ

１２.证明:(１)①∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为矩形ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°ꎬ

∵ ＡＦ 平分∠ＢＡＤꎬ

∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ ４５°ꎬ

∴ △ＡＢＦ 为等腰直角三角形ꎬ

∴ ＡＢ＝ＢＦ.

∵ ＢＥ＝ＦＣꎬ

∴ ＡＢ＋ＢＥ＝ＢＦ＋ＣＦꎬ即 ＡＥ＝ＢＣ＝ ＡＤ.

∵ ＡＧ＝ ＡＧꎬ

∴ △ＡＤＧ≌△ＡＥＧꎬ

∴ ＧＥ＝ＧＤ.

②如图ꎬ连接 ＢＧꎬＣＧꎬ

∵ Ｇ 为 ＡＦ 的中点ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 为矩形ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°ꎬＡＤ＝ＢＣꎬ

∴ ＢＧ＝ ＡＧ＝ＦＧ.

∵ ＡＦ 平分 ∠ＢＡＤꎬ△ＡＢＦ 为等腰直角三

角形ꎬ

∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ ４５° ＝∠ＡＢＧ＝∠ＣＢＧꎬ

∴ △ＡＤＧ≌△ＢＣＧꎬ

∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＢＣＧꎬＧＤ＝ＧＣꎬ

∵ △ＡＤＧ≌△ＡＥＧꎬ

∴ ∠Ｅ＝∠ＡＤＧꎬ

∴ ∠Ｅ＝∠ＢＣＧ.

∵ ∠ＢＯＥ＝∠ＧＯＣꎬ

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２６

∴ △ＢＯＥ≌△ＧＯＣꎬ

∴

ＢＯ

ＢＥ

＝

ＧＯ

ＧＣ

＝

ＧＯ

ＧＤ

＝

ＢＯ

ＣＦ

ꎬ

∴ ＢＯ?ＧＤ＝ＧＯ?ＦＣ.

(２)如图ꎬ过点 Ｄ 作 ＤＭ⊥ＢＣ 交 ＢＣ 于点

Ｍꎬ连接 ＧＭꎬ作 ＧＮ⊥ＤＭ 交 ＤＭ 于点 Ｎꎬ

∴ ∠ＤＭＢ ＝ ９０° ＝ ∠ＧＮＭ ＝ ∠ＧＮＤ ＝

∠ＤＭＣꎬ

由(１)同理可证:△ＡＤＧ≌△ＡＥＧꎬ

∴ ∠Ｅ＝∠ＡＤＧꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＣꎬ

∴ ∠ＡＤＭ＝∠ＤＭＣ＝ ９０°ꎬ

∴ ＢＣ∥ＧＮ∥ＡＤꎬ

∵ Ｇ 为 ＡＦ 的中点ꎬ由平行线分线段成比例

可得 ＤＮ＝ＭＮꎬ

∴ ＤＧ＝ＭＧꎬ

∴ ∠ＧＤＭ＝∠ＧＭＤꎬ

∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＢＭＧ＝∠Ｅꎬ

∵ ∠ＢＯＥ＝ＧＯＭꎬ

∴ △ＢＯＥ∽△ＧＯＭꎬ

∴

ＢＯ

ＢＥ

＝

ＧＯ

ＧＭ

＝

ＧＯ

ＧＤ

＝

ＢＯ

ＣＦ

ꎬ

∴ ＢＯ?ＧＤ＝ＧＯ?ＦＣ.

第 ２２ 讲 矩形与菱形

课前热身

１.Ｂ ２.Ｃ ３.Ｄ ４.Ｄ

本课练习

１.解:四边形 ＡＢＣＤ 是矩形.理由如下:

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＯＣ＝

１

２

ＡＣꎬＯＢ＝

１

２

ＢＤ.

又∵ ∠１ ＝∠２ꎬ

∴ ＯＢ＝ＯＣꎬ

∴ ＢＤ＝ ＡＣꎬ

∴ ▱ＡＢＣＤ 是矩形.

２.解:(１)∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬ

∴ ＤＣ ＝ ＢＣꎬ ∠ＢＣＤ ＝ ２ ∠ＡＣＤꎬ ∠ＡＢＣ ＝

∠ＡＤＣꎬ

∴ ∠ＢＣＤ＝ ６０°ꎬ

∴ △ＢＣＤ 为等边三角形ꎬ

∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＢＤＣ＝ ６０°ꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝ １２０°ꎻ

(２)∵ △ＢＣＤ 为等边三角形ꎬＢＤ＝ ６ꎬ

∴ ＢＣ＝ＤＣ＝ ＡＢ＝ ６ꎬ

∴ ＤＯ＝

１

２

ＤＣ＝ ３ꎬ

∴ ＣＯ＝ ３ ３ ꎬ

∴ ＡＣ＝ ２ＣＯ＝ ６ ３ .

３. ( １) 证明: ∵ ∠ＢＰＱ ＝ ∠ＢＰＣ ＋ ∠ＣＰＱ ＝

∠Ａ＋∠ＡＱＰꎬ又∠ＢＰＣ＝∠ＡＱＰꎬ

∴ ∠ＣＰＱ＝∠Ａꎬ

∵ ＰＱ⊥ＣＰꎬ

∴ ∠Ａ ＝∠ＣＰＱ＝ ９０°ꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬ

∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎻ

(２)解:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎬ

∴ ∠Ｄ＝∠ＣＰＱ＝ ９０°ꎬ

在 Ｒｔ△ＣＤＱ 和 Ｒｔ△ＣＰＱ 中ꎬ

ＣＱ＝ＣＱꎬ

ＣＤ＝ＣＰꎬ {

∴ Ｒｔ△ＣＤＱ≌Ｒｔ△ＣＰＱ(ＨＬ)ꎬ

∴ ＤＱ＝ＰＱꎬ

设 ＡＱ＝ ｘꎬ则 ＤＱ＝ＰＱ＝ ６－ｘꎬ

在 Ｒｔ△ＡＰＱ 中ꎬＡＱ

２＋ＡＰ

２ ＝ＰＱ

２

ꎬ

∴ ｘ

２＋２

２ ＝ (６－ｘ)

２

ꎬ

解得 ｘ ＝

８

３

ꎬ

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２７

∴ ＡＱ 的长是

８

３

.

４.(１)证明:∵ ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ

∴ ＥＣ⊥ＤＣꎬ

∵ ＥＦ⊥ＢＤꎬＥＦ＝ＥＣꎬ

∴ ＤＥ 是∠ＢＤＣ 的平分线ꎬ

∴ ∠ＥＤＢ＝∠ＥＤＣꎬ

∵ ∠ＡＤＢ＝

１

２

∠ＢＤＣꎬ

∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＢꎬ

∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤꎬ

∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＥＤＢꎬ

∴ ＡＢ∥ＤＥꎬ

∵ ＡＤ∥ＢＣꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＥꎬ

∴ 四边形 ＡＢＥＤ 是平行四边形ꎬ

∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＤꎬ

∴ 四边形 ＡＢＥＤ 是菱形ꎻ

(２)解:由(１)知ꎬ四边形 ＡＢＥＤ 是菱形ꎬ

∴ ＤＥ＝ＢＥ＝ ＡＤ＝ ４ꎬ

∵ ＡＤ∥ＢＣꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＋∠Ｃ＝ １８０°ꎬ

∵ ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＝ ９０°ꎬ

∵ ∠ＥＤＢ＝∠ＥＤＣ＝∠ＡＤＢꎬ

∴ ∠ＥＤＣ＝ ３０°ꎬ

∴ ＣＤ＝ＤＥ?ｃｏｓ ３０° ＝ ４×

３

２

＝ ２ ３ ꎬ

∴ Ｓ△ＢＥＤ

＝

１

２

ＢＥ?ＣＤ＝

１

２

×４×２ ３ ＝ ４ ３ .

５.Ｂ

６.解: ( １) 证明: ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四

边形ꎬ

∴ ＡＢ∥ＣＤꎬ即 ＡＢ∥ＣＦꎬ

∴ ∠ＢＡＥ＝∠ＦＤＥꎬ

∵ Ｅ 为线段 ＡＤ 的中点ꎬ

∴ ＡＥ＝ＤＥꎬ

又∵ ∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＦꎬ

∴ △ＡＢＥ≌△ＤＦＥ(ＡＳＡ)ꎬ

∴ ＡＢ＝ＤＦꎬ

又∵ ＡＢ∥ＤＦꎬ

∴ 四边形 ＡＢＤＦ 是平行四边形ꎬ

∵ ∠ＢＤＦ＝ ９０°ꎬ

∴ 四边形 ＡＢＤＦ 是矩形ꎻ

(２)解:由(１)知ꎬ四边形 ＡＢＤＦ 是矩形ꎬ

∴ ＡＢ＝ＤＦ＝ ３ꎬ∠ＡＦＤ＝ ９０°ꎬ

在 Ｒｔ △ＡＤＦ 中ꎬ ＡＦ ＝ ＡＤ

２－ＤＦ

２ ＝ ５

２－３

２

＝ ４ꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＡＢ＝ＣＤ＝ ３ꎬ

∴ ＣＦ＝ＣＤ＋ＤＦ＝ ３＋３ ＝ ６ꎬ

∴ Ｓ ＝

１

２

(ＡＢ＋ＣＦ) ?ＡＦ＝

１

２

×(３＋６) ×４ ＝ １８.

７.∠Ａ ＝ ９０°(答案不唯一)

８.(１)证明:∵ Ｅ 是 ＡＤ 的中点ꎬ

∴ ＡＥ＝ＤＥ

∵ ＡＦ∥ＢＣꎬ∴ ∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥꎬ

在△ＡＥＦ 和△ＤＥＣ 中ꎬ

∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥꎬ

∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＣꎬ

ＡＥ＝ＤＥꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＥＦ≌△ＤＥＣ(ＡＡＳ)ꎬ

∴ ＡＦ＝ＣＤꎬ

∵ Ｄ 是 ＢＣ 的中点ꎬ

∴ ＣＤ＝ＢＤꎬ

∴ ＡＦ＝ＢＤꎬ

∴ 四边形 ＡＤＢＦ 是平行四边形ꎬ

∵ ∠ＢＡＣ＝ ９０°ꎬＤ 是 ＢＣ 的中点ꎬ

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２８

∴ ＡＤ＝ＢＤ＝

１

２

ＢＣꎬ

∴ 四边形 ＡＤＢＦ 是菱形ꎻ

(２)解:如图ꎬ连接 ＤＦ 交 ＡＢ 于点 Ｏꎬ

由(１)知:四边形 ＡＤＢＦ 是菱形ꎬ

∴ ＡＢ⊥ＤＦꎬＯＡ ＝

１

２

ＡＢ＝

１

２

×８ ＝ ４ꎬ

Ｓ菱形ＡＤＢＦ

＝

１

２

ＡＢ?ＤＦ＝ ４０ꎬ

∴

１

２

ＤＦ×８ ＝ ４０ꎬ

∴ ＤＦ＝ １０ꎬ

∴ ＯＤ＝ ５ꎬ

∵ 四边形 ＡＤＢＦ 是菱形ꎬ

∴ Ｏ 是 ＡＢ 的中点ꎬ

∵ Ｄ 是 ＢＣ 的中点ꎬ

∴ ＯＤ 是△ＢＡＣ 的中位线ꎬ

∴ ＡＣ＝ ２ＯＤ＝ ２×５ ＝ １０.

９.Ａ

解:如图ꎬ过点 Ｆ 作 ＦＨ⊥ＡＤ 于点 Ｈꎬ设 ＡＧ

与 ＥＦ 交于点 Ｏꎬ

由折叠的性质得:∠ＡＯＥ＝ ９０°ꎬ

∵ ∠ＥＡＯ＋∠ＡＥＯ＝ ９０°ꎬ

∠ＥＡＯ＋∠ＡＧＤ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＡＥＯ＝∠ＡＧＤꎬ即∠ＦＥＨ＝∠ＡＧＤꎬ

又∵ ∠ＡＤＧ＝∠ＦＨＥ＝ ９０°ꎬ

∴ △ＡＤＧ∽△ＦＨＥꎬ

∴

ＥＦ

ＡＧ

＝

ＨＦ

ＡＤ

＝

ＡＢ

ＡＤ

＝

１

２

＝

２

２

.

１０.Ａ

解:连接 ＡＣꎬ延长 ＡＰꎬ交 ＢＣ 于点 Ｅꎬ

∵ 在菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬ∠Ｄ＝ ６０°ꎬＡＢ＝ ２ꎬ

∴ ∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＝ ６０°ꎬＡＢ＝ＢＣ＝ ２ꎬ

∴ △ＡＢＣ 是等边三角形ꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＣꎬ

∵ △ＰＢＣ 为等腰直角三角形ꎬ

∴ ＰＢ＝ＰＣꎬ

在△ＡＰＢ 和△ＡＰＣ 中ꎬ

ＡＢ＝ ＡＣꎬ

ＡＰ＝ ＡＰꎬ

ＰＢ＝ＰＣꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＰＢ≌△ＡＰＣ(ＳＳＳ)ꎬ

∴ ∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣꎬ

∴ ＡＥ⊥ＢＣꎬＢＥ＝ＣＥ＝ １ꎬ

∵ △ＢＰＣ 为等腰直角三角形ꎬ

∴ ＰＥ＝

１

２

ＢＣ＝ １ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＢＥ 中ꎬＡＥ＝

３

２

ＡＢ＝ ３ ꎬ

∴ ＡＰ＝ ３ －１ꎬ

∴ Ｓ阴影

＝ Ｓ扇形ＡＢＣ

－ Ｓ△ＰＡＢ

－ Ｓ△ＰＢＣ

＝

６０π×２

２

３６０

－

１

２

( ３ －１) ×１－

１

２

×２×１ ＝

２

３

π－

３ ＋１

２

ꎬ

故选:Ａ.

１１.２

４ ０３８

３

解:∵ 在菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬ∠ＡＢＣ ＝ １２０°ꎬＡＢ

＝ １ꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＝ １２０°ꎬＡＤ＝ＣＤ＝ １ꎬ

∴ ∠ＡＤＡ１

＝ ６０°ꎬ

∵ ＤＡ１

＝ＣＤꎬ

∴ ＡＤ＝ＤＡ１ ꎬ

∴ △ＡＤＡ１ 为等边三角形且边长为 １ꎬ

同理:△Ａ１Ｄ１Ａ２ 为等边三角形且边长为 ２ꎬ

△Ａ２Ｄ２Ａ３ 为等边三角形且边长为 ４ꎬ

△Ａ３Ｄ３Ａ４ 为等边三角形且边长为 ８ꎬ

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２９

??

△Ａ２ ０２０ Ｄ２ ０２０ Ａ２ ０２１ 为 等 边 三 角 形 且 边 长

为 ２

２ ０２０

ꎬ

∴ Ｓ１

＝

３

４

×１

２

ꎬ

Ｓ２

＝

３

４

×２

２

ꎬ

Ｓ３

＝

３

４

×４

２

ꎬ

??

Ｓｎ

＝

３

４

×２

２ｎ－２

ꎬ

∴ Ｓ２ ０２１

＝

３

４

×２

４ ０４０ ＝ ２

４ ０３８

３ ꎬ

故答案为 ２

４ ０３８

３ .

１２.(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形ꎬ

∴ ＡＤ∥ＢＣꎬＡＤ＝ＢＣꎬ

∵ ＤＥ＝ ＡＤꎬ∴ ＤＥ＝ＢＣꎬ

又∵ 点 Ｅ 在 ＡＤ 的延长线上ꎬ∴ ＤＥ∥ＢＣꎬ

∴ 四边形 ＤＢＣＥ 为平行四边形ꎬ

又∵ ＢＥ⊥ＤＣꎬ∴ 四边形 ＤＢＣＥ 为菱形ꎻ

(２) 解:如图ꎬ由菱形对称性得ꎬ点 Ｎ 关于

ＢＥ 的对称点 Ｎ′在 ＤＥ 上ꎬ

∴ ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＭ＋ＰＮ′ꎬ

当 Ｐ、Ｍ、Ｎ′三点共线时ꎬ

ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＭ＋ＰＮ′＝ＭＮ′ꎬ

过点 Ｄ 作 ＤＨ⊥ＢＣꎬ垂足为 Ｈꎬ

∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ

∴ ＭＮ′的最小值即为平行线间的距离 ＤＨ

的长ꎬ

∵ △ＤＢＣ 是边长为 ２ 的等边三角形ꎬ

∴ 在 Ｒｔ △ＤＢＨ 中ꎬ ∠ＤＢＣ ＝ ６０°ꎬ ＤＢ ＝ ２ꎬ

ｓｉｎ∠ＤＢＣ＝

ＤＨ

ＤＢ

ꎬ

∴ ＤＨ＝ＤＢ?ｓｉｎ∠ＤＢＣ＝ ２×

３

２

＝ ３ ꎬ

∴ ＰＭ＋ＰＮ 的最小值为 ３ .

第 ２３ 讲 正方形

课前热身

１.Ｃ ２.Ｄ ３.Ｂ ４.４５°

本课练习

１.解:四边形 ＥＦＭＮ 是正方形.

证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬＡＥ ＝ ＢＦ ＝

ＣＭ＝ＤＮꎬ

∴ ＡＮ＝ＤＭ＝ＣＦ＝ＢＥ.

∵ ∠Ａ ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝ ９０°ꎬ

∴ △ＡＮＥ≌△ＤＭＮ≌△ＣＦＭ≌△ＢＥＦꎬ

∴ ＥＦ＝ＥＮ＝ＮＭ＝ＭＦꎬ∠ＥＮＡ ＝∠ＤＭＮꎬ

∴ 四边形 ＥＦＭＮ 是菱形.

∵ ∠ＥＮＡ ＝∠ＤＭＮꎬ∠ＤＭＮ＋∠ＤＮＭ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＥＮＡ＋∠ＤＮＭ＝ ９０°.

∴ ∠ＥＮＭ＝ ９０°.

∴ 四边形 ＥＦＭＮ 是正方形.

２.证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

∴ ＡＢ＝ＤＡꎬＡＢ⊥ＡＤ.

∵ ＢＥ⊥ＡＧꎬＤＦ⊥ＡＧꎬ

∴ ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝ ９０°ꎬ

又∵ ∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＦ ＝ ９０°ꎬ∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ ＝

９０°ꎬ

∴ ∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦꎬ

在△ＡＢＥ 和△ＤＡＦ 中ꎬ

∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤꎬ

∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦꎬ

ＡＢ＝ＤＡꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＥ≌△ＤＡＦ(ＡＡＳ)ꎬ

∴ ＡＦ＝ＢＥꎬ

∴ ＡＥ－ＢＥ＝ＥＦ.

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３０

３.(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬ

∴ ∠Ｂ＝∠ＤꎬＡＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝ ＡＤꎬ

∵ 点 ＥꎬＯꎬＦ 分别为 ＡＢꎬＡＣꎬＡＤ 的中点ꎬ

∴ ＡＥ＝ＢＥ ＝ ＤＦ ＝ ＡＦꎬＯＦ ＝

１

２

ＤＣꎬＯＥ ＝

１

２

ＢＣꎬ

ＯＥ∥ＢＣꎬ

在△ＢＣＥ 和△ＤＣＦ 中ꎬ

ＢＥ＝ＤＦꎬ

∠Ｂ＝∠Ｄꎬ

ＢＣ＝ＤＣꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＢＣＥ≌△ＤＣＦ(ＳＡＳ)ꎻ

(２)解:当 ＡＢ⊥ＢＣ 时ꎬ四边形 ＡＥＯＦ 是正方

形ꎬ理由如下:

由(１)得:ＡＥ＝ＯＥ＝ＯＦ＝ ＡＦꎬ

∴ 四边形 ＡＥＯＦ 是菱形ꎬ

∵ ＡＢ⊥ＢＣꎬＯＥ∥ＢＣꎬ

∴ ＯＥ⊥ＡＢꎬ

∴ ∠ＡＥＯ＝ ９０°ꎬ

∴ 四边形 ＡＥＯＦ 是正方形.

故答案为 ＡＢ⊥ＢＣ.

４.解:如图ꎬ延长 ＢＦ 交 ＣＤ 于点 Ｈꎬ连接 ＥＨ.

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

∴ ＡＢ∥ＣＤꎬ∠Ｄ ＝ ∠ＤＡＢ ＝ ９０°ꎬ ＡＤ ＝ ＣＤ ＝

ＡＢ＝ １ꎬ

∴ ＡＣ＝ ＡＤ

２＋ＣＤ

２ ＝ １

２＋１

２ ＝ ２ ꎬ

由翻折的性质可知ꎬＡＥ ＝ＥＦꎬ∠ＥＡＢ ＝∠ＥＦＢ ＝

∠ＥＦＨ＝９０°ꎬ∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢꎬ

∵ 点 Ｅ 是 ＡＤ 的中点ꎬ

∴ ＡＥ＝ＤＥ＝ＥＦꎬ

在 Ｒｔ△ＥＨＤ 和 Ｒｔ△ＥＨＦ 中ꎬ

ＥＨ＝ＥＨꎬ

ＥＤ＝ＥＦꎬ {

∴ Ｒｔ△ＥＨＤ≌Ｒｔ△ＥＨＦ(ＨＬ)ꎬ

∴ ∠ＤＥＨ＝∠ＦＥＨꎬ

∴ ∠ＨＥＢ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＤＥＨ＋∠ＡＥＢ＝ ９０°ꎬ

∵ ∠ＡＥＢ＋∠ＡＢＥ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＤＥＨ＝∠ＡＢＥꎬ

∴ △ＥＤＨ∽△ＢＡＥꎬ

∴

ＥＤ

ＡＢ

＝

ＤＨ

ＥＡ

＝

１

２

ꎬ

∴ ＤＨ＝

１

４

ꎬＣＨ＝

３

４

ꎬ

∵ ＣＨ∥ＡＢꎬ

∴

ＣＧ

ＧＡ

＝

ＣＨ

ＡＢ

＝

３

４

ꎬ

∴ ＣＧ＝

３

７

ＡＣ＝

３ ２

７

.

５.Ｂ

６.解:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

∴ ∠ＦＤＣ＝∠ＤＣＦ＝ ４５°ꎬ

∵ ∠Ｅ＝ ９０°ꎬＥＤ＝ＥＣꎬ

∴ ∠ＥＤＣ＝∠ＥＣＤ＝ ４５°ꎬ

∴ ∠ＦＣＥ＝∠ＦＤＥ＝∠Ｅ＝ ９０°ꎬ

∴ 四边形 ＤＦＣＥ 是矩形ꎬ

∵ ＤＥ＝ＣＥꎬ

∴ 四边形 ＤＦＣＥ 是正方形.

７.∠ＢＡＤ＝ ９０°

８.(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

∴ ＡＢ＝ ＡＤꎬ∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＦ＝ ９０°ꎬ

在△ＡＢＥ 和△ＡＤＦ 中ꎬ

ＡＢ＝ ＡＤꎬ

∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦꎬ

ＢＥ＝ＤＦꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＥ≌△ＡＤＦ(ＳＡＳ)ꎻ

(２)解:∵ △ＡＢＥ≌△ＡＤＦꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＦꎬ∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦꎬ

∵ ∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＤ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＤ＝ ９０°ꎬ即∠ＥＡＦ＝ ９０°ꎬ

∴ ＥＦ＝ ２ ＡＥ＝ ５ ２ .

９.(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

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３１

∴ ∠Ｂ＝ ９０°ꎬＡＢ＝ＢＣꎬ

∵ ＦＨ⊥ＢＨꎬ

∴ ∠Ｈ＝ ９０° ＝∠Ｂꎬ∠Ｆ＝ ９０°－∠ＦＥＨꎬ

∵ ∠ＡＥＦ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＡＥＢ＝ ９０°－∠ＦＥＨꎬ

∴ ∠ＡＥＢ＝∠Ｆꎬ

在△ＡＢＥ 和△ＥＨＦ 中ꎬ

∠Ｂ＝∠Ｈꎬ

∠ＡＥＢ＝∠Ｆꎬ

ＡＥ＝ＥＦꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＢＥ≌△ＥＨＦ(ＡＡＳ)ꎬ

∴ ＥＨ＝ ＡＢ＝ＢＣꎬＢＥ＝ＦＨꎬ

∴ ＥＨ－ＥＣ＝ＢＣ－ＦＣꎬ即 ＣＨ＝ＢＥꎻ

(２) 如图ꎬ连接 ＤＦꎬ过点 Ｆ 作 ＦＰ⊥ＣＤ 于

点 Ｐꎬ

∵ ∠Ｈ＝∠ＤＣＨ＝∠ＦＰＣ＝ ９０°ꎬ

∴ 四边形 ＰＣＨＦ 是矩形ꎬ

由(１)知:ＢＥ＝ＦＨ＝ＣＨꎬ

∴ 四边形 ＰＣＨＦ 是正方形ꎬ

∴ ＰＦ＝ＣＰ＝ＣＨ＝ＢＥ＝ ｘꎬ

∵ ＤＣ＝ ＡＢ＝ ３ꎬ

∴ ＤＰ＝ＤＣ－ＣＰ＝ ３－ｘꎬ

Ｒｔ△ＤＰＦ 中ꎬＤＦ＝ ＤＰ

２＋ＰＦ

２

ꎬ

∴ ＤＦ＝ (３－ｘ)

２＋ｘ

２ ＝ ２ｘ

２－６ｘ＋９ .

１０.证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ点 ＧꎬＥ 分

别为边 ＡＢꎬＢＣ 中点ꎬ

∴ ＡＧ＝ＥＣꎬ△ＢＥＧ 为等腰直角三角形ꎬ

∴ ∠ＡＧＥ＝ １８０°－４５° ＝ １３５°ꎬ

又∵ ＣＦ 为正方形外角平分线ꎬ

∴ ∠ＥＣＦ＝ ９０°＋４５° ＝ １３５°ꎬ

∵ ∠ＡＥＦ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＧＡＥ＝ ９０°－∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＦꎬ

在△ＡＧＥ 和△ＥＣＦ 中ꎬ

∠ＡＧＥ＝∠ＥＣＦꎬ

ＡＧ＝ＣＥꎬ

∠ＧＡＥ＝∠ＣＥＦꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＡＧＥ≌△ＥＣＦ(ＡＳＡ)ꎬ

∴ ＥＧ＝ＣＦ.

１１.Ａ

解:设 ＡＢ＝ ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ ３ａꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

∴ ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＤＣＦ ＝ ４５°ꎬ∠ＤＡＭ ＝ ∠ＤＣＮ ＝

９０°ꎬ

在△ＤＡＥ 和△ＤＣＦ 中ꎬ

ＤＡ ＝ＤＣꎬ

∠ＤＡＥ＝∠ＤＣＦꎬ

ＡＥ＝ＣＦꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＤＡＥ≌△ＤＣＦ(ＳＡＳ)ꎬ

∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦꎬ

在△ＤＡＭ 和△ＤＣＮ 中ꎬ

∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮꎬ

ＤＡ ＝ＤＣꎬ

∠ＤＡＭ＝∠ＤＣＮꎬ

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

∴ △ＤＡＭ≌△ＤＣＮ(ＡＳＡ)ꎬ

∴ ＡＭ＝ＣＮꎬ

∵ ＡＢ＝ＢＣꎬ

∴ ＢＭ＝ＢＮꎬ

∵ ＣＮ∥ＡＤꎬ

∴

ＣＮ

ＡＤ

＝

ＣＦ

ＡＦ

＝

１

３

ꎬ

∴ ＣＮ＝ ＡＭ＝ ａꎬＢＭ＝ＢＮ＝ ２ａꎬ

∴

Ｓ△ＡＤＭ

Ｓ△ＢＭＮ

＝

１

２

?ＡＤ?ＡＭ

１

２

?ＢＭ?ＢＮ

＝

３ａ×ａ

２ａ×２ａ

＝

３

４

ꎬ

故选:Ａ.

１２.(１)证明:∵ 将△ＡＥＢ 沿 ＢＥ 翻折到△ＢＥＦ

处ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ

∴ ＡＢ＝ＢＦꎬ∠ＢＦＥ＝∠Ａ ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＢＦＧ＝ ９０° ＝∠Ｃꎬ

∵ ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＦꎬＢＧ＝ＢＧꎬ

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３２

∴ Ｒｔ△ＢＦＧ≌Ｒｔ△ＢＣＧ(ＨＬ)ꎻ

(２) 解: 如图ꎬ 延长 ＢＨꎬ ＡＤ 交延长线于

点 Ｑꎬ

设 ＦＨ＝ＨＣ＝ ｘꎬ

在 Ｒｔ△ＢＣＨ 中ꎬＢＣ

２＋ＣＨ

２ ＝ＢＨ

２

ꎬ

∴ ８

２＋ｘ

２ ＝ (６＋ｘ)

２

ꎬ

解得 ｘ ＝

７

３

ꎬ

∴ ＤＨ＝ＤＣ－ＨＣ＝

１１

３

ꎬ

∵ ∠ＢＦＧ＝∠ＢＣＨ＝ ９０°ꎬ∠ＨＢＣ＝∠ＦＢＧꎬ

∴ △ＢＦＧ∽△ＢＣＨꎬ

∴

ＢＦ

ＢＣ

＝

ＢＧ

ＢＨ

＝

ＦＧ

ＨＣ

ꎬ即

６

８

＝

ＢＧ

６＋

７

３

＝

ＦＧ

７

３

ꎬ

∴ ＢＧ＝

２５

４

ꎬＦＧ＝

７

４

ꎬ

∵ ＥＱ∥ＧＢꎬＤＱ∥ＣＢꎬ

∴ △ＥＦＱ∽△ＧＦＢꎬ△ＤＨＱ∽△ＣＨＢꎬ

∴

ＢＣ

ＤＱ

＝

ＣＨ

ＤＨ

ꎬ即

８

ＤＱ

＝

７

３

６－

７

３

ꎬ

∴ ＤＱ＝

８８

７

ꎬ

设 ＡＥ＝ＥＦ＝ｍꎬ则 ＤＥ＝ ８－ｍꎬ

∴ ＥＱ＝ＤＥ＋ＤＱ＝ ８－ｍ＋

８８

７

＝

１４４

７

－ｍꎬ

∵ △ＥＦＱ∽△ＧＦＢꎬ

∴

ＥＱ

ＢＧ

＝

ＥＦ

ＦＧ

ꎬ即

１４４

７

－ｍ

２５

４

＝

ｍ

７

４

ꎬ

解得 ｍ＝

９

２

ꎬ

∴ ＡＥ 的长为

９

２

ꎻ

(３)解:(Ⅰ)如图ꎬ当 ＤＥ ＝

１

３

ＤＣ ＝ ２ 时ꎬ延

长 ＦＥ 交 ＡＤ 于点 Ｑꎬ过点 Ｑ 作 ＱＨ⊥ＣＤ 于

点 Ｈꎬ

设 ＤＱ＝ ｘꎬＱＥ＝ ｙꎬ则 ＡＱ＝ ６－ｘꎬ

∵ ＣＰ∥ＤＱꎬ

∴ △ＣＰＥ∽△ＱＤＥꎬ

∴

ＣＰ

ＤＱ

＝

ＣＥ

ＤＥ

＝ ２ꎬ

∴ ＣＰ＝ ２ｘꎬ

∵ △ＡＤＥ 沿 ＡＥ 翻折得到△ＡＦＥꎬ

∴ ＥＦ＝ＤＥ＝ ２ꎬＡＦ＝ ＡＤ＝ ６ꎬ∠ＱＡＥ＝∠ＦＡＥꎬ

∴ ＡＥ 是△ＡＱＦ 的角平分线ꎬ

∴

ＡＱ

ＡＦ

＝

ＱＥ

ＥＦ

ꎬ即

６－ｘ

６

＝

ｙ

２

①ꎬ

∵ ∠Ｄ＝ ６０°ꎬ

∴ ＤＨ＝

１

２

ＤＱ ＝

１

２

ｘꎬＨＥ ＝ ＤＥ－ＤＨ ＝ ２－

１

２

ｘꎬ

ＨＱ＝ ３ＤＨ＝

３

２

ｘꎬ

在 Ｒｔ△ＨＱＥ 中ꎬＨＥ

２＋ＨＱ

２ ＝ＥＱ

２

ꎬ

∴ (１－

１

２

ｘ)

２

＋(

３

２

ｘ)

２

＝ ｙ

２②ꎬ

联立①②可解得 ｘ ＝

３

４

ꎬ

∴ ＣＰ＝ ２ｘ ＝

３

２

ꎻ

(Ⅱ)如图ꎬ当 ＣＥ＝

１

３

ＤＣ ＝ ２ 时ꎬ延长 ＦＥ 交

ＡＤ 延长线于点 Ｑ′ꎬ过点 Ｄ 作 ＤＮ⊥ＡＢ 交

ＢＡ 延长线于点 Ｎꎬ

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３３

同理∠Ｑ′ＡＥ＝∠ＥＡＦꎬ

∴

ＡＱ′

ＡＦ

＝

Ｑ′Ｅ

ＥＦ

ꎬ即

６＋ｘ

６

＝

ｙ

４

ꎬ

由 ＨＱ′

２ ＋ＨＤ

２ ＝ Ｑ′Ｄ

２ 得:(

３

２

ｘ)

２

＋ (

１

２

ｘ＋４)

２

＝ｙ

２

ꎬ

解得 ｘ ＝

１２

５

ꎬ

∴ ＣＰ＝

１

２

ｘ ＝

６

５

.

综上所述ꎬＣＰ 的长为

３

２

或

６

５

.

第 ２４ 讲 与圆有关的概念和性质

课前热身

１.Ｂ ２.Ｂ ３.Ｃ ４.Ｄ

本课练习

１.７５° ２.３０° ３.Ｄ

４.(１) 证明:在☉Ｏ 中ꎬ∵ ＣＤ 是∠ＡＣＢ 的平

分线ꎬ

∴ ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤꎬ∴ ＡＤ＝ＢＤꎻ

(２)解:∵ ＡＢ 是☉Ｏ 的直径ꎬ

∴ ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝ ９０°ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＣＢ 中ꎬ 由 勾 股 定 理 得 ＢＣ ＝

ＡＢ

２－ＡＣ

２ ＝ １０

２－６

２ ＝ ８ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＤＢ 中ꎬ由勾股定理得 ＡＤ ＝ ＢＤ ＝

２

２

ＡＢ＝ ５ ２ ꎻ

(３) 如图ꎬ过点 Ａ 作 ＡＨ⊥

ＣＤ 于点 Ｈꎬ

∵ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬ ＣＤ 是

∠ＡＣＢ 的平分线ꎬ

∴ ∠ＡＣＤ＝ ４５°ꎬ

∴ ＣＨ＝ ｃｏｓ∠ＡＣＤ?ＡＣ＝ ３ ３ ꎬ

同理可得 ＡＨ＝ ３ ３ ꎬ

在 Ｒｔ △ＡＤＨ 中ꎬ 由 勾 股 定 理 得 ＤＨ ＝

ＡＤ

２－ＡＨ

２ ＝ (５ ２ )

２

－(３ ２ )

２

＝ ４ ２ ꎬ

∴ ＣＤ＝ＣＨ＋ＤＨ＝ ３ ３ ＋ ４ ３ ＝ ７ ３ .

５.５ ｃｍ ６.２５° ７.１１０° ８.Ａ ９.Ｂ １０.Ｃ

１１.解:(１)△ＡＢＣ 是等腰直角三角形ꎬ证明过

程如下:

∵ ＡＣ 为☉Ｏ 的直径ꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝ ９０°ꎬ

∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢꎬ

∴ ＡＢ

(

＝ＢＣ

(

ꎬ

∴ ＡＢ＝ＢＣꎬ

∴ △ＡＢＣ 是等腰直角三角形ꎻ

(２)在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬＡＢ＝ＢＣ＝ ２ ꎬ

∴ ＡＣ＝ ２ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中ꎬＡＤ＝ １ꎬＡＣ＝ ２ꎬ

∴ ＣＤ＝ ３ .

１２.

１０

３

１３.２ ３ １４.７０ １５.Ｂ １６.Ｃ １７.Ｄ

１８.Ｃ １９.７ ２０.Ａ ２１.Ｃ ２２.２ ３ ２３.Ｂ

２４.２ １０

第 ２５ 讲 与圆有关的位置关系

课前热身

１.Ｂ ２.Ｃ ３.Ｃ ４.Ｃ

本课练习

１.Ａ ２.相离 ３.４５°

４.证明:如图ꎬ连接 ＯＣꎬ∵ ＡＤ⊥ＣＤꎬ

∴ ∠ＡＤＣ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ ＝ ９０°ꎬ

∵ ＡＣ 平分∠ＤＡＢꎬ

∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＯꎬ

又∵ ＡＯ＝ＣＯꎬ∴ ∠ＣＡＯ＝∠ＡＣＯꎬ

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３４

∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＯꎬ

∴ ∠ＡＣＯ ＋∠ＤＣＡ ＝ ９０°ꎬ即∠ＤＣＯ＝ ９０°ꎬ

∴ ＤＣ⊥ＣＯꎬ

又∵ ＣＯ 是☉Ｏ 的半径ꎬ

∴ ＣＤ 是☉Ｏ 的切线.

５.５０° ６.４ ７.６.５ ｃｍ 或 ２.５ ｃｍ

８.Ｄ ９.２５

１０.(１)证明:∵ ＡＤ⊥ＭＣꎬ

∴ ∠Ｄ＝ ９０°ꎬ

∵ ＯＡ ＝ＯＣꎬ

∴ ∠ＯＣＡ ＝∠ＯＡＣꎬ

∵ ＡＣ 平分∠ＭＡＤꎬ

∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＯＡＣꎬ

∴ ∠ＯＣＡ ＝∠ＤＡＣꎬ

∴ ＯＣ∥ＤＡꎬ

∴ ∠Ｄ＝∠ＯＣＭ＝ ９０°ꎬ

∵ ＯＣ 是☉Ｏ 的半径ꎬ

∴ ＭＣ 是☉Ｏ 的切线ꎻ

(２)解:∵ ＡＢ＝ ４ꎬ

∴ ＯＣ＝ＯＢ＝

１

２

ＡＢ＝ ２ꎬ

∴ ＯＭ＝ＯＢ＋ＢＭ＝ ６ꎬ

在 Ｒｔ△ＯＣＭ 中ꎬＭＣ ＝ ＯＭ

２－ＯＣ

２ ＝ ６

２－２

２ ＝

４ ２ꎬ

∵ ∠Ｍ＝∠Ｍꎬ∠ＯＣＭ＝∠Ｄ＝ ９０°ꎬ

∴ △ＭＣＯ∽△ＭＤＡꎬ

∴

ＭＣ

ＭＤ

＝

ＯＣ

ＡＤ

＝

ＭＯ

ＡＭ

ꎬ

∴

４ ２

ＭＤ

＝

２

ＡＤ

＝

６

８

ꎬ

∴ ＭＤ＝

１６ ２

３

ꎬＡＤ＝

８

３

ꎬ

∴ ＣＤ＝ＭＤ－ＭＣ＝

４ ２

３

ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＣＤ 中ꎬｔａｎ∠ＤＡＣ＝

ＤＣ

ＡＤ

＝

４ ２

３

８

３

＝

２

２

ꎬ

∴ ｔａｎ∠ＭＡＣ＝ ｔａｎ∠ＤＡＣ＝

２

２

ꎬ

∴ ｔａｎ∠ＭＡＣ 的值为

２

２

.

１１.Ｃ １２.１ １３. ５ １４.６４° １５.３５ １６.Ｂ

１７.Ｄ １８.Ｂ １９. (８－ ２ ２ ) ２０.Ｂ ２１.Ｃ

２２.Ｄ

第 ２６ 讲 与圆有关的计算

课前热身

１.Ｂ ２.π ３.Ｂ ４.

１

３

π

本课练习

１.６ ２.１５０° ３.

π

８

ｍ

２

４.

８００π

３

ｃｍ

２

５.Ｃ ６.１２ ３ ｍｍ ７.１６０° ５ ２００π ｃｍ

２

８.１０ ９.２７π １０.Ｃ １１.Ｃ １２.Ｃ

１３.

２０ ３

３

１４.６０π １５.

２

３

π １６.

１

２

π １７.Ａ

１８.Ｃ １９.

９

４

π－

９

２

２０.

３πａ

２

１０

３ａ

５

２１.

６ ３ －２π

３

２２.

５π

３

２３.

６ ２ ＋π

３

第 ２７ 讲 尺规作图

课前热身

１.Ｄ ２.６０

本课练习

１.解:如图ꎬ线段 ＯＣ 为所求作.

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３５

２.解:如图ꎬ

(１)画射线 ＡＭꎻ

(２)在射线 ＡＭ 上依次截取 ＡＢ＝ ａꎬ

ＢＣ＝ＣＤ＝ ｂꎻ

(３)在线段 ＡＤ 上截取 ＤＥ＝ ｃꎬ

则线段 ＡＥ 即为所求.

３.解:如图ꎬ∠Ａ′Ｏ′Ｂ′为所求作.

４.解:如图ꎬ射线 ＯＣ 为所求作.

５.解:如图ꎬＣＤ 为所求作.

６.解:如图 １ꎬ直线 ＡＥ 为所求作ꎻ

如图 ２ꎬ直线 ＡＦ 为所求作.

７.解:如图ꎬＣＥ 为所求作.

８.解:如图ꎬ∠ＥＡＣ 为所求作.

９.解:如图ꎬＢＤ 为所求作.

１０.解:如图ꎬＥＦ 为所求作.

１１.解:(１)如图ꎬＣＤ 为所求作.

(２)

２４

５

１２.Ａ １３.Ａ １４.Ｄ １５.Ｂ

１６.解:如图ꎬ射线 ＣＰ 为所求作.

１７.解:如图ꎬ△ＡＢＣ 为所求作.

１８.解:(１)如图ꎬ分别以点 Ａ、Ｃ 为圆心ꎬ大于

１

２

ＡＣ 长为半径画弧ꎬ在 ＡＣ 的两侧分别相

交于 Ｐ、Ｑ 两点ꎬ画直线 ＰＱ 交劣弧 ＡＣ 于点

Ｄꎬ交 ＡＣ 于点 Ｅꎬ即作线段 ＡＣ 的垂直平分

线ꎬ由垂径定理可知ꎬ直线 ＰＱ 一定过点 Ｏꎻ

(２)∵ ＡＢ 是☉Ｏ 的直径ꎬ

∴ ∠ＡＣＢ＝ ９０°ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∵ ＡＣ＝ ８ꎬＢＣ＝ ６.

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３６

∴ ＡＢ＝ ＡＣ

２＋ＢＣ

２ ＝ １０ꎬ

∵ ＯＤ⊥ＡＣꎬ

∴ ＡＥ＝ＣＥ＝

１

２

ＡＣ＝ ４ꎬ

又∵ ＯＡ ＝ＯＢꎬ

∴ ＯＥ 是△ＡＢＣ 的中位线ꎬ

∴ ＯＥ＝

１

２

ＢＣ＝ ３ꎬ

由于 ＰＱ 过圆心 Ｏꎬ且 ＰＱ⊥ＡＣꎬ

即点 Ｏ 到 ＡＣ 的距离为 ３ꎬ

连接 ＯＣꎬ在 Ｒｔ△ＣＤＥ 中ꎬ

∵ ＤＥ＝ＯＤ－ＯＥ＝ ５－３ ＝ ２ꎬＣＥ＝ ４ꎬ

∴ ＣＤ＝ ＤＥ

２＋ＣＥ

２ ＝ ２

２＋４

２ ＝ ２ ５ ꎬ

∴ ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝

ＤＥ

ＣＤ

＝

２

２ ５

＝

５

５

.

１９.解:(１)如图ꎬ点 Ｏ 为所求作ꎻ

(２)由题意ꎬ△ＡＢＣ 的面积 ＝

１

２

× １４× １.３ ＝

９.１(ｃｍ

２

).

２０.(１)解:如图 １ꎬ☉Ｏ 即为△ＡＢＣ 的外接圆ꎻ

(２)①证明:如图 ２ꎬ连接 ＯＢꎬ

∵ ＢＤ 是☉Ｏ 的切线ꎬ

∴ ＯＢ⊥ＢＤꎬ

∵ 点 Ｂ 是ＣＥ

(

的中点ꎬ

∴ ＢＣ

(

＝ＢＥ

(

ꎬ

∴ ∠ＣＡＢ＝∠ＥＡＢꎬ

∵ ＯＡ ＝ＯＢꎬ

∴ ∠ＯＢＡ ＝∠ＥＡＢꎬ

∴ ∠ＣＡＢ＝∠ＯＢＡꎬ

∴ ＯＢ∥ＡＤꎬ

∴ ＢＤ⊥ＡＤꎻ

②解:如图 ２ꎬ连接 ＥＣꎬ

由圆周角定理得:∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＣꎬ

∵ ｔａｎ∠ＡＢＣ＝

３

４

ꎬ

∴ ｔａｎ∠ＡＥＣ＝

３

４

ꎬ

∵ ＡＥ 是☉Ｏ 的直径ꎬ

∴ ∠ＡＣＥ＝ ９０°ꎬ

∴

ＡＣ

ＥＣ

＝

３

４

ꎬ

∵ ＡＣ＝ ６ꎬ

∴ ＥＣ＝ ８ꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＣ

２＋ＥＣ

２ ＝ １０ꎬ∴ ☉Ｏ 的半径为 ５.

２１.(１)解:如图ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 为所求作ꎻ

(２)证明:设 ＰＱ 交 ＡＤ 于点 ＧꎬＢＣ 交 ＡＤ 于

点 Ｇ′ꎬ

∵ ＤＱ∥ＡＰꎬ

∴

ＧＤ

ＧＡ

＝

ＤＱ

ＡＰ

ꎬ

∵ ＤＣ∥ＡＢꎬ

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３７

∴

Ｇ′Ｄ

Ｇ′Ａ

＝

ＤＣ

ＡＢ

ꎬ

∵ ＰꎬＱ 分别为边 ＡＢꎬＣＤ 的中点ꎬ

∴ ＤＣ＝ ２ＤＱꎬＡＢ＝ ２ＡＰꎬ

∴

Ｇ′Ｄ

Ｇ′Ａ

＝

ＤＣ

ＡＢ

＝

２ＤＱ

２ＡＰ

＝

ＤＱ

ＡＰ

ꎬ

∴

Ｇ′Ｄ

Ｇ′Ａ

＝

ＧＤ

ＧＡ

ꎬ

∴ 点 Ｇ 与点 Ｇ′重合ꎬ

∴ 直线 ＡＤꎬＢＣꎬＰＱ 相交于同一点.

第 ２８ 讲 视图与投影

课前热身

１.Ａ ２.Ｄ ３.Ａ ４.Ｄ

本课练习

１.Ｄ ２.Ａ ３.Ｃ ４.Ｄ ５.Ｃ ６.Ｂ ７.Ａ

８.(１) ５ ２２

(２)解:如图:

９.Ｃ １０.Ｂ １１.Ａ １２.Ｃ １３.Ｄ １４.２４π

１５.解:(１)三棱柱

(２)如图:

(３)Ｖ ＝

１

２

×３×４×１０ ＝ ６０(ｃｍ

３

).

１６.Ａ １７.Ｂ １８.Ｅ １９.Ｂ

２０.５ ２１.Ｃ ２２.Ｂ ２３.Ｃ

第 ２９ 讲 图形的对称、平移、

旋转、折叠

课前热身

１.Ｄ ２.Ｃ ３.Ａ

本课练习

１.９０° ６ ｃｍ ２.１９ ３.６３ ４.ａ＋２ｂ

５.解:如图:

∵ 线段 ＢＡ 绕点 Ｂ 逆时针旋转 ９０°ꎬ

∴ ＢＡ１

＝ ＢＡꎬ且 ∠ＡＢＡ１

＝ ９０°ꎬ连接 ＡＡ１ ꎬ 则

△ＡＢＡ１ 是等腰直角三角形ꎬ

在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬＡＢ

２ ＝ ＢＣ

２ ＋ＡＣ

２ ＝ ９＋１６ ＝ ２５ꎬ

则 ＡＢ＝ ５ꎬ

∴ ＡＡ１

＝ ２５＋２５ ＝ ５ ２ .

６.５ ７.Ａ ８.４０° ９.Ａ １０.Ｂ １１.１２０° ７５°

１２.３ ５ １３.Ｃ １４.Ｄ １５.Ｄ １６.Ｂ １７.Ｃ

１８.Ｃ １９. ３

２０.解:①当 ＭＢ′＝

１

３

ＭＮ 时ꎬ如图ꎬ

Ｒｔ△ＡＭＢ′中ꎬＡＢ′＝ ＡＢ＝ ３ꎬＭＢ′＝

１

３

ＡＢ＝ １ꎬ

∴ ＡＭ＝ ＡＢ′

２－ＭＢ′

２ ＝ ２ ２ ꎬ

∵ ＡＤ∥ＢＣꎬＡＢ⊥ＢＣꎬＭＮ⊥ＡＤꎬ

∴ 四边形 ＡＢＮＭ 是矩形ꎬ

∴ ＢＮ＝ ＡＭ＝ ２ ２ ꎬＭＮ＝ ＡＢ＝ ３ꎬ

设 ＢＥ＝ ｘꎬ则 Ｂ′Ｅ＝ ｘꎬＥＮ＝ ２ ２ －ｘꎬ

Ｒｔ△Ｂ′ＥＮ 中ꎬ Ｂ′Ｎ ＝ ＭＮ － ＭＢ′ ＝ ２ꎬ ＥＮ

２ ＋

Ｂ′Ｎ

２ ＝Ｂ′Ｅ

２

ꎬ

∴ (２ ２ －ｘ)

２

＋２

２ ＝ ｘ

２

ꎬ

解得 ｘ ＝

３ ２

２

ꎬ∴ ＢＥ 的长为

３ ２

２

ꎻ

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３８

②当 ＮＢ′＝

１

３

ＭＮ 时ꎬ如图ꎬ

∵ ＮＢ′＝

１

３

ＭＮ＝ １ꎬ

∴ ＭＢ′＝ ２ꎬ

设 ＢＥ＝ ｙꎬ

同①可得 ｙ ＝

３ ５

５

ꎬ

∴ ＢＥ 的长为

３ ５

５

.

综上所述ꎬＢＥ 的长为

３ ２

２

或

３ ５

５

.

２１.解:(１)∵ ＣＥ＝ ＡＥꎬ

∴ ∠ＥＣＡ ＝∠ＥＡＣꎬ

根据翻折可得:∠ＥＣＡ ＝ ∠ＦＣＡꎬ∠ＢＡＣ ＝

∠ＣＡＦꎬ

∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎬ

∴ ＤＡ∥ＣＢꎬ

∴ ∠ＥＣＡ ＝∠ＣＡＤꎬ

∴ ∠ＥＡＣ＝∠ＣＡＤꎬ

∴ ∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＥꎬ

∵ ∠ＢＡＤ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＥＡＦ＝ ９０°ꎬ

设 ＣＥ＝ ＡＥ＝ ｘꎬ则 ＢＥ＝ ４－ｘꎬ

在 Ｒｔ△ＢＡＥ 中ꎬ根据勾股定理可得:

ＢＡ

２＋ＢＥ

２ ＝ ＡＥ

２

ꎬ

即(２ ２ )

２

＋(４－ｘ)

２ ＝ ｘ

２

ꎬ

解得 ｘ ＝ ３ꎬ

在 Ｒｔ△ＥＡＦ 中ꎬＥＦ＝ ＡＦ

２＋ＡＥ

２ ＝ １７ ꎻ

(２)如图ꎬ过点 Ｆ 作 ＦＧ⊥ＢＣ 交 ＢＣ 于点 Ｇꎬ

设 ＣＧ＝ ｘꎬ则 ＧＥ＝ ３－ｘꎬ

∵ ＦＣ＝ ４ꎬＦＥ＝ １７ ꎬ

∴ ＦＧ

２ ＝ＦＣ

２－ＣＧ

２ ＝ＦＥ

２－ＥＧ

２

ꎬ

即 １６－ｘ

２ ＝ １７－(３－ｘ)

２

ꎬ

解得 ｘ ＝

４

３

ꎬ

∴ ＦＧ＝ ＦＣ

２－ＣＧ

２ ＝

８ ２

３

ꎬ

∴ ｓｉｎ∠ＣＥＦ＝

ＦＧ

ＥＦ

＝

８ ３４

５１

.

第 ３０ 讲 统计

课前热身

１.Ｃ ２.Ａ ３.Ｂ ４.Ｃ

本课练习

１.Ａ ２.Ｄ ３.Ｃ ４.７.５ ５.１ ２００

６. 解:(１)由统计图知 ９０ 分对应的人数最多ꎬ

因此这组数据的众数是 ９０ꎬ

由于人数总和是 ２０ 人为偶数ꎬ将数据从小

到大排列后ꎬ第 １０ 个和第 １１ 个数据都是

９０ 分ꎬ因此这组数据的中位数是 ９０ꎬ

平均数是:

８０×２＋８５×３＋９０×８＋９５×５＋１００×２

２＋３＋８＋５＋２

＝ ９０.５ꎻ

(２)根据题意得:

６００×

８＋５＋２

２０

＝ ４５０(人)ꎬ

答:估计该年级获优秀等级的学生人数是

４５０ 人.

７.Ｂ ８.Ｃ ９.Ｄ １０.乙 １１.９００ 人

１２.解:(１) 月销售额数据的条形统计图如图

所示:

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３９

( ２ ) ｘ ＝

３＋４×４＋５×３＋７＋８×２＋１０×３＋１８

１５

＝

７(万元)

∴ 月销售额的众数是 ４ 万元ꎻ中间的月销

售额是 ５ 万元ꎻ平均月销售额是 ７ 万元.

(３)月销售额定为 ７ 万元合适.

１３.Ｂ １４.Ｄ １５.Ｂ １６.Ｂ １７.Ｄ

１８.解:(１)５０ 人ꎻ４０％

(２)不合格人数是 １６ 人ꎬ补全图形如下:

(３)１１５.２°

(４)

１

３

１９. (１)解:由题意得ꎬ

ｍ＝ １０２＋４８＋７５＋５１＋２４ꎬ

２５５＋１５＋２４＋ｎ＋０ ＝ｍꎬ {

解得

ｍ＝ ３００ꎬ

ｎ ＝ ６ꎬ {

∴

ｎ

ｍ

＝

６

３００

＝

１

５０

ꎬ

故答案为:３００ꎻ

１

５０

(２)汇总表 １ 和图 １ 可得:

０ １ ２ ３

４ 及

以上

总数

“双减”前 １７２ ８２ １１８ ８２ ４６ ５００

“双减”后 ４２３ ２４ ４０ １２ １ ５００

∴ “双减”后报班数为 ３ 的学生人数所占

的百分比为

１２

５００

×１００％ ＝ ２.４％ꎻ

(３)“双减”前共调查 ５００ 个数据ꎬ从小到

大排列后ꎬ第 ２５０ 个和第 ２５１ 个数据均

为 １ꎬ

∴ “双减”前学生报班个数的中位数为 １ꎬ

“双减”后学生报班个数出现次数最多的

是 ０ꎬ

∴ “双减”后学生报班个数的众数为 ０ꎬ

故答案为:１ꎻ０ꎻ

②从“双减”前后学生报班个数的变化情

况说明:“双减”政策宣传落实到位ꎬ参加

校外培训机构的学生大幅度减少ꎬ“双减”

取得了显著效果.

第 ３１ 讲 概率

课前热身

１.Ｄ ２.Ｂ ３.Ｃ ４.Ｃ

本课练习

１.Ｄ ２.Ａ ３.Ｄ

４.解:(１) 从 Ａ 盒里抽取一张卡ꎬ抽到的卡片

上标有数字为奇数的概率为

２

３

ꎻ

(２)画树状图得:

共有 ９ 种等可能的结果ꎬ抽到的两张卡片上

标有的数字之和大于 ４ 的有 ３ 种情况ꎬ∴ 两

次抽取的卡片上数字之和大于 ７ 的概率为

３

９

＝

１

３

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４０

５.Ｄ ６.Ｂ ７.Ｂ ８.Ａ ９.Ｂ １０.Ａ １１.Ｃ

１２.

７

１５

１３.Ｄ １４.Ｂ １５.Ａ １６.

１

３

１７.

１

３

１８.甲

１９.解: ( １) 调查的总人数为 ４０ ÷ ４０％ ＝ １００

(人)ꎻ２０００ × ４０％ ＝ ８００ ( 人)ꎻ故答案为:

１００ꎻ８００ꎻ

(２) 单 板 滑 雪 的 人 数 为 １００ × １０％ ＝

１０(人)ꎬ自由式滑雪的人数为 １００－４０－２０

－１０ ＝ ３０(人)ꎬ

补全条形统计图如下:

(３)根据题意ꎬ画出树状图如下:

从四项中任取两项运动的所有机会均等的

结果共有 １２ 种ꎬ抽到项目中恰有一个项目

为自由式滑雪 Ｃ 的有 ６ 种等可能结果ꎬ

∴ 抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 Ｃ 的

概率为

６

１２

＝

１

２

.

２０.解:(１)∵ Ｄ 组人数为 ８ 人ꎬ所占百分比为

１６％ꎬ∴ 总人数为 ８÷１６％ ＝ ５０(人)ꎬ

∴ ｘ ＝ ４÷５０ ＝ ８％ꎬ故答案为:５０ 人ꎻ８％ꎻ

(２)等级为 Ｂ 的学生所占的百分比为 ２０÷

５０ ＝ ４０％ꎬ∴ 等级为 Ｂ 的学生人数为 ５００×

４０％ ＝ ２００(人).

(３)记两名男生为 ａꎬｂꎬ记两名女生为 ｃꎬｄꎬ

列出表格如下:

一共有 １２ 种等可能结果数ꎬ其中恰好抽到

一男一女的有 ８ 种ꎬ∴ 恰好抽到一名男生

和一名女生的概率 Ｐ＝

８

１２

＝

２

３

.

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第二轮复习 专题能力整合

专题 １ 函数图象与性质

课前热身

１.Ａ ２.Ｂ ３.Ｂ ４.Ａ

本课练习

１.Ｃ

２.ｘ１

＝ ３ꎬｘ２

＝ －１ ｘ<－１ 或 ｘ>３ －１<ｘ<３

３.Ｃ ４.Ｃ ５.Ｃ ６.Ｃ ７.Ｂ ８.Ｃ ９.Ａ １０.Ｂ

１１.Ｄ １２.Ｃ １３.Ｄ １４.Ｄ １５.Ｂ

专题 ２ 几何多结论问题

课前热身

１.Ｃ ２.Ｃ ３.Ｄ ４.Ｃ

本课练习

１.Ｄ ２.Ａ ３.Ｃ ４.Ｂ ５.Ｃ ６.Ａ ７.Ｄ ８.Ｃ

９.Ｃ １０.Ｃ １１.Ａ １２.Ｃ １３.Ａ １４.Ｂ

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４１

专题 ３ 平移、折叠与旋转

课前热身

１.１ ２.Ｄ ３.Ｃ ４.Ｃ

本课练习

１.１２ ２. ３ ３.２ ３ ４.Ｃ ５.Ｃ ６.Ｃ ７.Ｄ

８.Ａ ９.Ｂ １０.Ｄ １１.Ｄ １２.Ｄ １３.

π

３

＋

３

２

１４.Ｄ

１５.解:(１)∵ ∠ＡＢＣ＝ ３０°ꎬＡＢ＝ ＡＣꎬＡＥ⊥ＢＣꎬ

∴ ∠ＢＡＥ ＝ ６０°ꎬ∵ 将△ＡＣＤ 沿 ＡＤ 折叠得

到△ＡＥＤꎬ

∴ ＡＣ＝ ＡＥꎬ∴ ＡＢ＝ ＡＥꎬ

∴ ∠ＡＥＢ＝ ６０°ꎬ故答案为:６０ꎻ

(２)∠ＡＥＢ＝ ３０°＋∠ＣＡＤꎬ理由如下:

∵ 将△ＡＣＤ 沿 ＡＤ 折叠得到△ＡＥＤꎬ

∴ ＡＥ＝ ＡＣꎬ∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤꎬ

∵ ∠ＡＢＣ＝ ３０°ꎬＡＢ＝ ＡＣꎬ

∴ ∠ＢＡＣ＝ １２０°ꎬ∴ ∠ＢＡＥ ＝ １２０°－２∠ＣＡＤꎬ

∵ ＡＢ＝ ＡＥ＝ ＡＣꎬ

∴ ∠ＡＥＢ ＝

１８０°－(１２０°－２∠ＣＡＤ)

２

＝ ３０° ＋

∠ＣＡＤꎻ

(３)如图ꎬ连接 ＯＡꎬ

∵ ＡＢ＝ ＡＣꎬ点 Ｏ 是 ＢＣ 的中点ꎬ∴ ＯＡ⊥ＢＣꎬ

∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝ ３０°ꎬＡＣ＝ ４ꎬ

∴ ＡＯ＝ ２ꎬＯＣ＝ ２ ３ ꎬ∵ ＯＤ

２ ＝ ＡＤ

２－ＡＯ

２

ꎬ

∴ ＯＤ＝ ｙ－４ ꎬ

∵ Ｓ△ＡＤＣ

＝

１

２

×ＯＣ×ＡＯ－

１

２

×ＯＤ×ＯＡꎬ

∴ ｘ ＝

１

２

×２×２ ３ －

１

２

×２× ｙ－４ ꎬ

∴ ｙ ＝ (２ ３ －ｘ)

２

＋４.

１６.解:(１)四边形 ＡＭＤＮ 为矩形.理由如下:

∵ 点 Ｍ 为 ＡＢ 的中点ꎬ点 Ｄ 为 ＢＣ 的中点ꎬ

∴ ＭＤ∥ＡＣꎬ

∴ ∠ＡＭＤ＋∠Ａ ＝ １８０°ꎬ

∵ ∠Ａ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＡＭＤ＝ ９０°ꎬ

∵ ∠ＥＤＦ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠Ａ ＝∠ＡＭＤ＝∠ＭＤＮ＝ ９０°ꎬ

∴ 四边形 ＡＭＤＮ 为矩形ꎻ

(２) 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中ꎬ ∠Ａ ＝ ９０°ꎬ ＡＢ ＝ ６ꎬ

ＡＣ＝ ８ꎬ

∴ ∠Ｂ＋∠Ｃ＝ ９０°ꎬＢＣ＝ ＡＢ

２＋ＡＣ

２ ＝ １０.

∵ 点 Ｄ 是 ＢＣ 的中点ꎬ∴ ＣＤ＝

１

２

ＢＣ＝ ５.

∵ ∠ＥＤＦ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＭＤＢ＋∠１ ＝ ９０°.

∵ ∠Ｂ＝∠ＭＤＢꎬ∴ ∠１ ＝∠Ｃ.

∴ ＮＤ＝ＮＣ.

如图ꎬ过点 Ｎ 作 ＮＧ⊥ＢＣ 于点 Ｇꎬ则∠ＣＧＮ

＝ ９０°.

∴ ＣＧ＝

１

２

ＣＤ＝

５

２

.

∵ ∠Ｃ＝∠Ｃꎬ∠ＣＧＮ＝∠ＣＡＢ＝ ９０°ꎬ

∴ △ＣＧＮ∽△ＣＡＢꎬ∴

ＣＧ

ＣＡ

＝

ＣＮ

ＣＢ

ꎬ

即

５

２

８

＝

ＣＮ

１０

ꎬ∴ ＣＮ＝

２５

８

ꎻ

(３)如图ꎬ延长 ＮＤ 至 Ｈꎬ使 ＤＨ ＝ ＤＮꎬ连接

ＭＨꎬＮＭꎬＢＨꎬ

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４２

∵ ＭＤ⊥ＨＮꎬ∴ ＭＮ ＝ ＭＨꎬ∵ Ｄ 是 ＢＣ 中点ꎬ

∴ ＢＤ＝ＤＣꎬ

又∵ ∠ＢＤＨ＝∠ＣＤＮꎬ∴ △ＢＤＨ≌△ＣＤＮꎬ

∴ ＢＨ ＝ ＣＮꎬ∠ＤＢＨ ＝ ∠Ｃꎬ∵ ∠ＢＡＣ ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠Ｃ＋∠ＡＢＣ＝ ９０°ꎬ

∴ ∠ＤＢＨ＋∠ＡＢＣ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＭＢＨ＝ ９０°ꎬ

设 ＡＭ＝ ＡＮ＝ ｘꎬ则 ＢＭ＝ ６－ｘꎬＢＨ＝ＣＮ＝ ８－ｘꎬ

ＭＮ ＝ ＭＨ ＝ ２ ｘꎬ 在 Ｒｔ △ＢＭＨ 中ꎬ ＢＭ

２ ＋

ＢＨ

２ ＝ＭＨ

２

ꎬ

∴ (６－ｘ)

２＋(８－ｘ)

２ ＝ ( ２ ｘ)

２

ꎬ解得 ｘ ＝

２５

７

ꎬ

∴ 线段 ＡＮ 的长为

２５

７

.

专题 ４ 规律探索

课前热身

１.Ｄ ２.Ｃ ３.(４ꎬ２) ４.Ｂ

本课练习

１.解:(１)(－２)

ｎ

ꎻ

(２)第②③行数与第①行数的关系为:第②

行数比第①行相对应的数大 ２ꎻ第③行数是

第①行相对应的数的

１

２

ꎻ

(３)第一行的第十个数为:１ ０２４ꎻ第二行的

第 十 个 数 为: １ ０２６ꎻ 第 三 行 的 第 十 个 数

为:５１２ꎻ

１ ０２４＋１ ０２６＋５１２ ＝ ２ ５６２.故这三个数的和

为:２ ５６２.

２.解:( １) 根据题意得两位数为 １０ × ｂ ＋ ａ ＝

１０ｂ＋ａꎻ

(２)依题意得 １０(１０ｂ＋ａ)ꎻ

(３)是.理由如下:依题意 １０ｂ＋ａ＋１０(１０ｂ＋ａ)＝

１１０ｂ＋１１ａ＝１１(１０ｂ＋ａ).

∵ １１(１０ｂ＋ａ) ÷１１ ＝ １０ｂ＋ａꎬ∴ (１)中的两位

数与它的 １０ 倍的和是 １１ 的倍数.

３.解:(１)３０×３２＋１ ＝ ９６１ ＝ ３１

２

(２)(２

ｎ＋１－２)×２

ｎ＋１＋１ ＝ (２

ｎ＋１－１)

２

４.１７ａ ２０ａ (３ｎ＋２)ａ

５.解:(１)９ １５

观察图形的变化可知:当 ｎ ＝ ２ 时ꎬＳ 的值为

３ ＝ ３×１ꎻ当 ｎ ＝ ３ 时ꎬＳ 的值为 ６ ＝ ３×２ꎻ当 ｎ ＝

４ 时ꎬＳ 的值为 ９ ＝ ３×３ꎻ当 ｎ ＝ ５ 时ꎬＳ 的值为

１２ ＝ ３×４ꎻ当 ｎ ＝ ６ 时ꎬＳ 的值为 １５ ＝ ３×５ꎻ

故答案为:９ꎻ１５ꎻ

(２)３(ｎ－１)

由(１)知:每条“边”有 ｎ 个点时的总点数 Ｓ

是 ３(ｎ－１)ꎻ故答案为:３(ｎ－１)ꎻ

(３)当 ｎ＝２ ０２１ 时ꎬ总点数 Ｓ ＝ ３×(２ ０２１－１)＝

６ ０６０.

６.解:(１)３６０ ５４０ (ｎ－２) (ｎ－２)?１８０

(２)

(８－２)?１８０°

８

＝ １３５°.

７.Ｃ ８.２

２ ０１６－１ ２

２ ０１６

９.Ａ １０.３

１１.解:(１)ｘ＋１ꎬｘ＋７ꎬｘ＋８ꎻ

(２)依题意有 ｘ＋ｘ＋１＋ｘ＋７＋ｘ＋８ ＝ ２１６ꎬ解得

ｘ ＝ ５０.故 ｘ 的值为 ５０ꎻ

(３)不能ꎬ理由如下:依题意有 ｘ＋ｘ＋１＋ｘ＋

７＋ｘ＋８ ＝ ２９６ꎬ解得 ｘ ＝ ７０ꎬ∵ ７０ 在第 ７ 列ꎬ

∴ 不能.

１２.Ｃ １３.Ｂ １４.１ ２７５ １５.ａ＋８ｂ １６.Ｄ

１７.Ａ １８.

２０１

１８２

１９.３ ７５ ２０.( ２ )

ｎ

２１.－

１

２ ０２１

２２.(２ ０２１ꎬ２ ０２１ ３ )

２３.解:(１)设 ＡＣ＝ ｘꎬ则 ＢＣ＝ ＡＢ－ＡＣ＝ １－ｘꎬ

∵ ＡＣ

２ ＝ＢＣ?ＡＢꎬ∴ ｘ

２ ＝ １×(１－ｘ)ꎬ

整理得 ｘ

２ ＋ ｘ － １ ＝ ０ꎬ解得 ｘ１

＝

５ －１

２

ꎬｘ２

＝

－ ５ －１

２

( 舍 去)ꎬ 所 以 线 段 ＡＣ 的 长 度

为

５ －１

２

ꎻ

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４３

(２)∵ ＡＤ

２ ＝ＣＤ?ＡＣꎬ

由(１)得 ＡＣ＝

５ －１

２

ＡＢꎬ

∴ 线段 ＡＤ 的长度为

５ －１

２

ＡＣ＝

３－ ５

２

ꎻ

(３)同理得到线段 ＡＥ 的长度为

５ －１

２

ＡＤ ＝

５ －２.

２４.解:(１)Ｓ ＝ １＋５＋５

２＋５

３＋?＋５

２ ０１７

ꎬ

５Ｓ ＝ ５＋５

２＋５

３＋?＋５

２ ０１７＋５

２ ０１８

ꎬ

∴ ４Ｓ ＝ ５

２ ０１８－１ꎬＳ ＝

５

２ ０１８－１

４

ꎻ

(２)Ｓ ＝ ３－３

２＋３

３－３

４＋?＋３

９９－３

１００

ꎬ

３Ｓ ＝ ３

２－３

３＋３

４－３

５＋?＋３

１００－３

１０１

ꎬ

４Ｓ ＝ ３－３

１０１

ꎬ

Ｓ ＝

３－３

１０１

４

.

２５.解: ( １) ∵ 第一个式子

１

２

＝

１

３

＋

１

６

＝

１

２＋１

＋

１

２(２＋１)

ꎬ

第二个式子

１

３

＝

１

４

＋

１

１２

＝

１

３＋１

＋

１

３(３＋１)

ꎬ

第三个式子

１

４

＝

１

５

＋

１

２０

＝

１

４＋１

＋

１

４(４＋１)

ꎬ

?

∴ 第(ｎ＋１)个式子

１

ｎ

＝

１

ｎ＋１

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

ꎻ

(２)∵ 右边 ＝

１

ｎ＋１

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

＝

ｎ

ｎ(ｎ＋１)

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

＝

ｎ＋１

ｎ(ｎ＋１)

＝

１

ｎ

＝左边ꎬ

∴

１

ｎ

＝

１

ｎ＋１

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

.

专题 ５ 面积问题

课前热身

１.Ｄ ２.

１３

４

π ３.Ｃ ４.

π

２

ｍ

２

本课练习

１.解:相等.

∵ ｌ

１∥ｌ

２ ꎬ

∴ ｌ

１ ꎬｌ

２ 之间的距离是固定的ꎬ

∴ △ＡＢＣ 和△ＤＢＣ 的 ＢＣ 边上的高相等ꎬ

∴ △ＡＢＣ 和△ＤＢＣ 的面积相等ꎻ

如图所示.

２.解:阴影部分的面积 ＝ ３ ａ

２ － ３ ×

６０πａ

２

３６０

＝

２ ３ －π

２

ａ

２

.

３.证明:∵ △ＡＣＤ 是直角三角形ꎬ

∴ ＡＣ

２＋ＣＤ

２ ＝ ＡＤ

２

ꎬ

∵ 以等腰 Ｒｔ△ＡＣＤ 的边 ＡＤ、ＡＣ、ＣＤ 为直径

画半圆ꎬ

∴ Ｓ半圆ＡＣＤ

＝

１

２

π ?

１

４

ＡＤ

２

ꎬ Ｓ半圆ＡＥＣ

＝

１

２

π ?

１

４

ＡＣ

２

ꎬＳ半圆ＣＦＤ

＝

１

２

π?

１

４

ＣＤ

２

ꎬ

∴ Ｓ半圆ＡＣＤ

＝ Ｓ半圆ＡＥＣ

＋Ｓ半圆ＣＦＤꎬ

∴ 所得两个月型图案 ＡＧＣＥ 和 ＤＨＣＦ 的面

积之和(图中阴影部分) 等于 Ｒｔ△ＡＣＤ 的

面积.

４.解:∵ ｐ ＝

ａ＋ｂ＋ｃ

２

＝

４＋５＋６

２

＝

１５

２

ꎬ

∴ △ＡＢＣ 的面积为:

Ｓ ＝ ｐ(ｐ－ａ)(ｐ－ｂ)(ｐ－ｃ)

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４４

＝

１５

２

×(

１５

２

－４)×(

１５

２

－５)×(

１５

２

－６)

＝

１５ ７

４

.

５. ２ －１ ６.２

７.解:设等边三角形 ＡＢＣ 的边长为 ｒꎬ

∴

６０πｒ

１８０

＝

２π

３

ꎬ解得 ｒ ＝ ２ꎬ即正三角形的边长

为 ２ꎬ

∴ 这个曲边三角形的面积 ＝ ２ × ３ ×

１

２

＋

(

６０π×４

３６０

－ ３ )×３ ＝ ２π－２ ３ .

８.３ １５ ９.１ １０.

１５

２

１１.

２π

３

１２.５ ２ －π

１３.４８ １４.

４π

３

－

３

４

１５.(１)①１.５ꎻ１ 或 ３ꎻ

②解答详见解答ꎻ

③Ａꎻ

(２)①Ｓ ＝

１

２

ａ

２

(０≤０≤２)

１

２

(４－ａ)

２

(２<ａ≤４)

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

ïï

ꎻ

②１ 或 ３.

专题 ６ 最值问题

课前热身

１.Ｃ ２.２ ５ －２ ３.３２

本课练习

１.Ｄ

２.解:(１)根据题意知ꎬｙ ＝ ５０－

ｘ－１２０

１０

ꎬ

即 ｙ ＝ －

１

１０

ｘ＋６２ꎻ

(２)根据题意得 Ｗ＝ (ｘ－２０)(－

１

１０

ｘ＋６２)

＝ －

１

１０

ｘ

２＋６４ｘ－１ ２４０

＝ －

１

１０

(ｘ－３２０)

２＋９ ０００ꎬ

∵ －

１

１０

<０ꎬ

∴ 当 ｘ ＝ ３２０ 时ꎬＷ 取得最大值ꎬ最大值为

９ ０００ꎬ

此时 ｙ ＝ －

１

１０

×３２０＋６２ ＝ ３０ꎬ

答:当每间房价定价为 ３２０ 元/ 天时ꎬ宾馆每

天所获利润最大ꎬ最大利润是 ９ ０００ 元ꎬ此

时有 ３０ 个房间被游客入住.

３.３ ２ ４.６

５.解:(１)设租用甲种客车每辆 ｘ 元ꎬ租用乙种

客车每辆 ｙ 元ꎬ

根据题意可得

ｘ＋ｙ ＝ ５００ꎬ

２ｘ＋３ｙ ＝ １ ３００ꎬ {

解得

ｘ ＝ ２００ꎬ

ｙ ＝ ３００ꎬ {

∴ 租用甲种客车每辆 ２００ 元ꎬ租用乙种客车

每辆 ３００ 元.

(２)设租用甲种客车 ｍ 辆ꎬ则租用乙种客车

(８－ｍ)辆ꎬ租车总费用为 ｗ 元ꎬ

根据题意可知ꎬ ｗ ＝ ２００ｍ ＋ ３００ ( ８ － ｍ) ＝

－１００ｍ＋２ ４００ꎬ

∵ １５ｍ＋２５(８－ｍ)≥１８０ꎬ

∴ ０<ｍ≤２ꎬ

∵ －１００<０ꎬ

∴ ｗ 随 ｍ 的增大而减小ꎬ

∴ 当 ｍ ＝ ２ 时ꎬ ｗ 的 最 小 值 为 － １００ × ２ ＋

２ ４００ ＝ ２ ２００.

∴ 当租用甲种客车 ２ 辆ꎬ租用乙种客车 ６

辆ꎬ租车总费用最少为 ２ ２００ 元.

６.

１２

５

７.９ ８.Ｄ ９.

３

３

π １０.Ａ １１.

２５＋５ ５

２

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４５