2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师50（多选）长方体 − 1111中， = 2 = 21 = 2，为棱的中点，平面1上一动点满足∠ = 90
∘，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体外接球的表面积为 6π B． ⊥ 1
C．到平面1距离为
2 3
3
D．的轨迹长度为
6
3
π
考点二 点、直线、平面之间的位置关系 命题点 1 直线、平面平行的判定与性质典例 01（2024 预测·浙江·统考高考真题）如图已知正方体 − 1111，M，N 分别是1，1的中点，则（ ）
A．直线1与直线1垂直，直线//平面
B．直线1与直线1平行，直线 ⊥平面11
C．直线1与直线1相交，直线//平面
D．直线1与直线1异面，直线 ⊥平面11
典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 − 中， ⊥ ， = 2， =2 2，==6，, , 的中点分别为, , ，点在上， ⊥ ．
(1)求证：//平面；
(2)若∠ = 120°，求三棱锥 − 的体积．命题点 2 直线、平面垂直的判定与性质
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师51典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱 − 111中，1 ⊥平面, ∠=90°．(1)证明：平面11 ⊥平面11；
(2)设 = 1, 1 = 2，求四棱锥1 − 11的高．典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，//，//，=5， = 3， = 1，∠ = ∠ = 60°，二面角 − − 的平面角为 60°．设M，N 分别为, 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）如图，四面体中， ⊥ , = , ∠=∠，E为 AC 的中点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ACD；
(2)设 = = 2, ∠ = 60°，点 F 在 BD 上，当△ 的面积最小时，求三棱锥 − 的体积．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师52命题点 3 二面角
典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知△ 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△为等边三角形，若二面角 − − 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）A．
1
5 B．
2
5 C．
3
5 D．
2
5
典例 02（多选）（2024 新·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠ = 120°， = 2，点 C 在底面圆周上，且二面角 − − 为 45°，则（）．A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为 4 3π
C． = 2 2 D．△ 的面积为 3
典例 03（2024 新·天津·统考高考真题）三棱台 − 111中，若1 ⊥面, ⊥ , ==1 = 2, 11 = 1，, 分别是, 中点. (1)求证：1//平面1；
(2)求平面1与平面11所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面1的距离．
1．在正四棱柱 − 1111中， = 2, 1 = 4，平面与棱1
, 1
, 1
, 1分别交于点, , , ，其中, 分别是1
, 1的中点，且1 ⊥ ，则1 = ．
2．如图，在三棱锥 − 中，平面 ⊥平面，△ 为等腰直角三角形，其中 ==1，为中点．
(1)证明：平面 ⊥平面；
(2)已知∠ = 120
∘，二面角 − − 的大小为45
∘，求三棱锥 − 的体积．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师533．如图，在三棱柱 − ₁₁₁中，1 ⊥平面 ， △ 是等边三角形，且为棱的中点. (1)证明： ⊥ 平面₁；
(2)若 2₁ = 3，求平面 ₁与平面₁所成锐二面角的余弦值.
4．如图，在三棱柱 − 111中，1 ⊥平面，△ 是等边三角形，且为棱的中点. (1)证明： ⊥平面1；
(2)若 21 = 3 = 6，求点1到平面1的距离.考点三空间向量 命题点 1 空间向量及其运算典例 01（2014·广东·高考真题）已知向量 = (1,0, − 1)，则下列向量中与 成60
∘的是A．( − 1,1,0) B．(1, − 1,0) C．(0, − 1,1) D．( − 1,0,1)
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师54典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）在正三棱柱 − 111中， = 1 = 1，点满足 = +1
，其中 ∈ 0,1 ， ∈ 0,1 ，则（ ）
A．当 = 1 时，△ 1的周长为定值
B．当 = 1 时，三棱锥 − 1的体积为定值
C．当 =
1
2时，有且仅有一个点，使得1 ⊥
D．当 =
1
2时，有且仅有一个点，使得1 ⊥平面1
典例 03（2024 预测·上海·统考高考真题）如图，以长方体 − 1111的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1
的坐标为(4,3,2)，则1
的坐标为命题点 2 空间向量的应用典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 − 中， = = ，⊥，∠=∠ = 60
∘，E 为 BC 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)点 F 满足 = ，求二面角 − − 的正弦值．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师551．（多选）如图，设正方体 − 1111的棱长为 2，点是的中点，点, 为空间内两点，且 = + 1
, , ∈ 0,1 , = ∈ 0,1 ，则（ ）
A．若1 ⊥平面11，则点与点重合
B．设1 = 5，则动点的轨迹长度为
π
2
C．平面11与平面11的夹角的余弦值为
10
5
D．若 =
1
2，则平面1截正方体所得截面的面积为
7 17
6
2．（多选）如图①，四边形 ABCD 是两个直角三角形拼接而成， = 1， = 2，∠=∠=90°，∠ = 45°.现沿着 BD 进行翻折，使平面 ⊥平面 BCD，连接 AC，得到三棱锥 −（如图②），则下列选项中正确的是（ ）
A．平面 ⊥平面 ACD
B．二面角 − − 的大小为 60° C．异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为
3
3
D．三棱锥 − 外接球的表面积为π
3．（多选）如图 1，矩形11由正方形11与11
拼接而成．现将图形沿1对折成直二面角，如图 2．点（不与1
, 重合）是线段1上的一个动点，点在线段上，点在线段11上，且满足 ⊥ ， ⊥ 11，则（ ）
图 1 图 2
A． = B．1 ⊥ 平面
C．∠的最大值为
2π
3
D．多面体的体积为定值
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师564．（多选）如图，在三棱柱 − 111中，∠ = 90°，∠1 = ∠1 = 60°， = = 1 = 1，是线段1上的点，且 = 21，则下列说法正确的是（）A． =
2
3
+
1
3
+
1
3
1
B． ⋅ 1
=−
1
2
C． =
15
3
D．直线1与1所成角的余弦值为1
6
5．在四棱锥 − 中，△ 为等边三角形，四边形 ABCD 为直角梯形， ∥ , ⊥ ，平面⊥平面 PCD， = 2 = 2．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若四棱锥 − 的体积为
3
2，求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值．专题 14 解析几何中的轨迹与方程（解密讲义）考点 命题点 考题
直线与圆 ①直线的方程
②圆的方程
2024 新北京卷 T15，2024 新新课标I 卷T6
2024 预测新高考 II 卷 T15，2024 预测全国甲卷（文）T142024 预测新高考 II 卷 T3，2024 预测新高考II 卷T10曲线方程 ①椭圆、双曲线和抛物线的方程
②求轨迹方程
2024 新北京卷 T12，2024 新北京卷T6
2024 新全国甲卷（文）T7，2024 新全国甲卷（理）T8，2024 新全国甲卷（理）T12，2024 新全国乙卷（理）T11，考点一 直线与圆 命题点 1 直线的方程
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师57典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）抛物线
2 = 2( > 0)的焦点到直线 = +1 的距离为2，则 =（ ）
A．1 B．2 C．2 2 D．4
典例 03（2024 预测·山东·统考高考真题）已知直线: = sin + cos的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角命题点 2 圆的方程
典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知实数, 满足
2 +
2 − 4 − 2 − 4 = 0，则 −的最大值是（ ）
A．1 +
3 2
2
B．4 C．1 + 3 2 D．7
典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知直线: − + 1 = 0 与⊙ : − 1
2 +
2 =4 交于A，B两点，写出满足“△ 面积为
8
5”的 m 的一个值 ．典例 03（2024 预测·天津·统考高考真题）若直线 − + = 0 > 0 与圆 − 1
2 + −12 =3相交所得的弦长为，则 = ．
1．在平面直角坐标系内， 1,0 ， 2,0 ，动点在直线 = 上，若圆过，，三点，则圆面积的最小值为（ ）
A．
π
2
B．
π
4
C．π D．
2π
3
2．已知圆：
2 +
2 − 4 + 3 = 0，一条光线从点 2,1 射出经轴反射，则下列结论不正确的是（）A．圆关于轴的对称圆的方程为
2 +
2 + 4 + 3 = 0
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 3 − 2 − 4 = 0
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 + = 2
D．若反射光线与圆交于，两点，则△ 面积的最大值为
1
2
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师583．（多选）设动直线: − − 2 + 3 = 0( ∈ R)交圆: ( − 4)
2 + ( − 5)
2 = 12 于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点(2,3) B．当||取得最大值时， = 1
C．当∠最小时，其余弦值为
1
4
D． ⋅ 的最大值为 24
考点二曲线方程 命题点 1 椭圆、双曲线和抛物线的方程典例 01（2024 预测·天津·统考高考真题）已知抛物线
2 = 4 5, 1
, 2分别是双曲线
2
2 −
2
2 =1(>0, >0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠12=
4，则双曲线的标准方程为（ ）
A．
2 10 −
2 = 1 B．
2 −
2 16 = 1
C．
2 −
24 = 1 D．
24 −
2 = 1
典例 02（2024 新·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆: ( + 2)
2 +
2 = 3 相切，交曲线2 =2( > 0)于点，若 = 8，则的值为 ．典例 03（2024 新·北京·统考高考真题）已知双曲线 C 的焦点为( − 2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为 ．典例 04（2024 新·全国·统考高考真题）已知点 1, 5 在抛物线 C：
2 = 2上，则A 到C的准线的距离为 .命题点 2 求轨迹方程
典例 01（2024 预测·浙江·统考高考真题）已知, ∈ R, > 0，函数 =
2 + ( ∈ R).若(−), (), ( + )成等比数列，则平面上点 , 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 ⋅ =1，则点C 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师59典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点0, 1
2 的距离，记动点的轨迹为．求的方程；
1．已知为直线: + 2 + 1 = 0 上的动点，点满足 = 1, − 3 ，记的轨迹为，则（）A．是一个半径为 5的圆 B．是一条与相交的直线
C．上的点到的距离均为 5 D．是两条平行直线
2．已知1
, 2是椭圆:
24
+
23 = 1 的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线1与直线2的交点所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
3．已知抛物线1
:
2 =− 2( > 0)的焦点与椭圆2
:
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的左焦点1重合，点为抛物线1与椭圆2的公共点，且1 ⊥ 轴，则椭圆的离心率为（ ）
A．
3
3
B．
2
2
C． 2 − 1 D． 3 − 1
4．过抛物线
2 = 2( > 0)的焦点作直线交抛物线于 1
, 2 ， 2
, − 2 2 两点，则 =（）A．1 B．2 C．3 D．4
专题 15 圆锥曲线中的综合问题（解密讲义）考点 命题点 考题
直线与圆锥曲线
的位置关系
①直线与椭圆的位置关系
②直线与双曲线的位置关系
③直线与抛物线的位置关系
2024 新天津卷 T18，2024 新新课标II 卷T5，2024新新课标 II 卷 T10，2024 新全国乙卷（理）T11，2024 预测天津卷T19，2024 预测北京卷T19，2024预测新课标 II 卷 T21，2024 预测新高考I 卷T21，2024 预测新高考II 卷T10
圆锥曲线中的定
点、定值问题
①椭圆中的定点、定值
②双曲线和抛物线的定点、定值
2024 新北京卷 T19，2024 新全国乙卷（理）T20，2024 预测全国乙卷（理）T20，2024 预测全国甲卷（理）T20，
圆锥曲线中的参
数范围及最值
①椭圆、双曲线中的参数范围及最值
②抛物线中的参数范围及最值
2024 新新课标 II 卷T5，2024 预测浙江卷T21，2024 预测全国甲卷（理）T20，
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师60考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
命题点 1 直线与椭圆的位置关系
典例 01（2024 新·天津·统考高考真题）设椭圆
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的左右顶点分别为1
, 2，右焦点为，已知 1 = 3, 2 = 1．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2交轴于点，若三角形1的面积是三角形2面积的二倍，求直线2的方程．典例 02（2024 预测·天津·统考高考真题）椭圆
2
2 +
2
2 = 1 > > 0 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为 B，且满足
=
3
2 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与 y 轴相交于 N（N 异于 M）．记 O 为坐标原点，若=，且△的面积为 3，求椭圆的标准方程．典例 03（2024 预测·北京·统考高考真题）已知椭圆:
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的一个顶点为(0,1)，焦距为2 3．
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点( − 2,1)作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与x 轴交于点M，N，当|| = 2 时，求 k 的值．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师61 命题点 2 直线与双曲线的位置关系典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）设 A，B 为双曲线
2 −
29 = 1 上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）
A． 1,1 B． −1,2 C． 1,3 D． −1, − 4
命题点 3 直线与抛物线的位置关系典例 01（多选）（2024 预测·全国·统考高考真题）已知 O 为坐标原点，过抛物线:
2 =2(>0)焦点F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一象限，点(, 0)，若|| = ||，则（）A．直线的斜率为 2 6 B．|| = ||
C．|| > 4|| D．∠ + ∠ < 180°典例 02（多选）（2024 新·全国·统考高考真题）设 O 为坐标原点，直线 =− 3 −1 过抛物线: 2=2 > 0 的焦点，且与 C 交于 M，N 两点，l 为 C 的准线，则（ ）．
A． = 2 B． =
8
3
C．以 MN 为直径的圆与 l 相切 D．△ 为等腰三角形
典例 03（2024 预测·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆
24
+
2 =1 的顶点分别为1，2，1，2，其中点2为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点1的直线与抛物线交于，两点，且 + //12
，求直线
的方程.
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师621．设椭圆 C1：
2
2 +
2
2 =1（a＞b＞0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率是
1
2，已知A 是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，F 到抛物线 C2的准线 l 的距离为
1
2．
(1)求 C1的方程及 C2的方程；
(2)设 l 上两点 P，Q 关于轴对称，直线 AP 交 C1于点 B（异于点 A），直线BQ 交x 轴于点D，若△APD的面积为
6
2 ，求直线 AP 的斜率．
2．已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过 2,0 ， 4,3 两点. (1)求双曲线的方程；
(2)已知点 2,1 ，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当=6时，求直线的斜率. 3．己知直线: = − 2 与抛物线:
2 = 2( > 0)交于 A，B 两点，F 为E 的焦点，直线FA，FB的斜率之和为 0．
(1)求 E 的方程；
(2)直线, 分别交直线 =− 2 于, 两点，若|| ≥ 16，求 k 的取值范围．考点二 圆锥曲线中的定点、定值问题 命题点 1 椭圆中的定点、定值
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师63典例 01（2024 新·北京·统考高考真题）已知椭圆:
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的离心率为5
3 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D 分别是的左、右顶点，|| = 4．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内 E 上的动点，直线与直线交于点，直线与直线 =− 2 交于点．求证：//．典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知椭圆:
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的离心率是5
3 ，点−2,0在上．
(1)求的方程；
(2)过点 −2,3 的直线交于, 两点，直线, 与轴的交点分别为, ，证明：线段的中点为定点．命题点 2 双曲线和抛物线中的定点、定值典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）设抛物线:
2 = 2( > 0)的焦点为F，点, 0 ，过F的直线交 C 于 M，N 两点．当直线 MD 垂直于 x 轴时， = 3．
(1)求 C 的方程；
(2)设直线, 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线, 的倾斜角分别为, ．当 −取得最大值时，求直线 AB 的方程．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师64典例 03（2024 预测·全国·高考真题）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线 x+2=0 相切．
（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径．
（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．1．已知椭圆Γ:
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的左焦点为1 −1,0 ，且过点 1, 8
3 ．(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)过1作一条斜率不为 0 的直线交椭圆Γ于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线: +4=0分别交于、两点，与轴的交点为，则 ⋅ 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
2．已知, 分别为双曲线:
2
2 −
2
2 = 1 , > 0 的左、右顶点，为双曲线上异于, 的任意一点，直线、斜率乘积为
3
4，焦距为 2 7．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过 4,0 的直线与双曲线交于，两点（, 不与, 重合），记直线，的斜率为1，2，证明：12为定值．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师653．已知 4,4 为抛物线:
2 = 2 > 0 上的一点，为的焦点，为坐标原点．(1)求△ 的面积；
(2)若, 为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于−2，作 ⊥ ，为垂足，证明：存在定点，使得 为定值．考点三 圆锥曲线中的参数范围及最值 命题点 1 椭圆、双曲线中的参数范围及最值
典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）设 B 是椭圆:
25 +
2 = 1 的上顶点，点P 在C上，则的最大值为（ ）
A．
5
2
B． 6 C． 5 D．2
典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆
2 12
+
2 = 1．设A，B 是椭圆上异于(0,1)的两点，且点 0, 1
2 在线段上，直线, 分别交直线 =−
1
2
+ 3 于 C，D 两点．(1)求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求||的最小值．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师66典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点1 − 17, 0 、2 17, 0，1 − 2 = 2，点的轨迹为. （1）求的方程；
（2）设点在直线 =
1
2上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且 ⋅ =⋅ ，求直线的斜率与直线的斜率之和.命题点 2 抛物线中的参数范围及最值典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）已知抛物线:
2 = 2( > 0)的焦点F 到准线的距离为2．（1）求 C 的方程;
（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 = 9 ，求直线斜率的最大值.典例 03（2024 预测·北京·高考真题）已知抛物线 C：
2=2px 经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于N．（Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O 为原点， = ， = ，求证：
1
+
1
为定值．
1．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且焦距为 4 2，椭圆上一点到两焦点的距离之和为6. (1)求椭圆的标准方程：
(2)设点是椭圆上一动点，点是圆
2 + ( − 2)
2 = 1 上一动点，求||的最大值，并求出此时点的坐标.
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师672．已知抛物线:
2 = 2（ > 0）的焦点 F 到双曲线
23 −
2 = 1 的渐近线的距离是1
2．(1)求 p 的值；
(2)已知过点 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，线段的中垂线与 E 的准线 l 交于点P，且线段的中点为M，设 = ，求实数的取值范围．专题 16 计数原理、二项式定理（解密讲义）考点 命题点 考题
计数原理、排
列与组合
①加法原理与乘法原理
②排列
③组合
2024 新全国甲卷（理）T9，2024 新全国乙卷（理）T7，2024 新新课标 I 卷 T13，2024 新新课标II 卷T3，2024预测新高考 II 卷 T5，2024 预测全国乙卷（理）T13二项式定理 ①二项式定理 2024 新天津卷 T11，2024 新北京卷T5，2024预测浙江卷 T12，2024 预测北京卷T8，2024 预测新高考I 卷T13，2024 预测天津卷 T11
考点一 计数原理、排列与组合 命题点 1 加法原理与乘法原理
典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（）A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师68典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）某学校开设了 4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）． 命题点 2 排列
典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）现有 5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 5 人中安排 2 人参加公益活动，则恰有 1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120 B．60 C．30 D．20
典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有（ ）
A．30 种 B．60 种 C．120 种 D．240 种 命题点 3 组合
典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．C400
45
⋅ C200
15 种 B．C400
20
⋅ C200
40 种
C．C400
30
⋅ C200
30 种 D．C400
40
⋅ C200
20 种
典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．典例 03（2024 预测·全国·高考真题）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师691．某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为 A，B，C，D，E 这5 个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目 A 和下午的项目 E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（）A．20 B．40 C．66 D．80
2．从 5 名学生中选出 4 名分别参加 A，B，C，D 四科竞赛，其中甲不能参加A，B 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．120
3．小李准备下载手机 APP，可供选择的社交 APP 有 3 个，音乐 APP 有 2 个，视频APP 有2 个，生活APP有 3 个，从上述 10 个 APP 中选 3 个，且必须含有社交 APP 以及生活 APP 的不同选法种数为.考点二二项式定理 命题点 1 二项式定理
典例 01（2024 新·北京·统考高考真题） 2 −
1
5
的展开式中的系数为（）．A．−80 B．−40 C．40 D．80
典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题） 1 −
( + )
8的展开式中
2
6的系数为（用数字作答）．典例 03（2024 新·天津·统考高考真题）在 2
3 −
1
6
的展开式中，
2项的系数为．1．
2 − +
5的展开式中
5
2的系数为（ ）
A．−30 B．−20 C．20 D．30
2．（多选）在
1
2
2 −
1
的展开式中，若第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则（）A．展开式中
5 的系数为 −
105
8
B．展开式中所有项的系数的和为
1
1024
C．展开式中系数的绝对值最大的项是第 5 项
D．从展开式中任取 2 项，取到的项都是的整数次幂的概率为
3
11
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师703．已知二项式
1
2+
的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于 45，则展开式的常数项为．1．（2024·全国·校联考模拟预测）7 个人站成两排，前排 3 人，后排 4 人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
2．（2024 新·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了 5 名学生到、、三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1 人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（ ）
A．25 B．60 C．90 D．150
3．（2024 新·四川成都·成都七中校考模拟预测）学校运动会上，有，，三位运动员分别参加3000米，1500 米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤服务小组）.若甲在 A 的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案有（ ）种
A．44 B．50 C．42 D．38
4．（2024 新·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）2024 新年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A．1800 B．1080 C．720 D．360
5．（2024 新·贵州·校联考模拟预测）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9 月10 日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有 4 个服务点，现将 6 名志愿者分配到 4 个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2 名志愿者，有（）种分配方式
A．540 B．660 C．980 D．1200
6．（2024 新·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）毕业典礼上，某班有, , , , , 六人站一排照相，要求，两人均不在排头，且, 两人不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．160 B．288 C．336 D．480
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师717．（多选）（2024·湖南株洲·统考一模）高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这 4 个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2 个科目构成“1＋2 选考科目组合”参加高考.已知某班 48 名学生关于选考科目的结果统计如下：
选考科目名称 物理 化学 生物 历史 地理 政治
选考该科人数 36 39 24 12 a b
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（ ）
A． + = 33
B．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过 9 人
C．在选考化学的所有学生中，最多出现 6 种不同的选考科目组合
D．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的8．（2024·湖南株洲·统考一模）在 − 1 + 1
4的展开式中，含
2的项的系数是.（用数字作答）9．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）若多项式( − 1)
3 + ( + 1)
4 =
4 + 1
3 +2
2 +3+4，则1 + 2 + 3 = ．
10．（2024 新·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午 5 节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是 ．
11．（2024 新·浙江绍兴·统考模拟预测）
2 − 1 + 2
4的展开式中
2的系数为（用数字作答）．12．（2024 新·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）二项式( + ) 2 −
1
3
的展开式中，所有项的系数和为 1，则( + ) 2 −
1
5
的展开式中常数项为 . 13．（2024 新·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）在二项式 +
1
2
4 的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为 ．专题 17 概率及随机变量的分布列（解密讲义）
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师72考点 命题点 考题
概率 ①随机事件的概率
②古典概型
2024 新北京卷 T18，2024 新全国乙卷（文）T9，2024新全国甲卷（文）T4，2024 新全国乙卷（理）T5，2024新天津卷 T13，2024 新新课标II 卷T12
随机变量的分
布列
①离散型随机变量分布列、均值
及方差
②超几何分布、二项分布
2024 新全国甲卷（理）T19，2024 新新课标I 卷T21，2024预测浙江卷 T15，2024 预测新高考II 卷T13，2024预测全国甲卷（理）T19，2024 预测北京卷T18，2024预测新高考 I 卷 T20
考点一概率 命题点 1 随机事件的概率典例 1（多选）（2024 新·全国·统考高考真题）在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到 1 的概率为(0 < < 1)，收到 0 的概率为 1 − ；发送 1 时，收到0 的概率为(0 <<1)，收到 1 的概率为 1 − . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是指每个信号重复发送 3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1 的概率为(1 − )(1 −)
2
B．采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为(1 − )
2
C．采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为(1 − )
2 + (1 − )
3
D．当 0 < < 0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，
随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布
直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师73(3)已知该地区这种疾病的患病率为 0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）. 命题点 2 古典概型
典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．
5
6
B．
2
3
C．
1
2
D．
1
3
典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）从分别写有 1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为（ ）
A．
1
5 B．
1
3
C．
2
5 D．
2
3
典例 03（2024 新·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5: 4: 6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 40%, 25%, 50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．1．古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（ ）
A．
2
5
B．
1
3
C．
1
5
D．
4
5
2．设，为任意两个事件，且 ⊆ ， > 0，则下列选项必成立的是（）A． > | B． ≥ |
C． < | D． ≤ |
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师74考点二 随机变量的分布列 命题点 1 离散型随机变量分布列、均值及方差典例 01（2024 预测·浙江·统考高考真题）现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则( = 2) = ，() =．典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望． 命题点 2 超几何分布、二项分布典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）某地的中学生中有 60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
1．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（ ∈ ∗）分，每轮答 2 题，都答对得1 分，仅答对1题得0 分，都答错得−1 分.若该答题机器人答对每道题的概率均为
1
2，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当 = 2时，答题结束，机器人挑战成功，当 = 0 时，答题也结束，机器人挑战失败. (1)当 = 3 时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；
(2)当 = 4 时，求机器人在第 6 轮答题结束且挑战成功的概率
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师752．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等 5 项流程，其中前 4 项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4 项流程的概率依次约为3
4
, 1
3
, 2
3
, 1.假设学生能否通过这 5 项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为2
3
, 3
5
, 3
5，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
3．2024 新年 5 月 31 日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．
（i）选手在每个项目中投篮 5 次，每个项目中投中 3 次及以上为合格；
（ii）第一个项目投完 5 次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；（iii）选手进入第二个项目后，投篮 5 次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是 0.5．
(1)求选手甲参加项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加项目合格的概率为 0.6．比赛规定每个项目合格得 5 分，不合格得0 分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师762．（2024 新·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）在形状、大小完全相同的4 个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在 4 位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1 位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（ ）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
3．（2024 新·四川成都·石室中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知非零向量 ， ， ，若 ⋅ = ⋅ ，则 = B．设 x， ∈ R，则“
2 +
2 ≥ 4”是“ ≥ 2 且 ≥ 2”的充分不必要条件
C．用秦九韶算法求这个多项式 =
5 + 2
4 − 3
3 + 4
2 − + 1 的值，当 = 2 时，3（第三次计算一次多项式）的值为 14
D．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是两个互斥且不对立的事件
4．（2024 新·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，设“第 1 次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2 次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．以上命题中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 新·四川成都·石室中学校考一模）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4 处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4 个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 =. 7．（2024 新·天津·校考模拟预测）甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为
3
4，乙每盘获胜的概率为
2
3
.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜 3 盘的概率为 . 8．（2024 新·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）某中学选拔出 20 名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有 8 名、高二学生有 7 名、高三学生有 5 名．
(1)若从数学奥赛集训队中随机抽取 3 人参加一项数学奥赛，求抽取的 3 名同学中恰有2 名同学来自高一的概率．
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师77(2)现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共 4 道题，前2 道题答对每道题计1分，答错计 0 分，后 2 道题答对每道题计 2 分，答错计 0 分，累积计分不低于 5 分的学生为优秀学员．已知张同学前 2 道题每道题答对的概率均为
2
3，后 2 道题每道题答对的概率均为
1
2，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为 X，求 X 的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．
10．（2024 新·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5 个成语中随机抽取3 个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中 3 个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为12，甲不会比划的成语，乙无法猜对．
(1)求甲乙配合猜对 2 个成语的概率；
(2)设甲乙配合猜对成语个数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
1．现随机安排甲、乙等 4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 =“甲参加跳高比赛”，事件 =“乙参加跳高比赛”，事件 =“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件 A 与 B 相互独立 B．事件 A 与 C 为互斥事件
C． =
5
12
D． =
1
9
2．（多选）已知Ω为随机试验的样本空间，事件 A，B 满足 ⊆ Ω, ⊆ Ω，则下列说法正确的是（）A．若 ⊆ ，且 =
1
3
, =
1
2，则 + =
5
6
B．若 ∩ = ∅，且 =
1
3
, =
1
2，则 + =
5
6
C．若 = =
1
3
, =
1
2，则 =
1
4
D．若 =
1
2
, =
3
4
, =
3
8，则 =
2
3
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师783．（多选）已知, 是两个事件，且 0 < < 1，则事件, 相互独立的充分条件可以是（）A． = 0
B．( ) = ()( )
C．(∣) = (∣ )
D．
2() +
2( ) +
2( ) +
2( ) =
1
4
4．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且 =
1
3， =
3
4， + =1
2，则（）A． =
1
6
B． =
3
4
C． = D． + =
7
12
5．某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有
1
3的概率再传给该运动员，有
2
3的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. (1)求2，3；
(2)求的表达式；
(3)设= 2− 1 ，证明： =1 +1 − sin+1 − sin <
1
2
.
2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师797．品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为 1，2，3，…，n 的n 种酒，在第二次排序时的序号为1
, 2
, 3
, …, ，并令 ==1 − ，称 X 是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当 = 3 时，若1
, 2
, 3等可能地为 1，2，3 的各种排列，求 X 的分布列；(2)当 = 4 时，
①若1
, 2
, 3
, 4等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，计算 ≤ 2 的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有 ≤ 2（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
8．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3 局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为
1
2，乙、丙比赛乙胜概率为
1
3，丙、甲比赛丙胜概率为2
3，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完 3 局时，求甲、乙、丙各旁观 1 局的概率；
(2)已知比赛进行 5 局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
