考点突破·题型剖析

考点一 对数函数的图象及应用

例１ (１)(２０２３?北京东城区质检)函数y＝logax

与y＝－x＋a 在同一平面直角坐标系中的图

象可能是 ( )

(２)若方程４

x ＝logax 在 ０,

１

２

æ

è

ç

ù

û

ú

ú 上有解,则实数

a的取值范围为 ．

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感悟提升 １? 在识别函数图象时,要善于利用已

知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的

交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．

２?一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函

数图象问题,利用数形结合法求解．

训练１ (１)(２０２３?石家庄模拟)已知函数f(x)

＝x＋

１

x－２

,x∈(２,８),当x＝m 时,f(x)有最

小值n．则在平面直角坐标系中,函数g(x)＝

log１

m|x＋n|的图象是 ( )

(２)已知函数f(x)＝|log２x|,实数a,b满足０＜

a＜b,且f(a)＝f(b),若f(x)在[a

２,b]上的最

大值为２,则

１

a

＋b＝ ．

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— ４１ —

第二章 函 数

考点二 对数函数的性质及应用

角度１ 比较大小

例２ (１)设a＝log４１２,b＝log５１５,c＝log６１８,则 ( )

Aa．＞b＞c Bb．＞c＞a

Ca．＞c＞b Dc．＞b＞a

(２)(２０２１?天津卷)设a＝log２０．３,b＝log１

２０．４,

c＝０４．

０．３,则a,b,c的大小关系为 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜a＜b

Cb．＜c＜a Da．＜c＜b

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角度２ 解对数不等式

例３ (２０２３?安徽江淮十校联考)已知函数f(x)＝

２x

２,x≥０,

－２x { ２,x＜０,

则 不 等 式 f((log２x)２ －３)＜

４f(log２x)的解集为 ．

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角度３ 对数函数性质的综合应用

例４ (２０２３?武汉模拟)函数f(x)＝loga(３－２ax)

在区间[１,２]上单调递增,则实数a 的取值范

围为 ( )

A．(０,１) B．

３

４

,１

æ

è

ç

ö

ø

÷

C．０,

３

４

æ

è

ç

ö

ø

÷ D．(１,＋∞)

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感悟提升 利用对数函数的性质,求与对数函数有

关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清

三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定

义域内讨论;二是底数与１的大小关系;三是复合

函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成

的．另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与

化归思想的应用．

训练２ (１)(２０２３?沈阳调研)已知a＝log２．５７,

b＝log４１５,c＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－１

,则下列判断正确的是( )

Aa．＜b＜c Bb．＜a＜c

Cc．＜b＜a Db．＜c＜a

(２)(２０２３?淄博模拟)已知函数f(x)是定义在R

上的偶函数,当x≤０时,f(x)单调递减,则不等

式f(log１

３

(２x－５))＞f(log３８)的解集为 ．

(３)(２０２３?湖北七市联考)已知函数f(x)＝

lg(x

２－２x－８)的单调递增区间为(a,＋∞),则

a＝ ．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２５９页

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高考总复习 数学(配人教B版)∗

第８节 函数的图象

考试要求 １? 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

２? 会画简单的函数图象．３? 会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?利用描点法作函数的图象

步骤:(１)确定函数的定义域;(２)化简函数解析

式;(３)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期

性、对称性等);(４)列表(尤其注意特殊点、零

点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),

描点,连线．

２?利用图象变换法作函数的图象

(１)平移变换

(２)对称变换

y＝f(x)的图象

关于x轴对称

→y＝ 的图象;

y＝f(x)的图象

关于y轴对称

→y＝ 的图象;

y＝f(x)的图象

关于原点对称

→y＝ 的图象．

(３)伸缩变换

y＝f(x)

纵坐标不变

各点横坐标变为原来的

１

a

(a＞０)倍

→

y＝f(ax)．

y＝f(x)

横坐标不变

各点纵坐标变为原来的A(A＞０)倍→y＝Af(x)．

(４)翻折变换

y＝f(x)的图象

x 轴下方部分翻折到上方

x 轴及上方部分不变 →

y＝ 的图象;

y＝f(x)的图象

y轴右侧部分翻折到左侧

原y轴左侧部分去掉,右侧不变→

y＝ 的图象．

[常用结论]

１?记住几个重要结论

(１)函数y＝f(x)与y＝f(２a－x)的图象关于直

线x＝a对称．

(２)函数y＝f(x)与y＝２b－f(２a－x)的图象关

于点(a,b)中心对称．

(３)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x 满

足:f(a＋x)＝f(a－x),则函数y＝f(x)的图象

关于直线x＝a对称．

２?图象的左右平移仅仅是相对于

x 而言,如果x 的

系数不是１,常需把系数提出来,再进行变换．

３?图象的上下平移仅仅是相对于

y 而言的,利用

“上加下减”进行．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)当 x∈ (０,＋ ∞)时,函 数 y＝|f(x)|与

y＝f(|x|)的图象相同． ( )

(２)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞０且a≠１)

的图象相同． ( )

(３)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点

对称． ( )

(４)若函数y＝f(x)满足f(１＋x)＝f(１－x),则

函数f(x)的图象关于直线x＝１对称． ( )

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— ４３ —

第二章 函 数

２?小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵

塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行

驶．与以上事件吻合得最好的图象是 ( )

３?(２０２３?长沙雅礼月考)函数y＝－cosxln|x|的

图象可能是 ( )

４?函数y＝f(x)的图象与y＝e

x 的图象关于y轴对

称,再把y＝f(x)的图象向右平移１个单位长度后

得到函数y＝g(x)的图象,则g(x)＝ ．

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考点突破·题型剖析

考点一 作函数的图象

例１ 作出下列函数的图象:

(１)y＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

|x|

;(２)y＝|log２(x＋１)|;

(３)y＝x

２－２|x|－１．

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感悟提升 １?描点法作图:当函数解析式(或变形

后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些

函数的特征描出图象的关键点直接作出．

２?图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图

象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作

出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单

位及解析式的影响．

训练１ 分别作出下列函数的图象:

(１)y＝sin|x|;(２)y＝

２x－１

x－１

．

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高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点二 函数图象的识别

角度１ 函数图象的识别

例２ (１)(２０２２?全国甲卷)函数f(x)＝(３

x －３

－x )?

cosx在区间[ －

π

２

,

π

２

] 上的图象大致为 ( )

(２)(２０２２?全国乙卷)如图是下列四个函数中

的某个函数在区间[－３,３]的大致图象,则该函

数是 ( )

Ay．＝

－x

３＋３x

x

２＋１

By．＝

x

３－x

x

２＋１

Cy．＝

２xcosx

x

２＋１

Dy．＝

２sinx

x

２＋１

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感悟提升 １?抓住函数的性质,定性分析:

(１)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数

的值域,判断图象的上下位置;(２)从函数的单调性,

判断图象的变化趋势;(３)从周期性,判断图象的循

环往复;(４)从函数的奇偶性,判断图象的对称性．

２?抓住函数的特征,定量计算:寻找函数的特征点,

利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．

角度２ 借助动点探究函数图象

例３ 如图,不规则四边形ABＧ

CD 中,AB 和CD 是线段,

AD 和BC 是圆弧,直线l⊥

AB 交AB 于E,当l从左至

右移动(与线段 AB 有公共点)时,把四边形

ABCD 分成两部分,设AE＝x,左侧部分的面

积为y,则y关于x 的图象大致是 ( )

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感悟提升 根据实际背景、图形判断函数图象的两

种方法

(１)定量计算法:根据题目所给条件确定函数解析

式,从而判断函数图象．

(２)定性分析法:采用“以静观动”,即判断动点处于

不同的特殊的位置时图象的变化特征,从而利用排

除法做出选择．

注意 求解的过程中注意实际问题中的定义域问题．

训练２ (１)(２０２３?湖南名校联考)函数f(x)＝

cosxln

π－x

π＋x

的图象大致为 ( )

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— ４５ —

第二章 函 数

(２)向高为 H 的水瓶中注

水,注满为止,如果注水量V

与水深h 的函数关系的图

象如图所示,那么水瓶的形

状是 ( )

考点三 函数图象的应用

角度１ 研究函数的性质

例４ 已知函数f(x)＝x|x|－２x,则下列结论正

确的是 ( )

Af．(x)是偶函数,单调递增区间是(０,＋∞)

Bf．(x)是偶函数,单调递减区间是(－∞,１)

Cf．(x)是奇函数,单调递减区间是(－１,１)

Df．(x)是奇函数,单调递增区间是(－∞,０)

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角度２ 图象法解不等式

例５ 已知函数f(x)＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

,x≥１,

log４(x＋１),－１＜x＜１,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

则

f(x)≤

１

２

x 的解集为 ( )

A．(－∞,０] B．(－１,０]

C．(－１,０]∪[１,＋∞) D．[１,＋∞)

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角度３ 求参数的取值范围

例６ (２０２３?湖州调研)已知函数f(x)＝

sinπx,０≤x≤１,

{log２０２３x,x＞１,

若实数a,b,c 互不相等,且

f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是

．

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感悟提升 １?利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其

性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常

借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的

对应关系．

２?利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问

题,如判断方程是否有解,有多少个解．数形结合是

常用的思想方法．不等式的求解可转化为两函数的

上下关系问题．

训练３ (１)(２０２３?河南顶尖名校联考)若关于

x 的不等式ae

x ＋bx＋c＜０的解集是(－１,１),

则 ( )

Ab．＞０ Ba．＋c＞０

Ca．＋b＋c＞０ D８．a＋２b＋c＞０

(２)已知奇函数f(x)在x≥０

时的图象如图所示,则不等

式 xf(x)＜０ 的 解 集 为

．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２６１页

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— ４６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第９节 函数与方程

考试要求 １? 理解函数的零点与方程的解的联系．２? 理解函数零点存在定理,并能简单应用．３? 了解用二分

法求方程的近似解．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?函数的零点

(１)概念:一般地,如果函数y＝f(x)在实数α处的

函数值等于零,即f(α)＝０,则称 为函数

y＝f(x)的零点．

(２)函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方

程的根的关系:

２?函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不

断的,并且f(a)?f(b) ０(即在区间两个端

点处的函数值异号),则函数y＝f(x)在区间(a,b)

中至少有一个零点,即∃x０∈(a,b),f(x０)＝０．

[常用结论]

１?若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函

数,则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一

个“点”,而是方程f(x)＝０的实根．

２?由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间

[a,b]上有零点不一定能推出f(a)?f(b)＜０,

如图所示,所以f(a)?f(b)＜０

是y＝f(x)在闭区间[a,b]上

有零点的充分不必要条件．

３?周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数f(x)＝２x 的零点为０． ( )

(２)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间

(a,b)⊆D 内有零点,则f(a)?f(b)＜０．( )

(３)二次函数y＝ax

２ ＋bx＋c(a≠０)在b

２ －

４ac＜０时没有零点． ( )

２?函数f(x)＝

x

２＋x－２,x≤０,

{－１＋lnx,x＞０

的零点个数为

( )

A．３ B．２ C．７ D．０

３?函数f(x)＝log２x＋x－２的零点所在的区间为

( )

A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４)

４?函数f(x)＝ax

２－x－１有且仅有一个零点,则

实数a的值为 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 函数零点所在区间的判断

例１ (１)(２０２３?荆州调研)若x０ 是方程

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

＝

x

１

３ 的根,则x０ 属于区间 ( )

A．

２

３

,１

æ

è

ç

ö

ø

÷ B．

１

２

,

２

３

æ

è

ç

ö

ø

÷ C．

１

３

,

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ D．０,

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

(２)(２０２３?滨州模拟)[x]表示不超过x 的最大

整数,例如[３５．]＝３,[－０．５]＝－１．已知x０ 是方

程lnx＋３x－１５＝０的根,则[x０]＝ ( )

A２． B３． C４． D５．

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感悟提升 确定函数零点所在区间的常用方法

(１)利 用 函 数 零 点 存 在 定 理:首 先 看 函 数 y＝

f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有

f(a)?f(b)＜０．若有,则函数y＝f(x)在区间

(a,b)内必有零点．

(２)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴

在给定区间上是否有交点来判断．

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— ４７ —

第二章 函 数

训练１ (１)根据表格中的数据可以判定方程

lnx－x＋２＝０的一个根所在的区间为 ( )

x １ ２ ３ ４ ５

lnx ０ ０．６９３ １．０９９ １．３８６ １．６０９

x－２ －１ ０ １ ２ ３

A．(１,２) B．(２,３) C．(３,４) D．(４,５)

(２)(２０２３?焦作质检)设函数f(x)＝２

x ＋

x

３

的

零点为x０,则x０∈ ( )

A．(－４,－２) B．(－２,－１)

C．(１,２) D．(２,４)

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考点二 函数零点个数的判断

例２ (１)函数f(x)＝２

x ＋x

３－２在区间(０,１)内的

零点个数是 ( )

A０． B１． C２． D３．

(２)(２０２２?长春二模)已知函数f(x)＝

|lnx|,x＞０,

{－２x(x＋２),x≤０,

则函数y＝f(x)－３的零

点个数是 ( )

A１． B２． C３． D４．

(３)(２０２３?湖南六校联考)函数f(x)＝４cos

２x

２

?

cos

π

２

－x

æ

è

ç

ö

ø

÷－２sinx－|ln(x＋１)|的零点个数

为 ．

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感悟提升 函数零点个数的判定有下列几种方法

(１)直接求零点:令f(x)＝０,如果能求出解,那么有

几个解就有几个零点．

(２)零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在

[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)?f(b)＜０,还

必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定

函数有多少个零点．

(３)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交

点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点．

训练２ (１)(２０２３?海口质检)设函数f(x)是定

义在R上的奇函数,当x＞０时,f(x)＝e

x ＋x－

３,则f(x)的零点个数为 ( )

A１． B２． C３． D４．

(２)函数f(x)是R上最小正周期为２的周期函

数,当０≤x＜２时,f(x)＝x

２－x,则函数y＝

f(x)的图象在区间[－３,３]上与x 轴的交点个

数为 ( )

A６． B７． C８． D９．

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考点三 函数零点的应用

角度１ 根据零点个数求参数范围

例３ (多选)(２０２３?廊坊模拟)已知函数f(x)＝

|x

２＋３x＋１|－a|x|,则下列结论正确的是 ( )

A．若f(x)没有零点,则a∈(－∞,０)

B．若f(x)恰有２个零点,则a∈(１,５)

C．若f(x)恰有３个零点,则a＝１或a＝５

D．若f(x)恰有４个零点,则a∈(５,＋∞)

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— ４８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

角度２ 根据零点范围求参数范围

例４ (２０２３?安康调研)若函数f(x)＝e

－x －

ln(x＋a)在(０,＋∞)上存在零点,则实数a 的

取值范围是 ( )

A．－

１

e

,＋∞

æ

è

ç

ö

ø

÷ B．(－e,＋∞)

C．－∞,

１

e

æ

è

ç

ö

ø

÷ D．(－∞,e)

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感悟提升 已知函数有零点求参数值或取值范围

常用的方法和思路

(１)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不

等式,再通过解不等式确定参数的取值范围．

(２)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的

问题加以解决．

(３)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角

坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解．

训练３ (１)(２０２３?北京顺义区模拟)已知函数

f(x)＝３

x －

１＋ax

x

．若存在x０∈(－∞,－１),使

得f(x０)＝０,则实数a的取值范围是 ( )

A．－∞,

４

３

æ

è

ç

ö

ø

÷ B．０,

４

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

C．(－∞,０) D．

４

３

,＋∞

æ

è

ç

ö

ø

÷

(２)(２０２３?济南模拟)已知函数f(x)＝

x,x≤０,

{|２x－３|,x＞０,

g(x)＝f(x)－

１

２

x＋a,

若g(x)存在３个零点,则实数a 的取值范围

为 ．

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嵌套函数的零点问题

函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关

问题交汇．对于嵌套函数的零点,通常先“换元解

套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为

两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解．

一、判断嵌套函数的零点个数

例１ (２０２３?山东省实验中学诊断)已知函数f(x)

＝

lnx－

１

x

,x＞０,

x

２＋２x,x≤０,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

则函数y＝f[f(x)＋１]的

零点个数是 ( )

A２． B３． C４． D５．

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训练１ 已知函数f(x)＝

e

x ,x＜０,

４x

３－６x

２ { ＋１,x≥０,

其中 e为 自 然 对 数 的 底 数,则 函 数g(x)＝

３[f(x)]２－１０f(x)＋３的零点个数为 ( )

A４． B５． C６． D３．

二、由嵌套函数零点的情况求参数

例２ (２０２３?南通联考)已知函数f(x)＝

x

２＋

１

２

x,x≤０,

－|２x－１|＋１,x＞０,

ì

î

í

ï

ï

ïï

若关于x 的方程f

２(x)

－(k＋１)xf(x)＋kx

２＝０有且只有三个不同的

实数解,则正实数k的取值范围为 ( )

A．０,

１

２

æ

è

ç

ù

û

ú

ú B．

１

２

,１

é

ë

ê

ê

ö

ø

÷∪(１,２)

C．(０,１)∪(１,２) D．(２,＋∞)

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训练２ 函数f(x)＝

ln(－x－１),x＜－１,

{２x＋１,x≥－１,

若

函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个不同的零点,

则实数a的取值范围是 ．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２６３页

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— ４９ —

第二章 函 数

第１０节 函数模型及其应用

考试要求 １? 了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异,理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等

术语的含义．２? 会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

y＝a

x

(a＞１)

y＝logax

(a＞１)

y＝x

n

(n＞０)

在(０,＋∞)

上的增减性

单调 单调 单调

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象

的变化

随x 的 增 大

逐 渐 表 现 为

与

平行

随x 的 增 大

逐 渐 表 现 为

与

平行

随n值

变化而

各有不同

值的比较

存在一个x０,当x＞x０ 时,有logax＜

x

n ＜a

x

２?几种常见的函数模型

函数模型 函数解析式

一次函

数模型

f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠０)

二次函

数模型

f(x)＝ax

２＋bx＋c(a,b,c为常数,

a≠０)

与指数函数

相关的模型

f(x)＝ba

x ＋c(a,b,c为常数,a＞０

且a≠１,b≠０)

与对数函数

相关的模型

f(x)＝blogax＋c(a,b,c 为常数,

a＞０且a≠１,b≠０)

与幂函数

相关的模型

f(x)＝ax

n ＋b(a,b,n为常数,a≠０)

[常用结论]

１?“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指

数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数

爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越

来越小．

２?充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象

和性质是解题的关键．

３?易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确

定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题

的合理性．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)某种商品进价为每件１００元,按进价增加

１０％出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则

每件还能获利． ( )

(２)函数y＝２

x 的函数值比y＝x

２ 的函数值大．( )

(３)不存在x０,使a

x０ ＜x

n

０＜logax０． ( )

(４)在(０,＋∞)上,随着x 的增大,y＝a

x (a＞１)

的增长速度会超过并远远大于y＝x

a (a＞０)的

增长速度． ( )

２?(２０２１?全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的

问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数

据L 和小数记录法的数据V 满足L＝５＋lgV．已知

某同学视力的五分记录法的数据为４．９,则其视力

的小数记录法的数据约为(

１０

１０≈１２．５９) ( )

A．１．５ B．１．２

C．０．８ D．０．６

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— ５０ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

３?某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物

总金额不超过８００元时,不享受任何折扣;如果顾

客购物总金额超过８００时,那么超过８００元部分享

受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算

可以享受折扣优惠金额 折扣率

不超过５００元的部分 ５％

超过５００元的部分 １０％

某人在此商场购物总金额为x 元,可以获得的折

扣金额为y 元,则y 关于x 的解析式为y＝

０,０＜x≤８００,

５％(x－８００),８００＜x≤１３００,

１０％(x－１３００)＋２５,x＞１３００．

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

若y＝３０元,

则他购物实际所付金额为 元．

４?某商品在最近３０天内的价格f(t)与时间t(单位:

天)的函数关系是f(t)＝t＋１０(０＜t≤３０,t∈N),

销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋

３５(０＜t≤３０,t∈N),则这种商品的日销售金额的

最大值是 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化

过程

例１ 已知正方形ABCD 的边长为４,动点P 从B

点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动

的路程为x,△ABP 的面积为S,则函数S＝

f(x)的图象是 ( )

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感悟提升 判断函数图象与实际问题变化过程相

吻合的两种方法

(１)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型

时,先建立函数模型,再结合模型选图象;

(２)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等

特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排

除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案．

训练１ (２０２３?泰州调

研)中国茶文化博大精

深,茶水的口感与茶叶类

型和水的温度有关．经验

表明,某种绿茶用８５℃

的水泡制,再等到茶水温度降至６０℃时饮用,

可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感

茶水所需时间,某研究人员每隔１min测量一

次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的

散点图．观察散点图的分布情况,下列哪个函数

模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变

化的规律 ( )

Ay．＝mx

２＋n(x＞０)

By．＝ma

x ＋n(m＞０,０＜a＜１)

Cy．＝ma

x ＋n(m＞０,a＞１)

Dy．＝mlogax＋n(m＞０,a＞０,a≠１)

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— ５１ —

第二章 函 数

考点二 已知函数模型解决实际问题

例２ 我国在２０２０年进行了第七次人口普查登

记,到２０２１年４月以后才能公布结果．人口增长

可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型:y＝

y０?e

rt,其中t表示经过的时间(单位:年),y０

表示t＝０时的人口数(单位:亿),r表示人口的

年平均增长率．以国家统计局发布的２０００年第

五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口

１２４．３亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和

２０１０年第六次人口普查登记(已上报户口)的全

国总人口１３．３３亿人(不包括香港、澳门和台湾

地区)为依据,用马尔萨斯人口增长模型估计我

国２０２０年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)

的全国总人口数为(１３．３３

２＝１７７．６８８９,１２．４３

２＝

１５４５．０４９) ( )

A１．４３．０亿 B１．５２．０亿

C１．４６．２亿 D１．５７．２亿

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感悟提升 １?求解已知函数模型解决实际问题的

关注点．

(１)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;

(２)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定

系数．

２?利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实

际问题,并进行检验．

训练２ 在不考虑空气阻力的条件下,从发射开

始,火箭的最大飞行速度v(单位:千米/秒)满

足公式v＝wln１＋

M

m

æ

è

ç

ö

ø

÷,其中 M 为火箭推进剂

质量,m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量

(单位:吨),w 为火箭发动机喷流相对火箭的速

度(单位:千米/秒)．当 M＝３m 时,v＝５５．４４千

米/秒．在保持w 不变的情况下,若m＝２５吨,假

设要使v超过第一宇宙速度达到８千米/秒,则

M 至少约为(结果精确到１,参考数据:e

２ ≈

７３．８９,ln２≈０６．９３) ( )

A１．３５吨 B１．６０吨 C１．８５吨 D２．１０吨

考点三 构建函数模型解决实际问题

角度１ 构建二次函数模型

例３ 某城市对一种售价为每件１６０元的商品征

收附加税,税率为R％(即每销售１００元征税R

元),若每年销售量为 ３０－

５

２

R

æ

è

ç

ö

ø

÷万件,要使附加

税不少于１２８万元,则R 的取值范围是 ( )

A．[４,８] B．[６,１０]

C．[４％,８％] D．[６％,１０％]

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角度２ 构建分段函数模型

例４ (２０２３?临沂测试)已知某公司生产某产品的

年固定成本为１００万元,每生产１千件需另投

入２７万元,设该公司一年内生产该产品x 千件

(０＜x≤２５)并全部销售完,每千件的销售收入

为R(x)(单位:万元),且

R(x)＝

１０８－

１

３

x

２,０＜x≤１０,

－x＋

１７５

x

＋５７,１０＜x≤２５．

ì

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í

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ïï

ï

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(１)写出年利润f(x)(单位:万元)关于年产量

x(单位:千件)的函数解析式;

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— ５２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

(２)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品

的生产中所获年利润最大? (注:年利润＝年销

售收入－年总成本)

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感悟提升 在应用函数解决实际问题时需注意以

下四个步骤:

(１)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关

系,初步选择函数模型．

(２)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言

转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数

模型．

(３)解模:求解函数模型,得出数学结论．

(４)还原:将数学结论还原为实际意义的问题．

训练３ (１)(２０２３?重庆巴蜀中学月考)某公司的

收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组

成．该公司２０２０年总收入为２００亿元,其中保险业

务收入为１５０亿元,理财业务收入为５０亿元．该

公司经营状态良好、收入稳定,预计每年总收入

比前一年增加２０亿元．因越来越多的人开始注重

理财,公司理财业务发展迅速．要求从２０２１年起

每年通过理财业务的收入是前一年的t倍．若要

使得该公司２０２５年的保险业务收入不高于当年

总收入的６０％,则t的值至少为 ( )

A．

５

２４． B．

５

３６． C．

６

２４． D．

６

３６．

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(２)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若

每团人数在３０或３０以下,飞机票每张收费

９００元;若每团人数多于３０,则给予优惠:每多

１人,机票每张减少１０元,直到达到规定人数

７５为止．每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包

机费１５０００元．

①写出飞机票的价格关于人数的函数;

②每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２６４页

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— ５３ —

第二章 函 数

第１节 导数的概念及运算

考试要求 １? 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．２? 通过函数图象,理解导数的几何意义．

３? 能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?导数的概念

(１)称函数y＝f(x)在x＝x０ 处的瞬时变化率

limΔx→０

f(x０＋Δx)－f(x０)

Δx

为函数y＝f(x)在x＝x０

处的导数,记作f′(x０),即f′(x０)＝ ．

(２)在f(x)的定义域内,f′(x)是一个函数,这个

函数通常称为函数y＝f(x)的导函数,记作

(或 y′,yx′),即f′(x)＝y′＝yx′＝

limΔx→０

f(x＋Δx)－f(x)

Δx

,导函数也简称为导数．

２?导数的几何意义

f′(x０)是曲线y＝f(x)在点(x０,f(x０))处的切

线的斜率,从而在点(x０,f(x０))处的切线方程为

．

３?基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数

f(x)＝C(C 为常数) f′(x)＝

f(x)＝x

α (α∈Q,且α≠０) f′(x)＝

f(x)＝sinx f′(x)＝

f(x)＝cosx f′(x)＝

f(x)＝a

x (a＞０,且a≠１) f′(x)＝

f(x)＝e

x f′(x)＝

f(x)＝logax(a＞０,且a≠１) f′(x)＝

f(x)＝lnx f′(x)＝

４?导数的运算法则

若f′(x),g′(x)存在,则有:

(１)[f(x)±g(x)′]＝ ;

(２)[f(x)g(x)′]＝ ;

(３)

f(x)

g(x)

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

′

＝ (g(x)≠０);

(４)[cf(x)′]＝ ．

５?复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u),

u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ,

即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的

导数的乘积．

[常用结论]

１?

１

f(x)

é

ë

ê

ê

ù

û

ú′ú ＝－

f′(x)

[f(x)]２(f(x)≠０)．

２?曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有

一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．并

注意“在点P 处的切线”,说明点P 为切点,点P

既在曲线上,又在切线上;“过点P 处的切线”,说

明点P 不一定是切点,点P 一定在切线上,但不

一定在曲线上．

３?函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的

瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,

|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,

|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”．

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— ５４ —

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)f′(x０)是函数y＝f(x)在x＝x０ 附近的瞬时

变化率． ( )

(２)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx．

( )

(３)求f′(x０)时,可先求f(x０),再求f′(x０)．( )

(４)曲 线 y＝f(x)在 某 点 处 的 切 线 与 曲 线

y＝f(x)过某点的切线意义是相同的． ( )

２?(多选)下列导数的运算中正确的是 ( )

A．(３

x ′)＝３

xln３

B．(x

２lnx′)＝２xlnx＋x

C．

cosx

x

æ

è

ç

ö

ø

′

÷ ＝

xsinx－cosx

x

２

D．(sinxcosx′)＝cos２x

３?已知函数f(x)满足f(x)＝

f′

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷cosx－sinx,则f′

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷＝ ．

４?曲线y＝

２x－１

x＋２

在点(－１,－３)处的切线方程为

．

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考点突破·题型剖析

考点一 导数的运算

例１ 求下列函数的导数．

(１)y＝x

２sinx;(２)y＝ln １＋x

２ ;

(３)y＝

cosx

e

x ;

(４)y＝xsin２x＋

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷cos２x＋

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷．

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感悟提升 １?求函数的导数要准确地把函数拆分

成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则

求导．

２?抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程

思想求解．

３?复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要

进行换元．

训练１ (１)(多选)(２０２３?济南质检)下列求导

运算正确的是 ( )

A．

１

lnx

æ

è

ç

ö

ø

÷

′＝－

１

xln

２x

B．(x

２e

x ′)＝２x＋e

x

C．cos２x－

π

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

′＝－sin２x－

π

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

D．x－

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

′＝１＋

１

x

２

(２)(２０２３?河北省部分学校模拟)已知函数

f(x)＝e

２x ＋f′(１)x

２,则f′(１)＝ ( )

A．－２e

２ B２．e

２ Ce．

２ D．－e

２

(３)已知函数f(x)＝sinx＋４x,则

limΔx→０

f(π＋２Δx)－f(π)

Δx

＝ ．

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— ５５ —

第三章 导数及其应用

考点二 导数的几何意义

角度１ 求切线方程

例２ (１)(２０２３?临沂一模)函数f(x)＝xln(－x),

则曲线y＝f(x)在x＝－e处的切线方程

为 ．

(２)(２０２２?新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标

原点的两条切线的方程为 , ．

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角度２ 求切点坐标或参数

例３ (１)(２０２３?开封一模)若直线y＝１与曲线

f(x)＝ae

x －x

２ 相切,则a＝ ( )

A２．e Be． C．

２

e

D．

１

e

(２)在平面直角坐标系xOy中,点A 在曲线y＝

lnx 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,

－１),则点A 的坐标是 ．

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角度３ 导数与函数图象问题

例４ (１)(多选)(２０２３?桂林模考)设f′(x)是函数

f(x)的导函数,若f′(x)＞０,且对∀x１,x２∈R,

且x１≠x２,总有

f(x１)＋f(x２)

２

＜f

x１＋x２

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,

则下列选项正确的是 ( )

Af．(π)＜f(e)＜f(２)

Bf．′(π)＜f′(e)＜f′(２)

Cf．′(１)＜f(２)－f(１)＜f′(２)

Df．′(２)＜f(２)－f(１)＜f′(１)

(２)已知y＝f(x)是可导

函数,如图,直线y＝kx＋２

是曲线y＝f(x)在x＝３处

的切线,令g(x)＝xf(x),

g′(x)是g(x)的导函数,则g′(３)＝ ．

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感悟提升 求曲线的切线方程要分清“在点处”与

“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不

知道,要设出切点坐标,根据斜率相等,切点在切

线,切点在曲线建立方程(组)求解,求出切点坐标

是解题的关键．

训练 ２ (１)已知函数y＝

f(x)的图象是下列四个图象

之一,且其导函数y＝f′(x)的

图象如图所示,则该函数的图象是 ( )

(２)(２０２３?大连调研)已知曲线y＝x＋

１

k

lnx

在点(１,１)处的切线与直线x＋２y＝０垂直,则

k＝ ．

(３)已知函数f(x)＝xlnx,若直线l过点(０,

－１),且与曲线y＝f(x)相切,则直线l的方程

为 ．

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— ５６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点三 导数几何意义的应用

例５ (１)(２０２１?新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作

曲线y＝e

x 的两条切线,则 ( )

Ae．

b ＜a Be．

a ＜b

C０．＜a＜e

b D０．＜b＜e

a

(２)(２０２２?新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)e

x 有

两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是

．

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感悟提升 处理与切线有关的参数问题,通常利用

曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)

并解出参数:(１)切点处的导数是切线的斜率;(２)切

点在切线上,故满足切线方程;(３)切点在曲线上,故

满足曲线方程．

训练３ (１)函数f(x)＝lnx＋ax 的图象存在

与直线２x－y＝０平行的切线,则实数a 的取

值范围是 ( )

A．(－∞,２] B．(－∞,２)

C．(２,＋∞) D．(０,＋∞)

(２)(２０２３?孝感联考)若过点(a,b)可以作曲线

y＝lnx 的两条切线,则 ( )

Aa．＜lnb Bb．＜lna

Cl．nb＜a Dl．na＜b

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公切线问题

(１)求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线

与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一

般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与

直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与

抛物线相切可用判别式法．

(２)公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数

求解问题．

一、共切点的公切线问题

例１ (２０２３?金华模拟)已知函数f(x)＝ax

２ 与

g(x)＝lnx 的图象在公共点处有共同的切线,

则实数a的值为 ．

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二、不同切点的公切线问题

例２ 已知曲线y＝x＋lnx在点(１,１)处的切线与曲

线y＝ax

２＋(a＋２)x＋１相切,则a＝ ．

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三、公切线条数的判断

例３ 曲线y＝－

１

x

(x＜０)与曲线y＝lnx 的公切

线的条数为 条．

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训练 (１)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋２

的切线,也是曲线y＝ln(x＋１)的切线,则

b＝ ．

(２)若曲线C１:y＝ax

２(a＞０)与曲线C２:y＝e

x

存在公共切线,则a的取值范围为 ．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２６７页

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— ５７ —

第三章 导数及其应用

第２节 导数与函数的单调性

考试要求 １? 借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．２? 能利用导数研究函数的单调性,会求函数的

单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?函数的单调性与导数的关系

条件 恒有 结论

函 数 y ＝

f(x)在区间

(a,b)上 可

导

f′(x)＞０ f(x)在(a,b)上

f′(x)＜０ f(x)在(a,b)上

f′(x)＝０ f(x)在(a,b)上是

２?利用导数判断函数单调性的步骤

第１步,确定函数的 ;

第２步,求出导函数f′(x)的 ;

第３步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为

若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,

由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

[常用结论]

１?若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,

f′(x)≥０恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递

减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤０恒成立．

２?若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x

∈(a,b)时,f′(x)＞０有解;若函数f(x)在(a,b)

上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f′(x)＜０

有解．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有

f′(x)＞０． ( )

(２)在(a,b)内f′(x)≤０且f′(x)＝０的根为有

限个,则f(x)在(a,b)内单调递减． ( )

(３)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞０,则

f(x)在定义域上一定单调递增． ( )

(４)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．( )

２?(多选)已知定义在 R上的

函数f(x),其导函数f′(x)

的大致图象如图所示,则下

列叙述正确的是 ( )

A．f(b)＞f(c)＞f(d)

B．f(b)＞f(a)＞f(e)

C．f(c)＞f(b)＞f(a)

D．f(c)＞f(d)＞f(e)

３?函数f(x)＝x

３ ＋２x

２ －４x 的 单 调 递 增 区 间

是 ．

４?若y＝x＋

a

２

x

(a＞０)在[２,＋∞)上单调递增,则a

的取值范围是 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 不含参函数的单调性

例１ (１)下列函数在(０,＋∞)上单调递增的是 ( )

Af．(x)＝sin２x Bf．(x)＝xe

x

Cf．(x)＝x

３－x Df．(x)＝－x＋lnx

(２)若函数f(x)＝

lnx＋１

e

x ,则函数f(x)的单调

递减区间为 ．

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感悟提升 确定不含参的函数的单调性,按照判断

函数单调性的步骤即可,但应注意一是不能漏掉求

函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,

要用“逗号”或“和”隔开．

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— ５８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

训练１ (１)函数f(x)＝x

２－２lnx 的单调递减

区间是 ( )

A．(０,１) B．(１,＋∞)

C．(－∞,１) D．(－１,１)

(２)已知定义在区间(０,π)上的函数f(x)＝x＋

２cosx,则f(x)的单调递增区间为 ．

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考点二 含参函数的单调性

例２ 已知函数f(x)＝

１

２

ax

２－(a＋１)x＋lnx,

a＞０,试讨论函数y＝f(x)的单调性．

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感悟提升 若导函数为二次函数式,首先看能否因

式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;

若不能因式分解,则需讨论判别式Δ 的正负,二次

项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内．

训练２ (２０２１?全国乙卷节选)讨论函数f(x)

＝x

３－x

２＋ax＋１的单调性．

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— ５９ —

第三章 导数及其应用

考点三 函数单调性的应用

角度１ 由单调性求参数

例３ 已知g(x)＝２x＋lnx－

a

x

．

(１)若函数g(x)在区间[１,２]内单调递增,求实

数a的取值范围;

(２)若g(x)在区间[１,２]上存在单调递增区间,

求实数a的取值范围．

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角度２ 比较大小

例４ (１)(２０２３?湖州质检)已知函数f(x)＝３x＋

２cosx．若a＝f(３

２),b＝f(２),c＝f(log２７),则

a,b,c的大小关系是 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜b＜a

Cb．＜a＜c Db．＜c＜a

(２)已知函数f(x)＝xsinx,x∈R,则f

π

５

æ

è

ç

ö

ø

÷,

f(１),f －

π

３

æ

è

ç

ö

ø

÷的大小关系为 ．

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角度３ 解不等式

例５ 已知函数f(x)＝e

x －e

－x －２x＋１,则不等

式f(２x－３)＞１的解集为 ．

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感悟提升 １?根据函数单调性求参数的方法:

(１)利用集合间的包含关系处理:y＝f(x)在(a,b)

上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．

(２)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈

(a,b)都有f′(x)≥０(f′(x)≤０),且在(a,b)内的任

一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子

中的等号不能省略,否则会漏解．

(３)若函数y＝f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化

为f′(x)＝０在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数

是否异号)．

２?利用导数比较大小,其关键是判断已知(或构造

后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小．

３?与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关

系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调

性,从而解不等式．

训练３ (１)已知函数f(x)＝lnx－

x

e

x,设a＝

f

３

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,b＝f(２),c＝f

７

３

æ

è

ç

ö

ø

÷,则 ( )

Aa．＞b＞c Bb．＞a＞c

Cc．＞b＞a Dc．＞a＞b

(２)已知函数g(x)＝２x＋lnx－

a

x

在区间[１,２]

上不单调,则实数a的取值范围是 ．

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— ６０ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

函数中的构造问题

近三年的高考数学试题都出现了比较大小问题,且

是作为小题中的压轴题出现的,此类问题,通常需

要构造函数,利用导数判断其单调性,从而使问题

得以解决．

一、利用f(x)与e

x 构造

(１)出现f′(x)－f(x)的形式,构造函数F(x)＝

f(x)

e

x ;

(２)出现f′(x)＋f(x)的形式,构造函数F(x)＝

f(x)e

x ．

例１f(x)为定义在 R上的可导函数,且f′(x)

＞f(x),对任意正实数a,下列式子一定成立

的是 ( )

Af．(a)＜e

af(０) Bf．(a)＞e

af(０)

Cf．(a)＜

f(０)

e

a Df．(a)＞

f(０)

e

a

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二、利用f(x)与x

n 构造

(１)出现nf(x)＋xf′(x)形式,构造函数F(x)＝

x

nf(x);

(２)出现xf′(x)－nf(x)形式,构造函数F(x)＝

f(x)

x

n ．

例２ 已知偶函数f(x)的导函数为f′(x),x≠０,

且满 足 f(－１)＝０,当 x＞０ 时,２f(x)＞

xf′(x),则使得f(x)＞０成立的x 的取值范围

是 ．

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三、利用f(x)与sinx、cosx 构造可导型函数

(１)若F(x)＝f(x)sinx,则F′(x)＝f′(x)sinx＋

f(x)cosx;

(２)若F(x)＝

f(x)

sinx

,

则F′(x)＝

f′(x)sinx－f(x)cosx

sin

２x

;

(３)若F(x)＝f(x)cosx,

则F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx;

(４)若F(x)＝

f(x)

cosx

,

则F′(x)＝

f′(x)cosx＋f(x)sinx

cos

２x

．

例３ (多选)已知定义在 ０,

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ 上的函数f(x),

f′(x)是f(x)的导函数,且恒有f′(x)sinx－

f(x)cosx＜０成立,则 ( )

Af．

π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷＞ ２f

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷ B．２f

π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷＞f

π

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

C．３f

π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷＞f

π

３

æ

è

ç

ö

ø

÷ D．２f

π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷＞f

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

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训练 (１)已知定义在R上的函数f(x)的导函

数为f′(x),对任意x∈R,满足f(x)＋f′(x)＜

０,则下列结论一定正确的是 ( )

Ae．

２f(２)＞e

３f(３) Be．

２f(２)＜e

３f(３)

Ce．

３f(２)＞e

２f(３) De．

３f(２)＜e

２f(３)

(２)(２０２３?绍兴调研)已知定义在 R上的函数

f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈(０,π),有

f′(x)sinx＞f(x)cosx,设a＝２f

π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷,b＝

２f

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷,c＝f

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,则a,b,c 的 大 小 关 系

为 ．

(３)(２０２３?湘豫名校联考)已知定义在 R上的

函数f(x)的导函数为f′(x),当x＞０时,

f′(x)－

f(x)

x

＞０,若a＝２f(１),b＝f(２),c＝

４f

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,则a,b,c的大小关系是 ．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２６９页

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— ６１ —

第三章 导数及其应用

第３节 导数与函数的极值、最值

考试要求 １? 借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．２? 会用导数求函数的极大值、极小值．

３?会求闭区间上函数的最大值、最小值．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?函数的极值

一般地,设函数f(x)在x０ 处可导,且f′(x０)＝０．

(１)如果对于x０ 左侧附近的任意x,都有 ;

对于x０ 右侧附近的任意x,都有 ,那么此

时x０ 是f(x)的极大值点．

(２)如果对于x０ 左侧附近的任意x,都有 ;

对于x０ 右侧附近的任意x,都有 ,那么此

时x０ 是f(x)的极小值点．

(３)如果f′(x)在x０ 的左侧附近与右侧附近均为

正号(或均为负号),则x０一定不是y＝f(x)的

极值点．

(４)极小值点、极大值点统称为 ,极小值

和极大值统称为 ．

２?函数的最大(小)值

(１)函数f(x)在[a,b]上的最值

如果函数y＝f(x)的定义域为[a,b]且存在最

值,函数y＝f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最

值点要么是区间端点a或b,要么是极值点．

(２)求y＝f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的

步骤:

①求函数y＝f(x)在区间(a,b)上的 ;

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值

比较,其中最大的一个是最大值,

最小的一个是最小值．

[常用结论]

１?求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关

系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极

值就是最值．

２?函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概

念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)对于可导函数f(x),若f′(x０)＝０,则x０ 为

极值点． ( )

(２)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不

一定是极小值． ( )

(３)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值．( )

(４)函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值．( )

２?如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的

极小值点的个数为 ( )

A．１ B．２ C．３ D．４

３?已知f(x)＝x

３－１２x＋１,x∈ －

１

３

,１

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú ,则f(x)

的最大值为 ,最小值为 ．

４?函数f(x)＝x

３－ax

２＋２x－１有极值,则实数a

的取值范围是 ．

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— ６２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点突破·题型剖析

考点一 利用导数研究函数的极值

角度１ 根据导函数图象判断极值

例１ (多选)(２０２２?重庆检测)函数y＝f(x)的导

函数y＝f′(x)的图象如图所示,则 ( )

A．－３是函数y＝f(x)的极值点

B．－１是函数y＝f(x)的极小值点

Cy．＝f(x)在区间(－３,１)上单调递增

D．－２是函数y＝f(x)的极大值点

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感悟提升 由图象判断函数y＝f(x)的极值,要

抓住两点:(１)由y＝f′(x)的图象与x 轴的交点,

可得函数y＝f(x)的可能极值点;(２)由导函数

y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负,

从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得

极值点．

角度２ 求函数的极值

例２ 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(１)当a＝

１

２

时,求f(x)的极值;

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(２)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

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感悟提升 运用导数求函数f(x)极值的一般步

骤:(１)确定函数f(x)的定义域;(２)求导数f′(x);

(３)解方程f′(x)＝０,求出函数在定义域内的所有

根;(４)列表检验f′(x)在f′(x)＝０的根x０ 左右两

侧值的符号;(５)求出极值．

角度３ 由函数的极值求参数

例３ (１)(２０２３?绵阳质检)若x＝２是函数f(x)

＝x

２＋２(a－２)x－４alnx 的极大值点,则实数

a的取值范围是 ( )

A．(－∞,－２) B．(－２,＋∞)

C．(２,＋∞) D．(－２,２)

(２)(２０２３?南京模拟)已知函数f(x)＝x(lnx

－ax)在(０,＋∞)上有两个极值,则实数a的取

值范围为 ．

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感悟提升 (１)已知函数极值确定函数解析式中的

参数时,要根据极值点的导数为０和极值这两个条

件列方程组,利用待定系数法求解,求解后要检验．

(２)判断极值点的个数,转化为导数的根的个数．

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— ６３ —

第三章 导数及其应用

训练１ (１)设函数f(x)在 R上

可导,其导函数为f′(x),且函

数y＝(１－x)f′(x)的图象如图

所示,则下列结论中一定成立的

是 ( )

A．函数f(x)有极大值f(２)和极小值f(１)

B．函数f(x)有极大值f(－２)和极小值f(１)

C．函数f(x)有极大值f(２)和极小值f(－２)

D．函数f(x)有极大值f(－２)和极小值f(２)

(２)(２０２３?长沙模拟)若x＝１是函数f(x)＝

(x

２＋ax－１)e

x－１的极值点,则f(x)的极大值

为 ．

(３)设函数g(x)＝lnx－mx＋

m

x

,若g(x)存在

两个 极 值 点 x１,x２,则 实 数 m 的 取 值 范围

为 ．

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考点二 利用导数研究函数的最值

角度１ 求已知函数的最值

例４ 已知函数f(x)＝xlnx－a(x－１),求函数

f(x)在区间[１,e]上的最小值．

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角度２ 由函数的最值求参数

例５ (２０２３?苏州模拟)函数f(x)＝－

１

３

x

３＋x

在(a,１０－a

２)上有最大值,则实数a 的取值范

围是 ．

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感悟提升 (１)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最

值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数

值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数

的最值．

(２)若所给函数f(x)含参数,则需通过对参数分类讨

论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值．

训练２ 已知函数f(x)＝(４x

２＋４ax＋a

２)x,

其中a＜０．若f(x)在区间[１,４]上的最小值为

８,求a的值．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２７１页

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— ６４ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第４节 导数中的综合问题

第一课时 不等式恒(能)成立问题

题型一 分离参数法求参数范围

例１ (２０２３?成都一诊节选)已知函数f(x)＝

sinx－２ax,a∈R,若关于x 的不等式f(x)≤

cosx－１在区间

π

２

,π

æ

è

ç

ö

ø

÷ 上恒成立,求a 的取值

范围．

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感悟提升 (１)分离变量,构造函数,直接把问题

转化为函数的最值问题,这要比分类讨论法简便

非常多．

(２)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max．

训练１ (２０２０?全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝

e

x ＋ax

２－x．当x≥０时,f(x)≥

１

２

x

３＋１恒成

立,求a的取值范围．

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— ６５ —

第三章 导数及其应用

题型二 分类讨论法求参数范围

例２ 已知函数f(x)＝lnx－a(x－１),a∈R,x∈

[１,＋∞),且f(x)≤

lnx

x＋１

恒成立,求a 的取值

范围．

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感悟提升 根据不等式恒成立求参数范围的关键

是将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是

对参数分类讨论,在参数的每一段上求函数的最

值,并判断是否满足题意,若不满足题意,只需找一

个值或一段内的函数值不满足题意即可．

训练２ 已知函数f(x)＝e

x－１－ax＋lnx(a∈R)．

若不等式f(x)≥lnx－a＋１对一切x∈

[１,＋∞)恒成立,求实数a的取值范围．

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— ６６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

题型三 双变量的恒(能)成立

例３ 设f(x)＝

a

x

＋xlnx,g(x)＝x

３－x

２－３．

(１)如果存在x１,x２ ∈[０,２],使得g(x１)－

g(x２)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数M;

(２)如果对于任意的s,t∈

１

２

,２

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú ,都有f(s)≥

g(t)成立,求实数a的取值范围．

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感悟提升 双变量的恒(能)成立问题,常见的转

化有:

(１)∀x１∈M,∃x２∈N,f(x１)＞g(x２)⇔

f(x)min＞g(x)min．

(２)∀x１∈M,∀x２∈N,f(x１)＞g(x２)⇔

f(x)min＞g(x)max．

(３)∃x１∈M,∃x２∈N,f(x１)＞g(x２)⇔

f(x)max＞g(x)min．

(４)∃x１∈M,∀x２∈N,f(x１)＞g(x２)⇔

f(x)max＞g(x)max．

训练３ 已知函数f(x)＝x－(a＋１)lnx－

a

x

(a∈R),g(x)＝

１

２

x

２＋e

x －xe

x ．

(１)当x∈[１,e]时,求f(x)的最小值;

(２)当a＜１时,若存在x１∈[e,e

２],使得对任意

的x２∈[－２,０],f(x１)＜g(x２)恒成立,求a 的

取值范围．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２７３页

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— ６７ —

第三章 导数及其应用

第二课时 利用导数研究函数的零点

题型一 数形结合法研究函数零点

例１ 设函数f(x)＝lnx＋

m

x

,m∈R,讨论函数

g(x)＝f′(x)－

x

３

零点的个数．

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感悟提升 含参数的函数零点个数,可转化为方程

解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用

x 表示参数的函数,作出该函数的图象,根据图象

特征求参数的范围．

训练１ (２０２２?甘肃九校联考节选)已知函数

f(x)＝x－ae

x ,a∈R,讨论函数f(x)的零点

个数．

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题型二 利用函数性质研究函数零点

例２ (１２分)(２０２２?全国乙卷)已知函数f(x)＝

ln(１＋x)＋axe

－x ．

(１)当a＝１时,求曲线y＝f(x)在点(０,f(０))

处的切线方程;

(２)若f(x)在区间(－１,０),(０,＋∞)各恰有一

个零点,求a的取值范围．

[思路分析] (１)先求出切点,再求导可得切线

的斜率,从而求出切线方程．

(２)对参数a 分类讨论,根据a 的范围确定

f′(x)在区间(－１,０),(０,＋∞)上的符号,进而

得到f(x)的单调性,再结合f(x)的符号,利用

零点的存在定理得出结论．

[规范解答] 解 (１)当a＝１时,

f(x)＝ln(１＋x)＋x?e

－x ,

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∴f′(x)＝

１

x＋１

＋e

－x ＋x?e

－x?(－１)① ,

→ 求导数 (１分)

∴f′(０)＝１＋１＝２．

∵f(０)＝０,

∴所求切线方程为y－０＝２?(x－０),

即y＝２x． (２分)

(２)∵f(x)＝ln(x＋１)＋

ax

e

x ,

①当a≥０时③ ,若x＞０,

则ln(x＋１)＞０,

ax

e

x ≥０,

??????

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∴??f?(x?)＞?０?,?

→ 利用函数值大于０判定f(x)在(０,＋∞)上无零点

∴f(x)在(０,＋∞)上无零点,不符合题意． (３分)

②当a＜０时③ ,f′(x)＝

e

x ＋a(１－x

２)

(x＋１)e

x

①

．

令g(x)＝e

x ＋a(１－x

２),则g′(x)＝e

x －２ax,

g′(x)在(－１,＋∞)上单调递增,

g′(－１)＝e

－１＋２a,g′(０)＝１

② , (４分)

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— ６８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

(a)???????

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若??g′?(－?１?)≥?０?,?

→ 讨论g′(－１)的符号,确定f(x)的单调性

则－

１

２e

≤a＜０,

∴－

１

２e

≤a＜０时,g′(x)＞０在(－１,＋∞)上恒成立,

∴g(x)在(－１,＋∞)上单调递增,

∵g(－１)＝e

－１＞０,

∴g(x)＞０在(－１,＋∞)上恒成立,

∴f′(x)＞０在(－１,＋∞)上恒成立,

∴f(x)在(－１,＋∞)上单调递增,

??????

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∵?

?f?(?０)?＝?０

②?,?

?

→根据f(x)的单调性与函数值的符号判定零点个数

∴f(x)在(－１,０),(０,＋∞)上均无零点,不符合

题意． (６分)

(b)若g′(－１)＜０,则a＜－

１

２e

,

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∴a＜－

１

２e

时,存在x０∈(－１,０),使得g′(x０)＝０．

→

借助于隐零点x０,得g(x)的单调性,则g(x)在

(－１,x０)上单调递减,在(x０,＋∞)上单调递增

g(－１)＝e

－１＞０,g(０)＝１＋a,g(１)＝e＞０． (７分)

(ⅰ)当g(０)≥０,即－１≤a＜－

１

２e

时,g(x)＞０在(０,

＋∞)上恒成立,

∴f′(x)＞０在(０,＋∞)上恒成立,

∴f(x)在(０,＋∞)上单调递增．

∵f(０)＝０,∴当x∈(０,＋∞)时,f(x)＞０,

∴f(x)在(０,＋∞)上无零点,不符合题意． (９分)

(ⅱ)当g(０)＜０,即a＜－１时,

存在x１∈(－１,x０),x２∈(０,１),

使得g(x１)＝g(x２)＝０,

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?∴?f(x)在(－１,x１),(x２,＋∞)上单调递增,

在(x１,x２)上单调递减．

→ 借助于隐零点x１,x２,说明f(x)的单调性

∵f(０)＝０,∴f(x１)＞f(０)＝０

② ,

当x→－１时,f(x)＜０

② ．

∴f(x)在(－１,x１)上存在一个零点,

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?即?f(x)在(－１,０)上存在一个零点,

∵f(０)＝０,当x→＋∞时,f(x)＞０

② ,

∴f(x)在(x２,＋∞)上存在一个零点,

即f(x)在(０,＋∞)上存在一个零点．

→

利用零点存在定理,判定f(x)在(－１,０),

(０,＋∞)上各存在一个零点

综上,a的取值范围是(－∞,－１)． (１２分)

[满分规则]

❶得步骤分:

①处的求函数的导数是解题步骤之一,也是最易得

分之处,不可漏掉．

❷得关键分:

判断函数在某区间上零点的个数,关键就是判断

函数的单调性及区间端点的符号,故②处为得分

的关键．

❸得讨论分:

解含参数的函数问题,要仔细观察参数的符号与范

围,对其进行讨论以分解问题,如③处．

训练２ (２０２２?全国乙卷节选)已知函数f(x)

＝ax－

１

x

－(a＋１)lnx,若f(x)恰有一个零

点,求a的取值范围．

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— ６９ —

第三章 导数及其应用

题型三 构造函数法研究函数零点

例３ (２０２１?全国甲卷节选)已知a＞０且a≠１,函

数f(x)＝

x

a

a

x (x＞０)．若曲线y＝f(x)与直线

y＝１有且仅有两个交点,求a的取值范围．

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感悟提升 涉及函数的零点(方程的根)问题,主

要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据

函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及

区间端点的函数值与０的关系,从而求得参数的

取值范围．

训练３ (２０２３?长沙一模节选)已知函数f(x)

＝xlnx－ax

２(a∈R),若f(x)在定义域内有

２个零点,求a的取值范围．

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隐零点问题

对于隐零点问题,通常应先设出隐零点,在判断函

数的零点、不等式恒成立中都有应用．

例 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(１)讨论函数f(x)的单调性;

(２)证明不等式e

x－２－ax＞f(x)恒成立．

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训练 已知函数f(x)＝２sinx－xcosx－x,

f′(x)为f(x)的导数．

(１)证明:f′(x)在区间(０,π)存在唯一零点;

(２)若x∈[０,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２７５页

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— ７０ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第三课时 构造函数证明不等式

题型一 移项构造差函数证明不等式

例１ 当x≥１时,证明:１－

lnx

x

－

e

e

x≥

１

x

－x．

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感悟提升 待证不等式的两边含有同一个变量时,

一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复

杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最

值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证．

训练１ 证明:当x＞１时,

１

２

x

２＋lnx＜

２

３

x

３．

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题型二 分拆函数法证明不等式

例２ (２０２３?青岛质检改编)已知函数f(x)＝

lnx＋x．证明:xf(x)＜e

x ．

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感悟提升 １? 若直接求导比较复杂或无从下手

时,或两次求导都不能判断导数的正负时,可将待

证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递

的中间量,达到证明的目标．含lnx 与e

x 的混合式

不能直接构造函数,要将指数与对数分离,分别计

算它们的最值,借助最值进行证明．

２?等价变形的目的是求导后简单地找到极值点,一

般地,e

x 与lnx 要分离,常构造x

n 与lnx,x

n 与e

x

的积、商形式,便于求导后找到极值点．

训练２ (２０２３?武汉模拟改编)已知函数f(x)＝

ex

２－xlnx．求证:当x＞０时,f(x)＜xe

x ＋

１

e

．

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— ７１ —

第三章 导数及其应用

题型三 放缩后构造函数证明不等式

例３ 已知x∈(０,１),求证:x

２－

１

x

＜

lnx

e

x ．

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感悟提升 １? 导数方法证明不等式中,最常见的

是e

x 和lnx 与其他代数式结合的问题,对于这类

问题,可以考虑先对e

x 和lnx 进行放缩,使问题简

化,简化后再构造函数进行证明．

２?常见的放缩公式如下:(１)e

x ≥１＋x,当且仅当

x＝０时取等号．(２)lnx≤x－１,当且仅当x＝１时

取等号．若已知参数范围,则利用参数的范围进行放

缩,达到消参的目的．也可以利用局部函数的有界性

进行放缩,然后再构造函数进行证明．

训练３ (２０２３?杭州调研改编)已知函数f(x)

＝e

x ,证明:当x＞－２时,f(x)＞ln(x＋２)．

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双变量问题

双变量问题运算量大,综合性强,解决起来需要很

强的技巧性,解题总的思想方法是化双变量为单变

量,然后利用函数的单调性、最值等解决．

例 已知函数f(x)＝xe

－x ,如果x１≠x２,且f(x１)

＝f(x２),求证:x１＋x２＞２．

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训练 已知函数f(x)＝(x－２)e

x ＋a(x－１)２

有两个零点,a＞０,设x１,x２ 是f(x)的两个零

点,证明:x１＋x２＜２．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２７７页

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— ７２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第１节 任意角和弧度制及三角函数的概念

考试要求 １? 了解任意角的概念和弧度制的概念．２? 能进行弧度与角度的互化．３? 理解任意角的三角函数

(正弦、余弦、正切)的定义．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?角的概念的推广

(１)定义:一条射线绕其端点旋转到另一条射线

所形成的图形称为 ,这两条射线分别称

为角的始边和 ．

(２)分类

按旋转方向不同分为 、 、 ．

{按终边位置不同分为 和轴线角．

(３)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连

同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k?

３６０°,k∈Z}．

２?弧度制的定义和公式

(１)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心

角为１弧度的角,记作１rad．

(２)公式

角α的弧度数公式 |α|＝

l

r

(弧长用l表示)

角度与弧度的换算 １°＝

π

１８０

rad;１rad＝

弧长公式 弧长l＝

扇形面积公式 S＝ ＝

３?任意角的三角函数

对于任意角α来说,设P(x,y)是α终边上异于原

点 的 任 意 一 点,r ＝ x

２＋y

２ ,则 sinα ＝

,cosα＝ ,tanα＝

y

x

(x≠０)．

[常用结论]

１?三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正

弦,三正切,四余弦．

２?角度制与弧度制可利用１８０°＝πrad进行互化,在

同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用．

３?象限角

４?轴线角

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— ７３ —

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)小于９０°的角是锐角． ( )

(２)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角．

( )

(３)角α 的三角函数值与其终边上点P 的位置

无关． ( )

(４)若α为第一象限角,则sinα＋cosα＞１．( )

２?已知α是第一象限角,那么

α

２

是 ( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一或二象限角 D．第一或三象限角

３?已知角θ 的终边经过点P(－１２,５),则sinθ＋

cosθ＝ ．

４?已知扇形的圆心角为３０°,其弧长为２π,则此扇形

的面积为 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 象限角及终边相同的角

例１ (１)(多选)下列命题正确的是 ( )

A．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|

α＝２kπ,k∈Z}

B．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝９０°＋

kπ,k∈Z}

C．第三象限角的集合为

α π＋２kπ≤α≤

３π

２ { ＋２kπ,k∈Z}

D．在－７２０°~０°范围内所有与４５°角终边相同的

角为－６７５°和－３１５°

(２)已知角θ在第二象限,且 sin

θ

２

＝－sin

θ

２

,

则角

θ

２

在 ( )

A．第一象限或第三象限

B．第二象限或第四象限

C．第三象限

D．第四象限

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感悟提升 １?利用终边相同的角的集合可以求适

合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相

同的所有角的集合,然后通过集合中的参数k(k∈Z)

赋值来求得所需的角．

２?确定kα,

α

k

(k∈N

∗ )的终边位置的方法

先写出kα或

α

k

的范围,然后根据k 的可能取值确

定kα或

α

k

的终边所在的位置．

训练１ (１)集合{αkπ＋

π

４

≤α≤kπ＋

π

２

,k∈Z}

中的角所表示的范围(阴影部分)是 ( )

(２)终边在直线y＝ ３x 上,且在[－２π,２π)内的

角α的集合为 ．

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— ７４ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点二 弧度制及其应用

例２ 已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l．

(１)若α＝

π

３

,R＝１０cm,求扇形的弧长l．

(２)若扇形的周长是２０cm,当扇形的圆心角α

为多少弧度时,这个扇形的面积最大?

(３)若α＝

π

３

,R＝２cm,求扇形的弧所在的弓形

的面积．

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感悟提升 应用弧度制解决问题时应注意:

(１)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角

的单位必须是弧度．

(２)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函

数的最值问题．

(３)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地

利用圆心角所在的三角形．

训练２ (１)(多选)(２０２２?青岛质检)已知扇形的周

长是６,面积是２,下列选项可能正确的有 ( )

A．圆的半径为２

B．圆的半径为１

C．圆心角的弧度数是１

D．圆心角的弧度数是２

(２)(２０２３?广州检测)数学中处

处存在着美,机械学家莱洛发

现的莱洛三角形就给人以对称

的美感．莱洛三角形的画法:先

画等边三角形ABC,再分别以

点A,B,C 为圆心,线段AB 长为半径画圆弧,

由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角

形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为２π,则其

面积是 ( )

A．

２π

３

＋ ３ B２．π＋２３ C．

２π

３

－ ３ D２．π－２３

考点三 三角函数的定义及应用

角度１ 三角函数的定义

例３ (１)(２０２３?石家庄质检)已知角α的终边上一

点P 的坐标为(－２,１),则cosα的值为 ( )

A．

５

５

B．－

５

５

C．

２５

５

D．－

２５

５

(２)(２０２３?长沙质检)若角α的终边过点P(８m,

－３),且tanα＝

３

４

,则m 的值为 ( )

A．－

１

２

B．

１

２

C．－

３

２

D．

３

２

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角度２ 三角函数值的符号

例４ (多选)(２０２２?重庆八中月考)已知角α的顶

点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终

边经过点P(m,１－m)．若m＞０,则下列各式的

符号无法确定的是 ( )

As．inα Bc．osα

Cs．inα－cosα Ds．inα＋cosα

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感悟提升 １?三角函数定义的应用

(１)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边

上一个点的坐标,及这点到原点的距离,确定这个

角的三角函数值．

(２)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函

数的定义列出含参数的方程,求参数的值．

２?要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函

数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在

各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在

象限,那就要进行分类讨论求解．

训练３ (１)(２０２３?无锡调考)已知角α的顶点为坐

标原点,始边为x 轴的非负半轴,若点P(sinα,

tanα)在第四象限,则角α的终边在 ( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(２)sin２?cos３?tan４的值 ( )

A．小于０ B．大于０ C．等于０ D．不存在

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２７９页

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— ７５ —

第四章 三角函数、解三角形

第２节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

考试要求 １? 理解同角三角函数的基本关系式:sin

２x＋cos

２x＝１,

sinx

cosx

＝tanx．２? 能利用单位圆中的对称性推导

出

π

２

±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?同角三角函数的基本关系

(１)平方关系: ．

(２)商数关系:

sinα

cosα

＝tanαα≠

π

２

＋kπ,k∈Z

æ

è

ç

ö

ø

÷．

２?三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六

角

２kπ＋α

(k∈Z)

π＋α －α π－α

π

２

－α

π

２

＋α

正弦 sinα

余弦 cosα

正切 tanα

口诀 奇变偶不变,符号看象限

[常用结论]

１?同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)２＝１±２sinαcosα;sinα＝tanα?

cosα．

２?诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指

π

２

的奇数倍和偶 数 倍,变 与 不 变 指 函 数 名 称 的

变化．

３?在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要

特别注意判断符号．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)若α,β为锐角,则sin

２α＋cos

２β＝１． ( )

(２)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( )

(３)若α∈R,则tanα＝

sinα

cosα

恒成立． ( )

(４)若sin(kπ－α)＝

１

３

(k∈Z),则sinα＝

１

３

．( )

２?已知sin

７π

２

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷＝

３

５

,那么cosα＝ ( )

A．－

４

５

B．－

３

５

C．

３

５

D．

４

５

３?已知α是第三象限角,sinα＝－

３

５

,则tanα＝

( )

A．－

３

４

B．

３

４

C．－

４

３

D．

４

３

４?化简

cosα－

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

sin

５π

２

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷

?sin(α－π)?cos(２π－α)的结果

为 ．

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— ７６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点突破·题型剖析

考点一 同角三角函数基本关系式的应用

例１ (１)已知cosα＝－

５

１３

,则１３sinα＋５tanα

＝ ．

(２)已知

tanα

tanα－１

＝－１,则

sinα－３cosα

sinα＋cosα

＝

;sin

２α＋sinαcosα＋２＝ ．

(３)(多选)已知θ∈(０,π),sinθ＋cosθ＝

１

５

,则

下列结论正确的是 ( )

As．inθ＝

４

５

Bc．osθ＝－

３

５

Ct．anθ＝－

３

４

Ds．inθ－cosθ＝

７

５

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感悟提升 同角三角函数关系式的应用方法

(１)利用sin

２α＋cos

２α＝１可实现角α 的正弦、余弦

的互化,利用

sinα

cosα

＝tanα可实现角α的弦切互化．

(２)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另

外两个三角函数值,当利用“平方关系”公式求平方

根时,会出现两解,需根据角所在的象限判断角的

符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论．

(３)当分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次

式时,往往转化为关于tanα的式子求解．

训练１ (１)(２０２３?青岛调研)若sinθ＋cosθ＝

２３

３

,则sin

４θ＋cos

４θ＝ ( )

A．

５

６

B．

１７

１８

C．

８

９

D．

２

３

(２)(２０２３?湖北九师联盟质检)若tan(α－π)＝

２,则

１－２sin

２α

１＋sin２α

＝ ( )

A．－

１

３

B．－３ C．

１

３

D３．

考点二 诱导公式的应用

例２ (１)(２０２３?南通检测)已知sin

２０２３π

２

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

１

３

,

则cos(π－α)的值为 ( )

A．

７

９

B．

１

３

C．－

１

３

D．－

７

９

(２)

tan(π－α)cos(２π－α)sin －α＋

３π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

cos(－α－π)sin(－π－α)

的值为( )

A．－２ B．－１ C１． D２．

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感悟提升 １?诱导公式的应用步骤

任意负角的三角函数

利用诱导公式

三或一 →任意正角的三

角函数

利用诱导公式一

→０~２π内的角的三角函数

利用诱导公式二

或四或五或六→锐角三角函数．

２?诱导公式的两个应用

(１)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了．

(２)化简:统一角,统一名,同角名少为终了．

训练２ (１)(２０２３?长沙调研)已知sin

π

３

＋２α

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

２

３

,则cos

π

６

－２α

æ

è

ç

ö

ø

÷＝ ( )

A．

５

３

B．－

２

３

C．

２

３

D．±

５

３

(２)设f(α)＝

２sin(π＋α)cos(π－α)－cos(π＋α)

１＋sin

２α＋cos

３π

２

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷－sin

２ π

２

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷

(１＋２sinα≠０),则f －

２３π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷＝ ．

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— ７７ —

第四章 三角函数、解三角形

考点三 同角关系式和诱导公式的综合应用

例３ 已知f(α)＝

sin(α－３π)cos(２π－α)sin －α＋

３π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

cos(－π－α)sin(－π－α) ．

(１)化简f(α);

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(２)若α＝－

３１π

３

,求f(α)的值;

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(３)若cos －α－

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

１

５

,α∈ π,

３π

２

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú ,求f(α)

的值．

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感悟提升 １?利用同角三角函数关系式和诱导公

式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,

灵活使用公式进行变形．

２?注意角的范围对三角函数符号的影响．

训练３ (１)(２０２３?怀仁模拟)若sin(３π＋α) ＝

１

２

,α∈ π,

３π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,则tan(２０２３π－α)＝ ( )

A．－

１

２

B．－

３

２

C．－ ３ D．－

３

３

(２)已知－π＜x＜０,sin(π＋x)－cosx＝－

１

５

,

则

sin２x＋２sin

２x

１－tanx

＝ ．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２８１页

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— ７８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第３节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考试要求 １? 会推导两角差的余弦公式．２? 会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

３? 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并会简单应用．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(１)公式C(α－β):cos(α－β)＝ ;

(２)公式C(α＋β):cos(α＋β)＝ ;

(３)公式S(α－β):sin(α－β)＝ ;

(４)公式S(α＋β):sin(α＋β)＝ ;

(５)公式T(α－β):tan(α－β)＝ ;

(６)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝ ．

２?辅助角公式

asinα＋bcosα＝ ,其中

sinφ＝

b

a

２＋b

２

,cosφ＝

a

a

２＋b

２ ．

[常用结论]

两角和与差的公式的常用变形:

(１)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ;

(２)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ;

(３)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ),

tanαtanβ＝１－

tanα＋tanβ

tan(α＋β)＝

tanα－tanβ

tan(α－β)－１．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是

任意的． ( )

(２)存在实数α,β,使等式sin(α＋β)＝sinα＋

sinβ成立． ( )

(３)公式tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

１－tanαtanβ

可以变形为

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(１－tanαtanβ),且对任

意角α,β都成立． ( )

(４)存在实数α,使tan２α＝２tanα． ( )

２?已知cosα＝－

３

５

,α∈

π

２

,π

æ

è

ç

ö

ø

÷,则cos

π

４

－α

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

．

３?计算:sin１０８°cos４２°－cos７２°sin４２°＝ ．

４?若tanα＝

１

３

,tan(α＋β)＝

１

２

,则tanβ＝ ．

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考点突破·题型剖析

考点一 公式的基本应用

例１ (１)若cosα＝－

４

５

,α 是第三象限的角,则

sinα＋

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷＝ ( )

A．

７２

１０

B．－

７２

１０

C．－

２

１０

D．

２

１０

(２)已知sinα＝

３

５

,α∈

π

２

,π

æ

è

ç

ö

ø

÷,tan(π－β)＝

１

２

,

则tan(α－β)的值为 ( )

A．－

２

１１

B．

２

１１

C．

１１

２

D．－

１１

２

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感悟提升 １? 使用两角和与差的三角函数公式,

首先要记住公式的结构特征．

２?使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代

入公式求值．

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— ７９ —

第四章 三角函数、解三角形

训练１ (１)已知点P(x,２２)是角α终边上一

点,且cosα＝－

１

３

,则cos

π

６

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷等于 ( )

A．－

３＋２２

６

B．

３＋２２

６

C．

３－２２

６

D．

２２－ ３

６

(２)(２０２３? 济 南 联 考)已 知α∈ －

π

２

,

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,

tanα－

π

４

æ

è

ç

ö

ø

÷＝

１

３

,则sin(π－α)＝ ( )

A．

２５

５

B．

５

５

C．－

５

５

D．－

２５

５

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考点二 公式的逆用及变形

角度１ 公式的活用

例２ (１)(２０２３?濮阳一模)cos４０°sin７０°－sin４０°?

sin１６０°＝ ( )

A．－

１

２

B．

１

２

C．－

３

２

D．

３

２

(２)若α＋β＝－

３π

４

,则(１＋tanα)(１＋tanβ)

＝ ．

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角度２ 辅助角公式的运用

例３ 化简:(１)sin

π

１２

－３cos

π

１２

;(２)

１

sin１０°

－

３

sin８０°

．

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感悟提升 三角函数公式活用技巧

(１)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,

创造条件逆用公式．

(２)tanαtanβ,tanα＋tanβ(或tanα－tanβ),

tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．应注

重公式的逆用和变形使用．

训练２ (１)求值:

sin１５°sin４５°－cos１５°cos４５°＝ ．

(２)求值:cos１５°＋sin１５°＝ ．

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考点三 角的变换问题

例４ (１)已知α,β∈

π

３

,

５π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷,若sinα＋

π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

４

５

,

cosβ－

５π

６

æ

è

ç

ö

ø

÷＝

５

１３

,则sin(α－β)的值为 ( )

A．

１６

６５

B．

３３

６５

C．

５６

６５

D．

６３

６５

(２)(２０２２?青岛模拟)若tan(α＋２β)＝２,tanβ＝

－３,则tan(α＋β)＝ ,tanα＝ ．

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感悟提升 角的变换:明确各个角之间的关系(包括

非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换

技巧,及半角与倍角的相互转化,如:２α＝(α＋β)＋

(α－β),α＝

α＋β

２

＋

α－β

２

,

π

３

＋α＝

π

２

－

π

６

－α

æ

è

ç

ö

ø

÷,α＝

(α＋β)－β＝(α－β)＋β,

π

４

＋α

æ

è

ç

ö

ø

÷＋

π

４

－α

æ

è

ç

ö

ø

÷＝

π

２

等．

训练３ (１)已知α为锐角,且cosα＋

π

６