必修第二册 第七章 万有引力与宇宙航行 45

续表

知识点 内容

行星与太阳

间的引力

行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F=m

v

2

r

行星公转的周期T,v=

2πr

T

整理后得到F=

4π

2mr

T

2

把开普勒第三定律

r

3

T

2=k 变形为T

2=

r

3

k

,

代入F=4π

2k

m

r

2

太阳对行星的引力F 与行星的质量m 成正比,与r

2 成反比,即F∝

m

r

2.

因此,行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太 成正比,即F∝

m太 m

r

2 ,

写成等式就是F=G

m太 m

r

2 ,

式中量G 与太阳、行星都没有关系.太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线.

月一地检验

假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力,它们的表达

式也应该满足F=G

m月 m地

r

2 .根据牛顿第二定律,月球绕地球做圆周运动的向

心加速度a月 =

F

m月

=G

m地

r

2 (式中 m地 是地球质量,r 是地球中心与月球中心的

距离).

进一步,假设地球对苹果的吸引力也是同一种力,同理可知,苹果的自由落体加

速度a苹 =

F

m苹

=G

m地

R

2 (式中m地 是地球质量,R 是地球中心与苹果间的距离).

由以上两式可得

a月

a苹

=

R

2

r

2 .由于月球与地球中心的距离r 约为地球半径R

的60倍,所以

a月

a苹

=

1

60

2.

引力常量

(1)万有引力定律表达式中的比例系数G.

(2)实验测出:G=6.67259×10

-11N·m

2/kg

2,通常取:G=6.67×10

-11N·

m

2/kg

2.

(3)引力常量的普适性成为万有引力定律正确性的见证.

46

3.万有引力理论的成就

知识点 内容

“称量”地

球的质量

地球的质量:M =

gR

2

G

.

R:地球的半径.

计算天体的

质量

公式

太阳的质量:M =

4π

2r

3

GT

2 .

r为行星与太阳的距离,T 为行星的公转周期.

说明

(1)不同的行星与太阳之间的距离r不同,而且它们绕太阳公转的周期

也各不相同.但由此计算出来的太阳的质量都相同.这是因为

r

3

T

2 =k

是一个与行星无关的常数.

(2)已知某卫星绕某行星运动的周期以及它们之间的距离,则由该式

可计算出该行星的质量.

发现未知

的天体

1846年发现海王星,1930年发现冥王星.

预言哈雷

慧星回归

哈雷预言1531年,1607年和1682年三次出现的慧星是同一颗星,周期为76年,

并预言它将于1758年底或1759年初再次回归.

4.宇宙航行

知识点 内容

第一宇宙

速度

定义

物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度,叫做第一宇宙

速度.

公式 v=

GM

r

数值 v=7.9km/s

说明

第一宇宙速度是人造天体在地球的引力下绕地球运动,在地面上发射

时所需要的最小速度.又称作环绕速度.若7.9km/s<v<11.2km/s,

则绕地球飞行的轨迹为椭圆.

必修第二册 第七章 万有引力与宇宙航行 47

续表

知识点 内容

第二宇宙

速度

定义

物体克服地球的引力离开地球而成为太阳系的小行星的最小速度,叫

做第二宇宙速度.

数值 v=11.2km/s

说明

第二宇宙速度是人造天体逃离地球引力范围所需的最小发射速度,又

称做逃逸速度.

第三宇宙

速度

定义 物体挣脱太阳系的束缚而脱离太阳系的最小速度,叫做第三宇宙速度.

数值 v=16.7km/s

说明

第三宇宙速度是人造天体逃离太阳的引力范围所需的最小发射速度

(又称脱离速度).

人造地球

卫星

1957年10月4日,世界上第一颗人造地球卫星发射成功.

1970年4月24日,我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功.

地球同步

卫星

地球同步卫星位于赤道上方高度约36000km 处.

地球同步卫星与地球自转周期相同.

载人航天与

太空探索

1961年4月12日,苏联航天员加加林进入了东方一号载人飞船.

1969年7月16日9时32分,运载阿波罗11号飞船的土星5号火箭在美国

升空.

2003年10月15日9时,我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨立伟进

入太空.

5.相对论时空观与牛顿力学的局限性

知识点 内容

相对论时

空观

只适用于低速运动和宏观世界.对高速运动(物体的运动速度接近于光速c)和

微观世界不成立.

牛顿力学

的成就与

局限性

空间和时间是独立于物体及其运动而存在的,与参考系无关,而且空间和时间

互不相干.这种对时间和空间的认识也称为经典时空观或牛顿时空观.———经

典力学的时空观

当物体以接近光速的速度做高速运动时所遵从的规律.———狭义相对论

一种新的时空观与引力的理论.———广义相对论

研究微观粒子运动规律的理论.———量子力学

48

第八章 机械能守恒定律

1.功和功率

知识点 内容

功

定义

一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,这个力就对

物体做了功.

定义式

若用F 表示力,l表示位移、θ 表示力的方向和位移方向的夹角,则功 W

=Flcosθ.

单位 在国际单位制中的单位是焦耳,符号是J.

说明

(1)功是标量,只有大小,没有方向,但功有正负.

(2)功是过程量,它和位移(或时间)相对应.

(3)公式中的F 是恒力,它不适用变力做功.

(4)公式中的l是相对于地面的位移,而不是相对于和它接触的物体的位

移,严格地讲,l是力的作用点对地的位移.

(5)对公式中W =Flcosα,可以理解为功W 等于力在位移方向上的分量

Fcosα 与位移l的乘积,也可以理解为功W 等于力F 和位移在力的方向

上的分量lcosα 的乘积.

(6)功只跟F、l、α 有关,而跟物体是否还受其他力的作用无关,跟物体的

运动状态也无关.

(7)无论是静摩擦力还是滑动摩擦力,它们既可以做正功,也可以做负

功,还可以不做功.

(8)作用力与反作用力虽然等大、反向,但由于它们分别作用在两个物体

上,故位移关系不能确定,因此它们可以同时做正功,也可以同时做负

功,还可以一个做正功而另一个做负功,或者一个做功而另一个不做功.

举例

如图所示,小物块位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上,从地

面上看小物块沿斜面下滑的过程中,斜面对小物块的作用力( )

A.垂直于接触面,做功为0

B.垂直于接触面,做功不为0

C.不垂直于接触面,做功为0

D.不垂直于接触面,做功不为0

[解答]B

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 49

续表

知识点 内容

合外力

的功

定义 作用在同一物体上各个力所做功的代数和,称为合外力的功.

说明

(1)若F合 为恒力,l为物体的位移,θ 为合力的方向和位移方向的夹角,可

应用公式W 合 =F合lcosθ求合外力的功.

(2)若以W1,W2,W3,…,Wn 分别表示力F1,F2,F3,…,Fn 所做的功(含正

功与负功),则这些力所做的总功为W 合 =W1+W2+W3+…+Wn

举例

质量m=3kg的物体,受到与斜面平行向下的拉力F=10N,沿固定斜面

下滑距离l=2m.斜面倾角θ=30°,物体与斜面间的动摩擦因数μ=

3

3

.求

各力对物体所做的功以及力对物体所做的总功.(g 取10m/s

2)

[解答]物体所受的各个力均为恒力,可用功的公式进

行计算.如图所示,物体受到重力、拉力、斜面的支持

力和摩擦力的作用,做单向直线运动,其位移的大小

与移动的距离相等,所以重力所做的功为

WG =mglcosα=mglcos(90°-θ)=3×10×2×

cos60°J=30J,

拉力所做的功WF =Fl=10×2J=20J.

支持力与物体运动方向垂直,它所做的功WN =0.

滑动摩擦力的方向与位移方向相反,做功为:

Wf =-(μmgcosθ)l=-

3

3

×3×10×2×

3

2

J=-30J.

总功为:甲=WG +WF +WN +Wf =30J+20J+(-30)J=20J.

[点评]在计算重力做功时,要画图分析出重力与位移的夹角α,然后根据功

的公式计算;也可把重力进行分解,则重力沿斜面方向的分力mgsin30°,可

得重力的功为mglsin30°.计算摩擦力的功时,对正负号的处理容易出错,

要引起注意.计算总功也可用合力来求功.

正功和

负功

(1)功是标量,只有大小,没有方向,但功有正负.

(2)当0°≤α<90°时,cosα>0,W >0,W 为正值,这表示力F 对物体做正功,力是

物体运动的动力.

(3)当α=90°时,cosα=0,W =0,这表示力F 的方向跟位移l的方向垂直时,力F

不做功,力对物体既不起动力作用,也不起阻力作用.

(4)90°<α≤180°,cosα<0,W <0.W 为负值,这表示力对物体做负功(或者说物体

克服阻力做功),力是物体运动的阻力.一个力对物体做负功,往往说成物体克服

这个力做功(取绝对值),这两种说法意义是等同的.

50

续表

知识点 内容

功率

定义

如果从开始计时到时刻t这段时间间隔内,一个力所做的功为W,则功W

跟完成这些功所用时间t的比值叫做功率.它是描述做功快慢的物理量.

定义式 若用W 表示t时间内所做的功,则功率P=

W

t

.

单位 在国际单位制中的单位是瓦特,符号是 W,常用单位为千瓦(kW).

说明

(1)功率是用比值法定义的物理量.

(2)不管是恒力做功还是变力做功,它都适用,它表示时间t内的平均功率.

举例

自动扶梯以恒定速率运送乘客上同一层楼,某人第一次站在扶梯上不

动,第二次沿扶梯匀速向上走,设两次运送乘客所做的功分别为 W1 和

W2,牵引力的功率分别为P1 和P2,则有( )

A.W1=W2,P1>P2 B.W1=W2,P1<P2

C.W1>W2,P1=P2 D.W1>W2,P1>P2

[解答]C

额定功率

定义 电动机、内燃机等动力机械在正常条件下可以长时间工作的最大功率.

说明

额定功率是动力机械重要的性能指标,一个动力机械的额定功率是一定

的,机器不一定都在额定功率下工作.

实际功率

定义 电动机、内燃机等动力机械工作时实际输出的功率.

说明

实际功率可以小于额定功率,可以等于其额定功率(称满负荷运行),但

不能大于额定功率,否则容易将机械损坏.

功率与

速度

内容

当一个力F 与物体运动方向在同一条直线上时,力F 对物体做功的功

率,等于力F 与受力物体运动速度的乘积.

表达式 P=Fv

说明

(1)若v 是平均速度,F 为恒力,则 P=Fv 计算的是一段时间内的平均

功率.

(2)若v 是瞬时速度,F 无论是恒力还是变力,则 P=Fv 计算的是某一

时刻的瞬时功率.

(3)机车以恒定功率启动的运动过程如下:

速度v↑

F=

P

v

↓

⇒ a=

F-Ff

m

↓ ⇒

当F=Ff 时,

a=0,

v 达最大vm

⇒

保持vm

匀速

这一运动过程的v~t关系如图所示.

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 51

续表

知识点 内容

功率与速度

说明

(4)机车以恒定加速度启动的运动过程如下:

F 不变,

a=

F-Ff

m

不变

⇒ v↑ ⇒ P=F·v↑ ⇒

当p=p额 时,

a≠0,

v仍增大

P额 一定

v↑

⇒

F=

P额

v

↓

a=

F-Ff

m

↓

⇒

当F=Ff 时,

a=0,

v达最大vm

⇒ 保持vm 匀速

这一运动过程的v-t关系如图所示:

举例

汽车的质量为m=6.0×10

3kg,额定功率为Pe=90kW,沿水平道路行

驶时,阻力恒为重力的0.05倍,g 取10m/s

2,问:

(1)汽车沿水平道路匀速行驶的最大速度有多大?

(2)设汽车由静止起匀加速行驶,加速度a=0.5m/s

2,汽车匀加速运动

可维持多长时间?

(3)汽车做匀加速运动的最大速度有多大?

[解答](1)汽车匀速行驶时,牵引力与阻力大小相等、方向相反,有

F-0.05mg=0,

汽车的额定功率Pe=Fvm,

故汽车沿水平道路匀速行驶的最大速度

vm=

Pe

0.05mg

=

90×10

3

0.05×6.0×10

3×10

m/s=30m/s.

(2)汽车匀加速运动时有F'-0.05mg=ma,

汽车的瞬时速度为v=at,

汽车的瞬时功率为P=F'v,

要求瞬时功率小于或等于额定功率,即P≤Pe,

解得t≤

Pe

m(a+0.05g)a

=

90×10

3

6.0×10

3×(0.5+0.05×10)×0.5

s=30s

所以,汽车做匀加速运动的最长时间为tm=30s.

(3)汽车做匀加速运动的最大速度为vm'=atm=0.5×30m/s=15m/s.

[点评]在用公式P=Fv 时,必须结合具体的物理过程作细致的分析,弄

清楚是什么物理量保持恒定.在匀加速运动中是汽车的牵引力F 保持恒

定,而在达到额定功率后是汽车的功率保持恒定.

52

2.重力势能

知识点 内容

重力的功

(1)物体高度变化时,重力要做功:物体被举高时,重力做负功;物体下降时,重力做

正功.

(2)重力做功的特点:物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有

关,而跟物体运动的路径无关.

重力势能

定义 物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能.

定义式

若用mg 表示物体的重力,h 表示物体所处的高度,则物体的重力势能

Ep=mgh

单位 在国际单位制中的单位是焦耳,单位的符号是J.

重力势能

说明

(1)重力势能是状态量、标量.

(2)重力做功与重力势能变化的表达式:WG=Ep1-Ep2

(3)当物体由高处运动到低处时,重力做正功,重力势能减少,即 WG>0,

Ep1>Ep2.重力势能减少的数量等于重力所做的功.

(4)当物体由低处运动到高处时,重力做负功,或者说物体克服重力做

功,重力势能增加,即 WG <0,Ep1<Ep2.重力势能增加的数量等于物体

克服重力所做的功.

(5)重力势能是地球与物体所组成的物体“系统”所共有的,而不是地球

上的物体单独具有的.

举例

在水平地面上平铺着n 块相同的砖,每块砖的质量都为 m,厚度为d.若

将这n 块砖一块一块地叠放起来,至少需要做多少功?

[解答]n 块砖平铺在水平地面上时,系统重心离地的高度为

d

2

.

将它们叠放起来时,系统重心离地的高度为

nd

2

.

所以,至少需要做功为:

W =Ep2-Ep1=nmg·

nd

2

-nmg

d

2

=

1

2

n(n-1)mgd.

重力势能

的相对性

说明

(1)物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的,这个水平面叫做参

考平面.在参考平面上,物体的重力势能取作零.

(2)重力势能参考平面的选取一般以解决问题时简便为原则,若无特别

说明,通常以水平地面为参考平面.

(3)对选定的参考平面,上方物体的重力势能是正值,下方物体的重力势

能是负值.

(4)重力势能的变化与参考平面的选取无关.

举例

关于重力势能,下列说法中正确的是( )

A.某个物体处于某个位置,重力势能的大小是唯一确定的

B.重力势能为零的物体,不可能对别的物体做功

C.物体做匀速直线运动时,重力势能一定不变

D.只要重力做功,重力势能一定变化

[解答]D

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 53

续表

知识点 内容

弹性势能

定义

发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用,也具有

势能,这种势能叫做弹性势能.

单位 在国际单位制中的单位是焦耳,单位的符号是J.

说明

(1)弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具

有的能量,因而也是对系统而言的.

(2)弹性势能也是相对的,其大小在选定了零势能点后才有意义.对于

弹簧,零势能点一般选弹簧自由长度时.

(3)弹性势能的改变仅与弹力做功有关,弹力做多少正功,弹性势能就

减少多少;弹力做多少负功,弹性势能就增加多少.

举例

关于弹性势能,下列说法中正确的是( )

A.任何发生弹性形变的物体,都具有弹性势能

B.任何具有弹性势能的物体,一定发生了弹性形变

C.物体只要发生形变,就一定具有弹性势能

D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关

[解答]A、B

探究过程

研究弹

性势能

的出发

点

弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能.在讨论重力势

能的时候,我们从重力做功的分析入手.同样,在讨论弹性势能的时

候,则要从弹力做功分析入手.弹力做功应是我们研究弹性势能的出

发点.

弹性势

能表达

式中相

关物理

量的猜

测

弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢?

(1)可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关.这是因为,与重力势能相

类比,重力势能与物体被举起(或下降)的高度有关,所以弹性势能很

可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关.重力势能与高度成正比,但

是弹性势能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度则不一定成正比,在地球表

面附近可认为重力不随高度变化,而弹力在弹簧形变过程中则是变力.

(2)可能与弹簧的劲度系数有关.这是因为,不同弹簧的“软硬”程度不

同,即劲度系数不同,使弹簧发生相同长度的形变所需做的功也不

相同.

弹性势

能与拉

力做功

的关系

当弹簧的长度为原长时,我们设它的弹性势能为零,弹簧被拉长或缩

短后就具有了弹性势能.我们研究弹簧被拉长的情况,那么弹簧的弹

性势能应该与拉力所做的功相等.可见,研究弹性势能的表达式,只需

研究拉力做功的表达式.

54

3.动能和动能定理

知识点 内容

动能的

表达式

定义 物体由于运动而具有的能量叫做动能.

定义式 若用v 表示质量为m 的物体的速度,则物体的动能为Ek=

1

2

mv

2.

单位 在国际单位制中的单位是焦耳,单位的符号是J.

说明

(1)动能是状态量,具有瞬时性,物体在某一状态的动能由物体的质量

和该状态下物体的速度共同决定.

(2)物体的动能具有相对性,由于对不同的参考系,同一物体的瞬时速

度有不同值,所以在同一状态下物体的动能也有不同值.一般地如无

特别说明,物体的动能均是对地的.

(3)动能是标量,只有大小没有方向,动能没有负值,它仅与速度的大

小有关,与物体的速度方向无关.

动能定理

内容

力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中动能的变

化.这个结论叫做动能定理.

表达式

若用W 表示合力的功,Ek2 表示一个过程的末动能,Ek1 表示这个过程

的初动能,则W =Ek2-Ek1.

适用

条件

(范围)

不仅适用于恒力做功和直线运动,也适用于变力做功和曲线运动情况.

动能定理 说明

(1)动能的“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量,而不一

定是大的减小的.

(2)应用动能定理解题时,要正确分析物体受力,考虑物体所受的所有

外力,包括重力.

(3)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的,若物体运动过程中

包含几个物理过程,物体运动状态、受力等情况均发生变化,则在考虑

外力做功时,必须根据不同情况分别对待.

(4)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程,解题时可以分段考

虑也可视全过程为一整体,用动能定理解题,后者往往更为简捷.

(5)动能定理W =Ek2-Ek1 是以一个物体为研究对象的.这一定理可

推广到由n 个物体构成的物体系中去,但定理的形式应做相应的变

动.因为对一个物体系来说,在状态变化的过程中,不仅有外力做功,

还可能有内力做功,内力做功也会改变系统的总动能.若以 W 外 、W 内

分别表示外力和内力对系统所做的功,则有 W 外 +W 内 =Ek2-Ek1.即

外力与内力对系统所做的总功,等于系统在这个过程中动能的变化,

这就是系统的动能定理.

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 55

续表

知识点 内容

动能定理 举例

将质量m=2kg的一块石头从离地面 H =2m 高处由静止开始释放,

落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处,不计空气阻力,求泥对石头的平

均阻力.(g 取10 m/s

2)

[解答]这里提供三种解法.

解法一(应用牛顿第二定律与运动学公式求解):

石头在空中做自由落体运动,落地速度v= 2gH .

在泥潭中的运动阶段,设石头做减速运动的加速度的大小为a,

则有v

2=2ah,解得a=

H

h

g.

由牛顿第二定律F?-mg=ma,

所以泥对石头的平均阻力为:

F?=m(g+a)=m(g+

H

h

g)=

H +h

h

·mg=

2+0.05

0.05

×2×10N=

820N.

解法二(应用动能定理分段求解):

设石头着地时的速度为v,对石头在空中运动阶段应用动能定理,有

mgH =

1

2

mv

2-0.

对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理,有mgh-F?h=0-

1

2

mv

2,

由以上两式解得泥对石头的平均阻力为:

F?=

H +h

h

·mg=

2+0.05

0.05

×2×10N=820N.

解法三(应用动能定理整体求解):

对石头在整个运动阶段应用动能定理,有 mg(H +h)-F?h=0-0

=0.

所以,泥对石头的平均阻力F?=

H +h

h

·mg=

2+0.05

0.05

×2×10N=

820N.

[点评]从本例提供的三种解法可以看出,应用动能定理求解,要比应

用牛顿第二定律与运动学求解简单得多;而在物体运动的全过程应用

动能定理,则往往要比分段应用动能定理显得更为简捷.

56

4.机械能守恒定律

知识点 内容

追寻守恒量

如果空气阻力和摩擦力大小到可以忽略,

小球必将准确地终止于它开始时的高度,

不会更高一点,也不会更低一点.这说明

某种 “东 西”在 小 球 运 动 的 过 程 中 是 不

变的.

动 能 与 势 能

的相互转化

势能的变化是由于重力或弹力做功引起的.在只有重力或弹力做功的情况下,

如果重力或弹力做正功,重力势能或弹性势能减少,动能增加,意味着重力势能

或弹性势能转化为动能;反之,如果重力或弹力做负功,重力势能或弹性势能增

加,动能减少,意味着动能转化为重力势能或弹性势能.可见,通过重力或弹力

做功,机械能可以从一种形式转化为另一种形式.

机 械 能 守 恒

定律

内容

在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而

总的机械能保持不变.这叫做机械能守恒定律.

表达式

(1)从守恒的角度:若以E1、E2 分别表示系统初、末状态的总的机械

能,则机械能守恒定律可以表示为E2=E1.

(2)从转化的角度:若以 ΔEk、ΔEp 分别表示系统动能和势能的变化,

则机械能守恒定律可以表示为 ΔEk=-ΔEp.

(3)从转移的角度:若以 ΔEA 表示系统中一部分物体机械能的增加,

ΔEB 表示另一部分物体机械能的减少,即机械能守恒定律可以表示为

ΔEA =-ΔEB .

适用

条件

(范围)

(1)物体只受重力,只发生动能和重力势能的相互转化.

(2)只有弹力做功,只发生动能和弹性势能的相互转化.

(3)物体既受重力,又受弹力,只发生动能、弹性势能、重力势能的相互

转化.

(4)除受重力(或弹力)之外,还受其他力,但其他力不做功.

说明

(1)机械能守恒是能量守恒的特例.

(2)机械能守恒定律研究的对象是物体系统,是指系统的总机械能守

恒,不是指某一个物体,单个物体无所谓机械能守恒.

(3)系统的机械能是否守恒,选择研究对象很重要.

(4)当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时,系统的机械能

就不守恒.这时,必然有机械能和其他形式的能之间的转化,但它们的

机械能和其他形式的能的总和仍保持不变.

(5)“守恒”和“不变”是两个不同的概念.“守恒”是指转化时的总量不

变,而“不变”不仅指能量的大小不变,还指能量的形式也不变.例如,

圆锥摆(让用细线拴住的小球在水平面内做匀速圆周运动,就成了圆

锥摆)在运动过程中,如果不计空气阻力,小球虽受重力、绳的拉力(弹

力)作用,但这两个力都不做功,此时只能说其机械能“不变”,而不能

说机械能“守恒”.

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 57

续表

知识点 内容

机 械 能 守

恒定律

举例

如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ=30°,另

一边与水平地面垂直,顶上有一个定滑轮,跨过定滑轮

的细线两端分别与物块A 和B 连接,A 的质量为4m,

B 的质量为m.开始时,将B 按在地面上不动,然后放

开手,让 A 沿斜面下滑而B 上升,所有摩擦均忽略不

计.当 A 沿斜面下滑距离s 后,细线突然断了.求物块

B 上升的最大高度H .(设B 不会与滑轮相碰)

[解答]设细线断裂前一瞬间A 和B 速度的大小为v,A 沿斜面下滑s的过

程中,A 的高度降低了ssinθ,B 的高度升高了s.对 A 和B 以及地球组成

的系统,机械能守恒,有物块A 机械能的减少量等于物块B 机械能的增加

量,即4mgssinθ1

2

·4mv

2=mgs+

1

2

mv

2.

细线断后,物块B 做竖直上抛运动,物块B 与地球组成的系统机械能守恒,

设物块B 继续上升的高度为h,有mgh=

1

2

mv

2.

由以上两式联立解得h=

s

5

,故物块B 上升的最大高度为

H =s+h=s+

s

5

=

6

5

s.

[点评]在细线断裂之前,A 和B 以及地球组成的系统机械能守恒.两个物

体用同一根细线跨过定滑轮相连由于细线不可伸长,两个物体速度的大小

总是相等的.细线断裂后,B 做竖直上抛运动,由于只有重力做功,B 与地

球组成的系统机械能守恒.在处理实际问题时,要根据问题的特点和求解

的需要,选取不同的研究对象和运动过程进行分析.

●辨析:动能定理与机械能守恒定律

内容 动能定理 机械能守恒定律

适用条件 适用于所有的力做功. 只有重力和弹力做功.

分析思路

不但要分析研究对象的初、末状态的动能,还

要分析所有外力(及内力)所做的功,并求出

这些外力(及内力)所做的总功.

只分析研究对象的初、末状态的

动能和势能.

书写方式

等号左边一定是外力(及内力)的总功,右边

则是动能的变化.

等号两边都是动能与势能的和.

mgh、

1

2

kx

2

的意义

mgh、

1

2

kx

2 分别是重力所做的功和弹力所

做的功的值.

mgh、

1

2

kx

2 分别是重力势能和

弹性势能的值.

思想方法

动能定理和机械能守恒定律都是从做功和能量转化的角度,来研究物体在力的

作用下状态的变化,表达这两个规律的方程都是标量式.

说明

利用动能定理求重力和弹力所做的功时,不考虑零势能面的选取问题;而应用

机械能守恒定律确定重力势能和弹性势能时,一定要首先确定零势能面.

58

5.实验:验证机械能守恒定律

知识点 内容

实验目标

(1)通过用纸带与打点计时器来验证机械能守恒定律,体验验证过程和物理学的

研究方法.

(2)掌握验证机械能守恒定律的实验原理.

(3)通过实验验证,培养学生的观察和实践能力,培养学生实事求是的科学态度.

方案一:用

打 点 计 时

器 验 证 机

械 能 守 恒

定律

实验

原理

用研究物体自由下落的运动来验证机械能守恒定律的实验原理是:忽略空

气阻力,重物在自由下落的过程中机械能守恒,即动能的增加等于重力势

能的减少(如图所示).

(1)若以重物下落的起始点O 为基准,设重物的质量为m,测出物体自起始点O

下落距离h时的速度v,则在误差允许范围内,由计算得出

1

2

mv

2=mgh,

机械能守恒定律即被验证.

(2)若以重物下落过程中的某一点A 为基准,设重物的质量为m,测出物体

对应于A 点的速度再测出物体由A 点下落 Δh 后经过B 点的速度vB ,则

在误差允许范围内,由计算得出

1

2

mv

2

B -

1

2

mv

2

A =mgΔh,机械能守恒定律

即被验证.

实验

器材

铁架台(带铁夹)、打点计时器、重锤(带纸带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米

刻度尺、学生电源.

实验

步骤

(1)按图把打点计时器安装在铁架台上,用导线把电磁打点计时器与学生

电源连接好.

(2)把纸带的一端在重锤上用夹子固定好,另一端穿过计时器的限位孔,用

手竖直提起纸带使重锤停靠在打点计时器附近.

(3)先接通电源后,让重锤带着纸带自由下落.

(4)重复几次,得到3~5条打好点的纸带.

(5)在打好点的纸带中挑选点迹清晰且第1、2两计时点间距离接近2mm

的一条纸带,在起始点标上O,以后各点依次标上1,2,3,……用刻度尺测

出对应下落高度h1,h2,h3,……

(6)应用公式vn=

hn+1-hn-1

2T

计算各点对应的即时速度v1,v2,v3,……

(7)计算各点对应的势能减少量 mghn 和动能增量

1

2

mv

2

n,将两者进行比

较,并讨论如何减小误差.

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 59

续表

知识点 内容

方案一:用

打 点 计 时

器 验 证 机

械 能 守 恒

定律

数据

处理

(1)用初速度为零的纸带验证.

下落高度

hn(m)

速度vn

(m/s)

势能减少量

mghn(J)

动能增加量

1

2

mv

2

n(J)

1

2

3

4

(2)用初速度不为零的纸带验证.

Δh(m) vA(m/s) vB(m/s)

势能减少量

mgΔh(J)

动能增加量

ΔEk(J)

1

2

3

4

实验

结果

在实验误差允许的范围内,重物的机械能 .

误差

分析

(1)实验过程中要克服阻力(主要是打点计时器的阻力)做功,故动能的增

加量 ΔEk 必定稍小于势 能 的 减 少 量 ΔEp.再 者,交 流 电 的 频 率 f 不 是

50Hz也会来系统误差.若f>50Hz,由于速度值仍按频率为50Hz计算,

频率的计算值比实际值偏小,周期值偏大,算得的速度值偏小,动能值也就

偏小,使Ek<Ep 的误差进一步加大;根据同样的道理,若f<50Hz,则可

能出现Ek>Ep 的结果.

(2)测量相关长度时要多测几次取平均值.

注意

事项

(1)打点计时器安装要稳固,并使两限位孔在同一竖直线上,以减小摩擦阻力.

(2)实验中,需保持提纸带的手不动,待接通电源,打点计时器工作稳定后

才松开纸带让重物下落.

(3)过程开始和终结位置的选择:实验用的纸带一般小于1m.从起始点开

始大约能打出20个点.终结位置的点可选择倒数第一个点或倒数第二个

点,从这一个点向前4~6个点当做开始的点,可以减小这两个点瞬时速度

及两点之间的距离(高度h)的测量误差.

(4)由于mgh=

1

2

mv

2,故实验只需验证gh=

1

2

v

2 即可,不需要测出物体的

质量m.

(5)某时刻瞬时速度的计算应用公式vn=

hn+1-hn-1

2T

.

(6)虽然本实验不需要用天平测重锤的质量,但在选取重锤时,仍应选取小

而重的重锤,以减小阻力的影响.

(7)在上面的实验过程中要求“要挑选第1、2两点间的距离接近2mm 的纸

带进行计算”,其实也可以回避起始点,不过机械能是否守恒的表达式就变

为:mgΔh=

1

2

mv

2

2-

1

2

mv

2

1,Δh为所选的起点到末点的高度差.

60

续表

知识点 内容

方案二:用

气 垫 导 轨

验 证 机 械

能 守 恒

定律

实验

原理

如图所示,设垫片高度为 H,导轨两底脚螺丝之间的距离为L,两光电门之

间的距离为s,则两光电门之间的高度差为h=

H

L

s.滑块m 由上往下滑动,

经过两个光电门时的速度分别为v1、v2,如果不计粘滞阻力,滑块运动过程

中只有重力做功,符合机械能守恒定律成立条件,有

1

2

mv

2

1+mgh=

1

2

mv

2

2,

即

1

2

mv

2

1+mg

Hs

L

=

1

2

mv

2

2,为减少计算量,可约去m:v

2

1+2g

Hs

L

=v

2

2.

实验

器材

气垫导轨、气源、滑块、垫片、光电门、电脑计数器、卷尺.

实验

步骤

(1)将气垫导轨调成水平状态.调节导轨上的单脚螺丝,使滑块在导轨上小

范围内缓慢地来回运动(不是总朝一个方向),这时导轨基本调平.轻轻推

动滑块,使其获得一定的速度,滑块从一端向另一端运动时,顺次通过两个

光电门,仔细调节导轨上的单脚螺丝,使从电脑计数器上先后读出滑块经

过两个光电门的时间相等.

(2)用卷尺测出固定支脚到垫块的距离L 和两光电门之间的距离s.

(3)在单脚螺丝下垫2块垫片,让滑块从适当的高度处由静止开始下滑.测

出滑块经过两光电门时的瞬时速度v1、v2,计算滑块前、后两个状态的机械

能,验证机械能守恒定律.重复操作四次.

(4)垫4块垫片,再做实验一次.

实验

记录

数据记录与处理: L= cm s= cm

项目

次序

高度

v1(m/s) v1(m/s) v2(m/s) v2(m/s)

H =1cm

1

2

3

4

H =2cm

1

2

3

4

必修第二册 第八章 机械能守恒定律 61

续表

知识点 内容

方案二:用气

垫 导 轨 验 证

机 械 能 守 恒

定律

实验

结果

.

注意

事项

(1)各组导轨和滑块只能配套使用,不得与其他组调换.

(2)实验中要严防敲碰、划伤导轨和滑块.

(3)不得在未通气时就将滑块在导轨上滑动,以免接触擦伤导轨表面.

(4)使用完毕,先将滑块取下再关气源.

方案三:用光

控 实 验 板 验

证 机 械 能 守

恒定律

实验

原理

如图所示,光控实验板上有带刻度的竖直板、小球、光控门和配套的速

度显示器,速度显示器能显示出小球通过光控门的速度.由

1

2

mv

2 =

mgh 得:v

2=2gh,现通过测出小球下落的高度以及小球经过光控门时

每次的速度来进行验证.

实验

器材

多功能电源、连接导线、重垂线、铁架台等.

实验

步骤

(1)如图所示,将光控板竖直固定,连好电路.

(2)在光控实验板的合适位置A 处固定好小球及光控门B,并测出两

者距离h1,并将测量值填入表中.

(3)接通光控电源,使小球从A 处由静止释放,读出小球通过光控门B

时的速度值vB1,并将测量值填入表中.

(4)其他条件不变,调节光控门B 的位置,测出h2,h3,……,读出对应

的vB2,vB3,……并将测量值填入表中.

62

续表

知识点 内容

方案三:用光

控 实 验 板 验

证 机 械 能 守

恒定律

实验

记录

下落高度

h(m)

小球通过光控门速

度值v(m/s)

2gh v

2

1

2

3

4

5

6

数据

处理

作出v

2-h 图象.

实验

结论

.

必修第三册 第九章 静电场及其应用 63

必修第三册

第九章 静电场及其应用

1.电荷及电荷守恒定律

知识点 内容

电荷

定义 摩擦过的物体带有电荷.

单位 在国际单位制中的单位是库仑,库仑的符号是C.

说明

(1)分类:正电荷和负电荷.

(2)本质:物体得失电子.

静电感应 说明

三种起电方式:

①摩擦起电:当两个物体互相接触时,一些束缚得不紧的电子往往从一个

物体转移到另一个物体,于是原来电中性的物体由于得电子而带负电,失

去电子的物体则带正电(如图所示).

②感应起电:当一个带电体靠近导体时,由于电荷间相互吸引或排斥,导体

中的自由电子便会趋向或远离带电体,使导体靠近带电体的一端带异号电

荷,远离带电体的一端带同号电荷(如图所示).

③接触起电:不带电的物体与一个带电体接触后,原来不带电的物体也会

带上与带电体同号的电荷.

电荷守

恒定律

定义

电荷既不会创生,也不会消灭,它只能从一个物体转移到另一个物体或者

从物体的一部分转移到另一部分;在转移的过程中,电荷的总量保持不变.

这个结论叫做电荷守恒定律.

适用

条件

一个与外界没有电荷交换的系统.

举例

一个高能光子可以产生一个正电子和一个负电子,一对正、负电子可同时

湮灭转化为光子.

64

续表

知识点 内容

元电荷

定义 电子所带的电荷量叫做元电荷.

定义式

e=1.60217733×10

-19C,me =9.1×10

-31kg,在 计 算 中,可 取e=1.60

×10

-19C.

说明

(1)电子的电荷量e与电子的质量me 之比,叫做电子的比荷.

e

me

=1.76×10

11C/kg.

(2)所有带电体的电荷量或者等于e,或者是e的整数倍.

2.库仑定律

知识点 内容

电荷之间

的作用力

内容

真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力,与它们的电荷量的乘积成

正比,与它们的距离的二次方成反比,作用力的方向在它们的连线上.这

个规律叫做库仑定律.电荷间的这种相互作用力叫做静电力或库仑力.

表达式

F=k

q1q2

r

2

式中,q1、q2 分别为两个点电荷的电荷量,r为两者间的距离.

适用

条件

真空中两个静止点电荷.

说明

(1)点电荷是一个理想化模型,其判定的原则是当带电体间的距离比它们

自身的大小大得多,以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间

的作用力的影响可以忽略时,这样的带电体就可以看做点电荷.

(2)静电力服从牛顿第三定律.

(3)k 为静电力常量,K=9.0×10

9N·m

2/C

2.

库仑的

实验

库仑做实验用的装置叫做库仑扭秤.如图所示,细银丝的下端悬挂一根绝缘

棒,棒的一端是一个带电的金属小球A,另一端有一个不带电的球B,B 与

A 所受的重力平衡.当把另一个带电的金属球C 插入容器并使它靠近A

时,A 与C 之间的作用力使悬丝扭转,通过悬丝扭转的角度可以比较力的

大小.改变A 与C 之间的距离,,记录每次悬丝扭转的角度,便可找到力F

与距离r的关系,结果是力F 与距离r的二次方成反比,即F∝

1

r

2.

库仑发现,两个相同的金属小球,一个带电、一个不带电,互相接触后,它

们对相隔同样距离的第三个带电小球的作用力相等,所以他断定这两个

小球所带的电荷量相等.这意味着,如果把一个带电金属球与另一个不带的完全

相同的金属小球接触,前者的电荷量就会分给后者一半.库仑就用这个方法,把带

电小球的电荷量q 分为

q

2

,q

4

,q

8

,……

这样库仑又发现了电荷间的作用力与电荷量间的关系:力F 与q1 和q2 的乘积成

正比,即F∝q1q2,用一个公式来表示库仑定律,就是F=k

q1q2

r

2 .

必修第三册 第九章 静电场及其应用 65

续表

知识点 内容

静电力

的计算

在氢原子内,氢原子核与电子之间的最短距离为5.3×10

-11 m.试比较氢原子核

与电子之间的静电力和万有引力.

[解答]根据库仑定律,它们之间静电力

F库 =k

q1q2

r

2

=9.0×10

9×

(1.6×10

-19)×(1.6×10

-19)

(5.3×10

-11)2 N

=8.2×10

-8 N

根据万有引力定律,它们之间的万有引力

F引 =G

m1m2

r

2

=6.7×10

-11×

(1.67×10

-27)×(9.1×10

-31)

(5.3×10

-11)2 N

=3.6×10

-47 N

F库

F引

=2.3×10

39

氢原子核与电子之间的静电力是万有引力的2.3×10

39 倍.

●辨析:库仑定律与万有引力定律

内容 库仑定律 万有引力定律

产生原因

电荷周围有电场,对放入其中的带电体具有

电场力的作用.

有质量的物体周围有引力场,对

放入其中的物体有万有引力的

作用.

表达式 F=k

q1q2

r

2 F=G

m1m2

r

2

适用条件 真空中两个静止点电荷 自然界任何两个物体

常量 k=9.0×10

9 N·m

2/C

2 G=6.67×10

-11 N·m

2/kg

2

实验证明 库仑扭秤实验 卡文迪许扭秤实验

说明

(1)在研究微观粒子间的相互作用时,忽略它们之间的万有引力作用.

(2)在研究宏观物体间的万有引力作用时,忽略原子间的质子、电子间的库仑力

作用.

66

3.电场

知识点 内容

电场

定义 在电荷的周围存在由它产生的电场.

说明

(1)电场对放入其中的带电体具有电场力的作用.

(2)近代物理学的理论和实验证实并且发展了法拉第的观点.电场以

及磁场已被证实是一种客观存在,并且是相互联系的,统称为电磁场.

变化的电磁场以有限的速度———光速在空间传播.它和分子、原子组

成的实物一样具有能量、质量和动量,因而场与实物是物质存在的两

种不同形式.

(3)只有在研究运动的电荷,特别是运动状态迅速变化的电荷时,上述

电磁场的实在性才突显出来.在本章中只讨论静止电荷产生的电场,

称为静电场.在这种情况下,可以认为电场只是描述电荷相互作用的

一种有效而且方便的方法.

举例

电荷A 和电荷B 之间的相互作用力如图所示.

电场强度

定义

试探电荷在电场中某个位置受到的电场力与试探电荷的电荷量的比

值叫做该点的电场强度.

定义式 E=

F

q

单位

在国际单位制中的单位是牛每库,单位的符号是 N/C,常用的单位是

V/m.

说明

(1)试探电荷或检验电荷是用来检验电场是否存在及其强弱分布情况

的,其电荷量和尺寸要足够小.

(2)E=

F

q

适用于所有电场.

(3)E 是一矢量,某点的电场强度的方向跟正电荷在该点所受的静电

力的方向相同,跟负电荷在该点所受的静电力的方向相反.

必修第三册 第九章 静电场及其应用 67

续表

知识点 内容

点电荷

的电场

定义式 E=k

Q

r

2

说明

(1)该公式的适用电场为真空中静止点电荷的电场.

(2)如果以Q 为中心作一个球面,则球面上各点的电场强度大小相等,

当Q 为正电荷时,E 的方向沿半径向外;当Q 为负电荷时,E 的方向

沿半径向内.

(3)—个半径为R 的均匀带电体(或球壳)在球外部的电场与一个位于

球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同,球外各点的电场强度

也是E=k

Q

r

2.

电场强度

的叠加

内容

电场中某点电场强度为各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢

量和.

说明

(1)电场的独立性.

(2)电场的矢量性.

举例

如图所示,P 点的电场强度E 等于+Q1 在该点产

生的电场强度E1 与-Q2 在该点产生的电场强度

E2 的矢量和.

68

续表

知识点 内容

电场线

定义

在电场中画一条有方向的曲线来描述电场中各点电场强度的大小与

方向,这样的线就是电场线.

说明

(1)电场线每点的切线方向表示该点的电场强度的方向,电场线的疏

密程度表示电场强度的大小.

(2)电场线从正电荷或无限远出发,终止于无限远或负电荷.

(3)电场线在电场中不相交.

(4)电场线在电场中不相切.

(5)电场线不表示带电粒子在电场中的运动轨迹.

举例

匀强电场

定义

如果电场中各点电场强度的大小相等、方向相同,这个电场就叫做匀

强电场.

说明 匀强电场中的电场线是间隔相等的平行线.

举例

带有等量异种电荷的一对平行金属板,如果两极板相距很近,它们之

间的电场,除边缘部分外,可以看做匀强电场(如图所示).

必修第三册 第九章 静电场及其应用 69

4.静电的防止与利用

知识点 内容

静电平衡

定义 当导体内的自由电子不再定向移动时,导体达到了静电平衡状态.

说明

(1)处于静电平衡状态的导体,内部的场强为零.

(2)处于静电平衡状态的整个导体是一个等势体,它的表面是一个等

势面.

(3)地球是一个极大的导体,处于静电平衡状态,电势为零.

举例

静电平

衡时导

体内部

的电荷

(1)导体内部没有净电荷,净电荷只分布在导体的外表面.

(2)在导体表面,越尖锐的位置,电荷的密度(单位面积的电荷量)越大,

凹陷的位置几乎没有电荷(如图所示).

静电屏蔽

内容

把一个电学仪器放在封闭的金属壳里,即使壳外有电场,由于壳内场

强保持为零,外电场对壳内的仪器也不会产生影响.金属壳的这种作

用叫做静电屏蔽.

说明

(1)不管球壳是否接地,球壳外部的电场都不会影响球内部的电场.

(2)只有在球壳接地的情况下,球壳内部的电场才不会影响球壳外部

的电场.

举例

70

续表

知识点 内容

尖端放电

内容

异体尖端的电荷密度很大,附近的电场很强,空气中残留的带电粒子

在强电场的作用下发生剧烈的运动,把空气中的气体分子撞“散”,也

就是使分子中的正负电荷分离.这个现象叫做空气的电离.中性的分

子电离后变成带负电的自由电子和失去电子而带正电的离子.这些带

电粒子在强电场的作用下加速,撞击空气中的分子,使它们进一步电

离,产生更多的带电粒子.那些所带电荷与导体尖端的电荷符号相反

的粒子,由于被吸引而奔向尖端,与尖端上的电荷中和,这相当于导体

从尖端失去电荷.这个现象叫做尖端放电.

举例

静电吸附 静电除尘、静电喷漆、静电复印.

必修第三册 第十章 静电场中的能量 71

第十章 静电场中的能量

1.电势能和电势

知识点 内容

静电力做

功的特点

(1)静电力做的功与电荷运动的路径无关.

(2)静电力做的功与电荷运动的起始位置与终止位置有关(如图所示).

电势能

定义

电荷在电场中具有的势能叫做电势能,电荷在某点的电势能,等于静电

力把它从该点移动到零势能位置过程中所做的功.

单位 在国际单位制中的单位是焦耳,单位的符号是J.

说明

(1)如图所示,静电力做的功等于电势能的减少量,WAB =EpA -EpB ,电

场力做正功电势能减少;电场力做负功电势能增加.

(2)通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零,或把电荷在

大地表面上的电势能规定为零.

(3)在同一电场中,从一点移动到另一点,移动正电荷与移动负电荷,电

荷的电势能的变化是相反的,如图所示.

72

续表

知识点 内容

电势能

定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值,叫做这一点的电势.

定义式 φ=

Ep

q

单位 在国际单位制中的单位是伏特,单位的符号是 V.

说明

(1)在电场中沿电场线的方向电势是降低的,且是最快的.

(2)电势只有大小,没有方向,是个标量,在运算时,电势能

和电荷量的正负要参与运算.

(3)若取无限远处的电势等于零,则正点电荷附近的电势大

于零且离它越近电势越高,负点电荷附近的电势小于零且

离它越近电势越低.

(4)电场中某点的电势与零电势点的位置有关.

2.电势差

知识点 内容

电势差

定义 电场中两点间电势的差值叫做电势差,也叫电压.

定义式

(1)UAB =φA -φB

(2)UAB =

WAB

q

说明

(1)UAB =

WAB

q

是一个标量式,在运算时要考虑功和电荷量的正负和字母下

角标的顺序.

(2)电势差是一个标量,只有大小,没有方向,与零电势点无关,只与两点的

位置有关,电势差是绝对的.

举例

在电场中把2.0×10

-9 C 的正电荷从 A 点移到B 点,静电力做功1.5×

10

-7J.再把这个电荷从B 点移到C 点,静电力做功-4×10

-7J.

(1)A、B、C 三点中哪点电势最高? 哪点电势最低?

(2)A、B 间,B、C 间,A、C 间的电势差各是多大?

(3)把-1.5×10

-9 C的电荷从A 点移到C 点,静电力做多少功?

[解答](1)电荷从A 点移到B 点,静电力做正功,所以A 点电势比B 点高.

电荷从B 点移到C 点,静电力做负功,所以C 点电势比B 点高.但B、C 间

电势差的绝对值比A、B 间电势差的绝对值大,所以C 点电势最高,A 点次

之,B 点电势最低.

(2)A、B 间的电势差UAB =

WAB

q

=

+1.5×10

-7

+2.0×10

-9 V=75V.

同样可求得UBC =

WBC

q

=

-4.0×10

-7

+2.0×10

-9 V=-200V.

UAC =UAB +UBC =75V-200V=-125V.

(3)静电力 做 的 功,WAC =UACq'= (-1.5×10

-9)× (-125)J=1.875

×10

-7J.

必修第三册 第十章 静电场中的能量 73

续表

知识点 内容

等势面

定义 在电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面.

说明

(1)电场线跟等势面垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势

面,两相邻等势面间的电势差是相等的,与零电势点位置无关.

(2)在等势面内移动电荷不做功.

(3)等势面不相交.

(4)等势面不相切.

(5)同一电场中,等势面越密的地方,电场场强越大.

举例

3.电势差与电场强度的关系

知识点 内容

电 势 差 与 电

场 强 度 的

关系

定义

匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的

距离的乘积(见下图).

定义式 UAB =Ed

74

续表

知识点 内容

电 势 差 与 电

场 强 度 的

关系

适用

范围

匀强电场.

说明

(1)电场方向是电势降落最快的方向.

(2)电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势.

举例

如图,真空中平行金属板 M、N 之间的距离d 为0.04m,有一个2×

10

-15kg的带电粒子位于 M 板旁,粒子的电荷量为8×10

-15 C,给两金

属板加200V 直流电压.

(1)求带电粒子所受的静电力的大小.

(2)求带电粒子从 M 板由静止开始运动到达 N 板时的速度.

(3)如果两金属板距离增大为原来的2倍,其他条件不变,则上述问题

(1)(2)的答案又如何?

[解答](1)两金属板间的电场强度E=

U

d

,

带电粒子所受的静电力F=Eq,则有

F= Eq=

Uq

d

=

200×8×10

-15

0.04

N=4×10

-11 N.

(2)静电力远大于重力2×10

-14 N,因此重力可忽略不计.

带电粒子运动的加速度a=

F

m

,

设带电粒子到达 N 板时速度为移v.

根据匀变速直线运动的速度与时间的关系有v

2=2ad,

则v=

2Fd

m

=

2×4×10

-11×0.04

2×10

-15 m/s=40m/s.

(3)当d'=2d 时,E'=

U

d'

=

E

2

,F'=E'q=

F

2

,a'=

F'

m

=

a

2

,

则v'= 2a'd'= 2ad=v=40m/s,

带电粒子所受的静电力的大小是4×10

-11 N,到达 N 板时的速度是

40m/s;两金属板距离增大为原来的2倍时,静电力的大小是2×10

-11 N,

速度仍然是40m/s.

必修第三册 第十章 静电场中的能量 75

4.电容器的电容

知识点 内容

电容器

定义 任何两个彼此绝缘又相距很近的导体,都可以看成一个电容器.

说明

(1)两个导体叫做电容器的极板.

(2)极板间的绝缘物质叫做电介质.

(3)电容器充电是储存电场能,电容器放电是释放电场能.

电容

定义

电容器所带的电荷量Q 与电容器两极板间的电势差U 的比值,叫做电

容器的电容.

定义式 C=

Q

U

单位

在国际单位制中的单位是法拉,单位的符号是F,常用的单位有 μF、

pF,1F=10

6μF=10

12pF.

平行板

电容器

定义

在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质就组成了一个

平行板电容器.

关系式

C=

εrS

4πkd

说明

(1)εr 是相对介电常数.

几种常用电介质的相对介电常数

电介质 空气 煤油 石蜡 陶瓷 玻璃 云母 水

εr 10005 2 20021 8 4011 88 81

(2)空气的相对介电常数与1十分接近,在一般的研究中,空气对电容

的影响可以忽略.

76

续表

知识点 内容

常用电

容器

(1)常用电容器,从构造上可以分为固定电容器和可变电容器.

(2)固定电容器的电容是固定不变的,常用的有聚苯乙烯电容器和电解电容器.

(3)可变电容器由两组铝片组成,它的电容是可以改变的,固定的一组铝片叫做

定片,可以转动的一组铝片叫做动片,转动动片,使两组铝片的正对面积发生变

化,电容就随着改变.

(4)加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度,超过这个限度,电介质将被

击穿,电容器损坏,这个极限电压叫做击穿电压.电容器外壳上标的是工作电

压,或称额定电压,这个数值比击穿电压低.

5.带电粒子在电场中的运动

知识点 内容

带 电 粒 子 在

电 场 中 的

加速

规律

一个质量为 m、电荷量为q 的粒子在静电力作

用下由静止开始从正极板向负极板运动,静电

力做功W =Uq=

1

2

mv

2,得v=

2Uq

m

.

说明

(1)此公式的适用范围是所有电场.

(2)带电粒子的重力忽略不计.

(3)在研究微观粒子时常用电子伏特(eV)作能量的单位.1eV=1.6×

10

-19J等于一个电子经过1V 电压加速后所增加的动能.

必修第三册 第十章 静电场中的能量 77

续表

知识点 内容

带 电 粒 子 在

电 场 中 的

偏转

规律

带电粒子在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做匀加速直线

运动,两个分运动具有等时性、独立性.

表达式

y 的偏转量,y=

Uel

2

2dmv

2

0

θ为速度偏转角,tanθ=

eUl

dmv

2

0

说明

(1)带电粒子在匀强电场中的运动,跟重物在重力场中的运动相似,有

时像自由落体运动,有时像抛体运动,依初速度是否为零而定.

(2)在研究带电粒子的偏转问题时通常不考虑粒子的重力.

示波管

的原理

有一种电子仪器叫做示波器,可以用来观察电信号随时间变化的情况.示波器

的核心部件是示波管,下图是它的原理图.它由电子枪、偏转电极和荧光屏组

成,管内抽成真空.电子枪的作用是产生高速飞行的一束电子.

如果在偏转电极XX'之间和偏转电极YY'之间都没有加电压,电子束从电子枪

射出后沿直线传播,打在荧光屏中心,在那里产生一个亮斑.

示波管的YY'偏转电极上加的是待显示的信号电压,这个电压是周期性的.XX'

偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿电压,叫做扫描电压.如果信号电压是

周期性的,并且扫描电压与信号电压的周期相同,就可以在荧光屏上得到待测

信号在一个周期内随时间变化的稳定的图像了.

78

第十一章 电路及其应用

1.电源和电流

知识点 内容

电源 能把电子从低电势处搬运到高电势处的装置就是电源.

恒定电场 由稳定分布的电荷所产生的稳定的电场,称为恒定电场.

恒定电流 把大小、方向都不随时间变化的电流称为恒定电流.

电流

定义 电流的强弱程度用电流表示.

定义式

如果用I 表示电流、q 表示在时间t内通过导体横截面的电荷量,则有q=

It.由此可知通过导体横截面的电量跟所用时间的比值叫电流,即I=

q

t

.

单位 在国际单位制中的单位是安培,简称安,单位的符号是 A.1C=1A·s.

说明

(1)电荷的定向移动形成电流.

(2)形成电流的必要条件:①要有能自由移动的电荷;②要有能驱使电荷

作定向移动的作用力.

(3)电流的方向:规定正电荷定向移动的方向为电流方向,在金属导体中,

电流方向与电子定向移动的方向相反.

(4)电流是标量.

举例

有一条横截面积S=1mm

2 的铜导线,通过的电流I=1A.已知铜的密度

ρ=8.9x10

3kg/m

3,铜的摩尔质量M =6.4x10

-2kg/mol,阿伏伽德罗常数

NA=6.02×10

23mol

-1,电子的电量e=-1.6×10

-19C.在这个问题中可

以认为导线中每个铜原子贡献一个自由电子,求铜导线中自由电子定向

移动的速率.

[解答]设自由电子在导线内定向移动的速率是v.

取一段导线(如图所示),自由电子从它的左端定向移动到

右端所用的时间记为t,则这段导线的长度为vt,体积为

vtS,质量为ρvtS.这段导线中的原子数为n=

ρvtS

M

NA.

由于导线中每个原子贡献一个自由电子,所以这段导线中的自由电子数

目与铜原子的数目相等,也等于n.

因为时间t内这些电子全部通过右端横截面,因此通过横截面的电荷量是

q=ne=

ρvtS

M

NAe.

把这个式子代入I=

q

t

,得I=

ρvSNAe

M

.

从中解出v=

IM

ρSNAe

,代入数值后得v=7.5×10

-5m/s.

必修第三册 第十一章 电路及其应用 79

2.导体的电阻

知识点 内容

电阻

定义

同一个导体,导体两端的电压跟通过导体的电流的比值叫做导体的

电阻.

定义式 如果用U 表示导体两端的电压,I 表示通过导体的电流,则R=

U

I

.

单位

在国际单位制中,电阻的单位是欧姆,简称为欧,单位的符号是 Ω.常用

单位有千欧(kΩ)和兆欧(MΩ),1kΩ=10

3Ω,1MΩ=10

6Ω

说明

(1)电阻是一个由导体本身性质决定的物理量,表示导体对电流阻碍

作用的大小,导体的电阻越大,在同一电压下通过的电流越小.

(2)对给定的电阻,它的电阻是一定的,因此不管导体两端有无电压,

电压大小如何,电阻是一定的;不管导体内是否有电流流过,电流强弱

如何,电阻是一定的.所以不能说电阻与电压成正比,与电流大小成

反比.

电阻定律

定义

同种材料的导体,其电阻R 与它的长度l成正比,与它的横截面积S

成反比;导体电阻与构成它的材料有关.这就是电阻定律.

表达式 R=ρ

l

S

.其中,ρ叫做这种材料的电阻率.

说明

(1)R=ρ

l

S

为导体电阻大小的决定式,表明导体电阻由导体本身因素

(电阻率ρ、长度l、横截面积S)决定,与其他因素无关.

(2)电阻率ρ反映了材料导电性能的好坏.电阻率越小,导电性能越好.

电阻率由材料的种类和温度决定,与材料的长短、粗细无关.

(3)电阻和电阻率的区别:导体的电阻由导体材料电阻率、导体长度、

横截面积决定,反映导体导电性能;电阻率是对组成导体的材料而言

的,由材料决定,反映了材料的导电性能.

80

3.实验:导体电阻率的测量

实验1 长度的测量及测量工具的选用

知识点 内容

实验目标 练习使用螺旋测微器和游标卡尺,会使用常用的电学仪器.

游标卡尺

构造

主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内外测量爪)、游标尺上还有

一个深度尺,尺身上还有一个紧固螺钉。

用途 测量厚度、长度、深度、内径、外径。

原理

利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成。不管游标尺

上有多少个小等分刻度,它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的

小等分刻度少1mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个

的、20个的、50个的,其读数见下表:

刻度格数

(分度)

刻度总长度

每小格与

1mm 的差值

精确度

(可准确到)

10 9mm 0.1mm 0.1mm

20 19mm 0.05mm 0.05mm

50 49mm 0.02mm 0.02mm

读数

若用x 表示由主尺上读出的整毫米数,K 表示从游标尺上读出与主尺

上某一刻线对齐的游标的格数测记录结果为(x+K×精确度)mm.

螺旋测微器

构造

①———测砧,②———测 微 螺 杆,③———固 定 刻 度,④———可 动 刻 度,

⑤———粗调旋钮,⑥———微调旋钮,⑦———尺架.

使用

将工件放在测砧与测微螺杆之间,先调节粗调旋钮,再调节微调旋钮,

当听到“咯咯”响声时,表明工件与测砧和测微螺杆接触紧密.这时测

砧与测微螺杆之间的距离即为工件的长度.

必修第三册 第十一章 电路及其应用 81

续表

知识点 内容

螺旋测微器

原理

螺旋测微器的测砧和固定刻度尺固定在框架上,旋钮和可动刻度、测

微螺杆连在一起,通过精密螺纹套在固定刻度上.精密螺纹的螺距为

0.5mm,即每旋转一圈前进(或后退)0.5mm.可动刻度的一周有50

等份,所以每转动一等份前进(或后退)0.01mm.因此可动刻度旋转了

多少等份就可知道长度变化了多少个0.01mm.

读数

读数时,从固定刻度上读取整、半毫米数,然后从可动刻度上读取剩余

部分(因为是10分度,所以在最小刻度后必须再估读一位),再把两部

分读数相加,得测量值.如图中的读数应该是6.702mm.必须注意要

估读到千分之一毫米位,因此螺旋测微器又叫千分尺.

注意

事项

(1)测量时,当测微螺杆将要接触物体时要停止用粗调旋钮,改为用微

调旋钮,以免 物体与测微螺杆产生过大的压力.这样既能保护器材又

能使测量结果准确.

(2)读数时,应注意固定刻度尺上的半毫米刻度线是否已经漏出,要准

确到0.01mm,估读到0.001mm.

(3)螺旋测微器要轻拿轻放,用毕放回木盒中保存,防止其碰伤或变形.

实验2 金属丝电阻率的测量

知识点 内容

实验目的 探究电阻的决定因素

实验原理

根据电阻定律公式R=ρ

l

S

,只要测量出金属导线的长度l和它的直径的d,计算出

导线的横截面积S,并用伏安法测出金属导线的电阻R,即可计算出金属导线的电

阻率.实验原理图如图所示.

82

续表

知识点 内容

实验

方案

实验

器材

被测金属导线、直流电源(4V)、电流表(0~0.6A)、电压表(0~3V)、滑动变

阻器(50Ω)、电键、导线若干、螺旋测微器、米尺等.

实验

步骤

(1)用螺旋测微器在被测金属导线上的三个不同位置各测一次直径,求出其平

均值d,计算出导线的横截面积S.

(2)按如图所示的原理电路图连接好用伏安法测电阻的实验电路.

(3)用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属导线的有效长度,反复测量3次,

求出其平均值l.

(4)把滑动变阻器的滑动片调节到使接入电路中的电阻值最大的位置,电路经

检查确认无误后,闭合电键S.改变滑动变阻器滑动片的位置,读出几组相应的

电流表、电压表的示数I 和U 的值,断开电键S,求出导线电阻R 的平均值.

(5)将测得的R、l、d 值,代入电阻率计算公式ρ=

RS

l

=

πd

2U

4Il

中,计算出金属导

线的电阻率.

(6)拆去实验线路,整理好实验器材.

实验

数据

测量次数 1 2 3 平均值

导线长l/m

导线直径d/m

测量次数 1 2 3 电阻平均值

电压U/V

电流I/A

电阻R/Ω

实验

结果

导线的横截面积S= (公式)= (代入数据)= m

2.

所测金属的电阻率ρ= (公式)= (代入数据)= Ω.

误差

分析

金属导线的电阻和电流表的内阻相差不是很大,因此在用伏安法测电阻时应

采用电流表的外接法,开始实验时滑动变阻器在电路中的阻值应调至最大,实

验过程中通过金属导线的电流不宜过大,以防止温度升高电阻率发生变化.

注意

事项

(1)测量被测金属导线的有效长度,是指测量待测导线接入电路的两个端点之

间的长度,亦即电压表两接入点间的部分待测导线长度,测量时应将导线拉直.

(2)本实验中被测金属导线的电阻值较小,因此实验电路必须采用电流表外

接法.

(3)实验连线时,应先从电源的正极出发,依次将电源、电键、电流表、待测金属

导线、滑动变阻器连成主干线路(闭合电路),然后再把电压表并联在待测金属

导线的两端.

(4)闭合电键S之前,一定要使滑动变阻器的滑动片处在有效电阻值最大的位置.

(5)在用伏安法测电阻时,通过待测导线的电流强度I 的值不宜过大(电流表用

0~0.6A 量程),通电时间不宜过长,以免金属导线的温度明显升高,造成其电

阻率在实验过程中变化.

必修第三册 第十一章 电路及其应用 83

实验3 伏安特性曲线

知识点 内容

实验

在实际应用中,常用横坐标表示电压U,纵坐标表示电流I,这样画出的I-U 图

像叫作导体的伏安特性曲线.对于金属导体,在温度没有显著变化时,电阻几乎

是不变的(不随电流、电压改变),它的伏安特性曲线是一条过原点的直线,也就

是电流I 与电压U 成正比(图1).具有这种伏安特性的电学元件叫作线性元件.

实验表明,除金属外,欧姆定律对电解质溶液也适用,但对气态导体(如日光灯

管、霓虹灯管中的气体)和半导体元件(图2)并不适用.也就是说,在这些情况下

电流与电压不成正比,这类电学元件叫作非线性元件.

4.串联电路和并联电路

知识点 内容

串 并 联 电 路

中的电流

串联电路中的电流处处相等.

并联电路中的总电流等于各支路电流之和.

串 并 联 电 路

中的电压

串联电路两端的总电压等于各部分电路两端电压之和.

并联电路的总电压与各支路电压相等.

串 并 联 电 路

中的电阻

串联电路的总电阻等于各部分电路电阻之和.

并联电路的总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和.

电 压 表 和 电

流 表 的 电 路

结构

表头

表头的电阻Rg 叫作电流表的内阻.指针偏转到最大刻度时的电流Ig

叫作满偏电流.表头通过满偏电流时,加在它两端的电压Ug 叫作满偏

电压.由欧姆定律可知Ug =IgRg,表头的满偏电压Ug 和满偏电流Ig

一般都比较小.