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（2023-2024 丰台九上期中）★★★☆
27．如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是线段 AC 延长线上一动点，连接 DP，将线段 DP 绕
点 D 逆时针旋转 60°得到线段 DQ，连接 PQ，BP，作直线 BQ 交 AC 于点 E．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；
（3）用等式表示线段 EP，EQ，EB 之间的数量关系，并证明．
备用图
A D
B C
P
A D
B C
P
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【几何综合】5-2023-2024丰台九上期中
5 / 5思路&图解法 5：法 6：FEQA DB CPFEQA DB CPFEQA DB CPFEQA DB CP
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文本内容
第2页
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吴老师图解
（1）
补全图形
（2）
思路&图解
如图，
1）△ABP≌△ADP（SAS），
2）PB＝PD＝PQ，
∴∠PBQ＝∠PQB.
备注：
如右图，或证△BCP≌△DCP.
（3）EQ＝EP＋EB.
分析
如图，
首先，明确本题为“共端点的三边数量
关系”问题，根据对称性有 DE＝BE，那么
就可以把问题转化成“鸡爪模型”问题，
当然，我们也可以直接求解...
但是，不管用什么方式，都要先求出∠P
EQ＝60°，下面给出推导过程：
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
第3页
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分析
如图，
1）设∠1＝∠2＝α，
2）∠BPQ＝60°＋2α，
3）∠PBE＝60°－α，
∴∠PEQ＝60°（提示：△PBE 的外角）.
思路一：等腰套等腰
思路&图解
如图，取 EF＝EP，连接 FP，
1）由【分析】知∠1＝60°，则△PEF 是等边三角形，
2）△PBE≌△PQF（AAS），
∴EQ＝EF＋FQ＝EP＋EB.
思路二：鸡爪模型
思路&图解
法 1：
如图，连接 ED，取 EF＝EP，连接 FP，
1）由【分析】知△PEF 是等边三角形，
2）△DEP≌△QFP（手拉手模型），
3）易证 DE＝BE，
∴EQ＝EP＋EB.
60°
1 α
2
E
Q
A D
B C
P
1
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
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4 / 5
思路&图解
法 2：
如图，取 EF＝ED，连接 DF，
1）由【分析】知∠1＝∠2＝60°，
2）利用对称知∠3＝∠2＝60°，则∠4＝60°，
∴△DEF 是等边三角形，与【法 1】同理，可得结论！
备注：后面几种解法，不再给出过程，同学们自己思考一下~
法 3：
法 4：
1
2
3 4 F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P F
E
Q
A D
B C
P
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思路&图解
法 5：
法 6：
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
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