第 51 卷 第 13 期 电力系统保护与控制 Vol.51 No.13

2023 年 7 月 1 日 Power System Protection and Control Jul. 1, 2023

DOI: 10.19783/j.cnki.pspc.221796

孤网模式下基于 HBBC 的水轮机调节系统稳定性

量化分析方法研究

陈金保 1,2，任 刚 3

，丁萁琦 3

，邹屹东 1,2，郑 阳 1

，肖志怀 1,2

(1.武汉大学动力与机械学院，湖北 武汉 430072；2.武汉大学水力机械过渡过程教育部重点实验室，

湖北 武汉 430072；3.中国长江电力股份有限公司溪洛渡水力发电厂，云南 永善 657300)

摘要：针对目前孤网模式下水轮机调节系统(hydraulic turbine regulating system, HTRS)稳定性研究方法忽略水轮机

非线性的问题，结合 Hopf 分岔理论、二分法和稳定性判据，提出了一种考虑水轮机非线性的控制器参数约束确

定算法(controller parameter constraint determination algorithm based on Hopf bifurcation theory, bisection method and

stability criterion, HBBC)，以实现对孤网模式下非线性水轮机调节系统的全工况稳定性分析。首先搭建了孤网模式

下含非线性水轮机模型的高精度 HTRS 数值仿真平台，然后详细介绍了基于 HBBC 的稳定域约束定量计算过程。

最后以某实际水电站为例，基于 HBBC 计算了孤网模式下非线性 HTRS 全工况下的稳定域，并在特殊工况下对稳

定域计算结果进行了验证。结果表明，在 HTRS 稳定性分析中，HBBC 可取代传统的稳定域计算方法，在准确性

和可靠性方面优于后者；HTRS 存在稳定域较小的“恶劣工况点”。

关键词：水电机组；孤网模式；Hopf 分岔；神经网络；二分法

Study on a quantitative stability analysis method of a hydraulic turbine regulating system

based on HBBC in frequency control mode

CHEN Jinbao1, 2, REN Gang3

, DING Qiqi3

, ZOU Yidong1, 2, ZHENG Yang1

, XIAO Zhihuai1, 2

(1. School of Power and Mechanical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China; 2. Key Laboratory of

Hydraulic Machinery Transients, Ministry of Education, Wuhan University, Wuhan, 430072, China

3. Xiluodu Hydropower Plant, China Yangtze Power Co., Ltd., Yongshan 657300, China)

Abstract: Aiming at the fact that the current stability research methods of hydraulic turbine regulating system (HTRS)

under frequency control mode (FCM) ignore hydro-turbine nonlinearity, a controller parameter constraint determination

algorithm (HBBC) considering hydro-turbine nonlinearity is proposed. This is done by combining Hopf bifurcation theory,

and a bisection method and stability criterion, to realize the stability analysis of the nonlinear HTRS of all operating

conditions in FCM. First, a high-precision nonlinear HTRS numerical simulation platform containing a nonlinear

hydro-turbine model is built in FCM. Then a quantitative calculation process of stability region constraints based on

HBBC is introduced in detail. Finally, taking an actual hydropower station as an example, the stability region of nonlinear

HTRS of all operating conditions in FCM is calculated based on HBBC. The calculation results of the stability region in

special operating conditions are verified. The results show that HBBC can replace the traditional stability region

calculation method in HTRS stability analysis, and is superior in accuracy and reliability; HTRS has some \"bad operating

conditions\" with the small stability region.

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 51979204 and No. 52009096).

Key words: hydropower unit; frequency control mode; Hopf bifurcation; neural network; bisection method

基金项目：国家自然科学基金项目资助 (51979204， 52009096)；中央高校基本科研业务费专项资金资助

(2042022kf1022)；中国博士后科学基金项目资助(2022T150498)

陈金保，等 孤网模式下基于 HBBC 的水轮机调节系统稳定性量化分析方法研究 - 61 -

0 引言

随着风电、光伏等间歇性可再生能源大比例增

加，电力系统输电网络构架及运行控制日趋复杂[1-2]。

作为具有高度灵活性的优质能源，水电机组将根据

需要运行在孤网模式或并网模式[3]。孤网模式即频

率控制模式(frequency control mode, FCM)；并网模

式包括功率控制模式和开度控制模式。相比并网模

式，在孤网模式下，担负基荷的水电机组调节系统动

态特性对于负荷保障更为重要[4-5]。然而，由于饱含

非线性，水轮机调节系统(hydraulic turbine regulating

system, HTRS)的稳定域难以直接计算，导致控制器

参数通常设置的较小。因此，如何精确计算孤网模

式下水轮机调节系统稳定域成为行业研究的热点。

水轮机调节系统是一个复杂的非线性系统，包

括调速器、引水系统、水轮机、发电机和电网等[6]。

水轮机在很大程度上代表了系统的动态特性，直接

影响 HTRS 仿真平台的准确性。为便于计算，在分

析系统稳定性时，通常采用线性水轮机模型。文献

[7]构建了分段线性混流式水轮机模型，并基于 Hopf

分岔理论在全工况范围研究了 HTRS 稳定性。基于

分数阶微积分理论，文献[8]建立了 HTRS 的分数阶

数学模型，然后通过非线性动力学分析了其稳定性，

并研究了不同分数阶下弹性水锤对控制器参数的影

响。文献[9]在考虑压力管道弹性水锤模型和二阶发

电机模型的情况下，建立了水轮机调节系统的非线

性动力学模型，并研究了考虑负荷突增过程的稳定

性。文献[10]建立了倾斜尾水洞 HTRS 的非线性数

学模型，并从 Hopf 分叉的存在性和方向性的角度

分析了不同状态参数下 HTRS 的稳定性特征。然而，

通过对非线性水轮机模型进行线性化，只能粗略地

分析 HTRS 的稳定性，包括非线性水轮机的 HTRS

稳定性分析方法需要进一步探索。

实际上，制约非线性系统稳定性分析精度的是

稳定性判据。对于不便用传递函数、状态空间方程

等形式表示的非线性系统，是无法应用劳斯稳定判

据、奈奎斯特判据、分岔理论等稳定性判据的[11]。

李雅普诺夫第二法是一种借助一个李雅普诺夫函数

直接对系统稳定性进行判断的方法，普遍适用于线

性系统、非线性系统及时变系统[11]。根据李雅普诺

夫第二法可知：若非线性系统响应的幅值是有界的，

则可判断系统稳定。然而，该判定方法将临界稳定

的系统判定为稳定系统，与工程实际不符。为此，

需要探究更适宜的非线性系统稳定性判据。

结合李雅普诺夫第二法特点，本文提出了基于

系统平稳状态下某段时间多变量积分值的 HTRS

稳定性判据。同时，鉴于现有文献稳定性分析中对

水轮机非线性考虑不足，基于 Hopf 分岔理论、二

分法和所提稳定性判据提出了一种考虑水轮机非

线性特性的控制器参数约束确定算法(controller

parameter constraint determination algorithm based on

Hopf bifurcation theory, bisection method and stability

criterion, HBBC)，并结合实际电站数据进一步研究

了孤网模式下 HTRS 的稳定性。

1 水轮机调节系统仿真平台

1.1 引水系统模型

引水系统包括上下游水库、引水管道、水轮机

流道、尾水管等[12-15]。对于压力管道小于 600~800 m

的水电站，采用刚性水击模型即可满足计算精度要

求，反之需要考虑水流和管道弹性造成的影响，采

用简化弹性水击模型或其他模型来描述管道中流

体的运动[16-17]。考虑本文研究的机组压力管道长度

较短，引水系统采用刚性水击模型，其传递函数

h G s( )为

h w G s Ts ( )   (1)

式中，Tw 为水流惯性时间常数。

1.2 水轮机模型

水轮机是参数可变、饱含非线性的原动机，其

模型精度对于 HTRS 仿真平台至关重要，通常可以

建立非线性模型或线性模型，如式(2)和式(3)[5]所

示。在对模型精度要求高时，一般采用基于特性曲

线的非线性模型，反之采用线性模型。为精确表征

水轮机真实特性，本文基于 BP 神经网络(backpropagation neural network, BPNN)构建了水轮机流量

特性神经网络(discharge characteristic neural network,

DCNN)和力矩特性神经网络(torque characteristic

neural network, TCNN)。首先采用读图软件获取包

含 DCNN 和 TCNN 样本数据的原型水轮机试验数

据，并结合 TCNN 样本数据与 BPNN 构建开度特性

神经网络(guide vane opening characteristic neural

network, GCNN)；然后结合实际运行数据和改进灰

狼优化算法(improved gray wolf optimizer, IGWO)[18]

修正 DCNN 和 TCNN 样本数据；最后，延拓 DCNN

和 TCNN 样本数据，并基于 BPNN 构建水轮机非线

性 DCNN 和 TCNN。详细建模过程如图 1 所示，图

中： Q11 为单位流量，如式(4)所示； M11 为单位力

矩； 11 n 为单位转速；Y 为导叶开度； 、 、 和

 为 IGWO 中按等级划分的狼。

- 62 - 电力系统保护与控制

图 1 基于神经网络的水轮机建模过程

Fig. 1 Modeling process of hydro-turbine based on neural network

t t

( , , )

( , , )

Q QY X H

M MYXH

  

  (2)

qy qx qh

ty x h

q e y+e x+e h

m e y+e x+e h

    

(3)

11 11

11

π

30

n M Q

  (4)

式中：Q 为水轮机流量；Mt 为水轮机力矩；X 为机

组转速；H 为工作水头； qx e 、 qy e 和 qh e 分别为 Q 对

X、Y 和 H 的传递系数； x e 、 y e 和 h e 分别为 Mt 对 X、

Y 和 H 的传递系数；q、mt 、x、y 和 h 分别表示 Q、

Mt、X、Y 和 H 的偏差相对值；  g ，  是水的

密度，g 是重力加速度常数； 为水轮机效率。

1.3 调速器模型

水电站调速器包括控制器和电液随动系统[19]。由

于 PID 型控制器(proportional-integral-differential, PID)

结构简单、参数易调整，被广泛应用于水电站[20-23]。

PID 型控制器具有串联和并联两种基本结构，本文

研究的水电站采用的是并联 PID 型，传递函数 c G s( )

如式(5)所示，其电液随动系统传递函数 s G s( )如式(6)

所示。

2

D PI

c ( ) u Ks Ks K G s

e s

    (5)

s

y

1 ( ) 1

y G s

u Ts   

(6)

式中：u 为控制器输出；e 为控制器输入；KP 、KI

和 KD 分别为比例、积分和微分增益；Ty 为主接力

器反应时间常数。

1.4 发电机模型

对于 HTRS 动态特性研究，由于发电机中的电

磁暂态响应远快于水轮机的水力机械响应，通常不

考虑机组电气瞬变过程，即忽略发电机转子和励磁

调节器的电磁暂态[24-27]。因此，发电机及负载特性采

用经典的一阶惯性环节描述，其传递函数 g G s( ) 为

g

a g

1 G s( ) Ts e  

(7)

式中：Ta 为机组惯性时间常数； g e 为发电机负载自

调节系数。

1.5 水轮机调节系统整体模型

结合基于神经网络的非线性水轮机模型、引水

系统刚性水击模型、一阶发电机模型、并联 PID 控

制器及其随动系统模型等模块，得到 FCM 下水轮

机调节系统的整体非线性模型，如图 2 所示。图中：

mg 为发电机阻力矩； cf 和 f 分别为给定频率和反馈

频率，均为偏差相对值；Y0 、 X0 、 H0 、 M0 和Q0

分别为 Y、X、H、 Mt 和 Q 的初始值；D 为转轮直

径；Hr 为额定水头；Xr 为额定转速；Mr 为额定力

矩；Qr 为额定流量。

2 基于 HBBC的HTRS稳定域约束定量计算

基于 HBBC 的稳定域约束计算包括：1) 建立非线

性 HTRS(nonlinear HTRS, N-HTRS)的线性化模型

(linear HTRS, L-HTRS)，并获取 L-HTRS 模型的状态

空间方程；2) 基于 Hopf 分岔理论计算 L-HTRS 的控

制器参数约束 (controller parameter constraints of

L-HTRS, L-CPC)；3) 基于 L-CPC、二分法和稳定性判

据求解 N-HTRS 的控制器参数约束 (controller

parameter constraints of N-HTRS, N-CPC)。基于 HBBC

的 N-CPC 计算过程如图 3 所示，图中：1 和2 为修

正系数； 为稳定域约束计算精度；KPNMAX 和KINMAX

为 N-HTRS 稳定域内最大KP 和KI 。为确保计算结果

准确性，取 3  10  。基于 HBBC 得到的由KPNMAX 和

KINMAX 构成的数组(即 N-CPC)。需要注意的是，计算

陈金保，等 孤网模式下基于 HBBC 的水轮机调节系统稳定性量化分析方法研究 - 63 -

图 2 水轮机调节系统整体非线性模型

Fig. 2 Overall nonlinear model of HTRS

图 3 基于 HBBC 的 N-CPC 计算流程

Fig. 3 N-CPC calculation process based on HBBC

L-HTRS 控制器参数约束是为了粗略确定 N-HTRS 控

制器参数约束的边界条件，以缩短 N-CPC 计算时间。

2.1 获取 L-HTRS 模型的状态空间方程

通过对 DCNN 和 TCNN 的输出求偏导，计算

出式(3)中水轮机传递系数，获得线性水轮机模型。

L-HTRS 获取步骤如图 4 所示，图中，Ymax 为最大

导叶开度。

- 64 - 电力系统保护与控制

图 4 L-HTRS 构建过程

Fig. 4 L-HTRS construction process

根据图 4 和式(3)得到孤网模式下 L-HTRS 状态

空间方程，如式(8)所示。

Pc f Dc

y

qx qy

qh qh qh w

t gg

a

f Ic

1 () ()

1

1 ( )

( )

y Kf f I Kf f y T

e e

h xy h e e eT

f m m ex T

I Kf f

          





    



   



  

  

  





(8)

2.2 计算 L-CPC

对于 n 阶 L-HTRS，其微分方程可用矩阵形式

x x   f (,) v 表示[3]，其中 x 是状态变量的矩阵，v 是

Hopf 分岔参数。系统平衡点 0 0 (, ) x v 处 Jacobian 矩

阵的特征方程为

0

( ,) () 0

n i

i

i

F v pv   

   (9)

式中： i p 是与系统参数相关的特征方程的系数；

是待求解特征方程的根。

在临界稳定条件下，系统特征方程存在两个实

部为 0 的特征值及( 2) n  个实部不为 0 的根[6]。因

此，系统特征多项式满足式(10)。

3 22 2

0

() ( )

n n i

i

i

Fw a   

 



 

       (10)

式中：w 是纯虚共轭复根的虚部； i a 是具有非零实

部特征根构成的多项式的系数。

结合式(9)和式(10)，可求解满足 L-HTRS 临界

稳定性约束的所有特征值和未知参数。可通过求解

平衡点处的联合方程得到 KD 、 KP 和 KI 之间的关

系，如式(11)所示。

2

0P 1P 2

I

3P 4

kK kK k K

kK k

   

(11)

式中， 0 k 、 1 k 、 2 k 、 3 k 和 4 k 是随工况变化的系数。

2.3 计算 N-CPC

根据式(11)确定 L-HTRS 稳定域，然后确定典

型工况下控制器参数最大约束( KPLMAX 和 KILMAX )，

进一步结合二分法和稳定性判据确定 N-HTRS 的

陈金保，等 孤网模式下基于 HBBC 的水轮机调节系统稳定性量化分析方法研究 - 65 -

N-CPC。其中，稳定性判据指的是：若稳定性指标

s I I ＜ ，判断系统稳定。 N s I 包含了 N-HTRS 稳态

下某段时间内水轮机力矩、转速和流量的偏差相对

值的积分量，如式(12)所示。对于稳定系统，理论

上 I N  0 ，但为减少计算时间，本文取 I N 1、max t 

100 s 、 lim t 10 s 。

max max max

max lim max lim max lim

S1 2 3 Δ ΔΔ t tt

t tt tt tt I I m I xI q       (12)

式中， 1I 、 2 I 和 3 I 是权重系数，分别取 0.3、0.6 和 0.1。

3 仿真验证及对比研究

以中国西南部某巨型混流式水电站为例，取

D K  0 ，本文基于 HBBC 对其孤网模式下 HTRS

进行了稳定性分析。该水电站数据如表 1 所示。

表 1 某水电站水轮机调节系统参数

Table 1 Parameters of HTRS of a hydropower station

子系统 参数

控制器 FCM下不设死区，输出不受限

随动系统 Ty = 0.4594

水轮机

D = 6.223 m；Hr = 197 m；最大水头Hmax = 229.4 m；

最小水头Hmin = 154.6 m；Qr = 432.7 m3

/s

引水系统 Tw = 1.29

发电机 Ta = 12.239；eg = 0.176

3.1 N-HTRS 模型验证

根据表 1 中 HTRS 参数和水轮机原型综合特性

曲线构建 N-HTRS，然后采用空载扰动数据对模型

精度进行验证。3 个系统状态变量实测值与仿真值

对比结果如图 5 所示，可以看出，仿真数据在很大

程度上与实测数据接近，表明所建 N-HTRS 模型足

够准确、可靠。

图 5 FCM 下 N-HTRS 模型验证结果

Fig. 5 Verification results of N-HTRS model under FCM

3.2 确定1 和2

选择 6 个典型工况分别计算 L-HTRS 和 N-HTRS

的稳定域，结果如图 6 所示，其边界值计算结果如

表 2 所示。图 6 中阴影部分表示稳定域，可以看出，

由 N-CPC 确定的 N-HTRS 稳定域在各工况下均小

于由 L-CPC 确定的 L-HTRS 稳定域，说明计算控

制器约束时忽略水轮机非线性易得出误差较大的

结果。

由 表 2 得到各工况下的 PNMAX PLMAX K K/ 和

INMAX ILMAX K K/ ，如表 3 所示。结合表 3 中参考值，

并考虑计算速度，1 和2 均取 0.9。

表 2 6 个典型工况下稳定域边界值计算结果

Table 2 Calculation results of stable region boundary values under 6 typical operating conditions

L-HTRS 稳定域内 KPLMAX 和 KILMAX N-HTRS 稳定域内 KPNMAX 和 KINMAX

水头 Y = 40% Y = 80% Y = 40% Y = 80%

KPLMAX KILMAX KPLMAX KILMAX KPNMAX KINMAX KPNMAX KINMAX

H = Hmin 17.5 4.56 11.4 1.99 14.85 3.72 9.85 1.72

H = Hr 14.1 3.98 9.13 1.76 12.1 3.32 7.8 1.51

H = Hmax 12.2 3.6 8.03 1.63 10.5 3.03 6.95 1.4

表 3 6 个典型工况下的 KPNMAX/KPLMAX和 KINMAX/KILMAX

Table 3 KPNMAX/KPLMAX and KINMAX/KILMAX under 6 typical operating conditions

KPNMAX/KPLMAX KINMAX/KILMAX 水头

Y = 40% Y = 80% Y = 40% Y = 80%

H = Hmin 0.85 0.86 0.82 0.87(参考值)

H= Hr 0.86 0.85 0.83 0.86

H = Hmax 0.86 0.87(参考值) 0.84 0.86

- 66 - 电力系统保护与控制

图 6 典型工况下基于 L-CPC 和 N-CPC 的水电机组稳定域

Fig. 6 Stable region of hydropower unit based on L-CPC

and N-CPC under typical operating conditions

3.3 全工况范围稳定性分析

为分析 HTRS 在全工况下稳定性，对导叶开度

和水头分别以 DY 10% 、 D H 10 m 为间隔进行工

况划分。然后，基于 HBBC 在 cf  0.003 的过渡过

程中计算 N-HTRS 的 N-CPC。进一步，由 N-CPC

获得 N-HTRS 全工况下稳定域如图 7 所示，并计算

相应的稳定区域面积(S)，如图 8 所示。由图 7 和图

8 可以看出，S 在低水头和小开度工况下较大，而在

高水头和大开度工况下较小。当Y ＜ 时， 50% S 较

大，且对 H 和 Y 敏感度较高；当Y ＞ 时， 50% S 较

小，且对 H 和 Y 敏感度较低。因此，水电站在整定

控制器参数时应更多考虑 Y 的影响。另外，需注意

的是，在全工况范围存在一些 S 非常小的特殊工况，

称为“恶劣工况点”，是由水轮机的非线性引起的。

据了解，这是首次通过理论计算发现“恶劣工

况点”，并为 HTRS 控制器参数的优化提供了重要

参考。在传统 PID 参数优化中，往往以全局稳定

性为目标，所获得的 PID 参数在大多数工况下的

调节效果较差，其原因是受到了“恶劣工况点”的

影响。因此，应在优化 PID 参数之前基于 HBBC

陈金保，等 孤网模式下基于 HBBC 的水轮机调节系统稳定性量化分析方法研究 - 67 -

找出“恶劣工况点”，并在附近划分更多工况点以

减少其影响。

3.4 恶劣工况点稳定域计算结果验证

为验证图 8(b)中“恶劣工况点”处的 S，采用

不同的控制器参数进行仿真试验，结果如图 9 所示。

从图 9 可以看出，两个“恶劣工况点”的 f 曲线在

稳定区域内收敛，但在稳定区域外发散。该验证结

果不仅证明了基于HBBC 的N-HTRS控制器参数约

束计算方法的合理性，也证实了“恶劣工况点”的

存在。

图 7 孤网模式下水电机组全工况稳定域

Fig. 7 Stable region of hydropower unit of full operating conditions under FCM

图 8 孤网模式下水电机组全工况稳定域面积

Fig. 8 Stable region area of hydropower unit of fulloperating conditions under FCM

- 68 - 电力系统保护与控制

图 9 恶劣工况点验证结果

Fig. 9 Verification results of bad operating points

4 结论

针对目前孤网模式下水电机组稳定性研究忽略

水轮机非线性，首先构建含非线性水轮机模型的高

精度水轮机调节系统仿真平台，然后结合 Hopf 分

岔理论、二分法和基于系统平稳状态下某段时间多

变量积分值的 HTRS 稳定性判据，提出一种考虑水

轮机非线性的控制器参数约束确定算法(HBBC)，并

采用实际电站数据实现了对孤网模式下非线性水轮

机调节系统的全工况稳定性分析。

1) 水轮机调节系统稳定域在小开度工况下对

水头和导叶开度敏感度较高，而在大开度工况下对

水头和导叶开度敏感度较低。因此，水电站在整定

控制器参数时应格外考虑导叶开度的影响。

2) 水轮机调节系统存在“恶劣工况点”，“恶劣

工况点”处的稳定域面积远小于附近工况。为避免

“恶劣工况点”的影响，在调整 PID 参数时，必须

将工况划分得足够精细。

3) 提出的稳定域计算方法考虑了水轮机的非

线性同时计及了计算速度与精度，可作为水电机组

稳定性分析的首选方法。

本文以孤网模式下水电机组稳定性分析为例，

研究了基于HBBC的水轮机调节系统稳定性量化分

析方法。功率模式下水轮机调节系统稳定性影响机

制更为复杂，基于 HBBC 的水电机组稳定性有待进

一步研究。

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收稿日期：2022-11-11； 修回日期：2023-01-04

作者简介：

陈金保(1992—)，男，博士研究生，研究方向为水电机

组建模与优化控制。E-mail: chenjinbaovip@163.com

(编辑 姜新丽)