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第一部分 考点专题

专题一 实数

考点 1 实数的相关概念

1. 【2022 江西省】下列各数中,负数是 ( )

A. - 1 B. 0 C. 2 D. 2

2. 【2022 甘肃武威】 - 2 的相反数为 ( )

A. - 2 B. 2 C. ± 2 D.

1

2

3. 【2022 广东省】计算 2

2 的结果是 ( )

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4

4. 【2022 广西梧州】

2

5

的倒数是 ( )

A.

5

2

B. -

2

5

C. ±

2

5

D. -

5

2

5. 【2022 贵州黔东南州】下列说法中,正确的是 ( )

A. 2 与 - 2 互为倒数 B. 2 与

1

2

互为相反数

C. 0 的相反数是 0 D. 2 的绝对值是 - 2

6. 【2022 湖北黄冈】 - 5 的绝对值是 ( )

A. 5 B. - 5 C. -

1

5

D.

1

5

7. 【2022 吉林省】要使算式( - 1)□3 的运算结果最大,则“□”内应填入的

运算符号为 ( )

A. + B. - C. × D. ÷

8. 【2022 内蒙古包头】若 a,b 互为相反数,c 的倒数是 4,则 3a + 3b - 4c 的值

为 ( )

A. - 8 B. - 5 C. - 1 D. 16

考点 2 实数的大小比较

9. 【2022 黑龙江大庆】实数 c,d 在数轴上的对应点如图所示,则下列式子正

确的是 ( )

A. c > d B. |c| > | d | C. - c < d D. c + d < 0

10. 【2022 湖北荆州】实数 a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,其中

有两个数互为相反数,它们是 ( )

A. a 与 d B. b 与 d C. c 与 d D. a 与 c

11. 【2022 湖南湘潭】如图,点 A、B 表示的实数互为相反数,则点 B 表示的实

数是 ( )

A. 2 B. - 2 C.

1

2

D. -

1

2

12. 【2022 辽宁营口】在 2 ,0, - 1,2 这四个实数中,最大的数是 ( )

A. 0 B. - 1 C. 2 D. 2

13. 【2022 山东潍坊】秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”,兵马俑的

眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为

5 - 1

2

,下列估算正确

的是 ( )

A. 0 <

5 - 1

2

<

2

5

B.

2

5

<

5 - 1

2

<

1

2

C.

1

2

<

5 - 1

2

< 1

D.

5 - 1

2

> 1

14. 【2022 江苏常州】如图,数轴上的点 A、B 分别表示实数 a,b,则

1

a

1

b

. (填“ > ”“ = ”或“ < ”)

15. 【2022 陕西省】实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则 a

- b. (填“ > ”“ = ”或“ < ”)

考点 3 科学计数法

16. 【2022 河北省】某正方形广场的边长为 4 × 10

2 m,其面积用科学记数法

表示为 ( )

A. 4 × 10

4 m

2 B. 16 × 10

4 m

2 C. 1. 6 × 10

5 m

2 D. 1. 6 × 10

4 m

2

17. 【2022 河南省】 《孙子算经》中记载:“凡大数之法,万万曰亿,万万亿曰

兆”说明了大数之间的关系:1 亿 = 1 万 × 1 万,1 兆 = 1 万 × 1 万 × 1 亿,

则 1 兆等于 ( )

A. 10

8 B. 10

12 C. 10

16 D. 10

24

18. 【2022 黑龙江齐齐哈尔】据统计,2022 届高校毕业生规模预计首次突破

千万,约为 10760000 人,总量和增量均为近年之最. 将 10760000 用科学

记数法表示为 .

19. 【2022 湖北十堰】袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”,经过他带领的团

队的多年努力,目前我国杂交水稻种植面积约为 2. 5 亿亩. 将 250000000

用科学记数法表示为 2. 5 × 10

n

,则 n = .

考点 4 平方根(算术平方根)、立方根

20. 【2022 江苏常州】计算:

3

8 = .

21. 【2022 陕西省】计算:3 - 25 = .

22. 【2022 广西桂林】化简 12的结果是 ( )

A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D. 2

23. 【2022 河北省】下列正确的是 ( )

A. 4 + 9 = 2 + 3 B. 4 × 9 = 2 × 3

C. 9

4

= 3

2 D. 4. 9 = 0. 7

考点 5 实数的运算

24. 【2022 广西贺州】计算: ( - 3)

2

+ - 2 + ( 5 - 1)

0

- tan45°.

25. 【2022 广西梧州】计算: 9 - 5 + ( - 3) × ( - 2)

2

.

26. 【2022 广西玉林】计算:2022

0

+ 4 + -

1

2

- sin30°.

27. 【2022 贵州黔东南州】 计算: ( - 1 )

- 3

+

3

8 + 2 - 5 +

π

2

- 1. 57 ( )

0

- 20 .

28. 【2022 黑龙江大庆】计算: 3 - 2 × (3 - π)

0

+

3

- 8 .

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2

专题二 整式与因式分解

考点 1 整式的运算

1. 【2022 河北省】计算 a

3

÷ a 得 a

?

,则“?”是 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 【2022 湖南湘潭】下列整式与 ab

2 为同类项的是 ( )

A. a

2

b B. - 2ab

2 C. ab D. ab

2

c

3. 【2022 江西省】下列计算正确的是 ( )

A. m

2·m

3

= m

6 B. - (m - n) = - m + n

C. m(m + n) = m

2

+ n D. (m + n)

2

= m

2

+ n

2

4. 【2022 内蒙古包头】若 2

4

× 2

2

= 2

m

,则 m 的值为 ( )

A. 8 B. 6 C. 5 D. 2

5. 【2022 湖北武汉】计算 2a

4

( )

3 的结果是 ( )

A. 2a

12 B. 8a

12 C. 6a

7 D. 8a

7

6. 【2022 内蒙古包头】若一个多项式加上 3xy + 2y

2

- 8,结果是 2xy + 3y

2

- 5,

则这个多项式为 .

7. 【2022 湖南衡阳】先化简,再求值: ( a + b ) ( a - b ) + b (2a + b ),其中 a = 1,b

= - 2.

8. 【2022 湖南岳阳】已知a

2

- 2a + 1 = 0,求代数式 a(a - 4) + (a + 1)(a - 1)

+ 1 的值.

9. 【2022 江苏常州】计算:(1)( 2 )

2

- (π - 3)

0

+ 3

- 1

;(2)(x + 1)

2

- (x - 1)

(x + 1).

考点 2 因式分解

10. 【2022 广西桂林】因式分解:a

2

+ 3a = .

11. 【2022 贵州黔东南州】分解因式:2022x

2

- 4044x + 2022 = .

12. 【2022 黑龙江哈尔滨】把多项式 mn

2

- 9m 分解因式的结果是 .

13. 【2022 黑龙江大庆】已知代数式 a

2

+ (2t - 1) ab + 4b

2 是一个完全平方

式,则实数 t 的值为 .

考点 3 列代数式及代数式求解

14. 【2022 内蒙古赤峰】已知( x + 2 ) ( x - 2 ) - 2x = 1,则 2x

2

- 4x + 3 的值为

( )

A. 13 B. 8 C. - 3 D. 5

15. 【2022 河北省】若 x 和 y 互为倒数,则 x +

1

y

( ) 2y -

1

x

( )的值是 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

16. 【2022 浙江杭州】照相机成像应用了一个重要原理,用公式

1

f

=

1

u

+

1

v

(v≠f)表示,其中 f 表示照相机镜头的焦距,u 表示物体到镜头的距离,v

表示胶片(像)到镜头的距离. 已知 f,v,则 u 等于 ( )

A.

fv

f - v

B.

f - v

fv

C.

fv

v - f

D.

v - f

fv

17. 【2022 内蒙古包头】已知实数 a,b 满足 b - a = 1,则代数式 a

2

+ 2b - 6a +

7 的最小值等于 ( )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

18. 【2022 山东威海】试卷上一个正确的式子(

1

a + b

+

1

a - b

) ÷ ★ =

2

a + b

被小

颖同学不小心滴上了墨汁,则被墨汁遮住部分的代数式为 ( )

A.

a

a - b

B.

a - b

a

C.

a

a + b

D.

4a

a

2

- b

2

19. 【2022 吉林省】篮球队要购买 10 个篮球,每个篮球 m 元,一共需要

元. (用含 m 的代数式表示)

20. 【2022 湖南邵阳】已知 x

2

- 3x + 1 = 0,则 3x

2

- 9x + 5 = .

21. 【2022 吉林省】下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中 A 是关于

m 的多项式. 请写出多项式 ,并将该例题的解答过程补充完整.

例:先去括号,再合并同类项:m(A) - 6(m + 1).

解:m(A) - 6(m + 1)

= m

2

+ 6m - 6m - 6

= .

22. 【2022 江苏扬州】掌握地震知识,提升防震意识. 根据里氏震级的定义,

地震所释放出的能量 E 与震级 n 的关系为:E = k × 10

1. 5n

(其中 k 为大于

0 的常数),那么震级为 8 级的地震所释放的能量是震级为 6 级的地震所

释放能量的 倍.

23. 【2022 山东烟台】如图,是一个“数值转换机”的示意图. 若 x = - 5,y = 3,

则输出结果为 .

24. 【2022 湖北随州】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著

作,是数学发展史的一个里程碑. 在该书的第 2 幕“几何与代数”部分,记

载了很多利用几何图形来论证的代数结论,利用几何给人以强烈印象将

抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

(1)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理,观察下列图

形,找出可以推出的代数公式,(下面各图形均满足推导各公式的条

件,只需填写对应公式的序号)

公式①: ( a + b + c)d = ad + bd + cd

公式②: ( a + b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd

公式③: ( a - b )

2

= a

2

- 2ab + b

2

公式④: ( a + b )

2

= a

2

+ 2ab + b

2

图 1 对应公式 ,图 2 对应公式 ,图 3 对应公式

,图 4 对应公式 ;

(2) 《 几 何 原 本》 中 记 载 了 一 种 利 用 几 何 图 形 证 明 平 方 差 公 式:

( a + b ) ( a - b ) = a

2

- b

2 的方法,如图 5,请写出证明过程;(已知图中

各四边形均为矩形)

(3)如图 6,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC = 90°,D 为 BC 的中点,E

为边 AC 上任意一点(不与端点重合),过点 E 作 EG⊥BC 于点 G,作

EH⊥AD 于点 H,过点 B 作 BF∥AC 交 EG 的延长线于点 F. 记△BFG

与△CEG 的面积之和为 S1 ,△ABD 与△AEH 的面积之和为 S2

.

①若 E 为边 AC 的中点,则

S1

S2

的值为 ;

②若 E 不为边 AC 的中点时,试问①中的结论是

否仍成立? 若成立,写出证明过程;若不成立,请

说明理由.

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3

专题三 二次根式

考点 1 二次根式有意义的条件

1. 【2022 广西贺州】若代数式 x - 5在实数范围内有意义,则实数 x 的取值

范围是 .

2. 【2022 内蒙古包头】若代数式 x + 1 +

1

x

在实数范围内有意义,则 x 的取

值范围是 .

3. 【2022 湖南邵阳】若

1

x - 2

有意义,则 x 的取值范围是 .

4. 【2022 四川雅安】使 x -2有意义的 x 的取值范围在数轴上表示为 ( )

A. B.

C. D.

考点 2 二次根式的性质

5. 【2022 贵州铜仁】在实数 2 , 3 , 4 , 5中,有理数是 ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 【2022 湖南怀化】下列计算正确的是 ( )

A. (2a

2

)

3

= 6a

6 B. a

8

÷ a

2

= a

4

C. ( - 2)

2

= 2 D. (x - y)

2

= x

2

- y

2

7. 【2022 内蒙古呼和浩特】下列运算正确的是 ( )

A.

1

2

× 8 = ± 2 B. (m + n)

2

= m

2

+ n

2

C.

1

x - 1

-

2

x

= -

1

x

D. 3xy ÷

- 2y

2

3x

( ) = -

9x

2

2y

8. 【2022 浙江杭州】计算: 4 = ; ( - 2 )

2

= .

考点 3 二次根式的估算

9. 【2022 浙江宁波】写出一个大于 2 的无理数 .

10. 【2022 江苏宿迁】满足 11≥k 的最大整数 k 是 .

11. 【2022 湖北荆州】 若 3 - 2 的整数部分为 a,小数部分为 b,则代数式

(2 + 2 a )·b 的值是 .

12. 【2022 湖北随州】已知 m 为正整数,若 189m 是整数,则根据 189m =

3 × 3 × 3 × 7m = 3 3 × 7m可知,m 有最小值 3 × 7 = 21. 设 n 为正整数,

若

300

n

是大于 1 的整数,则 n 的最小值为 ,最大值为

.

13. 【2022 山东临沂】满足 m > 10 - 1 的整数 m 的值可能是 ( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

考点 4 二次根式的运算

14. 【2022 山东泰安】计算: 8 × 6 - 3

4

3

= .

15. 【2022 湖南衡阳】计算: 2 × 8 = .

16. 【2022 广西梧州】下列计算错误的是 ( )

A. a

3·a

5

= a

8 B. (a

2

b)

3

= a

6

b

3

C. 3 5 + 2 5 = 5 5 D. (a + b)

2

= a

2

+ b

2

17. 【2022 河南省】下列运算正确的是 ( )

A. 2 3 - 3 = 2 B. ( a + 1 )

2

= a

2

+ 1

C. a

2

( )

3

= a

5 D. 2a

2·a = 2a

3

18. 【2022 贵州黔东南州】若 (2x + y - 5 )

2

+ x + 2y + 4 = 0,则 x - y 的值是

.

19. 【2022 广西贺州】若实数 m,n 满足∣ m - n - 5 ∣ + 2m + n - 4 = 0,则

3m + n = .

20. 【2022 四川宜宾】 《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著

作,书中提出了已知三角形三边 a、b、c,求面积的公式,其求法是:“以小

斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余

四约之,为实.一为从隅,开平方得积. ”若把以上这段文字写成公式,即

为:S =

1

4

c

2

a

2

-

c

2

+ a

2

- b

2

2

( )

2

[ ]. 现有周长为 18 的三角形的三边满

足 a ∶ b ∶ c = 4 ∶ 3 ∶ 2, 则用以上给出的公式求得这个三角形的面积

为 .

21. 【湖南怀化】计算:(3. 14 - π)

0

+ 2 - 1 + (

1

2

)

- 1

- 8 .

22. 【2022 辽宁营口】先化简,再求值: a + 1 -

5 + 2a

a + 1

( ) ÷

a

2

+ 4a + 4

a + 1

,其中 a =

9 + - 2 -

1

2

( )

- 1

.

23. 【2022 内蒙古赤峰】 先化简, 再求值: 1 +

2a - 1

a + 1

( ) ÷

a

a

2

- 1

, 其中 a =

1

2

( )

- 1

- 8 + 4cos45°.

24. (2021 湖南怀化)先化简,再求值:

1

x

+

2x +6

x

2

-4x +4

·

x -2

x

2

+3x

,其中 x = 2 +2.

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4

专题四 分式

考点 1 分式的性质

1. 【2022 湖南怀化】代数式

2

5

x,

1

π

,

2

x

2

+ 4

,x

2

-

2

3

,

1

x

,

x + 1

x + 2

中,属于分式的有

( )

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

2. 【2022 宁夏】下列各式正确的是 ( )

A.

- x + y

- x - y

=

x - y

x + y

B.

- x + y

x - y

=

- x - y

x - y

C.

- x + y

- x - y

=

x + y

x - y

D.

- x + y

- x - y

= -

x - y

x + y

3. 【2021 内蒙古呼和浩特】下列计算正确的是 ( )

A. - 6 ÷

1

3

-

1

2

( ) = - 6 B. 2a

2

b·3abc = 6a

3

b

2

C. ( x + 2 ) ( - x - 2 ) = x

2

- 4 D.

3x

( x - 1 )

2

-

3

(1 - x )

2

=

3

x - 1

考点 2 分式有意义的条件

4. 【2022 江苏扬州】不论 x 取何值,下列代数式的值不可能为 0 的是 ( )

A. x + 1 B. x

2

- 1 C.

1

x + 1

D. ( x + 1 )

2

5. 【2022 湖北黄冈】若分式

2

x - 1

有意义,则 x 的取值范围是 .

6. 【四川凉山】若关于 x 的分式方程

2x

x - 1

- 3 =

m

1 - x

的解为正数,则 m 的取值

范围是 .

考点 3 分式的运算

7. 【2022 湖南衡阳】计算:

2a

a + 2

+

4

a + 2

= .

8. 【2022 湖南怀化】计算:

x + 5

x + 2

-

3

x + 2

= .

9. 【2022 湖北武汉】化简:

2x

x

2

- 9

-

1

x - 3

的结果是 .

10. 【2022 甘肃武威】化简:

( x + 3 )

2

x + 2

÷

x

2

+ 3x

x + 2

-

3

x

.

11. 【2022 陕西省】化简:

a + 1

a - 1

+ 1 ( ) ÷

2a

a

2

- 1

.

考点 4 分式的化简求值

12. 【2022 浙江金华】若分式

2

x - 3

的值为 2,则 x 的值是 .

13. 【2022 广西玉林】若 x 是非负整数,则表示

2x

x + 2

-

x

2

- 4

(x + 2)

2的值的对应点

落在下图数轴上的范围是 ( )

A. ① B. ② C. ③ D. ①或②

14. 【2022 黑龙江哈尔滨】先化简,再求代数式

1

x - 1

-

x - 3

x

2

- 2x + 1

( ) ÷

2

x - 1

的

值,其中 x = 2cos45° + 1.

15. 【2022 江西省】以下是某同学化简分式

x + 1

x

2

- 4

-

1

x + 2 ( ) ÷

3

x - 2

的部分运

算过程:

解:原式 =

x + 1

(x + 2)(x - 2)

-

1

x + 2

[ ]·

x - 2

3

①

=

x + 1

(x + 2)(x - 2)

-

x - 2

(x + 2)(x - 2)

[ ]·

x - 2

3

②

=

x + 1 - x - 2

(x + 2)(x - 2)

·

x - 2

3

③

…

(1)上面的运算过程中第 步出现了错误;

(2)请你写出完整的解答过程.

16. 【2022 内蒙古通辽】 先化简,再求值: a -

4

a

( ) ÷

a - 2

a

2

,请从不等式组

a + 1 > 0

4a - 5

3

≤1

ì

î

í

ïï

ïï

的整数解中选择一个合适的数求值.

17. 【2022 山东潍坊】(1)在计算

- 2

2

- ( - 1)

10

+ | - 6 | + 3

3

3 tan30°-

3

64 × ( - 2)

- 2

+ ( - 2)

0时,小亮

的计算过程如下:

- 2

2

- ( - 1)

10

+ | - 6 | + 3

3

3 tan30°-

3

64 × ( - 2)

- 2

+ ( - 2)

0

=

4 - ( - 1) - 6 + 27

3 × 3 - 4 × 4 + 0

=

4 + 1 - 6 + 27

3 - 16

= - 2

小莹发现小亮的计算有误,帮助小亮找出了 3 个错误. 请你找出其他错

误,参照① ~ ③的格式写在横线上,并依次标注序号:

① - 2

2

= 4;②( - 1)

10

= - 1;③ - 6 = - 6;

.

请写出正确的计算过程.

(2)先化简,再求值:

2

x - 3

-

1

x

( )·

x

2

- 3x

x

2

+ 6x + 9

,其中 x 是方程 x

2

- 2x - 3

= 0 的根.

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5

阶段测评(一) 数与式

注意事项:本试卷共三道大题,21 道小题,满分 100 分,建议用时 40 分钟。

一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)

1. 【2022 浙江金华】在 - 2,

1

2

, 3 ,2 中,是无理数的是 ( )

A. - 2 B.

1

2

C. 3 D. 2

2. 【2022 浙江温州】计算 9 + ( - 3)的结果是 ( )

A. 6 B. - 6 C. 3 D. - 3

3. 【2022 四川成都】2022 年 5 月 17 日,工业和信息化部负责人在“2022 世

界电信和信息社会日”大会上宣布,我国目前已建成 5G 基站近 160 万个,

成为全球首个基于独立组网模式规模建设 5G 网络的国家. 将数据 160 万

用科学记数法表示为 ( )

A. 1. 6 × 10

2 B. 1. 6 × 10

5 C. 1. 6 × 10

6 D. 1. 6 × 10

7

4. 【2022 四川宜宾】2020 年 12 月 17 日,我国嫦娥五号返回器携带着月球样

本玄武岩成功着陆地球. 2021 年 10 月 19 日,中国科学院发布了一项研究

成果:中国科学家测定,嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为 20. 30 ±

0. 04亿年. 用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为

( )(单位:年)

A. 2. 034 × 10

8 B. 2. 034 × 10

9

C. 2. 026 × 10

8 D. 2. 026 × 10

9

5. 【2022 浙江绍兴】下列计算正确的是 ( )

A. (a

2

+ ab) ÷ a = a + b B. a

2·a = a

2

C. (a + b)

2

= a

2

+ b

2 D. (a

3

)

2

= a

5

6. 【2022 新疆省】下列运算正确的是 ( )

A. 3a - 2a = 1 B. a

3·a

5

= a

8

C. a

8

÷ 2a

2

= 2a

4 D. (3ab)

2

= 6a

2

b

2

7. 【2022 浙江温州】化简( - a)

3·( - b)的结果是 ( )

A. - 3ab B. 3ab C. - a

3

b D. a

3

b

8. 【2022 陕西省】计算:2x· - 3x

2

y

3

( ) = ( )

A. 6x

3

y

3 B. - 6x

2

y

3 C. - 6x

3

y

3 D. 18x

3

y

3

9. 【2022 四川内江】如图,数轴上的两点 A、B 对应的实数分别是 a,b,则下列

式子中成立的是 ( )

A. 1 - 2a > 1 - 2b B. - a < - b C. a + b < 0 D. | a | - | b | > 0

10. 【2022 浙江宁波】将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按

如图方式不重叠地放置在矩形 ABCD 内,其中矩形纸片和正方形纸片的

周长相等. 若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 ( )

A. 正方形纸片的面积 B. 四边形 EFGH 的面积

C. △BEF 的面积 D. △AEH 的面积

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

11. 【2022 湖南岳阳】要使 x - 1有意义,则 x 的取值范围是 .

12. 【2022 浙江温州】分解因式:m

2

- n

2

= .

13. 【2022 浙江温州】计算:

x

2

+ xy

xy

+

xy - x

2

xy

= .

14. 【2022 黑龙江齐齐哈尔】若关于 x 的分式方程

1

x - 2

+

2

x + 2

=

x + 2m

x

2

- 4

的解

大于 1,则 m 的取值范围是 .

15. 【2022 四川内江】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》

中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图 1 所示的“弦

图”,后人称之为“赵爽弦图”. 图 2 由弦图变化得到,它是由八个全等的

直角三角形拼接而成. 记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT

的面积分别为 S1 、S2 、S3

. 若正方形 EFGH 的边长为 4,则 S1 + S2 + S3

= .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 55 分)

16. 【2022 四川宜宾】(10 分)计算或化简:

(1) 12 - 4sin30° + 3 - 2 ;

(2) 1 -

1

a + 1

( ) ÷

a

a

2

- 1

.

17. 【2022 湖北十堰】(8 分)化简:

a

2

- b

2

a

÷ a +

b

2

- 2ab

a

( ).

18. 【2022 湖南邵阳】 (9 分)先化简,再从 - 1,0,1, 3 中选择一个合适的 x

值代入求值.

1

x + 1

+

1

x

2

- 1

( ) ÷

x

x - 1

.

19. 【2022 辽宁盘锦】 (9 分)先化简,再求值:

x -3

x

2

-1

÷

x -3

x

2

+2x +1

-

1

x -1

+1 ( ),

其中 x = - 2 +1.

20. 【2022 黑龙江大庆】 (9 分)先化简,再求值:

a

2

b

- a ( ) ÷

a

2

- b

2

b

. 其中 a =

2b,b≠0.

21. 【2022 湖北荆州】(10 分)先化简,再求值:

a

a

2

- b

2

-

1

a + b ( ) ÷

b

a

2

-2ab + b

2

,

其中 a =

1

3

( )

- 1

,b = ( -2022 )

0

.

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6

专题五 整式方程(组)及应用

考点 1 一次方程(组)及解法

1. 【2022 湖北随州】 已知二元一次方程组

x + 2y = 4

2x + y = 5 { ,则 x - y 的值为

.

2. 【2022 四川雅安】已知

x = 1

y = 2 { 是方程 ax + by = 3 的解,则代数式 2a + 4b - 5

的值为 .

3. 【2022 浙江绍兴】元朝朱世杰的《算学启蒙》中记载:“良马日行二百四十

里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之. ” 其题

意为:“良马每天行 240 里,劣马每天行 150 里,劣马先行 12 天,良马要几

天追上劣马?”答:良马追上劣马需要的天数是 .

4. 【2022 湖北武汉】幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最

早的幻方———九宫格. 将 9 个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一

竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等,例如图 1 就是一个幻方. 图 2

是一个未完成的幻方,则 x 与 y 的和是 ( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

5. 【2022 湖南岳阳】我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原文如

下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何?

大意为:今有 100 头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每 3 家共

取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家? 在这个问题中,城中人家的户

数为 ( )

A. 25 B. 75 C. 81 D. 90

6. 【2022 江苏宿迁】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问店家李三

公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空. ”诗中后面两句

的意思是:如果一间客房住 7 人,那么有 7 人无房可住;如果一间客房住 9

人,那么就空出一间客房,若设该店有客房 x 间,房客 y 人,则列出的关于

x、y 的二元一次方程组正确的是 ( )

A.

7x - 7 = y

9 ( x - 1 ) = y { B.

7x + 7 = y

9 ( x - 1 ) = y { C.

7x + 7 = y

9x - 1 = y { D.

7x - 7 = y

9x - 1 = y {

7. 【2022 浙江杭州】计算: ( - 6 ) ×

2

3

( - ■) - 2

3

. 圆圆在做作业时,发现题

中有一个数字被墨水污染了.

(1)如果被污染的数字是

1

2

,请计算( - 6 ) ×

2

3

-

1

2

( ) - 2

3

;

(2)如果计算结果等于 6,求被污染的数字.

8. 【2022 内蒙古呼和浩特】解方程组

4x + y = 5

x - 1

2

+

y

3

= 2

ì

î

í

ïï

ïï

.

9. 【2022 山东泰安】泰安某茶叶店经销泰山女儿茶,第一次购进了 A 种茶 30

盒,B 种茶 20 盒,共花费 6000 元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提

高了 20% ,该店又购进了 A 种茶 20 盒,B 种茶 15 盒,共花费 5100 元. 求

第一次购进的 A、B 两种茶每盒的价格.

考点 2 一次二次方程及应用

10. 【2022 广西梧州】一元二次方程( x - 2 ) ( x + 7 ) = 0 的根是 .

11. 【2022 广东省】若 x = 1 是方程 x

2

- 2x + a = 0 的根,则 a = .

12. 【2022 四川雅安】若关于 x 的一元二次方程 x

2

+ 6x + c = 0 配方后得到方

程(x + 3)

2

= 2c,则 c 的值为 ( )

A. - 3 B. 0 C. 3 D. 9

13. 【2022 湖南常德】关于 x 的一元二次方程 x

2

- 4x + k = 0 无实数解,则 k

的取值范围是 ( )

A. k > 4 B. k < 4 C. k < - 4 D. k > 1

14. 【2022 湖北荆州】关于 x 的方程 x

2

- 3kx - 2 = 0 实数根的情况,下列判断

正确的是 ( )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C. 没有实数根 D. 无法判断

15. 【2022 内蒙古呼和浩特】已知 x1 ,x2 是方程 x

2

- x - 2022 = 0 的两个实数

根,则代数式 x

3

1 - 2022x1 + x

2

2 的值是 ( )

A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1

16. 【2022 新疆省】临近春节的三个月,某干果店迎来了销售旺季,第一个月

的销售额为 8 万元,第三个月的销售额为 11. 52 万元,设这两个月销售

额的月平均增长率为 x,则根据题意,可列方程为 ( )

A. 8(1 + 2x) = 11. 52 B. 2 × 8(1 + x) = 11. 52

C. 8 (1 + x)

2

= 11. 52 D. 8 1 + x

2

( ) = 11. 52

17. 【2022 湖北十堰】已知关于 x 的一元二次方程 x

2

- 2x - 3m

2

= 0.

(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的两个实数根分别为 α,β,且 α + 2β = 5,求 m 的值.

18. 【2022 湖北随州】已知关于 x 的一元二次方程 x

2

+ (2k + 1 )x + k

2

+ 1 = 0

有两个不相等的实数根 x1 ,x2

.

(1)求 k 的取值范围;

(2)若 x1

x2 = 5,求 k 的值.

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7

19. 【2022 湖南湘潭】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育

的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长 12 m)和 21 m 长的篱笆墙,

围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地. 某数学兴趣小组设计了两种方案(除

围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下

列问题:

(1)方案一:如图 1,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度 AE

= 1 m 的水池且需保证总种植面积为 32 m

2

,试分别确定 CG、DG

的长;

(2)方案二:如图 2,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问 BC 应设计

为多长? 此时最大面积为多少?

考点 3 方程组的应用

20. 【2022 浙江杭州】 某网络学习平台 2019 年的新注册用户数为 100 万,

2021 年的新注册用户数为 169 万,设新注册用户数的年平均增长率为 x

(x > 0),则 x = (用百分数表示).

21. 【2022 浙江杭州】某体育比赛的门票分 A 票和 B 票两种,A 票每张 x 元,

B 票每张 y 元. 已知 10 张 A 票的总价与 19 张 B 票的总价相差 320 元,则

( )

A.

10x

19y

= 320 B.

10y

19x

= 320

C. 10x - 19y = 320 D. 19x - 10y = 320

22. 【2022 山东潍坊】观察我国原油进口月度走势图,2022 年 4 月原油进口

量比 2021 年 4 月增加 267 万吨,当月增速为 6. 6% (计算方法:

267

4036

×

100% ≈6. 6% ). 2022 年 3 月当月增速为 - 14. 0% ,设 2021 年 3 月原油

进口量为 x 万吨,下列算法正确的是 ( )

A.

x - 4271

4271

× 100% = - 14. 0% B.

4271 - x

4271

× 100% = - 14. 0%

C.

x - 4271

x

× 100% = - 14. 0% D.

4271 - x

x

× 100% = - 14. 0%

23. 【2022 黑龙江齐齐哈尔】端午节前夕,某食品加工厂准备将生产的粽子

装入 A、B 两种食品盒中,A 种食品盒每盒装8 个粽子,B 种食品盒每盒装

10 个粽子,若现将 200 个粽子分别装入 A、B 两种食品盒中(两种食品盒

均要使用并且装满),则不同的分装方式有 ( )

A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种

24. 【2022 河北省】发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和

一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证:

如, (2 + 1 )

2

+ (2 - 1 )

2

= 10 为偶数,请把 10 的一半表示为两个正整数的

平方和. 探究:设“发现”中的两个已知正整数为 m,n,请论证“发现”中

的结论正确.

25. 【2022 江苏常州】第十四届国际数学教育大会( ICME - 14)会徽的主题

图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方

的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745. 八进制是以8 作

为进位基数的数字系统,有0 ~ 7 共8 个基本数字. 八进制数3745 换算成

十进制数是 3 × 8

3

+ 7 × 8

2

+ 4 × 8

1

+ 5 × 8

0

= 2021,表示 ICME - 14 的举

办年份.

(1)八进制数 3746 换算成十进制数是 ;

(2)小华设计了一个 n 进制数 143,换算成十进制数是 120,求 n 的值.

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8

专题六 分式方程及应用

考点 1 分式方程及解法

1. 【2022 湖南岳阳】分式方程

3x

x + 1

= 2 的解为 x = .

2. 【2022 湖南邵阳】分式方程

5

x - 2

-

3

x

= 0 的解为 .

3. 【2022 内蒙古通辽】若关于 x 的分式方程 2 -

1 - 2k

x - 2

=

1

2 - x

的解为正数,则

k 的取值范围为 ( )

A. k < 2 B. k < 2 且 k≠0

C. k > - 1 D. k > - 1 且 k≠0

4. 【2022 四川宜宾】某家具厂要在开学前赶制 540 套桌凳,为了尽快完成任

务,厂领导合理调配,加强第一线人力,使每天完成的桌凳比原计划多 2

套,结果提前 3 天完成任务. 问原计划每天完成多少套桌凳? 设原计划每

天完成 x 套桌凳,则所列方程正确的是 ( )

A.

540

x - 2

-

540

x

= 3 B.

540

x + 2

-

540

x

= 3

C.

540

x

-

540

x + 2

= 3 D.

540

x

-

540

x - 2

= 3

5. 【2022 江苏宿迁】解方程:

2x

x - 2

= 1 +

1

x - 2

.

6. 【2022 湖北随州】解分式方程:

1

x

=

4

x + 3

.

考点 2 分式方程的实际应用

7. 【2022 浙江宁波】定义一种新运算:对于任意的非零实数 a,b,都有 a?b =

1

a

+

1

b

. 若(x + 1)?x =

2x + 1

x

,则 x 的值为 .

8. 【2022 广西玉林】我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共 21

吨,第一次购买龙眼的价格为 0. 4 万元/ 吨;因龙眼大量上市,价格下跌,

第二次购买龙眼的价格为 0. 3 万元/ 吨,两次购买龙眼共用了 7 万元.

(1)求两次购买龙眼各是多少吨?

(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干,1 吨龙眼可加工成桂

圆肉 0. 2 吨或龙眼干 0. 5 吨,桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是 10

万元/ 吨和 3 万元/ 吨,若全部的销售额不少于 39 万元,则至少需要把

多少吨龙眼加工成桂圆肉?

9. 【2022 黑龙江大庆】某工厂生产某种零件,由于技术上的改进,现在平均

每天比原计划多生产 20 个零件,现在生产 800 个零件所需时间与原计划

生产 600 个零件所需时间相同. 求现在平均每天生产多少个零件?

10. 【2022 吉林省】刘芳和李婷进行跳绳比赛. 已知刘芳每分钟比李婷多跳

20 个,刘芳跳 135 个所用的时间与李婷跳 120 个所用的时间相等. 求李

婷每分钟跳绳的个数.

11. 【2022 江苏扬州】某中学为准备十四岁青春仪式,原计划由八年级(1)班

的 4 个小组制作 360 面彩旗,后因 1 个小组另有任务,其余 3 个小组的每

名学生要比原计划多做 3 面彩旗才能完成任务. 如果这 4 个小组的人数

相等,那么每个小组有学生多少名?

12. 【2022 内蒙古赤峰】某学校建立了劳动基地,计划在基地上种植 A、B 两

种苗木共 6000 株,其中 A 种苗木的数量比 B 种苗木的数量的一半多 600

株.

(1)请问 A、B 两种苗木各多少株?

(2)如果学校安排 350 人同时开始种植这两种苗木,每人每天平均能种

植 A 种苗木 50 株或 B 种苗木 30 株,应分别安排多少人种植 A 种苗

木和 B 种苗木,才能确保同时

∙∙

完成任务?

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专题七 不等式(组)及其应用

考点 1 不等式的性质

1. 【2022 吉林省】y 与 2 的差不大于 0,用不等式表示为 ( )

A. y - 2 > 0 B. y - 2 < 0 C. y - 2≥0 D. y - 2≤0

2. 【2022 江苏宿迁】如果 x < y,那么下列不等式正确的是 ( )

A. 2x < 2y B. - 2x < - 2y C. x - 1 > y - 1 D. x + 1 > y + 1

3. 【2021 河北省】由

1 + c

2 + c

-

1

2

( )值的正负可以比较 A =

1 + c

2 + c

与

1

2

的大小,下

列正确的是 ( )

A. 当 c = - 2 时,A =

1

2

B. 当 c = 0 时,A≠

1

2

C. 当 c < - 2 时,A >

1

2

D. 当 c < 0 时,A <

1

2

考点 2 不等式(组)的解法及解集

4. 【2021 重庆 A 卷】不等式 x≤2 在数轴上表示正确的是 ( )

A B

C D

5. 【2022 甘肃武威】不等式 3x - 2 > 4 的解集是 ( )

A. x > - 2 B. x < - 2 C. x > 2 D. x < 2

6. 【2022 湖南邵阳】关于 x 的不等式组

-

1

3

x >

2

3

- x

1

2

x - 1 <

1

2

( a - 2 )

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

有且只有三个整

数解,则 a 的最大值是 ( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

7. 【2022 辽宁营口】不等式组

2x + 4 > 6

9 - x > 1 { 的解集为 .

8. 【2022 黑龙江大庆】满足不等式组

2x - 5≤0

x - 1 > 0 { 的整数解是 .

9. 【2022 江苏常州】解不等式组

5x - 10≤0

x + 3 > - 2x { ,并把解集在数轴上表示出来.

10. 【2022 江苏扬州】 解不等式组

x - 2≤2x

x - 1 <

1 + 2x

3

ì

î

í

ïï

ïï

,并求出它的所有整数解

的和.

11. 【2021 贵州贵阳】(1)有三个不等式 2x + 3 < - 1, - 5x > 15,3(x - 1) > 6,

请在其中任选两个不等式,组成一个不等式组,并求出它的解集;

(2)小红在化简 a(1 + a) - (a - 1)

2时,解答过程如下:

a(1 + a) - (a - 1)

2

= a + a

2

- (a

2

- 1)……第一步

= a + a

2

- a

2

- 1……第二步

= a - 1……第三步

小红的解答从第 步开始出错,请写出正确的解答过程.

12. 【2022 河北省】整式 3

1

3

( - m )的值为 P.

(1)当 m = 2 时,求 P 的值;

(2)若 P 的取值范围如图所示,求 m 的负整数值.

13. 【2022 湖北荆州】已知方程组

x + y = 3①

x - y = 2② { 的解满足 2kx - 3y < 5,求 k 的

取值范围.

考点 3 不等式的应用

14. 【2021 湖北荆州】已知:a 是不等式 5(a - 2) + 8 < 6(a - 1) + 7 的最小整

数解,请用配方法解关于 x 的方程 x

2

+ 2ax + a + 1 = 0.

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10

15. 【2022 湖南岳阳】为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行,某班组织

学生参加全民健身线上跳绳活动,需购买 A、B 两种跳绳若干. 若购买 3

根 A 种跳绳和 1 根 B 种跳绳共需 140 元;若购买 5 根 A 种跳绳和 3 根 B

种跳绳共需 300 元.

(1)求 A、B 两种跳绳的单价各是多少元?

(1)若该班准备购买 A、B 两种跳绳共 46 根,总费用不超过 1780 元,那么

至多可以购买 B 种跳绳多少根?

16. 【2022 黑龙江哈尔滨】绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的 A、B 两

种型号的颜料,若购买 1 盒 A 种型号的颜料和 2 盒 B 种型号的颜料需用

56 元;若购买 2 盒 A 种型号的颜料和 1 盒 B 种型号的颜料需用 64 元.

(1)求每盒 A 种型号的颜料和每盒 B 种型号的颜料各多少元;

(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共 200 盒,总费用不超过

3920 元,那么该中学最多可以购买多少盒 A 种型号的颜料?

17. 【2022 湖北黄冈】某班去革命老区研学旅行,研学基地有甲、乙两种快餐

可供选择,买 1 份甲种快餐和 2 份乙种快餐共需 70 元,买 2 份甲种快餐

和 3 份乙种快餐共需 120 元.

(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?

(2)已知该班共买 55 份甲、乙两种快餐,所花快餐费不超过 1280 元,问

至少买乙种快餐多少份?

18. 【2022 内蒙古呼和浩特】今年我市某公司分两次采购了一批土豆,第一

次花费 30 万元,第二次花费 50 万元,已知第一次采购时,每吨土豆的价

格比去年的平均价格上涨了 200 元,第二次采购时,每吨土豆的价格比

去年的平均价格下降了 200 元,第二次的采购数量是第一次采购数量的

2 倍.

(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元?

(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉,因设备原因,两种产品不能同时

加工,若单独加工成薯片,每天可加工 5 吨土豆,每吨土豆获利 700

元;若单独加工成淀粉,每天可加工 8 吨土豆,每吨土豆获利 400 元.

由于出口需要,所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过 60

天,其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的

2

3

,

为获得最大利润,应将多少吨土豆加工成薯片? 最大利润是多少?

19. 【2022 江苏宿迁】某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促

销活动,该文化用品两家超市的标价均为 10 元/ 件,甲超市一次性购买

金额不超过400 元的不优惠,超过400 元的部分按标价的6 折售卖;乙超

市全部按标价的 8 折售卖.

(1)若该单位需要购买 30 件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为

元;乙超市的购物金额为 元;

(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少?

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阶段测评(二) 方程与不等式

注意事项:本试卷共三道大题,21 道小题,满分 100 分,建议用时 40 分钟。

一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)

1. 已知 a,b,c,d 是实数,若 a > b,c = d,则 ( )

A. a + c > b + d B. a + b > c + d

C. a + c > b - d D. a + b > c - d

2. 【2022 广西梧州】不等式组

x > - 1

x < 2 { 的解集在数轴上表示为 ( )

A. B.

C. D.

3. 【2022 黑龙江哈尔滨】方程

2

x - 3

=

3

x

的解为 ( )

A. x = 3 B. x = - 9 C. x = 9 D. x = - 3

4. 【2022 浙江温州】若关于 x 的方程 x

2

+ 6x + c = 0 有两个相等的实数根,则

c 的值是 ( )

A. 36 B. - 36 C. 9 D. - 9

5. 【2022 湖南怀化】下列一元二次方程有实数解的是 ( )

A. 2x

2

- x + 1 = 0 B. x

2

- 2x + 2 = 0 C. x

2

+ 3x - 2 = 0 D. x

2

+ 2 = 0

6. 【2022 湖北十堰】我国古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有清酒一

斗直粟十斗, 醑洒一斗直粟三斗,今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几

何?”大意是:现有一斗清酒价值 10 斗谷子,一斗醑酒价值 3 斗谷子, 现在

拿 30 斗谷子,共换了 5 斗酒,问清洒、醑酒各几斗? 如果设清酒 x 斗,那么

可列方程为 ( )

A. 10x + 3 (5 - x ) = 30 B. 3x + 10 (5 - x ) = 30

C.

x

3

+

30 - x

10

= 5 D.

x

10

+

30 - x

3

= 5

7. 【2022 甘肃武威】《九章算术》是中国古代的一部数学专著,其中记载了一

道有趣的题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海. 今凫雁

俱起,问何日相逢?”大意是:今有野鸭从南海起飞,7 天到北海;大雁从北

海起飞,9 天到南海. 现野鸭从南海,大雁从北海同时起飞,问经过多少天

相遇? 设经过 x 天相遇,根据题意可列方程为 ( )

A.

1

7

+

1

9

( )x = 1 B.

1

7

-

1

9

( )x = 1

C. (9 - 7 )x = 1 D. (9 + 7 )x = 1

8. 【2022 甘肃武威】用配方法解方程 x

2

- 2x = 2 时,配方后正确的是 ( )

A. ( x + 1 )

2

= 3 B. ( x + 1 )

2

= 6

C. ( x - 1 )

2

= 3 D. ( x - 1 )

2

= 6

9. 【2022 内蒙古包头】 若 x1 ,x2 是方程 x

2

- 2x - 3 = 0 的两个实数根,则

x1·x

2

2 的值为 ( )

A. 3 或 - 9 B. - 3 或 9

C. 3 或 - 6 D. - 3 或 6

10. 【2022 四川宜宾】已知 m,n 是一元二次方程 x

2

+ 2x - 5 = 0 的两个根,则

m

2

+ mn + 2m 的值为 ( )

A. 0 B. - 10 C. 3 D. 10

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

11. 【2022 湖北十堰】关于 x 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示,

则该不等式组的解集为 .

12. 【2022 贵州铜仁】不等式组

- 2x≤6

x + 1 < 0 { 的解集是 .

13. 【2022 江苏宿迁】若关于 x 的一元二次方程 x

2

- 2x + k = 0 有实数根,则

实数 k 的取值范围是 .

14. 【2022 湖北黄冈】已知一元二次方程 x

2

- 4x + 3 = 0 的两根为 x1 ,x2 ,则 x1

·x2 = .

15. 【2022 吉林省】《九章算术》中记载了一道数学问题,其译文为:有大小两

种盛酒的桶,已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛(斛,音 hú,是古

代一种容量单位),1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛. 1 个大桶、1 个

小桶分别可以盛酒多少斛? 设 1 个大桶可以盛酒 x 斛、1 个小桶可以盛

酒 y 斛. 根据题意,可列方程组为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 55 分)

16. 【2022 广西桂林】(6 分)解二元一次方程组:

x - y = 1①

x + y = 3② { .

17. 【2022 山 东 威 海】 ( 8 分) 解 不 等 式 组, 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出

来:

4x - 2≤3(x + 1)

1 -

x - 1

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18. 【2022 山东泰安】(10 分)(1)化简:(a - 2 -

4

a - 2

) ÷

a - 4

a

2

- 4

;

(2)解不等式:2 -

5x - 2

3

>

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12

19. 【2022 广西桂林】(10 分)今年,某市举办了一届主题为“强国复兴有我”

的中小学课本剧比赛. 某队伍为参赛需租用一批服装,经了解,在甲商店

租用服装比在乙商店租用服装每套多 10 元,用 500 元在甲商店租用服

装的数量与用 400 元在乙商店租用服装的数量相等.

(1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元?

(2)若租用 10 套以上服装,甲商店给以每套九折优惠. 该参赛队伍准备

租用 20 套服装,请问在哪家商店租用服装的费用较少,并说明理由.

20. 【2022 山东聊城】(10 分)为了解决雨季时城市内涝的难题,我市决定对

部分老街道的地下管网进行改造. 在改造一段长 3600 米的街道地下管

网时,每天的施工效率比原计划提高了 20% ,按这样的进度可以比原计

划提前 10 天完成任务.

(1)求实际施工时,每天改造管网的长度;

(2)施工进行 20 天后,为了减少对交通的影响,施工单位决定再次加快

施工进度,以确保总工期不超过 40 天,那么以后每天改造管网至少

还要增加多少米?

21. 【2022 湖北荆州】(11 分)某企业投入 60 万元(只计入第一年成本)生产

某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量). 经测算,该产品

网上每年的销售量 y(万件)与售价 x(元/ 件)之间满足函数关系式:y =

24 - x,第一年除 60 万元外其他成本为 8 元/ 件.

(1)求该产品第一年的利润 w(万元)与售价 x 之间的函数关系式;

(2)该产品第一年利润为 4 万元,第二年将它全部作为技改资金再次投

入(只计入第二年成本)后,其他成本下降 2 元/ 件. ①求该产品第一

年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过 13 万件,则

第二年利润最少是多少万元?

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13

专题八 平面直角坐标系和函数

考点 1 平面直角坐标系点的坐标特征

1. 【2022 山东烟台】观察如图所示的象棋棋盘,若“兵”所在的位置用(1,3)

表示,“ 炮” 所在的位置用 (6,4 ) 表示,那么 “ 帅” 所在的位置可表示

为 .

第 1 题图 第 3 题图

2. 【2022 江苏扬州】在平面直角坐标系中,点 P( - 3,a

2

+ 1)所在的象限是

( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 【2022 浙江金华】如图是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,

学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4, - 2),下列各地点中,离原点最近

的是 ( )

A. 超市 B. 医院 C. 体育场 D. 学校

4. 【2022 贵州铜仁】如图,在矩形 ABCD 中,A( - 3,2)、B(3,2)、C(3, - 1),

则 D 的坐标为 ( )

A. ( - 2, - 1) B. (4, - 1) C. ( - 3, - 2) D. ( - 3, - 1)

第 4 题图 第 6 题图

5. 【2022 广东省】在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移 2 个单位后,得

到的点的坐标是 ( )

A. (3,1) B. ( - 1,1) C. (1,3) D. (1, - 1)

6. 【2022 江苏常州】 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的 0 ~ 100

km / h 的加速时间和满电续航里程进行了性能评测,评测结果绘制如图,

每个点都对应一款新能源汽车的评测数据. 已知 0 ~ 100 km / h 的加速时

间的中位数是 m s,满电续航里程的中位数是 n km,相应的直线将平面分

成了①、②、③、④四个区域(直线不属于任何区域). 欲将最新上市的两款

新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内,若以上两组数据的中位

数均保持不变,则这两个点可能分别落在 ( )

A. 区域①、② B. 区域①、③ C. 区域①、④ D. 区域③、④

考点 2 函数自变量的取值范围

7. 【2022 广东省】水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为 r,则圆周长

C 与 r 的关系式为:C = 2πr. 下列判断正确的是 ( )

A. 2 是变量 B. π 是变量 C. r 是变量 D. C 是常量

8. 【2022 黑龙江哈尔滨】 在函数 y =

x

5x + 3

中,自变量 x 的取值范围是

.

9. 【2022 黑 龙 江 大 庆】 在 函 数 y = 2x + 3 中, 自 变 量 x 的 取 值 范 围

是 .

10. 【2021 湖南怀化】函数 y =

x - 2

x - 3

的自变量 x 的取值范围是 .

11. 【2020 甘肃白银】已知 y = (x - 4)

2

- x + 5,当 x 分别取 1,2,3,…,2020

时,所对应 y 值的总和是 .

考点 3 函数图象的判断和分析

12. 【2022 四川雅安】一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后开始

匀速行驶. 过了一段时间,汽车到达下一车站. 乘客上、下车后汽车开始

加速,一段时间后又开始匀速行驶. 下图中近似地刻画出汽车在这段时

间内的速度变化情况的是 ( )

A. B.

C. D.

13. 【2022 广西玉林】龟兔赛跑之后,输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.

图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程( x 表示兔子和乌龟从起点

出发所走的时间,y1 、y2 分别表示兔子与乌龟所走的路程). 下列说法错

误的是 ( )

A. 兔子和乌龟比赛路程是 500 米

B. 中途,兔子比乌龟多休息了 35 分钟

C. 兔子比乌龟多走了 50 米

D. 比赛结果,兔子比乌龟早 5 分钟到达终点

第 13 题图 第 14 题图

14. 【2022 江西省】甲、乙两种物质的溶解度 y( g)与温度 t(℃ )之间的对应

关系如图所示,则下列说法中,错误的是 ( )

A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大

B. 当温度升高至 t

2℃时,甲的溶解度比乙的溶解度大

C. 当温度为 0 ℃时,甲、乙的溶解度都小于 20g

D. 当温度为 30 ℃时,甲、乙的溶解度相等

15. 【2022 广西桂林】桂林作为国际旅游名城,每年吸引着大量游客前来观

光. 现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个

旅游景点. 行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点,乙大

巴全程匀速驶向景点. 两辆大巴的行程 s(

km)随时间 t(h)变化的图象(全程)如图所

示. 依据图中信息,下列说法错误的是

( )

A. 甲大巴比乙大巴先到达景点

B. 甲大巴中途停留了 0. 5 h

C. 甲大巴停留后用 1. 5 h 追上乙大巴

D. 甲大巴停留前的平均速度是 60 km / h

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14

16. 【2022 浙江温州】小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示,他离

家的路程为 s 米,所经过的时间为 t 分钟,下列选项中的图象,能近似地

刻画 s 与 t 之间的关系的是 ( )

A. B.

C. D.

17. 【2021 连云港】关于某个函数表达式,甲、乙、丙三位同学都正确地说出

了该函数的一个特征.

甲:函数图象经过点( - 1,1);

乙:函数图象经过第四象限;

丙:当 x > 0 时,y 随 x 的增大而增大.

则这个函数表达式可能是 ( )

A. y = - x B. y =

1

x

C. y = x

2 D. y = -

1

x

18. 【2021 湖北黄冈】如图,AC 为矩形 ABCD 的对角线,已知 AD = 3,CD = 4,

点 P 沿折线 C - A - D 以每秒 1 个单位长度的速度运动(运动到 D 点停

止),过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,则△CPE 的面积 y 与点 P 运动的路程 x

间的函数图象大致是 ( )

A B

C D

19. 【2021 浙江嘉兴】根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前 30 米称为

“加速期”,30 米 ~ 80 米为“中途期”,80 米 ~ 100 米为“冲刺期”. 市田径

队把运动员小斌某次百米跑训练时速度 y(m / s)与路程 x(m)之间的观

测数据,绘制成曲线如图所示.

(1)y 是关于 x 的函数吗? 为什么?

(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?

(3)根据如图提供的信息,给小斌提一条训练建议.

20. 【2022 黑龙江齐齐哈尔】在一条笔直的公路上有 A、B 两地,甲、乙二人同

时出发,甲从 A 地步行匀速前往 B 地,到达 B 地后,立刻以原速度沿原路

返回 A 地. 乙从 B 地步行匀速前往 A 地(甲、乙二人到达 A 地后均停止运

动),甲、乙二人之间的距离 y (米)与出发时间 x (分钟)之间的函数关

系如图所示,请结合图象解答下列问题:

(1) A、B 两地之间的距离是 米,乙的步行速度是

米/ 分;

(2)图中 a = ,b = ,c = ;

(3)求线段 MN 的函数解析式;

(4)在乙运动的过程中,何时两人相距 80 米? (直接写出答案即可)

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15

专题九 一次函数

考点 1 一次函数的图象和性质

1. 【2022 内蒙古包头】在一次函数 y = - 5ax + b ( a≠0 )中,y 的值随 x 值的增

大而增大,且 ab > 0,则点 A(a,b)在 ( )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

2. 【2021 湖北】下列说法正确的是 ( )

A. 函数 y = 2x 的图象是过原点的射线

B. 直线 y = - x + 2 经过第一、二、三象限

C. 函数 y = -

2

x

(x < 0)中,y 随 x 的增大而增大

D. 函数 y = 2x - 3 中,y 随 x 的增大而减小

3. 【2021 湖南益阳】正比例函数 y = 2x 与反比例函数 y =

2

x

的图象或性质的

共有特征之一是 ( )

A. 函数值 y 随 x 的增大而增大 B. 图象在第一、三象限都有分布

C. 图象与坐标轴有交点 D. 图象经过点(2,1)

4. 【2021 四川雅安】定义:min(a,b) =

a(a≤b)

b(a > b) { ,若函数 y = min(x + 1, - x

2

+ 2x + 3),则该函数的最大值为 ( )

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

5. 【四川凉山】函数 y = kx + b 的图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程 x

2

+ bx + k - 1 = 0 的根的情况是 ( )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定

6. 【2021 广东省】一次函数 y = ax + b 和反比例函数 y =

a - b

x

在同一直角坐

标系中的大致图象是 ( )

A B C D

7. 【2022 浙江绍兴】已知(x1 ,y1 )、(x2 ,y2 )、(x3 ,y3 )为直线 y = - 2x + 3 上的

三个点,且 x1 < x2 < x3 ,则以下判断正确的是 ( )

A. 若 x1

x2 > 0,则 y1

y3 > 0 B. 若 x1

x3 < 0,则 y1

y2 > 0

C. 若 x2

x3 > 0,则 y1

y3 > 0 D. 若 x2

x3 < 0,则 y1

y2 > 0

8. 【2022 湖南邵阳】在直角坐标系中,已知点 A

3

2

( ,m )、点 B

7

2

( ,n )是直线 y

= kx + b ( k < 0 )上的两点,则 m,n 的大小关系是 ( )

A. m < n B. m > n C. m≥n D. m≤n

9. 【2021 重庆 A 卷】甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面 20 m 高的

楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升 10 s. 甲、乙两架无人机所在的位置

距离地面的高度 y(单位:m)与无人机上升的时间 x(单位:s)之间的关系

如图所示. 下列说法正确的是 ( )

A. 5 s 时,两架无人机都上升了 40 m

B. 10 s 时,两架无人机的高度差为 20 m

C. 乙无人机上升的速度为 8m / s

D. 10 s 时,甲无人机距离地面的高度是 60 m

考点 2 一次函数解析式的确定

10. 【2022 黑龙江大庆】写出一个过点 D(0,1)且 y

随 x 增大而减小的一次函数关系式 .

11. 【2022 黑龙江哈尔滨】一辆汽车油箱中剩余的油量 y(L)与已行驶的路

程 x(km)的对应关系如图所示,如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当

油箱中剩余的油量为 35 L 时,该汽车已行驶的路程为 ( )

A. 150 km B. 165 km C. 125 km D. 350 km

第 11 题图 第 12 题图

12. (2021 四川乐山)如图,已知直线 l

1 :y = - 2x + 4 与坐标轴分别交于 A、B

两点,那么过原点且将△AOB 的面积平分的直线 l

2 的解析式为 ( )

A. y =

1

2

x B. y = x C. y =

3

2

x D. y = 2x

13. 【2022 陕西省】如图,是一个“函数求值机” 的示意图,其中 y 是 x 的函

数. 下面表格中,是通过该“函数求值机”得到的几组 x 与 y 的对应值.

输入 x … - 6 - 4 - 2 0 2 …

输出 y … - 6 - 2 2 6 16 …

根据以上信息,解答下列问题:

(1)当输入的 x 值为 1 时,输出的 y 值为

;

(2)求 k,b 的值;

(3)当输出的 y 值为 0 时,求输入的 x 值.

14. 【2022 贵州铜仁】 在平面直角坐标系内有三点 A( - 1,4)、B( - 3,2)、

C(0,6).

(1)求过其中两点的直线的函数表达式(选一种情形作答);

(2)判断 A、B、C 三点是否在同一直线上,并说明理由.

考点 3 一次函数与方程(组)、不等式的关系

15. 【2022 广西梧州】如图,在平面直角坐标系中,直线 y = 2x + b 与直线 y =

- 3x + 6 相交于点 A,则二元一次方程组

y = 2x + b

y = - 3x + 6 { 的解是 ( )

A.

x = 2

y = 0 { B.

x = 1

y = 3 { C.

x = - 1

y = 9 { D.

x = 3

y = 1 {

第 15 题图 第 17 题图 第 18 题图

16. 【2022 陕西省】在同一平面直角坐标系中,直线 y = - x + 4 与 y = 2x + m

相交于点 P(3,n),则关于 x,y 的方程组

x + y - 4 = 0

2x - y + m = 0 { 的解为 ( )

A.

x = - 1

y = 5 { B.

x = 1

y = 3 { C.

x = 3

y = 1 { D.

x = 9

y = - 5 {

17. (2021 湖北鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图,直线

y = 2x - 1 与直线 y = kx + b( k≠0)相交于点 P(2,3). 根据图象可知,关

于 x 的不等式 2x - 1 > kx + b 的解集是 ( )

A. x < 2 B. x < 3 C. x > 2 D. x > 3

18. 【2022 广西梧州】如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y1 = kx + b 的图

象与反比例函数 y2 =

m

x

的图象交于点 A ( - 2,2 )、B ( n, - 1 ). 当 y1 < y2

时,x 的取值范围是 .

考点 4 一次函数的应用

19. 【2022 广东省】物理实验证实:在弹性限度内,某弹簧长度 y( cm)与所挂

物体质量 x( kg)满足函数关系 y = kx + 15. 下表是测量物体质量时,该弹

簧长度与所挂物体质量的数量关系.

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16

x 0 2 5

y 15 19 25

(1)求 y 与 x 的函数关系式;

(2)当弹簧长度为 20 cm 时,求所挂物体的质量.

20. 【2022 吉林省】李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同

质量的水,甲壶比乙壶加热速度快. 在一段时间内,水温 y(℃ )与加热时

间 x(s)之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如下:

(1)加热前水温是 ℃ ;

(2)求乙壶中水温 y 关于加热时间 x 的函数解析式;

(3)当甲壶中水温刚达到 80 ℃时,乙壶中水温是 ℃ .

21. 【2022 河南省】近日,教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022

年版),将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来. 某中学为了让学

生体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,需要采购一批菜苗开展种植活动.

据了解,市场上每捆 A 种菜苗的价格是菜苗基地的

5

4

倍,用 300 元在市

场上购买的 A 种菜苗比在菜苗基地购买的少 3 捆.

(1)求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格.

(2)菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元. 学校决定在菜苗基地购买

A、B 两种菜苗共 100 捆,且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数.

菜苗基地为支持该校活动,对 A、B 两种菜苗均提供九折优惠. 求本

次购买最少花费多少钱.

22. 【2022 四川雅安】某商场购进 A、B 两种商品,已知购进 3 件 A 商品和 5

件 B 商品费用相同,购进 3 件 A 商品和 1 件 B 商品总费用为 360 元.

(1)求 A、B 两种商品每件进价各为多少元? (列方程或方程组求解)

(2)若该商场计划购进 A、B 两种商品共 80 件,其中 A 商品 m 件. 若 A 商

品按每件 150 元销售,B 商品按每件 80 元销售,求销售完 A、B 两种

商品后获得总利润 w(元)与 m(件)的函数关系式.

23. 【2022 湖南衡阳】冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融( Shuey Rhon Rhon)

分别是 2022 年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物. 冬奥会来临之际,冰墩

墩、雪容融玩偶畅销全国. 小雅在某网店选中两种玩偶,决定从该网店进

货并销售,第一次小雅用 1400 元购进了冰墩墩玩偶 15 个和雪容融玩偶

5 个,已知购进 1 个冰墩墩玩偶和 1 个雪容融玩偶共需 136 元,销售时每

个冰墩墩玩偶可获利 28 元,每个雪容融玩偶可获利 20 元.

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少?

(2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进

货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的 1. 5

倍. 小雅计划购进两种玩偶共 40 个,应如何设计进货方案才能获得

最大利润,最大利润是多少元?

24. 【2022 贵州黔东南州】某快递公司为了加强疫情防控需求,提高工作效

率,计划购买 A、B 两种型号的机器人来搬运货物,已知每台 A 型机器人

比每台 B 型机器人每天少搬运 10 吨,且 A 型机器人每天搬运 540 吨货

物与 B 型机器人每天搬运 600 吨货物所需台数相同.

(1)求每台 A 型机器人和每台 B 型机器人每天分别搬运货物多少吨?

(2)每台 A 型机器人售价 1. 2 万元,每台 B 型机器人售价 2 万元,该公司

计划采购 A、B 两种型号的机器人共 30 台,必须满足每天搬运的货物

不低于 2830 吨,购买金额不超过 48 万元.

请根据以上要求,完成如下问题:

①设购买 A 型机器人 m 台,购买总金额为 w 万元,请写出 w 与 m 的

函数关系式;

②请你求出最节省的采购方案,购买总金额最低是多少万元?

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17

专题十 反比例函数

考点 1 反比例函数的图象和性质

1. 【2022 新疆省】 已知点 M (1,2 ) 在反比例函数 y =

k

x

的图象上,则 k

= .

2. 【2022 黑龙江哈尔滨】已知反比例函数 y = -

6

x

的图象经过点 (4,a ),则 a

的值为 .

3. 【2022 内蒙古呼和浩特】点 2a - 1,y1

( )、 a,y2

( )在反比例函数 y =

k

x

( k >

0)的图象上,若 0 < y1 < y2 ,则 a 的取值范围是 .

4. 【2022 陕西省】已知点 A( - 2,m)在一个反比例函数的图象上,点 A′与点

A 关于 y 轴对称. 若点 A′在正比例函数 y =

1

2

x 的图象上,则这个反比例函

数的表达式为 .

5. 【2022 河北省】某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完

成需 12 天. 若 m 个人共同完成需 n 天,选取 6 组数对 (m,n ),在坐标系中

进行描点,则正确的是 ( )

A. B.

C. D.

6. 【2022 广东省】点(1,y1 )、(2,y2 )、(3,y3 ),(4,y4 )在反比例函数 y =

4

x

的

图象上,则 y1 ,y2 ,y3 ,y4 中最小的是 ( )

A. y1 B. y2 C. y3 D. y4

7. 【2022 广西贺州】己知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示,则 y = - kx + b

与 y =

b

x

的图象为 ( )

A. B.

C. D.

8. 【2022 湖北武汉】已知点 A x1 ,y1

( )、B x2 ,y2

( )在反比例函数 y =

6

x

的图象

上,且 x1 < 0 < x2 ,则下列结论一定正确的是 ( )

A. y1 + y2 < 0 B. y1 + y2 > 0 C. y1 < y2 D. y1 > y2

9. 【2021 新疆省】如图,一次函数 y = k1

x + b(k1≠0)与反比例函数 y =

k2

x

(k2

≠0)的图象交于点 A(2,3)、B(n, - 1).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)判断点 P( - 2,1)是否在一次函数 y = k1

x + b 的图象上,并说明理由;

(3)直接写出不等式 k1

x + b≥

k2

x

的解集.

考点 2 反比例函数中 k 的几何意义

10. 【2022 湖南怀化】如图,直线 AB 交 x 轴于点 C,交反比例函数 y =

a - 1

x

(a

> 1)的图象于 A、B 两点,过点 B 作 BD⊥y 轴,垂足为点 D,若 S△ BCD = 5,

则 a 的值为 ( )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

第 10 题图 第 11 题图

11. 【2022 湖北随州】如图,在平面直角坐标系中,直线 y = x + 1 与 x 轴、y 轴

分别交于点 A、B,与反比例函数 y =

k

x

的图象在第一象限交于点 C,若 AB

= BC,则 k 的值为 .

12. 【2022 山东威海】正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点

A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(0,4). 若反比例函数 y =

k

x

(k≠0)的

图象经过点 C,则 k 的值为 .

第 12 题图 第 13 题图

13. 【2022 四川宜宾】如图,△OMN 是边长为 10 的等边三角形,反比例函数

y =

k

x

( x > 0)的图象与边 MN、OM 分别交于点 A、B(点 B 不与点 M 重

合). 若 AB⊥OM 于点 B,则 k 的值为 .

考点 3 反比例函数的实际应用

14. 【2022 山东潍坊】地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生

命的伤害,同时产生一定的大气压,海拔不同,大气压不同,观察图中数

据,你发现,正确的是 ( )

A. 海拔越高,大气压越大

B. 图中曲线是反比例函数的图象

C. 海拔为 4 千米时,大气压约为

70 千帕

D. 图中曲线表达了大气压和海拔

两个量之间的变化关系

15. 【2022 河南省】呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测

驾驶员是否酒后驾车. 酒精气体传感器是一种气敏电阻(图 1 中的 R1 ),

R1 的阻值随呼气酒精浓度 K 的变化而变化(如图 2),血液酒精浓度 M

与呼气酒精浓度 K 的关系见图 3. 下列说法不正确的是 ( )

A. 呼气酒精浓度 K 越大,R1 的阻值越小

B. 当 K = 0 时,R1 的阻值为 100

C. 当 K = 10 时,该驾驶员为非酒驾状态

D. 当 R1 = 20 时,该驾驶员为醉驾状态

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18

16. 【2022 江苏扬州】某市举行中学生党史知识竞赛,如图用四个点分别描

述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加

竞赛人数的比值)y 与该校参加竞赛人数 x 的情况,其中描述乙、丁两所

学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则这四所学校在这次

党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 ( )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

17. 【2022 吉林省】密闭容器内有一定质量的气体,当容器的体积 V(单位:m

3

)

变化时,气体的密度 ρ(单位:kg / m

3

)随之变化. 已知密度 ρ 与体积 V 是反

比例函数关系,它的图象如图所示.

(1)求密度 ρ 关于体积 V 的函数解析式;

(2)当 V = 10 m

3 时,求该气体的密度 ρ.

考点 4 反比例函数与一次函数的综合

18. 【2022 广西玉林】如图,点 A 在双曲线 y =

k

x

(k > 0,x > 0)上,点 B 在直线

y = mx - 2b(m > 0,b > 0)上,且点 A 与 B 关于 x 轴对称,直线 l 与 y 轴交

于点 C,当四边形 AOCB 是菱形时,有以下结论:①A( b, 3 b);②当 b = 2

时,k = 4 3 ; ③ m =

3

3

; ④ S四边形AOCB = 2b

2

. 则 所 有 正 确 结 论 的 序 号

是 .

19. 【2022 江西省】如图,点 A(m,4)在反比例函数 y =

k

x

( x > 0)的图象上,

点 B 在 y 轴上,OB = 2,将线段 AB 向右下方平移,得到线段 CD,此时点 C

落在反比例函数的图象上,点 D 落在 x 轴正半轴上,且 OD = 1.

(1)点 B 的坐标为 ,点 D 的坐标为 ,点 C 的坐标为

(用含 m 的式子表示);

(2)求 k 的值和直线 AC 的表达式.

20. 【2022 甘肃武威】如图,B、C 是反比例函数 y =

k

x

(k≠0)在第一象限的图

象上的点,过点 B 的直线 y = x - 1 与 x 轴交于点 A,CD⊥x 轴,垂足为 D,

CD 与 AB 交于点 E,OA = AD,CD = 3.

(1)求此反比例函数的表达式;

(2)求△BCE 的面积.

21. 【2022 河南省】如图,反比例函数 y =

k

x

( x > 0 )的图象经过点 A (2,4 )和

点 B,点 B 在点 A 的下方,AC 平分∠OAB,交 x 轴于点 C.

(1)求反比例函数的表达式.

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线. (要求:不写

作法,保留作图痕迹,使用 2B 铅笔作图)

(3)线段 OA 与(2)中所作的垂直平分线相交于点 D,连接 CD. 求证:CD

∥AB.

22. 【2022 黑龙江大庆】已知反比例函数 y =

k

x

和一次函数 y = x - 1,其中一

次函数的图象过(3a,b)、 3a + 1,b +

k

3

( )两点.

(1)求反比例函数的关系式;

(2)如图,函数 y =

1

3

x、y = 3x 的图象分别与函数 y =

k

x

(x > 0)的图象交

于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在点 P,使得△ABP 周长最小? 若存

在,求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.

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19

专题十一 二次函数

考点 1 二次函数的图象和性质

1. 【2022 新疆省】已知抛物线 y = (x - 2)

2

+ 1,下列结论错误的是 ( )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 x = 2

C. 抛物线的顶点坐标为(2,1) D. 当 x < 2 时,y 随 x 的增大而增大

2. 【2022 浙江宁波】点 A(m - 1,y1 )、B(m,y2 )在二次函数 y = (x - 1)

2

+ n 的

图象上. 若 y1 < y2 ,则 m 的取值范围为 ( )

A. m > 2 B. m >

3

2

C. m < 1 D.

3

2

< m < 2

3. 【2022 广西贺州】已知二次函数 y = 2x

2

- 4x - 1 在 0≤x≤a 时,y 取得的最

大值为 15,则 a 的值为 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 【2022 四川宜宾】 已知抛物线 y = ax

2

+ bx + c 的图象与 x 轴交于点 A

( - 2,0 )、B (4,0 ),若以 AB 为直径的圆与在 x 轴下方的抛物线有交点,则

a 的取值范围是 ( )

A. a≥

1

3

B. a >

1

3

C. 0 < a <

1

3

D. 0 < a≤

1

3

5. 【2022 浙江杭州】已知二次函数 y = x

2

+ ax + b(a,b 为常数). 命题①:该函

数的图象经过点(1,0);命题②:该函数的图象经过点(3,0);命题③:该

函数的图象与 x 轴的交点位于 y 轴的两侧;命题④:该函数的图象的对称

轴为直线 x = 1. 如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题

是 ( )

A. 命题① B. 命题② C. 命题③ D. 命题④

6. 【2022 新疆省】如图,用一段长为 16 m 的篱芭围成一个一边靠墙的矩形

围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为 m

2

.

7. 【2022 黑龙江大庆】已知函数 y = mx

2

+ 3mx + m - 1 的图象与坐标轴恰有

两个公共点,则实数 m 的值为 .

考点 2 二次函数解析式的确定(含平移)

8. 【2022 黑龙江哈尔滨】抛物线 y = 2 (x + 9)

2

- 3 的顶点坐标是 ( )

A. (9, - 3) B. ( - 9, - 3) C. (9,3) D. ( - 9,3)

9. 【2022 内蒙古通辽】在平面直角坐标系中,将二次函数 y = ( x - 1 )

2

+ 1 的

图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得函数的解析

式为 ( )

A. y = ( x - 2 )

2

- 1 B. y = ( x - 2 )

2

+ 3

C. y = x

2

+ 1 D. y = x

2

- 1

10. 【2022 广西玉林】小嘉说:将二次函数 y = x

2 的图象平移或翻折后经过点

(2,0)有 4 种方法:①向右平移 2 个单位长度;②向右平移 1 个单位长

度,再向下平移1 个单位长度;③向下平移4 个单位长度;④沿 x 轴翻折,

再向上平移 4 个单位长度. 你认为小嘉说的方法中,正确的个数有

( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

11. 【2022 四川雅安】抛物线的表达式为 y = (x - 2)

2

- 9,则下列结论:①当 x

= 2 时,y 取得最小值 - 9;②若点(3,y1 )、(4,y2 )在其图象上,则 y2 > y1 ;

③将其函数图象向左平移 3 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度所得

抛物线的函数表达式为 y = (x - 5)

2

- 5;④函数图象与 x 轴有两个交点,

且两交点的距离为 6. 其中,正确的序号为 ( )

A. ②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④

12. 【2022 贵州黔东南州】在平面直角坐标系中,将抛物线 y = x

2

+ 2x - 1 的

图象先绕原点旋转 180°,再向下平移 5 个单位长度,所得到的抛物线的

顶点坐标是 .

考点 3 二次函数的图象与系数的关系

13. 【2022 山东威海】如图,二次函数 y = ax

2

+ bx( a≠0)的图象过点(2,0),

下列结论错误的是 ( )

A. b > 0

B. a + b > 0

C. x = 2 是关于 x 的方程 ax

2

+ bx = 0(a≠0)的一个根

D. 点(x1 ,y1 )、(x2 ,y2 )在二次函数的图象上,当 x1 > x2 > 2 时,y2 < y1 < 0

第 13 题图 第 14 题图

14. 【2022 广西梧州】如图,已知抛物线 y = ax

2

+ bx - 2 的对称轴是 x = - 1,

直线 l∥x 轴,且交抛物线于点 P x1 ,y1

( )、Q x2 ,y2

( ),下列结论错误的是

( )

A. b

2

> - 8a

B. 若实数 m≠ - 1,则 a - b < a m

2

+ bm

C. 3a - 2 > 0

D. 当 y > - 2 时,x1·x2 < 0

15. 【2022 贵州黔东南州】若二次函数 y = ax

2

+ bx + c ( a≠0 )的图象如图所

示,则一次函数 y = ax + b 与反比例函数 y = -

c

x

在同一坐标系内的大致

图象为 ( )

A. B.

C. D.

16. 【2022 黑龙江齐齐哈尔】如图,二次函数 y = ax

2

+ bx + c(a

≠0)的图象与 y 轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,对称轴

为 x = - 1,函数最大值为 4,结合图象给出下列结论:①b

= 2a;② - 3 < a < - 2;③4ac - b

2

< 0;④若关于 x 的一元

二次方程 ax

2

+ bx + c = m - 4 (a≠0)有两个不相等的实数根,则 m > 4;

⑤当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小. 其中正确的结论有 ( )

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

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?

20

17. 【2022 山东潍坊】为落实“双减”,老师布置了一项这样的课后作业:

二次函数的图象经过点( - 1, - 1),且不经过第一象限,写出满足这些条

件的一个函数表达式.

[观察发现]

请完成作业,并在直角坐标系中画出大致图象.

[思考交流]

小亮说:“满足条件的函数图象的对称轴一定在 y 轴的左侧. ”

小莹说:“满足条件的函数图象一定在 x 轴的下方. ”

你认同他们的说法吗? 若不认同,请举例说明.

[概括表达]

小博士认为这个作业的答案太多,老师不方便批阅,于是探究了二次函

数 y = ax

2

+ bx + c 的图象与系数 a,b,c 的关系,得出了提高老师作业批

阅效率的方法.

请你探究这个方法,写出探究过程.

考点 4 二次函数的实际应用

18. 【2022 甘肃武威】如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方

向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线. 若不考虑空气阻力,小球的飞

行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有函数关系:h = - 5t

2

+ 20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间 t = s.

第 18 题图 第 19 题图

19. 【2022 内蒙古赤峰】如图,抛物线 y = - x

2

- 6x - 5 的图象交 x 轴于 A、B

两点,交 y 轴于点 C,点 D (m,m + 1 )是抛物线上的点,则点 D 关于直线

AC 的对称点的坐标为 .

20. 【2022 山东威海】某农场要建一个矩形养鸡场,鸡场的一边靠墙,另外三

边用木栅栏围成. 已知墙长 25 m,木栅栏长 47 m,在与墙垂直的一边留

出 1 m 宽的出入口(另选材料建出入门). 求鸡场面积的最大值.

21. 【2022 河北省】如图,点 P ( a,3 )在抛物线 C:y = 4 - (6 - x )

2 上,且在 C

的对称轴右侧.

(1)写出 C 的对称轴和 y 的最大值,并求 a 的值;

(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点 P 及 C 的一段,

分别记为 P′,C′. 平移该胶片,使 C′所在抛物线对应的函数恰为 y =

- x

2

+ 6x - 9. 求点 P′移动的最短路程.

22. 【2022 河南省】小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对

此展开研究:测得喷水头 P 距地面 0. 7 m,水柱在距喷水头 P 水平距离 5

m 处达到最高,最高点距地面 3. 2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,

并设抛物线的表达式为 y = a ( x - h )

2

+ k,其中 x(m)是水柱距喷水头的

水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求抛物线的表达式;

(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头 P 水平距离 3 m,身高 1. 6 m 的小

红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水

平距离.

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?

?

2

1

2

3

.

【

2

0

2

2

黑

龙

江

大

庆

】

果

园

有

果

树

6

0

棵

,

现

准

备

多

种

一

些

果

树

提

高

果

园

产

量

.

如

果

多

种

树

,

那

么

树

之

间

的

距

离

和

每

棵

果

树

所

受

光

照

就

会

减

少

,

每

棵

果

树

的

平

均

产

量

也

随

之

降

低

.

根

据

经

验

,

增

种

1

0

棵

果

树

时

,

果

园

内

的

每

棵

果

树

的

平

均

产

量

为

7

5

k

g

.

在

确

保

每

棵

果

树

的

平

均

产

量

不

低

于

4

0

k

g

的

前

提

下

,

设

增

种

果

树

x

(

x

>

0

且

x

为

整

数

)

棵

,

该

果

园

每

棵

果

树

的

平

均

产

量

为

y

k

g

,

它

们

之

间

的

函

数

关

系

满

足

如

图

所

示

的

图

象

.

(

1

)

图

中

点

P

所

表

示

的

实

际

意

义

是

,

每

增

种

1

棵

果

树

时

,

每

棵

果

树

的

平

均

产

量

减

少

k

g

;

(

2

)

求

y

与

x

之

间

的

函

数

关

系

式

,

并

直

接

写

出

自

变

量

x

的

取

值

范

围

;

(

3

)

当

增

种

果

树

多

少

棵

时

,

果

园

的

总

产

量

w

(

k

g

)

最

大

?

最

大

产

量

是

多

少

?

2

4

.

【

2

0

2

2

内

蒙

古

赤

峰

】

【

生

活

情

境

】

为

美

化

校

园

环

境

,

某

学

校

根

据

地

形

情

况

,

要

对

景

观

带

中

一

个

长

A

D

=

4

m

,

宽

A

B

=

1

m

的

长

方

形

水

池

A

B

CD

进

行

加

长

改

造

(

如

图

1

,

改

造

后

的

水

池

A

B

NM

仍

为

长

方

形

,

以

下

简

称

水

池

1

)

,

同

时

,

再

建

造

一

个

周

长

为

1

2

m

的

矩

形

水

池

E

F

GH

(

如

图

2

,

以

下

简

称

水

池

2

)

.

【

建

立

模

型

】

如

果

设

水

池

A

B

CD

的

边

A

D

的

加

长

长

度

D

M

为

x

(

m

)

(

x

>

0

)

,

加

长

后

水

池

1

的

总

面

积

为

y

1

m

2

(

)

,

则

y

1

关

于

x

的

函

数

解

析

式

为

y

1

=

x

+

4

(

x

>

0

)

;

设

水

池

2

的

边

E

F

的

长

为

x

(

m

)

(

0

<

x

<

6

)

,

面

积

为

y

2

m

2

(

)

,

则

y

2

关

于

x

的

函

数

解

析

式

为

y

2

=

-

x

2

+

6

x

(

0

<

x

<

6

)

,

上

述

两

个

函

数

在

同

一

平

面

直

角

坐

标

系

中

的

图

象

如

图

3

.

【

问

题

解

决

】

(

1

)

若

水

池

2

的

面

积

随

E

F

的

长

度

的

增

加

而

减

小

,

则

E

F

的

长

度

的

取

值

范

围

是

(

可

省

略

单

位

)

,

水

池

2

面

积

的

最

大

值

是

m

2

;

(

2

)

在

图

3

字

母

标

注

的

点

中

,

表

示

两

个

水

池

的

面

积

相

等

的

点

是

,

此

时

的

x

(

m

)

值

是

;

(

3

)

当

水

池

1

的

面

积

大

于

水

池

2

的

面

积

时

,

x

(

m

)

的

取

值

范

围

是

;

(

4

)

在

1

<

x

<

4

范

围

内

,

求

两

个

水

池

的

面

积

差

的

最

大

值

和

此

时

x

的

值

;

(

5

)

假

设

水

池

A

B

CD

的

边

A

D

的

长

度

为

b

(

m

)

,

其

他

条

件

不

变

(

这

个

加

长

改

造

后

的

新

水

池

简

称

水

池

3

)

,

则

水

池

3

的

总

面

积

y

3

m

2

(

)

关

于

x

(

m

)

(

x

>

0

)

的

函

数

解

析

式

为

y

3

=

x

+

b

(

x

>

0

)

.

若

水

池

3

与

水

池

2

的

面

积

相

等

时

,

x

(

m

)

有

唯

一

值

,

求

b

的

值

.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

22

阶段测评(三) 函数

注意事项:本试卷共三道大题,21 道小题,满分 100 分,建议用时 40 分钟。

一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)

1. 【2022 江苏常州】某城市市区人口 x 万人,市区绿地面积 50 万平方米,平

均每人拥有绿地 y 平方米,则 y 与 x 之间的函数表达式为 ( )

A. y = x + 50 B. y = 50x C. y =

50

x

D. y =

x

50

2. 【2022 湖北荆州】如图是同一直角坐标系中函数 y1 = 2x 和 y2 =

2

x

的图象.

观察图象可得不等式 2x >

2

x

的解集为 ( )

A. - 1 < x < 1 B. x < - 1 或 x > 1

C. x < - 1 或 0 < x < 1 D. - 1 < x < 0 或 x > 1

第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图

3. 【2022 湖南仙桃】二次函数 y = (x + m)

2

+ n 的图象如图所示,则一次函数

y = mx + n 的图象经过 ( )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

4. 【2022 山东烟台】二次函数 y = ax

2

+ bx + c( a≠0)的部分图象如图所示,

其对称轴为直线 x = -

1

2

,且与 x 轴的一个交点坐标为( - 2,0). 下列结

论:①abc > 0;②a = b;③2a + c = 0;④关于 x 的一元二次方程 ax

2

+ bx + c

- 1 = 0 有两个相等的实数根. 其中正确结论的序号是 ( )

A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③

5. 【2022 四川成都】如图,二次函数 y = ax

2

+ bx + c 的图象与 x 轴相交于 A

( - 1,0)、B 两点,对称轴是直线 x = 1,下列说法正确的是 ( )

A. a > 0

B. 当 x > - 1 时,y 的值随 x 值的增大而增大

C. 点 B 的坐标为(4,0)

D. 4a + 2b + c > 0

第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图

6. 【2022 四川内江】如图,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半轴上一点,

过点 M 的直线 l∥y 轴,且直线 l 分别与反比例函数 y =

8

x

和 y =

k

x

的图象

交于 P、Q 两点. 若 S△ POQ = 15,则 k 的值为 ( )

A. 38 B. 22 C. - 7 D. - 22

7. 【2022 浙江绍兴】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,4)、B(3,4),将

△ABO 向右平移到△CDE 的位置,A 的对应点是 C,O 的对应点是 E,函数

y =

k

x

(k≠0)的图象经过点 C 和 DE 的中点 F,则 k 的值是 ( )

A. - 6 B. 12 C. 6 D. - 12

8. 【2022 湖北十堰】 如图,正方形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y =

k1

x

k(

1 > 0 )和 y =

k2

x

k(

2 > 0 )的图象上. 若 BD∥y 轴,点 D 的横坐标为 3,则 k1

+ k2 = ( )

A. 36 B. 18 C. 12 D. 9

第 8 题图 第 9 题图

9. 【2022 贵州铜仁】如图,若抛物线 y = ax

2

+ bx + c(a≠0)与 x 轴交于 A、B

两点,与 y 轴交于点 C,若∠OAC = ∠OCB. 则 ac 的值为 ( )

A. - 1 B. - 2 C. -

1

2

D. -

1

3

10. 【2022 湖北武汉】已知抛物线 y = ax

2

+ bx + c( a,b,c 是常数)开口向下,

过 A ( - 1,0 )、B (m,0 )两点,且 1 < m < 2. 下列四个结论:①b > 0;②若 m

=

3

2

,则 3a + 2c < 0;③若点 M x1 ,y1

( )、N x2 ,y2

( )在抛物线上,x1 < x2 ,且

x1 + x2 > 1,则 y1 > y2 ;④当 a≤ - 1 时,关于 x 的一元二次方程 ax

2

+ bx + c

= 1 必有两个不相等的实数根,其中正确的有 ( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

11. 【2022 江苏宿迁】甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征,甲:“函数值

y 随自变量 x 的增大而减小”;乙:“函数图象经过点(0,2)”,请你写出一

个同时满足这两个特征的函数,其表达式是 .

12. (【2022 湖南仙桃】在反比例函 y =

k - 1

x

的图象的每一支上,y 都随 x 的增

大而减小,且整式 x

2

- kx + 4 是一个完全平方式,则该反比例函数的解析

式为 .

13. 【2022 山东烟台】如图,A、B 是双曲线 y =

k

x

(x > 0)上的两点,连接 OA、

OB. 过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,交 OB 于点 D. 若 D 为 AC 的中点,△AOD

的面积为 3,点 B 的坐标为(m,2),则 m 的值为 .

第 13 题图 第 14 题图

14. 【2022 江苏扬州】如图,函数 y = kx + b ( k < 0 )的图象经过点 P,则关于 x

的不等式 kx + b > 3 的解集为 .

15. 【2022 山东烟台】如图 1,在△ABC 中,∠ABC = 60°,D 是 BC 边上的一个

动点(不与点 B、C 重合),DE∥AB,交 AC 于点 E,EF∥BC,交 AB 于点 F.

设 BD 的长为 x,四边形 BDEF 的面积为 y,y 与 x 的函数图象是如图 2 所

示的一段抛物线,其顶点 P 的坐标为(2,3),则 AB 的长为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 55 分)

16. 【2022 辽宁营口】(8 分)如图,在平面直角坐标系中,△OAC 的边 OC 在 y

轴上,反比例函数 y =

k

x

( x > 0 )的图象经过点 A 和点 B (2,6 ),且点 B 为

AC 的中点.

(1)求 k 的值和点 C 的坐标;

(2)求△OAC 的周长.

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23

17. 【2022 广西贺州】(8 分)2022 年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩

目,冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓,成为热销产品,

某商家以每套 34 元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件,若该产品每

套的售价是48 元时,每天可售出200 套;若每套售价提高2 元,则每天少

卖 4 套.

(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为 x 元时,求该商品销售量 y 与 x

之间的函数关系式;

(2)求每套售价定为多少元时,每天销售套件所获利润 W 最大,最大利

润是多少元?

18. 【2022 内蒙古呼和浩特】(9 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y1

= kx + b 的图象与反比例函数 y2 =

m

x

的图象交于 A、B 两点,且 A 点的横

坐标为 1,过点 B 作 BE∥x 轴,AD⊥BE 于点 D,点 C

7

2

, -

1

2

( )是直线

BE 上一点,且 AC = 2 CD.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)根据图象,请直接写出不等式 kx + b -

m

x

< 0 的解集.

19. 【2022 湖北武汉】(9 分)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运

动,黑球在 A 处开始减速,此时白球在黑球前面 70 cm 处.

小聪测量黑球减速后的运动速度 v(单位:cm / s)、运动距离 y(单位:cm)

随运动时间 t(单位:s)变化的数据,整理得下表.

运动时间 t / s 0 1 2 3 4

运动速度 v / cm / s 10 9. 5 9 8. 5 8

运动距离 y / cm 0 9. 75 19 27. 75 36

小聪探究发现,黑球的运动速度 v 与运动时间 t 之间成一次函数关系,运

动距离 y 与运动时间 t 之间成二次函数关系.

(1)直接写出 v 关于 t 的函数解析式和 y 关于 t 的函数解析式;(不要求

写出自变量的取值范围)

(2)当黑球减速后运动距离为 64 cm 时,求它此时的运动速度;

(3)若白球一直∙∙

以 2 cm / s 的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会

碰到白球? 请说明理由.

20. 【2022 江西省】(10 分)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四

个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分

所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点 K

为飞行距离计分的参照点,落地点超过 K 点越远,飞行距离分越高. 2022

年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 OA 为 66 m,基准点 K 到

起跳台的水平距离为 75 m,高度为 h m(h 为定值). 设运动员从起跳点 A

起跳后的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系为:y = ax

2

+ bx + c

(a≠0).

(1)c 的值为 ;

(2)①若运动员的落地点恰好到达 K 点,且此时 a = -

1

50

,b =

9

10

,则基准

点 K 的高度 h 为 ;

②若 a = -

1

50

时,运动员的落地点要超过 K 点,则 b 的取值范围

为 ;

(3)若运动员飞行的水平距离为 25 m 时,恰好达到最大高度 76 m,试判

断他的落地点能否超过 K 点,并说明理由.

21. 【2022 湖南怀化】(11 分)如图 1 所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y =

ax

2

+ 2x + c 经过点 A( - 1,0)、B(3,0),与 y 轴交于点 C,顶点为点 D. 在

线段 CB 上方的抛物线上有一动点 P,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,作 PF∥

AB 交 BC 于点 F.

(1)求抛物线和直线 BC 的函数表达式;

(2)当△PEF 的周长为最大值时,求点 P 的坐标和△PEF 的周长;

(3)若点 G 是抛物线上的一个动点,点 M 是抛物线对称轴上的一个动

点,是否存在以 C、B、G、M 为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,

求出点 G 的坐标,若不存在,请说明理由.

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24

专题十二 几何图形初步

考点 1 点、线、面、体

1. 【2022 湖南岳阳】某个立体图形的侧面展开图如图所示,它的底面是正三

角形,那么这个立体图形是 ( )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

第 1 题图 第 2 题图

2. 【2022 湖北黄冈】某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ( )

A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

3. 【2022 广西贺州】下面四个几何体中,主视图为矩形的是 ( )

A. B. C. D.

4. 【2022 浙江金华】如图,圆柱的底面直径为 AB,高为 AC,一只蚂蚁在 C 处,

沿圆柱的侧面爬到 B 处,现将圆柱侧面沿 AC“剪开”,在侧面展开图上画

出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是 ( )

A. B.

C. D.

考点 2 相交线和平行线

5. 【2022 湖北十堰】如图,工人砌墙时,先在两个墙脚的位置分别插一根木

桩,再拉一条直的参照线,就能使砌的砖在一条直线上. 这样做应用的数

学知识是 ( )

A. 两点之间,线段最短 B. 两点确定一条直线

C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边

第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图

6. 【2022 江苏常州】如图,斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.

小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的

数学依据是 ( )

A. 垂线段最短

B. 两点确定一条直线

C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

7. 【2022 广西贺州】如图,直线 a、b 被直线 c 所截,下列各组角是同位角的是

( )

A. ∠1 与∠2 B. ∠1 与∠3 C. ∠2 与∠3 D. ∠3 与∠4

8. 【2021 山东临沂】 如图,AB∥CD,∠AEC = 40°,CB 平分∠DCE,则∠ABC

的度数为 ( )

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°

第 8 题图 第 9 题图

9. 【2021 山东聊城】 如图,AB∥CD∥EF,若∠ABC = 130°,∠BCE = 55°,则

∠CEF 的度数为 ( )

A. 95° B. 105° C. 110° D. 115°

10. 【2022 贵州黔东南州】一块直角三角板按如图所示的方式放置在一张长

方形纸条上,若∠1 = 28°,则∠2 的度数为 ( )

A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°

第 10 题图 第 11 题图

11. 【2022 湖北荆州】如图,直线 l

1∥l

2 ,AB = AC,∠BAC = 40°,则∠1 + ∠2 的

度数是 ( )

A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°

12. 【2022 河北省】要得知作业纸上两相交直线 AB、CD 所夹锐角的大小,发

现其交点不在作业纸内,无法直接测量. 两同学提供了如下间接测量方

案(如图 1 和图 2). 对于方案Ⅰ、Ⅱ,说法正确的是 ( )

A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行

13. 【2022 广西桂林】 如图,直线 l

1 、l

2 相交于点 O,∠1 = 70°,则∠2 =

°.

第 13 题图 第 14 题图

14. 【2022 湖南湘潭】如图,一束光沿 CD 方向,先后经过平面镜 OB、OA 反射

后,沿 EF 方向射出,已知∠AOB = 120°,∠CDB = 20°,则∠AEF =

.

考点 3 命题

15. 【2022 广西梧州】下列命题中,假命题是 ( )

A. - 2 的绝对值是 - 2

B. 对顶角相等

C. 平行四边形是中心对称图形

D. 如果 a∥c,b∥c,那么 a∥b

16. 【2022 内蒙古通辽】下列命题:① m·n

2

( )

3

= m

3

n

5

;②数据 1,3,3,5 的方

差为 2;③因式分解 x

3

- 4x = x ( x + 2 ) ( x - 2 );④平分弦的直径垂直于弦;

⑤若使代数式 x - 1 在实数范围内有意义,则 x≥1. 其中假命题的个数

是 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

17. 【2022 山东潍坊】利用反例可以判断一个命题的正误,下列命题正确的

是 ( )

A. 若 ab = 0,则 a = 0

B. 对角线相等的四边形是矩形

C. 函数 y =

2

x

的图象是中心对称图形

D. 六边形的外角和大于五边形的外角和

18. 【2022 内蒙古呼和浩特】以下命题:①面包店某种面包售价 a 元/ 个,因

原材料涨价,面包价格上涨 10% ,会员优惠从打八五折调整为打九折,则

会员购买一个面包比涨价前多花了 0. 14a 元;②等边三角形 ABC 中,点

D 是 BC 边上一点,E 是 AC 边上一点,若 AD = AE,则∠BAD = 3∠EDC;

③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等;④一列自然数:

0,1,2,3,55,依次将该列数中的每一个数平方后除以 100,得到一列新

数,则原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大. 其中真命题的个数

有 ( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

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