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（2023-2024 首师大附中九上月考·10 月）★★★☆

26．已知二次函数 y＝x²－2mx＋1．

（1）若该二次函数图象过（m－1，1），且不过第四象限，求 y＞1 所对应的自变量 x 的取

值范围；

（2）若点（－1，y1），（m＋1，y2），（2m，y3）在抛物线上，且 y1＜y2＜y3，求 m 的取值范

围．

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吴老师图解

（1）当 m＝1 时，x＜0 或 x＞2；m＝－1 时，x＜－2 或 x＞0.

思路&图解

1）将（m－1，1）代入解析式得 0＝（m－1）2－2m（m－1）＋1，

解得 m＝1 或－1，

2）当 m＝1 时，抛物线的解析式为 y＝x²－2x＋1，

如右图，当 y＝1 时，解得 x＝0 或 2，

故当 y＞1 时，有 x＜0 或 x＞2，

3）当 m＝－1 时，抛物线的解析式为 y＝x²＋2x＋1，

同理，得有 x＜－2 或 x＞0.

∴综上所述：当 m＝1 时，x＜0 或 x＞2；m＝－1 时，x＜－2 或 x＞0.

（2）－2＜m＜－1.

思路一：对称性比远近

分析

3 个函数值比较大小的问题，正常情况下，我们都是用“对称轴偏移”，将 3 个点同时

放在一个数轴上来比较的，但是由于本题有 2 个点的横坐标未知，故我们要想把它们同时放

在一个数轴上，显然，分类讨论的情况太多了！

仔细分析发现，不等式组 y1＜y2＜y3中，y2 起到了一个非常关键的串联作用，因为它与

对称轴 x＝m 的位置关系是相对确定的，

所以，我们可以将 y1＜y2＜y3 拆分成 2 个不等式，两两比较来做...

思路&图解

1）由题知抛物线开口向上，则图像上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）易求得抛物线的对称轴为 x＝m，

3）如图：

①如左图，点（m＋1，y2）关于对称轴的对称点的坐标为（m－1，y2），

由 y1＜y2 知，m－1＜－1＜m＋1，解得－2＜m＜0，

②如右图，同理得 2m＜m－1 或 2m＞m＋1，解得 m＜－1 或 m＞1.

∴综上所述：－2＜m＜－1.

x1

x=m

m-1 m+1

x3

x=m

m-1 m+1

x

y

y = 1

O

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思路二：代数硬算

思路&图解

1）y1＝1＋2m＋1＝2m＋2，

y2＝（m＋1）2－2m（m＋1）＋1＝－m2＋2，

y3＝（2m）2－2m（2m）＋1＝1，

2）①由 y1＜y2 知，2m＋2＜－m2＋2，整理得 m（m＋2）＜0，

如图，解得－2＜m＜0，

②由 y2＜y3 知，－m2＋2＜1，整理得（m＋1）（m－1）＞0，

如图，解得 m＜－1 或 m＞1.

∴综上所述：－2＜m＜－1.

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