相似三角形存在性处理策略

知识必备

一、 相似的判定

1. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，不妨简称为“SAS”；

2. 两角分别相等的两个三角形相似，不妨简称为“AA”. 二、 相似与“∽”

1. 一般地，若△ABC 与△DEF 相似，则不具备对应关系，需分类求解；

2. 若△ABC∽△DEF,则具备对应关系. 三、 定边与定角

1. “定边定长”:确定的边，其长度确定，必可求；

2. “定角定比”:确定的角，其三角函数值确定，必可求. 方法提炼

一、导边处理（“SAS”法）

相似三角形存在性问题，基本上都可以按部就班，如下解决：

第一步:先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；

第二步:以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程； 不妨称此通法为“SAS”法. 举例:如图 4-2-1,在△ABC 和△DEF 中，若已确定∠A =∠D.则要使

△ABC 与△DEF 相似,需要分两种情形讨论:

DE

DF

AC

AB

DF

DE

AC

AB

 或  ,再依

次列方程求解. 二、导角处理（“AA”法）

第一步:先找到一组关键的等角

第二步:另两个内角分两类对应相；等；

不妨称此通法为“AA”法. 举例:如图 4-2-1,在△ABC 和△DEF 中，若已确定∠A=∠D,要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两 种情形讨论:

或∠B=∠F.再导角分析处理. 三、温馨提示

1. 解法一（“SAS”法），通用性更强.普适性更广，往往是首选；

2. 解法二（“AA”法），导角分析，常转化为角的存在性等问题；

3. 若相似的三角形中有一个确定的三角形,可以先对其边、角作研究，定边求定长，定角求定比，然后再 寻

找所要的三角形,基本可以做到无往不利.

实战分析

（一）显性的“相（一）显性的“相等角”

例 1 如图 4-3-1,在四边形 ABCD 中,AD//BC = 90°,AB = 8,AD = 3,BC=4,点 P 为 AB 边上一动点，若△PAD

与△PBC 相似，则满足条件的点 P 共有（ ）

C. 3 D.4

简析 4 如图 4-3-2 连接 PD、PC，易得∠A = ∠B=90°,设 AF=x（0＜x＜8）,则 BP=8-x；由△PAD 与△PBC 相似，

本题要分两种情形：

①当△ADP∽BCF 时，有 ，解得 ，即 ；

7

24

7

24

x

8 x

4

x

3  



 AP

②当△ADP∽△BPC 时，有

4

8 x

x

3 

 ,解得 x = 2 或 6,即 AP=2 或 6；

综上所述:满足条件的点 P 有三个，故选 C. 简析 2 ①当△ADP∽△BCP 时，∠APD=∠BPC,可以利用“光反射原理”，寻找这样的点 P，具体如下：

如图 4-3-3,作点 D 关于 AB 的对称点 D＇,连接 D＇C 交 AB 于点 P,易得

; 7

24

, 8

3 4

, 



 

 AP

BP AP AP

AP

BC

AD 即 解得

A. 1 B. 2

相似三角形存在性问题，分类时可以先固定其中一个三角形的字母顺序，将另一个三角形换序即可，

如本例中的△AQP∽△BCP 或△ADP∽△BPC；所列方程也是固定等式的一边，将另一边的分子、分母颠倒

即可，如

4

8 x

x

3

8 x

4

x

3 





 或 ；

此外，本题导角分析，结合辅助圆，还有如下精妙解法： 反

思

②当△ADB∽BPC 时，有∠ADF=∠BPC，导角易得∠CPD=90°

；

识别“定边对定角”结构.点 P 为以 CD 为直径的⊙M 与边 AB 的交点，如图 4-3-4 所示，而⊙M 与边 AB 的交点个

数，可以通过“d 与 r 的大小关系”来判断，具体如下：

如图 4-3-5,作 MN 丄 AB 与点 N,再作 DG 丄 BC 于点 G,交 MN 于点 H，易得

2

65

2

r   CD

，d=MN=MH+NH= 2

7 ，

则 d＜r，故⊙M 与 AB 相交，且易判断其两个交点都在边 AB 上；

此外，以上两种情形下的点 P 不可能重合,否则点 P 必同时满足:∠APD=∠BPC 且∠CPD = 90°,必 有∠APD=∠BPC

= 45°,则 AP=AD = 3，BP = BC = 4,从而 AB=AP+BP = 7,这与 AB = 8 矛盾，故排除；

综上所述：满足条件的点 P 有三个，本题选 C。

（二）隐性的“相等角”

例 2 如图 4-3-6,已知二次函数的图像经过 A（-2,0）,B（-3,3）及原点 O,顶点为 C. （1） 求此二次函数的表达式；

（2） 连接 BC,交 x 轴于点 F,y 轴上是否存在点 P.使得△POC 与△BOF 相似？若存在，求出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由.

简析（1）设此次二次函数的表达式为 y  ax（x  2）.代入 B（-3,3）,可得 a = l.故有 y  ax（x  2）・即

y x 2x

2   ；

（2）如图 4-3-7, △BOF 确定，且有一个特殊角∠BOF = 45°,这是解题的“钥匙”，且易得 OB = 3 2 ，

, 2 2

2

3   OF

OB OF 则 ；

接下来，分析变化的目标△POC

这是一个“两定一动”型的三角形，且动点 P 在 y 轴上；

由 C（-1，-1），可知 OC 与 y 轴负半轴的夹角恰为 45°,故点 P 不可能落在 y 轴正半轴上，否则∠COP= 135°, 其另两个内角都小于 45°,不可能与△BOF 相似，故点 P 只能落在 y 轴负半轴上.如图 4-3-7 所示；

即∠BOF=∠COP .且有 OC= 2 ，要使△POC 与△BOF 相似.需分两种情形讨论：

①当△BOF∽△COP1时•有

2

1

, 2

, 2 2 1

1 1   OP  OP OP

OC

OF

OB 即 则 ，故点 P 的坐标为（0，- 2

1

）；

②当△BOF∽△P2OC 时，有 2

2 2

2 OP2 OC

OP

OF

OB

 ，即  ，则 OP2=4,故点 P 的坐标为（0,—4）；

综上所述:当 300 与△BOF 相似时

,点 P 的坐标为（0, — §）或（0,—4）.

解法 1 是相似三角形存在性问题的通解通法.而且容易操作；解法 2 看似复杂，但辅助圆

的构思巧妙.为解题打开了新天地.有时可以达到简化之效，算作“特事特办”. 反

思

下面再看一道灵活多变的好题：

例 3 如图 4-3-8,二次函数 y ax bx 2

2    的图像与 x 轴相交于点 A（-l,0）、B（4,0）,与 y 轴相交于点 C. （1） 求该函数的表达式；

（2） 点 P 为该函数在第一象限内的图像上一点，过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q,连接 PC。

①求线段 PQ 的最大值；

②若以点 P、C、Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求点 P 的坐标.、

简析（1）该二次函数的表达式为 x 2

2

3

x

2

1

y

2     ；

（2）可设 P 









   t  2

2

3

t

2

1

t， 2 ，其中 0＜t＜4，如图 4-3-9，作 PG⊥x 轴于点 G，交线段 BC 于点 M，易得直线 BC 的

表达式为 x 2

2

1

y    ，则点 M 的坐标为 









  t  2

2

1

t， ，从而有 PM= t 2t

2

1

t 2

2

1

t 2

2

3

t

2

1

y y

2 2

p m    











   









      ；

易得cos∠QPM=cos∠OBC= 5

2 ，则 5

2  PM

PQ

,即有PQ= 5

2

PM= 5

2 （ ） t（t 4）

5

1

t 4t

5

1

t 2t

2

1 2 2       









  ，

因此当 t=2 时，PQ 取最大值为

5

4 5

5

4  ；

（3） 这是一个相似三角形存在性问题.但解法多样，灵活异常,下面提供若干思路；

思路一（相似处理）：△ABC 确定，且易证∠ACB = 90°及

2

1  CB

CB

；

目标△PQC 为“一定两动”型，但始终有∠PQC=90°，既有∠ACB=∠PQC，由（2）知 PQ= t（4 t）

5

5

5

2 PM   ，

同理有 QM= （ ），又由 （4 t）

2

1

t 2

2

1

t 4 t

10

5

5

1 PM   MG      ，可得 MB= （4 t）

2

5

5MG   ，因此当

t=2，PQ 取最大值为

5

4 5

5

4  ；

接下来，分两种情形讨论：

这里的“相等角”，即∠BOF=∠COP= 45°,比较隐蔽.需要学生具备主动寻找的“潜意识”，然后通

过必要的计算加以说理；

对相似三角形存在性问题，若其中一个三角形确定.一般情况下.可将其三条边、三个角都研究透彻，

然后再去寻找目标三角形，可以达到事半功倍之效. 反

思

反 PQ 的最大值也可以利用面积处理或相切处理解决，请自行思考；

思

当△PCQ∽△ABC 时，有 2

1   CB

CA

QC

CP

,即 QC=2QP，则 (4 ) 5

2 5

(4 ) 2

5

t 4 t) 10

5

2 5  （    t  t  t ，

解得 t=0 或

2

3 ，其中 t=0 舍去，所以点 P 的坐标为 











8

25

2

3， ；

综上所述：当以点 F、C、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，点 P 的坐标为（3，2）或 











8

25

2

3，

思路二(角处理→“一线三直角”)：要使△CPQ 与△ABC 相似，导角分析，分两种情形讨论如下：

情形一:如图 4-3-10，当△PCQ∽△ABC 时，有∠1=∠2,则 CP//AB,由抛物线的对称性可知:点 C 与 点 P 关于抛

物线的对称轴对称.故点 P 的坐标为(3,2)；

情形二：如图 4-3-11.当左△CPQ∽△ABC 时，有∠3=∠2.则 tan∠2 = tan∠3 = 2,作 BD 丄 BC 交 CP 的延长

线于点 D，再作 DE⊥x 轴于点 E，易证 Rt△OBC∽Rt△EDB，则有 BC

DB

BO

DE

CO

DE

  =tan∠2=2，故 BE=2CO=4，DE=2BO=8, 从而点 D 的坐标为（8,8）；

设直线 CD 的解析式为 y=kx+2,代入 D(8,8),可得 k= 4

3 ，故直线 CD 的解析式为 x 2

4

3

y   ,将其与抛物线联

立可得 解得 （ 舍去）

，

，

x 0

2

3

x

x 2

4

3

y

x 2

2

3

x

2

1

y

2  







  

   

，此时点 P 的坐标为 











8

25

2

3， ；

综上所述:当以点 P、C、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，点 P 的坐标为(3,2)或 











8

25

2

3， . 思路三(角平分线+平行线→等腰处理)：

这里的方程实属一个“纸老虎”，只要先约去泻.计算会异常简单.这也是在表示 CQ 过程中 不

化简的目的之所在，切记“巧算趣无穷.死算算死人” 反

思

思路 2 为相似三角形存在性问题开辟了新视野，通过导角分析，将其转化为角的存在性问题.譬如这里

的第二种情形本质为“在 BC 上方抛物线上找点 P,使 tan∠BCP = 2”，这就变为了前面的“角处理"问题, 其通解通法均适用，如图 4-3-12 所示构造“一线三直角"亦可，但因直角顶点 Q 坐标未知.计算上稍显麻烦，

需要设辅助元；

除此之外，构造“一线三等角”、“母子型相似"、“旋转构造法”等都可行,请自行探究. 反

思

情形一：同上.略；

情形二：如图 4-3-13,当△CFQ∽△ABC 时，有∠3 =∠2 =∠4,即 CB 平分∠OCP；作 PG 丄 x 轴于点 G,交 BC 于点 M, 则有∠2=∠4=∠5.故有 PC = PM；设点 P（ ， t 2）

2

3

t

2

1

t 2    ，可得点 M 









  t  2

2

1

t， ，则 PM= t 2t；

2

1

y y

2

p  m   

又点 C(0, 2),可得

2

2 2 2

t

2

3

t

2

1

t 









 PC     从而有

2

2

2

2 2

t 2t

2

1

t

2

3

t

2

1

t 











   









    因为 t＞0,所以有

2 2

t 2

2

1

2

3

t

2

1

1 











   









    .解之即可,下略.

另法:如图 4-3-14,在思路三的基础上，结合“三线合一”定理，可得 PM QM CM

2

5  5  ;

设点 









   t  2

2

3

t

2

1

t， 2 P ，由思路一，可知 PM= t 2t；

2

1

y y

2

p  m    MB= （4 t）

2

5

5MG   ，从而

CM=CB-MB= （4 t）

2

5

2 5   ，故有 









     （4  t）

2

5

2 5

2

5

t

2

1 2 ，下略。

在思路 2 分析的基础上，继续导角.挖掘出角平分线，利用“角平分线+平行线→等腰三角形"，竟将相

似三角形存在性问题变成等腰三角形存在性问题，转化的力量可见一般，极其有趣；

思路 3 中“等腰处理”采用了“代数解法”，计算过程中差点出现“4 次方”，若是抓其不变角，利用

“几何解法”，还可以优化如下：

反

思

“几何解法"明显比“代数解法''计算量少，但需要具备一定的导角导比的能力，“眼中有角.心中有

比”；

遇角平分线，还可以采取更加常见的“对称策略",如图 4-3-15,点 O 关于 CB 的对称点 O＇一定落在直

线 CP 上，求出点 O＇的坐标亦可,不再展开.

反

思

思路四(角平分线→角处理）：如图 4-3-16,作CP1

//x 轴,交抛物线于点 P1 ，易知 P1 即为第一个要找的 点，下

略；

在边 OB 上取点 D,使∠BCD=∠BC P1

=∠OBC,由前面的思路，可知符合条件的点 P2 满足∠BC P2

=∠BCO,导角可得 P2

∠ P2

C P1

=∠OCD；

设 OD=t，则 CD=BD=4-t，在 Rt△OCD 中，由勾股定理得：4+t²=（4-1）²，解得 t= 2

3

,故 tan∠ P2

C P1

=tan∠OCD= ；

4

3

2

t 

再作 P2

H 丄 C P1 于点 H,可设 P2

H = 3m,CH=4m 则点 P2 的坐标为(4m,2+3m),将其代入抛物线解析式即可,下略. 变式:如图 4-3-17,二次函数 y=ax²+bx+2 的图像与 x 轴相交于点 A（-1,0）、B（4,0）,与 y 轴相交于点 C,点 P

为该函数在第一象限内图像上的一点.作 PG 丄 x 轴于点 G.交线段 BC 于点 M.若△PCM 是等腰三角形，求点 P 的坐标. 温馨提示：本题可以抓不变角∠PMC.表示出 PM、CM 的长.利用等腰三角形存在性问题的“几何解法”，分三类

情形完美演绎. 类型巩固

1.如图 4-4-1,抛物线 y =

1

8

x

2 −

3

2

x + 4 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），与 y 轴交于点 C.动 直线 EF（EF//x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点;动点 P 同时从点

B 出发,在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动. 问:是否存在 t，使得△BPF 与△ABC 相似？若存在，求出

t 的值;若不存在,请说明理由.

转化力无穷，构造无极限.此法的本质是.借助对称，构造等角，转移等角，然后利用“正切处 理”，

増量巧设，妙趣横生；

瞧，表面看来普通的相似三角形存在性问题，竟可以通过转化，变成角、角平分线、等腰等各 种有

趣的存在性问题.数学的魅力不言而喻；

除了“一题多解",还可以“一题多变”，请思考下面的问题： 反

思

总结相似三角形的存在性问题常见的处理策略有：

1. “SAS”解法：先找一组关键的等角，再以此等角的邻边分两类成比例列方程求解；

2. “AA”解法：先找一组关键的等角，再以另两个内角分两类对应相等，转化为角处理等其他

存在 性问题.

2.如图 4-4-2,在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线 y=ax²+bx（a＞0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,AO=BO=2, ∠AOB = 120°, （1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结 QM,求∠ZAOM 的大小；

（3）如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似.求点 C 的坐标.

3. (2017 年江苏常州中考压轴题)如图 4-4-3,已知一次函数 x 4

3

4

y    的图像是直线 ，设直线 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B. （1）求线段 AB 的长度；

（2）设点 M 在射线 AB 上，将点 M 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°到点 N,以点 N 为圆心,NA 的长为半径作⊙N。

①当⊙N 与 x 轴相切时，求点 M 的坐标；

②在①的条件下,设直线 AN 与 x 轴交于点 C,与⊙N 的另一个交点为 D.连接 MD 交 x 轴于点 E.直线 m 过点 N 分

别与丁轴、直线 Z 交于点 P、Q,当 ZXAPQ 与△CDE 相似时，求点 F 的坐标.