2022 年 8 月

第 43 卷 第 8 期

Aug. 2022

Vol.43 No.8

推 进 技 术

JOURNA L O F PRO PU L S ION TECHNO LOGY

210459-1

2.5维机织复合材料细观几何模型及

刚度预测方法研究进展 *

崔海涛，郭俊华，张宏建，温卫东

（南京航空航天大学 能源与动力学院 工业和信息化部航空发动机热环境与结构重点实验室，江苏 南京 210016）

摘 要：从2.5维机织复合材料细观几何结构出发，讨论了织造及成型工艺对材料实际细观几何结

构的影响，并分析了不同纱线截面及路径假设所建立代表性体积胞的优缺点。对考虑工艺因素的代表性

体积胞是否具有统一性和体素单元法建模的合理性做出对比分析。在代表性体积胞的基础上，重点讨论

了2.5维机织复合材料刚度的数值预测方法，并将其与刚度的理论预测方法作了简单对比。基于刚度的

数值预测方法，分析了各种机织参数对刚度系数的影响，并且对比了不同代表性体积胞模型的应力场。

此外，还讨论了2.5维机织复合材料叶片的建模分析技术与刚度设计方法。最后，指出了当前2.5维机织

复合材料细观建模及刚度预测方法存在的问题与不足，并且对其力学性能研究的发展趋势进行了展望。

关键词：复合材料；细观结构；几何模型；刚度模型；叶片结构

中图分类号：TB332；V258 文献标识码：A 文章编号：1001-4055（2022）08-210459-20

DOI：10.13675/j.cnki. tjjs. 210459

Research Progress on Meso-Geometric Models and Stiffness

Prediction Methods of 2.5D Woven Composites

CUI Hai-tao，GUO Jun-hua，ZHANG Hong-jian，WEN Wei-dong

（Aero-Engine Thermal Environment and Structure Key Laboratory of Ministry of Industry and Information Technology，

College of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Abstract：The effects of weaving and molding processes on the actual meso-geometry of the material are

discussed in terms of the meso-geometry of 2.5D woven composites，and the advantages/disadvantages of repre⁃

sentative volume cells established by different assumptions of yarn cross-section and path are analyzed. A com⁃

parative analysis is made on whether the representative volume cells considering process factors are uniform and

the rationality of the voxel cell method of modeling. Based on the representative volume cells，the numerical pre⁃

diction method of the stiffness of 2.5D woven composites is focused on and is briefly compared with the theoretical

prediction method. Based on the numerical prediction method of stiffness，the effects of various weaving parame⁃

ters on the stiffness coefficients are analyzed，and the stress fields of different representative volume cell models

are compared. In addition，the modeling analysis techniques and stiffness design methods for 2.5D woven compos⁃

ite blades are discussed. Finally，the problems and shortcomings of the current meso-scale modeling and stiffness

prediction methods for 2.5D woven composites are pointed out，and the development trend of their mechanical

* 收稿日期：2021-07-13；修订日期：2021-09-25。

基金项目：国家科技重大专项（2017-IV-0007-0044）；国家自然科学基金（52175142）。

通讯作者：崔海涛，博士，教授，研究领域为微动疲劳与复合材料力学。

引用格式：崔海涛，郭俊华，张宏建，等. 2.5维机织复合材料细观几何模型及刚度预测方法研究进展［J］. 推进技术，2022，

43（8）：210459. （CUI Hai-tao，GUO Jun-hua，ZHANG Hong-jian，et al. Research Progress on Meso-Geometric

Models and Stiffness Prediction Methods of 2.5D Woven Composites［J］. Journal of Propulsion Technology，2022，43

（8）：210459.）

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

210459-2

properties is prospected.

Key words：Composites；Mesostructure；Geometrical model；Stiffness prediction model；Blade struc⁃

ture

1 引 言

随着航空航天工业的发展，具有长寿命、高推重

比、低噪声、低油耗、高可靠性的航空发动机成了该

领域未来发展的重要趋势，而叶片/机匣的轻量化设

计是实现高性能航空发动机的关键技术之一。迄今

为止，钛合金、铝合金以及不锈钢等低质金属叶片/机

匣的潜力已经被充分挖掘，想要进一步实现叶片轻

量化设计，复合材料叶片/机匣的设计成为了航空工

业界关注的焦点［1］

。2.5 维机织复合材料是一种通过

经纱与纬纱之间形成相互角连锁的三维机织复合材

料，不仅克服了传统层合复合材料存在易分层、耐损

伤性能差等缺点，还克服了一般三维机织复合材料

工艺复杂的缺陷，其力学性能分析与应用日益成为

了各国学者与工程师的研究热点之一。近年来，GE

公司的 GE9X 发动机采用了 2.5 维机织复合材料制造

叶片/机匣结构，相比之前发动机采用的层合复合材

料以及二维三轴编织复合材料叶片/机匣结构，发动

机更加轻量化，性能也有了大幅提升。

2.5 维机织复合材料的刚度是其重要力学性能之

一，自 2.5 维机织复合材料问世以来对其研究便受到

了广泛关注。早期由于计算机水平的限制，学者们

通常将 2.5 维机织复合材料等效为层合板，并采用经

典层合板理论［2-3］

对其刚度进行分析，但由于经典层

合板理论只涉及复合材料宏观力学性能［4］

，且只能预

测面内性能［5］

，严重制约了 2.5 维机织复合材料的发

展及其结构设计。鉴于此，有学者从细观力学角度

上开展 2.5 维机织复合材料的刚度性能研究，建立了

多种刚度预测模型，如基于自洽方法［6-7］

、Mori-Tana⁃

ka 方法［8-9］

、等应变/力法（串/并联法）［10-11］

以及混合串

并联法［12-13］

等。虽然这些模型都能在一定精度范围

内成功预测 2.5 维机织复合材料的刚度性能，但由于

引进了不少假设，导致它们的预测精度不高。近些

年来，随着计算机水平的发展，研究人员在研究 2.5

维机织复合材料细观结构的基础上，建立了其代表

性体积单元（RVE，Representative volume element），通

过施加周期性边界条件，提出了基于数值模拟方法

的 2.5 维机织复合材料刚度分析模型。相比于理论

方法，数值模拟方法采用的假设更少，在工程上得到

了广泛应用。

本文将重点论述 2.5 维机织复合材料及其典型

结构的细观几何建模方法与刚度预测的数值模拟方

法及相关研究进展，并对 2.5 维机织复合材料及其典

型结构的力学性能研究的发展方向做出展望。

2 2.5维机织复合材料细观结构及RVE研究

2.5 维机织复合材料的几何模型是预测其刚度、

强度和疲劳行为的基础，其准确性直接影响刚度、强

度 和 疲 劳 模 型［14］的 预 测 精 度 。 Cox 等［15］和 Coman

等［16］

研究表明，2.5 维机织复合材料的细观几何结构

与其织造工艺以及固模压力密切相关。因此，在讨

论 2.5 维机织复合材料的细观几何结构之前，首选要

对其加工工艺有所了解。

2.1 2.5 维机织复合材料织造及成型工艺对细观结

构的影响

一般来说，2.5 维机织复合材料由经纱与纬纱相

互角连锁编织成型，但有时为了提高某个方向的强

度，会增加纱线。如为了提高经向力学性能，会在经

向上铺设平直的衬纱［17-18］

；为了提高面内剪切性能，

会在纱线系统内增织斜向纱［19］

。不同的织造工艺将

导致不同的 2.5 维机织复合材料纱线结构，如在织造

过程中，织造机的综框采用平齐与不平齐的工艺将

分别织出浅交直联结构与浅交弯联结构［20］

（见图 1）。

此外，织造张力的大小也会影响编织件在模压固化

过程的空穴形成率［21-23］

以及后期残余应力的大小。

除了织造工艺对 2.5 维机织复合材料的影响，其

固化成型工艺对细观结构的影响更为严重，尤其是

成型过程中的压力因素。一般来说，2.5 维机织复合

材料的成型工艺主要分为两种，即树脂传递模塑工

艺（RTM，Resin transfer molding）和 树 脂 膜 溶 渗 工 艺

（RFI，Resin film infusion）［24］

，相比于 RFI，RTM 的制造

成本低、形成的材料成品率较高，因此被广泛应用。

RTM 的工作原理为在一个密闭容器中填入编织件，

然 后 在 压 力 作 用 下 向 其 中 注 入 树 脂 ，最 后 固 化 成

型［25］

。在这个过程中，成型压力、树脂流速以及固化

温度都会对后期的成品产生重要影响，从而导致 2.5

维机织复合材料细观结构的变化。Cox 等［15］研究表

明，不同成型压力下，不同的纱线将与理想化形状有

不同程度的偏离，纱线形状也会产生不同程度的变

形。Song 等［26］研究表明，在一定的成型压力下表面

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经纱会被压平，表面纬纱会被压畸形并且偏移原位

置，如图 2（a）所示。Li 等［27］研究表明在一定的成型

压力下表面纬纱会被压扁，如图 2（b）所示。除了这

些细微的变化，对于较为复杂的结构，其理想结构与

实际结构之间将会发生显著的差别。比如，图 2（c），

（d）所示的 2.5 维机织复合材料三枚斜纹衬经结构，

理想结构与实际结构之间差距很大，其主要体现在：

（1）实际结构明显比理想结构（或者称为预制体）的

厚度要小；（2）内部纬纱的位置发生了显著偏离；（3）

经纱的走向从不对称周期性走向变为对称周期性

走向。

2.2 2.5维机织复合材料的细观模型研究

织造工艺和成型工艺是影响 2.5 维机织复合材

料细观结构的主要因素，细观结构直接影响着 2.5 维

机织复合材料的力学性能。国内外对复合材料细观

结 构 的 研 究 ，可 以 追 溯 到 20 世 纪 中 叶 左 右 ，以

Pierce［28］

，Love［29］

，Dickson［30］

以及 Kemp 等［31］

的研究工

作为代表，这一时期的工作基本都是围绕 Pierce［28］

提

出的与材料力学性能相关几何因素展开的，如纱线

屈曲高度、纱线织造角、纱线密度等［32］

。由于细观表

征技术的不成熟，这一阶段的工作主要还是停留在

宏观观测与几何理论推导阶段，但是不可否认的是，

这一阶段的工作为后期 2.5 维机织复合材料细观几

何结构的研究奠定了坚实的基础，尤其是以 Love［29］

，

Dickson［30］

以及 Kemp［31］

在 Pierce［28］

圆形纱线截面的基

础上提出的跑道形纱线截面假设，至今仍被许多学

者沿用。

随着织物结构力学的兴起，2.5 维机织复合材料

细观结构的表征与建模技术也得到了蓬勃发展。以

文献［11，33-35］的工作为代表，通过细观表征建立

了织物微单元（或称为亚单胞），采用层合板理论进

行刚度预测。在他们的模型中，由于理论纤维体积

分数明显偏高，导致预测精度有限，但是这些工作为

现今流行的数值模拟方法奠定了基础。此后随着计

Fig. 1 Two typical 2.5D woven composites[20]

Fig. 2 Longitudinal cross-section of different 2.5D woven composites

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

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算机水平的提高，人们开始建立能反映材料实际细

观结构的 RVE，采用数值模拟方法进行 2.5 维机织复

合材料力学性能预测。因此，RVE 中纱线系统的形

状 与 实 际 细 观 结 构 的 相 似 度 成 了 最 为 关 键 的 因

素［36］。纱线系统的形状分析主要可以分为两个方

面，即纱线的截面形状与纱线的路径。下面分别对

这两个方面进行论述。

2.2.1 纱线系统的横截面形状假设

迄今为止，纱线截面形状主要有圆形、跑道形、

双凸透镜形、椭圆形、矩形、六边形、八边形以及二次

函数形等，如图 3 所示。此外，Mahmood 等［37］

和 Gom⁃

mer 等［38］

还分别提出采用均一化的 Lamé 曲线与加权

椭圆曲线描述纱线的截面形状，从而使得截面轮廓

曲线不仅仅局限于图 3 中的几种图形，具体表达式为

|

|

|

| x

a

|

|

|

|

n

+

|

|

|

|

y

b

|

|

|

|

n

= 1 ( a,b,n > 0) （1）

|

|

|

| x

a

|

|

|

|

2

+

|

|

|

|

y

b

|

|

|

|

2

n

= 1 ( a,b,n > 0) （2）

式中 a 和 b 分别为截面的长半轴和短半轴，n 为变换

指数，不同的 n 下将产生不同的曲线，如图 4 所示。

显然，图 4（b）所示的加权椭圆曲线比 Lamé 曲线更适

合描述 2.5 维机织复合材料的截面轮廓。但是不管

哪种曲线，均不能描述 2.5 维机织复合材料中应用最

为广泛的双凸透镜形状，因此这两种曲线方程的应

用范围受到限制。

实际上 ，并不是所有的截面形状都应用广泛 。

如图 3（a）所示的圆形截面假设由于不符合实际观

测，并且不能解释织物是由纱线相互作用而达到稳

定结构这一现象［32］

，因此很少将其应用于 2.5 维机织

复合材料的力学性能预测，仅仅在早期的一些文献

中出现过［28］。然而，这并不代表圆形截面假设就没

有实际用途，一般来说，圆形截面经常出现于原理示

意图中，比如图 1 中所示的两种 2.5 维机织复合材料

织物结构的示意图［20］

。

至于图 3（b）~（h）所示的截面形状，也并不是每

种都能任意应用两种纱线。图 3（b），（f）和（h）所示的

跑道形、矩形以及八边形经常应用于经纱，这是由于

经纱在 2.5 维机织复合材料中需要上下贯穿纬纱，从

而使得其上下表面扁平。又因为不同工艺下材料的

邻近经纱之间可能会存在挤压效应，导致其两侧也

会呈现出扁平形状。根据挤压效应的强弱，可以分

别将经纱截面形状假设为矩形［26，39-47］

、八边形［48-49］

和

跑道形［12-13，50］

。当然，当邻近经纱之间不存在挤压效

应时，仍然可以假设成图 3（c）和（d）所示的椭圆［51］

和

双凸透镜形［52-53］

。至于纬纱，由于受到经纱的上下穿

梭连锁，导致其产生弧状截面轮廓，比如图 3（c）~（e）

所 示 的 椭 圆［54］、双 凸 透 镜 形［48，55］以 及 二 次 函 数

形［26，39-40，42-46］

。然而，在一些文献中，为了能生成更高

质量的网格，有时也会采用图 3（g）和（h）所示六边

形［41，47，56］和八边形［48］。此外，值得注意的是，在同一

种 2.5 维机织复合材料中，经纱与纬纱的横截面形状

并不是任意可以选择两种进行配合使用，而应该基

Fig. 3 Cross-sectional shape assumption of yarns in 2.5D woven composites

Fig. 4 Generic shape function of yarn cross-section (1/4)

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于细观探测与材料工艺进行合理配合。对于 2.5 维

机织复合材料浅交直联结构，经纬纱均采用跑道形

的配合较为合适；而对于浅交弯联结构，经纬纱分别

采用矩形和双凸透镜形的配合较为合适。

上述讨论仅仅是针对材料内部纱线，对于图 2

（a）所示的表面畸形纬纱，并不能采用某种规则形状

进行表征，这时必须将其轮廓拆分成多个部分，再通

过采用直线或者弧线进行勾勒。值得注意的是，对

于这种畸形纬纱截面，勾勒轮廓并不是最复杂的，最

复杂之处应该是如何建立其与表面受挤压经纱之间

的几何关系［26，42］

。此外，考虑到在模拟过程中需要计

算纤维体积分数，还需要计算畸形纬纱的截面积。

由于不是规则形状，只能采用分割面积的方法或者

对其建立函数进行积分求解面积。

2.2.2 纱线系统的路径假设

一般来说，纱线系统的路径主要是指经纱路径，

因为从目前诸多文献来看，纬纱路径以直线假设居

多［39，41，48，50，57-60］

，很少有文献讨论纬纱的弯扭效应［61］

。

这主要有两个原因：（1）考虑纬纱的弯扭效应会导致

建模极其复杂，尤其是划分网格时容易产生质量较

差的畸形网格；（2）纬纱路径虽然在实际中是弯扭走

向的，但是基本接近于直线，考虑纬纱的弯扭走向并

不能使力学性能的预测精度提高太多。然而，对于

经纱路径，不同的路径对力学性能预测精度的影响

较大，尤其是对于损伤行为的表征。

典型 2.5 维机织复合材料的经纱路径可以分为

两大类，即浅交直联结构的经纱路径（图 5（a）和（b））

和浅交弯联结构的经纱路径（图 5（c））。其中，根据

经纱是否受到两层相邻纬纱的挤压，又可以分为两

种，如图 5（a）和（b）所示。然而，无论哪种结构，均可

以将经纱路径分为割为两个部分，即与纬纱接触部

位的经纱（Part-A）和单独倾斜部分的经纱（Part-B）。

其中，Part-A 是由纬纱截面形状决定的，根据纬纱的

形状轮廓区别，可以将纬纱截面形状划分为折线型

（P 型，如六边形和八边形等）、曲线型（C 型，如双凸透

镜形和椭圆等）以及混合型（M 型，如跑道形等）。而

Part-B 则可以划分为直线型（I 型）与曲线型（II 型）两

种，其中曲线型包括三角函数形与多项式函数形（二

次函数最为常见）等等。

根据上述划分原则，将 Part-A 和 Part-B 配对，总

共可以得到六种方案，即 P-I 型、P-II 型、C-I 型、C-II

型、M-I 型以及 M-II 型。其中，P-II 型与 C-II 型鲜见

于文献，因此常用的经纱路径类型只有四种。鉴于

浅交弯联结构相比于浅交直联结构更为简单，因此

本 文 以 2.5 维 机 织 复 合 材 料 浅 交 弯 联结构为例，将

上 述 四 种 常 用 经 纱 路 径 类 型 表 示 出 来 ，如 图 6 所

示［12-13，26，39-47，49-50，55，59，62-65］

。显然，根据文献使用频率，

C-I 型是最常用的类型，这是由 2.5 维机织复合材料

细观结构与建模复杂程度共同决定的。

2.3 2.5维机织复合材料代表性体积胞研究

2.3.1 代表性体积胞几何模型研究

陈玉丽等［66］

将 RVE 定义为能反映复合材料宏观

力学性能而且其尺寸与复合材料的宏观结构相差巨

大的代表单元，如图 7（a）所示。然而，对于 2.5 维机

织复合材料，其 RVE 的定义并不能完全与之对应，这

是由于上述定义是传统意义上对夹杂复合材料的

RVE 定义，而随着纺织复合材料的出现，其自身几何

上的周期性导致传统 RVE 的定义并不能完全满足。

Fig. 5 Schematic diagram of area division of warp path

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

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因此，对于 2.5 维机织复合材料，RVE 的选取原则为能

反映材料中纱线体系周期性的最小重复性几何代表

单元，有时也称这种周期性最小重复几何单元为代表

性体积胞（RVC，Representative volume cell）［48，50］

，如图

7（b）所示。

对于 2.5 维机织复合材料的不同细观机织结构，

学者们分别建立了不同的 RVC，其中图 7（b）所示为

典型 2.5 维机织复合材料浅交弯联结构的 RVC。根

据上述定义，RVC 仅仅只代表能反映材料周期性的

最 小 重 复 几 何 模 型 ，即 这 种 定 义 是 一 种 狭 义 上 的

Fig. 7 Process of selecting RVE/RVC for different composites

Fig. 6 Four common warp paths

第 43 卷 第 8 期 2.5 维机织复合材料细观几何模型及刚度预测方法研究进展 2022 年

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RVC。然而，随着计算机水平的提高，预测方法的种

类与日俱增，狭义上的 RVC 与新计算方法中的一些

定义又产生了许多矛盾，从而产生了诸多计算上的

问题。因此，从数值模拟方法的角度，除了能反映材

料周期性的最小重复性几何模型，还应该将基于几

何模型的有限元模型、合适的周期性边界条件以及

组分材料属性的赋予等纳入 RVC 的定义中，形成 2.5

维机织复合材料广义上的 RVC。

在 2.5 维机织复合材料的发展初期，约在 20 世纪

90 年代到 21 世纪初，限于计算机水平，学者们在对材

料细观结构表征后，需要通过等效处理形成一种亚

单胞模型［34-35］

，从而预测材料刚度。具体来讲，根据

等效响应比拟的方法［67-68］

，将 2.5 维机织复合材料的

细观结构的代表体元分解为多个子元，估算材料的

纤维体积分数，根据外载的不同将子元进行集成，最

后采用平均化方法（即串/并联方法）计算得到复合材

料的弹性性能［5］

。这种方法在预测刚度时具有一定

的精度，但是不适用于预测强度以及损伤行为表征。

随着计算机技术的发展，从本世纪初一直到近几年，

有限元软件（ANSYS、ABAQUS 等）与建模软件蓬勃发

展，如专用于纺织复合材料建模的软件 TexGen［69］、

WiseTex［70］，使得对 2.5 维机织复合材料的数值模拟

不再需要这种等效简化的亚单胞，而是直接通过细

观表征获取 RVC，并且基于一定的纱线形状假设建

立其三维模型以及相应的有限元模型，根据外载施

加周期性边界条件与组分属性进行模拟仿真，从而

预测材料的力学性能。

相比于亚单胞，这种基于细观结构的单胞模型

（UCM，Unit cell model）不但能预测刚度，还能通过渐

进损伤方法预测强度，并且表征损伤行为，从而使得

2.5 维机织复合材料的发展有了质的飞越。比如，王

新峰等［56］

对经、纬纱均采用六边形建立了 2.5 维机织

复合材料单胞模型，如图 8（a）所示。Lu 等［50］

对经、纬

纱分别采用跑道形与双凸透镜形建立了 2.5 维机织

复合材料单胞模型，如图 8（b）所示。邱睿等［41］

对经、

纬纱分别采用矩形与六边形建立了 2.5 维机织复合

材料单胞模型，如图 8（c）所示。张盛［71］

对经、纬纱均

采用矩形建立了 2.5 维机织复合材料单胞模型，如图

8（d）所示。

然而，图 8 中的几种 2.5 维机织复合材料 UCM 只

能反映材料内部的几何特征，因此在预测材料的力

学性能时，必须保证材料的宏观几何尺寸相比于纱

线截面的特征尺寸来说足够大，以保证材料的表面

效 应 不 会 对 预 测 精 度 产 生 影 响 。 据 此 ，Song

等［26，39-40，42］提 出 了 2.5 维 机 织 复 合 材 料 全 胞 模 型

（FCM，Full cell model），如图 9 所示。

相比于 UCM，这种 FCM 必须在厚度方向上全部

建模，可以考虑材料的表面效应，然而当材料厚度较

大时会导致建模十分复杂，因此 FCM 更适用于厚度

较小的材料，比如纬纱层数（WLN，Weft-layer-num⁃

ber）Nwf≤6。值得一提的是，在上述规则化 FCM 的基

础上，考虑到纬纱截面排列的随机性，Guo 等［72］

提出

了一种内部具有随机性的 FCM，有效预测了 2.5 维机

织复合材料的刚度，并且表征了其静载损伤行为。

实 际 上 ，当 2.5 维 机 织 复 合 材 料 具 有 中 等 厚 度

时，比如纬纱层数为 7~15，这时表面效应对材料的影

响仍然不能忽略，即采用 UCM 仍然不合适，但是采用

FCM 又会导致建模极其复杂，这时可以借助三维四

向编织复合材料将 RVC 划分为面胞、角胞和内胞建

立三胞模型的思想［73］

，对 2.5 维机织复合材料也做出

类似划分，形成 2.5 维机织复合材料的三胞模型［74-75］

。

具体来说，可以将 2.5 维机织复合材料从厚度方向划

分为表面胞、过渡胞以及内胞，对不同子胞中的元素

分别赋予不同属性，当材料具有中等以上厚度时，比

如纬纱层数 Nwf>6，除了材料上、下表面的表面胞、过

Fig. 8 UCMs of 2.5D woven composites with different crosssectional shapes

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

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渡 胞 ，中 间 只 采 用 一 个 内 胞 ，这 相 当 于 Nwf=6 时 的

FCM，具体参见图 10（Mj 代表经纱排列密度；Mw 代表

纬纱排列密度）。尽管如此，对于变截面 2.5 维机织

复合材料，考虑到截面变化的现象，必须要在全厚度

方向上建立 FCM 才能有效预测材料的力学性能［76］

。

2.3.2 代表性体积胞有限元模型研究

对于上述各种模型，均存在一个共性问题，即很

难生成高质量的网格体系，这从图 9 的 FCM 的有限元

模型可以看得出来。出现这种问题的原因在于 2.5

维机织复合材料细观结构的复杂性。这种复杂性导

致各组分之间的网格很难协调共节点，而且由于周

期性边界条件的缘故，模型对立面的节点必须一一

对应，最终导致 2.5 维机织复合材料 RVC 的有限元模

型网格质量不高。张超等［77］

在研究三维四向编织复

合材料时，提出三胞模型对立面不共节点时，周期性

边界条件可以采用节点位移线性插值的方法施加，

但是由于材料力学行为的非线性，导致这种方法并

未在 2.5 维机织复合材料的 RVC 中获得广泛应用。

据此，文献［78-82］提出采用体素单元法建立 2.5

维机织复合材料的 UCM（V-UCM），随后，Li等［27］

提出

Fig. 10 Three-cell model of 2.5D woven composites[73]

Fig. 9 FCM of 2.5D woven composites[39]

第 43 卷 第 8 期 2.5 维机织复合材料细观几何模型及刚度预测方法研究进展 2022 年

210459-9

了体素全胞模型（V-FCM），如图 11 所示［78］

。显然，类

似于上述 UCM 与 FCM，V-FCM 的预测精度必定会比

V-UCM 的更高。相比于连续网格模型，体素网格模

型至少有两个优点：（1）体素网格中均为正六面体单

元，网格质量较高。（2）体素模型是通过扫略的方法

生成总体网格，然后根据各组分的细观几何参数选

取网格，因此，体素网格不需要考虑对立面的节点对

应问题。然而，相比于连续网格模型，体素网格模型

过度依赖于网格密度，网格密度越大，模型越接近真

实细观结构，仿真结果越精确［83］

。但是，过高的网格

密度必定会消耗大量的计算资源，因此，合理选择体

素网格模型的网格密度十分重要。此外，体素网格

模型的应力场会有应力呈现出阶梯式变化的现象，

这也是体素网格模型的弊端之一，提高网格密度可

以减少这种现象。

此外，基于 X-CT 的三维重构建模、数字单元法

也是近几年十分流行的两种数值模拟方法。其中，

基于 X-CT 的三维重构建模［84-87］是一种能真实建立

材料内部细观结构特征的方法，但是仅仅能反映所

扫描的那一片区域的内部结构，代表性不强。数字

单元法采用加强筋的方法建立纤维束，再通过节点

插值与基体网格耦合。这种方法预测精度高，能形

象展示出材料的细观变形行为，但是建模相对复杂。

对 此 不 再 作 过 多 论 述 ，具 体 可 参 考 Liu 等［88］、Gerrit

等［89］

的工作。

3 2.5维机织复合材料刚度预测方法研究

在上 述 对 2.5 维 机 织 复 合 材 料 细 观 几 何 结 构

的 论 述 中 ，或 多 或 少 已 经 对 刚 度 的 预 测 方 法 有 所

介 绍 。 本 节 重 点 对 2.5 维 机 织 复 合 材 料 刚 度 预 测

方 法 进 行 综 述 。 迄 今 为 止 ，2.5 维 机 织 复 合 材 料 刚

度 预 测 方 法 的 研 究 已 经 取 得 了 较 大 的 进 展 ，预 测

精 度 也 基 本 可 以 控 制 在 5% 以 内 。 纵 观 整 个 发 展

过 程 ，主 要 可 以 分 为 理 论 预 测 方 法 与 数 值 模 拟 预

测方法。

3.1 理论公式预测方法

2.5 维机织复合材料刚度的理论公式预测方法主

要 包 括 四 种［90-91］，即 选 择 平 均 模 型［12-13，92］、切 片

法［62，68，93］、取向平均模型［11，94-96］以及等效响应比拟技

术［5，67］

，它们之间的共同点是将材料细观结构经过一

定的处理后，均采用了等应力或者等应变假设对各

个切片刚度矩阵进行合成而求得材料刚度。

选择平均模型［12-13，92］的基本思想是：将 2.5 维机

织复合材料切成若干个微段，采用等应力假设将每

个微段合成刚度矩阵，再根据等应变假设合成整体

材料的柔度矩阵而最终求得刚度。该方法在二维机

织复合材料上取得了成功，但是其忽略了纱束走向

以及对切片厚度的影响，因此只能应用于经纱取向

角较小的 2.5 维机织复合材料［12-13］

，工程应用范围受

到限制。

基于选择平均模型的切片思想，Tan 等［68，93］

发展

Fig. 11 Comparison of the consistent-mesh models and voxel-mesh models[78]

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

210459-10

了一种切片法（或称为混合串并联模型），如图 12 所

示。该方法将材料完整细观结构从坐标轴三个方向

分别切成若干结构块，再将各结构块按照等应力或

等应力假设进行合成求解各个方向的刚度。该方法

并不能在每个方向上都能获取成功，因为其不能描

述纱线的弯曲走向，比如对于 2.5 维机织复合材料的

经向模量预测便不能获取较高精度。此外，考虑到

切块大小的不一样会导致预测精度的差异，因此该

方法的普及受到限制。

考虑到上述方法切片的随意性，有学者提出取

向平均模型［11，94-96］

，即直接将所有纱束通过转轴矩阵

变换到全局坐标系，再通过等应变假设合成整体刚

度矩阵，进而求解材料弹性常数。该方法在 P-I 型

（见图 6）纱线路径下应用方便，预测精度较高。但是

对于其他几种类型的预测精度却大打折扣，这主要

由于经纱曲段会对刚度预测造成影响。因此，该方

法的应用也受到限制。

鉴于各种方法在刚度预测精度上的差异，有学

者便提出预测材料刚度的上、下限，等效响应比拟技

术［5，67］应运而生。该方法根据最小势能原理与最大

余能原理，并且在这两种原理的基础上分别采用等

应变与等应力假设给出模量的上、下限。然而，对于

上、下限区间相差较小的材料，该方法十分有效，但

是对于区间较大的材料，该方法便无能为力，只能为

刚度预测提供参考。

综上可知，几种理论公式预测方法均采用了等

应力/等应变假设，在一定范围内获得了成功。然而，

这类方法不能很好地考虑纱线的弯曲段，以及各个

组分之间的耦合作用。特别注意的是，该类方法对

于温度环境与多轴载荷下的 2.5 维机织复合材料刚

度的预测可能会引入更大的误差。主要是由于理论

公式预测方法不能考虑温度环境下的基体的软化效

应与多轴载荷导致的刚度弱化现象。因此，随着计

算机技术的发展，刚度预测的数值模拟方法逐渐被

推广使用。

3.2 数值模拟方法

3.2.1 2.5 维机织复合材料等效刚度预测

采用数值模拟方法预测 2.5 维机织复合材料刚

度具有诸多优点，如可通过温度环境、多轴载荷下树

脂基体本构关系的不同，对不同温度或不同载荷下

的基体赋予不同的属性，从而模拟温度环境下的基

体软化效应或者多轴载荷下的刚度弱化现象，从而

更加精确地预测刚度。相比于理论方法，数值模拟

方法能显示出应力、应变与变形场，从而可以为建立

2.5 维机织复合材料本构关系提供参考，也可以预测

其在特定边界条件下的初始损伤位置。因此，数值

模拟方法受到了学者们的广泛关注。

数值模拟方法包括有限元法、有限差分法、边界

元法、有限体积法，等等，而其中最常采用的当属有

限元法，本文重点对有限元法做出论述。该方法预

测 2.5 维机织复合材料弹性性能的基本步骤主要为：

基于材料细观结构建立 RVC 几何模型及其有限元模

型，并且定义所采用的单元类型；对不同组分材料赋

予不同的属性，值得注意的是，由于纱线材料的各向

异性，必须对各纱线单元建立局部坐标系，根据方向

的不同赋予不同的属性；根据不同的外载状况，对

RVC 施加周期性边界条件［26，97-99］，并且开始求解；根

据式（3）~（5）计算材料的刚度。

σˉ ij = 1

V ∫

V

σij( x,y,z) dV （3）

εˉij = 1

V ∫

V

εij( x,y,z) dV （4）

E = σˉ ij

εˉij

（5）

式中 E 为材料的刚度；σˉ ij 和 εˉij 分别为 RVC 数值模型

计算得到的平均应力和平均应变；V 为 RVC 模型的总

体积。

在 2.5 维机织复合材料发展初期，由于有限元方

法还不够成熟，计算机水平有限，学者们只能采用粗

Fig. 12 Mixed iso-stress and iso-strain based analytical modeling scheme[68,93]

第 43 卷 第 8 期 2.5 维机织复合材料细观几何模型及刚度预测方法研究进展 2022 年

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糙的有限元模型，或者只能进行局部应力分析，从而

导致有限元法的预测精度有时不如理论公式预测方

法［100］

。而随着计算机水平的发展，半有限元半理论

的方法被开发出来［101-104］

，比如能量等效原理的有限

元法计算模量，再通过理论的方法修正材料的弹性

常数，最终建立了修正后的空间刚度平均法［105］

。近

十年，人们可以非常高效地在有限元软件中编写子

程序，定义各组分本构与材料属性，比如 Melro 等［106］

将提出了一种考虑基体塑性与粘滞性的本构关系，

并且将其定义于 ABAQUS 子程序中；也可以将 RVC

模型的网格数量加密到几十万甚至几百万的级别进

行模拟分析，从而可以采用纯有限元法精准预测材

料的力学性能。董伟锋等［52-53］

对经纬纱均采用双凸

透镜截面假设建立了 2.5 维机织复合材料的 RVC，并

且模拟了材料的刚度，结果表明，计算精度随着网格

密度变大而趋于稳定。据此，Ali 等［12-13］采用 Hyper⁃

Mesh 软件对 2.5 维机织复合材料的 RVC 进行网格绘

制，提高了网格质量，从而使得模拟结果更加接近于

实验结果。然而，相比于体素网格模型，网格质量依

然较差。Zhang 等［79-82］

对 2.5 维机织复合材料建立了

V-UCM，结果表明，随着网格密度的增大，体素模型

的刚度预测精度将不断提高，但是网格密度过高后，

预测精度也会趋于一个定值。随后，Li 等［27］在 Song

等［26，42］提 出 的 FCM 的 基 础 上 建 立 了 精 细 化 的 VFCM，使得刚度的预测精度再次提高。然而，这样精

细化的 V-FCM 是十分消耗计算资源的，为了降低计

算成本，并且将计算精度控制在可接受范围内，多尺

度模拟方法的研究在近几年也非常热门［4，66，107］。多

尺度模拟方法是研究不同尺度（微观、细观或宏观）

下材料力学响应的耦合问题。Wang 等［108］

、Lu 等［50］

均

在微观纤维束尺度和细观单胞尺度分别预测了 2.5

维机织复合材料的刚度，并且获得了成功。然而，对

于刚度预测来说，多尺度模拟并不能显示出其优势，

因为刚度预测并不涉及材料内部的损伤效应。也就

是说，多尺度模拟对于强度预测可以取得更好的分

析效果。

3.2.2 机织参数对刚度的影响评估

有限元法除了能精确预测材料刚度之外，还可

以通过参数化建模，评估各个弹性常数随机织参数

的变化规律。相比于理论方法，采用有限元法评估

各个弹性常数随机织参数的变化规律更加可靠。其

中 ，Li 等［27］在 Song 等［26，42］所 提 出 不 同 机 织 参 数 的

FCM（见图 13）的基础上建立的 V-FCM 所做的参数评

估工作最完整可靠，精度最高。如图 14，15 所示，随

着经纱密度的变大，E11，μ23 显著提高，E22，μ12，μ13 显著

下降，其他弹性常数基本不变；而随着纬纱密度的增

大，E11，μ23 显著下降，E22，μ12，μ13 显著提高，其他弹性

常数基本不变；随着纤维体积分数的提高，所有模量

（包括轴向模量与剪切模量）均提高，而所有泊松比

均下降。这样的规律与郑君等［94］

、董伟锋等［52，109-110］

、

Song 等［26，42］

所做参数评估工作基本一致，只是由于组

分材料与材料工艺的差异而导致变化幅度不一样

而已。

3.2.3 2.5 维机织复合材料应力场分析

对于不同的 2.5 维机织复合材料 RVC，将会产生

不 同 的 应 力 场 ，这 里 将 现 有 文 献 中 出 现 的

UCM［41，50，83］，FCM［26，42］，V-UCM［79-82］以及 V-FCM［27］四

种模型的拉伸加载应力场作对比。

如图 16 所示，在经向加载下，所有模型的云图均

显示经纱应力比纬纱更大，这是由于经向加载下，经

纱为承载纱线，图 17 所示的纬向加载也有类似规律。

然而不同的是，图 16 所示的经、纬纱之间的应力对比

Fig. 13 FCM with different woven parameters[26]

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

210459-12

在体素模型中并不明显。原因在于体素模型中的经

纱倾斜部分由于阶梯式网格结构而产生了阶梯式应

力分布，导致在阶梯凹处产生应力集中效应。目前

主要有两种方法减弱这种效应：（1）提高网格密度，

但是网格密度的提高会引起计算资源呈指数级增

长，而且解决效果并不明显。（2）将经纱倾斜部分的

表面网格切割成两个六面体，但这与采用体素模型

的初衷相违背。然而，再对比图 16 的纬向加载应力

场，却发现体素模型的应力场与连续网格模型的应

力场十分相似，这是由于纬纱在加载方向的平直特

性决定的。因此，体素模型并不适合表征经向加载

应力场，适合表征纬向加载应力场。但是，在刚度预

测方面，体素模型仍然十分有效。

此外，对比图 16，图 17 中考虑表面效应的 FCM

（包括 V-FCM）与 UCM（包括 V-UCM），明显发现最大

应力均处于表面位置（表面经纱转折处或者纬纱畸

形位置）。因此，就这一点来说，UCM 对材料应力场

的表征存在缺陷。但是 UCM 却能很好地表征材料内

部的应力分布，一定程度上为 FCM 的应力场表征提

供了参考。

值得一提的是，在 FCM 的应力场模拟表征中，由

于已经在全厚度方向建立了模型并且考虑了表面效

应，因此厚度方向不需要施加周期性边界条件。其

周期性边界条件而应该类似于二维机织复合材料的

周期性边界条件［111］

。

4 2.5 维机织复合材料叶片结构建模技术与

刚度设计

具有高比刚度、高比强度的 2.5 维机织复合材料

在航空航天领域的应用与发展前景引发了国内外诸

多学者与工程师的研究热情。航空叶片/机匣结构作

为动力推进系统最主要的部件，更是成为了国内外

Fig. 14 Elastic properties vary with warp arranged density and fiber volume fraction[27]

第 43 卷 第 8 期 2.5 维机织复合材料细观几何模型及刚度预测方法研究进展 2022 年

210459-13

各航空动力制造相关公司的关注焦点，其中最具备

代表性的莫过于通用电气公司的几代航空风扇叶片

的发展［112］，如图 18 所示，从第一代合金叶片到第二

和第三代复合材料叶片是具备划时代意义的，材料

的替换使得叶片数量减少了 50%，叶片质量减少了

66%。目前，第四代一体化三维编织复合材料叶片虽

Fig. 16 Stress clouds of different models of 2.5D woven composites in warp-loading

Fig. 15 Elastic properties vary with weft arranged density and fiber volume fraction[27]

第 43 卷 第 8 期 推 进 技 术 2022 年

210459-14

然有部分型号机型已经开始使用，但是仍然不够成

熟，还处于发展中。此外，增材制造领域正处于高度

发展中［113］

，采用 3D 打印的方法制造叶片将成为第五

代叶片的发展趋势。

对于第四代一体化编织复合材料叶片，建模技

术与刚度设计问题是其主要的关键技术。目前，叶

片的建模技术主要分为三个方向（如图 19），即全尺

寸细观建模、均质化建模以及多尺度联合建模。虽

然全尺寸细观建模可以精确预测叶片的刚度，并且

有效模拟其力学行为，但该方法最大的问题在于其

可实施性弱与计算量大，限制了其工程应用。对于

2.5 维机织复合材料叶片的力学性能分析，目前大多

数工作集中于均质化模拟［114-115］

。相比于全尺寸细观

建模，均质化建模简单方便，但是精度上不如全尺寸

Fig. 17 Stress clouds of different models of 2.5D woven composites in weft-loading

Fig. 18 Aircraft fan blades of different ages

Fig. 19 Schematic of blade modeling method

第 43 卷 第 8 期 2.5 维机织复合材料细观几何模型及刚度预测方法研究进展 2022 年

210459-15

细观建模精准，因此，均质化建模更加适用于初步

分析。

相 比 于 全 尺 寸 细 观 建 模 和 均 质 化 建 模 两 种 方

法，多尺度联合建模方法［116-120］

正在逐渐获得研究人

员与设计师的青睐。相比于全尺寸细观建模，多尺

度联合建模更加简单，消耗的计算资源更少；相比于

均质化建模，多尺度联合建模预测更加精确，更能反

映细观结构的力学行为。因此，对于 2.5 维机织复合

材料叶片的力学性能研究来说，多尺度联合建模方

法更加合适。比如，Guo 等［121］采用多尺度联合建模

方法合理有效地模拟了 2.5 维机织复合材料含孔结

构的力学行为。然而，对一体化编织叶片结构的多

尺度联合建模与刚度预测，最大的障碍在于：（1）如

何确定哪些部位需要进行细观建模；（2）如何建立细

观区域与宏观区域之间的联系。对于第一个问题，

如果是力学性能模拟，可以将应力集中区域进行细

观建模；对于第二个问题，一般的做法是采用绑定

连接。

5 总结与展望

作为一种具有良好抗分层性能、工艺简单、可设

计性强的材料，2.5 维机织复合材料在航空工业领域

具有明显的发展潜力，其力学性能的研究也显得尤

为重要。大量文献表明，学者们目前对 2.5 维机织复

合材料在简单载荷下的刚度及相关问题的研究已经

取得了一定的进展，发展出了一系列 2.5 维机织复合

材料的刚度预测方法，并且得到了试验支持。今后，

2.5 维机织复合材料力学性能的研究应该重点关注于

以下几个方面：

（1）从大量文献的统计可以看出，目前对 2.5 维

机织复合材料的 RVC 细观建模主要集中于理想建

模，而对于内部纱线的诸多工艺特征进行了忽略，这

在一定程度上是不合适的。随着工程应用中的计算

精度越来越高，参数化建立 2.5 维机织复合材料趋真

化 RVC 值得进一步研究。

（2）研究者们对材料力学性能的研究主要集中

于等厚度 2.5 维机织复合材料，而对于变厚度 2.5 维

机织复合材料研究较少。然而，变厚度 2.5 维机织复

合材料的力学性能在发动机叶片的设计中尤为重

要，因此变厚度 2.5 维机织复合材料的刚度预测方法

及其力学行为值得进一步研究。

（3）简单载荷状态下的 2.5 维机织复合材料力学

性能已经取得了一定进展，然而在工程应用中，结构

不可能处于单一应力状态下，而是处于复杂环境、复

杂载荷状态下。因此，有必要发展 2.5 维机织复合材

料 在 多 轴 载 荷 、高 温 甚 至 湿 热 环 境 下 的 刚 度 预 测

方法。

（4）对于 2.5 维机织复合材料典型结构（如发动

机叶片）的宏细观联合建模方法还处于初步研究阶

段，还没有形成一套理论可行的建模方法，制约了 2.5

维机织复合材料典型结构的发展。因此，发展出一

套适用于 2.5 维机织复合材料典型结构的宏细观联

合建模方法，以适用于其刚度及相关力学性能的预

测，非常具有实际的工程应用价值。

致 谢：感谢国家科技重大专项和国家自然科学基金的

资助。

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（编辑：史亚红）