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（2023-2024 海淀九上期中——转称点）★★★☆

28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 不与原点重合．对于点 P 给出如下定义：点 P

关于点 M 的对称点为 P'，点 P'关于直线 OM 的对称点为 Q，称点 Q 是点 P 关于点 M 的“转称

点”．

（1）如图，已知点 M（t，0），P（t＋1，1），点 Q 是点 P 关于点 M 的“转称点”．

①当 t＝2 时，在图中画出点 Q 的位置，并直接写出点 Q 的坐标；

②PQ 的长度是否与 t 有关？若无关，求 PQ 的长；若有关，说明理由；

（2）已知点 A（3，4），△ABC 是边长为 2 的等边三角形（点 A，B，C 按逆时针方向排

列），点 N 是点 B 关于点 C 的“转称点”，在△ABC 绕点 A 旋转的过程中，当 BN 最

大时，直接写出此时 OB 的长．

备用图

x

y

P

O M x

y

O

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吴老师图解

（1）①（1，1）.

思路&图解

如图，Q（1，1）.

（1）②无关，PQ＝2.

思路&图解

如图，P（t＋1，1），

1）P'（t－1，－1），

2）Q（t－1，1），

∴PQ＝xP－xQ＝t＋1－（t－1）＝2，是

个定值，与 t 的取值无关.

（2）

22

±1.

规律总结

如图，先随意画一个△ABC，根据定义作出点 N，发现：

1）△BB'N 是个斜边长为 4 的直角三角形（提示：中位线得平行），

2）点 N 与点 B'重合时，BN 取到最大值（提示：斜大于直），

3）点 N 和点 B'重合，只能重合于对称轴 OC 上，

4）点 B'在 OC 上，意味着 O，B，C 三点共线（提示：点 B'和点 B 关于点 C 对称），

综上，△ABC 在旋转的过程中，只要能保证 O，B，C 三点共线，就能使 BN 取到最大

值，而这样的位置应该有 2 个——①点 B 在 OC 上，②点 C 在 OB 上，

最后，同学们动动小手，画个尽量标准的图就可以去计算求值啦~

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

N

B'

C

A

O

B

x

y

D

N

B'

C

A

O

B

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思路&图解

临界状态 1：

如图，点 B 在 OC 上，作 AH⊥BC，

1）在 Rt△ABH 中，BH＝1，AH＝ 3 ，

2）在 Rt△AOH 中，AO＝5，勾股定理得 OH＝ 22 ，

∴OB＝ 22 －1.

临界状态 2：

如图，点 C 在 OB 上，同理得 OB＝ 22

＋1.

∴综上所述：OB＝ 22

±1.

x

y

5

3

30°

1

H

C

A

O

B

x

y

1

3

5

1

H

C

A

O

B