第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

第1讲集合及其运算
第2讲 常用逻辑用语 5
第3讲不等式及其性质·… 8
第4讲基本不等式（课堂延伸:柯西不等式与权方和不等式） 10
第5讲一元二次不等式·.· 14

考情动态速递

核心考向

·集合的交并补运算/P3变式4 ·利用等差数列的性质判断 充分、必要条件/P6例1

创新考法

结合圆的标准方程利用基本不等式求最值/P11变式3

第二章 函数

第6讲函数的概念及其表示 18
第7讲 函数的单调性与最值(课堂延伸:对勾函数与飘带函数) 21
第8讲函数的奇偶性、对称性与周期性··· 25
第9讲幂函数与二次函数·.·· 29
第10讲指数与指数函数·… 32
第11讲对数与对数函数· 35

重难点突破 ^{1} 指、对、幂比较大小问题 38

第12讲 函数的图象 40
第13讲 函数与方程 43
第14讲 函数模型及其应用 46

八省考情

重难考点

已知函数的零点个数求参数范围/P45例3

创新考法

以国民收入支配和国家经济发展为背景建立函数模型/P48变式2

第三章 一元函数的导数及其应用

第15讲导数的运算及其几何意义 49
第16讲导数与函数的单调性· 53
第 17讲导数与函数的极值、最值(课堂延伸:三次函数) 57
第18讲函数中的构造问题 62

重难点突破2指对同构问题 65

重难点突破3利用导数研究恒（能）成立问题(课堂延伸:洛必达

核心考向

·曲线过某点的切线方程/ P51例5
·分类讨论含参函数的单调 性/P55例3

重难考点

利用数形结合，根据函数零点个数研究参数取值范围问题/P75例2

创新考法

重难点突破4利用导数证明不等式问题 71
重难点突破5利用导数研究函数零点问题 74
拔高点突破 ^{1} 极值点偏移问题 77

构造函数，利用导数解决三角形问题/P63变式2

第四章 三角函数与解三角形

第19讲任意角和弧度制、三角函数的概念·.·· 80
第 20讲同角三角函数的基本关系与诱导公式 84
第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式·. 87
第22讲简单的三角恒等变换·… 90
第23讲三角函数的图象与性质 93
第24讲函数 y=A\sin\big(\omega x+\varphi\big) 的应用 97

·三角函数弦切互化问题/P85例2
·根据正、余弦定理判断三角形的形状/P103例2

核心考向

重难点突破6三角函数中 \omega 的取值问题 100

重难考点

·根据最值(值域）求解 \omega 的取值范围/P100变式2·利用正、余弦定理解决三角形中的角平分线问题/P105例4

第 25讲正弦定理、余弦定理(课堂延伸：射影定理) 102
第26讲解三角形应用举例·.· 107

创新考法

数形结合解决直线与三角函数图象的交点个数问题/P92例5

第五章 平面向量、复数

核心考向

·根据向量共线求参数的值/P116变式3
·利用向量数量积求向量的模/P119例3
第27讲平面向量的概念及线性运算 110
第 28讲平面向量基本定理及坐标表示(课堂延伸：等和线定理)114
第29讲平面向量数量积(课堂延伸:极化恒等式) 117
第 30讲平面向量的综合应用(课堂延伸:三角形的四心与奔驰定理)121
第31讲复数…·· 124

重难考点

三角形的垂心与奔驰定理的综合运用/P123变式4

创新考法

向量与动点轨迹结合求最值问题/P122变式3

第六章 数列

八省考情

第32讲数列的概念和性质· 127
第33讲等差数列 130

等比数列的判定与证明不等式 问题/P135变式2[八省（区)联 考2025 * 16]

第34讲等比数列 133
重难点突破 ^7 构造法求数列通项 137
第35讲数列求和 139
第36讲数列的综合应用 142
拔高点突破 ^2 特殊数列与子数列问题 145
拔高点突破3数列的新定义问题 147

核心考向

利用等差数列项的性质求项/P132例3

重难考点

以太极衍生原理为背景考查数列奇偶项问题/P146变式3

创新考法

数列的新定义与概率的综合应用/P148变式1

第七章 立体几何与空间向量

第37讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(课堂延伸：
祖原理) 149
重难点突破 8 内切球、外接球、棱切球问题 154
第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系 157
第39讲 空间直线、平面的平行 161
第40讲 空间直线、平面的垂直 164
第41讲 空间向量的概念与应用 167
第42讲空间角与空间距离 172
重难点突破 {\mathfrak{g}} 空间中的截面、翻折及探索性问题 179
拔高点突破 ^4 空间中的动态问题（含八省联考题型创新解读）·182

核心考向

·以蒙古包为例考查几何体的表面积/P152例2
·利用向量法证明线面平行及线线垂直/P171变式4
·利用几何法求直线与平面所成角/P175例2
·利用向量法求平面与平面夹角的余弦值/P176变式3

重难考点

·利用翻折前后各量之间的变化关系判断空间中的位置关系/P179例2·根据空间位置关系求动点轨迹的长度/P182变式2

第八章 解析几何

第43讲直线方程· 185
第44讲 两条直线的位置关系· 188
第45讲 圆的方程(课堂延伸:阿波罗尼斯圆) 191
第46讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 193
第47讲 椭圆(课堂延伸:蒙日圆) 196
第48讲 双曲线 201
第 49 讲抛物线(课堂延伸:阿基米德三角形) 205

八省考情

直线与抛物线的位置关系/P207变式3[八省（区）联考2025·9]

核心考向

·直线与圆相交弦的最值问题/P195例4
·利用直接法求动点轨迹方程/P209例1

重难点突破 10 曲线的轨迹方程问题 209

第50讲直线与圆锥曲线的位置关系 211
重难点突破 ^{11} 圆锥曲线中的定点、定值、定线问题·.·....·· 214
拔高点突破5圆锥曲线中的求值、证明与探索性问题··· 217
拔高点突破 6 圆锥曲线中的最值、范围问题 220

重难考点

·椭圆中的最值问题/P199例5
·圆锥曲线中动点在定直线上的问题/P216例3

创新考法

以阿基米德三角形为背景考查抛物线的切线方程/P208例5

第51讲两个计数原理 222
第52讲排列组合 225
第53讲二项式定理 228

核心考向

·定序的排列问题/P226例2·二项展开式中的特定项问题/P228例1

重难考点

二项式系数的最值问题/P230例5

第十章 概率与统计

第54讲随机事件与概率· 231
第55讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式··· 235
第56讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差· 238
第57讲 二项分布、超几何分布与正态分布 242
第58讲 随机抽样 247
第59讲 用样本估计总体 251
第60讲 成对数据的统计分析· 256
第61讲概率与统计的综合应用 262

八省考情

列联表、独立性检验/P261变式4[八省（区）联考2025 * 15]

核心考向

·相互独立事件发生的概率/P236例2·根据频率分布直方图求解百分位数/P254变式3

重难考点

非线性回归模型的应用/ P259例3

创新考法

以新能源汽车为背景考查概率与数列的综合问题/P265变式1

作业本（P267-P432）答案及详解（P433-P632）

第

讲集合及其运算

温习 知识梳理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：

(2)元素与集合的关系：
若 a 是集合 A 的元素，就说 ^{a} 属于集合 A ,记作：；若 ^{ a} 不是集合 A 的元素，就说 ^{a} 不属
于集合 A ,记作：

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法，(4)集合的分类：按元素的个数分为 和

(5)常用数集的记法：

(6)全集与空集：

不含任何元素的集合叫作空集，记作一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作

2.集合间的基本关系

3.集合的基本运算

常用结论

1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2.若一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2^{n} 个，非空子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 个，真子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 个，非空真子集有 (2^{n}{-}2) 个.\left|\begin{array}{l}{3,\left(1\right)A\subseteq\left(A\cup B\right);B\subseteq\left(A\cup B\right);A\cup A=A;A\cup\emptyset=\left|}\\ {A\{A\cup B=B\cup A\};A\cup B=B\LeftrightarrowA\subseteqB,}\\ {\left(2\right)\left(A\cap B\right)\subseteq A;\left(A\cap B\right)\subseteq B;A\cap A=A;A\cap\emptyset=}\\ {\left(\emptyset;A\cap B=B\cap A;A\cap B=A\LeftrightarrowA\subseteqB,}\\ {\left(3\right)\complement_{v}U=\emptyset;\complement_{v}\emptyset=U;\complement_{v}(\complement_{v}A)=A;A\cup\left(\complement_{v}A\right)=U;}\\ {A\cap(\complement_{v}A)=\emptyset.}\end{array}\right| 4.德·摩根定律：\begin{array}{r}{\left\{ \mathsf{\widehat{\mathsf{G}}}_{U}(A\cup B)=( \mathsf{\widehat{G}}_{U}A)\cap( \mathsf{\widehat{G}}_{U}B) ; }\\ { \mathsf{\widehat{\mu}}_{U}(A\cap B)=( \mathsf{\widehat{G}}_{U}A)\cup( \mathsf{\widehat{G}}_{U}B) .}\end{array}

基础自测

1.判断下列说法是否正确（在括号内打“ \vee ”或"x'

(1)集合 \left\{ y \right|\}y=2x ,x\in\mathbf{R} \right\} 与集合 \mid\left(\;x ,y \right)\mid y=2x ， x\in\mathbb{R}\} 表示同一集合.

(3)集合/1,2,3,5}的真子集的个数为15.

（4）设 U=\mathbf{R} ,A=\left\{x \left| {(x-1)/(x+1)}>0\right.\right\} \stackrel{\wedge}{⟩}_{U}A=\left\{\left.x\;\right|(x-1)/(x+1)<=slant 0\bigm\}=\{ x |-1<x<=slant1 \} .

2.已知全集 U=\{\:x\in\mathbf{N}\:|\:x<=7\:\} A=\{ 2,3 ,6 ,7 \}\;, B= 2,3,4,5,则 A\cap(\complement_{U}B)=

A. 6,7} B.{1,7} C. 1,6} D.{1,6,7}

3.[北师版必修一P12A组T5 改编］满足条件{1,2\nmid\mp A\subseteq\{ 1 ,2 ,3 ,4 \} 的集合 A 的个数是（）

A. 1 B.2
C.3 D.4

4.[北师版必修一P12A组T10改编]已知集合 M= 1 N{=}\{a ,a^{2}\} ,且 M\cup N{=}N 则实数 a=

精讲 考点剖析

考点1 元素与集合间的关系

例1（1)［四川乐山2024三模]已知集合 A=\left\{\begin{array}{l l}{x ,}\end{array}\right. y\wedge^{2}+y^{2}<=slant10 ,x\in\mathbf{N}_{+} ,y\in\mathbf{N}_{+} \} ,则集合 A 的元素个数为

A.9 B.8
C.6 D.5

（2）［江西新余2024模拟］已知数集 A ,B 满足 A\cap B=\{ 1 ,2 ,3 \} A\cup B=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 \} ，若 4\not\in A

则一定有

A,5\in A B. 5 ± A \operatorname{C}.4\in B D.4B

课堂记录：

变式1（1)［江苏南通2025开学考］若 \boldsymbol{x}\in\mathbf{N} ，集合 A=\{ 0 ,1 ,2 ,3 \} B=\{ x ,x^{2} ,3 ,4 \} ，则 A\cap B 满足

A. 0\in\left(A\cap B\right) B.~l~\in\left(A\cap B\right) C. 2\notin\left(A\cap B\right) D. 3\not\in(A\cap B)

(2)已知集合 A=\left\{ \left( x ,y \right) | x +y=8 ,x ,y\in\mathbf{N}_{+} \right\} ， B= \left\{ ( x ,y )\;|\;|x{-}y | {>}2 ,x ,y\in\mathbf{R} \right\} ，则 A\cap B 中元素的个

考点2 集合与集合间的关系

A.2 B.3 C.4 D.5

方法点透

利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

角度1集合的关系

例2［山西大同2025开学考]已知集合 A=\{ x \vert x(2-x)>0\} B=\{ x | {√(x+1)}>=slant1 \} ，则

\qquad\qquadA.~A\cap B=\emptyset\qquad\qquad\qquadB.~A\cup B=\mathbf{R} C.BCA D.ACB

课堂记录：

A.2 B.1 2
C. D.-1 3

课堂记录：

变式3→［江苏常州2024三模］已知集合 A=\{ x \vert -1<=slantx+1<=slant6\} B=\left\{ x | m{-} 1{<}x{<}2m{+} 1 ,m\in\mathbf{R} \right\} ，若 A\cup B{=}A ，则实数 m 的取值范围为

变式2>[广东佛山2025月考]满足集合1,2|为 M 的子集且 M\subseteq\{1,2,3,4,5\} 的集合 M 的个数是(

A.6 B.7
C.8 D.15

角度2 已知集合的关系求参数的值（范围）

例3[全国新课标 \mathbb{I} 2023*2 ] 设集合 A=\{0,-a\} ， B=\{ 1 ,a{-}2 ,2a{-}2 \} ,若 A\subseteq B ，则 a=

方法点透·

1.已知两个集合间的关系求参数，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
2.当 B 为A的子集时，若未说明 B 非空，则应考虑 B 为空集的情况.

考点 3 集合的基本运算

角度1集合的基本运算

例4[全国新课标 ~I~2024*1] 已知集合 A=\{x\vert-5< x^{3}<51 ， B=\{ -3 ,-1 ,0 ,2,3 \} ,则 A\cap B=

A. \left\{{ -1,0}\right\} B. 2,3}C. \left\{-3,-1,0\right\} D. -1,0,2}课堂记录：

变式4［[全国甲（理) 2023*1] 设全集 \boldsymbol{U}=\mathbf{Z} ,集合 M=\left\{ x | x=3k+1 ,k\in{\bf Z} \right\} ,N=\left\{ x | x=3k+2 ,k\in{\bf Z} \right\} . 则 \big\upzeta_{\upsilon}(M\cup N)=

A. \left\{ x \right|x=3k ,k\in\mathbf{Z} \right\} B. \left\{ x | x=3k-1 ,k\in\mathbf{Z} \right\} C. \left\{ x | x=3k-2 ,k\in\mathbf{Z} \right\} D.O

角度2 已知集合的运算求参数的值（范围）

例5[江苏南京2025开学考］已知集合 A=\{x\in\mathbf{Z}\} \lvert x\rvert<=slant2\lvert ， B=\{ x | x<=slant a \} ,若 A\cap B 中只有1个元素,则实数 ^{a} 的取值范围是

A.[-2,-1] B.[-2,-1)C.(-1,0) D.[-1,0]课堂记录：

变式5+已知集合 A=\{ x \vert \left( x+1 \right) * \left( x-a \right)<=slant0 \} ， B {=} \left\{ x | \left( x+3 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0 \right\} ，若 A\cap B\neq\emptyset ,则实数 ^{a} 的取值范围为

方法点透·

解决集合运算问题的注意点：

1.看元素构成；2.对集合进行化简，明确集合中元素的特点；3.注意数形结合思想的应用，常见的工具有数轴和Venn图等.

考点 4 容厅原理的应用

例6市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的居民有334户，订阅晚报的居民有297户，其中两种报纸都订阅的居民有150户，则两种报纸都不订阅的居民有户.

课堂记录：

变式6某班共有学生47人,寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人,则三项都参加的人数为（）

A.2 B.3
C.4 D.5

方法点透

利用容斥原理先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复.

考点5 集合新定义

例7[河北石家庄二中2025月考］若 x\in A ,且 -x\in A,就称A是伙伴关系集合，集合 M=\{-2,-1,0 1,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 (

A.31 B.7 C.3 D.1课堂记录：

变式7（多选)对任意 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} ，记 A{±}B=\{ x | x\in \left(A\cup B\right),x\notin\left(A\cap B\right)\} ,并称 A{+}B 为集合 A ,B 的 对称差.例如：若 A=\{ 1 ,2 ,3 \} ， B=\{ 2,3,4 \} ，则

A{+}B=\{1,4\} .下列命题中,为真命题的是(

A.若 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} 且 A{+}B=B ,则 A=\varnothing B.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 A{+}B={-} ,则 A=B C.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 \left(A\odotB\right)\subseteqA ,则 A\subseteq B D.存在 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} ,使得 A\oplus B\neq\complement_{\mathbb{R}}A\oplus\complement_{\mathbb{R}}B

方法点透

解决集合新定义问题，一定要读懂新定义的本质含义，结合题目所给定义和要求转化为已学知识。

提示:课后完成《作业本》第1练

讲常用逻辑用语

温习 知识梳理

1.命题

可以 ,用文字或符号表述的陈述句叫作命题.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

3.全称量词和存在量词

（1)全称量词：在命题中，“所有”“任意”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示。

（2)存在量词：在命题中，“存在”“有一个”这样的词叫作存在量词，用符号“ ”表示。

4.全称量词命题、存在量词命题的否定

常用结论

1.命题 p 与它的否定 \neg p 真假性相反.
2.若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的必要 不充分条件；若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 是 p 的充分不必要条件.
3.若 x\in A 是 x\in B 的充分条件，则 A\subseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的必要条件，则 A\supseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的充分不必要条件，则 A\subsetneq B ；若 x\in A 是 x\in B 的 必要不充分条件，则 A {\stackrel{style\supset}{\neq}} B
4.全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量 词命题的否定是全称量词命题.

基础自测

1.判断下列说法是否正确（在括号内打“√”或x'" (1)“至少有一个三角形的内角和是 180° ”是全称量词命题. （）(2)已知 p:x>0 ,q:x>1 ，则 p 是 q 的充分不必要条件. （）(3)设 a ,b ,c\in\mathbb{R} ，则 a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+a c+b c 的充要条件是 a=b=c （）(4)已知命题 p ：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上,则命题 p 是真命题．（）

2.[北师版必修一 P23A 组T3(3)改编]命题“ \exists x\in R,使 x^{2}+x-1\neq0^{,\ast} 的否定是

A.3 \boldsymbol{x}\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0 B.不存在 x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1\neq0 C. \forall x\notin\mathbf{R} ,使 x^{2}+x-1=0 D. \forall x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0

3.［北师版必修－P23B组T1（1)改编］“方程 x^{2} a x+1=0 有实根”是“ a>=slant2 ”的 (

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知集合 A=\{ 1 ,3 ,a^{2} \} B=\{ 1 ,a+2 \} ，若“ x\in A ” 是“ x\in B ”的必要不充分条件，则实数 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的值是

精讲 考点剖析

考点1 充分条件与必要条件

角度1充分、必要条件的判断

例1[东北三省2025联考］已知 \{ a_{n} \} 是无穷数列，a_{1} {=} 3 ,则“对任意的 m ,n\in\mathbf{N}_{+} ,都有 a_{m+n}=a_{m}+a_{n} 是“ \left\{a_{n}\right\} 是等差数列”的

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

课堂记录：

变式1[重庆2024月考]已知 p:x^{2}{-}2x{-}3{<}0 ,那么命题 p 的一个必要不充分条件是

A. -1<x<3
B. _{0<x<2}
C. -3{<}x{<}3
D. -2{<}x{<}1

+方法点透

充分条件、必要条件的常用判断方法

(1)定义法：由 p{\Rightarrow}q ,q{\Rightarrow}p 进行判断； (2)集合法：根据 p ,q 对应的集合之间的包含关 系进行判断.

角度2根据充分、必要条件求参数的值（范围）

例2[江苏扬州2025开学考］若不等式 \vert\ x+1\vert<a 成立的充分条件是 0<x<4 ，则实数 a 的取值范围是

A.(-∞∞ ,-1] B. \left( -∞ ,5 \right] C.\left[-1,+∞\right] 0.[5,+∞]

课堂记录：

变式2［福建宁德2025模拟]甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合： A=\{ x | 0{<}\Delta x{<}2 \} ， B=\{\;x\;|-3<=slant x<=slant5\;\} ， C= \left\{x\mid0{<}x{<}{(2)/(3)}\right\} }，然后他们三人各用一句话来正确描述“ \Delta "表示的数字，并让丁同学猜出该数字.以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于5的正整数;乙：“ x\in B ”是“ x\in A ”的必要不充分条件；丙：“ x\in C ”是“ x\in A ”的充分不必要条件，则\Delta ”表示的数字是 ）

A.3或4 B.2或3
C.1或2 D.1或3

方法点透

根据充分条件、必要条件求参数的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)，最后进行求解；(2)要注意对区间端点值的检验.

角度1量词命题的否定与真假判断

例3（1)[广东中山2025模拟]命题“3 x>0 x^{2}> x^{3} ”的否定是

A. \forall x{>}0 ,x^{2}{>}x^{3}
B. \forall x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}
C. \forall x<=0 ,x^{2}<=slantx^{3}
D. \exists x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}

(2)[全国新课标 \mathbb{I}\otimes24*2 ] 已知命题 p\colon\forall x\in \mathbf{R} , | x+1 | {>} 1 ;命题 q\colon\exists x{>}0 ,x^{3}=x. 则（)

A. p 和 q 都是真命题B. \neg\;p 和 q 都是真命题C. p 和 \neg q 都是真命题D. \neg p 和 \neg q 都是真命题

课堂记录：

变式3（1)[山东青岛2024三模]已知命题 p \forall\:x\in\left(0,(π)/(2)\right)\:,\sin\:x<x \neg p

A. | x\notin\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xB. 3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) , in >xC. \mid x\not\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥xD. 3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥x(2)（多选）[广东深圳2024期末]下列命题中为真命题的有

A. \forall x{>}0 ,x{+}(1)/(x){>=slant}2
B. \exists x{<}0 ,x{+}(1)/(x){>}{-}2 x
C.Vx>0 1+x 2 x 1
D.3x<0, 1+x 2

方法点透

1.对含有一个量词的命题进行否定，先改变量词，再否定结论.
2.要判断全称量词命题“ \forall x\in M,p\left( x \right) ”是不是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x ,p\left( x \right) 都成立；要判断存在量词命题“ \exists x\in M,p( x ) ”是不是真命题，只需要在集合 M 内找到一个元素_x ，使得 p(x) 成立即可.

角度2 已知命题的真假求参数

例4［陕西西安2025摸底考]若命题“3 x\in[-1 3]， x^{2}-2x-a<=slant0^{\prime} 为真命题，则实数 a 可取得的最 小整数值是 L

A. -1 B.0 C.1 D.3

课堂记录：

变式4?[辽宁部分重点中学协作体2024三模]若“ \exists x\in\left( 0,+∞ \right) ，使 x^{2}-a x+4<0^{\prime} 是假命题，则实数 ^{a} 的取值范围为

方法点透

已知命题的真假求参数的范围，可以直接由命题的含义，利用函数的最大(小)值求参数的取值范围；利用 p 与 \neg p 的关系，转化成命题的真假求参数的取值范围.

提示:课后完成《作业本》第2练

讲不等式及其性质

温习 知识梳理

1.比较两个实数的基本事实

a-b>0\leftrightarrowa\phantom{(1)/(b)}b;a-b=0\Longleftrightarrowa=b\;;a-b<0\Longleftrightarrowa b

2.等式的性质

(1)如果 a=b ,那么(2)如果 a=b ,b=c ,那么(3)如果 a=b ,那么 a± c=b± c (4)如果 a=b ,那么 a c=b c (5)如果 a=b ,c\neq0 ,那么 {(a)/(c)}={(b)/(c)}.

3.不等式的性质

性质1如果 a{>}b ,且 b>c ,那么
性质2 如果 a{>}b ,那么
性质3 如果 a{>}b{ ,}c{>}0 ,那么如果 a>b ,c<0 ,那么
性质4如果 a{>}b{ ,}c{>}d ,那么
性质5 如果 a>b>0 ,c>d>0 ,那么如果 a>b>0 ,c<d<0 那么
性质6当 a>b>0 时， sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b} ,其中 n\in\mathbf{N}_{+} ,n>=slant2

常用结论

1.倒数的性质

2.分数的性质
若 a{>}b{>}0 ,m{>}0 ，则
\begin{array}{r}{\left|\ (1)(b)/(a)<(b+m)/(a+m),(b)/(a)>(b-m)/(a-m)( b-m>0) ;\right.}\\ {\left.(a)/(b)>(a+m)/(b+m),(a)/(b)<(a-m)/(b-m)( b-m>0).\right.}\end{array}

基础自测

1.判断下列说法是否正确（在括号内打“√”或“×”).

(1)若 (a)/(b){>}1 ,则 a{>}b
(2)若 a c=b c ,则 a=b
(3) a{>}b{\Leftrightarrow}a c^{2}{>}b c^{2}
(4)若 a{>}b{>}c ，则 (1)/(a){<}(1)/(b){<}(1)/(c) 一

2.（多选）［北师版必修一P26T6改编］已知 a>b>0 c{>}d{>}0 ,则下列不等式恒成立的有

A.~a{-}d{>}b{-}c B.ac>bd C. (a)/(b){>}(c)/(d) D. -(d)/(a){>}-(c)/(b)

3.（多选）已知实数 x ,y 满足 1<x<6 ,2<y<3 ,则

A.3<x+y<9 B. -1<x-y<3 C.2<xy<18 D.(1)/(3){<}(x)/(y){<}3

4.［北师版必修一P26T5改编］已知 a\in\mathbf{R} ，则 a^{2}+ 3a-1 2a-2. （填“ > ”或“ <

精讲 考点剖析

考点1 数（式）的大小比较

例1若 a<0 ,b<0 ,则 p=(b^{2})/(a)+(a^{2})/(b) 与 \scriptstyle q = a + b 的大小关系为

A.p<q B. p≤q C. p>q D. p>=slantq

课堂记录：

变式1设 a {=} 0,\;1e^{0. 2} 1c=0.2e,则下列选项

考点2 不等式的基本性质

例2（1)[北京师范大学第二附属中学2025开学考]若 a{<}b 且 a b\neq0 ,则下列不等式中一定成立的是

A. {(1)/(a)}>{(1)/(b)} \scriptstyle{~B}.{(b)/(a)}>1 C. a^{3}{<}b^{3} D.~|\boldsymbol{a}|<|\boldsymbol{b}|

(2)(多选）设 b>a>0 ,c\in\mathbb{R} ,则下列不等式中正确的是

a^{(1)/(2)}{<}b^{(1)/(2)} B. {(1)/(a)}-c<{(1)/(b)}-c D. ac²<bc²

课堂记录：

考点3 不等式性质的综合运用

例3［江苏南通2025模拟]设 x ,y 为实数，且满足3<=slantx y^{2}<=slant8 ,4<=slant(x^{2})/(y)<=slant9 ，则 |(x^{3})/(y^{4)} 的最大值为

A.27 B.24 C.12 D.32

课堂记录：

变式3［福建宁德2025开学考］已知 -1<x-y<4 ， 2<x+y<3 ,则 3x+y 的取值范围是

正确的是A. c{<}b{<}a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b

+方法点透

比较大小的常用方法：

(1)作差法： ① 作差； ② 变形； ③ 定号； ④ 得出结论.(2)作商法（前提是两式同号）： ① 作商； ⊚ 变形； ③ 判断商与1的大小； \ensuremath{Q} 得出结论.

变式2（1)[河南驻马店2024模拟]已知 a>b>c> 0,则下列说法一定正确的是

A. a{>}b{+}c B. a^{2}{<}b c
C. a c{>}b^{2} D.\;a b+b c>b^{2}+a c

（2)（多选）[湖南长沙2024模拟]设 \scriptstyle a , b ,c ,d 为实数，且 a{>}b{>}0{>}c{>}d ,则下列不等式正确的有（

A. c^{2}{<}c d B.\ a-c<b-d C.ac<bd D. (c)/(a){-(d)/(b){>}0}

方法点透

·判断不等关系的常用方法

(1)利用不等式的性质推导；
(2)利用特殊值法排除错误选项.

方法点透·

利用不等式性质求代数式的范围的注意点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时避免扩大变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体间的数量关系，再通过不等关系的运算求解.

提示:课后完成《作业本》第3练

讲基本不等式

温习 知识梳理

1.基本不等式： \scriptstyle{√(a b)} <=slant{(a+b)/(2)}

(1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取
等号；
(3)其中， 称为 a,b 的算术平均值，称为 ^{a,b} 的几何平均值.

2.利用基本不等式求最大值、最小值

已知 x{>}0 ,y{>}0

(1)如果积 x y 是定值 P ,那么当且仅当
时,和 x+y 有最小值 ·（简记：积定和
最小)
(2)如果和 x+y 是定值 S ,那么当且仅当
时,积 x y 有最大值 ：（简记：和定积
最大)

常用结论

\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle1,\;a^{2}+b^{2}>=slant2a b\;(\;a,b\in\mathbb{R}\;)}\end{array}\right. ，当且仅当 a=b 时等
号成立.(b)/(a)+(a)/(b)>=2\big( a b>0\big) ,当且仅当 a=b 时等号成立.
3. a b<=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}<=slant{(a^{2}+b^{2})/(2)}({\bf\nabla}a,b\in{\bf R}) ，当且仅当 a=b
时等号成立.\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}<=slant√(a b)<=slant\cfrac{a+b}{2}<=slant√(\cfrac{a^{2)+b^{2}}{2}} \big( a>0 ,b>0 \big) ，当
且仅当 a=b 时等号成立.

基础自测

1.判断下列说法是否正确（在括号内打“√”或\mathbf{\ddot{α}}x\mathbf{\ddot{α}}

(2)函数 f( x)=x+{(1)/(x)} 的最小值为2.

(3)“x>0且y>0"是“ (x)/(y)+(y)/(x)>=2^{*} ”的充要条件.

(4)函数 f( x )={√(x^{2)+3}}+{(2)/(√(x^{2)+3)}} 的最小值是 2√(2)

2.[北师版必修一P31B组T3改编]若 x>0 ，函数y=3x+{(1)/(x)} 的最小值为

A.3 B.2
\operatorname{C}. 2{√(3)} D.4

3.[北师版必修一P31A组T10改编]设计用 96\ensuremath{ m}^{2} 的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为 2rm{m} ,则车厢的最大容积是

A.8√(2) ~m^{3} \mathbf{B}. 32~m^{3} C.4√(2) \m^{3} D. 64\m^{3}

4.设 x<0 ，则函数 y= 2 - 3x - {(4)/(x)} 的最小值为,此时 _x 的值为

精讲 考点剖析

考点1 利用基本不等式求最值

角度1直接法

例1(多选)下列说法正确的是

A.当 x{>}1 时， x+{(1)/(x)}>=2 B.当 x{<}0 时， x+{(1)/(x)}<-2 C.当 0{<}x{<}1 时 {√(x)}+{(1)/(√(x))}>2 D.当 _{x>=slant2} 时 {√(x)}+{(2)/(√(x))}>=2{√(2)} 课堂记录：

变式1已知 a b=1 ，则 4a^{2}{+}9b^{2} 的最小值为

方法点透·

若条件和问题间存在基本不等式的关系，则直接应用基本不等式求解，注意使用基本不等式的条件，

角度2 配凑法

例2若 x{>}{-}1 ，则 {(2x^{2}+4x+4)/(x+1)}\vert 的最小值为

课堂记录：

变式2［北京部分校2025质检］已知 a>1 ，则 ^{a+} (100)/(a-1) 的最小值为 ，此时 ^{a} 等于

方法点透?

将代数式进行适当变换，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，变换时要注意代数式的取值范围.

角度3 常数代换法

例3[江苏宿迁2025调研]若 a>0,b>0,a+2b=3 ，则 {(3)/(a)}+{(6)/(b)} 的最小值为

A.9 B.18
C.24 D. 27

课堂记录：

变式3［河南湘豫名校2024联考]已知点 P( x ,y ) 在以原点 o 为圆心，半径为 r=√(7) 的圆上，则 {(1)/(x^{2)+1}}+ (4)/(y^{2)+1} 的最小值为

4 5+2√2 A B. 9 9 7 D.1 9

方法点透·

将与常数等价的表达式代入到不等式中化简，再利用基本不等式进行求解.

角度4消元法

例4已知正实数 x ,y 满足 x^{2}+3x y-2=0 ,则 2x+y 的最小值为

A.{(2{√(10)})/(3)} B. {(√(10))/(3)}
C.{(2)/(3)} 1 D. 3

课堂记录：

变式4若正实数x,y,z满足x^{2}+4y^{2}=z+3x y$ ,则当3最大时，→+2y= 的最大值是

领航计划高考总复习数学

3 B.1 C D.2 2 2

方法点透

当题目中的变量较多时，可以考虑消减变量,转化为双变量或单变量问题.

角度5 构造不等式法

例5［海南2024模拟]若正数 a ,b 满足 a b=2a+ {(1)/(2)}b+3 ,则 a b 的最小值为

A.3 B.6 C.9 D.12

考点2 基本不等式的综合应用

课堂记录：

角度1与基本不等式有关的恒(能)成立问题

例6［北京2025开学考］若对任意正数 _{x} ，不等式{(2)/(x^{2)+4}}<=slant{(2a+1)/(x)} 恒成立，则实数 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的取值范围为

课堂记录：

变式6［福建宁德2025模拟］若两个正实数 x ,y 满足 4x+y=2x y ,且不等式 x+(y)/(4){<}m^{2}{-}m 有解,则实数 m 的取值范围是

A. \{m\} {-}1{<}m{<}2\} B. \{m\}m{<}{-}1 或 m{>}2\} C. \{m | {-}2{<}m{<}1\} D. \{m\}m{<}{-}2 或 m{>}1\}

+方法点透·

利用基本不等式求解不等式恒(能)成立问题，通常先分离参数，求解方法为（1)若 a>=slantf( x ) 恒成立,则 a>=slant f( x )_{\max} ，若 a>=slant f(\;x\;) 能成立，则 a>=slant{\left\{\begin{array}{l l}{α>={\left\}}\end{array}\right.} f(\v{r}_{x})\v{j}_{\operatorname*{min}} ;(2)若 a<=slantf( x ) 恒成立，则 a\lesssimf( x ) _{\min} ，若a<=slantf( x ) 能成立,则 a\lesssimf( x )_{up{m a x}}

角度2利用基本不等式解决实际问题

例7［陕西西安2024模拟]某农业园租用甲公司的 A 种收割机和乙公司的 B 种收割机收割某种变式5［福建莆田2025开学考］若实数 x ,y 满足4x^{2}+y^{2}+x y=1 ,则 2x+y 的最大值为

方法点透

寻找条件与变量之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式，得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求出最值.

农作物.已知用9台 A 种收割机和4台 B 种收割机合作恰好用1天时间收割完一块 M 亩的这种作物.现在用1台 A 种收割机收割一块 M 亩的这种作物，用1台 B 种收割机收割另外一块 M 亩的这种作物，如果两块地收割完毕后它们所用的天数之和最少，则用1台 A 种收割机收割完 M 亩这种作物所需的天数为 ，用1台 B 种收割机收割完 M 亩这种作物所需的天数为

课堂记录：

变式7[广东韶关2024联考］在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W （单位：平方米）的计算公式是 W{=} （长 +4 x （宽 +4. ).在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整这块场地所需的最少费用(单位：元)是 （）

A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818

方法点透

利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.

1.柯西不等式

(1)二维形式的柯西不等式
若 a,b ,c ,d 都是实数,则 (\ a^{2}+b^{2}\ )\ (\ c^{2}+d^{2}\ )>=slant (a c{+}b d) ^{2} ,当且仅当 a d=b c 时，等号成立.
(2)三维形式的柯西不等式
若 a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,b_{1} ,b_{2} ,b_{3} 都是实数,则( (b+b+b）≥（ab,tabtab)²,当且仅当=时，等号成立.
( 3 ) n 维形式的柯西不等式
对于任意的 2n\left( n\in\mathbf{N}_{+} ）个实数 a_{1} ,a_{2} ,*s,a_{n} ,b_{1} ，b_{2},*s,b_{n} ,有 ( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+*s+a_{n}^{2} ( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\dotsb+b_{n}^{2} )>=slant ( a_{1}b_{1}{+}a_{2}b_{2}{+}{\dots+}a_{n}b_{n} ) ^{2} ,当且仅当 (a_{1})/(b_{1)}=(a_{2})/(b_{2)}=*s=(a_{n})/(b_{n)} 时，等号成立.

2.权方和不等式

(1)二维形式的权方和不等式
若 a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} 为正实数，则有 (a_{1})/(b_{1)}+(a_{2})/(b_{2)}>= (\mid{√(a_{1)}+√(a_{2)} } \right)^{2})/(b_{1)+b_{2}} ,当且仅当 {(√(a_{1)})/(b_{1)}}={(√(a_{2)})/(b_{2)}} 时，等号成立.
( 2 ) n 维形式的权方和不等式
若 a_{i} ,b_{i} 为正实数 \left( i=1,2,*s,n \right) ,实数 q>0 ，则

\sum_{i=1}^{n}\;(a_{i}^{q+1})/(b_{i)^{q}}>=(\displaystyle(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^{q+1})/(\displaystyle(\sum_{i=1)^{n}b_{i})^{q}} 当且仅兰 {\cfrac{a_{1}}{b_{1}}}={\cfrac{a_{2}}{b_{2}}}=*s={\cfrac{a_{n}}{b_{n}}} 时，等号成立.

例8柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 \mathbf{{\boldsymbol{a}}}=\left(\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{1} ,y_{1} \right) ,\mathbf{{\boldsymbol{b}}}=\left(\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{2} ,\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{3}\right) y_{2} )，由 |a* b|<=slant|a|\;|b 得到 \left( x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \right)^{2}<=slant\left( x_{1}^{2}+ y_{1}^{2} )\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right) ，当且仅当 x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} 时取等号.现已知 a>=slant0,b>=slant0,a+b=9 ，则 {√(2a+4 )}+{√(b+1)} 的最大值为

变式8[广东深圳2025调研]权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正实数 a,b ,x ,y 满(a^{2})/(x)+(b^{2})/(y)>=(\left( a+b \right)^{2})/(x+y) 当且仅当 {\cfrac{a}{x}}={\cfrac{b}{y}} 时,等号成立，则函数 f( x )=(1)/(3x)+(16)/(1-3x)\Big(0<x<(1)/(3)\Big) 的最小值为

A.16 B.25
C.36 D.49

讲一元二次不等式

温习 知识梳理

1.一元二次不等式

一般地，形如 a x^{2}+b x+c>0 ，或 ，或 a x^{2}+ b x+c>=slant0 ，或 a x^{2}+b x+c<=0 （其中， x 为未知数， a ,b ，c 均为常数，且 a\neq0 )的不等式叫作一元二次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

常用结论

1.不等式 a x^{2}+b x+c>0\big( a\neq0 \big) , \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a>
0且 \Delta{<}0
2.不等式 a x^{2}+b x+c<0( a\neq0) ,x \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a<
0且 \Delta{<}0
3.二次项系数为正的一元二次不等式的解集为
“大于取两边，小于取中间”

3.简单分式不等式的解法

({1})(f( x))/(g( x)){>}0( <0)\Leftrightarrow(\phantom{\left(/{ \mu)/(x)\right)}}{} (2)(f(x))/(g( x)){>=}0( {<=slant}0){\Leftrightarrow}_{-}

基础自测

1.判断下列说法是否正确（在括号内打“ \vee ”或x^{\ast}

(1)不等式 x^{2}<=slanta 的解集为 [-{√(a)} ,{√(a)} ] .（ （2)若不等式 a x^{2}+b x+c>0 ( a\neq0 ) 的解集为( m ， n ，则 a{<}0

(3)若关于 x 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 没有实数根，则不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集为 \mathbf{R}

（4)不等式 (2x-1)/(x+2)<1 的解集为 ( -∞ ,3 )

2.[北师版必修一P41A组T3改编］已知集合 A= \{ x | x^{2}-4<0 \} ，集合 B=\{\;x\mid x^{2}-4x+3<0\;\} ，则 \complement_{\mathbf{R}}\left(A\cup B\right)

A. \{x\vert-2<x<1\} B. \{x\vert-2<x<3\} C. \{x\}x<=slant-2 或 x>=slant3! D. \{x\vert x<=slant1 或 x>=slant3\backslash

3.［北师版必修－P41B 组T1改编]若不等式 a x^{2}+ b x+c>0 的解集是 \left\{x\;\middle|\;-(1)/(2)<x<2\right\} 则 c x^{2}+b x+a<0 的解集是

4.某商店售卖的一种纪念章,每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚.为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，这批纪念章的销售单价 _x （单位：元)的取值范围是

精讲 考点剖析

1 求解一元二次不等式

角度1不含参的不等式

例1解下列不等式：

( 1 ) x^{2}+3>3 ( x+1 ). (2)-x²+2.x-3>0.

角度2 含参的不等式

例2解关于 _x 的不等式 a x^{2}-4>=2x-2a x\left( a\in\mathbf{R}\right)

课堂记录：

变式1［河北辛集2024月考］不等式 (3x-2)/(2x+3)<0 的解集是

A.\left\{x\mid-{(2)/(3)}<x<{(3)/(2)}\right\}\qquad~B.\left\{x\mid-{(3)/(2)}<x<{(2)/(3)}\right\} {x 或x> D. x -或 x>(2)/(3)\bigg\} 2

方法点透·

解一元二次不等式的一般步骤：（1)将不等式化为二次项系数为正的标准形式；(2)计算相应方程根的判别式，有根时求出方程的根；(3）结合图象写出不等式的解集.

课堂记录：

变式2[甘肃天水2025月考］若关于 x 的不等式x^{2}-( 2a+1 ) x+2a<0 恰有两个正整数解，则 ^{a} 的取值范围是

方法点透

解含参的不等式，常需对参数进行分类讨论：

(1)根据二次项系数大于0、小于0及等于0进行分类；（2）根据判别式与0的关系进行分类；(3)若有两个根时，有时还需根据两根的大小进行分类讨论.

考点2 三个二次之间的关系

例3（1）（多选）[福建2025月考］已知关于 _{x} 的不等式 a( x{-} 1 )\left( x{+} 3 \right){-}2{>}0 的解集是 ( x_{1} ,x_{2} ) ,其中x_{1}<x_{2} ,则下列结论中正确的是

A. x_{1}+x_{2}+2=0
B. -3<x_{1}<x_{2}<1
C. \vert x_{1}-x_{2}\vert>4
D. x_{1}x_{2}+3<0

（2）[北京2025开学考］已知关于 x 的不等式a(\left.x-1\right)\left(x-2\right)>2x^{2}-8x+8 的解集为 \left( -∞ ,-1 \right)\cup ( 2 ,+∞ ) ，则 \boldsymbol{a} 的值为

课堂记录：

变式3[广东梅州2024质检］已知关于 _x 的不等式 a x^{2}+b x-12>=0 的解集为 \{x\vert x<=slant-3 或 x>=4\} (1)求 ^{a,b} 的值；

考点3 一元二次不等式恒成立问题

角度1在R上恒成立

例4若不等式 k x^{2}+( k-6 ) x+2>0 的解集为全体实数,则实数 k 的取值范围是

A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2)

课堂记录：

变式4［广西南宁2025月考］若命题“ \forall\:x\in\mathbf{R},x^{2}+ 2x+3{>}m ”是假命题，则实数 m 的取值范围是

A. ( -∞ ,2 )
B. [ 2,+∞ )

(2)求关于 x 的不等式 b x^{2}+a x+6>=0 的解集.

方法点透

1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点.2.给出一元二次不等式的解集，可以确定相应二次函数图象的开口方向以及与 _x 轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数.

C.(-∞ ,2] D. ( 2 ,+∞ )

方法点透

一元二次不等式 a x^{2}+b x+c>0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a> 0且 \Delta{<}0 ；一元二次不等式 a x^{2}+b x+c<=0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a<0 且 \Delta<=slant0

角度2 在给定区间上恒成立

例5［广东肇庆2025开学考］已知对任意 x\in[ 1 ，2],不等式 a x^{2}-2x+3a<0 恒成立，则实数 \boldsymbol{a} 的取值范围是 ）

课堂记录：

变式5［山西吕梁2024月考］已知关于 _{x} 的不等式 x^{2}-( a+4 ) x+2a+5>=0 在 ( -∞ ,2 ) 上恒成立,则a 的最小值为

+方法点透

对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值。

角度3 给定参数范围的恒成立

例6若命题“ ~j~a\in\left[ -1 ,3 \right],a x^{2}-\left( 2a-1 \right)x+3-a< 0"为假命题，则实数 _{x} 的取值范围为（)

A. [-1,4] B.\left[0,(5)/(3)\right]

考点 4 一元二次方程根的分布问题

例7已知方程 x^{2}+( 2m{-}1 ) x{+}4{-}2m{=} 0 的两根一个比2大,另一个比2小，则实数 m 的取值范围是课堂记录：

变式7若函数 f( x )=2a x^{2}+3x-1 在区间(-1,1)内恰有一个零点，则实数 \boldsymbol{a} 的取值范围为（）

A. \{a\vert-1<a<2\} B.\left\{a\mid a=-(9)/(8)\underline{{{\oplus}}}\slash-1<a<2\right\}

C. [-1,0] [,4] D. [-1,0) u(≤,4]

课堂记录：

变式6+对于 0<=slantm<=slant4 中的任意 m ,不等式 x^{2}+m x> 4x+m-3 恒成立，则 x 的取值范围是

A. [-1,3]
B. ( -∞ ,-1 ]
C.\left[3,+∞\right)
D.~( -∞ ,-1 )\cup( 3 ,+∞ )

方法点透

给定参数范围的恒成立问题，可以把参数看成新的自变量，再根据题目条件解不等式.或者利用分离参数法来求解不等式.

C. \left\{a | {-}1<=slanta<=slant2 \right\} 9
D. 或-1≤a≤2 8

方法点透

在求解方程根的分布问题时，主要从以下几个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解： {registered} 的符号； ② 方程对应的函数图象的对称轴与所给区间的位置关系； ③ 方程对应的函数在区间端点处函数值的符号.