数学

考卷Ⅰ 小题标准练 积累

标准练01 ……………………………………………………………………………………………………… 01

标准练02 ……………………………………………………………………………………………………… 03

标准练03 ……………………………………………………………………………………………………… 05

标准练04 ……………………………………………………………………………………………………… 07

标准练05 ……………………………………………………………………………………………………… 09

标准练06 ……………………………………………………………………………………………………… 11

标准练07 ……………………………………………………………………………………………………… 13

标准练08 ……………………………………………………………………………………………………… 15

标准练09 ……………………………………………………………………………………………………… 17

标准练10 ……………………………………………………………………………………………………… 19

标准练11 ……………………………………………………………………………………………………… 21

标准练12 ……………………………………………………………………………………………………… 23

标准练13 ……………………………………………………………………………………………………… 25

标准练14 ……………………………………………………………………………………………………… 27

标准练15 ……………………………………………………………………………………………………… 29

考卷Ⅱ 大题规范练 技法

规范练01 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 31

规范练02 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 33

规范练03 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 35

规范练04 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 37

规范练05 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 39

规范练06 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 41

规范练07 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 43

规范练08 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 45

规范练09 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 47

规范练10 “17—20题”46分练 …………………………………………………………………………… 49

规范练11 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 51

规范练12 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 52

规范练13 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 53

规范练14 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 54

规范练15 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 55

规范练16 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 56

规范练17 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 57

规范练18 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 58

规范练19 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 59

规范练20 “21题、22题”24分练………………………………………………………………………… 60

参考答案 ………………………………………………………………………………………………………… 61

考卷Ⅰ 小题标准练 01

考卷Ⅰ 小题标准练

标准练01

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·深圳市统考)已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|0<log2x<1},则A∩B= ( )

A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<2} C.{x|2<x<3} D.{x|0<x<2}

2.(2023·南昌市二模)已知i为虚数单位,复数z 满足(z+i)i=1+z,则复数z 在复平面内对应的

点在 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.(2023·常州市模拟)数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为 ( )

A.69 B.70 C.75 D.96

4.(2023·蚌埠市质量检查)已知tanα+

π 4 =3,则tanα= ( )

A.-

1

2

B.

1

2

C.-2 D.2

5.(2023·秦皇岛市联考)某学校为了搞好课后服务工作,教务科组建了一批社团,学生们都能积极选

择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生,恰

好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入,按学校规定每人只能加入一个社团,则甲进街舞社团,

乙进书法社团或摄影社团的概率为 ( )

A.

1

4

B.

1

5

C.

1

6

D.

1

8

6.(2023·沈阳市三模)已知函数f x =3x-lnx ,则f x 的图象大致为 ( )

Z

0 Y \"

Z

0 Y #

Z

$ 0 Y 

Z

0 Y %

7.(2023·宣城市调研)设a=

1

e

,b=

ln2

2

,c=

ln3

3

,则下列结论中正确的是 ( )

A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a

 

\"

%

#

&

$

8.(2023·潮州市二模)折扇是我国古老文化的延

续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐

音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式

体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、

大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧

面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC 所在圆的半径分别是3和6,且∠ABC=120°,则该

圆台的体积为 ( )

A.

50 2π

3

B.9π C.7π D.

14 2π

3

02 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·鞍山市二模)已知正数x,y 满足x+y=2,则下列结论正确的是 ( )

A.xy 的最大值是1 B.x

2+y

2 的最小值是4

C.x+ y的最大值是2 D.

1

x

+

4

y

的最小值是

9

2

10.(2023·漳州市质量检测)已知a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题正确

的是 ( )

A.若a∥α,a⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,a⊂α,则a⊥β

C.若a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,则α∥β D.若α⊥β,a⊥β,a⊄α,则a∥α





\" #

$

%



11.(2023·淮北市模拟)如图,以正方形的一边为斜边向外作直角三角形,再

以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复上述操作(其中∠1=

∠2=∠3),得到四个小正方形 A,B,C,D,记它们的面积分别为SA ,SB ,

SC,SD ,则以下结论正确的是 ( )

A.SA +SD =SB +SC B.SA ·SD =SB ·SC

C.SA +SD ≥2SB D.SD +SA <2SC

12.(2023·河北省衡水中学综合素养评价)2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”,“鱼鳞潮”

的形成需要两股涌潮,一股是波状涌潮,另外一股是破碎的涌潮,两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一

样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω∈N

* ,|φ|<

π

3

)的图象,而破

碎的涌潮的图象近似f' x (f' x 是函数f x 的导函数)的图象.已知当x=2π时,两潮有一个

交叉点,且破碎的涌潮的波谷为-4,则下列说法正确的是 ( )

A.ω=2 B.f

π 3 = 6+ 2

C.f'x+

π 4 的图象关于原点对称 D.f' x 在区间 -

π

3 ,0 上单调

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·重庆市联考)2 x1 x

9

的展开式中常数项为 .

14.(2023·青岛市一模)已知 O 0,0 ,A 1,2 ,B 3,-1 ,若向量 m∥OA

→,且 m 与OB

→的夹角为钝

角,写出一个满足条件的m 的坐标为 .

15.(2023· 南 宁 市 二 诊 )已 知 数 列 an 的 各 项 互 异,且 an >0,

1

an+1

-

1

an

=2(n ∈ N

* ),则

a1-an

a1a2+a2a3+…+an-1an

= .

16.(2023·茂名市联考)过四点 -1,1 、 1,-1 、 2,2 、 3,1 中的三点的一个圆的方程为

(写出一个即可).

考卷Ⅰ 小题标准练 03

标准练02

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·兰州市模拟)已知集合 A= x∈Rlog2 2-x <2 ,B= -1,0,1,2,3 ,则 A∩B 真子集

的个数 ( )

A.8 B.7 C.4 D.6

2.(2023·吉林省东北师大附中模拟)已知i为虚数单位,复数z=

2+i

1-2i

,复数z 的共轭复数为z?,则z?

的虚部为 ( )

A.-1 B.-2 C.-2i D.-i

3.(2023·岳阳市质量监测)已知直线l:y=kx 和圆C: x-1 2+ y-1 2=1,则“k=0”是“直线l与

圆C 相切”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.(2023·梧州市模拟)已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a+2b|=3,则|2a-b|= ( )

A.3 B.10 C.14 D.4

5.(2023·梧州市模拟)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作

抽样调查,拟从初中部和高中部两层中共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名

和200名学生,则不同的抽样结果共有 ( )

A.C

45

400·C

15

200 种 B.C

20

400·C

40

200 种 C.C

30

400·C

30

200 种 D.C

40

400·C

20

200 种

6.(2023·广州市综合测试)已知Sn 表示等差数列{an}的前n 项和,且

S5

S10

=

1

3

,那么

S5

S20

= ( )

A.

1

9

B.

1

10

C.

1

8

D.

1

3

7.(2023·常州市模拟)一般来说,事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段,每个阶段的发展速度各不

相同,通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于

缓慢,按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷

蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线,称为“皮尔曲线”,常用的“皮尔曲线”

的函数解析式为f(x)=

K

1+be

-ax(K>0,a>0,b>0),x∈[0,+∞),该函数也可以简化为f(x)=

K

1+a

kx+b(K>0,a>1,k<0)的形式.已知f x =

10

1+3

kx+b x∈N 描述的是一种果树的高度随着时

间x(单位:年)的变化规律,若刚栽种时该果树的高为1m,经过一年,该果树的高为2.5m,则该果

树的高度超过8m,至少需要 ( )

A.4年 B.3年 C.5年 D.2年

8.(2023·郴州市质量监测)已知正三棱锥S-ABC 的底面边长为3,侧棱长为2 3,点 P 为此三棱锥

各顶点所在球面上的一点,则点P 到平面SAB 的距离的最大值为 ( )

A.

3 13+26

13

B.

2 13+26

13

C.

3 13+24

13

D.

2 13+24

13

04 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·阜新市模拟)已知实数a,b,c,且a=4

1

3 ,b=10

1

6 ,c=log550,则下列结论正确的是 ( )

A.c>a B.c<a C.b<a D.b>a

10.(2023·福州市质量检测)已知函数f(x)=2sin2x+

π 3 ,则下列说法中正确的是 ( )

A.f(x)在区间 -

π

2

,0

?

?

??

?

?

??

单调递增 B.f(x)在区间[0,π]有两个零点

C.直线x=

π

12

是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=4x+

2π

3

是曲线y=f(x)的切线

11.(2023·湖北黄石市适应性训练)乒乓球,被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制,当参赛

甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时,就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负,且每

局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p 0≤p≤1 ,实际比赛局数

的期望值记为f p ,则下列说法中正确的是 ( )

A.三局就结束比赛的概率为p

3+ 1-p 3 B.f p 的常数项为3

C.函数f p 在 0,

1 2 上单调递减 D.f

1 2 =

33

8

12.(2023·邢台市联考)已知抛物线C:y

2=4x 的焦点为F,过点 M 0,m m≠0 分别向抛物线C 与

圆F:(x-1)2+y

2=1作切线,切点分别为P,Q(P,Q 不同于坐标原点),则下列判断正确的是

( )

A.MP∥OQ B.MP⊥MF

C.P,Q,F 三点共线 D.MF = OQ

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·吉林市调研) 2+x 5 x-y 3 的展开式中,x

4y

2 的系数是 .

14.(2023·南京市模拟)若直线y=-2x+

2

3

与曲线y=

1

3

x

3-ax 相切,则a= .

15.(2023·山西省省际名校联考)已知双曲线C:

x

2

a

2 -

y

2

b

2 =1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,

A 为双曲线C 的右支上一点,点 A 关于原点O 的对称点为B,满足∠F1AF2=60°,且 BF2 =

2 AF2 ,则双曲线C 的离心率为 .

16.(2023·潮州市二模)将数列 an 中的项排成下表:

a1

a2,a3

a4,a5,a6,a7

a8,a9,a10,a11,a12,a13,a14,a15

…

已知各行的第一个数a1,a2,a4,a8,…,构成数列 bn ,b2=3且 bn 的前n 项和Sn 满足Sn+1+

Sn-1=2Sn+2(n∈N

* 且n≥2),从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列,且

公差为同一个常数.若a130=19,则第6行的所有项的和为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 05

标准练03

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·鞍山市二模)若集合A= x∈N

* -1≤x≤2 ,集合B= 1,2,3 ,则A∪B 等于 ( )

A. -1,0,1,2,3 B. 0,1,2,3 C. 1,2,3 D. 1,2

2.(2023·齐齐哈尔市二模)设i为虚数单位,复数z 满足1+zi=2i,则 z = ( )

A.2 B.3 C.5 D.5

3.(2023·南昌市二模)已知数列 an ,若a1+a2n-1=4n-6,则a7= ( )

A.9 B.11 C.13 D.15

4.(2023·开封市核心模拟卷)已知某棱长为2 2的正四面体的各条棱都与同一球面相切,则该球与

此正四面体的体积之比为 ( )

A.

π

2

B.

π

3

C.

3π

3

D.

2π

2

5.(2023·黄山市质量检测)已知点P(-2,3)在双曲线

x

2

a

2 -

y

2

b

2 =1(a>0,b>0)的渐近线上,则双曲

线的离心率为 ( )

A.

7 3

3

B.2 C.3 D.

7

2

6.(2023·深圳市统考)函数f(x)=x+

ln|x|

x

的图象大致为 ( )





 

Z

0 Y \"    

Z

0 Y #



   Y

Z

$ 0   



Y

Z

% 0

7.(2023·岳阳市质量监测)核电站只需消耗很少的核燃料,就可以产生大量的电能,每千瓦时电能的

成本比火电站要低20%以上.核电无污染,几乎是零排放,对于环境压力较大的中国来说,符合能源

产业的发展方向,2021年10月26日,国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》,提出要积极安全有

序发展核电.但核电造福人类时,核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类,如2011年,日本大地

震导致福岛第一核电站发生爆炸,核泄漏导致事故所在地被严重污染,主要的核污染物是锶90,它

每年的衰减率为2.47%.专家估计,要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年,到

那时,原有的锶90大约剩(参考数据lg0.9753≈ -0.01086) ( )

A.

1

10

8% B.

1

10

7% C.

1

10

8 D.

1

10

7

06 题型特训 数学

8.(2023·宁波市联考)函数f x =2sin 2x+φ φ <

π 2 的图象向左平移

π

6

个单位长度后对应的

函数是奇函数,函数g x = 1+ 3 cos2x.若关于x 的方程f x +g x =-

1

2

在 0,π 内有两个

不同的解α,β,则cos α-β 的值为 ( )

A.-

2

4

B.

2

4

C.

1

2

D.

2

2

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·临汾市联考)某学生社团有男生32名,女生24名,从中随机抽取一个容量为7的样本,某次

抽样结果为:抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是 ( )

A.这次抽样可能采用的是抽签法

B.这次抽样不可能是按性别分层随机抽样

C.这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率

D.这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率

10.(2023·茂名市联考)已知函数f x 对∀x∈R,都有f x =f -x ,f x+1 为奇函数,且x∈

0,1 时,f x =x

2,下列结论正确的是 ( )

A.函数f x 的图象关于点 1,0 中心对称 B.f x 是周期为2的函数

C.f -1 =0 D.f

7 2 =

1

4

11.(2023·辽宁省名校联盟质量检测)设a,b,c均为正数,且a

2+b

2+4c

2=1,则下列说法正确的是 ( )

A.ab+2bc+2ca≤1 B.当a>

6

6

时,a=b=c可能成立

C.ab<

1

2

D.

1

a

2+

1

b

2+

1

4c

2≥9

12.(2023·河北省衡水中学综合素养评价)已知F 是抛物线W:y

2=2px p>0 的焦点,点A 1,2 在

抛物线W 上,过点F 的两条互相垂直的直线l1,l2 分别与抛物线W 交于B,C 和D,E,过点 A 分

别作l1,l2 的垂线,垂足分别为 M,N,则下列叙述中正确的是 ( )

A.四边形AMFN 面积的最大值为2 B.四边形AMFN 周长的最大值为4 2

C.

1

BC

+

1

DE

为定值

1

2

D.四边形BDCE 面积的最小值为32

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·唐山市二模)某种产品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对

应数据:

x 1 3 4 5 7

y 15 20 30 40 45

根据上表数据得到y 关于x 的经验回归方程^y=4.5x+a,则a 的值为 .

$

/

\" #

.

14.(2023·泰安市一模)如图,在等边三角形 ABC 中,AB=2,点 N 为AC 的中点,点

M 是边CB(包括端点)上的一个动点,则AM

→·NM

→的最大值为 .

15.(2023·重庆市联考)已知定义域为(0,+∞)的减函数f(x)满足f(xy)=f(x)+

f(y),且f(2)=-1,则不等式f(x+2)+f(x+4)>-3的解集为 .

16.(2023· 常 州 市 模 拟)△ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为a,b,c,已 知 bsinC +csinB =

4asinBsinC,b

2+c

2-a

2=8,则△ABC 的面积为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 07

标准练04

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·吉林市调研)已知全集U=R,集合 A= x -1≤x≤3 ,B= y y=2

x ,x∈R ,则下图阴

影部分所对应的集合为 ( )

\" #

66

A. x x<-1 B. x x≤-1 C.{x x≤0或x>3} D. x 0<x≤3

2.(2023·秦皇岛市联考)已知数列 an 满足2an+1=an+an+2,其前n 项和为Sn,若S9=18,则a5=

( )

A.-2 B.0 C.2 D.4

3.(2023·石家庄市质量检测二)为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分层

抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是3∶1,被抽到的

参与环保调研的村民中,甲村的人数比乙村多8人,则参加调研的总人数是 ( )

A.16 B.24 C.32 D.40

4.(2023·常州 市 模 拟)已 知 函 数 f x 的 图 象 在 点 2,f 2 处 的 切 线 方 程 是 x-2y+1=0,若

h x =

f x

x

,则h' 2 = ( )

A.

1

2

B.-

1

2

C.-

1

8

D.

5

8

5.(2023·吉林省东北师大附中模拟)一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则此圆锥的内切球

的表面积为 ( )

A.π B.

π

2

C.

π

3

D.

π

4

6.(2023·梧州市模拟)直线l:y=x 与圆C:(x-1)2+(y-2)2=a

2(a>0)交于 A,B 两点.若|AB|

=a,则△ABC 的面积为 ( )

A.

3

6

B.

3

3

C.

2

6

D.

2

4

7.(2023·丽水市模拟)已知函数f x =

a

x -1,x>1,

-x

2 +2x+1,x≤1

在 R上单调,则a 的取值范围是 ( )

A. 1,3 B. 1,3 C. 3,+∞ D. 3,+∞

8.(2023·湖南郴州市三模)已知椭圆C:

x

2

a

2 +

y

2

b

2 =1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,过F1 作直线与

椭圆相交于A,B 两点,若 AF1 =2 BF1 且 BF2 = AB ,则椭圆C 的离心率为 ( )

A.

1

3

B.

1

4

C.

3

3

D.

6

3

08 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·湖南师大附中模拟)下列命题正确的有 ( )

A.已知i是虚数单位,若1-2i是ax

2+bx+c=0 a,b,c∈R 的根,则该方程的另一个根必是1+

2i.

B.∀z1∈C,z2∈C,z1+z2 = z1 + z2

C.∀z1∈C,z2∈C,z1·z2 = z1 · z2

D.已知a,b∈R,i是虚数单位,a-1+ b-1 i>0,则a-1+

sinb

a

的最小值为2 sin1-1

10.(2023·揭阳市联考)以下说法正确的是 ( )

A.直线l1:x+ 1+m y=2-m 与直线l2:mx+2y+8=0平行的充要条件是m=1

B.样本相关系数r可以反映两个随机变量的线性相关程度,r 的值越大表明两个变量的线性相关

程度越强

C.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过5%的情况下,有把握认为吃地沟油与患胃肠癌有

关系时,是指有少于5%的可能性使得推断吃地沟油与患胃肠癌有关系出现错误

D.已知一系列样本点 xi,yi i=1,2,3,…,n 的经验回归方程为^y=2x+^a,若样本点 r,2 与

2,s 的残差相同,则有s=-2r+3

11.(2023·漳州市质量检测)若函数f x =sinωx+

π 3 (ω>0)的图象与g x =cos 2x+θ 的图象

关于y 轴对称,则下列说法中正确的是 ( )

A.ω=2

B.θ的值可以是

π

3

C.函数f(x)在[

π

12

,

π

2

]单调递减

D.将y=f x 的图象向右平移

π

6

个单位长度可以得到g(x)的图象

12.(2023·蚌埠市质量检查)已知F 是抛物线y

2=4x 的焦点,A x1,y1 ,B x2,y2 是抛物线上相异

两点,则以下结论正确的是 ( )

A.若x1+x2=6,则 AB =8

B.若 AF + BF =3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为

1

2

C.若△FAB 是以F 为直角顶点的等腰三角形,则 AB =4 2±4

D.若AF

→

=2FB

→,则直线AB 的斜率为±2 2

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·临汾市联考)已知sin

α

2

+cos

α

2

=

3

5

,则sinα= .

14.(2023·辽阳市二模)若0<a<4,则

2

a

+

8

4-a

的值可以是 .

15.(2023·深圳市统考)在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=2,D 为BC 的中点,E,F 都在线段AB

上,且AE=EF=FB,则DE

→·CF

→

= .

16.(2023·茂名市模拟)e是自然对数的底数,f x =e

cos2πx +e

2x -2ex1

e

的零点为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 09

标准练05

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.)

1.(2023·唐山市二模)已知全集U=R,集合A= x x<-2 ,B= x -4<x<0 ,则A∪B=

( )

A. x -4<x<-2 B. x x<0 C. x -2≤x<0 D. x x>-4

2.(2023·茂名市联考)已知i为虚数单位,复平面内表示复数z=i 2-3i 的点位于 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.(2023·兰州市模拟)下列命题中是假命题的是 ( )

A.∃x∈R,log2x=0 B.∃x∈R,cosx=1

C.∀x∈R,x

2>0 D.∀x∈R,2

x >0

4.(2023·宁波市联考)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为边BC 上中点,记 AC

→

=m,

DO

→

=n,则AE

→

= ( )

A.

1

4

m+

1

2

n B.

1

4

m1

2

n

C.

3

4

m+

1

2

n D.

3

4

m1

2

n

\"

#

$

#

5.(2023·淮北市模拟)如图所示,在三棱台 A'B'C'-ABC 中,沿平面 A'BC 截去

\"
$

三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是 ( )

A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体

6.(2023·肇庆市质量检测)函数y=sinx·ln

x

2+1

x

2 中的图象可能是 ( )

Z Z

Y Y

0 0

Z Z

Y Y

0 0

\" # $ %

7.(2023·岳阳市质量监测)已知正实数x,y 满足x+y=1,则下列不等式恒成立的是 ( )

A.x

2+y

2≥

2

2

B.x

xy

y ≤xyy

x

C.x

x ·y

y ≤

1

2

D.y

x ·xy ≤

1

2

8.(2023·石家庄市质量检测二)已知x

1

x

2 -a=0在x∈ 0,+∞ 上有两个不相等的实数根,则实数a

的取值范围是 ( )

A.0,

1 2e

?

?

??

B.0,

1 2e C.1,e

1

2e D.1,e

1

2e

10 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·梅河口市模拟)已知tan(α+β)=tanα+tanβ,其中α≠

kπ

2

(k∈Z)且β≠

mπ

2

(m∈Z),则下列

结论一定正确的是 ( )

A.sin(α+β)=0 B.cos(α+β)=1

C.sin

2 α

2

+sin

2 β

2

=1 D.sin

2α+cos

2β=1

10.(2023·鞍山市质量监测)下列选项中判断正确的是 ( )

A.当x<

5

4

时,y=4x-2+

1

4x-5

的最小值是5

B.若关于x 的不等式ax

2+bx+c≤0的解集是 x x≤-2或x≥6 ,则a+b+c>0

C.已知向量a= 2,m-1 ,b= m,1 ,若a∥b,则m=2

D.已知向量a= 1,3 ,b= 2,y , a+b ⊥a,则a 与b 的夹角为

3π

4

\"

% ( $

&

#

'

\"

%

$

#

11.(2023·湖北黄石市适应性训练)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、

F、G 分别为BC、CC1、BB1 的中点,则下列结论正确的是 ( )

A.A1C⊥AB1 B.A1B 与AD1 所成角为60°

C.D1D⊥AF D.A1G∥平面AEF

12.(2023·临汾市联考)定义在 R 上的函数f x = ax-x

2 x

2 +bx+4 满足

f 4-x -f x =0,则下列说法正确的是 ( )

A.函数f 2-x 是奇函数

B.函数f 3x+2 是偶函数

C.函数f sin x+2 是周期函数

D.若函数f x 有4个零点,则函数f x 的最大值为

9

4

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·河北省衡水中学综合素养评价)x+

1

x +2

4

的展开式的常数项是 .

14.(2023·玉溪市质量检测)已知函数y=2ln x+1 +sinx 的图象在x=0处的切线的倾斜角为α,

则cosα= .

15.(2023·毕节市一诊)已知数列 an 满足a1=1,an+1=

an+2,n 为奇数, an+1,n 为偶数,

则数列

1 a2n-1 a2n+2 的前n 项和 .

16.(2023·福州市质量检测)已知椭圆C:

x

2

12

+

y

2

6

=1,直线l与C 在第二象限交于A,B 两点(A 在B 的左

下方),与x 轴,y 轴分别交于点 M,N,且|MA|∶|AB|∶|BN|=1∶2∶3,则l的方程为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 11

标准练06

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·阜新市模拟)设集合A= x∈R|-5<x<5 ,B= x∈Z

x-1

x-4 ≤0 ,则A∩B= ( )

A. x 1≤x≤4 B. x 1≤x<4 C. 1,2,3 D. 1,2,3,4

2.(2023·辽宁省名校联盟质量检测)已知i是虚数单位,复数 2-i 1-i 在复平面内对应的点位于

( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.(2023·黄山市质量检测)两批同种规格的产品,第一批占40%、合格品率为95%,第二批占60%、

合格品率为96%.将两批产品混合,从混合产品中任取一件.则这件产品是次品的概率为 ( )

A.95.6% B.42.4% C.59.6% D.4.4%

4.(2023·大庆市质量检测)我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程,该地区对近5年投入的沙漠

治理经费x(亿元)和沙漠治理面积y(万亩)的相关数据统计如下表所示.

治理经费x/亿元 3 4 5 6 7

治理面积y/万亩 10 12 11 12 20

根据表中所给数据,得到y 关于x 的线性回归方程为^y=2x+a,则a= ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.(2023·重庆市联考)cos198°cos132°+cos42°sin18°= ( )

A.-

3

2

B.-

1

2

C.

3

2

D.1

6.(2023·宣城市调研)粽子是我国人们传统的美食,基本上全国都有吃粽子的习惯.随着生活水平的

不断提高,粽子的花样,口味也在不断的变化,现在市场上粽子的形状有金字塔形、条形、三棱锥形

等,口味大致有甜味,咸味两种,还有蛋黄,豆沙,大肉等.现将一种蛋黄粽看作正四面体,其内部的

蛋黄看作一个球体,那么,当蛋黄的体积为

32π

3

时,该蛋黄粽(正四面体)高的最小值是 ( )

A.4 B.6 C.8 D.10

 



 

Z

0 Y



7.(2023·惠州市模拟)“家在花园里,城在山水间.半城山色

半城湖,美丽惠州和谐家园…….”一首婉转动听的《美丽惠

州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境.下图1

是惠州市风景优美的金山湖片区地图,其形状如一颗爱心.

图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作

由两个函数的图象构成,则“心形”在x 轴上方的图象对应

的函数解析式可能为 ( )

A.y= x 4-x

2 B.y=x 4-x

2

C.y= -x

2+2x D.y= -x

2+2x

8.(2023·辽阳市二模)已知椭圆C:

x

2

a

2 +

y

2

b

2 =1 a>b>0 的右焦点为F,过坐标原点O 的直线l与椭

圆C 交于P,Q 两 点,点 P 位 于 第 一 象 限,直 线 PF 与 椭 圆C 另 交 于 点 A,且 PF

→

=

2

3

FA

→,若

12 题型特训 数学

cos∠AFQ=

1

3

,FQ =2 FA ,则椭圆C 的离心率为 ( )

A.

3

4

B.

2

2

C.

3

3

D.

5

4

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·株洲市质量检测)已知各项均为正数的等差数列 an ,且an+1>an,则下列说法正确的是

( )

A.a3+a7=a4+a6 B.a3·a7>a4·a6

C.数列 a2n+1 是等差数列 D.数列 a2n 是等比数列

Z

0 Y

?

? ?

 





 



 

10.(2023·肇庆市质量检测)函数f x =Acos ωx+φ A>0,ω>0,φ <

π 2 的

部分图象如图所示,f

7π 12 =f

11π 12 =0,f

π 2 =-

2

3

,则下列选项中正确的有

( )

A.f x 的最小正周期为

2π

3

B.f x+

π 12 是奇函数

C.f x 的单调递增区间为

π

12

+

2kπ

3

,

5π

12

+

2kπ

3

?

?

??

?

?

??

k∈Z

D.f'

π

12 -x +f'

π

12 +x =0,其中f' x 为f x 的导函数

11.(2023·蚌埠市质量检查)已知a>b>1,则下列结论正确的是 ( )

A.e

a-b >

a

b

B.

lna

a

>

ln b+1

b+1

C.loga a+1 >logb b+1 D.

a

b

>

a

b

b

a

12.(2023·郴州市质量监测)已知抛物线x

2=2py(p>0)的焦点为F,过F 的直线l交抛物线于A、B 两

点,以线段AB 为直径的圆交x 轴于 M,N 两点,设线段AB 的中点为P,下列说法正确的是 ( )

A.若 AF BF =2p

2,则直线AB 的倾斜角为

π

4

B.OA

→·OB

→

=-

3

4

p

2

C.若抛物线上存在一点E t,3 到焦点F 的距离等于4,则抛物线的方程为x

2=4y

D.若点F 到抛物线准线的距离为2,则sin∠PMN 的最小值为

1

3

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·泸州市教学质量诊断)若向量a,b 满足 a =2,b =3,a-b =4,则a·b= .

14.(2023·潮州市二模)已知函数f x =ln

x+1

x-1

+m+1(其中e是自然对数的底数,e≈2.718…)是

奇函数,则实数m 的值为 .

15.(2023·玉溪市质量检测)已知直线x+y- 3a=0与圆C: x+1 2+ y-1 2=2a

2-2a+1相交

于点A,B,若△ABC 是正三角形,则实数a= .

16.(2023·通化市模拟)点P 在曲线y=e

x 上,点Q 在曲线y=

1

2

x-1,x≤2,

3x-6,x>2

?

?

?

??

??

上,则 PQ 的最小值

为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 13

标准练07

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·福州市质量检测)已知集合A= x||x-1|≤2 ,B= x|2

x ≤ 2 ,则A∪B= ( )

A.x|-1≤x≤

1 2 B. x|-1≤x≤ 2 C.x|x≤

1 2 D. x|x≤3

2.(2023·临汾市联考)已知i是虚数单位,复数z=

54+i

2

i 2+i

的虚部为 ( )

A.-3i B.-6i C.-3 D.-6

3.(2023·辽宁省名校联盟质量检测)某地有9个快递收件点,在某天接收到的快递个数分别为360,

284,290,300,402,188,240,260,288,则这组数据的第72百分位数为 ( )

A.290 B.295 C.300 D.330

4.(2023·阜新市模拟)数列 an 的前n 项和为Sn=n

2+2n,则a5= ( )

A.11 B.10 C.9 D.8

Z

0 Y

5.(2023·常州市模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则该函数的解析式为

( )

A.f(x)=

x

2

e

x +e

-x B.f x =

e

x +e

-x

x

3

C.f(x)=

x

2

e

x -e

-x D.f x =

e

x +e

-x

x

2

6.(2023·淮北市模拟)对于一个古典概型的样本空间Ω 和事件A,B,C,D,其中n(Ω)=60,n(A)=

30,n(B)=10,n(C)=20,n(D)=30,n(A∪B)=40,n(A∩C)=10,n(A∪D)=60,则下列结论正

确的是 ( )

A.A 与B 不互斥 B.A 与D 互斥但不对立

C.C 与D 互斥 D.A 与C 相互独立

7.(2023·十堰市调研)若a=e

0.2,b=1.2,c=ln3.2,则下列结论正确的是 ( )

A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c

8.(2023·邵阳市联考)已知A,B,C 分别是△ABC 的内角,tanA=

1

2

,cosB=

3 10

10

,则C 的值是

( )

A.

3π

4

B.

π

4

C.

2π

3

D.

5π

6

14 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·济南市一模)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则下列说法正确的是 ( )

A.|a|= 10 B.(2a-b)⊥b

C.a 与b 的夹角为钝角 D.a 在b 上的投影向量的模为

5

5

10.(2023·深圳市统考)数列{an}满足

an

2n-13

-

an-1

2n-15

=2(n≥2),a1=66,Sn 是{an}的前n 项和,以

下结论正确的是 ( )

A.a5 是数列{an}的最小项

B.{an-an-1}是等差数列

C.a3=12

D.对于两个正整数m,n(n>m),Sn-Sm 的最小值为-10

\"

%

#

$

1

\" #

11.(2023·徐州市模拟)如图,在边长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P

% $

在线段BD1 上运动(包括端点),下列选项正确的有 ( )

A.AP⊥B1C

B.PD⊥BC

C.直线PC1 与平面A1BCD1 所成角的最小值是

π

4

D.PC+PD 的最小值为2 3

12.(2023·黄山市质量检测)对于函数f(x)=x

3-2x

2+ax+b(a,b∈R),则下列说法正确的是

( )

A.f(x)是单调函数的充要条件是a>

4

3

B.f(x)图象一定是中心对称图形

C.若a=0,且f(x)恰有一个零点,则b<0或b>

32

27

D.若f(x)的三个零点x1、x2、x3 恰为某三角形的三边长,则a+b>1

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·肇庆市质量检测)已知函数f(x)=

-x

2+x,x>0,

ax

2 +x,x<0

是奇函数,则a= .

14.(2023·延边州质量检测)在 x2 x

7

的展开式中,含

1

x

的项的系数是 .

15.(2023·辽宁省协作校模拟)函数y=sin3x+

π 6 向左或向右平移 m(m>0)个单位后,所得图象

关于y 轴对称,则m 的最小值是 .

16.(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C:

x

2

a

2 -

y

2

b

2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A

在C 上,点B 在y 轴上,F1A

→

⊥F1B

→,F2A

→

=-

2

3

F2B

→,则C 的离心率为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 15

标准练08

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·宣城市调研)已知U=R,集合A={-3,-1,0,1,3},B={x||x-1|>1},则A∩∁UB=

( )

A.{-1,0,1} B.{-3,3} C.{-3,-1,3} D.{0,1}

2.(2023·山西省省际名校联考)已知复数z=1+ 3i(其中i是虚数单位).则z

2+z?= ( )

A.1+ 3i B.3+ 3i C.5+ 3i D.-1+ 3i

3.(2023·河北省衡水中学综合素养评价)已知a>0且a≠1,“函数f(x)=a

x 为增函数”是“函数

g(x)=x

a-1 在(0,+∞)上单调递增”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2023·保定市模拟)某高校在2022年新增设的“人工智能”专业共招生了两个班,其中甲班30人,

乙班40人,在2022届高考中,甲班学生的平均分为665分,方差为131,乙班学生的平均分为658

分,方差为208,则该专业所有学生在2022年高考中的平均分和方差分别为 ( )

A.661.5,169.5 B.661,187 C.661,175 D.660,180

5.(2023·毕节市一诊)已知数列{an}的通项公式为an=2

n ,则a1-a2+a3-a4+…+a9-a10 的值为

( )

A.2(2

10-1) B.2(2

10+1) C.

2(1+2

10)

3

D.

2(1-2

10)

3

6.(2023·茂名市联考)下列四个函数中,最小正周期与其余三个函数不同的是 ( )

A.f(x)=cos

2x+sinxcosx B.f(x)=

1-cos2x

2sinxcosx

C.f(x)=cosx+

π 3 +cosxπ 3 D.f(x)=sinx+

π 6 cosx+

π 6

7.(2023·梧州市模拟)在三棱锥P-ABC 中,已知PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,∠BAC=

2π

3

.

若三棱锥P-ABC 各顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 ( )

A.4π B.8π C.12π D.20π

8.(2023·宁波市联考)双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数,在生活

中有着广泛的应用,如悬链桥.常见的有双曲正弦函数sinhx=

e

x -e

-x

2

,双

曲余弦函数coshx=

e

x +e

-x

2

.下列结论不正确的是 ( )

A.(coshx)2-(sinhx)2=1

B.cosh(x+y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

C.双曲正弦函数是奇函数,双曲余弦函数是偶函数

D.若点P 在曲线y=sinhx 上,α 为曲线在点P 处切线的倾斜角,则α∈

π

4

,

π

2

?

?

??

16 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·江苏省连云港市模拟)已知α 和β都是锐角,向量a=(cosα,sinα),b=(sinβ,cosβ),c=(1,

0),则下列叙述中正确的有 ( )

A.存在α 和β,使得a⊥b B.存在α 和β,使得a∥b

C.对于任意的α 和β,都有|a-b|< 2 D.对于任意的α 和β,都有a·b<a·c+b·c

10.(2023·岳阳市质量监测)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有

“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目,每人都要报名且限报其中一项.记事件A 为“恰

有两名同学所报项目相同”,事件B 为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”,则下列说法正确的是

( )

A.四名同学的报名情况共有3

4 种

B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种

C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是

14

27

D.P(B|A)=

1

6

11.(2023·肇庆市质量检测)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m

-4=0,则下列结论正确的是 ( )

A.直线l过定点(3,1)

B.直线l与圆C 可能相离

C.圆C 被y 轴截得的弦长为4 6

D.圆C 被直线l截得的弦长最短时,直线l的方程为x+2y-5=0

12.(2023·沈阳市三模)已知函数f(x)的导数f'(x)满足f(x)+(x+1)f'(x)>0对x∈R 恒成

立,且实数x,y 满足(x+1)f(x)-(y+1)f(y)>0,则下列关系式不恒成立的是 ( )

A.

1

x

3+1

<

1

y

3+1

B.e

x <ey C.

x

e

x <

y

ey D.x-y>sinx-siny

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·湖南师大附中模拟)设m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)13 展

开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则(x

2+x+y)m 的展开式中,x

7y

2 的系数为 .

14.(2023·梅河口市模拟)若直线y=ax-1是函数f(x)=x+lnx 的图象在某点处的切线,则实数

a= .

15.(2023·徐州市模拟)已知正项等差数列{an}满足3an =a3n,且a4 是a3-3与a8 的等比中项,则

{an}的前n 项和Sn= .

16.(2023·淮北市模拟)设f(x)=

e

-x ,x<0,

e

x ,0≤x≤1,

3-x,x>1.

?

?

?

??

??

若互不相等的实数x1,x2,x3 满足f(x1)=f(x2)

=f(x3),则x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)的取值范围是 .

考卷Ⅰ 小题标准练 17

标准练09

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·辽阳市二模)已知集合A={x|3-x<1},B={-4,-3,-2,2,3,4},则A∩B= ( )

A.{3,4} B.{2,3,4} C.{-4,-3,-2} D.{-4,-3,-2,2}

2.(2023·重庆市联考)已知i是虚数单位,复数z 满足

z

i

+z?·i=1,则z 的虚部为 ( )

A.-

1

2

B.

1

2

C.-1 D.1

3.(2023·株洲市质量检测)在平面直角坐标系中,已知两点O(0,0),A(3,4)到直线l的距离分别是

1与4,则满足条件的直线l共有 ( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

4.(2023·宁波市联考)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,同一级台阶上的人不区分站的位置,则

不同的站法种数是 ( )

A.120 B.210 C.211 D.216

5.(2023·日照市一模)已知正六边形ABCDEF 的边长为2,P 是正六边形ABCDEF 边上任意一点,

则PA

→·PB

→的最大值为 ( )

A.13 B.12 C.8 D.2 3

6.(2023·西宁市模拟)已知F1,F2 分别是双曲线C:

x

2

a

2 -

y

2

b

2 =1(a>0,b>0)左、右焦点,直线l经过

F1 且与C 左支交于P,Q 两点,P 在以F1F2 为直径的圆上,|PQ|∶|PF2|=3∶4,则C 的离心

率是 ( )

A.

17

3

B.

2 17

3

C.

2 15

3

D.

15

3

7.(2023·玉溪市质量检测)已知a=e-2,b=1-ln2,c=e

e-e

2,则下列结论正确的是 ( )

A.c>b>a B.a>b>c C.a>c>b D.c>a>b

\"

% $

#

8.(2023·临汾市联考)《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体,刘徽

& '

对此几何体作注:“羡除,隧道也其所穿地,上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵,即羡

除之形.”羡除即为:三个面为梯形或平行四边形(至多一个侧面是平行四边

形),其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除 ABCDEF 如图所示,底面 ABCD 为正方形,

EF=4,其余棱长为2,则羡除外接球体积与羡除体积之比为 ( )

A.2 2π B.4 2π C.

8 2

3

π D.2π

18 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·深圳市统考)下列叙述中正确的是 ( )

A.∃α,β∈R使得sin(α+β)=sinα+sinβ

B.命题“∀x>2,log2x>1”的否定是“∃x>2,log2x≤1”

C.设x>0,x,y∈R,则x>y⇒x>|y|

D.“a>1”是“

1

a

<1”的充分不必要条件

10.(2023·茂名市联考)已知空间中三条不同的直线a、b、c,三个不同的平面α、β、γ,则下列说法中正

确的是 ( )

A.若a∥b,a⊥α,则b⊥α B.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,则a∥b∥c

C.若α⊥β,a⊄α,a⊥β,则a⊥α D.若c⊥β,c⊥γ,则β∥γ







?

? Y

Z

0

11.(2023·鞍山市二模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<

π 2 的部分

图象如图所示,下列结论中正确的是 ( )

A.直线x=-

2π

3

是函数f(x)图象的一条对称轴

B.函数f(x)的图象关于点 -

π

6

+

kπ

2 ,0 ,k∈Z对称

C.函数f(x)的单调递增区间为 -

5π

12

+kπ,

π

12

+kπ

?

?

??

?

?

??

,k∈Z

D.将函数f(x)的图象向右平移

π

12

个单位得到函数g(x)=sin2x+

π 6 的图象

12.(2023·山西省省际名校联考)已知函数f(x)=

|ln(x-1)|,x>1,

x

2 -4|x|+3,x≤1,

则下列结论正确的是

( )

A.函数f(x)在[0,2]上单调递减

B.函数f(x)的值域是[-1,+∞)

C.若方程f(x)=a 有5个解,则a 的取值范围为(0,3)

D.若函数g(x)=f(x)-a 有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+

1

x2

+

1

x3

的取值范围为

(-∞,-3)

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·蚌埠市质量检查)已知(2x-1)3-(x+2)4=a0+a1x+a2x

2+a3x

3+a4x

4,则a0+a2+

a4= .

14.(2023·阜新市模拟)在公差为d 的等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=3,a4+a6=4,则d= .

15.(2023·湖北黄石市适应性训练)函数f(x)= 3sinx+cosx,f(α)=

8

5

,α∈

π

6

,

5π

6

?

?

??

?

?

??

,则cosα

= .

16.(2023·唐山市二模)∀x>0,ae

x -lnx+lna≥0,则实数a 的取值范围是 .

考卷Ⅰ 小题标准练 19

标准练10

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·通化市模拟)若集合A={x| x

2-3x≤2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B= ( )

A.{-1,0,3} B.{0,1,3} C.{-1,0,2,3} D.{-1,1,2}

2.(2023·南京市模拟)已知复数z 在复平面内对应的点都在射线y=3x(x>0)上,且|z|= 10,则z

的虚部为 ( )

A.3 B.3i C.±3 D.±3i

3.(2023·汕头市模拟)现将A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,要求A,B 相邻,且B,C 不相邻,则

不同的排列方式有( )

A.192种 B.240种 C.120种 D.28种

4.(2023·福州市质量检测)已知|b|=2|a|,若a 与b 的夹角为120°,则2a-b 在b 上的投影向量为

( )

A.-3b B.-

3

2

b C.-

1

2

b D.3b

5.(2023·绵阳市二诊)人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度

(单位:W/m

2)满足d(x)=9lg

x

1×10

-13.一般两人小声交谈时,声音的等级约为54dB,在有50人

的课堂上讲课时,老师声音的等级约为63dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时

声音强度的 ( )

A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1000倍

6.(2023·重庆市联考)设等差数列{an}的前n 项和为Sn,5S9=9a9-36,则a4= ( )

A.-2 B.-1 C.1 D.2

7.(2023·惠州市模拟)已知二项式 2x+

1 x

n

(n∈N

* )的展开式中只有第4项的二项式系数最大,

现从展开式中任取2项,则取到的项都是有理项的概率为 ( )

A.

2

7

B.

3

7

C.

1

4

D.

3

8

8.(2023·肇庆市质量检测)与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底

面边长为2 6,侧棱长为3,则此正三棱锥的棱切球半径为 ( )

A.6-2 B.6+2 C.6 2-4 3 D.6 2+4 3

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·普宁市二模)已知函数f(x)=(x

2-2x)·e

x ,则下列结论正确的是 ( )

A.函数f(x)在原点处的切线方程为y=-2x

B.函数f(x)的极小值点为x=- 2

C.函数f(x)在 -∞,- 2 上有一个零点

D.函数f(x)在 R上有两个零点

20 题型特训 数学

10.(2023·揭阳市联考)对于函数f(x)= 3sinωxπ 3 +1(其中ω>0),下列结论正确的是 ( )

A.若ω=2,x∈ 0,

π

2

?

?

??

?

?

??

,则y=f(x)的最小值为1

2

B.若ω=2,则函数y= 3sin2x+1的图象向右平移

π

3

个单位可以得到函数y=f(x)的图象

C.若ω=2,则函数y=f(x)在区间 0,

π 2 上单调递增

D.若函数y=f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为

π

4

,则ω=2

11.(2023·株洲市质量检测)已知sin15°是函数f(x)=a4x

4+a3x

3+a2x

2+a1x+a0(a4,a3,a2,a1,

a0∈Z,a4≠0)的零点,则下列说法正确的是 ( )

A.

a4

a0

=16 B.f(cos15°)=0 C.f(-x)=f(x) D.f(x)min=-3

12.(2023·岳阳市质量监测)在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间,某学校组织了“喜庆二

十大,永远跟党走,奋进新征程,书画作品比赛.如图①,本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托

盘组成,球的体积为

4π

3

;如图②,托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠

而成,则下列结论正确的是 ( )




& \"

%

'

&

\" $ #

#

' $

% &

#

\"

$

%

'

A.直线AD 与平面BEF 所成的角为

π

6

B.经过三个顶点A,B,C 的球的截面圆的面积为

π

4

C.异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为

5

8

D.球离球托底面DEF 的最小距离为 3+

6

3

-1

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·惠州市模拟)若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a= .

14.(2023·贵州省“3+3+3”诊断性联考)若a=

(1-log63)2+log62·log618

log62

,则a 的值为 .

15.(2023·吉林省东北师大附中模拟)已知函数f(x)=x

3+2

x -2

-x ,若实数a、b 满足f(2a

2)+

f(b

2-1)=0,则a 1+2b

2 的最大值为 .

16.(2023·黄山市质量检测)设抛物线C:y=

1

4

x

2 的焦点为F,直线l过F 且与抛物线C 交于A、B

两点,若AF

→

=4FB

→,则直线l的方程为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 21

标准练11

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·十堰市调研)若集合A={x|y= x},B={y|y=2

x ,x∈A},则下列结论正确的是 ( )

A.A∩B=⌀ B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B

2.(2023·徐州市模拟)若复数z的共轭复数z?满足i·z?=4+3i(其中i为虚数单位),则z·z?的值为 ( )

A.7 B.5 C.7 D.25

3.(2023·梅河口市模拟)某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批

苗木,苗木长度与售价如下表:

苗木长度x(cm) 38 48 58 68 78 88

售价y(元) 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8

若苗木长度x(cm)与售价y(元)之间存在线性相关关系,其回归方程为^y=^bx+8.9,则当售价大

约为38.9元时,苗木长度大约为 ( )

A.148cm B.150cm C.152cm D.154cm

4.(2023·兰州市模拟)已知非零单位向量a,b 满足|a+b|=|a-b|,则a 与b-a 的夹角是 ( )

A.

π

6

B.

π

3

C.

π

4

D.

3π

4

5.(2023·河北省衡水中学综合素养评价)公差不为0的等差数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn =

n

2a1,若a1,a2,ak1 ,ak2 ,ak3 依次成等比数列,则k3= ( )

A.81 B.63 C.41 D.32

 

 

\" #

1

\"

$

#

$ % %

1

6.(2023·毕节市一诊)图(1)是由正方形 ABCD 和正三角形PAD 组

合而成的平面图形,将三角形PAD 沿AD 折起,使得平面PAD⊥平

面ABCD,如图(2),则异面直线PB 与DC 所成角的大小为 ( )

A.15° B.30°

C.45° D.60°

\" #

Z

$ 0 ) Y

(

'

&

%

7.(2023·淮北市模拟)如图,在平面直角坐标系中,AB

︵,CD

︵,EF

︵,GH

︵

分别是单

位圆上的四 段 弧,点 P 在 其 中 一 段 上,角α 以Ox 为 始 边,OP 为 终 边.若

sinα<cosα<tanα,则P 所在的圆弧是 ( )

A.AB

︵

B.CD

︵

C.EF

︵

D.GH

︵

8.(2023·沈阳市三模)已知直线x+y+a=0与曲线y=e

ex ,y=

lnx

e

分别交于

点A,B,则|AB|的最小值为 ( )

A.

2

e

B.

2 2

e

C.1 D.e

22 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·哈三中模拟)点 M(x1,y1)在函数y=e

x 的图象上,当x1∈[0,1)时,则

y1+1

x1-1

可能等于

( )

A.-1 B.-2 C.-3 D.0

10.(2023·鲁名校质量检测)已知函数f(x)=sinωxπ 6 (ω>0)在[0,π]有且仅有3个零点,下列

结论正确的是 ( )

A.函数f(x)的最小正周期T<π

B.函数f(x)在(0,π)上存在x1,x2,满足f(x1)-f(x2)=2

C.函数f(x)在(0,

π

2

)单调递增

D.ω 的取值范围是

13

6

,

19

6

?

?

??

11.(2023·沈阳市三模)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上.PA⊥平面ABC,在底面

△ABC 中,∠B=

π

4

,BC=2,AB=

2

2

,若球O 的体积为 6π,则下列说法正确的是 ( )

A.球O 的半径为

3

2

B.AC=

10

2

C.底面△ABC 外接圆的面积为

5π

4

D.AP=1

12.(2023·山西省省际名校联考)已知圆C:x

2+(y-1)2=1,点Q 为直线l:kx+y-2k-3=0上的

动点,则下列说法正确的是 ( )

A.圆心C 到直线l的最大距离为8

B.若直线l平分圆C 的周长,则k=-1

C.若圆C 上至少有三个点到直线l的距离为

1

2

,则

-16- 31

15

<k<

-16+ 31

15

D.若k=1,过点Q 作圆C 的两条切线,切点为A,B,当点Q 坐标为(2,3)时,∠AQB 有最大值

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·肇庆市质量检测)(x+y)(x-y)6 的展开式中x

3y

4 的系数是 .(用数字作答)

14.(2023·阜新市模拟)若函数f(x)为奇函数,且f(x+1)=f(1-x),若f(1)=2,则f(2022)+

f(2023)= .

15.(2023·江西省部分学校联考)椭圆

x

2

a

2 +

y

2

b

2 =1(a>b>0)的四个顶点为A、B、C、D,若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是 .

16.(2023·深圳市统考)某学生到工厂实践,欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切割成

一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗,则得到的圆柱体的最大

体积是 .

考卷Ⅰ 小题标准练 23

标准练12

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·株洲市质量检测)设集合A={x|x

2+4x<0},集合B={n|n=2k-1,k∈Z},则A∩B=

( )

A.{-3,-1} B.{1,3} C.{-1,1} D.{-3,-1,1,3}

2.(2023·黄山市质量检测)已知i是虚数单位,若(i+1)(z-1)=2,则|z?|= ( )

A.2 B.5 C.10 D.4

3.(2023·十堰市调研)3x1

3 y

5

的展开式中x

2y

3 的系数是 ( )

A.-

10

3

B.

10

3

C.-30 D.30

4.(2023·石家庄市质量检测二)函数f(x)=x+

cosx

x

2 的大致图象为 ( )

Z Z Z Z

0 Y 0 Y 0 Y 0 Y

\" # $ %

5.(2023·聊城市一模)M 是△ABC 内的一点,若BM

→

=

1

3

BA

→

+λBC

→,AM

→

=

1

2

AB

→

+μAC

→,则λ+μ=

( )

A.

7

6

B.1 C.

5

6

D.

1

3

6.(2023·西宁市模拟)下列坐标所表示的点是函数f(x)=sin2xπ 3 图象的对称中心的是 ( )

A.

π

6 ,0 B.

π

3 ,0 C.

5π

6 ,0 D.

4π

3 ,0

7.(2023·重庆市联考)已知a=

2

5

,b=e

-

3

5 ,c=ln5-ln4,则下列结论正确的是 ( )

A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a

8.(2023·白山市二模)已知球O 的半径为2,圆锥内接于球O,当圆锥的体积最大时,圆锥内切球的

半径为 ( )

A.3-1 B.3+1 C.

4(3-1)

3

D.

4(3+1)

3

24 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·邢台市联考)先后两次掷一枚质地均匀的骰子,事件 A=“两次掷出的点数之和是6”,事件

B=“第一次掷出的点数是奇数”,事件C=“两次掷出的点数相同”,则下列说法正确的是 ( )

A.A 与B 互斥 B.B 与C 相互独立

C.P(A)=

1

6

D.P(AC)=

1

36

10.(2023·汕头市二模)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC 边上的两条中线

AM,BN 相交于点P,下列结论正确的是 ( )

A.AM =

39

2

B.BN=

21

2

C.∠MPN 的余弦值为

21

21

D.PA

→

+PB

→

+PC

→

=0

11.(2023·岳阳市质量监测)设函数f(x)=|lgx|在[a,+∞)上的最小值为 ma,函数g(x)=sin

πx

2

在[0,a]上的最大值为 Ma,若 Ma-ma=

1

2

,则满足条件的实数a 可以是 ( )

A.

2

3

B.

1

3

C.10 10 D.10

12.(2023·玉溪市质量检测)已知双曲线C 过点(3,2)且渐近线方程为x± 3y=0,则下列结论正

确的是 ( )

A.C 的方程为x

2-

y

2

3

=1 B.C 的离心率为 3

C.曲线y=e

x-2-1经过C 的一个焦点 D.C 的焦点到渐近线的距离为1

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·南昌市二模)已知随机变量 X 的分布列为

X -1 0 1

P 0.2 0.4 0.4

则随机变量 X

2 的数学期望E(X

2)= .

%

\" #

$

\"

% $

#

14.(2023·惠州市模拟)过点P(1,1)的弦AB 将圆x

2+y

2=4的圆周分成两段圆

弧,要使这两段弧长之差最大,则|AB|= .

15.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,A1B1=2,若半径为r 的球O

与该正四棱台的各个面均相切,则该球的表面积S= .

16.(2023·邯郸市二模)若数列{an}从第二项起,每一项与前一项的差构成等差数列,则称数列{an}

为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上,用剪刀沿直线剪一圆形纸片,将剪n(n∈N

* )刀最

多可以将圆形纸片分成的块数记为bn,经实际操作可得b1=2,b2=4,b3=7,b4=11,…,根据这一

规律,得到二阶等差数列{bn},则b8= ;若将圆形纸片最多分成1276块,则n= .

考卷Ⅰ 小题标准练 25

标准练13

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·沈阳市三模)设集合A={1,2,3},则满足A∪B={x∈N|x≤4}的集合B 的个数是 ( )

A.7 B.8 C.15 D.16

2.(2023·泸州市教学质量诊断)已知i是虚数单位,若z=1+i,则

z+z?

z

的虚部是 ( )

A.-1 B.1 C.-i D.i

3.(2023·淮北市模拟)已知

cos2α

sinα+cosα

=

1

3

,则sinα+

3π 4 = ( )

A.-

2

6

B.

1

3

C.

2

6

D.-

1

3

4.(2023·黑龙江省实验中学模拟)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶

4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方

案共有 ( )

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

5.(2023·福州市质量检测)已知☉O1:(x-2)2+(y-3)2=4,☉O1 关于直线ax+2y+1=0对称的

圆记为☉O2,点E,F 分别为☉O1,☉O2 上的动点,EF 长度的最小值为4,则a= ( )

A.-

3

2

或

5

6

B.-

5

6

或

3

2

C.-

3

2

或5

6

D.

5

6

或

3

2

6.(2023·佛山一中模拟)已知a=e

-0.02,b=0.01,c=ln1.01,则下列结论正确的是 ( )

A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a

7.(2023·济宁市模拟)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧

面积的比为 ( )

A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶4

8.(2023·金华十校联考)设函数f(x)=e

x -ax

2+ax(a∈R)(e=2.718…为自然对数的底数),若恰

好存在两个正整数m,n 使得f(m)<0,f(n)<0,则实数a 的取值范围是 ( )

A.

e

2

2

,

e

4 12

?

?

??

B.

e

3

6

,

e

4

12

?

?

??

C.

e

3

6

,

e

2 2

?

?

??

D.

e

2

2

,

e

4

12

?

?

??

26 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·潮州市二模)根据气象学上的标准,如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将

连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,则下列样本中一定符合

入冬指标的有 ( )

A.平均数小于4 B.平均数小于4且极差小于或等于3

C.平均数小于4且标准差小于或等于4 D.众数等于5且极差小于或等于4

10.(2023·宣城市调研)已知函数f(x)=|x-3|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等

的实根,则实数k 的取值可以是 ( )

A.

1

3

B.

1

2

C.

2

3

D.1

\"

#

$

%

\"

%

$

#

11.(2023·唐山市二模)如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长均为2,

∠BAD=60°,则下列叙述中正确的有 ( )

A.AB1 与BC1 所成角的余弦值为

1

4

B.AB1 与BC1 所成角的余弦值为

3

4

C.AB1 与平面BCC1B1 所成角的正弦值为

6

4

D.AB1 与平面BCC1B1 所成角的正弦值为

10

4

12.(2023·揭阳市联考)已知抛物线E:y

2=4x 的焦点为F,准线为l,过F 的直线与E 交于A,B 两

点,分别过A,B 作l的垂线,垂足为C,D,且AF=3BF,M 为AB 中点,则下列结论正确的是

( )

A.∠CFD=90° B.△CMD 为等腰直角三角形

C.直线AB 的斜率为± 3 D.△AOB 的面积为4

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·普宁市二模)x

2+

1 x

2-2

4

的展开式中,x

2 的系数是 .

14.(2023·绵阳市二诊)已知平面向量a=(2,1),|b|=2,且(a+2b)⊥(a-b),则向量b 在向量a 上

的投影为 .

15.(2023·漳州市质量检测)古时候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五种

职业,“八门”则指巾、皮、彩、挂、平、团、调、聊这八种职业,现从这13种职业中任取两种职业,则这

两种职业中至少有一种职业是“五花”的概率是 .

16.(2023·湖南省九校联盟联考)已知不等式e

x ≥aln

a(x-1)

e

(a>0)恒成立,则实数a 的最大值为

.

考卷Ⅰ 小题标准练 27

标准练14

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·佛山一中模拟)已知集合 A={x|ax-1=0},B={x∈N

*|2≤x<5},且 A∪B=B,则实

数a 的所有值构成的集合是 ( )

A.

1

2

,

1 3 B.

1

4

,

1 3 C.

1

2

,

1

3

,

1 4 D.0,

1

2

,

1

3

,

1 4

2.(2023·株洲市质量检测)已知i为虚数单位,若复数z 满足z·i=2+3i,则在复平面内z 对应的点

位于 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.(2023·山西省省际名校联考)有一个正四棱台的油槽,可以装油152升.若油槽的上下底面边长分

别为60cm 和40cm,则它的深度是 ( )

A.180cm B.80cm C.60cm D.30cm

4.(2023·兰州市模拟)数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N

* 都有an+1=a1+an +n,则

1 an 的前

100项和为 ( )

A.

100

101

B.

99

100

C.

101

100

D.

200

101

5.(2023·徐州市模拟)随机掷两个质地均匀的正方体骰子,骰子各个面分别标记有1~6共六个数

字,记事件A=“骰子向上的点数是1和3”,事件B=“骰子向上的点数是3和6”,事件C=“骰子向

上的点数含有3”,则下列说法正确的是 ( )

A.事件A 与事件B 是相互独立事件 B.事件A 与事件C 是互斥事件

C.P(A)=P(B)=

1

18

D.P(C)=

1

6

M(

3C

       













6.(2023·安庆市质量检)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学

生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,

60),…,[90,100]后画出频率分布直方图如图所示.观察图形的信息,

则下列说法正确的是 ( )

A.成绩在区间[90,100]上的人数为5

B.抽查学生的平均成绩是71分

C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为55%

D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到第一名学生的概率(第一名只一人)为

1

30

7.(2023·枣庄市二调)已知a,b,c是同一平面内两两不共线的单位向量,下列结论可能成立的是

( )

A.b·(a+c)=2 B.(a+b)∥(a-b)

C.存在不全为0的实数λ,μ,使λa+μb=0 D.若a+b+c=0,则|a-b|= 3

8.(2023·梅河口市模拟)已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2

x +2

-x ,则不等式f(x+1)<f(2x)的解

集为 ( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-2,-1)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.-∞,-

1 3 ∪(1,+∞)

28 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·沈阳市质量监测)某产品的质量指标值服从正态分布N(100,σ

2),则下列结论正确的是 ( )

A.σ越大,则产品的质量指标值落在(99.9,100.1)内的概率越大

B.该产品的质量指标值大于100的概率为0.5

C.该产品的质量指标值大于100.01的概率与小于99.99的概率相等

D.该产品的质量指标值落在(99.9,100.2)内的概率与落在(100,100.3)内的概率相等

\"

# $

\"

\"

# $

$ #

10.(2023·唐山市二模)如图,△ABC 是边长为2的等边三角形,连接各边中点

得到△A1B1C1,再连接△A1B1C1 的各边中点得到△A2B2C2,…,如此继续

下去,设△AnBnCn 的边长为an,△AnBnCn 的面积为Mn,则下列结论中正确

的是 ( )

A.Mn=

3

4

a

2

n B.a

2

4=a3a5

C.a1+a2+…+an=2-2

2-n D.M1+M2+…+Mn<

3

3

11.(2023·重庆市联考)已知函数f(x)=2sinωx+

π 3 (ω>0),则使得“y=f(x)的图象关于点

π

4 ,0 中心对称”成立的一个充分不必要条件是 ( )

A.f(x)的最小正周期为

3π

4

B.f(x)的图象向右平移

π

8

个单位长度后关于原点对称

C.f -

π 4 = 3

D.f(x)的图象关于直线x=

π

16

对称

12.(2023·玉溪市质量检测)已知函数f(x)=

x

2-2x,0≤x≤2,

sin

π

2

x,2<x≤4,

?

?

?

??

?

则下列结论正确的有 ( )

A.f

5 2 =-

2

2

B.函数图象关于直线x=1对称

C.函数的值域为[-1,0]

D.若函数y=f(x)-m 有四个零点,则实数m 的取值范围是(-1,0]

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·汕头市模拟)在 x+

2

x -y

10

的展开式中,xy

7 的系数为 .

14.(2023·肇庆市质量检测)若

sin2x+ 3cos2x

sinx- 3cosx

=1,则cosxπ 3 = .

15.(2023·湖北十一校联考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x

2-m,g(x)=6lnx-4x,设曲

线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则实数m= .

\" /

0 Y

# .

16.(2023· 岳 阳 市 质 量 监 测 二)如 图 为 陕 西 博 物 馆 收 藏 的 国

Z

宝———唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺

天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似

看作是离心率为 5的双曲线C:x

2-

y

2

b

2 =1(b>0)的右支与y

轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y

轴旋转一周得到的几何体,若P 为C 右支上的一点,F 为C 的

左焦点,则|PF|与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为 .

考卷Ⅰ 小题标准练 29

标准练15

(时间:45分钟 分值:80分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.)

1.(2023·普宁市二模)已知复数z=

2i

1+i

(i为虚数单位),则|z|=

A.3 B.2 C.3 D.2

2.(2023·金华十校联考)已知集合 M 满足{2,3}⊆M ⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合 M 的个数为

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

3.(2023·沈阳市三模)“∃x∈[-1,3],使得x

2+2≤a 成立”是“∀x∈R,log2(2

x +a-1)>0恒成

立”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2023·泸州市教学质量诊断)已知抛物线C:y

2=2x 的焦点是F,若点P 是C 上一点且横坐标为

4,则|PF|的值是 ( )

A.2 B.4 C.

9

2

D.5

5.(2023·菏泽市一模)设实数x,y 满足x+y=1,y>0,x≠0,则

1

|x|

+

2|x|

y

的最小值为 ( )

A.2 2-1 B.2 2+1 C.2-1 D.2+1

6.(2023·深圳市统考)函数f(x)=log8x1

3x

的一个零点所在的区间是 ( )

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,3.5) D.(3.5,4)

7.(2023·淄博市一模)已知△ABO 中,OA=1,OB=2,OA

→·OB

→

=-1,过点O 作OD 垂直AB 于点

D,则下列结论正确的是 ( )

A.OD

→

=

5

7

OA

→

+

2

7

OB

→

B.OD

→

=

3

7

OA

→

+

4

7

OB

→

C.OD

→

=

2

7

OA

→

+

5

7

OB

→

D.OD

→

=

4

7

OA

→

+

3

7

OB

→

8.(2023·盐城市模拟)已知f(x)=x

2+2ax-1,对任意x1、x2∈[1,+∞)且x1<x2,恒有x2f(x1)

-x1f(x2)<a(x1-x2)成立,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,2] B.(-∞,3] C.-∞,

7 2

?

?

??

D.0,

7 2

?

?

??

30 题型特训 数学

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.(2023·新高考全国Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1 是最小值,x6 是最大值,则下列说

法正确的是 ( )

A.x2,x3,x4,x5 的平均数等于x1,x2,…,x6 的平均数

B.x2,x3,x4,x5 的中位数等于x1,x2,…,x6 的中位数

C.x2,x3,x4,x5 的标准差不小于x1,x2,…,x6 的标准差

D.x2,x3,x4,x5 的极差不大于x1,x2,…,x6 的极差

Z

%

& 0 ' Y

10.(2023·汕头市模拟)如图所示,函数f(x)= 3tan(2x+φ)|φ|<

π 2 的部分图

象与坐标轴分别交于点D,E,F,且△DEF 的面积为

π

4

,以下结论正确的是

( )

A.点D 的纵坐标为 3

B.-

π

3

,

π 6 是f(x)的一个单调递增区间

C.对任意k∈Z,点 -

π

12

+

kπ

4 ,0 (k∈Z)都是f(x)图象的对称中心

D.f(x)的图象可由y= 3tanx 图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍,纵坐标不变,再把得到的

图象向左平移

π

6

个单位得到

11.(2023·吉林省东北师大附中模拟)定义在 R 上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈

[0,3]时,f(x)=x

2-3x,则下列结论正确的是 ( )

A.f(x+6)=f(x) B.x∈[-6,-3]时,f(x)=x

2-3x-6

C.f(2021)+f(2023)=f(2022) D.∑

2023

k=1f(k)=2

\" #

% $

1

\" #

$

%

12.(2023· 黑 龙 江 省 实 验 中 学 模 拟 )如 图,在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为棱BB1 的中点,Q 为正方形BB1C1C 内一动点(含边界),

则下列说法中正确的是 ( )

A.直线AC1⊥平面A1BD

B.棱CC1 与平面A1BD 所成角的正切值为 2

C.若D1Q∥平面A1PD,则动点Q 的轨迹是一条线段

D.若D1Q=

6

2

,那么Q 点的轨迹长度为

2

4

π

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(2023·辽宁省名校联盟质量检测)某容器内液体的高度h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关

系式为h(t)=t

3+2t,则当t=1时,液体高度的瞬时变化率为 cm/s.

14.(2023·揭阳市联考)把7个相同的小球放入编号分别为1,2,3的3个盒子中,使每个盒子中至少

有1个小球.记不同的放入方法数为n,则

1

x -5 (x+1)n 的展开式中,x 项的系数为 .

15.(2023·山西省省际名校联考)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈

N

* ,则{an}的通项公式是an= .

16.(2023·梧州市模拟)过四点(-1,0),(2,1),(2,3),(2,- 3)中的三点的双曲线方程为C,则C

的渐近线方程为 .

参考答案 61

参 考 答 案

考卷Ⅰ 小题标准练

标准练01

1.B ∵集合A={x|0<x<3},集合B={x|0<log2x<1}=

{x|1<x<2},∴A∩B={x|1<x<2}.故选 B.

2.D 复数z 满足(z+i)i=1+z,z=

2

i-1

=

2(i+1)

(i-1)(i+1)=

2i+2

-2

=-1-i,对应点为(-1,-1),在第四象限.故选 D.

3.B 因为8×15%=1.2,根据百分位数的定义可知,该数据

的15%分位数为从小到大排列的第2个数据70.故选 B.

4.B 由tanα+

π 4 =3,得tanα+

π 4 =

tanα+tan

π

4

1-tanαtan

π

4

=

tanα+1

1-tanα

=3,解得tanα=

1

2

.故选 B.

5.C 4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞

社团共有 A

4

4=24种,其中甲进街舞社团,乙进书法社团或

摄影社团有 C

1

2 ·A

2

2 =4种,由古典概型的概率计算公式可

得,按学校规定每人只能加入一个社团,则甲进街舞社团,乙

进书法社团或摄影社团的概率为P=

4

24

=

1

6

,故选 C.

6.A 当 x<0 时,f x =3x-ln -x ,则 f' x =3-

1

x

>0,∴f x 在 -∞,0 上单调递增,BD 错误;当x>0

时,f x =3x-lnx,则f' x =3-

1

x

=

3x-1

x

,∴当x∈

0,

1 3 时,f' x <0;当 x∈

1

3 ,+∞ 时,f' x >0;

∴f x 在 0,

1 3 上单调递减,在

1

3 ,+∞ 上单调递增,C

错误,A 正确.故选 A.

7.D 设 f x =

lnx

x

,则 f' x =

1-lnx

x

2 ,当 0<x<e时,

f' x >0,此时f x 单调递增;当x>e时,f' x <0,此

时f x 单 调 递 减,所 以 f x max =f e =

1

e

,所 以

f 2 =

ln2

2

<

1

e

,且f 3 =

ln3

3

<

1

e

,即b<a,且c<a,又

ln8<ln9,则ln2

3<ln3

2,即3ln2<2ln3,即

ln2

2

<

ln3

3

,即b<c,

故b<c<a,故选 D.

8.D 设圆台上下底面的半径分别为r1,r2,由题意可知

1

3

×

2π×3=2πr1,解得r1=1,

1

3

×2π×6=2πr2,解得r2=2,作

出圆台的轴截面,如图所示:

\" 5 0
1

I

% 0 2

图中OD=r1=1,O'A=r2=2,AD=6-3=3,

过点 D 向AP 作垂线,垂足为T,则AT=r2-r1=1,

所以圆台的高h=DT= AD

2-AT

2 = 3

2-1=2 2,

则上底面面积S1=π×1

2=π,S2=π×2

2=4π,由圆台的体

积计算公式可得:

V=

1

3

× (S1 +S2 + S1·S2 )×h=

1

3

×7π×2 2=

14 2π

3

,故选 D.

9.ACD 正数x,y满足x+y=2,则xy≤

x+y 2

2

=1,当且仅

当x=y=1时取等号,A正确;x

2+y

2=

(x+y)2+(x-y)2

2

≥

1

2

(x+y)2=2,当且仅当x=y=1时取等号,B错误;因(x+

y)2=x+y+2 xy≤2(x+y)=4,则 x+ y≤2,当且仅当

x=y=1时取等号,C 正确;依题意,

1

x

+

4

y

=

1

2

(x+y)

1

x

+

4 y =

1

2

5+

y

x

+

4x y ≥

9

2

,当且仅当

y

x

=

4x

y

,即x=

2

3

,y=

4

3

时取等号,D正确.故选 ACD.

10.AD a∥α,则平面α 内存在直线l与直线a 平行,a⊥β则l

⊥β,可得α⊥β,A 正确;若α⊥β,则平面α 内存在直线与平

面β垂直,但不是任意一条直线均与平面β 垂直,B 不正

确;根据面面平行的判定定理要求直线a,b 异面,C 不正

确;α⊥β,则平面α 内存在直线l与平面β 垂直,a⊥β,a⊄

α,则l∥a,a∥α,D正确.故选 AD.

11.BC 设∠1=∠2=∠3=α,最大正方形的边长为1,小正方

形A,B,C,D 的 边 长 分 别 为a,b,c,d.∵a=cos

2α,b=

sinαcosα,c=sinαcosα,d=sin

2α,SA +SD =sin

4α+cos

4α≥

2sin

2αcos

2α,SB =SC =sin

2αcos

2α,SA +SD ≥2SB ,C正确;

SASD = sin

4αsin

4α,SBSC = sin

4αsin

4α,所 以 SASD =

SBSC ,B正确,故选 BC.

12.BC 设f(x)=Asin(ωx+φ),则f'(x)=Aωcos(ωx+φ),

由题意得f 2π =f' 2π ,即 Asinφ=Aωcosφ,故tanφ=

ω,因为 φ <

π

3

,所以tanφ=ω< 3,由ω∈N

* ,则ω=1,

φ=

π

4

,A 错 误;因 为 破 碎 的 涌 潮 的 波 谷 为 -4,所 以

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

62 题型特训 数学

f' x 的最 小 值 为 -4,即 -Aω= -4,得 A =4,所 以

f x =4sin x+

π 4 ,则 f

π 3 = 4sin

π

3

+

π 4 =

4sin

π

3

cos

π

4

+cos

π

3

sin

π 4 =4

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2 2 =

6+ 2,B 正 确;因 为 f x =4sin x+

π 4 ,所 以

f' x =4cosx+

π 4 ,所 以 f' x+

π 4 = -4sinx 为 奇

函数,C 正确;f' x =4cos x+

π 4 ,由 -

π

3

<x<0,得

-

π

12

<x+

π

4

<

π

4

,因为函数y=4cosx 在 -

π

12 ,0 上单

调 递 增,在 0,

π 4 上 单 调 递 减,所 以 f' x 在 区 间

-

π

3 ,0 上不单调,D错误,故选 BC.

13.-5376 因 为 2 x1 x

9

的 展 开 式 通 项 为 Tk+1 =

C

k

9 2 x

9-k -

1 x

k

= -1

k2

9-kC

k

9x

9-3k

2 ,当

9-3k

2

=

0,即k=3时,T4 为常数项,此时 T4= -1

3×2

6C

3

9x

0=

-64×

9×8×7

3×2×1

=-5376.

14. -1,-2 (答案不 唯 一) 根 据 题 意 可 得:OA

→= 1,2 ,

OB

→= 3,-1 ,设 m= x,y ,因为向量 m∥OA

→,且 m 与

OB

→的夹角为钝角,所以

1·y=2·x,

3·x+(-1)·y<0,

3·y≠ (-1)·x,

?

?

?

??

??

所以x<0,

不妨令x=-1,所以y=-2,m= -1,-2 .

15.2 由题意,得

1

an+1

-

1

an

=2,则an-1-an =2an-1an(n≥2,n∈

N

* ),即an-1an =

an-1

2

-

an

2

,所 以

a1-an

a1a2+a2a3+…+an-1an

=

a1-an

a1

2

-

a2

2

+

a2

2

-

a3

2

+…+

an-1

2

-

an

2

=2·

a1-an

a1-an

=2.

16. x-1

2 + y-1

2 =4(答 案 不 唯 一 ) 过 -1,1 ,

1,-1 , 3,1 时,设 圆 的 方 程 为 x

2 +y

2 +Dx+Ey+

F=0,则

2-D+E+F=0,

2+D-E+F=0,

10+3D+E+F=0,

?

?

?

??

??

解 得

D=-2,

E=-2,

F=-2,

?

?

?

??

??

圆 的 方 程

是:x

2+y

2-2x-2y-2=0,即 x-1

2 + y-1

2 =4;

同 理 可 得:过 1,-1 、 2,2 、 3,1 时,圆 的 方 程 是:

x3 2

2

+ y1 2

2

=

5

2

;过 -1,1 , 1,-1 ,

2,2 时,圆 的 方 程 是:x3 4

2

+ y3 4

2

=

25

8

;过

-1,1 , 2,2 , 3,1 时,圆的方程是: x-1

2+y

2=5.

标准练02

1.B 由题log2 2-x <2,则0<2-x<4,得-2<x<2,所

以A= x∈R -2<x<2 ,A∩B= x∈R -2<x<2 ∩

-1,0,1,2,3 = -1,0,1 ,所以 A∩B 真子集的个数为

2

3-1=7.故选 B.

2.A 因为z=

2+i

1-2i

=

2+i 1+2i

1-2i 1+2i

=

5i

5

=i,故z?=-i,因

此,z?的虚部为-1.故选 A.

3.C 圆 C: x-1

2 + y-1

2 =1的圆心为 1,1 ,半径为

1,若直线y=kx,即kx-y=0与圆 C 相切,则

k-1

k

2+1

=

1,解得k=0.所以“k=0”是“直线l与圆C 相切”的充要条

件.故选 C.

4.D ∵向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a+2b|=3,

∴|a+2b|

2=|a|

2+4a·b+4|b|

2=1+16+4a·b=9,

∴4a·b=-8,∴|2a-b|

2=4|a|

2 -4a·b+|b|

2 =4+8

+4=16,∴ 2a-b =4,故选 D.

5.D 根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×

400

600

=40

人,高中部共抽取60×

200

600

=20人,根据组合数定义和分步

计数原理则不同的抽样结果共有 C

40

400·C

20

200 种.故选 D.

6.B 由题意得

S5

S10

=

1

3

,得

a3

a5+a6

=

1

3

,即a1 =3d.那么

S5

S20

=

5a3

10 a10+a11

=

a1+2d

2 2a1+19d

=

1

10

.故选 B.

7.A 由题意,

f(0)=1, f(1)=2.5,

则

1+3

b =10,

1+3

k+b =4,

解得b=2,k=-1,

∴f(x)=

10

1+3

-x+2.由函数解析式知,f(x)在[0,+∞)上单

调递增,而f(3)=

10

1+3

-1 =

30

4

=7.5<8,f(4)=

10

1+3

-2 =

9>8,∴该果树的高度超过8m,至少需要4年.故选 A.

8.B 如图1,

\"

# % $

0

4

0

0



设正三棱锥S-ABC 的底面外接圆的圆心为O1,外接球的球

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

参考答案 63

心为O,D 为BC 的中点,△SAB 的外接圆的圆心为O2,所

以在正三棱锥S-ABC 中有:SO1 ⊥平面 ABC,OO2 ⊥平面

SAB,因为△ABC 为等边三角形,所以 O1 为 △ABC 的重

心,且△ABC 边 长 为 3,所 以 AO1 =BO1 =

2

3

AD =

2

3

×

sin60°×3=

2

3

×

3

2

×3= 3,因为SO1⊥平面ABC,BO1⊂

平面ABC,所以SO1 ⊥BO1,所以在 Rt△SBO1 中,SO1 =

SB

2-BO

2

1 = 2 3

2- 3

2 =3,设 BO=SO=R⇒

O1O=SO1 -SO =3-R,所 以 在 Rt△BOO1 中,BO

2 =

OO

2

1+BO

2

1⇔R

2= 3-R

2+ 3

2,所以R=2,在△SAB

中,cos∠ASB=

AS

2+BS

2-AB

2

2AS·BS

=

23

2+ 23

2-3

2

2×23×23

=

5

8

,所以sin∠ASB= 1-cos

2∠ASB= 1-

5 8

2

=

39

8

,

由正弦 定 理 得:

AB

sin∠ASB

=2SO2 ⇒SO2 =

1

2

×

3

39

8

=

4 39

13

,又OO2⊥平面SAB,SO2⊂平面SAB,所以 OO2⊥

SO2,所 以 在 Rt△SOO2 中,OO2 = SO

2-SO

2

2 =

2

2-

4 39 13

2

=

2 13

13

,由图2:

\" #

4

0

1

0



当P,O,O2 共线时,点 P 到平面SAB 的距离有最大值为:

R+OO2=

2 13

13

+2=

2 13+26

13

,故选 B.

9.AC 因为幂函数y=x

1

6 在 0,+∞ 上为增函数,所以10

1

6 <

16

1

6 <64

1

6 =2,又16

1

6 = 4

2

1

6 =4

1

3 ,所以10

1

6 <4

1

3 <2,即

b<a<2;因为对数函数y=log5x 在 0,+∞ 上为增函数,

所以c=log550>log525=2;所以c>2>a,b<a,故 AC 正

确.故选 AC.

10.BCD 对 于 A,当 x ∈ -

π

2 ,0 ,则 2x +

π

3

∈

-

2π

3

,

π 3 ,因为y=sinx 在 -

2π

3

,

π 3 先单调递减,后

单调递增,所以 -

π

2 ,0 不是f(x)的增区间,A 错误;对

于 B,令2x+

π

3

=kπ,k∈Z,解得x=-

π

6

+

kπ

2

,k∈Z,所

以f(x)的零点为x=-

π

6

+

kπ

2

,k∈Z,当k=0时,x=

-

π

6

∉[0,π];当k=1时,x=

π

3

∈[0,π];当k=2时,x=

5π

6

∈[0,π];当k=3时,x=

4π

3

∉[0,π],所以f(x)在区间

[0,π]有 两 个 零 点,B 正 确;对 于 C,令 x =

π

12

,则

sin 2×

π

12

+

π

3 =sin

π

2

=1,所以直线x=

π

12

是曲线y=

f(x)的对称轴,C正确;对于D,由f(x)=2sin2x+

π 3 可得

f'(x)=4cos2x+

π 3 ,令f'(x)=4cos2x+

π 3 =4,即2x

+

π

3

=2k1π,k1∈Z,解得x=-

π

6

+k1π,k1∈Z,当k1=0时,

x=-

π

6

,代入f(x)可 得 f -

π 6 =0,所 以 f(x)在 点

-

π

6 ,0 处的切线为y=4x+

π 6 ,化简得y=4x+

2π

3

,D

正确,故选BCD.

11.ABD 设实际比赛局数为 X,则 X 的可能取值为3,4,5,所以

P X=3 =p

3 + 1-p

3,P X=4 = C

1

3p

3 1-p +

C

1

3p 1-p

3,P X=5 =C

2

4p

2 1-p

2,因此三局就结束

比 赛 的 概 率 为 p

3 + 1-p

3,A 正 确;故 f p =

3 p

3+ 1-p

3 +4 C

1

3p

3 1-p +C

1

3p 1-p

3 +

5×C

2

4p

2 1-p

2=6p

4-12p

3+3p

2+3p+3,由f 0 =3

知常数项为3,B正确;由f

1 2 =6×

1

16

-12×

1

8

+3×

1

4

+

3

2

+3=

33

8

,D正确;由f' p =24p

3-36p

2+6p+3

=3 2p-1 4p

2 -4p-1 ,∵0≤p≤1,所以4p

2-4p-1

=(2p-1)2 -2<0,∴ 令 f' p >0,则 0≤p<

1

2

;令

f' p <0,则

1

2

<p≤1,则函数f p 在 0,

1 2 上单调递

增,C不正确.故选 ABD.

12.ABC 由题意可设lMP :y=kx+m,联立

y=kx+m,

y

2 =4x,

可

得:k

2x

2+ 2km-4 x+m

2 =0.因为直线 MP 与抛物线

相切,所 以 Δ= 2km-4

2 -4k

2m

2 =0,即km =1,所 以

xP =m

2,故 P m

2,2m ,设 Q x0,y0 ,则由几何性质可

知 O、Q 两 点 关 于 直 线lMF :y = -mx +m 对 称,则

y0

x0

·

m-0

0-1

=-1,

y0

2

=-m·

x0

2

+m,

?

?

?

??

??

解得:

x0=

2m

2

m

2+1

,

y0=

2m

m

2+1

,

?

?

?

??

??

故 Q

2m

2

m

2+1

,

2m

m

2 +1 ,对 于 A,MP

→ = m

2,m ,OQ

→ =

2m

2

m

2+1

,

2m

m

2 +1 =

2

m

2+1

MP

→,显然 MP∥OQ,A 正确;对

于 B,MF

→= 1,-m ,MF

→·MP

→=0,即 MP ⊥MF,B 正

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

64 题型特训 数学

确;对于 C,FQ

→=

m

2-1

m

2+1

,

2m

m

2 +1 ,FP

→= m

2 -1,2m =

m

2 +1 FQ

→,所以P,Q,F 三点共线,C正确;对于 D,由几

何性质易知 M、O、F、Q 四点共圆,且直径为 MF,OQ 为该

圆一条弦,点 Q 随 M 而 动,不 一 定 为 直 径,D 错 误.故 选

ABC.

13.120 x-y

3 中含y

2 的项为 C

2

3x(-y)2, 2+x

5 中含

x

3 的项为 C

3

52

2x

3, 2+x

5 x-y

3 的展开式中含x

4y

2

的项为 C

2

3x(-y)2C

3

52

2x

3=120x

4y

2,其系数为120.

14.3 设直线y=-2x+

2

3

与曲线y=

1

3

x

3 -ax 相切于点

x0,

1

3

x

3 0-ax0 ,由 y =

1

3

x

3 -ax 得:y'=x

2 -a,

∴x

2

0-a=-2,∴a=x

2

0 +2,又

1

3

x

3

0 -ax0 =-2x0 +

2

3

,

∴

1

3

x

3

0-x0 x

2 0+2 =-2x0+

2

3

,解得:x0=-1,∴a=

1+2=3.

15.3 由 对 称 性 可 知: BF2 = AF1 ,故 AF1 =

2 AF2 ,由双曲线定义可知: AF1 - AF2 =2a,即

2 AF2 - AF2 = AF2 =2a,所以 AF1 =4a,又因

为 F1F2 = 2c,在 △AF1F2 中,由 余 弦 定 理 得:

cos∠F1AF2 =

F1A

2+ F2A

2- F1F2

2

2 F1A · F2A

=

1

2

,即

16a

2+4a

2-4c

2

2×4a×2a

=

20a

2-4c

2

16a

2 =

1

2

,解得:c= 3a,故离心

率为

c

a

= 3.

16.1344 ∵Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n∈N

* 且n≥2),∴Sn+1-Sn

=Sn -Sn-1+2,即bn+1=bn +2,∴数列 bn 通项公式为

bn =3+2(n-2)=2n-1(n∈N

* 且n≥2),观察表中各行

规律可知,第n 行的最后一项是数列 an 的第2

n -1项,

∵2

7-1=127,∴a130 在表中第8行第3列,∵b8 =a128 =

2×8-1=15,且a128+2d=a130,∴公差d=2;∴第6行共

有32个元素,则第6行所有项的和为11×32+

32×31

2

×2

=1344.

标准练03

1.C 集合 A= x∈N

* -1≤x≤2 = 1,2 ,又集合 B=

1,2,3 ,所以A∪B= 1,2,3 .故选 C.

2.C 由题意,复数z 满足1+zi=2i,可得z=

-1+2i

i

=2+i,

所以 z = 2

2+1

2 = 5.故选 C.

3.B 由a1+a2n-1=4n-6,令n=1,则a1+a1=4-6=-2,

则a1=-1,令n=4,则a1+a7=4×4-6=10,则a7=11.

故选 B.

4.A 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为2,所以,四

面体 A1BDC1 是棱长为2 2的正四面体,当正四面体的各

条棱都与同一球面相切时,该球为正方体的内切球,半径为

1,所以,该球的体积为

4π

3

,因为正四面体的体积为 8-4×

1

3

×

1

2

×2×2×2=8-

16

3

=

8

3

,所以,该球与此正四面体

的体积之比为

4π

3

8

3

=

π

2

.故选 A.

\" #

% $

\"

#

$

%

5.D 渐近线方程为:y=±

b

a

x,由于 P 点在第二象限,选用

y= -

b

a

x,将 P 点 坐 标 代 入 得:3 = -

b

a

× -2 ,

∴b=

3

2

a,又∵c

2=a

2+b

2,∴c

2 =a

2 +

3

4

a

2 =

7

4

a

2,e

2 =

c

2

a

2 =

7

4

,e=

7

2

,故选 D.

6.A 由题意知,函数f(x)=x+

ln|x|

x

,满足f(-x)=-x+

ln|-x|

-x

=- x+

ln|x| x =-f(x),所以函数y=f(x)为

奇函数,图象关于原点对称,B错误;又因为f(1)=1>0,C

错误;f(2)=2+

ln2

2

>0,D错误.故选 A.

7.B 由题意,设一开始锶90质量为1,则每年的剩余量构成

以1-2.47%=97.53%为公比的等比数列,则经过800年

锶90剩余质量为a=1×(97.53%)800=(97.53%)800,两边

取常用 对 数 可 得:lga=lg(97.53%)800 =800lg0.9753=

800×(-0.01086)=-8.688,所以a=10

-8.688 =

1

10

8.688 =

1

10

6.688 %≈

1

10

7 %,故选 B.

8.B 函数f x =2sin 2x+φ φ <

π 2 的图象向左平移

π

6

个单位长度后,所得函数的解析式为y=2sin2x+

π

3 +φ ,

因为所得函数为奇函数,所以

π

3

+φ=kπ,k∈Z,因为 φ <

π

2

,所以φ=-

π

3

,所以f x =2sin 2xπ 3 =sin2x3cos2x,f(x)+g x =sin2x+cos2x= 2sin 2x+

π 4 ,

因为x∈ 0,π ,所以2x+

π

4

∈

π

4

,

9π 4 ,由f(x)+g(x)

= 2sin2x+

π 4 =-

1

2

,可得sin 2x+

π 4 =-

2

4

,所以

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

参考答案 65

2α+

π

4

+2β+

π

4

=

3π

2

×2=3π,且sin2β+

π 4 =-

2

4

,则α+

β=

5π

4

,所以cos(α-β)=cos

5π

4 -2β =-sin

π

4 +2β =

2

4

.故选 B.

9.AB 根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,A 正

确;若按分层随机抽样,则抽得的男女人数应分别为4人,3

人,所以这次抽样不可能是按性别分层随机抽样,B正确;若

按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概

率均相等,C,D错误.故选 AB.

10.ACD 由 题 意 f x+1 为 奇 函 数 得 f -x+1 =

-f x+1 ,即f -x +f x+2 =0,故f x 的图象

关于 1,0 中 心 对 称,A 正 确;由 f -x =f x ,

f -x + f x+2 = 0 得 f x = - f 2+x ,

∴f x+2 = -f x ,所 以 f x+4 = -f x+2 =

f x ,即 f x 是 周 期 为 4 的 函 数,B 错 误;由

f -x+1 =-f x+1 ,令x=0,则f 1 =-f 1 ,

∴f(1)=0,故f(-1)=f(1)=0,C 正确;x∈ 0,1 时,

f(x)=x

2,∵f x 的周期为 4,∴f

7 2 =f -

1 2 =

f

1 2 =

1

4

,D正确.故选 ACD.

11.ACD 对 于 A:因 为a

2 +b

2 ≥2ab,b

2 +4c

2 ≥4bc,4c

2 +

a

2≥4ca,所以2 a

2+b

2+4c

2 ≥2 ab+2bc+2ca ,当且

仅当a=b=2c=

3

3

时,等号成立,又a

2 +b

2 +4c

2 =1,所

以ab+2bc+2ca≤1,A 正确;对于B:若a=b=c,则6a

2=

1,因为a 为正数,所以a=

6

6

,B错误;对于 C:由a

2+b

2+

4c

2=1,且c为正数,得a

2+b

2<1,则2ab<1,即ab<

1

2

,

C 正 确;对 于 D:

1

a

2 +

1

b

2 +

1

4c

2 =

1

a

2 +

1

b

2 +

1

4c

2

a

2+b

2+4c

2 =3+

b

2

a

2 +

a

2

b

2 +

4c

2

a

2 +

a

2

4c

2 +

4c

2

b

2 +

b

2

4c

2 ≥3+

2+2+2=9,当且仅当a=b=2c=

3

3

时,等号成立,所以

1

a

2 +

1

b

2 +

1

4c

2 ≥9,D正确.故选 ACD.

12.ABD 依题意,2

2=2p,解得p=2,即抛物线 W:y

2 =4x,

焦点F(1,0),准线方程为:x=-1,直线l1,l2 与坐标轴不

垂直,因为l1⊥l2,AM⊥l1,AN ⊥l2,则四边形 AMFN 为

矩形,有4=|AF|

2=|MF|

2+|MA|

2≥2|MF|·|MA|,

当且仅当|MF|=|MA|= 2时取等号,SAMFN =|MF|·

|MA|≤2,即四边形AMFN 面积的最大值为2,A 正确;因

为(|MF|+|MA|)2 =2(|MF|

2 +|MA|

2)-(|MF|-

|MA|)2≤8,则|MF|+|MA|≤2 2,当且仅当|MF|=

|MA|= 2时取等号,因此四边形AMFN 周长2(|MF|+

|MA|)的最大值为4 2,B正确;

$

Y

&

'

.

\"

Z

/ %

0

#

M

M

设直线l1 方程为:x=ty+1,t≠0,B(x1,y1),C(x2,y2),

由

x=ty+1,

y

2 =4x,

消去x 得:y

2-4ty-4=0,则y1 +y2 =4t,

|BC|=|BF|+|CF|=x1+1+x2+1=t(y1+y2)+4=

4(t

2+1),同理|DE|=4

1

t 2 +1 ,因此

1

BC

+

1

DE

=

1

4(t

2+1)

+

1

4(

1

t

2 +1)

=

1

4(t

2+1)

+

t

2

4(t

2+1)

=

1

4

,C错误;

四边形 BDCE 面积SBDCE =

1

2

|BC|·|DE|=8(t

2 +1)

1

t 2 +1 =8 2+t

2+

1

t 2 ≥8 2+2 t

2·

1

t 2 =32,当且

仅当t=±1时取等号,所以四边形 BDCE 面积的最小值

为32,D正确.故选 ABD.

13.12 x?=

1+3+4+5+7

5

=4,y?=

15+20+30+40+45

5

=

30,可得样本中心点 4,30 ,由经验回归方程^y=4.5x+a

过点 4,30 ,可得30=4.5×4+a,所以a=12.

14.3 以AB 中点为原点,AB 边所在的直线为x 轴,AB 边的

垂直 平 分 线 为y 轴,建 立 直 角 坐 标 系,则 A (-1,0),

B(1,0),C 0,3 ,AC 中点N -

1

2

,

3 2 .

$

/

\" #

.

Z

0 Y

设 M (x,y)(0≤y≤ 3),则 AM

→ = (x+1,y),NM

→ =

x+

1

2

,y3 2 ,

AM

→·NM

→=(x+1)x+

1 2 + y3 2 y.

∵M(x,y)在直线BC:x+

3

3

y-1=0上,∴x=1-

3

3

y,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

66 题型特训 数学

∴AM

→ · NM

→ = 2-

3

3 y 3

2

-

3

3 y + y3 2 y =

4

3

y

2-

5 3

3

y+3,

∵0≤y≤ 3,∴当y=0时,AM

→·NM

→的最大值为3.

15.(-2,0) 由 题 意 知,-3=3f(2)=f(8),f(x+2)+

f(x+4)=f(x

2+6x+8),f x+2 +f x+4 >-3,

∴

f x

2 +6x+8 >f 8 ,

x+2>0,

x+4>0,

?

?

?

??

??

即

x

2+6x+8<8, x>-2,

解得-2<

x<0,所以不 等 式 f(x+2)+f(x+4)> -3 的 解 集 为

(-2,0).

16.

2 3

3

[方法一]:【最优解】边化角

因为bsinC+csinB=4asinBsinC,由正弦定理得sinBsinC

+sinCsinB=4sinAsinBsinC,因为sinBsinC≠0,所以sinA

=

1

2

.又因为b

2 +c

2 -a

2 =8,由余弦定理a

2 =b

2 +c

2 -

2bccosA,可得2bccosA=8,所以cosA>0,即A 为锐角,且

cosA=

3

2

,从而求得bc=

8 3

3

,所以△ABC 的面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

8 3

3

×

1

2

=

2 3

3

.

[方法二]:角化边

因为bsinC+csinB=4asinBsinC,由正弦定理得bc+bc=

4absinC,即c=2asinC,又

c

sinC

=

a

sinA

,所以,sinA=

1

2

.又

因为b

2+c

2-a

2=8,

由余弦定理a

2=b

2+c

2-2bccosA,可得2bccosA=8,

所以cosA>0,即A 为锐角,且cosA=

3

2

,从而求得bc=

8 3

3

,

所以△ABC 的 面 积 为S=

1

2

bcsinA =

1

2

×

8 3

3

×

1

2

=

2 3

3

.

标准练04

1.A 由题意知B={y|y=2

x ,x∈R}={y|y>0},则A∪B=

[-1,+∞),由图可知阴影部分所对应的集合为∁U (A∪B)

=(-∞,-1).故选 A.

2.C 根据 题 意 2an+1 =an +an+2,可 得 数 列 an 为 等 差 数

列,所以S9=9a5=18,所以a5=2.故选 C.

3.A 设被抽取参与调研的乙村村民有x 人,则根据分层抽样

按两 村 人 口 比 例,甲 村 被 抽 取 参 与 调 研 的 有 3x 人,所 以

3x-x=8,即x=4,所以参加调研的总人数x+3x=16.故

选 A.

4.C 因为函数f x 的图象在点 2,f 2 处的切线方程是

x-2y+1=0,所 以 f'(2)=

1

2

,f(2)=

3

2

,由 h x =

f x

x

,得h'(x)=

f'(x)x-f(x)

x

2 ,所以h' 2 =

1-

3

2

4

=

-

1

8

.故选 C.

5.C 设圆锥底面半径为r,则2πr=

1

2

×2π×1=π,解得:r=

1

2

,∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形,∴此正三角形

内切圆 的 半 径 为

1

3

× 1-r

2 =

3

6

,即 圆 锥 内 切 球 半 径

R=

3

6

,∴圆锥内切球的表面积S=4πR

2=4π×

1

12

=

π

3

.故

选 C.

6.A 由 题 知 圆 心 为 C 1,2 ,半 径 为r=a,所 以,圆 心 C

1,2 到直线l:y=x 的 距 离 为d=

1

2

=

2

2

,所 以,弦 长

AB =2 r

2-d

2 =2 a

2-

1

2

=a,即3a

2-2=0,解得

a=

6

3

,所以△ABC 的面积为S=

1

2

AB d=

1

2

×

6

3

×

2

2

=

3

6

.故选 A.

7.D y=-x

2+2x+1的图象开口向下,对称轴是直线x=1,所

以函数y=-x

2+2x+1在 -∞,1 上单调递增,依题意知,

f x 在R上单调递增,所以

a>1,

a

1-1≥-1

2 +2×1+1,

解得a≥

3,所以a的取值范围是 3,+∞ .故选D.

8.C 因 为 过 F1 作 直 线 与 椭 圆 相 交 于 A,B 两 点,若

AF1 =2 BF1 且 BF2 = AB ,设 BF1 = x,

AF1 =2 BF1 =2x,BF2 = AB =3x,由椭圆的定

义知: BF1 + BF2 =x +3x =2a,解 得:x =

a

2

,

AF1 + AF2 =2a⇒ AF2 =2a-2·

a

2

=a,所 以

AF2 = AF1 =a,BF1 =

a

2

,BF2 =

3a

2

,AB =

3a

2

,所以cos∠F1AF2 =

AF1

2+ AF2

2- F1F2

2

2 AF1 · AF2

=

AB

2+ AF2

2- BF2

2

2 AB · AF2

,则

a

2+a

2-4c

2

2a·a

=

3a 2

2

+a

2-

3a 2

2

2·

3a

2

·a

,则

a

2-2c

2

a

2 =

1

3

,e=

c

a

=

3

3

.故选 C.

9.AC 对于 A,根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根

公式知,两 个 虚 数 根 互 为 共 轭 复 数,所 以 1-2i是 ax

2 +

bx+c=0 a,b,c∈R 的根,则该方程的另一个根必是1+

2i,A 正确;对于 B,设z1=OZ1

→,z2 =OZ2

→,由向量加法几何

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

参考答案 67

意义可知:OZ1

→+OZ2

→ ≤ OZ1

→ + OZ2

→ ,B 错 误;对 于

C,令z1=a+bi a,b∈R ,z2=c+di c,d∈R ,

则z1·z2= a+bi c+di = ac-bd + bc+ad i,

故 z1·z2 = ac-bd

2+ bc+ad

2 =

ac

2+ ad

2+ bc

2+ bd

2 ,

z1 · z2 = a

2+b

2 · c

2+d

2 =

a

2+b

2 c

2+d

2 = ac

2+ ad

2+ bc

2+ bd

2 ,

∴ z1·z2 = z1 · z2 ,C 正 确;对 于 D,∵a-1+

b-1 i>0,∴b-1=0,a-1>0,即b=1,a>1,则a-1+

sinb

a

=a+

sin1

a

-1,根据对勾函数知识a>1时a+

sin1

a

-1

单调递增,所以a+

sin1

a

-1>sin1,D错误.故选 AC.

10.AC 对于 A:对于直线l1:x+ 1+m y=2-m 与直线

l2:mx+2y+8=0:若 m=1,则l1:x+2y=1与l2:x+

2y+8=0平行.故充分性满足;若直线l1:x+ 1+m y=

2-m 与 直 线 l2:mx + 2y + 8 = 0 平 行, 则

1×2= 1+m m, 8 1+m ≠2× m-2 ,

解得:m =1.故 必 要 性 满 足.所

以“直线l1:x+ 1+m y=2-m 与直线l2:mx+2y+8=

0平行”的充要条件是“m=1”成立.A 正确;对于 B:样本相

关系数r的统计学意义:|r|越大,表明两个变量的线性相

关程度越强.B错误;对于 C:由独立性检验的过程及意义

可知,说 法 正 确.C 正 确;对于 D:由残差的计算可得:2-

(2r+^a)=s- 2×2+^a ,解得:s=-2r+6.D错误.故选 AC.

11.AC 因 为 f -x = sin -ωx+

π 3 = sin

π

2

-

ωx+

π 6 =cos ωx+

π 6 ,由 题 意,所 以 f(-x)=

g(x),即cosωx+

π 6 =cos 2x+θ ,所以ω=2,θ 的值

不 可 以 是

π

3

,所 以 f x = sin 2x+

π 3 ,当 x ∈

π

12

,

π 2 时,

π

2

≤2x+

π

3

≤

4π

3

,由正弦函数的单调性知函

数f(x)在

π

12

,

π 2 单调递减;将y=f x 的图象向右平

移

π

6

个单位长度可得y=sin 2 xπ 6 +

π 3 =sin2x,

得不到g(x)的图象.故选 AC.

12.BCD 对于 A,只有当直线过焦点 F 时,根据抛物线性质

得 AB = AF + BF =

p

2

+x1 +

p

2

+x2 =2+

x1+x2=8,此 题 不 一 定 过 焦 点 F,A 错 误.对 于 B,

AF + BF =3,根据抛物线性质得:AF + BF =

p

2

+x1+

p

2

+x2=2+x1 +x2 =3,即x1 +x2 =1,设 AB

中点横坐标为x0,则x0 =

1

2

x1+x2 =

1

2

,则线段 AB

的中点到y 轴的距离为

1

2

,B正确;对于 C,若△FAB 是以

F 为直角顶点的等腰三角形,则|FA|=|FB|,且FA

→·FB

→

=0,又|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴x1=x2,由抛物线

的对称性知y1=-y2,∴FA

→·FB

→=(x1 -1,y1)·(x2 -

1,y2)=(x1-1)2-y

2

1=x

2

1 -2x1+1-4x1=x

2

1 -6x1+1

=0,解得x1=3±2 2,∴|FA|=x1+1=4±2 2,|AB|

= 2|FA|=4 2±4,C 正确;对于 D,若 AF

→=2FB

→,则直

线AB 过点F,可设AB 的方程为y=k(x-1),代入y

2=

4x,得ky

2-4y-4k=0,∴y1+y2=

4

k

①,y1y2=-4②,

∵AF

→=2FB

→,∴(1-x1,-y1)=2(x2 -1,y2),∴-y1 =

2y2③,解①②③得,k=±2 2,D正确.故选 BCD.

13.-

16

25

∵(sin

α

2

+cos

α

2

)2=1+2sin

α

2

cos

α

2

=1+sinα,

sin

α

2

+cos

α

2

=

3

5

,∴

9

25

=1+sinα,解得:sinα=-

16

25

.

14.5(答案不唯一,只要不小于

9

2

即可) 因为a+ 4-a =

4,所 以

2

a

+

8

4-a

=

1

4

a+ 4-a

2

a

+

8 4-a =

1

4

2 4-a

a

+

8a

4-a +10 .因为 0<a<4,所 以

2 4-a

a

>0,

8a

4-a

>0,所 以

2 4-a

a

+

8a

4-a

≥8,当 且 仅 当

2 4-a

a

=

8a

4-a

,即a=

4

3

时,等号 成 立,则

2

a

+

8

4-a

≥

1

4

× 8+10 =

9

2

.

15.

14

9

如图,建立直角坐标系 xCy,则 D(0,1),E 2,

2 3 ,

F 1,

4 3 ,DE

→= 2,-

1 3 ,CF

→= 1,

4 3 ,所以 DE

→·CF

→

=2-

4

9

=

14

9

.

\"

'

&

$ Y

%

#

Z

16.

1

2

由f x =e

cos2πx +e

2x -2ex1

e

=0,得e

cos2πx =2ex

-e

2x +

1

e

,因为cos2πx≥-1,所以e

cos2πx ≥

1

e

,当且仅当

2πx=π+2kπ,k∈Z,即x=

1

2

+k,k∈Z,取等号,令g(x)

=2ex-e

2x +

1

e

,则g'(x)=2e-2e

2x ,令g'(x)>0解得

x<

1

2

;令g'(x)<0解得x>

1

2

,所以g(x)=2ex-e

2x +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

68 题型特训 数学

1

e

在 -∞,

1 2 单 调 递 增,在

1

2 ,+∞ 单 调 递 减,所 以

g(x)=2ex-e

2x +

1

e

≤g

1 2 =

1

e

,所 以 要 使 e

cos2πx =

2ex-e

2x +

1

e

,只能k=0,x=

1

2

,所以f x 零点为x=

1

2

.

标准练05

1.B 由已知A∪B={x|x<0},故选 B.

2.A ∵z=i(2-3i)=2i-3i

2=3+2i,∴z 所对应点的坐标为

(3,2).∴复平面内z 所对应的点位于第一象限.故选 A.

3.C ∃x=1,log2x=0;∃x=0,cosx=1;∀x∈R,x

2 ≥0;

∀x∈R,2

x >0,所以假命题是 C,故选 C.

4.C AE

→ = AC

→ + CE

→ = AC

→ +

1

2

(OB

→ - OC

→)= m +

1

2

n1

2 m =

3

4

m+

1

2

n,故选 C.

5.B 三棱台 A'B'C'-ABC 中,沿平面 A'BC 截去三棱锥A'-

ABC,剩余的部分是以A'为顶点,四边形 BCC'B'为底面的

四棱锥A'-BCC'B'.故选 B.

6.D 因为y=f x =sinx·ln

x

2+1

x

2 定义域为 x|x≠0 ,

又f -x =sin -x ·ln

-x

2+1

-x

2 =-sinx·ln

x

2+1

x

2

=-f x ,所以y=sinx·ln

x

2+1

x

2 为奇函数,函数图象关

于原点对称,故排除 A、B;又x∈ 0,π 时sinx>0,

x

2+1

x

2 =

1+

1

x

2 >1,所以ln

x

2+1

x

2 >0,所以y=sinx·ln

x

2+1

x

2 >0,

故排除 C.故选 D.

7.D 取x=y=

1

2

,则x

2+y

2=

1

4

+

1

4

=

1

2

≥

2

2

不成立,A

错误;由

x

xy

y

xyy

x =

x y

x-y

,当1>x>y>0时,

x

y

>1,x-y

>0,所以

x y

x-y

>

x y

0

=1,即x

xy

y >xyy

x ,B错误;取

x=

1

3

,y=

2

3

时,x

x ·y

y =

1 3

1

3 2 3

2

3

=

1

3

×

4 9

1

3

=

4 27

1

3 ,而

4

27

>

1 2

3

=

1

8

,所以x

x ·y

y >

1

2

,C 错误;由

ABC错误,排除法知,D正确.故选 D.

8.D 由x∈ 0,+∞ ,则x

1

x

2

=a>0,故

lnx

x

2 =lna,要使原方

程在x∈ 0,+∞ 有两个不等实根,即f(x)=

lnx

x

2 与y=

lna 有两个不同的交点,由f'(x)=

x-2xlnx

x

4 =

1-2lnx

x

3 ,令

f'(x)>0,则 0<x<e

1

2 ,令 f'(x)<0,则 x>e

1

2 ,所 以

f(x)在 0,e

1

2 上 单 调 递 增,e

1

2 ,+∞ 上 单 调 递 减,故

f(x)max=f e

1

2 =

1

2e

,又 x 趋向于 0时,f(x)趋向负 无

穷,x 趋向于正无穷时,f(x)趋向0,所以,要使f(x)与y=

lna 有两个不同的交点,则0<lna<

1

2e

,所以1<a<e

1

2e.故

选 D.

9.AD ∵tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=tanα+tanβ,∴当tanα+

tanβ≠0时,1-tanαtanβ=1,即tanαtanβ=0,∴tanα=0或

tanβ=0,此时α=k1π(k1∈Z)或β=m1π(m1∈Z),这与α≠

kπ

2

(k∈Z),且β≠

mπ

2

(m∈Z)矛盾,∴tanα+tanβ=0,∴α+

β=nπ(n∈Z).对于 A,sin(α+β)=sinnπ=0,A 正确;对于

B,cos(α+β)=cosnπ= ±1,B 错 误;对 于 C,sin

2 α

2

+

sin

2 β

2

=

1-cosα

2

+

1-cosβ

2

=1-

1

2

(cosα+cosβ),不一定

有cosα+cosβ=0,C 错 误;对 于 D,sin

2α+cos

2β=sin

2α+

cos

2(nπ-α)=sin

2α+cos

2α=1,D正确.故选 AD.

10.BD 对于 A:因为x<

5

4

,则4x-5<0,所以y=4x-2+

1

4x-5

=4x-5+

1

4x-5

+3= - (5-4x)-

1

5-4x

+3≤

-2 (5-4x)·

1

5-4x

+3=1,当且仅当5-4x=

1

5-4x

,

即x=1时取等号,所以当x<

5

4

时,y=4x-2+

1

4x-5

的

最大值是1,A 错误;对于B:因为关于x 的不等式ax

2+bx

+c≤0的解集是 x x≤-2或x≥6 ,则a<0,关于x 的

方程ax

2+bx+c=0的两根分别为x1=-2,x2=6,由韦

达定理可得6-2=-

b

a

,可得b=-4a,-2×6=

c

a

,则c

=-12a,所以a+b+c=-15a>0,B正确;对于 C:由a∥

b,得2-m(m-1)=0,即 m

2-m-2=0,解得 m=2或 m

=-1,C错误;对于D:已知a= 1,3 ,b= 2,y ,则a+b

= 3,3+y ,又 a+b ⊥a,∴3×1+3× 3+y =0,则y

= - 4,故 b = 2,-4 ,cos<a,b>=

a·b

a · b

=

1×2-3×4

10· 20

=-

2

2

,又向量夹角在[0,π]区间内,所以向量

a,b 的夹角为

3π

4

,D正确.故选 BD.

11.ABD 以点 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所在直线分别

为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

\"

% ( $

&

#

'

\"

%

$

#

Z

[

Y

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

参考答案 69

设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长 为 2,则 A(2,0,0)、

B(2,2,0)、C(0,2,0)、D(0,0,0)、E(1,2,0)、F(0,2,1)、

G(2,2,1)、A1(2,0,2)、B1 (2,2,2)、C1 (0,2,2)、D1 (0,0,

2).对于 A,AB1

→=(0,2,2),A1C

→=(-2,2,-2),AB1

→·

A1C

→=4-4=0,所以 A1C⊥AB1,A 正确;对于 B,A1B

→=

(0,2,- 2),AD1

→ = (- 2,0,2),cos<A1B

→,AD1

→>=

A1B

→·AD1

→

A1B

→ · AD1

→ =

-4

2 2×2 2

= -

1

2

,所 以,向 量 A1B

→

与向量AD1

→的夹角是120°,A1B 与AD1 所成角为60°,B

正确;对于 C,DD1

→=(0,0,2),AF

→=(-2,2,1),则 DD1

→·

AF

→=2≠0,C错误;对于 D,设平面 AEF 的法向量为m=

(x,y,z),AE

→ = (-1,2,0),EF

→ = (-1,0,1),由

m·AE

→=-x+2y=0,

m·EF

→ =-x+z=0,

可得

y=

x

2

, z=x,

取x=2,可得 m=

(2,1,2),又A1G

→=(0,2,-1),∵m·A1G

→=2-2=0,∴m

⊥A1G

→,∵A1G⊄平面 AEF,∴A1G∥平面AEF,D 正确.

故选 ABD.

12.BCD 对 于 A,∵f(4-x)-f(x)=0,即 f(4-x)=

f(x),∴f(2-x)=f(2+x),∴f(2-x)为偶函数,A 错

误;对于 B,∵f(4-x)-f(x)=0,即f(4-x)=f(x),

∴f(2-3x)=f(3x+2),∴f(3x+2)为偶函数,B正确;

对于 C,∵f(sin(x+2))=f(sin(x+2+2kπ)),k∈Z,

∴f(sin(x+2))是周期函数,C正确;对于D,f'(x)=(a2x)(x

2+bx+4)+(ax-x

2)(2x+b),∵f(4-x)-f(x)

=0,∴f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(4)=f(0)且

f' (2)= 0,∴

f(4)=(4a-16)(20+4b)=0, f'(2)=(4a-12)(4+b)=0,

解 得

a=3, b=-5

或

a=4, b=-4,

当

a=4, b=-4

时,f(x)=(4x-x

2)(x

2-

4x+4)=x(4-x)(x-2)2,易得函数f(x)只有3个零点,不

符合题意;当

a=3, b=-5

时,f(x)=(3x-x

2)(x

2 -5x+4)=

-x(x-3)(x-1)(x-4)= (4x-x

2)[(x

2 -4x)+3]≤

(4x-x

2)+[(x

2-4x)+3] 2

2

=

9

4

,当且仅当4x-x

2=

x

2-4x+3,即x=2±

10

2

时取等号.所以f(x)的最大值

为

9

4

.D正确.故选 BCD.

13.70 x+

1

x +2

4

的 通 项 公 式 为 Tr+1 = C

r

4 x +

1

x

4-r

2

r ;当r=0时,x+

1 x

4

中的常数项为 C

2

4 =6;当

r=2 时, x+

1 x

2

中 的 常 数 项 为 2;当 r =4 时,

x+

1 x

0

=1;所 以 x+

1

x +2

4

的 展 开 式 的 常 数 项 为

6×C

0

42

0+2×C

2

42

2+C

4

42

4=70.

14.

10

10

y'=

2

x+1

+cosx,y'|x=0 =3,即tanα=3>0,0<

α<

π

2

,tanα=

3

1

,利 用 三 角 函 数 定 义,cosα=

1

1+9

=

10

10

.

15.

n

6n+4

由题意可得a2=a1+2=3,a2n =a2n-1+2=a2n-2+

3,n≥2,所以 a2n 是以3为首项,3为公差的等差数列,所

以 a2n = 3 + 3 n-1 = 3n,

1

a2n -1 a2n +2

=

1

3n-1 3n+2

=

1

3

1

3n-1

-

1 3n+2 . 设 数 列

1 a2n -1 a2n +2 的前n 项和为Sn,则Sn =

1

3

1

2

-

1

5 +

1

3

1

5

-

1 8 + … +

1

3

1

3n-1

-

1 3n+2 =

1

3

1

2

-

1 3n+2 =

n

6n+4

.

16.x-y+4=0 如图,

\"

/

0 Y

#

.

Z

由条件得B 点为线段 MN 中点,设 B 点坐标为 x0,y0 ,

得 M(2x0,0)、N(0,2y0),由 MA ∶ AB =1∶2得 A

坐标为 A

5x0

3

,

y0 3 ,将 A、B 坐 标 分 别 代 入

x

2

12

+

y

2

6

=1

中,得

x

2

0

12

+

y

2

0

6

=1,

25x

2

0

12×9

+

y

2

0

6×9

=1,

?

?

?

??

??

解 得

x0=-2, y0=2,

则 M、N 坐 标 分

别为 -4,0 、 0,4 ,故直线方程为

x

-4

+

y

4

=1,即x-y

+4=0,所以直线l的方程为x-y+4=0.

标准练06

1.C A= x∈R|-5<x<5 = -5,5 ,B= x∈Z

x-1

x-4

≤0 = {x ∈ Z| x-1 x-4 ≤0 且 x -4≠ 0}=

1,2,3 .故A∩B= 1,2,3 .故选 C.

2.D 因为 2-i 1-i =1-3i,所以复数 2-i 1-i 在复

平面内对应的点为 1,-3 ,该点在第四象限.故选 D.

3.D 40%×(1-95%)+60%×(1-96%)=4.4%.故选 D.

4.C 因为x?=

3+4+5+6+7

5

=5,y?=

10+12+11+12+20

5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

70 题型特训 数学

=13,因回归方程过定点 x?,y? ,将其代入^y=2x+a,得

13=2×5+a,解得a=3,故选 C.

5.C cos198°cos132° + cos42°sin18° = cos (180° + 18°)

cos 90°+42° +cos42°sin18°=cos18°sin42°+cos42°sin18°=

sin 42°+18° =sin60°=

3

2

.故选 C.

6.C 要使正四面体的高最小,当且仅当球 与 正 四 面 体 相 内

切,设正四面体的棱长为a,高为h,内切球的半径为r,则

4

3

πr

3=

32

3

π,解得r=2,如图正四面体S-ABC 中,令 D 为

BC 的中点,O1 为底面三角形的中心,

\" %

$

#

4

0

则SO1 ⊥ 底 面 ABC,所 以 VS-ABC =

1

3

S△ABC ·h=

1

3

×

4S△ABC ·r,则h=4r=8,故选 C.

7.C 由图可知,“心形”关于y 轴对称,所以上部分的函数为

偶函数,则函数y=x 4-x

2 和 y= -x

2+2x 都 不 满

足,故排 除 B、D;而 y= x 4-x

2 的 图 象 过 点 0,0 ,

-2,0 , 2,0 ,且 0<x <2 时,y = x 4-x

2 ≤

x

2+4-x

2

2

=2,当且仅当x= 2时,等号成立,即函数y=

x 4-x

2 的最大值为2,又“心形”函数的最大值为1,故

排 除 A;由 y = -x

2+2 x 的 图 象 过 点 0,0 ,

-2,0 , 2,0 ,且 0<x <2 时,y= -x

2+2 x =

-x

2+2x= - x-1

2+1≤1,当且仅当x=1时,等

号成立,即函数y= -x

2+2 x 的 最 大 值 为 1,满 足 题

意,故 C满足.故选 C.

8.B 如图,设椭圆C 的左焦点为F',连接 PF',QF',所以四

边形PFQF'为平行四边形.设 PF =m,则 PF' =2am= QF .因为 PF

→=

2

3

FA

→,所以 FA =

3

2

m,又 因 为

QF =2 FA ,所 以 2a -m =3m,所 以 m =

a

2

.在

△PFF'中, PF' =

3

2

a, PF =

a

2

, FF' = 2c,

cos∠FPF'=cos∠AFQ =

1

3

,由 余 弦 定 理 得 FF'

2 =

PF'

2+ PF

2-2 PF' PF cos∠F'PF,所以4c

2=

9

4

a

2+

1

4

a

2-2×

3a

2

×

a

2

×

1

3

,所以e=

2

2

.

\"

' Y

1

Z

'
0

2

故选 B.

9.AC 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为d d>0 ,对 于 A,因 为

an 是等差数列,且3+7=4+6,则由等差数列性质可得

a3+a7=a4+a6,A 正确;对于 B,a4·a6-a3·a7=(a1+

3d)·(a1+5d)-(a1+2d)·(a1+6d)=3d

2>0,则a3·

a7<a4·a6,B错误;对于 C,因为a2n+1 -a2n-1 =2d,则数

列 a2n+1 是等差数列,C正确;对于 D,如数列 an 为1,2,

3,4,5,6…,显然数列 a2n 不是等比数列,D错误.故选 AC.

10.AD 由题意可得

T

2

=

11π

12

-

7π

12

=

π

3

,所以 T=

2π

3

,A 正

确;则

2π

ω

=

2π

3

,所以ω=3,由f

7π 12 =Acos

7π

4 +φ =0,

得cos

7π

4 +φ =0,所以

7π

4

+φ=

3π

2

+2kπ,k∈Z,则φ=

-

π

4

+2kπ,k∈Z,又 φ <

π

2

,所以φ=-

π

4

,则f(x)=

Acos 3xπ 4 A>0 ,由 f

π 2 =Acos

3π

2

-

π 4 =

-

2

2

A=-

2

3

,得A=

22

3

,所以f(x)=

22

3

cos 3xπ

4 ,

则f x+

π 12 =

2 2

3

cos3x 为 偶 函 数,B 错 误;令 -π+

2kπ≤3xπ

4

≤2kπ,k∈Z,得π

4

+

2kπ

3

≤x≤

π

12

+

2kπ

3

,

k ∈ Z, 所 以 f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为

-

π

4

+

2kπ

3

,

π

12

+

2kπ 3 (k ∈ Z),C 错 误;f' x =

-2 2sin3xπ 4 ,则 f'

π

12 -x + f'

π

12 +x =

-2 2sin -3x -2 2sin3x=0,D正确.故选 AD.

11.AD 令g x =

e

x

x

,∴g' x =

e

x x-1

x

2 ,故当x>1时,

g' x >0,故g x 在 1,+∞ 单调递增,由于a>b>1,

故g a >g b ,即

e

a

a

>

e

b

b

,进 而 e

a-b >

a

b

,A 正 确,令

f x =

lnx

x

,f' x =

1-lnx

x

2 ,当x>e时,f' x <0,所

以f x 在 e,+∞ 单调递减,在 1,e 时f' x >0,此

时f x 单调递增,由于a,b+1的大小关系无法确定,故

f a ,f b+1 的大小关系也无法确定,B错误,令h(x)

=

ln(x+1)

lnx

(x>1),∴h' x =

xlnx- x+1 ln x+1

x x+1 ln

2x

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?