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（2023 石景山一模）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线

2

y ax bx c = + + ( 0) a 

的对称轴为 x＝t，点

(3, ) m ，

( 1, ) t n +

在抛物线上．

（1）若 m＝n，求 t 的值；

（2）若

n m c  

，求 t 的取值范围．

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吴老师图解

（1）2 或 4.

思路&图解

1）当点

(3, ) m

与点

( 1, ) t n +

重合时，有

t + =1 3

，解得

t = 2 ，

2）当点

(3, ) m

与点

( 1, ) t n +

关于对称轴

x =1

对称时，有

3 1

2

t

t

+ +

=

，解得

t = 4 ，

 t = 2

或 4.

（2）

3

2

2

 t

或

t  4 .

思路一：对称性比远近

分析

首先，

c

理解为点

(0, )c

的纵坐标，即本题为三个函数值比较大小的问题，

其次，点

( 1, ) t n +

与另外 2 点的左右位置关系不确定，故需要分类讨论…

思路&图解

1）由题知

a  0

，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由题知抛物线的对称轴为

x t = ，

3）①当

t + 1 0

，即

t −1

时，如图，

此情况下不可能满足条件

n m c   ，故

t −1

不符合题意，

②当

0 1 3 + t

，即

−   1 2 t

时，如图，

若

n m ，则

1 3

2

t

t

+ +



，解得

t  4

；若

m c  ，则

0 3

2

t

+



，即

3

2

t  ，



3

2

2

 t *，

③当

t + 1 3

，即

t  2

时，如图，

若

n m ，则

3 1

2

t

t

+ +



，解得

t  4

；若

m c 

，则

0 3

2

t

+



，即

3

2

t  ，

 t  4 *.



综上所述：

3

2

2

 t

或

t  4 .

n c m

t+1 0 3

c n m

0 t+1 3

c m n

0 3 t+1

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思路二：代数“硬算”

思路&图解

1）由题知对称轴为

2

b

x t

a

= = −

，则

b at =−2 ，



抛物线的解析式为

2

y ax atx c = − + 2 ，

2）

m a at c = − + 9 6 ， 2

n a t at t c = + − + + ( 1) 2 ( 1) ，

3）①若

n m ，即

2

a t at t c a at c ( 1) 2 ( 1) 9 6 + − + +  − + ，

化简得： 2

t t − +  6 8 0

（提示：

a  0

，注意不等号方向的变化），

因式分解得：( 2)( 4) 0 t t − −  ，

如图，解得：t  2

或

t  4 ，

②若

m c 

，即

9 6 a at c c − +  ，解得

3

2

t 

（提示：

a  0

）.



综上所述：

3

2

2

 t

或

t  4 .

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