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绝密★启用前 试卷类型：A

深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考

数学试题 2023.12

注意事项：

1．本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．

3．作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．

4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．

5．考试结束后，考生上交答题卡．

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设集合 * A {xN | x  2}，集合 2 B {y | y  x  2}，则 AB

A．[1,4] B．[2,4] C．{1,2,3,4} D．{2,3,4}

2. 若复数 z 满足 zi  1 2i ，则 z 在复平面上所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．在梯形 ABCD 中，设 AB 

 a ， AD 

 b ，若 AB  2CD 

，则 AC



A． 1

+

2

a b B． 1

2  a  b C． 1

+

2

a b D． 12ab

4．已知函数 1 4e , 1, ( ) 4

1, 1

x x

f x

x x

x

  

  

   



，则 f (x) 的最大值为

A．1 B． 4 C． 4e D．55．若 tan  2 ，则sin 2 

A． 4

3  B． 4

3

C． 4

5  D． 456．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为 2 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半

径为 1，则圆台的体积为

A． 7 3

π

3

B． 5 3

π

3

C．5 3π D．73π7．已知抛物线 2 C : y  4x 的焦点为 F ，直线 x  my 1与C 交于 A， B两点，与其准线交

于点 D ，若 AF  FD

 

，则| BF |

A． 1

3

B．1 C． 4

3

D．48．已知函数 2 ( ) e

2

x x

f x   ，过点(m,n) 作 f (x) 的切线l ，若 n  m1（ n1），则直线l

的条数为

A．0 B．1 C． 2 D．3二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有

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多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。

9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：

学生 甲 乙 丙 丁 戊

成绩 84 72 80 68 76

则下列结论正确的为

A．这5 位同学成绩的中位数是80

B．这5 位同学成绩的平均数是76

C．这5 位同学成绩的第75百分位数是80

D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变

10. 将函数 f (x)  tan 2x 的图象向右平移 π

6

个单位长度得到函数 g(x) 的图象，则下列结论

正确的为

A． g(x) 的最小正周期为 π

2

B． g(x) 的图象关于直线 5π12x 对称

C． g(x) 在区间 π

(0, ) 3

上单调递减 D． f (x) 的图象与 g(x) 的图象关于 π( ,0)12对

称

11．已知圆 2 2

1 C : x  y  9 ，点 P 在圆 2 2 2

2 C :(x  a)  ( y  8)  r (r  0) 上，过 P可作C1

的

两条切线，记切点分别为 A ， B ，则下列结论正确的为

A．当 a  6 ， r  2 时，点 P 可是C2

上任意一点

B．当 a  6 ， r  2 时，APB 可能等于 π

2

C．若存在 P 使得△ APB 为等边三角形，则 r 的最小值为 2

D．若存在 P 使得△ APB 的面积为 9

2

，则 r 可能为3

12. 已知点 P 在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1

的表面上运动，且四面体 PA1B1C的体

积恒为 2

3

，则下列结论正确的为

A． P 的轨迹长度为 4  2 2

B．四面体 PADA1

的体积最大值为 4

3

C．二面角 P  A1C  B1

的取值范围为 π 5π

[ , ] 6 6

D．当△ PA1C 的周长最小时， 2 2

1 8  A P  CP  9

三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．设等差数列{ }n a 的前 n项和为 n S ，若 1 a  2 ， 5 S  30 ，则公差 d  ．

14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，

若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方

案数为 ．

15．已知奇函数 f (x) 及其导函数 f (x)的定义域均为 R ，若 f (x)  f (2 x) 2x2恒成

立，则 f (2023)  ．

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16. 已知双曲线C 的离心率为e ，左、右焦点分别为 F1

， F2

，点 M在C的左支上运动且不

与顶点重合，记 I 为△ MF1F2

的内心， 1 2

2 1

tan

tan

IF F

IF F

 

 

，若e[2,4]，则的取值范围

为 ．

四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （10 分）

已知 n S 为数列{ }n a 的前 n项和，且满足 1 3 5 3 5 (2 1) 2n a  a  a  n  a n（ * nN）.

(1) 求数列{ }n a 的通项公式；

(2) 记

2 1

n

n a

b

n 



，求数列{ }n a 的前 n项和Tn

．

18．（12 分）

已知△ ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且b  c 2bcos A．

(1) 求证： A  2B ；

(2) 若△ ABC 的面积为15 7 ，且 2a  3b，求b ．

19．（12 分）

如图，在三棱锥 A  BCD 中，△ ABD 为等腰直角三角形， AB AD，△ BCD为等边

三角形.

(1) 证明： BD  AC ；

(2) 若直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 π

3

，点 E 在棱 AD上，且 DE2EA，求二面角

E  BC  D 的大小.

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20．（12 分）

已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，

按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，

则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在

主场、客场、中立场获胜的概率依次为 1

2

， 1

3

， 2

5

，且每场比赛的胜负均相互独立.

(1) 当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；

(2) 若主办方在决赛的前两场中共投资 m （千万元），则能在这两场比赛中共盈利 2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资 n（千万元），则能在该

场比赛中盈利 n （千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望

为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？

21．（12 分）

已知函数 2 ( ) ( 1)e

x f x  x   ax ， aR ．

(1) 讨论 f (x) 的单调性；

(2) 当 a  1时，若 f (x) 的极小值点为 0 x ，证明： f (x) 存在唯一的零点 1 x，且 1 0 x  x  ln 2．

22．（12 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，点 A， B 的坐标分别为 (0,1) 和 (0,1) ，设△ ABM的面积

为 S ，内切圆半径为 r ，当 3

S

r  时，记顶点 M 的轨迹为曲线C．

(1) 求C 的方程；

(2) 已知点 E ， F ， P ，Q 在C 上，且直线 EF 与 PQ相交于点 A，记 EF， PQ的斜

率分别为 1 k ， 2 k ．

(i) 设 EF 的中点为G ， PQ 的中点为 H ，证明：存在唯一常数 ，使得当 1 2 kk时，

OG  OH ；

(ii) 若 1

2 4

3

k

k  ，当|| EF |  | PQ ||最大时，求四边形 EPFQ的面积．