第1页
中考适用
2022年
粉丝：{{bookData.followerCount}}
{{!bookData.isSubscribed?'关注':'取消关注'}}
2022中考启航 数学
目 录第一轮全面复习第一章 数与式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１）第 １讲 实数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１）第 ２讲 整式及因式分解 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４）第 ３讲 分式和二次根式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７）第一章 《数与式》测试题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２）第二章 方程与不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４）第 ４讲 方程 （组）的基本知识!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４）第 ５讲 方程 （组）的解法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１６）第 ６讲 不等式的基本知识和解法 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９）第 ７讲 列方程 （组）或不等式 （组）解决实际问题 !!!!!!!!!!!!!!!!! （２２）第二章 《方程与不等式》测试题!...
粉丝: {{bookData.followerCount}}
文本内容
第2页
目 录
第一轮全面复习
第一章 数与式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１）
第 １讲 实数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１）
第 ２讲 整式及因式分解 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４）
第 ３讲 分式和二次根式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７）
第一章 《数与式》测试题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２）
第二章 方程与不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４）
第 ４讲 方程 （组）的基本知识!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４）
第 ５讲 方程 （组）的解法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１６）
第 ６讲 不等式的基本知识和解法 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９）
第 ７讲 列方程 （组）或不等式 （组）解决实际问题 !!!!!!!!!!!!!!!!! （２２）
第二章 《方程与不等式》测试题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２６）
第三章 函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２９）
第 ８讲 平面直角坐标系与函数初步 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２９）
第 ９讲 一次函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３３）
第 １０讲 二次函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３９）
第 １１讲 反比例函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４４）
第 １２讲 函数的综合应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４９）
第三章 《函数》测试题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５５）
第四章 三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５８）
第 １３讲 三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５８）
第 １４讲 全等三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６２）
第 １５讲 等腰三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６６）
第 １６讲 直角三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６９）
第 １７讲 相似三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７２）
第 １８讲 锐角三角函数、解直角三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７６）
第四章 《三角形》测试题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８０）
１
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第3页
第五章 四边形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８３）
第 １９讲 多边形与平行四边形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８３）
第 ２０讲 矩形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８７）
第 ２１讲 菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （９１）
第 ２２讲 特殊平行四边形的综合应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （９５）
第五章 《四边形》测试题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１００）
第六章 圆!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０３）
第 ２３讲 圆的有关性质 （１） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０３）
第 ２３讲 圆的有关性质 （２） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０８）
第 ２４讲 直线与圆的位置关系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１１３）
第 ２５讲 切线长定理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１１８）
第 ２６讲 圆中的计算问题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２２）
第六章 《圆》测试题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２７）
第七章 图形变换、尺规作图、视图与投影!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３１）
第 ２７讲 图形与变换 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３１）
第 ２８讲 尺规作图 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３６）
第 ２９讲 投影与视图 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４１）
第七章 《图形变换、尺规作图、视图与投影》测试题 !!!!!!!!!!!!!!!! （１４４）
第八章 统计与概率 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４８）
第 ３０讲 统计 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４８）
第 ３１讲 概率 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５２）
第八章 《统计与概率》测试题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５５）
第二轮复习专题
第 １讲 中考数学第二轮复习专题一 数形结合思想 !!!!!!!!!!!!!!!!! （１５９）
第 ２讲 中考数学第二轮复习专题二 分类讨论思想 !!!!!!!!!!!!!!!!! （１６４）
第 ３讲 中考数学第二轮复习专题三 方程函数思想 !!!!!!!!!!!!!!!!! （１６７）
第 ４讲 中考数学第二轮复习专题四 几何综合 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１７０）
第 ５讲 中考数学第二轮复习专题五 运动与路径问题 !!!!!!!!!!!!!!!! （１７６）
第 ６讲 中考数学第二轮复习专题六 函数中的参数型问题 !!!!!!!!!!!!!! （１８１）
一模考试自测题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１８５）
二模考试自测题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９１）
参考答案 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９８）
２
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第4页
第四章 《三角形》测试题
（时间 ４０分钟，满分 １００分）
班别 姓名 学号 成绩
一、选择题（每题 ４分，共 ２０分）
１．如图，已知 ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＢＡ＝４５°，∠Ｅ＋∠Ｄ的度数为（ ）．
Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．４５°
第 １题图 第 ４题图 第 ５题图
２．（２０１９杭州）在△ＡＢＣ中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
Ａ必有一个内角等于 ３０° Ｂ必有一个内角等于 ４５°
Ｃ必有一个内角等于 ６０° Ｄ必有一个内角等于 ９０°
３．若一个三角形的三个内角度数之比为 １∶２∶３，则与之相邻的三个外角度数之比为（ ）．
Ａ．３∶２∶１ Ｂ．１∶２∶３ Ｃ．５∶４∶３ Ｄ．３∶４∶５
４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点 Ｍ为 ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于 Ｎ，则 ＭＮ等于（ ）．
Ａ． ６
５ Ｂ． ４
５ Ｃ．１２
５ Ｄ．１６
５
５．（２０２０荆州）如图，在平面直角坐标系中，Ｒｔ△ＯＡＢ的斜边 ＯＡ在第一象限，并与 ｘ轴的正半轴夹角为
３０°．Ｃ为 ＯＡ的中点，ＢＣ＝１，则点 Ａ的坐标为（ ）．
Ａ．（槡３，槡３） Ｂ．（槡３，１） Ｃ．（２，１） Ｄ．（２，槡３）
二、选择题（每题 ４分，共 ２０分）
６．如图，在△ＡＢＣ中，已知∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线交于点 Ｉ，过 Ｉ作 ＢＣ的平行线分别交 ＡＢ，ＡＣ于 Ｄ，
Ｅ，ＡＢ＋ＡＣ＝１５ｃｍ，则△ＡＤＥ的周长为 ．
第 ６题图 第 ７题图 第 ８题图 第 ９题图
７．如图，点 Ｂ是线段 ＡＣ上一点，分别以 ＡＢ，ＢＣ为边作等边△ＡＢＥ，△ＢＣＤ，连接 ＤＥ，已知△ＢＤＥ的
面积是３槡３
４ ，ＡＣ＝４，如果 ＡＢ＜ＢＣ，那么 ＡＢ的值是 ．
８．如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＢＦ＝ＢＣ，则∠Ａ＝ ．
９．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ为 ＡＣ的中点，ＡＦ∥ＤＥ，Ｓ△ＡＢＦ∶Ｓ梯形ＡＦＥＤ ＝１∶６，则 Ｓ△ＡＢＦ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝ ．
８０ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第5页
第 １０题图
１０．（２０１８南充）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＦ平分∠ＢＡＣ，ＡＣ的垂直平分线交 ＢＣ于
点 Ｅ，∠Ｂ＝７０°，∠ＦＡＥ＝１９°，则∠Ｃ＝ ．
三、解答题（共 ６０分）
１１．（８分）（２０２０广州）如图，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＝２５°，∠Ｄ＝８０°．求
∠ＢＣＡ的度数．
１２．（８分）如图，正方形网格中的小正方形的面积都为 １，网格中有△ＡＢＣ和△ＤＦＥ．
（１）这两个三角形相似吗？说出你的理由．
（２）请你以网格中的格点为顶点，在网格中再画出一个面积为 ４且与△ＡＢＣ相似的三角形．
１３．（１０分）某片绿地形状如图所示，其中 ＡＢ⊥ＢＣ，ＣＤ⊥ＡＤ，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝２００ｍ，ＣＤ＝１００ｍ，求
ＡＤ，ＢＣ的长．
!0# .12 ８１
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第6页
１４．（１０分）两个全等的含 ３０°，６０°角的三角板 ＡＤＥ和 ＡＢＣ如图所示放置，Ｅ，Ａ，Ｃ三点在一条直线上，
连接 ＢＤ，取 ＢＤ的中点 Ｍ，连接 ＭＥ，ＭＣ．试判断△ＥＭＣ是什么样的三角形，并说明理由．
１５．（１２分）（２０１９广元）如图，某海监船以 ６０海里／时的速度从 Ａ处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在
Ａ的西北方向的 Ｃ处，海监船航行 １５小时到达 Ｂ处时接到报警，需巡!此可疑船只，此时可疑船只
仍在 Ｂ的北偏西 ３０°方向的 Ｃ处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速，以
９０海里／时的速度追击，在 Ｄ处海监船追到可疑船只，Ｄ在 Ｂ的北偏西 ６０°方向．（以下结果保留根
号）
（１）求 Ｂ，Ｃ两处之间的距离；
（２）求海监船追到可疑船只所用的时间．
１６．（１２分）（２０１９北京）已知∠ＡＯＢ＝３０°，Ｈ为射线 ＯＡ上一定点，ＯＨ＝槡３＋１，Ｐ为射线 ＯＢ上一点，Ｍ
为线段 ＯＨ上一动点，连接 ＰＭ，满足∠ＯＭＰ为钝角，以点 Ｐ为中心，将线段 ＰＭ顺时针旋转 １５０°，
得到线段 ＰＮ，连接 ＯＮ．
（１）依题意补全图 １；
（２）求证：∠ＯＭＰ＝∠ＯＰＮ；
（３）点 Ｍ关于点 Ｈ的对称点为 Ｑ，连接 ＱＰ．写出一个 ＯＰ的值，使得对于任意的点 Ｍ总有 ＯＮ＝ＱＰ，
并证明．
８２ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第7页
第五章 四边形
第 １９讲 多边形与平行四边形
项目 多边形 正多边形
定义 在同 一 平 面 内，不 在 同 一 直 线 上 的 一 些 线 段
相连组成的图形叫做多边形．
各个角 ，各条边 的多边形
叫正多边形．
性质
内角和：ｎ边形内角和为 ；
外角和：任意多边形的外角和为 ；
对角线：ｎ边形共有 条对角线；
不稳定性：ｎ边形具有不稳定性（ｎ＞３）；
拓展：ｎ边形的内角中最多有 个是锐角．
１．具有一般多边形的一切性质．
２．对称性：
正多边形都是 对称图形，边数
为 的正多边形是中心对称图形．
平行四边形
定义 ∵ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．
性质
１．平行四边形的两组对边分别平行且相等．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ ＣＤ，ＡＤ ＢＣ．）
２．平行四边形的两组对角分别相等．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴∠Ａ＝ ， ＝∠Ｄ．）
３．平行四边形的对角线互相平分．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＯ＝ ，ＢＯ＝ ．）
４．平行线之间的距离处处 ．
５．平行四边形是 对称图形．
判定
１．定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（∵ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．）
２．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（∵ＡＢ ＣＤ，ＡＤ ＢＣ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．）
３．两组对角分别 的四边形是平行四边形．
（∵ ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．）
４．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（∵ ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．）
５．对角线 的四边形是平行四边形
（∵ＡＯ＝ ，ＢＯ＝ＤＯ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．）
!3# 042 ８３
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第8页
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
例 １ 如图，在五边形 ＡＢＣＤＥ中，∠ＢＣＤ＝∠ＥＤＣ＝９０°，ＢＣ＝ＥＤ，ＡＣ＝ＡＤ．
（１）求证：△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ；
（２）当∠Ｂ＝１４０°时，求∠ＢＡＥ的度数．
例 ２ 如图，ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝２６ｃｍ．
（１）求 ＡＤ，ＢＤ的长；
（２）求ＡＢＣＤ的面积；
（３）求 ＡＤ边上的高 ＢＨ的长．
例 ３ 如图，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，Ｅ，Ｆ是对角线 ＡＣ上的两点，∠１＝∠２．
（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ；
（２）求证：四边形 ＥＢＦＤ是平行四边形．
８４ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第9页
例 ４ （２０２０天津）如图，平行四边形 ＡＢＣＤ的顶点 Ｃ在等边△ＢＥＦ的边 ＢＦ上，点 Ｅ在 ＡＢ的延长线上，
Ｇ为 ＤＥ的中点，连接 ＣＧ．若 ＡＤ＝３，ＡＢ＝ＣＦ＝２，求 ＣＧ的长．
１．（２０２１毕节）若正多边形的一个外角是 ４５°，则该正多边形的内角和为（ ）．
Ａ．５４０° Ｂ．７２０° Ｃ．９００° Ｄ．１０８０°
２．四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，给出下列五组条件：
①ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ；②ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ；③ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ；④ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ；⑤ＡＤ∥
ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｃ．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）．
Ａ．１组 Ｂ．２组 Ｃ．３组 Ｄ．４组
３．如图，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ是边 ＣＤ的中点，连接 ＯＥ．若∠ＡＢＣ＝６０°，
∠ＢＡＣ＝８０°，则∠１的度数为（ ）．
Ａ．５０° Ｂ．４０° Ｃ．３０° Ｄ．２０°
４．如图，在ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为 ＡＤ的中点，连接 ＢＥ，交 ＡＣ于点 Ｆ，则 ＡＦ∶ＣＦ＝（ ）．
Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．２∶３ Ｄ．２∶５
第 ３题图 第 ４题图 第 ５题图
５．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝９，∠ＢＡＤ的平分线交 ＢＣ于点 Ｅ，交 ＤＣ的延长线于点 Ｆ，ＢＧ⊥
ＡＥ，垂足为 Ｇ，若 ＢＧ＝４槡２，则 △ＣＥＦ的周长为（ ）．
Ａ．８ Ｂ．９５ Ｃ．１０ Ｄ．１１５
６．（２０２０武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，ＡＣ是ＡＢＣＤ的对角
线，点 Ｅ在 ＡＣ上，ＡＤ＝ＡＥ＝ＢＥ，∠Ｄ＝１０２°，则∠ＢＡＣ的大小是 ．
第 ６题图 第 ７题图
７．（２０２０益阳）如图，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，若 ＡＣ＝６，ＢＤ＝８，则 ＡＢ的长可能
是（ ）．
Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．７ Ｄ．６
８．在ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的角平分线交直线 ＡＤ于点 Ｅ，ＢＣ＝６，ＤＥ＝２，则ＡＢＣＤ的周长等于 ．
!3# 042 ８５
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第10页
９．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝４，∠ＡＢＣ＝６０°，过 ＢＣ的中点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＢ，垂足为点 Ｆ，与 ＤＣ
的延长线交于点 Ｈ，则△ＤＥＦ的面积是 ．
第 ９题图 第 １０题图
１０．如图，Ｐ为平行四边形 ＡＢＣＤ边 ＡＤ上一点，Ｅ，Ｆ分别为 ＰＢ，ＰＣ的中点，△ＰＥＦ，△ＰＤＣ，△ＰＡＢ
的面积分别为 Ｓ，Ｓ１，Ｓ２．若 Ｓ＝２，则 Ｓ１＋Ｓ２＝ ．
１１．（２０１９遂宁）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，延长 ＢＣ到 Ｅ，使 ＣＥ＝ＢＣ，连接 ＡＥ交 ＣＤ于点 Ｆ，
点 Ｆ是 ＣＤ的中点．求证：
（１）△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ；
（２）四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．
１２．（２０１９贵阳）如图，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，延长 ＡＤ至点 Ｅ，使 ＤＥ＝ＡＤ，连接 ＢＤ．
（１）求证：四边形 ＢＣＥＤ是平行四边形；
（２）若 ＤＡ＝ＤＢ＝２，ｃｏｓＡ＝１
４，求点 Ｂ到点 Ｅ的距离．
８６ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第11页
１３．（２０２０仙桃）在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＤ的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画
法，保留画图痕迹．
（１）如图 １，在 ＢＣ上找出一点 Ｍ，使点 Ｍ是 ＢＣ的中点；
（２）如图 ２，在 ＢＤ上找出一点 Ｎ，使点 Ｎ是 ＢＤ的一个三等分点．
第 ２０讲 矩形
矩形
定义 有一个角为 ９０°的平行四边形是矩形．
性质
１．①矩形的四个角都是直角．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．）
②矩形的对角线互相平分且相等．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＯ＝ ＝ＢＯ＝ ．）
③矩形具有平行四边形的所有性质．
２．对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
３．利用矩形对角线性质可以得出：直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．（如左图，在△ＡＢＤ中，∵∠ＤＡＢ＝９０°，ＢＯ＝
ＤＯ，∴ＡＯ＝１
２ＢＤ．）
判定
１．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（∵在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ＝９０°，∴四边形 ＡＢＣＤ是矩
形．）
２．对角线相等的平行四边形是矩形．
（∵在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ，∴四边形 ＡＢＣＤ是矩形．）
３．有三个角是直角的四边形是矩形．
（∵ ，∴四边形 ＡＢＣＤ是矩形．）
例 １ （２０２０鄂州）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｏ，点 Ｍ，Ｎ分别为 ＯＡ，ＯＣ
的中点，延长 ＢＭ至点 Ｅ，使 ＥＭ＝ＢＭ，连接 ＤＥ．
（１）求证：△ＡＭＢ≌△ＣＮＤ；
（２）若 ＢＤ＝２ＡＢ，且 ＡＢ＝５，ＤＮ＝４，求四边形 ＤＥＭＮ的面积．
!3# 042 ８７
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第12页
例 ２ 如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞ＡＤ，把矩形沿对角线 ＡＣ所在直线折叠，使点 Ｂ落在点 Ｅ处，ＡＥ交 ＣＤ
于点 Ｆ，连接 ＤＥ．
（１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＥＤ；
（２）求证：△ＤＥＦ是等腰三角形；
（３）若∠ＡＣＢ＝６２°，则∠ＥＦＣ的度数为多少？
例 ３ （２０２０武汉）如图，折叠矩形纸片 ＡＢＣＤ，使点 Ｄ落在 ＡＢ边的点 Ｍ处，ＥＦ为折痕，ＡＢ＝１，ＡＤ＝
２．设 ＡＭ的长为 ｔ，求四边形 ＣＤＥＦ的面积（用含有 ｔ的式子表示）．
１．矩形的面积是 １２ｃｍ２
，一边与一条对角线的比为 ３∶５，则对角线长是（ ）．
Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．５ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ
２．矩形的边长为 １０ｃｍ和 １５ｃｍ，其中一个内角的角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）．
Ａ．６ｃｍ和 ９ｃｍ Ｂ．５ｃｍ和 １０ｃｍ Ｃ．４ｃｍ和 １１ｃｍ Ｄ．７ｃｍ和 ８ｃｍ
３．如图，四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形，延长 ＡＤ到 Ｅ，使 ＤＥ＝ＡＤ，连接 ＥＢ，ＥＣ，ＤＢ．添加一个条件，
不能使四边形 ＤＢＣＥ成为矩形的是（ ）．
Ａ．ＡＢ＝ＢＥ Ｂ．ＢＥ⊥ＤＣ Ｃ．∠ＡＤＢ＝９０° Ｄ．ＣＥ⊥ＤＥ
４．如图，矩形 ＡＢＣＤ的两条对角线相交于点 Ｏ，∠ＡＯＤ＝６０°，ＡＤ＝２，则 ＡＣ的长是（ ）．
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．２槡３ Ｄ．４槡３
第 ３题图 第 ４题图 第 ５题图 第 ６题图
５．如图，Ｏ是矩形 ＡＢＣＤ对角线的交点，ＡＥ平分∠ＢＡＤ，∠ＡＯＤ＝１２０°，∠ＡＥＯ＝ ．
６．（２０２１鞍山）如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，ＤＨ⊥ＡＣ，垂足为点 Ｈ，若
∠ＡＤＨ＝２∠ＣＤＨ，则 ＡＤ的长为 ．
８８ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第13页
７．（２０１９淮安）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝２，Ｈ是 ＡＢ的中点，将△ＣＢＨ沿 ＣＨ折叠，点 Ｂ落
在矩形内点 Ｐ处，连接 ＡＰ，则 ｔａｎ∠ＨＡＰ＝ ．
８．（２０１９眉山）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，过对角线交点 Ｏ作 ＥＦ⊥ＡＣ交 ＡＤ于点 Ｅ，交
ＢＣ于点 Ｆ，则 ＤＥ的长是（ ）
Ａ１ Ｂ７
４ Ｃ２ Ｄ１２
５
第 ７题图 第 ８题图 第 ９题图 第 １０题图
９（２０１９泰安）如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝２，Ｅ为 ＡＢ的中点，Ｆ为 ＥＣ上一动点，Ｐ为 ＤＦ中
点，连接 ＰＢ，则 ＰＢ的最小值是（ ）
Ａ２ Ｂ４ Ｃ槡２ Ｄ２槡２
１０．（２０２０广州）如图，矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，过点 Ｏ作 ＯＥ⊥ＡＣ，交
ＡＤ于点 Ｅ，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＤ，垂足为 Ｆ，则 ＯＥ＋ＥＦ的值为（ ）．
Ａ．４８
５ Ｂ．３２
５ Ｃ．２４
５ Ｄ．１２
５
１１．（２０２０深圳）如图，矩形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２．将纸片折叠，使点 Ｂ落在边 ＡＤ的延长线上
的点 Ｇ处，折痕为 ＥＦ，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ和边 ＢＣ上．连接 ＢＧ，交 ＣＤ于点 Ｋ，ＦＧ交 ＣＤ于点
Ｈ．给出以下结论：
①ＥＦ⊥ＢＧ；
②ＧＥ＝ＧＦ；
③△ＧＤＫ和△ＧＫＨ的面积相等；
④当点 Ｆ与点 Ｃ重合时，∠ＤＥＦ＝７５°．
其中正确的结论共有（ ）．
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
１２．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ边上的一点，Ｅ是 ＡＤ的中点，过 Ａ点作 ＢＣ的平行线交 ＣＥ的延长线于
点 Ｆ，且 ＡＦ＝ＢＤ，连接 ＢＦ．
（１）线段 ＢＤ与 ＣＤ有何数量关系，为什么？
（２）当△ＡＢＣ满足什么条件时，四边形 ＡＦＢＤ是矩形？请说明理由．
!3# 042 ８９
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第14页
１３．（２０１９盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿 ＤＦ折叠，使点 Ａ落在 ＣＤ边上点 Ｅ处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 Ｃ再次折叠，使得点 Ｂ落在边 ＣＤ上点 Ｂ′处，如图③，两次折痕
交于点 Ｏ；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接 ＯＢ、ＯＥ、ＯＣ、ＦＤ，如图④．
【探究】
（１）证明：△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ；
（２）若 ＡＢ＝８，设 ＢＣ为 ｘ，ＯＢ２为 ｙ，求 ｙ关于 ｘ的关系式．
９０ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第15页
第 ２１讲 菱形
菱形
定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
性质
１．① 菱形的各边相等．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ ．）
② 菱形的对角线互相垂直且平分，并且平分每一组对角．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ ＢＤ．）
③ 具有平行四边形的所有性质．
２．面积：对角线乘积的一半．
３．对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
判定
１．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（∵在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ＝ ，∴四边形 ＡＢＣＤ
是菱形．）
２．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（∵在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ，∴四边形 ＡＢＣＤ是菱形．）
３．四条边都相等的四边形是菱形．
（∵ ，∴四边形 ＡＢＣＤ是菱形．）
例 １ （２０２０北京）如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ是 ＡＤ的中点，点 Ｆ，Ｇ在 ＡＢ上，
ＥＦ⊥ＡＢ，ＯＧ∥ＥＦ．
（１）求证：四边形 ＯＥＦＧ是矩形；
（２）若 ＡＤ＝１０，ＥＦ＝４，求 ＯＥ和 ＢＧ的长．
例 ２ （２０１９滨州）如图，矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在边 ＣＤ上，将△ＢＣＥ沿 ＢＥ折叠，点 Ｃ落在 ＡＤ边上的点
Ｆ处，过点 Ｆ作 ＦＧ∥ＣＤ交 ＢＥ于点 Ｇ，连接 ＣＧ．
（１）求证：四边形 ＣＥＦＧ是菱形；
（２）若 ＡＢ＝６，ＡＤ＝１０，求四边形 ＣＥＦＧ的面积．
!3# 042 ９１
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第16页
例 ３ （２０２０广州）如图，△ＡＢＤ中，∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．
（１）作点 Ａ关于 ＢＤ的对称点 Ｃ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（２）在（１）所作的图中，连接 ＢＣ，ＤＣ，连接 ＡＣ，交 ＢＤ于点 Ｏ．
①求证：四边形 ＡＢＣＤ是菱形；
②取 ＢＣ的中点 Ｅ，连接 ＯＥ，若 ＯＥ＝１３
２，ＢＤ＝１０，求点 Ｅ到 ＡＤ的距离．
１．菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，其周长为 ２４ｃｍ，则菱形的面积为 ｃｍ２
．
２．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．
Ａ．对角相等 Ｂ．四边相等 Ｃ．对角线互相平分 Ｄ．四角相等
３．如图，Ｏ是坐标原点，菱形 ＯＡＢＣ的顶点 Ａ的坐标为（－３，４），顶点 Ｃ在 ｘ轴的负半轴上，函数 ｙ＝
ｋ
ｘ（ｘ＜０）的图象经过顶点 Ｂ，则 ｋ的值为（ ）．
Ａ． －１２ Ｂ． －２７ Ｃ． －３２ Ｄ． －３６
４．（２０２０广东）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝３０°，取大于 １
２ＡＢ的长为半径，分别以点 Ａ，Ｂ为圆心作弧
相交于两点，过此两点的直线交 ＡＤ边于点 Ｅ（作图痕迹如图所示），连接 ＢＥ，ＢＤ．则∠ＥＢＤ的度数
为 ．
第 ３题图 第 ４题图 第 ５题图 第 ６题图
５．如图，四边形 ＡＢＣＤ是菱形，对角线 ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，ＤＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，且 ＤＨ与 ＡＣ交于点 Ｇ，
则 ＧＨ＝（ ）．
Ａ．２８
２５
ｃｍ Ｂ．２１
２０
ｃｍ Ｃ．２８
１５
ｃｍ Ｄ．２５
２１
ｃｍ
６．菱形 ＯＢＣＤ在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 Ｂ（２，０），∠ＤＯＢ＝６０°，点 Ｐ是对角线 ＯＣ上
一个动点，Ｅ（０， －１），当 ＥＰ＋ＢＰ最短时，点 Ｐ的坐标为 ．
７．（２０２０南宁）如图，在边长为 ２槡３的菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝６０°，点 Ｅ，Ｆ分别是
ＡＢ，ＡＤ上的动点，且 ＡＥ＝ＤＦ，ＤＥ与 ＢＦ交于点 Ｐ．当点 Ｅ从点 Ａ运动到点 Ｂ
时，则点 Ｐ的运动路径长为 ．
９２ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第17页
８．（２０２０青岛）如图，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＢＤ和 ＤＢ的延长线
上，且 ＤＥ＝ＢＦ，连接 ＡＥ，ＣＦ．
（１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ；
（２）连接 ＡＦ，ＣＥ．当 ＢＤ平分∠ＡＢＣ时，四边形 ＡＦＣＥ是什么特殊四边形？请说明理由．
９．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＢ＝ＡＤ，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，ＡＣ平分∠ＢＡＤ，过点 Ｃ作
ＣＥ⊥ＡＢ交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ，连接 ＯＥ．
（１）求证：四边形 ＡＢＣＤ是菱形；
（２）若 ＡＢ＝槡５，ＢＤ＝２，求 ＯＥ的长．
!3# 042 ９３
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第18页
１０．（２０２０咸宁）如图，在ＡＢＣＤ中，以点 Ｂ为圆心，ＢＡ长为半径画弧，交 ＢＣ于点 Ｅ，在 ＡＤ上截取
ＡＦ＝ＢＥ．连接 ＥＦ．
（１）求证：四边形 ＡＢＥＦ是菱形；
（２）请用无刻度的直尺在ＡＢＣＤ内找一点 Ｐ，使∠ＡＰＢ＝９０°．（标出点 Ｐ的位置，保留作图痕迹，
不写作法）
１１．如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ和 ＢＤ交于点 Ｏ，分别过点 Ｃ，Ｄ作 ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ与 ＤＥ交
于点 Ｅ．
（１）求证：四边形 ＯＤＥＣ是矩形；
（２）当∠ＡＤＢ＝６０°，ＡＤ＝２槡３时，求 ｔａｎ∠ＥＡＤ的值．
９４ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第19页
第 ２２讲 特殊平行四边形的综合应用
矩形、菱形、正方形的关系转化
正方形
定义 在四边形 ＡＢＣＤ中，∵ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ且∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ，∴
四边形 ＡＢＣＤ是正方形．
性质
１．①四边相等，四个角都等于 ９０°．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ．
∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．）
②正方形对角线垂直，相等且互相平分．
（∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，
∴ＡＣ ＢＤ且 ＡＯ＝ ＝ ＝ ．）
２．正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它具有菱形和矩形的
一切性质．
判定
１．∵ＡＣ⊥ＢＤ，且四边形 ＡＢＣＤ为 ，∴四边形 ＡＢＣＤ是正方形．
２．∵ＡＣ＝ＢＤ，且四边形 ＡＢＣＤ为 ，∴四边形 ＡＢＣＤ是正方形．
３．∵ＡＢ＝ＢＣ，且四边形 ＡＢＣＤ为 ，∴四边形 ＡＢＣＤ是正方形．
４．∵ＡＢ ＢＣ且四边形 ＡＢＣＤ为菱形，∴四边形 ＡＢＣＤ是正方
形．
例 １ 如图，正方形 ＡＢＣＤ的对角线交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ＝９０°，
ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的延长线交于点 Ｎ，连接 ＭＮ．
（１）求证：ＯＭ＝ＯＮ．
（２）若正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ为 ＯＭ的中点，求 ＭＮ的长．
!3# 042 ９５
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第20页
例 ２ （２０２１衡阳）如图，点 Ｅ为正方形 ＡＢＣＤ外一点，∠ＡＥＢ＝９０°，将 Ｒｔ△ＡＢＥ绕 Ａ点逆时针方向旋转
９０°得到△ＡＤＦ，ＤＦ的延长线交 ＢＥ于 Ｈ点．
（１）试判定四边形 ＡＦＨＥ的形状，并说明理由；
（２）已知 ＢＨ＝７，ＢＣ＝１３，求 ＤＨ的长．
例 ３ （２０２１眉山）如图，在等腰直角三角形 ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２槡５，边长为 ２的正方形
ＤＥＦＧ的对角线交点与点 Ｃ重合，连接 ＡＤ，ＢＥ．
（１）求证：△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ；
（２）当点 Ｄ在△ＡＢＣ内部，且∠ＡＤＣ＝９０°时，设 ＡＣ与 ＤＧ相交于点 Ｍ，求 ＡＭ的长；
（３）将正方形 ＤＥＦＧ绕点 Ｃ旋转一周，当点 Ａ，Ｄ，Ｅ三点在同一直线上时，请直接写出 ＡＤ的长．
９６ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第21页
１．已知四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）．
Ａ．当 ＡＢ＝ＢＣ时，它是菱形 Ｂ．当 ＡＣ⊥ＢＤ时，它是菱形
Ｃ．当∠ＡＢＣ＝９０°时，它是矩形 Ｄ．当 ＡＣ＝ＢＤ时，它是正方形
２．（２０２０常州）如图，点 Ｃ在线段 ＡＢ上，且 ＡＣ＝２ＢＣ，分别以 ＡＣ，ＢＣ为边在线段 ＡＢ的同侧作正方形
ＡＣＤＥ，ＢＣＦＧ，连接 ＥＣ，ＥＧ，则 ｔａｎ∠ＣＥＧ＝ ．
第 ２题图 第 ３题图 第 ４题图
３．如图，边长为 １的正方形 ＡＢＣＤ绕点 Ａ逆时针旋转 ４５°后得到正方形 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′，边 Ｂ′Ｃ′与 ＤＣ交于点 Ｏ，
则四边形 ＡＢ′ＯＤ的周长是（ ）．
Ａ．２槡２ Ｂ．３ Ｃ．槡２ Ｄ．１＋槡２
４．如图，Ｅ是边长为 １的正方形 ＡＢＣＤ的对角线 ＢＤ上一点，且 ＢＥ＝ＢＣ，Ｐ为 ＣＥ上任意一点，ＰＱ⊥ＢＣ
于点 Ｑ，ＰＲ⊥ＢＥ于点 Ｒ，则 ＰＱ＋ＰＲ的值是（ ）．
Ａ．槡２
２ Ｂ． １
２ Ｃ．槡３
２ Ｄ． ２
３
５．（２０２１泸州）如图，在边长为 ４的正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是 ＢＣ的中点，点 Ｆ在 ＣＤ上，且 ＣＦ＝３ＤＦ，
ＡＥ，ＢＦ相交于点 Ｇ，则△ＡＧＦ的面积是 ．
第 ５题图 第 ６题图 第 ７题图
６．在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝３ＡＢ，点 Ｇ，Ｈ分别在 ＡＤ，ＢＣ上，连接 ＢＧ，ＤＨ，且 ＢＧ∥ＤＨ，当ＡＧ
ＡＤ＝（ ）
时，四边形 ＢＨＤＧ为菱形．
Ａ． ４
５ Ｂ． ３
５ Ｃ． ４
９ Ｄ． ３
８
７．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上的点，且 ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ＝
１
３ＡＢ，则图中阴影部分的面积与正方形 ＡＢＣＤ的面积之比为（ ）．
Ａ． ２
５ Ｂ． ４
９ Ｃ． １
２ Ｄ． ３
５
第 ８题图
８．如图，ＣＥ是ＡＢＣＤ的边 ＡＢ的垂直平分线，垂足为点 Ｏ，ＣＥ与 ＤＡ
的延长线交于点 Ｅ．连接 ＡＣ，ＢＥ，ＤＯ，ＤＯ与 ＡＣ交于点 Ｆ，则下列
结论：
①四边形 ＡＣＢＥ是菱形；
②∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＥ；
!3# 042 ９７
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第22页
③ＡＦ∶ＢＥ＝２∶３；
④Ｓ四边形ＡＦＯＥ∶Ｓ△ＣＯＤ ＝２∶３．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
９．（２０２０咸宁）如图，四边形 ＡＢＣＤ是边长为 ２的正方形，点 Ｅ是边 ＢＣ上一动点（不与点 Ｂ，Ｃ重合），
∠ＡＥＦ＝９０°，且 ＥＦ交正方形外角的平分线 ＣＦ于点 Ｆ，交 ＣＤ于点 Ｇ，连接 ＡＦ，有下列结论：
①△ＡＢＥ∽△ＥＣＧ；
②ＡＥ＝ＥＦ；
③∠ＤＡＦ＝∠ＣＦＥ；
④△ＣＥＦ的面积的最大值为 １．
其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
１０．如图，顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如右图四边形
ＥＦＧＨ是四边形 ＡＢＣＤ的中点四边形．四边形 ＡＢＣＤ我们称之为原四边形．观
察图形，回答问题：
（１）连接 ＡＣ，ＢＤ，由三角形中位线定理可证四边形 ＥＦＧＨ是 ；
（２）任意四边形的中点四边形是 ；
（３）试根据原四边形 ＡＢＣＤ或中点四边形 ＥＦＧＨ的形状特点，完成下列表格：
原四边形 ＡＢＣＤ形状特点 中点四边形 ＥＦＧＨ的形状
平行四边形
矩形
矩形
菱形
１１．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是边 ＡＢ上的一动点（不与点 Ａ，Ｂ重合），连接 ＤＥ，点 Ａ关于直线 ＤＥ
的对称点为 Ｆ，连接 ＥＦ并延长交 ＢＣ于点 Ｇ，连接 ＤＧ，过点 Ｅ作 ＥＨ⊥ＤＥ交 ＤＧ的延长线于点 Ｈ，
连接 ＢＨ．
（１）求证：ＧＦ＝ＧＣ；
（２）用等式表示线段 ＢＨ与 ＡＥ的数量关系，并证明．
９８ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第23页
１２．如图，四边形 ＡＢＣＤ是边长为 １的正方形，点 Ｅ在 ＡＤ边上运动，且不与点 Ａ和点 Ｄ重合，连接 ＣＥ，
过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＣＥ交 ＡＢ的延长线于点 Ｆ，ＥＦ交 ＢＣ于点 Ｇ．
（１）求证：△ＣＤＥ≌△ＣＢＦ；
（２）当 ＤＥ＝１
２时，求 ＣＧ的长；
（３）连接 ＡＧ，在点 Ｅ运动过程中，四边形 ＣＥＡＧ能否为平行四边形？若能，求出此时 ＤＥ的长；若不
能，说明理由．
１３．（２０２１临沂）如图，已知正方形 ＡＢＣＤ，点 Ｅ是 ＢＣ边上一点，将△ＡＢＥ沿直线 ＡＥ折叠，点 Ｂ落在 Ｆ
处，连接 ＢＦ并延长，与∠ＤＡＦ的平分线相交于点 Ｈ，与 ＡＥ，ＣＤ分别相交于点 Ｇ，Ｍ，连接 ＨＣ．
（１）求证：ＡＧ＝ＧＨ；
（２）若 ＡＢ＝３，ＢＥ＝１，求点 Ｄ到直线 ＢＨ的距离；
（３）当点 Ｅ在 ＢＣ边上（端点除外）运动时，∠ＢＨＣ的大小是否变化？为什么？
!3# 042 ９９
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第24页
第五章 《四边形》测试题
（时间 ４０分钟，满分 １００分）
班别 姓名 学号 成绩
一、选择题（每小题 ３分，共 ３０分）
１．下列语句正确的是（ ）．
Ａ．对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｂ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．平行四边形是轴对称图形
２．（２０２０黄石）下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）．
３．在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ∶∠Ｄ的值可以是（ ）．
Ａ．１∶２∶３∶４ Ｂ．３∶４∶４∶３ Ｃ．３∶３∶４∶４ Ｄ．３∶４∶３∶４
４．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，下列各式不一定正确的是（ ）．
Ａ．∠１＋∠２＝１８０° Ｂ．∠２＋∠３＝１８０°
Ｃ．∠３＋∠４＝１８０° Ｄ．∠２＋∠４＝１８０°
第 ４题图 第 ５题图 第 ６题图
５．如图，在ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＢ，ＧＨ∥ＡＤ，ＥＦ与 ＧＨ交于点 Ｏ，则该图中的平行四边形的个数共有
（ ）．
Ａ．７个 Ｂ．８个 Ｃ．９个 Ｄ．１１个
６．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝５，Ｅ是 ＣＤ上的一点，且 ＡＥ＝１０，则∠ＣＢＥ等于（ ）．
Ａ．１０° Ｂ．１５° Ｃ．２２５° Ｄ．３０°
７．在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，ＡＣ＝１０，ＢＤ＝８，则 ＡＤ的取值范围是（ ）．
Ａ．ＡＤ＞１ Ｂ．ＡＤ＜９ Ｃ．１＜ＡＤ＜９ Ｄ．ＡＤ＞９
８．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝８０°，ＡＢ的垂直平分线交 ＡＣ于 Ｆ，Ｅ为垂足，连接 ＤＦ，则∠ＣＤＦ＝
（ ）．
Ａ．８０° Ｂ．７０° Ｃ．６５° Ｄ．６０°
第 ８题图 第 ９题图 第 １０题图
１００ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第25页
９．（２０２０广东）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＣＤ上，∠ＥＦＤ＝６０°．若将四
边形 ＥＢＣＦ沿 ＥＦ折叠，点 Ｂ恰好落在 ＡＤ边上，则 ＢＥ的长度为（ ）．
Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．２
１０．（２０２０孝感）如图，点 Ｅ在正方形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ上，将△ＡＤＥ绕点 Ａ顺时针旋转 ９０°到△ＡＢＦ的位
置，连接 ＥＦ，过点 Ａ作 ＥＦ的垂线，垂足为点 Ｈ，与 ＢＣ交于点 Ｇ．若 ＢＧ＝３，ＣＧ＝２，则 ＣＥ的长为
（ ）．
Ａ． ５
４ Ｂ．１５
４ Ｃ．４ Ｄ． ９
２
二、填空题（每小题 ４分，共 ２４分）
１１．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，点 Ｅ是 ＡＢ的中点，ＯＥ＝５ｃｍ，则 ＡＤ的
长为 ｃｍ．
１２．如图，∠１是五边形 ＡＢＣＤＥ的一个外角，若∠１＝６５°，则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝ ．
１３．（２０２０哈尔滨）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，点 Ｅ在线段 ＢＯ上，连接 ＡＥ，
若 ＣＤ＝２ＢＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ，ＥＯ＝１，则线段 ＡＥ的长为 ．
第 １１题图 第 １２题图 第 １３题图
１４．（２０２０咸宁）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝２槡５，Ｅ是 ＢＣ的中点，将△ＡＢＥ沿直线 ＡＥ翻折，
点 Ｂ落在点 Ｆ处，连接 ＣＦ，则 ｃｏｓ∠ＥＣＦ的值为 ．
１５．（２０１９攀枝花）正方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ａ２，Ａ２Ｂ２Ｃ２Ａ３，Ａ３Ｂ３Ｃ３Ａ４，…，按如图所示的方式放置，点 Ａ１，Ａ２，
Ａ３，…和点 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，…分别在直线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＞０）和 ｘ轴上．已知点 Ａ１（０，１），点 Ｂ１（１，０），
则 Ｃ５的坐标是 ．
１６．（２０１９东营）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｏ是对角线 ＡＣ，ＢＤ的交点，过点 Ｏ作射线 ＯＭ，ＯＮ分别
交 ＢＣ、ＣＤ于点 Ｅ，Ｆ，且∠ＥＯＦ＝９０°，ＯＣ，ＥＦ交于点 Ｇ．给出下列结论：①△ＣＯＥ≌△ＤＯＦ；
②△ＯＧＥ∽△ＦＧＣ；③四边形 ＣＥＯＦ的面积为正方形 ＡＢＣＤ面积的 １
４；④ＤＦ２ ＋ＢＥ２ ＝ＯＧ·ＯＣ．其中
正确的是（ ）
Ａ①②③④ Ｂ①②③ Ｃ①②④ Ｄ③④
第 １４题图 第 １５题图 第 １６题图
!3# 042 １０１
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第26页
三、解答题（共 ４６分）
１７．（１４分）（２０２０南宁）如图，点 Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｆ在一条直线上，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＣＦ．
（１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ；
（２）连接 ＡＤ，求证：四边形 ＡＢＥＤ是平行四边形．
１８．（１６分）（２０１９泰安）在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＤ于点 Ｅ，点 Ｐ是边 ＡＤ上一点．
（１）若 ＢＰ平分∠ＡＢＤ，交 ＡＥ于点 Ｇ，ＰＦ⊥ＢＤ于点 Ｆ，如图①，证明四边形 ＡＧＦＰ是菱形；
（２）若 ＰＥ⊥ＥＣ，如图②，求证：ＡＥ·ＡＢ＝ＤＥ·ＡＰ；
（３）在（２）的条件下，若 ＡＢ＝１，ＢＣ＝２，求 ＡＰ的长．
１９．（１６分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，∠Ｄ＝３０°，ＡＢ＝ＢＣ．
（１）求∠Ａ＋∠Ｃ的度数；
（２）连接 ＢＤ，探究 ＡＤ，ＢＤ，ＣＤ三者之间的数量关系，并说明理由；
（３）若 ＡＢ＝１，点 Ｅ在四边形 ＡＢＣＤ内部运动，且满足 ＡＥ２＝ＢＥ２＋ＣＥ２
，求点 Ｅ运动路径的长度．
１０２ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第27页
２１（８分）在抗击“新型冠状病毒”期间，某车间接受到一种零件的加工任务，该任务由甲、乙两人来完
成，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 １５倍，现两人各加工 ３００个这种零件，甲比乙少用
５天．
（１）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（２）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 １５０元和 １２０元，现有 １５００个这种零件的加工
任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过 ７８００元，
那么甲至少加工多少天？
２２（１０分）如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ的坐标为（ｍ，０），ｍ＜０，点 Ｂ与点 Ａ关于原点对称，直线
ｙ＝槡３ｘ与双曲线 ｙ＝ｋ
ｘ交于 Ｃ，Ｄ（１，ｔ）两点．
（１）求双曲线的解析式；
（２）当四边形 ＡＣＢＤ为矩形时，求 ｍ的值．
１９４ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第28页
２３（１０分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ在⊙Ｏ上，连接 ＡＣ，ＢＣ，ＯＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，ＥＦ∥ＡＢ交 ＢＣ于点
Ｆ．
（１）尺规作图：在 ＥＦ的延长线上作点 Ｄ，使得∠ＥＣＤ＝∠ＣＦＤ；
（２）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线；
（３）若 ｓｉｎＡ＝３
５，ＢＣ＝６，求 ＣＤ的长．
２４（１２分）已知顶点为 Ｄ的抛物线 ｙ＝ａ（ｘ－３）２
（ａ≠０）交 ｙ轴于点 Ｃ（０，３），且与直线 ｌ交于不同的两点
Ａ，Ｂ（Ａ，Ｂ不与点 Ｄ重合）．
（１）求抛物线的解析式；
（２）若∠ＡＤＢ＝９０°，
①试说明：直线 ｌ必过定点；
②过点 Ｄ作 ＤＦ⊥ｌ，垂足为点 Ｆ，求点 Ｃ到点 Ｆ的最短距离．
)LMNOPK １９５
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第29页
２５（１２分）如图，平面直角坐标系 ｘＯｙ中，等腰△ＡＢＣ的底边 ＢＣ在 ｘ轴上，ＢＣ＝８，顶点 Ａ在 ｙ的正半
轴上，ＯＡ＝２，一动点 Ｅ从（３，０）出发，以每秒 １个单位的速度沿 ＣＢ向左运动，到达 ＯＢ的中点停
止，另一动点 Ｆ从点 Ｃ出发，以相同的速度沿 ＣＢ向左运动，到达点 Ｏ停止，已知点 Ｅ，Ｆ同时出发，
以 ＥＦ为边作正方形 ＥＦＧＨ，使正方形 ＥＦＧＨ和△ＡＢＣ在 ＢＣ的同侧，设运动的时间为 ｔ秒（ｔ≥０）．
（１）当点 Ｈ落在 ＡＣ边上时，求 ｔ的值；
（２）设正方形 ＥＦＧＨ与△ＡＢＣ重叠面积为 Ｓ，请求出当 ４≤ｔ≤５时，Ｓ关于 ｔ的函数关系式；
（３）如图，取 ＡＣ的中点 Ｄ，连接 ＯＤ，当点 Ｅ，Ｆ开始运动时，点 Ｍ从点 Ｏ出发，以每秒 ２槡５个单位
的速度沿 ＯＤ－ＤＣ－ＣＤ－ＤＯ运动，到达点 Ｏ停止运动，请问在点 Ｅ的整个运动过程中，点 Ｍ可
能在正方形 ＥＦＧＨ内（含边界）吗？如果可能，求出点 Ｍ在正方形 ＥＦＧＨ内（含边界）的时长；若不
可能，请说明理由．
１９６ %(
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第30页
图 １
答：海监船追到可疑船只所用的时间为 ３＋槡３小时．
１６．（１）如图 １所示为所求．
（２）设∠ＯＰＭ＝α，
∵线段 ＰＭ绕点 Ｐ顺时针旋转 １５０°得到线段 ＰＮ，
∴∠ＭＰＮ＝１５０°，ＰＭ＝ＰＮ，
∴∠ＯＰＮ＝∠ＭＰＮ－∠ＯＰＭ＝１５０°－α．
∵∠ＡＯＢ＝３０°，
∴∠ＯＭＰ＝１８０°－∠ＡＯＢ－∠ＯＰＭ＝１８０°－３０°－α＝１５０°－α，
∴∠ＯＭＰ＝∠ＯＰＮ．
（３）若 ＯＮ＝ＱＰ时 ａ＝２．证明如下：
过点 Ｎ作 ＮＣ⊥ＯＢ于点 Ｃ，过点 Ｐ作 ＰＤ⊥ＯＡ于点 Ｄ，如图 ２．
图 ２
∴∠ＮＣＰ＝∠ＰＤＭ＝∠ＰＤＱ＝９０°．
∵∠ＡＯＢ＝３０°，ＯＰ＝２，
∴ＰＤ＝１
２ＯＰ＝１，
∴ＯＤ＝槡ＯＰ２－ＰＤ２ ＝槡３．
∵ＯＨ＝槡３＋１，
∴ＤＨ＝ＯＨ－ＯＤ＝１．
∵∠ＯＭＰ＝∠ＯＰＮ，
∴１８０°－∠ＯＭＰ＝１８０°－∠ＯＰＮ，
即∠ＰＭＤ＝∠ＮＰＣ．
在△ＰＤＭ与△ＮＣＰ中，
∠ＰＤＭ＝∠ＮＣＰ，
∠ＰＭＤ＝∠ＮＰＣ， {ＰＭ＝ＮＰ，
∴△ＰＤＭ≌△ＮＣＰ（ＡＡＳ）．
∴ＰＤ＝ＮＣ，ＤＭ＝ＣＰ．
设 ＤＭ＝ＣＰ＝ｘ，则 ＯＣ＝ＯＰ＋ＰＣ＝２＋ｘ，ＭＨ＝ＭＤ＋ＤＨ＝ｘ＋１，
∵点 Ｍ关于点 Ｈ的对称点为 Ｑ，
∴ＨＱ＝ＭＨ＝ｘ＋１，
∴ＤＱ＝ＤＨ＋ＨＱ＝１＋ｘ＋１＝２＋ｘ，
∴ＯＣ＝ＤＱ．
在△ＯＣＮ与△ＱＤＰ中，
ＯＣ＝ＱＤ，
∠ＯＣＮ＝∠ＱＤＰ＝９０°， {ＮＣ＝ＰＤ，
∴△ＯＣＮ≌△ＱＤＰ（ＳＡＳ）．
∴ＯＮ＝ＱＰ．
第五章 四边形
第 １９讲 多边形与平行四边形
知识梳理
定义：首尾顺次 相等 相等
性质：（ｎ－２）·１８０° ３６０° ｎ（ｎ－３）
２ ３ 轴 偶数
性质：１．瓛 瓛 ２．∠Ｃ ∠Ｂ ３．ＯＣ ＯＤ ４．相等 ５．中心
判定：２． ＝ ＝ ３．相等 ∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ ４．ＡＢ瓛ＣＤ或 ＡＤ瓛ＢＣ ５．互相平分 ＯＣ
典型例题
例 １ （１）△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ） （２）∠ＢＡＥ＝８０°
例 ２ （１）ＡＤ＝２槡６１ｃｍ，ＢＤ＝１０ｃｍ （２）Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝１２０ｃｍ２ （３）ＢＨ＝６０槡６１
６１ ｃｍ 例 ３ 略
例 ４ ∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ＡＤ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＡＢ，ＤＣ∥ＡＢ，
∵ＡＤ＝３，ＡＢ＝ＣＦ＝２，
∴ＣＤ＝２，ＢＣ＝３，
∴ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ＝５，
∵△ＢＥＦ是等边三角形，Ｇ为 ＤＥ的中点，
∴ＢＦ＝ＢＥ＝５，ＤＧ＝ＥＧ，
延长 ＣＧ交 ＢＥ于点 Ｈ，
∵ＤＣ∥ＡＢ，
∴∠ＣＤＧ＝∠ＨＥＧ，
在△ＤＣＧ和△ＥＨＧ中，
!"#$ ２１７
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第31页
∠ＣＤＧ＝∠ＨＥＧ，
ＤＧ＝ＥＧ， {∠ＤＧＣ＝∠ＥＧＨ，
∴△ＤＣＧ≌△ＥＨＧ（ＡＳＡ），
∴ＤＣ＝ＥＨ，ＣＧ＝ＨＧ，
∵ＣＤ＝２，ＢＥ＝５，
∴ＨＥ＝２，ＢＨ＝３，
∵∠ＣＢＨ＝６０°，ＢＣ＝ＢＨ＝３，
∴△ＣＢＨ是等边三角形，
∴ＣＨ＝ＢＣ＝３，
∴ＣＧ＝１
２ＣＨ＝３
２．
基础检测
１．Ｄ ２．Ｄ ３．Ｂ ４．Ａ ５．Ａ ６．２６° ７．Ｄ ８．２０或 ２８ ９．２槡３ １０．８
１１．（１）∵ＡＤ∥ＢＣ，
∴∠ＤＡＦ＝∠Ｅ，
∵点 Ｆ是 ＣＤ的中点，
∴ＤＦ＝ＣＦ，
在△ＡＤＦ与△ＥＣＦ中，
∠ＤＡＦ＝∠Ｅ，
∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＣ， {ＤＦ＝ＣＦ，
∴△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ（ＡＡＳ）；
（２）∵△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ，
∴ＡＤ＝ＥＣ，
∵ＣＥ＝ＢＣ，
∴ＡＤ＝ＢＣ，
∵ＡＤ∥ＢＣ，
∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．
１２．（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，
∵ＤＥ＝ＡＤ，
∴ＤＥ＝ＢＣ，ＤＥ∥ＢＣ，
∴四边形 ＢＣＥＤ是平行四边形；
（２）解：连接 ＢＥ，
∵ＤＡ＝ＤＢ＝２，ＤＥ＝ＡＤ，
∴ＡＤ＝ＢＤ＝ＤＥ＝２，
∴∠ＡＢＥ＝９０°，ＡＥ＝４，
∵ｃｏｓＡ＝１
４，
∴ＡＢ＝１，
∴ＢＥ＝槡ＡＥ２－ＡＢ２ ＝槡１５．
１３．（１）如图 １，Ｆ点就是所求作的点：
（２）如图 ２，点 Ｎ就是所求作的点：
第 ２０讲 矩形
知识梳理
性质：１．ＯＣ ＯＤ
判定：１．∠Ａ（答案不唯一） ２．ＡＣ＝ＢＤ ３．∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°
典型例题
例 １ （１）∵平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｏ，
∴ＡＯ＝ＣＯ，
又∵点 Ｍ，Ｎ分别为 ＯＡ，ＯＣ的中点，
∴ＡＭ＝ＣＮ，
∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ，
∴∠ＢＡＭ＝∠ＤＣＮ，
在△ＡＭＢ和△ＣＮＤ中，
２１８ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第32页
ＡＭ＝ＣＮ，
∠ＢＡＭ＝∠ＤＣＮ， {ＡＤ＝ＣＤ，
∴△ＡＭＢ≌△ＣＮＤ（ＳＡＳ）；
（２）∵△ＡＭＢ≌△ＣＮＤ，
∴ＢＭ＝ＤＮ，∠ＡＢＭ＝∠ＣＤＮ，
又∵ＢＭ＝ＥＭ，
∴ＤＮ＝ＥＭ，
∵ＡＢ∥ＣＤ，
∴∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ，
∴∠ＭＢＯ＝∠ＮＤＯ，
∴ＭＥ∥ＤＮ．
∴四边形 ＤＥＭＮ是平行四边形，
∵ＢＤ＝２ＡＢ，ＢＤ＝２ＢＯ，
∴ＡＢ＝ＯＢ，
又∵Ｍ是 ＡＯ的中点，
∴ＢＭ⊥ＡＯ，
∴∠ＥＭＮ＝９０°，
∴四边形 ＤＥＭＮ是矩形，
∵ＡＢ＝５，ＤＮ＝ＢＭ＝４，
∴ＡＭ＝３＝ＭＯ，
∴ＭＮ＝６，
∴矩形 ＤＥＭＮ的面积 ＝６×４＝２４．
例 ２ （１）∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，
∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ．
由折叠的性质可得：ＢＣ＝ＣＥ，ＡＢ＝ＡＥ，
∴ＡＤ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＣＤ．
在△ＡＤＥ和△ＣＥＤ中，
ＡＤ＝ＣＥ，
ＡＥ＝ＣＤ， {ＤＥ＝ＥＤ，
∴△ＡＤＥ≌△ＣＥＤ（ＳＳＳ）．
（２）由（１）得△ＡＤＥ≌△ＣＥＤ，
∴∠ＤＥＡ＝∠ＥＤＣ，即∠ＤＥＦ＝∠ＥＤＦ．
∴ＥＦ＝ＤＦ．
∴△ＤＥＦ是等腰三角形．
（３）５６°
例 ３ 连接 ＤＭ，过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ＢＣ于点 Ｇ，
设 ＤＥ＝ｘ＝ＥＭ，则 ＥＡ＝２－ｘ，
∵ＡＥ２＋ＡＭ２＝ＥＭ２
，
∴（２－ｘ）２＋ｔ２＝ｘ２
，
解得 ｘ＝ｔ２
４＋１，
∴ＤＥ＝ｔ２
４＋１，
∵折叠矩形纸片 ＡＢＣＤ，使点 Ｄ落在 ＡＢ边的点 Ｍ处，
∴ＥＦ⊥ＤＭ，
∠ＡＤＭ＋∠ＤＥＦ＝９０°，
∵ＥＧ⊥ＡＤ，
∴∠ＤＥＦ＋∠ＦＥＧ＝９０°，
∴∠ＡＤＭ＝∠ＦＥＧ，
∴ｔａｎ∠ＡＤＭ＝ＡＭ
ＡＤ＝ ｔ
２＝ＦＧ
１，
∴ＦＧ＝ ｔ
２，
∵ＣＧ＝ＤＥ＝ｔ２
４＋１，
∴ＣＦ＝ｔ２
４－ ｔ
２＋１，
∴Ｓ四边形ＣＤＥＦ ＝１
２（ＣＦ＋ＤＥ）×１＝１
４ｔ２－１
４ｔ＋１．
基础检测
１．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｂ ４．Ｂ ５．３０° ６．３槡３ ７． ４
３ ８．Ｂ ９．Ｄ １０．Ｃ １１．Ｃ
１２．（１）ＢＤ＝ＣＤ．可由四边形 ＡＦＢＤ是平行四边形及△ＡＦＥ≌△ＤＣＥ得到 ＢＤ＝ＡＦ＝ＣＤ．
（２）当 ＡＢ＝ＡＣ时，四边形 ＡＦＢＤ是矩形．
!"#$ ２１９
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第33页
１３．（１）证明：由折叠可知，ＡＤ＝ＥＤ，∠ＢＣＯ＝∠ＤＣＯ＝∠ＡＤＯ＝∠ＣＤＯ＝４５°
∴ＢＣ＝ＤＥ，∠ＣＯＤ＝９０°，ＯＣ＝ＯＤ，
在△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ中，
ＯＣ＝ＯＤ，
∠ＯＣＢ＝∠ＯＤＥ， {ＢＣ＝ＤＥ，
∴△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ（ＳＡＳ）；
（２）过点 Ｏ作 ＯＨ⊥ＣＤ于点 Ｈ．
由（１）△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ知，
ＯＥ＝ＯＢ，
∵ＢＣ＝ｘ，则 ＡＤ＝ＤＥ＝ｘ，
∴ＣＥ＝８－ｘ，
∵ＯＣ＝ＯＤ，∠ＣＯＤ＝９０°
∴ＣＨ＝１
２ＣＤ＝１
２ＡＢ＝１
２×８＝４，
ＯＨ＝１
２ＣＤ＝４，
∴ＥＨ＝ＣＨ－ＣＥ＝４－（８－ｘ）＝ｘ－４
在 Ｒｔ△ＯＨＥ中，由勾股定理得
ＯＥ２＝ＯＨ２＋ＥＨ２
，
即 ＯＢ２＝４２＋（ｘ－４）２
，
∴ｙ关于 ｘ的关系式为：ｙ＝ｘ２－８ｘ＋３２．
第 ２１讲 菱形
知识梳理
性质：１．①ＡＤ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ ②垂直平分
判定：①ＡＤ＝ＡＢ ②ＡＣ⊥ＢＤ ③ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ
典型例题
例 １ （１）∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，
∴ＢＤ⊥ＡＣ，∠ＤＡＯ＝∠ＢＡＯ，
∵Ｅ是 ＡＤ的中点，
∴ＡＥ＝ＯＥ＝１
２ＡＤ，
∴∠ＥＡＯ＝∠ＡＯＥ，
∴∠ＡＯＥ＝∠ＢＡＯ，
∴ＯＥ∥ＦＧ，
∵ＯＧ∥ＥＦ，
∴四边形 ＯＥＦＧ是平行四边形，
∵ＥＦ⊥ＡＢ，
∴∠ＥＦＧ＝９０°，
∴四边形 ＯＥＦＧ是矩形；
（２）∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，
∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝１０，
∴∠ＡＯＤ＝９０°，
∵Ｅ是 ＡＤ的中点，
∴ＯＥ＝ＡＥ＝１
２ＡＤ＝５；
由（１）知，四边形 ＯＥＦＧ是矩形，
∴ＦＧ＝ＯＥ＝５，
∵ＡＥ＝５，ＥＦ＝４，
∴ＡＦ＝槡ＡＥ２－ＥＦ２ ＝３，
∴ＢＧ＝ＡＢ－ＡＦ－ＦＧ＝１０－３－５＝２．
∴ＯＥ＝５，ＢＧ＝２．
例 ２ （１）证明：由题意可得△ＢＣＥ≌△ＢＦＥ，
∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＥＦ，ＦＥ＝ＣＥ．
∵ＦＧ∥ＣＥ，
∴∠ＦＧＥ＝∠ＣＥＢ，
∴∠ＦＧＥ＝∠ＦＥＧ，
∴ＦＧ＝ＦＥ，
∴ＦＧ＝ＥＣ，
∴四边形 ＣＥＦＧ是平行四边形．
又∵ＣＥ＝ＦＥ，
∴四边形 ＣＥＦＧ是菱形；
（２）∵矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝１０，ＢＣ＝ＢＦ，
∴∠ＢＡＦ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝ＢＦ＝１０，
２２０ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第34页
∴
Ａ
Ｆ
＝
８
，
∴
Ｄ
Ｆ
＝
２
．
设
Ｅ
Ｆ
＝
ｘ
，
则
ＣＥ
＝
ｘ
，
Ｄ
Ｅ
＝
６
－
ｘ
，
∵
∠
ＦＤ
Ｅ
＝
９
０
°
，
∴
２
２
＋
（
６
－
ｘ
）
２
＝
ｘ
２
，
解
得
ｘ
＝
１
０３
，
∴
ＣＥ
＝
１
０３
，
∴
四
边
形
ＣＥ
Ｆ
Ｇ
的
面
积
为
ＣＥ
·
Ｄ
Ｆ
＝
１
０３
×
２
＝
２
０３
．
例
３
（
１
）
如
图
所
示
：
点
Ｃ
即
为
所
求
；
（
２
）
①
证
明
：
∵
∠
Ａ
Ｂ
Ｄ
＝
∠
Ａ
Ｄ
Ｂ
，
∴
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｄ
，
∵
Ｃ
是
点
Ａ
关
于
Ｂ
Ｄ
的
对
称
点
，
∴
ＣＢ
＝
Ａ
Ｂ
，
ＣＤ
＝
Ａ
Ｄ
，
∴
Ａ
Ｂ
＝
Ｂ
Ｃ
＝
ＣＤ
＝
Ａ
Ｄ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
菱
形
；
②
过
Ｂ
点
作
Ｂ
Ｆ
⊥
Ａ
Ｄ
于
Ｆ
，
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
菱
形
，
∴
Ａ
Ｃ
⊥
Ｂ
Ｄ
，
Ｏ
Ｂ
＝
１２
Ｂ
Ｄ
＝
５
，
∵
Ｅ
是
Ｂ
Ｃ
的
中
点
，
∴
Ｂ
Ｃ
＝
２
Ｏ
Ｅ
＝
１
３
，
∴
Ｏ
Ｃ
＝
槡
Ｂ
Ｃ
２
－
Ｏ
Ｂ
２
＝
１
２
，
∴
ＯＡ
＝
１
２
，
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
菱
形
，
∴
Ａ
Ｄ
＝
１
３
，
∴
Ｂ
Ｆ
＝
１２
×
１
２
×
５
×
２
×
２
÷
１
３
＝
１
２
０
１
３
，
故
点
Ｅ
到
Ａ
Ｄ
的
距
离
是
１
２
０
１
３
．
基
础
检
测
１
．
１
８
槡
３
２
．
Ｂ
３
．
Ｃ
４
．
４
５
°
５
．
Ｂ
６
．
（
２
槡
３
－
３
，
２
－
槡
３
）
７
．
４３
π
８
．
（
１
）
证
明
：
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
平
行
四
边
形
，
∴
Ａ
Ｄ
＝
ＣＢ
，
Ａ
Ｄ
∥
Ｂ
Ｃ
，
∴
∠
Ａ
Ｄ
Ｂ
＝
∠
ＣＢ
Ｄ
，
∴
∠
Ａ
Ｄ
Ｅ
＝
∠
ＣＢ
Ｆ
．
在
△
Ａ
Ｄ
Ｅ
和
△
ＣＢ
Ｆ
中
，
Ａ
Ｄ
＝
ＣＢ
，
∠
Ａ
Ｄ
Ｅ
＝
∠
ＣＢ
Ｆ
，
{
Ｄ
Ｅ
＝
Ｂ
Ｆ
，
∴
△
Ａ
Ｄ
Ｅ
≌
△
ＣＢ
Ｆ
（
Ｓ
Ａ
Ｓ
）
．
（
２
）
解
：
当
Ｂ
Ｄ
平
分
∠
Ａ
Ｂ
Ｃ
时
，
四
边
形
Ａ
Ｆ
ＣＥ
是
菱
形
．
理
由
：
∵
Ｂ
Ｄ
平
分
∠
Ａ
Ｂ
Ｃ
，
∴
∠
Ａ
Ｂ
Ｄ
＝
∠
ＣＢ
Ｄ
．
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
平
行
四
边
形
，
∴
ＯＡ
＝
Ｏ
Ｃ
，
Ｏ
Ｂ
＝
Ｏ
Ｄ
，
Ａ
Ｄ
∥
Ｂ
Ｃ
．
∴
∠
Ａ
Ｄ
Ｂ
＝
∠
ＣＢ
Ｄ
，
∴
∠
Ａ
Ｂ
Ｄ
＝
∠
Ａ
Ｄ
Ｂ
．
∴
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｄ
，
∴
平
行
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
菱
形
，
∴
Ａ
Ｃ
⊥
Ｂ
Ｄ
，
∴
Ａ
Ｃ
⊥
Ｅ
Ｆ
．
∵
Ｄ
Ｅ
＝
Ｂ
Ｆ
，
∴
Ｏ
Ｅ
＝
Ｏ
Ｆ
．
又
∵
ＯＡ
＝
Ｏ
Ｃ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｆ
ＣＥ
是
平
行
四
边
形
．
∵
Ａ
Ｃ
⊥
Ｅ
Ｆ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｆ
ＣＥ
是
菱
形
．
９
．
（
１
）
证
明
：
∵
Ａ
Ｂ
∥
ＣＤ
，
∴
∠
ＣＡ
Ｂ
＝
∠
Ａ
ＣＤ
．
∵
Ａ
Ｃ
平
分
∠
ＢＡ
Ｄ
，
∴
∠
ＣＡ
Ｂ
＝
∠
ＣＡ
Ｄ
，
∴
∠
ＣＡ
Ｄ
＝
∠
Ａ
ＣＤ
，
∴
Ａ
Ｄ
＝
ＣＤ
．
又
∵
Ａ
Ｄ
＝
Ａ
Ｂ
，
∴
Ａ
Ｂ
＝
ＣＤ
．
又
∵
Ａ
Ｂ
∥
ＣＤ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
平
行
四
边
形
．
又
∵
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｄ
，
∴
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
菱
形
．
!
"
#
$
２
２
１
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第35页
（
２
）
解
：
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
菱
形
，
对
角
线
Ａ
Ｃ
，
Ｂ
Ｄ
交
于
点
Ｏ
，
∴
Ａ
Ｃ
⊥
Ｂ
Ｄ
，
ＯＡ
＝
Ｏ
Ｃ
＝
１２
Ａ
Ｃ
，
Ｏ
Ｂ
＝
Ｏ
Ｄ
＝
１２
Ｂ
Ｄ
，
∴
Ｏ
Ｂ
＝
１２
Ｂ
Ｄ
＝
１
．
在
Ｒ
ｔ
△
Ａ
Ｏ
Ｂ
中
，
∠
Ａ
Ｏ
Ｂ
＝
９
０
°
，
∴
ＯＡ
＝
槡
Ａ
Ｂ
２
－
Ｏ
Ｂ
２
＝
２
．
∵
ＣＥ
⊥
Ａ
Ｂ
，
∴
∠
Ａ
Ｅ
Ｃ
＝
９
０
°
．
在
Ｒ
ｔ
△
Ａ
Ｅ
Ｃ
中
，
∠
Ａ
Ｅ
Ｃ
＝
９
０
°
，
Ｏ
为
Ａ
Ｃ
中
点
，
∴
Ｏ
Ｅ
＝
１２
Ａ
Ｃ
＝
ＯＡ
＝
２
．
１
０
．
（
１
）
证
明
：
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
平
行
四
边
形
，
∴
Ａ
Ｆ
∥
Ｂ
Ｅ
，
∵
Ａ
Ｆ
＝
Ｂ
Ｅ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
是
平
行
四
边
形
，
∵
ＢＡ
＝
Ｂ
Ｅ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
是
菱
形
；
（
２
）
如
图
所
示
：
点
Ｐ
即
为
所
求
．
１
１
．
（
１
）
∵
ＣＥ
∥
Ｂ
Ｄ
，
Ｄ
Ｅ
∥
Ａ
Ｃ
，
∴
四
边
形
Ｏ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
是
平
行
四
边
形
．
∵
Ａ
Ｃ
⊥
Ｂ
Ｄ
，
∴
∠
Ｄ
Ｏ
Ｃ
＝
９
０
°
．
∴
四
边
形
Ｏ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
是
矩
形
．
（
２
）
如
图
，
过
点
Ｅ
作
Ｅ
Ｆ
⊥
Ａ
Ｄ
，
交
Ａ
Ｄ
的
延
长
线
于
Ｆ
．
∵
Ａ
Ｃ
⊥
Ｂ
Ｄ
，
∠
Ａ
Ｄ
Ｂ
＝
６
０
°
，
Ａ
Ｄ
＝
２
槡
３
，
∴
Ｏ
Ｄ
＝
槡
３
，
Ａ
Ｏ
＝
Ｏ
Ｃ
＝
３
．
∵
四
边
形
Ｏ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
是
矩
形
，
∴
Ｄ
Ｅ
＝
Ｏ
Ｃ
＝
３
，
∠
Ｏ
Ｄ
Ｅ
＝
９
０
°
．
又
∵
∠
Ａ
Ｄ
Ｏ
＋
∠
Ｏ
Ｄ
Ｅ
＋
∠
ＥＤ
Ｆ
＝
１
８
０
°
，
∴
∠
ＥＤ
Ｆ
＝
３
０
°
．
在
Ｒ
ｔ
△
Ｄ
Ｅ
Ｆ
中
，
∠
Ｆ
＝
９
０
°
，
∠
ＥＤ
Ｆ
＝
３
０
°
，
∴
Ｅ
Ｆ
＝
１２
Ｄ
Ｅ
＝
３２
，
Ｄ
Ｆ
＝
３２
槡
３
．
在
Ｒ
ｔ
△
Ａ
ＦＥ
中
，
∠
Ｄ
ＦＥ
＝
９
０
°
，
∴
ｔ
ａ
ｎ
∠
ＥＡ
Ｄ
＝
Ｅ
Ｆ
Ａ
Ｆ
＝
Ｅ
Ｆ
Ａ
Ｄ
＋
Ｄ
Ｆ
＝
３２
２
槡
３
＋
３２
槡
３
＝
槡
３７
．
第
２
２
讲
特
殊
平
行
四
边
形
的
综
合
应
用
知
识
梳
理
性
质
：
１
．
②
⊥
Ｂ
Ｏ
＝
Ｃ
Ｏ
＝
Ｄ
Ｏ
判
定
：
①
矩
形
②
菱
形
③
矩
形
④
⊥
图
１
图
２
典
型
例
题
例
１
（
１
）
证
明
：
（
方
法
１
）
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
正
方
形
，
∴
ＯＡ
＝
Ｏ
Ｂ
，
∠
ＤＡ
Ｏ
＝
４
５
°
，
∠
Ｏ
ＢＡ
＝
４
５
°
．
则
∠
ＯＡ
Ｍ
＝
∠
Ｏ
Ｂ
Ｎ
＝
１
３
５
°
．
∵
∠
Ｅ
Ｏ
Ｆ
＝
９
０
°
，
∠
Ａ
Ｏ
Ｂ
＝
９
０
°
，
∴
∠
Ａ
Ｏ
Ｍ
＝
∠
Ｂ
Ｏ
Ｎ
，
则
△
ＯＡ
Ｍ
≌
△
Ｏ
Ｂ
Ｎ
（
Ａ
Ｓ
Ａ
）
，
即
Ｏ
Ｍ
＝
Ｏ
Ｎ．
（
方
法
２
）
如
图
１
．
∵
∠
Ｍ
Ｏ
Ｎ
＝
９
０
°
，
∠
ＭＡ
Ｎ
＝
９
０
°
，
∴
点
Ｍ
，
Ａ
，
Ｏ
，
Ｎ
四
点
共
圆
．
则
∠
Ｏ
ＭＮ
＝
∠
ＯＡ
Ｂ
＝
４
５
°
，
即
Ｏ
Ｍ
＝
Ｏ
Ｎ
，
（
２
）
如
图
２
，
过
点
Ｏ
作
Ｏ
Ｈ
⊥
Ａ
Ｄ
于
点
Ｈ
，
∵
正
方
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
的
边
长
为
４
，
∴
Ｏ
Ｈ
＝
２
，
ＨＡ
＝
２
．
∵
Ｅ
为
Ｏ
Ｍ
的
中
点
，
∴
ＨＭ
＝
４
，
则
Ｏ
Ｍ
＝
槡
２
２
＋
４
２
＝
２
槡
５
．
即
ＭＮ
＝
槡
２
Ｏ
Ｍ
＝
２
槡
１
０
．
例
２
（
１
）
四
边
形
Ａ
ＦＨＥ
是
正
方
形
，
理
由
如
下
：
∵
Ｒ
ｔ
△
Ａ
Ｂ
Ｅ
绕
Ａ
点
逆
时
针
方
向
旋
转
９
０
°
得
到
△
Ａ
Ｄ
Ｆ
，
∴
Ｒ
ｔ
△
Ａ
Ｂ
Ｅ
≌
Ｒ
ｔ
△
Ａ
Ｄ
Ｆ
，
∴
∠
Ａ
ＥＢ
＝
∠
Ａ
ＦＤ
＝
９
０
°
，
２
２
２
&
'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第36页
∴∠ＡＦＨ＝９０°．
∵Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ，
∴∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＥ．
又∵∠ＤＡＦ＋∠ＦＡＢ＝９０°，
∴∠ＢＡＥ＋∠ＦＡＢ＝９０°，
∴∠ＦＡＥ＝９０°．
在四边形 ＡＦＨＥ中，∠ＦＡＥ＝９０°，∠ＡＥＢ＝９０°，∠ＡＦＨ＝９０°，
∴四边形 ＡＦＨＥ是矩形．
又∵ＡＥ＝ＡＦ，∴矩形 ＡＦＨＥ是正方形；
（２）设 ＡＥ＝ｘ，则由（１）以及题意可知 ＡＥ＝ＥＨ＝ＦＨ＝ＡＦ＝ｘ，ＢＨ＝７，ＢＣ＝ＡＢ＝１３．
在 Ｒｔ△ＡＥＢ中，ＡＢ２＝ＡＥ２＋ＢＥ２
，
即 １３２＝ｘ２＋（ｘ＋７）２
，
解得 ｘ＝５．
∴ＢＥ＝ＢＨ＋ＥＨ＝５＋７＝１２，
∴ＤＦ＝ＢＥ＝１２．
又∵ＤＨ＝ＤＦ＋ＦＨ，
∴ＤＨ＝１２＋５＝１７．
例 ３ （１）证明：如图 １．
∵四边形 ＤＥＦＧ是正方形，
∴∠ＤＣＥ＝９０°，ＣＤ＝ＣＥ．
∵∠ＡＣＢ＝９０°，
∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ＝９０°－∠ＢＣＤ．
在△ＡＣＤ和△ＢＣＥ中，
ＡＣ＝ＢＣ，
∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， {ＣＤ＝ＣＥ，
∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）；
（２）解：如图 ２，过点 Ｍ作 ＭＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ，则∠ＡＨＭ＝∠ＤＨＭ＝９０°．
∵∠ＤＣＧ＝９０°，ＣＤ＝ＣＧ，
∴∠ＣＤＧ＝∠ＣＧＤ＝４５°．
∵∠ＡＤＣ＝９０°，
∴∠ＭＤＨ＝９０°－４５°＝４５°，
∴ＭＨ＝ＤＨ·ｔａｎ４５°＝ＤＨ．
∵ＣＤ＝ＤＧ·ｓｉｎ４５°＝２×槡２
２＝槡２，ＡＣ＝２槡５，
∴ＡＤ＝槡（２槡５）２－（槡２）２ ＝３槡２，
∴ＭＨ
ＡＨ＝ＣＤ
ＡＤ＝ｔａｎ∠ＣＡＤ＝槡２
３槡２
＝１
３，
∴ＡＨ＝３ＭＨ＝３ＤＨ，
∴３ＤＨ＋ＤＨ＝３槡２，
∴ＭＨ＝ＤＨ＝３槡２
４ ．
∵ＭＨ
ＡＭ＝ＣＤ
ＡＣ＝ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝槡２
２槡５
＝ １
槡１０
，
∴ＡＭ＝槡１０ＭＨ＝槡１０×３槡２
４ ＝３槡５
２ ；
（３）解：如图 ３，Ａ，Ｄ，Ｅ三点在同一直线上，且点 Ｄ在点 Ａ和点 Ｅ之间．
∵ＣＤ＝ＣＥ＝ＣＦ，∠ＤＣＥ＝∠ＥＣＦ＝９０°，
∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝４５°；
由△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，得∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＣ＝１３５°，
∴∠ＢＥＣ＋∠ＣＥＦ＝１８０°，
∴点 Ｂ，Ｅ，Ｆ在同一条直线上，
∴∠ＡＥＢ＝９０°．
∵ＡＥ２＋ＢＥ２＝ＡＢ２
，且 ＤＥ＝２，ＡＤ＝ＢＥ，
∴（ＡＤ＋２）２＋ＡＤ２＝（２槡５）２＋（２槡５）２
，
解得 ＡＤ＝－１＋槡１９或 ＡＤ＝－１－槡１９（不符合题意，舍去）；
如图 ４，Ａ，Ｄ，Ｅ三点在同一直线上，且点 Ｄ在 ＡＥ的延长线上．
∵∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＡＣＦ，ＢＣ＝ＡＣ，ＣＦ＝ＣＥ，
∴△ＢＣＦ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ），
∴∠ＢＦＣ＝∠ＡＥＣ．
∵∠ＣＦＥ＝∠ＣＥＤ＝４５°，
∴∠ＢＦＣ＋∠ＣＦＥ＝∠ＡＥＣ＋∠ＣＥＤ＝１８０°，
∴点 Ｂ，Ｆ，Ｅ在同一条直线上，
!"#$ ２２３
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第37页
∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ＝９０°＋∠ＡＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，
∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ），
∴ＡＤ＝ＢＥ．
∵ＡＥ２＋ＢＥ２＝ＡＢ２
，
∴（ＡＤ－２）２＋ＡＤ２＝（２槡５）２＋（２槡５）２
，
解得 ＡＤ＝１＋槡１９或 ＡＤ＝１－槡１９（不符合题意，舍去）．
综上所述，ＡＤ的长为 槡１９－１或 槡１９＋１．
基础检测
１．Ｄ ２． １
２ ３．Ａ ４．Ａ ５．５６
１１ ６．Ｃ ７．Ａ ８．①②④ ９．①②③
１０．（１）平行四边形 （２）平行四边形 （３）由上至下依次为①任意四边形 ②菱形 ③对角线互相垂直的四边形
④对角线相等的四边形
１１．（１）证明：连接 ＤＦ．
∵Ａ，Ｆ关于 ＤＥ对称，∴ＡＤ＝ＦＤ，ＡＥ＝ＦＥ．
在△ＡＤＥ和△ＦＤＥ中，
ＡＤ＝ＦＤ，
ＡＥ＝ＦＥ， {ＤＥ＝ＤＥ，
∴△ＡＤＥ≌△ＦＤＥ．∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＦＥ．
∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，
∴∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＤＦＥ＝∠Ａ＝９０°，
∴∠ＤＦＧ＝１８０°－∠ＤＦＥ＝９０°，
∴∠ＤＦＧ＝∠Ｃ，
∵ＡＤ＝ＤＦ，ＡＤ＝ＣＤ，∴ＤＦ＝ＣＤ．
在 Ｒｔ△ＤＣＧ和 Ｒｔ△ＤＦＧ中， ＤＣ＝ＤＦ， {ＤＧ＝ＤＧ，
∴Ｒｔ△ＤＣＧ≌Ｒｔ△ＤＦＧ．
∴ＣＧ＝ＦＧ．
（２）ＢＨ＝槡２ＡＥ．
证明：在 ＡＤ上取点 Ｍ使得 ＡＭ＝ＡＥ，连接 ＭＥ．
∵四这形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＤ＝ＡＢ，∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝９０°．
∵△ＤＡＥ≌△ＤＦＥ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ．同理∠ＣＤＧ＝∠ＦＤＧ．∴∠ＥＤＧ＝∠ＥＤＦ ＋
∠ＧＤＦ＝１
２∠ＡＤＦ＋１
２∠ＣＤＦ＝１
２∠ＡＤＣ＝４５°．
∵ＤＥ⊥ＥＨ，∴∠ＤＥＨ＝９０°，∴∠ＥＨＤ＝１８０°－∠ＤＥＨ－∠ＥＤＨ＝４５°．
∴∠ＥＨＤ＝∠ＥＤＨ，∴ＤＥ＝ＥＨ．
∵∠Ａ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝９０°．
∵∠ＤＥＨ＝９０°，
∴∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＨ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＥＨ．
∵ＡＤ＝ＡＢ，ＡＭ＝ＡＥ，∴ＤＭ＝ＥＢ．
在△ＤＭＥ和△ＥＢＨ中，
ＤＭ＝ＥＢ，
∠ＭＤＥ＝∠ＢＥＨ， {ＤＥ＝ＥＨ，
∴△ＤＭＥ≌△ＥＢＨ．∴ＭＥ＝ＢＨ．
在 Ｒｔ△ＡＭＥ中，∠Ａ＝９０°，ＡＥ＝ＡＭ．∴ＭＥ＝槡ＡＥ２＋ＡＭ２ ＝槡２ＡＥ，∴ＢＨ＝槡２ＡＥ．
１２．（１）由正方形性质可得∠ＣＢＦ＝９０°，∴△ＣＤＥ≌△ＣＢＦ（ＡＳＡ）；
（２）由△ＧＢＦ∽△ＥＡＦ可得ＢＧ
ＥＡ＝ＢＦ
ＡＦ，由（１）得 ＢＦ＝ＤＥ＝１
２，∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ＝５
６；
（３）不能．理由：若四边形 ＣＥＡＧ是平行四边形，则必需满足 ＡＥ∥ＣＧ，ＡＥ＝ＣＧ，但由条件可得∠ＣＦＡ＝∠ＧＦＢ＋
∠ＣＦＥ＝９０°，此时点 Ｆ与点 Ｂ重合，点 Ｄ与点 Ｅ重合，与题目条件不符．
１３．（１）证明：∵将△ＡＢＥ沿直线 ＡＥ折叠，点 Ｂ落在 Ｆ处，
∴∠ＢＡＧ＝∠ＧＡＦ＝１
２∠ＢＡＦ，Ｂ，Ｆ关于 ＡＥ对称，
∴ＡＧ⊥ＢＦ，∴∠ＡＧＦ＝９０°．
∵ＡＨ平分∠ＤＡＦ，∴∠ＦＡＨ＝１
２∠ＦＡＤ，
∴∠ＥＡＨ＝∠ＧＡＦ＋∠ＦＡＨ＝１
２∠ＢＡＦ＋１
２∠ＦＡＤ＝１
２（∠ＢＡＦ＋∠ＦＡＤ）＝１
２∠ＢＡＤ．
∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，
∴∠ＢＡＤ＝９０°，
∴∠ＥＡＨ＝１
２∠ＢＡＤ＝４５°．
∵∠ＨＧＡ＝９０°，
∴ＧＡ＝ＧＨ；
（２）解：如图 １，连接 ＤＨ，ＤＦ，交 ＡＨ于点 Ｎ，
由（１）可知 ＡＦ＝ＡＤ，∠ＦＡＨ＝∠ＤＡＨ，
∴ＡＨ⊥ＤＦ，ＦＮ＝ＤＮ，
∴ＤＨ＝ＨＦ，∠ＦＮＨ＝∠ＤＮＨ＝９０°．
２２４ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第38页
又∵∠ＧＨＡ＝４５°，
∴∠ＮＦＨ＝４５°＝∠ＮＤＨ＝∠ＤＨＮ，
∴∠ＤＨＦ＝９０°，
∴ＤＨ的长为点 Ｄ到直线 ＢＨ的距离，
由（１）知 ＡＥ２＝ＡＢ２＋ＢＥ２
，
∴ＡＥ＝槡ＡＢ２＋ＢＥ２ ＝槡３２＋１２ ＝槡１０．
∵∠ＢＡＥ＋∠ＡＥＢ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＧ＝９０°，
∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＧ．
又∠ＡＧＢ＝∠ＡＢＥ＝９０°，
∴△ＡＥＢ∽△ＡＢＧ，
∴ＡＧ
ＡＢ＝ＡＢ
ＡＥ
，ＢＧ
ＢＥ＝ＡＢ
ＡＥ
，
∴ＡＧ＝ＡＢ２
ＡＥ＝ ９
槡１０
＝９槡１０
１０ ，ＢＧ＝ＡＢ·ＢＥ
ＡＥ ＝３×１
槡１０
＝３槡１０
１０ ，
由（１）知 ＧＦ＝ＢＧ，ＡＧ＝ＧＨ，
∴ＧＦ＝３槡１０
１０ ，ＧＨ＝９槡１０
１０ ，
∴ＤＨ＝ＦＨ＝ＧＨ－ＧＦ＝９槡１０
１０ －３槡１０
１０ ＝３槡１０
５ ．
即点 Ｄ到直线 ＢＨ的距离为３槡１０
５ ；
（３）解：不变．理由如下：
方法一：连接 ＢＤ，如图 ２．
在 Ｒｔ△ＨＤＦ中，ＤＨ
ＤＦ＝ｓｉｎ４５°＝槡２
２，
在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＣＤ
ＢＤ＝ｓｉｎ４５°＝槡２
２，
∴ＤＨ
ＤＦ＝ＣＤ
ＢＤ．
∵∠ＢＤＦ＋∠ＣＤＦ＝４５°，∠ＦＤＣ＋∠ＣＤＨ＝４５°，
∴∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＨ，∴△ＢＤＦ∽△ＣＤＨ，∴∠ＣＨＤ＝∠ＢＦＤ．
∵∠ＤＦＨ＝４５°，∴∠ＢＦＤ＝１３５°＝∠ＣＨＤ．
∵∠ＢＨＤ＝９０°，
∴∠ＢＨＣ＝∠ＣＨＤ－∠ＢＨＤ＝１３５°－９０°＝４５°．
方法二：
∵∠ＢＣＤ＝９０°，∠ＢＨＤ＝９０°，
∴点 Ｂ，Ｃ，Ｈ，Ｄ四点共圆，
∴∠ＢＨＣ＝∠ＢＤＣ＝４５°，
∴∠ＢＨＣ的度数不变．
第五章 《四边形》测试题
１．Ｃ ２．Ｄ ３．Ｄ ４．Ｄ ５．Ｃ ６．Ｂ ７．Ｃ ８．Ｄ ９．Ｄ １０．Ｂ
１１．１０ １２．４２５° １３．２槡２ １４．槡５
３ １５．（４７，１６） １６．Ｂ
１７．（１）证明：∵ＢＥ＝ＣＦ，
∴ＢＥ＋ＥＣ＝ＣＦ＋ＥＣ，
∴ＢＣ＝ＥＦ，
在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，
ＡＢ＝ＤＥ，
ＡＣ＝ＤＦ， {ＢＣ＝ＥＦ，
∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＳＳ）；
（２）证明：由（１）得：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，
∴∠Ｂ＝∠ＤＥＦ，
∴ＡＢ∥ＤＥ，
又∵ＡＢ＝ＤＥ，
∴四边形 ＡＢＥＤ是平行四边形．
１８．（１）证明：如图 １中，
图 １
∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，
∴∠ＢＡＤ＝９０°，
∵ＡＥ⊥ＢＤ，
∴∠ＡＥＤ＝９０°，
∴∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＤ＝９０°，∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°，
∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＤＥ，
∵∠ＡＧＰ＝∠ＢＡＧ＋∠ＡＢＧ，∠ＡＰＢ＝∠ＡＤＥ＋∠ＰＢＤ，∠ＡＢＧ＝∠ＰＢＤ，
!"#$ ２２５
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第39页
∴∠ＡＧＰ＝∠ＡＰＧ，
∴ＡＰ＝ＡＧ，
∵ＰＡ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＢＤ，ＢＰ平分∠ＡＢＤ，
∴ＰＡ＝ＰＦ，
∴ＰＦ＝ＡＧ，
∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＰＦ⊥ＢＤ，
∴ＰＦ∥ＡＧ，
∴四边形 ＡＧＦＰ是平行四边形，
∵ＰＡ＝ＰＦ，
∴四边形 ＡＧＦＰ是菱形．
（２）证明：如图 ２中，
图 ２
∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＰＥ⊥ＥＣ，
∴∠ＡＥＤ＝∠ＰＥＣ＝９０°，
∴∠ＡＥＰ＝∠ＤＥＣ，
∵∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°，∠ＡＤＥ＋∠ＣＤＥ＝９０°，
∴∠ＥＡＰ＝∠ＥＤＣ，
∴△ＡＥＰ∽△ＤＥＣ，
∴ＡＥ
ＤＥ＝ＡＰ
ＤＣ
，
∵ＡＢ＝ＣＤ，
∴ＡＥ·ＡＢ＝ＤＥ·ＡＰ．
（３）解：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，
∴ＢＣ＝ＡＤ＝２，∠ＢＡＤ＝９０°，
∴ＢＤ＝槡ＡＢ２＋ＡＤ２ ＝槡５，
∵ＡＥ⊥ＢＤ，
∴Ｓ△ＡＢＤ ＝１
２·ＢＤ·ＡＥ＝１
２·ＡＢ·ＡＤ，
∴ＡＥ＝２槡５
５ ，
∴ＤＥ＝槡ＡＤ２－ＡＥ２ ＝４槡５
５ ，
∵ＡＥ·ＡＢ＝ＤＥ·ＡＰ，
∴ＡＰ＝
２槡５
５ ×１
４槡５
５
＝１
２．
１９．（１）２７０° （２）ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２ （３）π
３
第六章 圆
第 ２３讲 圆的有关性质（１）
知识梳理
１．（１）ＡＣ，ＣＤ，ＡＢ （２）ＡＢ （３） )
ＡＣ， )
ＢＣ， )
ＢＤ， )
ＣＤ， )
ＡＤ （４） ) ＡＢＣ， ) ＢＤＣ， ) ＢＡＤ， ) ＣＡＤ， ) ＡＣＤ （５） ) ＡＣＢ， ) ＡＤＢ
２．ｄ＞ｒ ｄ＝ｒ ｄ＜ｒ ３．不在同一直线上的 斜边中点 ４．直径所在的直线 圆心 平分弦
例 １图
典型例题
例 １ 过 Ｃ作 ＣＥ⊥ＡＤ于 Ｅ，则 ＡＥ＝ＤＥ．
在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，得 ＡＢ＝１３
由面积法 １
２ＡＣ·ＢＣ＝１
２ＡＢ·ＣＥ，得 ＣＥ＝６０
１３．
在 Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＡＣ＝５，ＣＥ＝６０
１３
得 ＡＥ＝２５
１３，∴ＡＤ＝２ＡＥ＝５０
１３
．
例 ２ （１）如图，连接 ＡＣ．
∵直径 ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｆ，
∴ＡＥ垂直平分 ＢＣ，
∴ＡＢ＝ＡＣ，
∴ )
ＡＢ＝ )
ＡＣ，
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ．
∵四边形 ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，
∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°．
∵∠ＣＤＧ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，
∴∠ＣＤＧ＝∠ＡＢＣ，
∴∠ＣＤＧ＝∠ＡＤＢ；
２２６ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第40页
例 ２图
（２）如图，连接 ＯＢ，ＯＣ．
∵∠ＢＤＧ＝１２０°，
∴∠ＡＤＢ＝１８０°－∠ＢＤＧ＝６０°，
∴∠ＡＢＣ＝６０°，
∴△ＡＢＣ是等边三角形，
∴∠ＢＡＣ＝６０°．
由圆周角定理得∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ＝１２０°．
∵直径 ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｆ，ＢＣ＝２槡３，
∴ＢＦ＝１
２ＢＣ＝槡３，∠ＢＯＦ＝１
２∠ＢＯＣ＝６０°．
在 Ｒｔ△ＢＯＦ中，ＯＢ＝ ＢＦ
ｓｉｎ∠ＢＯＦ＝ 槡３
ｓｉｎ６０°＝２，ＯＦ＝槡ＯＢ２－ＢＦ２ ＝１，
则图中阴影部分的面积为 Ｓ扇形ＯＢＣ －Ｓ△ＢＯＣ ＝１２０π×２２
３６０ －１
２×２槡３×１＝４
３π－槡３．
例 ３ （１）如图 １所示，连接 ＯＢ，则 ＯＡ＋ＯＢ≥ＡＢ，当且仅当 Ｂ点在 Ｏ点左边且 Ｂ，Ｏ，Ａ三点共线时“＝”成立；
∴ＡＢ的最大值为 ＯＡ＋ＯＢ，
∴７＋ＯＡ＝１０，
∴ＯＡ＝３．
（２）ＦＤ的长度不变，值为 ７．
理由：如图 １，∵ＡＦ⊥ＯＥ，
∴∠ＯＡＢ＋∠ＢＡＦ＝９０°．
又∵正方形 ＡＢＣＤ中有∠ＢＡＤ＝９０°，
∴∠ＢＡＦ＋∠ＦＡＤ＝９０°，
∴∠ＯＡＢ＝∠ＦＡＤ．
∵ＯＡ＝ＦＡ，ＡＢ＝ＡＤ，
∴△ＯＡＢ≌△ＦＡＤ（ＳＡＳ），
∴ＦＤ＝ＯＢ＝７，
∴ＦＤ的长不变为 ７．
（３）ＤＥ＝２槡１０－４或 ２槡１０＋４．
理由：当点 Ａ，Ｂ，Ｆ三点在一条直线上时，如图 ２所示的两种情况，对于每种情况都有 ＯＢ＝７，ＯＡ＝３，
∴ＡＢ＝槡ＯＢ２－ＯＡ２ ＝槡７２－３２ ＝２槡１０，
∴ＡＤ＝ＡＢ＝２槡１０．
∵ＡＥ＝ＯＥ－ＯＡ＝７－３＝４，
∴当 Ｂ点在 ＯＥ上方时，ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝２槡１０－４；
当 Ｂ点在 ＯＥ下方时，ＤＥ＝ＡＤ＋ＡＥ＝２槡１０＋４．
（４）ＤＥ的最大值为 １２，最小值为 ２．
理由：如图 ３，延长 ＡＦ到 Ｇ使 ＡＧ＝４，连接 ＢＧ．
∵∠ＢＡＤ＝∠ＧＡＥ＝９０°，
∴∠ＢＡＧ＝∠ＤＡＥ．
又∵ＡＧ＝ＡＥ＝４，ＡＢ＝ＡＤ，
∴△ＢＡＧ≌△ＤＡＥ（ＳＡＳ）．
∴ＤＥ＝ＢＧ．
连接 ＯＢ，ＯＧ，
∴ＯＧ＝槡３２＋４２ ＝５．
∵ＯＧ＋ＯＢ≥ＢＧ，ＢＧ≥ＯＢ－ＯＧ，
所以当 Ｂ点位于图中 Ｂ１处时，ＢＧ最大，此时 ＢＧ＝ＯＧ＋ＯＢ＝５＋７＝１２，
当点 Ｂ为于图中 Ｂ２处时，ＢＧ最小，此时 ＢＧ＝ＯＢ－ＯＧ＝７－５＝２，
综上所述，ＢＧ的最大值为 １２，最小值为 ２．
基础检测
１．（１）Ｄ （２）１０ （３）５，７ （４）槡５－槡２ ２．（１）３０ （２）Ｄ （３）３
３．（１）Ａ （２）内、外、上 ４．（１）２槡３ （２）Ｂ
５．（１）Ｂ （２）Ｄ （３）Ａ ６．Ｂ ７．Ｄ
８．（１）４０ｍ （２）１２ｓ
!"#$ ２２７
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第41页
９．（１）以点 Ｃ为圆心，ＣＢ长为半径，作弧交⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＣＤ，ＡＤ，弦 ＣＤ为所求．
（２）如图，连接 ＯＣ，交 ＢＤ于点 Ｅ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝槡１０２－８２ ＝６，
∵ＣＢ＝ＣＤ ∴点 Ｃ是弧 ＢＤ中点，∴ＯＣ⊥ＢＤ，Ｅ是 ＢＤ中点，设 ＯＥ＝ｘ，
则 ＣＥ＝５－ｘ，∴５２－ｘ２＝６２－（５－ｘ）２
，解得 ｘ＝７
５．
∵ＯＥ为△ＡＢＤ的中位线，∴ＡＤ＝２ＯＥ＝２ｘ＝１４
５，
∴四边形 ＡＢＣＤ的周长为 ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝１０＋６＋６＋１４
５＝１２４
５．
１０．（１）解：∵四边形 ＯＣＤＢ是平行四边形，Ｂ（８，０），∴ＣＤ∥ＯＡ，ＣＤ＝ＯＢ＝８．
过点 Ｍ作 ＭＦ⊥ＣＤ于点 Ｆ，则 ＣＦ＝１
２ＣＤ＝４．过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ＯＡ于点 Ｅ，
∵Ａ（１０，０），∴ＯＥ＝ＯＭ－ＭＥ＝ＯＭ－ＣＦ＝５－４＝１．
连接 ＭＣ，则 ＭＣ＝１
２ＯＡ＝５，∴在 Ｒｔ△ＣＭＦ中，ＭＦ＝槡ＭＣ２－ＣＦ２ ＝槡５２－４２ ＝３．
∴点 Ｃ的坐标为（１，３）．
（２）设圆心为 Ｏ，连接 ＯＡ，作 ＯＤ⊥ＡＢ于 Ｄ，交圆于点 Ｃ，交 ＭＮ于点 Ｈ，则 ＡＢ＝７２，ＣＤ＝２４，ＭＮ＝３，设 ＯＡ＝ｒ，
则 ＯＤ＝ｒ－２４，ＡＤ＝３６，由勾股定理得 ｒ＝３９，ＯＨ＝３６，进而得 ＦＮ＝２１．
∵２１米 ＞２米，∴货船可以通过这座拱桥．
１１．（１）∵∠ＡＤＣ＝∠Ｇ，
∴ )
ＡＣ＝ )
ＡＤ，
∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，
∴ )
ＢＣ＝ )
ＢＤ，
∴∠１＝∠２；
（２）如图，连接 ＤＦ，
∵ )
ＡＣ＝ )
ＡＤ，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，
∴ＡＢ⊥ＣＤ，ＣＥ＝ＤＥ，
∴ＦＤ＝ＦＣ＝１０，
∵点 Ｃ，Ｆ关于 ＤＧ对称，
∴ＤＣ＝ＤＦ＝１０，
∴ＤＥ＝５，
∵ｔａｎ∠１＝２
５，
∴ＥＢ＝ＤＥ·ｔａｎ∠１＝２，
∵∠１＝∠２，
∴ｔａｎ∠２＝２
５，
∴ＡＥ＝ ＤＥ
ｔａｎ∠２＝２５
２，
∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ＝２９
２，
∴⊙Ｏ的半径为２９
４．
第 ２３讲 圆的有关性质（２）
知识梳理
１．圆心 弧 弦 ２．相等 一半 相等 直角 直径 直角 ３．互补
典型例题
例 １ （１）∵ )
ＡＣ＝ )
ＢＤ，∴ )
ＡＣ－ )
ＢＣ＝ )
ＢＤ－ )
ＢＣ，即 )
ＡＢ＝ )
ＣＤ，∴ＡＢ＝ＣＤ．
（２）∵∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＢ，∴ )
ＡＣ＝ )
ＢＤ，∴ )
ＡＣ＋ )
ＢＣ＝ )
ＢＤ＋ )
ＢＣ，即 )
ＡＢ＝ )
ＣＤ，∴ＡＢ＝ＣＤ．
例 ２ （１）如图 １，连接 ＡＯ并延长交⊙Ｏ于 Ｄ，连接 ＣＤ，
图 １
则∠ＡＣＤ＝９０°，∠Ｂ＝∠Ｄ，
∵ｓｉｎ∠Ｂ＝ｓｉｎ∠Ｄ＝ＡＣ
ＡＤ＝ＡＣ
２Ｒ，∴ ＡＣ
ｓｉｎＢ＝２Ｒ；
（２）∵ ＡＣ
ｓｉｎＢ＝２Ｒ，
同理可得： ＡＣ
ｓｉｎＢ＝ＡＢ
ｓｉｎＣ＝ＢＣ
ｓｉｎＡ＝２Ｒ，
∴２Ｒ＝ 槡３
ｓｉｎ６０°＝２，
∴ＢＣ＝２Ｒ·ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ４５°＝槡２，
如图 ２，过 Ｃ作 ＣＥ⊥ＡＢ于 Ｅ，
２２８ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第42页
图
２
∴
Ｂ
Ｅ
＝
Ｂ
Ｃ
·
ｃ
ｏ
ｓ
Ｂ
＝
槡
２
ｃ
ｏ
ｓ
６
０
°
＝
槡
２２
，
Ａ
Ｅ
＝
Ａ
Ｃ
·
ｃ
ｏ
ｓ
４
５
°
＝
槡
６２
，
∴
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｅ
＋
Ｂ
Ｅ
＝
槡
６
＋
槡
２
２
，
∵
Ａ
Ｂ
＝
２
Ｒ
·
ｓ
ｉ
ｎ
Ｃ
，
∴
ｓ
ｉ
ｎ
Ｃ
＝
Ａ
Ｂ
２
Ｒ
＝
槡
６
＋
槡
２
４
．
例
３
（
１
）
证
明
：
∵
ＣＤ
＝
Ｄ
Ｆ
，
∴
∠
Ｄ
Ｃ
Ｆ
＝
∠
Ｄ
Ｆ
Ｃ
．
∵
Ｅ
Ｆ
∥
ＣＤ
，
∴
∠
Ｄ
Ｃ
Ｆ
＝
∠
Ｅ
Ｆ
Ｃ
，
∴
∠
Ｄ
Ｆ
Ｃ
＝
∠
Ｅ
Ｆ
Ｃ
，
∴
∠
Ｄ
ＦＥ
＝
２
∠
Ｅ
Ｆ
Ｃ
．
∵
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｆ
，
∴
∠
Ａ
Ｂ
Ｆ
＝
∠
Ａ
ＦＢ
．
∵
ＣＤ
∥
Ｅ
Ｆ
，
ＣＤ
∥
Ａ
Ｂ
，
∴
Ａ
Ｂ
∥
Ｅ
Ｆ
，
∴
∠
Ｅ
ＦＢ
＝
∠
Ａ
ＦＢ
，
∴
∠
Ａ
ＦＥ
＝
２
∠
Ｂ
ＦＥ
．
∵
∠
Ａ
ＦＥ
＋
∠
Ｄ
ＦＥ
＝
１
８
０
°
，
∴
２
∠
Ｂ
ＦＥ
＋
２
∠
Ｅ
Ｆ
Ｃ
＝
１
８
０
°
，
∴
∠
Ｂ
ＦＥ
＋
∠
Ｅ
Ｆ
Ｃ
＝
９
０
°
，
∴
∠
Ｂ
Ｆ
Ｃ
＝
９
０
°
，
∴
Ｃ
Ｆ
⊥
Ｂ
Ｆ
；
（
２
）
证
明
：
如
图
１
，
取
Ａ
Ｄ
的
中
点
Ｏ
，
过
点
Ｏ
作
Ｏ
Ｈ
⊥
Ｂ
Ｃ
于
Ｈ
，
∴
∠
Ｏ
Ｈ
Ｃ
＝
９
０
°
＝
∠
Ａ
Ｂ
Ｃ
，
∴
Ｏ
Ｈ
∥
Ａ
Ｂ
．
∵
Ａ
Ｂ
∥
ＣＤ
，
∴
Ｏ
Ｈ
∥
Ａ
Ｂ
∥
ＣＤ
．
∵
Ａ
Ｂ
∥
ＣＤ
，
Ａ
Ｂ
≠
ＣＤ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
梯
形
，
∴
点
Ｈ
是
Ｂ
Ｃ
的
中
点
，
即
Ｏ
Ｈ
是
梯
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
的
中
位
线
，
∴
Ｏ
Ｈ
＝
１２
（
Ａ
Ｂ
＋
ＣＤ
）
．
∵
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｆ
，
ＣＤ
＝
Ｄ
Ｆ
，
∴
Ｏ
Ｈ
＝
１２
（
Ａ
Ｆ
＋
Ｄ
Ｆ
）
＝
１２
Ａ
Ｄ
．
∵
Ｏ
Ｈ
⊥
Ｂ
Ｃ
，
∴
以
Ａ
Ｄ
为
直
径
的
圆
与
Ｂ
Ｃ
相
切
；
（
３
）
如
图
２
．
由
（
１
）
知
∠
Ｄ
ＦＥ
＝
２
∠
Ｅ
Ｆ
Ｃ
，
∵
∠
Ｄ
ＦＥ
＝
１
２
０
°
，
∴
∠
Ｃ
ＦＥ
＝
６
０
°
．
在
Ｒ
ｔ
△
ＣＥ
Ｆ
中
，
Ｅ
Ｆ
＝
２
，
∠
Ｅ
Ｃ
Ｆ
＝
９
０
°
－
∠
Ｃ
ＦＥ
＝
３
０
°
，
∴
Ｃ
Ｆ
＝
２
Ｅ
Ｆ
＝
４
，
∴
ＣＥ
＝
槡
Ｃ
Ｆ
２
－
Ｅ
Ｆ
２
＝
２
槡
３
．
∵
Ａ
Ｂ
∥
Ｅ
Ｆ
∥
ＣＤ
，
∠
Ａ
Ｂ
Ｃ
＝
９
０
°
，
∴
∠
Ｅ
ＣＤ
＝
∠
ＣＥ
Ｆ
＝
９
０
°
．
过
点
Ｄ
作
Ｄ
Ｍ
⊥
Ｅ
Ｆ
，
交
Ｅ
Ｆ
的
延
长
线
于
Ｍ
，
∴
∠
Ｍ
＝
９
０
°
，
∴
∠
Ｍ
＝
∠
Ｅ
ＣＤ
＝
∠
ＣＥ
Ｆ
＝
９
０
°
，
∴
四
边
形
ＣＥＭＤ
是
矩
形
，
∴
Ｄ
Ｍ
＝
ＣＥ
＝
２
槡
３
．
过
点
Ａ
作
Ａ
Ｎ
⊥
Ｅ
Ｆ
于
Ｎ
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＥＮ
是
矩
形
，
∴
Ａ
Ｎ
＝
Ｂ
Ｅ
．
由
（
１
）
知
∠
Ｃ
ＦＢ
＝
９
０
°
，
∵
∠
Ｃ
ＦＥ
＝
６
０
°
，
∴
∠
Ｂ
ＦＥ
＝
３
０
°
，
在
Ｒ
ｔ
△
Ｂ
Ｅ
Ｆ
中
，
Ｅ
Ｆ
＝
２
，
∴
Ｂ
Ｅ
＝
Ｅ
Ｆ
·
ｔ
ａ
ｎ
３
０
°
＝
２
槡
３
３
，
∴
Ａ
Ｎ
＝
２
槡
３
３
，
∴
Ｓ
△
Ａ
Ｄ
Ｅ
＝
Ｓ
△
Ａ
Ｅ
Ｆ
＋
Ｓ
△
Ｄ
Ｅ
Ｆ
!
"
#
$
２
２
９
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第43页
＝１
２ＥＦ·ＡＮ＋１
２ＥＦ·ＤＭ
＝１
２ＥＦ（ＡＮ＋ＤＭ）
＝１
２×２× ２槡３ ( ３ ＋２槡３) ＝８槡３
３ ．
基础检测
１．Ｄ ２．（１）Ｃ （２）５６° ３．（１）Ｄ （２）Ｃ （３）Ｂ （４）Ｄ ４．（１）Ａ （２）Ｃ （３）Ｃ
５．（１）Ｂ （２）Ｃ ６．（１）＝， ＜ （２）６０°或 １２０° （３）Ｂ （４）槡３ ７．３或 ３槡３或 ３槡７ ８．Ａ
９．（１）∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，
∴∠ＡＢＣ＝９０°．
∵ＰＢ切⊙Ｏ于点 Ｂ，
∴∠ＯＢＰ＝９０°，
∴∠ＰＢＡ＋∠ＡＢＯ＝∠ＯＢＣ＋∠ＡＢＯ＝９０°，
∴∠ＰＢＡ＝∠ＯＢＣ；
（２）∵∠ＰＢＡ＝２０°，∠ＰＢＡ＝∠ＯＢＣ，
∴∠ＯＢＣ＝２０°．
∵ＯＢ＝ＯＣ，
∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝２０°，
∴∠ＡＯＢ＝２０°＋２０°＝４０°．
∵ＯＢ＝ＯＡ，
∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝（１８０°－４０°）÷２＝７０°，
∴∠ＡＤＢ＝１
２∠ＡＯＢ＝２０°．
∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，
∴∠ＡＤＣ＝９０°，
∴∠ＣＤＥ＝９０°－２０°＝７０°，
∴∠ＣＤＥ＝∠ＯＡＢ．
∵∠ＡＣＤ＝４０°，
∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＯＢ＝４０°，
∴△ＯＡＢ∽△ＣＤＥ．
１０．（１）∵ＡＢ＝ＡＣ，
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ．
又∵∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，
∴∠ＢＣＤ＝∠ＡＤＣ，
∴ＥＤ＝ＥＣ；
（２）如图 １，连接 ＯＡ．
∵ＡＢ＝ＡＣ，
∴ )
ＡＢ＝ )
ＡＣ，
∴ＯＡ⊥ＢＣ．
∵ＣＡ＝ＣＦ，
∴∠ＣＡＦ＝∠ＣＦＡ，
∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＦ＋∠ＣＦＡ＝２∠ＣＡＦ．
∵∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ，
∴∠ＡＣＤ＝２∠ＡＣＢ，
∴∠ＣＡＦ＝∠ＡＣＢ，
∴ＡＦ∥ＢＣ，
∴ＯＡ⊥ＡＦ，
∴ＡＦ为⊙Ｏ的切线；
（３）∵∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＡ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ，
∴△ＡＢＥ∽△ＣＢＡ，
∴ＡＢ
ＢＣ＝ＢＥ
ＡＢ，
∴ＡＢ２＝ＢＣ·ＢＥ．
∵ＢＣ·ＢＥ＝２５，
∴ＡＢ＝５．
如图 ２，连接 ＡＧ，
∴∠ＢＡＧ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＧ，∠ＢＧＡ＝∠ＧＡＣ＋∠ＡＣＢ．
∵点 Ｇ为内心，
∴∠ＤＡＧ＝∠ＧＡＣ．
又∵∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＧ＝∠ＧＡＣ＋∠ＡＣＢ，
∴∠ＢＡＧ＝∠ＢＧＡ，
∴ＢＧ＝ＡＢ＝５．
２３０ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第44页
第 ２４讲 直线与圆的位置关系
知识梳理
１．（１）ｄ＜ｒ （２）ｄ＝ｒ （３）ｄ＞ｒ
２．垂直于 （１）切点 （２）圆心 （１）一个 （２）半径 （３）垂直于
典型例题
例 １ （１）当 Ｒ＝６０
１３时，⊙Ｃ和直线 ＡＢ相切；当 Ｒ＞
６０
１３时，⊙Ｃ和直线 ＡＢ相交；当 ０＜Ｒ＜
６０
１３时，⊙Ｃ和直线 ＡＢ
相离．
（２）当 Ｒ＝６０
１３或 ５＜Ｒ≤１２时，⊙Ｃ和线段 ＡＢ只有一个交点；当６０
１３＜Ｒ≤５时，⊙Ｃ和线段 ＡＢ有两个交点；当 ０＜Ｒ＜
６０
１３
或 Ｒ＞１２时，⊙Ｃ和线段 ＡＢ没有交点．
例 ２ （１）证明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，
∴∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＤＡＢ＋∠ＡＢＤ＝９０°．
∵∠ＢＥＤ＝∠ＤＡＢ，∠ＰＢＤ＝∠ＢＥＤ，
∴∠ＤＡＢ＝∠ＰＢＤ，
∴∠ＰＢＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°，
∴∠ＡＢＰ＝９０°，
∴ＡＢ⊥ＰＢ，
∴ＢＰ是⊙Ｏ的切线；
（２）解：连接 ＡＥ，
∴∠ＡＥＢ＝９０°．
∵ＢＥ平分∠ＡＢＤ，
∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ，
∴ )
ＡＥ＝ )
ＤＥ，
∴ＡＥ＝ＤＥ＝槡３，
∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ＝∠ＤＡＥ，
∴ｔａｎ∠ＤＢＥ＝ｔａｎ∠ＡＢＥ＝ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ＥＦ
ＥＡ＝槡２
３，
∴ＥＦ
槡３＝槡２
３，
∴ＥＦ＝槡６
３；
（３）解：连接 ＯＥ．
∵ＯＥ＝ＯＢ，
∴∠ＡＢＥ＝∠ＯＥＢ．
∵∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ，
∴∠ＤＢＥ＝∠ＯＥＢ，
∴△ＣＥＯ∽△ＣＤＢ，
∴ＣＥ
ＤＥ＝ＯＣ
ＯＢ
．
∵ＣＡ＝ＡＯ，
设 ＣＡ＝ＡＯ＝ＢＯ＝Ｒ，
∴ＣＥ
ＤＥ＝２
１，即ＣＥ
槡３＝２，
∴ＣＥ＝２槡３，
∴ＤＣ＝３槡３．
∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＥ，∠Ｃ＝∠Ｃ，
∴△ＣＡＤ∽△ＣＥＢ，
∴ＣＤ
ＣＢ＝ＡＣ
ＣＥ
，
∴３槡３
３Ｒ ＝ Ｒ
２槡３
，
∴Ｒ＝槡６，
∴⊙Ｏ的半径为槡６．
例 ３ （１）－３≤ｋ＜０．
（２）由 ｙ＝－２ｘ－８得 Ａ（－４，０），Ｂ（０， －８）．由勾股定理得 ＰＡ＝槡１６＋ｋ２
．
∵ＰＢ＝８＋ｋ，由 ＰＡ＝ＰＢ得 槡１６＋ｋ２ ＝８＋ｋ，解得 ｋ＝－３，∴⊙Ｐ与 ｘ轴相切．
（３）过点 Ｐ作 ＰＱ⊥ＡＢ垂足为 Ｑ，由 ＰＱ×ＡＢ＝ＰＢ×ＯＡ，ＰＱ＝（ｋ＋８）×４
槡４２＋８２ ．
!"#$ ２３１
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第45页
①当⊙Ｐ与直线 ｌ相切时，ＰＱ＝３，即（ｋ＋８）×４
槡４２＋８２ ＝３ 解得 ｋ＝３槡５－８．
②当 Ｐ在 Ｂ下方时，ｋ＝－８－３槡５．∴ｋ＝３槡５－８或 －８－３槡５时，⊙Ｐ与直线 ｌ相切．
基础检测
１．（１）Ｄ （２）Ｃ ２．２槡３ ３．（１）Ｂ （２）Ｄ （３）３ ４．（１）槡５ （２）３槡２＋１ ５．（１）７０° （２）１２６
６．（１）如图，连接 ＯＣ，由题意可知∠ＡＣＢ是直径 ＡＢ所对的圆周角，
∴∠ＡＣＢ＝９０°．
∵ＯＣ，ＯＢ是圆 Ｏ的半径，
∴ＯＣ＝ＯＢ，
∴∠ＯＣＢ＝∠ＡＢＣ．
又∵∠ＤＣＡ＝∠ＡＢＣ，
∴∠ＤＣＡ＝∠ＯＣＢ，
∴∠ＤＣＯ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＯ＝∠ＯＣＢ＋∠ＡＣＯ＝∠ＡＣＢ＝９０°，
∴ＯＣ⊥ＤＣ．
又∵ＯＣ是圆 Ｏ的半径，
∴ＤＣ是圆 Ｏ的切线；
（２）∵ＯＡ
ＯＤ＝２
３，
∴ ＯＡ
ＯＡ＋ＤＡ＝２
３，化简得 ＯＡ＝２ＤＡ，
由（１）知∠ＤＣＯ＝９０°．
∵ＢＥ⊥ＤＣ，即∠ＤＥＢ＝９０°，
∴∠ＤＣＯ＝∠ＤＥＢ，
∴ＯＣ∥ＢＥ，
∴△ＤＣＯ∽△ＤＥＢ，
∴ＤＯ
ＤＢ＝ＣＯ
ＥＢ，即 ＤＡ＋ＯＡ
ＤＡ＋ＯＡ＋ＯＢ＝３ＤＡ
５ＤＡ＝３
５＝２ＤＡ
ＥＢ，
∴ＤＡ＝３
１０ＥＢ．
∵ＢＥ＝３，
∴ＤＡ＝３
１０ＥＢ＝３
１０×３＝９
１０
，
经检验：ＤＡ＝９
１０
是分式方程的解，
∴ＤＡ＝９
１０．
７．（１）证明：连接 ＤＥ．
∵ )
ＤＣ＝ )
ＤＣ，
∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＥＤ．
∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，
∴∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ，
∴∠ＣＥＤ＝∠ＥＡＤ．
∵ＤＦ∥ＣＥ，
∴∠ＣＥＤ＝∠ＦＤＥ，
∴∠ＥＡＤ＝∠ＦＤＥ．
∵ＡＤ为⊙Ｏ直径，
∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＤ＝９０°，
∴∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＥ＝９０°，
∴∠ＡＤＥ＋∠ＦＤＥ＝９０°，
即 ＡＤ⊥ＦＤ．
又∵ＡＤ为⊙Ｏ直径，
∴ＤＦ是⊙Ｏ的切线；
（２）∵∠ＡＥＤ＝９０°，
∴∠ＢＥＤ＝９０°，
∴ＤＥ＝ＢＤ·ｓｉｎＢ＝５×３
５＝３．
∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＤ，∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ，ＡＤ＝ＡＤ，
∴△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ，
∴ＤＥ＝ＤＣ＝３，
∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝８．
在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∵ｓｉｎＢ＝３
５，
∴设 ＡＣ＝３ｘ，ＡＢ＝５ｘ，
∴（５ｘ）２－（３ｘ）２＝８２
．
２３２ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第46页
∵ｘ＞０，
∴ｘ＝２，
∴ＡＢ＝５ｘ＝１０，ＡＣ＝３ｘ＝６．
∵△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ，
∴ＡＥ＝ＡＣ＝６，
∴在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ＝槡ＡＥ２＋ＤＥ２ ＝３槡５．
∵∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＦ＝９０°，
∴△ＡＤＥ∽△ＡＦＤ，
∴ＤＥ
ＦＤ＝ＡＥ
ＡＤ，
即 ３
ＦＤ＝ ６
３槡５
，
∴ＦＤ＝３槡５
２ ．
８如图所示，依题意画出图形 Ｇ为⊙Ｏ，如图所示．
（１）证明：∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，
∴ )
ＡＤ＝ )
ＣＤ，∴ＡＤ＝ＣＤ．
（２）解：∵ＡＤ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＭ，∴ＣＤ＝ＣＭ∵ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＤＦＣ＝∠ＣＦＭ＝９０°
在 Ｒｔ△ＣＤＦ和 Ｒｔ△ＣＭＦ中，
ＣＤ＝ＣＭ， {ＣＦ＝ＣＦ，∴△ＣＤＦ≌△ＣＭＦ（ＨＬ），∴ＤＦ＝ＭＦ，∴ＢＣ为弦 ＤＭ的垂直平分线，
∴ＢＣ为⊙Ｏ的直径，连接 ＯＤ．
∵∠ＣＯＤ＝２∠ＣＢＤ，∠ＡＢＣ＝２∠ＣＢＤ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＣＯＤ，∴ＯＤ∥ＢＥ
又∵ＤＥ⊥ＢＡ，∴∠ＤＥＢ＝９０°，∴∠ＯＤＥ＝９０°，即 ＯＤ⊥ＤＥ，∴ＤＥ为⊙Ｏ的切线 ∴直线 ＤＥ与图形 Ｇ的公共点个数
为 １个
第 １０题
９．（１）连接 ＢＤ，
∵ )
ＡＢ＝ )
ＢＣ＝ )
ＣＤ，
∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ，
∴ＡＤ∥ＢＣ；
（２）∵ＡＤ∥ＢＣ，
∴∠ＥＤＦ＝∠ＣＢＦ．
∵ )
ＢＣ＝ )
ＣＤ，
∴ＢＣ＝ＣＤ，
∴ＢＦ＝ＤＦ，又∠ＤＦＥ＝∠ＢＦＣ，
∴△ＤＥＦ≌△ＢＣＦ（ＡＳＡ），
∴ＤＥ＝ＢＣ，
∴四边形 ＢＣＤＥ是平行四边形．又 ＢＣ＝ＣＤ，
∴四边形 ＢＣＤＥ是菱形．
１０．（１）∵ＯＡ＝６，ＯＢ＝８，
∴由勾股定理可求得 ＡＢ＝１０．
由题意知 ＯＱ＝ＡＰ＝ｔ，
∴ＡＣ＝２ｔ．
∵ＡＣ是⊙Ｐ的直径，
∴∠ＣＤＡ＝９０°，
∴ＣＤ∥ＯＢ，
∴△ＡＣＤ∽△ＡＢＯ，
∴ＡＣ
ＡＢ＝ＡＤ
ＯＡ
，
∴ＡＤ＝６
５ｔ，
当 Ｑ与 Ｄ重合时，
ＡＤ＋ＯＱ＝ＯＡ，
∴ ６
５ｔ＋ｔ＝６，
∴ｔ＝３０
１１
；
（２）若△ＡＣＱ是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当 ＡＱ＝ＡＣ时，即 ＡＣ＝ＡＱ＝２ｔ，ＯＱ＝ｔ，
∵ＯＱ＋ＱＡ＝６，
∴ｔ＋２ｔ＝６，
解得 ｔ＝２；
②当 ＱＣ＝ＣＡ时，即 ＱＣ＝ＣＡ＝２ｔ，由（１）知 ＤＡ＝６
５ｔ，
∴ＱＤ＝ＤＡ＝６
５ｔ，
!"#$ ２３３
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第47页
∴ＯＱ＋ＱＤ＋ＤＡ＝６，
∴ｔ＋６
５ｔ＋６
５ｔ＝６，
解得 ｔ＝３０
１７
；
图 １
③当 ＱＣ＝ＱＡ时，如图 １，连接 ＰＱ，
可知 ＰＱ⊥ＡＣ，
∴∠ＱＰＡ＝∠ＢＯＡ＝９０°，∠ＱＡＰ＝∠ＢＡＯ，
∴△ＡＱＰ∽△ＡＢＯ，
则 ＡＰ＝ｔ，ＡＱ＝６－ｔ，
∴ＡＰ
ＯＡ＝ＡＱ
ＡＢ，
∴ ｔ
６＝６－ｔ
１０，
解得 ｔ＝９
４；
综上所述，当△ＡＣＱ是等腰三角形时，ｔ＝２或 ｔ＝３０
１７或 ｔ＝９
４；
图 ２
（３）当 ＱＣ与⊙Ｐ相切时，如图 ２，
此时∠ＱＣＡ＝９０°．
∵ＯＱ＝ＡＰ＝ｔ，
∴ＡＱ＝６－ｔ，ＡＣ＝２ｔ．
∵∠Ａ＝∠Ａ，
∠ＱＣＡ＝∠ＡＯＢ，
∴△ＡＱＣ∽△ＡＢＯ，
∴ＡＱ
ＡＢ＝ＡＣ
ＯＡ
，
∴６－ｔ
１０ ＝２ｔ
６，
∴ｔ＝１８
１３
，
∴当 ０＜ｔ≤
１８
１３
时，⊙Ｐ与 ＱＣ只有一个交点，
当 ＱＣ⊥ＯＡ时，
此时 Ｑ与 Ｄ重合，
由（１）可知 ｔ＝３０
１１
，
∴当３０
１１＜ｔ≤５时，⊙Ｐ与 ＱＣ只有一个交点，
综上所述，当⊙Ｐ与 ＱＣ只有一个交点，ｔ的取值范围为 ０＜ｔ≤
１８
１３
或３０
１１＜ｔ≤５．
第 ２５讲 切线长定理
知识梳理
１．相等 平分 ２．三条角平分线 距离 ｒ
２（ａ＋ｂ＋ｃ）
典型例题
例 １ （１）∵ＰＣ，ＰＤ是⊙Ｏ的切线，∴ＰＤ＝ＰＣ，∠ＯＰＤ＝∠ＯＰＣ，∴ＯＰ⊥ＣＤ．
（２）连接 ＯＤ，ＯＣ，则可得∠ＡＯＤ＝８０°，∠ＢＯＣ＝４０°，∠ＣＯＤ＝６０°，∠ＤＰＣ＝１２０°，∠ＤＰＯ＝６０°，在 Ｒｔ△ＤＯＰ中，
ＯＤ
ＯＰ＝ｓｉｎ６０°，得 ＯＰ＝４槡３
３．
例 ２ （１）作∠ＢＡＣ的平分线，与 ＢＣ的交点即为圆心 Ｐ，以 Ｐ为圆心，ＰＢ为半径画圆．
（２）连接 ＰＱ，如图在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝槡６２＋８２ ＝１０，设⊙Ｐ的半径为 ｒ，ＢＰ＝ＰＱ＝ｒ，ＰＣ＝８－ｒ．∵ＡＣ与⊙Ｐ相切
于 Ｑ，∴ＰＱ⊥ＡＣ．∵∠ＰＣＱ＝∠ＡＣＰ，∴Ｒｔ△ＣＰＱ∽Ｒｔ△ＣＡＢ，∴ＰＱ
ＡＢ＝ＣＰ
ＣＡ
，∴ ｒ
６＝８－ｒ
１０，∴ｒ＝３，即⊙Ｐ的半径为 ３．
（３）∵ＡＢ，ＡＣ为⊙Ｐ的切线，∴ＡＢ＝ＡＱ，∵ＢＰ＝ＰＱ，∴ＡＰ为 ＢＱ的垂直平分线，∴∠ＢＡＰ＋∠ＡＢＱ＝９０°，∠ＣＢＱ＋
∠ＡＢＱ＝９０°，∴∠ＣＢＱ＝∠ＢＡＰ．在 Ｒｔ△ＡＢＰ中，ＡＰ＝槡６２＋３２ ＝３槡５，∴ｓｉｎ∠ＢＡＰ＝ＢＰ
ＡＰ＝ ３
３槡５
＝槡５
５，∴ｓｉｎ∠ＣＢＱ＝槡５
５．
图 １
例 ３ （１）如图 １，连接 ＯＣ，由 ＡＤ＝ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ得 ＯＤ垂直平分 ＡＣ．
∵ＡＢ是⊙Ｏ直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ⊥ＡＣ．∴ＯＤ∥ＢＣ．
（２）因为 ｔａｎ∠ＡＢＣ＝２，设 ＢＣ＝ａ，则 ＡＣ＝２ａ，ＡＢ＝槡５ａ＝ＡＤ，ＡＥ＝ａ，ＯＥ＝１
２ａ．
在△ＡＥＤ中，ＤＥ＝槡ＡＤ２－ＡＥ２ ＝２ａ，所以 ＯＤ＝ＯＥ＋ＤＥ＝５
２ａ．
２３４ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第48页
在△ＡＯＤ中，ＡＯ２＋ＡＤ２＝ＯＤ２
，所以∠ＯＡＤ＝９０°，所以 ＤＡ与⊙Ｏ相切．
（３）如图 ２，连接 ＡＦ，因为∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＦ＝９０°，∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＦ＝９０°，所以∠ＡＢＦ＝∠ＤＡＦ，所以△ＡＦＤ∽△ＢＡＤ，
所以ＦＤ
ＡＤ＝ＡＤ
ＢＤ，即 ＤＦ·ＢＤ＝ＡＤ２
．……①
图 ２
又因为∠ＡＥＤ＝∠ＯＡＤ＝９０°，∠ＡＤＥ＝∠ＯＤＡ，所以△ＡＥＤ∽△ＯＡＤ，所以ＡＤ
ＯＤ＝ＥＤ
ＡＤ，即
ＯＤ·ＤＥ＝ＡＤ２
．……②
由①②得 ＤＦ·ＢＤ＝ＯＤ·ＤＥ，即ＤＦ
ＯＤ＝ＤＥ
ＢＤ．
又因为∠ＥＤＦ＝∠ＢＤＯ，所以△ＥＤＦ∽△ＢＤＯ，即ＥＦ
ＢＯ＝ＤＥ
ＤＢ
，因为 ＢＣ＝１，所以 ＡＢ＝ＡＤ＝
槡５，ＯＤ＝５
２，ＥＤ＝２，ＢＤ＝槡１０，ＯＢ＝槡５
２，所以ＥＦ
槡５
２
＝ ２
槡１０
，所以 ＥＦ＝槡２
２．
基础检测
１．（１）Ｂ （２）Ｃ （３）１３０ ２．（１）４ （２）５２ （３）５ ３．（１）１∶２∶３ （２）２ （３）槡２ ４．（１）１３０ （２）＞ （３）２
５．（１）４∶５∶６ （２）４
５ （３）５
３ ６．（１）３０ （２）１ （３）槡２－１ ７．（１）１
２ （２）２ ８．（１）１８π （２）１５
４或４０
９ ９．Ａ
１０．（１）连接 ＯＤ，∵⊙Ｏ与 ＡＢ，ＡＣ相切于 Ｄ，Ｃ，∴∠ＯＤＡ＝∠ＯＣＡ＝９０°，∴∠ＤＯＥ＝∠Ａ．∵ＯＤ＝ＯＥ，∴∠ＥＤＯ＝
９０°－１
２∠Ａ，∴∠ＢＤＥ＋∠ＥＤＯ＝９０°，∴∠Ａ＝２∠ＢＤＥ．
（２）连接 ＯＤ，ＣＤ，由（１）可知∠Ａ＝２∠ＢＤＥ，∵∠Ａ＝∠ＤＯＥ，∠ＤＯＥ＝２∠ＤＣＥ，∴∠Ａ＝２∠ＤＣＥ，∴∠ＢＤＥ＝
∠ＤＣＥ．∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＤ，∴ＢＤ２ ＝ＢＥ·ＢＣ，∵∠ＯＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴△ＢＤＯ∽△ＢＣＡ，∴ＢＤ
ＢＣ＝ＯＤ
ＣＡ，
∵ＡＣ＝ＥＣ，∴２ＯＤ＝ＡＣ，∴ＢＤ
ＢＣ＝１
２，∴ＢＣ＝２ＢＤ，∴ＢＤ２＝ＢＥ·２ＢＤ，∴ＢＤ＝２ＢＥ．
第 ２６讲 圆中的计算问题
知识梳理
１．中心 半径 中心角 边心距 ∠ＣＯＤ＝７２° ２Ｒｓｉｎ３６° １０Ｒｓｉｎ３６° Ｒｃｏｓ３６° ５Ｒ２
ｃｏｓ３６°ｓｉｎ３６°
２．２πＲ ｎ
１８０
πＲ ３．（１）ｎ
３６０
πＲ２ （２）１
２ｌＲ ４．（１）２πｒ 弧长 （２）半径 （３）ｎ
１８０
πａ ２πｒ ｎ
１８０
πａ＝２πｒ （４）ｎ
３６０
·
πａ２ πａｒ ｎ
３６０
πａ２＝πａｒ πｒａ
典型例题
例 １ 槡５－槡２
例 ２ （１）２π （２）不能．需要直径为槡２
２Ｒ的圆作为底面，但槡２Ｒ＋槡２
２Ｒ＞２Ｒ．
例 ３ （１）证明：延长 ＢＰ至 Ｅ，使 ＰＥ＝ＰＣ，连接 ＣＥ．∵Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｃ四点共圆，∴∠ＢＡＣ＋∠ＢＰＣ＝１８０°，∵∠ＢＰＣ＋
∠ＥＰＣ＝１８０°，∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＥ＝６０°，ＰＥ＝ＰＣ，∴△ＰＣＥ是等边三角形，∴ＣＥ＝ＰＣ，∠Ｅ＝６０°．又∠ＢＣＥ＝６０°＋
∠ＢＣＰ，∠ＡＣＰ＝６０°＋∠ＢＣＰ，∴∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＰ，∵△ＡＢＣ，△ＥＣＰ为等边三角形，∴ＣＥ＝ＰＣ，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＢＥＣ≌
△ＡＰＣ（ＳＡＳ），∴ＰＡ＝ＢＥ＝ＰＢ＋ＰＣ．
（２）过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＢＰ交 ＰＡ于 Ｅ，∵∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ＝∠ＥＢＣ＋∠ＣＢＰ＝９０°，∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＰ，∴∠ＡＰＢ＝４５°，∴ＢＰ＝
ＢＥ，∴ＰＥ＝槡２ＰＢ，又 ＡＢ＝ＢＣ，∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＰ，∴ＰＣ＝ＡＥ，∴ＰＡ＝ＡＥ＋ＰＥ＝ＰＣ＋槡２ＰＢ．
（３）ＰＡ＝ＰＣ＋槡３ＰＢ．
基础检测
１．（１）Ｂ （２）８π ２．（１）３π （２）２５ （３）４－π ３．（１）６ （２）４ （３）６π （４）１５０ ４．（１）８ （２）３ （３）３槡５
５．（１）８ （２）１００槡５π （３）６ （４）２槡２π （５）４８ ６．（１）１
３ （２）４０ｃｍ （３）２
３π （４）９槡３－３π ７．（１）２４π
（２）Ｃ ８．（１）３槡２，３ （２）１２ （３）８槡２ （４）２槡３ （５）１０ ９．（１）３π－６ （２）４
３π－槡３
４ （３）Ａ （４）Ａ
１０解：∵在等腰△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１２０°，∴∠Ｂ＝３０°，
∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝槡３ＡＤ＝６槡３，∴ＢＣ＝２ＢＤ＝１２槡３，
∴由弧 ＥＦ及线段 ＦＣ、ＣＢ、ＢＥ围成图形（图中阴影部分）的面积 ＝Ｓ△ＡＢＣ －Ｓ扇形ＡＥＦ ＝１
２×６×１２槡３－１２０·π·６２
３６０ ＝３６槡３－
１２π；
（２）设圆锥的底面圆的半径为 ｒ，
根据题意得 ２πｒ＝１２０·π·６
１８０ ，解得 ｒ＝２，这个圆锥的高 ｈ＝槡６２－２２ ＝４槡２．
第六章 《圆》测试题
１．Ａ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．Ｄ ５．Ｃ ６．Ａ ７．Ａ ８．Ｄ
!"#$ ２３５
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第49页
９．点 Ｏ在⊙Ｐ上 １０．１１９ １１．１６π
９ １２．２４π １３．π＋３槡３
４
１４．提示：∠Ｃ与∠Ａ互补．
１５．（１）如图，连接 ＯＤ，ＥＦ，
则 ＯＡ＝ＯＤ，
∴∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ，
∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，
∴∠ＯＡＤ＝∠ＣＡＤ，
∴∠ＯＤＡ＝∠ＣＡＤ，
∴ＯＤ∥ＡＣ，
∴∠ＯＤＢ＝∠Ｃ＝９０°，
∵点 Ｄ在⊙Ｏ上，
∴ＢＣ是⊙Ｏ的切线；
（２）∵∠ＢＤＯ＝９０°，
∴ｓｉｎＢ＝ＯＤ
ＢＯ＝ ＯＤ
ＢＥ＋ＯＤ＝５
１３，
∴ＯＤ＝５，
∴⊙Ｏ的半径为 ５；
（３）连接 ＥＦ，
∵ＡＥ是直径，
∴∠ＡＦＥ＝９０°＝∠ＡＣＢ，
∴ＥＦ∥ＢＣ，
∴∠ＡＥＦ＝∠Ｂ，
又∵∠ＡＥＦ＝∠ＡＤＦ，
∴∠Ｂ＝∠ＡＤＦ，
又∵∠ＯＡＤ＝∠ＣＡＤ，
∴△ＤＡＢ∽△ＦＡＤ，
∴ＡＤ
ＡＢ＝ＡＦ
ＡＤ，
∴ＡＤ２＝ＡＢ·ＡＦ．
１６．（１）略；（２）ＡＰ＝２，ＡＤ＝６，ＰＤ＝４．
１７．（１）平行；（２）成立；∠ＢＣＰ＝∠ＰＡＢ＝∠ＡＰＯ＝∠ＯＰＣ；（３）提示：可以证明∠ＯＡＰ＝∠ＰＯＣ＝∠ＡＯＰ＝６０°，进一
步得∠ＯＰＣ＝６０°，ＡＢ＝２ＯＰ＝２ＰＣ＝２ＰＤ．
１８．（１）ｙ＝－１
４（ｘ＋８）（ｘ－２）＝－１
４ｘ２－３
２ｘ＋４．当 ｘ＝０时，ｙ＝４，则 Ｃ（０，４），∴ＢＣ＝４槡５，ＡＣ＝２槡５，ＡＢ＝１０．
∵ＢＣ２＋ＡＣ２＝ＡＢ２
，∴△ＡＢＣ为直角三角形且∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＢ为直径，∴圆心 Ｍ的坐标为（－３，０）．
（２）ＡＰ·ＡＮ为定值，证明△ＡＰＢ∽△ＡＯＮ，则 ＡＰ·ＡＮ＝ＡＢ·ＡＯ＝２０．
（３）直线 ＢＤ的解析式为 ｙ＝－１
２ｘ－４，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ｘ轴于点 Ｇ，ＢＦ
ＦＧ＝ＢＤ
ＯＤ＝４槡５
４ ＝槡５，∴点 Ｑ沿线段 ＦＢ以每秒槡５个
单位的速度运动到 Ｂ点所用的时间等于点 Ｑ以每秒 １个单位的速度运动到 Ｇ点的时间，∴当 ＡＦ＋ＦＧ的值最小时，点 Ｑ在
整个运动过程中所用的时间最少，此时 Ｆ的坐标为（－２， －３）．
第七章 图形变换、尺规作图、视图与投影
第 ２７讲 图形与变换
知识梳理
被对称轴垂直平分 △Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＡ′，ＢＢ′，ＣＣ′ ＭＮ 对称中心 平分 点 Ｅ 线段 ＡＥ ∠Ｅ 点 Ａ ＢＡＤ ＣＡＥ ２５°
典型例题
例 １ 延长 ＢＦ交 ＣＤ于 Ｈ，连接 ＥＨ．
∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，
∴ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｄ＝∠ＤＡＢ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝１，
∴ＡＣ＝槡ＡＤ２＋ＣＤ２ ＝槡１２＋１２ ＝槡２
由翻折的性质可知，ＡＥ＝ＥＦ，∠ＥＡＢ＝∠ＥＦＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，
∵点 Ｅ是 ＡＤ的中点，
∴ＡＥ＝ＤＥ＝ＥＦ，
∵∠Ｄ＝∠ＥＦＨ＝９０°，
在 Ｒｔ△ＥＨＤ和 Ｒｔ△ＥＨＦ中，
ＥＨ＝ＢＨ， {ＥＤ＝ＥＦ，
∴Ｒｔ△ＥＨＤ≌Ｒｔ△ＥＨＦ（ＨＬ），
∴∠ＤＥＨ＝∠ＦＥＨ，
∴∠ＨＥＢ＝９０°，
∴∠ＤＥＨ＋∠ＡＥＢ＝９０°，
∵∠ＡＥＢ＋∠ＡＢＥ＝９０°，
２３６ &'
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
第50页
∴
∠
Ｄ
ＥＨ
＝
∠
Ａ
Ｂ
Ｅ
，
∴
△
ＥＤ
Ｈ
∽
△
ＢＡ
Ｅ
，
∴
ＥＤＡＢ
＝
Ｄ
ＨＥＡ
＝
１２
，
∴
Ｄ
Ｈ
＝
１４
，
ＣＨ
＝
３４
，
∵
ＣＨ
∥
Ａ
Ｂ
，
∴
Ｃ
Ｇ
ＧＡ
＝
ＣＨＡＢ
＝
３４
，
∴
Ｃ
Ｇ
＝
３７
Ａ
Ｃ
＝
３
槡
２
７
．
例
２
（
１
）
∵
∠
ＤＡ
Ｅ
＝
∠
ＢＡ
Ｃ
＝
α
，
∴
∠
ＤＡ
Ｅ
－
∠
ＢＡ
Ｄ
＝
∠
ＢＡ
Ｃ
－
∠
ＢＡ
Ｄ
，
即
∠
ＢＡ
Ｅ
＝
∠
ＣＡ
Ｄ
，
在
△
Ａ
Ｂ
Ｅ
和
△
Ａ
ＣＤ
中
，
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｃ
∠
ＢＡ
Ｅ
＝
∠
ＣＡ
Ｄ
，
{
Ａ
Ｅ
＝
Ａ
Ｄ
∴
△
Ａ
Ｂ
Ｅ
≌
△
Ａ
ＣＤ
（
Ｓ
Ａ
Ｓ
）
，
∴
Ｂ
Ｅ
＝
ＣＤ
，
∵
Ｍ
为
Ｂ
Ｃ
的
中
点
，
∴
Ｂ
Ｍ
＝
ＣＭ
，
∴
Ｂ
Ｅ
＋
ＭＤ
＝
Ｂ
Ｍ
；
（
２
）
如
图
，
作
ＥＨ
⊥
Ａ
Ｂ
交
Ｂ
Ｃ
于
Ｈ
，
交
Ａ
Ｂ
于
Ｆ
．
由
（
１
）
△
Ａ
Ｂ
Ｅ
≌
△
Ａ
ＣＤ
得
∠
Ａ
Ｂ
Ｅ
＝
∠
Ａ
ＣＤ
，
∵
∠
Ａ
ＣＤ
＝
∠
Ａ
Ｂ
Ｃ
，
∴
∠
Ａ
Ｂ
Ｅ
＝
∠
Ａ
Ｂ
Ｄ
，
在
△
Ｂ
Ｅ
Ｆ
和
△
Ｂ
ＨＦ
中
，
∠
ＥＢ
Ｆ
＝
∠
ＨＢ
Ｆ
，
Ｂ
Ｆ
＝
Ｂ
Ｆ
，
{
∠
Ｂ
ＦＥ
＝
∠
Ｂ
ＦＨ
＝
９
０
°
，
∴
△
Ｂ
Ｅ
Ｆ
≌
△
Ｂ
ＨＦ
（
Ａ
Ｓ
Ａ
）
，
∴
Ｂ
Ｅ
＝
Ｂ
Ｈ
，
由
（
１
）
知
：
Ｂ
Ｅ
＋
ＭＤ
＝
Ｂ
Ｍ
，
∴
ＭＨ
＝
ＭＤ
，
∵
ＭＮ
∥
ＨＥ
，
∴
ＥＮＤＮ
＝
ＭＨＭＤ
，
∴
ＥＮ
＝
Ｄ
Ｎ．
例
３
（
１
）
证
明
：
如
图
１
中
，
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
正
方
形
，
∴
Ａ
Ｂ
＝
Ａ
Ｄ
，
∠
Ｂ
＝
∠
ＢＡ
Ｄ
＝
９
０
°
∵
Ｄ
Ｅ
⊥
Ａ
Ｆ
，
∴
Ａ
ＰＤ
＝
９
０
°
，
∴
∠
ＰＡ
Ｄ
＋
∠
Ａ
Ｄ
Ｅ
＝
９
０
°
，
∠
ＰＡ
Ｄ
＋
∠
ＢＡ
Ｆ
＝
９
０
°
，
∴
∠
ＢＡ
Ｆ
＝
∠
Ａ
Ｄ
Ｅ
，
∴
△
Ａ
Ｂ
Ｆ
≌
△
ＤＡ
Ｅ
（
Ａ
Ｓ
Ａ
）
，
∴
Ｂ
Ｆ
＝
Ａ
Ｅ
．
（
２
）
如
图
２
中
，
连
接
Ａ
Ｑ
，
Ｃ
Ｑ
，
∵
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
正
方
形
，
∴
ＢＡ
＝
Ｂ
Ｃ
，
∠
Ａ
Ｂ
Ｑ
＝
∠
ＣＢ
Ｑ
＝
４
５
°
，
∵
Ｂ
Ｑ
＝
Ｂ
Ｑ
，
∴
△
Ａ
Ｂ
Ｑ
≌
△
ＣＢ
Ｑ
（
Ｓ
Ａ
Ｓ
）
，
∴
ＱＡ
＝
Ｑ
Ｃ
，
∠
ＢＡ
Ｑ
＝
∠
Ｑ
ＣＢ
，
∵
Ｅ
Ｑ
垂
直
平
分
线
段
Ａ
Ｆ
，
∴
ＱＡ
＝
Ｑ
Ｆ
，
∴
∠
Ｑ
Ｆ
Ｃ
＝
∠
Ｑ
Ｃ
Ｆ
，
∴
∠
Ｑ
Ｆ
Ｃ
＝
ＢＡ
Ｑ
，
∵
∠
Ｑ
Ｆ
Ｃ
＋
∠
Ｂ
Ｆ
Ｑ
＝
１
８
０
°
，
∴
∠
ＢＡ
Ｑ
＋
∠
Ｂ
Ｆ
Ｑ
＝
１
８
０
°
，
∴
∠
Ａ
Ｑ
Ｆ
＋
∠
Ａ
Ｂ
Ｆ
＝
＝
１
８
０
°
，
∵
∠
Ａ
Ｂ
Ｆ
＝
９
０
°
，
∴
∠
Ａ
Ｑ
Ｆ
＝
９
０
°
，
∴
∠
Ａ
Ｆ
Ｑ
＝
∠
ＦＡ
Ｑ
＝
４
５
°
．
（
３
）
过
点
Ｅ
作
Ｅ
Ｔ
⊥
ＣＤ
于
Ｔ
，
则
四
边
形
Ｂ
Ｃ
ＴＥ
是
矩
形
．
∴
Ｅ
Ｔ
＝
Ｂ
Ｃ
，
∠
Ｂ
Ｅ
Ｔ
＝
∠
Ａ
Ｅ
Ｔ
＝
９
０
°
，
∴
四
边
形
Ａ
Ｂ
ＣＤ
是
正
方
形
，
!
"
#
$
２
３
７
广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社 广州出版社
百万用户使用云展网进行手机电子书制作，只要您有文档，即可一键上传，自动生成链接和二维码(独立电子书)，支持分享到微信和网站！
其他案例
百万用户使用云展网进行手机电子书制作，只要您有文档，即可一键上传，自动生成链接和二维码(独立电子书)，支持分享到微信和网站！
免费制作
{{modalTitle}}
{{item.title}}
x
{{item.desc}}
{{item.title}}
{{toast}}
